Pojďme analyzovat dva typy řešení soustav rovnic:
1. Řešení soustavy substituční metodou.
2. Řešení soustavy sčítáním (odečítáním) soustav soustavy po členech.
Abychom vyřešili soustavu rovnic substituční metodou musíte postupovat podle jednoduchého algoritmu:
1. Expresní. Z libovolné rovnice vyjádříme jednu proměnnou.
2. Náhradník. Výslednou hodnotu dosadíme do jiné rovnice místo vyjádřené proměnné.
3. Výslednou rovnici řešte s jednou proměnnou. Najdeme řešení systému.
Vyřešit soustava metodou sčítání (odčítání) člen po členu potřebovat:
1. Vyberte proměnnou, pro kterou uděláme shodné koeficienty.
2. Sečteme nebo odečteme rovnice, výsledkem je rovnice s jednou proměnnou.
3. Vyřešte výslednou lineární rovnici. Najdeme řešení systému.
Řešením systému jsou průsečíky grafů funkcí.
Podívejme se podrobně na řešení systémů pomocí příkladů.
Příklad č. 1:
Řešíme substituční metodou
Řešení soustavy rovnic substituční metodou2x+5y=1 (1 rovnice)
x-10y=3 (2. rovnice)
1. Expresní
Je vidět, že ve druhé rovnici je proměnná x s koeficientem 1, což znamená, že je nejjednodušší vyjádřit proměnnou x z druhé rovnice.
x = 3 + 10 let
2.Poté, co jsme ji vyjádřili, dosadíme do první rovnice místo proměnné x 3+10y.
2(3+10y)+5y=1
3. Výslednou rovnici řešte s jednou proměnnou.
2(3+10y)+5y=1 (otevřete závorky)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2
Řešením soustavy rovnic jsou průsečíky grafů, proto potřebujeme najít x a y, protože průsečík se skládá z x a y, do prvního bodu, kde jsme to vyjádřili, dosadíme y.
x = 3 + 10 let
x=3+10*(-0,2)=1
Bývá zvykem psát body na prvním místě zapíšeme proměnnou x a na druhém místě proměnnou y.
Odpověď: (1; -0,2)
Příklad č. 2:
Řešíme metodou sčítání (odčítání) po členu.
Řešení soustavy rovnic sčítací metodou3x-2y=1 (1 rovnice)
2x-3y=-10 (2. rovnice)
1. Vybereme proměnnou, řekněme, že zvolíme x. V první rovnici má proměnná x koeficient 3, ve druhé - 2. Potřebujeme, aby koeficienty byly stejné, k tomu máme právo rovnice násobit nebo dělit libovolným číslem. Vynásobíme první rovnici 2 a druhou 3 a dostaneme celkový koeficient 6.
3x-2y=1 |*2
6x-4y=2
2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30
2. Odečtěte druhou od první rovnice, abyste se zbavili proměnné x. Řešte lineární rovnici.
__6x-4y=2
5y=32 | :5
y=6,4
3. Najděte x. Nalezené y dosadíme do kterékoli z rovnic, řekněme do rovnice první.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x = 1 + 12,8
3x=13,8 |:3
x = 4,6
Průsečík bude x=4,6; y=6,4
Odpověď: (4.6; 6.4)
Chcete se připravit na zkoušky zdarma? Tutor online zdarma. Bez legrace.
Rovnice
Jak řešit rovnice?
V této části si připomeneme (nebo prostudujeme, podle toho, koho zvolíte) nejelementárnější rovnice. Jaká je tedy rovnice? V lidské řeči je to nějaký druh matematického vyjádření, kde je rovnítko a neznámo. Což se obvykle označuje písmenem "X". Vyřešte rovnici- to je najít takové hodnoty x, které při dosazení do originál výraz nám dá správnou identitu. Připomínám, že identita je výraz, který je nepochybný i pro člověka absolutně nezatíženého matematickými znalostmi. Jako 2=2, 0=0, ab=ab atd. Jak tedy řešit rovnice? Pojďme na to přijít.
Existují různé druhy rovnic (překvapuje mě, že?). Ale celou jejich nekonečnou rozmanitost lze rozdělit pouze do čtyř typů.
