V části o otázce najděte vektor kolmý na dva dané vektory zadané autorem Anna Afanasjevová nejlepší odpověď je Vektor kolmý ke dvěma neparalelním vektorům je nalezen jako jejich vektorový produkt ahv, abyste to našli, musíte sestavit determinant, jehož první řádek bude obsahovat jednotku vektory I,j,k, druhý je ze souřadnic vektoru a, třetí je ze souřadnic vektoru b. Determinant je považován za expanzi podél prvního řádku, ve vašem případě dostanete akhv=20i-10k, nebo ahv=(20,0,-10).
Odpověď od 22 odpovědí[guru]
Ahoj! Zde je výběr témat s odpověďmi na vaši otázku: najděte vektor kolmý ke dvěma daným vektorům
Odpověď od natáhnout se[nováček]
Vektor kolmý na dva neparalelní vektory je nalezen jako jejich vektorový součin xb, k jeho nalezení je třeba sestavit determinant, jehož první řádek bude sestávat z jednotkových vektorů I, j, k, druhý - ze souřadnic vektoru a, třetí - ze souřadnic vektoru b. Determinant je považován za expanzi podél prvního řádku, ve vašem případě dostanete akhv=20i-10k, nebo ahv=(20,0,-10).
Odpověď od HAYKA[guru]
Vyřešte to zhruba takto; Ale nejdřív si vše přečtěte sami!! !
Vypočítat skalární součin vektory da r, pokud d=-c+a+2b; r=-b+2a.
Modul vektoru a je 4, modul vektoru b je 6. Úhel mezi vektory a a b je 60 stupňů, vektor c je kolmý na vektory a a b.
Body E a F leží na stranách AD a BC rovnoběžníku ABCD, přičemž AE = ED, BF: FC = 4: 3. a) Vyjádřete vektor EF pomocí vektorů m = vektor AB a vektor n = vektor AD. b) Může platit vektor rovnosti EF = x vynásobený vektorem CD pro libovolnou hodnotu x? .
ohm Za tímto účelem nejprve představíme koncept segmentu.
Definice 1
Úsek budeme nazývat část úsečky, která je na obou stranách ohraničena body.
Definice 2
Konce segmentu jsou body, které jej omezují.
Abychom zavedli definici vektoru, nazveme jeden z konců segmentu jeho začátek.
Definice 3
Vektorem (orientovaným segmentem) budeme nazývat segment, ve kterém je naznačeno, který hraniční bod je jeho začátkem a který je jeho koncem.
Zápis: \overline(AB) je vektor AB, který začíná v bodě A a končí v bodě B.
Jinak jedním malým písmenem: \overline(a) (obr. 1).
Definice 4
Nulovým vektorem budeme nazývat libovolný bod, který patří do roviny.
Symbol: \overline(0) .
Uveďme nyní přímo definici kolineární vektory.
Zavedeme také definici skalárního součinu, kterou budeme potřebovat později.
Definice 6
Skalární součin dvou daných vektorů je skalár (nebo číslo), který se rovná součinu délek těchto dvou vektorů s kosinusem úhlu mezi těmito vektory.
Matematicky by to mohlo vypadat takto:
\overline(α)\overline(β)=|\overline(α)||\overline(β)|cos∠(\overline(α),\overline(β))
Bodový součin lze také nalézt pomocí vektorových souřadnic následovně
\overline(α)\overline(β)=α_1 β_1+α_2 β_2+α_3 β_3
Znak kolmosti prostřednictvím proporcionality
Věta 1
Aby nenulové vektory byly na sebe kolmé, je nutné a postačující, aby se jejich skalární součin těchto vektorů rovnal nule.
Důkaz.
Nutnost: Dostaneme vektory \overline(α) a \overline(β), které mají souřadnice (α_1,α_2,α_3) respektive (β_1,β_2,β_3) a jsou na sebe kolmé. Pak musíme dokázat následující rovnost
Protože vektory \overline(α) a \overline(β) jsou kolmé, úhel mezi nimi je 90^0. Pojďme najít skalární součin těchto vektorů pomocí vzorce z Definice 6.
\overline(α)\cdot \overline(β)=|\overline(α)||\overline(β)|cos90^\circ =|\overline(α)||\overline(β)|\cdot 0=0
Dostatečnost: Ať je rovnost pravdivá \overline(α)\cdot \overline(β)=0. Dokažme, že vektory \overline(α) a \overline(β) budou na sebe kolmé.
