Pojďme se seznámit s racionálními a zlomkovými racionálními rovnicemi, uvést jejich definici, uvést příklady a také rozebrat nejběžnější typy problémů.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Racionální rovnice: definice a příklady

Seznámení s racionálními výrazy začíná v 8. třídě školy. V této době se studenti v hodinách algebry stále častěji začínají setkávat s úkoly s rovnicemi, které v poznámkách obsahují racionální výrazy. Osvěžme si paměť, co to je.

Definice 1

Racionální rovnice je rovnice, ve které obě strany obsahují racionální výrazy.

V různých příručkách můžete najít jinou formulaci.

Definice 2

Racionální rovnice- toto je rovnice, jejíž levá strana obsahuje racionální výraz a pravá strana obsahuje nulu.

Definice, které jsme uvedli racionální rovnice, jsou ekvivalentní, protože mluví o stejné věci. Správnost našich slov potvrzuje fakt, že pro jakékoliv racionální výrazy P A Q rovnic P = Q A P − Q = 0 budou ekvivalentní výrazy.

Nyní se podívejme na příklady.

Příklad 1

Racionální rovnice:

x = 1, 2 x - 12 x 2 y z 3 = 0, x x 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - a (x + 2), 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3.

Racionální rovnice, stejně jako rovnice jiných typů, mohou obsahovat libovolný počet proměnných od 1 do několika. Nejprve se podíváme jednoduché příklady, ve kterém budou rovnice obsahovat pouze jednu proměnnou. A pak začneme úkol postupně komplikovat.

Racionální rovnice se dělí na dvě velké skupiny: celá čísla a zlomky. Podívejme se, jaké rovnice budou platit pro každou ze skupin.

Definice 3

Racionální rovnice bude celočíselná, pokud její levá a pravá strana obsahují celé racionální výrazy.

Definice 4

Racionální rovnice bude zlomková, pokud jedna nebo obě její části obsahují zlomek.

Zlomkové racionální rovnice nutně obsahují dělení proměnnou nebo je proměnná přítomna ve jmenovateli. Při psaní celých rovnic takové dělení neexistuje.

Příklad 2

3 x + 2 = 0 A (x + y) · (3 · x 2 − 1) + x = − y + 0, 5– celé racionální rovnice. Zde jsou obě strany rovnice reprezentovány celočíselnými výrazy.

1 x - 1 = x 3 a x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x − 1): 5 jsou zlomkové racionální rovnice.

Celé racionální rovnice zahrnují lineární a kvadratické rovnice.

Řešení celých rovnic

Řešení takových rovnic obvykle vede k jejich převodu na ekvivalentní algebraické rovnice. Toho lze dosáhnout provedením ekvivalentních transformací rovnic podle následujícího algoritmu:

nejprve dostaneme nulu na pravou stranu rovnice, abychom to udělali, musíme přesunout výraz, který je na pravé straně rovnice, na její levou stranu a změnit znaménko;
poté převedeme výraz na levé straně rovnice do polynomu standardního tvaru.

Musíme se dostat algebraická rovnice. Tato rovnice bude ekvivalentní původní rovnici. Snadné případy nám umožňují redukovat celou rovnici na lineární nebo kvadratickou, abychom problém vyřešili. Obecně řešíme algebraickou rovnici stupně n.

Příklad 3

Je potřeba najít kořeny celé rovnice 3 (x + 1) (x − 3) = x (2 x − 1) − 3.

Řešení

Transformujme původní výraz, abychom získali ekvivalentní algebraickou rovnici. K tomu převedeme výraz obsažený na pravé straně rovnice na levou stranu a znaménko nahradíme opačným. V důsledku toho dostaneme: 3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = 0.

Nyní převedeme výraz, který je na levé straně, na polynom standardního tvaru a provedeme s tímto polynomem potřebné akce:

3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = (3 x + 3) (x − 3) − 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 − 9 x + 3 x − 9 − 2 x 2 + x + 3 = x 2 − 5 x − 6

Řešení původní rovnice se nám podařilo zredukovat na řešení kvadratická rovnice typ x 2 − 5 x − 6 = 0. Diskriminant této rovnice je kladný: D = (− 5) 2 − 4 · 1 · (− 6) = 25 + 24 = 49 . To znamená, že budou existovat dva skutečné kořeny. Pojďme je najít pomocí vzorce pro kořeny kvadratické rovnice:

x = - - 5 ± 49 2 1,

x 1 = 5 + 7 2 nebo x 2 = 5 - 7 2,

x 1 = 6 nebo x 2 = - 1

Zkontrolujme si správnost kořenů rovnice, které jsme našli při řešení. Za tímto účelem dosadíme čísla, která jsme dostali, do původní rovnice: 3 (6 + 1) (6 − 3) = 6 (2 6 − 1) − 3 A 3 · (− 1 + 1) · (− 1 − 3) = (− 1) · (2 · · (− 1) − 1) − 3. V prvním případě 63 = 63 , ve druhém 0 = 0 . Kořeny x = 6 A x = − 1 jsou skutečně kořeny rovnice uvedené v příkladu podmínky.

Odpovědět: 6 , − 1 .

Podívejme se, co znamená „stupeň celé rovnice“. S tímto pojmem se často setkáme v případech, kdy potřebujeme znázornit celou rovnici v algebraickém tvaru. Pojďme definovat pojem.

Definice 5

Stupeň celé rovnice je stupeň algebraické rovnice ekvivalentní původní celočíselné rovnici.

Pokud se podíváte na rovnice z výše uvedeného příkladu, můžete stanovit: stupeň celé této rovnice je druhý.

Pokud by se náš kurz omezil na řešení rovnic druhého stupně, pak by diskuse na toto téma mohla skončit. Ale není to tak jednoduché. Řešení rovnic třetího stupně je zatíženo obtížemi. A pro rovnice nad čtvrtým stupněm neexistují vůbec žádné obecné kořenové vzorce. V tomto ohledu řešení celých rovnic třetího, čtvrtého a dalších stupňů vyžaduje použití řady dalších technik a metod.

Nejčastěji používaný přístup k řešení celých racionálních rovnic je založen na faktorizační metodě. Algoritmus akcí v tomto případě je následující:

přesuneme výraz z pravé strany doleva tak, aby na pravé straně záznamu zůstala nula;
Reprezentujeme výraz na levé straně jako součin faktorů a poté přejdeme k sadě několika jednodušších rovnic.

Příklad 4

Najděte řešení rovnice (x 2 − 1) · (x 2 − 10 · x + 13) = 2 · x · (x 2 − 10 · x + 13) .

Řešení

Výraz přesuneme z pravé strany záznamu doleva s opačným znaménkem: (x 2 − 1) · (x 2 − 10 · x + 13) − 2 · x · (x 2 − 10 · x + 13) = 0. Převod levé strany na polynom standardního tvaru je nevhodný, protože dostaneme algebraickou rovnici čtvrtého stupně: x 4 − 12 x 3 + 32 x 2 − 16 x − 13 = 0. Snadný převod neospravedlňuje všechny obtíže při řešení takové rovnice.

Je mnohem snazší jít jinou cestou: vyjmeme společný faktor ze závorek x 2 − 10 x + 13 . Dostáváme se tedy k rovnici tvaru (x 2 − 10 x + 13) (x 2 − 2 x − 1) = 0. Nyní nahradíme výslednou rovnici sadou dvou kvadratických rovnic x 2 − 10 x + 13 = 0 A x 2 − 2 x − 1 = 0 a najít jejich kořeny pomocí diskriminantu: 5 + 2 3, 5 - 2 3, 1 + 2, 1 - 2.

Odpovědět: 5 + 2 3, 5 - 2 3, 1 + 2, 1 - 2.

Stejně tak můžeme použít metodu zavedení nové proměnné. Tato metoda nám umožňuje přejít na ekvivalentní rovnice se stupni nižšími, než jsou stupně v původní celočíselné rovnici.

Příklad 5

Má rovnice kořeny? (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = − 2 (x 2 + 3 x − 4)?

Řešení

Pokusíme-li se nyní zredukovat celou racionální rovnici na algebraickou, dostaneme rovnici stupně 4, která nemá žádné racionální kořeny. Proto pro nás bude jednodušší jít jinou cestou: zavést novou proměnnou y, která nahradí výraz v rovnici x 2 + 3 x.

