Πυραμίδα. Κόλουρη πυραμίδα

Πυραμίδαείναι ένα πολύεδρο, του οποίου μια όψη είναι πολύγωνο ( βάση ), και όλες οι άλλες όψεις είναι τρίγωνα με κοινή κορυφή ( πλαϊνά πρόσωπα ) (Εικ. 15). Η πυραμίδα ονομάζεται σωστός , αν η βάση της είναι κανονικό πολύγωνο και η κορυφή της πυραμίδας προβάλλεται στο κέντρο της βάσης (Εικ. 16). Μια τριγωνική πυραμίδα με όλες τις άκρες ίσες ονομάζεται τετράεδρο .

Πλευρική πλευράμιας πυραμίδας είναι η πλευρά της πλευρικής όψης που δεν ανήκει στη βάση Υψος πυραμίδα είναι η απόσταση από την κορυφή της μέχρι το επίπεδο της βάσης. Όλα τα πλαϊνά πλευρά κανονική πυραμίδαίσες μεταξύ τους, όλες οι πλευρικές όψεις είναι ίσα ισοσκελές τρίγωνα. Το ύψος της πλευρικής όψης μιας κανονικής πυραμίδας που αντλείται από την κορυφή ονομάζεται αποθεμα . Διαγώνιο τμήμα ονομάζεται τομή μιας πυραμίδας από ένα επίπεδο που διέρχεται από δύο πλευρικές ακμές που δεν ανήκουν στην ίδια όψη.

Πλάγια επιφάνειαπυραμίδα είναι το άθροισμα των εμβαδών όλων των πλευρικών όψεων. Περιοχή πλήρη επιφάνεια ονομάζεται το άθροισμα των εμβαδών όλων των πλευρικών όψεων και της βάσης.

Θεωρήματα

1. Εάν σε μια πυραμίδα όλες οι πλευρικές ακμές έχουν την ίδια κλίση προς το επίπεδο της βάσης, τότε η κορυφή της πυραμίδας προβάλλεται στο κέντρο του κύκλου που περιβάλλεται κοντά στη βάση.

2. Εάν όλες οι πλευρικές ακμές μιας πυραμίδας έχουν ίσα μήκη, τότε η κορυφή της πυραμίδας προβάλλεται στο κέντρο ενός κύκλου που περιβάλλεται κοντά στη βάση.

3. Εάν όλες οι όψεις μιας πυραμίδας έχουν την ίδια κλίση προς το επίπεδο της βάσης, τότε η κορυφή της πυραμίδας προβάλλεται στο κέντρο ενός κύκλου που είναι εγγεγραμμένος στη βάση.

Για να υπολογίσετε τον όγκο μιας αυθαίρετης πυραμίδας, ο σωστός τύπος είναι:

Οπου V- Ενταση ΗΧΟΥ;

Βάση S– περιοχή βάσης·

H– ύψος της πυραμίδας.

Για μια κανονική πυραμίδα, οι ακόλουθοι τύποι είναι σωστοί:

Οπου Π– περίμετρος βάσης.

η α– αποθέμα·

H- ύψος;

S γεμάτο

S πλευρά

Βάση S– περιοχή βάσης·

V– όγκος κανονικής πυραμίδας.

Κόλουρη πυραμίδαονομάζεται το τμήμα της πυραμίδας που περικλείεται μεταξύ της βάσης και ενός επιπέδου κοπής παράλληλο στη βάση της πυραμίδας (Εικ. 17). Κανονική κολοβωμένη πυραμίδα ονομάζεται το τμήμα μιας κανονικής πυραμίδας που περικλείεται μεταξύ της βάσης και ενός επιπέδου κοπής παράλληλο στη βάση της πυραμίδας.

