Μεταξύ των αριθμητικών χαρακτηριστικών των τυχαίων μεταβλητών, είναι απαραίτητο, πρώτα απ 'όλα, να σημειωθούν εκείνα που χαρακτηρίζουν τη θέση της τυχαίας μεταβλητής στον αριθμητικό άξονα, δηλ. υποδεικνύουν κάποια μέση, κατά προσέγγιση τιμή γύρω από την οποία ομαδοποιούνται όλες οι πιθανές τιμές μιας τυχαίας μεταβλητής.
Η μέση τιμή μιας τυχαίας μεταβλητής είναι ένας ορισμένος αριθμός που είναι, σαν να λέγαμε, ο «αντιπροσωπευτής» της και τον αντικαθιστά σε χονδρικούς κατά προσέγγιση υπολογισμούς. Όταν λέμε: "ο μέσος χρόνος λειτουργίας του λαμπτήρα είναι 100 ώρες" ή "το μέσο σημείο πρόσκρουσης μετατοπίζεται σε σχέση με τον στόχο κατά 2 m προς τα δεξιά", υποδεικνύουμε ένα συγκεκριμένο αριθμητικό χαρακτηριστικό μιας τυχαίας μεταβλητής που περιγράφει τη θέση της στον αριθμητικό άξονα, δηλ. «χαρακτηριστικά θέσης».
Από τα χαρακτηριστικά μιας θέσης στη θεωρία πιθανοτήτων, τον πιο σημαντικό ρόλο παίζει η μαθηματική προσδοκία μιας τυχαίας μεταβλητής, η οποία μερικές φορές ονομάζεται απλά η μέση τιμή μιας τυχαίας μεταβλητής.
Ας εξετάσουμε μια διακριτή τυχαία μεταβλητή που έχει πιθανές τιμές με πιθανότητες. Πρέπει να χαρακτηρίσουμε με κάποιο αριθμό τη θέση των τιμών μιας τυχαίας μεταβλητής στον άξονα x, λαμβάνοντας υπόψη το γεγονός ότι αυτές οι τιμές έχουν διαφορετικές πιθανότητες. Για το σκοπό αυτό, είναι φυσικό να χρησιμοποιείται ο λεγόμενος «σταθμισμένος μέσος όρος» των τιμών και κάθε τιμή κατά τον μέσο όρο θα πρέπει να λαμβάνεται υπόψη με ένα «βάρος» ανάλογο με την πιθανότητα αυτής της τιμής. Έτσι, θα υπολογίσουμε τον μέσο όρο της τυχαίας μεταβλητής, την οποία θα συμβολίσουμε ως:
ή, δεδομένου ότι,
. (5.6.1)
Αυτός ο σταθμισμένος μέσος όρος ονομάζεται μαθηματική προσδοκία της τυχαίας μεταβλητής. Έτσι, εισαγάγαμε υπόψη ένα από τα τις πιο σημαντικές έννοιεςθεωρία πιθανοτήτων - η έννοια της μαθηματικής προσδοκίας.
Η μαθηματική προσδοκία μιας τυχαίας μεταβλητής είναι το άθροισμα των γινομένων όλων των πιθανών τιμών μιας τυχαίας μεταβλητής και των πιθανοτήτων αυτών των τιμών.
Σημειώστε ότι στην παραπάνω διατύπωση ο ορισμός της μαθηματικής προσδοκίας ισχύει, αυστηρά, μόνο για διακριτές τυχαίες μεταβλητές. Παρακάτω θα γενικεύσουμε αυτή την έννοια στην περίπτωση των συνεχών μεγεθών.
Για να γίνει πιο σαφής η έννοια της μαθηματικής προσδοκίας, ας στραφούμε στη μηχανική ερμηνεία της κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής. Έστω σημεία με τετμημένα στον άξονα των τετμημένων, στα οποία συγκεντρώνονται οι μάζες, αντίστοιχα, και . Τότε προφανώς μαθηματική προσδοκία, που ορίζεται από τον τύπο (5.6.1), δεν είναι τίποτα άλλο από την τετμημένη του κέντρου βάρους ενός δεδομένου συστήματος υλικών σημείων.
Η μαθηματική προσδοκία μιας τυχαίας μεταβλητής συνδέεται με μια περίεργη εξάρτηση με τον αριθμητικό μέσο όρο των παρατηρούμενων τιμών της τυχαίας μεταβλητής στο μεγάλο αριθμόπειράματα. Αυτή η εξάρτηση είναι του ίδιου τύπου με την εξάρτηση μεταξύ συχνότητας και πιθανότητας, συγκεκριμένα: με μεγάλο αριθμό πειραμάτων, ο αριθμητικός μέσος όρος των παρατηρούμενων τιμών μιας τυχαίας μεταβλητής προσεγγίζει (συγκλίνει κατά πιθανότητα) στη μαθηματική προσδοκία της. Από την παρουσία μιας σύνδεσης μεταξύ συχνότητας και πιθανότητας, μπορεί κανείς να συμπεράνει ως συνέπεια την ύπαρξη παρόμοιας σύνδεσης μεταξύ του αριθμητικού μέσου όρου και της μαθηματικής προσδοκίας.
