ปัญหาที่ 1(เกี่ยวกับการคำนวณพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง)

ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียน xOy จะได้รูป (ดูรูป) ล้อมรอบด้วยแกน x เส้นตรง x = a, x = b (a โดยรูปสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง จำเป็นต้องคำนวณพื้นที่ของเส้นโค้ง สี่เหลี่ยมคางหมู
สารละลาย.เรขาคณิตให้สูตรในการคำนวณพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมและบางส่วนของวงกลม (เซกเตอร์, เซกเมนต์) เมื่อใช้การพิจารณาทางเรขาคณิต เราสามารถหาค่าโดยประมาณของพื้นที่ที่ต้องการได้เท่านั้น โดยให้เหตุผลดังนี้

มาแบ่งส่วนกัน [a; b] (ฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง) บน n ส่วนที่เท่ากัน- พาร์ติชันนี้ดำเนินการโดยใช้คะแนน x 1, x 2, ... x k, ... x n-1 ให้เราวาดเส้นตรงผ่านจุดเหล่านี้ขนานกับแกน y จากนั้น สี่เหลี่ยมคางหมูส่วนโค้งที่กำหนดจะถูกแบ่งออกเป็น n ส่วน ออกเป็นคอลัมน์แคบๆ n คอลัมน์ พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูทั้งหมดเท่ากับผลรวมของพื้นที่ของคอลัมน์

ให้เราพิจารณาคอลัมน์ที่ k แยกกันนั่นคือ สี่เหลี่ยมคางหมูโค้งซึ่งมีฐานเป็นส่วน ลองแทนที่ด้วยสี่เหลี่ยมที่มีฐานและความสูงเท่ากัน f(x k) (ดูรูป) พื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าเท่ากับ $f(x_k) \cdot \Delta x_k $ โดยที่ $\Delta x_k $ คือความยาวของส่วน; เป็นเรื่องปกติที่จะต้องพิจารณาผลลัพธ์ที่ได้ว่าเป็นค่าโดยประมาณของพื้นที่ของคอลัมน์ k

หากเราทำแบบเดียวกันกับคอลัมน์อื่นๆ ทั้งหมด เราจะได้ผลลัพธ์ดังนี้ พื้นที่ S ของสี่เหลี่ยมคางหมูส่วนโค้งที่กำหนดนั้นมีค่าประมาณเท่ากับพื้นที่ S n ของรูปขั้นบันไดที่ประกอบด้วยสี่เหลี่ยม n รูป (ดูรูป):
$S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $
ในที่นี้ เพื่อความสม่ำเสมอของสัญกรณ์ เราถือว่า a = x 0, b = xn; $\Delta x_0 $ - ความยาวของส่วน $\Delta x_1 $ - ความยาวของส่วน ฯลฯ ในกรณีนี้ ตามที่เราตกลงกันข้างต้น $\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) $

ดังนั้น $S \ประมาณ S_n $ และความเท่าเทียมกันโดยประมาณนี้มีความแม่นยำมากกว่า ยิ่ง n ยิ่งมาก
ตามคำจำกัดความเชื่อกันว่าพื้นที่ที่ต้องการของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งเท่ากับขีด จำกัด ของลำดับ (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

