Juhuslike sündmuste korrutise ja erinevuse summa. Tehted sündmustega (summa, vahe, korrutis). Usaldusväärsed ja võimatud sündmused

Lisamise reegel- kui elementi A saab valida n viisil ja elementi B saab valida m viisil, siis A või B saab valida n + m viisil.

^ Korrutamisreegel - kui elementi A saab valida n-l viisil ja iga A-valiku korral saab elemendi B valida m viisil, siis paari (A, B) saab valida n·m viisil.

Ümberkorraldamine. Elementide hulga permutatsioon on elementide paigutus kindlas järjekorras. Seega on kolmest elemendist koosneva hulga kõik erinevad permutatsioonid

Elementide kõigi permutatsioonide arv on tähistatud . Seetõttu arvutatakse kõigi erinevate permutatsioonide arv valemiga

Majutus. Elementide komplekti paigutuste arv elementide kaupa on võrdne

^ Paigutus koos kordusega. Kui on hulk n tüüpi elemente ja peate igasse m kohta paigutama teatud tüüpi elemendi (elementide tüübid võivad kokku langeda erinevad kohad), siis on selle valikute arv n m.

^ Kombinatsioon. Definitsioon. Kombinatsioonid erinevad elemendid vastavaltelemente nimetatakse kombinatsioonideks, mis koosnevad andmetest elemendid poolt elemendid ja erinevad vähemalt ühe elemendi poolest (teisisõnu,-elemendi alamhulgad antud komplektist elemendid). butback="" onclick="goback(684168)">^

" ALIGN = PÕHJA LAIUS = 230 KÕRGUS = 26 ääris = 0>

Elementaarsete sündmuste ruum. Juhuslik sündmus. Usaldusväärne üritus. Võimatu sündmus. elementaarsete sündmuste ruum –

katse üksteist välistavate tulemuste kogum, nii et iga meid huvitavat tulemust saab selle komplekti elementide abil üheselt kirjeldada. See võib olla piiratud ja lõpmatu (loendatav ja loendamatu) Juhuslik sündmus -

^ elementaarsündmuste ruumi mis tahes alamhulk. Usaldusväärne sündmus -

see juhtub kindlasti eksperimendi tulemusena. Võimatu sündmus -

ei teki katse tulemusena. Toimingud sündmustele: sündmuste summa, korrutis ja vahe. Vastupidine sündmus. Ühine ja. kokkusobimatud sündmused Täis grupp

sündmused.Ühisüritused -

^ kui need võivad katse tulemusena tekkida samaaegselt. kui need ei saa katse tulemusena tekkida üheaegselt. Nad ütlevad, et moodustub mitu kokkusobimatut sündmust kogu ürituste grupp, kui üks neist ilmub katse tulemusena.

Kui esimene sündmus koosneb kõigist elementaarsetest tulemustest, välja arvatud need, mis sisalduvad teises sündmuses, nimetatakse selliseid sündmusi vastupidine.

Kahe sündmuse A ja B summa on sündmus, mis koosneb elementaarsündmustest, mis kuuluvad vähemalt ühte sündmustest A või B. ^ Kahe sündmuse A ja B korrutis – sündmus, mis koosneb elementaarsündmustest, mis kuuluvad samaaegselt A ja B hulka. Erinevus A ja B – sündmus, mis koosneb A elementidest, mis ei kuulu sündmusesse B.

Tõenäosuse klassikalised, statistilised ja geomeetrilised definitsioonid. Sündmuse tõenäosuse põhiomadused.

Klassikaline skeem: P(A)=, n – võimalike tulemuste arv, m – sündmusele A soodsate tulemuste arv. statistiline määratlus: W(A)=, n – tehtud katsete arv, m – tehtud katsete arv, mille käigus ilmnes sündmus A. Geomeetriline määratlus: P(A)=

, g – osa joonisest G.

^ Tõenäosuse põhiomadused: 1) 0≤Р(А)≤1, 2) Usaldusväärse sündmuse tõenäosus on 1, 3) võimatu sündmuse tõenäosus on 0.

Teoreem kokkusobimatute sündmuste tõenäosuste ja selle tagajärgede liitmiseks.

P(A+B) = P(A)+P(B).Järeldus 1. P(A 1 +A 2 +...+A k) = P(A 1)+P(A 2)+...+P(A k), A 1,A 2,...,A k on paarikaupa kokkusobimatud. Järeldus 2 . P(A)+P(Ᾱ) = 1. Järeldus 3 . Täieliku rühma moodustavate sündmuste tõenäosuste summa on võrdne 1-ga.

Tinglik tõenäosus. Iseseisvad üritused. Sõltuvate ja sõltumatute sündmuste tõenäosuste korrutamine.

Tingimuslik tõenäosus - P(B) arvutatakse eeldusel, et sündmus A on juba toimunud. A ja B on sõltumatud - kui neist ühe ilmumine ei muuda teise ilmumise tõenäosust.

