Dihedraalinen kulma. Lineaarinen dihedraalinen kulma. Dihedraalinen kulma on kuvio, joka muodostuu kahdesta puolitasosta, jotka eivät kuulu samaan tasoon ja joilla on yhteinen raja - suora a. Kaksitasoisen kulman muodostavia puolitasoja kutsutaan sen pinnoiksi, ja näiden puolitasojen yhteistä rajaa kutsutaan dihedraalisen kulman reunaksi. Dihedraalisen kulman lineaarinen kulma on kulma, jonka sivut ovat säteet, joita pitkin dihedraalikulman pinnat leikkaavat taso, joka on kohtisuorassa dihedraalisen kulman reunaan nähden. Jokaisella dihedraalikulmalla on yhtä monta lineaariset kulmat: reunan jokaisen pisteen kautta voidaan piirtää taso, joka on kohtisuorassa tätä reunaa vastaan; Säteet, joita pitkin tämä taso leikkaa kaksitahoisen kulman pinnat, muodostavat lineaarisia kulmia.
Kaikki dihedraalisen kulman lineaariset kulmat ovat keskenään yhtä suuret. Osoitetaan, että jos pyramidin KABC kannan tason ja sen sivupintojen tasojen muodostamat dihedraaliset kulmat ovat yhtä suuret, niin kärjestä K piirretyn kohtisuoran kanta on kolmion ABC piirretyn ympyrän keskipiste.
Todiste. Ensinnäkin rakennetaan lineaariset kulmat, joilla on yhtäläiset dihedraaliset kulmat. Määritelmän mukaan lineaarisen kulman tason on oltava kohtisuorassa dihedraalisen kulman reunaan nähden. Siksi dihedraalisen kulman reunan on oltava kohtisuorassa lineaarisen kulman sivuihin nähden. Jos KO on kohtisuorassa kantatasoon nähden, niin voimme piirtää TAI kohtisuoran AC, TAI kohtisuoran SV, OQ kohtisuoran AB ja sitten yhdistää pisteet P, Q, R pisteeseen K. Näin rakennamme kaltevan RK, QK projektion. , RK siten, että reunat AC, NE, AB ovat kohtisuorassa näihin projektioihin nähden. Näin ollen nämä reunat ovat kohtisuorassa itse vinoihin nähden. Ja siksi kolmioiden ROK, QOK, ROK tasot ovat kohtisuorassa dihedraalisen kulman vastaaviin reunoihin nähden ja muodostavat ne yhtä suuret lineaariset kulmat, jotka on mainittu ehdossa. Suorakulmaiset kolmiot ROK, QOK, ROK ovat yhteneväisiä (koska niillä on yhteinen haara OK ja tämän haaran vastakkaiset kulmat ovat yhtä suuret). Siksi TAI = TAI = OQ. Jos piirretään ympyrä, jonka keskipiste on O ja säde OP, niin kolmion ABC sivut ovat kohtisuorassa säteitä OP, OR ja OQ vastaan ja ovat siten tämän ympyrän tangenttia.
Tasojen kohtisuoraisuus. Alfa- ja beetatasoja kutsutaan kohtisuoraksi, jos yhden niiden leikkauskohdassa muodostetun dihedraalisen kulman lineaarinen kulma on 90." Kahden tason kohtisuoran merkit Jos toinen kahdesta tasosta kulkee toista tasoa vastaan kohtisuoran suoran läpi, silloin nämä tasot ovat kohtisuorassa.
Kuvassa on suorakaiteen muotoinen suuntaissärmiö. Sen kantat ovat suorakulmiot ABCD ja A1B1C1D1. Ja sivurivat AA1 BB1, CC1, DD1 ovat kohtisuorassa kantaan nähden. Tästä seuraa, että AA1 on kohtisuorassa AB:tä vastaan, eli sivupinta on suorakulmio. Siten voimme perustella suorakaiteen muotoisen suuntaissärmiön ominaisuudet: Suorakaiteen muotoisessa suuntaissärmiössä kaikki kuusi pintaa ovat suorakulmioita. Suorakaiteen muotoisessa suuntaissärmiössä kaikki kuusi pintaa ovat suorakulmioita. Kaikki suorakulmaisen suuntaissärmiön kaksikulmaiset kulmat ovat suoria kulmia. Kaikki suorakulmaisen suuntaissärmiön kaksikulmaiset kulmat ovat suoria kulmia.
