Oppitunnin tavoite: dihedraalisen kulman ja sen lineaarikulman käsitteen esittely.
Tehtävät:
Koulutus: harkita tehtäviä näiden käsitteiden soveltamiseksi, kehittää rakentavaa taitoa löytää tasojen välinen kulma;
Kehittävä: kehitystä luovaa ajattelua opiskelijat, opiskelijoiden henkilökohtainen itsensä kehittäminen, opiskelijoiden puheen kehitys;
Koulutus: henkisen työn kulttuurin, kommunikatiivisen kulttuurin, reflektoivan kulttuurin vaaliminen.
Oppitunnin tyyppi: oppitunti uuden tiedon oppimiseen
Opetusmenetelmät: selittävä ja havainnollistava
Laitteet: tietokone, interaktiivinen taulu.
Kirjallisuus:
Geometria. Luokat 10-11: oppikirja. 10-11 luokalle. yleissivistävä koulutus oppilaitokset: perus- ja profiili. tasot / [L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev jne.] - 18. painos. – M.: Koulutus, 2009. – 255 s.
Tuntisuunnitelma:
Organisatorinen hetki(2 min)
Tietojen päivittäminen (5 min)
Uuden materiaalin oppiminen (12 min)
Oppimateriaalin vahvistus (21 min)
Kotitehtävä(2 min)
Yhteenveto (3 min)
Oppitunnin edistyminen:
1. Organisatorinen hetki.
Sisältää opettajan tervehtivän luokkaa, valmistelevan huoneen oppituntia varten ja tarkastavan poissaolijoita.
2. Perustietojen päivittäminen.
Opettaja: Viimeisellä oppitunnilla kirjoitit itsenäistä työtä. Yleisesti ottaen teos oli hyvin kirjoitettu. Toistetaan nyt vähän. Mitä kutsutaan kulmalla tasossa?
Opiskelija: Kulma tasossa on kuvio, jonka muodostaa kaksi yhdestä pisteestä lähtevää sädettä.
Opettaja: Mitä kutsutaan avaruudessa olevien viivojen välistä kulmaa?
Opiskelija: Kahden avaruudessa leikkaavan suoran välinen kulma on pienin kulmista, jotka näiden viivojen säteet muodostavat kärjen kanssa niiden leikkauspisteessä.
Opiskelija: Leikkaavien viivojen välinen kulma on vastaavasti datan suuntaisten leikkausviivojen välinen kulma.
Opettaja: Millä nimellä kutsutaan suoran ja tason välistä kulmaa?
Opiskelija: Suoran ja tason välinen kulmaMitä tahansa suoran ja sen tähän tasoon projektion välistä kulmaa kutsutaan.
3. Uuden materiaalin oppiminen.
Opettaja: Stereometriassa tällaisten kulmien ohella harkitaan toisen tyyppistä kulmaa - dihedraalisia kulmia. Arvasit luultavasti jo, mikä tämän päivän oppitunnin aihe on, joten avaa muistikirjasi, kirjoita ylös päivän päivämäärä ja oppitunnin aihe.
Kirjoita taululle ja muistivihkoon:
10.12.14.
Dihedraalinen kulma.
Opettaja : Dihedraalisen kulman käsitteen käyttöönottamiseksi on muistettava, että mikä tahansa tiettyyn tasoon piirretty suora jakaa tämän tason kahdeksi puolitasoksi(Kuva 1, a)
Opettaja : Kuvitellaan, että olemme taivuttaneet tasoa suoraa linjaa pitkin niin, että kaksi rajallista puolitasoa eivät enää ole samassa tasossa (kuva 1, b). Tuloksena oleva luku on kaksitahoinen kulma. Dihedraalinen kulma on kuvio, joka muodostuu suorasta ja kahdesta puolitasosta, joilla on yhteinen raja ja jotka eivät kuulu samaan tasoon. Kaksitasoisen kulman muodostavia puolitasoja kutsutaan sen pinnoiksi. Dihedraalisella kulmalla on kaksi puolta, mistä johtuu nimi dihedraalinen kulma. Suoraa viivaa - puolitasojen yhteistä rajaa - kutsutaan dihedraalisen kulman reunaksi. Kirjoita määritelmä muistikirjaasi.
