Jak řešit soustavu diferenciálních rovnic?

Předpokládá se, že čtenář je již docela dobrý v řešení zejména diferenciálních rovnic homogenní rovnice druhého řádu A nehomogenní rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty. Na soustavách diferenciálních rovnic není nic složitého, a pokud vám výše uvedené typy rovnic vyhovují, nebude zvládnutí soustav těžké.

Existují dva hlavní typy systémů diferenciálních rovnic:

– Lineární homogenní soustavy diferenciálních rovnic
– Lineární nehomogenní soustavy diferenciálních rovnic

A dva hlavní způsoby řešení systému diferenciálních rovnic:

– Metoda eliminace. Podstatou metody je, že při řešení se soustava diferenciálních rovnic redukuje na jednu diferenciální rovnici.

– Použití charakteristické rovnice(tzv. Eulerova metoda).

V naprosté většině případů je potřeba soustavu diferenciálních rovnic řešit první metodou. Druhý způsob je v nastavování problémů v celé své praxi mnohem méně obvyklý, vyřešil jsem s ním maximálně 10-20 systémů; Ale také to krátce zvážíme v posledním odstavci tohoto článku.

Okamžitě se omlouvám za teoretickou nedokončenost látky, ale do hodiny jsem zařadil pouze ty úlohy, se kterými se lze v praxi skutečně setkat. Je nepravděpodobné, že zde najdete něco, co spadne v meteorickém roji jednou za pět let, as takovými překvapeními byste se měli obrátit na specializované difuzorové cihly.

Lineární homogenní soustavy diferenciálních rovnic

Nejjednodušší homogenní systém diferenciálních rovnic má následující tvar:

Ve skutečnosti jsou téměř všechny praktické příklady omezeny na takový systém =)

co je tam?

– jedná se o čísla (číselné koeficienty). Nejběžnější čísla. Konkrétně jeden, několik nebo dokonce všechny koeficienty mohou být nulové. Ale takové dary se dávají zřídka, takže čísla se nejčastěji nerovnají nule.

A to jsou neznámé funkce. Proměnná, která funguje jako nezávislá proměnná, je „jako X v běžné diferenciální rovnici“.

A jsou prvními derivacemi neznámých funkcí a resp.

Co to znamená řešit soustavu diferenciálních rovnic?

To znamená najít takový funkce a které uspokojují jak první, tak i druhý rovnice systému. Jak vidíte, princip je velmi podobný konvenčnímu soustav lineárních rovnic. Jen tam jsou kořeny čísla a tady jsou to funkce.

Nalezená odpověď se zapíše do formuláře obecné řešení soustavy diferenciálních rovnic:

Ve složených závorkách! Tyto funkce jsou „v jednom svazku“.

U systému dálkového ovládání můžete vyřešit Cauchyho problém, tedy najít konkrétní řešení systému, splňující dané počáteční podmínky. Konkrétní řešení systému se také píše se složenými závorkami.

Systém lze přepsat kompaktněji takto:

Tradičně je ale běžnější řešení s derivacemi zapsanými v diferenciálech, tak si na to prosím hned zvykejte následující zápis:
a – deriváty prvního řádu;
a jsou deriváty druhého řádu.

Příklad 1

Vyřešte Cauchyho úlohu pro soustavu diferenciálních rovnic s počátečními podmínkami , .

Řešení: V problémech se systém nejčastěji setkává s počátečními podmínkami, takže téměř všechny příklady tuto lekci bude s Cauchyho problémem. Ale to není důležité, protože obecné řešení bude muset být ještě nalezeno.

Pojďme vyřešit systém eliminací. Připomínám, že podstatou metody je redukce systému na jednu diferenciální rovnici. A doufám, že dobře řešíte diferenciální rovnice.

Algoritmus řešení je standardní:

1) Vezměte druhá rovnice systému a vyjadřujeme z něj:

Tuto rovnici budeme potřebovat ke konci řešení a označím ji hvězdičkou. V učebnicích se stává, že narazí na 500 zápisů a pak odkazují: „podle vzorce (253) ...“ a hledají tento vzorec někde 50 stránek zpět. Omezím se na jednu jedinou značku (*).

2) Diferencujte na obou stranách výsledné rovnice:

S „tahy“ proces vypadá takto:

Je důležité, aby byl tento jednoduchý bod jasný.

3) Dosadíme a do první rovnice soustavy:

A uděláme maximální zjednodušení:

Výsledkem je ta nejobyčejnější věc homogenní rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty. S „tahy“ se to píše takto: .

– získají se různé skutečné kořeny, proto:
.

Jedna z funkcí byla nalezena, napůl pozadu.

Ano, vezměte prosím na vědomí, že jsme dostali charakteristickou rovnici s „dobrým“ diskriminantem, což znamená, že jsme při substituci a zjednodušeních nic nepokazili.

