ลำดับฟีโบนัชชีทุกคนรู้จักจากภาพยนตร์เรื่อง "The Da Vinci Code" - ชุดตัวเลขที่อธิบายในรูปแบบของปริศนาโดยนักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี Leonardo of Pisa หรือที่รู้จักกันดีในชื่อเล่น Fibonacci ในศตวรรษที่ 13 สาระสำคัญของปริศนาโดยย่อ:

มีคนวางกระต่ายคู่หนึ่งไว้ในที่ปิดแห่งหนึ่งเพื่อดูว่ากระต่ายจะเกิดกี่คู่ในระหว่างปี ถ้าลักษณะของกระต่ายเป็นเช่นนั้นทุก ๆ เดือนจะมีกระต่ายตัวหนึ่งออกลูกอีกคู่หนึ่ง และพวกเขาก็ สามารถให้กำเนิดลูกหลานได้เมื่ออายุครบสองเดือน

ผลลัพธ์ที่ได้คือชุดตัวเลขดังนี้: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 โดยจะแสดงจำนวนคู่ของกระต่ายในแต่ละเดือนทั้ง 12 เดือน โดยคั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค สามารถดำเนินต่อไปได้ไม่มีกำหนด สาระสำคัญของมันคือแต่ละหมายเลขถัดไปคือผลรวมของสองตัวก่อนหน้า

ซีรีส์นี้มีคุณสมบัติทางคณิตศาสตร์หลายประการที่ต้องสัมผัสอย่างแน่นอน มันมีแนวโน้มเชิงเส้นกำกับ (เข้าใกล้มากขึ้นเรื่อยๆ) มีแนวโน้มที่จะมีอัตราส่วนคงที่ อย่างไรก็ตาม อัตราส่วนนี้ไม่ลงตัว กล่าวคือ เป็นตัวเลขที่มีลำดับทศนิยมที่ไม่สิ้นสุดและคาดเดาไม่ได้ในส่วนของเศษส่วน มันเป็นไปไม่ได้ที่จะแสดงออกอย่างแม่นยำ

ดังนั้น อัตราส่วนของสมาชิกใดๆ ของอนุกรมต่ออัตราส่วนก่อนหน้าจึงผันผวนไปตามจำนวน 1,618 บางครั้งก็เกินเลย บางครั้งก็ไม่ถึง อัตราส่วนต่อไปนี้เข้าใกล้ตัวเลขในทำนองเดียวกัน 0,618 ซึ่งเป็นสัดส่วนผกผัน 1,618 - ถ้าเราหารองค์ประกอบด้วยหนึ่ง เราจะได้ตัวเลข 2,618 และ 0,382 ซึ่งเป็นสัดส่วนผกผันเช่นกัน สิ่งเหล่านี้เรียกว่าอัตราส่วนฟีโบนัชชี

ทั้งหมดนี้เพื่ออะไร? นี่คือวิธีที่เราเข้าใกล้หนึ่งในปรากฏการณ์ทางธรรมชาติที่ลึกลับที่สุด เลโอนาร์โดผู้รอบรู้ไม่ได้ค้นพบสิ่งใหม่โดยพื้นฐานแล้วเขาเพียงแค่เตือนโลกถึงปรากฏการณ์เช่นนี้ อัตราส่วนทองคำซึ่งไม่ด้อยไปกว่าความสำคัญกับทฤษฎีบทพีทาโกรัส

เราแยกแยะวัตถุต่างๆ รอบตัวเราด้วยรูปร่างของมัน เราชอบบางอย่างมากกว่า บางอันน้อยกว่า บางอันก็ดูไม่เข้าท่าเลย บางครั้งสามารถกำหนดดอกเบี้ยได้ สถานการณ์ชีวิตและบางครั้งความสวยงามของวัตถุที่สังเกตได้ รูปร่างสมมาตรและเป็นสัดส่วนส่งเสริมสิ่งที่ดีที่สุด การรับรู้ทางสายตาและกระตุ้นให้เกิดความรู้สึกถึงความงามและความกลมกลืน ภาพลักษณ์แบบองค์รวมประกอบด้วยส่วนที่มีขนาดต่างกันซึ่งมีความสัมพันธ์ซึ่งกันและกันและโดยรวมเสมอ อัตราส่วนทองคำ- การสำแดงสูงสุดของความสมบูรณ์แบบขององค์รวมและส่วนต่างๆ ของวิทยาศาสตร์ ศิลปะ และธรรมชาติ

ถ้าเปิด ตัวอย่างง่ายๆแล้วส่วนสีทองคือการแบ่งส่วนออกเป็นสองส่วนในอัตราส่วนดังกล่าว ที่สุดเกี่ยวข้องกับส่วนที่เล็กกว่าเนื่องจากผลรวม (ทั้งส่วน) เกี่ยวข้องกับส่วนที่ใหญ่กว่า

ถ้าเราเอาทั้งส่วน ค สำหรับ 1 จากนั้นส่วน ก จะเท่ากัน 0,618 , เซ็กเมนต์ ข - 0,382 ด้วยวิธีนี้เท่านั้นที่จะเป็นไปตามเงื่อนไขของอัตราส่วนทองคำ (0,618/0,382=1,618 ; 1/0,618=1,618 ) - ทัศนคติ ค ถึง ก เท่ากับ 1,618 , ก กับ ถึง ข 2,618 - นี่เป็นอัตราส่วน Fibonacci แบบเดียวกับที่เราคุ้นเคยอยู่แล้ว

แน่นอนว่ายังมีสี่เหลี่ยมสีทอง สามเหลี่ยมทองคำ และแม้แต่ทรงลูกบาศก์สีทองด้วย สัดส่วน ร่างกายมนุษย์หลายประการใกล้กับภาคทองคำ

ภาพ: มาร์คัส-frings.de

แต่ความสนุกเริ่มต้นเมื่อเรารวมความรู้ที่เราได้รับ ตัวเลขแสดงให้เห็นความสัมพันธ์ระหว่างลำดับฟีโบนัชชีและอัตราส่วนทองคำอย่างชัดเจน เราเริ่มต้นด้วยสองสี่เหลี่ยมขนาดแรก เพิ่มสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดที่สองไว้ด้านบน วาดรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสข้างๆ โดยให้ด้านเท่ากับผลรวมของด้านของขนาด 2/3 ก่อนหน้า โดยการเปรียบเทียบจะมีสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดห้าปรากฏขึ้น และต่อไปเรื่อย ๆ จนกว่าคุณจะเหนื่อย สิ่งสำคัญคือความยาวของด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสถัดไปแต่ละอันเท่ากับผลรวมของความยาวของด้านของสองอันก่อนหน้า เราเห็นชุดสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีความยาวด้านเป็นตัวเลขฟีโบนัชชี และที่น่าแปลกก็คือ พวกมันเรียกว่าสี่เหลี่ยมฟีโบนักชี

ถ้าเราวาดเส้นเรียบๆ ผ่านมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัส เราจะไม่ได้อะไรมากไปกว่าเกลียวอาร์คิมิดีส ซึ่งเพิ่มขึ้นอย่างสม่ำเสมอเสมอ

ไม่เตือนคุณถึงอะไรเลยเหรอ?

รูปถ่าย: เอธานไฮน์บนฟลิคเกอร์

และไม่เพียงแต่ในเปลือกหอยเท่านั้นที่คุณจะพบเกลียวของอาร์คิมิดีส แต่ในดอกไม้และพืชหลายชนิด พวกมันไม่ได้ชัดเจนนัก

ว่านหางจระเข้มัลติโฟเลีย:

รูปถ่าย: หนังสือเบียร์บนฟลิคเกอร์

รูปถ่าย: beart.org.uk
รูปถ่าย: เอสดราสกัลเดอรันบนฟลิคเกอร์
รูปถ่าย: มันจ98บนฟลิคเกอร์

และตอนนี้ก็ถึงเวลาจดจำมาตราทองคำแล้ว! ภาพถ่ายเหล่านี้มีการสร้างสรรค์ธรรมชาติที่สวยงามและกลมกลืนกันมากที่สุดบางส่วนหรือไม่ และนั่นไม่ใช่ทั้งหมด หากมองใกล้ ๆ จะพบรูปแบบที่คล้ายคลึงกันในหลายรูปแบบ

แน่นอนว่าข้อความที่ว่าปรากฏการณ์ทั้งหมดนี้อิงกับลำดับฟีโบนัชชีฟังดูดังเกินไป แต่แนวโน้มนั้นชัดเจน นอกจากนี้ตัวเธอเองยังห่างไกลจากความสมบูรณ์แบบเหมือนกับทุกสิ่งในโลกนี้

มีข้อสันนิษฐานว่าซีรีส์ฟีโบนัชชีเป็นความพยายามโดยธรรมชาติในการปรับให้เข้ากับลำดับลอการิทึมอัตราส่วนทองคำที่เป็นพื้นฐานและสมบูรณ์ยิ่งขึ้น ซึ่งเกือบจะเหมือนกัน เพียงแต่เริ่มต้นจากที่ไหนเลยและไปไม่ถึงไหนเลย ธรรมชาติต้องการจุดเริ่มต้นที่สามารถเริ่มต้นได้อย่างแน่นอน มันไม่สามารถสร้างบางสิ่งบางอย่างขึ้นมาจากความว่างเปล่าได้ อัตราส่วนของเทอมแรกของลำดับฟีโบนักชีอยู่ไกลจากอัตราส่วนทองคำ แต่ยิ่งเราเคลื่อนไปไกลเท่าไหร่ ความเบี่ยงเบนเหล่านี้ก็จะยิ่งราบรื่นมากขึ้นเท่านั้น ในการกำหนดซีรีส์ใด ๆ ก็เพียงพอที่จะรู้คำศัพท์สามคำนั้นมาทีละคำ แต่ไม่ใช่สำหรับลำดับสีทอง สองอันก็เพียงพอแล้ว มันเป็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิตและเลขคณิตในเวลาเดียวกัน บางคนอาจคิดว่ามันเป็นพื้นฐานของลำดับอื่นๆ ทั้งหมด

แต่ละเทอมของลำดับลอการิทึมสีทองคือกำลังของอัตราส่วนทองคำ ( z- ส่วนหนึ่งของซีรีส์มีลักษณะดังนี้: ... z -5 ; ซี -4 ; ซี -3 ; ซี -2 ; ซี -1 ; ซี 0 ; ซี 1 ; ซี 2 ; z 3 ; z 4 ; ซี 5...ถ้าเราปัดเศษของอัตราส่วนทองคำเป็นทศนิยม 3 ตำแหน่ง เราก็จะได้ z=1.618จากนั้นซีรีส์จะมีลักษณะดังนี้: ... 0,090 0,146; 0,236; 0,382; 0,618; 1; 1,618; 2,618; 4,236; 6,854; 11,090 ... แต่ละเทอมถัดไปสามารถรับได้ไม่เพียงแค่คูณเทอมก่อนหน้าด้วย 1,618 แต่ยังเพิ่มสองรายการก่อนหน้าด้วย ดังนั้นการเติบโตแบบทวีคูณจึงทำได้โดยการเพิ่มองค์ประกอบที่อยู่ติดกันสองรายการ มันเป็นอนุกรมที่ไม่มีจุดเริ่มต้นหรือจุดสิ้นสุด และนั่นคือสิ่งที่ลำดับฟีโบนัชชีพยายามจะเป็นเช่นนี้ ด้วยจุดเริ่มต้นที่ชัดเจน เธอมุ่งมั่นเพื่ออุดมคติแต่ไม่เคยบรรลุมันเลย นั่นคือชีวิต

แต่เนื่องจากทุกสิ่งที่เราได้เห็นและอ่าน มีคำถามเชิงตรรกะเกิดขึ้น:
ตัวเลขเหล่านี้มาจากไหน? ใครคือสถาปนิกแห่งจักรวาลที่พยายามทำให้มันสมบูรณ์แบบ? ทุกอย่างเป็นไปตามที่เขาต้องการหรือเปล่า? และถ้าเป็นเช่นนั้นเหตุใดจึงผิดพลาด? การกลายพันธุ์? ทางเลือกฟรี? จะเกิดอะไรขึ้นต่อไป? เกลียวม้วนงอหรือคลี่คลายหรือไม่?