^ Tõenäosuste korrutamine: sõltlastele. Teoreem. P(A∙B) = P(A)∙P A (B). Kommenteeri. P(A∙B) = P(A)∙P A (B) = P(B)∙P B (A). Tagajärg. P(A 1 ∙…∙A k) = P(A 1) ∙P A1 (A 2)∙…∙P A1-Ak-1 (A k). Sõltumatutele. P(A∙B) = P(A)∙P(B).

^Tteoreem ühissündmuste tõenäosuste liitmiseks. Teoreem . Kahest ühisest sündmusest vähemalt ühe toimumise tõenäosus on võrdne nende sündmuste tõenäosuste summaga ilma nende ühise toimumise tõenäosuseta

P(A+B) = P(A) + P(B) – P(A∙B)

Kogu tõenäosuse valem. Bayesi valemid.

Kogutõenäosuse valem

H 1, H 2 ...H n - moodustavad tervikliku rühma - hüpoteesid.

Sündmus A saab toimuda ainult siis, kui ilmub H 1, H 2 ...H n,

Siis P(A)=P(N 1)*P n1 (A)+P(N 2)*P n2 (A)+…P(N n)*P n n (A)

^ Bayesi valem

Olgu N 1, N 2 ...H n hüpoteesid, sündmus A võib toimuda ühe hüpoteesi all

P(A)= P(N 1)* P n1 (A)+P(N 2)*P n2 (A)+…P(N n)*P n n (A)

Oletame, et sündmus A on toimunud.

Kuidas muutus tõenäosus H 1 tänu sellele, et A esines? Need. RA (H 1)

P(A* N 1)=P(A)* P A (N 1)= P(N 1)* P n1 (A) => P A (N 1)= (P(N 1)* P n1 ( A) )/ P(A)

H2, H3...Hn määratakse sarnaselt

Üldvaade:

P A (N i)= (P (N i)* P n i (A))/ P (A) , kus i=1,2,3…n.

Valemid võimaldavad ülehinnata hüpoteeside tõenäosust, mis tuleneb asjaolust, et sündmuse A toimumiseni viinud testide tulemus saab teatavaks.

“Enne” testimist – a priori tõenäosused – P(N 1), P(N 2)…P(N n)

"Pärast" testi - tagumised tõenäosused - P A (N 1), P A (N 2) ... P A (N n)

Tagumised ja ka eelnevad tõenäosused annavad kokku 1.
9.Bernoulli ja Poissoni valemid.

Bernoulli valem

Tehakse n katset, millest igaühe puhul võib A esineda või mitte. Kui sündmuse A tõenäosus kõigis nendes katsetes on konstantne, on need katsed A suhtes sõltumatud.

Mõelge n sõltumatud testid, milles A võib esineda tõenäosusega p. Seda testide jada nimetatakse Bernoulli ahelaks.

Teoreem: tõenäosus, et n-s katses toimub sündmus A täpselt m korda, on võrdne: P n (m)=C n m *p m *q n - m

Arv m 0 - sündmuse A toimumist nimetatakse kõige tõenäolisemaks, kui vastav tõenäosus P n (m 0) ei ole väiksem kui muu P n (m)

P n (m 0) ≥ P n (m), m 0 ≠ m

M 0 leidmiseks kasutage:

np-q≤ m 0 ≤np+q

^ Poissoni valem

Mõelge Bernoulli testile:

n on testide arv, p on õnnestumise tõenäosus

Olgu p väike (p→0) ja n suur (n→∞)

keskmine edukate juhtumite arv n katses

Lisame Bernoulli valemisse λ=n*p → p= λ:

Pn(m)=Cnm*pm*(1-q)n-m; C n m = n!/((m!*(n-m)!) →

→ P n (m)≈ (λ m /m!)*e - λ (Poisson)

Kui p≤0,1 ja λ=n*p≤10, siis valem annab häid tulemusi.
10. Moivre-Laplace'i lokaalsed ja integraalteoreemid.

Olgu n testide arv, p õnnestumise tõenäosus, n suur ja kaldub lõpmatuseni. (n->∞)

^ Kohalik teoreem

Рn (m)≈(f(x)/(npg)^ 1/2, kus f(x)= (e - x ^2/2)/(2Pi)^ 1/2

Kui npq≥ 20 – annab häid tulemusi, x=(m-np)/(npg)^ 1/2

^ Integraaliteoreem

P n (a≤m≤b)≈ȹ(x 2)-ȹ(x 1),

kus ȹ(x)=1/(2Pi)^ 1/2 * 0 ʃ x e (Pi ^2)/2 dt – Laplace'i funktsioon

x 1 =(a-np)/(npq)^ 1/2, x 2 =(b-np)/(npq)^ 1/2

Laplace'i funktsiooni omadused

ȹ(x) – paaritu funktsioon: ȹ(-x)=- ȹ(x)
ȹ(x) – suureneb monotoonselt
väärtused ȹ(x) (-0,5;0,5) ja lim x →∞ ȹ(x)=0,5; lim x →-∞ ȹ(x)=-0,5