Lause Suorakaiteen muotoisen suuntaissärmiön lävistäjän neliö on yhtä suuri kuin sen kolmen ulottuvuuden neliöiden summa. Käännytään taas kuvioon ja osoitetaan, että AC12 = AB2 + AD2 + AA12 Koska reuna CC1 on kohtisuorassa kantaan ABCD nähden, kulma ACC1 on oikea. From suorakulmainen kolmio ACC1 Pythagoraan lauseella saadaan AC12=AC2+CC12. Mutta AC on suorakulmion ABCD lävistäjä, joten AC2 = AB2 + AD2. Lisäksi CC1 = AA1. Siksi AC12= AB2+AD2+AA12 Lause on todistettu.
TUNNIN TEKSTIOTTELU:
Planimetriassa pääkohteet ovat viivat, segmentit, säteet ja pisteet. Yhdestä pisteestä lähtevät säteet muodostavat yhden geometrisista muodoistaan - kulman.
Tiedämme, että lineaarikulma mitataan asteina ja radiaaneina.
Stereometriassa objekteihin lisätään taso. Figuuria, joka muodostuu suorasta a ja kahdesta puolitasosta, joilla on yhteinen raja a ja jotka eivät geometriassa kuulu samaan tasoon, kutsutaan dihedraaliseksi kulmaksi. Puolitasot ovat kaksitahoisen kulman kasvoja. Suora a on kaksitahoisen kulman reuna.
Dihedraalinen kulma, kuten lineaarinen kulma, voidaan nimetä, mitata ja rakentaa. Tämä meidän on selvitettävä tällä oppitunnilla.
Etsitään dihedrikulma ABCD-tetraedrimallista.
Dihedraalista kulmaa, jonka reuna on AB, kutsutaan CABD:ksi, jossa pisteet C ja D kuuluvat kulman eri puolille ja reunaa AB kutsutaan keskelle.
Ympärillämme on melko paljon esineitä, joiden elementit ovat dihedraalisen kulman muodossa.
Monissa kaupungeissa puistoihin on asennettu erityisiä sovittelupenkkejä. Penkki on tehty kahdesta kaltevasta tasosta, jotka yhtyvät kohti keskustaa.
Taloja rakennettaessa käytetään usein niin sanottua harjakattoa. Tässä talossa katto on tehty 90 asteen dihedraalisen kulman muodossa.
Dihedraalinen kulma mitataan myös asteina tai radiaaneina, mutta miten se mitataan.
On mielenkiintoista huomata, että talojen katot lepäävät kattotuoleilla. Ja kattotuoli muodostaa kaksi katon rinnettä tietyssä kulmassa.
Siirretään kuva piirustukseen. Piirustuksessa dihedraalisen kulman löytämiseksi piste B on merkitty sen reunaan Tästä pisteestä piirretään kaksi sädettä BA ja BC kohtisuoraan kulman reunaan nähden. Näiden säteiden muodostamaa kulmaa ABC kutsutaan lineaariseksi dihedraaliseksi kulmaksi.
Dihedraalisen kulman astemitta on yhtä suuri kuin sen lineaarisen kulman astemitta.
Mittaataan kulma AOB.
Tietyn kaksitahoisen kulman astemitta on kuusikymmentä astetta.
Dihedraaliselle kulmille voidaan piirtää ääretön määrä lineaarisia kulmia, on tärkeää tietää, että ne ovat kaikki yhtä suuret.
Tarkastellaan kahta lineaarista kulmaa AOB ja A1O1B1. Säteet OA ja O1A1 sijaitsevat samalla pinnalla ja ovat kohtisuorassa suoraa OO1 vastaan, joten ne ovat samansuuntaisia. Myös säteet OB ja O1B1 ohjataan yhdessä. Siksi kulma AOB on yhtä suuri kuin kulma A1O1B1 kulmina, joilla on samansuuntaiset sivut.
