Sen ympärille piirretyn puolisuunnikkaan säde. Trapetsin mielenkiintoisia ominaisuuksia

Tässä artikkelissa yritämme heijastaa puolisuunnikkaan ominaisuuksia mahdollisimman täydellisesti. Erityisesti puhumme puolisuunnikkaan yleisistä ominaisuuksista ja ominaisuuksista sekä piirretyn puolisuunnikkaan ja ympyrän ominaisuuksista. Käsittelemme myös tasakylkisen ja suorakaiteen muotoisen puolisuunnikkaan ominaisuuksia.

Esimerkki ongelman ratkaisemisesta käsiteltyjen ominaisuuksien avulla auttaa sinua selvittämään sen päässäsi ja muistamaan materiaalin paremmin.

Trapetsi ja kaikki-kaikki

Aluksi muistellaan lyhyesti, mikä on puolisuunnikkaan ja mitä muita käsitteitä siihen liittyy.

Joten puolisuunnikkaan on nelikulmainen kuvio, jonka kaksi sivua ovat yhdensuuntaiset toistensa kanssa (nämä ovat kanta). Ja nämä kaksi eivät ole rinnakkaisia - nämä ovat sivut.

Puolisuunnikkaan korkeutta voidaan laskea - kohtisuoraan pohjaan nähden. Keskiviiva ja diagonaalit piirretään. On myös mahdollista piirtää puolittaja mistä tahansa puolisuunnikkaan kulmasta.

Puhumme nyt kaikkiin näihin elementteihin liittyvistä erilaisista ominaisuuksista ja niiden yhdistelmistä.

Puolisuunnikkaan diagonaalien ominaisuudet

Selvittääksesi sen, kun luet, piirrä puolisuunnikkaan muotoinen ACME paperille ja piirrä siihen diagonaalit.

Jos löydät kunkin lävistäjän keskipisteet (kutsutaanko näitä pisteitä X ja T) ja yhdistät ne, saat janan. Yksi puolisuunnikkaan diagonaalien ominaisuuksista on, että segmentti HT on keskiviivalla. Ja sen pituus voidaan saada jakamalla emästen ero kahdella: ХТ = (a – b)/2.
Edessämme on sama puolisuunnikkaan muotoinen ACME. Lävistäjät leikkaavat pisteessä O. Tarkastellaan kolmioita AOE ja MOK, jotka muodostuvat lävistäjän segmenteistä yhdessä puolisuunnikkaan kantojen kanssa. Nämä kolmiot ovat samanlaisia. Kolmioiden samankaltaisuuskerroin k ilmaistaan puolisuunnikkaan kantaosien suhteena: k = AE/KM.
Kolmioiden AOE ja MOK pinta-alojen suhdetta kuvaa kerroin k 2 .
Sama puolisuunnikas, samat lävistäjät leikkaavat pisteessä O. Vain tällä kertaa tarkastellaan kolmioita, jotka lävistäjän segmentit muodostivat yhdessä puolisuunnikkaan sivujen kanssa. Kolmioiden AKO ja EMO pinta-alat ovat yhtä suuret - niiden pinta-alat ovat samat.
Toinen puolisuunnikkaan ominaisuus on diagonaalien rakentaminen. Joten jos jatkat AK:n ja ME:n sivuja pienemmän kannan suuntaan, niin ennemmin tai myöhemmin ne leikkaavat tietyssä kohdassa. Piirrä seuraavaksi suora viiva puolisuunnikkaan pohjien keskelle. Se leikkaa kantat pisteissä X ja T.
Jos nyt pidennetään suoraa XT, niin se yhdistää yhteen puolisuunnikkaan O lävistäjien leikkauspisteen, pisteen, jossa sivujen jatkeet ja kantojen X ja T leikkaavat.
Diagonaalien leikkauspisteen kautta piirretään jana, joka yhdistää puolisuunnikkaan kantat (T on pienemmässä kantassa KM, X on suuremmassa AE). Diagonaalien leikkauspiste jakaa tämän segmentin seuraavassa suhteessa: TO/OX = KM/AE.
Nyt piirrämme lävistäjien leikkauspisteen kautta janan, joka on yhdensuuntainen puolisuunnikkaan kantojen (a ja b) kanssa. Leikkauspiste jakaa sen kahteen yhtä suureen osaan. Löydät segmentin pituuden kaavalla 2ab/(a + b).

Trapetsin keskiviivan ominaisuudet

Piirrä puolisuunnikkaan keskiviiva sen kannan suuntaisesti.

Puolisuunnikkaan keskiviivan pituus voidaan laskea laskemalla yhteen jalkojen pituudet ja jakamalla ne kahtia: m = (a + b)/2.
Jos piirrät minkä tahansa janan (esimerkiksi korkeuden) puolisuunnikkaan molempien kannan läpi, keskiviiva jakaa sen kahteen yhtä suureen osaan.

Puolisuunnikkaan puolittajaominaisuus

Valitse mikä tahansa puolisuunnikkaan kulma ja piirrä puolittaja. Otetaan esimerkiksi puolisuunnikkaan ACME kulma KAE. Kun olet suorittanut rakentamisen itse, voit helposti varmistaa, että puolittaja katkaisee alustasta (tai sen jatkeesta suoralla linjalla itse kuvan ulkopuolella) sivun kanssa samanpituisen segmentin.

Puolisuunnikkaan kulmien ominaisuudet

Kumpi kahdesta valitsemasi sivun viereisestä kulmaparista tahansa, parin kulmien summa on aina 180 0: α + β = 180 0 ja γ + δ = 180 0.
Yhdistetään puolisuunnikkaan kantajen keskipisteet janalla TX. Katsotaanpa nyt puolisuunnikkaan pohjien kulmia. Jos kulmien summa jollekin niistä on 90 0, janan pituus TX voidaan laskea helposti kantajen pituuksien eron perusteella jaettuna puoliksi: TX = (AE – KM)/2.
Jos yhdensuuntaiset viivat piirretään puolisuunnikkaan kulman sivujen läpi, ne jakavat kulman sivut suhteellisiksi segmenteiksi.

