Funktsioon kujul y = a x , kus a on suurem kui null ja a ei ole võrdne ühega, nimetatakse eksponentsiaalfunktsiooniks. Eksponentfunktsiooni põhiomadused:
1. Eksponentfunktsiooni määratluspiirkond on reaalarvude hulk.
2. Eksponentfunktsiooni väärtuste vahemik on kõigi positiivsete reaalarvude hulk. Mõnikord on seda komplekti lühiduse huvides tähistatud kui R+.
3. Kui eksponentsiaalfunktsioonis on alus a suurem kui üks, siis funktsioon kasvab kogu definitsioonipiirkonna ulatuses. Kui aluse a eksponentsiaalfunktsioonis on täidetud järgmine tingimus 0
4. Kehtivad kõik kraadide põhiomadused. Kraadide põhiomadusi esindavad järgmised võrdsused:
a x *a y = a (x+y) ;
(a x )/(a y ) = a (x-y) ;
(a*b) x = (a x )*(a y );
(a/b) x = a x /b x ;
(a x ) y = a (x * y) .
Need võrdsused kehtivad kõigi x ja y reaalväärtuste puhul.
5. Eksponentfunktsiooni graafik läbib alati punkti koordinaatidega (0;1)
6. Sõltuvalt sellest, kas eksponentsiaalfunktsioon suureneb või väheneb, on selle graafikul üks kahest kujust.
Järgmisel joonisel on kujutatud kasvava eksponentsiaalfunktsiooni graafik: a>0.
Järgmisel joonisel on näidatud kahaneva eksponentsiaalfunktsiooni graafik: 0
Punkti (0;1) läbivad nii kasvava eksponentsiaalfunktsiooni kui ka kahaneva eksponentsiaalfunktsiooni graafik vastavalt viiendas lõigus kirjeldatud omadusele.
7. Eksponentfunktsioonil ei ole äärmuspunkte, ehk teisisõnu tal puuduvad funktsiooni miinimum- ja maksimumpunktid. Kui arvestame funktsiooni mis tahes konkreetsel segmendil, võtab funktsioon selle intervalli lõpus minimaalsed ja maksimaalsed väärtused.
8. Funktsioon ei ole paaris ega paaritu. Eksponentfunktsioon on funktsioon üldine vaade. Seda on näha graafikutelt, ükski neist ei ole sümmeetriline ei Oy telje ega koordinaatide alguspunkti suhtes.
Logaritm
Logaritme on koolimatemaatikakursustes alati raskeks teemaks peetud. Logaritmi definitsioone on palju erinevaid, kuid millegipärast kasutatakse enamikes õpikutes neist kõige keerukamat ja ebaõnnestunumat.
Logaritmi määratleme lihtsalt ja selgelt. Selleks loome tabeli:
Niisiis, meil on kaks jõudu. Kui võtate numbri alumiselt realt, saate hõlpsalt leida võimsuse, milleni peate selle numbri saamiseks tõstma kaks. Näiteks 16 saamiseks peate kahe tõstma neljanda astmeni. Ja 64 saamiseks peate tõstma kaks kuuenda astmeni. Seda on tabelist näha.
Ja nüüd - tegelikult logaritmi määratlus:
Definitsioon
Logaritm aluseks võtta argumendi x a on võimsus, milleni numbrit tuleb tõsta a numbri saamiseks x.
Määramine
log a x = b
kus a on alus, x on argument, b - tegelikult, millega logaritm võrdub.
Näiteks 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (aluse 2 logaritm 8-st on kolm, sest 2 3 = 8). Sama eduga log 2 64 = 6, kuna 2 6 = 64.
Nimetatakse arvu antud baasi logaritmi leidmise operatsioonilogaritm . Niisiis, lisame oma tabelisse uue rea:
Kahjuks ei arvutata kõiki logaritme nii lihtsalt. Näiteks proovige leida log 2 5. Arv 5 ei ole tabelis, kuid loogika näeb ette, et logaritm asub kuskil intervallil. Sest 22< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.
Selliseid arve nimetatakse irratsionaalseteks: koma järel olevaid arve saab kirjutada lõpmatuseni ja neid ei korrata kunagi. Kui logaritm osutub irratsionaalseks, on parem jätta see nii: log 2 5, log 3 8, log 5 100.
Oluline on mõista, et logaritm on kahe muutujaga avaldis (alus ja argument). Alguses ajavad paljud segadusse, kus on alus ja kus on argument. Ärritavate arusaamatuste vältimiseks vaadake lihtsalt pilti:
Meie ees pole midagi muud kui logaritmi määratlus. Pidage meeles: logaritm on jõud , millesse argumendi saamiseks tuleb alus ehitada. See on põhi, mis tõstetakse võimsuseks – see on pildil punasega esile tõstetud. Selgub, et alus on alati põhjas! Ma ütlen oma õpilastele seda imelist reeglit kohe esimeses tunnis – ja segadust ei teki.
Oleme definitsiooni välja mõelnud – jääb üle vaid õppida logaritme lugema, s.t. "logi" märgist lahti saada. Alustuseks märgime, et Definitsioonist tuleneb kaks asja olulised faktid:
Argument ja alus peavad alati olema suuremad kui null. See tuleneb astme määratlusest ratsionaalse astendajaga, millele logaritmi definitsioon taandatakse.
Alus peab olema ühest erinev, sest üks jääb igal määral ikkagi üheks. Seetõttu on mõttetu küsimus “millisele võimule tuleb tõsta, et saada kaks”. Sellist kraadi pole olemas!
Sellised piirangud kutsutakse piirkond vastuvõetavad väärtused (ODZ). Selgub, et logaritmi ODZ näeb välja selline: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.
Pange tähele, et arvule piiranguid pole b (logaritmi väärtus) ei kattu. Näiteks võib logaritm olla negatiivne: log 2 0,5 = −1, sest 0,5 = 2-1.
