Käytännön oppitunti nro. 2
Aihe: Logiikka ja todisteet. Todistus: suora, käänteinen, ristiriitaisesti. Matemaattisen induktion menetelmä.
Oppitunti on suunniteltu 2 akateemista. tuntia.
Kohde: tutkia erilaisia todistelumenetelmiä (suora päättely, ristiriitamenetelmä ja taaksepäin päättely) havainnollistaen päättelyn metodologiaa. Harkitse matemaattisen induktion menetelmää.
Teoreettinen materiaali
Todistusmenetelmät
Lauseiden todistamisessa käytetään loogista argumentaatiota. Todistuksia tietojenkäsittelytieteestä olennainen osa algoritmien oikeellisuuden tarkistamista. Todistuksen tarve syntyy, kun meidän on vahvistettava muotoisen väitteen totuus (A IN). On olemassa useita vakiotyyppisiä todisteita, mukaan lukien seuraavat:
- Suora päättely (todiste).
Oletetaan, että väite A on totta ja näytä B:n totuus. Tämä todistusmenetelmä sulkee pois tilanteen, jolloin A on totta ja B on on väärä, koska tässä ja vain tässä tapauksessa implikaatio (A B) ottaa väärän arvon (katso taulukko).
Suora todistus siis siirtyy väitteiden pohtimisesta teesin todistamiseen, eli väitteen totuus perustellaan suoraan väitteillä. Tämän todisteen kaavio on seuraava: annetuista argumenteista(a, b, c, ...) väitöskirja on todistettava q.
Tämän tyyppisiä todisteita käytetään oikeuskäytännössä, tieteessä, polemiikassa, koululaisten esseissä, kun opettaja esittelee materiaalia jne.
Esimerkkejä:
1. Opettaja oppitunnilla, jolla on suora todiste opinnäytetyöstä "Ihmiset historian luoja”, näyttää; Ensinnäkin että ihmiset ovat aineellisen vaurauden luojia, toiseksi , perustelee massojen valtavaa roolia politiikassa, selittää kuinka sisään moderni aikakausi ihmiset taistelevat aktiivisesti rauhan ja demokratian puolesta, kolmanneksi , paljastaa sen iso rooli henkisen kulttuurin luomisessa.
2. Kemian tunneilla suorat todisteet sokerin syttyvyydestä voidaan esittää kategorisena syllogismina: Kaikki hiilihydraatit ovat syttyviä. Sokeri on hiilihydraatti.
Sokeri on syttyvää. IN mod “Burda” teesi “Kateus on kaiken pahan juuri” on perusteltu suorien todisteiden avulla seuraavilla argumenteilla: “Kateus ei vain myrkyttää ihmisiä jokapäiväistä elämää, mutta voi johtaa vakavampiin seurauksiin, joten se kuuluu mustasukkaisuuden, vihan ja vihan ohella epäilemättä eniten huonoja piirteitä merkki. Huomaamattomana hiipivä kateus sattuu tuskallisesti ja syvästi. Ihminen kadehtii toisten hyvinvointia ja häntä piinaa tieto, että joku on onnekkaampi."
2. Käänteinen päättely(todiste) . Oletamme, että väite B on virheellinen ja osoitamme A:n virheellisyyden. Toisin sanoen itse asiassa varmistamme suoralla tavalla implikaation totuuden ((ei B) (ei A)), joka taulukon mukaan vastaa loogisesti alkuperäisen väitteen totuutta (A B).
3. "Ristiriidalla" -menetelmä.
Tätä menetelmää käytetään usein matematiikassa. Anna A - väitöskirja tai lause, joka on todistettava. Oletamme sen ristiriitaisesti A väärää, eli totta ei (tai). Oletuksesta päätämme seurauksia, jotka ovat ristiriidassa todellisuuden tai aiemmin todistettujen lauseiden kanssa. Meillä on samaan aikaan- on epätosi, se tarkoittaa, että sen negaatio on totta, ts., joka kaksiarvoisen klassisen logiikan lain mukaan (→ a) antaa a. Joten se on totta
, mikä oli todistettava. Koulussa on paljon esimerkkejä "ristiriitaisesta" todistamisesta tietenkin matematiikka. Näin esimerkiksi on todistettu lause, että suoran ulkopuolella olevasta pisteestä voidaan laskea vain yksi kohtisuora tälle suoralle. Ristiriitamenetelmällä todistetaan myös seuraava lause: "Jos kaksi suoraa ovat kohtisuorassa samaan tasoon nähden, ne ovat yhdensuuntaisia." Tämän lauseen todistus alkaa suoraan sanoilla: "Oletakaamme päinvastoin, eli että suorat viivat AB ja CD
ei rinnakkain."
Matemaattinen induktio
Tietojenkäsittelytieteen tietokoneohjelman sanotaan olevan oikea tai oikea, jos se tekee sen, mitä sen spesifikaatiossa sanotaan. Huolimatta siitä, että ohjelman testaus voi antaa odotetun tuloksen tietyn lähtötiedon tapauksessa, on muodollisilla logiikkatekniikoilla tarpeen todistaa, että oikea lähtötieto saadaan jokaiselle syötetylle alkuarvolle. Silmukoita sisältävän algoritmin oikeellisuuden tarkistaminen vaatii melko tehokkaan todistusmenetelmän nimeltä "».