Nyní budeme pracovat s celou rovnicí (y + 1) 2 + 10 = − 2 · (y − 4). Pojďme to přeplánovat pravá strana rovnice doleva s opačným znaménkem a proveďte potřebné transformace. Dostaneme: y2 + 4 y + 3 = 0. Pojďme najít kořeny kvadratické rovnice: y = − 1 A y = − 3.

Nyní provedeme zpětnou výměnu. Dostaneme dvě rovnice x 2 + 3 x = − 1 A x 2 + 3 · x = − 3 . Přepišme je jako x 2 + 3 x + 1 = 0 a x 2 + 3 x + 3 = 0. Použijeme vzorec pro kořeny kvadratické rovnice, abychom našli kořeny první rovnice ze získaných: - 3 ± 5 2. Diskriminant druhé rovnice je záporný. To znamená, že druhá rovnice nemá žádné skutečné kořeny.

Odpovědět:- 3 ± 5 2

Poměrně často se v úlohách objevují celé rovnice vysokých stupňů. Není třeba se jich bát. Musíte být připraveni použít nestandardní způsob jejich řešení, včetně řady umělých transformací.

Řešení zlomkových racionálních rovnic

Úvahu o tomto podtématu začneme algoritmem pro řešení zlomkově racionálních rovnic ve tvaru p (x) q (x) = 0, kde p(x) A q(x)– celé racionální výrazy. Řešení ostatních zlomkově racionálních rovnic lze vždy redukovat na řešení rovnic uvedeného typu.

Nejčastěji používaná metoda řešení rovnic p (x) q (x) = 0 je založena na následujícím tvrzení: číselný zlomek u v, Kde proti- jedná se o číslo odlišné od nuly, rovné nule pouze v případech, kdy je čitatel zlomku roven nule. Podle logiky výše uvedeného tvrzení můžeme tvrdit, že řešení rovnice p (x) q (x) = 0 lze redukovat na splnění dvou podmínek: p(x)=0 A q(x) ≠ 0. Toto je základ pro konstrukci algoritmu pro řešení zlomkových racionálních rovnic ve tvaru p (x) q (x) = 0:

najít řešení celé racionální rovnice p(x)=0;
zkontrolujeme, zda je podmínka splněna pro kořeny nalezené při řešení q(x) ≠ 0.

Pokud je tato podmínka splněna, pak nalezený kořen Pokud ne, pak kořen není řešením problému.

Příklad 6

Najděte kořeny rovnice 3 · x - 2 5 · x 2 - 2 = 0 .

Řešení

Jedná se o zlomkovou racionální rovnici tvaru p (x) q (x) = 0, ve které p (x) = 3 x − 2, q (x) = 5 x 2 − 2 = 0. Začněme řešit lineární rovnici 3 x − 2 = 0. Kořenem této rovnice bude x = 2 3.

Zkontrolujme nalezený kořen, zda splňuje podmínku 5 x 2 − 2 ≠ 0. Chcete-li to provést, dosaďte do výrazu číselnou hodnotu. Dostaneme: 5 · 2 3 2 - 2 = 5 · 4 9 - 2 = 20 9 - 2 = 2 9 ≠ 0.

Podmínka je splněna. Znamená to, že x = 2 3 je kořenem původní rovnice.

Odpovědět: 2 3 .

Existuje další možnost řešení zlomkových racionálních rovnic p (x) q (x) = 0. Připomeňme, že tato rovnice je ekvivalentní celé rovnici p(x)=0 na rozsahu přípustných hodnot proměnné x původní rovnice. To nám umožňuje použít při řešení rovnic p (x) q (x) = 0 následující algoritmus:

řešit rovnici p(x)=0;
najít rozsah přípustných hodnot proměnné x;
bereme kořeny, které leží v rozsahu přípustných hodnot proměnné x, jako požadované kořeny původní zlomkové racionální rovnice.

Příklad 7

Vyřešte rovnici x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0.

Řešení

Nejprve vyřešme kvadratickou rovnici x 2 − 2 x − 11 = 0. Pro výpočet jeho kořenů použijeme kořenový vzorec pro sudý druhý koeficient. Dostaneme D 1 = (− 1) 2 − 1 · (− 11) = 12 a x = 1 ± 23.

Nyní můžeme najít ODZ proměnné x pro původní rovnici. To jsou všechna čísla, pro která x 2 + 3 x ≠ 0. Je to stejné jako x (x + 3) ≠ 0, odkud x ≠ 0, x ≠ − 3.

Nyní zkontrolujeme, zda kořeny x = 1 ± 2 3 získané v první fázi řešení jsou v rozsahu přípustných hodnot proměnné x. Vidíme je přicházet. To znamená, že původní zlomková racionální rovnice má dva kořeny x = 1 ± 2 3.

Odpovědět: x = 1 ± 2 3

Popsaný druhý způsob řešení jednodušší než první v případech, kdy lze snadno najít rozsah přípustných hodnot proměnné x, a kořeny rovnice p(x)=0 iracionální. Například 7 ± 4 · 26 9. Kořeny mohou být racionální, ale s velkým čitatelem nebo jmenovatelem. Například, 127 1101 A − 31 59 . To šetří čas na kontrolu stavu q(x) ≠ 0: Mnohem jednodušší je vyloučit kořeny, které nejsou vhodné podle ODZ.

V případech, kdy kořeny rovnice p(x)=0 jsou celá čísla, je pro řešení rovnic ve tvaru p (x) q (x) = 0 účelnější použít první z popsaných algoritmů. Najděte kořeny celé rovnice rychleji p(x)=0 a poté zkontrolujte, zda je podmínka splněna q(x) ≠ 0 místo hledání ODZ a následného řešení rovnice p(x)=0 na této ODZ. To je způsobeno tím, že v takových případech je obvykle jednodušší zkontrolovat než najít DZ.

Příklad 8

Najděte kořeny rovnice (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 = 0.

Řešení

Začněme tím, že se podíváme na celou rovnici (2 x − 1) (x − 6) (x 2 − 5 x + 14) (x + 1) = 0 a hledání jejích kořenů. K tomu použijeme metodu řešení rovnic pomocí faktorizace. Ukazuje se, že původní rovnice je ekvivalentní soustavě čtyř rovnic 2 x − 1 = 0, x − 6 = 0, x 2 − 5 x + 14 = 0, x + 1 = 0, z nichž tři jsou lineární a jeden je kvadratický. Hledání kořenů: z první rovnice x = 12, od druhého - x = 6, ze třetího – x = 7 , x = − 2 , ze čtvrtého – x = − 1.

Zkontrolujeme získané kořeny. Určete ADL v v tomto případě Je to pro nás obtížné, protože k tomu budeme muset vyřešit algebraickou rovnici pátého stupně. Jednodušší bude kontrola podmínky, podle které by jmenovatel zlomku, který je na levé straně rovnice, neměl jít na nulu.

Střídavě dosazujeme kořeny za proměnnou x ve výrazu x 5 − 15 x 4 + 57 x 3 − 13 x 2 + 26 x + 112 a vypočítat jeho hodnotu:

1 2 5 − 15 1 2 4 + 57 1 2 3 − 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 − 15 16 + 57 8 − 13 4 + 13 + 112 = 122 ≠ 1

6 5 − 15 · 6 4 + 57 · 6 3 − 13 · 6 2 + 26 · 6 + 112 = 448 ≠ 0 ;

7 5 − 15 · 7 4 + 57 · 7 3 − 13 · 7 2 + 26 · 7 + 112 = 0 ;

(− 2) 5 − 15 · (− 2) 4 + 57 · (− 2) 3 − 13 · (− 2) 2 + 26 · (− 2) + 112 = − 720 ≠ 0 ;

(− 1) 5 − 15 · (− 1) 4 + 57 · (− 1) 3 − 13 · (− 1) 2 + 26 · (− 1) + 112 = 0 .

Provedená verifikace nám umožňuje stanovit, že kořeny původní zlomkové racionální rovnice jsou 1 2, 6 a − 2 .