Tagajärjed

P n (│m-np│≤Ɛ) ≈ 2 ȹ (Ɛ/(npq) 1/2)
P n (ɑ≤m/n≤ƥ) ≈ ȹ(z 2)- ȹ(z 1), kus z 1=(ɑ-p)/(pq/n)^ 1/2 z 2=(ƥ -p )/(pq/n)^ 1/2
P n (│(m/n) - p│≈ ∆) ≈ 2 ȹ(∆n 1/2 /(pq)^ 1/2)

m/n katsete õnnestumise suhteline sagedus

11. Juhuslik muutuja. Juhuslike muutujate tüübid. Ülesande meetodid juhuslik muutuja.

SV on elementaarsündmuste hulgal määratletud funktsioon.

X,Y,Z – NE ja selle väärtus on x,y,z

Juhuslik Nad nimetavad suurust, mis testimise tulemusena omandab ühe ja ainsa võimaliku väärtuse, mis ei ole ette teada ja sõltub juhuslikest põhjustest, mida ei saa eelnevalt arvesse võtta.

NE diskreetne, kui selle väärtuste hulk on lõplik või loendatav (neid saab nummerdada). See võtab konkreetsete tõenäosustega individuaalsed, isoleeritud võimalikud väärtused. Diskreetse SV võimalike väärtuste arv võib olla lõplik või lõpmatu.

NE pidev, kui see võtab kõik võimalikud väärtused teatud intervallist (kogu teljel). Selle tähendused võivad väga vähe erineda.

^ Diskreetse SV jaotuse seadus M.B. andnud:

1.tabel

X	x 1	x 2	…	x n
P(X)	lk 1	lk 2	…	p n

(levi seeria)

X=x 1) on vastuolulised

р 1 + р 2 +… p n =1= ∑p i

2.graafika

Tõenäosuse jaotuse hulknurk

3.analüütiline

P=P(X)
12. Juhusliku suuruse jaotusfunktsioon. Jaotusfunktsiooni põhiomadused.

SV X jaotusfunktsioon on funktsioon F(X), mis määrab tõenäosuse, et SV X võtab väärtuse, mis on väiksem kui x, s.t.

x x = kumulatiivne jaotusfunktsioon

Pideval SV-l on pidev, tükkhaaval diferentseeruv funktsioon.

Sihtmärk: Tutvustada õpilasi tõenäosuste liitmise ja korrutamise reeglitega, vastandsündmuste kontseptsiooniga Euleri ringidel.

Tõenäosusteooria on matemaatikateadus, mis uurib juhuslike nähtuste mustreid.

Juhuslik nähtus- see on nähtus, mis ühe ja sama kogemuse korduvalt taasesitamisel ilmneb iga kord veidi erineval viisil.

Toome näiteid juhuslikud sündmused: visatakse täringut, visatakse münti, sooritatakse märklauda jne.

Kõiki ülaltoodud näiteid saab vaadelda sama nurga alt: juhuslikud variatsioonid, ebavõrdsed tulemused paljudest katsetest, mille põhitingimused jäävad muutumatuks.

On üsna ilmne, et looduses pole seda ühtki füüsiline nähtus, milles juhuslikkuse elemente ühel või teisel määral ei esineks. Ükskõik kui täpselt ja üksikasjalikult katsetingimused on fikseeritud, on võimatu tagada, et katse kordamisel kattuvad tulemused täielikult ja täpselt.

Iga loodusnähtusega kaasnevad paratamatult juhuslikud kõrvalekalded. Siiski mitmes praktilisi probleeme need juhuslikud elemendid võib jätta tähelepanuta, arvestades reaalse nähtuse asemel selle lihtsustatud skeemi "mudelit" ja eeldades, et antud katsetingimustes kulgeb nähtus väga kindlal viisil.

Siiski on mitmeid probleeme, kus meid huvitava eksperimendi tulemus sõltub sellest suur hulk tegurid, mida on peaaegu võimatu registreerida ja kõiki neid tegureid arvesse võtta.

Juhuslikud sündmused võivad olla erinevatel viisidel omavahel kombineerida. Sel juhul moodustuvad uued juhuslikud sündmused.

Sündmuste visuaalseks kujutamiseks kasutage Euleri diagrammid. Igal sellisel diagrammil on kõigi elementaarsete sündmuste hulk kujutatud ristkülikuna (joonis 1). Kõik muud sündmused on kujutatud ristküliku sees selle osana, mis on piiratud suletud joonega. Tavaliselt kujutatakse selliseid sündmusi ringide või ovaalidena ristküliku sees.

Mõelgem kõige rohkem olulised omadused sündmused Euleri diagrammide abil.