4. Jiný.)
Vše ostatní, samozřejmě, nejvíc ano...) Patří sem kubické, exponenciální, logaritmické, trigonometrické a všelijaké další. Budeme s nimi úzce spolupracovat v příslušných sekcích.
Hned řeknu, že někdy rovnice prvního tři typy budou vás podvádět natolik, že je ani nepoznáte... Nic. Naučíme se, jak je odreagovat.
A proč potřebujeme tyto čtyři typy? A pak co lineární rovnice vyřešen jedním způsobem náměstí ostatní, zlomkové racionality - třetí, A odpočinek Vůbec se neodvažují! No, nejde o to, že by se vůbec nemohli rozhodnout, jde o to, že jsem se mýlil v matematice.) Jde jen o to, že mají své speciální techniky a metody.
Ale pro jakýkoli (opakuji - pro žádný!) rovnic je spolehlivým a bezpečným základem pro řešení. Funguje všude a vždy. Tento základ - Zní to děsivě, ale je to velmi jednoduché. A velmi (Velmi!) Důležité.
Ve skutečnosti se řešení rovnice skládá právě z těchto transformací. 99 % Odpověď na otázku: " Jak řešit rovnice?“ spočívá právě v těchto transformacích. Je náznak jasný?)
Identické transformace rovnic.
V jakékoli rovnice Chcete-li najít neznámé, musíte původní příklad transformovat a zjednodušit. A tak při změně vzhled podstata rovnice se nezměnila. Takové transformace se nazývají identické nebo ekvivalent.
Všimněte si, že tyto transformace platí konkrétně k rovnicím. I v matematice dochází k proměnám identity výrazy. To je další téma.
Nyní zopakujeme vše, vše, vše základní identické transformace rovnic.
Základní, protože na ně lze aplikovat žádný rovnice - lineární, kvadratické, zlomkové, trigonometrické, exponenciální, logaritmické atd. a tak dále.
První transformace identity: můžete přidat (odečíst) k oběma stranám libovolné rovnice žádný(ale jedno a totéž!) číslo nebo výraz (včetně výrazu s neznámou!). To nic nemění na podstatě rovnice.
Mimochodem, tuto transformaci jste neustále používali, jen jste si mysleli, že přenášíte některé členy z jedné části rovnice do druhé se změnou znaménka. Typ:
Případ je známý, přesuneme ty dva doprava a dostaneme:
Vlastně vy odvezen z obou stran rovnice je dvě. Výsledek je stejný:
x+2 - 2 = 3 - 2
Přesouvání pojmů doleva a doprava se změnou znaménka je jednoduše zkrácenou verzí první transformace identity. A proč potřebujeme tak hluboké znalosti? - ptáš se. V rovnicích nic. Proboha, vydržte. Jen nezapomeňte změnit značku. Ale v nerovnostech může zvyk přenášení vést do slepé uličky...
Druhá transformace identity: obě strany rovnice lze vynásobit (dělit) tímtéž nenulovéčíslo nebo výraz. Zde se již objevuje pochopitelné omezení: násobení nulou je hloupé a dělení zcela nemožné. Toto je transformace, kterou používáte, když řešíte něco skvělého, jako je
To je jasné X= 2. Jak jste to našli? Výběrem? Nebo vám to jen došlo? Abyste nevybírali a nečekali na pochopení, musíte pochopit, že jste spravedliví rozdělil obě strany rovnice o 5. Při dělení levé strany (5x) se pětka zmenšila a zůstalo čisté X. Což je přesně to, co jsme potřebovali. A když vydělíme pravou stranu (10) pěti, dostaneme, víte, dvě.
To je vše.
Je to úsměvné, ale tyto dvě (pouze dvě!) totožné transformace jsou základem řešení všechny rovnice matematiky. Páni! Má smysl podívat se na příklady co a jak, ne?)
Příklady identických transformací rovnic. Hlavní problémy.
Začněme s První transformace identity. Převod zleva doprava.
Příklad pro mladší.)