Kuid nüüd käsitleme ainult arvulisi avaldisi, mille puhul pole vaja teada logaritmi VA-d. Kõiki piiranguid on probleemide autorid juba arvesse võtnud. Kui aga mängu tulevad logaritmilised võrrandid ja ebavõrdsused, muutuvad DL-nõuded kohustuslikuks. Võib ju alus ja argument sisaldada väga tugevaid konstruktsioone, mis ei pruugi eeltoodud piirangutele vastata.
Nüüd arvestage kindraliga logaritmide arvutamise skeem. See koosneb kolmest etapist:
Esitage põhjus a ja argument x astme kujul, mille minimaalne võimalik alus on suurem kui üks. Teel on parem kümnendkohtadest lahti saada;
Lahenda muutuja suhtes b võrrand: x = a b ;
Saadud arv b on vastus.
See on kõik! Kui logaritm osutub irratsionaalseks, on see nähtav juba esimeses etapis. Nõue, et baas peab olema suurem kui üks, on väga oluline: see vähendab vea tõenäosust ja lihtsustab oluliselt arvutusi. Sama ka kümnendkohad: kui muudate need kohe tavalisteks, on vigu palju vähem.
Vaatame, kuidas see skeem töötab konkreetsed näited:
Arvutage logaritm: log 5 25
Kujutleme alust ja argumenti viie astmena: 5 = 5 1 ; 25 = 52;
Loome ja lahendame võrrandi:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;
Saime vastuse: 2.
Arvutage logaritm:
Kujutleme alust ja argumenti kolme astmena: 3 = 3 1 ; 1/81 = 81 -1 = (3 4) -1 = 3 -4;
Loome ja lahendame võrrandi:
Saime vastuseks: −4.
−4
Arvutage logaritm: log 4 64
Kujutleme alust ja argumenti kahe astmena: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6;
Loome ja lahendame võrrandi:
log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2 b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;
Saime vastuse: 3.
Arvutage logaritm: log 16 1
Kujutleme alust ja argumenti kahe astmena: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
Loome ja lahendame võrrandi:
log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4 b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;
Saime vastuseks: 0.
Arvutage logaritm: log 7 14
Kujutleme alust ja argumenti seitsme astmena: 7 = 7 1 ; 14 ei saa esitada seitsme astmena, kuna 7 1< 14 < 7 2 ;
Eelmisest lõigust järeldub, et logaritm ei lähe arvesse;
Vastus ei muutu: logi 7 14.
logi 7 14
Väike märkus viimase näite kohta. Kuidas olla kindel, et arv ei ole teise arvu täpne aste? See on väga lihtne – lihtsalt jagage see osadeks peamised tegurid. Kui laienemisel on vähemalt kaks erinevat tegurit, ei ole see arv täpne võimsus.
Uurige, kas arvud on täpsed astmed: 8; 48; 81; 35; 14.
8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - täpne aste, sest on ainult üks kordaja;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - ei ole täpne võimsus, kuna tegureid on kaks: 3 ja 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - täpne aste;
35 = 7 · 5 - jällegi mitte täpne võimsus;
14 = 7 · 2 - jällegi mitte täpne aste;
8, 81 - täpne kraad; 48, 35, 14 - ei.
Märkigem ka seda, et me ise algarvud on alati iseenda täpsed kraadid.
Kümnendlogaritm
Mõned logaritmid on nii levinud, et neil on eriline nimi ja sümbol.
Definitsioon
Kümnendlogaritm argumendist x on logaritm alusele 10, st. võimsus, milleni tuleb arvu saamiseks tõsta arv 10 x.
Määramine
lg x
Näiteks log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - jne.
Nüüdsest, kui õpikusse ilmub fraas nagu “Leia lg 0,01”, siis teadke: see pole kirjaviga. See on kümnendlogaritm. Kui te aga pole selle tähistusega tuttav, saate selle alati ümber kirjutada:
log x = log 10 x
Kõik, mis kehtib tavaliste logaritmide puhul, kehtib ka kümnendlogaritmide puhul.
Naturaalne logaritm
On veel üks logaritm, millel on oma tähistus. Mõnes mõttes on see isegi olulisem kui koma. See on umbes naturaallogaritmi kohta.
Definitsioon
Naturaalne logaritm argumendist x on aluse logaritm e , st. võimsus, milleni number tuleb tõsta e numbri saamiseks x.
Määramine
ln x
Paljud inimesed küsivad: mis on number e? See on irratsionaalne arv, mille täpset väärtust pole võimalik leida ja üles kirjutada. Toon ainult esimesed arvud:
e = 2,718281828459...
Me ei hakka üksikasjalikult kirjeldama, mis see number on ja miks seda vaja on. Pidage vaid meeles, et e - naturaallogaritmi alus:
ln x = log e x
Seega ln e = 1; ln e 2 = 2; Kell 16 = 16 - jne. Teisest küljest on ln 2 irratsionaalne arv. Üldiselt on mis tahes ratsionaalarvu naturaallogaritm irratsionaalne. Välja arvatud muidugi üks: ln 1 = 0.
Naturaallogaritmide puhul kehtivad kõik reeglid, mis kehtivad tavaliste logaritmide puhul.
Logaritmide põhiomadused
Logaritme, nagu kõiki numbreid, saab igati liita, lahutada ja teisendada. Kuid kuna logaritmid pole päris tavalised arvud, on neil omad reeglid, mida nimetatakse põhiomadusteks.
Neid reegleid peate kindlasti teadma – ilma nendeta ei saa lahendada ühtegi tõsist logaritmilist ülesannet. Lisaks on neid väga vähe – ühe päevaga saab kõik selgeks. Nii et alustame.
Logaritmide liitmine ja lahutamine
Vaatleme kahte samade alustega logaritmi: log a x ja logi a y . Seejärel saab neid liita ja lahutada ning:
logi a x +logi a y =logi a ( x · y );
logi a x − logi a y =logi a ( x : y ).
Niisiis, logaritmide summa võrdub korrutise logaritmiga ja erinevus on võrdne jagatise logaritmiga. Pange tähele: võtmepunkt siin on samad põhjused. Kui põhjused on erinevad, siis need reeglid ei tööta!
Need valemid aitavad teil arvutada logaritmilise avaldise isegi siis, kui selle üksikuid osi ei arvestata (vt õppetundi " "). Vaadake näiteid ja vaadake:
Leidke avaldise väärtus: log 6 4 + log 6 9.