4) Jdeme na funkci. K tomu si vezmeme již nalezenou funkci a najít jeho derivát. Rozlišujeme podle:

Pojďme nahradit a do rovnice (*):

Nebo ve zkratce:

5) Obě funkce byly nalezeny, zapišme si obecné řešení systému:

Odpovědět: soukromé řešení:

Přijatou odpověď lze poměrně snadno zkontrolovat, ověření se provádí ve třech krocích:

1) Zkontrolujte, zda jsou skutečně splněny počáteční podmínky:

Obě výchozí podmínky jsou splněny.

2) Zkontrolujme, zda nalezená odpověď vyhovuje první rovnici soustavy.

Vezmeme funkci z odpovědi a najděte jeho derivát:

Pojďme nahradit , A do první rovnice soustavy:

Získá se správná rovnost, což znamená, že nalezená odpověď vyhovuje první rovnici soustavy.

3) Zkontrolujeme, zda odpověď vyhovuje druhé rovnici systému

Vezmeme funkci z odpovědi a najdeme její derivaci:

Pojďme nahradit , A do druhé rovnice soustavy:

Získá se správná rovnost, což znamená, že nalezená odpověď vyhovuje druhé rovnici systému.

Kontrola dokončena. Co bylo zkontrolováno? Ověřené provedení počáteční podmínky. A co je nejdůležitější, ukazuje se fakt, že našlo konkrétní řešení splňuje ke každému rovnice původní soustavy .

Podobně můžete zkontrolovat obecné řešení , kontrola bude ještě kratší, protože není potřeba kontrolovat, zda jsou splněny počáteční podmínky.

Nyní se vraťme k řešenému systému a položme si pár otázek. Řešení začalo takto: vzali jsme druhou rovnici soustavy a vyjádřili z ní . Bylo možné vyjádřit nikoli „X“, ale „Y“? Pokud vyjádříme , tak nám to nic nedá - v tomto výrazu vpravo je „y“ i „x“, takže se nebudeme moci zbavit proměnné a redukovat řešení soustavy k řešení jedné diferenciální rovnice.

Otázka dvě. Bylo možné začít řešit nikoli od druhé, ale od první rovnice soustavy? Umět. Podívejme se na první rovnici soustavy: . V něm máme dvě „X“ a jedno „Y“, takže je nutné striktně vyjádřit „Y“ až „X“: . Následuje první derivace: . Pak byste měli nahradit A do druhé rovnice soustavy. Řešení bude zcela ekvivalentní s tím rozdílem, že nejprve najdeme funkci a poté .

A právě pro druhou metodu bude příklad nezávislého řešení:

Příklad 2

Najděte konkrétní řešení soustavy diferenciálních rovnic, které splňuje dané počáteční podmínky.

Ve vzorovém řešení, které je uvedeno na konci lekce, je vyjádřena z první rovnice a od tohoto výrazu začíná celý tanec. Zkuste si sami udělat zrcadlové řešení bod po bodu, aniž byste se dívali na vzorek.

Můžete jít i cestou příkladu č. 1 - z druhé rovnice, expres (všimněte si, že by mělo být vyjádřeno „x“). Tato metoda je ale méně racionální z toho důvodu, že jsme skončili u zlomku, což není úplně pohodlné.

Lineární nehomogenní soustavy diferenciálních rovnic

Téměř to samé, jen řešení bude o něco delší.

Nehomogenní systém diferenciálních rovnic, se kterým se můžete ve většině případů setkat v úlohách, má následující podobu:

Oproti homogennímu systému je do každé rovnice navíc přidána určitá funkce závislá na „te“. Funkce mohou být konstanty (a alespoň jedna z nich není rovna nule), exponenciály, sinusy, kosinusy atd.

Příklad 3

Najděte konkrétní řešení soustavy lineárních diferenciálních rovnic odpovídající zadaným počátečním podmínkám

Řešení: Je dán lineární nehomogenní systém diferenciálních rovnic; Používáme eliminační metoda, přičemž samotný algoritmus řešení je zcela zachován. Začnu pro změnu první rovnicí.

1) Z první rovnice soustavy vyjádříme:

To je důležitá věc, takže to označím znovu. Je lepší neotvírat závorky; proč jsou tam další zlomky?

A znovu si všimněte, že je to „y“, které je vyjádřeno z první rovnice – prostřednictvím dvou „X“ a konstanty.

2) Rozlišujte na obou stranách:

Konstanta (tři) zmizela, protože derivace konstanty je rovna nule.

3) Pojďme nahradit A do druhé rovnice soustavy :

Ihned po substituci je vhodné zbavit se zlomků, vynásobíme každou část rovnice 5:

Nyní provedeme zjednodušení:

Výsledek byl lineární nehomogenní rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty. To je v podstatě celý rozdíl od řešení homogenní soustavy rovnic probírané v předchozím odstavci.

Poznámka: V nehomogenním systému však někdy lze získat homogenní rovnici.

Najdeme obecné řešení odpovídající homogenní rovnice:

Pojďme sestavit a vyřešit charakteristickou rovnici:

– získávají se kořeny konjugovaného komplexu, proto:
.

Kořeny charakteristické rovnice se opět ukázaly jako „dobré“, což znamená, že jsme na správné cestě.