Kaiken matemaattisen tutkimuksen perustana ovat deduktiiviset ja induktiiviset menetelmät. Deduktiivinen päättelytapa on päättelyä yleisestä erityiseen, ts. päättely, jonka lähtökohta on yleinen tulos ja loppupiste on erityinen tulos. Induktiota käytetään siirryttäessä tietyistä tuloksista yleisiin, ts. on deduktiivisen menetelmän vastakohta. Matemaattisen induktion menetelmää voidaan verrata edistymiseen. Tämän seurauksena aloitamme alhaalta loogista ajattelua tulemme korkeimmalle. Ihminen on aina pyrkinyt edistymään, kykyyn kehittää ajatuksiaan loogisesti, mikä tarkoittaa, että luonto itse on määrännyt hänet ajattelemaan induktiivisesti.
Matemaattisen induktion periaate tämä on seuraava lause:
Olkoon lauseita P ääretön sarja 1, P 2, ..., P n numeroitu luonnollisilla luvuilla ja: lause P 1 totta; jos jokin lausunto P k on totta, niin seuraava väite P k +1 on myös totta.
Sitten matemaattisen induktion periaate sanoo, että kaikki sekvenssin lauseet ovat tosia.
Toisin sanoen matemaattisen induktion periaate voidaan muotoilla seuraavasti: jos jonossa on ensin nainen ja jokaisen naisen takana on nainen, niin kaikki jonossa olevat ovat naisia.
Matemaattisen induktion periaatteeseen perustuvaa päättelytapaa kutsutaan matemaattisen induktion menetelmäksi. Ongelmien ratkaisemiseksi matemaattisen induktion menetelmällä on tarpeen:
1) muotoile ongelman lause lausesarjana P 1, P 2, ..., P n, ...;
2) todistaa tämä väite P 1 tosi (tätä vaihetta kutsutaan induktion perustaksi); 3) todista, että jos lause P n on totta jollekin n= k:lle, niin se pätee myös n = k + 1:lle (tätä vaihetta kutsutaan induktioaskeleeksi).
Johtopäätöksen epäluotettavuuden vuoksi induktio ei voi toimia todisteena. Mutta hän ontehokas heuristinen menetelmäeli uusien totuuksien löytämisen menetelmällä.
Induktio voi johtaa väärään johtopäätökseen. Joten esimerkiksi laskemalla lausekkeen n arvot 2 +n+17 arvolle n = 1,2,3, ..., 15, saamme aina alkuluvut, ja tämä viittaa siihen, että tämän lausekkeen arvo mille tahansa luonnolliselle luvulle n on alkuluku. Toisin sanoen viidentoista tietyn premissin perusteella saatiin yleinen johtopäätös, joka pätee äärettömään määrään yksittäisiä tapauksia, ja tämä johtopäätös osoittautuu vääräksi, koska jo n = 16:lle saadaan yhdistelmäluku 16 2 +16+17=172.
Matematiikan historiassa on ollut tapauksia, joissa kuuluisat matemaatikot ovat erehtyneet induktiivisissa johtopäätöksissään. Esimerkiksi P. Fermat ehdotti, että kaikki luvut muodossa 22 n + 1 ovat alkulukuja perustuen siihen, että n = 1,2,3,4 ne ovat alkulukuja, mutta L. Euler havaitsi, että jo n = 5 luku on 232 + 1 ei ole alkuluku (se on jaollinen luvulla 641). Mahdollisuus tehdä väärä johtopäätös induktion avulla ei kuitenkaan ole peruste induktion roolin kieltämiselle koulunkäynti matematiikka.
Esimerkki 1: Osoita suoralla päättelyllä, että kahden parittoman kokonaisluvun x ja y tulo xy on aina pariton.
Ratkaisu. Mikä tahansa pariton luku, ja erityisesti x, voidaan kirjoittaa muodossa x = 2 m + 1, missä m Z . Samoin y = 2 n + 1, n Z .
Tämä tarkoittaa tuotetta xy = (2 m + 1)(2 n + 1) = 4 min + 2 m + 2n + 1 = 2(2 mn + m + n ) + 1 on myös pariton luku.
Esimerkki 2: Olkoon n N . Osoita käänteisellä todistusmenetelmällä, että jos n 2 on pariton, sitten n on pariton.
Ratkaisu. Luvun parittomuutta koskevan väitteen kieltäminen n 2 on lausunto " n 2 tasaisuus" ja lausunto tasaisuudesta n on lauseen "numero n outoa." Siten on tarpeen osoittaa suoralla päättelyllä, että luvun pariteetti n tarkoittaa, että sen neliö on parillinen n 2.
Koska n on parillinen, niin n = 2 m jollekin kokonaisluvulle m. Siksi n 2 = 4 m 2 = 2(2 m 2 ) parillinen luku.
Esimerkki 3: Osoita ristiriitamenetelmällä, että yhtälön x ratkaisu 2 = 2 on ir rationaalinen luku, eli sitä ei voi kirjoittaa murtolukuna kokonaisluvun osoittajalla ja nimittäjällä.
Ratkaisu. Tässä pitäisi olettaa, että yhtälön x ratkaisu x 2 = 2 on rationaalinen eli kirjoitettu murtolukuna x = kokonaislukujen kanssa m ja n, joissa n 0. Tämän olettaen meidän on saatava ristiriita joko oletuksen tai jonkin aiemmin todistetun tosiasian kanssa.
Kuten tiedetään, rationaalinen luku kirjoitetaan moniselitteisesti
murto-osana. Esimerkiksi x = == jne. Sitä voidaan kuitenkin katsoa m ja n ei ole yhteisiä jakajia. Tässä tapauksessa tietueen epäselvyys katoaa.