ปัญหาที่ 2(เกี่ยวกับการย้ายจุด)
จุดวัสดุเคลื่อนที่เป็นเส้นตรง การขึ้นอยู่กับความเร็วตรงเวลาแสดงโดยสูตร v = v(t) ค้นหาการเคลื่อนที่ของจุดในช่วงเวลาหนึ่ง [a; ข]
สารละลาย.หากการเคลื่อนไหวสม่ำเสมอ ปัญหาก็จะได้รับการแก้ไขอย่างง่ายดาย: s = vt เช่น s = โวลต์(บี-เอ) สำหรับการเคลื่อนไหวที่ไม่สม่ำเสมอ คุณต้องใช้แนวคิดเดียวกันกับที่ใช้แก้ไขปัญหาเดิม
1) แบ่งช่วงเวลา [a; b] ออกเป็น n ส่วนเท่าๆ กัน
2) พิจารณาช่วงระยะเวลาหนึ่งและสมมุติว่าในช่วงเวลานี้ความเร็วคงที่เท่ากับเวลา t k ดังนั้นเราจึงถือว่า v = v(t k)
3) ลองหาค่าโดยประมาณของการเคลื่อนที่ของจุดในช่วงเวลาหนึ่ง เราจะเขียนค่าโดยประมาณนี้เป็น sk
$s_k = v(t_k) \เดลต้า t_k $
4) ค้นหาค่าประมาณของการกระจัด:
$s \ประมาณ S_n $ โดยที่
$S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) $
5) การกระจัดที่ต้องการเท่ากับขีดจำกัดของลำดับ (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

มาสรุปกัน การแก้ปัญหาต่าง ๆ ลดลงเหลือแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เดียวกัน ปัญหามากมายจากสาขาวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีต่างๆ นำไปสู่รูปแบบเดียวกันในกระบวนการแก้ไข ซึ่งหมายความว่าจะต้องศึกษาแบบจำลองทางคณิตศาสตร์นี้เป็นพิเศษ

แนวคิดของอินทิกรัลจำกัดเขต

ขอให้เราให้คำอธิบายทางคณิตศาสตร์ของแบบจำลองที่สร้างขึ้นในสามปัญหาที่พิจารณาสำหรับฟังก์ชัน y = f(x) ต่อเนื่อง (แต่ไม่จำเป็นต้องไม่เป็นลบ ดังที่สมมติไว้ในปัญหาที่พิจารณา) ในช่วงเวลา [a; ข]:
1) แยกส่วน [a; b] ออกเป็น n ส่วนเท่าๆ กัน;
2) สร้างผลรวม $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) คำนวณ $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$

ในระหว่างการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าขีดจำกัดนี้มีอยู่ในกรณีของฟังก์ชันต่อเนื่อง (หรือต่อเนื่องเป็นชิ้น) พวกเขาเรียกเขาว่า อินทิกรัลหนึ่งของฟังก์ชัน y = f(x) ส่วน [a; ข]และแสดงไว้ดังนี้:
$\int\limits_a^b f(x) dx $
ตัวเลข a และ b เรียกว่าขีดจำกัดของการอินทิเกรต (ล่างและบน ตามลำดับ)

กลับไปที่งานที่กล่าวถึงข้างต้น คำจำกัดความของพื้นที่ที่กำหนดในปัญหาที่ 1 สามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:
$S = \int\ขีดจำกัด_a^b f(x) dx $
โดยที่ S คือพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่แสดงในรูปด้านบน นี่คือ ความหมายทางเรขาคณิตของอินทิกรัลจำกัดเขต

นิยามของการกระจัด s ของจุดที่เคลื่อนที่เป็นเส้นตรงด้วยความเร็ว v = v(t) ตลอดระยะเวลาตั้งแต่ t = a ถึง t = b ตามที่ให้ไว้ในปัญหาที่ 2 สามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้

สูตรนิวตัน-ไลบ์นิซ

ก่อนอื่น มาตอบคำถามกันก่อนว่า อะไรคือความสัมพันธ์ระหว่างอินทิกรัลจำกัดจำนวนกับแอนติเดริเวทีฟ?