Λόγοικολοβωμένη πυραμίδα - παρόμοια πολύγωνα. Πλαϊνά πρόσωπα – τραπεζοειδή. Υψος μιας κολοβωμένης πυραμίδας είναι η απόσταση μεταξύ των βάσεων της. Διαγώνιος μια κολοβωμένη πυραμίδα είναι ένα τμήμα που συνδέει τις κορυφές της που δεν βρίσκονται στην ίδια όψη. Διαγώνιο τμήμα είναι ένα τμήμα μιας κόλουρης πυραμίδας από ένα επίπεδο που διέρχεται από δύο πλευρικές ακμές που δεν ανήκουν στην ίδια όψη.

Για μια κολοβωμένη πυραμίδα ισχύουν οι ακόλουθοι τύποι:

(4)

Οπου μικρό 1 , μικρό 2 – περιοχές των άνω και κάτω βάσεων.

S γεμάτο– συνολική επιφάνεια·

S πλευρά– πλευρική επιφάνεια·

H- ύψος;

V– όγκος κολοβωμένης πυραμίδας.

Για μια κανονική κολοβωμένη πυραμίδα ο τύπος είναι σωστός:

Οπου Π 1 , Π 2 – περίμετροι βάσεων.

η α– απόθεμα κανονικής κολοβωμένης πυραμίδας.

Παράδειγμα 1.Σε μια κανονική τριγωνική πυραμίδα, η διεδρική γωνία στη βάση είναι 60º. Να βρείτε την εφαπτομένη της γωνίας κλίσης της πλευρικής ακμής στο επίπεδο της βάσης.

Λύση.Ας κάνουμε ένα σχέδιο (Εικ. 18).

Η πυραμίδα είναι κανονική, που σημαίνει ότι στη βάση υπάρχει ένα ισόπλευρο τρίγωνο και όλες οι πλευρικές όψεις είναι ίσα ισοσκελές τρίγωνα. Δίεδρος γωνίαστη βάση - αυτή είναι η γωνία κλίσης της πλευρικής όψης της πυραμίδας στο επίπεδο της βάσης. Γραμμική γωνίαθα υπάρχει γωνία έναμεταξύ δύο καθέτων: κ.λπ. Η κορυφή της πυραμίδας προβάλλεται στο κέντρο του τριγώνου (το κέντρο του κυκλικού κύκλου και ο εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου αλφάβητο). Η γωνία κλίσης του πλευρικού άκρου (για παράδειγμα S.B.) είναι η γωνία μεταξύ της ίδιας της ακμής και της προβολής της στο επίπεδο της βάσης. Για το πλευρό S.B.αυτή η γωνία θα είναι η γωνία SBD. Για να βρείτε την εφαπτομένη πρέπει να γνωρίζετε τα πόδια ΕΤΣΙΚαι Ο.Β.. Αφήστε το μήκος του τμήματος BDισούται με 3 ΕΝΑ. Τελεία ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕευθύγραμμο τμήμα BDχωρίζεται σε μέρη: και Από βρίσκουμε ΕΤΣΙ: Από βρίσκουμε:

Απάντηση:

Παράδειγμα 2.Βρείτε τον όγκο μιας κανονικής κόλουρης τετραγωνικής πυραμίδας αν οι διαγώνιοι των βάσεων της είναι ίσες με cm και cm και το ύψος της είναι 4 cm.

Λύση.Για να βρούμε τον όγκο μιας κολοβωμένης πυραμίδας, χρησιμοποιούμε τον τύπο (4). Για να βρείτε το εμβαδόν των βάσεων, πρέπει να βρείτε τις πλευρές των τετραγώνων της βάσης, γνωρίζοντας τις διαγώνιες τους. Οι πλευρές των βάσεων είναι ίσες με 2 cm και 8 cm, αντίστοιχα. Αυτό σημαίνει ότι οι περιοχές των βάσεων και Αντικαθιστώντας όλα τα δεδομένα στον τύπο, υπολογίζουμε τον όγκο της κολοβωμένης πυραμίδας:

Απάντηση: 112 cm 3.