Kuna logaritmidel on samad alused, kasutame summa valemit:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.
Leidke avaldise väärtus: log 2 48 − log 2 3.
Alused on samad, kasutame erinevuse valemit:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.
Leidke avaldise väärtus: log 3 135 − log 3 5.
Jällegi on alused samad, seega on meil:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.
Nagu näete, koosnevad algsed avaldised "halbadest" logaritmidest, mida eraldi ei arvutata. Kuid pärast teisendusi saadakse täiesti normaalsed arvud. Paljud on sellele faktile üles ehitatud testid. Jah, ühtsel riigieksamil pakutakse testilaadseid väljendeid täie tõsidusega (mõnikord praktiliselt muudatusteta).
Eksponenti väljavõtmine logaritmist
Teeme nüüd ülesande pisut keerulisemaks. Mis siis, kui logaritmi alus või argument on aste? Siis selle astme eksponendi saab logaritmi märgist välja võtta järgmiste reeglite järgi:
On lihtne näha, et viimane reegel järgib kahte esimest. Kuid parem on seda ikkagi meeles pidada - mõnel juhul vähendab see arvutuste mahtu märkimisväärselt.
Muidugi Kõik need reeglid on mõistlikud, kui järgitakse logaritmi ODZ-d: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Ja veel üks asi: õppige rakendama kõiki valemeid mitte ainult vasakult paremale, vaid ka vastupidi, s.t. Saate sisestada enne logaritmi märki olevad arvud logaritmi endasse. See on see, mida kõige sagedamini nõutakse.
Leidke avaldise väärtus: log 7 49 6 .
Vabaneme argumendi astmest, kasutades esimest valemit:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12
Leidke väljendi tähendus:
Pange tähele, et nimetaja sisaldab logaritmi, mille alus ja argument on täpsed astmed: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Meil on:
Ma arvan, et viimane näide nõuab veidi selgitust. Kuhu kadusid logaritmid? Kuni viimase hetkeni töötame ainult nimetajaga. Esitasime seal seisva logaritmi aluse ja argumendi astmetena ning võtsime välja astendajad - saime “kolmekorruselise” murru.
Vaatame nüüd põhifraktsiooni. Lugeja ja nimetaja sisaldavad sama arvu: log 2 7. Kuna log 2 7 ≠ 0, saame murdosa vähendada - 2/4 jääb nimetajasse. Aritmeetika reeglite järgi saab nelja üle kanda lugejasse, mida ka tehti. Tulemuseks oli vastus: 2.
Üleminek uuele vundamendile
Rääkides logaritmide liitmise ja lahutamise reeglitest, rõhutasin konkreetselt, et need töötavad ainult samade alustega. Mis siis, kui põhjused on erinevad? Mis siis, kui need ei ole sama arvu täpsed astmed?
Appi tulevad uuele sihtasutusele ülemineku valemid. Sõnastame need teoreemi kujul:
Teoreem
Olgu antud logaritmi logi a x . Siis suvalise numbri jaoks c nii, et c > 0 ja c ≠ 1, võrdsus on tõene:
Eelkõige, kui paneme c = x, saame:
Teisest valemist järeldub, et logaritmi alust ja argumenti saab vahetada, kuid sel juhul “pööratakse ümber” kogu avaldis, s.t. logaritm ilmub nimetajasse.
Neid valemeid leidub tavalistes arvavaldistes harva. Seda, kui mugavad need on, saab hinnata alles otsustades logaritmilised võrrandid ja ebavõrdsused.
Siiski on probleeme, mida ei saa üldse lahendada peale uude sihtasutusse kolimise. Vaatame paari neist:
Leidke avaldise väärtus: log 5 16 log 2 25.
Pange tähele, et mõlema logaritmi argumendid sisaldavad täpseid võimsusi. Võtame välja näitajad: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2 log 2 5;
Nüüd pöörame teist logaritmi ümber:
Kuna tegurite ümberkorraldamisel korrutis ei muutu, korrutasime rahulikult nelja ja kahega ning seejärel tegelesime logaritmidega.
Leidke avaldise väärtus: log 9 100 lg 3.
Esimese logaritmi alus ja argument on täpsed võimsused. Paneme selle kirja ja vabaneme indikaatoritest:
Nüüd vabaneme kümnendlogaritmist, liikudes uuele alusele:
Põhilogaritmiline identiteet
Sageli on lahendusprotsessis vaja esitada arv logaritmina antud baasile. Sel juhul aitavad meid järgmised valemid:
Esimesel juhul number n muutub argumendis seisva astme näitajaks. Number n võib olla absoluutselt ükskõik, sest see on lihtsalt logaritmi väärtus.
Teine valem on tegelikult parafraseeritud määratlus. Seda nimetatakse järgmiselt:põhilogaritmiline identiteet.
Tegelikult, mis juhtub, kui arv b tõstetakse sellise astmeni, et selle astme arv b annab arvu a? Täpselt nii: tulemuseks on sama arv a. Lugege see lõik uuesti hoolikalt läbi – paljud inimesed jäävad selle peale kinni.
Nagu uude baasi liikumise valemid, on ka põhilogaritmiline identiteet mõnikord ainus võimalik lahendus.
Ülesanne
Leidke väljendi tähendus:
Lahendus
Pange tähele, et log 25 64 = log 5 8 – võttis lihtsalt ruudu baasist ja logaritmi argumendist. Võttes arvesse sama baasiga võimsuste korrutamise reegleid, saame:
200
Kui keegi veel ei tea, siis see oli päris ühtse riigieksami ülesanne :)
Logaritmiline ühik ja logaritmiline null
Kokkuvõtteks annan kaks identiteeti, mida vaevalt saab omadusteks nimetada – pigem on need logaritmi definitsiooni tagajärjed. Need esinevad pidevalt probleemides ja tekitavad üllataval kombel probleeme isegi "edasijõudnud" õpilastele.
log a a = 1 on logaritmiline ühik. Pidage üks kord meeles: logaritm mis tahes baasile a sellest vundamendist võrdne ühega.
log a 1 = 0 on logaritmiline null. Alus a võib olla ükskõik milline, kuid kui argument sisaldab ühte, on logaritm võrdne nulliga! Sest a 0 = 1 on definitsiooni otsene tagajärg.
