Základní vzorce a metody integrace. Pravidlo pro integraci součtu nebo rozdílu. Přesunutí konstanty mimo znaménko integrálu. Variabilní způsob výměny. Vzorec pro integraci po částech. Příklad řešení problému.
Níže jsou uvedeny čtyři hlavní způsoby integrace.
1)
Pravidlo pro integraci součtu nebo rozdílu.
.
Zde a níže u, v, w jsou funkce integrační proměnné x.
2)
Přesunutí konstanty mimo znaménko integrálu.
Nechť c je konstanta nezávislá na x. Pak jej lze vyjmout ze znaménka integrálu.
3)
Variabilní způsob výměny.
Uvažujme neurčitý integrál.
Pokud najdeme takovou funkci φ (X) od x, takže
,
pak nahrazením proměnné t = φ(x) máme
.
4)
Vzorec pro integraci po částech.
,
kde u a v jsou funkce integrační proměnné.
Konečným cílem výpočtu neurčitých integrálů je pomocí transformací redukovat daný integrál na nejjednodušší integrály, které se nazývají tabulkové integrály. Tabulkové integrály jsou vyjádřeny pomocí elementárních funkcí pomocí známých vzorců.
Viz tabulka integrálů >>>
Příklad
Vypočítejte neurčitý integrál
Řešení
Všimli jsme si, že integrand je součet a rozdíl tří členů:
, A .
Aplikace metody 1
.
Dále si všimneme, že integrandy nových integrálů se násobí konstantami 5, 4,
A 2
, resp. Aplikace metody 2
.
V tabulce integrálů najdeme vzorec
.
Za předpokladu n = 2
, najdeme první integrál.
Přepišme druhý integrál do tvaru
.
Všimneme si toho. Pak
Použijme třetí metodu. Měníme proměnnou t = φ (x) = log x.
.
V tabulce integrálů najdeme vzorec
Protože proměnnou integrace lze označit libovolným písmenem
Přepišme třetí integrál do tvaru
.
Aplikujeme vzorec integrace po částech.
Řekněme to.
Pak
;
;
;
;
.
Ve škole mnoho lidí neřeší integrály nebo s nimi má nějaké potíže. V tom vám pomůže tento článek, protože v něm najdete vše. integrální tabulky.
Integrální je jedním z hlavních výpočtů a konceptů v matematické analýze. Jeho vzhled vyplynul ze dvou účelů:
První gól- obnovit funkci pomocí její derivace.
Druhý gól- výpočet plochy nacházející se ve vzdálenosti od grafu k funkci f(x) na přímce, kde a je větší nebo rovno x větší nebo rovno b a osa x.
Tyto cíle nás vedou k určitým a neurčitým integrálům. Souvislost mezi těmito integrály spočívá v hledání vlastností a výpočtu. Ale vše plyne a vše se v čase mění, byla nalezena nová řešení, byly identifikovány doplňky, čímž se určité a neurčité integrály vedly k dalším formám integrace.
Co se stalo neurčitý integrál ptáš se. Toto je primitivní funkce F(x) jedné proměnné x v intervalu a větším než x větším než b. se nazývá libovolná funkce F(x), v daném intervalu pro libovolné označení x je derivace rovna F(x). Je jasné, že F(x) je primitivní pro f(x) v intervalu a je větší než x je větší než b. To znamená F1(x) = F(x) + C. C - je libovolná konstanta a primitivní funkce pro f(x) v daném intervalu. Tento příkaz je invertibilní pro funkci f(x) - 2 se primitivní funkce liší pouze konstantou. Na základě věty o integrálním počtu se ukazuje, že každá spojitá v intervalu a
Určitý integrál je chápána jako limita v celočíselných součtech, nebo v situaci dané funkce f(x) definované na nějaké přímce (a,b), na které je primitivní F, tedy rozdíl jejích výrazů na koncích dané přímky. F(b) - F(a).
Pro ilustraci studia tohoto tématu doporučuji zhlédnout video. Vypráví podrobně a ukazuje, jak najít integrály.
Každá tabulka integrálů je sama o sobě velmi užitečná, protože pomáhá při řešení určitého typu integrálu.