Hledáme konkrétní řešení nehomogenní rovnice ve tvaru .
Pojďme najít první a druhou derivaci:

Dosadíme do levé strany nehomogenní rovnice:

Tím pádem:

Je třeba poznamenat, že konkrétní řešení lze snadno vybrat ústně a je docela přijatelné místo dlouhých výpočtů napsat: „Je zřejmé, že konkrétní řešení nehomogenní rovnice: .

Jako výsledek:

4) Hledáme funkci. Nejprve najdeme derivaci již nalezené funkce:

Není to nijak zvlášť příjemné, ale takové deriváty se často nacházejí v difuzérech.

Bouře je v plném proudu a teď přijde devátá vlna. Přivaž se provazem k palubě.

Pojďme nahradit
a do rovnice (*):

5) Obecné řešení systému:

6) Najděte konkrétní řešení odpovídající počátečním podmínkám :

Konečně soukromé řešení:

Vidíte, jaký příběh se šťastným koncem, nyní se můžete nebojácně plavit na lodích po klidném moři pod jemným sluncem.

Odpovědět: soukromé řešení:

Mimochodem, pokud začnete řešit tento systém od druhé rovnice, výpočty budou mnohem jednodušší (můžete to zkusit), ale mnoho návštěvníků webu požádalo o analýzu složitějších věcí. Jak můžeš odmítnout? =) Nechť jsou vážnější příklady.

Příklad, který je jednodušší vyřešit sami:

Příklad 4

Najděte konkrétní řešení lineární nehomogenní soustavy diferenciálních rovnic odpovídající zadaným počátečním podmínkám

Tento problém jsem vyřešil na příkladu č. 1, tedy „x“ je vyjádřeno z druhé rovnice. Řešení a odpověď jsou na konci lekce.

V uvažovaných příkladech nebylo náhodou, že jsem použil různé zápisy a použil různá řešení. Takže například derivace ve stejné úloze byly zapsány třemi způsoby: . Ve vyšší matematice se nemusíte bát všemožných klikyháků, hlavní je pochopit algoritmus řešení.

Metoda charakteristických rovnic(Eulerovská metoda)

Jak bylo uvedeno na začátku článku, pomocí charakteristické rovnice je zřídka nutné řešit systém diferenciálních rovnic, takže v posledním odstavci uvedu pouze jeden příklad.

Příklad 5

Je dán lineární homogenní systém diferenciálních rovnic

Najděte obecné řešení soustavy rovnic pomocí charakteristické rovnice

Řešení: Podíváme se na soustavu rovnic a sestavíme determinant druhého řádu:

Myslím, že každý vidí, na jakém principu byl determinant sestaven.

Vytvořme pro to charakteristickou rovnici z každého čísla, které se nachází na hlavní úhlopříčka, odečtěte nějaký parametr:

Na čistý kopii byste si samozřejmě měli okamžitě zapsat charakteristickou rovnici, kterou podrobně vysvětluji, krok za krokem, aby bylo jasné, co odkud pochází;

Rozšiřujeme determinant:

A najdeme kořeny kvadratické rovnice:

Má-li charakteristická rovnice dva různé skutečné kořeny, pak má obecné řešení soustavy diferenciálních rovnic tvar:

Koeficienty v exponentech již známe, zbývá jen koeficienty najít

1) Zvažte kořen a dosaďte jej do charakteristické rovnice:

(tyto dva determinanty také nemusíte zapisovat na prázdný papír, ale ihned ústně vytvořte níže uvedený systém)

Z čísel determinantu vytvoříme soustavu dvou lineární rovnice se dvěma neznámými:

Z obou rovnic vyplývá stejná rovnost:

Nyní je třeba si vybrat nejméně value , takže hodnota je celé číslo. Samozřejmě byste měli nastavit . A když, tak

Mnoho systémů diferenciálních rovnic, homogenních i nehomogenních, lze redukovat na jednu rovnici pro jednu neznámou funkci. Pojďme si metodu ukázat na příkladech.

Příklad 3.1. Vyřešte systém

Řešení. 1) Rozlišení podle t první rovnice a použití druhé a třetí rovnice k nahrazení A , shledáváme

Výslednou rovnici diferencujeme vzhledem k znovu

1) Vytváříme systém

Z prvních dvou rovnic soustavy vyjádříme proměnné A přes
:

Dosadíme nalezené výrazy za A do třetí rovnice soustavy

Takže najít funkci
získal diferenciální rovnici třetího řádu s konstantními koeficienty

.

2) Poslední rovnici integrujeme standardní metodou: sestavíme charakteristickou rovnici
, najít své kořeny
a sestrojte obecné řešení ve formě lineární kombinace exponenciály, s přihlédnutím k násobnosti jednoho z kořenů:.

3) Dále vyhledejte dvě zbývající funkce
A
, výslednou funkci derivujeme dvakrát

Pomocí spojení (3.1) mezi funkcemi systému obnovíme zbývající neznámé

.

Odpovědět. ,
,.