See on kõik omadused. Harjutage kindlasti nende rakendamist!
Leiame avaldise väärtuse muutuja x=2 erinevate ratsionaalsete väärtuste jaoks; 0; -3; -
Pange tähele, et olenemata sellest, millise arvuga me muutuja x asendame, leiame alati selle avaldise väärtuse. See tähendab, et me käsitleme hulgal määratletud eksponentsiaalset funktsiooni (y võrdub kolmega x astmega) ratsionaalsed arvud: .
Koostame selle funktsiooni graafiku, koostades selle väärtuste tabeli.
Joonistame neid punkte läbiva sujuva joone (joonis 1)
Kasutades selle funktsiooni graafikut, kaalume selle omadusi:
3. Suureneb kogu määratluspiirkonna ulatuses.
- väärtuste vahemik nullist pluss lõpmatuseni.
8. Funktsioon on allapoole kumer.
Kui koostame funktsioonide graafikud ühes koordinaatsüsteemis; y=(y on võrdne kahega x astmega, y on võrdne viiega x astmega, y võrdub seitse x astmega), siis näete, et neil on samad omadused mis y= (y võrdub kolmega x astmega) (joonis .2), see tähendab, et kõik funktsioonid kujul y = (y on võrdne a-ga x astmega, kui üks on suurem) on sellised omadused.
Joonistame funktsiooni:
1. Selle väärtuste tabeli koostamine.
Märgime saadud punktid koordinaattasandile.
Joonistame neid punkte läbiva sujuva joone (joonis 3).
Selle funktsiooni graafiku abil näitame selle omadused:
1. Määratluspiirkond on kõigi reaalarvude hulk.
2. Ei ole paaris ega paaritu.
3. Väheneb kogu määratlusvaldkonna ulatuses.
4. Ei oma suurimaid ega väikseimaid väärtusi.
5. Piiratud allpool, kuid mitte piiratud ülal.
6. Pidev kogu määratlusvaldkonnas.
7. väärtuste vahemik nullist pluss lõpmatuseni.
8. Funktsioon on allapoole kumer.
Samamoodi, kui koostame ühes koordinaatsüsteemis funktsioonide graafikud; y = (y võrdub poolega x astmega, y on võrdne ühe viiendikuga x astmega, y on võrdne ühe seitsmendikuga x astmega), siis võite märgata, et neil on samad omadused nagu y = (y võrdub ühe kolmandikuga astmest x (joonis 4), st kõik funktsioonid kujul y = (y on võrdne ühega jagatud a-ga x astmega, kusjuures nullist suurem, kuid väiksem kui üks) on sellised omadused.
Koostame ühes koordinaatsüsteemis funktsioonide graafikud
See tähendab, et funktsioonide y=y= graafikud on samuti sümmeetrilised (y on võrdne a-ga x astmega ja y on võrdne ühega jagatud a-ga x astmega) sama väärtuse a korral.
Võtame öeldu kokku, defineerides eksponentsiaalfunktsiooni ja märkides selle peamised omadused:
Definitsioon: Funktsiooni kujul y=, kus (a võrdub a astmega x, kus a on positiivne ja erineb ühest), nimetatakse eksponentsiaalfunktsiooniks.
Tuleb meeles pidada erinevusi eksponentsiaalfunktsiooni y= ja astmefunktsiooni y=, a=2,3,4,… vahel. nii kuuldavalt kui visuaalselt. Eksponentfunktsioon X on võimsus ja võimsusfunktsiooni jaoks X on aluseks.
Näide 1: lahendage võrrand (kolm astme x võrdub üheksaga)
(Y võrdub kolmega X astmega ja Y võrdub üheksaga) Joon
Pange tähele, et neil on üks ühine punkt M (2;9) (em koordinaatidega kaks; üheksa), mis tähendab, et punkti abstsiss on selle võrrandi juur. See tähendab, et võrrandil on üks juur x = 2.
Näide 2: lahendage võrrand
Ühes koordinaatsüsteemis koostame kaks funktsiooni y= graafikut (y võrdub viiega x astmega ja y on võrdne ühe kahekümne viiendikuga) Joon. Graafikud lõikuvad ühes punktis T (-2; (te koordinaatidega miinus kaks; üks kahekümne viies). See tähendab, et võrrandi juur on x = -2 (arv miinus kaks).
Näide 3: Lahenda ebavõrdsus
Ühes koordinaatsüsteemis koostame kaks funktsiooni y= graafikut
(Y võrdub kolmega X astmega ja Y on võrdne kahekümne seitsmega).
Joon.9 Funktsiooni graafik asub funktsiooni y=at graafiku kohal
x Seetõttu on ebavõrdsuse lahenduseks intervall (miinus lõpmatusest kolmeni)
Näide 4: Lahenda ebavõrdsus
Ühes koordinaatsüsteemis koostame kaks funktsiooni y= graafikut (y võrdub ühe neljandikuga x astmega ja y on võrdne kuueteistkümnega). (joonis 10). Graafikud lõikuvad ühes punktis K (-2;16). See tähendab, et ebavõrdsuse lahendiks on intervall (-2; (miinus kahest pluss lõpmatuseni), kuna funktsiooni y= graafik asub funktsiooni graafiku all punktis x
Meie arutluskäik võimaldab meil kontrollida järgmiste teoreemide paikapidavust:
Teema 1: Kui tõene, siis ja ainult siis, kui m=n.
Teoreem 2: Kui on tõene siis ja ainult siis, ebavõrdsus on tõene siis ja ainult siis (joonis *)
Teoreem 4: Kui tõene siis ja ainult siis (joonis**), on ebavõrdsus tõene siis ja ainult siis, kui teoreem 3: kui tõene siis ja ainult siis, kui m=n.