Oletetaan siis lisäksi, että murto-osa x = redusoitumaton ( m ja n ei ole yhteisiä jakajia). Ehdolla luku x täyttää yhtälön x 2 = 2. Joten () 2 = 2, josta m 2 = 2 n 2 .
Viimeisestä yhtälöstä seuraa, että luku m 2 jopa. Siten, m on myös tasainen ja voidaan esittää muodossa m = 2p jollekin kokonaisluvulle p. Korvaa tämä tieto tasa-arvoon m2 = 2n2 , saamme sen 4p 2 = 2 n 2, eli n 2 = 2 × 2.
Mutta sitten n on myös parillinen luku. Näin ollen olemme osoittaneet, että miten m ja n parilliset luvut. Siksi niillä on yhteinen jakaja 2. Jos nyt muistamme, että oletimme, että murtoluvun osoittajalla ja nimittäjällä ei ollut yhteistä jakajaa, näemme selvän ristiriidan.
Löytynyt ristiriita johtaa meidät yksiselitteiseen johtopäätökseen: yhtälön x ratkaisuun 2 = 2 ei voi olla rationaalinen luku, eli se on irrationaalinen.
Esimerkki 4: Todistakaamme induktiolla seuraava yhtäläisyys (joka tietysti sallii muut todisteet):
1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1)/2.
Pohja. Kun n = 1, yhtälö muuttuu identiteetiksi 1 = 1·(1 + 1)/2.
Vaihe. Olkoon yhtälö voimassa n = k:lle: 1 + 2 + 3 + ... + k = k(k + 1)/2.
Lisätään tämän yhtälön molemmille puolille k + 1. Vasemmalla puolella saadaan summa 1+2+3+...+k+(k+1),ja oikealla - k(k+1)/2+(k+1)=(k(k+1)+2(k+1))/2=((k+2)(k+1)) / 2.
Joten 1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = (k + 1) (k + 2)/2, ja tämä on vaadittu yhtäläisyys arvolle n = k + 1, missä n tarkoittaa mielivaltaista luonnollinen luku.
Turvallisuuskysymykset
- Mitä eroa on todisteilla suoralla päättelyllä,käänteisesti, ristiriidassa?
- Mitä matemaattinen induktio tarkoittaa? Selitä matemaattisen induktion periaate.
Yksilölliset tehtävät
1. Todistusmenetelmien käyttäminen:
1) Todista väitteen totuus käyttämällä suoraa päättelyä: n ja m parillinen luku n + m parillinen luku.
2) Todista väitteelle käänteinen: n 2 parillinen luku n parillinen.
3) Todista se ristiriitaisesti n+m pariton luku yksi ehdoista on parillinen ja toinen on pariton.
2. Todista jokainen väite matemaattisen induktion menetelmällä.
1) 1 + 5 + 9 +…+(4 n - 3) = n (2 n 1) kaikille luonnolliset luvut n.
2) 1 2 +2 2 +…+ n 2 = n (n +1) (2 n +1)/6 kaikille luonnollisille luvuille n.
3) d kaikille luonnollisille luvuille n.
4) Numero n 3 n jaollinen kolmella luvun kaikille luonnollisille arvoille n.
5) 1*1! + 2* 2!+…+- n * n ! = (n + 1)! - 1 kaikille luonnollisille luvuille n.
(Symboli n! luetaan muodossa "n tekijä" ja tarkoittaa kaikkien luonnollisten lukujen tuloa 1:stä n mukaan lukien: n ! = l *2*3*** (n l )* n .)
Lisätehtävät:
1. Etsi virhe seuraavasta "todisteesta", että kaikki hevoset ovat samaa pukua.
Todistamme seuraavan väitteen induktiolla n:llä: "Missä tahansa n:n laumassa nämä ovat hevosia, jotka kaikki ovat samanvärisiä." Perus (n = 1) on ilmeinen: tässä tapauksessa kaikki hevoset ovat yhtä hevosta, se on ilmeisesti samaa maata. Ш: kaikkien k hevosen lauman hevosilla on oltava sama puku. Tarkastellaan k + 1 hevosen laumaa. Valitaan kaksi hevosta a ja b ja tarkastellaan loput k 1 hevosta. Tehdään näistä jäljellä olevista hevosista lauma lisäämällä a. Siinä on k hevosta, joten induktiohypoteesin mukaan ne ovat kaikki samaa maata. Tämä tarkoittaa, että hevosella a on sama väri kuin muilla hevosilla. Samoin on todistettu, että hevosella b on sama puku. Tämä tarkoittaa, että kaikilla k + 1 hevosilla on sama puku. Väite on todistettu.
2. Äärettömällä ruudullisella paperiarkilla maalataan 100 solua mustaksi ja kaikki loput valkoisiksi. Yhdellä liikkeellä voit maalata uudelleen mitkä tahansa neljä solua, jotka muodostavat 2x2 neliön vastakkaisella värillä. Todista, että muutamalla liikkeellä voit saavuttaa sen, että kaikki solut ovat valkoisia, jos ja vain jos jokainen vaaka- ja pystysuora sisältää parillisen määrän mustia soluja.
Matemaattisten termien selittävä sanakirja määrittelee todisteen lauseen ristiriidalla, käänteisen lauseen vastakohtana. "Ristitiitojen todistaminen on menetelmä lauseen (proposition) todistamiseksi, joka ei perustu itse lauseen, vaan sen ekvivalentin (ekvivalentin) lauseen todistamiseen. Ristiriitaista todistamista käytetään aina, kun suora lause on vaikea todistaa, mutta vastakkainen lause on helpompi todistaa. Ristiriitatodistuksessa lauseen johtopäätös korvataan sen kieltämisellä, ja päättelyn kautta päästään ehtojen negaatioon, ts. ristiriidaan, vastakkaiseen (vastakohta sille, mitä on annettu; tämä pelkistys absurdiin todistaa lauseen."