Tasakylkisen (tasakylkinen) puolisuunnikkaan ominaisuudet

IN tasakylkinen puolisuunnikkaan muotoinen kulmat ovat yhtä suuret mille tahansa kannalle.
Rakenna nyt uudelleen puolisuunnikkaan muoto, jotta on helpompi kuvitella, mistä puhumme. Katso tarkkaan kantaa AE - vastakkaisen kannan M kärki projisoidaan tiettyyn pisteeseen viivalla, joka sisältää AE:n. Etäisyys kärjestä A kärjen M projektiopisteeseen ja tasakylkisen puolisuunnikkaan keskiviivaan ovat yhtä suuret.
Muutama sana tasakylkisen puolisuunnikkaan diagonaalien ominaisuuksista - niiden pituudet ovat yhtä suuret. Ja myös näiden diagonaalien kaltevuuskulmat puolisuunnikkaan pohjaan nähden ovat samat.
Vain tasakylkisen puolisuunnikkaan ympärillä voidaan kuvata ympyrää, koska nelikulmion vastakkaisten kulmien summa on 180 0 - edellytys tätä varten.
Tasakylkisen puolisuunnikkaan ominaisuus seuraa edellisestä kappaleesta - jos ympyrä voidaan kuvata lähellä puolisuunnikasta, se on tasakylkinen.
Tasakylkisen puolisuunnikkaan ominaisuuksista seuraa puolisuunnikkaan korkeuden ominaisuus: jos sen lävistäjät leikkaavat suorassa kulmassa, niin korkeuden pituus on yhtä suuri kuin puolet kantajen summasta: h = (a + b)/2.
Piirrä jälleen jana TX puolisuunnikkaan kantajen keskipisteiden läpi - tasakylkisessä puolisuunnikkaan se on kohtisuorassa kantaan nähden. Ja samalla TX on tasakylkisen puolisuunnikkaan symmetria-akseli.
Tällä kertaa laske korkeus puolisuunnikkaan vastakkaisesta kärjestä suurempaan kantaan (kutsutaanko sitä a). Saat kaksi segmenttiä. Yhden pituus löytyy, jos pohjan pituudet lasketaan yhteen ja jaetaan kahtia: (a + b)/2. Toisen saamme, kun vähennämme pienemmän suuremmasta kannasta ja jaamme tuloksena saadun eron kahdella: (a–b)/2.

Ympyrään piirretyn puolisuunnikkaan ominaisuudet

Koska puhumme jo ympyrään kirjoitetusta puolisuunnikasta, katsotaanpa tätä asiaa yksityiskohtaisemmin. Erityisesti siinä, missä ympyrän keskipiste on suhteessa puolisuunnikkaan. Tässäkin on suositeltavaa ottaa aikaa kynän ottamiseen ja piirtää alla kuvatut asiat. Näin ymmärrät nopeammin ja muistat paremmin.

Ympyrän keskipisteen sijainti määräytyy puolisuunnikkaan diagonaalin kaltevuuskulman mukaan sivulle. Esimerkiksi lävistäjä voi ulottua puolisuunnikkaan yläosasta suorassa kulmassa sivulle. Tässä tapauksessa suurempi kanta leikkaa ympyrän keskikohdan tarkalleen keskellä (R = ½AE).
Diagonaali ja sivu voivat kohdata myös terävässä kulmassa - silloin ympyrän keskipiste on puolisuunnikkaan sisällä.
Piirretyn ympyrän keskipiste voi olla puolisuunnikkaan ulkopuolella, sen suuremman kannan ulkopuolella, jos puolisuunnikkaan lävistäjän ja sivun välillä on tylppä kulma.
Puolisuunnikkaan ACME diagonaalin ja suuren pohjan muodostama kulma (kirjoitettu kulma) on puolet sitä vastaavasta keskikulmasta: MAE = ½ MOE.
Lyhyesti kahdesta tavasta löytää rajatun ympyrän säde. Tapa yksi: katso tarkasti piirustustasi - mitä näet? Voit helposti huomata, että diagonaali jakaa puolisuunnikkaan kahdeksi kolmioksi. Säde voidaan löytää kolmion sivun suhteesta vastakkaisen kulman siniin kerrottuna kahdella. Esimerkiksi, R = AE/2*sinAME. Samalla tavalla kaava voidaan kirjoittaa kummankin kolmion mille tahansa sivulle.
Tapa kaksi: etsi rajatun ympyrän säde kolmion alueen läpi, jonka muodostavat puolisuunnikkaan lävistäjä, sivu ja kanta: R = AM*ME*AE/4*S AME.

Ympyrän ympärille piirretyn puolisuunnikkaan ominaisuudet

Voit sovittaa ympyrän puolisuunnikkaan, jos yksi ehto täyttyy. Lue siitä lisää alta. Ja yhdessä tällä lukuyhdistelmällä on useita mielenkiintoisia ominaisuuksia.

Jos ympyrä on piirretty puolisuunnikkaan, sen keskiviivan pituus saadaan helposti selville lisäämällä sivujen pituudet ja jakamalla saatu summa puoliksi: m = (c + d)/2.
Ympyrän ympärille kuvatun puolisuunnikkaan ACME kannan pituuksien summa on yhtä suuri kuin sivujen pituuksien summa: AK + ME = KM + AE.
Tästä puolisuunnikkaan kantojen ominaisuudesta seuraa käänteinen väite: puolisuunnikkaan voidaan kirjoittaa ympyrä, jonka kantajen summa on yhtä suuri kuin sen sivujen summa.
Puolisuunnikkaan kirjoitetun ympyrän, jonka säde on r, tangenttipiste jakaa sivun kahteen osaan, kutsutaan niitä a:ksi ja b:ksi. Ympyrän säde voidaan laskea kaavalla: r = √ab.
Ja vielä yksi omaisuus. Vältä sekaannukset piirtämällä tämä esimerkki myös itse. Meillä on vanha kunnon puolisuunnikkaan muotoinen ACME, joka on kuvattu ympyrän ympärillä. Se sisältää lävistäjät, jotka leikkaavat pisteessä O. Kolmiot AOK ja EOM, jotka muodostuvat lävistäjien segmenteistä ja sivusivuista, ovat suorakaiteen muotoisia.
Näiden kolmioiden korkeudet laskettuna hypotenuusille (eli puolisuunnikkaan sivusivuille) osuvat yhteen piirretyn ympyrän säteiden kanssa. Ja puolisuunnikkaan korkeus on sama kuin piirretyn ympyrän halkaisija.