Sündmuste ühendamineA jaB nimetada sündmust C, mis koosneb sündmusesse A või B kuuluvatest elementaarsündmustest (mõnikord nimetatakse liitu ka summaks).

Kombinatsiooni tulemust saab graafiliselt kujutada Euleri diagrammi abil (joonis 2).

Sündmuste A ja B ristumiskoht nimetatakse sündmuseks C, mis soosib nii sündmust A kui ka sündmust B (mõnikord nimetatakse ristumiskohti korrutiseks).

Ristmiku tulemust saab graafiliselt kujutada Euleri diagrammiga (joonis 3).

Kui sündmustel A ja B ei ole ühiseid soodsaid elementaarsündmusi, siis ei saa need toimuda üheaegselt sama kogemuse ajal. Selliseid üritusi nimetatakse kokkusobimatu ja nende ristumiskoht – tühi üritus.

Erinevus sündmuste A ja B vahel nimetada sündmust C, mis koosneb elementaarsündmustest A, mis ei ole elementaarsündmused B.

Erinevuse tulemust saab graafiliselt kujutada Euleri diagrammi abil (joonis 4)

Olgu ristkülik kõik elementaarsed sündmused. Kujutagem sündmust A ringina ristküliku sees. Ülejäänud osa ristkülikust kujutab sündmuse A vastandit, sündmust (joonis 5)

Sündmusele A vastandlik sündmus on sündmus, mida eelistavad kõik elementaarsed sündmused, mis ei soosi sündmust A.

Sündmusele A vastandlikku sündmust tähistatakse tavaliselt tähisega.

Näited vastupidistest sündmustest.

Mitme sündmuse kombineerimine Sündmust, mis koosneb vähemalt ühe neist sündmustest, nimetatakse.

Näiteks kui katse koosneb viiest sihtmärgi lasust ja sündmused on antud:

A0 – ei tabanud;
A1 - täpselt üks tabamus;
A2 - täpselt 2 tabamust;
A3 - täpselt 3 tabamust;
A4 - täpselt 4 tabamust;
A5 - täpselt 5 tabamust.

Otsige sündmusi: mitte rohkem kui kaks tabamust ja mitte vähem kui kolm tabamust.

Lahendus: A=A0+A1+A2 – mitte rohkem kui kaks tabamust;

B=A3+A4+A5 – vähemalt kolm tabamust.

Mitme sündmuse ristumiskoht Sündmust, mis koosneb kõigi nende sündmuste ühisest toimumisest, nimetatakse.

Näiteks kui sihtmärki tehakse kolm lasku ja arvesse võetakse järgmisi sündmusi:

B1 - esimesel lasul möödalaskmine,
B2 – teisel lasul möödalask,
VZ - möödalaskmine kolmandal lasul,

seda sündmust on see, et sihtmärgile ei tule ühtegi tabamust.

Tõenäosuste määramisel on sageli vaja keerukaid sündmusi esitada lihtsamate sündmuste kombinatsioonidena, kasutades nii sündmuste liitu kui ka ristumiskohta.

Näiteks laske sihtmärgi pihta kolm lasku ja võetakse arvesse järgmisi elementaarseid sündmusi:

Löö esimesel lasul
- eksis esimesel lasul,
- tabas teisel lasul,
- eksis teisel lasul,
- tabas kolmandal lasul,
- eksis kolmandal lasul.

Vaatleme keerulisemat sündmust B, mis seisneb selles, et nende kolme lasu tulemusel tabatakse sihtmärki täpselt üks. Sündmust B saab esitada järgmise elementaarsündmuste kombinatsioonina:

Sündmust C, mis tähendab, et sihtmärgil on vähemalt kaks tabamust, võib esitada järgmiselt:

Joonistel 6.1 ja 6.2 on näidatud kolme sündmuse ühinemine ja ristumiskoht.

Joonis 6

Sündmuste tõenäosuste määramiseks ei kasutata otseseid, vaid kaudseid meetodeid. Mõne sündmuse teadaolevate tõenäosuste lubamine määrata kindlaks teiste nendega seotud sündmuste tõenäosused. Nende kaudsete meetodite kasutamisel kasutame alati ühel või teisel kujul tõenäosusteooria põhireegleid. Neid reegleid on kaks: tõenäosuste liitmise reegel ja tõenäosuste korrutamise reegel.

Tõenäosuste liitmise reegel on sõnastatud järgmiselt.

Kahe kokkusobimatu sündmuse ühendamise tõenäosus on võrdne nende sündmuste tõenäosuste summaga:

P(A+B) =P(A)+ P(B).

Vastandlike sündmuste tõenäosuste summa on võrdne ühega:

P(A) + P() = 1.

Praktikas osutub sageli lihtsamaks arvutada vastupidise sündmuse A tõenäosust kui otsese sündmuse A tõenäosust. Nendel juhtudel arvutage P (A) ja leidke

P(A) = 1-P().

Vaatame mõnda näidet liitmisreegli rakendamisest.