Dihedraalinen kulma on kuvio, joka muodostuu suorasta ja kahdesta puolitasosta, joilla on yhteinen raja ja jotka eivät kuulu samaan tasoon.
Opettaja : Jokapäiväisessä elämässä kohtaamme usein esineitä, jotka ovat kaksitahoisen kulman muotoisia. Anna esimerkkejä.
Opiskelija : Puoliksi avattu kansio.
Opiskelija : Huoneen seinä on yhdessä lattian kanssa.
Opiskelija : Rakennusten harjakatot.
Opettaja : Aivan. Ja tällaisia esimerkkejä on valtava määrä.
Opettaja : Kuten tiedät, kulmat tasossa mitataan asteina. Sinulla on luultavasti kysymys, kuinka dihedraaliset kulmat mitataan? Tämä tehdään seuraavasti.Merkitään jokin piste dihedraalisen kulman reunaan ja piirretään jokaiselle pinnalle tästä pisteestä reunaan nähden kohtisuorassa oleva säde. Näiden säteiden muodostamaa kulmaa kutsutaan dihedraalisen kulman lineaariseksi kulmaksi. Piirrä muistivihkoon piirros.
Kirjoita taululle ja muistivihkoon.
NOIN ∈ a, JSC ⊥ a, VO ⊥ a, SABD- dihedraalinen kulma,∠ AOB– dihedraalisen kulman lineaarinen kulma.
Opettaja : Kaikki dihedraalisen kulman lineaariset kulmat ovat yhtä suuret. Tee itsellesi toinen tällainen piirros.
Opettaja : Todistetaan se. Tarkastellaan kahta lineaarista kulmaa AOB jaPQR. Rays OA jaQPmakaavat samoilla kasvoilla ja ovat kohtisuorassaOQ, mikä tarkoittaa, että ne ovat yhteisohjattuja. Vastaavasti säteet OB jaQRohjattu yhdessä. tarkoittaa,∠ AOB= ∠ PQR(kuten kulmat, joiden sivut on kohdistettu).
Opettaja : No, nyt vastaus kysymykseemme on, kuinka dihedral-kulma mitataan.Dihedraalisen kulman astemitta on sen lineaarisen kulman astemitta. Piirrä uudelleen terävän, oikean ja tylpän dihedraalisen kulman kuvat oppikirjasta sivulta 48.
4. Tutkitun aineiston konsolidointi.
Opettaja : Piirrä tehtäviä varten.
№ 1 . Annettu: ΔABC, AC = BC, AB on tasossaα, CD ⊥ α, C∉ α. Muodosta dihedraalisen kulman lineaarinen kulmaCABD.
Opiskelija : Ratkaisu:C.M. ⊥ AB, DC ⊥ AB.∠ CMD - haettu.
№ 2. Annettu: ΔABC, ∠ C= 90°, BC on tasossaα, JSC⊥ α, A∈ α.
Muodosta dihedraalisen kulman lineaarinen kulmaABCO.
Opiskelija : Ratkaisu:AB ⊥ B.C., JSC⊥ BC tarkoittaa käyttöjärjestelmää⊥ Aurinko.∠ ACO - haettu.
№ 3 . Annettu: ΔABC, ∠ C = 90°, AB on tasossaα, CD⊥ α, C∉ α. Rakentaalineaarinen dihedraalinen kulmaDABC.
Opiskelija : Ratkaisu: CK ⊥ AB, DC ⊥ AB,DK ⊥ AB tarkoittaa∠ DKC - haettu.
№ 4
. Annettu:DABC- tetraedri,TEHDÄ⊥
ABC.Muuta dihedraalisen kulman lineaarinen kulmaABCD.
Opiskelija : Ratkaisu:DM ⊥ aurinko,TEHDÄ ⊥ VS tarkoittaa OM⊥ Aurinko;∠ OMD - haettu.