Suorakaiteen muotoisen puolisuunnikkaan ominaisuudet

Puolisuunnikkaan kutsutaan suorakaiteen muotoiseksi, jos yksi sen kulmista on oikea. Ja sen ominaisuudet johtuvat tästä seikasta.

Suorakaiteen muotoisen puolisuunnikkaan toinen sivu on kohtisuorassa pohjaansa nähden.
Suoran kulman vieressä olevan puolisuunnikkaan korkeus ja sivu ovat yhtä suuret. Tämän avulla voit laskea suorakaiteen muotoisen puolisuunnikkaan alueen (yleinen kaava S = (a + b) * h/2) ei vain korkeuden, vaan myös oikean kulman vieressä olevan sivun kautta.
Suorakaiteen muotoiselle puolisuunnikkaan edellä kuvatut puolisuunnikkaan diagonaalien yleiset ominaisuudet ovat merkityksellisiä.

Todisteet joistakin puolisuunnikkaan ominaisuuksista

Kulmien yhtäläisyys tasakylkisen puolisuunnikkaan pohjassa:

Luultavasti arvasit jo, että täällä tarvitsemme jälleen AKME-suunnikkaan - piirrä tasakylkinen puolisuunnikkaan. Piirrä pisteestä M suora MT AK:n sivun suuntaisesti (MT || AK).

Tuloksena oleva nelikulmio AKMT on suunnikas (AK || MT, KM || AT). Koska ME = KA = MT, ∆ MTE on tasakylkinen ja MET = MTE.

AK || MT, joten MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

Missä AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.

Q.E.D.

Todistamme nyt tasakylkisen puolisuunnikkaan ominaisuuden (lävistäjän yhtäläisyys) perusteella, että puolisuunnikkaan ACME on tasakylkinen:

Piirretään ensin suora MX – MX || KE. Saadaan suunnikas KMHE (kanta – MX || KE ja KM || EX).

∆AMX on tasakylkinen, koska AM = KE = MX ja MAX = MEA.

MH || KE, KEA = MXE, joten MAE = MXE.

Osoittautuu, että kolmiot AKE ja EMA ovat keskenään yhtä suuret, koska AM = KE ja AE ovat näiden kahden kolmion yhteinen sivu. Ja myös MAE = MXE. Voidaan päätellä, että AK = ME, ja tästä seuraa, että puolisuunnikkaan AKME on tasakylkinen.

Tarkista tehtävä

Puolisuunnikkaan ACME pohjat ovat 9 cm ja 21 cm, sivusivu KA, joka on 8 cm, muodostaa 150 0 kulman pienemmän pohjan kanssa. Sinun on löydettävä puolisuunnikkaan pinta-ala.

Ratkaisu: Huipulta K lasketaan korkeus puolisuunnikkaan suurempaan kantaan. Ja aloitetaan katsomaan puolisuunnikkaan kulmia.

Kulmat AEM ja KAN ovat yksipuolisia. Tämä tarkoittaa, että yhteensä he antavat 180 0. Siksi KAN = 30 0 (perustuen puolisuunnikkaan muotoisten kulmien ominaisuuteen).

Tarkastellaan nyt suorakaiteen muotoista ∆ANC:tä (luulen, että tämä kohta on ilmeinen lukijoille ilman lisätodisteita). Siitä löydämme puolisuunnikkaan KH korkeuden - kolmiossa se on jalka, joka on vastapäätä kulmaa 30 0. Siksi KH = ½AB = 4 cm.

Löydämme puolisuunnikkaan pinta-alan kaavalla: S ACME = (KM + AE) * KN/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 cm 2.

Jälkisana

Jos tutkit tätä artikkelia huolellisesti ja harkiten, etkä ollut liian laiska piirtämään puolisuunnikkaita kaikille annetuille ominaisuuksille kynällä käsissäsi ja analysoimaan niitä käytännössä, sinun olisi pitänyt hallita materiaali hyvin.

Tietenkin täällä on paljon tietoa, vaihtelevaa ja joskus jopa hämmentävää: ei ole niin vaikeaa sekoittaa kuvatun puolisuunnikkaan ominaisuuksia piirretyn ominaisuuksiin. Mutta olet itsekin nähnyt, että ero on valtava.

Nyt sinulla on yksityiskohtainen yhteenveto kaikille yleiset ominaisuudet trapetsoidit. Ja myös erityisiä ominaisuuksia ja tasakylkisten ja suorakaiteen muotoisten puolisuunnikkaan merkit. Se on erittäin kätevä käyttää kokeisiin ja kokeisiin valmistautumiseen. Kokeile itse ja jaa linkki ystävillesi!

blog.site, kopioitaessa materiaalia kokonaan tai osittain, vaaditaan linkki alkuperäiseen lähteeseen.

Jana, joka yhdistää puolisuunnikkaan lävistäjien keskipisteet, on yhtä suuri kuin puolet kantojen erosta
Kolmiot, jotka muodostavat puolisuunnikkaan kantat ja lävistäjän segmentit niiden leikkauspisteeseen asti, ovat samanlaisia
Kolmiot, jotka muodostuvat puolisuunnikkaan lävistäjän segmenteistä, joiden sivut ovat puolisuunnikkaan sivusivuilla, ovat pinta-alaltaan yhtä suuret (on sama alue)
Jos ojennat puolisuunnikkaan sivuja kohti pienempää kantaa, ne leikkaavat yhdessä pisteessä kannan keskipisteitä yhdistävän suoran kanssa
Jana, joka yhdistää puolisuunnikkaan kantat ja kulkee puolisuunnikkaan diagonaalien leikkauspisteen kautta, jaetaan tällä pisteellä suhteessa puolisuunnikkaan kantajen pituuksien suhteeseen
Jana, joka on yhdensuuntainen puolisuunnikkaan kantojen kanssa ja piirretty lävistäjien leikkauspisteen kautta, jaetaan tällä pisteellä puoliksi, ja sen pituus on 2ab/(a + b), missä a ja b ovat janan kantat. puolisuunnikkaan muotoinen

Puolisuunnikkaan lävistäjien keskipisteitä yhdistävän janan ominaisuudet

Yhdistetään puolisuunnikkaan ABCD lävistäjien keskipisteet, minkä seurauksena meillä on jana LM.
Jana, joka yhdistää puolisuunnikkaan diagonaalien keskipisteet sijaitsee puolisuunnikkaan keskiviivalla.