Näide 5: joonistage funktsioon y=
Muudame funktsiooni, rakendades astme omadust y=
Koostame täiendava koordinaadisüsteemi ja sisse uus süsteem koordinaadid, koostame funktsiooni y = graafiku (y võrdub kahega x astmega) Joon. 11.
Näide 6: lahendage võrrand
Ühes koordinaatsüsteemis koostame kaks funktsiooni y= graafikut
(Y võrdub seitsmega X astmega ja Y on kaheksa miinus X) Joon. 12.
Graafikud lõikuvad ühes punktis E (1; (e koordinaatidega üks; seitse). See tähendab, et võrrandi juur on x = 1 (x võrdub ühega).
Näide 7: Lahenda ebavõrdsus
Ühes koordinaatsüsteemis koostame kaks funktsiooni y= graafikut
(Y võrdub ühe neljandikuga X astmest ja Y võrdub X pluss viiega). Funktsiooni y= graafik asub funktsiooni y=x+5 graafiku all, kui võrratuse lahendiks on intervall x (miinus ühest pluss lõpmatuseni).
Õppetund nr.2
Teema: Eksponentfunktsioon, selle omadused ja graafik.
Sihtmärk: Kontrollige eksponentsiaalfunktsiooni kontseptsiooni omandamise kvaliteeti; arendada eksponentsiaalfunktsiooni äratundmise, selle omaduste ja graafikute kasutamise oskusi, õpetada õpilasi kasutama eksponentsiaalfunktsiooni salvestamise analüütilisi ja graafilisi vorme; pakkuda klassis töökeskkonda.
Varustus: tahvel, plakatid
Tunni vorm: klassitund
Tunni tüüp: praktiline tund
Tunni tüüp: oskuste ja vilumuste õpetamise tund
Tunniplaan
1. Organisatsioonimoment
2. Iseseisev töö ja kontrollige kodutöö
3. Probleemide lahendamine
4. Kokkuvõtete tegemine
5. Kodutöö
Tunni edenemine.
1. Organisatsioonimoment :
Tere. Avage märkmikud, kirjutage üles tänane kuupäev ja tunni “Eksponentfunktsioon” teema. Täna jätkame eksponentsiaalfunktsiooni, selle omaduste ja graafiku uurimist.
2. Iseseisev töö ja kodutööde kontrollimine .
Sihtmärk: kontrollida eksponentsiaalfunktsiooni mõiste valdamise kvaliteeti ja kontrollida kodutöö teoreetilise osa täitmist
Meetod: testülesanne, frontaalküsitlus
Kodutööna anti teile numbrid ülesannete raamatust ja lõik õpikust. Me ei kontrolli praegu teie õpikust numbrite täitmist, kuid tunni lõpus annate märkmikud kätte. Nüüd testitakse teooriat väikese testi vormis. Ülesanne on kõigile sama: teile antakse funktsioonide loend, peate välja selgitama, millised neist on indikatiivsed (joonitage need alla). Ja eksponentsiaalfunktsiooni kõrvale tuleb kirjutada, kas see suureneb või väheneb.
1. võimalus Vastus B) D) - eksponentsiaalne, kahanev | 2. variant Vastus D) - eksponentsiaalne, kahanev D) - eksponentsiaalne, kasvav |
3. võimalus Vastus A) - eksponentsiaalne, kasvav B) - eksponentsiaalne, kahanev | 4. võimalus Vastus A) - eksponentsiaalne, kahanev IN) - eksponentsiaalne, kasvav |
Tuletagem nüüd koos meelde, millist funktsiooni nimetatakse eksponentsiaalseks?
Funktsiooni vormist , kus ja , nimetatakse eksponentsiaalfunktsiooniks.
Mis on selle funktsiooni ulatus?
Kõik reaalarvud.
Mis on eksponentsiaalfunktsiooni vahemik?
Kõik positiivsed reaalarvud.
Väheneb, kui astme baas on suurem kui null, kuid väiksem kui üks.
Millisel juhul väheneb eksponentsiaalfunktsioon oma definitsioonipiirkonnas?
Suureneb, kui võimsuse baas on suurem kui üks.
3. Probleemide lahendamine
Sihtmärk: arendada eksponentsiaalfunktsiooni äratundmise, selle omaduste ja graafikute kasutamise oskusi, õpetada õpilasi kasutama eksponentsiaalfunktsiooni kirjutamise analüütilisi ja graafilisi vorme
meetod: tüüpülesannete lahendamise tutvustamine õpetaja poolt, suuline töö, töö tahvli juures, töö vihikus, vestlus õpetaja ja õpilaste vahel.
Eksponentfunktsiooni omadusi saab kasutada kahe või enama arvu võrdlemisel. Näiteks: nr 000. Võrrelge väärtusi ja kui a) 
..gif" width="37" height="20 src=">, siis on see üsna raske töö: Peaksime võtma 3 kuupjuure ja 9 kuupjuure ning neid võrdlema. Kuid me teame, et see suureneb, see omakorda tähendab, et argumendi suurenedes suureneb funktsiooni väärtus, see tähendab, et me peame lihtsalt võrdlema argumendi väärtusi ja on ilmne, et 
(saab näidata plakatil, mis näitab kasvavat eksponentsiaalset funktsiooni). Ja selliste näidete lahendamisel määrate alati kõigepealt eksponentsiaalfunktsiooni aluse, võrrelge seda 1-ga, määrate monotoonsuse ja jätkate argumentide võrdlemist. Väheneva funktsiooni korral: argumendi suurenemisel funktsiooni väärtus väheneb, seetõttu muudame argumentide ebavõrdsusest funktsioonide ebavõrdsusele liikudes ebavõrdsuse märki. Edasi lahendame suuliselt: b) 
- 
IN) 
- 
G) 
- 
- nr 000. Võrrelge numbreid: a) ja
Seetõttu funktsioon suureneb
Miks?
Funktsiooni suurendamine ja 
Seetõttu funktsioon väheneb 
Mõlemad funktsioonid suurenevad kogu oma definitsioonipiirkonna ulatuses, kuna need on eksponentsiaalsed ja võimsusbaas on suurem kui üks.
Mis tähendus selle taga on?