5. Yhteenveto.
Opettaja: Mitä uutta opit tunnilla tänään?
Opiskelijat : Mitä kutsutaan dihedraalikulmaksi, lineaarikulmaksi, miten dihedraalikulma mitataan.
Opettaja : Mitä he toistivat?
Opiskelijat : Mitä kutsutaan kulmaksi tasossa; kulma suorien viivojen välillä.
6. Kotitehtävät.
Kirjoita taululle ja päiväkirjaasi: kohta 22, nro 167, nro 170.
Jos haluat käyttää esityksen esikatseluja, luo itsellesi tili ( tili) Google ja kirjaudu sisään: https://accounts.google.com
Dian kuvatekstit:
DIHEDRAL ANGLE Matematiikan opettaja Valtion Oppilaitoksen Lukion 10 Eremenko M.A.
Oppitunnin päätavoitteet: Esittele dihedraalisen kulman käsite ja sen lineaarikulma Harkitse tehtäviä näiden käsitteiden soveltamiseksi.
Määritelmä: Dihedraalinen kulma on kuvio, joka muodostuu kahdesta puolitasosta, joilla on yhteinen rajaviiva.
Dihedraalisen kulman suuruus on sen lineaarisen kulman suuruus. AF ⊥ CD BF ⊥ CD AFB - lineaarinen kaksitahoinen kulma ACD B
Osoitetaan, että kaikki dihedraalisen kulman lineaariset kulmat ovat keskenään yhtä suuret. Tarkastellaan kahta lineaarista kulmaa AOB ja A 1 OB 1. Säteet OA ja OA 1 sijaitsevat samalla pinnalla ja ovat kohtisuorassa OO 1:een nähden, joten ne ovat samansuuntaisia. Myös säteet OB ja OB 1 ohjataan yhdessä. Siksi ∠ AOB = ∠ A 1 OB 1 (kuten kulmat, joiden sivut ovat samansuuntaiset).
Esimerkkejä dihedraalisista kulmista:
Määritelmä: Kahden leikkaavan tason välinen kulma on pienin näiden tasojen muodostamista dihedraalisista kulmista.
Tehtävä 1: Etsi kuutiosta A ... D 1 tasojen ABC ja CDD 1 välinen kulma. Vastaus: 90 o.
Tehtävä 2: Etsi kuutiosta A ... D 1 tasojen ABC ja CDA 1 välinen kulma. Vastaus: 45 o.
Tehtävä 3: Etsi kuutiosta A ... D 1 tasojen ABC ja BDD 1 välinen kulma. Vastaus: 90 o.
Tehtävä 4: Etsi kuutiosta A ... D 1 tasojen ACC 1 ja BDD 1 välinen kulma. Vastaus: 90 o.
Tehtävä 5: Etsi kuutiosta A ... D 1 tasojen BC 1 D ja BA 1 D välinen kulma. Ratkaisu: Olkoon O B D:n keskipiste. A 1 OC 1 – dihedraalisen kulman A 1 B D C 1 lineaarinen kulma.
Tehtävä 6: Tetraedrin DABC kaikki reunat ovat yhtä suuret, piste M on reunan AC keskipiste. Todista, että ∠ DMB on dihedraalisen kulman BACD lineaarinen kulma.
Ratkaisu: Kolmiot ABC ja ADC ovat säännöllisiä, joten BM ⊥ AC ja DM ⊥ AC ja siten ∠ DMB on dihedraalisen kulman DACB lineaarinen kulma.
Tehtävä 7: Kolmion ABC kärjestä B, jonka sivu AC on tasossa α, piirretään kohtisuora BB 1 tähän tasoon. Etsi etäisyys pisteestä B suoraan AC ja tasoon α, jos AB=2, ∠ВAC=150 0 ja dihedraalkulma ВАСВ 1 on 45 0.