Odpovědět: 1 2 , 6 , - 2

Příklad 9

Najděte kořeny zlomkové racionální rovnice 5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0.

Řešení

Začněme pracovat s rovnicí (5 x 2 − 7 x − 1) (x − 2) = 0. Pojďme najít jeho kořeny. Je pro nás jednodušší představit si tuto rovnici jako soubor kvadratických a lineárních rovnic 5 x 2 − 7 x − 1 = 0 A x − 2 = 0.

K nalezení kořenů použijeme vzorec pro kořeny kvadratické rovnice. Z první rovnice získáme dva kořeny x = 7 ± 69 10 az druhé x = 2.

Pro kontrolu podmínek bude pro nás poměrně obtížné dosadit hodnotu kořenů do původní rovnice. Jednodušší bude určení ODZ proměnné x. V tomto případě jsou ODZ proměnné x všechna čísla kromě těch, u kterých je splněna podmínka x 2 + 5 x − 14 = 0. Dostaneme: x ∈ - ∞, - 7 ∪ - 7, 2 ∪ 2, + ∞.

Nyní zkontrolujeme, zda nalezené kořeny patří do rozsahu přípustných hodnot proměnné x.

Kořeny x = 7 ± 69 10 - patří, jsou tedy kořeny původní rovnice a x = 2- nepatří, tedy je to cizí kořen.

Odpovědět: x = 7 ± 6910.

Prozkoumejme samostatně případy, kdy čitatel zlomkové racionální rovnice tvaru p (x) q (x) = 0 obsahuje číslo. V takových případech, pokud čitatel obsahuje číslo jiné než nula, pak rovnice nebude mít kořeny. Pokud je toto číslo rovno nule, pak kořenem rovnice bude libovolné číslo z ODZ.

Příklad 10

Vyřešte zlomkovou racionální rovnici - 3, 2 x 3 + 27 = 0.

Řešení

Tato rovnice nebude mít kořeny, protože čitatel zlomku na levé straně rovnice obsahuje nenulové číslo. To znamená, že při žádné hodnotě x nebude hodnota zlomku uvedená v problému rovna nule.

Odpovědět:žádné kořeny.

Příklad 11

Vyřešte rovnici 0 x 4 + 5 x 3 = 0.

Řešení

Protože čitatel zlomku obsahuje nulu, řešením rovnice bude libovolná hodnota x z ODZ proměnné x.

Nyní definujeme ODZ. Bude obsahovat všechny hodnoty x, pro které x 4 + 5 x 3 ≠ 0. Řešení rovnice x 4 + 5 x 3 = 0 jsou 0 A − 5 , protože tato rovnice je ekvivalentní rovnici x 3 (x + 5) = 0, a to je zase ekvivalentní kombinaci dvou rovnic x 3 = 0 a x + 5 = 0, kde jsou tyto kořeny viditelné. Dojdeme k závěru, že požadovaný rozsah přijatelných hodnot je libovolný x kromě x = 0 A x = − 5.

Ukazuje se, že zlomková racionální rovnice 0 x 4 + 5 x 3 = 0 má nekonečný počet řešení, což jsou jakákoli čísla jiná než nula a -5.

Odpovědět: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞

Nyní si promluvme o zlomkových racionálních rovnicích libovolného tvaru a metodách jejich řešení. Mohou být zapsány jako r(x) = s(x), Kde r(x) A s(x)– racionální výrazy a alespoň jeden z nich je zlomkový. Řešení takových rovnic se redukuje na řešení rovnic ve tvaru p (x) q (x) = 0.

Již víme, že ekvivalentní rovnici získáme přenesením výrazu z pravé strany rovnice na levou s opačným znaménkem. To znamená, že rovnice r(x) = s(x) je ekvivalentní rovnici r (x) − s (x) = 0. Také jsme již diskutovali o způsobech, jak převést racionální výraz na racionální zlomek. Díky tomu můžeme rovnici snadno transformovat r (x) − s (x) = 0 na shodný racionální zlomek tvaru p (x) q (x) .

Přejdeme tedy od původní zlomkové racionální rovnice r(x) = s(x) na rovnici tvaru p (x) q (x) = 0, kterou jsme se již naučili řešit.

Je třeba vzít v úvahu, že při provádění přechodů z r (x) − s (x) = 0 na p(x)q(x) = 0 a potom na p(x)=0 nesmíme brát v úvahu rozšíření rozsahu přípustných hodnot proměnné x.

Je docela možné, že původní rovnice r(x) = s(x) a rovnice p(x)=0 v důsledku transformací přestanou být rovnocenné. Pak řešení rovnice p(x)=0 nám může dát kořeny, které budou cizí r(x) = s(x). V tomto ohledu je v každém případě nutné provést ověření některou z výše popsaných metod.

Abychom vám usnadnili studium tématu, shrnuli jsme všechny informace do algoritmu pro řešení zlomkové racionální rovnice tvaru r(x) = s(x):

přeneseme výraz z pravé strany s opačným znaménkem a dostaneme nulu vpravo;
transformovat původní výraz na racionální zlomek p (x) q (x) , postupně provádět operace se zlomky a polynomy;
řešit rovnici p(x)=0;
Cizí kořeny identifikujeme kontrolou jejich příslušnosti k ODZ nebo dosazením do původní rovnice.

Vizuálně bude řetězec akcí vypadat takto:

r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → eliminace EXTERNÍ KOŘENY

Příklad 12

Vyřešte zlomkovou racionální rovnici x x + 1 = 1 x + 1 .

Řešení

Přejdeme k rovnici x x + 1 - 1 x + 1 = 0. Transformujme zlomkový racionální výraz na levé straně rovnice na tvar p (x) q (x) .

K tomu budeme muset zredukovat racionální zlomky na Společným jmenovatelem a zjednodušte výraz:

x x + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - x x · (x + 1) = - 2 · x - 1 x · (x + 1)

Abychom našli kořeny rovnice - 2 x - 1 x (x + 1) = 0, musíme rovnici vyřešit − 2 x − 1 = 0. Získáme jeden kořen x = -12.

Vše, co musíme udělat, je zkontrolovat pomocí kterékoli z metod. Podívejme se na oba.

Výslednou hodnotu dosadíme do původní rovnice. Dostaneme - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1. Dospěli jsme ke správné číselné rovnosti − 1 = − 1 . Znamená to, že x = − 1 2 je kořenem původní rovnice.

Nyní se podívejme na ODZ. Pojďme určit rozsah přípustných hodnot proměnné x. Bude to celá množina čísel s výjimkou − 1 a 0 (při x = − 1 a x = 0 jmenovatelé zlomků mizí). Kořen, který jsme získali x = − 1 2 patří ODZ. To znamená, že je to kořen původní rovnice.

Odpovědět: − 1 2 .

Příklad 13

Najděte kořeny rovnice x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 · x.

Řešení

Máme co do činění se zlomkovou racionální rovnicí. Proto budeme jednat podle algoritmu.

Přesuňme výraz z pravé strany na levou s opačným znaménkem: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0

Proveďme potřebné transformace: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 · x = x 3 + 2 · x 3 = 3 · x 3 = x.

Dostáváme se k rovnici x = 0. Kořen této rovnice je nula.

Zkontrolujeme, zda je tento kořen mimo původní rovnici. Dosadíme hodnotu do původní rovnice: 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 · 0. Jak vidíte, výsledná rovnice nedává smysl. To znamená, že 0 je cizí kořen a původní zlomková racionální rovnice nemá žádné kořeny.

Odpovědět:žádné kořeny.

Pokud jsme do algoritmu nezahrnuli další ekvivalentní transformace, neznamená to, že je nelze použít. Algoritmus je univerzální, ale je navržen tak, aby pomáhal, ne omezoval.

Příklad 14

Vyřešte rovnici 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24

Řešení

Nejjednodušší je řešit danou zlomkovou racionální rovnici podle algoritmu. Ale existuje i jiný způsob. Zvažme to.

Odečtením 7 z pravé a levé strany dostaneme: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 24.

Z toho můžeme usoudit, že výraz ve jmenovateli na levé straně se musí rovnat převrácené straně čísla na pravé straně, tedy 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7.