Koostame graafikuid:
Milline funktsioon suureneb püüdlemisel kiiremini https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20 height=25" height="25">
Milline funktsioon väheneb püüdmisel kiiremini https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20 height=25" height="25">
Intervalli kohta, milline funktsioonidest on kõrgem väärtus konkreetses punktis?
D), https://pandia.ru/text/80/379/images/image068_0.gif" width="69" height="57 src=">. Esiteks selgitame välja nende funktsioonide definitsiooni ulatus. Kas need langevad kokku?
Jah, nende funktsioonide valdkond on kõik reaalarvud.
Nimetage kõigi nende funktsioonide ulatus.
Nende funktsioonide vahemikud langevad kokku: kõik positiivsed reaalarvud.
Määrake iga funktsiooni monotoonsuse tüüp.
Kõik kolm funktsiooni vähenevad kogu oma definitsioonipiirkonna ulatuses, kuna need on eksponentsiaalsed ja nende võimsuste baas on väiksem kui üks ja suurem kui null.
Milline eripunkt on eksponentsiaalfunktsiooni graafikul?
Mis tähendus selle taga on?
Olenemata eksponentsiaalfunktsiooni astme alusest, kui astendaja sisaldab 0, on selle funktsiooni väärtus 1.
Koostame graafikuid:
Analüüsime graafikuid. Mitu lõikepunkti on funktsioonide graafikutel?
Milline funktsioon väheneb püüdmisel kiiremini https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif" width="41 height=57" height="57">
Milline funktsioon suureneb püüdmisel kiiremini https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif" width="41 height=57" height="57">
Millisel funktsioonil on intervallil konkreetses punktis suurem väärtus?
Millisel funktsioonil on intervallil konkreetses punktis suurem väärtus?
Miks on eksponentsiaalfunktsioonid koos erinevatel põhjustel Kas teil on ainult üks ristumispunkt?
Eksponentfunktsioonid on rangelt monotoonsed kogu oma määratlusvaldkonnas, nii et nad saavad ristuda ainult ühes punktis.
Järgmine ülesanne keskendub selle omaduse kasutamisele. Nr 000. Leia antud funktsiooni suurim ja väikseim väärtus antud intervallil a) . Tuletage meelde, et rangelt monotoonne funktsioon võtab oma minimaalse ja maksimaalse väärtuse antud segmendi otstes. Ja kui funktsioon suureneb, siis tema kõrgeim väärtus on segmendi paremas otsas ja väikseim segmendi vasakus otsas (esitlus plakatil, kasutades eksponentsiaalfunktsiooni näidet). Kui funktsioon väheneb, siis on selle suurim väärtus segmendi vasakpoolses otsas ja väikseim segmendi paremas otsas (demonstratsioon plakatil eksponentsiaalfunktsiooni näitel). Funktsioon suureneb, kuna seetõttu on funktsiooni väikseim väärtus punktis https://pandia.ru/text/80/379/images/image075_0.gif" width="145" height="29" > punktid b) 
, V) 
d) lahenda vihikud ise, kontrollime suuliselt.
Õpilased lahendavad ülesande oma vihikus
|
Vähenev funktsioon
|
Vähenev funktsioon
|
Funktsiooni suurendamine
|
funktsiooni suurim väärtus segmendil
funktsiooni väikseim väärtus segmendil
funktsiooni väikseim väärtus segmendil
funktsiooni suurim väärtus segmendil- Nr 000. Leia antud funktsiooni suurim ja väikseim väärtus antud intervallil a) 
. See ülesanne on peaaegu sama, mis eelmine. Kuid see, mis siin on antud, pole segment, vaid kiir. Teame, et funktsioon kasvab ja sellel pole ei suurimat ega väikseimat väärtust kogu arvureal https://pandia.ru/text/80/379/images/image063_0.gif" width="68" height = "20">, ja kipub juures , st kiirtel kaldub funktsioon at 0-le, kuid sellel pole väikseimat väärtust, kuid selle väärtus on suurim punktis 
. Punktid b) 
, V) 
, G) 
Märkmikud lahendage ise, kontrollime suuliselt.
Fookus:
Definitsioon. Funktsioon liigiks nimetatakse eksponentsiaalne funktsioon .
Kommenteeri. Baasväärtustest väljajätmine a numbrid 0; 1 ja negatiivsed väärtused a on seletatav järgmiste asjaoludega:
Analüütiline väljend ise a x nendel juhtudel säilitab see oma tähenduse ja seda saab kasutada probleemide lahendamisel. Näiteks väljendi jaoks x y punkt x = 1; y = 1 on vastuvõetavate väärtuste vahemikus.
Koostage funktsioonide graafikud: ja.
 |
 |
| Eksponentfunktsiooni graafik | |
| y = a x, a > 1 | y = a x , 0< a < 1 |
 |
 |
Eksponentfunktsiooni omadused
| Eksponentfunktsiooni omadused | y = a x, a > 1 | y = a x , 0< a < 1 |
|
||
| 2. Funktsioonide ulatus | ||
| 3. Ühikuga võrdlemise intervallid | juures x> 0, a x > 1 | juures x > 0, 0< a x < 1 |
| juures x < 0, 0< a x < 1 | juures x < 0, a x > 1 | |
| 4. Paaris, paaritu. | Funktsioon ei ole paaris ega paaritu (üldkuju funktsioon). | |
| 5. Monotoonsus. | suureneb monotoonselt võrra R | väheneb monotoonselt võrra R |
| 6. Äärmused. | Eksponentfunktsioonil ei ole äärmusi. | |
| 7. Asümptoot | O-telg x on horisontaalne asümptoot. | |
| 8. Mis tahes tegelike väärtuste jaoks x Ja y; |  |
|
Kui tabel on täidetud, lahendatakse ülesandeid paralleelselt täitmisega.
Ülesanne nr 1. (Leia funktsiooni määratluspiirkond).
Millised argumentide väärtused kehtivad funktsioonide jaoks:
Ülesanne nr 2. (Funktsiooni väärtusvahemiku leidmiseks).