Tämä segmentti yhdensuuntainen puolisuunnikkaan kantojen kanssa.

Puolisuunnikkaan lävistäjien keskipisteitä yhdistävän janan pituus on yhtä suuri kuin puolet sen kantojen erosta.

LM = (AD - BC)/2
tai
LM = (a-b)/2

Puolisuunnikkaan diagonaalien muodostamien kolmioiden ominaisuudet

Kolmiot, jotka muodostuvat puolisuunnikkaan kantasta ja puolisuunnikkaan lävistäjien leikkauspisteestä - ovat samanlaisia.
Kolmiot BOC ja AOD ovat samanlaisia. Koska kulmat BOC ja AOD ovat pystysuorat, ne ovat yhtä suuret.
Kulmat OCB ja OAD ovat sisäkulmia, jotka ovat ristikkäin yhdensuuntaisten viivojen AD ja BC kanssa (suunnikkaan kantat ovat yhdensuuntaiset toistensa kanssa) ja katkoviivan AC kanssa, joten ne ovat yhtä suuret.
Kulmat OBC ja ODA ovat samat samasta syystä (sisäinen ristikkäin).

Koska yhden kolmion kaikki kolme kulmaa ovat yhtä suuria kuin toisen kolmion vastaavat kulmat, nämä kolmiot ovat samanlaisia.

Mitä tästä seuraa?

Geometrian ongelmien ratkaisemiseksi käytetään kolmioiden samankaltaisuutta seuraavasti. Jos tiedämme kahden vastaavan elementin pituudet samanlaisia kolmioita, niin löydämme samankaltaisuuskertoimen (jaamme toisella). Mistä kaikkien muiden elementtien pituudet liittyvät toisiinsa täsmälleen samalla arvolla.

Sivusuunnikkaan sivuilla olevien kolmioiden ja lävistäjien ominaisuudet

Tarkastellaan kahta kolmiota, jotka sijaitsevat puolisuunnikkaan AB ja CD sivuilla. Nämä ovat kolmiot AOB ja COD. Huolimatta siitä, että näiden kolmioiden yksittäisten sivujen koot voivat olla täysin erilaisia, mutta sivusuunnikkaan sivusivujen ja lävistäjien leikkauspisteen muodostamien kolmioiden pinta-alat ovat yhtä suuret eli kolmiot ovat samankokoisia.

Jos pidennetään puolisuunnikkaan sivuja pienempää pohjaa kohti, niin sivujen leikkauspiste on yhtyvät pohjan keskeltä kulkevan suoran linjan kanssa.

Siten mikä tahansa puolisuunnikasta voidaan laajentaa kolmioksi. Tässä tapauksessa:

Kolmiot, jotka muodostavat puolisuunnikkaan kantat, joilla on yhteinen kärki laajennettujen sivujen leikkauspisteessä, ovat samanlaisia
Puolisuunnikkaan kantakohtien keskipisteitä yhdistävä suora on samalla muodostetun kolmion mediaani

Puolisuunnikkaan kantat yhdistävän segmentin ominaisuudet

Jos piirretään jana, jonka päät ovat puolisuunnikkaan kannoilla, joka on puolisuunnikkaan lävistäjien leikkauspisteessä (KN), niin sen muodostavien segmenttien suhde kannan sivulta leikkauspisteeseen diagonaaleista (KO/ON) on yhtä suuri kuin puolisuunnikkaan kantaosien suhde(BC/AD).

KO/ON = BC/AD

Tämä ominaisuus johtuu vastaavien kolmioiden samankaltaisuudesta (katso edellä).

Puolisuunnikkaan kantojen kanssa yhdensuuntaisen janan ominaisuudet

Jos piirretään jana, joka on yhdensuuntainen puolisuunnikkaan kantojen kanssa ja kulkee puolisuunnikkaan lävistäjän leikkauspisteen kautta, sillä on seuraavat ominaisuudet:

Määritetty etäisyys (KM) puolisuunnikkaan diagonaalien leikkauspisteen puolittama
Osion pituus joka kulkee puolisuunnikkaan lävistäjien leikkauspisteen läpi ja yhdensuuntainen kantaan nähden on yhtä suuri kuin KM = 2ab/(a + b)

Kaavat puolisuunnikkaan diagonaalien löytämiseksi

a, b- puolisuunnikkaan muotoiset pohjat

c, d- puolisuunnikkaan sivut

d1 d2- puolisuunnikkaan diagonaalit

α β - kulmat, joissa puolisuunnikkaan pohja on suurempi

Kaavat puolisuunnikkaan lävistäjän löytämiseksi kannan, sivujen ja kulmien läpi pohjassa

Ensimmäinen kaavojen ryhmä (1-3) kuvastaa yhtä puolisuunnikkaan diagonaalien pääominaisuuksista:

1. Puolisuunnikkaan diagonaalien neliöiden summa on yhtä suuri kuin sivujen neliöiden summa plus kaksinkertainen kantansa tulo. Tämä puolisuunnikkaan diagonaalien ominaisuus voidaan todistaa erillisenä lauseena

2 . Tämä kaava saadaan muuntamalla edellinen kaava. Toisen lävistäjän neliö heitetään yhtäläisyysmerkin läpi, minkä jälkeen neliöjuuri erotetaan lausekkeen vasemmalta ja oikealta puolelta.

3 . Tämä kaava puolisuunnikkaan lävistäjän pituuden löytämiseksi on samanlainen kuin edellinen sillä erolla, että lausekkeen vasemmalle puolelle jää toinen diagonaali

Seuraava kaavojen ryhmä (4-5) ovat merkitykseltään samanlaisia ja ilmaisevat samanlaisen suhteen.

Kaavojen ryhmällä (6-7) voit löytää puolisuunnikkaan lävistäjän, jos puolisuunnikkaan suurempi kanta, yksi sivusivu ja pohjan kulma tunnetaan.

Kaavat puolisuunnikkaan korkeuden lävistäjien löytämiseksi

Huom. IN tämä oppitunti annetaan ratkaisu puolisuunnikkaan geometriatehtäviin. Jos et ole löytänyt ratkaisua sinua kiinnostavaan geometriaongelmaan, esitä kysymys foorumilla.