เมื่อพบคำตอบสำหรับคำถามหนึ่งแล้ว คุณจะได้รับคำถามถัดไป หากคุณแก้ปัญหาได้ คุณจะได้อันใหม่สองตัว เมื่อคุณจัดการกับพวกมันแล้ว อีกสามคนก็จะปรากฏขึ้น เมื่อแก้ไขได้แล้ว คุณจะมีห้ารายการที่ยังไม่ได้แก้ไข แปดแล้วก็สิบสาม 21, 34, 55...

ที่มา: ; - -

ลำดับฟีโบนัชชีถูกกำหนดไว้ดังนี้:

สมาชิกกลุ่มแรกบางส่วน:

เรื่องราว

ตัวเลขเหล่านี้ถูกนำมาใช้ในปี 1202 โดย Leonardo Fibonacci (หรือที่รู้จักในชื่อ Leonardo Pisano) อย่างไรก็ตาม ต้องขอบคุณลูคัสนักคณิตศาสตร์ในศตวรรษที่ 19 ที่ทำให้ชื่อ "ตัวเลขฟีโบนัชชี" กลายเป็นเรื่องปกติ

อย่างไรก็ตาม นักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียกล่าวถึงตัวเลขของลำดับนี้ก่อนหน้านี้: Gopala จนถึงปี 1135, Hemachandra - ในปี 1150

ตัวเลขฟีโบนัชชีในธรรมชาติ

ฟีโบนัชชีกล่าวถึงตัวเลขเหล่านี้เกี่ยวกับปัญหาต่อไปนี้: “ชายคนหนึ่งใส่กระต่ายคู่หนึ่งไว้ในปากกาโดยมีกำแพงล้อมรอบทุกด้าน เดือนที่สองเป็นต้นไปจะออกกระต่ายคู่ละคู่หรือเปล่า?” วิธีแก้ปัญหานี้คือการใช้ตัวเลขของลำดับที่ตอนนี้ตั้งชื่อเพื่อเป็นเกียรติแก่เขา อย่างไรก็ตาม สถานการณ์ที่ Fibonacci อธิบายไว้คือ เกมมากขึ้นจิตใจมากกว่าธรรมชาติที่แท้จริง

นักคณิตศาสตร์ชาวอินเดีย Gopala และ Hemachandra กล่าวถึงตัวเลขของลำดับนี้ซึ่งเกี่ยวข้องกับจำนวนรูปแบบจังหวะที่เกิดจากการสลับพยางค์ยาวและสั้นในบทกวีหรือจังหวะดนตรีที่หนักแน่นและเบา จำนวนภาพวาดดังกล่าวมียอดรวมเท่ากับ

ตัวเลขฟีโบนัชชียังปรากฏในงาน 1611 ของเคปเลอร์เกี่ยวกับตัวเลขที่พบในธรรมชาติ (บนเกล็ดหิมะหกเหลี่ยม)

ตัวอย่างที่น่าสนใจของพืชชนิดหนึ่งคือยาร์โรว์ ซึ่งจำนวนลำต้น (และจำนวนดอก) จะเป็นเลขฟีโบนักชีเสมอ เหตุผลง่ายๆ คือ หลังจากที่เริ่มมีลำต้นเพียงต้นเดียว ก้านนั้นก็แยกออกเป็นสองกิ่ง จากนั้นอีกกิ่งหนึ่งก็แยกออกจากลำต้นหลัก จากนั้นสองก้านแรกก็แตกกิ่งอีกครั้ง จากนั้นทั้งหมดยกเว้นสองก้านสุดท้ายก็แตกแขนง เป็นเช่นนี้ บน. ดังนั้น หลังจากปรากฏแล้ว แต่ละก้านจะ “ข้าม” กิ่งหนึ่ง และจากนั้นจะเริ่มแบ่งในแต่ละระดับของการแตกแขนง ซึ่งส่งผลให้เกิดตัวเลขฟีโบนัชชี

โดยทั่วไปแล้ว สำหรับดอกไม้หลายชนิด (เช่น ดอกลิลลี่) จำนวนกลีบจะเป็นเลขฟีโบนักชีตัวใดตัวหนึ่ง

ปรากฏการณ์ “ฟิลโลแทกซิส” เป็นที่รู้จักในพฤกษศาสตร์เช่นกัน ตัวอย่างคือการจัดเรียงเมล็ดทานตะวัน: หากคุณดูการจัดเรียงจากด้านบน คุณจะเห็นเกลียวสองชุดพร้อมกัน (ราวกับว่าวางทับกัน): เกลียวบางอันบิดตามเข็มนาฬิกา และเกลียวอื่น ๆ ทวนเข็มนาฬิกา ปรากฎว่าจำนวนของวงก้นหอยเหล่านี้ใกล้เคียงกับตัวเลขฟีโบนัชชีสองตัวที่ต่อเนื่องกัน: 34 และ 55 หรือ 89 และ 144 ข้อเท็จจริงที่คล้ายกันนี้เป็นจริงสำหรับสีอื่นบางสี เช่นเดียวกับสำหรับ โคนต้นสน, บรอกโคลี, สับปะรด ฯลฯ

สำหรับพืชหลายชนิด (ตามข้อมูลบางส่วนสำหรับ 90% ของพวกเขา) สิ่งนี้ก็เป็นจริงเช่นกัน ข้อเท็จจริงที่น่าสนใจ- ลองพิจารณาใบไม้สักแผ่น แล้วเราจะลงไปจนกว่าจะถึงใบไม้ที่อยู่บนก้านในลักษณะเดียวกันทุกประการ (กล่าวคือ มุ่งไปในทิศทางเดียวกันทุกประการ) ระหว่างทางเราจะนับใบไม้ทั้งหมดที่เจอเรา (เช่น มีความสูงระหว่างใบเริ่มต้นและใบสุดท้าย) แต่จะต่างกันออกไป โดยการนับจำนวนเราจะค่อยๆ หมุนรอบก้าน (เนื่องจากใบอยู่บนก้านเป็นเกลียว) ขึ้นอยู่กับว่าคุณหมุนตามเข็มนาฬิกาหรือทวนเข็มนาฬิกา คุณจะได้จำนวนรอบที่แตกต่างกัน แต่ปรากฎว่าจำนวนรอบที่เราทำในทิศทางตามเข็มนาฬิกา จำนวนรอบที่เราทำในทิศทางทวนเข็มนาฬิกา และจำนวนใบไม้ที่เราพบนั้นเกิดจากเลขฟีโบนัชชี 3 ตัวติดต่อกัน

อย่างไรก็ตามควรสังเกตว่ายังมีพืชที่การคำนวณข้างต้นจะให้ตัวเลขจากลำดับที่แตกต่างกันโดยสิ้นเชิงดังนั้นจึงไม่สามารถพูดได้ว่าปรากฏการณ์ของฟิลโลแทกซิสนั้นเป็นกฎ - มันค่อนข้างเป็นแนวโน้มที่น่าสนใจ

คุณสมบัติ

ตัวเลขฟีโบนัชชีมีคุณสมบัติทางคณิตศาสตร์ที่น่าสนใจมากมาย

นี่เป็นเพียงบางส่วนเท่านั้น:

ระบบเลขฟีโบนัชชี

ทฤษฎีบทของเซคเคนดอร์ฟระบุว่าแต่อย่างใด จำนวนธรรมชาติสามารถแสดงได้เฉพาะผลรวมของตัวเลขฟีโบนัชชี:

โดยที่ , , , (นั่นคือ ไม่สามารถใช้หมายเลขฟีโบนัชชีที่อยู่ติดกันสองตัวในสัญลักษณ์ได้)

ตามมาว่าสามารถเขียนตัวเลขใดๆ ก็ได้โดยไม่ซ้ำกัน ระบบเลขฟีโบนัชชี, ตัวอย่างเช่น:

ยิ่งกว่านั้น ไม่มีตัวเลขใดที่สามารถมีสองตัวติดต่อกันได้

กฎสำหรับการบวกหนึ่งเข้ากับตัวเลขในระบบเลขฟีโบนัชชีไม่ใช่เรื่องยาก: หากหลักต่ำสุดคือ 0 เราจะแทนที่มันด้วย 1 และถ้ามันเท่ากับ 1 (นั่นคือ ในตอนท้ายคือ 01) จากนั้น 01 จะถูกแทนที่ด้วย 10 จากนั้นเราจะ "แก้ไข" บันทึก โดยแก้ไข 011 ทุกที่ตามลำดับด้วย 100 เป็นผลให้ในเวลาเชิงเส้นจะได้รับบันทึกของตัวเลขใหม่

การแปลงตัวเลขเป็นระบบตัวเลขฟีโบนัชชีทำได้โดยใช้อัลกอริธึม "โลภ" ง่ายๆ: เราเพียงจัดเรียงตัวเลขฟีโบนักชีจากใหญ่ไปเล็ก และถ้ามีจะรวมอยู่ในสัญลักษณ์ของตัวเลข แล้วลบออกจาก และค้นหาต่อไป

สูตรสำหรับเลขฟีโบนักชีตัวที่ n

สูตรผ่านอนุมูล

มีสูตรมหัศจรรย์ที่เรียกตามนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส Binet แม้ว่าจะรู้จัก Moivre ต่อหน้าเขาก็ตาม:

สูตรนี้พิสูจน์ได้ง่ายโดยการเหนี่ยวนำ แต่สามารถหาได้โดยใช้แนวคิดเรื่องการสร้างฟังก์ชันหรือโดยการแก้สมการเชิงฟังก์ชัน

คุณจะสังเกตได้ทันทีว่าเทอมที่สองจะน้อยกว่า 1 ในโมดูลัสเสมอ และยิ่งไปกว่านั้น มันลดลงอย่างรวดเร็วมาก (แบบเอ็กซ์โปเนนเชียล) ตามมาว่าค่าของเทอมแรกให้ค่า "เกือบ" สามารถเขียนได้ในรูปแบบที่เข้มงวด:

โดยที่วงเล็บเหลี่ยมระบุการปัดเศษเป็นจำนวนเต็มที่ใกล้ที่สุด

อย่างไรก็ตาม สูตรเหล่านี้ไม่เหมาะกับการใช้งานจริงในการคำนวณมากนัก เนื่องจากต้องใช้ความแม่นยำสูงมากเมื่อทำงานกับเลขเศษส่วน

สูตรเมทริกซ์สำหรับตัวเลขฟีโบนัชชี

การพิสูจน์ความเท่าเทียมกันของเมทริกซ์ต่อไปนี้ไม่ใช่เรื่องยาก:

แต่แล้วก็แสดงถึง

เราได้รับ:

ดังนั้น ในการค้นหาหมายเลขฟีโบนัชชีลำดับที่ 2 คุณต้องยกเมทริกซ์ยกกำลัง

จำไว้ว่าการเพิ่มเมทริกซ์ยกกำลัง th สามารถทำได้ใน (ดู

(ตัวเลขฟีโบนักชี ลำดับฟีโบนักชีภาษาอังกฤษ ตัวเลขฟีโบนักชี) – ชุดตัวเลขที่ได้มาจากนักคณิตศาสตร์ชื่อดัง ฟีโบนักชี มีแบบฟอร์มดังต่อไปนี้: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181 เป็นต้น

