Sestrojování grafů funkcí obsahujících moduly působí školákům zpravidla značné potíže. Všechno však není tak špatné. Stačí si zapamatovat pár algoritmů pro řešení takových problémů a snadno sestavíte graf i té nejsložitější funkce. Pojďme zjistit, jaké druhy algoritmů to jsou.
1. Vynesení grafu funkce y = |f(x)|
Všimněte si, že množina funkčních hodnot y = |f(x)| : y ≥ 0. Grafy takových funkcí jsou tedy vždy umístěny zcela v horní polorovině.
Vynesení grafu funkce y = |f(x)| se skládá z následujících jednoduchých čtyř kroků.
1) Pečlivě a pečlivě sestrojte graf funkce y = f(x).
2) Ponechte beze změny všechny body na grafu, které jsou nad nebo na ose 0x.
3) Zobrazte část grafu, která leží pod osou 0x symetricky vzhledem k ose 0x.
Příklad 1. Nakreslete graf funkce y = |x 2 – 4x + 3|
1) Sestavíme graf funkce y = x 2 – 4x + 3. Je zřejmé, že grafem této funkce je parabola. Najděte souřadnice všech průsečíků paraboly se souřadnicovými osami a souřadnicemi vrcholu paraboly.
x 2 – 4x + 3 = 0.
x 1 = 3, x 2 = 1.
Proto parabola protíná osu 0x v bodech (3, 0) a (1, 0).
y = 0 2 – 4 0 + 3 = 3.
Proto parabola protíná osu 0y v bodě (0, 3).
Souřadnice vrcholu paraboly:
x v = -(-4/2) = 2, y v = 2 2 – 4 2 + 3 = -1.
Bod (2, -1) je tedy vrcholem této paraboly.
Nakreslete parabolu pomocí získaných dat (Obr. 1)
2) Část grafu ležící pod osou 0x je zobrazena symetricky vzhledem k ose 0x.
3) Získáme graf původní funkce ( rýže. 2, zobrazeno tečkovanou čarou).
2. Vytvoření grafu funkce y = f(|x|)
Všimněte si, že funkce ve tvaru y = f(|x|) jsou sudé:
y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). To znamená, že grafy takových funkcí jsou symetrické kolem osy 0y.
Vykreslení grafu funkce y = f(|x|) se skládá z následujícího jednoduchého řetězce akcí.
1) Nakreslete graf funkce y = f(x).
2) Ponechte tu část grafu, pro kterou x ≥ 0, tedy tu část grafu, která se nachází v pravé polorovině.
3) Zobrazte část grafu specifikovanou v bodě (2) symetricky k ose 0y.
4) Jako konečný graf vyberte sjednocení křivek získaných v bodech (2) a (3).
Příklad 2. Nakreslete graf funkce y = x 2 – 4 · |x| + 3
Protože x 2 = |x| 2, pak lze původní funkci přepsat do následujícího tvaru: y = |x| 2 – 4 |x| + 3. Nyní můžeme použít výše navržený algoritmus.
1) Pečlivě a pečlivě sestavíme graf funkce y = x 2 – 4 x + 3 (viz též rýže. 1).
2) Ponecháme tu část grafu, pro kterou x ≥ 0, tedy tu část grafu, která se nachází v pravé polorovině.
3) Displej pravá strana grafika je symetrická k ose 0y.
(obr. 3).
Příklad 3. Nakreslete graf funkce y = log 2 |x|
Aplikujeme výše uvedené schéma.
1) Nakreslete graf funkce y = log 2 x (obr. 4).
3. Vynesení funkce y = |f(|x|)|
Všimněte si, že funkce tvaru y = |f(|x|)| jsou také vyrovnané. Ve skutečnosti y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x), a proto jsou jejich grafy symetrické kolem osy 0y. Sada hodnot těchto funkcí: y ≥ 0. To znamená, že grafy takových funkcí jsou umístěny zcela v horní polorovině.
Chcete-li vykreslit funkci y = |f(|x|)|, musíte:
1) Pečlivě sestrojte graf funkce y = f(|x|).
2) Ponechte beze změny tu část grafu, která je nad nebo na ose 0x.