Tehtävä.
Puolisuunnikkaan ABCD (AD | | BC) lävistäjät leikkaavat pisteessä O. Selvitä puolisuunnikkaan kannan BC pituus, jos kanta AD = 24 cm, pituus AO = 9 cm, pituus OS = 6 cm.

Ratkaisu.
Ratkaisu tähän ongelmaan on ideologisesti täysin identtinen edellisten ongelmien kanssa.

Kolmiot AOD ja BOC ovat samanlaisia kolmessa kulmassa - AOD ja BOC ovat pystysuorat, ja loput kulmat ovat pareittain yhtä suuret, koska ne muodostuvat yhden suoran ja kahden yhdensuuntaisen suoran leikkauspisteestä.

Koska kolmiot ovat samankaltaisia, kaikki niiden geometriset mitat liittyvät toisiinsa, samoin kuin meille tiedossa olevien segmenttien AO ja OC geometriset mitat tehtävän ehtojen mukaan. Se on

AO/OC = AD/BC
9/6 = 24 / eKr
eKr = 24 * 6 / 9 = 16

Vastaus: 16 cm

Tehtävä.
Puolisuunnikkaan ABCD:ssä tiedetään, että AD=24, BC=8, AC=13, BD=5√17. Etsi puolisuunnikkaan pinta-ala.

Ratkaisu.
Jotta saadaan selville puolisuunnikkaan korkeus pienemmän kannan B ja C kärjestä, laskemme kaksi korkeutta suurempaan kantaan. Koska puolisuunnikkaan muoto on eriarvoinen, merkitsemme pituutta AM = a, pituus KD = b ( ei pidä sekoittaa kaavan merkintään puolisuunnikkaan alueen löytäminen). Koska puolisuunnikkaan kantat ovat yhdensuuntaiset ja pudotimme kaksi korkeutta kohtisuoraan suurempaan kantaan nähden, MBCK on suorakulmio.

Keinot
AD = AM+BC+KD
a + 8 + b = 24
a = 16 - b

Kolmiot DBM ja ACK ovat suorakaiteen muotoisia, joten niiden suorat kulmat muodostuvat puolisuunnikkaan korkeuksista. Merkitään puolisuunnikkaan korkeutta h:lla. Sitten Pythagoraan lauseen mukaan

H 2 + (24 - a) 2 = (5√17) 2
Ja
h 2 + (24 - b) 2 = 13 2

Otetaan huomioon, että a = 16 - b, sitten ensimmäisessä yhtälössä
h 2 + (24 - 16 + b) 2 = 425
h 2 = 425 - (8 + b) 2

Korvataan korkeuden neliön arvo toiseen Pythagoraan lauseella saatuun yhtälöön. Saamme:
425 - (8 + b) 2 + (24 - b) 2 = 169
-(64 + 16b + b) 2 + (24 - b) 2 = -256
-64 - 16b - b 2 + 576 - 48b + b 2 = -256
-64b = -768
b = 12

Joten KD = 12
Jossa
h 2 = 425 - (8 + b) 2 = 425 - (8 + 12) 2 = 25
h = 5

Etsi puolisuunnikkaan pinta-ala sen korkeuden ja kantojen summan puolen kautta
, jossa a b - puolisuunnikkaan kanta, h - puolisuunnikkaan korkeus
S = (24 + 8) * 5/2 = 80 cm2

Vastaus: puolisuunnikkaan pinta-ala on 80 cm2.

Esimerkki ongelman ratkaisemisesta käsiteltyjen ominaisuuksien avulla auttaa sinua selvittämään sen päässäsi ja muistamaan materiaalin paremmin.

Trapetsi ja kaikki-kaikki

Aluksi muistellaan lyhyesti, mikä on puolisuunnikkaan ja mitä muita käsitteitä siihen liittyy.

Joten puolisuunnikkaan on nelikulmainen kuvio, jonka kaksi sivua ovat yhdensuuntaiset toistensa kanssa (nämä ovat kanta). Ja nämä kaksi eivät ole rinnakkaisia - nämä ovat sivut.

Puolisuunnikkaan korkeutta voidaan laskea - kohtisuoraan pohjaan nähden. Keskiviiva ja diagonaalit piirretään. On myös mahdollista piirtää puolittaja mistä tahansa puolisuunnikkaan kulmasta.

Puhumme nyt kaikkiin näihin elementteihin liittyvistä erilaisista ominaisuuksista ja niiden yhdistelmistä.

Puolisuunnikkaan diagonaalien ominaisuudet

Selvittääksesi sen, kun luet, piirrä puolisuunnikkaan muotoinen ACME paperille ja piirrä siihen diagonaalit.

Jos löydät kunkin lävistäjän keskipisteet (kutsutaanko näitä pisteitä X ja T) ja yhdistät ne, saat janan. Yksi puolisuunnikkaan diagonaalien ominaisuuksista on, että segmentti HT on keskiviivalla. Ja sen pituus voidaan saada jakamalla emästen ero kahdella: ХТ = (a – b)/2.
Edessämme on sama puolisuunnikkaan muotoinen ACME. Lävistäjät leikkaavat pisteessä O. Tarkastellaan kolmioita AOE ja MOK, jotka muodostuvat lävistäjän segmenteistä yhdessä puolisuunnikkaan kantojen kanssa. Nämä kolmiot ovat samanlaisia. Kolmioiden samankaltaisuuskerroin k ilmaistaan puolisuunnikkaan kantaosien suhteena: k = AE/KM.
Kolmioiden AOE ja MOK pinta-alojen suhdetta kuvaa kerroin k 2 .
Sama puolisuunnikas, samat lävistäjät leikkaavat pisteessä O. Vain tällä kertaa tarkastellaan kolmioita, jotka lävistäjän segmentit muodostivat yhdessä puolisuunnikkaan sivujen kanssa. Kolmioiden AKO ja EMO pinta-alat ovat yhtä suuret - niiden pinta-alat ovat samat.
Toinen puolisuunnikkaan ominaisuus on diagonaalien rakentaminen. Joten jos jatkat AK:n ja ME:n sivuja pienemmän kannan suuntaan, niin ennemmin tai myöhemmin ne leikkaavat tietyssä kohdassa. Piirrä seuraavaksi suora viiva puolisuunnikkaan pohjien keskelle. Se leikkaa kantat pisteissä X ja T.
Jos nyt pidennetään suoraa XT, niin se yhdistää yhteen puolisuunnikkaan O lävistäjien leikkauspisteen, pisteen, jossa sivujen jatkeet ja kantojen X ja T leikkaavat.
Diagonaalien leikkauspisteen kautta piirretään jana, joka yhdistää puolisuunnikkaan kantat (T on pienemmässä kantassa KM, X on suuremmassa AE). Diagonaalien leikkauspiste jakaa tämän segmentin seuraavassa suhteessa: TO/OX = KM/AE.
Nyt piirrämme lävistäjien leikkauspisteen kautta janan, joka on yhdensuuntainen puolisuunnikkaan kantojen (a ja b) kanssa. Leikkauspiste jakaa sen kahteen yhtä suureen osaan. Löydät segmentin pituuden kaavalla 2ab/(a + b).