Může se ukázat, že všechny známé funkce kromě jedné jsou vyloučeny ze systému třetího řádu i při jediné diferenciaci. V tomto případě bude řád diferenciální rovnice pro její nalezení menší než počet neznámých funkcí v původním systému.

Příklad 3.2. Integrujte systém

(3.2)

Řešení. 1) Rozlišení podle najdeme první rovnici

Vyjma proměnných A z rovnic

budeme mít rovnici druhého řádu s ohledem na

(3.3)

2) Z první rovnice soustavy (3.2) máme

(3.4)

Dosazením do třetí rovnice soustavy (3.2) nalezené výrazy (3.3) a (3.4) pro A , získáme diferenciální rovnici prvního řádu pro určení funkce

Zjistíme, že integrací této nehomogenní rovnice s konstantními koeficienty prvního řádu
Pomocí (3.4) najdeme funkci

Odpovědět.
,,
.

Úkol 3.1. Řešte homogenní systémy jejich redukcí na jednu diferenciální rovnici.

3.1.1. 3.1.2.

3.1.3. 3.1.4.

3.1.5. 3.1.6.

3.1.7. 3.1.8.

3.1.9. 3.1.10.

3.1.11. 3.1.12.

3.1.13. 3.1.14.

3.1.15. 3.1.16.

3.1.17. 3.1.18.

3.1.19. 3.1.20.

3.1.21. 3.1.22.

3.1.23. 3.1.24.

3.1.25. 3.1.26.

3.1.27. 3.1.28.

3.1.29.
3.1.30.

3.2. Řešení soustav lineárních homogenních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty nalezením fundamentálního systému řešení

Obecné řešení soustavy lineárních homogenních diferenciálních rovnic lze nalézt jako lineární kombinaci fundamentálních řešení soustavy. V případě systémů s konstantními koeficienty lze k nalezení fundamentálních řešení použít metody lineární algebry.

Příklad 3.3. Vyřešte systém

(3.5)

Řešení. 1) Přepišme systém do maticového tvaru

. (3.6)

2) Budeme hledat zásadní řešení systému ve formě vektoru
. Náhradní funkce
v (3.6) a snížení o , dostaneme

, (3.7)

to je číslo musí být vlastní hodnotou matice
a vektor odpovídající vlastní vektor.

3) Z průběhu lineární algebry je známo, že systém (3.7) má netriviální řešení, pokud je jeho determinant roven nule

,

to je . Odtud najdeme vlastní čísla
.

4) Najděte odpovídající vlastní vektory. Nahrazení první hodnoty do (3.7)
, získáme systém pro nalezení prvního vlastního vektoru

Odtud dostáváme spojení mezi neznámými
. Nám stačí zvolit jedno netriviální řešení. Věřící
, Pak
, tedy vektor je vlastní vlastní hodnotou
a funkční vektor
fundamentální řešení dané soustavy diferenciálních rovnic (3.5). Podobně při dosazení druhého kořene
v (3.7) máme maticovou rovnici pro druhý vlastní vektor
. Kde získáme spojení mezi jeho součástmi?
. Máme tedy druhé základní řešení

.

5) Obecné řešení soustavy (3.5) je sestrojeno jako lineární kombinace dvou získaných fundamentálních řešení

nebo v souřadnicové formě

.

Odpovědět.

.

Úkol 3.2. Řešte systémy nalezením základního systému řešení.

Venku je horko, létá topolové chmýří a toto počasí přeje relaxaci. Za akademický rok Všichni jsou unavení, ale očekávání letních prázdnin by mělo inspirovat úspěšné dokončení zkoušky a testy. Mimochodem, učitelé jsou v sezóně také tupí, takže si brzy také dám čas na vyložení mozku. A teď je tu káva, rytmický hukot systémové jednotky, pár mrtvých komárů na parapetu a naprosto funkční stav... ...a sakra... ten zasraný básník.

Do té míry. Koho to zajímá, ale pro mě je dnes 1. června a my se podíváme na další typický úkol komplexní analýza – nalezení konkrétního řešení soustavy diferenciálních rovnic metodou operačního počtu. Co potřebujete vědět a umět, abyste se to naučili řešit? Nejdříve, vřele doporučuji odkazovat na lekci. Prosím čti úvodní část, porozumět obecnému vymezení tématu, terminologii, notaci a alespoň dvěma nebo třem příkladům. Faktem je, že s difuzorovými systémy bude vše téměř stejné a ještě jednodušší!

Samozřejmě musíte pochopit, co to je soustava diferenciálních rovnic, což znamená najít obecné řešení systému a konkrétní řešení systému.

Dovolte mi připomenout, že systém diferenciálních rovnic lze řešit „tradičním“ způsobem: eliminací nebo pomocí charakteristické rovnice. Metoda operačního počtu, která bude diskutována, je použitelná pro systém dálkového ovládání, když je úloha formulována takto:

Najděte konkrétní řešení homogenní soustavy diferenciálních rovnic , odpovídající výchozím podmínkám .

