किसी संख्या से अनुचित भिन्न कैसे बनाएं। अनुचित भिन्न से उचित भिन्न कैसे बनाएं

निर्देश

परिणामी भिन्न का अंश ज्ञात कीजिए, जो पूरे भाग को अलग करने के बाद भी रहना चाहिए। ऐसा करने के लिए, परिकलित पूर्णांक भाग (20) को हर (23) से गुणा करें और परिणाम (20*23=460) को मूल भिन्न (475) के अंश से घटाएँ। यह ऑपरेशन आपके दिमाग में, एक कॉलम में या कैलकुलेटर (475-460=15) का उपयोग करके भी किया जा सकता है।

परिकलित डेटा को मिश्रित अंश के रूप में एक प्रविष्टि में एकत्रित करें - पहले पूरा भाग (20) लिखें, फिर अंश (15) और (23) के साथ सही लिखें। नमूने के रूप में उपयोग किए गए उदाहरण के लिए, एक अनुचित अंश का उचित अंश में (अधिक सटीक रूप से, मिश्रित अंश में) परिवर्तन इस प्रकार लिखा जा सकता है: 475/23=20 15/23।

अक्सर आपको किसी चीज़ को भागों में विभाजित करना पड़ता है, और वे भाग जिनमें पूर्ण विभाजित होता है, भिन्न होते हैं। गणित में भिन्न कई प्रकार की होती हैं: दशमलव (0.1; 2.5 इत्यादि) और साधारण (1/3; 5/9; 67/89 इत्यादि)। यह सामान्य भिन्न हैं जो उचित और अनुचित हैं।

निर्देश

साधारण अंशसही कहा जाता है यदि इसके अंश में संख्या हर में संख्या से कम है। सबसे छोटी संख्याओं के साथ काम करने के लिए भिन्नों को कम किया जाता है।

गणित का एक विशाल खंड भिन्नों या गैर-पूर्णांकों के साथ काम करने के लिए समर्पित है। आप जीवन में उनका अक्सर सामना करते हैं, इसलिए ऐसे नंबरों के साथ कैसे काम करना है, यह जानना किसी भी व्यक्ति के लिए महत्वपूर्ण है। गणित एक विज्ञान है जिसमें छात्र सरल चीजों और कार्यों के ज्ञान से शुरुआत करता है, और फिर अधिक जटिल चीजों की ओर बढ़ता है।

ऐसी संख्याओं के साथ काम करने का ज्ञान और क्षमता उसके लिए भविष्य में लघुगणक, तर्कसंगत घातांक और अभिन्न के साथ काम करना आसान बना देगी। ऐसी संख्याओं के साथ आप सामान्य संख्याओं की तरह ही सब कुछ कर सकते हैं: भिन्न जोड़ना, विभाजित करना, घटाना और गुणा करना। इसके अलावा, उन्हें छोटा किया जा सकता है। भिन्नों के साथ काम करना सरल है; मुख्य बात उनकी गणना के लिए बुनियादी नियमों और विधियों को जानना है।

बुनियादी अवधारणाओं

यह किस प्रकार का अर्थ है यह समझने के लिए एक निश्चित संपूर्ण वस्तु की कल्पना करना आवश्यक है। मान लीजिए कि एक केक है जिसे कई समान या समान टुकड़ों में काटा गया है। प्रत्येक टुकड़ा एक हिस्सा कहलायेगा।

उदाहरण के लिए, 10 में 5 दो होते हैं, प्रत्येक दो दस का भाग होता है।

भिन्नों के अपने-अपने नाम होते हैं, जो पूरी संख्या में उनकी कुल संख्या पर निर्भर करते हैं: 10 में दो पाँच या पाँच दो शामिल हो सकते हैं, पहले मामले में इसे (एक सेकंड) कहा जाएगा, और दूसरे में - (एक पाँचवा)। यह याद रखना चाहिए कि यह आधी संख्या के बराबर है, (एक तिहाई) एक तिहाई है, और (एक चौथाई) एक चौथाई है। उन्हें डैश के माध्यम से भी दर्शाया जा सकता है: ½, 1/3 या 1/5।

सबसे ऊपर नंबर लिखा है क्षैतिज रेखाया झुके हुए के बायीं ओर, अंश-गणक कहा जाता है- यह दर्शाता है कि एक पूर्ण संख्या से कितने भाग लिए गए हैं, और रेखा के नीचे या उसके दाईं ओर की संख्या - हर,इससे पता चलता है कि कितने शेयरों को विभाजित किया गया था। उदाहरण के लिए, केक को 10 टुकड़ों में विभाजित किया गया था और उनमें से दो को तुरंत देर से आने वाले मेहमानों के लिए अलग रख दिया गया था। यह 2/10 (दो दसवां) होगा, यानी। कुल 10 (हर) में से 2 (अंश) टुकड़े ले लिए।

शेयर क्या हैं, वे क्या हैं? उचित अंश, सामान्य भिन्न क्या है? इन प्रश्नों का उत्तर देना आसान है:

एक मिश्रित अंक हमेशा रूपांतरित हो सकता है एक अनुचित अंश के लिएऔर इसके विपरीत।

मुख्य संपत्ति कहती है: जब गुणा किया जाता है, साथ ही लाभांश और भाजक को सामान्य रूप से एक ही कारक से विभाजित किया जाता है अंश का आकार नहीं बदलेगा.यह गुण भिन्नों के साथ सभी संक्रियाओं को संभव बनाता है।

छोटा कैसे करें?