Joten dihedraaliselle kulmalle on ominaista lineaarinen kulma, ja lineaariset kulmat ovat teräviä, tylpäitä ja suorakulmaisia. Tarkastellaan malleja dihedraalisista kulmista.
Tylsä kulma on, jos sen lineaarinen kulma on 90-180 astetta.
Suora kulma, jos sen lineaarinen kulma on 90 astetta.
Terävä kulma, jos sen lineaarinen kulma on 0 - 90 astetta.
Osoittakaamme yksi lineaarisen kulman tärkeimmistä ominaisuuksista.
Lineaarisen kulman taso on kohtisuorassa dihedraalisen kulman reunaan nähden.
Olkoon kulma AOB tietyn dihedraalisen kulman lineaarinen kulma. Rakenteen mukaan säteet AO ja OB ovat kohtisuorassa suoraa a vastaan.
Taso AOB kulkee kahden leikkaavan suoran AO ja OB kautta lauseen mukaisesti: Taso kulkee kahden leikkaavan suoran läpi ja vain yhden.
Suora a on kohtisuorassa kahta tässä tasossa olevaa leikkaavaa suoraa vastaan, mikä tarkoittaa, että suoran ja tason kohtisuoraan perustuen suora a on kohtisuorassa tasoon AOB nähden.
Ongelmien ratkaisemiseksi on tärkeää pystyä rakentamaan tietyn dihedraalisen kulman lineaarinen kulma. Muodosta lineaarinen kulma dihedraalisesta kulmasta, jonka reuna on AB tetraedrille ABCD.
Puhumme dihedraalisesta kulmasta, jonka muodostaa ensinnäkin reuna AB, toinen pinta ABD ja toinen pinta ABC.
Tässä on yksi tapa rakentaa se.
Piirretään kohtisuora pisteestä D kohtaan ABC kone, Merkitse piste M, kohtisuoran kanta. Muista, että tetraedrin kohtisuoran kanta osuu yhteen piirretyn ympyrän keskustan kanssa tetraedrin pohjassa.
Piirretään pisteestä D kalteva viiva, joka on kohtisuorassa reunaan AB nähden, merkitään piste N kaltevan viivan pohjaksi.
Kolmiossa DMN jana NM on kaltevan DN:n projektio tasolle ABC. Kolmen kohtisuoran lauseen mukaan reuna AB on kohtisuorassa projektioon NM nähden.
Tämä tarkoittaa, että kulman DNM sivut ovat kohtisuorassa reunaan AB nähden, mikä tarkoittaa, että muodostettu kulma DNM on haluttu lineaarikulma.
Tarkastellaan esimerkkiä dihedraalisen kulman laskentaongelman ratkaisemisesta.
Tasakylkinen kolmio ABC ja säännöllinen kolmio ADB eivät ole samassa tasossa. Jana CD on kohtisuorassa tasoon ADB nähden. Etsi dihedraalikulma DABC, jos AC=CB=2 cm, AB= 4 cm.
DABC:n dihedraalinen kulma on yhtä suuri kuin sen lineaarikulma. Rakennetaan tämä kulma.
Piirretään kalteva CM kohtisuoraan reunaan AB nähden, koska kolmio ACB on tasakylkinen, niin piste M osuu reunan AB keskikohtaan.
Suora CD on kohtisuorassa tasoon ADB nähden, mikä tarkoittaa, että se on kohtisuorassa tässä tasossa olevaan suoraan DM nähden. Ja segmentti MD on kaltevan CM:n projektio tasolle ADV.
Suora AB on rakenteellisesti kohtisuorassa kaltevaa CM:ää vastaan, mikä tarkoittaa kolmen kohtisuoran lauseen mukaan, että se on kohtisuorassa projektioon MD nähden.