Řekněme, že potřebujeme vyřešit následující rovnici:
3-2x=5-3x
Připomeňme si kouzlo: "s X - doleva, bez X - doprava!" Toto kouzlo je instrukce pro použití první transformace identity.) Jaký výraz s X je vpravo? 3x? Odpověď je nesprávná! Po naší pravici - 3x! Mínus tři x! Při pohybu doleva se tedy znaménko změní na plus. Ukáže se:
3-2x+3x=5
Takže X byla shromážděna na hromadě. Pojďme k číslům. Vlevo je trojka. S jakým znamením? Odpověď „s žádným“ není přijata!) Před třemi se skutečně nic nekreslí. A to znamená, že před třemi tam je Plus. Matematici tedy souhlasili. Nic není napsáno, což znamená Plus. Proto v pravá strana trojka bude převedena s mínusem. Dostaneme:
-2x+3x=5-3
Zbývají jen maličkosti. Vlevo - přineste podobné, vpravo - počítejte. Odpověď přichází okamžitě:
V tomto příkladu stačila jedna transformace identity. Druhý nebyl potřeba. Dobře.)
Příklad pro starší děti.)
Pokud se vám tato stránka líbí...
Mimochodem, mám pro vás několik dalších zajímavých stránek.)
Můžete si procvičit řešení příkladů a zjistit svou úroveň. Testování s okamžitým ověřením. Pojďme se učit - se zájmem!)
Můžete se seznámit s funkcemi a derivacemi.
Online služba řešení rovnic vám pomůže vyřešit jakoukoli rovnici. Pomocí našich stránek získáte nejen odpověď na rovnici, ale také uvidíte detailní řešení, tedy zobrazení postupu při získávání výsledku krok za krokem. Naše služba bude užitečná studentům středních škol a jejich rodičům. Studenti se budou moci připravit na testy a zkoušky, ověřit si své znalosti a rodiče budou moci sledovat řešení matematických rovnic svými dětmi. Schopnost řešit rovnice - povinný požadavek ke školákům. Služba vám pomůže vzdělávat se a zlepšovat své znalosti v oblasti matematických rovnic. S jeho pomocí můžete vyřešit libovolnou rovnici: kvadratickou, kubickou, iracionální, trigonometrickou atd. Přínos služba online a je k nezaplacení, protože ke každé rovnici dostanete kromě správné odpovědi i podrobné řešení. Výhody řešení rovnic online. Jakoukoli rovnici můžete vyřešit online na našem webu zcela zdarma. Služba je zcela automatická, do počítače nemusíte nic instalovat, stačí zadat data a program vám nabídne řešení. Jakékoli chyby ve výpočtech nebo překlepy jsou vyloučeny. S námi je řešení jakékoli rovnice online velmi snadné, takže k řešení jakéhokoli druhu rovnic použijte naše stránky. Stačí pouze zadat údaje a výpočet bude dokončen během několika sekund. Program funguje samostatně, bez lidského zásahu, a dostanete přesnou a podrobnou odpověď. Řešení rovnice v obecný pohled. V takové rovnici jsou proměnné koeficienty a požadované kořeny vzájemně propojeny. Nejvyšší mocnina proměnné určuje pořadí takové rovnice. Na základě toho se pro rovnice používají různé metody a věty k nalezení řešení. Řešení rovnic tohoto typu znamená nalezení potřebných kořenů v obecném tvaru. Naše služba vám umožňuje online řešit i ty nejsložitější algebraické rovnice. Můžete získat obecné řešení rovnice i konkrétní řešení pro číselné hodnoty koeficientů, které zadáte. K vyřešení algebraické rovnice na webu stačí správně vyplnit pouze dvě pole: levou a pravou stranu dané rovnice. U algebraické rovnice s proměnnými koeficienty existuje nekonečné množství řešení a nastavením určitých podmínek se z množiny řešení vybírají soukromá. Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice má tvar ax^2+bx+c=0 pro a>0. Řešení kvadratických rovnic zahrnuje nalezení hodnot x, při kterých platí rovnost ax^2+bx+c=0. Chcete-li to provést, najděte diskriminační hodnotu pomocí vzorce D=b^2-4ac. Pokud je diskriminant méně než nula, pak rovnice nemá žádné skutečné kořeny (kořeny jsou z pole komplexní čísla), je-li rovna nule, pak má rovnice jeden reálný kořen, a je-li diskriminant větší než nula, pak má rovnice dva reálné kořeny, které najdeme podle vzorce: D= -b+-sqrt/2a. Chcete-li vyřešit kvadratickou rovnici online, stačí zadat koeficienty rovnice (celá čísla, zlomky nebo desetinná místa). Pokud rovnice obsahuje znaménka odčítání, musíte před odpovídající členy rovnice vložit znaménko mínus. Kvadratickou rovnici můžete řešit online v závislosti na parametru, tedy proměnných v koeficientech rovnice. Naše online služba pro hledání obecných řešení si s tímto úkolem dobře poradí. Lineární rovnice. K řešení lineárních rovnic (nebo soustav rovnic) se v praxi používají čtyři hlavní metody. Každou metodu podrobně popíšeme. Substituční metoda. Řešení rovnic pomocí substituční metody vyžaduje vyjádření jedné proměnné z hlediska ostatních. Poté se výraz dosadí do jiných rovnic soustavy. Odtud název metody řešení, tedy místo proměnné je její výraz nahrazen zbývajícími proměnnými. V praxi metoda vyžaduje složité výpočty, i když je snadno pochopitelná, takže řešení takové rovnice online pomůže ušetřit čas a usnadní výpočty. Stačí uvést počet neznámých v rovnici a vyplnit údaje z lineárních rovnic, poté služba provede výpočet. Gaussova metoda. Metoda je založena na nejjednodušších transformacích systému za účelem dosažení ekvivalentního trojúhelníkového systému. Z něj se určují neznámé jedna po druhé. V praxi je nutné takovou rovnici řešit online pomocí Detailní popis, díky kterému dobře porozumíte Gaussově metodě řešení soustav lineárních rovnic. Zapište soustavu lineárních rovnic ve správném formátu a vezměte v úvahu počet neznámých, abyste soustavu přesně vyřešili. Cramerova metoda. Tato metoda řeší soustavy rovnic v případech, kdy soustava má jednoznačné řešení. Hlavním matematickým úkonem je zde výpočet maticových determinantů. Řešení rovnic pomocí Cramerovy metody se provádí online, výsledek obdržíte okamžitě s úplným a podrobným popisem. Stačí systém naplnit koeficienty a vybrat počet neznámých proměnných. Maticová metoda. Tato metoda spočívá ve sběru koeficientů neznámých v matici A, neznámých ve sloupci X a volných členů ve sloupci B. Systém lineárních rovnic je tedy redukován na maticovou rovnici ve tvaru AxX = B. Tato rovnice má jednoznačné řešení pouze tehdy, je-li determinant matice A odlišný od nuly, jinak systém nemá řešení, nebo má nekonečný počet řešení. Řešení rovnic pomocí maticové metody zahrnuje nalezení inverzní matice A.
Řešení exponenciálních rovnic. Příklady.
Pozornost!
Existují další
materiály v Zvláštní sekce 555.
Pro ty, kteří jsou velmi "ne moc..."
A pro ty, kteří „moc…“)
Co se stalo exponenciální rovnice? Toto je rovnice, ve které jsou neznámé (x) a výrazy s nimi indikátory nějaké stupně. A jen tam! To je důležité.
Tady jsi příklady exponenciálních rovnic:
3 x 2 x = 8 x + 3
Poznámka! V základech stupňů (níže) - pouze čísla. V indikátory stupně (nahoře) - široká škála výrazů s X. Pokud se náhle v rovnici objeví X někde jinde než jako indikátor, například:
to bude rovnice smíšený typ. Takové rovnice nemají jasná pravidla pro jejich řešení. Zatím o nich nebudeme uvažovat. Zde se budeme zabývat řešení exponenciálních rovnic ve své nejčistší podobě.
Ve skutečnosti ani čistě exponenciální rovnice nejsou vždy vyřešeny jasně. Existují však určité typy exponenciálních rovnic, které lze a měly by být vyřešeny. Toto jsou typy, které budeme zvažovat.