Ratkaisu: ABC on tylppä kolmio, jonka tylppä kulma on A, joten korkeuden BC kanta on sivun AC jatkeella. VC – etäisyys pisteestä B AC:hen. BB 1 – etäisyys pisteestä B tasoon α
2) Koska AC ⊥BK, niin AC⊥KB 1 (lauseen mukaan, lauseen käänteinen noin kolme kohtisuoraa). Siksi ∠VKV 1 on dihedraalisen kulman BASV 1 lineaarinen kulma ja ∠VKV 1 =45 0 . 3) ∆VAK: ∠A = 30 0, VK = VA·sin 30 0, VK = 1. ∆ВКВ 1: ВВ 1 =ВК· sin 45 0 , ВВ 1 =
Tämä oppitunti on tarkoitettu itseopiskelu aihe "Dihedral Angle". Tällä oppitunnilla opiskelijat tutustuvat yhteen tärkeimmistä geometrisista muodoista, dihedraalisesta kulmasta. Myös oppitunnilla opimme määrittämään tarkastelun lineaarisen kulman geometrinen kuvio ja mikä on dihedraalinen kulma kuvion pohjassa.
Toistetaan, mikä on kulma tasossa ja miten se mitataan.
Riisi. 1. Lentokone
Tarkastellaan tasoa α (kuva 1). Kohdasta NOIN kaksi sädettä lähtee - OB Ja OA.
Määritelmä. Kuvaa, joka muodostuu kahdesta yhdestä pisteestä lähtevästä säteestä, kutsutaan kulmaksi.
Kulma mitataan asteina ja radiaaneina.
Muistetaan, mikä radiaani on.
Riisi. 2. Radiaani
Jos meillä on keskikulma, jonka kaaren pituus on yhtä suuri kuin säde, niin tällaista keskikulmaa kutsutaan 1 radiaanin kulmaksi. ,∠ AOB= 1 rad (kuvio 2).
Radiaanien ja asteiden suhde.
iloinen.
Ymmärrämme sen, olen iloinen. (). Sitten, 
Määritelmä. Dihedraalinen kulma kutsutaan suoran muodostamaa kuviota A ja kaksi puolitasoa, joilla on yhteinen raja A, jotka eivät kuulu samaan tasoon.
Riisi. 3. Puolitasot
Tarkastellaan kahta puolitasoa α ja β (kuva 3). Heidän yhteinen rajansa on A. Tätä lukua kutsutaan dihedraaliseksi kulmaksi.
Terminologia
Puolitasot α ja β ovat kaksitahoisen kulman pintoja.
Suoraan A on kaksitahoisen kulman reuna.
Yhteisellä reunalla A dihedraalinen kulma, valitse mielivaltainen piste NOIN(Kuva 4). Puolitasossa α pisteestä NOIN palauta kohtisuora OA suoralle viivalle A. Samasta pisteestä NOIN toisessa puolitasossa β rakennamme kohtisuoran OB reunaan A. Saatiin kulma AOB, jota kutsutaan dihedraalisen kulman lineaariseksi kulmaksi.
Riisi. 4. Dihedral kulman mittaus
Todistakaamme kaikkien lineaaristen kulmien yhtäläisyys annetulla dihedraalikulmalla.
Otetaan dihedraalinen kulma (kuva 5). Valitaan piste NOIN ja kausi O 1 suoralla linjalla A. Muodostetaan pistettä vastaava lineaarinen kulma NOIN, eli piirretään kaksi kohtisuoraa OA Ja OB tasoissa α ja β vastaavasti reunaan A. Saamme kulman AOB- dihedraalisen kulman lineaarinen kulma.
Riisi. 5. Todistuksen kuva
Kohdasta O 1 piirretään kaksi kohtisuoraa OA 1 Ja OB 1 reunaan A tasoissa α ja β vastaavasti ja saadaan toinen lineaarinen kulma A 1 O 1 B 1.
Säteet O 1 A 1 Ja OA samansuuntaisia, koska ne sijaitsevat samassa puolitasossa ja ovat yhdensuuntaisia toistensa kanssa kuin kaksi kohtisuoraa samaan viivaan A.