Trapetsin keskiviivan ominaisuudet

Piirrä puolisuunnikkaan keskiviiva sen kannan suuntaisesti.

Puolisuunnikkaan keskiviivan pituus voidaan laskea laskemalla yhteen jalkojen pituudet ja jakamalla ne kahtia: m = (a + b)/2.
Jos piirrät minkä tahansa janan (esimerkiksi korkeuden) puolisuunnikkaan molempien kannan läpi, keskiviiva jakaa sen kahteen yhtä suureen osaan.

Puolisuunnikkaan puolittajaominaisuus

Puolisuunnikkaan kulmien ominaisuudet

Kumpi kahdesta valitsemasi sivun viereisestä kulmaparista tahansa, parin kulmien summa on aina 180 0: α + β = 180 0 ja γ + δ = 180 0.
Yhdistetään puolisuunnikkaan kantajen keskipisteet janalla TX. Katsotaanpa nyt puolisuunnikkaan pohjien kulmia. Jos kulmien summa jollekin niistä on 90 0, janan pituus TX voidaan laskea helposti kantajen pituuksien eron perusteella jaettuna puoliksi: TX = (AE – KM)/2.
Jos yhdensuuntaiset viivat piirretään puolisuunnikkaan kulman sivujen läpi, ne jakavat kulman sivut suhteellisiksi segmenteiksi.

Tasakylkisen (tasakylkinen) puolisuunnikkaan ominaisuudet

Tasakylkisessä puolisuunnikkaan kulmat missä tahansa kannassa ovat yhtä suuret.
Rakenna nyt uudelleen puolisuunnikkaan muoto, jotta on helpompi kuvitella, mistä puhumme. Katso tarkkaan kantaa AE - vastakkaisen kannan M kärki projisoidaan tiettyyn pisteeseen viivalla, joka sisältää AE:n. Etäisyys kärjestä A kärjen M projektiopisteeseen ja tasakylkisen puolisuunnikkaan keskiviivaan ovat yhtä suuret.
Muutama sana tasakylkisen puolisuunnikkaan diagonaalien ominaisuuksista - niiden pituudet ovat yhtä suuret. Ja myös näiden diagonaalien kaltevuuskulmat puolisuunnikkaan pohjaan nähden ovat samat.
Vain tasakylkisen puolisuunnikkaan ympärillä voidaan kuvata ympyrä, koska nelikulmion vastakkaisten kulmien summa on 180 0 - tämän edellytyksenä.
Tasakylkisen puolisuunnikkaan ominaisuus seuraa edellisestä kappaleesta - jos ympyrä voidaan kuvata lähellä puolisuunnikasta, se on tasakylkinen.
Tasakylkisen puolisuunnikkaan ominaisuuksista seuraa puolisuunnikkaan korkeuden ominaisuus: jos sen lävistäjät leikkaavat suorassa kulmassa, niin korkeuden pituus on yhtä suuri kuin puolet kantajen summasta: h = (a + b)/2.
Piirrä jälleen jana TX puolisuunnikkaan kantajen keskipisteiden läpi - tasakylkisessä puolisuunnikkaan se on kohtisuorassa kantaan nähden. Ja samalla TX on tasakylkisen puolisuunnikkaan symmetria-akseli.
Tällä kertaa laske korkeus puolisuunnikkaan vastakkaisesta kärjestä suurempaan kantaan (kutsutaanko sitä a). Saat kaksi segmenttiä. Yhden pituus löytyy, jos pohjan pituudet lasketaan yhteen ja jaetaan kahtia: (a + b)/2. Toisen saamme, kun vähennämme pienemmän suuremmasta kannasta ja jaamme tuloksena saadun eron kahdella: (a–b)/2.

Ympyrään piirretyn puolisuunnikkaan ominaisuudet

Ympyrän keskipisteen sijainti määräytyy puolisuunnikkaan diagonaalin kaltevuuskulman mukaan sivulle. Esimerkiksi lävistäjä voi ulottua puolisuunnikkaan yläosasta suorassa kulmassa sivulle. Tässä tapauksessa suurempi kanta leikkaa ympyrän keskikohdan tarkalleen keskellä (R = ½AE).
Diagonaali ja sivu voivat kohdata myös terävässä kulmassa - silloin ympyrän keskipiste on puolisuunnikkaan sisällä.
Piirretyn ympyrän keskipiste voi olla puolisuunnikkaan ulkopuolella, sen suuremman kannan ulkopuolella, jos puolisuunnikkaan lävistäjän ja sivun välillä on tylppä kulma.
Puolisuunnikkaan ACME diagonaalin ja suuren pohjan muodostama kulma (kirjoitettu kulma) on puolet sitä vastaavasta keskikulmasta: MAE = ½ MOE.
Lyhyesti kahdesta tavasta löytää rajatun ympyrän säde. Tapa yksi: katso tarkasti piirustustasi - mitä näet? Voit helposti huomata, että diagonaali jakaa puolisuunnikkaan kahdeksi kolmioksi. Säde voidaan löytää kolmion sivun suhteesta vastakkaisen kulman siniin kerrottuna kahdella. Esimerkiksi, R = AE/2*sinAME. Samalla tavalla kaava voidaan kirjoittaa kummankin kolmion mille tahansa sivulle.
Tapa kaksi: etsi rajatun ympyrän säde kolmion alueen läpi, jonka muodostavat puolisuunnikkaan lävistäjä, sivu ja kanta: R = AM*ME*AE/4*S AME.