Ristiriitaista todistamista käytetään usein matematiikassa. Ristiriitainen todistaminen perustuu poissuljetun keskikohdan lakiin, joka koostuu siitä, että kahdesta väitteestä (lauseesta) A ja A (A:n negaatio), toinen niistä on tosi ja toinen epätosi./Matematiikan termien selittävä sanakirja: Opettajien käsikirja/O. V. Manturov [jne.]; muokannut V. A. Ditkina.- M.: Koulutus, 1965.- 539 s.: ill.-C.112/.
Ei olisi parempi julistaa avoimesti, että ristiriitaisen todistamisen menetelmä ei ole matemaattinen menetelmä, vaikka sitä käytetäänkin matematiikassa, että se on looginen menetelmä ja kuuluu logiikkaan. Onko hyväksyttävää väittää, että ristiriitaista todistusta "käytetään aina, kun suoraa lausetta on vaikea todistaa", kun itse asiassa sitä käytetään silloin ja vain silloin, kun sille ei ole korvaavaa.
Ansaitsee erityistä huomiota ja suoran ja käänteisen lauseen välisen suhteen ominaisuus. "Käänteinen lause tietylle lauseelle (tai tietylle lauseelle) on lause, jossa ehto on johtopäätös ja johtopäätös on annetun lauseen ehto. Tätä lausetta suhteessa käänteiseen lauseeseen kutsutaan suoraksi lauseeksi (alkuperäinen). Samanaikaisesti käänteinen lause käänteiseen lauseeseen on annettu lause; siksi suoraa ja käänteistä lausetta kutsutaan keskenään käänteisiksi. Jos suora (annettu) lause on tosi, niin käänteinen lause ei aina ole tosi. Esimerkiksi, jos nelikulmio on rombi, niin sen diagonaalit ovat keskenään kohtisuorassa (suora lause). Jos nelikulmion lävistäjät ovat keskenään kohtisuorassa, niin nelikulmio on rombi - tämä on väärin, eli käänteinen lause on epätosi./Matematiikan termien selittävä sanakirja: Opettajien käsikirja/O. V. Manturov [jne.]; muokannut V. A. Ditkina.- M.: Koulutus, 1965.- 539 s.: ill.-C.261 /.
Tämä ominaisuus Suoran ja käänteisen lauseen välinen suhde ei ota huomioon sitä, että suoran lauseen ehto hyväksytään annettuna, ilman todistetta, joten sen oikeellisuutta ei taata. Käänteislauseen ehtoa ei hyväksytä annettuna, koska se on todistetun suoran lauseen johtopäätös. Sen oikeellisuuden vahvistaa suoran lauseen todistus. Tämä olennainen looginen ero suoran ja käänteisen lauseen ehdoissa osoittautuu ratkaisevaksi kysymyksessä, mitkä lauseet voidaan ja ei voida todistaa loogisella menetelmällä ristiriitaisesti.
Oletetaan, että mielessä on suora lause, joka voidaan todistaa tavallisella matemaattisella menetelmällä, mutta on vaikeaa. Muotoilkaamme se yleinen näkemys lyhyessä muodossa näin: alkaen A pitäisi E . Symboli A on lauseen annetun ehdon merkitys, hyväksytty ilman todisteita. Symboli E tärkeintä on lauseen johtopäätös, joka on todistettava.
Todistamme suoran lauseen ristiriidalla, looginen menetelmä. Loogista menetelmää käytetään todistamaan lause, jolla on ei matemaattista kunto ja looginen kunto. Se voidaan saada, jos lauseen matemaattinen ehto alkaen A pitäisi E , täydentää täysin päinvastaisella ehdolla alkaen A ei pitäisi E .
Tuloksena oli uuden lauseen looginen ristiriitainen ehto, joka sisältää kaksi osaa: alkaen A pitäisi E Ja alkaen A ei pitäisi E . Tuloksena oleva uuden lauseen ehto vastaa poissuljetun keskikohdan loogista lakia ja vastaa lauseen todistetta ristiriitaisesti.
Lain mukaan yksi osa ristiriitaisesta ehdosta on epätosi, toinen osa on tosi ja kolmas on poissuljettu. Ristiriitatodistuksen tehtävä ja tarkoitus on määrittää tarkalleen mikä osa lauseen ehdon kahdesta osasta on väärä. Kun ehdon väärä osa on määritetty, toinen osa määritetään oikeaksi osaksi ja kolmas jätetään pois.
Mukaan selittävä sanakirja matemaattiset termit, "todiste on päättelyä, jonka aikana minkä tahansa väitteen (tuomion, väitteen, lauseen) totuus tai valhe vahvistetaan". Todiste ristiriidalla on perustelu, jonka aikana se vahvistetaan valheellisuus(absurdi) johtopäätöksestä, joka johtuu väärä todistettavan lauseen ehdot.
Annettu: alkaen A pitäisi E ja alkaen A ei pitäisi E .
Todista: alkaen A pitäisi E .
Todiste: Lauseen looginen ehto sisältää ristiriidan, joka vaatii sen ratkaisemista. Ehdon ristiriidan on löydettävä ratkaisunsa todistuksessa ja tuloksessa. Tulos osoittautuu vääräksi virheettömällä ja virheettömällä perustelulla. Syy väärään päätelmään loogisesti oikeassa päättelyssä voi olla vain ristiriitainen ehto: alkaen A pitäisi E Ja alkaen A ei pitäisi E .