Alternativně může být systém heterogenní – s „přídavnými závažími“ ve formě funkcí a na pravé straně:

Ale v obou případech musíte věnovat pozornost dvěma základním bodům podmínky:

1) Jde o to pouze o soukromém rozhodnutí.
2) V závorkách počátečních podmínek jsou striktně nuly, a nic jiného.

Obecný průběh a algoritmus budou velmi podobné řešení diferenciální rovnice operační metodou. Z referenčních materiálů budete potřebovat totéž tabulka originálů a obrázků.

Příklad 1

, ,

Řešení: Začátek je triviální: použití Laplaceovy transformační tabulky Přejděme od originálů k odpovídajícím obrázkům. V případě problému se systémy dálkového ovládání je tento přechod obvykle jednoduchý:

Pomocí tabulkových vzorců č. 1, 2 s přihlédnutím k počáteční podmínce získáme:

Co dělat s „hrami“? Mentálně změňte „X“ v tabulce na „I“. Pomocí stejných transformací č. 1, 2, s přihlédnutím k počáteční podmínce, zjistíme:

Nalezené obrázky dosadíme do původní rovnice :

Nyní v levých částech je třeba sesbírat rovnice Všechno termíny, ve kterých nebo je přítomen. Do správných částí rovnice je třeba „formalizovat“ jiný podmínky:

Dále na levé straně každé rovnice provedeme bracketing:

V tomto případě by se na první pozice a na druhé pozice měly umístit následující:

Výsledná soustava rovnic se dvěma neznámými se obvykle řeší podle Cramerových vzorců. Vypočítejme hlavní determinant systému:

Jako výsledek výpočtu determinantu byl získán polynom.

Důležitá technika! Tento polynom je lepší Najednou zkuste to zohlednit. Pro tyto účely je třeba se pokusit vyřešit kvadratická rovnice , ale toho si všimne mnoho čtenářů s cvičeným okem druhým rokem .

Naším hlavním determinantem systému je tedy:

Další demontáž systému, díky Kramerovi, je standardní:

V důsledku toho dostáváme operátorské řešení systému:

Výhodou dané úlohy je, že se zlomky obvykle ukáží jako jednoduché a práce s nimi je mnohem snazší než se zlomky v úlohách nalezení konkrétního řešení DE pomocí operační metody. Tvá předtucha tě neklamala - starý dobrý metoda nejistých koeficientů, s jehož pomocí každý zlomek rozložíme na elementární zlomky:

1) Pojďme se zabývat prvním zlomkem:

Tím pádem:

2) Druhý zlomek rozložíme podle podobného schématu, ale správnější je použít jiné konstanty (nedefinované koeficienty):

Tím pádem:

Doporučuji figurínům, aby si zapsali rozložené operátorské řešení v následujícím tvaru:
- tím bude konečná fáze jasnější - inverzní Laplaceova transformace.

Pomocí pravého sloupce tabulky přejdeme od obrázků k odpovídajícím originálům:

Podle pravidel slušného matematického vychování si ve výsledku trochu uděláme pořádek:

Odpovědět:

Odpověď se kontroluje podle standardního schématu, které je podrobně probráno v lekci. Jak řešit soustavu diferenciálních rovnic? Snažte se to vždy dokončit, abyste k úkolu přidali velké plus.

Příklad 2

Pomocí operačního počtu najděte konkrétní řešení soustavy diferenciálních rovnic, které odpovídá daným počátečním podmínkám.
, ,

Toto je příklad, který můžete vyřešit sami. Přibližný vzorek dokončení úkolu a zodpovězení na konci lekce.

Řešení nehomogenního systému diferenciálních rovnic se algoritmicky nijak neliší, až na to, že technicky to bude trochu složitější:

Příklad 3

Pomocí operačního počtu najděte konkrétní řešení soustavy diferenciálních rovnic, které odpovídá daným počátečním podmínkám.
, ,

Řešení: Použití Laplaceovy transformační tabulky s přihlédnutím k počátečním podmínkám , přejděme od originálů k odpovídajícím obrázkům:

Ale to není vše, na pravé straně rovnic jsou osamělé konstanty. Co dělat v případech, kdy je konstanta zcela sama o sobě? To už se probíralo ve třídě. Jak řešit DE pomocí operační metody. Opakujeme: jednotlivé konstanty by měly být mentálně vynásobeny jednou a na jednotky by měla být aplikována následující Laplaceova transformace:

Nahraďte nalezené obrázky do původního systému:

Přesuňme výrazy obsahující , doleva a zbývající výrazy umístěme na pravé strany:

V levých částech provedeme bracketing, navíc snížíme na Společným jmenovatelem pravá strana druhá rovnice:

Vypočítejme hlavní determinant systému a nezapomínejme, že je vhodné okamžitě zkusit faktorizovat výsledek:
, což znamená, že systém má jedinečné řešení.

Pokračujme:



Operátorské řešení systému je tedy:

Někdy lze jeden nebo dokonce oba zlomky zmenšit a někdy tak úspěšně, že ani nemusíte nic rozšiřovat! A v některých případech dostanete pozornost hned, mimochodem, další příklad lekce bude reprezentativním příkladem.