Podle definice 6 bude rovnost pravdivá
|\overline(α)||\overline(β)|cos∠(\overline(α),\overline(β))=0
Cos∠(\overline(α),\overline(β))=0
∠(\overline(α),\overline(β))=90^\circ
Proto vektory \overline(α) a \overline(β) budou na sebe kolmé.
Věta byla prokázána.
Příklad 1
Dokažte, že vektory se souřadnicemi (1,-5,2) a (2,1,3/2) jsou kolmé.
Důkaz.
Pojďme najít skalární součin těchto vektorů pomocí výše uvedeného vzorce
\overline(α)\cdot \overline(β)=1\cdot 2+(-5)\cdot 1+2\cdot \frac(3)(2)=2\cdot 5+3=0
To znamená, že podle věty 1 jsou tyto vektory kolmé.
Nalezení kolmého vektoru ke dvěma daným vektorům pomocí křížového součinu
Nejprve si představíme koncept vektorového produktu.
Definice 7
Vektorový součin dvou vektorů bude vektor, který bude kolmý na oba dané vektory a jeho délka bude rovna součinu délek těchto vektorů se sinem úhlu mezi těmito vektory a také tento vektor se dvěma počáteční má stejnou orientaci jako kartézský souřadnicový systém.
Označení: \overline(α)х\overline(β) x.
K nalezení vektorového součinu použijeme vzorec
\overline(α)х\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end(vmatrix) x
Protože vektor křížového součinu dvou vektorů je kolmý na oba tyto vektory, bude to vektor. To znamená, že abyste našli vektor kolmý na dva vektory, stačí najít jejich vektorový součin.
Příklad 2
Najděte vektor kolmý k vektorům se souřadnicemi \overline(α)=(1,2,3) a \overline(β)=(-1,0,3)
Pojďme najít vektorový součin těchto vektorů.
\overline(α)х\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\1&2&3\\-1&0&3\end(vmatrix)=(6- 0)\overline(i)-(3+3)\overline(j)+(0+2)\overline(k)=6\overline(i)-6\overline(j)+2\overline(k) =(6,6,2) x
Tento článek odhaluje význam kolmosti dvou vektorů na rovinu v trojrozměrném prostoru a nalezení souřadnic vektoru kolmého na jeden nebo celou dvojici vektorů. Téma je aplikovatelné na úlohy zahrnující rovnice přímek a rovin.
Zvážíme nutnou a postačující podmínku kolmosti dvou vektorů, vyřešíme metodu hledání vektoru kolmého k danému a dotkneme se situací hledání vektoru, který je kolmý na dva vektory.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Nutná a postačující podmínka pro kolmost dvou vektorů
Aplikujme pravidlo o kolmých vektorech v rovině a v trojrozměrném prostoru.
Definice 1
Pokud je úhel mezi dvěma nenulovými vektory roven 90° (π 2 radiány), nazýváme kolmý.
Co to znamená a v jakých situacích je potřeba vědět o jejich kolmosti?
Stanovení kolmosti je možné pomocí výkresu. Při vykreslování vektoru do roviny z daných bodů můžete geometricky změřit úhel mezi nimi. I když je stanovena kolmost vektorů, nebude zcela přesná. Nejčastěji vám to tyto úlohy neumožňují pomocí úhloměru, takže tato metoda je použitelná pouze tehdy, když o vektorech není známo nic jiného.
Většina případů prokázání kolmosti dvou nenulových vektorů na rovině nebo v prostoru se provádí pomocí nutná a postačující podmínka pro kolmost dvou vektorů.
Věta 1
Skalární součin dvou nenulových vektorů a → a b → rovný nule pro splnění rovnosti a → , b → = 0 je dostatečný pro jejich kolmost.
Důkaz 1
Nechť jsou dané vektory a → a b → kolmé, pak dokážeme rovnost a ⇀ , b → = 0 .
Z definice bodový součin vektorů víme, že se rovná součin délek daných vektorů a kosinus úhlu mezi nimi. Podle podmínky jsou a → a b → kolmé, což na základě definice znamená, že úhel mezi nimi je 90°. Pak máme a → , b → = a → · b → · cos (a → , b → ^) = a → · b → · cos 90 ° = 0 .