3) Zobrazte část grafu umístěnou pod osou 0x symetricky vzhledem k ose 0x.
4) Jako konečný graf vyberte sjednocení křivek získaných v bodech (2) a (3).
Příklad 4. Nakreslete graf funkce y = |-x 2 + 2|x| – 1|.
1) Všimněte si, že x 2 = |x| 2. To znamená, že místo původní funkce y = -x 2 + 2|x| - 1
můžete použít funkci y = -|x| 2 + 2|x| – 1, protože jejich grafy se shodují.
Sestavíme graf y = -|x| 2 + 2|x| – 1. K tomu použijeme algoritmus 2.
a) Nakreslete graf funkce y = -x 2 + 2x – 1 (obr. 6).
b) Necháme tu část grafu, která se nachází v pravé polorovině.
c) Výslednou část grafu zobrazíme symetricky k ose 0y.
d) Výsledný graf je na obrázku znázorněn tečkovanou čarou (obr. 7).
2) Nad osou 0x nejsou žádné body, body na ose 0x ponecháme beze změny.
3) Část grafu umístěná pod osou 0x je zobrazena symetricky vzhledem k 0x.
4) Výsledný graf je na obrázku znázorněn tečkovanou čarou (obr. 8).
Příklad 5. Nakreslete graf funkce y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)|
1) Nejprve musíte vykreslit funkci y = (2|x| – 4) / (|x| + 3). Abychom to udělali, vrátíme se k Algoritmu 2.
a) Pečlivě zakreslete funkci y = (2x – 4) / (x + 3) (obr. 9).
všimněte si, že tuto funkci je zlomková lineární a její graf je hyperbola. Chcete-li vykreslit křivku, musíte nejprve najít asymptoty grafu. Horizontální – y = 2/1 (poměr koeficientů x v čitateli a jmenovateli zlomku), vertikální – x = -3.
2) Část grafu, která je nad osou 0x nebo na ní, ponecháme beze změny.
3) Část grafu umístěná pod osou 0x bude zobrazena symetricky vzhledem k 0x.
4) Výsledný graf je na obrázku (obr. 11).
webové stránky, při kopírování celého materiálu nebo jeho části je vyžadován odkaz na zdroj.
Do zlatého věku informační technologie jen málo lidí si koupí milimetrový papír a stráví hodiny kreslením funkce nebo libovolného souboru dat, a proč se zatěžovat tak únavnou prací, když můžete graf funkce vykreslit online. Navíc počítání milionů hodnot výrazu pro správné zobrazení je téměř nereálné a obtížné a přes veškerou snahu bude výsledkem přerušovaná čára, nikoli křivka. Protože počítač je v tomto případě- nepostradatelný pomocník.
Co je to funkční graf
Funkce je pravidlo, podle kterého je každý prvek jedné množiny spojen s nějakým prvkem jiné množiny, například výraz y = 2x + 1 vytváří spojení mezi množinami všech hodnot x a všech hodnot. z y, jde tedy o funkci. Podle toho bude grafem funkce množina bodů, jejichž souřadnice splňují daný výraz.
Na obrázku vidíme graf funkce y = x. Toto je přímka a každý její bod má na ose své vlastní souřadnice X a na ose Y. Na základě definice, pokud dosadíme souřadnici X nějaký bod do této rovnice, pak dostaneme souřadnici tohoto bodu na ose Y.
Online služby pro vykreslování funkčních grafů
Podívejme se na několik oblíbených a nejlepších služeb, které vám umožňují rychle nakreslit graf funkce.
Otevře se seznam s nejběžnější službou, která vám umožňuje online vykreslit graf funkcí pomocí rovnice. Umath obsahuje pouze potřebné nástroje, jako je změna měřítka, pohyb po rovině souřadnic a zobrazení souřadnic bodu, na který ukazuje myš.
Instrukce:
- Zadejte rovnici do pole za znakem „=“.
- Klepněte na tlačítko "Sestavit graf".
