Tento článek vysvětluje jak najít nejmenšího společného jmenovatele A jak zmenšit zlomky na společného jmenovatele. Nejprve jsou uvedeny definice společného jmenovatele zlomků a nejmenšího společného jmenovatele a je ukázáno, jak najít společného jmenovatele zlomků. Níže je uvedeno pravidlo pro snížení zlomků na společného jmenovatele a jsou zvažovány příklady použití tohoto pravidla. Na závěr jsou diskutovány příklady přivedení tří nebo více zlomků ke společnému jmenovateli.
Navigace na stránce.
Co se nazývá redukce zlomků na společného jmenovatele?
Nyní můžeme říci, co to znamená zmenšit zlomky na společného jmenovatele. Redukce zlomků na společného jmenovatele- Jedná se o násobení čitatelů a jmenovatelů daných zlomků takovými dodatečnými součiniteli, že výsledkem jsou zlomky se stejnými jmenovateli.
Společný jmenovatel, definice, příklady
Nyní je čas definovat společného jmenovatele zlomků.
Jinými slovy, společný jmenovatel určité množiny obyčejné zlomky je libovolné přirozené číslo, které je dělitelné všemi jmenovateli daných zlomků.
Z uvedené definice vyplývá, že daná množina zlomků má nekonečně mnoho společných jmenovatelů, neboť společných násobků všech jmenovatelů původní množiny zlomků je nekonečně mnoho.
Určení společného jmenovatele zlomků umožňuje najít společné jmenovatele daných zlomků. Nechť jsou například dané zlomky 1/4 a 5/6 jejich jmenovateli 4 a 6. Kladné společné násobky čísel 4 a 6 jsou čísla 12, 24, 36, 48, ... Kterékoli z těchto čísel je společným jmenovatelem zlomků 1/4 a 5/6.
Pro konsolidaci materiálu zvažte řešení podle následujícího příkladu.
Příklad.
Lze zlomky 2/3, 23/6 a 7/12 zredukovat na společného jmenovatele 150?
Řešení.
Abychom odpověděli na otázku, musíme zjistit, zda číslo 150 je společným násobkem jmenovatelů 3, 6 a 12. K tomu zkontrolujme, zda je 150 dělitelné každým z těchto čísel (v případě potřeby viz pravidla a příklady dělení přirozených čísel a také pravidla a příklady dělení přirozených čísel zbytkem): 150:3=50 , 150:6=25, 150:12=12 (zbývajících 6).
Tak, 150 není rovnoměrně dělitelné 12, proto 150 není společný násobek 3, 6 a 12. Číslo 150 tedy nemůže být společným jmenovatelem původních zlomků.
Odpovědět:
Je to zakázáno.
Nejnižší společný jmenovatel, jak ho najít?
V množině čísel, která jsou společnými jmenovateli daných zlomků, je nejmenší přirozené číslo, které se nazývá nejmenší společný jmenovatel. Zformulujme definici nejmenšího společného jmenovatele těchto zlomků.
Definice.
Nejnižší společný jmenovatel je nejmenší počet ze všech společných jmenovatelů těchto zlomků.
Zbývá se vypořádat s otázkou, jak najít nejmenšího společného dělitele.
Protože je nejmenší kladný společný dělitel dané množiny čísel, LCM jmenovatelů daných zlomků představuje nejmenšího společného jmenovatele daných zlomků.
Nalezení nejnižšího společného jmenovatele zlomků tedy vede ke jmenovatelům těchto zlomků. Podívejme se na řešení příkladu.
Příklad.
Najděte nejnižšího společného jmenovatele zlomků 3/10 a 277/28.
Řešení.
Jmenovatelé těchto zlomků jsou 10 a 28. Požadovaný nejnižší společný jmenovatel se nachází jako LCM čísel 10 a 28. V našem případě je to snadné: protože 10=2·5 a 28=2·2·7, pak LCM(15, 28)=2·2·5·7=140.
Odpovědět:
140 .
Jak zredukovat zlomky na společného jmenovatele? Pravidlo, příklady, řešení
Společné zlomky obvykle vedou k nejnižšímu společnému jmenovateli. Nyní si zapíšeme pravidlo, které vysvětluje, jak zmenšit zlomky na jejich nejmenšího společného jmenovatele.
Pravidlo pro redukci zlomků na nejmenšího společného jmenovatele se skládá ze tří kroků:
- Nejprve najděte nejnižšího společného jmenovatele zlomků.
- Za druhé se pro každý zlomek vypočítá další faktor vydělením nejnižšího společného jmenovatele jmenovatelem každého zlomku.
- Za třetí, čitatel a jmenovatel každého zlomku se vynásobí jeho dalším faktorem.
Aplikujme uvedené pravidlo na řešení následujícího příkladu.
Příklad.
Zmenšete zlomky 5/14 a 7/18 na jejich nejmenšího společného jmenovatele.
Řešení.
Proveďme všechny kroky algoritmu pro redukci zlomků na nejmenšího společného jmenovatele.
Nejprve najdeme nejmenšího společného jmenovatele, který se rovná nejmenšímu společnému násobku čísel 14 a 18. Protože 14=2·7 a 18=2·3·3, pak LCM(14, 18)=2·3·3·7=126.
Nyní vypočítáme další faktory, pomocí kterých se zlomky 5/14 a 7/18 zredukují na jmenovatel 126. Pro zlomek 5/14 je doplňkový faktor 126:14=9 a pro zlomek 7/18 je doplňkový faktor 126:18=7.
Zbývá vynásobit čitatele a jmenovatele zlomků 5/14 a 7/18 dalšími faktory 9 a 7, v tomto pořadí. Máme a 
.
Snížení zlomků 5/14 a 7/18 na nejnižšího společného jmenovatele je tedy dokončeno. Výsledné frakce byly 45/126 a 49/126.
V této lekci se podíváme na redukci zlomků na společného jmenovatele a vyřešíme problémy na toto téma. Definujme pojem společného jmenovatele a doplňkového faktoru, připomeňme vzájemné prvočísla. Definujme pojem nejnižší společný jmenovatel (LCD) a vyřešme řadu problémů k jeho nalezení.
Téma: Sčítání a odčítání zlomků s různými jmenovateli
Lekce: Redukce zlomků na společného jmenovatele
Opakování. Hlavní vlastnost zlomku.
Pokud se čitatel a jmenovatel zlomku vynásobí nebo vydělí stejným přirozeným číslem, dostaneme stejný zlomek.
Například čitatel a jmenovatel zlomku lze vydělit 2. Dostaneme zlomek. Tato operace se nazývá redukce zlomků. Inverzní transformaci můžete provést i vynásobením čitatele a jmenovatele zlomku dvěma. V tomto případě říkáme, že jsme zlomek zredukovali na nového jmenovatele. Číslo 2 se nazývá dodatečný faktor.
Závěr. Zlomek lze redukovat na libovolného jmenovatele, který je násobkem jmenovatele daného zlomku. Aby se zlomek dostal na nového jmenovatele, jeho čitatel a jmenovatel se vynásobí dalším faktorem.
1. Zmenšete zlomek na jmenovatele 35.
Číslo 35 je násobkem 7, to znamená, že 35 je dělitelné 7 beze zbytku. To znamená, že tato transformace je možná. Pojďme najít další faktor. Chcete-li to provést, vydělte 35 7. Dostaneme 5. Vynásobte čitatel a jmenovatel původního zlomku 5.
2. Zmenšete zlomek na jmenovatele 18.
Pojďme najít další faktor. Chcete-li to provést, vydělte nového jmenovatele původním. Dostaneme 3. Čitatele a jmenovatele tohoto zlomku vynásobíme 3.
3. Zmenšete zlomek na jmenovatele 60.
Vydělením 60 15 získáte další faktor. Je rovna 4. Čitatele a jmenovatele vynásobte 4.
4. Zmenšete zlomek na jmenovatele 24
V jednoduchých případech se redukce na nového jmenovatele provádí mentálně. Je obvyklé pouze označovat dodatečný faktor za závorkou mírně vpravo a nad původní zlomek.
Zlomek lze zmenšit na jmenovatele 15 a zlomek lze zmenšit na jmenovatele 15. Zlomky mají také společného jmenovatele 15.
Společným jmenovatelem zlomků může být libovolný společný násobek jejich jmenovatelů. Pro zjednodušení jsou zlomky redukovány na jejich nejmenšího společného jmenovatele. Je rovna nejmenšímu společnému násobku jmenovatelů daných zlomků.
Příklad. Redukujte na nejnižšího společného jmenovatele zlomku a .
Nejprve najdeme nejmenší společný násobek jmenovatelů těchto zlomků. Toto číslo je 12. Najdeme další faktor pro první a druhý zlomek. Chcete-li to provést, vydělte 12 4 a 6. Tři je dodatečný faktor pro první zlomek a dva pro druhý. Přivedeme zlomky ke jmenovateli 12.
Zlomky jsme přivedli na společného jmenovatele, to znamená, že jsme našli stejné zlomky, které mají stejného jmenovatele.
Pravidlo. Chcete-li zlomky zmenšit na jejich nejmenšího společného jmenovatele, musíte
Nejprve najděte nejmenší společný násobek jmenovatelů těchto zlomků, bude to jejich nejmenší společný jmenovatel;
Za druhé, vydělte nejnižšího společného jmenovatele jmenovateli těchto zlomků, tj. najděte pro každý zlomek další faktor.
Za třetí, vynásobte čitatel a jmenovatel každého zlomku jeho dalším faktorem.
a) Zmenšete zlomky a na společného jmenovatele.
Nejnižší společný jmenovatel je 12. Dodatečný faktor pro první zlomek je 4, pro druhý - 3. Zlomky redukujeme na jmenovatele 24.
b) Zmenšete zlomky a na společného jmenovatele.
Nejnižší společný jmenovatel je 45. Vydělením 45 9 15 dostaneme 5, respektive 3 Zlomky zredukujeme na jmenovatele 45.
c) Zmenšete zlomky a na společného jmenovatele.
Společným jmenovatelem je 24. Další faktory jsou 2 a 3.
Někdy může být obtížné slovně najít nejmenší společný násobek jmenovatelů daných zlomků. Poté se rozkladem najde společný jmenovatel a další faktory hlavní faktory.
Zmenšete zlomky a na společného jmenovatele.
Rozložme čísla 60 a 168 na prvočinitele. Vypíšeme si rozšíření čísla 60 a doplníme chybějící faktory 2 a 7 z druhého rozšíření. Vynásobme 60 14 a dostaneme společného jmenovatele 840. Dodatečný faktor pro první zlomek je 14. Dodatečný faktor pro druhý zlomek je 5. Uveďme zlomky na společného jmenovatele 840.
Bibliografie
1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. a další Matematika 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematika 6. třída. - Gymnázium, 2006.
3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Za stránkami učebnice matematiky. - Osvícení, 1989.
4. Rurukin A.N., Čajkovskij I.V. Úkoly do kurzu matematiky pro 5.–6. ročník. - ZSh MEPhI, 2011.
5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Čajkovskij K.G. Matematika 5-6. Manuál pro žáky 6. ročníku korespondenční školy MEPhI. - ZSh MEPhI, 2011.
6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O. a další: Učebnice pro 5.–6. ročník střední škola. Knihovna učitele matematiky. - Osvícení, 1989.
Můžete si stáhnout knihy uvedené v článku 1.2. této lekce.
Domácí práce
Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. a další Matematika 6. - M.: Mnemosyne, 2012. (odkaz viz 1.2)
Domácí úkol: č. 297, č. 298, č. 300.
Další úkoly: č. 270, č. 290
Tento článek vysvětluje, jak zmenšit zlomky na společného jmenovatele a jak najít nejnižšího společného jmenovatele. Jsou uvedeny definice, je uvedeno pravidlo pro redukci zlomků na společného jmenovatele a zvažovány praktické příklady.
Co je redukce zlomku na společného jmenovatele?
Obyčejné zlomky se skládají z čitatele - horní části a jmenovatele - spodní části. Pokud mají zlomky stejného jmenovatele, říká se, že jsou redukovány na společného jmenovatele. Například zlomky 11 14, 17 14, 9 14 mají stejného jmenovatele 14. Jinými slovy, jsou redukovány na společného jmenovatele.
Pokud mají zlomky různých jmenovatelů, pak je lze vždy pomocí jednoduchých akcí přivést ke společnému jmenovateli. Chcete-li to provést, musíte čitatel a jmenovatel vynásobit určitými dalšími faktory.
Je zřejmé, že zlomky 4 5 a 3 4 nejsou redukovány na společného jmenovatele. Chcete-li to provést, musíte použít další faktory 5 a 4, abyste je dostali na jmenovatele 20. Jak přesně to udělat? Vynásobte čitatel a jmenovatel zlomku 4 5 4 a čitatel a jmenovatel zlomku 3 4 5. Namísto zlomků 4 5 a 3 4 dostaneme 16 20 a 15 20.
Redukce zlomků na společného jmenovatele
Redukce zlomků na společného jmenovatele je vynásobením čitatelů a jmenovatelů zlomků takovými faktory, aby výsledkem byly shodné zlomky se stejným jmenovatelem.
Společný jmenovatel: definice, příklady
Co je společným jmenovatelem?
Společným jmenovatelem
Společným jmenovatelem zlomku je libovolné kladné číslo, které je společným násobkem všech daných zlomků.
Jinými slovy, společným jmenovatelem určité množiny zlomků bude přirozené číslo, které je beze zbytku dělitelné všemi jmenovateli těchto zlomků.
Řádek přirozená čísla je nekonečný, a proto má podle definice každá množina obyčejných zlomků nekonečný počet společných jmenovatelů. Jinými slovy, existuje nekonečně mnoho společných násobků všech jmenovatelů původní množiny zlomků.
Společný jmenovatel pro několik zlomků lze snadno najít pomocí definice. Nechť jsou zlomky 1 6 a 3 5. Společným jmenovatelem zlomků bude libovolný kladný společný násobek čísel 6 a 5. Takové kladné společné násobky jsou čísla 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210 a tak dále.
Podívejme se na příklad.
Příklad 1. Společný jmenovatel
Lze zlomky 1 3, 21 6, 5 12 přivést na společného jmenovatele, který se rovná 150?
Chcete-li zjistit, zda tomu tak je, je třeba zkontrolovat, zda je 150 společným násobkem jmenovatelů zlomků, tedy čísel 3, 6, 12. Jinými slovy, číslo 150 musí být dělitelné 3, 6, 12 beze zbytku. Pojďme zkontrolovat:
150 ÷ 3 = 50, 150 ÷ 6 = 25, 150 ÷ 12 = 12,5
To znamená, že 150 není společným jmenovatelem těchto zlomků.
Nejnižší společný jmenovatel
Nejmenší přirozené číslo mezi mnoha společnými jmenovateli množiny zlomků se nazývá nejmenší společný jmenovatel.
Nejnižší společný jmenovatel
Nejmenší společný jmenovatel zlomku je nejmenší číslo ze všech společných jmenovatelů těchto zlomků.
Nejmenší společný dělitel dané množiny čísel je nejmenší společný násobek (LCM). LCM všech jmenovatelů zlomků je nejmenší společný jmenovatel těchto zlomků.
Jak najít nejmenšího společného jmenovatele? Jeho nalezení spočívá v nalezení nejmenšího společného násobku zlomků. Podívejme se na příklad:
Příklad 2: Najděte nejnižšího společného jmenovatele
Musíme najít nejmenšího společného jmenovatele pro zlomky 1 10 a 127 28.
Hledáme LCM čísel 10 a 28. Rozeberme je do jednoduchých faktorů a získáme:
10 = 2 5 28 = 2 2 7 N O K (15, 28) = 2 2 5 7 = 140
Jak zmenšit zlomky na nejmenšího společného jmenovatele
Existuje pravidlo, které vysvětluje, jak zmenšit zlomky na společného jmenovatele. Pravidlo se skládá ze tří bodů.
Pravidlo pro redukci zlomků na společného jmenovatele
- Najděte nejnižšího společného jmenovatele zlomků.
- Najděte další faktor pro každý zlomek. Chcete-li najít faktor, vydělte nejnižšího společného jmenovatele jmenovatelem každého zlomku.
- Vynásobte čitatele a jmenovatele nalezeným dalším faktorem.
Podívejme se na aplikaci tohoto pravidla na konkrétním příkladu.
Příklad 3: Redukce zlomků na společného jmenovatele
Existují zlomky 3 14 a 5 18. Pojďme je zredukovat na nejmenšího společného jmenovatele.
Podle pravidla nejprve najdeme LCM jmenovatelů zlomků.
14 = 2 7 18 = 2 3 3 N O K (14, 18) = 2 3 3 7 = 126
Pro každý zlomek vypočítáme další faktory. Pro 3 14 je doplňkový faktor 126 ÷ 14 = 9 a pro zlomek 5 18 je doplňkový faktor 126 ÷ 18 = 7.
Čitatele a jmenovatele zlomků vynásobíme dalšími faktory a dostaneme:
3 · 9 14 · 9 = 27 126, 5 · 7 18 · 7 = 35 126.
Snížení více zlomků na jejich nejmenšího společného jmenovatele
Podle uvažovaného pravidla lze na společného jmenovatele redukovat nejen dvojice zlomků, ale i jejich větší počet.
Uveďme další příklad.
Příklad 4: Redukce zlomků na společného jmenovatele
Zmenšete zlomky 3 2 , 5 6 , 3 8 a 17 18 na jejich nejmenšího společného jmenovatele.
Pojďme vypočítat LCM jmenovatelů. Najděte LCM tří nebo více čísel:
NOK (2, 6) = 6 NOK (6, 8) = 24 NOK (24, 18) = 72 NOK (2, 6, 8, 18) = 72
Pro 3 2 je doplňkový faktor 72 ÷ 2 = 36, pro 5 6 je doplňkový faktor 72 ÷ 6 = 12, pro 3 8 je doplňkový faktor 72 ÷ 8 = 9, konečně pro 17 18 je doplňkový faktor 72 ÷ 18 = 4.
Zlomky vynásobíme dalšími faktory a přejdeme k nejnižšímu společnému jmenovateli:
3 2 36 = 108 72 5 6 12 = 60 72 3 8 9 = 27 72 17 18 4 = 68 72
Pokud si všimnete chyby v textu, zvýrazněte ji a stiskněte Ctrl+Enter
Redukce zlomků na společného jmenovatele
Zlomky mám stejné jmenovatele. Prý mají Společným jmenovatelem 25. Zlomky mají různé jmenovatele, lze je však pomocí základní vlastnosti zlomků redukovat na společného jmenovatele. K tomu najdeme číslo, které je dělitelné 8 a 3, například 24. Zlomky přivedeme na jmenovatele 24, k tomu vynásobíme čitatele a jmenovatele zlomku dodatečný násobitel 3. Dodatečný faktor se obvykle píše vlevo nad čitatelem:
Vynásobte čitatele a jmenovatele zlomku dalším faktorem 8:
Přiveďme zlomky ke společnému jmenovateli. Nejčastěji se zlomky redukují na nejmenší společný jmenovatel, což je nejmenší společný násobek jmenovatelů daných zlomků. Protože LCM (8, 12) = 24, lze zlomky zredukovat na jmenovatele 24. Najděte další faktory zlomků: 24:8 = 3, 24:12 = 2.
Několik zlomků lze zredukovat na společného jmenovatele.
Příklad. Přiveďme zlomky ke společnému jmenovateli. Protože 25 = 5 2, 10 = 2 5, 6 = 2 3, pak LCM (25, 10, 6) = 2 3 5 2 = 150.
Pojďme najít další faktory zlomků a uvést je do jmenovatele 150:
Porovnání zlomků
Na Obr. Obrázek 4.7 ukazuje segment AB délky 1. Je rozdělen na 7 stejnými díly. Segment AC má délku a segment AD má délku.
Délka segmentu AD je větší než délka segmentu AC, tj. zlomek je větší než zlomek
Ze dvou zlomků se společným jmenovatelem je ten s větším čitatelem větší, tzn.
Například, nebo
Chcete-li porovnat libovolné dva zlomky, zredukujte je na společného jmenovatele a poté použijte pravidlo pro porovnávání zlomků se společným jmenovatelem.
Příklad. Porovnejte zlomky
Řešení. LCM (8, 14) = 56. Potom Od 21 > 20, tedy
Pokud je první zlomek menší než druhý a druhý je menší než třetí, pak je první menší než třetí.
Důkaz. Nechť jsou uvedeny tři zlomky. Přiveďme je ke společnému jmenovateli. Nechte je pak vypadat jako Protože první zlomek je menší
za druhé, pak r< s. Так как вторая дробь меньше третьей, то s < t. Из полученных неравенств для натуральных чисел следует, что r < t, тогда первая дробь меньше третьей.
Zlomek se nazývá opravit, pokud je jeho čitatel menší než jeho jmenovatel.
Zlomek se nazývá špatně, pokud je jeho čitatel větší nebo roven jmenovateli.
Například zlomky jsou vlastní a zlomky jsou nevlastní.
Správný zlomek je menší než 1 a nepravý zlomek větší nebo rovno 1.