Řešení jednoduchých exponenciálních rovnic.
Nejprve vyřešme něco velmi základního. Například:
I bez jakýchkoli teorií je jednoduchým výběrem jasné, že x = 2. Nic víc, že!? Žádná jiná hodnota X nefunguje. Nyní se podívejme na řešení této složité exponenciální rovnice:
Co jsme udělali? Ve skutečnosti jsme jednoduše vyhodili stejné základy (trojky). Úplně vyhozený. A dobrá zpráva je, že jsme trefili hřebíček na hlavičku!
Skutečně, pokud v exponenciální rovnici existuje levá a pravá strana stejnýčísla v libovolných mocninách, lze tato čísla odstranit a exponenty vyrovnat. Matematika umožňuje. Zbývá vyřešit mnohem jednodušší rovnici. Skvělé, že?)
Mějme však pevně na paměti: Základny můžete odstranit pouze tehdy, když jsou čísla základů vlevo a vpravo v nádherné izolaci! Bez jakýchkoli sousedů a koeficientů. Řekněme v rovnicích:
2 x +2 x+1 = 2 3, nebo
dvojky nelze odstranit!
No a to nejdůležitější jsme zvládli. Jak přejít od zlých exponenciálních výrazů k jednodušším rovnicím.
"To jsou časy!" - říkáš. "Kdo by dal tak primitivní lekci o testech a zkouškách!"
musím souhlasit. Nikdo nebude. Ale teď už víte, kam mířit při řešení záludných příkladů. Musí být uveden do formuláře, kde je vlevo i vpravo stejné základní číslo. Pak bude vše jednodušší. Ve skutečnosti je to klasika matematiky. Vezmeme původní příklad a transformujeme jej na požadovaný nás mysl. Samozřejmě podle pravidel matematiky.
Podívejme se na příklady, které vyžadují určité dodatečné úsilí k jejich redukci na nejjednodušší. Zavolejme jim jednoduchý exponenciální rovnice.
Řešení jednoduchých exponenciálních rovnic. Příklady.
Při řešení exponenciálních rovnic platí hlavní pravidla akce s tituly. Bez znalosti těchto akcí nebude nic fungovat.
K akcím s tituly je třeba přidat osobní pozorování a vynalézavost. Potřebujeme stejná základní čísla? V příkladu je tedy hledáme v explicitní nebo zašifrované podobě.
Podívejme se, jak se to dělá v praxi?
Uveďme příklad:
2 2x - 8x+1 = 0
První ostrý pohled je na důvody. Oni... Jsou jiní! Dva a osm. Ale je příliš brzy na to, nechat se odradit. Je čas si to připomenout
Dva a osm jsou příbuzní ve stupni.) Je docela možné napsat:
8 x+1 = (2 3) x+1
Pokud si vzpomeneme na vzorec z operací se stupni:
(a n) m = a nm,
tohle funguje skvěle:
8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3 (x+1)
Původní příklad začal vypadat takto:
2 2x - 2 3(x+1) = 0
Přenášíme 2 3 (x+1) doprava (nikdo nezrušil základní matematické operace!), dostaneme:
2 2x = 2 3 (x+1)
To je prakticky vše. Odstranění základny:
Vyřešíme toto monstrum a dostaneme
Toto je správná odpověď.
V tomto příkladu nám pomohla znalost sil dvou. My identifikované v osmi je zašifrovaná dvojka. Tato technika (kódování společných bází pod různá čísla) je velmi oblíbená technika v exponenciálních rovnicích! Ano, a také v logaritmech. Musíte být schopni rozpoznat mocniny jiných čísel v číslech. To je nesmírně důležité pro řešení exponenciálních rovnic.
Faktem je, že zvýšení libovolného čísla na jakoukoli mocninu není problém. Násobte, i na papíře, a je to. Každý může například zvýšit 3 na pátou mocninu. 243 vyjde, pokud znáte násobilku.) Ale v exponenciálních rovnicích mnohem častěji není nutné zvyšovat na mocninu, ale naopak... Zjistit jaké číslo do jaké míry se skrývá za číslem 243, nebo řekněme 343... Tady vám žádná kalkulačka nepomůže.