मुख्य नियम यह है कि एक भिन्नात्मक अंक को उसके अंश और हर को विभाजित करके कम किया जा सकता है एक ही विभाजक द्वारा(0 से भिन्न) ताकि छोटे मापदंडों के साथ एक नया आंकड़ा प्राप्त हो, लेकिन मूल्य में मूल के बराबर हो। इस नियम के आधार पर यह समझा जा सकता है अंश न्यूनीकरणीय और अप्रासंगिक होते हैं.

भिन्नों को कम करने का एक उदाहरण: आइए इसके मापदंडों को 2 से विभाजित करके 8/24 को कम करें। हमें मिलता है: 8:2=4 और 24:2=12। परिणामस्वरूप, मूल आंकड़ा 4/12 में बदल जाएगा। आप संख्याओं को दोबारा विभाजित करके ऑपरेशन दोहरा सकते हैं: 4:2=2 और 12:2=6। हमें 2/6 मिलता है. आइए ऑपरेशन को दोबारा दोहराएं: 2:2=1 और 6:2=3। परिणाम 1/3 का एक अघुलनशील आंकड़ा है, क्योंकि इसके मापदंडों को अब एक ही भाजक द्वारा विभाजित नहीं किया जा सकता है। कोई भी कम करने योग्य संख्या हो सकती है अघुलनशील की ओर ले जाना।

आप भिन्नात्मक व्यंजकों को एक दूसरे से गुणा करके संक्षिप्त कर सकते हैं: *। ये संख्याएँ स्वयं अघुलनशील हैं, लेकिन गुणन संक्रिया करके, आप इन्हें विकर्ण रूप से कम कर सकते हैं: * = =। गुणा करते समय आप केवल संक्षिप्तीकरण कर सकते हैं आड़ा - तिरछा:पहले का अंश दूसरे के हर के साथ, और इसके विपरीत।

आप मिश्रित संख्या को छोटा भी कर सकते हैं, अर्थात संपूर्ण भाग और उचित भिन्न को अनुचित भिन्न के रूप में निरूपित करें। इसके लिए किया जाना चाहिएकुछ क्रियाएँ:

विपरीत क्रिया भी सत्य है: अनुचित भिन्न से मिश्रित भिन्न बनाना। ऐसा करने के लिए, विपरीत क्रिया पर विचार करें:

इस पद्धति का उपयोग करके किसी भी ऑपरेशन में भिन्नों को कम करना संभव है। आप इसके लाभांश और भाजक के मूल्यों को एक ही कारक से गुणा करके, और मिश्रित संख्या से भिन्न में बदलकर, और इसके विपरीत कम कर सकते हैं।

संभावित कार्यवाही

भिन्नों की गिनती करते समय सभी बुनियादी प्रकार की गणनाएँ उपलब्ध होती हैं, जैसे पूर्ण संख्याओं के साथ: जोड़, घटाव, और अन्य। आइए उदाहरणों के साथ प्रत्येक क्रिया को अलग से देखें:

जोड़ना और घटाना

आप शेयरों को उनके विभाजक के आधार पर दो तरीकों से जोड़ सकते हैं। वे एक जैसे और भिन्न हैं। आइए समान भाजक वाले शेयरों को जोड़ने के एक उदाहरण पर विचार करें।

+ को हल करने के लिए, आपको लाभांश को अलग से जोड़ना होगा और भाजक को अकेला छोड़ना होगा: 1+1. परिणाम यह आंकड़ा होगा, लेकिन चूंकि यह गलत है, इसे भाजक द्वारा लाभांश को विभाजित करके मिश्रित में परिवर्तित किया जा सकता है: 2: 2 = 1. गलत अंश हमेशा (!) दिया जाना चाहिए सही और अघुलनशील के लिएयानी यदि इसके लाभांश और भाजक को एक ही कारक से विभाजित किया जा सकता है, तो यह बिना किसी असफलता के किया जाना चाहिए।

विभिन्न विभाजकों के साथ शेयर जोड़ने के मामले में, उन्हें प्रारंभ में होना चाहिए उसी की ओर ले जाओ. उदाहरण के लिए, हल करने के लिए: आपको चाहिए:

घटाव बिल्कुल उसी तरह से किया जाता है: समान भाजक के मामले में, हम उन्हें छूते नहीं हैं, लेकिन अंशों को क्रमिक रूप से घटाते हैं: - = =। यदि हर अलग-अलग हैं, तो आपको जोड़ के साथ आगे बढ़ना चाहिए: एलसीएम, कारक ढूंढें, शेयरों को गुणा करें, और फिर समान भाजक के साथ शेयरों को घटाएं।

भिन्न कितने प्रकार के होते हैं?

आइए इससे शुरू करें कि यह क्या है। भिन्न वह संख्या है जिसमें एक का कुछ भाग होता है। इसे दो रूपों में लिखा जा सकता है। पहले वाले को साधारण कहा जाता है। अर्थात् वह जिसमें क्षैतिज या तिरछी रेखा हो। यह विभाजन चिह्न के समतुल्य है.

इस अंकन में, रेखा के ऊपर की संख्या को अंश कहा जाता है, और उसके नीचे की संख्या को हर कहा जाता है।

साधारण भिन्नों में उचित और अनुचित भिन्नों को प्रतिष्ठित किया जाता है। पहले के लिए, अंश का निरपेक्ष मान हमेशा हर से कम होता है। गलत लोगों को ऐसा इसलिए कहा जाता है क्योंकि उनके पास सब कुछ उल्टा होता है। उचित भिन्न का मान सदैव एक से कम होता है। जबकि गलत हमेशा इस संख्या से बड़ा होता है।

मिश्रित संख्याएँ भी होती हैं, अर्थात् जिनमें एक पूर्णांक और एक भिन्नात्मक भाग होता है।

दूसरे प्रकार का अंकन दशमलव भिन्न है। उनके बारे में अलग से बातचीत होती है.