Joonisel on kujutatud funktsiooni graafik. Määrake funktsiooni määratluspiirkond ja väärtuste vahemik:
 |
 |
 |
 |
Ülesanne nr 3. (Märkida võrdlusvahemikud ühega).
Võrrelge kõiki järgmisi võimsusi ühega:
Ülesanne nr 4. (Uurida monotoonsuse funktsiooni).
Võrrelge reaalarve suuruse järgi m Ja n Kui:
Ülesanne nr 5. (Uurida monotoonsuse funktsiooni).
Tehke järeldus aluse kohta a, Kui:
y(x) = 10 x; f(x) = 6 x; z(x) – 4x
Kuidas on eksponentsiaalfunktsioonide graafikud üksteise suhtes x > 0, x = 0, x< 0?
Järgmised funktsioonigraafikud on joonistatud ühel koordinaattasandil:
y(x) = (0,1)x; f(x) = (0,5) x; z(x) = (0,8) x .
Kuidas on eksponentsiaalfunktsioonide graafikud üksteise suhtes x > 0, x = 0, x< 0?
| Number
üks olulisemaid konstante matemaatikas. Definitsiooni järgi see võrdne jada piiriga
piiramatuga
suurendades n
. Määramine e sisestatud
Leonard Euler
1736. aastal. Ta arvutas selle arvu esimesed 23 numbrit kümnendsüsteemis ja arv ise nimetati Napieri auks "mitte-Pierre'i numbriks". Määramine Number mängib matemaatilises analüüsis erilist rolli. Eksponentfunktsioon Määramine, koos alusega nimetatakse eksponendiks ja on määratud. y = e x Esimesed märgid Määramine numbrid lihtne meelde jätta: |
 |
kaks, koma, seitse, Leo Tolstoi sünniaasta - kaks korda, nelikümmend viis, üheksakümmend, nelikümmend viis.
Kodutöö:
Kolmogorovi lõige 35; nr 445-447; 451; 453.
Korrake moodulmärgi all muutujat sisaldavate funktsioonide graafikute koostamise algoritmi. Enamiku matemaatiliste probleemide lahendamine ühel või teisel viisil hõlmab numbriliste, algebraliste või funktsionaalsete avaldiste teisendamist. Eelnev kehtib eriti otsuse kohta. Matemaatika ühtse riigieksami versioonides sisaldab seda tüüpi ülesanne eelkõige ülesannet C3. C3 ülesannete lahendamise õppimine on oluline mitte ainult eesmärgiga edukas lõpetamine
Ühtne riigieksam, aga ka sel põhjusel, et see oskus tuleb kasuks kõrgkoolis matemaatikakursusel õppides. Ülesannete C3 täitmisel tuleb otsustada erinevat tüüpi võrrandid ja võrratused. Nende hulgas on ratsionaalsed, irratsionaalsed, eksponentsiaalsed, logaritmilised, trigonomeetrilised, sisaldavad mooduleid (absoluutväärtusi), aga ka kombineeritud. Selles artiklis käsitletakse eksponentsiaalvõrrandite ja võrratuste peamisi tüüpe ning erinevaid meetodeid nende lahendamiseks. Lugege muud tüüpi võrrandite ja võrratuste lahendamise kohta artiklite jaotisest "", mis on pühendatud C3 probleemide lahendamise meetoditele.Ühtse riigieksami valikud
matemaatikas. Enne kui hakkame konkreetseid analüüsima, matemaatika juhendajana soovitan teil täiendada mõnda teoreetilise materjali, mida meil vaja läheb.
Eksponentfunktsioon
Mis on eksponentsiaalne funktsioon?
Vormi funktsioon y = a x, Kus a> 0 ja a≠ 1 kutsutakse eksponentsiaalne funktsioon.
Põhiline eksponentsiaalfunktsiooni omadused y = a x:
Eksponentfunktsiooni graafik
Eksponentfunktsiooni graafik on eksponent:
Eksponentfunktsioonide (eksponentide) graafikud
Eksponentvõrrandite lahendamine
Soovituslik nimetatakse võrranditeks, milles tundmatu muutuja leidub ainult mõne astme eksponentides.
Et lahendada eksponentsiaalvõrrandid peate teadma ja oskama kasutada järgmist lihtsat teoreemi:
1. teoreem. Eksponentvõrrand a f(x) = a g(x) (Kus a > 0, a≠ 1) on võrdne võrrandiga f(x) = g(x).
Lisaks on kasulik meeles pidada põhivalemeid ja kraadidega tehteid:
Title=" Renderdab QuickLaTeX.com">!}
Näide 1. Lahendage võrrand:
Lahendus: Kasutame ülaltoodud valemeid ja asendusi:
Võrrand muutub siis:
Saadud diskrimineerija ruutvõrrand positiivne:
Title=" Renderdab QuickLaTeX.com">!}
See tähendab, et sellel võrrandil on kaks juurt. Leiame need:
Pöördasenduse juurde liikudes saame:
Teisel võrrandil pole juuri, kuna eksponentsiaalfunktsioon on kogu määratlusvaldkonnas rangelt positiivne. Lahendame teise:
Võttes arvesse teoreemis 1 öeldut, liigume edasi samaväärse võrrandi juurde: x= 3. See on ülesande vastus.
Vastus: x = 3.
Näide 2. Lahendage võrrand:
Lahendus: Võrrandil ei ole lubatud väärtuste vahemikule piiranguid, kuna radikaalavaldis on mõistlik mis tahes väärtuse puhul x(eksponentsiaalne funktsioon y = 9 4 -x positiivne ja ei ole võrdne nulliga).
Lahendame võrrandi samaväärsete teisendustega, kasutades korrutamise ja astmete jagamise reegleid:
Viimane üleminek viidi läbi vastavalt teoreemile 1.
Vastus:x= 6.
Näide 3. Lahendage võrrand:
Lahendus: algse võrrandi mõlemad pooled saab jagada 0,2-ga x. See üleminek on samaväärne, kuna see avaldis on mis tahes väärtuse korral suurem kui null x(eksponentfunktsioon on oma määratlusvaldkonnas rangelt positiivne). Siis saab võrrand järgmise kuju:
Vastus: x = 0.