ประวัติความเป็นมาของชุดฟีโบนัชชี

Leonardo of Pisa (Fibonacci) เข้ามาเรียนรู้คณิตศาสตร์จากความต้องการเชิงปฏิบัติในการสร้างการติดต่อทางธุรกิจ ในวัยเด็กของเขา Fibonacci เดินทางบ่อยครั้งร่วมกับพ่อของเขาในการเดินทางเพื่อทำธุรกิจต่างๆ ซึ่งทำให้เขาได้สื่อสารกับนักวิทยาศาสตร์ในท้องถิ่น

ชุดตัวเลขที่ปัจจุบันเป็นชื่อของเขานั้นได้มาจากปัญหาเกี่ยวกับกระต่าย ซึ่งผู้เขียนได้สรุปไว้ในหนังสือชื่อ Liber abacci (1202) ชายคนหนึ่งวางกระต่ายคู่หนึ่งไว้ในปากกาที่ล้อมรอบด้วยกำแพงทุกด้าน คำถาม : กระต่ายคู่นี้จะออกลูกได้กี่คู่ในหนึ่งปี ถ้ารู้ว่าทุกเดือน เริ่มจากเดือนที่ 2 แต่ละคู่จะออกกระต่ายเพิ่มอีกคู่

ผลที่ได้คือ Fibonacci กำหนดว่าจำนวนคู่ของกระต่ายในแต่ละสิบสองเดือนข้างหน้าจะเป็นตามลำดับ:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

โดยที่แต่ละหมายเลขที่ตามมาคือผลรวมของสองตัวก่อนหน้า นี่คือชุดฟีโบนัชชี (ตัวเลข) ลำดับนี้มีคุณสมบัติหลายอย่างที่น่าสนใจจากมุมมองทางคณิตศาสตร์ ตัวอย่างเช่น หากคุณแบ่งเส้นออกเป็น 2 ส่วนเพื่อให้อัตราส่วนระหว่างส่วนที่เล็กกว่าและส่วนที่ใหญ่กว่าเป็นสัดส่วนกับอัตราส่วนระหว่างส่วนที่ใหญ่กว่าและทั้งเส้น คุณจะได้ตัวประกอบสัดส่วนที่เรียกว่า " อัตราส่วนทองคำ- มันมีค่าประมาณเท่ากับ 0.618 นักวิทยาศาสตร์ยุคฟื้นฟูศิลปวิทยาเชื่อว่าเป็นสัดส่วนนี้หากสังเกตใน โครงสร้างทางสถาปัตยกรรมย่อมเจริญตาเจริญใจเป็นที่สุด

การประยุกต์ใช้ชุดฟีโบนัชชี

ซีรีส์ Fibonacci พบการนำไปใช้อย่างกว้างขวางในสาขาวิทยาศาสตร์และชีวิตที่หลากหลาย ตัวอย่างเช่น ในธรรมชาติ: ในโครงสร้างของพายุเฮอริเคน เปลือกหอย และแม้แต่กาแลคซี ตลาดสกุลเงิน Forex ก็ไม่มีข้อยกเว้น โดยที่ชุดตัวเลขตามลำดับเริ่มถูกนำมาใช้เพื่อทำนายแนวโน้ม ควรสังเกตว่ามีความสัมพันธ์คงที่ระหว่างตัวเลขเหล่านี้ ตัวอย่างเช่นดังที่กล่าวข้างต้นความสัมพันธ์ วันที่ก่อนหน้าอันถัดไปมีแนวโน้มเชิงเส้นกำกับที่ 0.618 (อัตราส่วนทองคำ) อัตราส่วนของจำนวนหนึ่งต่อจำนวนก่อนหน้าก็มีแนวโน้มเป็น 0.618 เช่นกัน

นอกจากการทำนายแนวโน้มแล้ว ตัวเลขฟีโบนัชชีในฟอเร็กซ์ยังใช้ในการทำนายทิศทางการเคลื่อนไหวของราคาอีกด้วย ตัวอย่างเช่น การกลับตัวของแนวโน้มตามอัตราส่วนทองคำเกิดขึ้นที่ระดับประมาณ 61.8% ของการเปลี่ยนแปลงราคาครั้งก่อน (ดูรูปที่ 1) ดังนั้น ตัวเลือกที่ทำกำไรได้มากที่สุดในกรณีนี้คือการปิดตำแหน่งที่ต่ำกว่าระดับนี้ จากชุด Fibonacci คุณสามารถคำนวณช่วงเวลาที่ทำกำไรได้มากที่สุดในการปิดและเปิดธุรกรรม

นอกจากนี้ อีกวิธีหนึ่งในการใช้ตัวเลขต่อเนื่องของชุด Fibonacci ในตลาด Forex คือการสร้างส่วนโค้ง การเลือกจุดศูนย์กลางสำหรับส่วนโค้งดังกล่าวเกิดขึ้นที่จุดด้านล่างหรือเพดานที่สำคัญ รัศมีของส่วนโค้งคำนวณโดยการคูณอัตราส่วน Fibonacci ด้วยมูลค่าของการเพิ่มขึ้นหรือลดลงอย่างมีนัยสำคัญของราคาครั้งก่อน

ค่าสัมประสิทธิ์ที่เลือกมีค่าต่อไปนี้: 0.333, 0.382, 0.4, 0.5, 0.6, 0.618, 0.666 ตำแหน่งของส่วนโค้งจะกำหนดบทบาท: แนวรับหรือแนวต้าน เพื่อให้เข้าใจถึงช่วงเวลาของการเคลื่อนไหวของราคา โดยปกติแล้วส่วนโค้งจะใช้ร่วมกับความเร็วหรือเส้นพัดลม

หลักการก่อสร้างคล้ายกัน: คุณต้องเลือกจุดสุดโต่งในอดีตและสร้าง เส้นแนวนอนจากด้านบนของอันแรกและอันแนวตั้งจากด้านบนของอันที่สอง จากนั้นคุณควรแบ่งส่วนแนวตั้งที่เกิดขึ้นออกเป็นส่วน ๆ ตามค่าสัมประสิทธิ์ วาดรังสีที่มาจากจุดแรกผ่านจุดที่คุณเลือก เมื่อใช้อัตราส่วน 2/3 และ 1/3 จะได้เส้นความเร็วสูง ด้วยอัตราส่วนที่เข้มงวดมากขึ้นคือ 0.618, 0.5 และ 0.382 จะได้เส้นพัดลม ทั้งหมดนี้ทำหน้าที่เป็นแนวรับหรือแนวต้านสำหรับแนวโน้มราคา (ดูรูปที่ 2)

จุดตัดของเส้นพัดและเส้นทำหน้าที่เป็นสัญญาณในการกำหนดจุดเปลี่ยนของแนวโน้ม - ทั้งในด้านเวลาและราคา

(รูปที่ 2 – ชุด Fibonacci การสร้างส่วนโค้ง)

คู่สกุลเงินที่มีความผันผวนมากขึ้นมีลักษณะพิเศษคือการไปถึงระดับ Fibonacci ที่สูงกว่าเมื่อเทียบกับคู่สกุลเงินที่มีความผันผวนน้อยกว่า การเคลื่อนไหวสูงสุดจะถูกบันทึกไว้ในคู่ดอลลาร์/แฟรงค์ และปอนด์/ดอลลาร์ ตามด้วยดอลลาร์/เยน และยูโร/ดอลลาร์

การใช้ชุด Fibonacci ในตลาดสกุลเงิน Forex มีลักษณะพิเศษอย่างหนึ่ง - สามารถใช้ได้เฉพาะกับการเคลื่อนไหวของแรงกระตุ้นที่ดีเท่านั้น

สถาบันการศึกษาของรัฐ

"โรงเรียนมัธยม Krivlyanskaya"

เขต ZHABINKOVSKY

ตัวเลขฟีโบนักชีและอัตราส่วนทองคำ

งานวิจัย

งานเสร็จแล้ว:

นักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 10

ซาดอฟนิชิก วาเลเรีย อเล็กซีฟนา

หัวหน้างาน:

ลาฟเรนยุก ลาริซา นิโคลาเยฟนา

ครูสอนวิทยาการคอมพิวเตอร์และ

คุณวุฒิคณิตศาสตร์ 1

ตัวเลขฟีโบนัชชีและธรรมชาติ

คุณลักษณะเฉพาะโครงสร้างของพืชและการพัฒนาคือความเฮลิเซียม แม้แต่เกอเธ่ซึ่งไม่เพียงแต่เป็นกวีผู้ยิ่งใหญ่เท่านั้น แต่ยังเป็นนักวิทยาศาสตร์ธรรมชาติด้วย ก็ยังถือว่าเฮลตี้เป็นหนึ่งในนั้น คุณสมบัติลักษณะของสิ่งมีชีวิตทั้งหลาย อันเป็นการสำแดงแก่นแท้แห่งชีวิตจากภายในสุด เอ็นของพืชบิดเป็นเกลียวการเติบโตของเนื้อเยื่อในลำต้นของต้นไม้เกิดขึ้นเป็นเกลียวเมล็ดในดอกทานตะวันจะอยู่ในเกลียวการเคลื่อนไหวของเกลียว (nutations) จะถูกสังเกตในระหว่างการเจริญเติบโตของรากและยอด

เมื่อดูเผินๆ อาจดูเหมือนว่าจำนวนใบและดอกอาจแตกต่างกันไปในขอบเขตที่กว้างมาก และอาจส่งผลต่อมูลค่าใดๆ ก็ตาม แต่ข้อสรุปดังกล่าวกลับกลายเป็นว่าไม่สามารถป้องกันได้ การวิจัยพบว่าจำนวนอวัยวะที่มีชื่อเดียวกันในพืชนั้นไม่ได้ขึ้นอยู่กับค่านิยมที่มักพบและค่าที่หายากมาก

ในธรรมชาติที่มีชีวิตรูปแบบที่อิงจากความสมมาตรห้าเหลี่ยมนั้นแพร่หลาย - ปลาดาว เม่นทะเล, ดอกไม้

รูปที่ 13. บัตเตอร์คัพ

ดอกคาโมไมล์มีกลีบดอก 55 หรือ 89 กลีบ

รูปที่ 14. ดอกคาโมไมล์

ไพรีทรัมมี 34 กลีบ

ปริญญาเอก 15. ไพรีทรัม

มาดูโคนต้นสนกันดีกว่า เกล็ดบนพื้นผิวของมันได้รับการจัดเรียงอย่างสม่ำเสมอ - ตามแนวเกลียวสองอันที่ตัดกันเป็นมุมฉากโดยประมาณ จำนวนเกลียวในโคนต้นสนคือ 8 และ 13 หรือ 13 และ 21

รูปที่ 16. กรวย

ในตะกร้าทานตะวันเมล็ดยังจัดเรียงเป็นเกลียวสองวงโดยปกติแล้วจำนวนจะเป็น 34/55, 55/89

ภาพที่ 17. ทานตะวัน

มาดูเปลือกหอยกันดีกว่า หากคุณนับจำนวน "ซี่โครงแข็ง" ของเปลือกแรกโดยสุ่มจะเท่ากับ 21 ลองใช้เปลือกที่สอง สาม ห้า สิบ - พวกมันทั้งหมดจะมี 21 ซี่บนพื้นผิว เห็นได้ชัดว่าหอยไม่เพียงแต่เป็นวิศวกรที่ดีเท่านั้น แต่ยัง "รู้จัก" ตัวเลขฟีโบนักชีอีกด้วย

ภาพที่ 18. เปลือก

อีกครั้งที่เราเห็นการรวมกันตามธรรมชาติของหมายเลขฟีโบนัชชีที่อยู่ใกล้เคียง: 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21, 21/34, 34/55, 55/89 อัตราส่วนในขีดจำกัดมีแนวโน้มเป็นสัดส่วนทองคำ แสดงด้วยตัวเลข 0.61803...