Odečtěte 3 od obou stran: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7. Analogicky 2 + 1 5 - x 2 = 7 3, odkud 1 5 - x 2 = 1 3, a pak 5 - x 2 = 3, x 2 = 2, x = ± 2

Proveďme kontrolu, abychom zjistili, zda nalezené kořeny jsou kořeny původní rovnice.

Odpovědět: x = ± 2

Pokud si všimnete chyby v textu, zvýrazněte ji a stiskněte Ctrl+Enter

Dosud jsme řešili pouze celočíselné rovnice s ohledem na neznámou, tedy rovnice, ve kterých jmenovatelé (pokud existují) neznámou neobsahují.

Často musíte řešit rovnice, které obsahují ve jmenovatelích neznámou: takové rovnice se nazývají zlomkové rovnice.

Abychom tuto rovnici vyřešili, vynásobíme obě strany tím, tedy polynomem obsahujícím neznámou. Bude nová rovnice ekvivalentní této? Abychom odpověděli na otázku, vyřešme tuto rovnici.

Vynásobením obou stran číslem dostaneme:

Řešením této rovnice prvního stupně zjistíme:

Rovnice (2) má tedy jeden kořen

Když to dosadíme do rovnice (1), dostaneme:

To znamená, že je také kořenem rovnice (1).

Rovnice (1) nemá žádné další kořeny. V našem příkladu je to vidět například z toho, že v rovnici (1)

Jak se neznámý dělitel musí rovnat dělenci 1 děleném podílem 2, tzn

Rovnice (1) a (2) tedy mají jeden kořen, což znamená, že jsou ekvivalentní.

2. Nyní vyřešme následující rovnici:

Nejjednodušší společný jmenovatel: ; vynásobte jím všechny členy rovnice:

Po redukci dostaneme:

Rozbalíme závorky:

Přinášíme podobné termíny, máme:

Řešením této rovnice zjistíme:

Dosazením do rovnice (1) dostaneme:

Na levé straně jsme dostali výrazy, které nedávají smysl.

To znamená, že rovnice (1) není kořen. Z toho vyplývá, že rovnice (1) a nejsou ekvivalentní.

V tomto případě říkají, že rovnice (1) získala cizí kořen.

Porovnejme řešení rovnice (1) s řešením rovnic, které jsme uvažovali dříve (viz § 51). Při řešení této rovnice jsme museli provést dvě operace, se kterými jsme se dosud nesetkali: za prvé jsme vynásobili obě strany rovnice výrazem obsahujícím neznámou (společný jmenovatel) a za druhé jsme redukovali algebraické zlomky o faktory obsahující neznámou. .

Porovnáním rovnice (1) s rovnicí (2) vidíme, že ne všechny hodnoty x, které jsou platné pro rovnici (2), jsou platné pro rovnici (1).

Právě čísla 1 a 3 nejsou přijatelné hodnoty neznámé pro rovnici (1), ale v důsledku transformace se staly přijatelnými pro rovnici (2). Jedno z těchto čísel se ukázalo být řešením rovnice (2), ale samozřejmě nemůže být řešením rovnice (1). Rovnice (1) nemá řešení.

Tento příklad ukazuje, že když vynásobíte obě strany rovnice faktorem obsahujícím neznámou a zrušíte algebraické zlomky Lze získat rovnici, která není ekvivalentní této rovnici, totiž: mohou se objevit cizí kořeny.

Odtud vyvodíme následující závěr. Při řešení rovnice obsahující ve jmenovateli neznámou je třeba výsledné kořeny zkontrolovat dosazením do původní rovnice. Cizí kořeny musí být vyřazeny.

T. Kosjaková,
Škola č. 80, Krasnodar

Řešení kvadratických a zlomkových racionálních rovnic obsahujících parametry

Lekce 4

Téma lekce:

Účel lekce: rozvíjet schopnost řešit zlomkové racionální rovnice obsahující parametry.

Typ lekce: zavedení nového materiálu.

1. (Ústní.) Řešte rovnice:

Příklad 1. Vyřešte rovnici

Řešení.

Pojďme najít neplatné hodnoty A:

Odpovědět. Li Li A = – 19 , pak nejsou žádné kořeny.

Příklad 2. Vyřešte rovnici

Řešení.

Pojďme najít neplatné hodnoty parametrů A :

10 – A = 5, A = 5;

10 – A = A, A = 5.

Odpovědět. Li A = 5 A № 5 , Že x=10– A .

Příklad 3. Při jakých hodnotách parametrů b rovnice Má to:

a) dva kořeny; b) jediný kořen?

Řešení.

1) Najděte neplatné hodnoty parametrů b :

x = b, b 2 (b 2 – 1) – 2b 3 + b 2 = 0, b 4 – 2b 3 = 0,
b= 0 nebo b = 2;
x = 2, 4( b 2 – 1) – 4b 2 + b 2 = 0, b 2 – 4 = 0, (b – 2)(b + 2) = 0,
b= 2 nebo b = – 2.

2) Řešte rovnici x 2 ( b 2 – 1) – 2b 2x+ b 2 = 0:

D=4 b 4 – 4b 2 (b 2 – 1), D = 4 b 2 .

Vyloučení neplatných hodnot parametrů b , zjistíme, že rovnice má dva kořeny, jestliže b № – 2, b № – 1, b № 0, b № 1, b № 2 .

b) 4b 2 = 0, b = 0, ale toto je neplatná hodnota parametru b ; Li b 2 –1=0 , tj. b=1 nebo.

Odpověď: a) pokud b № –2 , b № –1, b № 0, b № 1, b № 2 , pak dva kořeny; b) pokud b=1 nebo b=–1 , pak jediný kořen.

Samostatná práce

Možnost 1

Řešte rovnice:

Možnost 2

Řešte rovnice:

Odpovědi

V 1. a pokud A=3 , pak nejsou žádné kořeny; Li b) pokud pokud A № 2 , pak nejsou žádné kořeny.

AT 2. Li A=2 , pak nejsou žádné kořeny; Li A=0 , pak nejsou žádné kořeny; Li
b) pokud A=– 1 , pak rovnice ztrácí smysl; pokud nejsou žádné kořeny;
Li

Zadání domácího úkolu.

Řešte rovnice:

Odpovědi: a) Pokud A № –2 , Že x= A ; Li A=–2 , pak neexistují žádná řešení; b) pokud A № –2 , Že x=2; Li A=–2 , pak neexistují žádná řešení; c) pokud A=–2 , Že X– libovolné číslo kromě 3 ; Li A № –2 , Že x=2; d) pokud A=–8 , pak nejsou žádné kořeny; Li A=2 , pak nejsou žádné kořeny; Li

Lekce 5

Téma lekce:"Řešení zlomkových racionálních rovnic obsahujících parametry."

Cíle lekce:

nácvik řešení rovnic s nestandardními podmínkami;
vědomá asimilace studentů algebraických pojmů a souvislostí mezi nimi.

Typ lekce: systematizace a zobecnění.

Kontrola domácích úkolů.

Příklad 1. Vyřešte rovnici

a) vzhledem k x; b) vzhledem k y.

Řešení.

a) Najděte neplatné hodnoty y: y=0, x=y, y2=y2-2y,

y=0– neplatná hodnota parametru y.

Li y№ 0 , Že x=y–2; Li y=0, pak rovnice ztrácí smysl.

b) Najděte neplatné hodnoty parametrů X: y=x, 2x–x 2 +x 2 =0, x=0– neplatná hodnota parametru X; y(2+x–y)=0, y=0 nebo y=2+x;

y=0 nesplňuje podmínku y(y–x)№ 0 .

Odpověď: a) pokud y=0, pak rovnice ztrácí smysl; Li y№ 0 , Že x=y–2; b) pokud x=0 X№ 0 , Že y=2+x .

Příklad 2. Pro jaké celočíselné hodnoty parametru a jsou kořeny rovnice patří do intervalu

D = (3 A + 2) 2 – 4A(A+ 1) 2 = 9 A 2 + 12A + 4 – 8A 2 – 8A,

D = ( A + 2) 2 .

Li A № 0 nebo A № – 1 , Že

Odpovědět: 5 .

Příklad 3. Najít relativně X celočíselná řešení rovnice

Odpovědět. Li y=0, pak rovnice nedává smysl; Li y=–1, Že X– libovolné celé číslo kromě nuly; Li y№ 0, y№ – 1, pak neexistují žádná řešení.