Ei ole epäilystäkään siitä, että yksi ehdon osa on väärä ja toinen tässä tapauksessa totta. Kummallakin ehdon osalla on sama alkuperä, ne hyväksytään datana, oletetaan, yhtä mahdollisia, yhtä hyväksyttäviä jne. Loogisen päättelyn aikana ei löydetty yhtään loogista piirrettä, joka erottaisi ehdon osan toisesta . Näin ollen samassa määrin se voi olla alkaen A pitäisi E ja ehkä alkaen A ei pitäisi E . lausunto alkaen A pitäisi E Saattaa olla väärä, sitten lausunto alkaen A ei pitäisi E tulee olemaan totta. lausunto alkaen A ei pitäisi E voi olla väärä, niin väite alkaen A pitäisi E tulee olemaan totta.
Näin ollen on mahdotonta todistaa suoraa lausetta ristiriitaisesti.
Todistamme nyt tämän saman suoran lauseen tavallisella matemaattisella menetelmällä.
Annettu: A .
Todista: alkaen A pitäisi E .
Todiste.
1. From A pitäisi B
2. From B pitäisi IN (aiemmin todistetun lauseen mukaan)).
3. From IN pitäisi G (aiemmin todistetun lauseen mukaan).
4. From G pitäisi D (aiemmin todistetun lauseen mukaan).
5. From D pitäisi E (aiemmin todistetun lauseen mukaan).
Transitiivisuuden lain perusteella alkaen A pitäisi E . Suora lause todistetaan tavallisella menetelmällä.
Olkoon todistetulla suoralla lauseella oikea käänteislause: alkaen E pitäisi A .
Todistetaan se tavallisella matemaattinen menetelmä. Käänteisen lauseen todistus voidaan ilmaista symbolisessa muodossa matemaattisten operaatioiden algoritmina.
Annettu: E
Todista: alkaen E pitäisi A .
Todiste.
!. From E pitäisi D
1. From D pitäisi G (aiemmin todistetun käänteislauseen mukaan).
2. From G pitäisi IN (aiemmin todistetun käänteislauseen mukaan).
3. From IN ei pitäisi B (käänteinen lause ei pidä paikkaansa). Siksi alkaen B ei pitäisi A .
Tässä tilanteessa ei ole järkevää jatkaa käänteisen lauseen matemaattista todistusta. Syy tilanteeseen on looginen. Väärää käänteislausetta ei voi korvata millään. Siksi tätä käänteistä lausetta on mahdotonta todistaa tavallisella matemaattisella menetelmällä. Kaikki toivo on todistaa tämä käänteinen lause ristiriitaisesti.
Sen todistamiseksi ristiriidalla on välttämätöntä korvata sen matemaattinen ehto loogisella ristiriitaisella ehdolla, joka sisältää kaksi osaa - väärän ja tosi.
Käänteinen lause toteaa: alkaen E ei pitäisi A . Hänen tilansa E , josta seuraa johtopäätös A , on tulos suoran lauseen todistamisesta tavanomaisella matemaattisella menetelmällä. Tämä ehto on säilytettävä ja sitä on täydennettävä lausumalla alkaen E pitäisi A . Lisäyksen tuloksena saamme uuden käänteislauseen ristiriitaisen ehdon: alkaen E pitäisi A Ja alkaen E ei pitäisi A . Tämän perusteella loogisesti ristiriitainen ehto, käänteinen lause voidaan todistaa oikean avulla looginen vain päättely ja vain looginen menetelmä ristiriitaisesti. Ristiriitatodistuksessa kaikki matemaattiset toiminnot ja operaatiot ovat alisteisia loogisille, joten niitä ei lasketa.
Ristiriitaisen lausunnon ensimmäisessä osassa alkaen E pitäisi A kunto E todistettiin suoran lauseen todistuksella. Toisessa osassa alkaen E ei pitäisi A kunto E oletettiin ja hyväksyttiin ilman todisteita. Toinen niistä on totta ja toinen on totta. Sinun on todistettava, kumpi on väärä.
Todistamme sen oikein looginen päättelyä ja huomaa, että sen tulos on väärä, absurdi johtopäätös. Syy väärään loogiseen johtopäätökseen on lauseen ristiriitainen looginen ehto, joka sisältää kaksi osaa - väärän ja tosi. Väärä osa voi olla vain väite alkaen E ei pitäisi A , jossa E hyväksyttiin ilman todisteita. Tämä tekee siitä erilaisen E lausunnot alkaen E pitäisi A , mikä todistetaan suoran lauseen todistuksella.
Joten väite on totta: alkaen E pitäisi A , mikä oli todistettava.
Johtopäätös: loogisella menetelmällä vain käänteislause todistetaan ristiriidalla, jolla on suora lause, joka on todistettu matemaattisella menetelmällä ja jota ei voida todistaa matemaattisella menetelmällä.
Saatu päätelmä saa poikkeuksellisen merkityksen todistusmenetelmään nähden Fermatin suuren lauseen ristiriidassa. Suurin osa yrityksistä todistaa se ei perustu tavanomaiseen matemaattiseen menetelmään, vaan loogiseen ristiriitaisen todistamismenetelmään. Wilesin todistus Fermatin viimeisestä lauseesta ei ole poikkeus.
