आपके लिए स्वयं हल करने के लिए समस्याएँ भी होंगी, जिनका उत्तर आप देख सकते हैं।
यदि समस्या में सदिशों की लंबाई और उनके बीच के कोण दोनों को "चांदी की थाली में" प्रस्तुत किया जाता है, तो समस्या की स्थिति और उसका समाधान इस तरह दिखता है:
उदाहरण 1.वेक्टर दिए गए हैं. यदि सदिशों की लंबाई और उनके बीच के कोण को निम्नलिखित मानों द्वारा दर्शाया जाए तो उनका अदिश गुणनफल ज्ञात कीजिए:
एक अन्य परिभाषा भी मान्य है, जो पूरी तरह से परिभाषा 1 के समतुल्य है।
परिभाषा 2. सदिशों का अदिश गुणनफल एक संख्या (अदिश) होती है जो इनमें से एक सदिश की लंबाई और इनमें से पहले सदिश द्वारा निर्धारित अक्ष पर दूसरे सदिश के प्रक्षेपण के गुणनफल के बराबर होती है। परिभाषा 2 के अनुसार सूत्र:
हम अगले महत्वपूर्ण सैद्धांतिक बिंदु के बाद इस सूत्र का उपयोग करके समस्या का समाधान करेंगे।
निर्देशांक के संदर्भ में सदिशों के अदिश गुणनफल की परिभाषा
यदि गुणा किए जाने वाले सदिशों को उनके निर्देशांक दिए जाएं तो समान संख्या प्राप्त की जा सकती है।
परिभाषा 3. डॉट उत्पादवेक्टर एक संख्या है जो उनके संबंधित निर्देशांक के जोड़ीवार उत्पादों के योग के बराबर होती है।
एक हवाई जहाज़ पर
यदि दो सदिश और समतल पर उनके दो द्वारा परिभाषित किया गया है कार्तीय आयताकार निर्देशांक
तो इन वैक्टरों का अदिश उत्पाद उनके संबंधित निर्देशांकों के जोड़ीवार उत्पादों के योग के बराबर है:
.
उदाहरण 2.वेक्टर के समानांतर अक्ष पर वेक्टर के प्रक्षेपण का संख्यात्मक मान ज्ञात करें।
समाधान। हम सदिशों के निर्देशांकों के जोड़ीवार गुणनफलों को जोड़कर उनका अदिश गुणनफल ज्ञात करते हैं:
अब हमें परिणामी अदिश उत्पाद को वेक्टर की लंबाई और वेक्टर के समानांतर अक्ष पर वेक्टर के प्रक्षेपण के उत्पाद के बराबर करने की आवश्यकता है (सूत्र के अनुसार)।
इस प्रकार सदिश की लंबाई ज्ञात कीजिए वर्गमूलइसके निर्देशांकों के वर्गों के योग से:
.
हम एक समीकरण बनाते हैं और उसे हल करते हैं:
उत्तर। आवश्यक संख्यात्मक मान शून्य से 8 है।
अंतरिक्ष में
यदि दो वैक्टर और अंतरिक्ष में उनके तीन कार्टेशियन आयताकार निर्देशांक द्वारा परिभाषित किया गया है
,
तब इन सदिशों का अदिश गुणनफल भी उनके संगत निर्देशांकों के जोड़ीवार गुणनफलों के योग के बराबर होता है, केवल तीन निर्देशांक पहले से मौजूद हैं:
.
विचारित विधि का उपयोग करके अदिश उत्पाद को खोजने का कार्य अदिश उत्पाद के गुणों का विश्लेषण करने के बाद होता है। क्योंकि समस्या में आपको यह निर्धारित करने की आवश्यकता होगी कि गुणा किए गए वैक्टर किस कोण का निर्माण करते हैं।
सदिशों के अदिश गुणनफल के गुण
बीजगणितीय गुण
1. (क्रमचयी गुणधर्म: गुणित सदिशों के स्थानों को उलटने से उनके अदिश गुणनफल का मान नहीं बदलता)।
2. 
(एक संख्यात्मक कारक के संबंध में साहचर्य संपत्ति: एक सदिश का अदिश गुणनफल किसी कारक और किसी अन्य सदिश से गुणा करने पर उसी गुणनखंड से गुणा किए गए इन सदिशों के अदिश गुणनफल के बराबर होता है)।
3. 
(सदिशों के योग के सापेक्ष वितरणात्मक गुण: तीसरे वेक्टर द्वारा दो वैक्टरों के योग का अदिश उत्पाद, तीसरे वेक्टर द्वारा पहले वेक्टर और तीसरे वेक्टर द्वारा दूसरे वेक्टर के अदिश उत्पादों के योग के बराबर है)।
4. (वेक्टर का अदिश वर्ग शून्य से बड़ा), यदि एक अशून्य सदिश है, और , यदि एक शून्य सदिश है।
ज्यामितीय गुण
अध्ययन के तहत ऑपरेशन की परिभाषाओं में, हम पहले ही दो वैक्टरों के बीच के कोण की अवधारणा को छू चुके हैं। इस अवधारणा को स्पष्ट करने का समय आ गया है।
ऊपर दिए गए चित्र में आप दो वेक्टर देख सकते हैं, जो कि कम हो गए हैं सामान्य शुरुआत. और सबसे पहली बात जिस पर आपको ध्यान देने की जरूरत है वह यह है कि इन वैक्टरों के बीच दो कोण होते हैं - φ 1 और φ 2 . इनमें से कौन सा कोण सदिशों के अदिश गुणनफल की परिभाषाओं और गुणों में दिखाई देता है? विचारित कोणों का योग 2 है π और इसलिए इन कोणों की कोज्याएँ बराबर होती हैं। डॉट उत्पाद की परिभाषा में केवल कोण की कोज्या शामिल होती है, न कि उसकी अभिव्यक्ति का मान। लेकिन गुण केवल एक कोण पर विचार करते हैं। और यह उन दो कोणों में से एक है जो अधिक नहीं है π , यानी 180 डिग्री. चित्र में इस कोण को इस प्रकार दर्शाया गया है φ 1 .
1. दो सदिश कहलाते हैं ओर्थोगोनल और इन सदिशों के बीच का कोण सीधा है (90 डिग्री या π /2 ), यदि इन सदिशों का अदिश गुणनफल शून्य है :
.
वेक्टर बीजगणित में ऑर्थोगोनैलिटी दो वैक्टरों की लंबवतता है।
2. दो गैर-शून्य सदिश बनाते हैं तीव्र कोण (0 से 90 डिग्री तक, या, जो समान है - कम π डॉट उत्पाद सकारात्मक है .
3. दो गैर-शून्य सदिश बनाते हैं अधिक कोण (90 से 180 डिग्री तक, या, जो समान है - अधिक π /2) यदि और केवल यदि वे डॉट उत्पाद नकारात्मक है .
उदाहरण 3.निर्देशांक सदिशों द्वारा दिए गए हैं:
.
दिए गए सदिशों के सभी युग्मों के अदिश गुणनफलों की गणना करें। सदिशों के ये जोड़े किस कोण (तीव्र, समकोण, अधिक) का निर्माण करते हैं?
समाधान। हम संगत निर्देशांकों के उत्पादों को जोड़कर गणना करेंगे।
हमें एक ऋणात्मक संख्या मिली, इसलिए सदिश एक अधिक कोण बनाते हैं।
हमें एक धनात्मक संख्या मिली, इसलिए सदिश एक न्यून कोण बनाते हैं।
हमें शून्य मिला, इसलिए सदिश एक समकोण बनाते हैं।
हमें एक धनात्मक संख्या मिली, इसलिए सदिश एक न्यून कोण बनाते हैं।
.
हमें एक धनात्मक संख्या मिली, इसलिए सदिश एक न्यून कोण बनाते हैं।
स्व-परीक्षण के लिए आप इसका उपयोग कर सकते हैं ऑनलाइन कैलकुलेटर सदिशों का डॉट गुणनफल और उनके बीच के कोण की कोज्या .
उदाहरण 4.दो सदिशों की लंबाई और उनके बीच के कोण को देखते हुए:
.
निर्धारित करें कि संख्या के किस मान पर सदिश और ऑर्थोगोनल (लंबवत) हैं।
समाधान। आइए बहुपदों को गुणा करने के नियम का उपयोग करके सदिशों को गुणा करें:
आइए अब प्रत्येक पद की गणना करें:
.
आइए एक समीकरण बनाएं (उत्पादन शून्य के बराबर है), समान पद जोड़ें और समीकरण को हल करें:
उत्तर: हमें मूल्य मिल गया λ = 1.8, जिस पर सदिश ऑर्थोगोनल हैं।
उदाहरण 5.सिद्ध कीजिए कि सदिश 
वेक्टर के लिए ऑर्थोगोनल (लंबवत)।
समाधान। रूढ़िवादिता की जांच करने के लिए, हम सदिशों और बहुपदों को गुणा करते हैं, इसके स्थान पर समस्या कथन में दी गई अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करते हैं:
.