Joten löydetään kaksi kohtisuoraa CM ja DM reunaan AB. Tämä tarkoittaa, että ne muodostavat dihedraalisen kulman DABC lineaarisen kulman CMD. Ja meidän tarvitsee vain löytää se oikeasta kolmiosta CDM.
Jana SM on siis tasakylkisen kolmion ACB mediaani ja korkeus, jolloin Pythagoraan lauseen mukaan jalka SM on 4 cm.
Pythagoraan lauseen mukaan suorakulmaisesta kolmiosta DMB jalka DM on yhtä suuri kuin kaksi kolmen juuria.
Kulman kosini suorakulmaisesta kolmiosta on yhtä suuri kuin viereisen haaran MD suhde hypotenuusaan CM ja on yhtä suuri kuin kolme juuria kolme kertaa kaksi. Tämä tarkoittaa, että kulma CMD on 30 astetta.
Tämä oppitunti on tarkoitettu itseopiskelu aihe "Dihedral Angle". Tällä oppitunnilla opiskelijat tutustuvat yhteen tärkeimmistä geometrisista muodoista, dihedraalisesta kulmasta. Myös oppitunnilla opimme määrittämään tarkastelun lineaarisen kulman geometrinen kuvio ja mikä on dihedraalinen kulma kuvion pohjassa.
Toistetaan, mikä on kulma tasossa ja miten se mitataan.
Riisi. 1. Lentokone
Tarkastellaan tasoa α (kuva 1). Kohdasta NOIN kaksi sädettä lähtee - OB Ja OA.
Määritelmä. Kuvaa, joka muodostuu kahdesta yhdestä pisteestä lähtevästä säteestä, kutsutaan kulmaksi.
Kulma mitataan asteina ja radiaaneina.
Muistetaan, mikä radiaani on.
Riisi. 2. Radiaani
Jos meillä on keskikulma, jonka kaaren pituus on yhtä suuri kuin säde, niin tällaista keskikulmaa kutsutaan 1 radiaanin kulmaksi. ,∠ AOB= 1 rad (kuvio 2).
Radiaanien ja asteiden suhde.
iloinen.
Ymmärrämme sen, olen iloinen. (). Sitten, 
Määritelmä. Dihedraalinen kulma kutsutaan suoran muodostamaa kuviota A ja kaksi puolitasoa, joilla on yhteinen raja A, jotka eivät kuulu samaan tasoon.
Riisi. 3. Puolitasot
Tarkastellaan kahta puolitasoa α ja β (kuva 3). Heidän yhteinen rajansa on A. Tätä lukua kutsutaan dihedraaliseksi kulmaksi.
Terminologia
Puolitasot α ja β ovat kaksitahoisen kulman pintoja.
Suoraan A on kaksitahoisen kulman reuna.
Yhteisellä reunalla A dihedraalinen kulma, valitse mielivaltainen piste NOIN(Kuva 4). Puolitasossa α pisteestä NOIN palauta kohtisuora OA suoralle viivalle A. Samasta pisteestä NOIN toisessa puolitasossa β rakennamme kohtisuoran OB reunaan A. Saatiin kulma AOB, jota kutsutaan dihedraalisen kulman lineaariseksi kulmaksi.
Riisi. 4. Dihedral kulman mittaus
Todistetaan kaikkien lineaaristen kulmien yhtäläisyys annetulla dihedraalikulmalla.
Otetaan dihedraalinen kulma (kuva 5). Valitaan piste NOIN ja kausi O 1 suoralla linjalla A. Muodostetaan pistettä vastaava lineaarinen kulma NOIN, eli piirretään kaksi kohtisuoraa OA Ja OB tasoissa α ja β vastaavasti reunaan A. Saamme kulman AOB- dihedraalisen kulman lineaarinen kulma.
Riisi. 5. Todistuksen kuva
Kohdasta O 1 piirretään kaksi kohtisuoraa OA 1 Ja OB 1 reunaan A tasoissa α ja β vastaavasti ja saadaan toinen lineaarinen kulma A 1 O 1 B 1.
Säteet O 1 A 1 Ja OA samansuuntaisia, koska ne sijaitsevat samassa puolitasossa ja ovat yhdensuuntaisia toistensa kanssa kuin kaksi kohtisuoraa samaan viivaan A.