Toisin sanoen Gerhard Frey ehdotti Fermatin viimeisen lauseen yhtälöä x n + y n = z n
, Missä n > 2
, sisältää ratkaisut positiivisina kokonaislukuina. Nämä samat ratkaisut ovat Freyn oletuksen mukaan ratkaisuja hänen yhtälöönsä
y 2 + x (x - a n) (y + b n) = 0
, joka saadaan sen elliptisellä käyrällä.
Andrew Wiles hyväksyi tämän Freyn merkittävän löydön ja sen avulla matemaattinen menetelmä osoitti, että tätä löytöä, toisin sanoen Freyn elliptistä käyrää, ei ole olemassa. Siksi ei ole olemassa yhtälöä ja sen ratkaisuja, jotka annetaan olemattomalla elliptisellä käyrällä. Siksi Wilesin olisi pitänyt hyväksyä johtopäätös, että Fermatin viimeisestä lauseesta ja itse Fermatin lauseesta ei ole yhtälöä. Hän hyväksyy kuitenkin vaatimattomamman johtopäätöksen, että Fermatin viimeisen lauseen yhtälöllä ei ole ratkaisuja positiivisina kokonaislukuina.
Kiistaton tosiasia voi olla, että Wiles omaksui oletuksen, joka on täysin päinvastainen kuin Fermatin suuressa lauseessa. Se velvoittaa Wilesin todistamaan Fermatin viimeisen lauseen ristiriitaisesti. Seuratkaamme hänen esimerkkiään ja katsokaamme, mitä tästä esimerkistä seuraa.
Fermatin viimeinen lause sanoo, että yhtälö x n + y n = z n , Missä n > 2
Loogisen ristiriitaisen todistamismenetelmän mukaan tämä väite säilytetään, hyväksytään annettuna ilman todistetta ja täydennetään sitten vastakkaisella väitteellä: yhtälö x n + y n = z n , Missä n > 2 , sisältää ratkaisut positiivisina kokonaislukuina.
Olettama lausunto hyväksytään myös annettuna, ilman todisteita. Molemmat väitteet logiikan peruslakien näkökulmasta katsottuna ovat yhtä päteviä, yhtä päteviä ja yhtä mahdollisia. Oikean päättelyn avulla on määritettävä, mikä niistä on väärä, jotta voidaan sitten määrittää, että toinen väite on tosi.
Oikea päättely päättyy väärään, absurdiin johtopäätökseen, jonka looginen syy voi olla vain todistettavan lauseen ristiriitainen ehto, joka sisältää kaksi suoraan vastakkaisen merkityksen omaavaa osaa. Ne olivat looginen syy järjettömälle johtopäätökselle, ristiriitaisen todistuksen tulos.
Loogisesti oikean päättelyn aikana ei kuitenkaan löydetty ainuttakaan merkkiä, jonka perusteella olisi voitu todeta, mikä väite on väärä. Se voisi olla lausunto: yhtälö x n + y n = z n , Missä n > 2 , sisältää ratkaisut positiivisina kokonaislukuina. Samalla perusteella se voisi olla seuraava lause: yhtälö x n + y n = z n , Missä n > 2 , ei sisällä ratkaisuja positiivisina kokonaislukuina.
Päättelyn seurauksena voi olla vain yksi johtopäätös: Fermatin viimeistä lausetta ei voida todistaa ristiriitaisesti.
Olisi aivan eri asia, jos Fermatin viimeinen lause olisi käänteislause, jolla on suora lause, joka todistetaan tavallisella matemaattisella menetelmällä. Tässä tapauksessa se voitaisiin todistaa ristiriitaisesti. Ja koska se on suora lause, sen todistuksen ei tulisi perustua loogiseen ristiriitatodistusmenetelmään, vaan tavalliseen matemaattiseen menetelmään.
D. Abrarovin mukaan kuuluisin venäläisistä nykymatemaatikoista, akateemikko V. I. Arnold, reagoi "aktiivisesti skeptisesti" Wilesin todisteeseen. Akateemikko totesi: "Tämä ei ole oikeaa matematiikkaa - todellinen matematiikka on geometrista ja sillä on vahvat yhteydet fysiikkaan." Akateemikon lausunto ilmaisee Wilesin ei-matemaattisen todisteen Fermatin viimeisestä lauseesta.
Ristiriitaisesti on mahdotonta todistaa, että Fermatin viimeisen lauseen yhtälöllä ei ole ratkaisuja tai että sillä on ratkaisuja. Wilesin virhe ei ole matemaattinen, vaan looginen - todisteen käyttö ristiriitaisesti silloin, kun sen käyttö ei ole järkevää eikä Fermatin suuri lause todista.
Fermatin viimeistä lausetta ei voida todistaa käyttämällä tavallista matemaattinen menetelmä, jos siinä annettu: yhtälö x n + y n = z n , Missä n > 2 , ei ole ratkaisuja positiivisissa kokonaisluvuissa, ja jos se on on todistettava: yhtälö x n + y n = z n , Missä n > 2 , ei sisällä ratkaisuja positiivisina kokonaislukuina. Tässä muodossa ei ole lausetta, vaan tautologiaa, jolla ei ole merkitystä.
METHOD BY POPOSITE (jäljempänä MOP) on tieteellinen ja sovellettu menetelmä, joka on nimetty erinomaisen ukrainalaisen kouluttajan, useiden tieteellisten koulujen ja suuntaviivojen perustajan Vasily Kozmich Oppositen mukaan. V.K. Protivny syntyi 29. helmikuuta 1513 vanhan tyylin mukaan Nizhnie Lopuhin kylässä lähellä Chernigovia. Lapsuudesta lähtien Vasya oli heikko ja hauras poika ja jatkuvasti, alkaen päiväkoti, joutui ikätovereidensa pilkan kohteeksi, mikä myöhemmin määritti hänen huonon luonteensa.