Druhá část důkazu
Za předpokladu, že a ⇀, b → = 0, dokážte kolmost a → a b →.
Ve skutečnosti je důkaz opakem předchozího. Je známo, že a → a b → jsou nenulové, což znamená, že z rovnosti a ⇀ , b → = a → · b → · cos (a → , b →) ^ najdeme kosinus. Pak dostaneme cos (a → , b →) ^ = (a → , b →) a → · b → = 0 a → · b → = 0 . Protože kosinus je nula, můžeme usoudit, že úhel a →, b → ^ vektorů a → a b → je roven 90°. Z definice jde o nezbytnou a postačující vlastnost.
Podmínka kolmosti na souřadnicovou rovinu
Kapitola skalární součin v souřadnicích demonstruje nerovnost (a → , b →) = a x · b x + a y · b y , platnou pro vektory se souřadnicemi a → = (a x , a y) a b → = (b x , b y), na rovině a (a → , b → ) = a x · b x + a y · b y pro vektory a → = (a x, a y, a z) a b → = (b x, b y, b z) v prostoru. Nezbytnou a postačující podmínkou pro kolmost dvou vektorů v souřadnicové rovině je a x · b x + a y · b y = 0, pro trojrozměrný prostor a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0.
Pojďme to uvést do praxe a podívat se na příklady.
Příklad 1
Zkontrolujte vlastnost kolmosti dvou vektorů a → = (2, - 3), b → = (- 6, - 4).
Řešení
Chcete-li tento problém vyřešit, musíte najít skalární součin. Pokud se podle podmínky rovná nule, pak jsou kolmé.
(a → , b →) = a x · b x + a y · b y = 2 · (- 6) + (- 3) · (- 4) = 0 . Podmínka je splněna, to znamená, že dané vektory jsou kolmé k rovině.
Odpovědět: ano, dané vektory a → a b → jsou kolmé.
Příklad 2
Jsou dány souřadnicové vektory i → , j → , k → . Zkontrolujte, zda vektory i → - j → a i → + 2 · j → + 2 · k → mohou být kolmé.
Řešení
Abyste si zapamatovali, jak se určují vektorové souřadnice, musíte si přečíst článek o vektorové souřadnice v pravoúhlém souřadnicovém systému. Zjistíme tedy, že dané vektory i → - j → a i → + 2 · j → + 2 · k → mají odpovídající souřadnice (1, - 1, 0) a (1, 2, 2). Dosadíme číselné hodnoty a dostaneme: i → + 2 · j → + 2 · k → , i → - j → = 1 · 1 + (- 1) · 2 + 0 · 2 = - 1 .
Výraz se nerovná nule, (i → + 2 j → + 2 k →, i → - j →) ≠ 0, což znamená, že vektory i → - j → a i → + 2 j → + 2 k → nejsou kolmé, protože podmínka není splněna.
Odpovědět: ne, vektory i → - j → a i → + 2 · j → + 2 · k → nejsou kolmé.
Příklad 3
Jsou dány vektory a → = (1, 0, - 2) a b → = (λ, 5, 1). Najděte hodnotu λ, při které jsou tyto vektory kolmé.
Řešení
Použijeme podmínku kolmosti dvou vektorů v prostoru ve čtvercovém tvaru, pak dostaneme
a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 λ + 0 5 + (- 2) 1 = 0 ⇔ λ = 2
Odpovědět: vektory jsou při hodnotě λ = 2 kolmé.
Jsou případy, kdy je otázka kolmosti nemožná i za nutné a postačující podmínky. Vzhledem ke známým údajům o třech stranách trojúhelníku na dvou vektorech je možné najít úhel mezi vektory a zkontrolujte to.
Příklad 4
Je dán trojúhelník A B C o stranách A B = 8, A C = 6, B C = 10 cm Zkontrolujte kolmost vektorů A B → a A C →.
Řešení
Pokud jsou vektory A B → a A C → kolmé, považuje se trojúhelník A B C za obdélníkový. Pak použijeme Pythagorovu větu, kde B C je přepona trojúhelníku. Rovnost B C 2 = A B 2 + A C 2 musí platit. Z toho vyplývá, že 10 2 = 8 2 + 6 2 ⇔ 100 = 100. To znamená, že A B a A C jsou ramena trojúhelníku A B C, tedy A B → a A C → jsou kolmé.