Näide 1. Loosi läheb 1000 piletit; Neist ühe piletiga võidab 500 rubla, 10 piletit - 100 rubla, 50 piletit - 20 rubla, 100 piletit - 5 rubla võitu, ülejäänud piletid on mittevõitvad. Keegi ostab ühe pileti. Leidke tõenäosus võita vähemalt 20 rubla.

Lahendus. Vaatleme sündmusi:

A - võida vähemalt 20 rubla,

A1 - võida 20 rubla,
A2 - võida 100 rubla,
A3 - võida 500 rubla.

Ilmselgelt A= A1 + A2 + A3.

Tõenäosuste liitmise reegli kohaselt:

P (A) = P (A1) + P (A2) + P (A3) = 0,050 + 0,010 + 0,001 = 0,061.

Näide 2. Pommitamine viiakse läbi kolmes laskemoonalaos ja üks pomm visatakse alla. Esimesse lattu sattumise tõenäosus on 0,01; teises 0,008; kolmandas 0,025. Kui ühte ladudest tabatakse, plahvatavad kõik kolm. Leidke tõenäosus, et laod lastakse õhku.

Sündmuste algebralised tehted määratlevad sündmuste käsitlemise reeglid ja võimaldavad üht sündmust väljendada teise terminites. Toimingud sündmustega on rakendatavad ainult sündmustele, mis esindavad sama elementaarse sündmuseruumi alamhulka.

Sündmuste toiminguid saab visualiseerida Venni diagrammide abil. Diagrammidel vastavad sündmused tasapinna erinevatele aladele, tähistades tinglikult elementaarsete sündmuste alamhulka, mis moodustavad sündmused. Seega vastab joonise 1.1 diagrammidel elementaarsündmuste ruum ruudu sisepunktidele, sündmus A ringi sisepunktidele ja sündmus B kolmnurga sisepunktidele. Asjaolu, et sündmused A ja B on elementaarsündmuste ruumi (A, B) alamhulgad, on näidatud joonistel 1.1a, b.

Sündmuste A ja B summa (liit) on sündmus C=A+B (või C=AB), mis seisneb selles, et vähemalt üks sündmustest A või B toimub Sündmus C koosneb kõigist elementaarsündmustest kuuludes vähemalt ühte sündmustest A või B või mõlemasse. Diagrammil (joonis 1.2.) vastab sündmus C varjutatud alale C, mis tähistab alade A ja B ühendust. Samamoodi nimetatakse sündmuseks mitme sündmuse A 1, A 2,..., A n summat. C, mis seisneb selles, et vähemalt üks sündmustest leiab aset A i, i=:

Sündmuste summa ühendab kõik elementaarsündmused, mis moodustavad A i, i=. Kui sündmused E 1, E 2,…, E n moodustavad tervikliku rühma, siis on nende summa võrdne usaldusväärse sündmusega:

Elementaarsündmuste summa võrdub usaldusväärse sündmusega

Sündmuste A ja B korrutis (ristumiskoht) on sündmus C=AB (või C=AB), mis koosneb sündmuste A ja B ühisesinemisest. Sündmus C koosneb nendest elementaarsündmustest, mis kuuluvad nii A kui B hulka. Joonisel 1.3.a on sündmust C kujutatud alade A ja B lõikepunktina. Kui A ja B on kokkusobimatud sündmused, siis on nende korrutis võimatu sündmus, st AB = (joonis 1.3.b).

Sündmuste A 1, A 2,…, A n korrutis on sündmus C, mis koosneb kõigi sündmuste A i, i= samaaegsest täitmisest:

Paaripõhiselt kokkusobimatute sündmuste korrutised A 1, A 2,…, A n on võimatud sündmused: A i A j =, mis tahes ij korral. Tervikliku rühma moodustavate sündmuste korrutised on võimatud sündmused: E i E j =, ij, elementaarsündmuste korrutised on samuti võimatud sündmused: ij =, ij.

Sündmuste A ja B erinevust nimetatakse sündmuseks C=A_B (C=AB), mis seisneb selles, et sündmus A toimub ja sündmus B ei toimu. Sündmus C koosneb nendest elementaarsündmustest, mis kuuluvad A-sse ja mitte kuuluvad kategooriasse B. Joonisel fig. näidatud sündmuste erinevuse skeem. 1.4. Diagramm näitab, et C=A_B=

Sündmuse A (või selle täiendi) vastandsündmus on sündmus, mis seisneb selles, et sündmust A ei toimunud. Vastandsündmus täiendab sündmust A terviklikuks rühmaks ja koosneb nendest elementaarsündmustest, mis kuuluvad ruumi ja ei kuulu sündmusesse A (joonis 1.5). Seega on erinevus usaldusväärse sündmuse ja sündmuse A vahel: =_A.

Sündmuste operatsioonide omadused.

Nihkeomadused: A+B=B+A, A·B=В·A.