Samoin säteet Noin 1 in 1 Ja OB ovat yhteisohjattuja, mikä tarkoittaa ∠ AOB =∠ A 1 O 1 B 1 kulmina, joissa on samansuuntaiset sivut, mikä oli todistettava.
Lineaarisen kulman taso on kohtisuorassa dihedraalisen kulman reunaan nähden.
Todista: A ⊥ AOB.
Riisi. 6. Todistuksen kuva
Todiste:
OA ⊥ A rakentamisen mukaan, OB ⊥ A rakenteen mukaan (kuva 6).
Löydämme sen linjan A kohtisuorassa kahta leikkaavaa suoraa vastaan OA Ja OB ulos koneesta AOB, mikä tarkoittaa, että se on suora A kohtisuorassa tasoon nähden OAV, mikä oli todistettava.
Dihedraalinen kulma mitataan sen lineaarikulmalla. Tämä tarkoittaa, että niin monta astetta radiaania sisältyy lineaariseen kulmaan, sama määrä radiaaniastetta sisältyy sen dihedraaliseen kulmaan. Tämän mukaisesti erotetaan seuraavat kaksikulmaiset kulmat.
Akuutti (kuva 6)
Dihedraalinen kulma on terävä, jos sen lineaarikulma on terävä, ts. .
Suora (kuva 7)
Dihedraalinen kulma on oikea, kun sen lineaarinen kulma on 90° - tylppä (kuva 8)
Dihedraalinen kulma on tylppä, kun sen lineaarikulma on tylppä, ts. 
.
Riisi. 7. Oikea kulma
Riisi. 8. Tylsä kulma
Esimerkkejä lineaaristen kulmien muodostamisesta reaalikuvioissa
ABCD-tetraedri.
1. Muodosta dihedraalisen kulman lineaarinen kulma, jossa on reuna AB.
Riisi. 9. Ongelman kuva
Rakentaminen:
Puhumme dihedraalisesta kulmasta, jonka reuna muodostaa AB ja reunat ABD Ja ABC(Kuva 9).
Tehdään suora DN kohtisuorassa tasoon nähden ABC, N- kohtisuoran kanta. Piirretään kalteva DM kohtisuorassa suoraa linjaa vastaan AB,M- kalteva pohja. Kolmen kohtisuoran lauseella päätämme, että vinon projektio NM myös kohtisuorassa linjaan nähden AB.
Eli pisteestä M kaksi kohtisuoraa reunaan palautettiin AB kahdelta puolelta ABD Ja ABC. Saimme lineaarisen kulman DMN.
Huomaa se AB, dihedraalisen kulman reuna, joka on kohtisuorassa lineaarisen kulman tasoon, eli tasoon nähden DMN. Ongelma on ratkaistu.
Kommentti. Dihedraalinen kulma voidaan merkitä seuraavasti: DABC, Missä
AB- reuna ja pisteet D Ja KANSSA makaa sisään erilaisia kasvoja nurkkaan.
2. Muodosta dihedraalisen kulman lineaarinen kulma, jossa on reuna AC.
Piirretään kohtisuora DN lentokoneeseen ABC ja taipuvainen DN kohtisuorassa suoraa linjaa vastaan AC. Kolmen kohtisuoran lauseen avulla löydämme sen НN- vino projektio DN lentokoneeseen ABC, myös kohtisuorassa linjaan nähden AC.DNH- dihedraalisen kulman lineaarinen kulma reunalla AC.
Tetraederissä DABC kaikki reunat ovat yhtä suuret. Piste M- kylkiluiden keskiosa AC. Todista, että kulma DMV- lineaarinen dihedraalinen kulma SINÄD, eli dihedraalinen kulma, jossa on reuna AC. Yksi sen kasvoista on ACD, toinen - DIA(Kuva 10).
Riisi. 10. Ongelman kuva
Ratkaisu:
Kolmio ADC- tasasivuinen, DM- mediaani ja siten korkeus. tarkoittaa, DM ⊥ AC. Samoin kolmio AINC- tasasivuinen, INM- mediaani ja siten korkeus. tarkoittaa, VM ⊥ AC.