Je důležité naučit se najít souřadnice vektoru kolmého k danému. To je možné jak v rovině, tak v prostoru za předpokladu, že vektory jsou kolmé.
Hledání vektoru kolmého k danému v rovině.
Nenulový vektor a → může mít v rovině nekonečný počet kolmých vektorů. Znázorněme to na souřadnicové čáře.
Je dán nenulový vektor a → ležící na přímce a. Potom dané b → , které se nachází na libovolné přímce kolmé k přímce a, se stane kolmým k a → . Pokud je vektor i → kolmý na vektor j → nebo kterýkoli z vektorů λ · j → s λ rovným libovolnému reálnému číslu jinému než nule, pak nalezení souřadnic vektoru b → kolmého k a → = (a x , a y ) je redukován na nekonečnou množinu řešení. Je ale potřeba najít souřadnice vektoru kolmého na a → = (a x , a y) . K tomu je potřeba zapsat podmínku kolmosti vektorů ve tvaru: a x · b x + a y · b y = 0. Máme b x a b y, což jsou požadované souřadnice kolmého vektoru. Když a x ≠ 0, hodnota b y je nenulová a b x lze vypočítat z nerovnosti a x · b x + a y · b y = 0 ⇔ b x = - a y · b y a x. Pro a x = 0 a a y ≠ 0 přiřadíme b x libovolnou hodnotu jinou než nulu a najdeme b y z výrazu b y = - a x · b x a y .
Příklad 5
Je dán vektor se souřadnicemi a → = (- 2 , 2) . Najděte vektor kolmý na toto.
Řešení
Označme požadovaný vektor jako b → (b x , b y) . Jeho souřadnice lze zjistit z podmínky, že vektory a → a b → jsou kolmé. Pak dostaneme: (a → , b →) = a x · b x + a y · b y = - 2 · b x + 2 · b y = 0 . Přiřaďme b y = 1 a dosadíme: - 2 · b x + 2 · b y = 0 ⇔ - 2 · b x + 2 = 0 . Ze vzorce tedy dostaneme b x = - 2 - 2 = 1 2. To znamená, že vektor b → = (1 2 , 1) je vektor kolmý k a → .
Odpovědět: b → = (1 2 , 1) .
Pokud je vznesena otázka o trojrozměrném prostoru, je problém vyřešen podle stejného principu. Pro daný vektor a → = (a x , a y , a z) existuje nekonečný počet kolmých vektorů. Opraví to na trojrozměrné souřadnicové rovině. Dáno a → ležící na přímce a. Rovina kolmá k přímce a je označena α. V tomto případě je libovolný nenulový vektor b → z roviny α kolmý na a →.
Je potřeba najít souřadnice b → kolmé na nenulový vektor a → = (a x , a y , a z) .
Nechť b → je dáno souřadnicemi b x , b y a b z . K jejich nalezení je nutné aplikovat definici podmínky kolmosti dvou vektorů. Musí být splněna rovnost a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0. Z podmínky a → je nenulové, což znamená, že jedna ze souřadnic má hodnotu nerovna nule. Předpokládejme, že a x ≠ 0, (a y ≠ 0 nebo az ≠ 0). Máme tedy právo celou nerovnost a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 vydělit touto souřadnicí, získáme výraz b x + a y · b y + a z · b z a x = 0 ⇔ b x = - a y · b y + a z · b z a x . Souřadnicím b y a b x přiřadíme libovolnou hodnotu, na základě vzorce vypočteme hodnotu b x, b x = - a y · b y + a z · b z a x. Požadovaný kolmý vektor bude mít hodnotu a → = (a x, a y, a z).
Podívejme se na důkaz pomocí příkladu.
Příklad 6
Je dán vektor se souřadnicemi a → = (1, 2, 3) . Najděte vektor kolmý k danému.
Řešení
Označme požadovaný vektor b → = (b x , b y , b z) . Na základě podmínky, že vektory jsou kolmé, musí být skalární součin roven nule.
a ⇀ , b ⇀ = 0 ⇔ a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 b x + 2 b y + 3 b z = 0 ⇔ b x = - (2 b y + 3 b z)
Pokud je hodnota b y = 1, b z = 1, pak b x = - 2 b y - 3 b z = - (2 1 + 3 1) = - 5. Z toho vyplývá, že souřadnice vektoru b → (- 5 , 1 , 1) . Vektor b → je jeden z vektorů kolmých na daný vektor.