Παράδειγμα 3.Βρείτε την περιοχή της πλευρικής όψης μιας κανονικής τριγωνικής κολοβωμένης πυραμίδας, οι πλευρές των βάσεων της οποίας είναι 10 cm και 4 cm και το ύψος της πυραμίδας είναι 2 cm.

Λύση.Ας κάνουμε ένα σχέδιο (Εικ. 19).

Η πλευρική όψη αυτής της πυραμίδας είναι ισοσκελές τραπεζοειδές. Για να υπολογίσετε την περιοχή ενός τραπεζοειδούς, πρέπει να γνωρίζετε τη βάση και το ύψος. Οι βάσεις δίνονται ανάλογα με την συνθήκη, μόνο το ύψος παραμένει άγνωστο. Θα τη βρούμε από που ΕΝΑ 1 μικάθετη από ένα σημείο ΕΝΑ 1 στο επίπεδο της κάτω βάσης, ΕΝΑ 1 ρε– κάθετη από ΕΝΑ 1 ανά ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ. ΕΝΑ 1 μι= 2 cm, αφού αυτό είναι το ύψος της πυραμίδας. Να βρω DEΑς κάνουμε ένα επιπλέον σχέδιο που δείχνει την επάνω όψη (Εικ. 20). Τελεία ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ– προβολή των κέντρων της άνω και κάτω βάσης. αφού (βλ. Εικ. 20) και Από την άλλη Εντάξει– ακτίνα εγγεγραμμένη στον κύκλο και ΟΜ– ακτίνα εγγεγραμμένη σε κύκλο:

ΜΚ = ΔΕ.

Σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα από

Πλαϊνή περιοχή προσώπου:

Απάντηση:

Παράδειγμα 4.Στη βάση της πυραμίδας βρίσκεται ένα ισοσκελές τραπεζοειδές, οι βάσεις του οποίου ΕΝΑΚαι σι (ένα> σι). Κάθε πλευρική όψη σχηματίζει γωνία ίση με το επίπεδο της βάσης της πυραμίδας ι. Βρείτε τη συνολική επιφάνεια της πυραμίδας.

Λύση.Ας κάνουμε ένα σχέδιο (Εικ. 21). Συνολική επιφάνεια της πυραμίδας SABCDίσο με το άθροισμα των εμβαδών και του εμβαδού του τραπεζοειδούς Α Β Γ Δ.

Ας χρησιμοποιήσουμε τη δήλωση ότι εάν όλες οι όψεις της πυραμίδας είναι εξίσου κεκλιμένες προς το επίπεδο της βάσης, τότε η κορυφή προβάλλεται στο κέντρο του κύκλου που είναι εγγεγραμμένος στη βάση. Τελεία ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ– προβολή κορυφής μικρόστη βάση της πυραμίδας. Τρίγωνο ΧΛΟΟΤΑΠΗΤΑΣείναι η ορθογώνια προβολή του τριγώνου CSDστο επίπεδο της βάσης. Με το θεώρημα για την περιοχή της ορθογώνιας προβολής επίπεδη φιγούραπαίρνουμε:

Το ίδιο σημαίνει Έτσι, το πρόβλημα περιορίστηκε στην εύρεση της περιοχής του τραπεζοειδούς Α Β Γ Δ. Ας σχεδιάσουμε ένα τραπεζοειδές Α Β Γ Δχωριστά (Εικ. 22). Τελεία ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ– το κέντρο ενός κύκλου εγγεγραμμένο σε τραπεζοειδές.

Εφόσον ένας κύκλος μπορεί να εγγραφεί σε ένα τραπέζιο, τότε ή Από το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε

είναι ένα πολύεδρο που σχηματίζεται από τη βάση της πυραμίδας και ένα τμήμα παράλληλο με αυτήν. Μπορούμε να πούμε ότι μια κολοβωμένη πυραμίδα είναι μια πυραμίδα με αποκομμένη την κορυφή. Αυτό το σχήμα έχει πολλές μοναδικές ιδιότητες:

• Οι πλευρικές όψεις της πυραμίδας είναι τραπεζοειδείς.
• Οι πλευρικές ακμές μιας κανονικής κόλουρης πυραμίδας έχουν το ίδιο μήκος και έχουν κλίση προς τη βάση στην ίδια γωνία.
• Οι βάσεις είναι παρόμοια πολύγωνα.
• Σε μια κανονική κολοβωμένη πυραμίδα, τα πρόσωπα είναι πανομοιότυπα ισοσκελές τραπεζοειδή, του οποίου το εμβαδόν είναι ίσο. Έχουν επίσης κλίση προς τη βάση σε μία γωνία.

Ο τύπος για την πλευρική επιφάνεια μιας κολοβωμένης πυραμίδας είναι το άθροισμα των εμβαδών των πλευρών της:

Δεδομένου ότι οι πλευρές μιας κολοβωμένης πυραμίδας είναι τραπεζοειδή, για να υπολογίσετε τις παραμέτρους θα πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον τύπο τραπεζοειδής περιοχή. Για μια κανονική κολοβωμένη πυραμίδα, μπορείτε να εφαρμόσετε διαφορετικό τύπο για τον υπολογισμό του εμβαδού. Δεδομένου ότι όλες οι πλευρές, οι όψεις και οι γωνίες του στη βάση είναι ίσες, είναι δυνατό να εφαρμοστούν οι περίμετροι της βάσης και του αποθέματος και επίσης να εξαχθεί η περιοχή μέσω της γωνίας στη βάση.

Εάν, σύμφωνα με τις συνθήκες μιας κανονικής κολοβωμένης πυραμίδας, δίνεται το απόθεμα (ύψος της πλευράς) και τα μήκη των πλευρών της βάσης, τότε το εμβαδόν μπορεί να υπολογιστεί μέσω του μισού γινόμενου του αθροίσματος των περιμέτρων του οι βάσεις και το απόθεμα:

Ας δούμε ένα παράδειγμα υπολογισμού της πλευρικής επιφάνειας μιας κολοβωμένης πυραμίδας.
Δίνεται μια κανονική πενταγωνική πυραμίδα. Απόθεμ μεγάλο= 5 cm, το μήκος της άκρης στη μεγάλη βάση είναι ένα= 6 cm, και η άκρη βρίσκεται στη μικρότερη βάση σι= 4 cm Υπολογίστε το εμβαδόν της κολοβωμένης πυραμίδας.

Αρχικά, ας βρούμε τις περιμέτρους των βάσεων. Εφόσον μας δίνεται μια πενταγωνική πυραμίδα, καταλαβαίνουμε ότι οι βάσεις είναι πεντάγωνα. Αυτό σημαίνει ότι οι βάσεις περιέχουν μια φιγούρα με πέντε όμοιες πλευρές. Ας βρούμε την περίμετρο της μεγαλύτερης βάσης:

Με τον ίδιο τρόπο βρίσκουμε την περίμετρο της μικρότερης βάσης:

Τώρα μπορούμε να υπολογίσουμε το εμβαδόν μιας κανονικής κολοβωμένης πυραμίδας. Αντικαταστήστε τα δεδομένα στον τύπο:

Έτσι, υπολογίσαμε το εμβαδόν μιας κανονικής κολοβωμένης πυραμίδας μέσω της περιμέτρου και του αποθέματος.

Ένας άλλος τρόπος υπολογισμού της πλευρικής επιφάνειας μιας κανονικής πυραμίδας είναι ο τύπος μέσα από τις γωνίες στη βάση και την περιοχή αυτών των βάσεων.

Ας δούμε ένα παράδειγμα υπολογισμού. Θυμόμαστε ότι αυτός ο τύπος ισχύει μόνο για μια κανονική κολοβωμένη πυραμίδα.

Ας δοθεί μια κανονική τετραγωνική πυραμίδα. Η άκρη της κάτω βάσης είναι a = 6 cm, και η άκρη της άνω βάσης είναι b = 4 cm Η διεδρική γωνία στη βάση είναι β = 60°. Βρείτε την πλευρική επιφάνεια μιας κανονικής κολοβωμένης πυραμίδας.

Αρχικά, ας υπολογίσουμε το εμβαδόν των βάσεων. Δεδομένου ότι η πυραμίδα είναι κανονική, όλες οι ακμές των βάσεων είναι ίσες μεταξύ τους. Λαμβάνοντας υπόψη ότι η βάση είναι τετράπλευρο, καταλαβαίνουμε ότι θα χρειαστεί να υπολογιστεί περιοχή της πλατείας. Είναι το γινόμενο του πλάτους και του μήκους, αλλά όταν τετραγωνίζονται αυτές οι τιμές είναι οι ίδιες. Ας βρούμε το εμβαδόν της μεγαλύτερης βάσης:


Τώρα χρησιμοποιούμε τις τιμές που βρέθηκαν για να υπολογίσουμε την πλευρική επιφάνεια.

Γνωρίζοντας μερικούς απλούς τύπους, υπολογίσαμε εύκολα το εμβαδόν του πλευρικού τραπεζοειδούς μιας κολοβωμένης πυραμίδας χρησιμοποιώντας διάφορες τιμές.

• 09.10.2014

  Ο προενισχυτής που φαίνεται στο σχήμα έχει σχεδιαστεί για χρήση με 4 τύπους πηγών ήχου, για παράδειγμα, μικρόφωνο, CD player, ραδιόφωνο κ.λπ. Σε αυτήν την περίπτωση, ο προενισχυτής έχει μία είσοδο, η οποία μπορεί να αλλάξει την ευαισθησία από 50 mV σε 500 mV. Τάση εξόδου ενισχυτή 1000mV. Συνδετικός διαφορετικές πηγέςσήμα κατά την εναλλαγή του διακόπτη SA1, παίρνουμε πάντα ...

• 20.09.2014

  Το τροφοδοτικό έχει σχεδιαστεί για φορτίο 15…20 W. Η πηγή κατασκευάζεται σύμφωνα με το κύκλωμα ενός μετατροπέα παλμών υψηλής συχνότητας ενός κύκλου. Ένα τρανζίστορ χρησιμοποιείται για τη συναρμολόγηση ενός αυτοταλαντωτή που λειτουργεί σε συχνότητα 20…40 kHz. Η συχνότητα ρυθμίζεται από την χωρητικότητα C5. Τα στοιχεία VD5, VD6 και C6 αποτελούν το κύκλωμα εκκίνησης της αυτόματης γεννήτριας. Στο δευτερεύον κύκλωμα μετά τον ανορθωτή γέφυρας υπάρχει ένας συμβατικός γραμμικός σταθεροποιητής σε ένα μικροκύκλωμα, ο οποίος σας επιτρέπει να έχετε ...

• 28.09.2014

  Το σχήμα δείχνει μια γεννήτρια που βασίζεται στο μικροκύκλωμα K174XA11, η συχνότητα του οποίου ελέγχεται από την τάση. Με την αλλαγή της χωρητικότητας C1 από 560 σε 4700 pF, μπορεί να επιτευχθεί ένα ευρύ φάσμα συχνοτήτων, ενώ η συχνότητα ρυθμίζεται αλλάζοντας την αντίσταση R4. Έτσι, για παράδειγμα, ο συγγραφέας ανακάλυψε ότι, με C1 = 560pF, η συχνότητα της γεννήτριας μπορεί να αλλάξει χρησιμοποιώντας R4 από 600Hz σε 200kHz, ...