Metodou neurčitých koeficientů získáme součty elementárních zlomků.

Pojďme rozebrat první zlomek:

A dosáhneme druhého:

Výsledkem je, že operátorské řešení má podobu, kterou potřebujeme:

Pomocí pravého sloupce tabulky originálů a obrázků provedeme inverzní Laplaceovu transformaci:

Výsledné obrázky dosadíme do operátorského řešení systému:

Odpovědět: soukromé řešení:

Jak vidíte, v heterogenním systému je nutné provádět pracnější výpočty ve srovnání s homogenním systémem. Podívejme se na několik dalších příkladů se sinem a kosinusem, a to stačí, protože budou zváženy téměř všechny typy problému a většina nuancí řešení.

Příklad 4

Pomocí metody operačního počtu najděte konkrétní řešení systému diferenciálních rovnic s danými počátečními podmínkami,

Řešení: Tento příklad Sám si to také vyřídím, ale komentáře se budou týkat jen speciálních momentů. Předpokládám, že se již dobře orientujete v algoritmu řešení.

Pojďme od originálů k odpovídajícím obrázkům:

Nahraďte nalezené obrázky originálním systémem dálkového ovládání:

Pojďme vyřešit systém pomocí Cramerových vzorců:
, což znamená, že systém má jedinečné řešení.

Výsledný polynom nelze faktorizovat. Co dělat v takových případech? Naprosto nic. Tenhle se taky hodí.

V důsledku toho je operátorské řešení systému:

A je to tady šťastný lístek! Metodu neurčitých koeficientů není vůbec potřeba používat! Jediná věc je, že abychom mohli aplikovat transformace tabulek, přepíšeme řešení do následujícího tvaru:

Přejděme od obrázků k odpovídajícím originálům:

Výsledné obrázky dosadíme do operátorského řešení systému:

Soustavy diferenciálních rovnic jsou dvou hlavních typů - lineární homogenní a nehomogenní. Existují také dvě hlavní metody řešení systémů diferenciálních rovnic:

1. Eliminační metoda, jejíž podstatou je, že se v procesu řešení soustavy diferenciálních rovnic redukuje pouze na jednu diferenciální rovnici.
2. Použití charakteristické rovnice nebo Eulerovy metody.

V zásadě jsou systémy diferenciálních rovnic řešeny první metodou.

Lineární homogenní soustavy diferenciálních rovnic

Nejjednodušší homogenní systém diferenciálních rovnic lze znázornit v následujícím tvaru:

Kde k, l, m, n jsou obyčejná čísla, x(t) a y(t) jsou neznámé funkce. Proměnná t hraje roli nezávisle proměnné (v obyčejné diferenciální rovnici se na jejím místě obvykle nachází x).

A jsou první derivace neznámých funkcí x(t) a y(t).

Řešení soustavy diferenciálních rovnic znamená určení funkcí x(t) a y(t), které splňují obě rovnice soustavy. Jak vidíte, vše je velmi podobné běžným soustavám lineárních rovnic, jediný rozdíl je v tom, že tam jsou kořeny rovnice čísla a zde jsou to funkce.

Odpověď zapíšeme ve formě obecného řešení soustavy diferenciálních rovnic:

Systém lze psát kompaktněji:

Nejběžnější je řešení s derivacemi zapsanými v diferenciálech, kde se používá následující zápis:

A – deriváty 1. řádu;

A – deriváty 2. řádu.

Potřebujeme najít řešení Cauchyho problému pro systém diferenciálních rovnic za počátečních podmínek x(0) = 3, y(0) = 0.

Při řešení použijeme vylučovací metodu.

Vezmeme druhou rovnici soustavy a vyjádříme z ní x:

, znak *, pro který používáme rychlé hledání tato rovnice, protože budeme potřebovat později.

Derivujme obě strany výsledné rovnice vzhledem k t:

Jinak to vypadá takto:

Pojďme nahradit A do první rovnice soustavy:

Pojďme si tuto rovnici co nejvíce zjednodušit:

Jak vidíte, dostali jsme obyčejnou homogenní rovnici druhého řádu s konstantními koeficienty. S deriváty to vypadá takto:

.

– máme různé skutečné kořeny, proto:

.

Jedna funkce nalezena. Nyní začneme hledat x(t).

Pojďme najít derivaci nalezené funkce .

Rozlišujte s ohledem na t:

Nyní pojďme nahradit A do rovnice (*):

Zjednodušme výslednou rovnici:

Našli jsme tedy obě funkce.

Obecné řešení systému bude:

Nyní hledejme konkrétní řešení odpovídající počátečním podmínkám x(0) = 3 a y(0) = 0. Chcete-li to provést, odečtěte druhé od první rovnice člen po členu.

Dosadíme nalezené koeficienty:

Toto bude konkrétní řešení systému.

Zbývá jen zkontrolovat nalezený výsledek:

Zkontrolujme splnění počátečních podmínek x(0) = 3 a y(0) = 0:

x(0) = 4 - 1 = 3

y(0) = 1 – 1 = 0

Kontrola proběhla úspěšně.

Zkontrolujme nalezenou odpověď, abychom splnili první rovnici soustavy

Vezměme si funkci a najít jeho derivát.

Maticová reprezentace soustavy obyčejných diferenciálních rovnic (SODE) s konstantními koeficienty

Lineární homogenní SODE s konstantními koeficienty $\left\(\begin(pole)(c) (\frac(dy_(1) )(dx) =a_(11) \cdot y_(1) +a_(12) \cdot y_ (2) +\ldots +a_(1n) \cdot y_(n) \\ (\frac(dy_(2) )(dx) =a_(21) \cdot y_(1) +a_(22) \cdot y_ (2) +\ldots +a_(2n) \cdot y_(n) ) \\ (\ldots ) \\ (\frac(dy_(n) )(dx) =a_(n1) \cdot y_(1) + a_(n2) \cdot y_(2) +\ldots +a_(nn) \cdot y_(n) ) \end(pole)\vpravo $,

kde $y_(1)\left(x\vpravo),\; y_(2)\left(x\vpravo),\; \ldots ,\; y_(n) \left(x\right)$ -- požadované funkce nezávisle proměnné $x$, koeficienty $a_(jk) ,\; 1\le j,k\le n$ -- daná reálná čísla reprezentujeme v maticovém zápisu:

1. matice požadovaných funkcí $Y=\left(\begin(array)(c) (y_(1) \left(x\right)) \\ (y_(2) \left(x\right)) \\ (\ ldots ) \\ (y_(n) \left(x\right)) \end(pole)\right)$;
2. matice derivačních řešení $\frac(dY)(dx) =\left(\begin(pole)(c) (\frac(dy_(1) )(dx) ) \\ (\frac(dy_(2) )( dx ) ) \\ (\ldots ) \\ (\frac(dy_(n) )(dx) ) \end(pole)\vpravo)$;
3. Matice koeficientů SODE $A=\left(\begin(array)(cccc) (a_(11) ) & (a_(12) ) & (\ldots ) & (a_(1n) ) \\ (a_(21) ) & (a_(22) ) & (\ldots ) & (a_(2n) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ (a_(n1) ) & ( a_(n2) ) & (\ldots ) & (a_(nn) ) \end(pole)\vpravo)$.

Nyní, na základě pravidla násobení matic, lze tuto SODE zapsat ve formě maticové rovnice $\frac(dY)(dx) =A\cdot Y$.

Obecná metoda řešení SODE s konstantními koeficienty

Nechť existuje matice některých čísel $\alpha =\left(\begin(pole)(c) (\alpha _(1) ) \\ (\alpha _(2) ) \\ (\ldots ) \\ ( \alpha _ (n) ) \end(pole)\vpravo)$.

Řešení SODE lze nalézt v následujícím tvaru: $y_(1) =\alpha _(1) \cdot e^(k\cdot x) $, $y_(2) =\alpha _(2) \cdot e^(k\ cdot x) $, \dots , $y_(n) =\alpha _(n) \cdot e^(k\cdot x) $. V maticovém tvaru: $Y=\left(\begin(array)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \\ (\ldots ) \\ (y_(n) ) \end(array )\right)=e^(k\cdot x) \cdot \left(\begin(array)(c) (\alpha _(1) ) \\ (\alpha _(2) ) \\ (\ldots ) \\ (\alpha _(n) ) \end(pole)\vpravo)$.

Odtud dostáváme:

Nyní může mít maticová rovnice této SODE tvar:

Výsledná rovnice může být reprezentována následovně:

Poslední rovnost ukazuje, že vektor $\alpha $ pomocí matice $A$ je transformován na paralelní vektor $k\cdot \alpha $. To znamená, že vektor $\alpha $ je vlastním vektorem matice $A$, odpovídající vlastní hodnota$ k $.

Číslo $k$ lze určit z rovnice $\left|\begin(pole)(cccc) (a_(11) -k) & (a_(12) ) & (\ldots ) & (a_(1n) ) \\ ( a_(21) ) & (a_(22) -k) & (\ldots ) & (a_(2n) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ ( a_(n1) ) & (a_(n2) ) & (\ldots ) & (a_(nn) -k) \end(pole)\right|=0$.

Tato rovnice se nazývá charakteristika.

Nechť všechny kořeny $k_(1) ,k_(2) ,\ldots ,k_(n) $ charakteristické rovnice jsou různé. Pro každou hodnotu $k_(i) $ ze systému $\left(\begin(pole)(cccc) (a_(11) -k) & (a_(12) ) & (\ldots ) & (a_(1n) ) \\ (a_(21) ) & (a_(22) -k) & (\ldots ) & (a_(2n) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ (a_(n1) ) & (a_(n2) ) & (\ldots ) & (a_(nn) -k) \end(pole)\vpravo)\cdot \left(\begin(pole)(c ) (\alpha _(1) ) \\ (\alpha _(2) ) \\ (\ldots ) \\ (\alpha _(n) ) \end(pole)\right)=0$ matice hodnot ​​může být definováno $\left(\begin(pole)(c) (\alpha _(1)^(\left(i\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left(i) \right)) ) \\ (\ldots ) \\ (\alpha _(n)^(\left(i\right)) ) \end(array)\right)$.