ตัวเลขฟีโบนัชชีและสัตว์

จำนวนรังสีของปลาดาวสอดคล้องกับชุดของตัวเลขฟีโบนัชชีหรือใกล้เคียงกับพวกมันมากและมีค่าเท่ากับ 5.8, 13,21,34,55

ภาพที่ 19. ปลาดาว

สัตว์ขาปล้องสมัยใหม่มีความหลากหลายมาก กุ้งล็อบสเตอร์ยังมีขาห้าคู่ ขนห้าขนที่หาง ส่วนท้องแบ่งออกเป็นห้าส่วน และขาแต่ละข้างประกอบด้วยห้าส่วน

ปริญญาเอก 20. กุ้งมังกร

ในแมลงบางชนิด ช่องท้องประกอบด้วยแปดส่วน มีแขนขาสามคู่ประกอบด้วยแปดส่วน และมีอวัยวะคล้ายหนวดแปดอวัยวะที่แตกต่างกันออกมาจากปาก ยุงที่รู้จักกันดีของเรามีขาสามคู่ ส่วนท้องแบ่งออกเป็นแปดส่วน และบนศีรษะมีหนวดห้าอัน ลูกน้ำยุงลายแบ่งออกเป็น 12 ส่วน

ปริญญาเอก 21. ยุง

ส่วนท้องของแมลงวันกะหล่ำปลีแบ่งออกเป็นห้าส่วน มีขาสามคู่ และตัวอ่อนแบ่งออกเป็นแปดส่วน ปีกทั้งสองข้างแต่ละข้างถูกแบ่งออกเป็นแปดส่วนด้วยเส้นเส้นเลือดบางๆ

ตัวหนอนของแมลงหลายชนิดแบ่งออกเป็น 13 ส่วน เช่น ด้วงผิวหนัง ด้วงเมือก และมัวร์บูเกอร์ ในแมลงปีกแข็งส่วนใหญ่ ตัวหนอนจะแบ่งออกเป็น 13 ส่วน โครงสร้างของขาของแมลงปีกแข็งมีลักษณะเฉพาะมาก ขาแต่ละข้างประกอบด้วยสามส่วน เช่นเดียวกับในสัตว์ชั้นสูง ได้แก่ ไหล่ แขน และอุ้งเท้า ขาแมลงปีกแข็งฉลุบาง ๆ แบ่งออกเป็นห้าส่วน

ปีกแมลงปอที่โปร่งใสและไร้น้ำหนักถือเป็นผลงานชิ้นเอกของความเชี่ยวชาญด้าน "วิศวกรรม" ของธรรมชาติ สัดส่วนใดเป็นพื้นฐานสำหรับการออกแบบระนาบกล้ามเนื้อบินจิ๋วนี้ อัตราส่วนของปีกต่อความยาวลำตัวของแมลงปอจำนวนมากคือ 4/3 ร่างกายของแมลงปอแบ่งออกเป็นสองส่วนหลัก: ลำตัวขนาดใหญ่และหางที่ยาวและบาง ร่างกายมีสามส่วน: ศีรษะ, หน้าอก, หน้าท้อง ช่องท้องแบ่งออกเป็นห้าส่วน และหางประกอบด้วยแปดส่วน ที่นี่คุณต้องเพิ่มขาสามคู่โดยแบ่งเป็นสามส่วน

ปริญญาเอก 22. แมลงปอ

ไม่ใช่เรื่องยากที่จะเห็นลำดับของการแบ่งทั้งหมดออกเป็นส่วนๆ จากการคลี่ชุดตัวเลขฟีโบนักชี ความยาวของหาง ลำตัว และความยาวทั้งหมดของแมลงปอมีความสัมพันธ์กันด้วยอัตราส่วนทองคำ โดยอัตราส่วนของความยาวของหางและลำตัวเท่ากับอัตราส่วนของความยาวทั้งหมดต่อความยาวของหาง

ไม่น่าแปลกใจเลยที่แมลงปอจะดูสมบูรณ์แบบเพราะมันถูกสร้างขึ้นตามกฎของอัตราส่วนทองคำ

การเห็นเต่ากับพื้นหลังของทาคีร์ที่มีรอยแตกเป็นปรากฏการณ์ที่น่าอัศจรรย์ ตรงกลางเปลือกจะมีทุ่งรูปไข่ขนาดใหญ่ที่มีแผ่นเขาหลอมรวมกันขนาดใหญ่ และตามขอบจะมีขอบของแผ่นเปลือกโลกขนาดเล็ก

ปริญญาเอก 23. เต่า

นำเต่าตัวใดก็ได้ - ตั้งแต่เต่าบึงที่อยู่ใกล้เราไปจนถึงเต่าทะเลยักษ์ - แล้วคุณจะมั่นใจได้ว่าลวดลายบนกระดองของมันคล้ายกัน: บนสนามวงรีมีแผ่นเขาที่หลอมรวม 13 แผ่น - 5 แผ่นตรงกลางและ 8 แผ่นที่ ขอบและที่ขอบรอบนอกประมาณ 21 แผ่น (เต่าชิลีมีแผ่น 21 แผ่นพอดีตามขอบกระดอง) เต่ามีนิ้วเท้า 5 นิ้ว และกระดูกสันหลังประกอบด้วยกระดูกสันหลัง 34 ชิ้น จะเห็นได้ง่ายว่าค่าทั้งหมดนี้สอดคล้องกับตัวเลขฟีโบนัชชี ด้วยเหตุนี้ การพัฒนาของเต่า การก่อตัวของร่างกาย การแบ่งทั้งหมดออกเป็นส่วนๆ จึงดำเนินการตามกฎของอนุกรมเลขฟีโบนักชี

สัตว์ประเภทที่สูงที่สุดในโลกคือสัตว์เลี้ยงลูกด้วยนม จำนวนซี่โครงในสัตว์หลายชนิดมีค่าเท่ากับหรือใกล้สิบสาม ในสัตว์เลี้ยงลูกด้วยนมที่แตกต่างกันอย่างสิ้นเชิง - ปลาวาฬ, อูฐ, กวาง, ออโรช - จำนวนซี่โครงคือ 13 ± 1 จำนวนกระดูกสันหลังจะแตกต่างกันอย่างมากโดยเฉพาะอย่างยิ่งเนื่องจากหางซึ่งอาจมีความยาวต่างกันแม้ในสัตว์สายพันธุ์เดียวกัน แต่ในหลาย ๆ ข้อนั้น จำนวนกระดูกสันหลังเท่ากับหรือใกล้เคียง 34 และ 55 ดังนั้น กวางยักษ์จึงมีกระดูกสันหลัง 34 ชิ้น ปลาวาฬมี 55 ชิ้น

โครงกระดูกของแขนขาของสัตว์เลี้ยงประกอบด้วยส่วนเชื่อมต่อของกระดูกที่เหมือนกันสามส่วน ได้แก่ กระดูกต้นแขน (กระดูกเชิงกราน) กระดูกปลายแขน (กระดูกหน้าแข้ง) และกระดูกอุ้งเท้า (เท้า) ในทางกลับกัน เท้าประกอบด้วยข้อต่อกระดูกสามส่วน

จำนวนฟันในสัตว์เลี้ยงหลายชนิดมีแนวโน้มเป็นเลขฟีโบนักชี เช่น กระต่ายมี 14 คู่ สุนัข หมู และม้ามีฟัน 21 ± 1 คู่ ในสัตว์ป่าจำนวนฟันจะแตกต่างกันไปมากขึ้น: ในสัตว์นักล่าที่มีกระเป๋าหน้าท้องตัวหนึ่งคือ 54 ตัวในหมาไน - 34 ตัวในปลาโลมาสายพันธุ์หนึ่งมีถึง 233 ตัว จำนวนกระดูกทั้งหมดในโครงกระดูกของสัตว์เลี้ยงในบ้าน (รวมถึงฟัน) ในกลุ่มหนึ่งมีเกือบ 230 และอีกกลุ่ม - ถึง 300 ควรสังเกตว่าจำนวนกระดูกของโครงกระดูกไม่รวมถึงกระดูกหูขนาดเล็กและกระดูกที่ไม่เสถียร เมื่อคำนึงถึงจำนวนกระดูกโครงกระดูกทั้งหมดในสัตว์หลายชนิดจะใกล้เคียงกับ 233 ชิ้นและในจำนวนอื่น ๆ จะเกิน 300 ดังที่เราเห็นการแบ่งส่วนของร่างกายพร้อมกับการพัฒนาโครงกระดูกนั้นมีลักษณะเฉพาะคือ การเปลี่ยนแปลงจำนวนกระดูกในอวัยวะต่างๆ ของสัตว์โดยไม่ต่อเนื่องกัน และตัวเลขเหล่านี้ตรงกับเลขฟีโบนัชชีหรือใกล้เคียงกันมาก เรียงกันเป็นชุดคือ 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 . อัตราส่วนขนาดของคนส่วนใหญ่ ไข่ไก่เท่ากับ 4:3 (บางอันมี 3/2), เมล็ดฟักทอง - 3:2, เมล็ดแตงโม - 3/2 อัตราส่วนความยาวของโคนต้นสนต่อเส้นผ่านศูนย์กลางกลายเป็น 2:1 ขนาดของใบเบิร์ชโดยเฉลี่ยอยู่ใกล้มากและลูกโอ๊ก - 5:2

เชื่อกันว่าหากจำเป็นต้องแบ่งสนามหญ้าดอกไม้ออกเป็นสองส่วน (หญ้าและดอกไม้) แถบเหล่านี้ไม่ควรมีความกว้างเท่ากัน มันจะสวยงามกว่านี้ถ้าคุณใช้อัตราส่วน 5: 8 หรือ 8:13 เช่น ใช้สัดส่วนที่เรียกว่า “อัตราส่วนทองคำ”

ตัวเลขฟีโบนัชชีและการถ่ายภาพ

เมื่อนำไปใช้กับงานศิลปะการถ่ายภาพ อัตราส่วนทองคำจะแบ่งเฟรมออกเป็นสองแนวนอนและสอง เส้นแนวตั้งออกเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสไม่เท่ากันจำนวน 9 รูป เพื่อให้ตนเองสามารถถ่ายภาพที่มีความสมดุลได้ง่ายขึ้น ช่างภาพจึงลดความซับซ้อนของงานลงเล็กน้อย และเริ่มแบ่งเฟรมออกเป็น 9 สี่เหลี่ยมเท่าๆ กันตามเลขฟีโบนักชี ดังนั้นกฎของอัตราส่วนทองคำจึงถูกแปลงเป็นกฎสามส่วนซึ่งหมายถึงหนึ่งในหลักการขององค์ประกอบ

ปริญญาเอก 24. กรอบและอัตราส่วนทองคำ

ในช่องมองภาพของกล้องดิจิตอลสมัยใหม่ จุดโฟกัสจะอยู่ที่ตำแหน่ง 2/8 หรือบนเส้นจินตนาการที่แบ่งเฟรมตามอัตราส่วนทองคำ

ภาพที่ 25. กล้องดิจิตอลและจุดโฟกัส

ภาพที่ 26.