Asiasta siis M kylkiluut AC dihedral kulma palautettu kaksi kohtisuoraa DM Ja VM tähän reunaan dihedraalisen kulman sivuilla.
Joten, ∠ DMIN on dihedraalisen kulman lineaarinen kulma, mikä oli todistettava.
Joten olemme määrittäneet dihedraalikulman, dihedraalisen kulman lineaarisen kulman.
Päällä seuraava oppitunti Tarkastelemme suorien viivojen ja tasojen kohtisuoraa, sitten opimme, mikä on kaksitahoinen kulma kuvioiden pohjassa.
Lista viitteitä aiheesta "Dihedral kulma", "Dihedral kulma geometristen kuvioiden pohjassa"
- Geometria. Luokat 10-11: yleissivistävän oppikirja oppilaitokset/ Sharygin I.F. - M.: Bustard, 1999. - 208 s.: ill.
- Geometria. 10. luokka: oppikirja yleissivistävälle oppilaitokselle, jossa on matematiikan syvällinen ja erikoistunut opiskelu /E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6. painos, stereotypia. - M.: Bustard, 2008. - 233 s.: ill.
- Yaklass.ru ().
- E-science.ru ().
- Webmath.expponenta.ru ().
- Tutoronline.ru ().
Kotitehtävä aiheesta "Dihedral kulma", määrittämällä dihedral kulman kuvioiden pohjassa
Geometria. Luokat 10-11: oppikirja yleisten oppilaitosten opiskelijoille (perus- ja erikoistasot) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. painos, korjattu ja laajennettu - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: ill.
Tehtävät 2, 3 s. 67.
Mikä on lineaarinen dihedraalinen kulma? Miten se rakennetaan?
ABCD-tetraedri. Muodosta dihedraalisen kulman lineaarinen kulma, jossa on reuna:
A) IND b) DKANSSA.
ABCD.A. 1 B 1 C 1 D 1 - kuutio Muodosta kaksitahoisen kulman lineaarinen kulma A 1 ABC kylkiluiden kanssa AB. Määritä sen astemitta.
LUKU YKSI SUORA JA TASOT
V. DIHEDRALISET KULMAT, OIKEA KULMA TASON KANSSA,
KAHDEN RISTÄVÄN OIKEA SUORAN KULMA, MONITAKIKAULMAT
Dihedraaliset kulmat
38. Määritelmät. Mitä tahansa tässä tasossa olevan suoran toisella puolella olevaa tason osaa kutsutaan puolitaso. Kuvaa, joka muodostuu kahdesta yhdestä suorasta (AB) lähtevästä puolitasosta (P ja Q, kuva 26) on ns. dihedraalinen kulma. Suoraa AB kutsutaan reuna, ja puolitasot P ja Q - juhlia tai reunat dihedraalinen kulma.
Tällainen kulma on yleensä merkitty kahdella sen reunalle sijoitetulla kirjaimella (dihedral kulma AB). Mutta jos yhdessä reunassa on useita dihedraalisia kulmia, jokainen niistä on merkitty neljällä kirjaimella, joista kaksi keskimmäistä ovat reunalla ja kaksi ulompaa sivuilla (esimerkiksi dihedraalikulma SCDR) (kuva 1). 27).
Jos mielivaltaisesta pisteestä D piirretään kullekin sivulle reunat kohtisuorassa reunaan nähden reunat AB (kuva 28), niin niiden muodostama kulma CDE on ns. lineaarinen kulma dihedraalinen kulma.
Lineaarisen kulman suuruus ei riipu sen kärjen sijainnista reunassa. Siten lineaariset kulmat CDE ja C1D1E1 ovat yhtä suuret, koska niiden sivut ovat vastaavasti yhdensuuntaiset ja samassa suunnassa.