अनुचित भिन्न मिश्रित संख्याओं से किस प्रकार भिन्न हैं?

संक्षेप में, कुछ भी नहीं. ये बस एक ही नंबर की अलग-अलग रिकॉर्डिंग हैं। अनुचित भिन्नसरल चरणों के बाद वे आसानी से मिश्रित संख्या बन जाते हैं। और इसके विपरीत।

यह सब विशिष्ट स्थिति पर निर्भर करता है। कभी-कभी कार्यों में अनुचित भिन्न का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक होता है। और कभी-कभी इसे मिश्रित संख्या में बदलना आवश्यक होता है और फिर उदाहरण बहुत आसानी से हल हो जाएगा। इसलिए, क्या उपयोग करना है: अनुचित भिन्न, मिश्रित संख्या, समस्या समाधानकर्ता के अवलोकन कौशल पर निर्भर करता है।

मिश्रित संख्या की तुलना पूर्णांक भाग और भिन्नात्मक भाग के योग से भी की जाती है। इसके अलावा, दूसरा हमेशा एक से कम होता है।

किसी मिश्रित संख्या को अनुचित भिन्न के रूप में कैसे निरूपित करें?

यदि आपको लिखे गए कई नंबरों के साथ कोई कार्य करने की आवश्यकता है अलग - अलग प्रकार, तो आपको उन्हें वैसा ही बनाने की जरूरत है। एक विधि संख्याओं को अनुचित भिन्नों के रूप में निरूपित करना है।

इस प्रयोजन के लिए, आपको निम्नलिखित एल्गोरिथम निष्पादित करने की आवश्यकता होगी:

• हर को पूरे भाग से गुणा करें;
• परिणाम में अंश मान जोड़ें;
• उत्तर पंक्ति के ऊपर लिखें;
• हर को वही छोड़ें.

यहां मिश्रित संख्याओं से अनुचित भिन्न लिखने के उदाहरण दिए गए हैं:

• 17 ¼ = (17 x 4 + 1) : 4 = 69/4;
• 39 ½ = (39 x 2 + 1) : 2 = 79/2.

एक अनुचित भिन्न को मिश्रित संख्या के रूप में कैसे लिखें?

अगली तकनीक ऊपर चर्चा की गई तकनीक के विपरीत है। अर्थात्, जब सभी मिश्रित संख्याओं को अनुचित भिन्नों द्वारा प्रतिस्थापित कर दिया जाता है। क्रियाओं का एल्गोरिथ्म इस प्रकार होगा:

• शेषफल प्राप्त करने के लिए अंश को हर से विभाजित करें;
• मिश्रित के संपूर्ण भाग के स्थान पर भागफल लिखें;
• शेष को रेखा के ऊपर रखा जाना चाहिए;
• भाजक हर होगा.

ऐसे परिवर्तन के उदाहरण:

76/14; 76:14 = 5 शेषफल 6 के साथ; उत्तर 5 पूर्ण और 6/14 होगा; इस उदाहरण में भिन्नात्मक भाग को 2 से कम करने की आवश्यकता है, जिसके परिणामस्वरूप 3/7 होगा; अंतिम उत्तर 5 अंक 3/7 है।

108/54; विभाजन के बाद, 2 का भागफल बिना किसी शेषफल के प्राप्त होता है; इसका मतलब यह है कि सभी अनुचित भिन्नों को मिश्रित संख्या के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है; उत्तर पूर्णांक होगा - 2.

किसी पूर्ण संख्या को अनुचित भिन्न में कैसे बदलें?

ऐसी स्थितियाँ होती हैं जब ऐसी कार्रवाई आवश्यक होती है। किसी ज्ञात हर के साथ अनुचित भिन्न प्राप्त करने के लिए, आपको निम्नलिखित एल्गोरिथम निष्पादित करने की आवश्यकता होगी:

• किसी पूर्णांक को वांछित हर से गुणा करें;
• इस मान को पंक्ति के ऊपर लिखें;
• इसके नीचे हर रखें।

सबसे सरल विकल्प है जब हर एक के बराबर. फिर आपको कुछ भी गुणा करने की आवश्यकता नहीं है। उदाहरण में दिए गए पूर्णांक को लिखना और पंक्ति के नीचे एक रखना पर्याप्त है।

उदाहरण: 3 के हर के साथ 5 को एक अनुचित भिन्न बनाएं। 5 को 3 से गुणा करने पर 15 प्राप्त होता है। यह संख्या हर होगी। कार्य का उत्तर एक अंश है: 15/3.

विभिन्न संख्याओं वाली समस्याओं को हल करने के दो दृष्टिकोण

उदाहरण के लिए योग और अंतर, साथ ही दो संख्याओं के उत्पाद और भागफल की गणना करने की आवश्यकता है: 2 पूर्णांक 3/5 और 14/11।

पहले दृष्टिकोण मेंमिश्रित संख्या को अनुचित भिन्न के रूप में दर्शाया जाएगा।

ऊपर वर्णित चरणों को करने के बाद, आपको निम्नलिखित मान प्राप्त होगा: 13/5।

योग ज्ञात करने के लिए, आपको भिन्नों को समान हर तक कम करना होगा। 13/5 को 11 से गुणा करने पर 143/55 हो जाता है। और 14/11 को 5 से गुणा करने पर ऐसा दिखेगा: 70/55. योग की गणना करने के लिए, आपको केवल अंश जोड़ना होगा: 143 और 70, और फिर एक हर के साथ उत्तर लिखें। 213/55 - यह अनुचित भिन्न समस्या का उत्तर है।

अंतर ज्ञात करते समय, समान संख्याएँ घटा दी जाती हैं: 143 - 70 = 73। उत्तर एक भिन्न होगा: 73/55।

13/5 और 14/11 को गुणा करने पर आगे बढ़ने की कोई आवश्यकता नहीं है आम विभाजक. यह अंश और हर को जोड़े में गुणा करने के लिए पर्याप्त है। उत्तर होगा: 182/55.