Omaduste kombineerimine: (A+B)+C=A+(B+C), (AB)C=A(BC).

Jaotusomadus: A(B+C)=AB+AC.

Sündmustega tehtavate toimingute määratlustest järgige omadusi

A+A=A; A+=; A+=A; A·A=A; A = A; A·=

Vastupidise sündmuse definitsioonist järeldub, et

A+=; A=; =A; =; =; ;

Joonisel 1.4 kujutatud diagrammil on ühissündmuste erinevuse omadused ilmsed:

Kui A ja B on kokkusobimatud sündmused, siis

Ühisürituste omadused on samuti ilmsed

Vastandlike sündmuste puhul on tõesed omadused, mida mõnikord nimetatakse De Morgani reegliks või duaalsuse printsiibiks: vastastikustele sündmustele liikudes vahetavad ühenduse ja ristumisoperatsioonid kohti.

Duaalsuse printsiibi tõestuse saab graafiliselt, kasutades Venni diagramme või analüütiliselt, rakendades omadusi 1-6

Tuleb märkida, et toimingud, mis on sarnased "sarnaste terminite vähendamise" ja arvude algebras astmeni tõstmise toimingutega, on sündmustega toimingute tegemisel vastuvõetamatud.

Näiteks sündmustega töötamisel on õiged toimingud järgmised:

Toimingute vale rakendamine analoogselt algebralistega: (A+B)B=A+BB=A viib vale tulemuseni (kontrollige Venni diagrammide abil!).

Näide 1.11. Tõesta identiteete

a) (A+C)(B+C)=AB+C;

b) AC_B=AC_BC

a) (A+C)(B+C) = AB+CB+AC+CC = AB+C(A+B)+C= =AB+C(A+B)+C = AB+C(A+ B+ ) = AB+C = AB+C;

b) AC_B = AC = CA = C(A_B) = SA_SV = AC_BC

Näide 1.12. Auhind loositakse välja kahe showprogrammi finalisti vahel. Loosimine toimub ükshaaval kuni esimese eduka katseni, iga osaleja katsete arv on piiratud kolmega. Esimene finalist alustab esimesena. Arvesse võetakse järgmisi sündmusi: A = (esimene finalist võitis auhinna); B=(teine finalist võitis auhinna). 1) Lisage need sündmused kogu rühma ja looge sellele usaldusväärne sündmus. 2) Koostage elementaarsete sündmuste täielik rühm. 3) Väljendage esimese tervikliku rühma sündmusi elementaarsete kaudu. 4) Koostage teisi terviklikke sündmuste rühmi ja salvestage nende kaudu usaldusväärseid sündmusi.

1) Sündmused A ja B ei sobi kokku, et neid täiendada mitteühilduva sündmusega C = (keegi ei võitnud auhinda); Usaldusväärne sündmus = (võidab auhinna kas esimene finalist või teine või ei võida keegi) on võrdne: =A+B+C.

2) Tutvustame sündmusi, mis kirjeldavad iga mängija iga katse tulemust ja ei sõltu võistluse tingimustest: A i = (esimene finalist sooritas edukalt i-nda katse), B i = (teine finalist sooritas edukalt i-nda katse), . Need üritused ei võta arvesse konkursi tingimusi ega ole seetõttu auhinna võitmise fakti osas elementaarsed. Kuid nende sündmuste kaudu, kasutades sündmustega seotud toiminguid, on võimalik luua täielik elementaarsündmuste rühm, mis võtab arvesse esimesel edukal katsel võitmise tingimusi: 1 = (esimene finalist võitis auhinna esimesel katsel), 2 = (teine finalist võitis auhinna esimesel katsel), 3 = (esimene finalist võitis auhinna teisel katsel), 4 = (teine finalist võitis auhinna teisel katsel), 5 = (esimene finalist võitis auhinna auhind kolmandal katsel), 6 =(teine finalist võitis auhinna kolmandal katsel), 7 =( mõlemal finalistil ei õnnestunud kolme katse järel auhinda võita). Vastavalt konkursi tingimustele

1 = A 1, 2 =, 3 =, 4 =,

5 =, 6 = , 7 = .

Täielik elementaarsündmuste rühm: =( 1 ,…, 7 )

3) Sündmusi A ja B väljendatakse elementaarsündmuste kaudu, kasutades liitmistehteid, C ühtib elementaarsündmusega:

4) Sündmusteks on ka terved ürituste rühmad

Vastavad usaldusväärsed sündmused:

=(esimene finalist kas võidab auhinna või mitte)=;

=(teine finalist kas võidab auhinna või mitte)=;

=(nad kas ei võida auhinda või võidavad)=.

Näidisruumi sündmuste kõigi tõenäosuste summa on 1. Näiteks kui katses visatakse mündi sündmus A = pead ja sündmus B = sabad, siis A ja B esindavad kogu näidisruumi. Tähendab, P(A) + P(B) = 0,5 + 0,5 = 1.