ภาพที่ 27. การถ่ายภาพและจุดโฟกัส

กฎข้อที่สามใช้ได้กับทุกคน องค์ประกอบพล็อต: คุณกำลังถ่ายภาพทิวทัศน์หรือแนวตั้ง ภาพนิ่ง หรือรายงานข่าว จนกว่าคุณจะได้รับความรู้สึกถึงความสามัคคีและหมดสติ การปฏิบัติตามกฎสามส่วนง่ายๆ จะช่วยให้คุณถ่ายภาพที่แสดงออก กลมกลืน และสมดุลได้

ภาพที่ 28. ภาพถ่ายและอัตราส่วนของสวรรค์และโลก 1 ต่อ 2

ที่สุด เป็นตัวอย่างที่ดีสำหรับการสาธิตเป็นภูมิทัศน์ หลักการจัดองค์ประกอบภาพคือ ท้องฟ้าและพื้นดิน (หรือผิวน้ำ) ควรมีอัตราส่วน 1:2 ควรจัดสรรหนึ่งในสามของเฟรมให้กับท้องฟ้า และสองในสามให้กับพื้นดิน หรือในทางกลับกัน

ภาพที่ 29. ภาพของดอกไม้ที่บิดเป็นเกลียว

ฟีโบนัชชีและอวกาศ

อัตราส่วนของน้ำและพื้นดินบนโลกคือ 62% และ 38%

ขนาดของโลกและดวงจันทร์อยู่ในอัตราส่วนทองคำ

รูปที่ 30. ขนาดของโลกและดวงจันทร์

รูปภาพนี้แสดงขนาดสัมพัทธ์ของโลกและดวงจันทร์เป็นมาตราส่วน

มาวาดรัศมีของโลกกัน ให้เราวาดส่วนจากจุดศูนย์กลางของโลกไปยังจุดศูนย์กลางของดวงจันทร์ซึ่งความยาวจะเท่ากับ) ลองวาดส่วนของเส้นตรงเพื่อเชื่อมต่อส่วนของเส้นตรงทั้งสองเส้นเข้าด้วยกันเพื่อสร้างรูปสามเหลี่ยม เราได้สามเหลี่ยมทองคำ

ดาวเสาร์แสดงอัตราส่วนทองคำในหลายมิติ

ภาพที่ 31. ดาวเสาร์และวงแหวนของมัน

เส้นผ่านศูนย์กลางของดาวเสาร์มีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับอัตราส่วนทองคำกับเส้นผ่านศูนย์กลางของวงแหวน ดังที่แสดงไว้ในเส้นสีเขียวรัศมีเข้าส่วนด้านในของวงแหวนมีอัตราส่วนที่ใกล้กับเส้นผ่านศูนย์กลางภายนอกของวงแหวนมาก ดังแสดงด้วยเส้นสีน้ำเงิน

ระยะห่างของดาวเคราะห์จากดวงอาทิตย์ยังเป็นไปตามอัตราส่วนทองคำด้วย

รูปที่ 32. ระยะห่างของดาวเคราะห์จากดวงอาทิตย์

อัตราส่วนทองคำในชีวิตประจำวัน

นอกจากนี้ อัตราส่วนทองคำยังใช้เพื่อบอกเล่าสไตล์และความน่าดึงดูดในด้านการตลาดและการออกแบบผลิตภัณฑ์อุปโภคบริโภคในชีวิตประจำวัน มีตัวอย่างมากมายแต่เราจะยกตัวอย่างเพียงบางส่วนเท่านั้น

รูปที่ 33. ตราสัญลักษณ์โตโยต้า

รูปที่ 34. อัตราส่วนทองคำและเสื้อผ้า

รูปที่ 34. อัตราส่วนทองคำและการออกแบบยานยนต์

รูปที่ 35. ตราสัญลักษณ์แอปเปิล

รูปที่ 36. ตราสัญลักษณ์Google

กรณีศึกษา

ตอนนี้เราจะนำความรู้ที่ได้รับไปประยุกต์ใช้ในทางปฏิบัติ เรามาวัดกันในหมู่นักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 กันก่อน

นักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 จำนวน 7 คน เด็กหญิง 5 คน และเด็กชาย 2 คน เข้าร่วมการทดลอง วัดความสูงและระยะห่างจากสะดือถึงพื้น ผลลัพธ์จะแสดงอยู่ในตาราง นักเรียนคนหนึ่งมีร่างกายในอุดมคติ สำหรับเธอ อัตราส่วนความสูงต่อระยะห่างจากสะดือถึงพื้นคือ 1.6185 นักเรียนอีกคนมีอัตราส่วนทองคำที่ใกล้เคียงกันมาก จากการวัดพบว่าผู้เข้าร่วม 29% มีพารามิเตอร์ในอุดมคติ ผลลัพธ์เปอร์เซ็นต์เหล่านี้ยังใกล้เคียงกับอัตราส่วนทองคำที่ 68% และ 32% อีกด้วย สำหรับเรื่องแรก เราจะเห็นว่าอัตราส่วน 3 ใน 5 นั้นใกล้เคียงกับอัตราส่วนทองคำ ในหน่วยนิ้ว เปอร์เซ็นต์มันคือ 60% ถึง 40% และสำหรับวินาที – 4 จาก 5 นั่นคือ 80% ถึง 20%

หากคุณดูภาพโทรทัศน์อย่างใกล้ชิด ขนาดของภาพจะเป็น 16 ถึง 9 หรือ 16 ถึง 10 ซึ่งใกล้เคียงกับอัตราส่วนทองคำเช่นกัน

ดำเนินการวัดและก่อสร้างใน CorelDRAW X4 และใช้เฟรมจากช่องข่าว Russia 24 คุณจะพบสิ่งต่อไปนี้:

ก) อัตราส่วนความยาวต่อความกว้างของเฟรมคือ 1.7

b) บุคคลในเฟรมอยู่ที่จุดโฟกัสซึ่งอยู่ห่างจาก 3/8 พอดี

ต่อไปเรามาดูไมโครบล็อกอย่างเป็นทางการของหนังสือพิมพ์ Izvestia หรืออีกนัยหนึ่งคือไปที่หน้า Twitter สำหรับหน้าจอมอนิเตอร์ที่มีด้าน 4:3 เราจะเห็นว่า "ส่วนหัว" ของหน้าคือ 3/8 ของความสูงทั้งหมดของหน้า

เมื่อดูหมวกทหารอย่างใกล้ชิดคุณจะพบสิ่งต่อไปนี้:

ก) หมวกของรัฐมนตรีว่าการกระทรวงกลาโหมของสหพันธรัฐรัสเซียมีอัตราส่วนของส่วนที่ระบุคือ 21.73 ถึง 15.52 เท่ากับ 1.4

b) หมวกของผู้พิทักษ์ชายแดนของสาธารณรัฐเบลารุสมีขนาดของส่วนที่ระบุ 44.42 ถึง 21.33 ซึ่งเท่ากับ 2.1

c) หมวกตั้งแต่สมัยสหภาพโซเวียตมีขนาดของชิ้นส่วนที่ระบุ 49.67 ถึง 31.04 ซึ่งเท่ากับ 1.6

รุ่นนี้ความยาวเดรส 113.13 มม.

ถ้าเรา “จัด” ชุดให้ยาว “พอดี” เราก็จะได้ภาพแบบนี้

การวัดทั้งหมดมีข้อผิดพลาดบางประการเนื่องจากดำเนินการจากภาพถ่ายซึ่งไม่รบกวนการมองเห็นแนวโน้ม - ทุกสิ่งในอุดมคติจะมีอัตราส่วนทองคำต่อหนึ่งองศาหรืออย่างอื่น

บทสรุป

โลกแห่งธรรมชาติที่มีชีวิตดูเหมือนแตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง - เคลื่อนที่ได้ เปลี่ยนแปลงได้ และมีความหลากหลายอย่างน่าประหลาดใจ ชีวิตแสดงให้เราเห็นถึงงานรื่นเริงอันมหัศจรรย์ของความหลากหลายและเอกลักษณ์ของการผสมผสานที่สร้างสรรค์! ประการแรกโลกแห่งธรรมชาติที่ไม่มีชีวิตคือโลกแห่งความสมมาตรซึ่งทำให้การสร้างสรรค์มีความมั่นคงและสวยงาม ประการแรก โลกธรรมชาติคือโลกแห่งความสามัคคี ซึ่งใช้ "กฎแห่งอัตราส่วนทองคำ"

“"อัตราส่วนทองคำ" ดูเหมือนจะเป็นช่วงเวลาแห่งความจริง ซึ่งโดยทั่วไปแล้ว ไม่มีอะไรที่เป็นไปได้เลย อะไรก็ตามที่เราถือเป็นองค์ประกอบของการวิจัย “อัตราส่วนทองคำ” จะอยู่ทุกหนทุกแห่ง แม้ว่าจะไม่สังเกตเห็นได้ชัดก็ตาม มันก็เกิดขึ้นในระดับพลังงาน ระดับโมเลกุลหรือระดับเซลล์อย่างแน่นอน

แท้จริงแล้วธรรมชาติกลับกลายเป็นความซ้ำซากจำเจ (และดังนั้นจึงเป็นเอกภาพ!) ในการสำแดงกฎพื้นฐานของมัน โซลูชันที่ "ประสบความสำเร็จมากที่สุด" ที่เธอพบสามารถนำไปใช้กับวัตถุได้หลากหลายและกับรูปแบบองค์กรที่หลากหลาย ความต่อเนื่องและความไม่ต่อเนื่องขององค์กรมาจากเอกภาพแบบคู่ของสสาร - ธรรมชาติของสสารและคลื่นของมันแทรกซึมเข้าไปในวิชาเคมี โดยให้กฎของปริมาณสารสัมพันธ์จำนวนเต็ม สารประกอบเคมีองค์ประกอบคงที่และแปรผัน ในทางพฤกษศาสตร์ ความต่อเนื่องและความไม่ต่อเนื่องพบการแสดงออกเฉพาะในฟิลโลแทกซิส ปริมาณของความไม่ต่อเนื่อง ปริมาณของการเจริญเติบโต ความสามัคคีของความไม่ต่อเนื่อง และความต่อเนื่องของการจัดระเบียบกาล-อวกาศ และตอนนี้ในอัตราส่วนตัวเลขของอวัยวะพืช "หลักการของอัตราส่วนหลายอัตราส่วน" ที่แนะนำโดย A. Gursky ปรากฏขึ้น - การทำซ้ำกฎพื้นฐานของเคมีอย่างสมบูรณ์

แน่นอนว่าข้อความที่ว่าปรากฏการณ์ทั้งหมดนี้อิงกับลำดับฟีโบนัชชีฟังดูดังเกินไป แต่แนวโน้มนั้นชัดเจน นอกจากนี้ตัวเธอเองยังห่างไกลจากความสมบูรณ์แบบเหมือนกับทุกสิ่งในโลกนี้

มีข้อสันนิษฐานว่าซีรีส์ฟีโบนัชชีเป็นความพยายามโดยธรรมชาติในการปรับให้เข้ากับลำดับลอการิทึมอัตราส่วนทองคำที่เป็นพื้นฐานและสมบูรณ์ยิ่งขึ้น ซึ่งเกือบจะเหมือนกัน เพียงแต่เริ่มต้นจากที่ไหนเลยและไปไม่ถึงไหนเลย ธรรมชาติต้องการจุดเริ่มต้นที่สามารถเริ่มต้นได้อย่างแน่นอน มันไม่สามารถสร้างบางสิ่งบางอย่างขึ้นมาจากความว่างเปล่าได้ อัตราส่วนของเทอมแรกของลำดับฟีโบนักชีอยู่ไกลจากอัตราส่วนทองคำ แต่ยิ่งเราเคลื่อนไปไกลเท่าไหร่ ความเบี่ยงเบนเหล่านี้ก็จะยิ่งราบรื่นมากขึ้นเท่านั้น ในการกำหนดซีรีส์ใด ๆ ก็เพียงพอที่จะรู้คำศัพท์สามคำนั้นมาทีละคำ แต่ไม่ใช่สำหรับลำดับสีทอง สองอันก็เพียงพอแล้ว มันเป็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิตและเลขคณิตในเวลาเดียวกัน บางคนอาจคิดว่ามันเป็นพื้นฐานของลำดับอื่นๆ ทั้งหมด