Myöhemmin sanoista "tehdä kaikkensa kiusata muita" tuli itse asiassa V.K.n elämän motto. Joten kaikista huolimatta hän jätti syntyperänsä Kholmogoryn ja astui Moskovan valtionyliopistoon. Lomonosov (eikä Suvorov-kouluun, kuten hänen isänsä halusi), kaikista huolimatta hän ei koskaan mennyt naimisiin kenenkään kanssa (vaikka hänen isoäitinsä Vasilisa Vastapäätä löysi hänelle ainakin 14 morsiamea koko hänen elämänsä aikana), kaikista huolimatta hän sienikauden takia ei saanut The Fields Medal on matematiikan korkein palkinto.
Menetelmän ydin päinvastaisesta voidaan välittää seuraavilla seikoilla:
1. Tehdään virheellinen oletus.
2. Selviää, mitä tästä oletuksesta seuraa tunnetun tiedon perusteella.
3. Umpikuja on saavutettu.
4. Tehdään oikea johtopäätös, että virheellinen oletus on väärä.
Monista tiedemiehistä, filosofeista, tutkijoista ja jopa taiteilijoista tuli ukrainalaisen valistajan ajatusten innokkaita kannattajia. Esimerkiksi lobotomiaa käytettiin ensimmäistä kertaa lääketieteellisessä käytännössä, kun ikuinen filosofinen kiista aineen tai tietoisuuden ensisijaisuudesta yritettiin ratkaista lääketieteellisen kokeen avulla. Siten V.K. Protivnyn opiskelija Lobatševski loi ei-euklidisen geometrian, joten hänen ihailijansa Tšaikovski kirjoitti hymnin vaihtoehtoiselle rakkaudelle - "Sinisen Tonavan" valssin ja niin edelleen.
Päinvastaista menetelmää käytetään nykyään usein monilla eri aloilla ihmisen elämää. Esimerkiksi Moskovan pormestari Lužkov käyttää sitä menestyksekkäästi moskovilaisten taiteellisen maun kehittämiseen asentamalla kaupunkiin Tsereteli-veistoksia. Sisäasioiden keskusosaston johto päätti tällä menetelmällä löytää kuuluisan toimittajan Politkovskajan tappajat, koska muut menetelmät eivät tapauksen erityisen monimutkaisuuden vuoksi tuottaneet tuloksia. Moskovan poliisit, jotka ovat aseistautuneet MOP:lla, tietävät, että tunnistamalla johdonmukaisesti kaikki osapuolet, he seuraavat automaattisesti murhaajien jälkiä.
V.K.:n koko elämä ja jopa kuolema oli elävä esimerkki hänen menetelmästään. Tiedemies kuoli traagisesti 29. helmikuuta 1613 112-vuotiaana hirttäytyessään isoäitinsä Vasilisa Nastyasta huolimatta, joka ei antanut Vasily Kozmichin kokeilla hilloa jääkaapista. Huolimatta ambivalenttisesta asenteestaan V.K. Nastya kohtaan hänen huonon luonteensa vuoksi, useimmat tiedemiehet ja tutkijat pitävät MOP:ta yhtenä tehokkaimmista aseista moderni tiede yleensä ja matematiikassa erityisesti.
____________________________________
Vasily Kozmich Nasty, erinomainen ukrainalainen kouluttaja (1513 - 1613)
ilmaisen kiitollisuuteni
Ristiriitaiselle todistamiselle (latinaksi "reductio ad absurdum") on tunnusomaista se, että itse mielipiteen todistamisprosessi suoritetaan kumoamalla päinvastainen väite. Antiteesin virheellisyys voidaan todistaa osoittamalla, että se on ristiriidassa todellisen väitteen kanssa.
Tyypillisesti tämä menetelmä osoitetaan selvästi käyttämällä kaavaa, jossa A on antiteesi ja B on totuus. Jos ratkaisemisen yhteydessä käy ilmi, että muuttujan A läsnäolo johtaa erilaisiin tuloksiin kuin B, niin A:n vääryys todistetaan.
Todista ristiriitaisesti käyttämättä totuutta
On myös helpompi todiste "vastakohta" - antiteesin - vääryydestä. Tällainen kaava-sääntö sanoo: "Jos muuttujalla A ratkaistaessa kaavassa syntyy ristiriita, A on epätosi." Sillä ei ole väliä, onko antiteesi kielteinen vai myönteinen tuomio. Lisäksi yksinkertaisempi ristiriitaisen todistamisen menetelmä sisältää vain kaksi tosiasiaa: teesiä ja antiteesia totuus B:tä ei käytetä. Tämä yksinkertaistaa huomattavasti todistusprosessia.
Apagogia
Ristiriitaisen todistamisen prosessissa (kutsutaan myös "pelkistykseen absurdiksi") käytetään usein apagogiaa. Tämä on looginen tekniikka, jonka tarkoituksena on osoittaa minkä tahansa tuomion virheellisyys siten, että ristiriita paljastuu suoraan siinä tai siitä aiheutuvissa seurauksissa. Ristiriita voidaan ilmaista ilmeisen identtisellä erilaisia esineitä tai johtopäätöksinä: konjunktio tai parit B eikä B (tosi ja ei totta).
Usein käytetään ristiriitaisen todistamisen menetelmää. Monissa tapauksissa tuomion virheellisyyttä ei ole mahdollista todistaa millään muulla tavalla. Apagogian lisäksi on olemassa myös paradoksaalinen ristiriidan todistamisen muoto. Tätä muotoa käytettiin Euklidesin elementeissä ja se edustaa seuraavaa sääntöä: A katsotaan todistetuksi, jos on mahdollista osoittaa A:n "totuus".
Siten ristiriitaisen todistamisen prosessi (kutsutaan myös epäsuoraksi ja apogogiseksi todisteeksi) näyttää tältä. Esitetään mielipide, joka on päinvastainen, ja tästä vastakkaisuudesta tehdään johtopäätökset, joiden joukosta etsitään väärää. He löytävät todisteita siitä, että seurausten joukossa on todellakin väärä. Tästä tehdään johtopäätös, että antiteesi on väärä, ja koska antiteesi on väärä, seuraa looginen johtopäätös, että totuus sisältyy juuri teesiin.
Oppitunti voi alkaa opettajan tarinalla.
Vashchenko N.M., luokassa
Sokeri on syttyvää. Muinainen Kreikka kaikille puhujille opetettiin geometriaa. Koulun oviin oli kirjoitettu: "Joka ei tunne geometriaa, menköön tänne sisään." Miksi? Kyllä, koska geometria opettaa todistamaan. Ja ihmisen puhe on vakuuttava vain silloin, kun hän todistaa johtopäätöksensä. Päättelyssään ihmiset käyttävät usein todistelumenetelmää, jota kutsutaan "ristiriitaiseksi".
Annetaan esimerkkejä sellaisista todisteista.
Esimerkki 1. Partiolaiset saivat tehtävän: selvittää, onko tässä kylässä vihollisen panssarivaunua. Tiedustelupäällikkö raportoi: jos kylässä olisi ollut panssarivaunukolonni, niin siellä olisi ollut toukkien jälkiä, mutta emme löytäneet niitä.
Päättelykaavio. Se on todistettava: ei ole saraketta. Oletetaan, että siellä on sarake. Sitten pitää olla jälkiä. Ristiriita - ei ole jälkiä. Johtopäätös: oletus on virheellinen, mikä tarkoittaa, että säiliökolonnia ei ole.
Esimerkki 2. Tutkittuaan sairaan lapsen lääkäri sanoo:
”Lapsella ei ole tuhkarokkoa. Jos hänellä olisi tuhkarokko, hänen kehossaan olisi ihottuma, mutta ihottumaa ei ole."
Lääkärin perustelut toteutettiin myös yllä olevan kaavion mukaisesti.
Kysytään: "Mikä on ristiriitaisen todistamismenetelmän ydin - ja taulukko julkaistaan" (taulukko 5).
Ristiriitaisesti voit ratkaista aiemmin tunnettuja ongelmia.
1. Annettu: a||b, suorat c ja a leikkaavat. Todista: suorat c ja b leikkaavat.
Todiste.
1) Oletetaan, että b||с.
2) Sitten käy ilmi, että pisteen O (suorien a ja c leikkauspisteen) kautta kulkee kaksi erilaista suoraa a ja b, jotka ovat yhdensuuntaisia suoran b kanssa.
3) Tämä on ristiriidassa yhdensuuntaisten suorien aksiooman kanssa.
Johtopäätös: tämä tarkoittaa, että olettamuksemme on virheellinen, mutta se, mikä vaadittiin todistettavaksi, on totta, eli että suorat leikkaavat.
2. Annettu: A, B, C - suoran a pisteet, AB = 5 cm, AC = 2 cm, BC = 7 cm. Todista:
Todiste.
1) Oletetaan, että piste C on pisteiden A ja B välissä.
2) Sitten mittaussegmenttien aksiooman mukaan AB = AC + CBA
3) Tämä on ristiriidassa ehdon kanssa: AB = AC + CB, koska AB = 5 cm, AC + C5 = 9 cm.
Johtopäätös: Piste C ei ole pisteiden A ja B välissä.
3. Annettu: AB - puolisuora, C AB, AC< АВ. Todista:
Todiste.
1) Oletetaan, että piste B on pisteiden A ja C välissä.
2) Sitten mittaussegmenttien AB + BC = AC, eli AB, aksiooman mukaan 3) Tämä on ristiriidassa ongelman ehtojen kanssa: AC<АВ. Johtopäätös: Piste B ei ole pisteiden A ja C välissä. Ongelmanratkaisu on dokumentoitu muistikirjoihin. Voit auttaa oppilaita oppimaan ristiriitaisen todistusmenetelmän olemuksen ja säästämään aikaa ongelmien ratkaisemisessa käyttämällä paksusta paperista valmistettuja ja muovipusseihin laitettuja vihjekortteja. Opiskelijan tulee täyttää muovikelmuun puuttuvat kohdat. Nauhan tallenteet on helppo pyyhkiä pois, joten kortteja voi käyttää toistuvasti. Kortti näyttää tältä: Oletetaan päinvastoin kuin todistettava, ts. Tästä seuraa olettamuksesta, että (perustuu...... Meillä on ristiriita. Tämä tarkoittaa, että olettamuksemme on virheellinen, mutta se, mikä vaadittiin todistettavaksi, on totta, ts. Kotitehtävät: s. "Ristiriitainen todistaminen" § 2 sanoihin: "Selvitetään tämä...". 1. Osoita, että jos MN = 8 m, MK = 5 m, NK - 10 m, niin pisteet M, N ja K eivät ole samalla suoralla. 2. Todista, että jos<(ab) = 100°, <(be) - 120°, то луч с не проходит между сторонами угла (ab). 3. Todista Lause 1.1 ristiriidalla.