Odpovědět: b → = (-5, 1, 1).
Nalezení souřadnic vektoru kolmého na dva dané vektory
Potřebujeme najít souřadnice vektoru v trojrozměrném prostoru. Je kolmá na nekolineární vektory a → (a x , a y , a z) a b → = (b x , b y , b z) . Za předpokladu, že vektory a → a b → jsou kolineární, postačí v úloze najít vektor kolmý na a → nebo b →.
Při řešení se používá koncept vektorového součinu vektorů.
Vektorový součin vektorů a → a b → je vektor, který je současně kolmý k oběma a → a b →. K vyřešení tohoto problému se používá vektorový součin a → × b →. Pro trojrozměrný prostor má tvar a → × b → = a → j → k → a x a y a z b x b y b z
Podívejme se na vektorový součin podrobněji pomocí příkladu problému.
Příklad 7
Jsou dány vektory b → = (0, 2, 3) a a → = (2, 1, 0). Najděte současně souřadnice libovolného vektoru kolmého k datům.
Řešení
Chcete-li vyřešit, musíte najít vektorový součin vektorů. (Viz odstavec výpočet determinantu matice najít vektor). Dostaneme:
a → × b → = i → j → k → 2 1 0 0 2 3 = i → 1 3 + j → 0 0 + k → 2 2 - k → 1 0 - j → 2 3 - i → 0 2 = 3 i → + (- 6) j → + 4 k →
Odpovědět: (3 , - 6 , 4) - souřadnice vektoru, který je současně kolmý k danému a → a b → .
Pokud si všimnete chyby v textu, zvýrazněte ji a stiskněte Ctrl+Enter
Instrukce
Je-li původní vektor na výkresu znázorněn v pravoúhlém dvourozměrném souřadnicovém systému a je zde potřeba sestrojit kolmý, postupujte od definice kolmosti vektorů na rovinu. Uvádí, že úhel mezi takovou dvojicí směrovaných segmentů musí být roven 90°. Takových vektorů lze zkonstruovat nekonečné množství. Proto nakreslete v libovolném výhodná poloha rovina je kolmá k původnímu vektoru, rozložte na ni úsečku rovnající se délce dané uspořádané dvojice bodů a jeden její konec přiřaďte jako začátek kolmého vektoru. Udělejte to pomocí úhloměru a pravítka.
Pokud je původní vektor dán dvourozměrnými souřadnicemi ā = (X₁;Y₁), předpokládejme, že skalární součin dvojice kolmých vektorů musí být roven nule. To znamená, že musíte vybrat pro požadovaný vektor ō = (X₂,Y₂) takové souřadnice, aby platila rovnost (ā,ō) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ = 0. Můžete to udělat takto: vyberte libovolné nenulovou hodnotu pro souřadnici X2 a vypočítejte souřadnici Y2 pomocí vzorce Y2 = -(X1*X2)/Y1. Například pro vektor ā = (15;5) bude vektor ō s úsečkou, rovný jedné a pořadnice rovna -(15*1)/5 = -3, tj. ō = (1;-3).
Pro trojrozměrný a jakýkoli jiný ortogonální souřadnicový systém platí stejná nutná a postačující podmínka pro kolmost vektorů - jejich skalární součin musí být roven nule. Pokud je tedy počáteční směrovaný segment dán souřadnicemi ā = (X₁,Y₁,Z₁), vyberte pro uspořádanou dvojici bodů ō = (X₂,Y₂,Z₂) k ní kolmo takové souřadnice, které splňují podmínku (ā,ō ) = X₁*X₂ + Y₁*Y2 + Z₁*Z₂ = 0. Nejjednodušší způsob je přiřadit jednotlivé hodnoty X2 a Y2 a vypočítat Z₂ ze zjednodušené rovnosti Z₂ = -1*(X₁*1 + Y₁* 1)/Z1 = -(X1+Y1)/Z1. Například pro vektor ā = (3,5,4) to bude mít následující tvar: (ā,ō) = 3*X₂ + 5*Y₂ + 4*Z₂ = 0. Potom vezměte úsečku a pořadnici kolmý vektor jako jedna a v tomto případě se bude rovnat -(3+5)/4 = -2.
Prameny:
- najděte vektor, pokud je kolmý
Říká se jim kolmé vektor, úhel mezi kterým je 90º. Kolmé vektory se konstruují pomocí kreslicích nástrojů. Pokud jsou známy jejich souřadnice, pak lze kolmost vektorů zkontrolovat nebo zjistit pomocí analytických metod.
Budete potřebovat
- - úhloměr;
- - kompas;
- - pravítko.
Instrukce
Sestrojte vektor kolmý k danému. Chcete-li to provést, v bodě, který je začátkem vektoru, obnovte kolmici k němu. To lze provést pomocí úhloměru s nastavením úhlu 90º. Pokud nemáte úhloměr, použijte k tomu kompas.
Nastavte jej na počáteční bod vektoru. Nakreslete kružnici s libovolným poloměrem. Potom sestrojte dva se středy v bodech, kde první kružnice protínala přímku, na které leží vektor. Poloměry těchto kružnic musí být stejné a větší než první sestrojená kružnice. V průsečících kružnic sestrojte přímku, která bude v jeho počátku kolmá k původnímu vektoru, a nakreslete na ni vektor kolmý k tomuto vektoru.
Jednotkový vektor je: , kde 
– vektorový modul.
Odpovědět: 
.
Poznámka. Souřadnice jednotkového vektoru nesmí být větší než jedna.
6.3. Najděte kosinus délky a směru vektoru 
. Porovnejte s odpovědí v předchozím odstavci. Vyvodit závěry.
Délka vektoru je jeho modul:
A můžeme najít směrové kosiny pomocí vzorce pro jeden ze způsobů, jak určit vektory:
Z toho vidíme, že směrové kosiny jsou souřadnicemi jednotkového vektoru.
Odpovědět: 
,
,
,
.
6.4. Nalézt 
.
Je nutné provést akce násobení vektoru číslem, sčítání a modul.
Souřadnice vektorů vynásobíme číslem člen členem.
Souřadnice vektorů přidáváme po členech.
Zjištění modulu vektoru.
Odpovědět: 
6.5. Určete souřadnice vektoru 
, kolineární k vektoru 
, vědět to 
a je nasměrován ve směru opačném k vektoru 
.
Vektor 
kolineární k vektoru 
, což znamená, že jeho jednotkový vektor je roven jednotkovému vektoru 
pouze se znaménkem mínus, protože nasměrované opačným směrem.
Jednotkový vektor má délku rovnou 1, což znamená, že pokud jej vynásobíte 5, bude jeho délka rovna pěti.
Shledáváme 
Odpovědět: 
6.6. Vypočítejte bodové produkty 
A 
. Jsou vektory kolmé? 
A 
,
A 
mezi sebou?
Udělejme skalární součin vektorů.
Jsou-li vektory kolmé, je jejich skalární součin nulový.
Vidíme, že v našem případě vektory 
A 
kolmý.
Odpovědět: 
,
, vektory nejsou kolmé.
Poznámka. Geometrický význam skalárního součinu je v praxi málo užitečný, ale stále existuje. Výsledek takové akce lze znázornit a vypočítat geometricky.
6.7. Najděte práci vykonanou hmotným bodem, na který působí síla 
při přesunu z bodu B do bodu C.
Fyzikální význam skalárního součinu je práce. Vektor síly je zde 
, vektor posunutí je 
. A produktem těchto vektorů bude požadovaná práce.
Hledání práce
6.8. Najděte vnitřní úhel ve vrcholu A a vnější vrcholový úhel C trojúhelník ABC .
Z definice skalárního součinu vektorů získáme vzorec pro zjištění úhlu: .
V 
Vnitřní úhel budeme hledat jako úhel mezi vektory vycházejícími z jednoho bodu.
Chcete-li najít vnější úhel, musíte kombinovat vektory tak, aby vycházely z jednoho bodu. Obrázek to vysvětluje.
To stojí za zmínku 
, jen mají jiné počáteční souřadnice.
Nalezení potřebných vektorů a úhlů
Odpověď: vnitřní úhel ve vrcholu A = 
, vnější úhel ve vrcholu B = 
.
6.9. Najděte průměty vektorů: a
Připomeňme si vektorové vektory: 
,
,
.
Projekce se také zjistí ze skalárního součinu
-projekce b na A.
Dříve získané vektory
,
,
Nalezení projekce
Nalezení druhé projekce
Odpovědět: 
,
Poznámka. Znaménko mínus při nalezení projekce znamená, že projekce neklesá na samotný vektor, ale v opačném směru, na přímku, na které tento vektor leží.
6.10. Vypočítat 
.
Udělejme vektorový součin vektorů
Pojďme najít modul
Z definice vektorového součinu vektorů najdeme sinus úhlu mezi vektory
Odpovědět: 
,
,
.
6.11. Najděte oblast trojúhelníku ABC a délka výšky sestoupila z bodu C.
Geometrický význam modulu vektorového produktu spočívá v tom, že je to plocha rovnoběžníku tvořeného těmito vektory. A plocha trojúhelníku se rovná polovině plochy rovnoběžníku.
Plochu trojúhelníku lze také nalézt jako součin výšky a základny dělený dvěma, z čehož lze odvodit vzorec pro zjištění výšky.
Tak zjistíme výšku
Odpovědět: 
,
.
6.12. Najděte jednotkový vektor kolmý k vektorům 
A 
.
Výsledkem bodového součinu je vektor, který je kolmý na dva původní. A jednotkový vektor je vektor dělený jeho délkou.
Dříve jsme našli:
,
Odpovědět: 
.
6.13. Určete velikost a směrové kosiny momentu síly 
, aplikovaný na A vzhledem k bodu C.
Fyzikální význam vektorového produktu je moment síly. Uveďme ilustraci tohoto úkolu.
Nalezení momentu síly
Odpovědět: 
.
6.14. Lžou vektory 
,
A 
ve stejné rovině? Mohou tyto vektory tvořit základ prostoru? Proč? Pokud mohou, rozšiřte vektor do tohoto základu 
.
Pro kontrolu, zda vektory leží ve stejné rovině, je nutné provést smíšený součin těchto vektorů.
Smíšený součin není roven nule, proto vektory neleží ve stejné rovině (nikoli koplanární) a mohou tvořit základ. Pojďme se rozložit 
na tomto základě.
Rozšiřme o základ řešením rovnice
Odpověď: Vektory 
,
A 
neležte ve stejné rovině. 
.
6.15. Nalézt 
. Jaký je objem jehlanu s vrcholy A, B, C, D a jeho výška snížená z bodu A do základny BCD.
G 
geometrický význam smíšený produkt je, že toto je objem rovnoběžnostěnu tvořeného těmito vektory.
Objem pyramidy je šestkrát menší než objem rovnoběžnostěnu.
Objem pyramidy lze také zjistit takto:
Dostaneme vzorec pro zjištění výšky
Zjištění výšky
Odpověď: objem = 2,5, výška = 
.
6.16. Vypočítat 
A 
.
– Vyzýváme vás, abyste se nad tímto úkolem sami zamysleli.
- Pojďme provést práci.
Dříve přijaté
Odpovědět: 
.
6.17. Vypočítat
Udělejme kroky po částech
3)
Shrňme získané hodnoty
Odpovědět: 
.
6.18. Najít vektor 
s vědomím, že je kolmá k vektorům 
A 
a jeho promítání do vektoru 
rovná se 5.
Rozdělme tento úkol na dva dílčí úkoly
1) Najděte vektor kolmý k vektorům 
A 
libovolná délka.
Kolmý vektor dostaneme jako výsledek vektorového součinu
Dříve jsme našli:
Požadovaný vektor se od přijatého liší pouze délkou
2) Pojďme najít 
přes rovnici
6.19. Najít vektor 
, splňující podmínky 
,
,
.
Podívejme se na tyto podmínky podrobněji.
Jedná se o soustavu lineárních rovnic. Pojďme tento systém složit a vyřešit.
Odpovědět: 
6.20. Určete souřadnice vektoru 
, koplanární s vektory 
A 
a kolmo k vektoru 
.
V této úloze jsou dvě podmínky: koplanarita vektorů a kolmost, splňme nejprve první podmínku a potom druhou.
1) Pokud jsou vektory koplanární, pak je jejich smíšený součin roven nule.
Odtud získáme určitou závislost souřadnic vektoru
Pojďme najít vektor 
.
2) Jsou-li vektory kolmé, pak je jejich skalární součin nulový
Získali jsme druhou závislost souřadnic požadovaného vektoru
Za jakoukoli hodnotu 
vektor bude splňovat podmínky. Pojďme nahradit 
.
Odpovědět: 
.
Analytická geometrie