FEDERÁLNÍ AGENTURA PRO VZDĚLÁVÁNÍ

STÁTNÍ VZDĚLÁVACÍ INSTITUCE

VYŠŠÍ ODBORNÉ VZDĚLÁNÍ

"VORONEŽSKÁ STÁTNÍ PEDAGOGICKÁ UNIVERZITA"

KATEDRA AGLEBRA A GEOMETRIE

Komplexní čísla

(vybrané úkoly)

ABSOLVENTSKÁ KVALIFIKAČNÍ PRÁCE

odbornost 050201.65 matematika

(s další specializací 050202.65 informatika)

Vyplnil: student 5. ročníku

fyzikální a matematické

fakulta

Vědecký poradce:

VORONĚŽ – 2008

1. Úvod……………………………………………………...…………..…

2. Komplexní čísla (vybrané problémy)

2.1. Komplexní čísla v algebraickém tvaru………………….….

2.2. Geometrická interpretace komplexních čísel …………………………

2.3. Trigonometrický tvar komplexních čísel

2.4. Aplikace teorie komplexních čísel na řešení rovnic 3. a 4. stupně……………..……………………………………………………………………

2.5. Komplexní čísla a parametry ………………………………………….

3. Závěr……………………………………………………………………………………….

4. Seznam referencí………………………………………………………………………

1. Úvod

Ve školním vzdělávacím programu matematiky je teorie čísel zavedena na příkladech množin přirozená čísla, celý, racionální, iracionální, tzn. na množině reálných čísel, jejichž obrázky vyplňují celou číselnou řadu. Ale už v 8. třídě není dostatečná zásoba reálných čísel, řešení kvadratických rovnic se záporným diskriminantem. Zásobu reálných čísel bylo proto nutné doplnit pomocí komplexních čísel, pro která má smysl odmocnina ze záporného čísla.

Volba tématu „Komplexní čísla“ jako téma diplomky kvalifikační práce, spočívá v tom, že pojem komplexní číslo rozšiřuje znalosti studentů o číselných soustavách, o řešení široké třídy problémů algebraického i geometrického obsahu, o řešení algebraických rovnic libovolného stupně a o řešení úloh s parametry.

Tato práce se zabývá řešením 82 problémů.

První část hlavní části „Komplexní čísla“ obsahuje řešení problémů s komplexní čísla v algebraické formě jsou definovány operace sčítání, odčítání, násobení, dělení, operace konjugace pro komplexní čísla v algebraické formě, mocnina imaginární jednotky, modul komplexního čísla a pravidlo pro extrakci druhé odmocniny z je uvedeno i komplexní číslo.

V druhé části jsou řešeny problémy geometrické interpretace komplexních čísel ve formě bodů nebo vektorů komplexní roviny.

Třetí část zkoumá operace s komplexními čísly v goniometrickém tvaru. Použité vzorce jsou: Moivre a extrahování odmocniny komplexního čísla.

Čtvrtá část je věnována řešení rovnic 3. a 4. stupně.

Při řešení úloh v poslední části „Komplexní čísla a parametry“ jsou použity a konsolidovány informace uvedené v předchozích částech. Řada úloh v kapitole je věnována určování rodin čar v komplexní rovině definované rovnicemi (nerovnicemi) s parametrem. V části cvičení je potřeba řešit rovnice s parametrem (nad polem C). Existují úlohy, kde komplexní proměnná současně splňuje řadu podmínek. Zvláštností řešení úloh v této části je redukce řady z nich na řešení rovnic (nerovnic, soustav) druhého stupně, iracionální, goniometrické s parametrem.

Charakteristickým rysem prezentace materiálu v každé části je počáteční vstup teoretické základy, a následně jejich praktické uplatnění při řešení problémů.

Na konci práce je uveden seznam použité literatury. Většina z nich předkládá dostatečně podrobně a přístupným způsobem teoretický materiál, diskutuje o řešení některých problémů a zadává praktické úkoly k samostatnému řešení. Speciální pozornost Rád bych odkázal na takové zdroje jako:

1. Gordienko N.A., Belyaeva E.S., Firstov V.E., Serebryakova I.V. Komplexní čísla a jejich aplikace: Učebnice. . Materiál učební pomůcka prezentovány formou přednášek a praktických cvičení.

2. Shklyarsky D.O., Chentsov N.N., Yaglom I.M. Vybrané problémy a věty elementární matematiky. Aritmetika a algebra. Kniha obsahuje 320 problémů týkajících se algebry, aritmetiky a teorie čísel. Tyto úkoly se svým charakterem výrazně liší od standardních školních úkolů.

2. Komplexní čísla (vybrané problémy)

2.1. Komplexní čísla v algebraickém tvaru

Řešení mnoha problémů v matematice a fyzice spočívá v řešení algebraických rovnic, tzn. rovnice tvaru

,

kde a0, a1, …, an jsou reálná čísla. Proto je studium algebraických rovnic jednou z nejdůležitějších otázek v matematice. Například kvadratická rovnice se záporným diskriminantem nemá žádné skutečné kořeny. Nejjednodušší takovou rovnicí je rovnice

.

Aby tato rovnice měla řešení, je nutné rozšířit množinu reálných čísel přidáním kořene rovnice

.

Označme tento kořen pomocí

. Tedy podle definice, resp.

proto,

. nazývaná pomyslná jednotka. S jeho pomocí a pomocí dvojice reálných čísel se sestaví vyjádření tvaru.

Výsledný výraz byl nazýván komplexními čísly, protože obsahoval reálné i imaginární části.

Komplexní čísla jsou tedy vyjádřením tvaru

, a jsou reálná čísla a je určitým symbolem, který splňuje podmínku . Číslo se nazývá reálná část komplexního čísla a číslo je jeho imaginární částí. K jejich označení se používají symboly .

Komplexní čísla formuláře

jsou reálná čísla, a proto množina komplexních čísel obsahuje množinu reálných čísel.

Komplexní čísla formuláře

se nazývají čistě imaginární. Dvě komplexní čísla tvaru a se říká, že jsou si rovna, pokud jsou jejich reálné a imaginární části stejné, tzn. pokud rovnost , .