Jak vidíte, vše je extrémně jednoduché a dostupné syntaxe pro psaní složitých matematických funkcí: s modulem, trigonometrické, exponenciální - je uvedena přímo pod grafem. V případě potřeby můžete také nastavit rovnici pomocí parametrické metody nebo sestavit grafy v polárním souřadnicovém systému.
Yotx má všechny funkce předchozí služby, ale zároveň obsahuje tak zajímavé novinky, jako je vytvoření intervalu zobrazení funkcí, možnost sestavit graf pomocí tabulkových dat a také zobrazit tabulku s celými řešeními.
Instrukce:
- Vyberte požadovaný způsob nastavení plánu.
- Zadejte rovnici.
- Nastavte interval.
- Klepněte na tlačítko "Stavět".
Pro ty, kteří jsou líní vymýšlet, jak si zapsat určité funkce, nabízí tato pozice službu s možností vybrat si ze seznamu tu, kterou potřebujete, jedním kliknutím myši.
Instrukce:
- Najděte v seznamu funkci, kterou potřebujete.
- Klikněte na něj levým tlačítkem
- V případě potřeby zadejte do pole kurzy "Funkce:".
- Klepněte na tlačítko "Stavět".
Z hlediska vizualizace je možné změnit barvu grafu, stejně jako jej skrýt nebo zcela smazat.
Desmos je zdaleka nejsofistikovanější služba pro vytváření rovnic online. Pohybem kurzoru s přidrženým levým tlačítkem myši po grafu můžete podrobně zobrazit všechna řešení rovnice s přesností 0,001. Vestavěná klávesnice umožňuje rychlé psaní mocnin a zlomků. Nejdůležitější výhodou je možnost napsat rovnici v libovolném stavu, aniž by to vedlo k tvaru: y = f(x).
Instrukce:
- V levém sloupci klikněte pravým tlačítkem na prázdný řádek.
- V levém dolním rohu klikněte na ikonu klávesnice.
- V zobrazeném panelu zadejte požadovanou rovnici (pro zápis názvů funkcí přejděte do části „A B C“).
- Harmonogram je sestavován v reálném čase.
Vizualizace je prostě perfektní, přizpůsobivá, je vidět, že na aplikaci pracovali designéři. Pozitivní je, že můžeme zaznamenat obrovské množství možností, pro jejichž zvládnutí můžete vidět příklady v nabídce v levém horním rohu.
Existuje velké množství stránek pro vytváření funkčních grafů, ale každý si může vybrat sám podle požadované funkčnosti a osobních preferencí. Žebříček toho nejlepšího byl sestaven tak, aby uspokojil požadavky každého matematika, malého i velkého. Hodně štěstí při chápání „královny věd“!
Zvolme pravoúhlý souřadnicový systém v rovině a nakreslete hodnoty argumentu na ose x X a na pořadnici - hodnoty funkce y = f(x).
Funkční graf y = f(x) je množina všech bodů, jejichž úsečky patří do oblasti definice funkce a pořadnice se rovnají odpovídajícím hodnotám funkce.
Jinými slovy, graf funkce y = f (x) je množinou všech bodů roviny, souřadnic X, na které uspokojují vztah y = f(x).
Na Obr. 45 a 46 ukazují grafy funkcí y = 2x + 1 A y = x 2 - 2x.
Přísně vzato je třeba rozlišovat mezi grafem funkce (jejíž přesná matematická definice byla uvedena výše) a nakreslenou křivkou, která vždy poskytuje pouze více či méně přesný náčrt grafu (a i tehdy zpravidla ne celý graf, ale pouze jeho část umístěná v koncových částech roviny). V následujícím však budeme obecně říkat „graf“ spíše než „náčrt grafu“.
Pomocí grafu můžete najít hodnotu funkce v bodě. Totiž pokud bod x = a patří do oboru definice funkce y = f(x) a poté vyhledejte číslo f(a)(tj. funkční hodnoty v bodě x = a), měli byste to udělat. Je to nutné přes úsečku x = a nakreslete přímku rovnoběžnou s osou pořadnic; tato čára bude protínat graf funkce y = f(x) v jednu chvíli; pořadnice tohoto bodu bude na základě definice grafu rovna f(a)(obr. 47).
Například pro funkci f(x) = x 2 - 2x pomocí grafu (obr. 46) zjistíme f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0 atd.
Funkční graf jasně ilustruje chování a vlastnosti funkce. Například z pohledu na Obr. 46 je zřejmé, že funkce y = x 2 - 2x přijímá kladné hodnoty na X< 0 a při x > 2, negativní - na 0< x < 2; наименьшее значение функция y = x 2 - 2x přijímá na x = 1.
Chcete-li zobrazit graf funkce f(x) musíte najít všechny body roviny, souřadnice X,na které splňují rovnici y = f(x). Ve většině případů to není možné, protože takových bodů je nekonečné množství. Proto je graf funkce znázorněn přibližně - s větší či menší přesností. Nejjednodušší je metoda vykreslení grafu pomocí několika bodů. Spočívá v tom, že argument X zadejte konečný počet hodnot - řekněme x 1, x 2, x 3,..., x k a vytvořte tabulku obsahující hodnoty vybraných funkcí.
Tabulka vypadá takto:
Po sestavení takové tabulky můžeme na grafu funkce načrtnout několik bodů y = f(x). Potom spojením těchto bodů hladkou čarou získáme přibližný pohled na graf funkce y = f(x).
Je však třeba poznamenat, že metoda vícebodového vykreslování je velmi nespolehlivá. Ve skutečnosti zůstává chování grafu mezi zamýšlenými body a jeho chování mimo segment mezi přijatými extrémními body neznámé.
Příklad 1. Chcete-li zobrazit graf funkce y = f(x) někdo sestavil tabulku hodnot argumentů a funkcí:
Odpovídajících pět bodů je znázorněno na Obr. 48.
Na základě umístění těchto bodů usoudil, že graf funkce je přímka (na obr. 48 je znázorněna tečkovanou čarou). Lze tento závěr považovat za spolehlivý? Pokud neexistují další úvahy na podporu tohoto závěru, lze jej stěží považovat za spolehlivý. spolehlivý.
Abychom doložili naše tvrzení, zvažte funkci
.
Výpočty ukazují, že hodnoty této funkce v bodech -2, -1, 0, 1, 2 přesně popisuje výše uvedená tabulka. Graf této funkce však vůbec není přímka (je znázorněna na obr. 49). Dalším příkladem může být funkce y = x + l + sinπx; jeho významy jsou také popsány v tabulce výše.
Tyto příklady ukazují, že ve své „čisté“ podobě je metoda vykreslení grafu pomocí několika bodů nespolehlivá. Pro vykreslení grafu dané funkce se tedy obvykle postupuje následovně. Nejprve si prostudujeme vlastnosti této funkce, s jejíž pomocí můžeme sestavit náčrt grafu. Poté výpočtem hodnot funkce v několika bodech (jejichž výběr závisí na stanovených vlastnostech funkce) se najdou odpovídající body grafu. A nakonec je vytvořenými body nakreslena křivka pomocí vlastností této funkce.
Na některé (nejjednodušší a nejčastěji používané) vlastnosti funkcí sloužících k nalezení náčrtu grafu se podíváme později, ale nyní se podíváme na některé běžně používané metody pro konstrukci grafů.
Graf funkce y = |f(x)|.
Často je nutné vykreslit funkci y = |f(x)|, kde f(x) - danou funkci. Připomeňme si, jak se to dělá. Definováním absolutní hodnoty čísla můžeme psát
To znamená, že graf funkce y =|f(x)| lze získat z grafu, funkce y = f(x) takto: všechny body na grafu funkce y = f(x), jehož ordináty jsou nezáporné, by měly zůstat nezměněny; dále místo bodů grafu funkce y = f(x) s zápornými souřadnicemi byste měli vytvořit odpovídající body na grafu funkce y = -f(x)(tj. část grafu funkce
y = f(x), která leží pod osou X, by se měl odrážet symetricky kolem osy X).
Příklad 2 Graf funkce y = |x|.
Vezměme si graf funkce y = x(obr. 50, a) a část tohoto grafu při X< 0 (ležící pod osou X) symetricky odrážené vzhledem k ose X. Výsledkem je graf funkce y = |x|(obr. 50, b).
Příklad 3. Graf funkce y = |x 2 - 2x|.
Nejprve nakreslete funkci y = x 2 - 2x. Grafem této funkce je parabola, jejíž větve směřují vzhůru, vrchol paraboly má souřadnice (1; -1), její graf protíná osu x v bodech 0 a 2. V intervalu (0; 2) funkce nabývá záporných hodnot, proto se tato část grafu odráží symetricky vzhledem k ose x. Obrázek 51 ukazuje graf funkce y = |x 2 -2x|, na základě grafu funkce y = x 2 - 2x
Graf funkce y = f(x) + g(x)
Zvažte problém vykreslení funkce y = f(x) + g(x). pokud jsou uvedeny funkční grafy y = f(x) A y = g(x).
Všimněte si, že definiční obor funkce y = |f(x) + g(x)| je množina všech hodnot x, pro které jsou definovány obě funkce y = f(x) a y = g(x), tj. tato definiční doména je průsečíkem definičních oborů, funkcí f(x) a g(x).
Nechte body (x 0, y 1) A (x 0, y 2), respektive patří mezi grafy funkcí y = f(x) A y = g(x), tj. y 1 = f(x 0), y2 = g(x 0). Potom bod (x0;. y1 + y2) patří do grafu funkce y = f(x) + g(x)(pro f(x 0) + g(x 0) = y 1 + y2),. a libovolný bod na grafu funkce y = f(x) + g(x) lze získat tímto způsobem. Proto graf funkce y = f(x) + g(x) lze získat z funkčních grafů y = f(x). A y = g(x) nahrazení každého bodu ( x n, y 1) funkční grafika y = f(x) tečka (x n, y 1 + y 2), Kde y2 = g(x n), tj. posunutím každého bodu ( x n, y 1) funkční graf y = f(x) podél osy na podle částky yi = g(x n). V tomto případě se berou v úvahu pouze takové body X n, pro které jsou definovány obě funkce y = f(x) A y = g(x).
Tento způsob vykreslení funkce y = f(x) + g(x) se nazývá sčítání funkčních grafů y = f(x) A y = g(x)
Příklad 4. Na obrázku byl sestrojen graf funkce metodou sčítání grafů
y = x + sinx.
Při vykreslování funkce y = x + sinx mysleli jsme si to f(x) = x, A g(x) = sinx. Pro vykreslení funkčního grafu vybereme body s úsečkami -1,5π, -, -0,5, 0, 0,5,, 1,5, 2. Hodnoty f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinx Počítejme ve vybraných bodech a výsledky umístíme do tabulky.
Na internetu není těžké najít kalkulačky pro vykreslení funkčního grafu, na které upozorňujeme v této recenzi.
http://www.yotx.ru/
Tato služba může sestavit:
- běžné grafy (jako y = f(x)),
- parametricky specifikované,
- bodové grafy,
- grafy funkcí v polárním souřadnicovém systému.
Tento služba online PROTI jeden krok:
- Zadejte funkci, která se má sestavit
Kromě sestavení grafu funkce obdržíte výsledek studia funkce.
Vykreslování funkčních grafů:
http://matematikam.ru/calculate-online/grafik.php
Můžete jej zadat ručně nebo pomocí virtuální klávesnice ve spodní části okna. Pro zvětšení okna s grafem můžete skrýt levý sloupec i virtuální klávesnici.
Výhody online mapování:
- Vizuální zobrazení zadaných funkcí
- Vytváření velmi složitých grafů
- Konstrukce grafů zadaných implicitně (například elipsa x^2/9+y^2/16=1)
- Možnost ukládat grafy a dostávat na ně odkaz, který bude dostupný všem na internetu
- Ovládání měřítka, barvy čáry
- Možnost vykreslování grafů po bodech, pomocí konstant
- Vykreslování několika funkčních grafů současně
- Vykreslování v polárních souřadnicích (použijte r a θ(\theta))
Služba je žádaná pro hledání průsečíků funkcí, pro zobrazení grafů pro jejich další přesun do dokumentu Wordu jako ilustrace při řešení problémů a pro analýzu behaviorálních rysů funkčních grafů. Optimálním prohlížečem pro práci s grafy na této webové stránce je Google Chrome. Při použití jiných prohlížečů není zaručena správná funkce.
http://graph.reshish.ru/
Můžeš vytvořit interaktivní funkční graf online. Díky tomu lze graf škálovat a také posouvat podél souřadnicové roviny, což vám umožní nejen získat obecnou představu o konstrukci tohoto grafu, ale také podrobněji studovat chování funkčního grafu po částech.
Chcete-li sestavit graf, vyberte funkci, kterou potřebujete (vlevo) a klikněte na ni, nebo ji zadejte sami do vstupního pole a klikněte na ‚Vytvořit‘. Argumentem je proměnná 'x'.
Chcete-li nastavit funkci n-tý kořen od 'x' použijte zápis x^(1/n) - věnujte pozornost závorkám: bez nich, podle matematické logiky, dostanete (x^1)/n.
Znaménko násobení můžete vynechat ve výrazech s čísly: 5x, 10sin(x), 3(x-1); mezi závorkami:(x-7)(4+x); a také mezi proměnnou a závorkami: x(x-3). Výrazy jako xsin(x) nebo xx způsobí chybu.
Zvažte prioritu operací a pokud si nejste jisti, která bude provedena jako první, přidejte další závorky. Například: -x^2 a (-x)^2 nejsou totéž.
Mějte na paměti, že graf nemusí být nakreslen, pokud má tendenci k nekonečnu v 'y' dostatečně rychle, kvůli neschopnosti počítače nekonečně se přibližovat k asymptotě v 'x'. To neznamená, že graf končí a nepokračuje donekonečna.
V goniometrické funkce Výchozí hodnota je míra radiánového úhlu.
http://easyto.me/services/graphic/
V následujících situacích vytvořit několik grafů v jednom souřadnicovém systému zaškrtněte políčko „Vytvořit v jednom souřadném systému“ a sestavte grafy funkcí jeden po druhém.
Služba umožňuje vytvářet grafy funkcí, které obsahují možnosti.
Pro tohle:
- Zadejte funkci s parametry a klikněte na „Vytvořit graf“
- V okně, které se zobrazí, vyberte, proti které proměnné chcete vykreslovat. Obvykle je to x.
- Změňte nastavení v nabídce Historie. Harmonogram se vám bude měnit před očima.
http://allcalc.ru/node/650
Služba umožňuje sestavit grafy funkcí v pravoúhlém souřadnicovém systému na daném rozsahu hodnot. V jedné souřadnicové rovině můžete sestavit několik grafů funkcí najednou.
Pro vykreslení grafu funkce je potřeba nastavit oblast vykreslování grafu (pro proměnnou x a funkci y) a zadat hodnotu závislosti funkce na argumentu. Je možné sestavit několik grafů současně, k tomu je třeba funkce oddělit středníkem. Grafy budou vyneseny ve stejné souřadnicové rovině a budou se lišit v barvě pro jasnost.
http://function-graph.ru/
Na vykreslit funkci online, stačí zadat svou funkci do speciálního pole a kliknout někam mimo něj. Poté se automaticky vykreslí graf zadané funkce.
Pokud potřebujete spiknout několik funkcí současně klikněte na modré tlačítko „Přidat další“. Poté se otevře další pole, do kterého budete muset zadat druhou funkci. Jeho harmonogram bude také sestaven automaticky.
Barvu čar grafu můžete upravit kliknutím na čtvereček umístěný napravo od pole pro zadání funkce. Zbývající nastavení jsou umístěna přímo nad oblastí grafu. S jejich pomocí můžete nastavit barvu pozadí, přítomnost a barvu mřížky, přítomnost a barvu os a také přítomnost a barvu číslování segmentů grafu. V případě potřeby můžete změnit měřítko funkčního grafu pomocí kolečka myši nebo speciálních ikon v pravém dolním rohu kreslicí plochy.
Po vykreslení grafu a provedení nezbytných změn v nastavení můžete stáhnout graf používáním velká zelená Tlačítka "Stáhnout" úplně dole. Budete vyzváni k uložení funkčního grafu jako obrázku PNG.