Πράγματι, θεωρήστε μια διακριτή τυχαία μεταβλητή που χαρακτηρίζεται από μια σειρά διανομής:
Οπου 
.
Αφήστε να γίνουν ανεξάρτητα πειράματα, σε καθένα από τα οποία η ποσότητα παίρνει μια συγκεκριμένη τιμή. Ας υποθέσουμε ότι η τιμή εμφανίστηκε μία φορά, η τιμή εμφανίστηκε μία φορά και η τιμή εμφανίστηκε μία φορά. Προφανώς,
Ας υπολογίσουμε τον αριθμητικό μέσο όρο των παρατηρούμενων τιμών της ποσότητας, την οποία, σε αντίθεση με τη μαθηματική προσδοκία, συμβολίζουμε:
Αλλά δεν υπάρχει τίποτα περισσότερο από τη συχνότητα (ή τη στατιστική πιθανότητα) ενός γεγονότος. αυτή η συχνότητα μπορεί να οριστεί. Τότε
,
εκείνοι. ο αριθμητικός μέσος όρος των παρατηρούμενων τιμών μιας τυχαίας μεταβλητής είναι ίσος με το άθροισμα των γινομένων όλων των πιθανών τιμών της τυχαίας μεταβλητής και τις συχνότητες αυτών των τιμών.
Καθώς ο αριθμός των πειραμάτων αυξάνεται, οι συχνότητες θα πλησιάζουν (συγκλίνουν κατά πιθανότητα) στις αντίστοιχες πιθανότητες. Κατά συνέπεια, ο αριθμητικός μέσος όρος των παρατηρούμενων τιμών μιας τυχαίας μεταβλητής θα προσεγγίσει (συγκλίνει κατά πιθανότητα) στη μαθηματική προσδοκία της καθώς αυξάνεται ο αριθμός των πειραμάτων.
Η σύνδεση μεταξύ του αριθμητικού μέσου όρου και της μαθηματικής προσδοκίας που διατυπώθηκε παραπάνω αποτελεί το περιεχόμενο μιας από τις μορφές του νόμου μεγάλους αριθμούς. Θα δώσουμε μια αυστηρή απόδειξη αυτού του νόμου στο Κεφάλαιο 13.
Γνωρίζουμε ήδη ότι όλες οι μορφές του νόμου των μεγάλων αριθμών δηλώνουν το γεγονός ότι ορισμένοι μέσοι όροι είναι σταθεροί σε μεγάλο αριθμό πειραμάτων. Εδώ μιλάμε γιασχετικά με τη σταθερότητα του αριθμητικού μέσου όρου από μια σειρά παρατηρήσεων της ίδιας ποσότητας. Με έναν μικρό αριθμό πειραμάτων, ο αριθμητικός μέσος όρος των αποτελεσμάτων τους είναι τυχαίος. με επαρκή αύξηση του αριθμού των πειραμάτων, γίνεται "σχεδόν μη τυχαίο" και, σταθεροποιώντας, προσεγγίζει μια σταθερή τιμή - τη μαθηματική προσδοκία.
Η σταθερότητα των μέσων όρων σε μεγάλο αριθμό πειραμάτων μπορεί εύκολα να επαληθευτεί πειραματικά. Για παράδειγμα, όταν ζυγίζουμε ένα σώμα σε ένα εργαστήριο σε ακριβείς ζυγαριές, ως αποτέλεσμα της ζύγισης παίρνουμε μια νέα τιμή κάθε φορά. Για να μειώσουμε το σφάλμα παρατήρησης, ζυγίζουμε το σώμα αρκετές φορές και χρησιμοποιούμε τον αριθμητικό μέσο όρο των τιμών που λαμβάνονται. Είναι εύκολο να δούμε ότι με περαιτέρω αύξηση του αριθμού των πειραμάτων (ζυγίσεις), ο αριθμητικός μέσος όρος αντιδρά σε αυτήν την αύξηση όλο και λιγότερο και, με έναν αρκετά μεγάλο αριθμό πειραμάτων, πρακτικά παύει να αλλάζει.
Ο τύπος (5.6.1) για τη μαθηματική προσδοκία αντιστοιχεί στην περίπτωση μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής. Για μια συνεχή ποσότητα, η μαθηματική προσδοκία εκφράζεται φυσικά όχι ως άθροισμα, αλλά ως ολοκλήρωμα:
, (5.6.2)
όπου είναι η πυκνότητα κατανομής της ποσότητας .
Ο τύπος (5.6.2) λαμβάνεται από τον τύπο (5.6.1) εάν οι επιμέρους τιμές σε αυτόν αντικαθίστανται από μια συνεχώς μεταβαλλόμενη παράμετρο x, οι αντίστοιχες πιθανότητες - από το στοιχείο πιθανότητας και το τελικό άθροισμα - από το ολοκλήρωμα. Στο μέλλον, θα χρησιμοποιούμε συχνά αυτή τη μέθοδο επέκτασης των τύπων που προέρχονται για ασυνεχείς ποσότητες στην περίπτωση συνεχών ποσοτήτων.
Στη μηχανική ερμηνεία, η μαθηματική προσδοκία μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής διατηρεί την ίδια σημασία - η τετμημένη του κέντρου βάρους στην περίπτωση που η μάζα κατανέμεται κατά μήκος της τετμημένης συνεχώς, με πυκνότητα . Αυτή η ερμηνεία συχνά επιτρέπει σε κάποιον να βρει τη μαθηματική προσδοκία χωρίς να υπολογίσει το ολοκλήρωμα (5.6.2), από απλές μηχανικές εκτιμήσεις.
Παραπάνω εισάγαμε μια σημείωση για τη μαθηματική προσδοκία της ποσότητας. Σε ορισμένες περιπτώσεις, όταν μια ποσότητα περιλαμβάνεται στους τύπους ως συγκεκριμένος αριθμός, είναι πιο βολικό να τη συμβολίζουμε με ένα γράμμα. Σε αυτές τις περιπτώσεις, θα υποδηλώσουμε τη μαθηματική προσδοκία μιας τιμής ως εξής:
Η σημείωση και για τη μαθηματική προσδοκία θα χρησιμοποιούνται παράλληλα στο μέλλον, ανάλογα με την ευκολία μιας συγκεκριμένης εγγραφής των τύπων. Ας συμφωνήσουμε επίσης, αν χρειαστεί, να συντομεύσουμε τις λέξεις «μαθηματική προσδοκία» με τα γράμματα μ.ο.
Πρέπει να σημειωθεί ότι το πιο σημαντικό χαρακτηριστικό μιας θέσης - η μαθηματική προσδοκία - δεν υπάρχει για όλες τις τυχαίες μεταβλητές. Είναι δυνατό να συνθέσουμε παραδείγματα τέτοιων τυχαίων μεταβλητών για τις οποίες δεν υπάρχει μαθηματική προσδοκία, αφού το αντίστοιχο άθροισμα ή ολοκλήρωμα αποκλίνει.
Σκεφτείτε, για παράδειγμα, μια ασυνεχή τυχαία μεταβλητή με μια σειρά διανομής:
Είναι εύκολο να επαληθευτεί αυτό, δηλ. η σειρά διανομής έχει νόημα. ωστόσο το ποσό σε σε αυτή την περίπτωσηαποκλίνει και, ως εκ τούτου, δεν υπάρχει μαθηματική προσδοκία της τιμής. Ωστόσο, τέτοιες περιπτώσεις δεν παρουσιάζουν σημαντικό ενδιαφέρον για την πρακτική. Συνήθως, οι τυχαίες μεταβλητές που αντιμετωπίζουμε έχουν περιορισμένο εύρος πιθανών τιμών και, φυσικά, έχουν μια μαθηματική προσδοκία.
Παραπάνω δώσαμε τους τύπους (5.6.1) και (5.6.2), εκφράζοντας τη μαθηματική προσδοκία, αντίστοιχα, για μια ασυνεχή και συνεχή τυχαία μεταβλητή.
Αν η ποσότητα ανήκει στις ποσότητες μικτού τύπου, τότε η μαθηματική προσδοκία του εκφράζεται με έναν τύπο της μορφής:
, (5.6.3)
όπου το άθροισμα εκτείνεται σε όλα τα σημεία στα οποία η συνάρτηση κατανομής είναι ασυνεχής και το ολοκλήρωμα εκτείνεται σε όλες τις περιοχές στις οποίες η συνάρτηση κατανομής είναι συνεχής.
Εκτός από τα πιο σημαντικά από τα χαρακτηριστικά μιας θέσης - τη μαθηματική προσδοκία - στην πράξη, μερικές φορές χρησιμοποιούνται και άλλα χαρακτηριστικά της θέσης, ιδίως ο τρόπος και η διάμεσος μιας τυχαίας μεταβλητής.
Ο τρόπος λειτουργίας μιας τυχαίας μεταβλητής είναι η πιο πιθανή τιμή της. Ο όρος "πιο πιθανή τιμή" αυστηρά ισχύει μόνο για ασυνεχείς ποσότητες. για μια συνεχή ποσότητα, ο τρόπος είναι η τιμή στην οποία η πυκνότητα πιθανότητας είναι μέγιστη. Ας συμφωνήσουμε να υποδηλώσουμε τη λειτουργία με το γράμμα. Στο Σχ. Τα 5.6.1 και 5.6.2 δείχνουν τον τρόπο λειτουργίας για ασυνεχείς και συνεχείς τυχαίες μεταβλητές, αντίστοιχα.
Εάν το πολύγωνο κατανομής (καμπύλη κατανομής) έχει περισσότερα από ένα μέγιστα, η κατανομή ονομάζεται «πολυτροπική» (Εικ. 5.6.3 και 5.6.4).
Μερικές φορές υπάρχουν κατανομές που έχουν ένα ελάχιστο στη μέση αντί για ένα μέγιστο (Εικ. 5.6.5 και 5.6.6). Τέτοιες διανομές ονομάζονται «αντιτροπικές». Ένα παράδειγμα αντιτροπικής κατανομής είναι η κατανομή που λαμβάνεται στο Παράδειγμα 5, αρ. 5.1.
Στη γενική περίπτωση, ο τρόπος και η μαθηματική προσδοκία μιας τυχαίας μεταβλητής δεν συμπίπτουν. Στη συγκεκριμένη περίπτωση, όταν η κατανομή είναι συμμετρική και τροπική (δηλαδή έχει τρόπο) και υπάρχει μαθηματική προσδοκία, τότε συμπίπτει με τον τρόπο και το κέντρο συμμετρίας της κατανομής.
Ένα άλλο χαρακτηριστικό θέσης χρησιμοποιείται συχνά - η λεγόμενη διάμεσος μιας τυχαίας μεταβλητής. Αυτό το χαρακτηριστικό χρησιμοποιείται συνήθως μόνο για συνεχείς τυχαίες μεταβλητές, αν και μπορεί να οριστεί επίσημα για μια ασυνεχή μεταβλητή.
Η διάμεσος μιας τυχαίας μεταβλητής είναι η τιμή της για την οποία
εκείνοι. είναι εξίσου πιθανό η τυχαία μεταβλητή να είναι μικρότερη ή μεγαλύτερη από . Γεωμετρικά, η διάμεσος είναι η τετμημένη του σημείου στο οποίο η περιοχή που περιορίζεται από την καμπύλη κατανομής διαιρείται στο μισό (Εικ. 5.6.7).
Εκτός από τη μαθηματική προσδοκία και τη διασπορά, η θεωρία πιθανοτήτων χρησιμοποιεί επίσης έναν αριθμό αριθμητικών χαρακτηριστικών που αντικατοπτρίζουν ορισμένα χαρακτηριστικά της κατανομής.
Ορισμός. Ο τρόπος Mo(X) μιας τυχαίας μεταβλητής X είναι η πιο πιθανή τιμή της(για την οποία η πιθανότητα r gή πυκνότητα πιθανότητας
Εάν η πιθανότητα ή η πυκνότητα πιθανότητας φτάσει στο μέγιστο όχι σε ένα, αλλά σε πολλά σημεία, η κατανομή ονομάζεται πολυτροπικό(Εικ. 3.13).
Μόδα Βρύο),με ποια πιθανότητα p(ή η πυκνότητα πιθανότητας (p(x) να φτάσει σε ένα παγκόσμιο μέγιστο ονομάζεται πιθανότατα νόηματυχαία μεταβλητή (στο Σχ. 3.13 αυτό είναι Μο(Χ) 2).
Ορισμός. Η διάμεσος Μέ(Χ) μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής Χ είναι η τιμή της, για το οποίο
εκείνοι. την πιθανότητα ότι η τυχαία μεταβλητή Χθα πάρει μια τιμή μικρότερη από τη διάμεσο Γούνα)ή μεγαλύτερο από αυτό, είναι ίδιο και ίσο με 1/2. Γεωμετρικά κάθετη ευθεία γραμμή Χ = Γούνα), περνώντας από σημείο με τετμημένη ίση με Γούνα), διαιρεί την περιοχή του σχήματος ιωδίου της καμπύλης κατανομής σε δύο ίσα μέρη (Εικ. 3.14). Προφανώς, στο σημείο Χ = Γούνα)η συνάρτηση κατανομής είναι ίση με 1/2, δηλ. P(Me(X))= 1/2 (Εικ. 3.15).
Ας σημειώσουμε μια σημαντική ιδιότητα της διάμεσου μιας τυχαίας μεταβλητής: η μαθηματική προσδοκία της απόλυτης τιμής της απόκλισης της τυχαίας μεταβλητής Χ από τη σταθερή τιμή C είναι ελάχιστη τότε, όταν αυτή η σταθερά C είναι ίση με τη διάμεσο Me(X) = m, δηλ. 
(η ιδιότητα είναι παρόμοια με την ιδιότητα (3,10") του ελάχιστου τετραγώνου της απόκλισης μιας τυχαίας μεταβλητής από τη μαθηματική της προσδοκία).
O Παράδειγμα 3.15. Βρείτε τον τρόπο, τη διάμεσο και τη μαθηματική προσδοκία μιας τυχαίας μεταβλητής X sπυκνότητα πιθανότητας f(x) = 3x 2 για xx.
Διάλυμα.Η καμπύλη κατανομής φαίνεται στο Σχ. 3.16. Προφανώς, η πυκνότητα πιθανότητας φ(x) είναι μέγιστη στο Χ= Mo(X) = 1.
Διάμεσος Γούνα) = σι βρίσκουμε από την συνθήκη (3.28):
όπου 
Ας υπολογίσουμε τη μαθηματική προσδοκία χρησιμοποιώντας τον τύπο (3.25):
Αμοιβαία διάταξη σημείων M(X)>Me(X) Και Βρύο) με αύξουσα σειρά τετμημένης φαίνεται στο Σχ. 3.16. ?
Μαζί με τα αριθμητικά χαρακτηριστικά που σημειώθηκαν παραπάνω, η έννοια των ποσοστιαίων μονάδων και των ποσοστιαίων μονάδων χρησιμοποιείται για να περιγράψει μια τυχαία μεταβλητή.
Ορισμός. Ποσοστικο επίπεδο y-quantile )
καλείται αυτή η τιμή x q μιας τυχαίας μεταβλητής , στην οποία η συνάρτηση κατανομής της παίρνει τιμή ίση με δ, δηλ.
Ορισμένα ποσά έχουν λάβει ειδική ονομασία. Προφανώς, τα παραπάνω εισήχθησαν διάμεσος Η τυχαία μεταβλητή είναι ένα ποσό του επιπέδου 0,5, δηλ. Me(X) = x 05. Τα ποσοστά dg 0 2 5 και x 075 ονομάστηκαν αντίστοιχα χαμηλότερος Και άνω τεταρτημόριοΚ
Στενά συνδεδεμένη με την έννοια του ποσοτικού είναι η έννοια ποσοστιαία μονάδα.Υπό Σημείο YuOuHo-noy
υπονοείται μερίδιο x x (( ,
εκείνοι. μια τέτοια τιμή μιας τυχαίας μεταβλητής X,
στο οποίο 
0 Παράδειγμα 3.16. Με βάση τα δεδομένα στο Παράδειγμα 3.15, βρείτε την ποσότητα x 03 και η μονάδα 30% της τυχαίας μεταβλητής Χ.
Διάλυμα. Σύμφωνα με τον τύπο (3.23), η συνάρτηση κατανομής
Βρίσκουμε το ποσοστό 0 s από την εξίσωση (3.29), δηλ. x $ 3 =0,3, από όπου L "oz -0,67. Ας βρούμε το σημείο 30% της τυχαίας μεταβλητής X, ή ποσοστό x 0 7, από την Εξ. x $ 7 = 0,7, από όπου x 0 7 «0,89. ?
Μεταξύ των αριθμητικών χαρακτηριστικών μιας τυχαίας μεταβλητής, οι ροπές -αρχικές και κεντρικές- έχουν ιδιαίτερη σημασία.
Ορισμός. Η αρχική στιγμήΗ kth σειρά μιας τυχαίας μεταβλητής Χ ονομάζεται μαθηματική προσδοκία ου βαθμούαυτή την τιμή :
Ορισμός. Κεντρική στιγμήη kth τάξη μιας τυχαίας μεταβλητής X είναι η μαθηματική προσδοκία του kth βαθμού απόκλισης μιας τυχαίας μεταβλητής Χ από τη μαθηματική της προσδοκία:
Τύποι για τον υπολογισμό των ροπών για διακριτές τυχαίες μεταβλητές (λαμβάνοντας τιμές x 1 με πιθανότητες p,) και συνεχείς (με πυκνότητα πιθανότητας cp(x)) δίνονται στον πίνακα. 3.1.
Πίνακας 3.1
Είναι εύκολο να παρατηρήσετε ότι όταν k = 1 πρώτη αρχική στιγμή μιας τυχαίας μεταβλητής Χείναι η μαθηματική προσδοκία του, δηλ. h x = M[X) = a,στο Να= 2 δευτερόλεπτα κεντρική ροπή - διασπορά, δηλ. p 2 = Τ)(Χ).
Οι κεντρικές ροπές p A μπορούν να εκφραστούν μέσω των αρχικών ροπών αλλά με τους τύπους:
και τα λοιπά. 
Για παράδειγμα, γ 3 = M(X-a)* = M(X*-ZaX 2 +Za 2 X-a->) = M(X*)~ -ZaM(X 2)+Za 2 M(X)~ a3 = y 3 -Зу^ + Зу(у, -у^ = y 3 - Зу^ + 2у^ (κατά την παραγωγή λάβαμε υπόψη ότι ΕΝΑ = M(X)= V, είναι μια μη τυχαία τιμή). ?
Σημειώθηκε παραπάνω ότι η μαθηματική προσδοκία M(X),ή η πρώτη αρχική στιγμή, χαρακτηρίζει τη μέση τιμή ή θέση, το κέντρο της κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής Χστον αριθμητικό άξονα. διασπορά Ω),ή η δεύτερη κεντρική ροπή p 2, - s t s - κολόβωμα διασποράς κατανομής Χσχετικά Μ(Χ).Για περισσότερα λεπτομερής περιγραφήοι διανομές χρησιμεύουν ως στιγμές υψηλότερων τάξεων.
Τρίτο κεντρικό σημείοΤο p 3 χρησιμεύει για τον χαρακτηρισμό της ασυμμετρίας (λοξής) της κατανομής. Έχει τη διάσταση ενός τυχαίου κύβου. Για να ληφθεί μια αδιάστατη ποσότητα, διαιρείται με το o 3, όπου a είναι η τυπική απόκλιση της τυχαίας μεταβλητής Χ.Η τιμή που προκύπτει ΕΝΑκάλεσε συντελεστής ασυμμετρίας μιας τυχαίας μεταβλητής.
Εάν η κατανομή είναι συμμετρική σε σχέση με τη μαθηματική προσδοκία, τότε ο συντελεστής ασυμμετρίας Α = 0.
Στο Σχ. Το σχήμα 3.17 δείχνει δύο καμπύλες κατανομής: I και II. Η καμπύλη I έχει θετική (δεξιά) ασυμμετρία (L > 0) και η καμπύλη II έχει αρνητική (αριστερή) ασυμμετρία (L 
Τέταρτο κεντρικό σημείο Το p 4 χρησιμεύει για τον χαρακτηρισμό της κλίσης (ευκρίνειας ή επιπεδότητας) της κατανομής.
Μόδα- την τιμή σε ένα σύνολο παρατηρήσεων που εμφανίζεται πιο συχνά
Mo = X Mo + h Mo * (f Mo - f Mo-1) : ((f Mo - f Mo-1) + (f Mo - f Mo+1)),
εδώ X Mo είναι το αριστερό όριο του τροπικού διαστήματος, h Mo είναι το μήκος του τροπικού διαστήματος, f Mo-1 είναι η συχνότητα του προτροπικού διαστήματος, f Mo είναι η συχνότητα του διαστήματος τρόπων, f Mo+1 είναι η συχνότητα του μετατροπικού διαστήματος.
Ο τρόπος μιας απολύτως συνεχούς κατανομής είναι οποιοδήποτε σημείο του τοπικού μέγιστου της πυκνότητας κατανομής. Για διακριτές κατανομές, τρόπος θεωρείται κάθε τιμή a i της οποίας η πιθανότητα p i είναι μεγαλύτερη από τις πιθανότητες γειτονικών τιμών
Διάμεσοςσυνεχής τυχαία μεταβλητή ΧΚαλείται η τιμή του Me για την οποία είναι εξίσου πιθανό ότι η τυχαία μεταβλητή θα είναι μικρότερη ή μεγαλύτερη Meh, δηλ.
M e =(n+1)/2 P(X < Εγώ) = P(X > Meh)
Ομοιόμορφα κατανεμημένο NSV
Ομοιόμορφη κατανομή.Μια συνεχής τυχαία μεταβλητή ονομάζεται ομοιόμορφα κατανεμημένη στο τμήμα () εάν η συνάρτηση της πυκνότητας κατανομής της (Εικ. 1.6, ΕΝΑ) έχει τη μορφή:
Ονομασία: – Το SW κατανέμεται ομοιόμορφα σε .
Αντίστοιχα, η συνάρτηση κατανομής στο τμήμα (Εικ. 1.6, σι):
Ρύζι. 1.6. Συναρτήσεις μιας τυχαίας μεταβλητής που κατανέμονται ομοιόμορφα σε [ ένα,σι]: ΕΝΑ– πυκνότητες πιθανότητας φά(x); σι– διανομές φά(x)
Η μαθηματική προσδοκία και η διασπορά ενός δεδομένου SV καθορίζονται από τις εκφράσεις:
Λόγω της συμμετρίας της συνάρτησης πυκνότητας, συμπίπτει με τη διάμεσο. Οι λειτουργίες δεν έχουν ομοιόμορφη κατανομή
Παράδειγμα 4. Χρόνος αναμονής για απάντηση τηλεφώνημα– μια τυχαία μεταβλητή που υπακούει σε έναν νόμο ομοιόμορφης κατανομής στο διάστημα από 0 έως 2 λεπτά. Βρείτε τις συναρτήσεις ολοκληρωτικής και διαφορικής κατανομής αυτής της τυχαίας μεταβλητής.
27. Κανονικός νόμος κατανομής πιθανοτήτων
Μια συνεχής τυχαία μεταβλητή x έχει κανονική κατανομή με παραμέτρους: m,s > 0, εάν η πυκνότητα κατανομής πιθανότητας έχει τη μορφή:
όπου: m – μαθηματική προσδοκία, s – τυπική απόκλιση.
Η κανονική κατανομή ονομάζεται επίσης Gaussian από το όνομα του Γερμανού μαθηματικού Gauss. Το γεγονός ότι μια τυχαία μεταβλητή έχει κανονική κατανομή με παραμέτρους: m, συμβολίζεται ως εξής: N (m,s), όπου: m=a=M[X];
Αρκετά συχνά στους τύπους, η μαθηματική προσδοκία συμβολίζεται με ΕΝΑ . Εάν μια τυχαία μεταβλητή κατανέμεται σύμφωνα με το νόμο N(0,1), τότε ονομάζεται κανονικοποιημένη ή τυποποιημένη κανονική μεταβλητή. Η συνάρτηση διανομής για αυτό έχει τη μορφή:
Το γράφημα πυκνότητας μιας κανονικής κατανομής, που ονομάζεται κανονική καμπύλη ή καμπύλη Gauss, φαίνεται στο Σχ. 5.4.
Ρύζι. 5.4. Κανονική πυκνότητα κατανομής
σκηνικά θέατρουτυχαία μεταβλητή με νόμο κανονικής κατανομής.
1. Αν , τότε για να βρείτε την πιθανότητα αυτή η τιμή να πέσει σε ένα δεδομένο διάστημα ( x 1 ; x 2) χρησιμοποιείται ο τύπος:
2. Η πιθανότητα η απόκλιση μιας τυχαίας μεταβλητής από τη μαθηματική της προσδοκία να μην υπερβαίνει την τιμή (σε απόλυτη τιμή) ισούται με:
3. "Κανόνας Τριών Σίγμα". Εάν μια τυχαία μεταβλητή είναι , τότε είναι σχεδόν βέβαιο ότι οι τιμές της περιέχονται στο διάστημα (). (Η πιθανότητα να υπερβούμε αυτά τα όρια είναι 0,0027.) Ο κανόνας επιτρέπει, γνωρίζοντας τις παραμέτρους ( και ), να προσδιορίσουμε κατά προσέγγιση το διάστημα πρακτικά νοήματατυχαία μεταβλητή.
Εκθετική κατανομή
Μια τυχαία μεταβλητή Χ έχει εκθετική κατανομή με παράμετρο εάν η πυκνότητά της έχει τη μορφή
Ενσωματώνοντας την πυκνότητα, λαμβάνουμε τη συνάρτηση εκθετικής κατανομής:
κύρια χαρακτηριστικά της εκθετικής κατανομής:
Διαγράμματα πυκνότητας και συναρτήσεις της προκύπτουσας εκθετικής κατανομής
Μαθηματική προσδοκία. Μαθηματική προσδοκίαδιακριτή τυχαία μεταβλητή Χ, λαμβάνοντας έναν πεπερασμένο αριθμό τιμών Χεγώμε πιθανότητες rεγώ, το ποσό ονομάζεται:
Μαθηματική προσδοκίασυνεχής τυχαία μεταβλητή Χονομάζεται ολοκλήρωμα του γινομένου των τιμών του Χσχετικά με την πυκνότητα κατανομής πιθανότητας φά(x):
(6σι)
Ακατάλληλο ολοκλήρωμα (6 σι) υποτίθεται ότι είναι απολύτως συγκλίνουσα (αλλιώς λένε ότι η μαθηματική προσδοκία Μ(Χ) δεν υπάρχει). Η μαθηματική προσδοκία χαρακτηρίζει μέση τιμήτυχαία μεταβλητή Χ. Η διάστασή του συμπίπτει με τη διάσταση της τυχαίας μεταβλητής.
Ιδιότητες της μαθηματικής προσδοκίας:
Διασπορά. Διακύμανσητυχαία μεταβλητή Χο αριθμός ονομάζεται:
Η διακύμανση είναι χαρακτηριστικό σκέδασηςτυχαίες τιμές μεταβλητών Χσε σχέση με τη μέση τιμή του Μ(Χ). Η διάσταση της διακύμανσης είναι ίση με τη διάσταση της τυχαίας μεταβλητής στο τετράγωνο. Με βάση τους ορισμούς της διακύμανσης (8) και της μαθηματικής προσδοκίας (5) για μια διακριτή τυχαία μεταβλητή και (6) για μια συνεχή τυχαία μεταβλητή, λαμβάνουμε παρόμοιες εκφράσεις για τη διακύμανση:
(9)
Εδώ m = Μ(Χ).
Ιδιότητες διασποράς:
Τυπική απόκλιση:
(11)
Δεδομένου ότι η τυπική απόκλιση έχει την ίδια διάσταση με μια τυχαία μεταβλητή, χρησιμοποιείται συχνότερα ως μέτρο διασποράς παρά ως διασπορά.
Στιγμές διανομής. Οι έννοιες της μαθηματικής προσδοκίας και της διασποράς είναι ειδικές περιπτώσεις μιας γενικότερης έννοιας για τα αριθμητικά χαρακτηριστικά των τυχαίων μεταβλητών – ροπές διανομής. Οι στιγμές κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής εισάγονται ως μαθηματικές προσδοκίες κάποιων απλών συναρτήσεων μιας τυχαίας μεταβλητής. Λοιπόν, στιγμή της παραγγελίας κσε σχέση με το σημείο Χ 0 ονομάζεται μαθηματική προσδοκία Μ(Χ–Χ 0 )κ. Στιγμές για την καταγωγή Χ= 0 καλούνται αρχικές στιγμέςκαι ορίζονται:
(12)
Η αρχική στιγμή της πρώτης τάξης είναι το κέντρο της κατανομής της τυχαίας μεταβλητής που εξετάζουμε:
(13)
Στιγμές για το κέντρο διανομής Χ= mκαλούνται κεντρικά σημείακαι ορίζονται:
(14)
Από το (7) προκύπτει ότι η κεντρική ροπή πρώτης τάξης είναι πάντα ίση με μηδέν:
Οι κεντρικές στιγμές δεν εξαρτώνται από την προέλευση των τιμών της τυχαίας μεταβλητής, αφού όταν μετατοπίζονται κατά σταθερή τιμή ΜΕτο κέντρο διανομής του μετατοπίζεται κατά την ίδια τιμή ΜΕκαι η απόκλιση από το κέντρο δεν αλλάζει: Χ – m = (Χ – ΜΕ) – (m – ΜΕ).