Lineaarisen kulman taso on kohtisuorassa reunaan nähden, koska siinä on kaksi siihen kohtisuoraa viivaa. Siksi lineaarisen kulman saamiseksi riittää, että leikataan tietyn dihedraalisen kulman pinta reunaan nähden kohtisuorassa olevan tason kanssa ja otetaan huomioon tuloksena oleva kulma tässä tasossa.
39. Dihedraalisten kulmien yhtäläisyys ja epäyhtälö. Kaksi dihedral-kulmaa katsotaan yhtäläisiksi, jos ne voidaan yhdistää, kun ne on asetettu; muutoin se, mikä kaksikulmainen kulma katsotaan pienemmäksi, muodostaa osan toisesta kulmasta.
Kuten kulmat planimetriassa, dihedraaliset kulmat voivat olla vierekkäinen, pystysuora jne.
Jos kaksi vierekkäistä dihedral-kulmaa ovat keskenään yhtä suuret, kutakin niistä kutsutaan oikea dihedraalinen kulma.
Lauseet. 1) Samat kaksikulmaiset kulmat vastaavat yhtä suuria lineaarisia kulmia.
2) Suurempi dihedraalinen kulma vastaa suurempaa lineaarikulmaa.
Olkoon PABQ ja P 1 A 1 B 1 Q 1 (kuva 29) kaksi dihedraalia kulmaa. Asetamme kulman A 1 B 1 kulmaan AB siten, että reuna A 1 B 1 osuu yhteen reunan AB kanssa ja pinta P 1 pinnan P kanssa.
Sitten jos nämä dihedraaliset kulmat ovat yhtä suuret, pinta Q 1 osuu yhteen pinnan Q kanssa; jos kulma A 1 B 1 on pienempi kuin kulma AB, niin pinta Q 1 ottaa jonkin aseman dihedraalisen kulman sisällä, esimerkiksi Q 2.
Tämän huomattuaan otetaan jokin piste B yhteisestä reunasta ja piirretään sen läpi taso R kohtisuoraan reunaan nähden. Tämän tason leikkauspisteestä dihedraalisten kulmien pintojen kanssa saadaan lineaariset kulmat. On selvää, että jos dihedraaliset kulmat ovat samat, niillä on sama lineaarinen kulma CBD; jos dihedraalikulmat eivät ole samat, jos esimerkiksi pinta Q 1 ottaa aseman Q 2, niin suuremmalla dihedraalikulmalla on suurempi lineaarikulma (eli: / CBD > / C 2 BD).
40. Käänteiset lauseet. 1) Samat lineaariset kulmat vastaavat yhtä suuria dihedraalisia kulmia.
2) Suurempi lineaarinen kulma vastaa suurempaa dihedral-kulmaa .
Nämä lauseet voidaan helposti todistaa ristiriitaisesti.
41. Seuraukset. 1) Suora kaksikulmainen kulma vastaa suoraa lineaarikulmaa ja päinvastoin.
Olkoon (kuva 30) dihedraalikulma PABQ suora. Tämä tarkoittaa, että se on yhtä suuri kuin viereinen kulma QABP 1. Mutta tässä tapauksessa lineaariset kulmat CDE ja CDE 1 ovat myös yhtä suuret; ja koska ne ovat vierekkäin, jokaisen on oltava suora. Kääntäen, jos vierekkäiset lineaariset kulmat CDE ja CDE 1 ovat yhtä suuret, niin vierekkäiset dihedraaliset kulmat ovat yhtä suuret, ts. jokaisen on oltava suora.
2) Kaikki oikeat kaksikulmaiset kulmat ovat yhtä suuret, koska niiden lineaariset kulmat ovat yhtä suuret .
Samoin on helppo todistaa, että:
3) Pystysuorat dihedraaliset kulmat ovat yhtä suuret.
4) Dihedral kulmat, joissa on vastaavasti yhdensuuntaiset ja identtiset (tai vastakkaiset) reunat, ovat yhtä suuret.
5) Jos otamme dihedraalisten kulmien yksiköksi dihedraalikulman, joka vastaa lineaarikulmien yksikköä, niin voidaan sanoa, että dihedraalikulma mitataan sen lineaarikulmalla.