Samoin säteet Noin 1 in 1 Ja OB ovat yhteisohjattuja, mikä tarkoittaa ∠ AOB =∠ A 1 O 1 B 1 kulmina, joissa on samansuuntaiset sivut, mikä oli todistettava.
Lineaarisen kulman taso on kohtisuorassa dihedraalisen kulman reunaan nähden.
Todista: A ⊥ AOB.
Riisi. 6. Todistuksen kuva
Todistus:
OA ⊥ A rakentamisen mukaan, OB ⊥ A rakenteen mukaan (kuva 6).
Löydämme sen linjan A kohtisuorassa kahta leikkaavaa suoraa vastaan OA Ja OB ulos koneesta AOB, mikä tarkoittaa, että se on suora A kohtisuorassa tasoon nähden OAV, mikä oli todistettava.
Dihedraalinen kulma mitataan sen lineaarikulmalla. Tämä tarkoittaa, että niin monta astetta radiaania sisältyy lineaariseen kulmaan, sama määrä radiaaniastetta sisältyy sen dihedraaliseen kulmaan. Tämän mukaisesti erotetaan seuraavat kaksikulmaiset kulmat.
Akuutti (kuva 6)
Dihedraalinen kulma on terävä, jos sen lineaarikulma on terävä, ts. .
Suora (kuva 7)
Dihedraalinen kulma on oikea, kun sen lineaarikulma on 90° - tylppä (kuva 8)
Dihedraalinen kulma on tylppä, kun sen lineaarikulma on tylppä, ts. 
.
Riisi. 7. Oikea kulma
Riisi. 8. Tylsä kulma
Esimerkkejä lineaaristen kulmien muodostamisesta reaalikuvioissa
ABCD-tetraedri.
1. Muodosta dihedraalisen kulman lineaarinen kulma, jossa on reuna AB.
Riisi. 9. Ongelman kuva
Rakentaminen:
Puhumme reunan muodostamasta dihedraalisesta kulmasta AB ja reunat ABD Ja ABC(Kuva 9).
Tehdään suora DN kohtisuorassa tasoon nähden ABC, N- kohtisuoran kanta. Piirretään kalteva DM kohtisuorassa suoraa linjaa vastaan AB,M- kalteva pohja. Kolmen kohtisuoran lauseella päätämme, että vinon projektio NM myös kohtisuorassa linjaan nähden AB.
Eli pisteestä M kaksi kohtisuoraa reunaan palautetaan AB kahdelta puolelta ABD Ja ABC. Saimme lineaarisen kulman DMN.
Huomaa se AB, dihedraalisen kulman reuna, joka on kohtisuorassa lineaarisen kulman tasoon, eli tasoon nähden DMN. Ongelma on ratkaistu.
Kommentti. Dihedraalinen kulma voidaan merkitä seuraavasti: DABC, Missä
AB- reuna ja pisteet D Ja KANSSA makaa sisään erilaisia kasvoja nurkkaan.
2. Muodosta dihedraalisen kulman lineaarinen kulma, jossa on reuna AC.
Piirretään kohtisuora DN lentokoneeseen ABC ja taipuvainen DN kohtisuorassa suoraa linjaa vastaan AC. Kolmen kohtisuoran lauseen avulla löydämme sen НN- vino projektio DN lentokoneeseen ABC, myös kohtisuorassa linjaan nähden AC.DNH- dihedraalisen kulman lineaarinen kulma reunalla AC.
Tetraederissä DABC kaikki reunat ovat yhtä suuret. Piste M- kylkiluiden keskiosa AC. Todista, että kulma DMV- lineaarinen dihedraalinen kulma SINÄD, eli dihedraalinen kulma, jossa on reuna AC. Yksi sen kasvoista on ACD, toinen - DIA(Kuva 10).
Riisi. 10. Ongelman kuva
Ratkaisu:
Kolmio ADC- tasasivuinen, DM- mediaani ja siten korkeus. tarkoittaa, DM ⊥ AC. Samoin kolmio AINC- tasasivuinen, INM- mediaani ja siten korkeus. tarkoittaa, VM ⊥ AC.
Asiasta siis M kylkiluut AC dihedral kulma palautettu kaksi kohtisuoraa DM Ja VM tähän reunaan dihedraalisen kulman sivuilla.
Joten, ∠ DMIN on dihedraalisen kulman lineaarinen kulma, mikä oli todistettava.
Joten olemme määrittäneet dihedraalikulman, dihedraalisen kulman lineaarisen kulman.
Päällä seuraava oppitunti Tarkastellaan suorien viivojen ja tasojen kohtisuoraa, sitten opimme, mikä on kaksitahoinen kulma kuvioiden pohjassa.
Lista viitteitä aiheesta "Dihedral kulma", "Dihedral kulma geometristen kuvioiden pohjassa"
- Geometria. Luokat 10-11: yleissivistävän oppikirja oppilaitokset/ Sharygin I.F. - M.: Bustard, 1999. - 208 s.: ill.
- Geometria. 10. luokka: oppikirja yleissivistävälle oppilaitokselle, jossa on syvällinen ja erikoistunut matematiikan opiskelu / E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6. painos, stereotypia. - M.: Bustard, 2008. - 233 s.: ill.
- Yaklass.ru ().
- E-science.ru ().
- Webmath.expponenta.ru ().
- Tutoronline.ru ().
Kotitehtävät aiheesta "Dihedral kulma", dihedraalikulman määrittäminen kuvioiden pohjalta
Geometria. Luokat 10-11: oppikirja yleisten oppilaitosten opiskelijoille (perus- ja erikoistasot) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. painos, korjattu ja laajennettu - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: ill.
Tehtävät 2, 3 s. 67.
Mikä on lineaarinen dihedraalinen kulma? Miten se rakennetaan?
ABCD-tetraedri. Muodosta dihedraalisen kulman lineaarinen kulma, jossa on reuna:
A) IND b) DKANSSA.
ABCD.A. 1 B 1 C 1 D 1 - kuutio Muodosta kaksitahoisen kulman lineaarinen kulma A 1 ABC kylkiluiden kanssa AB. Määritä sen astemitta.
LUKU YKSI SUORA JA TASOT
V. DIHEDRALISET KULMAT, OIKEA KULMA TASON KANSSA,
KAHDEN RISTÄVÄN OIKEA SUORAN KULMA, MONITAKIKAULMAT
Dihedraaliset kulmat
38. Määritelmät. Mitä tahansa tässä tasossa olevan suoran toisella puolella olevaa tason osaa kutsutaan puolitaso. Kuvaa, joka muodostuu kahdesta yhdestä suorasta (AB) lähtevästä puolitasosta (P ja Q, kuva 26) on ns. dihedraalinen kulma. Suoraa AB kutsutaan reuna, ja puolitasot P ja Q - juhlia tai reunat dihedraalinen kulma.
Tällainen kulma on yleensä merkitty kahdella sen reunalle sijoitetulla kirjaimella (dihedral kulma AB). Mutta jos yhdessä reunassa on useita dihedraalisia kulmia, jokainen niistä on merkitty neljällä kirjaimella, joista kaksi keskimmäistä ovat reunalla ja kaksi ulompaa sivuilla (esimerkiksi dihedraalikulma SCDR) (kuva 1). 27).
Jos mielivaltaisesta pisteestä D piirretään kullekin sivulle reunat kohtisuorassa reunaan nähden reunat AB (kuva 28), niin niiden muodostama kulma CDE on ns. lineaarinen kulma dihedraalinen kulma.
Lineaarisen kulman suuruus ei riipu sen kärjen sijainnista reunassa. Siten lineaariset kulmat CDE ja C1D1E1 ovat yhtä suuret, koska niiden sivut ovat vastaavasti yhdensuuntaiset ja samassa suunnassa.