Τώρα είναι φανερό ότι διασπορά- Αυτό κεντρική στιγμή δεύτερης τάξης:
Ασυμμετρία. Κεντρική στιγμή τρίτης τάξης:
(17)
χρησιμεύει για αξιολόγηση ασυμμετρίες κατανομής. Αν η κατανομή είναι συμμετρική ως προς το σημείο Χ= m, τότε η κεντρική ροπή τρίτης τάξης θα είναι ίση με μηδέν (όπως όλες οι κεντρικές ροπές περιττών παραγγελιών). Επομένως, εάν η κεντρική ροπή τρίτης τάξης είναι διαφορετική από το μηδέν, τότε η κατανομή δεν μπορεί να είναι συμμετρική. Το μέγεθος της ασυμμετρίας εκτιμάται χρησιμοποιώντας ένα αδιάστατο συντελεστής ασυμμετρίας:
(18)
Το πρόσημο του συντελεστή ασυμμετρίας (18) δείχνει ασυμμετρία δεξιάς ή αριστερής όψης (Εικ. 2).
Ρύζι. 2. Τύποι ασυμμετρίας κατανομής.
Υπέρβαση. Κεντρική στιγμή τέταρτης τάξης:
(19)
χρησιμεύει για την αξιολόγηση των λεγόμενων υπέρβαση, που καθορίζει τον βαθμό κλίσης (κορυφότητας) της καμπύλης κατανομής κοντά στο κέντρο της κατανομής σε σχέση με την καμπύλη κανονικής κατανομής. Εφόσον για μια κανονική κατανομή, η τιμή που λαμβάνεται ως κύρτωση είναι:
(20)
Στο Σχ. 3 δείχνει παραδείγματα καμπυλών κατανομής με διαφορετικές έννοιεςυπέρβαση. Για κανονική κατανομή μι= 0. Οι καμπύλες που είναι πιο κορυφές από το κανονικό έχουν θετική κύρτωση, αυτές που είναι πιο επίπεδης κορυφής έχουν αρνητική κύρτωση.
Ρύζι. 3. Καμπύλες κατανομής με ποικίλους βαθμούς κλίσης (kurtosis).
Οι ροπές υψηλότερης τάξης δεν χρησιμοποιούνται συνήθως σε μηχανικές εφαρμογές μαθηματικών στατιστικών.
Μόδα
διακεκριμένοςμια τυχαία μεταβλητή είναι η πιο πιθανή τιμή της. Μόδα συνεχήςμια τυχαία μεταβλητή είναι η τιμή της στην οποία η πυκνότητα πιθανότητας είναι μέγιστη (Εικ. 2). Εάν η καμπύλη κατανομής έχει ένα μέγιστο, τότε καλείται η κατανομή μονοτροπικό. Εάν μια καμπύλη κατανομής έχει περισσότερα από ένα μέγιστα, τότε καλείται η κατανομή πολυτροπικό. Μερικές φορές υπάρχουν κατανομές των οποίων οι καμπύλες έχουν ένα ελάχιστο και όχι ένα μέγιστο. Τέτοιες κατανομές ονομάζονται αντιτροπικό. Στη γενική περίπτωση, ο τρόπος και η μαθηματική προσδοκία μιας τυχαίας μεταβλητής δεν συμπίπτουν. Στην ειδική περίπτωση, για τροπικός, δηλ. έχοντας τρόπο, συμμετρική κατανομή και εφόσον υπάρχει μαθηματική προσδοκία, η τελευταία συμπίπτει με τον τρόπο και το κέντρο συμμετρίας της κατανομής.
Διάμεσος τυχαία μεταβλητή Χ- αυτό είναι το νόημά του Meh, για την οποία ισχύει η ισότητα: δηλ. είναι εξίσου πιθανό ότι η τυχαία μεταβλητή Χθα είναι λιγότερο ή περισσότερο Meh. Γεωμετρικά διάμεσοςείναι η τετμημένη του σημείου στο οποίο η περιοχή κάτω από την καμπύλη κατανομής διαιρείται στο μισό (Εικ. 2). Στην περίπτωση μιας συμμετρικής τροπικής κατανομής, η διάμεσος, ο τρόπος και η μαθηματική προσδοκία είναι τα ίδια.