ऐसा करने के लिए, आपको पहले बहुपद के प्रत्येक सदस्य (पद) को दूसरे बहुपद के प्रत्येक सदस्य से गुणा करना होगा और परिणामी उत्पादों को जोड़ना होगा:
.
परिणामी परिणाम में, अंश कम हो जाता है। निम्नलिखित परिणाम प्राप्त होता है:
निष्कर्ष: गुणन के परिणामस्वरूप हमें शून्य प्राप्त हुआ, इसलिए, सदिशों की लम्बवतता (लंबवतता) सिद्ध होती है।
समस्या को स्वयं सुलझाएं और फिर समाधान देखें
उदाहरण 6.सदिशों की लंबाई दी गई है, और इन सदिशों के बीच का कोण है π /4. किस मूल्य पर निर्धारित करें μ सदिश और परस्पर लंबवत हैं।
स्व-परीक्षण के लिए आप इसका उपयोग कर सकते हैं ऑनलाइन कैलकुलेटर सदिशों का डॉट गुणनफल और उनके बीच के कोण की कोज्या .
वैक्टर के डॉट उत्पाद और एन-आयामी वैक्टर के उत्पाद का मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व
कभी-कभी दो गुणित सदिशों को आव्यूहों के रूप में प्रस्तुत करना स्पष्टता के लिए लाभप्रद होता है। फिर पहला वेक्टर एक पंक्ति मैट्रिक्स के रूप में दर्शाया जाता है, और दूसरा - एक कॉलम मैट्रिक्स के रूप में:
तब सदिशों का अदिश गुणनफल होगा इन मैट्रिक्स का उत्पाद :
परिणाम वही है जो उस विधि से प्राप्त होता है जिस पर हम पहले ही विचार कर चुके हैं। हमें एक एकल संख्या मिली, और एक पंक्ति मैट्रिक्स का एक स्तंभ मैट्रिक्स द्वारा गुणनफल भी एक एकल संख्या है।
अमूर्त एन-आयामी वैक्टर के उत्पाद को मैट्रिक्स रूप में प्रस्तुत करना सुविधाजनक है। इस प्रकार, दो चार-आयामी वैक्टर का उत्पाद चार तत्वों के साथ एक पंक्ति मैट्रिक्स का उत्पाद होगा, एक कॉलम मैट्रिक्स द्वारा भी चार तत्वों के साथ, दो पांच-आयामी वैक्टर का उत्पाद पांच तत्वों के साथ एक पंक्ति मैट्रिक्स का उत्पाद होगा एक स्तंभ मैट्रिक्स भी पाँच तत्वों के साथ, इत्यादि।
उदाहरण 7.सदिशों के युग्मों के अदिश गुणनफल ज्ञात कीजिए
,
मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व का उपयोग करना।
समाधान। सदिशों की पहली जोड़ी. हम पहले वेक्टर को पंक्ति मैट्रिक्स के रूप में और दूसरे को कॉलम मैट्रिक्स के रूप में दर्शाते हैं। हम इन वैक्टरों के अदिश उत्पाद को एक पंक्ति मैट्रिक्स और एक स्तंभ मैट्रिक्स के उत्पाद के रूप में पाते हैं:
हम इसी तरह दूसरी जोड़ी का प्रतिनिधित्व करते हैं और पाते हैं:
जैसा कि आप देख सकते हैं, परिणाम उदाहरण 2 के समान जोड़ियों के समान ही थे।
दो सदिशों के बीच का कोण
दो सदिशों के बीच के कोण की कोज्या के सूत्र की व्युत्पत्ति बहुत सुंदर और संक्षिप्त है।
वैक्टर के डॉट उत्पाद को व्यक्त करने के लिए
(1)
निर्देशांक रूप में, हम सबसे पहले इकाई सदिशों का अदिश गुणनफल ज्ञात करते हैं। परिभाषा के अनुसार किसी सदिश का अदिश गुणनफल:
उपरोक्त सूत्र में जो लिखा है उसका अर्थ है: किसी सदिश का अदिश गुणनफल उसकी लंबाई के वर्ग के बराबर होता है. शून्य की कोज्या एक के बराबर, इसलिए प्रत्येक इकाई का वर्ग एक के बराबर होगा:
वैक्टर के बाद से
जोड़ीवार लंबवत हैं, तो इकाई वैक्टर के जोड़ीवार उत्पाद शून्य के बराबर होंगे:
आइए अब सदिश बहुपदों का गुणन करें:
में स्थानापन्न दाहिनी ओरयूनिट वैक्टर के संबंधित अदिश उत्पादों के मूल्यों की समानता:
हमें दो सदिशों के बीच के कोण की कोज्या का सूत्र प्राप्त होता है:
उदाहरण 8.तीन अंक दिए गए हैं ए(1;1;1), बी(2;2;1), सी(2;1;2).
कोण ज्ञात कीजिये.
समाधान। सदिशों के निर्देशांक ज्ञात करना:
,
.
कोज्या कोण सूत्र का उपयोग करने पर हमें प्राप्त होता है:
इस तरह, ।
स्व-परीक्षण के लिए आप इसका उपयोग कर सकते हैं ऑनलाइन कैलकुलेटर सदिशों का डॉट गुणनफल और उनके बीच के कोण की कोज्या .
उदाहरण 9.दो वेक्टर दिए गए हैं
उनके बीच का योग, अंतर, लंबाई, बिंदु गुणनफल और कोण ज्ञात करें।
2.अंतर
क्रॉस उत्पाद और डॉट उत्पाद वैक्टर के बीच के कोण की गणना करना आसान बनाते हैं। मान लीजिए कि दो वैक्टर $\overline(a)$ और $\overline(b)$ दिए गए हैं, उनके बीच का उन्मुख कोण $\varphi$ के बराबर है। आइए मानों की गणना करें $x = (\overline(a),\overline(b))$ और $y = [\overline(a),\overline(b)]$. फिर $x=r\cos\varphi$, $y=r\sin\varphi$, जहां $r=|\overline(a)|\cdot|\overline(b)|$, और $\varphi$ है वांछित कोण, अर्थात, बिंदु $(x, y)$ का ध्रुवीय कोण $\varphi$ के बराबर है, और इसलिए $\varphi$ को atan2(y, x) के रूप में पाया जा सकता है।
एक त्रिभुज का क्षेत्रफल
चूंकि क्रॉस उत्पाद में दो वेक्टर लंबाई और उनके बीच के कोण के कोसाइन का उत्पाद होता है, इसलिए क्रॉस उत्पाद का उपयोग त्रिभुज एबीसी के क्षेत्र की गणना करने के लिए किया जा सकता है:
$ S_(ABC) = \frac(1)(2)|[\overline(AB),\overline(AC)]| $.
एक बिंदु का एक रेखा से संबंध
मान लीजिए कि एक बिंदु $P$ और एक पंक्ति $AB$ (दो बिंदुओं $A$ और $B$ द्वारा दिया गया है) दिया गया है। यह जांचना आवश्यक है कि कोई बिंदु रेखा $AB$ से संबंधित है या नहीं।
एक बिंदु रेखा $AB$ से संबंधित है यदि और केवल यदि सदिश $AP$ और $AB$ संरेख हैं, अर्थात, यदि $ [ \overline(AP), \overline(AB)]=0 $।
एक बिंदु का एक किरण से संबंध
मान लीजिए कि एक बिंदु $P$ और एक किरण $AB$ दिया गया है (दो बिंदुओं द्वारा परिभाषित - किरण $A$ की शुरुआत और किरण $B$ पर एक बिंदु)। यह जांचना आवश्यक है कि कोई बिंदु किरण $AB$ से संबंधित है या नहीं।
इस शर्त के लिए कि बिंदु $P$ सीधी रेखा $AB$ से संबंधित है, एक अतिरिक्त शर्त जोड़ना आवश्यक है - वेक्टर $AP$ और $AB$ सह-दिशाबद्ध हैं, अर्थात, वे संरेख हैं और उनका अदिश उत्पाद है गैर-नकारात्मक, अर्थात्, $(\overline(AB), \overline(AP ))\ge 0$।
एक बिंदु का एक खंड से संबंध
मान लीजिए कि एक बिंदु $P$ और एक खंड $AB$ दिया गया है। यह जांचना आवश्यक है कि कोई बिंदु खंड $AB$ से संबंधित है या नहीं।
इस मामले में, बिंदु किरण $AB$ और किरण $BA$ दोनों से संबंधित होना चाहिए, इसलिए निम्नलिखित शर्तों की जाँच की जानी चाहिए:
$[\overline(AP), \overline(AB)]=0$,
$(\overline(AB), \overline(AP))\ge 0$,
$(\overline(BA), \overline(BP))\ge 0$.