Všechny možné druhy psacích potřeb a další. Můžete nakupovat prostřednictvím internetového obchodu v-kant.ru. Nebo stačí kliknout na odkaz Papírnictví Samara (http://v-kant.ru), kvalita a ceny vás mile překvapí.
Uveďme si integrály z elementární funkce, které se někdy nazývají tabulkové:
Kterýkoli z výše uvedených vzorců lze dokázat pomocí derivace pravé strany (výsledkem bude integrand).
Integrační metody
Podívejme se na některé základní integrační metody. Tyto zahrnují:
1. Metoda rozkladu(přímou integraci).
Tato metoda je založena na přímém použití tabulkových integrálů a také na využití vlastností 4 a 5 neurčitého integrálu (tj. vyjmutí konstantního faktoru ze závorek a/nebo reprezentace integrandu jako součtu funkcí - rozklad integrandu do pojmů).
Příklad 1. Například k nalezení(dx/x 4) můžete přímo použít tabulkový integrál prox n dx. Ve skutečnosti (dx/x 4) =x -4 dx=x -3 /(-3) +C= -1/3x 3 +C.
Podívejme se na několik dalších příkladů.
Příklad 2 K jeho nalezení použijeme stejný integrál:
Příklad 3 Chcete-li to najít, musíte vzít
Příklad 4. Abychom našli, reprezentujeme funkci integrand ve formuláři 
a pro exponenciální funkci použijte tabulkový integrál:
Uvažujme použití bracketingu jako konstantního faktoru.
Příklad 5.
Najdeme si např 
. Vzhledem k tomu, dostáváme
Příklad 6. Najdeme to. Protože 
, použijme tabulkový integrál 
Dostaneme
V následujících dvou příkladech můžete také použít bracketing a tabulkové integrály:
Příklad 7.
(používáme a 
);
Příklad 8.
(používáme 
A 
).
Podívejme se na složitější příklady, které používají součtový integrál.
Příklad 9. Například pojďme najít 
. K aplikaci expanzní metody v čitateli použijeme vzorec součtové kostky a výsledný polynom pak vydělíme jmenovatelem, člen po členu.
=((8x 3/2 + 12x+ 6x 1/2 + 1)/(x 3/2))dx=(8 + 12x -1/2 + 6/x+x -3/2)dx= 8 dx+ 12x -1/2 dx+ + 6dx/x+x -3/2 dx= 
Je třeba poznamenat, že na konci řešení je napsána jedna společná konstanta C (a nikoli samostatné při integraci každého členu). Do budoucna se také navrhuje vynechat konstanty z integrace jednotlivých členů v procesu řešení, pokud výraz obsahuje alespoň jeden neurčitý integrál (na konci řešení budeme psát jednu konstantu).
Příklad 10. najdeme 
. Abychom tento problém vyřešili, rozložme čitatel na faktor (poté můžeme jmenovatele snížit).
Příklad 11. Najdeme to. Zde lze použít trigonometrické identity.
Někdy, abyste mohli rozložit výraz na termíny, musíte použít složitější techniky.
Příklad 12. najdeme 
. V integrandu vybereme celou část zlomku 
. Pak
Příklad 13. najdeme
2. Metoda variabilní náhrady (substituční metoda)
Metoda je založena na následujícím vzorci: f(x)dx=f((t))`(t)dt, kde x =(t) je funkce derivovatelná na uvažovaném intervalu.
Důkaz. Pojďme najít derivace vzhledem k proměnné tzleva a pravé části vzorce.
Všimněte si, že na levé straně je komplexní funkce, jejíž střední argument je x = (t). Proto, abychom to derivovali s ohledem na t, nejprve derivujeme integrál s ohledem na x a pak vezmeme derivaci mezilehlého argumentu vzhledem k t.
( f(x)dx)` t = ( f(x)dx)` x *x` t = f(x) `(t)
Derivát z pravé strany:
(f((t))`(t)dt)` t =f((t))`(t) =f(x)`(t)
Protože jsou tyto derivace stejné, v důsledku Lagrangeovy věty se levá a pravá strana dokazovaného vzorce liší o určitou konstantu. Protože samotné neurčité integrály jsou definovány až do neurčitého konstantního členu, lze tuto konstantu z konečného zápisu vynechat. Osvědčený.