Příklad 4. Vyřešte rovnici s parametry A A b .

Li A№ – b , Že

Odpovědět. Li a= 0 nebo b= 0 , pak rovnice ztrácí smysl; Li A№ 0, b№ 0, a=–b , Že X– libovolné číslo kromě nuly; Li A№ 0, b№ 0, a№ –b, Že x=–a, x=–b .

Příklad 5. Dokažte, že pro jakoukoli hodnotu parametru n jinou než nula platí rovnice má jeden kořen rovný –n .

Řešení.

tj. x=–n, což bylo potřeba dokázat.

Zadání domácího úkolu.

1. Najděte celočíselná řešení rovnice

2. Při jakých hodnotách parametrů C rovnice Má to:
a) dva kořeny; b) jediný kořen?

3. Najděte všechny celočíselné kořeny rovnice Li A O N .

4. Řešte rovnici 3xy – 5x + 5y = 7: a) relativně y; b) relativně X .

1. Rovnice je splněna libovolným celým číslem rovným hodnotám x a y jiným než nula.
2. a) Kdy
b) na nebo
3. – 12; – 9; 0 .
4. a) Jestliže pak nejsou kořeny; Li
b) jestliže pak nejsou kořeny; Li

Test

Možnost 1

1. Určete typ rovnice 7c(c + 3)x 2 +(c–2)x–8=0 když) c=–3; b) c=2; PROTI) c=4 .

2. Řešte rovnice: a) x 2 –bx=0; b) cx 2 –6x+1=0; PROTI)

3. Řešte rovnici 3x–xy–2y=1:

a) relativně X ;
b) relativně y .

nx 2 – 26x + n = 0, s vědomím, že parametr n přijímá pouze celočíselné hodnoty.

5. Pro jaké hodnoty b platí rovnice Má to:

a) dva kořeny;
b) jediný kořen?

Možnost 2

1. Určete typ rovnice 5c(c + 4)x 2 +(c–7)x+7=0 když) c=-4; b) c=7; PROTI) c=1 .

2. Řešte rovnice: a) y2+cy=0; b) ny 2 –8y+2=0; PROTI)

3. Řešte rovnici 6x–xy+2y=5:

a) relativně X ;
b) relativně y .

4. Najděte celočíselné kořeny rovnice nx 2 –22x+2n=0, s vědomím, že parametr n přijímá pouze celočíselné hodnoty.

5. Pro jaké hodnoty parametru a platí rovnice Má to:

a) dva kořeny;
b) jediný kořen?

Odpovědi

V 1. 1. a) Lineární rovnice;
b) neúplná kvadratická rovnice; c) kvadratická rovnice.
2. a) Pokud b=0, Že x=0; Li b№ 0, Že x=0, x=b;
b) Li cО (9;+Ґ ), pak nejsou žádné kořeny;
c) pokud A=–4 , pak rovnice ztrácí smysl; Li A№ –4 , Že x=– A .
3. a) Pokud y=3, pak nejsou žádné kořeny; Li);
b) A=–3, A=1.

Další úkoly

Řešte rovnice:

Literatura

1. Golubev V.I., Goldman A.M., Dorofeev G.V. O parametrech od úplného začátku. – Tutor, č. 2/1991, str. 3–13.
2. Gronshtein P.I., Polonsky V.B., Yakir M.S. Nezbytné podmínky při problémech s parametry. – Kvant, č. 11/1991, str. 44–49.
3. Dorofeev G.V., Zatakavay V.V. Řešení problému obsahující parametry. Část 2. – M., Perspektiva, 1990, str. 2–38.
4. Tynyakin S.A. Pět set čtrnáct problémů s parametry. – Volgograd, 1991.
5. Yastrebinetsky G.A. Problémy s parametry. – M., Vzdělávání, 1986.

V tomto článku vám to ukážu algoritmy pro řešení sedmi typů racionálních rovnic, který lze změnou proměnných redukovat na kvadratický. Ve většině případů jsou transformace, které vedou k nahrazení, velmi netriviální a je docela obtížné je sami uhodnout.

U každého typu rovnice vysvětlím, jak v ní provést změnu proměnné, a poté ukážu podrobné řešení v odpovídajícím videonávodu.

Máte možnost sami pokračovat v řešení rovnic a poté si své řešení ověřit ve video lekci.

Takže, začněme.

1 . (x-1)(x-7)(x-4)(x+2)=40

Všimněte si, že na levé straně rovnice je součin čtyř závorek a na pravé straně je číslo.

1. Seskupme závorky po dvou tak, aby součet volných členů byl stejný.

2. Vynásobte je.

3. Zaveďme změnu proměnné.

V naší rovnici seskupíme první závorku se třetí a druhou se čtvrtou, protože (-1)+(-4)=(-7)+2:

V tomto okamžiku je náhrada proměnné zřejmá:

Dostáváme rovnici

Odpovědět:

2 .

Rovnice tohoto typu je podobná předchozí s jedním rozdílem: na pravé straně rovnice je součin čísla a . A řeší se to úplně jinak:

1. Závorky seskupíme po dvou tak, aby součin volných členů byl stejný.

2. Vynásobte každý pár závorek.

3. Z každého faktoru odebereme x.

4. Vydělte obě strany rovnice .

5. Zavádíme změnu proměnné.

V této rovnici seskupujeme první závorku se čtvrtou a druhou se třetí, protože:

Všimněte si, že v každé závorce jsou koeficient at a volný člen stejné. Vezměme faktor z každé závorky:

Protože x=0 není kořenem původní rovnice, vydělíme obě strany rovnice . Dostaneme:

Dostaneme rovnici:

Odpovědět:

3 .

Všimněte si, že jmenovatelé obou zlomků obsahují kvadratické trinomy, ve kterých jsou vedoucí koeficient a volný člen stejné. Vyjmeme x ze závorky, jako v rovnici druhého typu. Dostaneme:

Vydělte čitatel a jmenovatel každého zlomku x:

Nyní můžeme zavést náhradu proměnné:

Dostaneme rovnici pro proměnnou t:

4 .

Všimněte si, že koeficienty rovnice jsou symetrické vzhledem k centrálnímu. Tato rovnice se nazývá vratné .

To vyřešit,

1. Vydělte obě strany rovnice (Můžeme to udělat, protože x=0 není kořen rovnice.) Dostaneme:

2. Seskupíme termíny takto:

3. V každé skupině vyjmeme ze závorek společný faktor:

4. Představme si náhradu:

5. Vyjádřete prostřednictvím t výraz:

Odtud

Dostaneme rovnici pro t:

Odpovědět:

5. Homogenní rovnice.

S rovnicemi, které mají homogenní strukturu, se lze setkat při řešení exponenciálních, logaritmických a goniometrické rovnice, takže to musíte umět rozpoznat.

Homogenní rovnice mají následující strukturu:

V této rovnosti jsou A, B a C čísla a čtverec a kruh označují totožné výrazy. To znamená, že na levé straně homogenní rovnice je součet monočlenů se stejným stupněm (v tomto případě je stupeň monočlenů 2) a neexistuje žádný volný člen.

Chcete-li vyřešit homogenní rovnici, vydělte obě strany

Pozornost! Při dělení pravé a levé strany rovnice výrazem obsahujícím neznámou můžete ztratit kořeny. Proto je nutné zkontrolovat, zda kořeny výrazu, kterým dělíme obě strany rovnice, jsou kořeny původní rovnice.

Pojďme první cestou. Dostaneme rovnici:

Nyní zavádíme náhradu proměnné:

Zjednodušme výraz a získáme bikvadratickou rovnici pro t:

Odpovědět: nebo

7 .

Tato rovnice má následující strukturu:

Chcete-li to vyřešit, musíte vybrat úplný čtverec na levé straně rovnice.

Chcete-li vybrat celý čtverec, musíte přidat nebo odečíst dvojnásobek součinu. Pak dostaneme druhou mocninu součtu nebo rozdílu. To je klíčové pro úspěšnou náhradu proměnné.

Začněme tím, že najdeme dvakrát produkt. To bude klíč k nahrazení proměnné. V naší rovnici se dvojnásobek součinu rovná

Nyní pojďme zjistit, co je pro nás výhodnější mít - druhou mocninu součtu nebo rozdílu. Podívejme se nejprve na součet výrazů:

Skvělý! Tento výraz se přesně rovná dvojnásobku součinu. Pak, abyste získali druhou mocninu součtu v závorkách, musíte přidat a odečíst dvojitý součin:

Pojďme dále mluvit o řešení rovnic. V tomto článku se budeme podrobně zabývat racionální rovnice a principy řešení racionálních rovnic s jednou proměnnou. Nejprve si ujasněme, jaké typy rovnic se nazývají racionální, uveďme definici celých racionálních a zlomkových racionálních rovnic a uveďme příklady. Dále získáme algoritmy pro řešení racionálních rovnic a samozřejmě zvážíme řešení typických příkladů se všemi potřebnými vysvětleními.

Navigace na stránce.

Na základě uvedených definic uvádíme několik příkladů racionálních rovnic. Například x=1, 2·x−12·x 2 ·y·z 3 =0, , jsou všechny racionální rovnice.

Z ukázaných příkladů je zřejmé, že racionální rovnice, stejně jako rovnice jiných typů, mohou být s jednou proměnnou, nebo se dvěma, třemi atp. proměnné. V následujících odstavcích si povíme o řešení racionálních rovnic s jednou proměnnou. Řešení rovnic ve dvou proměnných a oni velký počet zaslouží zvláštní pozornost.

Kromě dělení racionálních rovnic počtem neznámých proměnných se také dělí na celočíselné a zlomkové. Uveďme odpovídající definice.

Definice.

Racionální rovnice se nazývá Celý, pokud obě jeho levé i pravé strany jsou celočíselné racionální výrazy.

Definice.

Pokud alespoň jedna z částí racionální rovnice je zlomkový výraz, pak se taková rovnice nazývá částečně racionální(nebo zlomkové racionální).

Je jasné, že celé rovnice neobsahují dělení proměnnou, naopak, zlomkové racionální rovnice nutně obsahují dělení proměnnou (nebo proměnnou ve jmenovateli). Takže 3 x + 2 = 0 a (x+y)·(3·x2-1)+x=-y+0,5– to jsou celé racionální rovnice, obě jejich části jsou celé výrazy. A a x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 jsou příklady zlomkových racionálních rovnic.

Na závěr tohoto bodu věnujme pozornost skutečnosti, že lineární rovnice a kvadratické rovnice známé tomuto bodu jsou celé racionální rovnice.

Řešení celých rovnic

Jedním z hlavních přístupů k řešení celých rovnic je jejich redukce na ekvivalentní algebraické rovnice. To lze vždy provést provedením následujících ekvivalentních transformací rovnice:

nejprve se výraz z pravé strany původní celočíselné rovnice přenese na levou stranu s opačným znaménkem, aby se na pravé straně získala nula;
poté na levé straně rovnice výsledný standardní tvar.

Výsledkem je algebraická rovnice, která je ekvivalentní původní celočíselné rovnici. Řešení celých rovnic se tak v nejjednodušších případech redukuje na řešení lineárních nebo kvadratických rovnic a v obecném případě na řešení algebraické rovnice stupně n. Pro názornost se podívejme na řešení příkladu.

Příklad.

Najděte kořeny celé rovnice 3·(x+1)·(x−3)=x·(2·x−1)−3.

Řešení.

Redukujme řešení celé této rovnice na řešení ekvivalentní algebraické rovnice. Za tímto účelem nejprve přeneseme výraz z pravé strany na levou, čímž se dostaneme k rovnici 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3=0. A za druhé, transformujeme výraz vytvořený na levé straně do standardního polynomu vyplněním nezbytných: 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 −5 x−6. Řešení původní celočíselné rovnice je tedy redukováno na řešení kvadratické rovnice x 2 −5·x−6=0.

Vypočítáme jeho diskriminant D=(-5)2-4.1·(-6)=25+24=49, je kladná, což znamená, že rovnice má dva reálné kořeny, které zjistíme pomocí vzorce pro kořeny kvadratické rovnice:

Abychom si byli zcela jisti, udělejme to kontrola nalezených kořenů rovnice. Nejprve zkontrolujeme kořen 6, dosadíme jej místo proměnné x v původní celočíselné rovnici: 3·(6+1)·(6−3)=6·(2·6−1)−3, což je stejné, 63=63. Toto je platná numerická rovnice, proto x=6 je skutečně kořenem rovnice. Nyní zkontrolujeme kořen −1, máme 3·(−1+1)·(−1−3)=(−1)·(2·(−1)−1)−3, odkud, 0=0 . Když x=−1, původní rovnice se také změní ve správnou numerickou rovnost, proto je x=−1 také kořenem rovnice.

Odpovědět:

6 , −1 .

Zde je třeba také poznamenat, že termín „stupeň celé rovnice“ je spojen s reprezentací celé rovnice ve formě algebraické rovnice. Uveďme odpovídající definici:

Definice.

Síla celé rovnice se nazývá stupeň ekvivalentní algebraické rovnice.

Podle této definice má celá rovnice z předchozího příkladu druhý stupeň.

To by mohl být konec řešení celých racionálních rovnic, nebýt jedné věci…. Jak známo, řešení algebraických rovnic stupně nad druhým je spojeno se značnými obtížemi a pro rovnice stupně nad čtvrtým neexistují vůbec žádné obecné kořenové vzorce. K řešení celých rovnic třetího, čtvrtého a vyššího stupně je proto často nutné uchýlit se k jiným metodám řešení.

V takových případech je přístup k řešení celých racionálních rovnic založený na faktorizační metoda. V tomto případě se dodržuje následující algoritmus:

nejprve zajistí, aby na pravé straně rovnice byla nula, přenesou výraz z pravé strany celé rovnice na levou;
pak je výsledný výraz na levé straně prezentován jako součin několika faktorů, což nám umožňuje přejít na sadu několika jednodušších rovnic.

Daný algoritmus pro řešení celé rovnice pomocí faktorizace vyžaduje podrobné vysvětlení na příkladu.

Příklad.

Vyřešte celou rovnici (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)= 2 x (x 2 −10 x + 13) .

Řešení.

Nejprve, jako obvykle, přeneseme výraz z pravé strany na levou stranu rovnice, přičemž nezapomeneme změnit znaménko, dostaneme (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)− 2 x (x 2 -10 x + 13) = 0 . Zde je zcela zřejmé, že není vhodné převádět levou stranu výsledné rovnice na polynom standardního tvaru, protože tím vznikne algebraická rovnice čtvrtého stupně tvaru. x 4 −12 x 3 +32 x 2 −16 x−13=0, jehož řešení je obtížné.

Na druhou stranu je zřejmé, že na levé straně výsledné rovnice můžeme x 2 −10 x+13 prezentovat ji jako součin. My máme (x 2 −10 x+13) (x 2 −2 x−1)=0. Výsledná rovnice je ekvivalentní původní celé rovnici a může být nahrazena sadou dvou kvadratických rovnic x 2 −10·x+13=0 a x 2 −2·x−1=0. Najít jejich kořeny pomocí známých kořenových vzorců prostřednictvím diskriminantu není obtížné; Jsou to požadované kořeny původní rovnice.

Odpovědět:

Také užitečné pro řešení celých racionálních rovnic metoda pro zavedení nové proměnné. V některých případech umožňuje přejít na rovnice, jejichž stupeň je nižší než stupeň původní celé rovnice.

Příklad.

Najděte skutečné kořeny racionální rovnice (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).

Řešení.

Redukovat celou tuto racionální rovnici na algebraickou rovnici není, mírně řečeno, příliš dobrý nápad, protože v tomto případě dojdeme k nutnosti řešit rovnici čtvrtého stupně, která nemá racionální kořeny. Proto budete muset hledat jiné řešení.

Zde je snadné vidět, že můžete zavést novou proměnnou y a nahradit jí výraz x 2 +3·x. Toto nahrazení nás vede k celé rovnici (y+1) 2 +10=−2·(y−4) , která po přesunutí výrazu −2·(y−4) na levou stranu a následné transformaci výrazu tam vzniklý, je redukován na kvadratickou rovnici y 2 +4·y+3=0. Kořeny této rovnice y=−1 a y=−3 lze snadno najít, například je lze vybrat na základě věty inverzní k Vietově větě.

Nyní přejdeme k druhé části metody zavedení nové proměnné, tedy k provedení reverzní náhrady. Po provedení zpětné substituce získáme dvě rovnice x 2 +3 x=−1 a x 2 +3 x=−3, které lze přepsat jako x 2 +3 x+1=0 a x 2 +3 x+3 =0. Pomocí vzorce pro kořeny kvadratické rovnice najdeme kořeny první rovnice. A druhá kvadratická rovnice nemá žádné reálné kořeny, protože její diskriminant je záporný (D=3 2 −4·3=9−12=−3 ).

Odpovědět:

Obecně platí, že když se zabýváme celými rovnicemi vysokých stupňů, musíme být vždy připraveni hledat nestandardní metodu nebo umělou techniku jejich řešení.

Řešení zlomkových racionálních rovnic

Nejprve bude užitečné pochopit, jak řešit zlomkové racionální rovnice tvaru , kde p(x) a q(x) jsou celočíselné racionální výrazy. A pak si ukážeme, jak redukovat řešení dalších zlomkově racionálních rovnic na řešení rovnic naznačeného typu.

Jeden přístup k řešení rovnice je založen na následujícím tvrzení: číselný zlomek u/v, kde v je nenulové číslo (jinak se setkáme s , které není definováno), je roven nule právě tehdy, když je jeho čitatel rovna nule, pak je, právě když u=0 . Na základě tohoto tvrzení je řešení rovnice redukováno na splnění dvou podmínek p(x)=0 a q(x)≠0.

Tento závěr odpovídá následujícímu algoritmus pro řešení zlomkové racionální rovnice. Chcete-li vyřešit zlomkovou racionální rovnici tvaru , potřebujete

vyřešit celou racionální rovnici p(x)=0 ;
a zkontrolujte, zda je splněna podmínka q(x)≠0 pro každý nalezený kořen, while

je-li pravda, pak tento kořen je kořenem původní rovnice;
pokud není splněna, pak je tento kořen cizí, to znamená, že není kořenem původní rovnice.

Podívejme se na příklad použití oznámeného algoritmu při řešení zlomkové racionální rovnice.

Příklad.

Najděte kořeny rovnice.

Řešení.

Toto je zlomková racionální rovnice ve tvaru , kde p(x)=3·x−2, q(x)=5·x 2 −2=0.

Podle algoritmu pro řešení zlomkových racionálních rovnic tohoto typu musíme nejprve vyřešit rovnici 3 x−2=0. Tento lineární rovnice, jehož kořen je x=2/3.

Zbývá zkontrolovat tento kořen, tedy zkontrolovat, zda splňuje podmínku 5 x 2 −2≠0. Do výrazu 5 x 2 −2 místo x dosadíme číslo 2/3 a dostaneme . Podmínka je splněna, takže x=2/3 je kořenem původní rovnice.

Odpovědět:

2/3 .

K řešení zlomkové racionální rovnice můžete přistupovat z trochu jiné pozice. Tato rovnice je ekvivalentní celočíselné rovnici p(x)=0 na proměnné x původní rovnice. To znamená, že se toho můžete držet algoritmus pro řešení zlomkové racionální rovnice :

řešit rovnici p(x)=0 ;
najít ODZ proměnné x;
vzít kořeny patřící do oblasti přijatelných hodnot - jsou to požadované kořeny původní zlomkové racionální rovnice.

Pomocí tohoto algoritmu vyřešme například zlomkovou racionální rovnici.

Příklad.

Vyřešte rovnici.

Řešení.

Nejprve vyřešíme kvadratickou rovnici x 2 −2·x−11=0. Jeho kořeny lze vypočítat pomocí kořenového vzorce pro sudý druhý koeficient, který máme D 1 =(−1)2−1·(−11)=12, A .

Za druhé, najdeme ODZ proměnné x pro původní rovnici. Skládá se ze všech čísel, pro která x 2 +3·x≠0, což je stejné jako x·(x+3)≠0, odkud x≠0, x≠−3.

Zbývá zkontrolovat, zda kořeny nalezené v prvním kroku jsou zahrnuty v ODZ. Očividně ano. Proto má původní zlomková racionální rovnice dva kořeny.

Odpovědět:

Všimněte si, že tento přístup je ziskovější než první, pokud lze ODZ snadno najít, a je zvláště výhodný, pokud jsou kořeny rovnice p(x) = 0 například iracionální nebo racionální, ale s poměrně velkým čitatelem a /nebo jmenovatel, například 127/1101 a −31/59. To je způsobeno skutečností, že v takových případech bude kontrola podmínky q(x)≠0 vyžadovat značné výpočetní úsilí a je jednodušší vyloučit cizí kořeny pomocí ODZ.

V ostatních případech je při řešení rovnice, zvláště když kořeny rovnice p(x) = 0 celá čísla, výhodnější použít první z uvedených algoritmů. To znamená, že je vhodné okamžitě najít kořeny celé rovnice p(x)=0 a poté zkontrolovat, zda je pro ně splněna podmínka q(x)≠0, než hledat ODZ a pak rovnici řešit p(x)=0 na tomto ODZ . To je způsobeno tím, že v takových případech je obvykle jednodušší zkontrolovat než najít DZ.

Podívejme se na řešení dvou příkladů pro ilustraci specifikovaných nuancí.

Příklad.

Najděte kořeny rovnice.

Řešení.

Nejprve najdeme kořeny celé rovnice (2 x−1) (x−6) (x 2 −5 x+14) (x+1)=0, složený pomocí čitatele zlomku. Levá strana této rovnice je součin a pravá strana je nula, proto je tato rovnice podle způsobu řešení rovnic faktorizací ekvivalentní soustavě čtyř rovnic 2 x−1=0 , x−6= 0, x 2 -5 x+ 14=0, x+1=0. Tři z těchto rovnic jsou lineární a jedna je kvadratická; Z první rovnice najdeme x=1/2, z druhé - x=6, ze třetí - x=7, x=−2, ze čtvrté - x=−1.

S nalezenými kořeny je docela snadné zkontrolovat, zda zmizel jmenovatel zlomku na levé straně původní rovnice, ale naopak určení ODZ není tak jednoduché, protože k tomu budete muset vyřešit algebraická rovnice pátého stupně. Proto upustíme od hledání ODZ ve prospěch kontroly kořenů. K tomu je dosadíme jeden po druhém místo proměnné x ve výrazu x 5 −15 x 4 +57 x 3 −13 x 2 +26 x + 112, získané po substituci a porovnejte je s nulou: (1/2) 5 −15·(1/2) 4 + 57·(1/2) 3 −13·(1/2) 2 +26·(1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15·6 4 +57·6 3 −13·6 2 +26·6+112= 448≠0 ;
7 5 −15·7 4 +57·7 3 −13·7 2 +26·7+112=0;
(−2) 5 −15·(−2) 4 +57·(−2) 3 −13·(−2) 2 + 26·(−2)+112=−720≠0;
(−1) 5 −15·(−1) 4 +57·(−1) 3 −13·(−1) 2 + 26·(-1)+112=0.

1/2, 6 a -2 jsou tedy požadované kořeny původní zlomkové racionální rovnice a 7 a -1 jsou vnější kořeny.

Odpovědět:

1/2 , 6 , −2 .

Příklad.

Najděte kořeny zlomkové racionální rovnice.

Řešení.

Nejprve najdeme kořeny rovnice (5 x 2 −7 x−1) (x−2)=0. Tato rovnice je ekvivalentní sadě dvou rovnic: čtvercová 5 x 2 −7 x−1=0 a lineární x−2=0. Pomocí vzorce pro kořeny kvadratické rovnice najdeme dva kořeny a z druhé rovnice máme x=2.

Kontrola, zda jde jmenovatel na nulu při nalezených hodnotách x, je docela nepříjemná. A určení rozsahu přípustných hodnot proměnné x v původní rovnici je poměrně jednoduché. Proto budeme jednat prostřednictvím ODZ.

V našem případě se ODZ proměnné x původní zlomkové racionální rovnice skládá ze všech čísel kromě těch, pro která je splněna podmínka x 2 +5·x−14=0. Kořeny této kvadratické rovnice jsou x=−7 a x=2, z čehož vyvodíme závěr o ODZ: skládá se ze všech x takových, že .

Zbývá zkontrolovat, zda nalezené kořeny a x=2 patří do rozsahu přijatelných hodnot. Kořeny patří, jsou tedy kořeny původní rovnice, a x=2 nepatří, tedy je to cizí kořen.

Odpovědět:

Bude také užitečné se samostatně pozastavit nad případy, kdy ve zlomkové racionální rovnici tvaru je v čitateli číslo, tedy když p(x) je reprezentováno nějakým číslem. V čem

pokud je toto číslo nenulové, pak rovnice nemá kořeny, protože zlomek je roven nule právě tehdy, když je její čitatel roven nule;
pokud je toto číslo nula, pak kořenem rovnice je libovolné číslo z ODZ.

Příklad.

Řešení.

Protože čitatel zlomku na levé straně rovnice obsahuje nenulové číslo, pak pro žádné x nemůže být hodnota tohoto zlomku rovna nule. Proto tato rovnice nemá kořeny.

Odpovědět:

žádné kořeny.

Příklad.

Vyřešte rovnici.

Řešení.

Čitatel zlomku na levé straně této zlomkové racionální rovnice obsahuje nulu, takže hodnota tohoto zlomku je nula pro libovolné x, pro které to dává smysl. Jinými slovy, řešením této rovnice je libovolná hodnota x z ODZ této proměnné.

Zbývá určit tento rozsah přijatelných hodnot. Zahrnuje všechny hodnoty x, pro které x 4 +5 x 3 ≠0. Řešení rovnice x 4 +5 x 3 =0 jsou 0 a -5, protože tato rovnice je ekvivalentní rovnici x 3 (x+5)=0 a ta je zase ekvivalentní kombinaci dvou rovnic x 3 =0 a x +5=0, odkud jsou tyto kořeny viditelné. Požadovaný rozsah přijatelných hodnot je tedy libovolné x kromě x=0 a x=−5.

Zlomková racionální rovnice má tedy nekonečně mnoho řešení, kterými jsou libovolná čísla kromě nuly a mínus pěti.

Odpovědět:

Konečně je čas mluvit o řešení zlomkových racionálních rovnic libovolného tvaru. Lze je zapsat jako r(x)=s(x), kde r(x) a s(x) jsou racionální výrazy a alespoň jeden z nich je zlomkový. Při pohledu do budoucna řekněme, že jejich řešení spočívá v řešení rovnic nám již známého tvaru.

Je známo, že převod člena z jedné části rovnice do druhé s opačným znaménkem vede k ekvivalentní rovnici, proto rovnice r(x)=s(x) je ekvivalentní rovnici r(x)−s(x )=0.

Víme také, že je možný jakýkoli výraz identicky rovný tomuto výrazu. Racionální výraz na levé straně rovnice r(x)−s(x)=0 tak můžeme vždy převést na shodně stejný racionální zlomek tvaru .

Přejdeme tedy od původní zlomkové racionální rovnice r(x)=s(x) k rovnici a její řešení, jak jsme zjistili výše, se redukuje na řešení rovnice p(x)=0.

Zde je však nutné vzít v úvahu skutečnost, že při nahrazení r(x)−s(x)=0 za a poté za p(x)=0 se může rozšířit rozsah přípustných hodnot proměnné x .

V důsledku toho se původní rovnice r(x)=s(x) a rovnice p(x)=0, ke kterým jsme dospěli, mohou ukázat jako nerovné a řešením rovnice p(x)=0 můžeme získat kořeny to budou vnější kořeny původní rovnice r(x)=s(x) . Vnější kořeny můžete identifikovat a nezahrnout do odpovědi buď provedením kontroly, nebo kontrolou, že patří do ODZ původní rovnice.

Pojďme si tyto informace shrnout algoritmus pro řešení zlomkové racionální rovnice r(x)=s(x). Chcete-li vyřešit zlomkovou racionální rovnici r(x)=s(x) , potřebujete

Získejte nulu vpravo posunutím výrazu z pravé strany s opačným znaménkem.
Provádějte operace se zlomky a polynomy na levé straně rovnice, čímž ji převedete na racionální zlomek tvaru.
Řešte rovnici p(x)=0.
Identifikujte a odstraňte cizí kořeny, což se provádí jejich dosazením do původní rovnice nebo kontrolou jejich příslušnosti k ODZ původní rovnice.

Pro větší názornost si ukážeme celý řetězec řešení zlomkových racionálních rovnic:
.

Podívejme se na řešení několika příkladů s podrobným vysvětlením postupu řešení, abychom daný blok informací objasnili.

Příklad.

Vyřešte zlomkovou racionální rovnici.

Řešení.

Budeme jednat v souladu s právě získaným algoritmem řešení. A nejprve přesuneme členy z pravé strany rovnice doleva, ve výsledku přejdeme k rovnici.

Ve druhém kroku potřebujeme převést zlomkový racionální výraz na levé straně výsledné rovnice do tvaru zlomku. K tomu zredukujeme racionální zlomky na společného jmenovatele a výsledný výraz zjednodušíme: . Takže se dostáváme k rovnici.

V dalším kroku potřebujeme vyřešit rovnici −2·x−1=0. Najdeme x=−1/2.

Zbývá zkontrolovat, zda nalezené číslo −1/2 není cizí kořen původní rovnice. Chcete-li to provést, můžete zkontrolovat nebo najít VA proměnné x původní rovnice. Pojďme si ukázat oba přístupy.

Začněme kontrolou. Do původní rovnice místo proměnné x dosadíme číslo −1/2 a dostaneme to samé, −1=−1. Substituce dává správnou číselnou rovnost, takže x=−1/2 je kořenem původní rovnice.

Nyní si ukážeme, jak se provádí poslední bod algoritmu prostřednictvím ODZ. Rozsah přijatelných hodnot původní rovnice je množina všech čísel kromě −1 a 0 (při x=−1 a x=0 jmenovatelé zlomků mizí). Kořen x=−1/2 nalezený v předchozím kroku patří do ODZ, proto x=−1/2 je kořenem původní rovnice.

Odpovědět:

−1/2 .

Podívejme se na další příklad.

Příklad.

Najděte kořeny rovnice.

Řešení.

Potřebujeme vyřešit zlomkovou racionální rovnici, projdeme si všechny kroky algoritmu.

Nejprve přesuneme termín z pravé strany na levou, dostaneme .

Zadruhé transformujeme výraz vytvořený na levé straně: . V důsledku toho se dostáváme k rovnici x=0.

Jeho kořen je zřejmý – je nulový.

Ve čtvrtém kroku zbývá zjistit, zda nalezený kořen je cizí původní zlomkové racionální rovnici. Když se dosadí do původní rovnice, získá se výraz. Je zřejmé, že to nedává smysl, protože obsahuje dělení nulou. Z toho vyvozujeme, že 0 je cizí kořen. Původní rovnice proto nemá kořeny.

7, což vede k rov. Z toho můžeme usoudit, že výraz ve jmenovateli levé strany se musí rovnat výrazu pravé strany, tedy . Nyní odečteme od obou stran trojice: . Analogicky, odkud a dále.

Kontrola ukazuje, že oba nalezené kořeny jsou kořeny původní zlomkové racionální rovnice.

Odpovědět:

Bibliografie.

Algebra: učebnice pro 8. třídu. obecné vzdělání instituce / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; upravil S. A. Teljakovskij. - 16. vyd. - M.: Vzdělávání, 2008. - 271 s. : nemocný. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkovich A.G. Algebra. 8. třída. Ve 2 hodinách 1. díl. Učebnice pro studenty všeobecně vzdělávacích institucí / A. G. Mordkovich. - 11. vyd., vymazáno. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 s.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
Algebra: 9. třída: vzdělávací. pro všeobecné vzdělání instituce / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; upravil S. A. Teljakovskij. - 16. vyd. - M.: Vzdělávání, 2009. - 271 s. : nemocný. - ISBN 978-5-09-021134-5.