Näide. Eelnevalt pakutud näites punase pliiatsi hommikumantli taskust eemaldamise tõenäosuse arvutamise kohta (see on sündmus A), mis sisaldab kahte sinist ja ühte punast pastakat, P(A) = 1/3 ≈ 0,33, on vastupidise tõenäosus. üritus - sinise pastaka joonistamine - saab olema

Enne peamiste teoreemide juurde asumist tutvustame veel kahte keerulised mõisted- sündmuste summa ja korrutis. Need mõisted erinevad aritmeetika tavapärastest summa ja korrutise mõistetest. Tõenäosusteoorias on liitmine ja korrutamine sümboolsed toimingud, mis alluvad teatud reeglitele ja hõlbustavad teaduslike järelduste loogilist konstrueerimist.

Summa mitu sündmust on sündmus, mis seisneb nendest vähemalt ühe toimumises. See tähendab, et kahe sündmuse A ja B summat nimetatakse sündmuseks C, mis koosneb kas sündmuse A või sündmuse B või sündmuste A ja B toimumisest koos.

Näiteks kui reisija ootab trammipeatuses ükskõik millist kahest liinist, siis on tema jaoks vajalik sündmus esimese marsruudi trammi (sündmus A) või teise liini trammi (sündmus B) ilmumine. või esimese ja teise liini trammide ühine ilmumine (üritus KOOS). Tõenäosusteooria keeles tähendab see, et reisijale vajalik sündmus D seisneb kas sündmuse A või B või C toimumises, mis kirjutatakse sümboolselt kujul:

D=A+B+C

Kahe sündmuse tulemusA Ja IN on sündmus, mis koosneb sündmuste ühisest toimumisest A Ja IN. Mitme sündmuse tulemus nimetatakse kõigi nende sündmuste ühist toimumist.

Ülaltoodud näites reisijaga sündmus KOOS(trammide ühine ilmumine kahel liinil) on kahe sündmuse tulemus A Ja IN, mis on sümboolselt kirjutatud järgmiselt:

Oletame, et kaks arsti uurivad patsienti eraldi, et tuvastada konkreetne haigus. Ülevaatuste käigus on võimalik, et järgmised sündmused:

Haiguste avastamine esimese arsti poolt ( A);

Haiguse tuvastamata jätmine esimese arsti poolt ();

Haiguse avastamine teise arsti poolt ( IN);

Teise arsti poolt haiguse tuvastamata jätmine ().

Võtke arvesse sündmust, et haigus avastatakse uuringute käigus täpselt üks kord. Seda sündmust saab läbi viia kahel viisil:

Haiguse avastab esimene arst ( A) ja ei tuvasta teist ();

Haigusi ei avasta esimene arst () ja tuvastab teine ( B).

Tähistame vaadeldavat sündmust ja kirjutame sümboolselt:

Arvesta juhtumiga, et haigus avastatakse uuringute käigus kaks korda (nii esimese kui ka teise arsti poolt). Tähistame seda sündmust tähega ja kirjutame: .

Tähistame sündmust, mille puhul ei esimene ega teine arst haigust ei avasta, ja paneme kirja: .

Tõenäosusteooria põhiteoreemid

Kahe kokkusobimatu sündmuse summa tõenäosus on võrdne nende sündmuste tõenäosuste summaga.

Kirjutame liitmise teoreemi sümboolselt:

P(A + B) = P(A)+P(B),

Kus R- vastava sündmuse tõenäosus (sündmus on märgitud sulgudes).

Näide . Patsiendil on maoverejooks. See sümptom registreeritakse veresoone haavandilise erosiooni (sündmus A), söögitoru veenilaiendite rebendi (sündmus B), maovähi (sündmus C), maopolüübi (sündmus D), hemorraagilise diateesi (sündmus F) korral, obstruktiivne kollatõbi (sündmus E) ja lõplik gastriit (sündmusG).

Arst määrab statistiliste andmete analüüsi põhjal igale sündmusele tõenäosuse väärtuse:

Kokku oli arstil 80 maoverejooksuga patsienti (n= 80), millest 12-l oli veresoone haavandiline erosioon (), juures6 - söögitoru veenilaiendite rebend (), 36-l oli maovähk () jne.

Uuringu määramiseks soovib arst määrata maoverejooksu tõenäosust maohaigusega (I sündmus):

Tõenäosus, et maoverejooks on seotud maohaigusega, on üsna suur ja arst saab maohaiguse oletuse põhjal määrata uuringutaktika, mis on kvantitatiivsel tasemel põhjendatud tõenäosusteooriaga.

Kui arvestada ühissündmusi, on kahe sündmuse summa tõenäosus võrdne nende sündmuste tõenäosuste summaga, ilma nende ühise toimumise tõenäosuseta.