• 03.10.2014

  Η μονάδα έχει σχεδιαστεί για να τροφοδοτεί ένα ισχυρό ULF, έχει σχεδιαστεί για τάση εξόδου ±27V και φορτίο έως 3Α σε κάθε βραχίονα. Το τροφοδοτικό είναι διπολικό, κατασκευασμένο σε πλήρη σύνθετα τρανζίστορ KT825-KT827. Και οι δύο βραχίονες του σταθεροποιητή κατασκευάζονται σύμφωνα με το ίδιο κύκλωμα, αλλά στον άλλο βραχίονα (δεν φαίνεται) αλλάζει η πολικότητα των πυκνωτών και χρησιμοποιούνται τρανζίστορ διαφορετικού τύπου...

Ένα πολύεδρο στο οποίο μια από τις όψεις του είναι πολύγωνο και όλες οι άλλες όψεις είναι τρίγωνα με κοινή κορυφή, ονομάζεται πυραμίδα.

Αυτά τα τρίγωνα που αποτελούν την πυραμίδα ονομάζονται πλαϊνά πρόσωπα, και το υπόλοιπο πολύγωνο είναι βάσηπυραμίδες.

Στη βάση της πυραμίδας βρίσκεται γεωμετρικό σχήμα– n-gon. Σε αυτή την περίπτωση, ονομάζεται επίσης η πυραμίδα n-άνθρακας.

Μια τριγωνική πυραμίδα της οποίας οι άκρες είναι όλες ίσες ονομάζεται τετράεδρο.

Τα άκρα της πυραμίδας που δεν ανήκουν στη βάση ονομάζονται πλευρικός, και το κοινό τους σημείο είναι κορυφήπυραμίδες. Τα άλλα άκρα της πυραμίδας ονομάζονται συνήθως συμβαλλόμενα μέρη στη βάση.

Η πυραμίδα ονομάζεται σωστός, αν έχει ένα κανονικό πολύγωνο στη βάση του και όλες οι πλευρικές ακμές είναι ίσες μεταξύ τους.

Η απόσταση από την κορυφή της πυραμίδας μέχρι το επίπεδο της βάσης ονομάζεται ύψοςπυραμίδες. Μπορούμε να πούμε ότι το ύψος της πυραμίδας είναι ένα τμήμα κάθετο στη βάση, τα άκρα του οποίου βρίσκονται στην κορυφή της πυραμίδας και στο επίπεδο της βάσης.

Για οποιαδήποτε πυραμίδα ισχύουν οι ακόλουθοι τύποι:

1) S πλήρης = S πλευρά + S κύρια, Οπου

S συνολική - συνολική επιφάνεια της πυραμίδας.

S πλευρά – περιοχή της πλευρικής επιφάνειας, δηλ. το άθροισμα των εμβαδών όλων των πλευρικών όψεων της πυραμίδας·

S κύρια – περιοχή της βάσης της πυραμίδας.

2) V = 1/3 S βάση N, Οπου

V είναι ο όγκος της πυραμίδας.

H – ύψος της πυραμίδας.

Για κανονική πυραμίδαλαμβάνει χώρα:

S πλευρά = 1/2 P κύρια h, Οπου

P κύρια – περίμετρος της βάσης της πυραμίδας.

h είναι το μήκος του αποθέματος, δηλαδή το μήκος του ύψους της πλευρικής όψης που έχει χαμηλώσει από την κορυφή της πυραμίδας.

Το τμήμα της πυραμίδας που περικλείεται μεταξύ δύο επιπέδων - το επίπεδο της βάσης και το επίπεδο κοπής παράλληλα με τη βάση ονομάζεται κολοβωμένη πυραμίδα.

Η βάση της πυραμίδας και το τμήμα της πυραμίδας από ένα παράλληλο επίπεδο ονομάζονται αιτιολογικόκολοβωμένη πυραμίδα. Τα υπόλοιπα πρόσωπα καλούνται πλευρικός. Η απόσταση μεταξύ των επιπέδων των βάσεων ονομάζεται ύψοςκολοβωμένη πυραμίδα. Οι ακμές που δεν ανήκουν στις βάσεις ονομάζονται πλευρικός.

Επιπλέον, η βάση της κολοβωμένης πυραμίδας παρόμοια n-gons. Εάν οι βάσεις μιας κολοβωμένης πυραμίδας είναι κανονικά πολύγωνα και όλες οι πλευρικές ακμές είναι ίσες μεταξύ τους, τότε μια τέτοια κολοβωμένη πυραμίδα ονομάζεται σωστός.

Για αυθαίρετη κολοβωμένη πυραμίδαισχύουν οι παρακάτω τύποι:

1) S πλήρης = S πλευρά + S 1 + S 2, Οπου

S συνολική – συνολική επιφάνεια.

S πλευρά – περιοχή της πλευρικής επιφάνειας, δηλ. το άθροισμα των εμβαδών όλων των πλευρικών όψεων μιας κολοβωμένης πυραμίδας, που είναι τραπεζοειδή·

S 1, S 2 – περιοχές βάσης.

2) V = 1/3(S 1 + S 2 + √(S 1 · S 2))H, Οπου

V είναι ο όγκος της κολοβωμένης πυραμίδας.

H – ύψος της κολοβωμένης πυραμίδας.

Για κανονική κολοβωμένη πυραμίδαΕχουμε επισης:

S πλευρά = 1/2(P 1 + P 2) h,Οπου

P 1, P 2 – περίμετροι των βάσεων.

h – απόθεμα (ύψος της πλάγιας όψης, που είναι τραπεζοειδές).

Ας εξετάσουμε πολλά προβλήματα που αφορούν μια κολοβωμένη πυραμίδα.

Εργασία 1.

Σε μια τριγωνική κολοβωμένη πυραμίδα με ύψος ίσο με 10, οι πλευρές μιας από τις βάσεις είναι 27, 29 και 52. Προσδιορίστε τον όγκο της κολοβωμένης πυραμίδας αν η περίμετρος της άλλης βάσης είναι 72.

Λύση.

Θεωρήστε την κολοβωμένη πυραμίδα ABCA 1 B 1 C 1 που φαίνεται στο Φιγούρα 1.

1. Ο όγκος μιας κολοβωμένης πυραμίδας μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο

V = 1/3H · (S 1 + S 2 + √(S 1 · S 2)), όπου S 1 είναι το εμβαδόν μιας από τις βάσεις, μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο του Heron

S = √(p(p – a)(p – b)(p – c)),

επειδή Το πρόβλημα δίνει τα μήκη των τριών πλευρών ενός τριγώνου.

Έχουμε: p 1 = (27 + 29 + 52)/2 = 54.

S 1 = √(54(54 – 27)(54 – 29)(54 – 52)) = √(54 27 25 2) = 270.

2. Η πυραμίδα είναι κολοβωμένη, πράγμα που σημαίνει ότι παρόμοια πολύγωνα βρίσκονται στις βάσεις. Στην περίπτωσή μας, το τρίγωνο ABC είναι παρόμοιο με το τρίγωνο A 1 B 1 C 1. Επιπλέον, ο συντελεστής ομοιότητας μπορεί να βρεθεί ως ο λόγος των περιμέτρων των υπό εξέταση τριγώνων και ο λόγος των εμβαδών τους θα είναι ίσος με το τετράγωνο του συντελεστή ομοιότητας. Έτσι έχουμε:

S 1 /S 2 = (P 1) 2 /(P 2) 2 = 108 2 /72 2 = 9/4. Επομένως S 2 = 4S 1 /9 = 4 270/9 = 120.

Άρα, V = 1/3 10(270 + 120 + √(270 120)) = 1900.

Απάντηση: 1900.

Εργασία 2.

Σε μια τριγωνική κολοβωμένη πυραμίδα, ένα επίπεδο τραβιέται μέσα από την πλευρά της άνω βάσης παράλληλη προς το απέναντι πλευρικό άκρο. Σε ποια αναλογία διαιρείται ο όγκος μιας κολοβωμένης πυραμίδας αν οι αντίστοιχες πλευρές των βάσεων είναι στην αναλογία 1:2;

Λύση.

Σκεφτείτε το ABCA 1 B 1 C 1 - μια κολοβωμένη πυραμίδα που φαίνεται στο ρύζι. 2.

Δεδομένου ότι οι πλευρές στις βάσεις είναι στην αναλογία 1:2, τα εμβαδά των βάσεων είναι στην αναλογία 1:4 (το τρίγωνο ABC είναι παρόμοιο με το τρίγωνο A 1 B 1 C 1).

Τότε ο όγκος της κολοβωμένης πυραμίδας είναι:

V = 1/3h · (S 1 + S 2 + √(S 1 · S 2)) = 1/3h · (4S 2 + S 2 + 2S 2) = 7/3 · h · S 2, όπου S 2 – εμβαδόν της άνω βάσης, h – ύψος.

Αλλά ο όγκος του πρίσματος ADEA 1 B 1 C 1 είναι V 1 = S 2 h και, επομένως,

V 2 = V – V 1 = 7/3 · h · S 2 - h · S 2 = 4/3 · h · S 2.

Άρα, V 2: V 1 = 3: 4.

Απάντηση: 3:4.

Εργασία 3.

Οι πλευρές των βάσεων μιας κανονικής τετράπλευρης κόλουρης πυραμίδας είναι ίσες με 2 και 1 και το ύψος είναι 3. Ένα επίπεδο σχεδιάζεται μέσω του σημείου τομής των διαγωνίων της πυραμίδας, παράλληλα με τις βάσεις της πυραμίδας, που διαιρεί την πυραμίδα σε δύο μέρη. Βρείτε τον όγκο καθενός από αυτά.

Λύση.

Θεωρήστε την κολοβωμένη πυραμίδα ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 που φαίνεται στο ρύζι. 3.

Ας συμβολίσουμε O 1 O 2 = x, τότε OO₂ = O 1 O – O 1 O 2 = 3 – x.

Θεωρήστε το τρίγωνο B 1 O 2 D 1 και το τρίγωνο BO 2 D:

Η γωνία B 1 O 2 D 1 είναι ίση με τη γωνία BO 2 D ως κατακόρυφη.

Η γωνία BDO 2 είναι ίση με τη γωνία D 1 B 1 O 2 και η γωνία O 2 ВD είναι ίση με τη γωνία B 1 D 1 O 2 που βρίσκεται εγκάρσια στο B 1 D 1 || BD και τα τμήματα B1D και BD1, αντίστοιχα.

Επομένως, το τρίγωνο B 1 O 2 D 1 είναι παρόμοιο με το τρίγωνο BO 2 D και ο λόγος πλευρών είναι:

В1D 1 /ВD = О 1 О 2 /ОО 2 ή 1/2 = x/(x – 3), από όπου x = 1.

Θεωρήστε το τρίγωνο B 1 D 1 B και το τρίγωνο LO 2 B: η γωνία B είναι κοινή, και υπάρχει επίσης ένα ζεύγος γωνιών μονής όψης στο B 1 D 1 || LM, που σημαίνει ότι το τρίγωνο B 1 D 1 B είναι παρόμοιο με το τρίγωνο LO 2 B, από το οποίο B 1 D: LO 2 = OO 1: OO 2 = 3: 2, δηλ.

LO 2 = 2/3 · B 1 D 1 , LN = 4/3 · B 1 D 1 .

Τότε S KLMN = 16/9 · S A 1 B 1 C 1 D 1 = 16/9.

Άρα, V 1 = 1/3 · 2(4 + 16/9 + 8/3) = 152/27.

V 2 = 1/3 · 1 · (16/9 + 1 + 4/3) = 37/27.

Απάντηση: 152/27; 37/27.

blog.site, κατά την πλήρη ή μερική αντιγραφή υλικού, απαιτείται σύνδεσμος στην αρχική πηγή.