बिंदु से रेखा की दूरी
मान लीजिए कि एक बिंदु $P$ और एक पंक्ति $AB$ (दो बिंदुओं $A$ और $B$ द्वारा दिया गया है) दिया गया है। रेखा $AB$ के बिंदु से दूरी ज्ञात करना आवश्यक है।
त्रिभुज ABP पर विचार करें। एक ओर, इसका क्षेत्रफल $S_(ABP)=\frac(1)(2)|[\overline(AB),\overline(AP) ]|$ के बराबर है।
दूसरी ओर, इसका क्षेत्रफल $S_(ABP)= \frac(1)(2)h |AB|$ के बराबर है, जहां $h$ बिंदु $P$ से गिराई गई ऊंचाई है, यानी दूरी $P$ से $ AB$ तक. जहां $h=|[\overline(AB),\overline(AP)]|/|AB|$.
बिंदु से बीम तक की दूरी
मान लीजिए कि एक बिंदु $P$ और एक किरण $AB$ दिया गया है (दो बिंदुओं द्वारा परिभाषित - किरण $A$ की शुरुआत और किरण $B$ पर एक बिंदु)। एक बिंदु से किरण तक की दूरी ज्ञात करना आवश्यक है, अर्थात, बिंदु $P$ से किरण पर किसी भी बिंदु तक सबसे छोटे खंड की लंबाई।
यह दूरी या तो लंबाई $AP$ या बिंदु $P$ से रेखा $AB$ तक की दूरी के बराबर है। इनमें से कौन सा मामला घटित होता है यह किरण और बिंदु की सापेक्ष स्थिति से आसानी से निर्धारित किया जा सकता है। यदि कोण PAB न्यून कोण है, अर्थात $(\overline(AB),\overline(AP)) > 0$, तो उत्तर बिंदु $P$ से सीधी रेखा $AB$ की दूरी होगी, अन्यथा उत्तर खंड $AB$ की लंबाई होगी।
बिंदु से खंड तक की दूरी
मान लीजिए कि एक बिंदु $P$ और एक खंड $AB$ दिया गया है। $P$ से खंड $AB$ तक की दूरी ज्ञात करना आवश्यक है।
यदि $P$ से रेखा $AB$ पर गिराए गए लंब का आधार खंड $AB$ पर पड़ता है, जिसे शर्तों द्वारा सत्यापित किया जा सकता है
$(\overline(AP), \overline(AB))\ge 0$,
$(\overline(BP), \overline(BA))\ge 0$,
तो उत्तर बिंदु $P$ से रेखा $AB$ तक की दूरी होगी। अन्यथा दूरी $\min(AP, BP)$ के बराबर होगी।
परिभाषा 1
सदिशों का अदिश गुणनफल इन सदिशों के आयामों और उनके बीच के कोण की कोज्या के गुणनफल के बराबर एक संख्या है।
सदिश a → और b → के गुणनफल के लिए अंकन का रूप a → , b → है। आइए इसे सूत्र में बदलें:
a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ . a → और b → सदिशों की लंबाई दर्शाते हैं, a → , b → ^ - दिए गए सदिशों के बीच के कोण का पदनाम। यदि कम से कम एक वेक्टर शून्य है, अर्थात उसका मान 0 है, तो परिणाम शून्य के बराबर होगा, a → , b → = 0
किसी सदिश को उसी से गुणा करने पर हमें उसकी लंबाई का वर्ग प्राप्त होता है:
ए → , बी → = ए → बी → कॉस ए → , ए → ^ = ए → 2 कॉस 0 = ए → 2
परिभाषा 2
किसी सदिश का अदिश गुणन ही अदिश वर्ग कहलाता है।
सूत्र द्वारा परिकलित:
a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ .
अंकन a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ = a → · n p a → b → = b → · n p b → a → दर्शाता है कि n p b → a → a → का संख्यात्मक प्रक्षेपण है क्रमशः b → , n p a → a → पर - b → का a → पर प्रक्षेपण।
आइए हम दो वैक्टरों के लिए उत्पाद की परिभाषा तैयार करें:
दो सदिशों a → by b → के अदिश गुणनफल को क्रमशः प्रक्षेपण b → द्वारा a → की दिशा द्वारा सदिश a → की लंबाई का गुणनफल या प्रक्षेपण a → द्वारा लंबाई b → का गुणनफल कहा जाता है।
निर्देशांक में डॉट उत्पाद
अदिश उत्पाद की गणना किसी दिए गए विमान या अंतरिक्ष में वैक्टर के निर्देशांक के माध्यम से की जा सकती है।
त्रि-आयामी अंतरिक्ष में, एक समतल पर दो सदिशों का अदिश गुणनफल, दिए गए सदिशों a → और b → के निर्देशांकों का योग कहलाता है।
कार्तीय प्रणाली में समतल पर दिए गए सदिश a → = (a x , a y) , b → = (b x , b y) के अदिश गुणनफल की गणना करते समय, उपयोग करें:
ए → , बी → = ए एक्स बी एक्स + ए वाई बी वाई,
त्रि-आयामी स्थान के लिए निम्नलिखित अभिव्यक्ति लागू होती है:
ए → , बी → = ए एक्स · बी एक्स + ए वाई · बी वाई + ए जेड · बी जेड।
वस्तुतः यह अदिश गुणनफल की तीसरी परिभाषा है।
आइए इसे साबित करें.
प्रमाण 1
इसे सिद्ध करने के लिए, हम सदिश a → = (a x , a y) , b → = (b x) के लिए a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y का प्रयोग करते हैं। b y) कार्टेशियन प्रणाली पर।
वेक्टरों को अलग रखा जाना चाहिए
ओ ए → = ए → = ए एक्स, ए वाई और ओ बी → = बी → = बी एक्स, बी वाई।
तब सदिश A B → की लंबाई A B → = O B → - O A → = b → - a → = (b x - a x , b y - a y) के बराबर होगी।
त्रिभुज O A B पर विचार करें।
ए बी 2 = ओ ए 2 + ओ बी 2 - 2 · ओ ए · ओ बी · कॉस (∠ ए ओ बी) कोसाइन प्रमेय के आधार पर सही है।
शर्त के अनुसार, यह स्पष्ट है कि O A = a → , O B = b → , A B = b → - a → , ∠ A O B = a → , b → ^ , जिसका अर्थ है कि हम सदिशों के बीच का कोण ज्ञात करने का सूत्र अलग-अलग तरीके से लिखते हैं
बी → - ए → 2 = ए → 2 + बी → 2 - 2 · ए → · बी → · कॉस (ए → , बी → ^) .
फिर पहली परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है कि b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 · (a → , b →) , जिसका अर्थ है (a → , b →) = 1 2 · (a → 2 + बी → 2 - बी → - ए → 2) .
सदिशों की लंबाई की गणना के लिए सूत्र को लागू करने पर, हम पाते हैं:
ए → , बी → = 1 2 · ((ए 2 एक्स + ए वाई 2) 2 + (बी 2 एक्स + बी वाई 2) 2 - ((बी एक्स - ए एक्स) 2 + (बी वाई - ए वाई) 2) 2) = = 1 2 (ए 2 एक्स + ए 2 वाई + बी 2 एक्स + बी 2 वाई - (बी एक्स - ए एक्स) 2 - (बी वाई - ए वाई) 2) = = ए एक्स बी एक्स + ए वाई बी वाई
आइए हम समानताएँ सिद्ध करें:
(a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) = = a x b x + a y b y + a z b z
- क्रमशः त्रि-आयामी अंतरिक्ष के वैक्टर के लिए।
निर्देशांक वाले सदिशों का अदिश गुणनफल कहता है कि एक सदिश का अदिश वर्ग क्रमशः अंतरिक्ष और समतल पर उसके निर्देशांकों के वर्गों के योग के बराबर होता है। a → = (a x , a y , a z) , b → = (b x , b y , b z) और (a → , a →) = a x 2 + a y 2।
डॉट उत्पाद और उसके गुण
डॉट उत्पाद के ऐसे गुण हैं जो a →, b →, और c → पर लागू होते हैं:
- क्रमविनिमेयता (ए → , बी →) = (बी → , ए →) ;
- वितरणशीलता (ए → + बी → , सी →) = (ए → , सी →) + (बी → , सी →) , (ए → + बी → , सी →) = (ए → , बी →) + (ए → , सी →) ;
- संयोजन गुण (λ · a → , b →) = λ · (a → , b →), (a → , λ · b →) = λ · (a → , b →), λ - कोई भी संख्या;
- अदिश वर्ग हमेशा शून्य से बड़ा होता है (a → , a →) ≥ 0, जहां (a → , a →) = 0 उस स्थिति में जब a → शून्य हो।
गुणों को समतल पर अदिश उत्पाद की परिभाषा और वास्तविक संख्याओं के जोड़ और गुणन के गुणों के कारण समझाया जा सकता है।
क्रमविनिमेय गुण सिद्ध करें (a → , b →) = (b → , a →) . परिभाषा से हमारे पास यह है कि (a → , b →) = a y · b y + a y · b y और (b → , a →) = b x · a x + b y · a y ।
क्रमविनिमेयता के गुण से, समानताएँ a x · b x = b x · a x और a y · b y = b y · a y सत्य हैं, जिसका अर्थ है a x · b x + a y · b y = b x · a x + b y · a y।
यह इस प्रकार है कि (a → , b →) = (b → , a →) . क्यू.ई.डी.