Algebraický zápis komplexních čísel umožňuje operace s nimi podle obvyklých pravidel algebry.

aplikace

Řešení jakéhokoli typu rovnic online na webu pro studenty a školáky ke konsolidaci probrané látky. Řešení rovnic online. Rovnice online. Existují algebraické, parametrické, transcendentální, funkcionální, diferenciální a další typy rovnic. Některé třídy rovnic mají analytická řešení, která jsou vhodná, protože dávají nejen přesnou hodnotu kořene, ale také umožňují zapsat řešení do. formu vzorce, který může obsahovat parametry. Analytické výrazy umožňují nejen vypočítat kořeny, ale také analyzovat jejich existenci a jejich množství v závislosti na hodnotách parametrů, což je často ještě důležitější pro praktická aplikace, jak konkrétní hodnoty kořeny. Řešení rovnic online.. Rovnice online. Řešení rovnice je úkolem najít takové hodnoty argumentů, při kterých je této rovnosti dosaženo. Na možné hodnoty argumentů lze uložit další podmínky (celé číslo, reálné atd.). Řešení rovnic online.. Rovnice online. Rovnici můžete vyřešit online okamžitě a s vysokou přesností výsledku. Argumenty specifikovaných funkcí (někdy nazývané "proměnné") se v případě rovnice nazývají "neznámé". Hodnoty neznámých, při kterých je této rovnosti dosaženo, se nazývají řešení nebo kořeny této rovnice. Říká se, že kořeny tuto rovnici splňují. Řešení rovnice online znamená najít množinu všech jejích řešení (kořenů) nebo dokázat, že žádné kořeny neexistují. Řešení rovnic online.. Rovnice online. Rovnice, jejichž množiny kořenů se shodují, se nazývají ekvivalentní nebo rovné. Rovnice, které nemají kořeny, jsou také považovány za ekvivalentní. Ekvivalence rovnic má vlastnost symetrie: je-li jedna rovnice ekvivalentní druhé, pak je druhá rovnice ekvivalentní první. Ekvivalence rovnic má vlastnost tranzitivity: je-li jedna rovnice ekvivalentní druhé a druhá je ekvivalentní třetí, pak je první rovnice ekvivalentní třetí. Vlastnost ekvivalence rovnic nám umožňuje provádět s nimi transformace, na kterých jsou založeny metody jejich řešení. Řešení rovnic online.. Rovnice online. Stránka vám umožní řešit rovnici online. Rovnice, pro které jsou známa analytická řešení, zahrnují algebraické rovnice ne vyššího než čtvrtého stupně: lineární rovnice, kvadratická rovnice, kubická rovnice a rovnice čtvrtého stupně. Algebraické rovnice vyšších stupňů v obecném případě nemají analytické řešení, i když některé z nich lze redukovat na rovnice nižších stupňů. Rovnice, které zahrnují transcendentální funkce, se nazývají transcendentální. Mezi nimi jsou pro některé známá analytická řešení goniometrické rovnice, od nul goniometrické funkce dobře známý. V obecném případě, kdy nelze nalézt analytické řešení, se používají numerické metody. Numerické metody neposkytují přesné řešení, ale umožňují pouze zúžit interval, ve kterém kořen leží, na určitou předem stanovenou hodnotu. Řešení rovnic online.. Rovnice online.. Místo rovnice online si představíme, jak vzniká stejný výraz lineární závislost a to nejen podél přímé tečny, ale také v samotném bodě inflexe grafu. Tato metoda je nepostradatelná za všech okolností při studiu předmětu. Často se stává, že řešení rovnic se blíží konečné hodnotě pomocí nekonečných čísel a zápisu vektorů. Je nutné zkontrolovat výchozí údaje a to je podstatou úkolu. Jinak se místní podmínka převede na vzorec. Inverze v přímce od dané funkce, kterou kalkulačka rovnic vypočítá bez velkého zpoždění při provádění, offset bude sloužit jako výsada prostoru. Budeme mluvit o úspěších studentů ve vědeckém prostředí. Stejně jako vše výše uvedené nám však pomůže v procesu hledání a až rovnici úplně vyřešíte, uložte výslednou odpověď na konce úsečky. Přímky v prostoru se protínají v bodě a tento bod se nazývá protnutý úsečkami. Interval na řádku je indikován výše uvedeným způsobem. Nejvyšší místo pro studium matematiky bude zveřejněno. Přiřazení hodnoty argumentu z parametricky zadané plochy a řešení rovnice online umožní nastínit principy produktivního přístupu k funkci. Möbiův pás, nebo jak se tomu říká nekonečno, vypadá jako osmička. Jedná se o jednostranný povrch, nikoli oboustranný. Podle všem obecně známého principu budeme objektivně akceptovat lineární rovnice jako základní označení tak, jak je tomu v oblasti výzkumu. Pouze dvě hodnoty sekvenčně daných argumentů jsou schopny odhalit směr vektoru. Předpokládejme, že další řešení online rovnic je mnohem víc než jen jeho řešení, znamená ve výsledku získat plnohodnotnou verzi invariantu. Bez integrovaný přístup Pro studenty je obtížné se tuto látku naučit. Stejně jako dříve, pro každý speciální případ, naše pohodlná a chytrá online kalkulačka rovnic všem pomůže v těžkých chvílích, protože stačí zadat vstupní parametry a systém sám vypočítá odpověď. Než začneme zadávat data, budeme potřebovat vstupní nástroj, který lze provést bez větších potíží. Počet každého odhadu odpovědi povede ke kvadratické rovnici k našim závěrům, ale to není tak snadné, protože je snadné dokázat opak. Teorie, vzhledem ke svým vlastnostem, není podporována praktické znalosti . Vidět zlomkovou kalkulačku ve fázi publikování odpovědi není v matematice snadný úkol, protože alternativa zápisu čísla na množinu pomáhá zvýšit růst funkce. Bylo by však nesprávné nemluvit o školení studentů, takže každý řekneme tolik, kolik je třeba udělat. Dříve nalezená kubická rovnice bude právem patřit do definičního oboru a bude obsahovat prostor číselných hodnot i symbolických proměnných. Po naučení nebo zapamatování věty se naši studenti předvedou jen v tom nejlepším, co umí, a budeme za ně rádi. Na rozdíl od více průsečíků polí jsou naše online rovnice popsány rovinou pohybu vynásobením dvou a tří číselných kombinovaných čar. Množina v matematice není definována jednoznačně. Nejlepším řešením je podle studentů kompletní záznam výrazu. Jak bylo řečeno vědeckým jazykem, abstrakce symbolických výrazů nevstupuje do stavu věci, ale řešení rovnic dává ve všech známých případech jednoznačný výsledek. Délka lekce učitele závisí na potřebách tohoto návrhu. Analýza ukázala nezbytnost všech výpočetních technik v mnoha oblastech a je naprosto jasné, že kalkulačka rovnic je v nadaných rukou studenta nepostradatelnou pomůckou. Loajální přístup ke studiu matematiky určuje důležitost pohledů z různých směrů. Chcete identifikovat jednu z klíčových vět a vyřešit rovnici takovým způsobem, podle jehož odpovědi bude další potřeba její aplikace. Analytika v této oblasti nabírá na síle. Začněme od začátku a odvodíme vzorec. Po proražení úrovně nárůstu funkce povede přímka podél tečny v inflexním bodě jistě k tomu, že řešení rovnice online bude jedním z hlavních aspektů při konstrukci stejného grafu z argumentu funkce. Amatérský přístup má právo na uplatnění, pokud tato podmínka neodporuje závěrům studentů. Je to dílčí úkol, který staví analýzu matematických podmínek jako lineárních rovnic do existující oblasti definice objektu, který je posunut do pozadí. Síťování ve směru ortogonality ruší výhodu jediné absolutní hodnoty. Modulo řešení rovnic online poskytuje stejný počet řešení, pokud závorky otevřete nejprve znaménkem plus a poté znaménkem mínus. V tomto případě bude řešení dvakrát více a výsledek bude přesnější. Stabilní a správná online kalkulačka rovnic je úspěchem při dosažení zamýšleného cíle v úkolu stanoveném učitelem. Zdá se, že je možné zvolit správnou metodu vzhledem k výrazným rozdílům v názorech velkých vědců. Výsledná kvadratická rovnice popisuje křivku přímek, tzv. parabolu, a znaménko bude určovat její konvexnost ve čtvercovém souřadnicovém systému. Z rovnice získáme jak diskriminant, tak samotné kořeny podle Vietovy věty. Prvním krokem je reprezentovat výraz jako správný nebo nevlastní zlomek a použít zlomkovou kalkulačku. V závislosti na tom se vytvoří plán našich dalších výpočtů. Matematika s teoretickým přístupem bude užitečná v každé fázi. Výsledek určitě uvedeme jako kubickou rovnici, protože do tohoto výrazu skryjeme její kořeny, abychom zjednodušili úkol pro studenta na vysoké škole. Jakékoli metody jsou dobré, pokud jsou vhodné pro povrchovou analýzu. Další aritmetické operace nepovedou k chybám ve výpočtu. Určuje odpověď s danou přesností. S využitím řešení rovnic, přiznejme si to – najít nezávislou proměnnou dané funkce není tak snadné, zvláště v období studia rovnoběžných čar v nekonečnu. S ohledem na výjimku je potřeba zcela zřejmá. Rozdíl v polaritě je jasný. Ze zkušeností z výuky na ústavech se náš učitel poučil hlavní lekce, ve kterém byly rovnice studovány online v plném matematickém smyslu. Zde jsme hovořili o vyšším úsilí a speciálních dovednostech při aplikaci teorie. Ve prospěch našich závěrů bychom se neměli dívat prizmatem. Donedávna se věřilo, že uzavřená množina rychle narůstá nad oblastí tak, jak je, a řešení rovnic je prostě třeba prozkoumat. V první fázi jsme nezvažovali všechno možné možnosti, ale tento přístup je oprávněnější než kdy jindy. Extra akce se závorkami ospravedlňují některé pokroky podél osy ordinát a úsečky, které nelze přehlédnout pouhým okem. Ve smyslu rozsáhlého proporcionálního zvýšení funkce je zde inflexní bod. Opět si ukážeme jak nutná podmínka bude aplikováno v celém intervalu poklesu té či oné sestupné polohy vektoru. V omezeném prostoru vybereme proměnnou z počátečního bloku našeho skriptu. Systém konstruovaný jako základ podél tří vektorů je zodpovědný za nepřítomnost hlavního momentu síly. Kalkulačka rovnic však vygenerovala a pomohla najít všechny členy sestrojené rovnice, a to jak nad povrchem, tak podél rovnoběžných čar. Kolem výchozí bod Popišme si určitý kruh. Začneme se tedy pohybovat po přímkách řezu nahoru a tečna bude kružnici opisovat po celé její délce, výsledkem je křivka zvaná evolventa. Mimochodem, pojďme si o této křivce říct něco málo z historie. Faktem je, že historicky v matematice neexistoval žádný pojem matematiky samotné v jejím čistém chápání, jako je tomu dnes. Dříve se všichni vědci zabývali jedním běžná příčina, tedy věda. Později, o několik století později, když vědecký svět plné kolosálního množství informací, lidstvo stále identifikovalo mnoho disciplín. Stále zůstávají nezměněny. A přesto se každý rok vědci z celého světa snaží dokázat, že věda je neomezená, a rovnici nevyřešíte, pokud nebudete mít znalosti z přírodních věd. Možná se to nepodaří konečně ukončit. Přemýšlet o tom je stejně zbytečné jako ohřívat vzduch venku. Najděte interval, ve kterém argument, pokud je jeho hodnota kladná, bude určovat modul hodnoty v prudce rostoucím směru. Reakce vám pomůže najít alespoň tři řešení, ale budete je muset zkontrolovat. Začněme tím, že musíme rovnici řešit online pomocí jedinečná služba naše stránky. Zadáme obě strany dané rovnice, klikneme na tlačítko „ŘEŠIT“ a dostaneme přesnou odpověď během několika sekund. Ve speciálních případech si vezměme knihu o matematice a zkontrolujme si svou odpověď, totiž, podívejme se pouze na odpověď a vše bude jasné. Vyletí stejný projekt pro umělý redundantní hranol. Existuje rovnoběžník s jeho rovnoběžnými stranami a vysvětluje mnoho principů a přístupů ke studiu prostorového vztahu vzestupného procesu akumulace dutého prostoru ve vzorcích přirozené formy. Nejednoznačné lineární rovnice ukazují závislost požadované proměnné na naší společné tento momentčasové rozhodnutí a je potřeba nějak odvodit a přinést nepravý zlomek na netriviální případ. Označte deset bodů na přímce a nakreslete křivku skrz každý bod v daném směru s konvexním bodem nahoru. Náš kalkulátor rovnic bez zvláštních potíží předloží výraz v takové podobě, že jeho kontrola platnosti pravidel bude zřejmá již na začátku záznamu. Systém speciálních reprezentací stability pro matematiky je na prvním místě, pokud vzorec nestanoví jinak. Na to odpovíme podrobnou prezentací zprávy na téma izomorfní stav plastické soustavy těles a řešení rovnic online popíše pohyb každého hmotného bodu v této soustavě. Na úrovni hloubkového výzkumu bude nutné podrobně objasnit problematiku inverzí alespoň spodní vrstvy prostoru. V rostoucím pořadí na sekci diskontinuity funkce budeme platit obecná metoda vynikající badatel, mimochodem našinec, a o chování letadla si povíme níže. Na základě silné vlastnosti analyticky dané funkce, online kalkulačku rovnic používáme pouze pro zamýšlený účel v rámci odvozených limitů autority. V dalším uvažování zaměříme náš přehled na homogenitu samotné rovnice, to znamená, že její pravá strana je rovna nule. Ještě jednou Ujistíme se, že naše rozhodnutí v matematice je správné. Abychom se vyhnuli triviálnímu řešení, udělejme nějaké úpravy počáteční podmínky na problém podmíněné stability systému. Vytvořme kvadratickou rovnici, pro kterou vypíšeme dva záznamy pomocí známého vzorce a najdeme záporné kořeny. Pokud je jeden kořen o pět jednotek větší než druhý a třetí kořen, pak změnou hlavního argumentu tím zkreslíme počáteční podmínky dílčího úkolu. Ze své podstaty lze něco neobvyklého v matematice vždy popsat s přesností na setinu kladného čísla. Kalkulačka zlomků je několikanásobně lepší než její analogy na podobných zdrojích v nejlepším okamžiku zatížení serveru. Na plochu vektoru rychlosti rostoucího podél svislé osy nakreslíme sedm čar, ohnutých v opačných směrech. Souměřitelnost argumentu přiřazené funkce je před hodnotami počítadla zůstatku obnovy. V matematice můžeme tento jev znázornit pomocí kubické rovnice s imaginárními koeficienty, stejně jako v bipolárním postupu klesajících čar. Kritické body Teplotní rozdíly v mnoha ohledech popisují proces rozkladu komplexní zlomkové funkce na faktory. Pokud je vám řečeno, abyste rovnici vyřešili, nespěchejte s tím hned, rozhodně nejprve vyhodnoťte celý akční plán a teprve poté zaujměte správný přístup. Výhody to určitě budou. Snadnost práce je zřejmá a nejinak je tomu i v matematice. Vyřešte rovnici online. Všechny online rovnice představují určitý typ záznamu čísel nebo parametrů a proměnnou, kterou je třeba určit. Vypočítejte tuto velmi proměnnou, to znamená, najděte konkrétní hodnoty nebo intervaly sady hodnot, na kterých bude identita držet. Počáteční a konečné podmínky přímo závisí. Obecné řešení rovnic obvykle obsahuje nějaké proměnné a konstanty, jejichž nastavením získáme celé rodiny řešení pro daný problémový výrok. Obecně to ospravedlňuje úsilí vynaložené na zvýšení funkčnosti prostorové krychle se stranou rovnou 100 centimetrů. Větu nebo lemma můžete použít v jakékoli fázi vytváření odpovědi. Stránka postupně vytváří rovnicový kalkulátor, pokud je potřeba ukázat nejmenší hodnotu v libovolném intervalu součtu produktů. V polovině případů taková koule, protože je dutá, již nesplňuje požadavky pro stanovení meziodpovědi. Alespoň na ose pořadnice ve směru klesajícího vektorového znázornění bude tento podíl nepochybně optimálnější než předchozí výraz. V hodinu, kdy bude provedena kompletní bodová analýza lineárních funkcí, ve skutečnosti shromáždíme všechna naše komplexní čísla a bipolární rovinné prostory. Dosazením proměnné do výsledného výrazu vyřešíte rovnici krok za krokem a dáte nejpodrobnější odpověď s vysokou přesností. Ještě jednou zkontrolujte své činy v matematice v dobré formě ze strany studenta. Podíl v poměru frakcí zaznamenal integritu výsledku ve všech důležitých oblastech aktivity nulového vektoru. Triviálnost je potvrzena na konci dokončených akcí. S jednoduchým úkolem nemusí mít studenti žádné potíže, pokud rovnici vyřeší online v co nejkratším čase, ale nezapomenou na všechna různá pravidla. Množina podmnožin se protíná v oblasti konvergentní notace. V různých případech není produkt chybně faktorizován. S řešením rovnice online vám pomůže naše první sekce věnovaná základům matematických technik pro důležité sekce pro studenty univerzit a technických vysokých škol. Na odpovědi nebudeme muset čekat pár dní, protože proces nejlepší interakce vektorové analýzy se sekvenčním hledáním řešení byl patentován na začátku minulého století. Ukazuje se, že snahy o navázání vztahů s okolním týmem nebyly marné. O několik generací později vědci na celém světě přiměli lidi věřit, že matematika je královnou věd. Ať už se jedná o levou nebo pravou odpověď, stejně je nutné vyčerpávající termíny napsat do tří řádků, protože v našem případě se určitě budeme bavit pouze o vektorové analýze vlastností matice. Nelineární a lineární rovnice mají spolu s bikvadratickými rovnicemi zvláštní místo v naší knize o osvědčené postupy výpočet trajektorie pohybu v prostoru všech hmotných bodů uzavřeného systému. Lineární analýza nám pomůže přivést myšlenku k životu Tečkovaný produkt tři po sobě jdoucí vektory. Na konci každého příkazu je úkol usnadněn implementací optimalizovaných numerických výjimek napříč prováděnými překryvy číselného prostoru. Jiný úsudek nebude kontrastovat s nalezenou odpovědí v libovolném tvaru trojúhelníku v kruhu. Úhel mezi dvěma vektory obsahuje požadované procento okraje a řešení rovnic online často odhalí určitý společný kořen rovnice na rozdíl od počátečních podmínek. Výjimka hraje roli katalyzátoru v celém nevyhnutelném procesu hledání pozitivního řešení v oblasti definování funkce. Pokud není řečeno, že neumíte používat počítač, pak je online kalkulačka rovnic přesně pro vaše potřeby. obtížné úkoly. Stačí zadat vaše podmíněné údaje ve správném formátu a náš server vydá plnohodnotnou výslednou odpověď v nejkratším možném čase. Exponenciální funkce roste mnohem rychleji než lineárně. Svědčí o tom Talmudy literatury chytrých knihoven. Provede výpočet v v obecném smyslu jak by to udělala daná kvadratická rovnice se třemi komplexními koeficienty. Parabola v horní části poloroviny charakterizuje přímočarý rovnoběžný pohyb podél os bodu. Zde stojí za zmínku potenciální rozdíl v pracovním prostoru karoserie. Na oplátku za suboptimální výsledek naše zlomková kalkulačka právem zaujímá první místo v matematickém hodnocení přehledu funkčních programů na straně serveru. Snadné používání této služby ocení miliony uživatelů internetu. Pokud si s tím nevíte rady, rádi vám pomůžeme. Chtěli bychom také zvláště poznamenat a vyzdvihnout kubickou rovnici z řady úloh základní školy, kdy je potřeba rychle najít její kořeny a sestrojit graf funkce v rovině. Vyšší stupně reprodukce jsou jedním ze složitých matematických problémů na ústavu a na jeho studium je vyčleněn dostatečný počet hodin. Stejně jako všechny lineární rovnice ani naše nejsou výjimkou podle mnoha objektivních pravidel, nahlížejí se z různých úhlů pohledu a nastavení počátečních podmínek bude jednoduché a dostačující. Interval nárůstu se shoduje s intervalem konvexity funkce. Řešení rovnic online. Studium teorie je založeno na online rovnicích z mnoha sekcí o studiu hlavní disciplíny. V případě takového přístupu v nejistých úlohách je velmi jednoduché předložit řešení rovnic v předem určeném tvaru a nejen vyvozovat závěry, ale také předvídat výsledek takového pozitivního řešení. Učit se předmětová oblast Služba nám pomůže v nejlepších tradicích matematiky, přesně tak, jak je to na východě zvykem. V nejlepší momenty v časovém intervalu byly podobné úlohy vynásobeny společným faktorem deseti. Množství násobení více proměnných v kalkulačce rovnic se začalo násobit spíše kvalitou než kvantitativními proměnnými, jako je hmotnost nebo tělesná hmotnost. Aby nedocházelo k případům nevyváženosti materiálového systému, je pro nás zcela samozřejmé odvození trojrozměrného transformátoru na triviální konvergenci nedegenerovaných matematických matic. Dokončete úkol a vyřešte rovnici v daných souřadnicích, protože závěr je předem neznámý, stejně jako všechny proměnné zahrnuté v postprostorovém čase. Na krátkou dobu vysuňte společný činitel ze závorky a předem vydělte obě strany největším společným činitelem. Z pod výsledné zakryté podmnožiny čísel extrahujte podrobným způsobem třiatřicet bodů v řadě v krátkém období. Do té míry tím nejlepším možným způsobemŘešení rovnic online zvládne každý student Při pohledu do budoucna si řekněme jednu důležitou, ale klíčovou věc, bez které se bude v budoucnu těžko žít. V minulém století si velký vědec všiml řady vzorců v teorii matematiky. V praxi nebyl výsledkem zcela očekávaný dojem z událostí. V zásadě však právě toto řešení rovnic online pomáhá zlepšit porozumění a vnímání holistického přístupu ke studiu a praktickému upevňování teoretické látky probrané studenty. Je mnohem snazší to udělat během studia.

=

Online služba řešení rovnic vám pomůže vyřešit jakoukoli rovnici. Pomocí našich webových stránek získáte nejen odpověď na rovnici, ale také uvidíte podrobné řešení, tedy postupné zobrazení procesu získávání výsledku. Naše služba bude užitečná studentům středních škol a jejich rodičům. Studenti se budou moci připravit na testy a zkoušky, ověřit si své znalosti a rodiče budou moci sledovat řešení matematických rovnic svými dětmi. Schopnost řešit rovnice - povinný požadavek ke školákům. Služba vám pomůže vzdělávat se a zlepšovat své znalosti v oblasti matematických rovnic. S jeho pomocí můžete vyřešit libovolnou rovnici: kvadratickou, kubickou, iracionální, trigonometrické atd. Přínos služba online a je k nezaplacení, protože ke každé rovnici dostanete kromě správné odpovědi i podrobné řešení. Výhody řešení rovnic online. Jakoukoli rovnici můžete vyřešit online na našem webu zcela zdarma. Služba je zcela automatická, do počítače nemusíte nic instalovat, stačí zadat data a program vám nabídne řešení. Jakékoli chyby ve výpočtech nebo překlepy jsou vyloučeny. S námi je řešení jakékoli rovnice online velmi snadné, takže k řešení jakéhokoli druhu rovnic použijte naše stránky. Stačí pouze zadat údaje a výpočet bude dokončen během několika sekund. Program funguje samostatně, bez lidského zásahu a dostanete přesnou a podrobnou odpověď. Řešení rovnice v obecný pohled. V takové rovnici jsou proměnné koeficienty a požadované kořeny vzájemně propojeny. Nejvyšší mocnina proměnné určuje pořadí takové rovnice. Na základě toho se pro rovnice používají různé metody a věty k nalezení řešení. Řešení rovnic tohoto typu znamená nalezení potřebných kořenů v obecném tvaru. Naše služba vám umožňuje online řešit i ty nejsložitější algebraické rovnice. Můžete získat obecné řešení rovnice i konkrétní řešení pro číselné hodnoty koeficientů, které zadáte. K vyřešení algebraické rovnice na webu stačí správně vyplnit pouze dvě pole: levou a pravou stranu dané rovnice. Algebraické rovnice s proměnnými koeficienty mají nekonečný počet řešení a nastavením určitých podmínek se z množiny řešení vybírají dílčí. Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice má tvar ax^2+bx+c=0 pro a>0. Řešení kvadratických rovnic zahrnuje nalezení hodnot x, při kterých platí rovnost ax^2+bx+c=0. Chcete-li to provést, najděte diskriminační hodnotu pomocí vzorce D=b^2-4ac. Je-li diskriminant menší než nula, pak rovnice nemá reálné kořeny (kořeny jsou z oboru komplexních čísel), je-li roven nule, pak má rovnice jeden reálný kořen, a je-li diskriminant větší než nula , pak má rovnice dva reálné kořeny, které najdeme podle vzorce: D = -b+-sqrt/2a. Chcete-li vyřešit kvadratickou rovnici online, stačí zadat koeficienty rovnice (celá čísla, zlomky nebo desetinná místa). Pokud rovnice obsahuje znaménka odčítání, musíte před odpovídající členy rovnice vložit znaménko mínus. Kvadratickou rovnici můžete řešit online v závislosti na parametru, tedy proměnných v koeficientech rovnice. Naše online služba pro hledání obecných řešení si s tímto úkolem dobře poradí. Lineární rovnice. Pro řešení lineární rovnice(neboli soustav rovnic) se v praxi používají čtyři hlavní metody. Každou metodu podrobně popíšeme. Substituční metoda. Řešení rovnic pomocí substituční metody vyžaduje vyjádření jedné proměnné z hlediska ostatních. Poté se výraz dosadí do jiných rovnic soustavy. Odtud název metody řešení, tedy místo proměnné je její výraz nahrazen zbývajícími proměnnými. V praxi metoda vyžaduje složité výpočty, i když je snadno pochopitelná, takže řešení takové rovnice online pomůže ušetřit čas a usnadní výpočty. Stačí uvést počet neznámých v rovnici a vyplnit údaje z lineárních rovnic, poté služba provede výpočet. Gaussova metoda. Metoda je založena na nejjednodušších transformacích systému za účelem dosažení ekvivalentního trojúhelníkového systému. Z něj se určují neznámé jedna po druhé. V praxi je potřeba takovou rovnici řešit online s podrobným popisem, díky kterému dobře porozumíte Gaussově metodě řešení soustav lineárních rovnic. Zapište soustavu lineárních rovnic ve správném formátu a vezměte v úvahu počet neznámých, abyste soustavu přesně vyřešili. Cramerova metoda. Tato metoda řeší soustavy rovnic v případech, kdy soustava má jednoznačné řešení. Hlavním matematickým úkonem je zde výpočet maticových determinantů. Řešení rovnic pomocí Cramerovy metody se provádí online, výsledek obdržíte okamžitě s úplným a podrobným popisem. Stačí systém naplnit koeficienty a vybrat počet neznámých proměnných. Maticová metoda. Tato metoda spočívá ve sběru koeficientů neznámých v matici A, neznámých ve sloupci X a volných členů ve sloupci B. Systém lineárních rovnic je tedy redukován na maticovou rovnici ve tvaru AxX = B. Tato rovnice má jednoznačné řešení pouze tehdy, je-li determinant matice A odlišný od nuly, jinak systém nemá řešení, nebo má nekonečný počet řešení. Řešení rovnic pomocí maticové metody zahrnuje nalezení inverzní matice A.

Výrazy, rovnice a soustavy rovnic
s komplexními čísly

Dnes si v hodinách procvičíme typické operace s komplexními čísly a také si osvojíme techniku ​​řešení výrazů, rovnic a soustav rovnic, které tato čísla obsahují. Tento workshop je pokračováním lekce, a proto pokud se v tématu dobře neorientujete, přejděte prosím na výše uvedený odkaz. Pro připravenější čtenáře doporučuji, abyste se hned zahřáli:

Příklad 1

Zjednodušte výraz , Pokud . Reprezentujte výsledek v goniometrickém tvaru a vykreslete jej do komplexní roviny.

Řešení: takže musíte zlomek nahradit „strašným“ zlomkem, provést zjednodušení a převést výsledek komplexní číslo PROTI trigonometrický tvar. Plus kresba.

Jaký je nejlepší způsob, jak formalizovat rozhodnutí? Je výhodnější zabývat se „sofistikovaným“ algebraickým výrazem krok za krokem. Za prvé je pozornost méně rozptýlena a za druhé, pokud není úkol přijat, bude mnohem snazší najít chybu.

1) Nejprve zjednodušíme čitatele. Dosadíme do něj hodnotu, otevřeme závorky a upravíme účes:

...Ano, takový Quasimodo vzešel z komplexních čísel...

Připomínám, že při transformacích se používají úplně jednoduché věci - pravidlo násobení polynomů a rovnost, která se již stala banální. Hlavní je být opatrný a nenechat se zmást znameními.

2) Nyní přichází na řadu jmenovatel. Pokud , pak:

Všimněte si, v jaké neobvyklé interpretaci se používá vzorec čtvercového součtu. Případně můžete provést přeuspořádání zde podvzorec Výsledky budou přirozeně stejné.

3) A nakonec celý výraz. Pokud , pak:

Chcete-li se zlomku zbavit, vynásobte čitatel a jmenovatel sdruženým výrazem jmenovatele. Zároveň pro účely aplikace vzorce čtvercového rozdílu musí nejprve (a už je to nutnost!) dejte zápornou skutečnou část na 2. místo:

A teď hlavní pravidlo:

NESPĚCHÁME! Je lepší hrát na jistotu a udělat krok navíc.
Ve výrazech, rovnicích a soustavách s komplexními čísly, troufalé slovní výpočty napínavější než kdy jindy!

V posledním kroku došlo k dobrému snížení a to je jen skvělé znamení.

Poznámka : přísně vzato, zde došlo k dělení komplexního čísla komplexním číslem 50 (to si pamatujte). O této nuanci jsem dosud mlčel a budeme o tom mluvit o něco později.

Označme náš úspěch písmenem

Uveďme získaný výsledek v trigonometrickém tvaru. Obecně řečeno, zde se můžete obejít bez výkresu, ale protože je to vyžadováno, je poněkud racionálnější to udělat právě teď:

Vypočítejme modul komplexního čísla:

Pokud kreslíte na stupnici 1 jednotky. = 1 cm (2 buňky notebooku), pak lze získanou hodnotu snadno zkontrolovat pomocí běžného pravítka.

Pojďme najít argument. Protože se číslo nachází ve 2. souřadnicové čtvrtině, pak:

Úhel lze snadno zkontrolovat pomocí úhloměru. To je nepochybná výhoda kresby.

Tedy: – požadovaný počet v trigonometrickém tvaru.

Pojďme zkontrolovat:
, což bylo to, co bylo potřeba ověřit.

Je vhodné najít pomocí neznámých hodnot sinus a kosinus trigonometrická tabulka.

Odpovědět:

Podobný příklad pro nezávislé řešení:

Příklad 2

Zjednodušte výraz , Kde . Nakreslete výsledné číslo na komplexní rovinu a zapište ho v exponenciálním tvaru.

Pokuste se nepřeskočit tutoriály. Mohou se zdát jednoduché, ale bez tréninku je „dostat se do louže“ nejen snadné, ale velmi snadné. Proto to „dostaneme do rukou“.

Problém má často více než jedno řešení:

Příklad 3

Spočítejte, pokud,

Řešení: v první řadě si dejte pozor na původní podmínku - jedno číslo je uvedeno v algebraickém a druhé v goniometrickém tvaru a dokonce i se stupni. Okamžitě to přepišme do známější podoby: .

Jakou formou by měly být výpočty provedeny? Výraz samozřejmě zahrnuje první násobení a další zvýšení na 10. mocninu Moivreův vzorec, který je formulován pro trigonometrický tvar komplexního čísla. Zdá se tedy logičtější převést první číslo. Pojďme najít jeho modul a argument:

Používáme pravidlo pro násobení komplexních čísel v goniometrickém tvaru:
pokud, tak

Když zlomek uděláme správně, dojdeme k závěru, že můžeme „otočit“ 4 otáčky ( rád.):

Druhé řešení je převést 2. číslo do algebraického tvaru , proveďte násobení v algebraickém tvaru, převeďte výsledek do goniometrického tvaru a použijte Moivreův vzorec.

Jak vidíte, existuje jedna akce „navíc“. Ti, kteří si přejí, mohou rozhodnutí dokončit a ujistit se, že výsledky jsou stejné.

Podmínka neříká nic o tvaru konečného komplexního čísla, takže:

Odpovědět:

Ale „pro krásu“ nebo na vyžádání, výsledek není těžké si představit v algebraické podobě:

Na vlastní pěst:

Příklad 4

Zjednodušte výraz

Zde si musíme pamatovat akce s tituly, i když v návodu není jedno užitečné pravidlo, zde je: .

A ještě jedna důležitá poznámka: příklad lze řešit ve dvou stylech. První možností je pracovat s dvačísla a být v pořádku se zlomky. Druhou možností je reprezentovat každé číslo jako podíl dvou čísel: A zbavit se čtyřpatrové struktury. Z formálního hlediska je jedno, jak se rozhodnete, ale je tu podstatný rozdíl! Dobře si promyslete:
je komplexní číslo;
je podíl dvou komplexních čísel ( a ), ale v závislosti na kontextu můžete také říci toto: číslo reprezentované jako podíl dvou komplexních čísel.

Krátké řešení a odpověď na konci lekce.

Výrazy jsou dobré, ale rovnice jsou lepší:

Rovnice s komplexními koeficienty

Jak se liší od „běžných“ rovnic? šance =)

Ve světle výše uvedeného komentáře začněme tímto příkladem:

Příklad 5

Vyřešte rovnici

A bezprostřední preambule „v patách“: zpočátku pravá část rovnice je umístěna jako podíl dvou komplexních čísel (a 13), a proto by bylo špatné přepisovat podmínku číslem (ačkoli to nezpůsobí chybu). Tento rozdíl je mimochodem jasněji viditelný ve zlomku - pokud, relativně vzato, pak je tato hodnota primárně chápána jako "plný" komplexní kořen rovnice, a ne jako dělitel čísla a zvláště ne jako část čísla!

Řešení, v zásadě lze také uspořádat krok za krokem, ale v v tomto případě hra nestojí za svíčku. Počátečním úkolem je zjednodušit vše, co neobsahuje neznámé „z“, čímž se rovnice zredukuje do tvaru:

S jistotou zjednodušujeme střední zlomek:

Výsledek přeneseme na pravou stranu a najdeme rozdíl:

Poznámka : a opět upozorňuji na smysluplný bod - zde jsme neodečítali číslo od čísla, ale přinesli zlomky do Společným jmenovatelem! Je třeba poznamenat, že již v průběhu řešení není zakázáno pracovat s čísly: , nicméně v uvažovaném příkladu je tento styl spíše škodlivý než užitečný =)

Podle pravidla proporce vyjadřujeme „zet“:

Nyní můžete znovu dělit a násobit konjugátem, ale podezřele podobná čísla v čitateli a jmenovateli naznačují další krok:

Odpovědět:

Pro kontrolu dosaďte výslednou hodnotu na levou stranu původní rovnice a proveďte zjednodušení:

– získá se pravá strana původní rovnice, tedy kořen je nalezen správně.

...teď, ​​teď... najdu pro vás něco zajímavějšího... tady to máte:

Příklad 6

Vyřešte rovnici

Tato rovnice se redukuje na tvar , což znamená, že je lineární. Myslím, že nápověda je jasná – jděte do toho!

Samozřejmě... jak můžete žít bez něj:

Kvadratická rovnice s komplexními koeficienty

Na lekci Komplexní čísla pro figuríny dozvěděli jsme se, že kvadratická rovnice s reálnými koeficienty může mít konjugované komplexní kořeny, načež vyvstává logická otázka: proč vlastně samotné koeficienty nemohou být komplexní? Dovolte mi formulovat obecný případ:

Kvadratická rovnice s libovolnými komplexními koeficienty (z nichž 1 nebo 2 nebo všechny tři mohou být zejména platné) Má to dva a jen dva komplexní kořen (možná jeden nebo oba platné). Zároveň kořeny (skutečné i s nenulovou imaginární částí) může se shodovat (být násobky).

Kvadratická rovnice s komplexními koeficienty je řešena pomocí stejného schématu jako "školní" rovnice, s některými rozdíly v technice výpočtu:

Příklad 7

Najděte kořeny kvadratické rovnice

Řešení: imaginární jednotka je na prvním místě a v zásadě se jí můžete zbavit (vynásobením obou stran) k tomu však není žádná zvláštní potřeba.

Pro usnadnění zapisujeme koeficienty:

Neztraťme „mínus“ bezplatného člena! ...To nemusí být každému jasné - přepíšu rovnici do standardního tvaru :

Pojďme vypočítat diskriminant:

A zde je hlavní překážka:

Aplikace obecného vzorce pro extrakci kořene (viz poslední odstavec článku Komplexní čísla pro figuríny) komplikovaný vážnými obtížemi spojenými s radikálním argumentem komplexních čísel (podívej se sám). Existuje však i jiný, „algebraický“ způsob! Kořen budeme hledat ve tvaru:

Udělejme čtverec na obě strany:

Dvě komplexní čísla jsou si rovna, pokud se jejich skutečná a imaginární část rovnají. Dostaneme tedy následující systém:

Systém je jednodušší řešit výběrem (důkladnější způsob je vyjádřit z 2. rovnice - dosadit do 1., získat a vyřešit bikvadratickou rovnici). Za předpokladu, že autorem problému není monstrum, předkládáme hypotézu, že a jsou celá čísla. Z 1. rovnice vyplývá, že „x“ modulo více než "Y". Kromě, pozitivní produkt nám říká, že neznámé mají stejné znaménko. Na základě výše uvedeného a se zaměřením na 2. rovnici zapíšeme všechny dvojice, které se s ní shodují:

Je zřejmé, že 1. rovnici soustavy splňují poslední dvě dvojice, tedy:

Průběžná kontrola by neuškodila:

což bylo to, co bylo potřeba zkontrolovat.

Můžete si vybrat jako „pracovní“ kořen žádný význam. Je jasné, že je lepší vzít verzi bez „proti“:

Nacházíme kořeny, mimochodem nezapomínáme, že:

Odpovědět:

Zkontrolujme, zda nalezené kořeny splňují rovnici :

1) Nahradíme:

opravdová rovnost.

2) Nahradíme:

opravdová rovnost.

Řešení bylo tedy nalezeno správně.

Na základě problému, o kterém jsme právě diskutovali:

Příklad 8

Najděte kořeny rovnice

Je třeba poznamenat, že druhá odmocnina z čistě komplexníčísla lze snadno extrahovat pomocí obecného vzorce , Kde , takže v ukázce jsou uvedeny obě metody. Druhá užitečná poznámka se týká skutečnosti, že předběžná extrakce odmocniny konstanty řešení vůbec nezjednodušuje.

Nyní můžete relaxovat - v tomto příkladu vám unikne mírné zděšení :)

Příklad 9

Vyřešte rovnici a zkontrolujte

Řešení a odpovědi na konci lekce.

Poslední odstavec článku je věnován

soustava rovnic s komplexními čísly

Uvolněme se a...nenapínajme se =) Uvažujme nejjednodušší případ – soustavu dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými:

Příklad 10

Řešte soustavu rovnic. Prezentujte odpověď v algebraické a exponenciální formě, znázorněte kořeny v kresbě.

Řešení: podmínka sama o sobě naznačuje, že systém má jedinečné řešení, to znamená, že musíme najít dvě čísla, která vyhovují ke každému rovnice systému.

Systém lze skutečně řešit „dětským“ způsobem (vyjádřit jednu proměnnou pomocí druhé) , nicméně použití je mnohem pohodlnější Cramerovy vzorce. Pojďme počítat hlavní determinant systémy:

, což znamená, že systém má jedinečné řešení.

Opakuji, že je lepší nespěchat a rozepsat kroky co nejpodrobněji:

Čitatele a jmenovatele vynásobíme imaginární jednotkou a dostaneme 1. odmocninu:

Rovněž:

Získají se odpovídající pravé strany atd.

Udělejme nákres:

Představme si kořeny v exponenciální formě. Chcete-li to provést, musíte najít jejich moduly a argumenty:

1) – arkustangens „dva“ se počítá „špatně“, takže to necháme takto:

Používání rovnic je v našich životech velmi rozšířené. Používají se v mnoha výpočtech, stavbě konstrukcí a dokonce i ve sportu. Člověk používal rovnice ve starověku a od té doby se jejich používání jen zvyšuje. Pro přehlednost vyřešme následující problém:

Vypočítejte \[ (z_1\cdot z_2)^(10),\], pokud \

Nejprve si dejte pozor na to, že jedno číslo je uvedeno v algebraickém tvaru, druhé v goniometrickém tvaru. Je třeba jej zjednodušit a převést do následující podoby

\[ z_2 = \frac(1)(4) (\cos\frac(\pi)(6)+i\sin\frac(\pi)(6)).\]

Výraz \ říká, že nejprve provedeme násobení a zvýšení na 10. mocninu pomocí Moivreho vzorce. Tento vzorec je formulován pro trigonometrický tvar komplexního čísla. Dostaneme:

\[\begin(vmatrix) z_1 \end(vmatrix)=\sqrt ((-1)^2+(\sqrt 3)^2)=\sqrt 4=2\]

\[\varphi_1=\pi+\arctan\frac(\sqrt 3)(-1)=\pi\arctan\sqrt 3=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2\pi)( 3)\]

Podle pravidel pro násobení komplexních čísel v goniometrickém tvaru uděláme následující:

V našem případě:

\[(z_1+z_2)^(10)=(\frac(1)(2))^(10)\cdot(\cos (10\cdot\frac(5\pi)(6))+i\sin \cdot\frac(5\pi)(6)))=\frac(1)(2^(10))\cdot\cos \frac(25\pi)(3)+i\sin\frac(25\ pi)(3).\]

Upravením zlomku \[\frac(25)(3)=8\frac(1)(3)\] dojdeme k závěru, že můžeme „otočit“ 4 otáčky \[(8\pi rad.): \]

\[ (z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi)(3 ))\]

Odpověď: \[(z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi) (3))\]

Tato rovnice může být vyřešena jiným způsobem, který se scvrkává na převedení 2. čísla do algebraického tvaru, pak provedení násobení v algebraickém tvaru, převedení výsledku do goniometrického tvaru a použití Moivreova vzorce:

Kde mohu vyřešit systém rovnic s komplexními čísly online?

Systém rovnic můžete vyřešit na našem webu https://site. Bezplatný online řešitel vám umožní řešit online rovnice jakékoli složitosti během několika sekund. Vše, co musíte udělat, je jednoduše zadat svá data do řešitele. Na našem webu si také můžete prohlédnout video návod a naučit se rovnici řešit. A pokud máte další otázky, můžete je položit v naší skupině VKontakte http://vk.com/pocketteacher. Přidejte se k naší skupině, vždy vám rádi pomůžeme.