Sümboolselt on see kirjutatud järgmise valemiga:

Kui kujutame ette, et sündmus A koosneb laskmisel horisontaalsete triipudega varjutatud märklaua tabamisest ja sündmusest IN- vertikaalsete triipudega varjutatud sihtmärgi tabamisel, siis kokkusobimatute sündmuste korral on liitmisteoreemi järgi summa tõenäosus võrdne üksikute sündmuste tõenäosuste summaga. Kui need sündmused on ühised, siis on teatud tõenäosus, mis vastab sündmuste ühisele esinemisele A Ja IN. Kui te omavastutust ei korrigeeri P(AB), st. sündmuste ühise toimumise tõenäosuse kohta, siis võetakse seda tõenäosust kaks korda arvesse, kuna nii horisontaal- kui ka vertikaaljoontega varjutatud ala on mõlema sihtmärgi lahutamatu osa ja seda võetakse arvesse nii esimeses kui ka teises osas .

Joonisel fig. 1 antud geomeetriline tõlgendus, mis seda asjaolu selgelt illustreerib. Joonise ülemises osas on mittekattuvad sihtmärgid, mis on kokkusobimatute sündmuste analoog, alumises osas - ristuvad sihtmärgid, mis on ühisürituste analoog (ühe lasuga saab tabada nii sihtmärki A kui ka sihtmärki B korraga).

Enne korrutusteoreemi juurde liikumist on vaja käsitleda sõltumatute ja sõltuvate sündmuste ning tingimuslike ja tingimusteta tõenäosuste mõisteid.

Sõltumatu sündmusest B on sündmus A, mille toimumise tõenäosus ei sõltu sündmuse B toimumisest või mittetoimumisest.

Sõltuv sündmusest B on sündmus A, mille toimumise tõenäosus sõltub sündmuse B toimumisest või mittetoimumisest.

Näide . Urnis on 3 palli, 2 valget ja 1 must. Juhusliku palli valimisel on valge palli valimise tõenäosus (sündmus A) võrdne: P(A) = 2/3 ja musta palli (sündmus B) P(B) = 1/3. Tegeleme juhtumite mustriga ja sündmuste tõenäosused arvutatakse rangelt valemi järgi. Katse kordamisel jäävad sündmuste A ja B toimumise tõenäosused muutumatuks, kui iga valiku järel pall urni tagasi tuua. Sel juhul on sündmused A ja B sõltumatud. Kui esimeses katses valitud palli urni tagasi ei panda, sõltub sündmuse (A) tõenäosus teises katses sündmuse (B) toimumisest või mittetoimumisest esimeses katses. Seega, kui esimeses katses ilmnes sündmus B (valiti must pall), siis tehakse teine katse, kui urnis on 2 valget palli ja sündmuse A ilmnemise tõenäosus teises katses on võrdne: P (A) = 2/2 = 1.

Kui esimeses katses sündmust B ei ilmnenud (valiti valge pall), siis tehakse teine katse, kui urnis on üks valge ja üks must pall ning sündmuse A toimumise tõenäosus teises katses. on võrdne: P(A) = 1/2. Ilmselgelt on sel juhul sündmused A ja B omavahel tihedalt seotud ning nende toimumise tõenäosused sõltuvad.

Tinglik tõenäosus sündmus A on selle toimumise tõenäosus, eeldusel, et sündmus B toimub Tingimuslik tõenäosus on tähistatud sümboolselt P(A/B).

Kui sündmuse toimumise tõenäosus A ei sõltu sündmuse toimumisest IN, siis sündmuse tingimuslik tõenäosus A võrdne tingimusteta tõenäosusega:

Kui sündmuse A toimumise tõenäosus sõltub sündmuse B toimumisest, siis tingimuslik tõenäosus ei saa kunagi olla võrdne tingimusteta tõenäosusega:

Erinevate sündmuste sõltuvuse tuvastamine üksteisest on suur väärtus praktiliste probleemide lahendamisel. Näiteks ekslik oletus teatud sümptomite ilmnemise sõltumatuse kohta südamedefektide diagnoosimisel tõenäosuslikul meetodil, mis on välja töötatud nimelises südame-veresoonkonna kirurgia instituudis. A. N. Bakulev, põhjustas umbes 50% ekslikest diagnoosidest.

Näide.Eelnevalt pakutud näites punase pliiatsi hommikumantli taskust eemaldamise tõenäosuse arvutamise kohta (see on sündmus A), mis sisaldab kahte sinist ja ühte punast pastakat, P(A) = 1/3 ≈ 0,33, on vastupidise tõenäosus. üritus - sinise pastaka joonistamine - saab olema

Enne põhiteoreemide juurde asumist tutvustame kahte keerukamat mõistet – sündmuste summa ja korrutis. Need mõisted erinevad aritmeetika tavapärastest summa ja korrutise mõistetest. Tõenäosusteoorias on liitmine ja korrutamine sümboolsed toimingud, mis alluvad teatud reeglitele ja hõlbustavad teaduslike järelduste loogilist konstrueerimist.