แต่ละเทอมของลำดับลอการิทึมสีทองคือกำลังของสัดส่วนทองคำ () ส่วนหนึ่งของซีรีส์มีลักษณะดังนี้:... ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ... ถ้าเราปัดเศษของอัตราส่วนทองคำเป็นทศนิยม 3 ตำแหน่ง เราก็จะได้=1,618 จากนั้นซีรีส์จะมีลักษณะดังนี้:... 0,090 0,146; 0,236; 0,382; 0,618; 1; 1,618; 2,618; 4,236; 6,854; 11,090 ... แต่ละเทอมถัดไปสามารถรับได้ไม่เพียงแค่คูณเทอมก่อนหน้าด้วย1,618 แต่ยังเพิ่มสองรายการก่อนหน้าด้วย ดังนั้นการเติบโตแบบทวีคูณจึงทำได้โดยการเพิ่มองค์ประกอบที่อยู่ติดกันสองรายการ มันเป็นอนุกรมที่ไม่มีจุดเริ่มต้นหรือจุดสิ้นสุด และนั่นคือสิ่งที่ลำดับฟีโบนัชชีพยายามจะเป็นเช่นนี้ ด้วยจุดเริ่มต้นที่ชัดเจน เธอมุ่งมั่นเพื่ออุดมคติแต่ไม่เคยบรรลุมันเลย นั่นคือชีวิต

แต่เนื่องจากทุกสิ่งที่เราได้เห็นและอ่าน มีคำถามเชิงตรรกะเกิดขึ้น:
ตัวเลขเหล่านี้มาจากไหน? ใครคือสถาปนิกแห่งจักรวาลที่พยายามทำให้มันสมบูรณ์แบบ? ทุกอย่างเป็นไปตามที่เขาต้องการหรือเปล่า? และถ้าเป็นเช่นนั้นเหตุใดจึงผิดพลาด? การกลายพันธุ์? ทางเลือกฟรี? จะเกิดอะไรขึ้นต่อไป? เกลียวม้วนงอหรือคลี่คลายหรือไม่?

เมื่อพบคำตอบสำหรับคำถามหนึ่งแล้ว คุณจะได้รับคำถามถัดไป หากคุณแก้ปัญหาได้ คุณจะได้อันใหม่สองตัว เมื่อคุณจัดการกับพวกมันแล้ว อีกสามคนก็จะปรากฏขึ้น เมื่อแก้ไขได้แล้ว คุณจะมีห้ารายการที่ยังไม่ได้แก้ไข แปดแล้วก็สิบสาม 21, 34, 55...

รายชื่อแหล่งที่มาที่ใช้

Vasyutinsky, N. อัตราส่วนทองคำ/ Vasyutinsky N, มอสโก, Young Guard, 1990, - 238 หน้า - (ยูเรก้า).

Vorobyov, N.N. ตัวเลขฟีโบนัชชี,

โหมดการเข้าถึง: - วันที่เข้าถึง: 11/17/2015

โหมดการเข้าถึง: - วันที่เข้าถึง: 11/16/2015

โหมดการเข้าถึง: - วันที่เข้าถึง: 13.11.2015.

คุณเคยได้ยินว่าคณิตศาสตร์ถูกเรียกว่า "ราชินีแห่งวิทยาศาสตร์ทั้งหมด" หรือไม่? คุณเห็นด้วยกับข้อความนี้หรือไม่? ตราบใดที่คณิตศาสตร์ยังคงเป็นปัญหาที่น่าเบื่อในหนังสือเรียน คุณแทบจะไม่สามารถสัมผัสกับความงดงาม ความเก่งกาจ และแม้แต่อารมณ์ขันของวิทยาศาสตร์นี้

แต่มีหัวข้อในวิชาคณิตศาสตร์ที่ช่วยสังเกตสิ่งที่น่าสนใจและปรากฏการณ์ที่เราพบเห็นได้ทั่วไป และแม้กระทั่งพยายามเจาะทะลุม่านแห่งความลึกลับแห่งการสร้างจักรวาลของเรา มีรูปแบบที่น่าสนใจในโลกที่สามารถอธิบายได้โดยใช้คณิตศาสตร์

ขอแนะนำตัวเลขฟีโบนัชชี

ตัวเลขฟีโบนัชชีตั้งชื่อองค์ประกอบของลำดับตัวเลข ในนั้น แต่ละหมายเลขถัดไปในชุดจะได้มาโดยการรวมตัวเลขสองตัวก่อนหน้า

ลำดับตัวอย่าง: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987...

คุณสามารถเขียนได้ดังนี้:

F 0 = 0, F 1 = 1, F n = F n-1 + F n-2, n ≥ 2

คุณสามารถเริ่มต้นชุดตัวเลข Fibonacci ด้วยค่าลบได้ n- ยิ่งไปกว่านั้น ลำดับในกรณีนี้เป็นแบบสองทาง (นั่นคือ ครอบคลุมทั้งจำนวนลบและจำนวนบวก) และมีแนวโน้มว่าจะไม่มีที่สิ้นสุดในทั้งสองทิศทาง

ตัวอย่างของลำดับดังกล่าว: -55, -34, -21, -13, -8, 5, 3, 2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 , 34, 55.

สูตรในกรณีนี้มีลักษณะดังนี้:

Fn = Fn+1 - Fn+2หรือคุณสามารถทำสิ่งนี้: F -n = (-1) n+1 Fn.

สิ่งที่เรารู้จักกันในชื่อ “ตัวเลขฟีโบนัชชี” เป็นที่รู้จักของนักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียโบราณมานานก่อนที่จะเริ่มใช้ในยุโรป และด้วยชื่อนี้ มันเป็นเพียงเรื่องราวเล็ก ๆ น้อย ๆ ทางประวัติศาสตร์ที่ต่อเนื่องเรื่องหนึ่งเท่านั้น เริ่มต้นด้วยความจริงที่ว่า Fibonacci ไม่เคยเรียกตัวเองว่า Fibonacci ในช่วงชีวิตของเขา - ชื่อนี้เริ่มนำไปใช้กับ Leonardo of Pisa เพียงไม่กี่ศตวรรษหลังจากการตายของเขา แต่มาพูดถึงทุกสิ่งตามลำดับ

เลโอนาร์โดแห่งปิซา หรือที่รู้จักกันในชื่อฟีโบนัชชี

ลูกชายของพ่อค้าที่กลายมาเป็นนักคณิตศาสตร์ และต่อมาได้รับการยอมรับจากรุ่นหลังว่าเป็นนักคณิตศาสตร์รายใหญ่คนแรกของยุโรปในยุคกลาง ไม่เข้า. วิธีสุดท้ายต้องขอบคุณตัวเลขฟีโบนัชชี (ซึ่งเราจำไว้นะว่ายังไม่ได้เรียกแบบนั้น) ซึ่งเขาอธิบายไว้เมื่อต้นศตวรรษที่ 13 ในงานของเขา "Liber abaci" ("Book of Abacus", 1202)

ฉันเดินทางไปกับพ่อไปทางทิศตะวันออก Leonardo ศึกษาคณิตศาสตร์กับครูชาวอาหรับ (และในสมัยนั้นพวกเขาเป็นหนึ่งในผู้เชี่ยวชาญที่ดีที่สุดในเรื่องนี้และในสาขาวิทยาศาสตร์อื่น ๆ อีกมากมาย) ผลงานของนักคณิตศาสตร์แห่งยุคโบราณและ อินเดียโบราณเขาอ่านเป็นฉบับแปลภาษาอาหรับ

หลังจากเข้าใจทุกสิ่งที่เขาอ่านอย่างถี่ถ้วนและใช้ความคิดที่อยากรู้อยากเห็นของตนเอง Fibonacci ได้เขียนบทความทางวิทยาศาสตร์เกี่ยวกับคณิตศาสตร์หลายฉบับ รวมถึง "Book of Abacus" ที่กล่าวถึงข้างต้น นอกจากนี้ฉันยังสร้าง:

• "Practica geometriae" ("การฝึกเรขาคณิต", 1220);
• "Flos" ("ดอกไม้", 1225 - การศึกษาสมการลูกบาศก์);
• "Liber quadratorum" ("Book of Squares", 1225 - ปัญหาเกี่ยวกับสมการกำลังสองไม่แน่นอน)

เขาเป็นแฟนตัวยงของการแข่งขันทางคณิตศาสตร์ ดังนั้นในบทความของเขา เขาจึงให้ความสนใจเป็นอย่างมากกับการวิเคราะห์ปัญหาทางคณิตศาสตร์ต่างๆ

เหลือน้อยมากเกี่ยวกับชีวิตของเลโอนาร์โด ข้อมูลชีวประวัติ- สำหรับชื่อฟีโบนัชชีที่เขาเข้าสู่ประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์นั้น ชื่อนี้ถูกกำหนดให้กับเขาในศตวรรษที่ 19 เท่านั้น

ฟีโบนัชชีและปัญหาของเขา

หลังจากที่ Fibonacci ยังคงอยู่ จำนวนมากปัญหาที่นักคณิตศาสตร์นิยมกันมากในศตวรรษต่อมา เราจะมาดูปัญหากระต่ายซึ่งแก้ไขโดยใช้ตัวเลขฟีโบนัชชี

กระต่ายไม่ได้เป็นเพียงขนที่มีคุณค่าเท่านั้น

Fibonacci กำหนดเงื่อนไขดังต่อไปนี้: มีกระต่ายแรกเกิดคู่หนึ่ง (ตัวผู้และตัวเมีย) ที่มีสายพันธุ์ที่น่าสนใจซึ่งพวกมันจะออกลูกเป็นประจำ (เริ่มตั้งแต่เดือนที่สอง) - ตัวเดียวเสมอ คู่ใหม่กระต่าย อย่างที่คุณอาจเดาได้ว่าเป็นชายและหญิง

กระต่ายตามเงื่อนไขเหล่านี้ถูกวางไว้ในพื้นที่จำกัดและผสมพันธุ์ด้วยความกระตือรือร้น มีการกำหนดด้วยว่าไม่มีกระต่ายตัวเดียวตายจากโรคกระต่ายลึกลับ

เราต้องคำนวณว่าเราจะได้กระต่ายกี่ตัวในหนึ่งปี

• เมื่อต้นเดือนที่ 1 เรามีกระต่าย 1 คู่ เมื่อสิ้นเดือนพวกเขาจะผสมพันธุ์กัน
• เดือนที่สอง - เรามีกระต่าย 2 คู่แล้ว (คู่หนึ่งมีพ่อแม่ + 1 คู่คือลูกหลาน)
• เดือนที่สาม คู่แรกให้กำเนิดคู่ใหม่ คู่ที่สองออกคู่ รวม - กระต่าย 3 คู่
• เดือนที่สี่ คู่แรกออกคู่ใหม่ คู่ที่สองไม่เสียเวลาและยังออกคู่ใหม่ คู่ที่สามเพิ่งผสมพันธุ์ รวม - กระต่าย 5 คู่

จำนวนกระต่ายเข้า nเดือนที่ 3 = จำนวนกระต่ายคู่จากเดือนก่อน + จำนวนคู่แรกเกิด (มีจำนวนกระต่ายคู่เท่ากับกระต่ายคู่เมื่อ 2 เดือนก่อนตอนนี้) และทั้งหมดนี้อธิบายไว้ในสูตรที่เราให้ไว้ข้างต้น: F n = F n-1 + F n-2.