विभाजन के लिए भी यही बात लागू होती है. के लिए सही निर्णयआपको भाग को गुणन से बदलना होगा और भाजक को उल्टा करना होगा: 13/5: 14/11 = 13/5 x 11/14 = 143/70।

दूसरे दृष्टिकोण मेंएक अनुचित भिन्न एक मिश्रित संख्या बन जाती है।

एल्गोरिथम की क्रियाओं को निष्पादित करने के बाद, 14/11 एक मिश्रित संख्या में बदल जाएगा जिसमें 1 का पूर्णांक भाग और 3/11 का एक भिन्नात्मक भाग होगा।

योग की गणना करते समय, आपको पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों को अलग-अलग जोड़ना होगा। 2 + 1 = 3, 3/5 + 3/11 = 33/55 + 15/55 = 48/55। अंतिम उत्तर 3 अंक 48/55 है। पहले दृष्टिकोण में अंश 213/55 था। आप इसे मिश्रित संख्या में परिवर्तित करके इसकी सत्यता की जांच कर सकते हैं। 213 को 55 से विभाजित करने पर भागफल 3 और शेषफल 48 है। यह देखना आसान है कि उत्तर सही है।

घटाते समय, "+" चिह्न को "-" से बदल दिया जाता है। 2 - 1 = 1, 33/55 - 15/55 = 18/55। जांचने के लिए, पिछले दृष्टिकोण के उत्तर को मिश्रित संख्या में परिवर्तित करने की आवश्यकता है: 73 को 55 से विभाजित किया जाता है और भागफल 1 होता है और शेष 18 होता है।

गुणनफल और भागफल ज्ञात करने के लिए मिश्रित संख्याओं का उपयोग करना असुविधाजनक है। यहां हमेशा अनुचित भिन्नों की ओर बढ़ने की अनुशंसा की जाती है।

अनुचित भिन्न से उचित भिन्न कैसे बनाएं?

शब्द ही - भिन्न का अर्थ है कि संख्या भिन्नात्मक है, यह पूर्ण (कम से कम एक) से कम है।

इसलिए, अंश से पूर्णांक निकालना आवश्यक है। उदाहरण के लिए, संख्या 30/4 एक अनियमित भिन्न है, क्योंकि 30, 4 से बड़ी है। इसका मतलब है कि आपको बस 30 को 4 से विभाजित करने की आवश्यकता है और हमें दशमलव बिंदु - 7 तक संख्या प्राप्त होती है, और फिर हम इसे सामने रखते हैं। अंश का. 7 को 4 से गुणा करें और इस संख्या को 30 से घटाएं - आपको 2 मिलेगा - यह भिन्न के अंश में होगा। कुल - 7 2/4, घटाएँ - 7 1/2. आपके उदाहरण में, उत्तर 2 3/4 है।

इसके लिए आपको एक पाठक की आवश्यकता है: हर।

अंश में जो आये उसे पूरा लिखें। भाजक वही है जो वह था। जब आप विभाजित करें तो इसे पूरे भाग के रूप में लिखें।

11:4=2 (3 शेष)।

हमें सही भिन्न प्राप्त होता है: 2 - पूर्णांक 34

एक अनुचित भिन्न को एक उचित भिन्न बनाने के लिए, आपको संपूर्ण भागों की पहचान करनी होगी और उन्हें अनुचित भिन्न से घटाना होगा। हमारे मामले में, अनुचित भिन्न 11/4 है। इसमें दो (2) पूर्ण भाग होंगे। हम उन्हें घटाते हैं और उचित भिन्न प्राप्त करते हैं: दो दशमलव तीन (2 दशमलव 3/4)।

एक अनुचित भिन्न, हमारे मामले में 11/4, को एक उचित भिन्न में परिवर्तित करने की आवश्यकता है, अर्थात। इस मामले में एक मिश्रित अंश. सरल शब्दों में कहें तो भिन्न अनुचित है क्योंकि इसमें भिन्न के अतिरिक्त एक पूर्ण संख्या भी होती है। यह रेफ्रिजरेटर में पड़े एक केक की तरह है, जो कटा होने के बावजूद अधूरा पड़ा है और मेज पर दूसरे केक के कुछ टुकड़े बचे हुए हैं। जब हम 11/4 के बारे में बात करते हैं, तो हम दो पूरे केक के बारे में नहीं जानते, हम केवल ग्यारह बड़े टुकड़े देखते हैं। 11 को 4 से विभाजित करने पर हमें 2 प्राप्त होता है और शेषफल 11-8 = 3 होता है। तो, 2 पूर्ण 3/4, अब भिन्न नियमित है, इसका अंश हर से छोटा होगा, लेकिन मिश्रित होगा, क्योंकि गणना पूर्ण इकाइयों के बिना नहीं की जा सकती है।

एक अनुचित भिन्न को उचित भिन्न में बदलने के लिए, आपको अंश को हर से विभाजित करना होगा। परिणामी पूर्णांक को भिन्न के सामने रखें, और शेष को अंश में दर्ज करें। हर नहीं बदलता.

उदाहरण के लिए: भिन्न 11/4 एक अनुचित भिन्न है, जहाँ अंश 11 है और हर 4 है।

सबसे पहले हम 11 को 4 से विभाजित करते हैं, हमें 2 पूर्णांक और 3 शेषफल प्राप्त होता है। हम भिन्न के आगे 2 लगाते हैं और शेषफल 3 को अंश 3/4 में लिखते हैं। इस प्रकार, भिन्न सही हो जाती है - 2 पूर्ण और 3/4।

एक अनुचित भिन्न में एक हर होता है जो अंश से छोटा होता है, जो इंगित करता है कि इस भिन्न में पूर्णांक भाग होते हैं जिन्हें पूर्णांक के साथ एक उचित भिन्न बनाने के लिए अलग किया जा सकता है।

अंश को हर से विभाजित करने का सबसे आसान तरीका। हम परिणामी पूर्णांक को भिन्न के बाईं ओर रखते हैं, और शेष को अंश में लिखते हैं, हर वही रहता है।

उदाहरण के लिए 11/4. 11 को 4 से विभाजित करें और 2 और शेषफल 3 प्राप्त करें। दो वह संख्या है जिसे हम भिन्न के आगे रखते हैं, और हम भिन्न के अंश में तीन लिखते हैं। 2 और 3/4 निकलता है.

इस सरल प्रश्न का उत्तर देने के लिए, आप वही सरल समस्या हल कर सकते हैं:

पेट्या और वाल्या अपने साथियों की संगति में आए। कुल मिलाकर उनमें से 11 थे। वाल्या के पास सेब थे (लेकिन बहुत सारे नहीं) और सभी का इलाज करने के लिए, पेट्या ने प्रत्येक को चार भागों में काटा और वितरित किया। सभी के लिए पर्याप्त था और पाँच टुकड़े भी बचे थे।

पेट्या ने कितने सेब बांटे और कितने सेब बचे हैं? कुल कितने थे?

क्या हम इसे गणितीय रूप से लिख सकते हैं?

हमारे मामले में सेब के 11 टुकड़े 11/4 हैं - हमें एक अनुचित भिन्न मिला, क्योंकि अंश हर से बड़ा है।

एक संपूर्ण भाग का चयन करना (बदलनाअनुचित भिन्न को उचित भिन्न में), आपको चाहिए अंश को हर से विभाजित किया जाता है, अपूर्ण भागफल (हमारे मामले में 2) को बाईं ओर लिखें, शेषफल (3) को अंश में छोड़ दें और हर को न छुएं।

परिणाम हमें मिलता है 11/4 = 11:4 = 2 3/4 पेट्या ने सेब दे दिये।

इसी तरह, 5/4 = 1 1/4 सेब बचे।

(11+5)/4 = 16/4 = वाल्या 4 सेब लाया

प्रत्येक व्यक्ति, गणित की समस्याओं को हल करते समय, अक्सर भिन्नों से जुड़ी समस्याओं का सामना करता है। उनमें से बहुत सारे हैं, इसलिए हम देखेंगे विभिन्न विकल्पऐसी मुख्य समस्याओं का समाधान।

भिन्न क्या हैं

किसी भी भिन्न की शीर्ष संख्या को अंश कहा जाता है, और निचली संख्या को हर कहा जाता है। एक साधारण भिन्न दो संख्याओं का भागफल होता है, इनमें से एक संख्या भिन्न के अंश में होती है, दूसरी भिन्न के हर में होती है। इन सामान्य भिन्नों के प्रकार का निर्धारण भिन्न के हर और अंश की तुलना करके किया जाएगा।

यदि भिन्न (प्राकृतिक संख्या) का हर, भिन्न (प्राकृतिक संख्या) के अंश से बड़ा हो, तो भिन्न को उचित कहा जाता है। यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं: 7/19; 9/13; 31/152; 5/17.

यदि भिन्न (प्राकृतिक संख्या) का हर, भिन्न (प्राकृतिक संख्या) के अंश से कम या उसके बराबर हो, तो भिन्न भिन्न कहलाती है। यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं: 7/5; 19/3; 15/9; 231/63.

अनुचित भिन्न को कैसे बदलें

मिश्रित भिन्न को अनुचित भिन्न में बदलने के लिए, आपको भिन्न के पूरे भाग को भिन्नात्मक भाग में हर से गुणा करना होगा और अंश को इस उत्पाद में जोड़ना होगा। फिर राशि को अंश के रूप में लें और हर को पहले जैसा ही लिखें। यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

• 4(3/11) = (4x11+3)/11 = (44+3)/11 = 47/11.
• 11(5/9) = (11x9+5)/9 = (99+5)/9 = 104/9।

किसी अनुचित भिन्न को उचित भिन्न में बदलने के लिए, आपको अनुचित भिन्न के अंश को उसके हर से विभाजित करना होगा। परिणामी पूर्णांक को भिन्न के पूर्ण भाग के रूप में लें, और शेष को (निश्चित रूप से, यदि कोई हो तो) उचित भिन्न के भिन्नात्मक भाग के अंश के रूप में लें, और हर को पहले जैसा ही लिखें। यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

• 150/13 = (143/13)+(7/13) = 11(7/13).
• 156/12 = (13x12)/12 = 13.

किसी अनुचित भिन्न को दशमलव में बदलने के लिए यह पता लगाना आवश्यक है कि क्या ऐसा कोई कारक है जो अनुचित भिन्न के भिन्नात्मक भाग के हर को एक ऐसी संख्या में घटा देगा जो दस (या दस) के बराबर हो किसी भी घात (10, 100, 1000 और अधिक) तक बढ़ा दिया गया है, यदि ऐसा कोई कारक है, तो आपको इसे जांचने के लिए अनुचित भिन्न के अंश और हर को गुणा करना होगा। अब गुणा किए गए अंश को जोड़ना होगा, अलग करना होगा अनुचित भिन्न के पूर्णांक भाग में अल्पविराम द्वारा। यहां उदाहरण दिए गए हैं:

• गुणक "5" - 8/20 = (8x5)/(20x5) = 40/100 = 0.4.
• गुणक "4" - 14/25 = (14x4)/(25x4) = 56/100 = 0.56।
• गुणक "25" - 3/40 = (3x25)/(40x25) = 75/1000 = 0.075।

यदि ऐसा कोई कारक मौजूद नहीं है, तो इसका मतलब है कि दशमलव रूप में इस अनुचित अंश का कोई स्पष्ट समकक्ष नहीं है। अर्थात्, प्रत्येक अनुचित भिन्न को दशमलव में नहीं बदला जा सकता। इस मामले में, आपको आवश्यक सटीकता की डिग्री के साथ भिन्न का अनुमानित मान ज्ञात करना होगा। आप ऐसे भिन्न की गणना कैलकुलेटर पर, अपने दिमाग में या किसी कॉलम में कर सकते हैं। यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं: 41/7 = 5(6/7) = 5.9 (दसवें तक पूर्णांकित), = 5.86 (सौवें तक पूर्णांकित), = 5.857 (हजारवें तक पूर्णांकित); 3/7, 7/6, 1/3 और अन्य। उनका भी स्पष्ट रूप से अनुवाद नहीं किया गया है और उनकी गणना कैलकुलेटर पर, सिर में या कॉलम में की जाती है।

अब आप जानते हैं कि अनुचित भिन्न को उचित या दशमलव भिन्न में कैसे बदला जाता है!

भिन्न वह संख्या है जो एक या अधिक इकाइयों से बनी होती है। गणित में भिन्न तीन प्रकार की होती हैं: सामान्य, मिश्रित और दशमलव।

• 
  सामान्य भिन्न

एक साधारण भिन्न को एक अनुपात के रूप में लिखा जाता है जिसमें अंश यह दर्शाता है कि संख्या से कितने भाग लिए गए हैं, और हर दर्शाता है कि इकाई को कितने भागों में विभाजित किया गया है। यदि अंश हर से कम है, तो हमारे पास एक उचित भिन्न है, उदाहरण के लिए: ½, 3/5, 8/9।

यदि अंश हर के बराबर या उससे बड़ा है, तो हम एक अनुचित भिन्न से निपट रहे हैं। उदाहरण के लिए: 5/5, 9/4, 5/2 अंश को विभाजित करने से एक सीमित संख्या प्राप्त हो सकती है। उदाहरण के लिए, 40/8 = 5. इसलिए, किसी भी पूर्ण संख्या को एक साधारण अनुचित भिन्न या ऐसे भिन्नों की श्रृंखला के रूप में लिखा जा सकता है। आइए एक ही संख्या की प्रविष्टियों को विभिन्न संख्याओं के रूप में मानें।

• मिश्रित अंश

में सामान्य रूप से देखेंएक मिश्रित अंश को सूत्र द्वारा दर्शाया जा सकता है:

इस प्रकार, एक मिश्रित भिन्न को एक पूर्णांक और एक साधारण उचित भिन्न के रूप में लिखा जाता है, और ऐसे अंकन को संपूर्ण और उसके भिन्नात्मक भाग के योग के रूप में समझा जाता है।

• दशमलव

दशमलव एक विशेष प्रकार का भिन्न है जिसमें हर को 10 की घात के रूप में दर्शाया जा सकता है। दशमलव अनंत और परिमित होते हैं। इस प्रकार के भिन्न को लिखते समय पहले पूरे भाग को दर्शाया जाता है, फिर भिन्न वाले भाग को विभाजक (अवधि या अल्पविराम) के माध्यम से लिखा जाता है।

भिन्नात्मक भाग का अंकन हमेशा उसके आयाम से निर्धारित होता है। दशमलव अंकन इस तरह दिखता है:

विभिन्न प्रकार के भिन्नों के बीच रूपांतरण के नियम

• मिश्रित भिन्न को सामान्य भिन्न में बदलना

मिश्रित भिन्न को केवल अनुचित भिन्न में बदला जा सकता है। अनुवाद करने के लिए, पूरे भाग को भिन्नात्मक भाग के समान हर में लाना आवश्यक है। सामान्य तौर पर यह इस तरह दिखेगा:
आइए विशिष्ट उदाहरणों का उपयोग करके इस नियम के उपयोग को देखें:

• सामान्य भिन्न को मिश्रित भिन्न में बदलना

एक अनुचित भिन्न को साधारण विभाजन द्वारा मिश्रित भिन्न में परिवर्तित किया जा सकता है, जिसके परिणामस्वरूप पूरा भाग और शेष (आंशिक भाग) प्राप्त होता है।

उदाहरण के लिए, आइए भिन्न 439/31 को मिश्रित में बदलें:
​​

• भिन्नों को परिवर्तित करना

कुछ मामलों में, भिन्न को दशमलव में बदलना काफी सरल है। इस मामले में, भिन्न का मूल गुण लागू किया जाता है: भाजक को 10 की घात पर लाने के लिए अंश और हर को एक ही संख्या से गुणा किया जाता है।

उदाहरण के लिए:

कुछ मामलों में, आपको कोनों से विभाजित करके या कैलकुलेटर का उपयोग करके भागफल ज्ञात करने की आवश्यकता हो सकती है। और कुछ भिन्नों को अंतिम भिन्न में नहीं घटाया जा सकता। दशमलव. उदाहरण के लिए, भिन्न 1/3 को विभाजित करने पर कभी भी अंतिम परिणाम नहीं मिलेगा।

इस सामग्री में हम मिश्रित संख्याओं की अवधारणा की जांच करेंगे। आइए, हमेशा की तरह, एक परिभाषा और छोटे उदाहरणों से शुरुआत करें, फिर हम मिश्रित संख्याओं और अनुचित भिन्नों के बीच संबंध की व्याख्या करेंगे। उसके बाद, हम सीखेंगे कि भिन्न से पूर्णांक भाग को सही ढंग से कैसे अलग किया जाए और परिणामस्वरूप पूर्ण संख्या कैसे प्राप्त की जाए।

मिश्रित संख्या अवधारणा

यदि हम योग n + a b लेते हैं, जहां n का मान कोई भी प्राकृतिक संख्या हो सकता है, और a b एक उचित साधारण भिन्न है, तो हम a प्लस का उपयोग किए बिना भी यही चीज़ लिख सकते हैं: n a b। आइए स्पष्टता के लिए विशिष्ट संख्याएँ लें: उदाहरण के लिए, 28 + 5 7, 28 5 7 के समान है। किसी पूर्ण संख्या के आगे भिन्न लिखने को मिश्रित संख्या कहते हैं।

परिभाषा 1

मिश्रित संख्याएक ऐसी संख्या का प्रतिनिधित्व करता है जो उचित साधारण भिन्न a b के साथ प्राकृतिक संख्या n के योग के बराबर है। इस स्थिति में, n संख्या का पूर्णांक भाग है, और a b इसका भिन्नात्मक भाग है।

परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है कि कोई भी मिश्रित संख्या उसके पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों को जोड़ने पर प्राप्त संख्या के बराबर होती है। इस प्रकार, समानता n a b = n + a b संतुष्ट होगी।

इसे n + a b = n a b के रूप में भी लिखा जा सकता है।

मिश्रित संख्याओं के कुछ उदाहरण क्या हैं? तो, उनमें 5 1 8 शामिल है, जबकि पांच इसका पूर्णांक भाग है, और आठवां एक भिन्न है। अधिक उदाहरण: 1 1 2, 234 34 53, 34000 6 25।

हमने ऊपर लिखा है कि मिश्रित संख्या के भिन्नात्मक भाग में केवल उचित भिन्न होना चाहिए। कभी-कभी आपको 5 22 3, 75 7 2 जैसी प्रविष्टियाँ मिल सकती हैं। वे मिश्रित संख्याएँ नहीं हैं क्योंकि उनका भिन्नात्मक भाग ग़लत है। उन्हें पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों के योग के रूप में समझा जाना चाहिए। इन उदाहरणों में अनुचित भिन्न के पूरे भाग को निकालकर और इसे क्रमशः 5 और 75 में जोड़कर ऐसी संख्याओं को मानक मिश्रित संख्या अंकन में घटाया जा सकता है।

प्रपत्र 0 3 14 की संख्याएँ भी मिश्रित नहीं हैं। शर्त का पहला भाग यहां संतुष्ट नहीं है: पूरे भाग का ही प्रतिनिधित्व किया जाना चाहिए प्राकृतिक संख्या, लेकिन शून्य नहीं है.

अनुचित भिन्न और मिश्रित संख्याएँ एक दूसरे से कैसे संबंधित हैं

इस कनेक्शन को एक विशिष्ट उदाहरण के साथ देखना सबसे आसान है।

उदाहरण 1

आइए एक पूरा केक लें और उसका तीन चौथाई हिस्सा और लें। जोड़ने के नियमों के अनुसार, हमारी मेज पर 1 + 3 4 केक हैं। इस राशि को मिश्रित संख्या के रूप में 1 3 4 केक के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। यदि हम एक पूरा केक लें और उसे भी चार बराबर भागों में काट लें, तो हमारी मेज पर 7 4 केक होंगे। जाहिर है, काटने से मात्रा नहीं बढ़ी और 1 3 4 = 7 4.

हमारा उदाहरण साबित करता है कि किसी भी अनुचित भिन्न को मिश्रित संख्या के रूप में दर्शाया जा सकता है।

आइए मेज पर बचे हमारे 74 केक पर वापस लौटें। आइए एक केक को उसके टुकड़ों (1 + 3 4) से वापस एक साथ रखें। हमारे पास फिर से 1 3 4 होगा।

उत्तर: 7 4 = 1 3 4 .

हम समझते हैं कि अनुचित भिन्न को मिश्रित संख्या में कैसे बदला जाए। यदि किसी अनुचित भिन्न के अंश में एक ऐसी संख्या है जिसे बिना किसी शेषफल के हर से विभाजित किया जा सकता है, तो हम ऐसा कर सकते हैं, और फिर हमारा अनुचित भिन्न एक प्राकृतिक संख्या बन जाएगा।

उदाहरण 2

उदाहरण के लिए,

8 4 = 2, क्योंकि 8:4 = 2।

मिश्रित संख्या को अनुचित भिन्न में कैसे बदलें

समस्याओं को सफलतापूर्वक हल करने के लिए, व्युत्क्रम क्रिया करने में सक्षम होना उपयोगी है, अर्थात मिश्रित संख्याओं से अनुचित भिन्न बनाना। इस पैराग्राफ में हम देखेंगे कि इसे सही तरीके से कैसे किया जाए।

ऐसा करने के लिए, आपको क्रियाओं के निम्नलिखित क्रम को पुन: प्रस्तुत करना होगा:

1. आरंभ करने के लिए, पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों के योग के रूप में उपलब्ध मिश्रित संख्या n a b की कल्पना करें। यह n + a b निकला

3. इसके बाद, हम पहले से ही परिचित क्रिया करते हैं - दो साधारण भिन्न n 1 और a b जोड़ें। परिणामी अनुचित भिन्न के बराबर होगा मिश्रित संख्याशर्त में दिया गया है.