Jedna z hodnot v této matici je vybrána náhodně.

Nakonec je řešení tohoto systému v maticové formě zapsáno takto:

$\left(\begin(array)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \\ (\ldots ) \\ (y_(n) ) \end(array)\right)=\ left(\begin(array)(cccc) (\alpha _(1)^(\left(1\right)) ) & (\alpha _(1)^(\left(2\right)) ) & (\ ldots ) & (\alpha _(2)^(\left(n\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left(1\right)) ) & (\alpha _(2)^ (\left(2\right)) ) & (\ldots ) & (\alpha _(2)^(\left(n\right)) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ (\alpha _(n)^(\left(1\right)) ) & (\alpha _(2)^(\left(2\right)) ) & (\ldots ) & (\alpha _(2)^(\left(n\right)) ) \end(pole)\right)\cdot \left(\begin(pole)(c) (C_(1) \cdot e^(k_ (1) \cdot x) ) \\ (C_(2) \cdot e^(k_(2) \cdot x) ) \\ (\ldots ) \\ (C_(n) \cdot e^(k_(n) ) \cdot x) ) \end(pole)\vpravo)$,

kde $C_(i) $ jsou libovolné konstanty.

Úkol

Vyřešte DE systém $\left\(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dx) =5\cdot y_(1) +4y_(2) ) \\ (\frac(dy_ ( 2) )(dx) =4\cdot y_(1) +5\cdot y_(2) ) \end(pole)\vpravo $.

Zapíšeme systémovou matici: $A=\left(\begin(pole)(cc) (5) & (4) \\ (4) & (5) \end(pole)\right)$.

V maticové formě se tato SODE zapisuje takto: $\left(\begin(pole)(c) (\frac(dy_(1) )(dt) ) \\ (\frac(dy_(2) )(dt) ) \end (pole)\right)=\left(\begin(pole)(cc) (5) & (4) \\ (4) & (5) \end(pole)\right)\cdot \left( \begin( pole)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \end(pole)\vpravo)$.

Získáme charakteristickou rovnici:

$\left|\begin(pole)(cc) (5-k) & (4) \\ (4) & (5-k) \end(pole)\right|=0$, tedy $k^ ( 2) -10\cdot k+9=0$.

Kořeny charakteristické rovnice jsou: $k_(1) =1$, $k_(2) =9$.

Vytvořme systém pro výpočet $\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(1\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left( 1\ vpravo)) ) \end(pole)\vpravo)$ pro $k_(1) =1$:

\[\left(\begin(pole)(cc) (5-k_(1) ) & (4) \\ (4) & (5-k_(1) ) \end(pole)\right)\cdot \ left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(1\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left(1\right)) ) \end (pole)\vpravo)=0,\]

to znamená $\left(5-1\right)\cdot \alpha _(1)^(\left(1\right)) +4\cdot \alpha _(2)^(\left(1\right) ) =0$, $4\cdot \alpha _(1)^(\left(1\right)) +\left(5-1\right)\cdot \alpha _(2)^(\left(1\right) )) = 0 $.

Vložením $\alpha _(1)^(\left(1\right)) =1$ získáme $\alpha _(2)^(\left(1\right)) =-1$.

Vytvořme systém pro výpočet $\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(2\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left( 2\ vpravo)) ) \end(pole)\vpravo)$ pro $k_(2) =9$:

\[\left(\begin(pole)(cc) (5-k_(2) ) & (4) \\ (4) & (5-k_(2) ) \end(pole)\right)\cdot \ left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(2\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left(2\right)) ) \end (pole)\vpravo)=0, \]

to znamená $\left(5-9\right)\cdot \alpha _(1)^(\left(2\right)) +4\cdot \alpha _(2)^(\left(2\right) ) =0$, $4\cdot \alpha _(1)^(\left(2\right)) +\left(5-9\right)\cdot \alpha _(2)^(\left(2\right) )) = 0 $.

Položením $\alpha _(1)^(\left(2\right)) =1$ získáme $\alpha _(2)^(\left(2\right)) =1$.

Získáme řešení SODE v maticovém tvaru:

\[\left(\begin(pole)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \end(pole)\right)=\left(\begin(pole)(cc) (1) & (1) \\ (-1) & (1) \end(pole)\vpravo)\cdot \left(\začátek(pole)(c) (C_(1) \cdot e^(1\cdot x) ) \\ (C_(2) \cdot e^(9\cdot x) ) \end(pole)\vpravo).\]

V obvyklém tvaru má řešení SODE tvar: $\left\(\begin(pole)(c) (y_(1) =C_(1) \cdot e^(1\cdot x) +C_( 2) \cdot e^ (9\cdot x) ) \\ (y_(2) =-C_(1) \cdot e^(1\cdot x) +C_(2) \cdot e^(9\cdot x ) ) \end(pole )\vpravo.$.