ดังนั้นเราจึงได้รับการกำเริบ (คำอธิบายเกี่ยวกับ การเรียกซ้ำ– ด้านล่าง) ลำดับหมายเลข โดยแต่ละหมายเลขถัดไปจะเท่ากับผลรวมของสองตัวก่อนหน้า:

1. 1 + 1 = 2
2. 2 + 1 = 3
3. 3 + 2 = 5
4. 5 + 3 = 8
5. 8 + 5 = 13
6. 13 + 8 = 21
7. 21 + 13 = 34
8. 34 + 21 = 55
9. 55 + 34 = 89
10. 89 + 55 = 144
11. 144 + 89 = 233
12. 233+ 144 = 377 <…>

คุณสามารถทำลำดับต่อไปได้เป็นเวลานาน: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987<…>- แต่เนื่องจากเราได้กำหนดระยะเวลาไว้ - หนึ่งปี เราจึงสนใจผลลัพธ์ที่ได้รับในวันที่ 12 "ย้าย" เหล่านั้น. สมาชิกคนที่ 13 ของลำดับ: 377

คำตอบของปัญหา: จะได้รับกระต่าย 377 ตัวหากตรงตามเงื่อนไขที่ระบุไว้ทั้งหมด

คุณสมบัติอย่างหนึ่งของลำดับเลขฟีโบนัชชีนั้นน่าสนใจมาก ถ้าเราเอาสองคู่ติดต่อกันจากแถวแล้วหาร จำนวนที่มากขึ้นยิ่งน้อยผลก็จะค่อยๆเข้าใกล้ อัตราส่วนทองคำ(คุณสามารถอ่านเพิ่มเติมเกี่ยวกับเรื่องนี้ได้ในบทความ)

ในแง่คณิตศาสตร์ “ขีดจำกัดของความสัมพันธ์ n+1ถึง หนึ่งเท่ากับอัตราส่วนทองคำ”.

ปัญหาทฤษฎีจำนวนเพิ่มเติม

1. ค้นหาตัวเลขที่สามารถหารด้วย 7 ได้ และหากคุณหารด้วย 2, 3, 4, 5, 6 เศษที่เหลือจะเป็นหนึ่ง
2. หา เลขกำลังสอง- เป็นที่ทราบกันว่าถ้าคุณบวก 5 หรือลบ 5 คุณจะได้เลขกำลังสองอีกครั้ง

เราขอแนะนำให้คุณค้นหาคำตอบสำหรับปัญหาเหล่านี้ด้วยตัวเอง คุณสามารถปล่อยให้เรามีตัวเลือกของคุณในความคิดเห็นในบทความนี้ จากนั้นเราจะบอกคุณว่าการคำนวณของคุณถูกต้องหรือไม่

คำอธิบายของการเรียกซ้ำ

การเรียกซ้ำ– คำจำกัดความ คำอธิบาย รูปภาพของวัตถุหรือกระบวนการที่มีวัตถุนี้หรือตัวกระบวนการเอง โดยพื้นฐานแล้ว วัตถุหรือกระบวนการเป็นส่วนหนึ่งของตัวมันเอง

การเรียกซ้ำมีการใช้กันอย่างแพร่หลายในวิชาคณิตศาสตร์และวิทยาการคอมพิวเตอร์ และแม้กระทั่งในงานศิลปะและวัฒนธรรมสมัยนิยม

หมายเลขฟีโบนัชชีถูกกำหนดโดยใช้ความสัมพันธ์ที่เกิดซ้ำ สำหรับเบอร์ n>2 n-จำนวน e เท่ากัน (น – 1) + (น – 2).

คำอธิบายของอัตราส่วนทองคำ

อัตราส่วนทองคำ- การแบ่งส่วนทั้งหมด (เช่น ส่วน) ออกเป็นส่วน ๆ ที่เกี่ยวข้องกันตามหลักการต่อไปนี้ ส่วนที่ใหญ่กว่าเกี่ยวข้องกับส่วนที่เล็กกว่าในลักษณะเดียวกับมูลค่าทั้งหมด (เช่น ผลรวมของสองส่วน) คือ ไปสู่ส่วนที่ใหญ่กว่า

การกล่าวถึงอัตราส่วนทองคำครั้งแรกสามารถพบได้ใน Euclid ในบทความเรื่อง "องค์ประกอบ" ของเขา (ประมาณ 300 ปีก่อนคริสตกาล) ในบริบทของการสร้างรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าปกติ

คำที่เราคุ้นเคยเริ่มแพร่หลายในปี พ.ศ. 2378 โดย Martin Ohm นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน

หากเราอธิบายอัตราส่วนทองคำโดยประมาณ จะแสดงถึงการแบ่งตามสัดส่วนออกเป็นสองส่วนที่ไม่เท่ากัน: ประมาณ 62% และ 38% ในแง่ตัวเลข อัตราส่วนทองคำคือตัวเลข 1,6180339887 .

อัตราส่วนทองคำที่พบ การประยุกต์ใช้จริงวี วิจิตรศิลป์(ภาพวาดโดยเลโอนาร์โด ดา วินชี และจิตรกรยุคเรอเนซองส์คนอื่นๆ) สถาปัตยกรรม ภาพยนตร์ (“Battleship Potemkin” โดย S. Esenstein) และพื้นที่อื่นๆ เชื่อกันมานานแล้วว่าอัตราส่วนทองคำเป็นสัดส่วนที่สวยงามที่สุด ความคิดเห็นนี้ยังคงเป็นที่นิยมในปัจจุบัน แม้ว่าจากผลการวิจัยคนส่วนใหญ่มองว่าสัดส่วนนี้เป็นตัวเลือกที่ประสบความสำเร็จมากที่สุดและคิดว่ามันยาวเกินไป (ไม่สมส่วน)

• ความยาวส่วน กับ = 1, ก = 0,618, ข = 0,382.
• ทัศนคติ กับถึง ก = 1, 618.
• ทัศนคติ กับถึง ข = 2,618

ตอนนี้เรากลับมาที่ตัวเลขฟีโบนัชชี ลองเอาเทอมสองเทอมติดต่อกันจากลำดับของมันกัน หารจำนวนที่มากกว่าด้วยจำนวนที่น้อยกว่า จะได้ประมาณ 1.618 และตอนนี้เราใช้ตัวเลขที่ใหญ่กว่าเท่าเดิมและสมาชิกตัวถัดไปของชุดข้อมูล (นั่นคือ ตัวเลขที่ใหญ่กว่านี้อีก) - อัตราส่วนของพวกมันอยู่ที่ช่วงต้นของ 0.618

นี่คือตัวอย่าง: 144, 233, 377

233/144 = 1.618 และ 233/377 = 0.618

อย่างไรก็ตาม หากคุณพยายามทำการทดลองเดียวกันกับตัวเลขตั้งแต่ต้นลำดับ (เช่น 2, 3, 5) จะไม่มีอะไรเกิดขึ้น เกือบแล้ว แทบจะไม่ปฏิบัติตามกฎอัตราส่วนทองคำในช่วงเริ่มต้นของลำดับ แต่เมื่อคุณเลื่อนดูซีรีส์ไปเรื่อยๆ และตัวเลขเพิ่มขึ้น มันก็ใช้งานได้ดี

และเพื่อที่จะคำนวณชุดตัวเลขฟีโบนัชชีทั้งหมด ก็เพียงพอแล้วที่จะรู้คำศัพท์สามคำในลำดับทีละคำ คุณสามารถเห็นสิ่งนี้ได้ด้วยตัวคุณเอง!

สี่เหลี่ยมผืนผ้าทองคำและเกลียวฟีโบนัชชี

เส้นขนานที่น่าสนใจอีกประการหนึ่งระหว่างตัวเลขฟีโบนัชชีและอัตราส่วนทองคำคือสิ่งที่เรียกว่า "สี่เหลี่ยมสีทอง" ซึ่งด้านข้างมีสัดส่วน 1.618 ต่อ 1 แต่เรารู้แล้วว่าตัวเลข 1.618 คืออะไรใช่ไหม

ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณาอนุกรมฟีโบนัชชีสองเทอมติดต่อกัน - 8 และ 13 - และสร้างสี่เหลี่ยมผืนผ้าด้วยพารามิเตอร์ต่อไปนี้: ความกว้าง = 8, ความยาว = 13

จากนั้นเราจะแบ่งสี่เหลี่ยมใหญ่ออกเป็นส่วนเล็ก ๆ เงื่อนไขที่จำเป็น: ความยาวของด้านข้างของสี่เหลี่ยมต้องสอดคล้องกับตัวเลขฟีโบนัชชี เหล่านั้น. ความยาวด้านของสี่เหลี่ยมผืนผ้าใหญ่ต้องเท่ากับผลรวมของด้านของสี่เหลี่ยมเล็กสองด้าน

วิธีการทำในรูปนี้ (เพื่อความสะดวก ตัวเลขจะเซ็นด้วยตัวอักษรละติน)

อย่างไรก็ตาม คุณสามารถสร้างสี่เหลี่ยมในลำดับย้อนกลับได้ เหล่านั้น. เริ่มสร้างด้วยสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน 1 ซึ่งเป็นไปตามหลักการที่กล่าวไว้ข้างต้น ตัวเลขที่มีด้านเท่ากับตัวเลขฟีโบนัชชีจึงจะเสร็จสมบูรณ์ ตามทฤษฎีแล้ว สิ่งนี้สามารถดำเนินต่อไปได้ไม่จำกัด อย่างไรก็ตาม ซีรีส์ Fibonacci นั้นไม่มีที่สิ้นสุดอย่างเป็นทางการ

หากเราเชื่อมต่อมุมของสี่เหลี่ยมที่ได้รับในรูปด้วยเส้นเรียบ เราจะได้เกลียวลอการิทึม หรือในกรณีพิเศษคือเกลียวฟีโบนัชชี โดยเฉพาะอย่างยิ่งมันมีลักษณะที่ว่ามันไม่มีขอบเขตและไม่เปลี่ยนรูปร่าง

เกลียวที่คล้ายกันมักพบในธรรมชาติ เปลือกหอยเป็นตัวอย่างที่โดดเด่นที่สุดอย่างหนึ่ง นอกจากนี้กาแลคซีบางแห่งที่สามารถมองเห็นได้จากโลกยังมีรูปร่างเป็นเกลียวอีกด้วย หากคุณใส่ใจกับการพยากรณ์อากาศในทีวี คุณอาจสังเกตเห็นว่าพายุไซโคลนมีรูปร่างเป็นเกลียวคล้ายกันเมื่อถ่ายภาพจากดาวเทียม

เป็นที่สงสัยว่าเกลียว DNA นั้นก็เป็นไปตามกฎของส่วนสีทองเช่นกัน - รูปแบบที่สอดคล้องกันสามารถเห็นได้ในช่วงเวลาของการโค้งงอ

"ความบังเอิญ" ที่น่าทึ่งเช่นนี้ไม่สามารถกระตุ้นความคิดและก่อให้เกิดการพูดคุยเกี่ยวกับอัลกอริธึมเดียวที่ปรากฏการณ์ทั้งหมดในชีวิตของจักรวาลเชื่อฟัง ตอนนี้คุณเข้าใจแล้วว่าทำไมบทความนี้ถึงถูกเรียกเช่นนี้? และประตูไหน. โลกที่น่าตื่นตาตื่นใจคณิตศาสตร์สามารถเปิดเผยอะไรให้คุณได้บ้าง?

ตัวเลขฟีโบนัชชีในธรรมชาติ

ความสัมพันธ์ระหว่างตัวเลขฟีโบนัชชีและอัตราส่วนทองคำแสดงให้เห็นรูปแบบที่น่าสนใจ น่าแปลกใจมากที่พยายามค้นหาลำดับที่คล้ายกับตัวเลขฟีโบนัชชีในธรรมชาติและแม้แต่ในระหว่างนั้น เหตุการณ์ทางประวัติศาสตร์- และธรรมชาติก็ก่อให้เกิดสมมติฐานเช่นนั้นจริงๆ แต่ทุกสิ่งในชีวิตของเราสามารถอธิบายและอธิบายโดยใช้คณิตศาสตร์ได้หรือไม่?