Musíš znát mocniny některých čísel zrakem, že... Pojďme cvičit?
Určete, jaké mocniny a jaká čísla jsou čísla:
2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.
Odpovědi (v nepořádku, samozřejmě!):
5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .
Když se podíváte pozorně, můžete vidět zvláštní skutečnost. Odpovědí je podstatně více než úkolů! No, to se stává... Například 2 6, 4 3, 8 2 - to je všech 64.
Předpokládejme, že jste vzali na vědomí informaci o obeznámenosti s čísly.) Dovolte mi také připomenout, že k řešení exponenciálních rovnic používáme Všechno zásoba matematických znalostí. Včetně těch z mladší a střední třídy. Nešel jsi rovnou na střední školu, že?)
Například při řešení exponenciálních rovnic často pomáhá uvedení společného činitele mimo závorky (ahoj 7. třída!). Podívejme se na příklad:
3 2x+4 -11 9 x = 210
A opět je první pohled na základy! Základy stupňů jsou různé... Tři a devět. Ale chceme, aby byly stejné. No, v tomto případě je touha zcela splněna!) Protože:
9 x = (3 2) x = 3 2x
Použití stejných pravidel pro práci s tituly:
3 2x+4 = 3 2x ·3 4
To je skvělé, můžete to napsat:
3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210
Ze stejných důvodů jsme uvedli příklad. Takže, co bude dál!? Nemůžeš vyhodit trojky... Slepá ulička?
Vůbec ne. Pamatujte na nejuniverzálnější a nejmocnější rozhodovací pravidlo každý matematické úkoly:
Pokud nevíte, co potřebujete, udělejte, co můžete!
Podívejte, všechno bude fungovat).
Co je v této exponenciální rovnici Umět dělat? Ano, na levé straně si žádá vyjmutí ze závorek! Celkový multiplikátor 3 2x tomu jasně napovídá. Zkusíme a pak uvidíme:
3 2x (3 4 - 11) = 210
3 4 - 11 = 81 - 11 = 70
Příklad je stále lepší a lepší!
Pamatujeme si, že k odstranění důvodů potřebujeme čistý stupeň, bez jakýchkoli koeficientů. Vadí nám číslo 70. Vydělíme tedy obě strany rovnice 70, dostaneme:
Jejda! Všechno se zlepšilo!
Toto je konečná odpověď.
Stává se však, že pojíždění na stejném základě je dosaženo, ale jejich eliminace není možná. To se děje v jiných typech exponenciálních rovnic. Osvojme si tento typ.
Nahrazování proměnné při řešení exponenciálních rovnic. Příklady.
Pojďme řešit rovnici:
4 x - 3 2 x +2 = 0
První - jako obvykle. Přejděme k jedné základně. Na dvojku.
4 x = (2 2) x = 2 2x
Dostaneme rovnici:
2 2x - 3 2x +2 = 0
A tady se scházíme. Předchozí techniky nebudou fungovat, bez ohledu na to, jak se na to díváte. Budeme muset z našeho arzenálu vytáhnout další mocnou a univerzální metodu. Jmenuje se to variabilní náhrada.
Podstata metody je překvapivě jednoduchá. Místo jedné složité ikony (v našem případě - 2 x) napíšeme jinou, jednodušší (například - t). Taková zdánlivě nesmyslná náhrada vede k úžasným výsledkům!) Vše se stává jasným a srozumitelným!
Tak ať
Pak 2 2x = 2 x 2 = (2 x) 2 = t 2
V naší rovnici nahradíme všechny mocniny x za t:
No, svítá vám to?) Už jste zapomněli na kvadratické rovnice? Řešením přes diskriminant dostaneme:
Tady jde hlavně o to nezastavit, jak se to stává... Tohle ještě není odpověď, potřebujeme x, ne t. Vraťme se k X, tzn. provádíme zpětnou výměnu. Nejprve pro t 1:
to znamená,
Byl nalezen jeden kořen. Hledáme druhého z t 2:
Hm... 2 x vlevo, 1 vpravo... Problém? Vůbec ne! Stačí si zapamatovat (z operací s pravomocemi ano...), že jednotka je žádnýčíslo na nulovou mocninu. Žádný. Cokoli je potřeba, nainstalujeme. Potřebujeme dvojku. Prostředek:
To je vše. Máme 2 kořeny:
Toto je odpověď.
