भिन्न को न्यूनतम सामान्य हर में ऑनलाइन कम करना। भिन्न को एक सामान्य हर में कम करना (मोस्केलेंको एम.वी.)

यह लेख बताता है न्यूनतम सामान्य भाजक कैसे ज्ञात करेंऔर भिन्नों को एक सामान्य हर में कैसे कम करें. सबसे पहले, भिन्नों के उभयनिष्ठ हर और लघुत्तम समापवर्तक की परिभाषाएँ दी गई हैं, और यह दिखाया गया है कि भिन्नों का उभयनिष्ठ हर कैसे ज्ञात किया जाए। नीचे भिन्नों को एक सामान्य हर में कम करने का नियम दिया गया है और इस नियम के अनुप्रयोग के उदाहरणों पर विचार किया गया है। निष्कर्ष में, तीन या अधिक भिन्नों को एक सामान्य हर में लाने के उदाहरणों पर चर्चा की गई है।

पेज नेविगेशन.

भिन्नों को एक सामान्य हर में कम करना क्या कहलाता है?

अब हम कह सकते हैं कि भिन्नों को एक सामान्य हर में घटाना क्या होता है। भिन्नों को एक सामान्य हर में कम करना- यह दिए गए भिन्नों के अंशों और हरों को ऐसे अतिरिक्त कारकों से गुणा करना है जिसके परिणामस्वरूप समान हर वाले भिन्न प्राप्त होते हैं।

सामान्य विभाजक, परिभाषा, उदाहरण

अब भिन्नों के उभयनिष्ठ हर को परिभाषित करने का समय आ गया है।

दूसरे शब्दों में, एक निश्चित समुच्चय का सामान्य विभाजक साधारण अंशकोई भी प्राकृतिक संख्या है जो दिए गए भिन्नों के सभी हरों से विभाज्य होती है।

बताई गई परिभाषा से यह पता चलता है कि भिन्नों के एक दिए गए सेट में अनंत रूप से कई सामान्य हर होते हैं, क्योंकि भिन्नों के मूल सेट के सभी हरों के सामान्य गुणकों की एक अनंत संख्या होती है।

भिन्नों के उभयनिष्ठ हर को निर्धारित करने से आप दिए गए भिन्नों के उभयनिष्ठ हर को ढूंढ सकते हैं। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि भिन्न 1/4 और 5/6 दिए गए हैं, तो उनके हर क्रमशः 4 और 6 हैं। संख्या 4 और 6 के धनात्मक उभयनिष्ठ गुणज संख्याएँ 12, 24, 36, 48, हैं... इनमें से कोई भी संख्या भिन्न 1/4 और 5/6 का एक उभयनिष्ठ हर है।

सामग्री को समेकित करने के लिए, निम्नलिखित उदाहरण के समाधान पर विचार करें।

उदाहरण।

क्या भिन्नों 2/3, 23/6 और 7/12 को 150 के सामान्य हर में घटाया जा सकता है?

समाधान।

प्रश्न का उत्तर देने के लिए हमें यह पता लगाना होगा कि क्या संख्या 150 हर 3, 6 और 12 का एक सामान्य गुणज है। ऐसा करने के लिए, आइए देखें कि क्या 150 इनमें से प्रत्येक संख्या से विभाज्य है (यदि आवश्यक हो, तो प्राकृतिक संख्याओं को विभाजित करने के नियम और उदाहरण देखें, साथ ही प्राकृतिक संख्याओं को शेषफल से विभाजित करने के नियम और उदाहरण देखें): 150:3=50 , 150:6=25, 150:12=12 (शेष 6)।

इसलिए, 150, 12 से समान रूप से विभाज्य नहीं है, इसलिए 150, 3, 6 और 12 का सामान्य गुणज नहीं है। इसलिए, संख्या 150 मूल भिन्नों का उभयनिष्ठ हर नहीं हो सकती।

उत्तर:

यह वर्जित है।

न्यूनतम सामान्य भाजक, इसे कैसे खोजें?

संख्याओं के समूह में जो दी गई भिन्नों के उभयनिष्ठ हर होते हैं, एक सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या होती है, जिसे सबसे छोटा सामान्य हर कहा जाता है। आइए हम इन भिन्नों के निम्नतम उभयनिष्ठ हर की परिभाषा तैयार करें।

परिभाषा।

न्यूनतम सामान्य भाजकइन भिन्नों के सभी सामान्य हरों में से सबसे छोटी संख्या है।

यह इस प्रश्न से निपटना बाकी है कि न्यूनतम सामान्य भाजक कैसे ज्ञात किया जाए।

चूँकि किसी दिए गए संख्याओं के समूह का सबसे छोटा सकारात्मक सामान्य विभाजक है, दिए गए भिन्नों के हर का एलसीएम दिए गए भिन्नों के सबसे छोटे सामान्य हर का प्रतिनिधित्व करता है।

इस प्रकार, भिन्नों का न्यूनतम सामान्य हर ज्ञात करने से उन भिन्नों के हर प्राप्त होते हैं। आइए उदाहरण के समाधान पर नजर डालें।

उदाहरण।

भिन्नों 3/10 और 277/28 का न्यूनतम उभयनिष्ठ हर ज्ञात कीजिए।

समाधान।

इन भिन्नों के हर 10 और 28 हैं। वांछित न्यूनतम सामान्य विभाजक संख्या 10 और 28 के एलसीएम के रूप में पाया जाता है। हमारे मामले में यह आसान है: चूंकि 10=2·5, और 28=2·2·7, तो एलसीएम(15, 28)=2·2·5·7=140।

उत्तर:

140 .

भिन्नों को एक सामान्य हर में कैसे कम करें? नियम, उदाहरण, समाधान

सामान्य भिन्नों का परिणाम आमतौर पर सबसे कम सामान्य हर होता है। अब हम एक नियम लिखेंगे जो बताता है कि भिन्नों को उनके न्यूनतम सामान्य हर तक कैसे कम किया जाए।

भिन्नों को न्यूनतम सामान्य हर तक कम करने का नियमइसमें तीन चरण होते हैं:

• सबसे पहले, भिन्नों का सबसे छोटा सामान्य हर ज्ञात करें।
• दूसरा, प्रत्येक अंश के लिए एक अतिरिक्त कारक की गणना प्रत्येक अंश के हर द्वारा सबसे कम सामान्य हर को विभाजित करके की जाती है।
• तीसरा, प्रत्येक भिन्न के अंश और हर को उसके अतिरिक्त गुणनखंड से गुणा किया जाता है।

आइए निम्नलिखित उदाहरण को हल करने के लिए बताए गए नियम को लागू करें।

उदाहरण।

भिन्नों 5/14 और 7/18 को उनके न्यूनतम उभयनिष्ठ हर तक घटाएँ।

समाधान।

आइए भिन्नों को न्यूनतम सामान्य हर तक कम करने के लिए एल्गोरिथम के सभी चरणों का पालन करें।

सबसे पहले हम लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करते हैं, जो संख्या 14 और 18 के लघुत्तम समापवर्तक के बराबर है। चूँकि 14=2·7 और 18=2·3·3, तो एलसीएम(14, 18)=2·3·3·7=126।

अब हम अतिरिक्त गुणनखंडों की गणना करते हैं जिनकी सहायता से भिन्न 5/14 और 7/18 को हर 126 में घटा दिया जाएगा। भिन्न 5/14 के लिए अतिरिक्त गुणनखंड 126:14=9 है, और भिन्न 7/18 के लिए अतिरिक्त गुणनखंड 126:18=7 है।

भिन्न 5/14 और 7/18 के अंश और हर को क्रमशः 9 और 7 के अतिरिक्त गुणनखंडों से गुणा करना बाकी है। हमारे पास है और .

तो, भिन्नों 5/14 और 7/18 को न्यूनतम सामान्य हर तक कम करना पूरा हो गया है। परिणामी भिन्न 45/126 और 49/126 थे।

इस पाठ में हम भिन्नों को एक सामान्य हर में बदलने पर विचार करेंगे और इस विषय पर समस्याओं का समाधान करेंगे। आइए हम एक सामान्य विभाजक और एक अतिरिक्त कारक की अवधारणा को परिभाषित करें, पारस्परिक को याद करें प्रमुख संख्या. आइए न्यूनतम सामान्य विभाजक (एलसीडी) की अवधारणा को परिभाषित करें और इसे खोजने के लिए कई समस्याओं का समाधान करें।

विषय: विभिन्न हर वाली भिन्नों को जोड़ना और घटाना

पाठ: भिन्नों को एक सामान्य हर में कम करना

दोहराव. भिन्न का मुख्य गुण.

यदि किसी भिन्न के अंश और हर को एक ही प्राकृत संख्या से गुणा या विभाजित किया जाए, तो आपको एक समान भिन्न प्राप्त होती है।

उदाहरण के लिए, किसी भिन्न के अंश और हर को 2 से विभाजित किया जा सकता है। हमें भिन्न प्राप्त होती है। इस ऑपरेशन को अंश न्यूनीकरण कहा जाता है। आप भिन्न के अंश और हर को 2 से गुणा करके विपरीत परिवर्तन भी कर सकते हैं। इस मामले में, हम कहते हैं कि हमने भिन्न को एक नए हर में घटा दिया है। संख्या 2 को अतिरिक्त गुणनखंड कहा जाता है।

निष्कर्ष।एक भिन्न को किसी भी हर में घटाया जा सकता है जो दिए गए भिन्न के हर का गुणज हो। किसी भिन्न को नए हर में लाने के लिए उसके अंश और हर को एक अतिरिक्त कारक से गुणा किया जाता है।

1. भिन्न को हर 35 तक घटाएँ।

संख्या 35, 7 का गुणज है, अर्थात 35 बिना किसी शेषफल के 7 से विभाज्य है। इसका मतलब यह है कि यह परिवर्तन संभव है. आइए एक अतिरिक्त कारक खोजें। ऐसा करने के लिए, 35 को 7 से विभाजित करें। हमें 5 मिलता है। मूल भिन्न के अंश और हर को 5 से गुणा करें।

2. भिन्न को हर 18 तक घटाएँ।

आइए एक अतिरिक्त कारक खोजें। ऐसा करने के लिए, नए हर को मूल हर से विभाजित करें। हमें 3 मिलता है। इस भिन्न के अंश और हर को 3 से गुणा करें।

3. भिन्न को हर 60 तक घटाएँ।

60 को 15 से विभाजित करने पर एक अतिरिक्त गुणनखंड प्राप्त होता है। यह 4 के बराबर है। अंश और हर को 4 से गुणा करें।

4. भिन्न को हर 24 तक घटाएँ

साधारण मामलों में, एक नए हर में कमी मानसिक रूप से की जाती है। यह केवल कोष्ठक के पीछे मूल अंश से थोड़ा दाईं ओर और ऊपर अतिरिक्त कारक को इंगित करने के लिए प्रथागत है।

एक भिन्न को 15 के हर में घटाया जा सकता है और एक भिन्न को 15 के हर में घटाया जा सकता है। भिन्नों में भी 15 का एक सामान्य हर होता है।

भिन्नों का उभयनिष्ठ हर उनके हरों का कोई भी उभयनिष्ठ गुणज हो सकता है। सरलता के लिए, भिन्नों को उनके न्यूनतम सामान्य हर तक घटा दिया जाता है। यह दिए गए भिन्नों के हरों के लघुत्तम समापवर्त्य के बराबर है।

उदाहरण। भिन्नों को कम करके न्यूनतम उभयनिष्ठ हर तक लाएँ।

सबसे पहले, आइए इन भिन्नों के हरों का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करें। यह संख्या 12 है। आइए पहले और दूसरे भिन्न के लिए एक अतिरिक्त गुणनखंड खोजें। ऐसा करने के लिए, 12 को 4 और 6 से विभाजित करें। पहले अंश के लिए तीन एक अतिरिक्त कारक है, और दूसरे के लिए दो है। आइये भिन्नों को हर 12 पर लाएँ।

हम भिन्नों को एक उभयनिष्ठ हर में ले आए, अर्थात, हमें समान भिन्नें मिलीं जिनका हर समान था।

नियम।भिन्नों को उनके न्यूनतम सामान्य हर तक कम करने के लिए, आपको यह करना होगा

सबसे पहले, इन भिन्नों के हरों का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए, यह उनका लघुत्तम समापवर्तक होगा;

दूसरे, निम्नतम उभयनिष्ठ हर को इन भिन्नों के हरों से विभाजित करें, अर्थात प्रत्येक भिन्न के लिए एक अतिरिक्त गुणनखंड ज्ञात करें।

तीसरा, प्रत्येक भिन्न के अंश और हर को उसके अतिरिक्त गुणनखंड से गुणा करें।

a) भिन्नों को घटाकर एक सामान्य हर कर दें।

सबसे कम सामान्य हर 12 है। पहले भिन्न के लिए अतिरिक्त गुणनखंड 4 है, दूसरे के लिए - 3। हम भिन्नों को हर 24 तक घटा देते हैं।

बी) भिन्नों को घटाकर एक सामान्य हर कर दें।

सबसे कम सामान्य हर 45 है। 45 को 9 से 15 से विभाजित करने पर क्रमशः 5 और 3 मिलते हैं। हम भिन्नों को हर 45 तक घटा देते हैं।

ग) भिन्नों को घटाकर एक सामान्य हर कर दें।

उभयनिष्ठ हर 24 है। अतिरिक्त गुणनखंड क्रमशः 2 और 3 हैं।

कभी-कभी मौखिक रूप से दी गई भिन्नों के हरों का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करना कठिन हो सकता है। फिर सामान्य विभाजक और अतिरिक्त गुणनखंडों को विघटित करके पाया जाता है प्रमुख कारक.

भिन्नों को घटाकर एक उभयनिष्ठ हर करें।

आइए संख्याओं 60 और 168 को अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंड करें। आइए संख्या 60 का विस्तार लिखें और दूसरे विस्तार से लुप्त गुणनखंड 2 और 7 जोड़ें। आइए 60 को 14 से गुणा करें और 840 का एक उभयनिष्ठ हर प्राप्त करें। पहले भिन्न के लिए अतिरिक्त गुणनखंड 14 है। दूसरे भिन्न के लिए अतिरिक्त गुणनखंड 5 है। आइए भिन्नों को 840 के एक उभयनिष्ठ हर में लाते हैं।

संदर्भ

1. विलेनकिन एन.वाई.ए., झोखोव वी.आई., चेसनोकोव ए.एस. और अन्य। गणित 6. - एम.: मेनेमोसिन, 2012।

2. मर्ज़लियाक ए.जी., पोलोनस्की वी.वी., याकिर एम.एस. गणित छठी कक्षा. - व्यायामशाला, 2006।

3. डेपमैन आई.वाई.ए., विलेनकिन एन.वाई.ए. गणित की पाठ्यपुस्तक के पन्नों के पीछे। - ज्ञानोदय, 1989.

4. रुरुकिन ए.एन., त्चिकोवस्की आई.वी. ग्रेड 5-6 के लिए गणित पाठ्यक्रम के लिए असाइनमेंट। - जेडएसएच एमईपीएचआई, 2011।

5. रुरुकिन ए.एन., सोचिलोव एस.वी., त्चिकोवस्की के.जी. गणित 5-6. एमईपीएचआई पत्राचार विद्यालय में छठी कक्षा के छात्रों के लिए एक मैनुअल। - जेडएसएच एमईपीएचआई, 2011।

6. शेवरिन एल.एन., गेइन ए.जी., कोर्याकोव आई.ओ. आदि। गणित: ग्रेड 5-6 के लिए पाठ्यपुस्तक-वार्ताकार हाई स्कूल. गणित शिक्षक का पुस्तकालय. - ज्ञानोदय, 1989.

आप खंड 1.2 में निर्दिष्ट पुस्तकें डाउनलोड कर सकते हैं। इस पाठ का.

गृहकार्य

विलेनकिन एन.वाई.ए., झोखोव वी.आई., चेसनोकोव ए.एस. और अन्य। गणित 6. - एम.: मेनेमोसिन, 2012। (लिंक 1.2 देखें)

गृहकार्य: क्रमांक 297, क्रमांक 298, क्रमांक 300।

अन्य कार्य: क्रमांक 270, क्रमांक 290

यह आलेख बताता है कि भिन्नों को एक सामान्य हर में कैसे कम किया जाए और सबसे कम सामान्य हर कैसे खोजा जाए। परिभाषाएँ दी गई हैं, भिन्नों को एक सामान्य हर में कम करने का नियम दिया गया है, और व्यावहारिक उदाहरणों पर विचार किया गया है।

किसी भिन्न को सामान्य हर में कम करना क्या है?

साधारण भिन्नों में एक अंश होता है - ऊपरी भाग, और एक हर - निचला भाग। यदि भिन्नों का हर समान हो, तो उन्हें एक सामान्य हर में घटा दिया जाता है। उदाहरण के लिए, भिन्न 11 14, 17 14, 9 14 का हर 14 समान है। दूसरे शब्दों में, वे एक सामान्य विभाजक में सिमट गए हैं।

यदि भिन्न हैं विभिन्न भाजक, तो उन्हें सरल क्रियाओं की सहायता से हमेशा एक सामान्य भाजक में लाया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, आपको अंश और हर को कुछ अतिरिक्त कारकों से गुणा करना होगा।

यह स्पष्ट है कि भिन्न 4 5 और 3 4 को एक सामान्य हर में नहीं घटाया जाता है। ऐसा करने के लिए, आपको 5 और 4 के अतिरिक्त गुणनखंडों का उपयोग करके उन्हें 20 के हर तक लाना होगा। वास्तव में यह कैसे करें? भिन्न 4 5 के अंश और हर को 4 से गुणा करें, और भिन्न 3 4 के अंश और हर को 5 से गुणा करें। भिन्न 4 5 और 3 4 के स्थान पर हमें क्रमशः 16 20 और 15 20 प्राप्त होते हैं।

भिन्नों को एक सामान्य हर में कम करना

भिन्नों को एक सामान्य हर में कम करना, भिन्नों के अंशों और हरों को ऐसे कारकों से गुणा करना है कि परिणाम समान हर वाले समान भिन्न हों।

सामान्य विभाजक: परिभाषा, उदाहरण

सामान्य विभाजक क्या है?

आम विभाजक

भिन्न का उभयनिष्ठ हर कोई धनात्मक संख्या होती है जो दी गई सभी भिन्नों का उभयनिष्ठ गुणज होती है।

दूसरे शब्दों में, भिन्नों के एक निश्चित समूह का सामान्य हर एक प्राकृतिक संख्या होगी जो बिना किसी शेषफल के इन भिन्नों के सभी हरों से विभाज्य होती है।

पंक्ति प्राकृतिक संख्याअनंत है, और इसलिए, परिभाषा के अनुसार, साधारण भिन्नों के प्रत्येक सेट में सामान्य हरों की संख्या अनंत होती है। दूसरे शब्दों में, भिन्नों के मूल समुच्चय के सभी हरों के अपरिमित रूप से अनेक उभयनिष्ठ गुणज होते हैं।

परिभाषा का उपयोग करके कई भिन्नों के लिए सामान्य हर को ढूंढना आसान है। माना कि भिन्न 1 6 और 3 5 हैं। भिन्नों का उभयनिष्ठ हर संख्या 6 और 5 का कोई भी धनात्मक उभयनिष्ठ गुणज होगा। ऐसी सकारात्मक सामान्य गुणज संख्याएँ 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210, इत्यादि हैं।

आइए एक उदाहरण देखें.

उदाहरण 1. सामान्य भाजक

क्या भिन्न 1 3, 21 6, 5 12 को एक सामान्य हर में लाया जा सकता है, जो 150 है?

यह पता लगाने के लिए कि क्या यह मामला है, आपको यह जांचना होगा कि क्या 150 भिन्नों के हरों का एक सामान्य गुणज है, यानी संख्याओं 3, 6, 12 के लिए। दूसरे शब्दों में, संख्या 150 बिना किसी शेषफल के 3, 6, 12 से विभाज्य होनी चाहिए। की जाँच करें:

150 ÷ ​​3 = 50, 150 ÷ ​​6 = 25, 150 ÷ ​​12 = 12.5

इसका अर्थ यह है कि 150 इन भिन्नों का उभयनिष्ठ हर नहीं है।

न्यूनतम सामान्य भाजक

भिन्नों के समूह के कई सामान्य हरों में से सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या को सबसे छोटा सामान्य हर कहा जाता है।

न्यूनतम सामान्य भाजक

किसी भिन्न का सबसे छोटा सामान्य हर उन भिन्नों के सभी सामान्य हरों में से सबसे छोटी संख्या है।

किसी दिए गए संख्याओं के समूह का सबसे छोटा सामान्य भाजक लघुत्तम समापवर्तक (LCM) होता है। भिन्नों के सभी हरों का LCM उन भिन्नों का सबसे छोटा सामान्य हर होता है।

न्यूनतम सामान्य भाजक कैसे ज्ञात करें? इसे ढूँढने से भिन्नों का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करना आता है। आइए एक उदाहरण देखें:

उदाहरण 2: निम्नतम उभयनिष्ठ हर ज्ञात कीजिए

हमें भिन्नों 1 10 और 127 28 के लिए सबसे कम सामान्य हर खोजने की आवश्यकता है।

हम संख्या 10 और 28 का एलसीएम ढूंढ रहे हैं। आइए उन्हें सरल कारकों में शामिल करें और प्राप्त करें:

10 = 2 5 28 = 2 2 7 एन ओ के (15, 28) = 2 2 5 7 = 140

भिन्नों को न्यूनतम सामान्य हर तक कैसे कम करें

एक नियम है जो बताता है कि भिन्नों को एक सामान्य हर में कैसे कम किया जाए। नियम में तीन बिंदु हैं.

भिन्नों को एक सामान्य हर में घटाने का नियम

1. भिन्नों का न्यूनतम उभयनिष्ठ हर ज्ञात कीजिए।
2. प्रत्येक भिन्न के लिए एक अतिरिक्त गुणनखंड खोजें। गुणनखंड ज्ञात करने के लिए, सबसे छोटे सामान्य हर को प्रत्येक भिन्न के हर से विभाजित करें।
3. अंश और हर को प्राप्त अतिरिक्त गुणनखंड से गुणा करें।

आइए एक विशिष्ट उदाहरण का उपयोग करके इस नियम के अनुप्रयोग पर विचार करें।

उदाहरण 3: भिन्नों को एक सामान्य हर में कम करना

भिन्न 3 14 और 5 18 हैं। आइए उन्हें न्यूनतम सामान्य विभाजक तक कम करें।

नियम के अनुसार सबसे पहले हम भिन्नों के हरों का LCM ज्ञात करते हैं।

14 = 2 7 18 = 2 3 3 एन ओ के (14, 18) = 2 3 3 7 = 126

हम प्रत्येक अंश के लिए अतिरिक्त कारकों की गणना करते हैं। 3 14 के लिए अतिरिक्त गुणनखंड 126 ÷ 14 = 9 है, और भिन्न 5 18 के लिए अतिरिक्त गुणनखंड 126 ÷ 18 = 7 है।

हम भिन्नों के अंश और हर को अतिरिक्त गुणनखंडों से गुणा करते हैं और प्राप्त करते हैं:

3 · 9 14 · 9 = 27,126, 5 · 7 18 · 7 = 35,126।

एकाधिक भिन्नों को उनके न्यूनतम सामान्य हर तक कम करना

विचारित नियम के अनुसार, न केवल भिन्नों के जोड़े, बल्कि उनकी बड़ी संख्या को भी एक सामान्य हर में घटाया जा सकता है।

चलिए एक और उदाहरण देते हैं.

उदाहरण 4: भिन्नों को एक सामान्य हर में कम करना

भिन्नों 3 2 , 5 6 , 3 8 और 17 18 को उनके न्यूनतम उभयनिष्ठ हर तक घटाएँ।

आइए हरों के एलसीएम की गणना करें। तीन या अधिक संख्याओं का LCM ज्ञात करें:

नॉक (2, 6) = 6 नॉक (6, 8) = 24 नॉक (24, 18) = 72 नॉक (2, 6, 8, 18) = 72

3 2 के लिए अतिरिक्त गुणनखंड 72 ÷ 2 = 36 है, 5 6 के लिए अतिरिक्त गुणनखंड 72 ÷ 6 = 12 है, 3 8 के लिए अतिरिक्त गुणनखंड 72 ÷ 8 = 9 है, अंत में, 17 18 के लिए अतिरिक्त गुणनखंड 72 ÷ है 18=4.

हम भिन्नों को अतिरिक्त गुणनखंडों से गुणा करते हैं और सबसे कम सामान्य हर पर जाते हैं:

3 2 36 = 108 72 5 6 12 = 60 72 3 8 9 = 27 72 17 18 4 = 68 72

यदि आपको पाठ में कोई त्रुटि दिखाई देती है, तो कृपया उसे हाइलाइट करें और Ctrl+Enter दबाएँ

भिन्नों को एक सामान्य हर में कम करना

भिन्नों के हर समान हैं। वे कहते हैं कि उनके पास है आम विभाजक 25. भिन्नों के अलग-अलग हर होते हैं, लेकिन भिन्नों के मूल गुण का उपयोग करके उन्हें एक सामान्य हर में घटाया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, हमें एक संख्या मिलेगी जो 8 और 3 से विभाज्य है, उदाहरण के लिए, 24. आइए भिन्नों को हर 24 पर लाएं, ऐसा करने के लिए हम भिन्न के अंश और हर को गुणा करते हैं अतिरिक्त गुणक 3. अतिरिक्त गुणनखंड आमतौर पर अंश के ऊपर बाईं ओर लिखा जाता है:

भिन्न के अंश और हर को 8 के अतिरिक्त गुणनखंड से गुणा करें:

आइए भिन्नों को एक सामान्य हर में लाएँ। अक्सर, भिन्नों को न्यूनतम सामान्य हर में घटा दिया जाता है, जो दिए गए भिन्नों के हरों का सबसे छोटा सामान्य गुणक होता है। चूंकि एलसीएम (8, 12) = 24, तो भिन्नों को 24 के हर तक घटाया जा सकता है। आइए भिन्नों के अतिरिक्त गुणनखंड खोजें: 24:8 = 3, 24:12 = 2। फिर

कई भिन्नों को एक सामान्य हर में घटाया जा सकता है।

उदाहरण। आइए भिन्नों को एक सामान्य हर में लाएँ। चूँकि 25 = 5 2, 10 = 2 5, 6 = 2 3, तो एलसीएम (25, 10, 6) = 2 3 5 2 = 150।

आइए भिन्नों के अतिरिक्त गुणनखंड खोजें और उन्हें हर 150 पर लाएँ:

भिन्नों की तुलना

चित्र में. चित्र 4.7 1 लंबाई का एक खंड एबी दिखाता है। इसे 7 में विभाजित किया गया है बराबर भाग. खंड AC की लंबाई है, और खंड AD की लंबाई है।

खंड AD की लंबाई खंड AC की लंबाई से अधिक है, अर्थात भिन्न, भिन्न से अधिक है

एक समान हर वाले दो भिन्नों में से, जिसका अंश बड़ा होता है, वह बड़ा होता है, अर्थात।

उदाहरण के लिए, या

किन्हीं दो भिन्नों की तुलना करने के लिए, उन्हें एक सामान्य हर में घटाएँ और फिर एक सामान्य हर के साथ भिन्नों की तुलना करने के लिए नियम लागू करें।

उदाहरण। भिन्नों की तुलना करें

समाधान। एलसीएम (8, 14) = 56. तब से 21 > 20, तब

यदि पहला अंश दूसरे से कम है, और दूसरा तीसरे से कम है, तो पहला तीसरे से कम है।

सबूत। मान लीजिए तीन भिन्न दिए गए हैं। आइए उन्हें एक सामान्य विभाजक पर लाएँ। फिर उन्हें इस तरह दिखने दें क्योंकि पहला अंश छोटा है

दूसरा, फिर आर< s. Так как вторая дробь меньше третьей, то s < t. Из полученных неравенств для натуральных чисел следует, что r < t, тогда первая дробь меньше третьей.

अंश कहलाता है सही, यदि इसका अंश इसके हर से कम है।

अंश कहलाता है गलत, यदि इसका अंश हर से बड़ा या उसके बराबर है।

उदाहरण के लिए, भिन्न उचित हैं और भिन्न अनुचित हैं।

एक उचित भिन्न 1 से कम है, और अनुचित अंश 1 से बड़ा या उसके बराबर।