Näide 4. Lahendage võrrand:
Lahendus: võrrandit lihtsustame elementaarvõrrandiks ekvivalentteisenduste abil, kasutades artikli alguses toodud astmete jagamise ja korrutamise reegleid:
Võrrandi mõlema poole jagamine 4-ga x, nagu eelmises näites, on samaväärne teisendus, kuna see avaldis ei ole ühegi väärtuse puhul võrdne nulliga x.
Vastus: x = 0.
Näide 5. Lahendage võrrand:
Lahendus: funktsiooni y = 3x, mis seisab võrrandi vasakul küljel, kasvab. Funktsioon y = —x-2/3 võrrandi paremal küljel väheneb. See tähendab, et kui nende funktsioonide graafikud ristuvad, siis kõige rohkem üks punkt. IN antud juhul pole raske ära arvata, et graafikud punktis ristuvad x= -1. Muid juuri ei tule.
Vastus: x = -1.
Näide 6. Lahendage võrrand:
Lahendus: me lihtsustame võrrandit samaväärsete teisenduste abil, pidades kõikjal meeles, et eksponentsiaalfunktsioon on mis tahes väärtuse korral rangelt suurem kui null x ja kasutades artikli alguses toodud võimsuste korrutise ja jagatise arvutamise reegleid:
Vastus: x = 2.
Eksponentsiaalse ebavõrdsuse lahendamine
Soovituslik nimetatakse ebavõrdsusteks, milles tundmatu muutuja sisaldub ainult mõne astme eksponentides.
Et lahendada eksponentsiaalne ebavõrdsus nõutakse järgmise teoreemi tundmist:
2. teoreem. Kui a> 1, siis ebavõrdsus a f(x) > a g(x) võrdub samatähendusliku ebavõrdsusega: f(x) > g(x). Kui 0< a < 1, то показательное неравенство a f(x) > a g(x) on samaväärne vastupidise tähendusega ebavõrdsusega: f(x) < g(x).
Näide 7. Lahendage ebavõrdsus:
Lahendus: Esitame esialgse ebavõrdsuse kujul:
Jagame selle võrratuse mõlemad pooled 3 2-ga x, antud juhul (funktsiooni positiivsuse tõttu y= 3 2x) ebavõrdsuse märk ei muutu:
Kasutame asendust:
Siis on ebavõrdsus järgmine:
Seega on ebavõrdsuse lahendus intervall:
vastupidisele asendusele liikudes saame:
Vasakpoolne ebavõrdsus, mis tuleneb eksponentsiaalfunktsiooni positiivsusest, rahuldatakse automaatselt. Kasutades hästi tuntud logaritmi omadust, liigume edasi ekvivalentse võrratuse juurde:
Kuna astme alus on ühest suurem arv, on ekvivalent (teoreemi 2 järgi) üleminek järgmisele ebavõrdsusele:
Niisiis, lõpuks saame vastus:
Näide 8. Lahendage ebavõrdsus:
Lahendus: Kasutades astmete korrutamise ja jagamise omadusi, kirjutame ebavõrdsuse ümber kujul:
Tutvustame uut muutujat:
Seda asendust arvesse võttes on ebavõrdsus järgmine:
Korrutades murdosa lugeja ja nimetaja 7-ga, saame järgmise ekvivalentse võrratuse:
Seega rahuldavad muutuja järgmised väärtused ebavõrdsust t:
Seejärel, liikudes vastupidisele asendusele, saame:
Kuna astme alus on siin suurem kui üks, on üleminek ebavõrdsusele samaväärne (teoreemi 2 järgi):
Lõpuks saame vastus:
Näide 9. Lahendage ebavõrdsus:
Lahendus:
Jagame ebavõrdsuse mõlemad pooled avaldisega:
See on alati suurem kui null (tulenevalt eksponentsiaalfunktsiooni positiivsusest), seega ei pea ebavõrdsusmärki muutma. Saame:
t asub intervallis:
Pöördasenduse juurde liikudes leiame, et algne ebavõrdsus jaguneb kaheks juhtumiks:
Esimesel võrratusel puuduvad lahendid eksponentsiaalfunktsiooni positiivsuse tõttu. Lahendame teise:
Näide 10. Lahendage ebavõrdsus:
Lahendus:
Parabooli oksad y = 2x+2-x 2 on suunatud allapoole, seetõttu on see ülalt piiratud väärtusega, milleni see oma tipus jõuab:
Parabooli oksad y = x 2 -2x Näidiku +2 on suunatud ülespoole, mis tähendab, et see on altpoolt piiratud väärtusega, milleni see oma tipus jõuab:
Samas osutub funktsioon ka altpoolt piiratuks y = 3 x 2 -2x+2, mis on võrrandi paremal küljel. See saavutab oma väikseima väärtuse eksponendi parabooliga samas punktis ja see väärtus on 3 1 = 3. Seega saab algne võrratus olla tõene ainult siis, kui vasakpoolne funktsioon ja parempoolne funktsioon saavad väärtuse , võrdne 3-ga (nende funktsioonide väärtusvahemike ristumiskoht on ainult see arv). See tingimus on täidetud ainus punkt x = 1.
Vastus: x= 1.
Et õppida otsustama eksponentsiaalvõrrandid ja võrratused, nende lahendamisel on vaja pidevalt treenida. Selle raske ülesande lahendamisel võivad teid aidata mitmesugused asjad. metoodilised käsiraamatud, algmatemaatika ülesannete raamatud, võistlusülesannete kogumikud, matemaatikatunnid koolis, samuti individuaaltunnid professionaalse juhendajaga. Soovin teile siiralt edu ettevalmistamisel ja häid tulemusi eksamil.
Sergei Valerijevitš
P.S. Kallid külalised! Palun ärge kirjutage kommentaaridesse oma võrrandite lahendamise taotlusi. Kahjuks pole mul selleks absoluutselt aega. Sellised sõnumid kustutatakse. Palun lugege artiklit. Võib-olla leiate sellest vastused küsimustele, mis ei võimaldanud teil oma ülesannet iseseisvalt lahendada.