Úspěšná změna proměnné umožňuje zjednodušit původní integrál a v nejjednodušších případech jej zmenšit na tabulkový. Při aplikaci této metody se rozlišuje lineární a nelineární substituční metoda.
a) Lineární substituční metoda Podívejme se na příklad.
Příklad 1.
. Nechť tedy t= 1 – 2x
dx=d(½-½t) = -½dt
Je třeba poznamenat, že novou proměnnou není nutné explicitně vypisovat. V takových případech se mluví o transformaci funkce pod diferenciálním znaménkem nebo o zavedení konstant a proměnných pod diferenciální znaménko, tzn. Ó implicitní náhrada proměnné.
Příklad 2 Najdeme napříkladcos(3x + 2)dx. Podle vlastností diferenciálu dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2), pakcos(3x + 2)dx =(1/3)cos(3x + 2)d (3x + + 2) = (1/3)cos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) +C.
V obou uvažovaných příkladech byla k nalezení integrálů použita lineární substituce t=kx+b(k0).
V obecném případě platí následující věta.
Věta o lineární substituci. Nechť F(x) je nějaká primitivní funkce f(x). Pakf(kx+b)dx= (1/k)F(kx+b) +C, kde k a b jsou nějaké konstanty,k0.
Důkaz.
Podle definice integrálu f(kx+b)d(kx+b) =F(kx+b) +C. Hod(kx+b)= (kx+b)`dx=kdx. Vyjmeme konstantní faktor k ze znaménka integrálu: kf(kx+b)dx=F(kx+b) +C. Nyní můžeme rozdělit levou a pravou stranu rovnosti na dvě a získat tvrzení k dokazování až k označení konstantního členu.
Tato věta říká, že pokud v definici integrálu f(x)dx= F(x) + C místo argumentu x dosadíme výraz (kx+b), povede to ke vzniku dalšího faktor 1/k před primitivní.
Pomocí osvědčené věty řešíme následující příklady.
Příklad 3
najdeme 
. Zde kx+b= 3 –x, tj. k= -1,b= 3. Potom
Příklad 4.
Najdeme to. Herekx+b= 4x+ 3, tj. k= 4,b= 3. Potom
Příklad 5.
najdeme 
. Zde kx+b= -2x+ 7, tj. k= -2,b= 7. Potom
.
Příklad 6. najdeme 
. Zde kx+b= 2x+ 0, tj. k= 2,b= 0.
.
Porovnejme získaný výsledek s příkladem 8, který byl řešen rozkladovou metodou. Řešením stejného problému jinou metodou jsme dostali odpověď 
. Porovnejme výsledky: Tyto výrazy se tedy od sebe liší konstantním členem 
, tj. Obdržené odpovědi si vzájemně neodporují.
Příklad 7. najdeme 
. Vyberme dokonalý čtverec ve jmenovateli.
V některých případech změna proměnné neredukuje integrál přímo na tabulkový, ale může zjednodušit řešení, což umožňuje použít expanzní metodu v následujícím kroku.
Příklad 8. Například pojďme najít 
. Nahraďte t=x+ 2, pak dt=d(x+ 2) =dx. Pak
,
kde C = C 1 – 6 (při dosazení výrazu (x+ 2) místo prvních dvou členů dostaneme ½x 2 -2x– 6).
Příklad 9. najdeme 
. Nechť t= 2x+ 1, pak dt= 2dx;dx= ½dt;x= (t– 1)/2.
Dosadíme výraz (2x+ 1) za t, otevřeme závorky a dáme podobné.
Všimněte si, že v procesu transformací jsme přešli na jiný konstantní člen, protože skupina konstantních členů může být během transformačního procesu vynechána.
b) Metoda nelineární substituce Podívejme se na příklad.
Příklad 1.
. Lett= -x 2. Dále by bylo možné vyjádřit x pomocí t, pak najít výraz pro dx a implementovat změnu proměnné v požadovaném integrálu. Ale v v tomto případě Je jednodušší to udělat jinak. Najdeme t=d(-x 2) = -2xdx. Všimněte si, že výraz xdx je faktorem integrandu požadovaného integrálu. Vyjádřeme to z výsledné rovnostixdx= - ½dt. Pak
Primitivní funkce a neurčitý integrál
Fakt 1. Integrace je inverzní akce derivace, totiž obnovení funkce ze známé derivace této funkce. Funkce tak obnovena F(X) je nazýván primitivní pro funkci F(X).
Definice 1. Funkce F(X F(X) v nějakém intervalu X, pokud pro všechny hodnoty X od tohoto intervalu platí rovnost F "(X)=F(X), tzn tuto funkci F(X) je derivace primitivní funkce F(X). .
Například funkce F(X) = hřích X je primitivním derivátem funkce F(X) = cos X na celé číselné ose, protože pro libovolnou hodnotu x (hřích X)" = (cos X) .
Definice 2. Neurčitý integrál funkce F(X) je množina všech jeho primitivních derivátů. V tomto případě se používá notace
∫
F(X)dx
,kde je znamení ∫ se nazývá integrální znak, funkce F(X) – integrandová funkce a F(X)dx – výraz integrand.
Pokud tedy F(X) – nějaký primitivní prvek pro F(X) , Že
∫
F(X)dx = F(X) +C
Kde C - libovolná konstanta (konstanta).
Pro pochopení významu množiny primitivních funkcí funkce jako neurčitého integrálu je vhodná následující analogie. Nechť jsou dveře (tradiční dřevěné dveře). Jeho funkcí je „být dveřmi“. Z čeho jsou dveře vyrobeny? Vyrobeno ze dřeva. To znamená, že množinou primitivních derivátů integrandu funkce „být dveřmi“, tedy jejího neurčitého integrálu, je funkce „být stromem + C“, kde C je konstanta, která v tomto kontextu může označují například druh stromu. Stejně jako jsou dveře vyrobeny ze dřeva pomocí některých nástrojů, derivace funkce je „vyrobena“ z primitivní funkce pomocí vzorce, které jsme se naučili při studiu derivace .
Pak je tabulka funkcí běžných předmětů a jim odpovídajících primitiv („být dveřmi“ – „být stromem“, „být lžící“ – „být kov“ atd.) podobná tabulce zákl. neurčité integrály, které budou uvedeny níže. Tabulka neurčitých integrálů uvádí běžné funkce s uvedením primitivních funkcí, ze kterých jsou tyto funkce „vyrobeny“. V části problémů s hledáním neurčitého integrálu jsou uvedeny integrandy, které lze integrovat přímo bez velkého úsilí, tedy pomocí tabulky neurčitých integrálů. Ve složitějších problémech je třeba integrand nejprve transformovat, aby bylo možné použít tabulkové integrály.
Fakt 2. Při obnově funkce jako primitivní funkce musíme vzít v úvahu libovolnou konstantu (konstantu) C, a abyste nepsali seznam primitivních prvků s různými konstantami od 1 do nekonečna, musíte napsat sadu primitivních prvků s libovolnou konstantou C, například takto: 5 X³+C. Takže libovolná konstanta (konstanta) je zahrnuta ve výrazu primitivní funkce, protože primitivní může být funkce, například 5 X³+4 nebo 5 X³+3 a při diferenciaci se 4 nebo 3 nebo jakákoli jiná konstanta dostane na nulu.
Představme si integrační problém: pro tuto funkci F(X) najít takovou funkci F(X), jehož derivát rovná F(X).
Příklad 1. Najděte množinu primitivních funkcí funkce
Řešení. Pro tuto funkci je primitivním prvkem funkce
Funkce F(X) se nazývá primitivní funkce F(X), pokud derivát F(X) je rovný F(X), nebo, což je totéž, diferenciál F(X) je roven F(X) dx, tj.
(2)
Funkce je tedy primitivní funkcí. Není to však jediný primitivní nástroj pro . Slouží také jako funkce
Kde S– libovolná konstanta. To lze ověřit diferenciací.
Pokud tedy existuje jedna primitivní funkce pro funkci, pak pro ni existuje nekonečný počet primitivních funkcí, které se liší konstantním členem. Všechny primitivní funkce pro funkci jsou zapsány ve výše uvedeném tvaru. To vyplývá z následující věty.
Věta (formální konstatování skutečnosti 2). Li F(X) – primitivní funkce F(X) v nějakém intervalu X, pak jakýkoli jiný primát pro F(X) na stejném intervalu mohou být reprezentovány ve tvaru F(X) + C, Kde S– libovolná konstanta.
V následující příklad Za vlastnostmi neurčitého integrálu se již obracíme k tabulce integrálů, která bude uvedena v odstavci 3. Uděláme to před přečtením celé tabulky, aby byla podstata výše uvedeného jasná. A po tabulce a vlastnostech je při integraci použijeme celé.
Příklad 2 Najděte sady primitivních funkcí:
Řešení. Najdeme množiny primitivních funkcí, ze kterých jsou tyto funkce „vyrobeny“. Při zmínce o vzorcích z tabulky integrálů se prozatím smiřte s tím, že tam takové vzorce jsou, a samotnou tabulku neurčitých integrálů budeme studovat o něco dále.
1) Použití vzorce (7) z tabulky integrálů pro n= 3, dostáváme
2) Pomocí vzorce (10) z tabulky integrálů pro n= 1/3, máme
3) Od té doby
pak podle vzorce (7) s n= -1/4 najdeme
Není to samotná funkce, která se zapisuje pod znaménko integrálu. F a jeho součin diferenciálem dx. To se provádí především za účelem označení, podle které proměnné je primitivní derivát hledán. Například,
,
;
zde je v obou případech integrand roven , ale jeho neurčité integrály v uvažovaných případech se ukážou být odlišné. V prvním případě je tato funkce považována za funkci proměnné X, a ve druhém - jako funkce z .
Proces hledání neurčitého integrálu funkce se nazývá integrace této funkce.
Geometrický význam neurčitého integrálu
Předpokládejme, že potřebujeme najít křivku y=F(x) a už víme, že tangens tangens úhlu v každém jeho bodě je daná funkce f(x)úsečka tohoto bodu.
Podle geometrického významu derivace tangens úhlu sklonu tečny v daném bodě křivky. y=F(x) rovna hodnotě derivát F"(x). Musíme tedy takovou funkci najít F(x), pro který F"(x)=f(x). Funkce požadovaná v úkolu F(x) je primitivním derivátem f(x). Podmínky úlohy nesplňuje jedna křivka, ale skupina křivek. y=F(x)- jednu z těchto křivek a jakoukoli jinou křivku z ní lze získat paralelním posunem podél osy Oj.
Nazvěme graf primitivní funkce f(x) integrální křivka. Li F"(x)=f(x), pak graf funkce y=F(x) existuje integrální křivka.
Fakt 3. Neurčitý integrál je geometricky reprezentován rodinou všech integrálních křivek , jako na obrázku níže. Vzdálenost každé křivky od počátku souřadnic je určena libovolnou integrační konstantou C.
Vlastnosti neurčitého integrálu
Fakt 4. Věta 1. Derivace neurčitého integrálu je rovna integrandu a jeho diferenciál je roven integrandu.
Fakt 5. Věta 2. Neurčitý integrál diferenciálu funkce F(X) se rovná funkci F(X) až do konstantního období , tj.
(3)
Věty 1 a 2 ukazují, že diferenciace a integrace jsou vzájemně inverzní operace.
Fakt 6. Věta 3. Konstantní faktor v integrandu lze vyjmout ze znaménka neurčitého integrálu , tj.
Integrace není těžké se naučit. Chcete-li to provést, stačí se naučit určitý, poměrně malý soubor pravidel a vyvinout určitý druh instinktu. Je samozřejmě snadné se naučit pravidla a vzorce, ale je docela obtížné pochopit, kde a kdy použít to či ono pravidlo integrace nebo diferenciace. To je ve skutečnosti schopnost integrace.
1. Primitivní. Neurčitý integrál.
Předpokládá se, že v době čtení tohoto článku již čtenář má určité rozlišovací schopnosti (tj. nacházet deriváty).
Definice 1.1: Funkce se nazývá primitivní funkce, pokud platí rovnost:
komentáře:> Důraz ve slově „prapůvodní“ lze klást dvěma způsoby: za prvé Ó figurativní nebo prototyp A vědět.
Vlastnost 1: Pokud je funkce primitivní funkcí, pak je funkce také primitivní funkcí.
Důkaz: Dokažme to na definici primitivního derivátu. Pojďme najít derivaci funkce:
První termín v definice 1.1 se rovná a druhý člen je derivace konstanty, která se rovná 0.
.
Shrnout. Zapišme si začátek a konec řetězce rovnosti: 
Derivace funkce je tedy rovna , a proto je podle definice její primitivní. Nemovitost byla prokázána.
Definice 1.2: Neurčitý integrál funkce je celá množina primitivních funkcí této funkce. To je indikováno následovně: 
.
Podívejme se podrobně na názvy jednotlivých částí záznamu:
— obecné označení integrálu,
— integrandový (integrální) výraz, integrovatelná funkce.
je diferenciál a výraz za písmenem , v tomto případě je , se bude nazývat proměnná integrace.
komentáře: Klíčová slova v této definici – „celý zástup“. Tito. pokud v budoucnu toto stejné „plus C“ nebude napsáno v odpovědi, pak má inspektor každé právo nepočítejte tento úkol, protože je nutné najít celou množinu primitivních derivátů, a pokud C chybí, je nalezena pouze jedna.
Závěr: Aby bylo možné zkontrolovat, zda je integrál vypočítán správně, je nutné najít derivaci výsledku. Musí se shodovat s integrandem.
Příklad:
Cvičení: Vypočítejte neurčitý integrál a zkontrolujte.
Řešení:
Na způsobu výpočtu tohoto integrálu v tomto případě nezáleží. Předpokládejme, že se jedná o zjevení shůry. Naším úkolem je ukázat, že nás zjevení neoklamalo, a to lze provést ověřením.
Zkouška:
Při derivování výsledku jsme dostali integrand, což znamená, že integrál byl vypočten správně.
2. Začátek. Tabulka integrálů.
Chcete-li integrovat, nemusíte si pokaždé pamatovat funkci, jejíž derivace je rovna danému integrandu (tj. používat přímo definici integrálu). Každá sbírka úloh nebo učebnice matematické analýzy obsahuje seznam vlastností integrálů a tabulku nejjednodušších integrálů.
Pojďme si vyjmenovat vlastnosti.
Vlastnosti:
1.
Integrál diferenciálu se rovná proměnné integrace.
2. , kde je konstanta.
Konstantní násobitel lze vyjmout ze znaménka integrálu.
3.
Integrál součtu se rovná součtu integrálů (pokud je počet členů konečný).
Tabulka integrálů:
| 1. | 10. |
| 2. | 11.  |
| 3. | 12. |
4.  |
13.  |
5.  |
14.  |
| 6. | 15. |
7.  |
16. |
| 8. | 17.  |
| 9. | 18. |
Nejčastěji je úkolem redukovat zkoumaný integrál na tabulkový pomocí vlastností a vzorců.
Příklad:
[Použijme třetí vlastnost integrálů a zapišme ji jako součet tří integrálů.]
[Použijme druhou vlastnost a přesuňte konstanty za znaménko integrace.]
[ V prvním integrálu použijeme tabulkový integrál č. 1 (n=2), ve druhém použijeme stejný vzorec, ale n=1 a pro třetí integrál můžeme buď použít stejný tabulkový integrál, ale s n=0 nebo první vlastnost ].
.
Zkontrolujeme diferenciací:
Původní integrand byl získán, proto integrace proběhla bez chyb (a nezapomnělo se ani na přidání libovolné konstanty C).
Tabulkové integrály se musíte naučit nazpaměť z jednoho prostého důvodu – abyste věděli, o co se snažit, tzn. znát účel transformace daného výrazu.
Zde je několik dalších příkladů:
1) 
2) 
3) 
Úkoly pro samostatné řešení:
Cvičení 1. Vypočítejte neurčitý integrál:
+ Zobrazit/skrýt nápovědu č. 1.
1) Použijte třetí vlastnost a reprezentujte tento integrál jako součet tří integrálů.
+ Zobrazit/skrýt nápovědu č. 2.
+ Zobrazit/skrýt nápovědu č. 3.
3) Pro první dva členy použijte první tabulkový integrál a pro třetí použijte druhý tabulkový integrál.
+ Zobrazit/skrýt řešení a odpověď.
4) Řešení: 
Odpovědět: 