Lineaarisen kulman taso on kohtisuorassa reunaan nähden, koska siinä on kaksi siihen kohtisuoraa viivaa. Siksi lineaarisen kulman saamiseksi riittää, että leikataan tietyn dihedraalisen kulman pinta reunaan nähden kohtisuorassa olevan tason kanssa ja otetaan huomioon tuloksena oleva kulma tässä tasossa.
39. Dihedraalisten kulmien yhtäläisyys ja epäyhtälö. Kaksi dihedral-kulmaa katsotaan yhtäläisiksi, jos ne voidaan yhdistää, kun ne on asetettu; muutoin se, mikä kaksikulmainen kulma katsotaan pienemmäksi, muodostaa osan toisesta kulmasta.
Kuten kulmat planimetriassa, dihedraaliset kulmat voivat olla vierekkäinen, pystysuora jne.
Jos kaksi vierekkäistä dihedral-kulmaa ovat keskenään yhtä suuret, kutakin niistä kutsutaan oikea dihedraalinen kulma.
Lauseet. 1) Samat kaksikulmaiset kulmat vastaavat yhtä suuria lineaarisia kulmia.
2) Suurempi dihedraalinen kulma vastaa suurempaa lineaarikulmaa.
Olkoon PABQ ja P 1 A 1 B 1 Q 1 (kuva 29) kaksi dihedraalia kulmaa. Asetamme kulman A 1 B 1 kulmaan AB siten, että reuna A 1 B 1 osuu yhteen reunan AB kanssa ja pinta P 1 pinnan P kanssa.
Sitten jos nämä dihedraaliset kulmat ovat yhtä suuret, pinta Q 1 osuu yhteen pinnan Q kanssa; jos kulma A 1 B 1 on pienempi kuin kulma AB, niin pinta Q 1 ottaa jonkin aseman dihedraalisen kulman sisällä, esimerkiksi Q 2.
Tämän huomattuaan otetaan jokin piste B yhteisestä reunasta ja piirretään sen läpi taso R kohtisuoraan reunaan nähden. Tämän tason leikkauspisteestä dihedraalisten kulmien pintojen kanssa saadaan lineaariset kulmat. On selvää, että jos dihedraaliset kulmat ovat samat, niillä on sama lineaarinen kulma CBD; jos dihedraalikulmat eivät ole samat, jos esimerkiksi pinta Q 1 ottaa aseman Q 2, niin suuremmalla dihedraalikulmalla on suurempi lineaarikulma (eli: / CBD > / C 2 BD).
40. Käänteiset lauseet. 1) Samat lineaariset kulmat vastaavat yhtä suuria dihedraalisia kulmia.
2) Suurempi lineaarinen kulma vastaa suurempaa dihedraalikulmaa .
Nämä lauseet voidaan helposti todistaa ristiriitaisesti.
41. Seuraukset. 1) Suora kaksikulmainen kulma vastaa suoraa lineaarikulmaa ja päinvastoin.
Olkoon (kuva 30) kaksitahoinen kulma PABQ suora. Tämä tarkoittaa, että se on yhtä suuri kuin viereinen kulma QABP 1. Mutta tässä tapauksessa lineaariset kulmat CDE ja CDE 1 ovat myös yhtä suuret; ja koska ne ovat vierekkäin, jokaisen on oltava suora. Kääntäen, jos vierekkäiset lineaariset kulmat CDE ja CDE 1 ovat yhtä suuret, niin vierekkäiset dihedraaliset kulmat ovat yhtä suuret, ts. jokaisen on oltava suora.
2) Kaikki oikeat kaksikulmaiset kulmat ovat yhtä suuret, koska niiden lineaariset kulmat ovat yhtä suuret .
Samoin on helppo todistaa, että:
3) Pystysuorat dihedraaliset kulmat ovat yhtä suuret.
4) Dihedral kulmat, joissa on vastaavasti yhdensuuntaiset ja identtiset (tai vastakkaiset) reunat, ovat yhtä suuret.
5) Jos otamme dihedraalisten kulmien yksiköksi dihedraalikulman, joka vastaa lineaarikulmien yksikköä, niin voidaan sanoa, että dihedraalikulma mitataan sen lineaarikulmalla.