Na řešení exponenciálních rovnic na konci někdy skončíte s nějakým trapným výrazem. Typ:
Od sedmi do dvou jednoduchý stupeň nefunguje. Nejsou příbuzní... Jak můžeme být? Někdo může být zmatený... Ale tady je člověk, který četl téma na těchto stránkách "Co je to logaritmus?", jen se střídmě usměje a pevnou rukou zapíše naprosto správnou odpověď:
V úkolech „B“ na jednotné státní zkoušce taková odpověď nemůže být. Tam je vyžadováno konkrétní číslo. Ale v úkolech „C“ je to snadné.
Tato lekce poskytuje příklady řešení nejběžnějších exponenciálních rovnic. Zdůrazněme hlavní body.
1. Nejprve se podíváme na důvody stupně. Zajímá nás, zda je možné je vyrobit identické. Zkusme to udělat aktivním používáním akce s tituly. Nezapomeňte, že čísla bez x lze také převést na mocniny!
2. Snažíme se přivést exponenciální rovnici do tvaru, kdy je nalevo a napravo stejnýčísla v jakékoli mocnině. Používáme akce s tituly A faktorizace. Co se dá spočítat na čísla, to počítáme.
3. Pokud druhý tip nefunguje, zkuste použít variabilní náhradu. Výsledkem může být rovnice, kterou lze snadno vyřešit. Nejčastěji - čtvercový. Nebo zlomkové, které se také zmenší na čtverec.
4. Pro úspěšné řešení exponenciálních rovnic je třeba znát mocniny některých čísel zrakem.
Jako obvykle jste na konci lekce vyzváni, abyste se trochu rozhodli.) Sami. Od jednoduchých po složité.
Řešte exponenciální rovnice:
Obtížnější:
2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x = 48
9 x - 8 3 x = 9
2 x - 2 0,5 x + 1 - 8 = 0
Najděte produkt kořenů:
2 3 + 2 x = 9
Stalo?
Takže nejsložitější příklad(rozhodl se však v duchu...):
7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3
Co je zajímavější? Pak je tu pro vás špatný příklad. Docela lákavé pro zvýšenou obtížnost. Dovolte mi naznačit, že v tomto příkladu vás zachrání vynalézavost a nejuniverzálnější pravidlo pro řešení všech matematických problémů.)
2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x
Jednodušší příklad pro relaxaci):
9 2 x - 4 3 x = 0
A jako dezert. Najděte součet kořenů rovnice:
x 3 x - 9 x + 7 3 x - 63 = 0
Ano ano! Toto je rovnice smíšeného typu! Což jsme v této lekci nezvažovali. Proč je zvažovat, je třeba je vyřešit!) Tato lekce k vyřešení rovnice docela stačí. No, potřebujete vynalézavost... A nechť vám pomůže sedmá třída (toto je nápověda!).
Odpovědi (neuspořádané, oddělené středníky):
1; 2; 3; 4; neexistují žádná řešení; 2; -2; -5; 4; 0.
Je vše úspěšné? Skvělý.
Vyskytl se problém? Žádný problém! V Zvláštní sekce 555 všechny tyto exponenciální rovnice jsou řešeny s podrobným vysvětlením. Co, proč a proč. A samozřejmě nechybí další cenné informace o práci s nejrůznějšími exponenciálními rovnicemi. Nejen tyto.)
Poslední zábavná otázka ke zvážení. V této lekci jsme pracovali s exponenciálními rovnicemi. Proč jsem zde neřekl ani slovo o ODZ? V rovnicích je to mimochodem velmi důležitá věc...
Pokud se vám tato stránka líbí...
Mimochodem, mám pro vás několik dalších zajímavých stránek.)
Můžete si procvičit řešení příkladů a zjistit svou úroveň. Testování s okamžitým ověřením. Pojďme se učit - se zájmem!)
Můžete se seznámit s funkcemi a derivacemi.