Aby bylo možné faktorizovat, je nutné zjednodušit výrazy. To je nezbytné, aby bylo možné jej dále snížit. Expanze polynomu má smysl, když jeho stupeň není nižší než dva. Polynom s prvním stupněm se nazývá lineární.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Článek pokryje všechny pojmy rozkladu, teoretický základ a metody faktorizace polynomu.
Teorie
Věta 1Když libovolný polynom se stupněm n, mající tvar P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0, jsou reprezentovány jako součin s konstantním faktorem s nejvyšším stupněm a n a n lineárních faktorů (x - x i), i = 1, 2, ..., n, pak P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 1) , kde x i, i = 1, 2, …, n jsou kořeny polynomu.
Věta je určena pro kořeny komplexního typu x i, i = 1, 2, …, n a pro komplexní koeficienty a k, k = 0, 1, 2, …, n. To je základ každého rozkladu.
Když koeficienty tvaru a k, k = 0, 1, 2, …, n jsou reálná čísla, pak se komplexní kořeny budou vyskytovat v konjugovaných párech. Například kořeny x 1 a x 2 související s polynomem ve tvaru P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 jsou považovány za komplexně sdružené, pak jsou ostatní kořeny reálné, z čehož získáme, že polynom nabývá tvaru P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 3) x 2 + p x + q, kde x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2).
Komentář
Kořeny polynomu se mohou opakovat. Uvažujme důkaz algebrické věty, důsledek Bezoutovy věty.
Základní věta algebry
Věta 2Každý polynom se stupněm n má alespoň jeden kořen.
Bezoutova věta
Po dělení polynomu tvaru P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 na (x - s), pak dostaneme zbytek, který se rovná polynomu v bodě s, pak dostaneme
P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) + P n (s) , kde Q n - 1 (x) je polynom se stupněm n - 1.
Důsledek Bezoutovy věty
Když kořen polynomu P n (x) považujeme za s, pak P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Qn - 1 (x) . Tento důsledek je dostatečný, když je použit k popisu řešení.
Rozložení kvadratického trinomu
Čtvercový trinom ve tvaru a x 2 + b x + c lze rozložit na lineární faktory. pak dostaneme, že a x 2 + b x + c = a (x - x 1) (x - x 2) , kde x 1 a x 2 jsou kořeny (komplexní nebo reálné).
Z toho je zřejmé, že samotná expanze se redukuje na řešení kvadratická rovnice následně.
Příklad 1
Faktor kvadratického trinomu.
Řešení
Je nutné najít kořeny rovnice 4 x 2 - 5 x + 1 = 0. Chcete-li to provést, musíte pomocí vzorce najít hodnotu diskriminantu, pak dostaneme D = (- 5) 2 - 4 · 4 · 1 = 9. Odtud to máme
x 1 = 5 - 9 2 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 4 = 1
Z toho dostaneme, že 4 x 2 - 5 x + 1 = 4 x - 1 4 x - 1.
Chcete-li provést kontrolu, musíte otevřít závorky. Pak dostaneme výraz ve tvaru:
4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 - 5 x + 1
Po kontrole dojdeme k původnímu výrazu. To znamená, že můžeme dojít k závěru, že rozklad byl proveden správně.
Příklad 2
Faktor kvadratický trinom tvaru 3 x 2 - 7 x - 11 .
Řešení
Zjistíme, že je nutné vypočítat výslednou kvadratickou rovnici tvaru 3 x 2 - 7 x - 11 = 0.
Chcete-li najít kořeny, musíte určit hodnotu diskriminantu. Chápeme to
3 x 2 - 7 x - 11 = 0 D = (- 7) 2 - 4 3 (- 11) = 181 x 1 = 7 + D 2 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 - D 2 3 = 7 - 181 6
Z toho dostaneme, že 3 x 2 - 7 x - 11 = 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6.
Příklad 3
Faktor polynomu 2 x 2 + 1.
Řešení
Nyní potřebujeme vyřešit kvadratickou rovnici 2 x 2 + 1 = 0 a najít její kořeny. Chápeme to
2 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 2 x 1 = - 1 2 = 1 2 i x 2 = - 1 2 = - 1 2 i
Tyto kořeny se nazývají komplexně konjugované, což znamená, že samotná expanze může být popsána jako 2 x 2 + 1 = 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i.
Příklad 4
Rozložte kvadratický trinom x 2 + 1 3 x + 1 .
Řešení
Nejprve je třeba vyřešit kvadratickou rovnici tvaru x 2 + 1 3 x + 1 = 0 a najít její kořeny.
x 2 + 1 3 x + 1 = 0 D = 1 3 2 - 4 1 1 = - 35 9 x 1 = - 1 3 + D 2 1 = - 1 3 + 35 3 i 2 = - 1 + 35 · i 6 = - 1 6 + 35 6 · i x 2 = - 1 3 - D 2 · 1 = - 1 3 - 35 3 · i 2 = - 1 - 35 · i 6 = - 1 6 - 35 6 · i
Po získání kořenů píšeme
x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 i x - - 1 6 - 35 6 i = = x + 1 6 - 35 6 i x + 1 6 + 35 6 i
Komentář
Pokud je diskriminační hodnota záporná, pak polynomy zůstanou polynomy druhého řádu. Z toho vyplývá, že je nebudeme rozšiřovat na lineární faktory.
Metody faktorizace polynomu stupně vyššího než dva
Při rozkladu se předpokládá univerzální metoda. Většina všech případů je založena na důsledku Bezoutovy věty. K tomu je potřeba vybrat hodnotu odmocniny x 1 a snížit její stupeň dělením polynomem 1 dělením (x - x 1). Výsledný polynom potřebuje najít kořen x 2 a proces hledání je cyklický, dokud nedosáhneme úplného rozšíření.
Pokud se kořen nenajde, použijí se jiné metody faktorizace: seskupení, další termíny. Toto téma navrhuje řešení rovnic s vyššími mocninami a celočíselnými koeficienty.
Vyjmutí společného faktoru ze závorek
Uvažujme případ, kdy je volný člen roven nule, pak tvar polynomu bude P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1x.
Je vidět, že kořen takového polynomu bude roven x 1 = 0, pak lze polynom znázornit jako výraz P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + a 1 x = = x (a n x n - 1 + a n - 1 x n - 2 + . . . + a 1)
Tato metoda je považována za vyjmutí společného faktoru ze závorek.
Příklad 5
Faktor polynomu třetího stupně 4 x 3 + 8 x 2 - x.
Řešení
Vidíme, že x 1 = 0 je kořenem daného polynomu, pak můžeme odstranit x ze závorek celého výrazu. Dostaneme:
4 x 3 + 8 x 2 - x = x (4 x 2 + 8 x - 1)
Přejdeme k hledání kořenů čtvercového trinomu 4 x 2 + 8 x - 1. Pojďme najít diskriminant a kořeny:
D = 8 2 - 4 4 (- 1) = 80 x 1 = - 8 + D 2 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - D 2 4 = - 1 - 5 2
Z toho pak plyne
4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = = 4 x x - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 x x + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2
Pro začátek vezměme v úvahu rozkladovou metodu obsahující celočíselné koeficienty tvaru P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0, kde koeficient nejvyššího stupně je 1.
Když má polynom celočíselné kořeny, pak jsou považovány za dělitele volného členu.
Příklad 6
Rozložte výraz f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18.
Řešení
Zvažme, zda existují úplné kořeny. Je nutné zapsat dělitele čísla - 18. Dostaneme, že ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18. Z toho vyplývá, že tento polynom má celočíselné kořeny. Můžete to zkontrolovat pomocí Hornerova schématu. Je to velmi pohodlné a umožňuje vám rychle získat expanzní koeficienty polynomu:
Z toho vyplývá, že x = 2 a x = - 3 jsou kořeny původního polynomu, který lze znázornit jako součin tvaru:
f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)
Přistoupíme k rozvoji kvadratického trinomu ve tvaru x 2 + 2 x + 3.
Protože diskriminant je záporný, znamená to, že neexistují žádné skutečné kořeny.
Odpovědět: f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)
Komentář
Místo Hornerova schématu je povoleno používat výběr kořenů a dělení polynomu polynomem. Přejděme k uvažování o expanzi polynomu obsahujícího celočíselné koeficienty tvaru P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , z nichž nejvyšší se rovná jedné.
Tento případ nastává pro racionální zlomky.
Příklad 7
Faktorizujte f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 .
Řešení
Je nutné nahradit proměnnou y = 2 x, měli byste přejít k polynomu s koeficienty rovnými 1 na nejvyšším stupni. Musíte začít vynásobením výrazu 4. Chápeme to
4 f (x) = 2 3 x 3 + 19 2 2 x 2 + 82 2 x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)
Když má výsledná funkce tvaru g (y) = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 celočíselné kořeny, pak je jejich umístění mezi děliteli volného členu. Záznam bude vypadat takto:
±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±10, ±12, ±15, ±20, ±30, ±60
Přejděme k výpočtu funkce g (y) v těchto bodech, abychom ve výsledku dostali nulu. Chápeme to
g (1) = 1 3 + 19 1 2 + 82 1 + 60 = 162 g (- 1) = (- 1) 3 + 19 (- 1) 2 + 82 (- 1) + 60 = - 4 g (2 ) = 2 3 + 19 2 2 + 82 2 + 60 = 308 g (- 2) = (- 2) 3 + 19 (- 2) 2 + 82 (- 2) + 60 = - 36 g (3) = 3 3 + 19 3 2 + 82 3 + 60 = 504 g (- 3) = (- 3) 3 + 19 (- 3) 2 + 82 (- 3) + 60 = - 42 g (4) = 4 3 + 19 · 4 2 + 82 · 4 + 60 = 756 g (- 4) = (- 4) 3 + 19 · (- 4) 2 + 82 · (- 4) + 60 = - 28 g (5) = 5 3 + 19 5 2 + 82 5 + 60 = 1070 g (- 5) = (- 5) 3 + 19 (- 5) 2 + 82 (- 5) + 60
Zjistíme, že y = - 5 je kořenem rovnice ve tvaru y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60, což znamená, že x = y 2 = - 5 2 je kořen původní funkce.
Příklad 8
Je nutné dělit sloupcem 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 x + 5 2.
Řešení
Pojďme si to zapsat a získat:
2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)
Kontrola dělitelů zabere hodně času, proto je výhodnější výsledný kvadratický trinom tvaru x 2 + 7 x + 3 rozložit na faktor. Přirovnáním k nule najdeme diskriminant.
x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 - 4 1 3 = 37 x 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2
Z toho vyplývá, že
2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2
Umělé techniky faktorizace polynomu
Racionální kořeny nejsou vlastní všem polynomům. Chcete-li to provést, musíte použít speciální metody k nalezení faktorů. Ale ne všechny polynomy lze rozšířit nebo reprezentovat jako součin.
Metoda seskupování
Existují případy, kdy můžete seskupit členy polynomu, abyste našli společný faktor a dali jej mimo závorky.
Příklad 9
Faktor polynomu x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2.
Řešení
Protože koeficienty jsou celá čísla, pak kořeny mohou být pravděpodobně také celá čísla. Pro kontrolu vezměte hodnoty 1, - 1, 2 a - 2, abyste mohli vypočítat hodnotu polynomu v těchto bodech. Chápeme to
1 4 + 4 1 3 - 1 2 - 8 1 - 2 = - 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 (- 1) - 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 2 3 - 2 2 - 8 2 - 2 = 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 (- 2) - 2 = - 6 ≠ 0
To ukazuje, že neexistují žádné kořeny, je nutné použít jiný způsob expanze a řešení.
Je nutné seskupit:
x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8 x) + x 2 - 2 = = x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 = = (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)
Po seskupení původního polynomu jej musíte reprezentovat jako součin dvou čtvercových trinomů. K tomu potřebujeme faktorizovat. dostaneme to
x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = - 2 ⇒ x 2 - 2 = x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 - 4 1 1 = 12 x 1 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 x 2 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 - 3 x + 2 + 3
x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 = = x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3
Komentář
Jednoduchost seskupování neznamená, že výběr výrazů je dostatečně snadný. Neexistuje žádná konkrétní metoda řešení, proto je nutné používat speciální věty a pravidla.
Příklad 10
Faktor polynomu x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 .
Řešení
Daný polynom nemá celočíselné kořeny. Termíny by měly být seskupeny. Chápeme to
x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) = (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)
Po faktorizaci to dostaneme
x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2–5 2
Použití zkrácených vzorců pro násobení a Newtonova binomu k faktoru polynomu
Ze vzhledu často není vždy jasné, jakou metodu při rozkladu použít. Po provedení transformací můžete sestavit úsečku skládající se z Pascalova trojúhelníku, jinak se nazývají Newtonův binom.
Příklad 11
Faktor polynomu x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2.
Řešení
Je nutné převést výraz do formy
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3
Posloupnost koeficientů součtu v závorkách je označena výrazem x + 1 4 .
To znamená, že máme x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3.
Po nanesení rozdílu čtverců dostaneme
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3
Zvažte výraz, který je ve druhé závorce. Je jasné, že tam nejsou žádní rytíři, takže bychom měli znovu použít vzorec rozdílu čtverců. Dostaneme vyjádření formy
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3
Příklad 12
Faktorizujte x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 .
Řešení
Začněme transformovat výraz. Chápeme to
x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 2 x 2 + 3 2 2 x + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2
Je nutné použít vzorec pro zkrácené násobení rozdílu kostek. Dostaneme:
x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 - 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3
Metoda pro nahrazení proměnné při faktorizaci polynomu
Při nahrazení proměnné se stupeň sníží a polynom se rozloží.
Příklad 13
Faktor polynomu tvaru x 6 + 5 x 3 + 6 .
Řešení
Podle podmínky je zřejmé, že je nutné provést náhradu y = x 3. Dostaneme:
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6
Kořeny výsledné kvadratické rovnice jsou tedy y = - 2 a y = - 3
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3
Je nutné použít vzorec pro zkrácené násobení součtu kostek. Dostaneme výrazy ve tvaru:
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 - 3 3 x + 9 3
To znamená, že jsme získali požadovaný rozklad.
Výše uvedené případy pomohou při zvažování a faktorizaci polynomu různými způsoby.
Pokud si všimnete chyby v textu, zvýrazněte ji a stiskněte Ctrl+Enter
Jakýkoli algebraický polynom stupně n může být reprezentován jako součin n-lineární faktory typu a konstantní číslo, což jsou koeficienty polynomu na nejvyšším stupni x, tzn.
Kde 
- jsou kořeny polynomu.
Kořenem polynomu je číslo (reálné nebo komplexní), díky kterému polynom zmizí. Kořeny polynomu mohou být buď skutečné kořeny nebo komplexně sdružené kořeny, pak může být polynom reprezentován v následující podobě:
Uvažujme metody pro rozklad polynomů stupně „n“ na součin faktorů prvního a druhého stupně.
Metoda číslo 1.Metoda neurčitých koeficientů.
Koeficienty takto transformovaného výrazu jsou určeny metodou neurčitých koeficientů. Podstatou metody je, že je předem znám typ faktorů, na které se daný polynom rozkládá. Při použití metody nejistých koeficientů platí následující tvrzení:
P.1. Dva polynomy jsou shodné, pokud jsou jejich koeficienty stejné pro stejné mocniny x.
P.2. Libovolný polynom třetího stupně se rozloží na součin lineárních a kvadratických faktorů.
P.3. Libovolný polynom čtvrtého stupně lze rozložit na součin dvou polynomů druhého stupně.
Příklad 1.1. Je nutné rozložit kubický výraz:
P.1. V souladu s přijatými tvrzeními platí shodná rovnost pro kubický výraz:
P.2. Pravá část výrazy mohou být reprezentovány jako termíny takto:
P.3. Z podmínky rovnosti koeficientů při odpovídajících mocninách kubického výrazu sestavíme soustavu rovnic.
Tento systém rovnic lze řešit výběrem koeficientů (pokud se jedná o jednoduchý akademický problém) nebo lze použít metody řešení nelineární systémy rovnic. Při řešení tohoto systému rovnic zjistíme, že nejisté koeficienty jsou určeny následovně:
Původní výraz je tedy rozložen do následujícího tvaru:
Tato metoda může být použita jak v analytických výpočtech, tak v počítačovém programování pro automatizaci procesu hledání kořene rovnice.
Metoda číslo 2.Vieta vzorce
Vietovy vzorce jsou vzorce spojující koeficienty algebraických rovnic stupně n a jeho kořeny. Tyto vzorce byly implicitně prezentovány v dílech francouzského matematika Françoise Viety (1540 - 1603). Vzhledem k tomu, že Vieth uvažoval pouze o kladných skutečných kořenech, neměl tedy možnost tyto vzorce psát v obecné explicitní podobě.
Pro každý algebraický polynom stupně n, který má n-reálné kořeny,
Platí následující vztahy, které spojují kořeny polynomu s jeho koeficienty:
Vietovy vzorce je vhodné použít ke kontrole správnosti nalezení kořenů polynomu, stejně jako k sestavení polynomu z daných kořenů.
Příklad 2.1. Uvažujme, jak souvisí kořeny polynomu s jeho koeficienty na příkladu kubické rovnice
Podle Vietových vzorců má vztah mezi kořeny polynomu a jeho koeficienty následující tvar:
Podobné vztahy lze vytvořit pro jakýkoli polynom stupně n.
Metoda č. 3. Faktorizace kvadratické rovnice s racionálními kořeny
Z posledního Vietova vzorce vyplývá, že kořeny polynomu jsou dělitelé jeho volného členu a vedoucího koeficientu. V tomto ohledu, pokud problémový příkaz specifikuje polynom stupně n s celočíselnými koeficienty
pak tento polynom má racionální kořen (neredukovatelný zlomek), kde p je dělitel volného členu a q je dělitel vedoucího koeficientu. V tomto případě může být polynom stupně n reprezentován jako (Bezoutův teorém):
Polynom, jehož stupeň je o 1 menší než stupeň počátečního polynomu, se určí dělením polynomu stupně n binomu, například pomocí Hornerova schématu nebo většiny jednoduchým způsobem- „sloupec“.
Příklad 3.1. Je nutné faktorizovat polynom
P.1. Vzhledem k tomu, že koeficient nejvyššího člen rovný jedné, pak racionální kořeny tohoto polynomu jsou dělitelé volného členu výrazu, tzn. mohou být celá čísla 
. Každé z uvedených čísel dosadíme do původního výrazu a zjistíme, že kořen prezentovaného polynomu je roven .
Rozdělme původní polynom binomem:
Použijme Hornerovo schéma
Koeficienty původního polynomu se nastaví v horním řádku, přičemž první buňka horního řádku zůstane prázdná.
V první buňce druhého řádku je zapsán nalezený kořen (v uvažovaném příkladu je zapsáno číslo „2“) a následující hodnoty v buňkách jsou vypočteny určitým způsobem a jsou to koeficienty polynomu, který získáme dělením polynomu binomem. Neznámé koeficienty se určují takto:
Hodnota z odpovídající buňky prvního řádku se přenese do druhé buňky druhého řádku (v uvažovaném příkladu je zapsáno číslo „1“).
Třetí buňka druhého řádku obsahuje hodnotu součinu první buňky a druhé buňky druhého řádku plus hodnotu ze třetí buňky prvního řádku (v uvažovaném příkladu 2 ∙1 -5 = -3 ).
Čtvrtá buňka druhého řádku obsahuje hodnotu součinu první buňky a třetí buňky druhého řádku plus hodnotu ze čtvrté buňky prvního řádku (v uvažovaném příkladu 2 ∙ (-3) + 7 = 1).
Původní polynom je tedy faktorizován:
Metoda číslo 4.Použití zkrácených vzorců pro násobení
Pro zjednodušení výpočtů se používají zkrácené násobící vzorce a také faktoringové polynomy. Zkrácené násobící vzorce umožňují zjednodušit řešení jednotlivých úloh.
Vzorce používané k faktorizaci
Faktorování polynomů je transformace identity, v jejímž důsledku se polynom transformuje na součin více faktorů - polynomů nebo monočlenů.
Existuje několik způsobů, jak faktorizovat polynomy.
Metoda 1. Vyjmutí společného činitele ze závorek.
Tato transformace je založena na distributivním zákonu násobení: ac + bc = c(a + b). Podstatou transformace je izolovat společný faktor ve dvou uvažovaných složkách a „vyjmout“ jej ze závorek.
Vynásobme polynom 28x 3 – 35x 4.
Řešení.
1. Najděte společného dělitele pro prvky 28x3 a 35x4. Pro 28 a 35 to bude 7; pro x 3 a x 4 – x 3. Jinými slovy, náš společný faktor je 7x 3.
2. Každý z prvků reprezentujeme jako součin faktorů, z nichž jeden
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x.
3. Vyjmeme společný faktor ze závorek
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x = 7x 3 (4 – 5x).
Metoda 2. Použití zkrácených vzorců pro násobení. „Mistrovstvím“ použití této metody je všimnout si jednoho ze zkrácených vzorců pro násobení ve výrazu.
Vynásobme polynom x 6 – 1.
Řešení.
1. Na tento výraz můžeme aplikovat vzorec rozdílu čtverců. K tomu si představte x 6 jako (x 3) 2 a 1 jako 1 2, tzn. 1. Výraz bude mít tvar:
(x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1).
2. Na výsledný výraz můžeme aplikovat vzorec pro součet a rozdíl kostek:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).
Tak,
x 6 – 1 = (x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).
Metoda 3. Seskupování. Seskupovací metoda spočívá ve spojení složek polynomu tak, aby s nimi bylo snadné provádět operace (sčítání, odčítání, odečítání společného činitele).
Vynásobme polynom x 3 – 3x 2 + 5x – 15.
Řešení.
1. Seskupíme komponenty takto: 1. s 2. a 3. se 4.
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15).
2. Ve výsledném výrazu vyjmeme ze závorek společné činitele: x 2 v prvním případě a 5 ve druhém.
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5 (x – 3).
3. Vyjmeme společný faktor x – 3 ze závorek a dostaneme:
x 2 (x – 3) + 5 (x – 3) = (x – 3) (x 2 + 5).
Tak,
x 3 – 3x 2 + 5x – 15 = (x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5 (x – 3) = (x – 3) ∙ (x 2 + 5 ).
Zajistíme materiál.
Faktor polynomu a 2 – 7ab + 12b 2 .
Řešení.
1. Představme monomiál 7ab jako součet 3ab + 4ab. Výraz bude mít tvar:
a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2. 
Otevřeme závorky a dostaneme:
a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2.
2. Seskupme složky polynomu takto: 1. s 2. a 3. se 4.. Dostaneme:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2).
3. Vyjmeme ze závorek běžné faktory:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) = a(a – 3b) – 4b(a – 3b).
4. Vyjmeme společný faktor (a – 3b) ze závorek:
a(a – 3b) – 4b(a – 3b) = (a – 3 b) ∙ (a – 4b).
Tak,
a 2 – 7ab + 12b 2 =
= a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2 =
= (a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) =
= a(a – 3b) – 4b(a – 3b) =
= (a – 3 b) ∙ (a – 4b).
webové stránky, při kopírování celého materiálu nebo jeho části je vyžadován odkaz na zdroj.
Rozložení polynomu. Část 1
Faktorizace je univerzální technika, která pomáhá řešit složité rovnice a nerovnice. První myšlenka, která by vás měla napadnout při řešení rovnic a nerovnic, ve kterých je na pravé straně nula, je pokusit se vynásobit levou stranu.
Uveďme si to hlavní způsoby rozkladu polynomu:
- uvedení společného faktoru ze závorek
- pomocí zkrácených vzorců pro násobení
- pomocí vzorce pro rozklad kvadratického trinomu
- seskupovací metoda
- dělení polynomu binomem
- metoda nejistých koeficientů
V tomto článku se budeme podrobně zabývat prvními třemi metodami, zbytek zvážíme v následujících článcích.
1. Vyjmutí společného činitele ze závorek.
Chcete-li vyjmout společný faktor ze závorek, musíte jej nejprve najít. Společný multiplikační faktor roven největšímu společnému děliteli všech koeficientů.
Dopisová část společný činitel se rovná součinu výrazů obsažených v každém členu s nejmenším exponentem.
Schéma pro přiřazení společného násobitele vypadá takto:
Pozornost!
Počet termínů v závorkách se rovná počtu termínů v původním výrazu. Pokud se některý z členů shoduje se společným činitelem, pak při jeho dělení společným činitelem dostaneme jedničku.
Příklad 1
Faktor polynomu:
Vyjmeme společný faktor ze závorek. Abychom to mohli udělat, nejprve jej najdeme.
1. Najděte největšího společného dělitele všech koeficientů polynomu, tzn. čísla 20, 35 a 15. Rovná se 5.
2. Zjistíme, že proměnná je obsažena ve všech členech a nejmenší z jejích exponentů je roven 2. Proměnná je obsažena ve všech členech a nejmenší z jejích exponentů je 3.
Proměnná je obsažena pouze ve druhém členu, není tedy součástí společného faktoru.
Takže celkový faktor je
3. Vyjmeme multiplikátor ze závorek pomocí výše uvedeného schématu:
Příklad 2Řešte rovnici:
Řešení. Rozložme levou stranu rovnice na faktor. Vyjmeme faktor ze závorek:
Takže dostaneme rovnici 
Srovnejme každý faktor s nulou:
Dostaneme - kořen první rovnice.
Kořeny:
Odpověď: -1, 2, 4
2. Faktorizace pomocí zkrácených násobicích vzorců.
Pokud je počet členů v polynomu, který budeme faktorizovat, menší nebo roven třem, pak se pokusíme použít zkrácené násobící vzorce.
1. Pokud je polynomrozdíl dvou termínů, pak se pokusíme uplatnit vzorec čtvercového rozdílu:
nebo vzorec rozdílu kostek:
Tady jsou písmena a označují číslo nebo algebraický výraz.
2. Je-li polynom součtem dvou členů, pak jej možná lze faktorizovat pomocí vzorce součet kostek:
3. Pokud se polynom skládá ze tří členů, pak se pokusíme aplikovat vzorec čtvercového součtu:
nebo vzorec na druhou mocninu:
Nebo se pokusíme faktorizovat podle vzorec pro rozklad kvadratického trinomu:
Zde a jsou kořeny kvadratické rovnice 
Příklad 3Zvažte výraz:
Řešení. Máme před sebou součet dvou členů. Zkusme použít vzorec pro součet kostek. Chcete-li to provést, musíte nejprve reprezentovat každý výraz jako krychli nějakého výrazu a poté použít vzorec pro součet krychlí:
Příklad 4. Zvažte výraz: 
Rozhodnutí. Zde máme rozdíl druhých mocnin dvou výrazů. První výraz: , druhý výraz:
Použijme vzorec pro rozdíl čtverců:
Otevřeme závorky a přidáme podobné výrazy, dostaneme:
Na tuto lekci připomeneme si všechny dříve prostudované metody faktorizace polynomu a zvážíme příklady jejich aplikace, kromě toho si prostudujeme novou metodu - metodu izolace úplného čtverce a naučíme se ji aplikovat při řešení různých problémů.
Předmět:Faktorování polynomů
Lekce:Faktorizace polynomů. Metoda výběru celého čtverce. Kombinace metod
Připomeňme si základní metody faktorizace polynomu, které byly studovány dříve:
Metoda vyjmutí společného faktoru ze závorek, tedy faktoru, který je přítomen ve všech termínech polynomu. Podívejme se na příklad:
Připomeňme, že jednočlen je součin mocnin a čísel. V našem příkladu mají oba termíny některé společné, identické prvky.
Vyjmeme tedy společný faktor ze závorek:
;
Připomeňme, že vynásobením odebraného faktoru závorkou můžete zkontrolovat správnost odebraného faktoru.
Metoda seskupování. Není vždy možné extrahovat společný faktor v polynomu. V tomto případě musíte její členy rozdělit do skupin tak, že v každé skupině můžete vyjmout společný faktor a pokusit se jej rozdělit tak, aby se po vyjmutí faktorů ve skupinách objevil ve skupině společný faktor. celý výraz a můžete pokračovat v rozkladu. Podívejme se na příklad:
Seskupme první termín se čtvrtým, druhý s pátým a třetí se šestým:
Vyberme společné faktory ve skupinách:
Výraz má nyní společný faktor. Pojďme to vyndat:
Aplikace zkrácených vzorců násobení. Podívejme se na příklad:
;
Napišme výraz podrobně:
Je zřejmé, že máme před sebou vzorec pro druhou mocninu rozdílu, protože je součtem druhých mocnin dvou výrazů a jejich dvojitý součin se od něj odečítá. Použijme vzorec:
Dnes se naučíme další metodu - metodu výběru úplného čtverce. Vychází ze vzorců druhé mocniny součtu a druhé mocniny rozdílu. Pojďme si je připomenout:
Vzorec pro druhou mocninu součtu (rozdílu);
Zvláštností těchto vzorců je, že obsahují druhé mocniny dvou výrazů a jejich dvojitý součin. Podívejme se na příklad:
Zapišme si výraz:
Takže první výraz je a druhý je .
K vytvoření vzorce pro druhou mocninu součtu nebo rozdílu nestačí dvojnásobek součinu výrazů. Je třeba sečíst a odečíst:
Doplňme druhou mocninu součtu:
Převedeme výsledný výraz:
Použijme vzorec pro rozdíl druhých mocnin, připomeňme si, že rozdíl druhých mocnin dvou výrazů je součin a součet jejich rozdílu:
Tato metoda tedy spočívá především v tom, že potřebujete identifikovat výrazy a a b, které jsou na druhou, to znamená určit, které výrazy jsou na druhou mocninu. v tomto příkladu. Poté musíte zkontrolovat přítomnost dvojitého součinu a pokud tam není, pak jej přidat a odečíst, to nezmění význam příkladu, ale polynom lze faktorizovat pomocí vzorců pro druhou mocninu součet nebo rozdíl a rozdíl druhých mocnin, pokud je to možné.
Přejděme k řešení příkladů.
Příklad 1 – faktorizace:
Pojďme najít výrazy, které jsou na druhou:
Pojďme si napsat, jaký by měl být jejich dvojitý součin:
Přičteme a odečteme dvojnásobek součinu:
Doplňme druhou mocninu součtu a dáme podobné:
Zapišme to pomocí vzorce rozdílu čtverců:
Příklad 2 - vyřešte rovnici:
;
Na levé straně rovnice je trojčlen. Musíte to započítat do faktorů. Použijeme vzorec pro čtvercový rozdíl:
Máme druhou mocninu prvního výrazu a dvojitý součin, druhá mocnina druhého výrazu chybí, sečteme a odečteme:
Složme celý čtverec a dáme podobné výrazy:
Použijme vzorec rozdílu čtverců:
Takže máme rovnici 
Víme, že součin je roven nule, pouze pokud je alespoň jeden z faktorů roven nule. Na základě toho vytvoříme následující rovnice:
Pojďme vyřešit první rovnici:
Pojďme vyřešit druhou rovnici:
Odpověď: nebo
;
Postupujeme podobně jako v předchozím příkladu – vybereme druhou mocninu rozdílu.