वितरण किसी भी संख्या के लिए मान्य है:
(ए (1) → + ए (2) → +... + ए (एन) → , बी →) = (ए (1) → , बी →) + (ए (2) → , बी →) + . . . + (ए (एन) → , बी →)
और (ए → , बी (1) → + बी (2) → +... + बी (एन) →) = (ए → , बी (1) →) + (ए → , बी (2) →) + . . . + (ए → , बी → (एन)) ,
इसलिए हमारे पास है
(ए (1) → + ए (2) → +... + ए (एन) → , बी (1) → + बी (2) → +... + बी (एम) →) = = (ए ( 1) → , बी (1) →) + (ए (1) → , बी (2) →) + . . . + (ए (1) → , बी (एम) →) + + (ए (2) → , बी (1) →) + (ए (2) → , बी (2) →) + . . . + (ए (2) → , बी (एम) →) + . . . + + (ए (एन) → , बी (1) →) + (ए (एन) → , बी (2) →) + . . . + (ए (एन) → , बी (एम) →)
उदाहरण और समाधान के साथ डॉट उत्पाद
इस प्रकार की किसी भी समस्या को अदिश उत्पाद से संबंधित गुणों और सूत्रों का उपयोग करके हल किया जाता है:
- (ए → , बी →) = ए → · बी → · कॉस (ए → , बी → ^) ;
- (ए → , बी →) = ए → · एन पी ए → बी → = बी → · एन पी बी → ए → ;
- (a → , b →) = a x · b x + a y · b y या (a → , b →) = a x · b x + a y · b y + a z · b z ;
- (ए → , ए →) = ए → 2 .
आइए कुछ उदाहरण समाधान देखें.
उदाहरण 2
a → की लंबाई 3 है, b → की लंबाई 7 है। यदि कोण का मान 60 डिग्री है तो बिंदु गुणनफल ज्ञात कीजिए।
समाधान
शर्त के अनुसार, हमारे पास सारा डेटा है, इसलिए हम सूत्र का उपयोग करके इसकी गणना करते हैं:
(ए → , बी →) = ए → बी → कॉस (ए → , बी → ^) = 3 7 कॉस 60 ° = 3 7 1 2 = 21 2
उत्तर: (ए → , बी →) = 21 2 .
उदाहरण 3
दिए गए सदिश a → = (1 , - 1 , 2 - 3) , b → = (0 , 2 , 2 + 3) . अदिश गुणनफल क्या है?
समाधान
में इस उदाहरण मेंनिर्देशांक के लिए गणना सूत्र पर विचार किया जाता है, क्योंकि वे समस्या विवरण में निर्दिष्ट हैं:
(ए → , बी →) = ए एक्स · बी एक्स + ए वाई · बी वाई + ए जेड · बी जेड = = 1 · 0 + (- 1) · 2 + (2 + 3) · (2 + 3) = = 0 - 2 + (2 - 9) = - 9
उत्तर: (ए → , बी →) = - 9
उदाहरण 4
A B → और A C → का अदिश गुणनफल ज्ञात कीजिए। निर्देशांक तल पर बिंदु A (1, - 3), B (5, 4), C (1, 1) दिए गए हैं।
समाधान
आरंभ करने के लिए, सदिशों के निर्देशांक की गणना की जाती है, क्योंकि शर्त के अनुसार बिंदुओं के निर्देशांक दिए गए हैं:
ए बी → = (5 - 1, 4 - (- 3)) = (4, 7) ए सी → = (1 - 1, 1 - (- 3)) = (0, 4)
निर्देशांक का उपयोग करके सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें मिलता है:
(ए बी →, ए सी →) = 4 0 + 7 4 = 0 + 28 = 28.
उत्तर: (ए बी → , ए सी →) = 28।
उदाहरण 5
दिए गए सदिश a → = 7 · m → + 3 · n → और b → = 5 · m → + 8 · n →, उनका गुणनफल ज्ञात कीजिए। m → 3 के बराबर है और n → 2 इकाइयों के बराबर है, वे लंबवत हैं।
समाधान
(ए → , बी →) = (7 · एम → + 3 · एन → , 5 · एम → + 8 · एन →) . वितरण गुण को लागू करने पर, हमें प्राप्त होता है:
(7 मीटर → + 3 एन →, 5 मीटर → + 8 एन →) = = (7 मीटर →, 5 मीटर →) + (7 मीटर →, 8 एन →) + (3 एन → , 5 मीटर →) + ( 3 एन → , 8 एन →)
हम उत्पाद के चिह्न से गुणांक निकालते हैं और प्राप्त करते हैं:
(7 मीटर → , 5 मीटर →) + (7 मीटर → , 8 एन →) + (3 एन → , 5 मीटर →) + (3 एन → , 8 एन →) = = 7 · 5 · (एम → , एम →) + 7 · 8 · (एम → , एन →) + 3 · 5 · (एन → , एम →) + 3 · 8 · (एन → , एन →) = = 35 · (एम → , एम →) + 56 · (एम → , एन →) + 15 · (एन → , एम →) + 24 · (एन → , एन →)
क्रमविनिमेयता के गुण से हम रूपांतरित होते हैं:
35 · (एम → , एम →) + 56 · (एम → , एन →) + 15 · (एन → , एम →) + 24 · (एन → , एन →) = = 35 · (एम → , एम →) + 56 · (एम → , एन →) + 15 · (एम → , एन →) + 24 · (एन → , एन →) = = 35 · (एम → , एम →) + 71 · (एम → , एन → ) + 24 · (एन → , एन →)
परिणामस्वरूप हमें मिलता है:
(ए → , बी →) = 35 · (एम → , एम →) + 71 · (एम → , एन →) + 24 · (एन → , एन →).
अब हम शर्त द्वारा निर्दिष्ट कोण के साथ अदिश गुणनफल के लिए सूत्र लागू करते हैं:
(ए → , बी →) = 35 · (एम → , एम →) + 71 · (एम → , एन →) + 24 · (एन → , एन →) = = 35 · एम → 2 + 71 · एम → · n → · cos (m → , n → ^) + 24 · n → 2 = = 35 · 3 2 + 71 · 3 · 2 · cos π 2 + 24 · 2 2 = 411।
उत्तर: (ए → , बी →) = 411
यदि कोई संख्यात्मक प्रक्षेपण है.
उदाहरण 6
a → और b → का अदिश गुणनफल ज्ञात कीजिए। वेक्टर a → के निर्देशांक a → = (9, 3, - 3), प्रक्षेपण b → निर्देशांक (- 3, - 1, 1) के साथ हैं।
समाधान
शर्त के अनुसार, सदिश a → और प्रक्षेपण b → विपरीत दिशा में निर्देशित होते हैं, क्योंकि a → = - 1 3 · n p a → b → → , जिसका अर्थ है कि प्रक्षेपण b → लंबाई n p a → b → → से मेल खाता है, और " -" संकेत:
एन पी ए → बी → → = - एन पी ए → बी → → = - (- 3) 2 + (- 1) 2 + 1 2 = - 11 ,
सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें अभिव्यक्ति मिलती है:
(ए → , बी →) = ए → · एन पी ए → बी → → = 9 2 + 3 2 + (- 3) 2 · (- 11) = - 33।
उत्तर: (ए → , बी →) = - 33 .
किसी ज्ञात अदिश उत्पाद के साथ समस्याएँ, जहाँ किसी सदिश या संख्यात्मक प्रक्षेपण की लंबाई ज्ञात करना आवश्यक है।
उदाहरण 7
किसी दिए गए अदिश गुणनफल के लिए λ को क्या मान लेना चाहिए a → = (1, 0, λ + 1) और b → = (λ, 1, λ) -1 के बराबर होगा।
समाधान
सूत्र से यह स्पष्ट है कि निर्देशांक के उत्पादों का योग ज्ञात करना आवश्यक है:
(ए → , बी →) = 1 λ + 0 1 + (λ + 1) λ = λ 2 + 2 λ।
दिया गया है कि हमारे पास (a → , b →) = - 1 है।
λ ज्ञात करने के लिए, हम समीकरण की गणना करते हैं:
λ 2 + 2 · λ = - 1, इसलिए λ = - 1.
उत्तर: λ = - 1.
अदिश गुणनफल का भौतिक अर्थ
यांत्रिकी डॉट उत्पाद के अनुप्रयोग पर विचार करता है।
जब A एक स्थिर बल F → एक बिंदु M से N तक चलती हुई वस्तु पर कार्य करता है, तो आप उनके बीच के कोण की कोज्या के साथ वैक्टर F → और M N → की लंबाई का गुणनफल पा सकते हैं, जिसका अर्थ है कि कार्य बराबर है बल और विस्थापन वैक्टर के उत्पाद के लिए:
ए = (एफ → , एम एन →) .
उदाहरण 8
5 Nton के बराबर बल के प्रभाव में 3 मीटर तक एक भौतिक बिंदु की गति अक्ष के सापेक्ष 45 डिग्री के कोण पर निर्देशित होती है। लगता है।
समाधान
चूँकि कार्य बल वेक्टर और विस्थापन का उत्पाद है, इसका मतलब है कि स्थिति F → = 5, S → = 3, (F →, S → ^) = 45 ° के आधार पर, हम A = (F →, S) प्राप्त करते हैं →) = F → · S → · cos (F → , S → ^) = 5 · 3 · cos (45°) = 15 2 2 .
उत्तर: ए = 15 2 2 .
उदाहरण 9
एक भौतिक बिंदु, बल F → = (3, 1, 2) के तहत M (2, - 1, - 3) से N (5, 3 λ - 2, 4) की ओर बढ़ते हुए, 13 J के बराबर कार्य करता है। गणना करें आंदोलन की लंबाई.
समाधान
दिए गए वेक्टर निर्देशांक M N → के लिए हमारे पास M N → = (5 - 2, 3 λ - 2 - (- 1) , 4 - (- 3)) = (3, 3 λ - 1, 7) है।
सदिश F → = (3, 1, 2) और M N → = (3, 3 λ - 1, 7) के साथ कार्य खोजने के सूत्र का उपयोग करके हम A = (F ⇒, M N →) = 3 3 + 1 (3) प्राप्त करते हैं λ - 1) + 2 7 = 22 + 3 λ.
शर्त के अनुसार, यह दिया गया है कि A = 13 J, जिसका अर्थ है 22 + 3 λ = 13. इसका तात्पर्य λ = - 3 है, जिसका अर्थ है M N → = (3, 3 λ - 1, 7) = (3, - 10, 7)।
गति की लंबाई M N → ज्ञात करने के लिए, सूत्र लागू करें और मानों को प्रतिस्थापित करें:
एम एन → = 3 2 + (- 10) 2 + 7 2 = 158।
उत्तर: 158.
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व्याख्यान: वेक्टर निर्देशांक; सदिशों का अदिश गुणनफल; सदिशों के बीच का कोण
वेक्टर निर्देशांक
तो, जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, एक वेक्टर एक निर्देशित खंड है जिसकी अपनी शुरुआत और अंत है। यदि शुरुआत और अंत को कुछ बिंदुओं द्वारा दर्शाया जाता है, तो विमान या अंतरिक्ष में उनके अपने निर्देशांक होते हैं।
यदि प्रत्येक बिंदु के अपने स्वयं के निर्देशांक हैं, तो हम संपूर्ण वेक्टर के निर्देशांक प्राप्त कर सकते हैं।
मान लीजिए कि हमारे पास कुछ वेक्टर हैं जिनके वेक्टर की शुरुआत और अंत है निम्नलिखित पदनामऔर निर्देशांक: A(A x ; Ay) और B(B x ; By)
किसी दिए गए वेक्टर के निर्देशांक प्राप्त करने के लिए, वेक्टर के अंत के निर्देशांक से शुरुआत के संबंधित निर्देशांक को घटाना आवश्यक है:
अंतरिक्ष में एक वेक्टर के निर्देशांक निर्धारित करने के लिए, निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करें:
वैक्टर का डॉट उत्पाद
अदिश उत्पाद की अवधारणा को परिभाषित करने के दो तरीके हैं:
- ज्यामितीय विधि. इसके अनुसार, अदिश उत्पाद इन मॉड्यूल के मूल्यों और उनके बीच के कोण के कोसाइन के उत्पाद के बराबर है।
- बीजगणितीय अर्थ. बीजगणित के दृष्टिकोण से, दो सदिशों का अदिश गुणनफल एक निश्चित मात्रा है जो संगत सदिशों के उत्पादों के योग के परिणामस्वरूप प्राप्त होता है।
यदि सदिश अंतरिक्ष में दिए गए हैं, तो आपको एक समान सूत्र का उपयोग करना चाहिए:
गुण:
- यदि आप दो समान सदिशों को अदिश रूप से गुणा करें, तो उनका अदिश गुणनफल ऋणात्मक नहीं होगा:
- यदि दो समान सदिशों का अदिश गुणनफल शून्य के बराबर हो, तो इन सदिशों को शून्य माना जाता है:
- यदि एक निश्चित वेक्टर को स्वयं से गुणा किया जाता है, तो अदिश उत्पाद उसके मापांक के वर्ग के बराबर होगा:
- अदिश गुणनफल में संचारी गुण होता है, अर्थात यदि सदिशों को पुनर्व्यवस्थित किया जाए तो अदिश गुणनफल नहीं बदलेगा:
- गैर-शून्य सदिशों का अदिश गुणनफल केवल शून्य के बराबर हो सकता है यदि सदिश एक दूसरे के लंबवत हों:
- सदिशों के अदिश गुणनफल के लिए, किसी एक सदिश को किसी संख्या से गुणा करने की स्थिति में क्रमविनिमेय नियम मान्य है:
- एक अदिश गुणनफल के साथ, आप गुणन के वितरण गुण का भी उपयोग कर सकते हैं:
सदिशों के बीच का कोण
वैक्टर का डॉट उत्पाद
हम वैक्टर से निपटना जारी रखते हैं। पहले पाठ में डमी के लिए वेक्टरहमने वेक्टर की अवधारणा, वेक्टर के साथ क्रियाएं, वेक्टर निर्देशांक और वेक्टर के साथ सबसे सरल समस्याओं को देखा। यदि आप किसी खोज इंजन से पहली बार इस पृष्ठ पर आए हैं, तो मैं दृढ़ता से उपरोक्त परिचयात्मक लेख को पढ़ने की सलाह देता हूं, क्योंकि सामग्री में महारत हासिल करने के लिए आपको मेरे द्वारा उपयोग किए जाने वाले शब्दों और नोटेशन से परिचित होना होगा, वैक्टर का बुनियादी ज्ञान होना चाहिए और बुनियादी समस्याओं का समाधान कर सकेंगे. यह सबकविषय की एक तार्किक निरंतरता है, और इस पर मैं उन विशिष्ट कार्यों का विस्तार से विश्लेषण करूंगा जो वैक्टर के अदिश उत्पाद का उपयोग करते हैं। यह एक बहुत ही महत्वपूर्ण गतिविधि है.. उदाहरणों को न छोड़ने का प्रयास करें; वे एक उपयोगी बोनस के साथ आते हैं - अभ्यास आपको आपके द्वारा कवर की गई सामग्री को समेकित करने और विश्लेषणात्मक ज्यामिति में सामान्य समस्याओं को हल करने में बेहतर बनाने में मदद करेगा।
सदिशों का योग, किसी सदिश का किसी संख्या से गुणा.... यह सोचना मूर्खतापूर्ण होगा कि गणितज्ञ कुछ और लेकर नहीं आए हैं। पहले से चर्चा की गई कार्रवाइयों के अलावा, वैक्टर के साथ कई अन्य ऑपरेशन भी हैं, अर्थात्: वैक्टर का डॉट उत्पाद, सदिशों का सदिश गुणनफलऔर वैक्टर का मिश्रित उत्पाद. सदिशों का अदिश गुणनफल हमें स्कूल से ही ज्ञात है; अन्य दो गुणनफल परंपरागत रूप से उच्च गणित के पाठ्यक्रम से संबंधित हैं। विषय सरल हैं, कई समस्याओं को हल करने का एल्गोरिदम सीधा और समझने योग्य है। एकमात्र चीज़. इसमें पर्याप्त मात्रा में जानकारी है, इसलिए हर चीज में एक बार में महारत हासिल करने और उसे हल करने का प्रयास करना अवांछनीय है। यह डमी लोगों के लिए विशेष रूप से सच है; मेरा विश्वास करो, लेखक बिल्कुल भी गणित से चिकोटिलो जैसा महसूस नहीं करना चाहता। ठीक है, निश्चित रूप से, गणित से नहीं =) अधिक तैयार छात्र सामग्री का चयनात्मक रूप से उपयोग कर सकते हैं एक निश्चित अर्थ में, लापता ज्ञान "प्राप्त करें", आपके लिए मैं हानिरहित काउंट ड्रैकुला बनूंगा =)
आइए अंततः दरवाज़ा खोलें और उत्साह से देखें कि क्या होता है जब दो वेक्टर एक-दूसरे से मिलते हैं...
सदिशों के अदिश गुणनफल की परिभाषा।
अदिश उत्पाद के गुण. विशिष्ट कार्य
डॉट उत्पाद की अवधारणा
पहले के बारे में सदिशों के बीच का कोण. मुझे लगता है कि हर कोई सहज रूप से समझता है कि वैक्टर के बीच का कोण क्या है, लेकिन बस मामले में, थोड़ा और विवरण। आइए मुक्त अशून्य सदिशों पर विचार करें और। यदि आप इन वैक्टरों को एक मनमाने बिंदु से प्लॉट करते हैं, तो आपको एक तस्वीर मिलेगी जिसकी कल्पना कई लोग पहले ही मानसिक रूप से कर चुके हैं: 
मैं मानता हूं, यहां मैंने स्थिति का वर्णन केवल समझ के स्तर पर किया है। यदि आपको सदिशों के बीच के कोण की सख्त परिभाषा की आवश्यकता है, तो कृपया व्यावहारिक समस्याओं के लिए पाठ्यपुस्तक देखें, सिद्धांत रूप में, हमें इसकी आवश्यकता नहीं है। इसके अलावा यहां और यहां मैं स्थानों में शून्य वैक्टरों को उनके कम व्यावहारिक महत्व के कारण नजरअंदाज कर दूंगा। मैंने विशेष रूप से उन्नत साइट आगंतुकों के लिए आरक्षण किया है जो बाद के कुछ बयानों की सैद्धांतिक अपूर्णता के लिए मुझे फटकार लगा सकते हैं।
0 से 180 डिग्री (0 से रेडियन) तक मान ले सकते हैं। विश्लेषणात्मक इस तथ्यदोहरी असमानता के रूप में लिखा गया:
या 
(रेडियन में). साहित्य में, कोण चिह्न को अक्सर छोड़ दिया जाता है और बस लिख दिया जाता है।
परिभाषा:दो सदिशों का अदिश गुणनफल इन सदिशों की लंबाई और उनके बीच के कोण की कोज्या के गुणनफल के बराबर एक संख्या है: 
अब यह काफी सख्त परिभाषा है.
हम आवश्यक जानकारी पर ध्यान केंद्रित करते हैं:
पद का नाम:अदिश गुणनफल को केवल या द्वारा निरूपित किया जाता है।
ऑपरेशन का परिणाम एक संख्या है: वेक्टर को वेक्टर से गुणा किया जाता है, और परिणाम एक संख्या होती है। वास्तव में, यदि सदिशों की लंबाई संख्याएँ हैं, किसी कोण की कोज्या एक संख्या है, तो उनका गुणनफल 
एक संख्या भी होगी.
बस कुछ वार्म-अप उदाहरण:
उदाहरण 1
समाधान:हम सूत्र का उपयोग करते हैं 
. में इस मामले में:
उत्तर:
कोसाइन मान पाए जा सकते हैं त्रिकोणमितीय तालिका. मैं इसे प्रिंट करने की अनुशंसा करता हूं - टावर के लगभग सभी अनुभागों में इसकी आवश्यकता होगी और कई बार इसकी आवश्यकता होगी।
विशुद्ध रूप से गणितीय दृष्टिकोण से, अदिश उत्पाद आयामहीन है, अर्थात, इस मामले में परिणाम, केवल एक संख्या है और बस इतना ही। भौतिकी समस्याओं के दृष्टिकोण से, एक अदिश उत्पाद का हमेशा एक निश्चित भौतिक अर्थ होता है, अर्थात परिणाम के बाद एक या किसी अन्य भौतिक इकाई को इंगित किया जाना चाहिए। किसी बल के कार्य की गणना का एक विहित उदाहरण किसी भी पाठ्यपुस्तक में पाया जा सकता है (सूत्र बिल्कुल एक अदिश गुणनफल है)। किसी बल का कार्य जूल में मापा जाता है, इसलिए, उत्तर काफी विशिष्ट रूप से लिखा जाएगा, उदाहरण के लिए,।
उदाहरण 2
यदि खोजें 
, और सदिशों के बीच का कोण बराबर है।
यह आपके लिए स्वयं हल करने के लिए एक उदाहरण है, इसका उत्तर पाठ के अंत में है।
वैक्टर और डॉट उत्पाद मान के बीच का कोण
उदाहरण 1 में अदिश गुणनफल सकारात्मक निकला, और उदाहरण 2 में यह नकारात्मक निकला। आइए जानें कि अदिश गुणनफल का चिह्न किस पर निर्भर करता है। आइए हमारे सूत्र पर नजर डालें: 
. गैर-शून्य सदिशों की लंबाई हमेशा धनात्मक होती है:, इसलिए चिह्न केवल कोज्या के मान पर निर्भर हो सकता है।
टिप्पणी: नीचे दी गई जानकारी को बेहतर ढंग से समझने के लिए, मैनुअल में कोसाइन ग्राफ का अध्ययन करना बेहतर है फ़ंक्शन ग्राफ़ और गुण. देखें कि कोसाइन खंड पर कैसे व्यवहार करता है।
जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, सदिशों के बीच का कोण भिन्न-भिन्न हो सकता है 
, और निम्नलिखित मामले संभव हैं:
1) यदि कोनावैक्टर के बीच मसालेदार: 
(0 से 90 डिग्री तक), फिर 
, और डॉट उत्पाद सकारात्मक होगा सह-निर्देशन किया, तो उनके बीच का कोण शून्य माना जाता है, और अदिश गुणनफल भी धनात्मक होगा। चूंकि, सूत्र सरल करता है:।
2) यदि कोनावैक्टर के बीच कुंद: 
(90 से 180 डिग्री तक), फिर 
, और, तदनुसार, डॉट उत्पाद नकारात्मक है: . विशेष मामला: यदि सदिश विपरीत दिशाओं मे, तो उनके बीच का कोण माना जाता है विस्तार: (180 डिग्री). चूँकि अदिश गुणनफल भी ऋणात्मक है
विपरीत कथन भी सत्य हैं:
1) यदि , तो इन सदिशों के बीच का कोण न्यूनकोण है। वैकल्पिक रूप से, सदिश सह-दिशात्मक होते हैं।
2) यदि, तो इन सदिशों के बीच का कोण अधिक कोण है। वैकल्पिक रूप से, वेक्टर विपरीत दिशाओं में हैं।
लेकिन तीसरा मामला विशेष रुचि का है:
3) यदि कोनावैक्टर के बीच प्रत्यक्ष: (90 डिग्री), फिर अदिश गुणनफल शून्य है: . इसका विपरीत भी सत्य है: यदि , तो . कथन को इस प्रकार संक्षिप्त रूप से तैयार किया जा सकता है: दो सदिशों का अदिश गुणनफल शून्य होता है यदि और केवल यदि सदिश लंबकोणीय हों. लघु गणित संकेतन: 
! टिप्पणी
: चलिए दोहराते हैं गणितीय तर्क की मूल बातें: एक दोतरफा तार्किक परिणाम आइकन को आमतौर पर "यदि और केवल यदि", "यदि और केवल यदि" पढ़ा जाता है। जैसा कि आप देख सकते हैं, तीर दोनों दिशाओं में निर्देशित हैं - "इससे यह अनुसरण करता है, और इसके विपरीत - इससे यह अनुसरण करता है।" वैसे, वन-वे फॉलो आइकन से क्या अंतर है? आइकन बताता है उतना ही, कि "इससे इसका अनुसरण होता है", और यह तथ्य नहीं है कि विपरीत सत्य है। उदाहरण के लिए: , लेकिन हर जानवर तेंदुआ नहीं है, इसलिए इस मामले में आप आइकन का उपयोग नहीं कर सकते। उसी समय, आइकन के बजाय कर सकनाएकतरफ़ा आइकन का उपयोग करें. उदाहरण के लिए, समस्या को हल करते समय, हमें पता चला कि हमने निष्कर्ष निकाला है कि वेक्टर ऑर्थोगोनल हैं: 
- ऐसी प्रविष्टि सही होगी, और उससे भी अधिक उपयुक्त होगी 
.
तीसरे मामले का बड़ा व्यावहारिक महत्व है, क्योंकि यह आपको यह जांचने की अनुमति देता है कि वेक्टर ऑर्थोगोनल हैं या नहीं। हम इस समस्या का समाधान पाठ के दूसरे भाग में करेंगे।
डॉट उत्पाद के गुण
आइए उस स्थिति पर लौटते हैं जब दो वैक्टर सह-निर्देशन किया. इस स्थिति में, उनके बीच का कोण शून्य है, और अदिश उत्पाद सूत्र रूप लेता है:।
यदि किसी सदिश को स्वयं से गुणा किया जाए तो क्या होगा? यह स्पष्ट है कि वेक्टर स्वयं के साथ संरेखित है, इसलिए हम उपरोक्त सरलीकृत सूत्र का उपयोग करते हैं:
नंबर पर कॉल किया जाता है अदिश वर्गवेक्टर, और के रूप में दर्शाया गया है।
इस प्रकार, एक वेक्टर का अदिश वर्ग दिए गए वेक्टर की लंबाई के वर्ग के बराबर होता है:
इस समानता से हम वेक्टर की लंबाई की गणना के लिए एक सूत्र प्राप्त कर सकते हैं:
अभी तक यह अस्पष्ट लगता है, लेकिन पाठ के उद्देश्य सब कुछ अपनी जगह पर रख देंगे। समस्याओं का समाधान भी हमें चाहिए डॉट उत्पाद के गुण.
मनमाना वैक्टर और किसी भी संख्या के लिए, निम्नलिखित गुण सत्य हैं:
1)- क्रमविनिमेय या विनिमेयअदिश उत्पाद कानून.
2) 
– वितरण या विभाजित करनेवालाअदिश उत्पाद कानून. बस, आप कोष्ठक खोल सकते हैं.
3) 
– साहचर्य या जोड़नेवालाअदिश उत्पाद कानून. स्थिरांक को अदिश गुणनफल से प्राप्त किया जा सकता है।
अक्सर, छात्रों द्वारा सभी प्रकार के गुणों (जिन्हें सिद्ध करने की भी आवश्यकता होती है!) को माना जाता है अनावश्यक कचरा, जिसे आपको बस याद रखना होगा और परीक्षा के तुरंत बाद सुरक्षित रूप से भूल जाना होगा। ऐसा लगता है कि यहां जो महत्वपूर्ण है, हर कोई पहली कक्षा से पहले से ही जानता है कि कारकों को पुनर्व्यवस्थित करने से उत्पाद नहीं बदलता है:। मुझे आपको चेतावनी देनी चाहिए कि उच्च गणित में इस तरह के दृष्टिकोण से चीजों को गड़बड़ाना आसान है। इसलिए, उदाहरण के लिए, क्रमविनिमेय गुण सत्य नहीं है बीजगणितीय आव्यूह. यह भी सच नहीं है सदिशों का सदिश गुणनफल. इसलिए, कम से कम, उच्च गणित पाठ्यक्रम में आपके सामने आने वाले किसी भी गुण में गहराई से जाना बेहतर है ताकि यह समझ सकें कि क्या किया जा सकता है और क्या नहीं किया जा सकता है।
उदाहरण 3
.
समाधान:सबसे पहले, आइए वेक्टर के साथ स्थिति स्पष्ट करें। आख़िर ये क्या है? सदिशों का योग एक सुपरिभाषित सदिश है, जिसे द्वारा दर्शाया जाता है। वैक्टर के साथ क्रियाओं की ज्यामितीय व्याख्या लेख में पाई जा सकती है डमी के लिए वेक्टर. सदिश के साथ वही अजमोद सदिशों और का योग है।
अतः शर्त के अनुसार अदिश गुणनफल ज्ञात करना आवश्यक है। सिद्धांत रूप में, आपको कार्य सूत्र लागू करने की आवश्यकता है 
, लेकिन परेशानी यह है कि हम सदिशों की लंबाई और उनके बीच के कोण को नहीं जानते हैं। लेकिन शर्त वैक्टर के लिए समान पैरामीटर देती है, इसलिए हम एक अलग रास्ता अपनाएंगे:
(1) सदिशों के भावों को प्रतिस्थापित करें।
(2) हम बहुपदों को गुणा करने के नियम के अनुसार कोष्ठक खोलते हैं, एक अश्लील जीभ ट्विस्टर लेख में पाया जा सकता है जटिल संख्याएँया भिन्नात्मक-तर्कसंगत फ़ंक्शन को एकीकृत करना. मैं खुद को नहीं दोहराऊंगा =) वैसे, अदिश उत्पाद की वितरणात्मक संपत्ति हमें कोष्ठक खोलने की अनुमति देती है। हमारा अधिकार है.
(3) पहले और अंतिम पदों में हम सदिशों के अदिश वर्गों को संक्षिप्त रूप से लिखते हैं: 
. दूसरे पद में हम अदिश उत्पाद की क्रमपरिवर्तनशीलता का उपयोग करते हैं:।
(4) हम समान शब्द प्रस्तुत करते हैं:।
(5) पहले पद में हम अदिश वर्ग सूत्र का उपयोग करते हैं, जिसका उल्लेख बहुत पहले नहीं किया गया था। अंतिम कार्यकाल में, तदनुसार, वही काम करता है:। हम मानक सूत्र के अनुसार दूसरे पद का विस्तार करते हैं 
.
(6) इन शर्तों को प्रतिस्थापित करें 
, और सावधानीपूर्वक अंतिम गणना करें।
उत्तर:
अदिश गुणनफल का ऋणात्मक मान इस तथ्य को बताता है कि सदिशों के बीच का कोण अधिक है।
समस्या विशिष्ट है, इसे स्वयं हल करने के लिए यहां एक उदाहरण दिया गया है:
उदाहरण 4
सदिशों का अदिश गुणनफल ज्ञात कीजिए और यदि यह ज्ञात हो 
.
अब एक और सामान्य कार्य, वेक्टर की लंबाई के लिए नए सूत्र के लिए। यहां नोटेशन थोड़ा ओवरलैपिंग होगा, इसलिए स्पष्टता के लिए मैं इसे एक अलग अक्षर के साथ फिर से लिखूंगा:
उदाहरण 5
यदि वेक्टर की लंबाई ज्ञात करें 
.
समाधानइस प्रकार होगा:
(1) हम वेक्टर के लिए अभिव्यक्ति प्रदान करते हैं।
(2) हम लंबाई सूत्र का उपयोग करते हैं:, और संपूर्ण अभिव्यक्ति ve वेक्टर "ve" के रूप में कार्य करती है।
(3) हम योग के वर्ग के लिए स्कूल सूत्र का उपयोग करते हैं। ध्यान दें कि यह यहां विचित्र तरीके से कैसे काम करता है: - वास्तव में, यह अंतर का वर्ग है, और, वास्तव में, यह इसी तरह है। जो लोग चाहते हैं वे सदिशों को पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं: - यही बात तब होती है, जब तक कि पदों को पुनर्व्यवस्थित नहीं किया जाता।
(4) निम्नलिखित दो पिछली समस्याओं से पहले से ही परिचित है।
उत्तर: 
चूँकि हम लंबाई के बारे में बात कर रहे हैं, आयाम - "इकाइयों" को इंगित करना न भूलें।
उदाहरण 6
यदि वेक्टर की लंबाई ज्ञात करें 
.
यह आपके लिए स्वयं हल करने का एक उदाहरण है। पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर।
हम डॉट उत्पाद से उपयोगी चीजें निकालना जारी रखते हैं। आइए अपने सूत्र पर फिर से नजर डालें 
. अनुपात के नियम का उपयोग करते हुए, हम सदिशों की लंबाई को बाईं ओर के हर पर रीसेट करते हैं: 
आइए भागों की अदला-बदली करें: 
इस सूत्र का अर्थ क्या है? यदि दो सदिशों की लंबाई और उनका अदिश गुणनफल ज्ञात हो, तो इन सदिशों के बीच के कोण की कोज्या और, परिणामस्वरूप, कोण की गणना की जा सकती है।
क्या डॉट उत्पाद एक संख्या है? संख्या। क्या सदिश लंबाई संख्याएँ हैं? संख्याएँ। इसका मतलब यह है कि भिन्न भी एक संख्या है. और यदि कोण की कोज्या ज्ञात हो: 
, फिर उपयोग करना उलटा कार्यस्वयं कोण ज्ञात करना आसान है: 
.
उदाहरण 7
सदिशों के बीच का कोण ज्ञात कीजिए और यदि यह ज्ञात हो।
समाधान:हम सूत्र का उपयोग करते हैं:
पर अंतिम चरणगणना में, एक तकनीकी तकनीक का उपयोग किया गया - हर में अतार्किकता को समाप्त करना। अतार्किकता को खत्म करने के लिए, मैंने अंश और हर को से गुणा किया।
तो यदि 
, वह: 
व्युत्क्रम मान त्रिकोणमितीय कार्यद्वारा पाया जा सकता है त्रिकोणमितीय तालिका. हालाँकि ऐसा कम ही होता है. विश्लेषणात्मक ज्यामिति की समस्याओं में, अक्सर कुछ अनाड़ी भालू जैसे होते हैं, और कोण का मान लगभग कैलकुलेटर का उपयोग करके ज्ञात करना पड़ता है। दरअसल, ऐसी तस्वीर हम एक से ज्यादा बार देखेंगे।
उत्तर:
फिर, आयाम - रेडियन और डिग्री इंगित करना न भूलें। व्यक्तिगत रूप से, स्पष्ट रूप से "सभी प्रश्नों को हल करने" के लिए, मैं दोनों को इंगित करना पसंद करता हूं (जब तक कि शर्त के लिए, निश्चित रूप से, उत्तर को केवल रेडियंस में या केवल डिग्री में प्रस्तुत करने की आवश्यकता न हो)।
अब आप स्वतंत्र रूप से और अधिक का सामना कर सकते हैं कठिन कार्य:
उदाहरण 7*
सदिशों की लंबाई और उनके बीच का कोण दिया गया है। सदिशों के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
यह कार्य इतना कठिन नहीं है क्योंकि यह बहु-चरणीय है।
आइए समाधान एल्गोरिदम देखें:
1) शर्त के अनुसार, आपको सदिशों और के बीच का कोण ज्ञात करना होगा, इसलिए आपको सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता है 
.
2) अदिश गुणनफल ज्ञात करें (उदाहरण संख्या 3, 4 देखें)।
3) वेक्टर की लंबाई और वेक्टर की लंबाई ज्ञात करें (उदाहरण संख्या 5, 6 देखें)।
4) समाधान का अंत उदाहरण संख्या 7 से मेल खाता है - हम संख्या जानते हैं, जिसका अर्थ है कि कोण को स्वयं खोजना आसान है: 
पाठ के अंत में एक संक्षिप्त समाधान और उत्तर।
पाठ का दूसरा भाग उसी अदिश गुणनफल को समर्पित है। निर्देशांक. यह पहले भाग से भी आसान होगा.
वैक्टर का डॉट उत्पाद,
लम्बवत आधार पर निर्देशांक द्वारा दिया गया
उत्तर:
कहने की जरूरत नहीं है, निर्देशांक से निपटना अधिक सुखद है।
उदाहरण 14
सदिशों और यदि का अदिश गुणनफल ज्ञात कीजिए
यह आपके लिए स्वयं हल करने का एक उदाहरण है। यहां आप ऑपरेशन की सहयोगीता का उपयोग कर सकते हैं, यानी, गिनती न करें, लेकिन तुरंत स्केलर उत्पाद के बाहर ट्रिपल लें और इसके द्वारा गुणा करें अखिरी सहारा. समाधान और उत्तर पाठ के अंत में हैं।
पैराग्राफ के अंत में, वेक्टर की लंबाई की गणना पर एक उत्तेजक उदाहरण:
उदाहरण 15
सदिशों की लंबाई ज्ञात कीजिए 
, अगर
समाधान:पिछले अनुभाग की विधि स्वयं को फिर से सुझाती है: लेकिन एक और तरीका है:
आइए वेक्टर खोजें:
और इसकी लंबाई तुच्छ सूत्र के अनुसार 
:
डॉट उत्पाद यहाँ बिल्कुल भी प्रासंगिक नहीं है!
वेक्टर की लंबाई की गणना करते समय यह भी उपयोगी नहीं है:
रुकना। क्या हमें वेक्टर लंबाई की स्पष्ट संपत्ति का लाभ नहीं उठाना चाहिए? आप वेक्टर की लंबाई के बारे में क्या कह सकते हैं? यह वेक्टरवेक्टर से 5 गुना लंबा। दिशा विपरीत है, लेकिन इससे कोई फर्क नहीं पड़ता, क्योंकि हम लंबाई की बात कर रहे हैं। जाहिर है, वेक्टर की लंबाई उत्पाद के बराबर है मॉड्यूलप्रति वेक्टर लंबाई संख्याएँ:
- मापांक चिह्न संख्या के संभावित ऋण को "खाता" है।
इस प्रकार:
उत्तर:
सदिशों के बीच के कोण की कोज्या का सूत्र जो निर्देशांक द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है
अब हमारे पास सदिशों के निर्देशांकों के माध्यम से सदिशों के बीच के कोण की कोज्या के लिए पहले से प्राप्त सूत्र को व्यक्त करने की पूरी जानकारी है:
समतल सदिशों के बीच के कोण की कोज्याऔर, एक असामान्य आधार पर निर्दिष्ट, सूत्र द्वारा व्यक्त किया गया है:
.
अंतरिक्ष सदिशों के बीच के कोण की कोज्या, ऑर्थोनॉर्मल आधार में निर्दिष्ट, सूत्र द्वारा व्यक्त किया गया है: 
उदाहरण 16
एक त्रिभुज के तीन शीर्ष दिए गए हैं। (शीर्ष कोण) खोजें।
समाधान:शर्तों के अनुसार, ड्राइंग की आवश्यकता नहीं है, लेकिन फिर भी: 
आवश्यक कोण को हरे चाप से चिह्नित किया गया है। आइए तुरंत एक कोण के लिए स्कूल के पदनाम को याद करें: - विशेष ध्यानपर औसतपत्र - यह उस कोण का शीर्ष है जिसकी हमें आवश्यकता है। संक्षिप्तता के लिए, आप सरलता से भी लिख सकते हैं।
चित्र से यह बिल्कुल स्पष्ट है कि त्रिभुज का कोण सदिशों के बीच के कोण से मेल खाता है और, दूसरे शब्दों में: 
.
मानसिक रूप से विश्लेषण करना सीखना उचित है।
आइए वेक्टर खोजें: 
आइए अदिश गुणनफल की गणना करें:
और सदिशों की लंबाई: 
कोण की कोज्या:
यह बिल्कुल उस कार्य को पूरा करने का क्रम है जिसे मैं नौसिखियों के लिए सुझाता हूँ। अधिक उन्नत पाठक गणनाएँ "एक पंक्ति में" लिख सकते हैं: 
यहां "खराब" कोसाइन मान का एक उदाहरण दिया गया है। परिणामी मूल्य अंतिम नहीं है, इसलिए हर में अतार्किकता से छुटकारा पाने का कोई मतलब नहीं है।
आइए स्वयं कोण ज्ञात करें:
यदि आप ड्राइंग को देखें, तो परिणाम काफी प्रशंसनीय है। जांचने के लिए कोण को चांदे से भी मापा जा सकता है। मॉनिटर कवर को नुकसान न पहुँचाएँ =)
उत्तर: 
उत्तर में हम यह नहीं भूलते त्रिभुज के कोण के बारे में पूछा(और सदिशों के बीच के कोण के बारे में नहीं), सटीक उत्तर और कोण का अनुमानित मान बताना न भूलें: 
, एक कैलकुलेटर का उपयोग करके पाया गया।
जिन लोगों ने इस प्रक्रिया का आनंद लिया है वे कोणों की गणना कर सकते हैं और विहित समानता की वैधता को सत्यापित कर सकते हैं
उदाहरण 17
अंतरिक्ष में एक त्रिभुज को उसके शीर्षों के निर्देशांक द्वारा परिभाषित किया जाता है। और भुजाओं के बीच का कोण ज्ञात कीजिए
यह आपके लिए स्वयं हल करने का एक उदाहरण है। पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर
एक संक्षिप्त अंतिम खंड अनुमानों के लिए समर्पित होगा, जिसमें एक अदिश उत्पाद भी शामिल है:
एक वेक्टर का एक वेक्टर पर प्रक्षेपण. निर्देशांक अक्षों पर एक वेक्टर का प्रक्षेपण।
एक वेक्टर की दिशा कोसाइन
वैक्टर पर विचार करें और: 
आइए वेक्टर को वेक्टर पर प्रक्षेपित करें, ऐसा करने के लिए, जिस वेक्टर को हम छोड़ते हैं उसके आरंभ और अंत से लंबवतवेक्टर के लिए (हरा बिंदीदार रेखाएँ). कल्पना करें कि प्रकाश की किरणें वेक्टर पर लंबवत पड़ती हैं। तब खंड (लाल रेखा) वेक्टर की "छाया" होगी। इस मामले में, वेक्टर पर वेक्टर का प्रक्षेपण खंड की लंबाई है। अर्थात् प्रक्षेपण एक संख्या है।
इस संख्या को इस प्रकार दर्शाया गया है:, "बड़ा वेक्टर" वेक्टर को दर्शाता है कौनप्रोजेक्ट, "छोटा सबस्क्रिप्ट वेक्टर" वेक्टर को दर्शाता है परजो प्रक्षेपित है.
प्रविष्टि स्वयं इस प्रकार है: "वेक्टर "ए" का वेक्टर "बी" पर प्रक्षेपण।"
यदि वेक्टर "be" "बहुत छोटा" है तो क्या होगा? हम वेक्टर "be" युक्त एक सीधी रेखा खींचते हैं। और वेक्टर "ए" पहले से ही प्रक्षेपित किया जाएगा वेक्टर "be" की दिशा में, बस - वेक्टर "बी" वाली सीधी रेखा तक। यदि वेक्टर "ए" को तीसवें साम्राज्य में स्थगित कर दिया जाए तो भी यही बात होगी - यह अभी भी वेक्टर "बी" वाली सीधी रेखा पर आसानी से प्रक्षेपित किया जाएगा।
यदि कोणवैक्टर के बीच मसालेदार(जैसा कि चित्र में है), फिर
यदि सदिश ओर्थोगोनल, तो (प्रक्षेपण एक बिंदु है जिसका आयाम शून्य माना जाता है)।
यदि कोणवैक्टर के बीच कुंद(आकृति में, मानसिक रूप से वेक्टर तीर को पुनर्व्यवस्थित करें), फिर (समान लंबाई, लेकिन ऋण चिह्न के साथ लिया गया)।
आइए हम इन सदिशों को एक बिंदु से आलेखित करें: 
जाहिर है, जब कोई वेक्टर चलता है, तो उसका प्रक्षेपण नहीं बदलता है