Ympyrän ympärille piirretyn puolisuunnikkaan ominaisuudet

Voit sovittaa ympyrän puolisuunnikkaan, jos yksi ehto täyttyy. Lue siitä lisää alta. Ja yhdessä tällä lukuyhdistelmällä on useita mielenkiintoisia ominaisuuksia.

Jos ympyrä on piirretty puolisuunnikkaan, sen keskiviivan pituus saadaan helposti selville lisäämällä sivujen pituudet ja jakamalla saatu summa puoliksi: m = (c + d)/2.
Ympyrän ympärille kuvatun puolisuunnikkaan ACME kannan pituuksien summa on yhtä suuri kuin sivujen pituuksien summa: AK + ME = KM + AE.
Tästä puolisuunnikkaan kantojen ominaisuudesta seuraa käänteinen väite: puolisuunnikkaan voidaan kirjoittaa ympyrä, jonka kantajen summa on yhtä suuri kuin sen sivujen summa.
Puolisuunnikkaan kirjoitetun ympyrän, jonka säde on r, tangenttipiste jakaa sivun kahteen osaan, kutsutaan niitä a:ksi ja b:ksi. Ympyrän säde voidaan laskea kaavalla: r = √ab.
Ja vielä yksi omaisuus. Vältä sekaannukset piirtämällä tämä esimerkki myös itse. Meillä on vanha kunnon puolisuunnikkaan muotoinen ACME, joka on kuvattu ympyrän ympärillä. Se sisältää lävistäjät, jotka leikkaavat pisteessä O. Kolmiot AOK ja EOM, jotka muodostuvat lävistäjien segmenteistä ja sivusivuista, ovat suorakaiteen muotoisia.
Näiden kolmioiden korkeudet laskettuna hypotenuusille (eli puolisuunnikkaan sivusivuille) osuvat yhteen piirretyn ympyrän säteiden kanssa. Ja puolisuunnikkaan korkeus on sama kuin piirretyn ympyrän halkaisija.

Suorakaiteen muotoisen puolisuunnikkaan ominaisuudet

Puolisuunnikkaan kutsutaan suorakaiteen muotoiseksi, jos yksi sen kulmista on oikea. Ja sen ominaisuudet johtuvat tästä seikasta.

Suorakaiteen muotoisen puolisuunnikkaan toinen sivu on kohtisuorassa pohjaansa nähden.
Suoran kulman vieressä olevan puolisuunnikkaan korkeus ja sivu ovat yhtä suuret. Tämän avulla voit laskea suorakaiteen muotoisen puolisuunnikkaan alueen (yleinen kaava S = (a + b) * h/2) ei vain korkeuden, vaan myös oikean kulman vieressä olevan sivun kautta.
Suorakaiteen muotoiselle puolisuunnikkaan edellä kuvatut puolisuunnikkaan diagonaalien yleiset ominaisuudet ovat merkityksellisiä.

Todisteet joistakin puolisuunnikkaan ominaisuuksista

Kulmien yhtäläisyys tasakylkisen puolisuunnikkaan pohjassa:

Luultavasti arvasit jo, että täällä tarvitsemme jälleen AKME-suunnikkaan - piirrä tasakylkinen puolisuunnikkaan. Piirrä pisteestä M suora MT AK:n sivun suuntaisesti (MT || AK).

Tuloksena oleva nelikulmio AKMT on suunnikas (AK || MT, KM || AT). Koska ME = KA = MT, ∆ MTE on tasakylkinen ja MET = MTE.

AK || MT, joten MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

Missä AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.

Q.E.D.

Todistamme nyt tasakylkisen puolisuunnikkaan ominaisuuden (lävistäjän yhtäläisyys) perusteella, että puolisuunnikkaan ACME on tasakylkinen:

Piirretään ensin suora MX – MX || KE. Saadaan suunnikas KMHE (kanta – MX || KE ja KM || EX).

∆AMX on tasakylkinen, koska AM = KE = MX ja MAX = MEA.

MH || KE, KEA = MXE, joten MAE = MXE.

Tarkista tehtävä

Puolisuunnikkaan ACME pohjat ovat 9 cm ja 21 cm, sivusivu KA, joka on 8 cm, muodostaa 150 0 kulman pienemmän pohjan kanssa. Sinun on löydettävä puolisuunnikkaan pinta-ala.

Ratkaisu: Huipulta K lasketaan korkeus puolisuunnikkaan suurempaan kantaan. Ja aloitetaan katsomaan puolisuunnikkaan kulmia.

Kulmat AEM ja KAN ovat yksipuolisia. Tämä tarkoittaa, että yhteensä he antavat 180 0. Siksi KAN = 30 0 (perustuen puolisuunnikkaan muotoisten kulmien ominaisuuteen).

Löydämme puolisuunnikkaan pinta-alan kaavalla: S ACME = (KM + AE) * KN/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 cm 2.

Jälkisana

Nyt sinulla on yksityiskohtainen hahmotelma kaikista puolisuunnikkaan yleisistä ominaisuuksista. Sekä tasakylkisten ja suorakaiteen muotoisten puolisuunnikkaan erityiset ominaisuudet ja ominaisuudet. Se on erittäin kätevä käyttää kokeisiin ja kokeisiin valmistautumiseen. Kokeile itse ja jaa linkki ystävillesi!

verkkosivuilla, kopioitaessa materiaalia kokonaan tai osittain, linkki lähteeseen vaaditaan.

Hyvää iltaa! Voi näitä rajattuja tai kaiverrettuja ympyröitä, geometrisia muotoja. On niin vaikeaa hämmentyä. mitä ja milloin.

Yritetään ensin selvittää se sanamuodon avulla. Meille annetaan ympyrä, joka on rajattu noin . Toisin sanoen tämä puolisuunnikkaan on piirretty ympyrään.

Muistakaamme, että voimme kuvata vain ympyrää . Tasakylkinen puolisuunnikas puolestaan on puolisuunnikkaan, jonka sivut ovat yhtä suuret.

Yritetään ratkaista ongelma. Tiedämme, että tasakylkisen puolisuunnikkaan ADCB kantat ovat 6 (DC) ja 4 (AB). Ja rajatun ympyrän säde on 4. Sinun on löydettävä puolisuunnikkaan FK korkeus.