आइए एक विशिष्ट उदाहरण का उपयोग करके इस क्रिया को देखें।

उदाहरण 3

5 3 7 को अनुचित भिन्न के रूप में व्यक्त करें।

समाधान

हम उपरोक्त एल्गोरिथम के चरणों को क्रमिक रूप से पूरा करते हैं। हमारी संख्या 5 3 7 पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों का योग है, अर्थात 5 + 3 7। अब पाँचों को 5 1 के रूप में लिखते हैं। हमें योग 5 1 + 3 7 प्राप्त हुआ।

अंतिम चरण विभिन्न हरों के साथ भिन्नों को जोड़ना है:

5 1 + 3 7 = 35 7 + 3 7 = 38 7

संक्षिप्त रूप का संपूर्ण समाधान 5 3 7 = 5 + 3 7 = 5 1 + 3 7 = 35 7 + 3 7 = 38 7 के रूप में लिखा जा सकता है।

उत्तर: 5 3 7 = 38 7 .

इस प्रकार, उपरोक्त क्रियाओं की श्रृंखला का उपयोग करके, हम किसी भी मिश्रित संख्या n a b को अनुचित भिन्न में परिवर्तित कर सकते हैं। हमारे पास सूत्र n a b = n b + a b है, जिसका उपयोग हम आगे की समस्याओं को हल करने के लिए करेंगे।

उदाहरण 4

15 2 5 को अनुचित भिन्न के रूप में व्यक्त करें।

समाधान

आइए संकेतित सूत्र लें और इसे इसमें प्रतिस्थापित करें आवश्यक मान. हमारे पास n = 15, a = 2, b = 5 है, इसलिए, 15 2 5 = 15 5 + 2 5 = 77 5।

उत्तर: 15 2 5 = 77 5 .

हम आम तौर पर अंतिम उत्तर के रूप में अनुचित भिन्न को शामिल नहीं करते हैं। गणना को पूरा करने और इसे किसी प्राकृतिक संख्या (अंश को हर से विभाजित करने) या मिश्रित संख्या से बदलने की प्रथा है। एक नियम के रूप में, पहली विधि का उपयोग तब किया जाता है जब अंश को हर से विभाजित करना शेषफल के बिना संभव होता है, और दूसरी विधि का उपयोग तब किया जाता है जब ऐसी क्रिया असंभव होती है।

जब हम किसी अनुचित भिन्न के पूरे भाग को अलग करते हैं, तो हम उसे बस एक समान मिश्रित संख्या से बदल देते हैं।

आइए जानें कि यह कैसे किया जाता है।

परिभाषा 2

आइए हम इस कथन का प्रमाण देते हैं।

हमें यह समझाने की आवश्यकता है कि क्यू आर बी = ए बी क्यों। ऐसा करने के लिए, पिछले पैराग्राफ से एल्गोरिदम के सभी चरणों का पालन करते हुए, मिश्रित संख्या q r b को एक अनुचित अंश के रूप में दर्शाया जाना चाहिए। चूँकि एक अपूर्ण भागफल है, और r, a को b से विभाजित करने पर शेषफल है, तो समानता a = b · q + r कायम रहनी चाहिए।

इस प्रकार, q b + r b = a b इसलिए q r b = a b। यह हमारे कथन का प्रमाण है। आइए संक्षेप में बताएं:

परिभाषा 3

एक अनुचित भिन्न a b से पूर्णांक भाग को अलग करना इस प्रकार किया जाता है:

1) शेषफल के साथ a को b से विभाजित करें और अपूर्ण भागफल q और शेष r को अलग-अलग लिखें।

2) हम परिणाम को q r b के रूप में लिखते हैं। यह हमारी मिश्रित संख्या है, जो मूल अनुचित भिन्न के बराबर है।

उदाहरण 5

107 4 को एक मिश्रित संख्या के रूप में सोचें।

समाधान

एक कॉलम का उपयोग करके 104 को 7 से विभाजित करें:

अंश a = 118 को हर b = 7 से विभाजित करने पर हमें अंतिम आंशिक भागफल q = 16 और शेष r = 6 प्राप्त होता है।

परिणामस्वरूप, हम पाते हैं कि अनुचित भिन्न 118 7 मिश्रित संख्या q r b = 16 6 7 के बराबर है।

उत्तर: 118 7 = 16 6 7 .

हमें बस यह देखना है कि एक अनुचित भिन्न को एक प्राकृतिक संख्या से कैसे बदला जाए (बशर्ते इसका अंश बिना किसी शेषफल के हर से विभाज्य हो)।

ऐसा करने के लिए, आइए याद रखें कि इनके बीच क्या संबंध मौजूद है साधारण अंशऔर विभाजन. इससे हम निम्नलिखित समानताएँ प्राप्त कर सकते हैं: a b = a: b = c. इससे पता चलता है कि अनुचित भिन्न a b को प्राकृतिक संख्या c से प्रतिस्थापित किया जा सकता है।

उदाहरण 6

उदाहरण के लिए, यदि उत्तर अनुचित भिन्न 27 3 निकलता है, तो हम इसके स्थान पर 9 लिख सकते हैं, क्योंकि 27 3 = 27: 3 = 9।

उत्तर: 27 3 = 9 .

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