ตัวอย่างสิ่งมีชีวิตที่สามารถอธิบายได้โดยใช้ลำดับฟีโบนักชี:

• การจัดเรียงใบ (และกิ่งก้าน) ในพืช - ระยะห่างระหว่างใบไม้มีความสัมพันธ์กับหมายเลขฟีโบนัชชี (ฟิลโลแทกซิส)

• การจัดเรียงเมล็ดทานตะวัน (เมล็ดจัดเรียงเป็นเกลียวสองแถวบิดไปในทิศทางที่ต่างกัน: แถวหนึ่งตามเข็มนาฬิกา, แถวทวนเข็มนาฬิกา);

• การจัดเรียงเกล็ดโคนต้นสน
• กลีบดอกไม้
• เซลล์สับปะรด
• อัตราส่วนความยาวของช่วงนิ้วบนมือมนุษย์ (โดยประมาณ) เป็นต้น

ปัญหาเชิงผสมผสาน

หมายเลขฟีโบนัชชีถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในการแก้ปัญหาเชิงร่วม

เชิงผสมเป็นสาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับการศึกษาตัวอย่างบุคคล หมายเลขที่กำหนดองค์ประกอบจากชุดที่กำหนด การแจกแจง ฯลฯ

ลองดูตัวอย่างปัญหาเชิงผสมผสานที่ออกแบบมาสำหรับระดับนั้น โรงเรียนมัธยมปลาย(ที่มา - http://www.problems.ru/)

งาน #1:

Lesha ปีนบันได 10 ขั้น คราวหนึ่งเขากระโดดขึ้นขั้นหนึ่งหรือสองขั้น Lesha สามารถขึ้นบันไดได้กี่วิธี?

จำนวนวิธีที่ Lesha สามารถขึ้นบันไดได้ nขั้นตอนที่เรามาแสดงกัน และ nมันเป็นไปตามนั้น 1 = 1, 2= 2 (ท้ายที่สุด Lesha กระโดดหนึ่งหรือสองก้าว)

มีการตกลงกันว่า Lesha กระโดดขึ้นบันไดจาก น> 2 ขั้นตอน สมมติว่าเขากระโดดสองก้าวในครั้งแรก ซึ่งหมายความว่าตามเงื่อนไขของปัญหา เขาจำเป็นต้องกระโดดอีกอันหนึ่ง n – 2ขั้นตอน จากนั้นอธิบายจำนวนวิธีในการปีนให้สำเร็จดังนี้ n–2- และถ้าเราคิดว่าครั้งแรกที่ Lesha กระโดดเพียงก้าวเดียว เราก็จะอธิบายจำนวนวิธีที่จะปีนให้สำเร็จเป็น n–1.

จากที่นี่เราได้รับความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้: n = n–1 + n–2(ดูคุ้นเคยใช่ไหมล่ะ?)

เนื่องจากเรารู้ 1และ 2และจำไว้ว่าตามเงื่อนไขของปัญหามี 10 ขั้นตอน คำนวณทั้งหมดตามลำดับ และ n: 3 = 3, 4 = 5, 5 = 8, 6 = 13, 7 = 21, 8 = 34, 9 = 55, 10 = 89.

คำตอบ: 89 วิธี

งาน #2:

คุณต้องค้นหาจำนวนคำที่มีความยาว 10 ตัวอักษรที่ประกอบด้วยตัวอักษร "a" และ "b" เท่านั้น และต้องไม่มีตัวอักษร "b" สองตัวติดกัน

เรามาแสดงแทนด้วย หนึ่งความยาวจำนวนคำ nตัวอักษรที่มีเฉพาะตัวอักษร “a” และ “b” และไม่มีตัวอักษร “b” สองตัวติดกัน วิธี, 1= 2, 2= 3.

ตามลำดับ 1, 2, <…>, หนึ่งเราจะแสดงสมาชิกแต่ละคนถัดไปผ่านสมาชิกก่อนหน้านี้ ดังนั้นจำนวนคำที่มีความยาวคือ nตัวอักษรที่ไม่มีตัวอักษรคู่ "b" และขึ้นต้นด้วยตัวอักษร "a" คือ n–1- และถ้าคำนั้นยาว nตัวอักษรเริ่มต้นด้วยตัวอักษร "b" มันเป็นเหตุผลที่ตัวอักษรถัดไปในคำดังกล่าวคือ "a" (ท้ายที่สุดแล้วไม่สามารถมี "b" สองตัวได้ตามเงื่อนไขของปัญหา) ดังนั้นจำนวนคำที่มีความยาวคือ nในกรณีนี้เราแสดงว่าตัวอักษรเป็น n–2- ทั้งในกรณีแรกและกรณีที่สอง คำใดๆ (ความยาวของ n – 1และ n – 2ตัวอักษรตามลำดับ) โดยไม่มี "b" สองตัว

เราสามารถให้เหตุผลได้ว่าทำไม n = n–1 + n–2.

ให้เราคำนวณตอนนี้ 3= 2+ 1= 3 + 2 = 5, 4= 3+ 2= 5 + 3 = 8, <…>, 10= 9+ 8= 144 และเราได้ลำดับฟีโบนัชชีที่คุ้นเคย

คำตอบ: 144.

งาน #3:

ลองนึกภาพว่ามีเทปแบ่งออกเป็นเซลล์ มันไปทางขวาและคงอยู่ตลอดไป วางตั๊กแตนไว้ที่ช่องแรกของเทป ไม่ว่าเขาจะอยู่ในเซลล์ใดของเทป เขาสามารถเลื่อนไปทางขวาได้เท่านั้น: เซลล์เดียวหรือสองเซลล์ มีกี่วิธีที่ตั๊กแตนสามารถกระโดดจากจุดเริ่มต้นของเทปไปถึงได้ n-th เซลล์?

ให้เราแสดงจำนวนวิธีในการเคลื่อนย้ายตั๊กแตนไปตามสายพาน n-th เซลล์ชอบ หนึ่ง- ในกรณีนั้น 1 = 2= 1. เข้าด้วย n+1ตั๊กแตนสามารถเข้าสู่เซลล์ -th ได้จาก n-th เซลล์หรือโดยการกระโดดข้ามมัน จากที่นี่ n + 1 = n – 1 + หนึ่ง- ที่ไหน หนึ่ง = เอฟเอ็น – 1.

คำตอบ: เอฟเอ็น – 1.

คุณสามารถสร้างปัญหาที่คล้ายกันได้ด้วยตัวเองและพยายามแก้ไขในบทเรียนคณิตศาสตร์กับเพื่อนร่วมชั้น

ตัวเลขฟีโบนัชชีในวัฒนธรรมสมัยนิยม

แน่นอนมันเป็น ปรากฏการณ์ที่ผิดปกติเช่นเดียวกับตัวเลข Fibonacci ไม่สามารถดึงดูดความสนใจได้ ยังมีบางสิ่งที่น่าดึงดูดและลึกลับในรูปแบบที่ได้รับการตรวจสอบอย่างเข้มงวดนี้ จึงไม่น่าแปลกใจที่ลำดับฟีโบนัชชีจะ "สว่างขึ้น" ในงานสมัยใหม่หลายชิ้น วัฒนธรรมสมัยนิยมหลากหลายประเภท

เราจะบอกคุณเกี่ยวกับบางส่วนของพวกเขา และคุณพยายามค้นหาตัวเองอีกครั้ง หากคุณพบมัน แบ่งปันกับเราในความคิดเห็น – เราก็อยากรู้เหมือนกัน!

• หมายเลขฟีโบนัชชีถูกกล่าวถึงในหนังสือขายดีของแดน บราวน์ รหัสดาวินชี: ลำดับฟีโบนักชีทำหน้าที่เป็นรหัสที่ตัวละครหลักของหนังสือใช้เพื่อเปิดตู้เซฟ
• ใน ภาพยนตร์อเมริกัน 2009 "Mr.Nobody" ในตอนหนึ่งที่อยู่ของบ้านเป็นส่วนหนึ่งของลำดับฟีโบนัชชี - 12358 นอกจากนี้ ในอีกตอนหนึ่ง ตัวละครหลักต้องโทรไปยังหมายเลขโทรศัพท์ ซึ่งโดยพื้นฐานแล้วจะเหมือนกัน แต่บิดเบี้ยวเล็กน้อย (หลักพิเศษหลังเลข 5): 123-581-1321
• ในซีรีส์ปี 2012 เรื่อง “Connection” ตัวละครหลักซึ่งเป็นเด็กชายที่เป็นโรคออทิสติก สามารถแยกแยะรูปแบบเหตุการณ์ต่างๆ ที่เกิดขึ้นในโลกได้ รวมถึงผ่านเลขฟีโบนัชชี และจัดการกิจกรรมเหล่านี้ผ่านตัวเลขด้วย
• นักพัฒนาเกม Java สำหรับ โทรศัพท์มือถือ Doom RPG วางประตูลับไว้ในระดับใดระดับหนึ่ง รหัสที่เปิดขึ้นมาคือลำดับฟีโบนัชชี
• ในปี 2012 วงร็อคชาวรัสเซีย Splin ได้เปิดตัวอัลบั้มแนวคิด "Optical Deception" แทร็กที่แปดเรียกว่า “ฟีโบนัชชี” โองการของผู้นำกลุ่ม Alexander Vasiliev เล่นตามลำดับเลขฟีโบนัชชี สำหรับแต่ละเทอมเก้าติดต่อกันจะมีจำนวนบรรทัดที่สอดคล้องกัน (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21):

0 รถไฟออกเดินทางแล้ว

1 ข้อต่อหนึ่งหัก

1 แขนเสื้อข้างหนึ่งสั่น

2 นั่นสิ ไปเอาของมา

นั่นสิ ไปเอาของมา

3 ขอน้ำเดือด

รถไฟไปที่แม่น้ำ

รถไฟวิ่งผ่านไทกา<…>.

• โคลง (บทกวีสั้นในรูปแบบใดรูปแบบหนึ่ง โดยปกติแล้วจะมีห้าบรรทัดที่มีรูปแบบสัมผัสเฉพาะ มีเนื้อหาที่ตลกขบขัน โดยบรรทัดแรกและบรรทัดสุดท้ายซ้ำหรือซ้ำกันบางส่วน) โดย James Lyndon ยังใช้การอ้างอิงถึง Fibonacci ลำดับเป็นบรรทัดฐานที่ตลกขบขัน:

อาหารอันหนาแน่นของภรรยาของฟีโบนัชชี

มันเป็นเพียงเพื่อผลประโยชน์ของพวกเขาเท่านั้นไม่มีอะไรอื่นใด

ภรรยาก็ชั่งน้ำหนักตามข่าวลือ

แต่ละคนก็เหมือนสองคนก่อนหน้า

มาสรุปกัน

เราหวังว่าเราจะสามารถบอกคุณถึงสิ่งที่น่าสนใจและมีประโยชน์มากมายในวันนี้ ตัวอย่างเช่น ตอนนี้คุณสามารถมองหาเกลียว Fibonacci ในธรรมชาติรอบตัวคุณได้ บางทีคุณอาจจะเป็นคนที่สามารถไข "ความลับของชีวิต จักรวาล และโดยทั่วไป" ได้

ใช้สูตรสำหรับตัวเลขฟีโบนัชชีในการแก้ปัญหาเชิงรวมกัน คุณสามารถพึ่งพาตัวอย่างที่อธิบายไว้ในบทความนี้ได้

เว็บไซต์ เมื่อคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา