V tomto tutoriálu se podíváme na každou z těchto operací samostatně.
Obsah lekcePřidávání desetinných míst
Jak víme, desetinný zlomek má celé číslo a zlomkovou část. Při přidávání desetinných míst se odděleně sčítají celé a zlomkové části.
Sečteme například desetinné zlomky 3,2 a 5,3. Je vhodnější přidat desetinné zlomky do sloupce.
Nejprve zapišme tyto dva zlomky do sloupce, přičemž celé části musí být nutně pod celými čísly a zlomky pod zlomky. Ve škole se tomuto požadavku říká "čárka pod čárkou".
Zlomky zapišme do sloupce tak, aby čárka byla pod čárkou:
Začneme sčítat zlomkové části: 2 + 3 = 5. Pětku zapíšeme do zlomkové části naší odpovědi:
Nyní sečteme celé části: 3 + 5 = 8. Do celé části naší odpovědi napíšeme osmičku:
Nyní oddělíme celou část od zlomkové části čárkou. K tomu se opět řídíme pravidlem "čárka pod čárkou":
Obdrželi jsme odpověď 8.5. Takže výraz 3,2 + 5,3 se rovná 8,5
Ve skutečnosti není vše tak jednoduché, jak se na první pohled zdá. Jsou zde i úskalí, o kterých si nyní povíme.
Místa v desetinných číslech
Desetinné zlomky, stejně jako běžná čísla, mají své vlastní číslice. Jsou to místa desetin, místa setin, místa tisícin. V tomto případě číslice začínají za desetinnou čárkou.
První číslice za desetinnou čárkou odpovídá za desetinné místo, druhá číslice za desetinnou čárkou za setiny a třetí číslice za desetinnou čárkou za tisíciny.
Místa v desetinných zlomcích obsahují nějaké užitečné informace. Konkrétně vám řeknou, kolik desetin, setin a tisícin existuje v desetinné soustavě.
Uvažujme například desetinný zlomek 0,345
Pozice, kde se trojka nachází, se nazývá desáté místo
Pozice, kde se nachází čtyřka, se nazývá setinkové místo
Pozice, kde se nachází pětka, se nazývá tisící místo
Podívejme se na tento výkres. Vidíme, že na desátém místě je trojka. To nám říká, že v desetinném zlomku 0,345 jsou tři desetiny.
Sečteme-li zlomky, dostaneme původní desetinný zlomek 0,345
Je vidět, že nejprve jsme dostali odpověď, ale převedli jsme ji na desetinný zlomek a dostali jsme 0,345.
Při sčítání desetinných zlomků se dodržují stejné zásady a pravidla jako při sčítání obyčejných čísel. Sčítání desetinných zlomků probíhá v číslicích: desetiny se přičítají k desetinám, setiny až setiny, tisíciny až tisíciny.
Proto se při sčítání desetinných zlomků musíte řídit pravidlem "čárka pod čárkou". Čárka pod čárkou uvádí samotné pořadí, ve kterém se přidávají desetiny k desetinám, setiny až setiny, tisíciny až tisíciny.
Příklad 1 Najděte hodnotu výrazu 1,5 + 3,4
Nejprve sečteme zlomkové části 5 + 4 = 9. Do zlomkové části naší odpovědi napíšeme devět:
Nyní sečteme celočíselné části 1 + 3 = 4. Čtyři zapíšeme do celočíselné části naší odpovědi:
Nyní oddělíme celou část od zlomkové části čárkou. K tomu se opět řídíme pravidlem „čárka pod čárkou“:
Odpověď jsme obdrželi 4.9. To znamená, že hodnota výrazu 1,5 + 3,4 je 4,9
Příklad 2 Najděte hodnotu výrazu: 3,51 + 1,22
Tento výraz zapíšeme do sloupce, přičemž dodržujeme pravidlo „čárka pod čárkou“.
Nejprve sečteme zlomkovou část, a to setiny 1+2=3. Ve sté části naší odpovědi píšeme trojku:
Nyní přidejte desetiny 5+2=7. V desáté části naší odpovědi píšeme sedmičku:
Nyní sečteme celé díly 3+1=4. Čtyři píšeme v celé části naší odpovědi:
Celou část oddělíme od zlomkové části čárkou, přičemž dodržujeme pravidlo „čárka pod čárkou“:
Odpověď, kterou jsme dostali, byla 4,73. To znamená, že hodnota výrazu 3,51 + 1,22 se rovná 4,73
3,51 + 1,22 = 4,73
Stejně jako u běžných čísel platí, že při sčítání desetinných míst . V tomto případě se do odpovědi zapíše jedna číslice a zbytek se přenese na další číslici.
Příklad 3 Najděte hodnotu výrazu 2,65 + 3,27
Tento výraz zapíšeme do sloupce:
Sečtěte setiny dílů 5+7=12. Číslo 12 se do stého dílu naší odpovědi nevejde. Proto ve sté části napíšeme číslo 2 a přesuneme jednotku na další číslici:
Nyní sečteme desetiny 6+2=8 plus jednotku, kterou jsme dostali z předchozí operace, dostaneme 9. Do desetiny naší odpovědi zapíšeme číslo 9:
Nyní přidáme celé díly 2+3=5. Do celočíselné části naší odpovědi zapíšeme číslo 5:
Odpověď, kterou jsme dostali, byla 5,92. To znamená, že hodnota výrazu 2,65 + 3,27 se rovná 5,92
2,65 + 3,27 = 5,92
Příklad 4. Najděte hodnotu výrazu 9,5 + 2,8
Tento výraz zapíšeme do sloupce
Sečteme zlomkové části 5 + 8 = 13. Číslo 13 se nám nevejde do zlomkové části naší odpovědi, proto si nejprve zapíšeme číslo 3 a jednotku přesuneme na další číslici, resp. celá část:
Nyní sečteme části celého čísla 9+2=11 plus jednotku, kterou jsme dostali z předchozí operace, dostaneme 12. Do celočíselné části naší odpovědi zapíšeme číslo 12:
Oddělte celou část od zlomkové části čárkou:
Odpověď jsme obdrželi 12.3. To znamená, že hodnota výrazu 9,5 + 2,8 je 12,3
9,5 + 2,8 = 12,3
Při sčítání desetinných míst musí být počet číslic za desetinnou čárkou v obou zlomcích stejný. Pokud není dostatek čísel, jsou tato místa ve zlomkové části vyplněna nulami.
Příklad 5. Najděte hodnotu výrazu: 12,725 + 1,7
Než zapíšeme tento výraz do sloupce, srovnejme počet číslic za desetinnou čárkou v obou zlomcích. Desetinný zlomek 12,725 má tři číslice za desetinnou čárkou, ale zlomek 1,7 má pouze jednu. To znamená, že ve zlomku 1,7 je potřeba na konci přidat dvě nuly. Pak dostaneme zlomek 1,700. Nyní můžete tento výraz zapsat do sloupce a začít počítat:
Sečtěte tisíciny dílů 5+0=5. Do tisící části naší odpovědi zapíšeme číslo 5:
Sečtěte setiny 2+0=2. Ve sté části naší odpovědi píšeme číslo 2:
Přidejte desetiny 7+7=14. Číslo 14 se nevejde do desetiny naší odpovědi. Proto si nejprve zapíšeme číslo 4 a přesuneme jednotku na další číslici:
Nyní sečteme části celého čísla 12+1=13 plus jednotku, kterou jsme dostali z předchozí operace, dostaneme 14. Do celočíselné části naší odpovědi zapíšeme číslo 14:
Oddělte celou část od zlomkové části čárkou:
Obdrželi jsme odpověď 14 425. To znamená, že hodnota výrazu 12,725+1,700 je 14,425
12,725+ 1,700 = 14,425
Odečítání desetinných míst
Při odčítání desetinných zlomků musíte dodržovat stejná pravidla jako při sčítání: „čárka pod čárkou“ a „ stejné množstvíčísla za desetinnou čárkou."
Příklad 1 Najděte hodnotu výrazu 2,5 − 2,2
Tento výraz zapíšeme do sloupce, přičemž dodržujeme pravidlo „čárka pod čárkou“:
Vypočítáme zlomkovou část 5−2=3. V desáté části naší odpovědi píšeme číslo 3:
Vypočítáme celočíselnou část 2−2=0. Do celé části naší odpovědi zapíšeme nulu:
Oddělte celou část od zlomkové části čárkou:
Obdrželi jsme odpověď 0,3. To znamená, že hodnota výrazu 2,5 − 2,2 je rovna 0,3
2,5 − 2,2 = 0,3
Příklad 2 Najděte hodnotu výrazu 7,353 - 3,1
Tento výraz má různý počet desetinných míst. Zlomek 7,353 má tři číslice za desetinnou čárkou, ale zlomek 3,1 má pouze jednu. To znamená, že ve zlomku 3.1 je potřeba přidat dvě nuly na konec, aby byl počet číslic v obou zlomcích stejný. Pak dostaneme 3100.
Nyní můžete tento výraz zapsat do sloupce a vypočítat jej:
Obdrželi jsme odpověď 4 253. To znamená, že hodnota výrazu 7,353 − 3,1 se rovná 4,253
7,353 — 3,1 = 4,253
Stejně jako u běžných čísel si někdy budete muset půjčit jedničku ze sousední číslice, pokud se odečítání stane nemožným.
Příklad 3 Najděte hodnotu výrazu 3,46 − 2,39
Odečtěte setiny 6–9. Číslo 9 nemůžete odečíst od čísla 6. Proto si musíte půjčit jedničku od sousední číslice. Vypůjčením jedničky od sousední číslice se číslo 6 změní na číslo 16. Nyní můžete vypočítat setiny z 16−9=7. Ve sté části naší odpovědi píšeme sedmičku:
Nyní odečteme desetiny. Protože jsme obsadili jednu jednotku na desátém místě, číslo, které se tam nacházelo, se snížilo o jednotku. Jinými slovy, na místě desetin nyní není číslo 4, ale číslo 3. Vypočítejme desetiny z 3−3=0. V desáté části naší odpovědi píšeme nulu:
Nyní odečteme celé části 3−2=1. Jednu zapíšeme do celé části naší odpovědi:
Oddělte celou část od zlomkové části čárkou:
Obdrželi jsme odpověď 1.07. To znamená, že hodnota výrazu 3,46−2,39 je rovna 1,07
3,46−2,39=1,07
Příklad 4. Najděte hodnotu výrazu 3−1.2
Tento příklad odečte desetinné místo od celého čísla. Zapišme tento výraz do sloupce tak, aby celá část desetinného zlomku 1,23 byla pod číslem 3
Nyní udělejme počet číslic za desetinnou čárkou stejný. Za tímto účelem dáme za číslo 3 čárku a přidáme jednu nulu:
Nyní odečteme desetiny: 0−2. Číslo 2 nelze odečíst od nuly, proto si musíte půjčit jedničku od sousední číslice. Po vypůjčení jedničky ze sousední číslice se 0 změní na číslo 10. Nyní můžete vypočítat desetiny z 10−2=8. V desáté části naší odpovědi píšeme osmičku:
Nyní odečteme celé části. Dříve se číslo 3 nacházelo v celku, ale vzali jsme z něj jednu jednotku. Ve výsledku se změnil na číslo 2. Od 2 tedy odečteme 1. 2−1=1. Jednu zapíšeme do celé části naší odpovědi:
Oddělte celou část od zlomkové části čárkou:
Odpověď, kterou jsme dostali, byla 1.8. To znamená, že hodnota výrazu 3−1,2 je 1,8
Násobení desetinných míst
Násobení desetinných míst je jednoduché a dokonce zábavné. Chcete-li násobit desetinná místa, násobte je jako běžná čísla, čárky ignorujte.
Po obdržení odpovědi je třeba oddělit celou část od zlomkové části čárkou. Chcete-li to provést, musíte spočítat počet číslic za desetinnou čárkou v obou zlomcích, poté spočítat stejný počet číslic zprava v odpovědi a dát čárku.
Příklad 1 Najděte hodnotu výrazu 2,5 × 1,5
Vynásobme tyto desetinné zlomky jako běžná čísla, čárky ignorujeme. Chcete-li čárky ignorovat, můžete si dočasně představit, že úplně chybí:
Dostali jsme 375. V tomto čísle je třeba oddělit celočíselnou část od zlomkové části čárkou. K tomu je potřeba spočítat počet číslic za desetinnou čárkou ve zlomcích 2,5 a 1,5. První zlomek má jednu číslici za desetinnou čárkou a druhý zlomek má také jednu. Celkem dvě čísla.
Vracíme se k číslu 375 a začínáme se pohybovat zprava doleva. Musíme spočítat dvě číslice vpravo a dát čárku:
Obdrželi jsme odpověď 3,75. Takže hodnota výrazu 2,5 × 1,5 je 3,75
2,5 × 1,5 = 3,75
Příklad 2 Najděte hodnotu výrazu 12,85 × 2,7
Vynásobme tyto desetinné zlomky, čárky ignorujeme:
Dostali jsme 34695. V tomto čísle musíte oddělit celočíselnou část od zlomkové části čárkou. K tomu je potřeba spočítat počet číslic za desetinnou čárkou ve zlomcích 12,85 a 2,7. Zlomek 12,85 má za desetinnou čárkou dvě číslice a zlomek 2,7 jednu číslici – celkem tři číslice.
Vracíme se k číslu 34695 a začínáme se pohybovat zprava doleva. Musíme spočítat tři číslice zprava a dát čárku:
Obdrželi jsme odpověď 34 695. Takže hodnota výrazu 12,85 × 2,7 je 34,695
12,85 × 2,7 = 34,695
Násobení desetinného čísla běžným číslem
Někdy nastanou situace, kdy potřebujete vynásobit desetinný zlomek běžným číslem.
Chcete-li vynásobit desetinné místo a číslo, musíte je vynásobit, aniž byste věnovali pozornost čárce v desetinné čárce. Po obdržení odpovědi je třeba oddělit celou část od zlomkové části čárkou. Chcete-li to provést, musíte spočítat počet číslic za desetinnou čárkou v desetinném zlomku, poté spočítat stejný počet číslic zprava v odpovědi a dát čárku.
Například vynásobte 2,54 číslem 2
Vynásobte desetinný zlomek 2,54 obvyklým číslem 2, čárku ignorujte:
Dostali jsme číslo 508. V tomto čísle je potřeba oddělit celočíselnou část od zlomkové části čárkou. K tomu je potřeba spočítat počet číslic za desetinnou čárkou ve zlomku 2,54. Zlomek 2,54 má za desetinnou čárkou dvě číslice.
Vracíme se k číslu 508 a začínáme se pohybovat zprava doleva. Musíme spočítat dvě číslice vpravo a dát čárku:
Odpověď jsme obdrželi 5.8. Takže hodnota výrazu 2,54 × 2 je 5,08
2,54 × 2 = 5,08
Násobení desetinných míst 10, 100, 1000
Násobení desetinných míst 10, 100 nebo 1000 se provádí stejným způsobem jako násobení desetinných míst běžnými čísly. Musíte provést násobení, nevěnujte pozornost čárce v desetinném zlomku, pak v odpovědi oddělte celou část od zlomkové části a počítejte zprava stejný počet číslic, jako bylo číslic za desetinnou čárkou.
Například vynásobte 2,88 10
Vynásobte desetinný zlomek 2,88 10, čárku v desetinném zlomku ignorujte:
Dostali jsme 2880. V tomto čísle je třeba oddělit celočíselnou část od zlomkové části čárkou. K tomu je potřeba spočítat počet číslic za desetinnou čárkou ve zlomku 2,88. Vidíme, že zlomek 2,88 má za desetinnou čárkou dvě číslice.
Vracíme se k číslu 2880 a začínáme se pohybovat zprava doleva. Musíme spočítat dvě číslice vpravo a dát čárku:
Obdrželi jsme odpověď 28.80. Vypustíme poslední nulu a dostaneme 28.8. To znamená, že hodnota výrazu 2,88×10 je 28,8
2,88 × 10 = 28,8
Existuje druhý způsob, jak násobit desetinné zlomky 10, 100, 1000. Tato metoda je mnohem jednodušší a pohodlnější. Spočívá v posunutí desetinné čárky doprava o tolik číslic, kolik je nul ve faktoru.
Vyřešme například předchozí příklad 2,88×10 takto. Aniž bychom uváděli jakékoli výpočty, okamžitě se podíváme na faktor 10. Zajímá nás, kolik nul je v něm. Vidíme, že je v něm jedna nula. Nyní ve zlomku 2,88 posuneme desetinnou čárku o jednu číslici doprava, dostaneme 28,8.
2,88 × 10 = 28,8
Zkusme vynásobit 2,88 100. Okamžitě se podíváme na faktor 100. Zajímá nás, kolik je v něm nul. Vidíme, že jsou v něm dvě nuly. Nyní ve zlomku 2,88 posuneme desetinnou čárku na dvě správné číslice, dostaneme 288
2,88 × 100 = 288
Zkusme vynásobit 2,88 1000. Okamžitě se podíváme na faktor 1000. Zajímá nás, kolik je v něm nul. Vidíme, že jsou v něm tři nuly. Nyní ve zlomku 2,88 posuneme desetinnou čárku doprava o tři číslice. Není tam žádná třetí číslice, takže přidáme další nulu. Výsledkem je 2880.
2,88 × 1000 = 2880
Násobení desetinných míst 0,1 0,01 a 0,001
Násobení desetinných míst 0,1, 0,01 a 0,001 funguje stejně jako násobení desetinného místa desetinným místem. Zlomky je nutné násobit jako běžná čísla a do odpovědi dát čárku, přičemž se počítá tolik číslic vpravo, kolik je číslic za desetinnou čárkou v obou zlomcích.
Například vynásobte 3,25 0,1
Tyto zlomky násobíme jako běžná čísla, čárky ignorujeme:
Dostali jsme 325. V tomto čísle musíte oddělit celočíselnou část od zlomkové části čárkou. K tomu je potřeba spočítat počet číslic za desetinnou čárkou ve zlomcích 3,25 a 0,1. Zlomek 3,25 má za desetinnou čárkou dvě číslice a zlomek 0,1 jednu číslici. Celkem tři čísla.
Vracíme se k číslu 325 a začínáme se pohybovat zprava doleva. Musíme spočítat tři číslice zprava a dát čárku. Po odpočítání tří číslic zjistíme, že čísla došla. V tomto případě musíte přidat jednu nulu a přidat čárku:
Obdrželi jsme odpověď 0,325. To znamená, že hodnota výrazu 3,25 × 0,1 je 0,325
3,25 × 0,1 = 0,325
Existuje druhý způsob, jak násobit desetinná místa 0,1, 0,01 a 0,001. Tato metoda je mnohem jednodušší a pohodlnější. Spočívá v posunutí desetinné čárky doleva o tolik číslic, kolik je nul ve faktoru.
Vyřešme například předchozí příklad 3,25 × 0,1 takto. Aniž bychom uváděli jakékoli výpočty, okamžitě se podíváme na násobitel 0,1. Zajímá nás, kolik je v něm nul. Vidíme, že je v něm jedna nula. Nyní ve zlomku 3,25 posuneme desetinnou čárku doleva o jednu číslici. Posunutím čárky o jednu číslici doleva vidíme, že před trojkou už žádné číslice nejsou. V tomto případě přidejte jednu nulu a vložte čárku. Výsledek je 0,325
3,25 × 0,1 = 0,325
Zkusme vynásobit 3,25 0,01. Okamžitě se podíváme na multiplikátor 0,01. Zajímá nás, kolik je v něm nul. Vidíme, že jsou v něm dvě nuly. Nyní ve zlomku 3,25 posuneme desetinnou čárku doleva o dvě číslice, dostaneme 0,0325
3,25 × 0,01 = 0,0325
Zkusme vynásobit 3,25 0,001. Okamžitě se podíváme na multiplikátor 0,001. Zajímá nás, kolik je v něm nul. Vidíme, že jsou v něm tři nuly. Nyní ve zlomku 3,25 posuneme desetinnou čárku doleva o tři číslice, dostaneme 0,00325
3,25 × 0,001 = 0,00325
Nezaměňujte násobení desetinných zlomků 0,1, 0,001 a 0,001 s násobením 10, 100, 1000. Typická chyba pro většinu lidí.
Při násobení 10, 100, 1000 se desetinná čárka posune doprava o stejný počet číslic, o kolik jsou nuly v násobiteli.
A při násobení 0,1, 0,01 a 0,001 se desetinná čárka posune doleva o stejný počet číslic, o kolik jsou nuly v násobiteli.
Pokud je zpočátku obtížné si to zapamatovat, můžete použít první metodu, ve které se násobení provádí jako u běžných čísel. V odpovědi budete muset oddělit celou část od zlomkové části spočítáním stejného počtu číslic napravo, jako je číslic za desetinnou čárkou v obou zlomcích.
Dělení menšího čísla větším číslem. Pokročilá úroveň.
V jedné z předchozích lekcí jsme si řekli, že při dělení menšího čísla větším číslem získáme zlomek, jehož čitatelem je dělenec a jmenovatelem dělitel.
Chcete-li například rozdělit jedno jablko mezi dva lidi, musíte do čitatele napsat 1 (jedno jablko) a do jmenovatele napsat 2 (dva přátelé). V důsledku toho dostaneme zlomek . To znamená, že každý přítel dostane jablko. Jinými slovy, půl jablka. Zlomek je odpovědí na problém „Jak rozdělit jedno jablko na dvě“
Ukazuje se, že tento problém můžete dále vyřešit, pokud vydělíte 1 2. Koneckonců zlomková čára v jakémkoli zlomku znamená dělení, a proto je toto dělení ve zlomku povoleno. Ale jak? Jsme zvyklí, že dividenda je vždy větší než dělitel. Ale zde je naopak dividenda menší než dělitel.
Vše se vyjasní, když si zapamatujeme, že zlomek znamená drcení, dělení, dělení. To znamená, že jednotku lze rozdělit na libovolný počet částí, nikoli pouze na dvě části.
Když vydělíte menší číslo větším číslem, dostanete desetinný zlomek, ve kterém je celá část 0 (nula). Zlomkovou částí může být cokoliv.
Vydělme tedy 1 2. Vyřešme tento příklad s rohem:
Jeden se nedá úplně rozdělit na dva. Pokud položíte otázku "kolik dvojek je v jednom" , pak bude odpověď 0. Proto do podílu napíšeme 0 a dáme čárku:
Nyní, jako obvykle, vynásobíme podíl dělitelem, abychom dostali zbytek:
Nastal okamžik, kdy lze jednotku rozdělit na dvě části. Chcete-li to provést, přidejte další nulu napravo od výsledné:
Dostali jsme 10. Vydělte 10 2, dostaneme 5. Pětku zapíšeme do zlomkové části naší odpovědi:
Nyní vyjmeme poslední zbytek, abychom dokončili výpočet. Vynásobte 5 x 2 a dostanete 10
Dostali jsme odpověď 0,5. Zlomek je tedy 0,5
Půlku jablka lze zapsat i pomocí desetinného zlomku 0,5. Pokud sečteme tyto dvě poloviny (0,5 a 0,5), dostaneme opět původní jedno celé jablko: 
Tento bod lze také pochopit, pokud si představíte, jak je 1 cm rozdělen na dvě části. Pokud rozdělíte 1 centimetr na 2 části, získáte 0,5 cm
Příklad 2 Najděte hodnotu výrazu 4:5
Kolik pětek je ve čtyřce? Vůbec ne. Do podílu napíšeme 0 a dáme čárku:
Vynásobíme 0 5, dostaneme 0. Pod čtyřku napíšeme nulu. Okamžitě odečtěte tuto nulu od dividendy:
Nyní začneme rozdělovat (rozdělovat) čtyři na 5 částí. Chcete-li to provést, přidejte nulu napravo od 4 a vydělte 40 5, dostaneme 8. Do podílu napíšeme osm.
Příklad dokončíme vynásobením 8 x 5, abychom dostali 40:
Obdrželi jsme odpověď 0,8. To znamená, že hodnota výrazu 4:5 je 0,8
Příklad 3 Najděte hodnotu výrazu 5: 125
Kolik čísel je 125 v pěti? Vůbec ne. Do podílu napíšeme 0 a dáme čárku:
Vynásobíme 0 5, dostaneme 0. Pod pětku napíšeme 0. Okamžitě odečtěte 0 od pěti
Nyní začneme rozdělovat (rozdělovat) pětku na 125 částí. Za tímto účelem napíšeme nulu napravo od této pětice:
Vydělte 50 125. Kolik čísel je 125 v čísle 50? Vůbec ne. Takže v kvocientu píšeme znovu 0
Vynásobte 0 125, dostaneme 0. Napište tuto nulu pod 50. Okamžitě odečtěte 0 od 50
Nyní rozdělte číslo 50 na 125 dílů. Za tímto účelem napíšeme další nulu napravo od 50:
Vydělte 500 125. Kolik čísel je 125 v čísle 500 jsou čtyři čísla 125. Napište čtyři do podílu:
Příklad dokončíme vynásobením 4 x 125, abychom dostali 500
Obdrželi jsme odpověď 0,04. To znamená, že hodnota výrazu 5: 125 je 0,04
Dělení čísel beze zbytku
Za jednotku v kvocientu tedy dáme čárku, čímž označíme, že dělení celých částí skončilo a přecházíme na zlomkovou část:
Ke zbytku 4 přičteme nulu
Nyní vydělte 40 5, dostaneme 8. Do podílu zapíšeme osm:
40-40=0. Zbývá nám 0. To znamená, že divize je zcela dokončena. Vydělením 9 5 dostaneme desetinný zlomek 1,8:
9: 5 = 1,8
Příklad 2. Vydělte 84 5 beze zbytku
Nejprve vydělte 84 5 jako obvykle se zbytkem:
Máme jich 16 v soukromí a další 4 zbývají. Nyní vydělme tento zbytek 5. Do podílu dejte čárku a ke zbytku 4 přidejte 0
Nyní vydělte 40 5, dostaneme 8. Osmičku zapíšeme do podílu za desetinnou čárkou:
a dokončete příklad kontrolou, zda stále existuje zbytek:
Dělení desetinného čísla běžným číslem
Desetinný, jak víme, se skládá z celého čísla a zlomkové části. Při dělení desetinného zlomku běžným číslem musíte nejprve:
- tímto číslem vydělte celou část desetinného zlomku;
- po rozdělení celé části je třeba okamžitě vložit čárku do kvocientu a pokračovat ve výpočtu jako při normálním dělení.
Například vydělte 4,8 2
Napišme tento příklad do rohu:
Nyní vydělme celou část 2. Čtyři děleno dvěma se rovná dvěma. Do podílu napíšeme dvě a hned dáme čárku:
Nyní vynásobíme podíl dělitelem a uvidíme, zda existuje zbytek z dělení:
4-4=0. Zbytek je nula. Nulu zatím nepíšeme, protože řešení není dokončeno. Dále pokračujeme ve výpočtu jako při běžném dělení. Vezměte 8 a vydělte to 2
8: 2 = 4. Čtyřku zapíšeme do podílu a hned ho vynásobíme dělitelem:
Odpověď jsme obdrželi 2.4. Hodnota výrazu 4,8:2 je 2,4
Příklad 2 Najděte hodnotu výrazu 8,43: 3
Vydělte 8 třemi, dostaneme 2. Okamžitě dejte čárku za 2:
Nyní vynásobíme podíl dělitelem 2 × 3 = 6. Šestku zapíšeme pod osmičku a najdeme zbytek:
Vydělte 24 3, dostaneme 8. Do podílu zapíšeme osm. Okamžitě to vynásobte dělitelem, abyste našli zbytek dělení:
24-24=0. Zbytek je nula. Nulu zatím nezapisujeme. Z dividendy odebereme poslední tři a vydělíme 3, dostaneme 1. Okamžitě vynásobte 1 3, abyste dokončili tento příklad:
Odpověď, kterou jsme obdrželi, byla 2,81. To znamená, že hodnota výrazu 8,43:3 je 2,81
Dělení desetinného místa desetinným místem
Chcete-li vydělit desetinný zlomek desetinným zlomkem, musíte posunout desetinnou čárku v dělenci a děliteli doprava o stejný počet číslic, jaký je za desetinnou čárkou v děliteli, a poté vydělit obvyklým číslem.
Například vydělte 5,95 číslem 1,7
Napišme tento výraz s rohem
Nyní v dělenci a v děliteli posuneme čárku doprava o stejný počet číslic, jaký je za desetinnou čárkou v děliteli. Dělitel má jednu číslici za desetinnou čárkou. To znamená, že v děliteli a děliteli musíme posunout desetinnou čárku doprava o jednu číslici. Přenášíme:
Po posunutí desetinné čárky o jednu číslici doprava se z desetinného zlomku 5,95 stal zlomek 59,5. A desetinný zlomek 1,7 se po posunutí desetinné čárky o jednu číslici doprava změnil na obvyklé číslo 17. A už víme, jak dělit desetinný zlomek běžným číslem. Další výpočet není obtížný:
Čárka je posunuta doprava, aby se usnadnilo dělení. To je povoleno, protože při násobení nebo dělení dividendy a dělitele stejným číslem se podíl nezmění. Co to znamená?
Toto je jeden z zajímavé funkce divize. Říká se tomu kvocientová vlastnost. Uvažujme výraz 9: 3 = 3. Pokud jsou v tomto výrazu dělenec a dělitel násobeny nebo děleny stejným číslem, pak se podíl 3 nezmění.
Vynásobme dividendu a dělitele 2 a uvidíme, co z toho vzejde:
(9 × 2): (3 × 2) = 18: 6 = 3
Jak je vidět z příkladu, kvocient se nezměnil.
Totéž se stane, když posuneme čárku v dividendě a v děliteli. V předchozím příkladu, kde jsme dělili 5,91 1,7, jsme čárku v děliteli a děliteli posunuli o jednu číslici doprava. Po posunutí desetinné čárky se zlomek 5,91 přeměnil na zlomek 59,1 a zlomek 1,7 na obvyklé číslo 17.
Ve skutečnosti v tomto procesu došlo k násobení 10. Takto to vypadalo:
5,91 × 10 = 59,1
Počet číslic za desetinnou čárkou v děliteli tedy určuje, čím se bude dělenec a dělitel násobit. Jinými slovy, počet číslic za desetinnou čárkou v děliteli určí, o kolik číslic v děliteli a v děliteli se desetinná čárka posune doprava.
Dělení desetinného čísla 10, 100, 1000
Dělení desetinného místa 10, 100 nebo 1000 se provádí stejným způsobem jako . Například vydělte 2,1 10. Vyřešte tento příklad pomocí rohu:
Ale existuje i druhý způsob. Je lehčí. Podstatou této metody je, že čárka v děliteli se posune doleva o tolik číslic, kolik je nul v děliteli.
Vyřešme předchozí příklad takto. 2,1: 10. Podíváme se na dělitele. Zajímá nás, kolik je v něm nul. Vidíme, že je jedna nula. To znamená, že v dividendě 2,1 musíte posunout desetinnou čárku doleva o jednu číslici. Posuneme čárku o jednu číslici doleva a uvidíme, že už žádné další číslice nezbývají. V tomto případě přidejte před číslo další nulu. Výsledkem je 0,21
Zkusme vydělit 2,1 100. Ve 100 jsou dvě nuly. To znamená, že v dividendě 2.1 musíme posunout čárku doleva o dvě číslice:
2,1: 100 = 0,021
Zkusme vydělit 2,1 1000. V 1000 jsou tři nuly. To znamená, že v dividendě 2.1 musíte posunout čárku doleva o tři číslice:
2,1: 1000 = 0,0021
Dělení desetinného čísla 0,1, 0,01 a 0,001
Dělení desetinného zlomku 0,1, 0,01 a 0,001 se provádí stejným způsobem jako . V děliteli a v děliteli musíte posunout desetinnou čárku doprava o tolik číslic, kolik je za desetinnou čárkou v děliteli.
Vydělme například 6,3 0,1. Nejprve posuňte čárky v dělenci a děliteli doprava o stejný počet číslic, jaký je za desetinnou čárkou v děliteli. Dělitel má jednu číslici za desetinnou čárkou. To znamená, že posuneme čárky v dividendě a děliteli doprava o jednu číslici.
Po posunutí desetinné čárky o jednu číslici doprava se desetinný zlomek 6,3 stane obvyklým číslem 63 a desetinný zlomek 0,1 po posunutí desetinné čárky doprava o jednu číslici se změní na jedničku. A dělení 63 číslem 1 je velmi jednoduché:
To znamená, že hodnota výrazu 6,3: 0,1 je 63
Ale existuje i druhý způsob. Je lehčí. Podstatou této metody je, že čárka v dělenci se posune doprava o tolik číslic, kolik je nul v děliteli.
Vyřešme předchozí příklad takto. 6,3: 0,1. Podívejme se na dělitele. Zajímá nás, kolik je v něm nul. Vidíme, že je jedna nula. To znamená, že v dividendě 6,3 musíte posunout desetinnou čárku doprava o jednu číslici. Posuňte čárku o jednu číslici doprava a dostanete 63
Zkusme vydělit 6,3 0,01. Dělitel 0,01 má dvě nuly. To znamená, že v dividendě 6.3 potřebujeme posunout desetinnou čárku doprava o dvě číslice. Ale v dividendě je pouze jedna číslice za desetinnou čárkou. V tomto případě musíte na konec přidat další nulu. Výsledkem je 630
Zkusme vydělit 6,3 0,001. Dělitel 0,001 má tři nuly. To znamená, že v dividendě 6.3 musíme posunout desetinnou čárku doprava o tři číslice:
6,3: 0,001 = 6300
Úkoly pro samostatné řešení
Líbila se vám lekce?
Připojte se k našemu nová skupina VKontakte a začněte dostávat upozornění na nové lekce
Z mnoha zlomků nalezených v aritmetice si zvláštní pozornost zaslouží ty, které mají ve jmenovateli 10, 100, 1000 - obecně jakákoli mocnina deseti. Tyto zlomky mají zvláštní název a zápis.
Desetinné číslo je jakýkoli zlomek čísla, jehož jmenovatelem je mocnina deseti.
Příklady desetinných zlomků:
Proč bylo vůbec nutné takové zlomky oddělovat? Proč potřebují vlastní nahrávací formu? Jsou pro to minimálně tři důvody:
- Porovnání desetinných míst je mnohem jednodušší. Pamatujte: pro srovnání obyčejných zlomků je potřeba je od sebe odečítat a zejména zlomky zmenšit na Společným jmenovatelem. V desítkové soustavě se nic takového nevyžaduje;
- Snížit výpočet. Desetinná čísla se sčítají a násobí podle vlastních pravidel a s trochou cviku s nimi budete pracovat mnohem rychleji než s běžnými zlomky;
- Snadnost nahrávání. Na rozdíl od běžných zlomků se desetinná místa zapisují na jeden řádek bez ztráty srozumitelnosti.
Většina kalkulaček také dává odpovědi v desetinných číslech. V některých případech může jiný formát záznamu způsobit problémy. Co když například požádáte o drobné v obchodě ve výši 2/3 rublu :)
Pravidla pro zápis desetinných zlomků
Hlavní výhodou desetinných zlomků je pohodlný a vizuální zápis. A to:
Desetinný zápis je forma zápisu desetinných zlomků, kde je celočíselná část oddělena od zlomkové části pravidelnou tečkou nebo čárkou. V tomto případě se samotný oddělovač (tečka nebo čárka) nazývá desetinná čárka.
Například 0,3 (čti: „nula ukazatelů, 3 desetiny“); 7,25 (7 celých, 25 setin); 3,049 (3 celé, 49 tisícin). Všechny příklady jsou převzaty z předchozí definice.
Při psaní se jako desetinná čárka obvykle používá čárka. Zde a dále na celém webu bude také použita čárka.
Chcete-li zapsat libovolný desetinný zlomek v tomto tvaru, musíte provést tři jednoduché kroky:
- Čitatele vypište samostatně;
- Posuňte desetinnou čárku doleva o tolik míst, kolik je nul ve jmenovateli. Předpokládejme, že zpočátku je desetinná čárka napravo od všech číslic;
- Pokud se desetinná čárka posunula a za ní jsou na konci zápisu nuly, je třeba je přeškrtnout.
Stává se, že v druhém kroku čitatel nemá dostatek číslic na dokončení směny. V tomto případě jsou chybějící pozice vyplněny nulami. A obecně, nalevo od libovolného čísla můžete bez újmy na zdraví přiřadit libovolný počet nul. Je to ošklivé, ale někdy užitečné.
Na první pohled se tento algoritmus může zdát poměrně složitý. Ve skutečnosti je vše velmi, velmi jednoduché – stačí jen trochu cvičit. Podívejte se na příklady:
Úkol. U každého zlomku uveďte jeho desetinný zápis:
Čitatel prvního zlomku je: 73. Desetinnou čárku posuneme o jedno místo (protože jmenovatel je 10) - dostaneme 7,3.
Čitatel druhého zlomku: 9. Posuneme desetinnou čárku o dvě místa (protože jmenovatel je 100) - dostaneme 0,09. Musel jsem přidat jednu nulu za desetinnou čárku a ještě jednu před ní, abych nezanechal podivný záznam jako „.09“.
Čitatel třetího zlomku je: 10029. Desetinnou čárku posuneme o tři místa (protože jmenovatel je 1000) - dostaneme 10,029.
Čitatel posledního zlomku: 10500. Opět posuneme bod o tři číslice - dostaneme 10 500. Na konci čísla jsou nuly navíc. Škrtni je a dostaneme 10,5.
Věnujte pozornost posledním dvěma příkladům: číslům 10.029 a 10.5. Podle pravidel musí být nuly vpravo přeškrtnuty, jak bylo provedeno v minulém příkladu. Nikdy byste to však neměli dělat s nulami uvnitř čísla (které jsou obklopeny jinými čísly). Proto jsme dostali 10,029 a 10,5, a ne 1,29 a 1,5.
Takže jsme přišli na definici a formu zápisu desetinných zlomků. Nyní zjistíme, jak převést obyčejné zlomky na desetinná místa – a naopak.
Převod ze zlomků na desetinná místa
Uvažujme jednoduchý číselný zlomek tvaru a /b. Můžete použít základní vlastnost zlomku a vynásobit čitatele a jmenovatele takovým číslem, aby se dolní část ukázala jako mocnina deseti. Než to však uděláte, přečtěte si následující:
Existují jmenovatele, které nelze redukovat na mocniny deseti. Naučte se takové zlomky rozpoznávat, protože s nimi nelze pracovat pomocí níže popsaného algoritmu.
A je to. Jak chápete, zda je jmenovatel snížen na mocninu deset nebo ne?
Odpověď je jednoduchá: rozdělte jmenovatele na hlavní faktory. Pokud expanze obsahuje pouze faktory 2 a 5, lze toto číslo snížit na mocninu deseti. Pokud existují jiná čísla (3, 7, 11 - cokoliv), můžete na mocninu deseti zapomenout.
Úkol. Zkontrolujte, zda lze uvedené zlomky reprezentovat jako desetinná místa:
Vypišme a rozložme jmenovatele těchto zlomků:
20 = 4 · 5 = 2 2 · 5 - jsou přítomna pouze čísla 2 a 5. Zlomek tedy může být reprezentován jako desetinný.
12 = 4 · 3 = 2 2 · 3 - existuje „zakázaný“ faktor 3. Zlomek nelze reprezentovat jako desetinné číslo.
640 = 8 · 8 · 10 = 2 3 · 2 3 · 2 · 5 = 2 7 · 5. Vše je v pořádku: kromě čísel 2 a 5 není nic. Zlomek může být reprezentován jako desetinné číslo.
48 = 6 · 8 = 2 · 3 · 2 3 = 2 4 · 3. Faktor 3 se opět „vynořil“ Nelze jej reprezentovat jako desetinný zlomek.
Takže jsme vyřešili jmenovatele - nyní se podívejme na celý algoritmus pro přechod na desetinné zlomky:
- Zvažte jmenovatele původního zlomku a ujistěte se, že je obecně reprezentovatelný jako desetinné číslo. Tito. zkontrolujte, zda jsou v expanzi přítomny pouze faktory 2 a 5. Jinak algoritmus nefunguje;
- Spočítejte, kolik dvojek a pětek je v rozšíření (nebudou tam žádná další čísla, pamatujete?). Vyberte další faktor tak, aby se počet dvojek a pěti rovnal.
- Vlastně vynásobte čitatel a jmenovatel původního zlomku tímto faktorem - dostaneme požadované zobrazení, tzn. jmenovatelem bude mocnina deseti.
Dodatečný faktor bude samozřejmě také rozložen pouze na dvojky a pětky. Abyste si přitom nekomplikovali život, měli byste ze všech možných zvolit tu nejmenší násobilku.
A ještě jedna věc: pokud původní zlomek obsahuje celočíselnou část, nezapomeňte tento zlomek převést na nesprávný zlomek - a teprve poté aplikujte popsaný algoritmus.
Úkol. Přeložte data číselné zlomky na desetinné číslo:
Rozložme jmenovatele prvního zlomku na faktor: 4 = 2 · 2 = 2 2 . Proto může být zlomek reprezentován jako desetinné číslo. Rozšíření obsahuje dvě dvojky a ne jedinou pětku, takže dodatečný faktor je 5 2 = 25. S ním bude počet dvojek a pětek stejný. My máme:
Nyní se podívejme na druhý zlomek. K tomu si všimněte, že 24 = 3 8 = 3 2 3 - v rozšíření je trojka, takže zlomek nelze reprezentovat jako desetinné číslo.
Poslední dva zlomky mají jmenovatele 5 (prvočíslo) a 20 = 4 · 5 = 2 2 · 5 - všude jsou pouze dvojky a pětky. Navíc v prvním případě „pro úplné štěstí“ nestačí faktor 2 a ve druhém - 5. Dostaneme:
Převod z desetinných míst na běžné zlomky
Zpětný převod – z desítkové soustavy na běžný zápis – je mnohem jednodušší. Neexistují zde žádná omezení ani speciální kontroly, takže desetinný zlomek můžete vždy převést na klasický „dvoupatrový“ zlomek.
Algoritmus překladu je následující:
- Přeškrtněte všechny nuly na levé straně desetinné čárky a také desetinnou čárku. To bude čitatel požadovaného zlomku. Hlavní je to nepřehánět a neškrtat vnitřní nuly obklopené jinými čísly;
- Spočítejte, kolik desetinných míst je za desetinnou čárkou. Vezměte číslo 1 a přidejte doprava tolik nul, kolik znaků spočítáte. Toto bude jmenovatel;
- Vlastně zapiš zlomek, jehož čitatel a jmenovatel jsme právě našli. Pokud je to možné, snižte jej. Pokud původní zlomek obsahoval celočíselnou část, nyní dostáváme nepravý zlomek, což je velmi výhodné pro další výpočty.
Úkol. Převod desetinných zlomků na obyčejné zlomky: 0,008; 3,107; 2,25; 7,2008.
Přeškrtneme nuly vlevo a čárky - dostaneme následující čísla (to budou čitatelé): 8; 3107; 225; 72008.
V prvním a druhém zlomku jsou 3 desetinná místa, ve druhém - 2 a ve třetím - až 4 desetinná místa. Dostaneme jmenovatele: 1000; 1000; 100; 10 000.
Nakonec spojíme čitatele a jmenovatele do běžných zlomků:
Jak je vidět z příkladů, výsledný zlomek lze velmi často snížit. Dovolte mi ještě jednou poznamenat, že jakýkoli desetinný zlomek může být reprezentován jako obyčejný zlomek. Opačná konverze nemusí být vždy možná.
Takovým budeme věnovat tento materiál důležité téma, jako desetinná místa. Nejprve si definujme základní definice, uveďme příklady a zastavme se u pravidel desetinného zápisu a také u toho, jaké jsou číslice desetinných zlomků. Dále vyzdvihneme hlavní typy: konečné a nekonečné, periodické a neperiodické zlomky. V závěrečné části si ukážeme, jak jsou na souřadnicové ose umístěny body odpovídající zlomkovým číslům.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Co je to desetinný zápis zlomkových čísel
Pro přirozená i zlomková čísla lze použít tzv. desítkový zápis zlomkových čísel. Vypadá to jako sada dvou nebo více čísel s čárkou mezi nimi.
Desetinná čárka je potřeba k oddělení celé části od zlomkové části. Poslední číslice desetinného zlomku zpravidla není nula, pokud se desetinná čárka neobjeví bezprostředně za první nulou.
Jaké jsou příklady zlomkových čísel v desítkovém zápisu? Může to být 34, 21, 0, 35035044, 0, 0001, 11,231,552, 9 atd.
V některých učebnicích se můžete setkat s použitím tečky místo čárky (5. 67, 6789. 1011 atd.).
Definice desetinných míst
Na základě výše uvedeného konceptu desetinného zápisu můžeme formulovat následující definici desetinných zlomků:
Definice 1
Desetinná čísla představují zlomková čísla v desítkovém zápisu.
Proč potřebujeme psát zlomky v tomto tvaru? Dává nám to některé výhody oproti běžným, například kompaktnější zápis, zejména v případech, kdy jmenovatel obsahuje 1000, 100, 10 atd. popř. smíšené číslo. Například místo 6 10 můžeme zadat 0,6, místo 25 10000 - 0,0023, místo 512 3 100 - 512,03.
Jak správně reprezentovat obyčejné zlomky s desítkami, stovkami, tisíci ve jmenovateli v desítkovém tvaru bude probráno v samostatném materiálu.
Jak správně číst desetinná místa
Pro čtení desítkových zápisů platí určitá pravidla. Desetinné zlomky, kterým odpovídají jejich běžné běžné ekvivalenty, se tedy čtou téměř stejně, ale s přidáním slov „nula desetin“ na začátku. Záznam 0, 14, který odpovídá 14 100, se tedy čte jako „nulový bod čtrnáct setin“.
Pokud lze desetinný zlomek přiřadit smíšenému číslu, čte se stejným způsobem jako toto číslo. Pokud tedy máme zlomek 56 002, což odpovídá 56 2 1000, čteme tento záznam jako „padesát šest desetinných tisícin“.
Význam číslice v desetinném zlomku závisí na tom, kde se nachází (stejně jako v případě přirozených čísel). Takže v desetinném zlomku 0,7 je sedm desetin, v 0,0007 deset tisícin a ve zlomku 70 000,345 sedm desítek tisíc celých jednotek. V desetinných zlomcích tedy existuje také pojem hodnoty místa.
Jména číslic umístěných před desetinnou čárkou jsou podobná těm, která existují v přirozených číslech. Jména těch, kteří se nacházejí po, jsou jasně uvedena v tabulce:
Podívejme se na příklad.
Příklad 1
Máme desetinný zlomek 43 098. Na desítce má čtyřku, na jednotky trojku, na desetinu nulu, na setinu 9 a na tisícinu 8.
Je obvyklé rozlišovat pořadí desetinných zlomků podle priority. Pokud se budeme pohybovat mezi čísly zleva doprava, pak půjdeme od nejvýznamnějšího k nejméně významnému. Ukazuje se, že stovky jsou starší než desítky a částice na milion jsou mladší než setiny. Vezmeme-li poslední desetinný zlomek, který jsme uvedli jako příklad výše, pak nejvyšší, neboli nejvyšší, místo v něm bude stovkové místo a nejnižší nebo nejnižší místo bude 10-tisícové místo.
Jakýkoli desetinný zlomek lze rozšířit na jednotlivé číslice, to znamená, že je prezentován jako součet. Tato akce se provádí stejným způsobem jako u přirozená čísla.
Příklad 2
Zkusme zlomek 56, 0455 rozšířit na číslice.
Dostaneme:
56 , 0455 = 50 + 6 + 0 , 4 + 0 , 005 + 0 , 0005
Pokud si pamatujeme vlastnosti sčítání, můžeme tento zlomek znázornit v jiných tvarech, například jako součet 56 + 0, 0455 nebo 56, 0055 + 0, 4 atd.
Co jsou koncová desetinná místa?
Všechny zlomky, o kterých jsme mluvili výše, jsou konečná desetinná místa. To znamená, že počet číslic za desetinnou čárkou je konečný. Pojďme odvodit definici:
Definice 1
Koncová desetinná místa jsou typem desetinného zlomku, který má za desetinným znaménkem konečný počet desetinných míst.
Příklady takových zlomků mohou být 0, 367, 3, 7, 55, 102567958, 231 032, 49 atd.
Kterýkoli z těchto zlomků lze převést buď na smíšené číslo (pokud je hodnota jejich zlomkové části jiná než nula), nebo na obyčejný zlomek (pokud je celočíselná část nula). Jak se to dělá, jsme věnovali samostatný článek. Zde jen poukážeme na několik příkladů: například můžeme redukovat konečný desetinný zlomek 5, 63 na tvar 5 63 100 a 0, 2 odpovídá 2 10 (nebo jakýkoli jiný zlomek jemu rovný, např. například 4 20 nebo 1 5.)
Ale obrácený proces, tzn. zápis běžného zlomku v desítkovém tvaru nemusí být vždy možný. Takže 5 13 nelze nahradit rovným zlomkem se jmenovatelem 100, 10 atd., což znamená, že z něj nelze získat konečný desetinný zlomek.
Hlavní typy nekonečných desetinných zlomků: periodické a neperiodické zlomky
Výše jsme naznačili, že konečné zlomky se tak nazývají, protože mají za desetinnou čárkou konečný počet číslic. Může však být nekonečná, v takovém případě budou samotné zlomky také nazývány nekonečnými.
Definice 2
Nekonečné desetinné zlomky jsou ty, které mají za desetinnou čárkou nekonečný počet číslic.
Je zřejmé, že taková čísla jednoduše nelze zapsat celá, takže naznačíme pouze část z nich a poté přidáme elipsu. Tento znak označuje nekonečné pokračování posloupnosti desetinných míst. Příklady nekonečných desetinných zlomků zahrnují 0, 143346732…, 3, 1415989032…, 153, 0245005…, 2, 66666666666…, 69, 748768152…. atd.
„Ocas“ takového zlomku může obsahovat nejen zdánlivě náhodné sekvence čísel, ale také neustálé opakování stejného znaku nebo skupiny znaků. Zlomky se střídavými čísly za desetinnou čárkou se nazývají periodické.
Definice 3
Periodické desetinné zlomky jsou takové nekonečné desetinné zlomky, ve kterých se za desetinnou čárkou opakuje jedna číslice nebo skupina několika číslic. Opakující se část se nazývá perioda zlomku.
Například pro zlomek 3, 444444…. tečkou bude číslo 4 a pro 76, 134134134134... - skupina 134.
Jaký je minimální počet znaků, které lze ponechat v zápisu periodického zlomku? U periodických zlomků bude stačit napsat celou periodu jednou do závorky. Takže zlomek 3, 444444…. Správné by bylo napsat to jako 3, (4) a 76, 134134134134... – jako 76, (134).
Obecně platí, že položky s několika tečkami v závorkách budou mít přesně stejný význam: například periodický zlomek 0,677777 je stejný jako 0,6 (7) a 0,6 (77) atd. Záznamy ve tvaru 0, 67777 (7), 0, 67 (7777) atd. jsou rovněž přijatelné.
Aby se předešlo chybám, zavádíme jednotnost zápisu. Domluvme se, že zapíšeme pouze jednu tečku (co nejkratší posloupnost čísel), která je nejblíže desetinné čárce, a uzavřeme ji do závorky.
To znamená, že pro výše uvedený zlomek budeme uvažovat jako hlavní údaj 0, 6 (7) a například v případě zlomku 8, 9134343434 napíšeme 8, 91 (34).
Pokud jmenovatel obyčejného zlomku obsahuje prvočísla, která se nerovnají 5 a 2, pak při převodu na desítkový zápis výsledkem budou nekonečné zlomky.
V principu můžeme zapsat jakýkoli konečný zlomek jako periodický. K tomu nám stačí přidat nekonečný počet nul doprava. Jak to vypadá při nahrávání? Řekněme, že máme konečný zlomek 45, 32. V periodické formě to bude vypadat jako 45, 32 (0). Tato akce je možná, protože přidáním nul napravo od libovolného desetinného zlomku získáme výsledek zlomku, který se mu rovná.
Zvláštní pozornost by měla být věnována periodickým zlomkům s periodou 9, například 4, 89 (9), 31, 6 (9). Jsou alternativním zápisem pro podobné zlomky s periodou 0, proto se často nahrazují při zápisu zlomky s nulovou periodou. V tomto případě se k hodnotě další číslice přičte jedna a v závorce je uvedena (0). Rovnost výsledných čísel lze snadno ověřit jejich reprezentací jako obyčejné zlomky.
Například zlomek 8, 31 (9) může být nahrazen odpovídajícím zlomkem 8, 32 (0). Nebo 4, (9) = 5, (0) = 5.
Nekonečné desetinné periodické zlomky jsou klasifikovány jako racionální čísla. Jinými slovy, jakýkoli periodický zlomek může být reprezentován jako obyčejný zlomek a naopak.
Existují také zlomky, které nemají nekonečně se opakující sekvenci za desetinnou čárkou. V tomto případě se nazývají neperiodické zlomky.
Definice 4
Neperiodické desetinné zlomky zahrnují ty nekonečné desetinné zlomky, které neobsahují tečku za desetinnou čárkou, tzn. opakující se skupina čísel.
Někdy neperiodické zlomky vypadají velmi podobně jako ty periodické. Například 9, 03003000300003 ... na první pohled to vypadá, že má tečku, nicméně podrobná analýza desetinná místa potvrzuje, že se stále jedná o neperiodický zlomek. S takovými čísly musíte být velmi opatrní.
Neperiodické zlomky jsou klasifikovány jako iracionální čísla. Nepřevádějí se na běžné zlomky.
Základní operace s desetinnými místy
S desetinnými zlomky lze provádět následující operace: porovnávání, odčítání, sčítání, dělení a násobení. Podívejme se na každou z nich zvlášť.
Porovnávání desetinných míst lze zredukovat na porovnávání zlomků, které odpovídají původním desetinným místům. Ale nekonečné neperiodické zlomky nelze redukovat do této podoby a převod desetinných zlomků na obyčejné zlomky je často pracný úkol. Jak můžeme rychle provést srovnávací akci, pokud to potřebujeme udělat při řešení problému? Je vhodné porovnávat desetinné zlomky po číslici stejným způsobem, jako porovnáváme přirozená čísla. Této metodě budeme věnovat samostatný článek.
Pro sčítání některých desetinných zlomků s jinými je vhodné použít metodu sčítání sloupců, jako u přirozených čísel. Chcete-li přidat periodické desetinné zlomky, musíte je nejprve nahradit běžnými a počítat podle standardního schématu. Pokud podle podmínek úlohy potřebujeme sečíst nekonečné neperiodické zlomky, musíme je nejprve zaokrouhlit na určitou číslici a pak je sečíst. Čím menší číslici, na kterou zaokrouhlujeme, tím vyšší bude přesnost výpočtu. Pro odčítání, násobení a dělení nekonečných zlomků je nutné i předzaokrouhlení.
Nalezení rozdílu mezi desetinnými zlomky je inverzní sčítání. Pomocí odčítání můžeme v podstatě najít číslo, jehož součet se zlomkem, který odečítáme, nám dá zlomek, který minimalizujeme. O tom si povíme podrobněji v samostatném článku.
Násobení desetinných zlomků se provádí stejným způsobem jako u přirozených čísel. K tomu je vhodná i metoda výpočtu sloupců. Tento děj s periodickými zlomky opět redukujeme na násobení obyčejných zlomků podle již prostudovaných pravidel. Nekonečné zlomky, jak si pamatujeme, musí být před výpočty zaokrouhleny.
Proces dělení desetinných míst je opakem násobení. Při řešení úloh využíváme i sloupcové výpočty.
Můžete určit přesnou shodu mezi konečným desetinným zlomkem a bodem na souřadnicové ose. Pojďme přijít na to, jak označit bod na ose, který bude přesně odpovídat požadovanému desetinnému zlomku.
Již jsme studovali, jak sestrojit body odpovídající obyčejným zlomkům, ale desetinné zlomky lze zredukovat na tento tvar. Například společný zlomek 14 10 je stejný jako 1, 4, takže odpovídající bod bude odstraněn z počátku v kladném směru přesně o stejnou vzdálenost:
Můžete se obejít bez nahrazení desetinného zlomku obyčejným, ale jako základ použijte metodu rozšíření po číslicích. Pokud tedy potřebujeme označit bod, jehož souřadnice se bude rovnat 15, 4008, pak toto číslo nejprve uvedeme jako součet 15 + 0, 4 +, 0008. Pro začátek vyčleňme 15 celých segmentů jednotek v kladném směru od začátku odpočítávání, pak 4 desetiny jednoho segmentu a poté 8 desetitisícin jednoho segmentu. V důsledku toho získáme souřadnicový bod, který odpovídá zlomku 15, 4008.
Pro nekonečný desetinný zlomek je lepší použít tuto metodu, protože vám umožní dostat se tak blízko, jak chcete, k požadovanému bodu. V některých případech je možné sestrojit přesnou shodu s nekonečným zlomkem na souřadnicové ose: například 2 = 1, 41421. . . a tento zlomek může být spojen s bodem na souřadnicovém paprsku, vzdáleným od 0 o délku úhlopříčky čtverce, jehož strana bude rovna jedné jednotkové úsečce.
Pokud na ose nenajdeme bod, ale jemu odpovídající desetinný zlomek, pak se tato akce nazývá desetinné měření úsečky. Podívejme se, jak to udělat správně.
Řekněme, že se potřebujeme dostat z nuly do daného bodu na souřadnicové ose (nebo se co nejvíce přiblížit v případě nekonečný zlomek). K tomu postupně odkládáme segmenty jednotek od počátku, dokud se nedostaneme do požadovaného bodu. Po celých segmentech v případě potřeby měříme desetiny, setiny a menší zlomky, aby byla shoda co nejpřesnější. Ve výsledku jsme dostali desetinný zlomek, který odpovídá danému bodu na souřadnicové ose.
Výše jsme ukázali nákres s bodem M. Podívejte se na to znovu: abyste se dostali do tohoto bodu, musíte změřit jeden jednotkový segment a jeho čtyři desetiny od nuly, protože tento bod odpovídá desetinnému zlomku 1, 4.
Pokud se nemůžeme dostat do bodu v procesu desetinného měření, pak to znamená, že odpovídá nekonečnému desetinnému zlomku.
Pokud si všimnete chyby v textu, zvýrazněte ji a stiskněte Ctrl+Enter
Tak jako:
± d m … d 1 d 0 , d -1 d -2 …
kde ± je znaménko zlomku: buď +, nebo -,
, je desetinná čárka, která slouží jako oddělovač mezi celým číslem a zlomkovou částí čísla,
nevím- desetinná čísla.
V tomto případě má pořadí čísel před desetinnou čárkou (vlevo od ní) konec (jako min. 1 na číslici) a za desetinnou čárkou (vpravo) může být jak konečné (volitelně, za desetinnou čárkou nemusí být vůbec žádné číslice) a nekonečno.
Desetinná hodnota ± d m … d 1 d 0 , d -1 d -2 … je skutečné číslo:
který se rovná součtu konečného nebo nekonečného počtu členů.
Reprezentace reálných čísel pomocí desetinných zlomků je zobecněním zápisu celých čísel desítková soustava Zúčtování Desetinná reprezentace celého čísla nemá za desetinnou čárkou žádné číslice, takže reprezentace vypadá takto:
± d m … d 1 d 0 ,
A to se shoduje se zápisem našeho čísla v desítkové číselné soustavě.
Desetinný- toto je výsledek dělení 1 na 10, 100, 1000 a tak dále díly. Tyto zlomky jsou docela vhodné pro výpočty, protože jsou založeny na stejném polohovém systému, na kterém je založeno počítání a záznam celých čísel. Díky tomu je zápis a pravidla pro práci s desetinnými zlomky téměř stejná jako u celých čísel.
Při zápisu desetinných zlomků nemusíte označovat jmenovatele, určuje se podle místa obsazeného příslušnou číslicí. Nejprve napíšeme celou část čísla, poté dáme desetinnou čárku vpravo. První číslice za desetinnou čárkou označuje počet desetin, druhá - počet setin, třetí - počet tisícin atd. Čísla, která jsou umístěna za desetinnou čárkou, jsou desetinná místa.
Například: 
Jednou z výhod desetinných zlomků je, že je lze velmi snadno zredukovat na obyčejné zlomky: číslo za desetinnou čárkou (pro nás je to 5047) je čitatel; jmenovatel rovná se n-tá mocnina 10, kde n- počet desetinných míst (pro nás to je n=4):
Pokud v desetinném zlomku není žádná celočíselná část, vložíme před desetinnou čárku nulu:
Vlastnosti desetinných zlomků.
1. Desetinné číslo se nemění, když se vpravo přidají nuly:
13.6 =13.6000.
2. Po odstranění nul na konci desetinného místa se desetinná čárka nezmění:
0.00123000 = 0.00123.
Pozornost! Nemůžete odstranit nuly, které NEJSOU umístěny na konci desetinného zlomku!
3. Desetinný zlomek se zvýší o 10, 100, 1000 a tak dále, když desetinnou čárku posuneme na pozice 1, 2, 2 a tak dále doprava, v tomto pořadí:
3,675 → 367,5 (zlomek stokrát zvýšený).
4. Desetinný zlomek se zmenší desetkrát, stokrát, tisíckrát atd., když desetinnou čárku posuneme doleva na pozice 1, 2, 3 atd.:
1536,78 → 1,53678 (zlomek se tisíckrát zmenšil).
Typy desetinných zlomků.
Desetinné zlomky se dělí na finále, nekonečný A periodická desetinná místa.
Konečný desetinný zlomek je to je zlomek obsahující konečný počet číslic za desetinnou čárkou (nebo tam nejsou vůbec žádné), tzn. vypadá takto:
Reálné číslo může být reprezentováno jako konečný desetinný zlomek, pouze pokud je toto číslo racionální a je-li zapsáno jako neredukovatelný zlomek p/q jmenovatel q nemá žádné jiné prvočinitele než 2 a 5.
Nekonečné desetinné číslo.
Obsahuje nekonečně se opakující skupinu volaných čísel doba. Období se píše v závorkách. Například 0,12345123451234512345… = 0.(12345).
Periodické desetinné číslo- jedná se o nekonečný desetinný zlomek, ve kterém posloupnost číslic za desetinnou čárkou, začínající od určitého místa, je periodicky se opakující skupina číslic. Jinými slovy, periodický zlomek- desetinný zlomek, který vypadá takto:
Takový zlomek se obvykle stručně zapisuje takto:
Skupina čísel b 1 … b l, který se opakuje, je období zlomku, počet číslic v této skupině je délka období.
Když v periodickém zlomku následuje tečka bezprostředně za desetinnou čárkou, znamená to, že zlomek je čisté periodické. Když jsou čísla mezi desetinnou čárkou a 1. tečkou, pak zlomek je smíšené periodické, a skupina číslic za desetinnou čárkou až po 1. číslici tečky je zlomkové období.
Například zlomek 1,(23) = 1,2323... je čistě periodický a zlomek 0,1(23) = 0,12323... je smíšený periodický.
Hlavní vlastnost periodických zlomků, díky kterému se odlišují od celé množiny desetinných zlomků, spočívá v tom, že periodické zlomky a pouze ony představují racionální čísla. Přesněji řečeno, dochází k následujícímu:
Jakýkoli nekonečně periodický desetinný zlomek představuje racionální číslo. Naopak, když je racionální číslo rozšířeno na nekonečný desetinný zlomek, znamená to, že tento zlomek bude periodický.