FK on puolisuunnikkaan korkeus. Meidän on löydettävä se, mutta ennen sitä muista, että piste O on ympyrän keskipiste. Ja OS, OD, OA, OB ovat tunnetut säteet.

OFC:ssä tunnetaan hypotenuusa, joka on ympyrän säde, ja jalka FC = puolet kantasta DC = 3 cm (koska DF = FC).

Etsitään nyt OF:

Ja sisään suorakulmainen kolmio OKB tunnemme myös hypotenuusan, koska se on ympyrän säde. Ja KB on puolikas AB; KB = 2 cm Ja käyttämällä Pythagoraan lausetta laskemme janan OK:

Rajoitettu ympyrä ja puolisuunnikkaan muotoinen. Hei! Sinulle on vielä yksi julkaisu, jossa tarkastellaan puolisuunnikkaan liittyviä ongelmia. Tehtävät ovat osa matematiikan koetta. Tässä ne yhdistetään ryhmään, ei ole annettu vain yksi puolisuunnikas, vaan kappaleiden yhdistelmä - puolisuunnikas ja ympyrä. Suurin osa näistä ongelmista ratkaistaan suullisesti. Mutta on myös joitain, joihin on puututtava. erityistä huomiota esimerkiksi tehtävä 27926.

Mikä teoria sinun tulee muistaa? Tämä:

Blogissa saatavilla olevia puolisuunnikkaan liittyviä ongelmia voi tarkastella Tässä.

27924. Ympyrä on kuvattu puolisuunnikkaan ympärille. Puolisuunnikkaan ympärysmitta on 22, keskiviiva on 5. Etsi puolisuunnikkaan sivu.

Huomaa, että ympyrä voidaan kuvata vain tasakylkisen puolisuunnikkaan ympärillä. Meille annetaan keskiviiva, mikä tarkoittaa, että voimme määrittää kantajen summan, eli:

Tämä tarkoittaa, että sivujen summa on 22–10=12 (kehä miinus kanta). Koska tasakylkisen puolisuunnikkaan sivut ovat yhtä suuret, yksi sivu on yhtä suuri kuin kuusi.

27925. Tasakylkisen puolisuunnikkaan sivusuunnikkaan sivu on yhtä suuri kuin sen pienempi kanta, kannan kulma on 60 0, suurempi kanta on 12. Laske tämän puolisuunnikkaan ympäryssäde.

Jos ratkaisit ongelmia ympyrällä ja siihen kirjoitetulla kuusikulmiolla, annat heti vastauksen - säde on 6. Miksi?

Katso: tasakylkinen puolisuunnikas, jonka kantakulma on 60 0 ja sivut AD, DC ja CB, on puolet säännöllisestä kuusikulmiosta:

Tällaisessa kuusikulmiossa vastakkaiset kärjet yhdistävä segmentti kulkee ympyrän keskustan läpi. *Kuusikulmion ja ympyrän keskipiste ovat samat, lisätietoja

Toisin sanoen tämän puolisuunnikkaan suurempi kanta on sama kuin rajatun ympyrän halkaisija. Joten säde on kuusi.

*Tietenkin voimme harkita kolmioiden ADO, DOC ja OCB yhtäläisyyttä. Todista, että ne ovat tasasivuisia. Seuraavaksi päättele, että kulma AOB on yhtä suuri kuin 180 0 ja piste O on yhtä kaukana pisteistä A, D, C ja B, joten AO=OB=12/2=6.

27926. Tasakylkisen puolisuunnikkaan kantat ovat 8 ja 6. Piirretyn ympyrän säde on 5. Laske puolisuunnikkaan korkeus.

Huomaa, että rajatun ympyrän keskipiste on symmetria-akselilla, ja jos rakennamme tämän keskipisteen läpi kulkevan puolisuunnikkaan korkeuden, niin se jakaa ne kahtia, kun se leikkaa kantaa. Näytetään tämä luonnoksessa ja yhdistetään myös keskusta kärkipisteisiin:

Jana EF on puolisuunnikkaan korkeus, meidän on löydettävä se.

Suorakulmaisessa kolmiossa OFC tunnemme hypotenuusan (tämä on ympyrän säde), FC=3 (koska DF=FC). Pythagoraan lauseen avulla voimme laskea OF:

Oikeassa kolmiossa OEB tunnemme hypotenuusan (tämä on ympyrän säde), EB=4 (koska AE=EB). Pythagoraan lauseen avulla voimme laskea OE:

Näin ollen EF=FO+OE=4+3=7.

Nyt tärkeä vivahde!

Tässä tehtävässä kuva osoittaa selvästi, että kantat sijaitsevat ympyrän keskipisteen vastakkaisilla puolilla, joten ongelma ratkeaa tällä tavalla.

Entä jos ehdot eivät sisällä luonnosta?

Sitten ongelmaan olisi kaksi vastausta. Miksi? Katso tarkkaan - mihin tahansa ympyrään voidaan kirjoittaa kaksi trapetsia, joilla on annetut kantat:

*Toisin sanoen, kun otetaan huomioon puolisuunnikkaan kantat ja ympyrän säde, on olemassa kaksi puolisuunnikasta.

Ja ratkaisu "toiseen vaihtoehtoon" on seuraava.

Pythagoraan lauseen avulla laskemme OF:

Lasketaan myös OE:

Näin ollen EF=FO–OE=4–3=1.

Tietysti ongelmassa, jossa on lyhyt vastaus yhtenäisestä valtiokokeesta, ei voi olla kahta vastausta, eikä vastaavaa ongelmaa anneta ilman luonnosta. Siksi kiinnitä erityistä huomiota luonnokseen! Nimittäin: kuinka puolisuunnikkaan pohjat sijaitsevat. Mutta tehtävissä, joissa oli yksityiskohtainen vastaus, tämä oli läsnä viime vuosina (hieman monimutkaisemmalla ehdolla). Jokainen, joka harkitsi vain yhtä vaihtoehtoa puolisuunnikkaan sijainnille, menetti pisteen tästä tehtävästä.

27937. Puolisuunnikas on piirretty ympyrän ympärille, jonka ympyrä on 40. Etsi sen keskiviiva.

Tässä on heti muistettava ympyrän ympärille rajatun nelikulmion ominaisuus:

Minkä tahansa ympyrän ympärille piirretyn nelikulmion vastakkaisten sivujen summat ovat yhtä suuret.