คำตอบสามารถพบได้ในปัญหาที่ 2 ในด้านหนึ่ง การกระจัด s ของจุดที่เคลื่อนที่เป็นเส้นตรงด้วยความเร็ว v = v(t) ตลอดระยะเวลาตั้งแต่ t = a ถึง t = b คำนวณโดย สูตร
$S = \int\ขีดจำกัด_a^b v(t) dt $

ในทางกลับกัน พิกัดของจุดที่เคลื่อนที่เป็นแอนติเดริเวทีฟสำหรับความเร็ว ลองแสดงว่ามันเป็น s(t); ซึ่งหมายความว่าการกระจัด s แสดงได้ด้วยสูตร s = s(b) - s(a) เป็นผลให้เราได้รับ:
$S = \int\ขีดจำกัด_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) $
โดยที่ s(t) คือแอนติเดริเวทีฟของ v(t)

ทฤษฎีบทต่อไปนี้ได้รับการพิสูจน์แล้วในหลักสูตรการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์
ทฤษฎีบท. ถ้าฟังก์ชัน y = f(x) ต่อเนื่องกันในช่วง [a; b] ดังนั้นสูตรจึงใช้ได้
$S = \int\ขีดจำกัด_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) $
โดยที่ F(x) คือแอนติเดริเวทีฟของ f(x)

โดยปกติแล้วสูตรที่กำหนดจะเรียกว่า สูตรนิวตัน-ไลบ์นิซเพื่อเป็นเกียรติแก่นักฟิสิกส์ชาวอังกฤษ Isaac Newton (1643-1727) และ นักปรัชญาชาวเยอรมัน Gottfried Leibniz (1646-1716) ซึ่งรับมันอย่างเป็นอิสระจากกันและแทบจะพร้อมกัน

ในทางปฏิบัติ แทนที่จะเขียนว่า F(b) - F(a) จะใช้สัญลักษณ์ $\left. F(x)\right|_a^b $ (บางครั้งเรียกว่า การทดแทนสองครั้ง) และเขียนสูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซใหม่ในรูปแบบนี้:
$S = \int\limits_a^b f(x) dx = \left. F(x)\right|_a^b $

กำลังคำนวณ อินทิกรัลที่แน่นอนขั้นแรกให้หาแอนติเดริเวทีฟ แล้วจึงทำการแทนสองครั้ง

จากสูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซ เราจะได้คุณสมบัติของอินทิกรัลจำกัดเขตสองรายการ

คุณสมบัติ 1.อินทิกรัลของผลรวมของฟังก์ชันเท่ากับผลรวมของอินทิกรัล:
$\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx $

คุณสมบัติ 2.ตัวประกอบคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายอินทิกรัลได้:
$\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx $

การคำนวณพื้นที่ของรูปทรงเครื่องบินโดยใช้อินทิกรัลจำกัดเขต

เมื่อใช้อินทิกรัล คุณสามารถคำนวณพื้นที่ไม่เพียงแต่ของสี่เหลี่ยมคางหมูส่วนโค้งเท่านั้น แต่ยังรวมถึงรูปทรงแบนๆ อีกด้วย ประเภทที่ซับซ้อนดังตัวอย่างที่แสดงในภาพ รูป P ถูกจำกัดด้วยเส้นตรง x = a, x = b และกราฟของฟังก์ชันต่อเนื่อง y = f(x), y = g(x) และบนเซกเมนต์ [a; b] ความไม่เท่าเทียมกัน $g(x) \leq f(x) $ ถืออยู่ ในการคำนวณพื้นที่ S ของรูปดังกล่าว เราจะดำเนินการดังนี้:
$S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = $
$= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx $

ดังนั้น พื้นที่ S ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้นตรง x = a, x = b และกราฟของฟังก์ชัน y = f(x), y = g(x) ต่อเนื่องกันบนเซ็กเมนต์ และเช่นนั้นสำหรับ x ใดๆ จากเซ็กเมนต์ [ก; b] ความไม่เท่าเทียมกัน $g(x) \leq f(x) $ เป็นที่พอใจ คำนวณโดยสูตร
$S = \int\ขีดจำกัด_a^b (f(x)-g(x))dx $

ตารางอินทิกรัลไม่ จำกัด (แอนติเดริเวทีฟ) ของฟังก์ชันบางฟังก์ชัน

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +ค \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(อาร์คซิน) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) x +C $$

ก)

สารละลาย.

จุดแรกและสำคัญที่สุดของการตัดสินใจคือการสร้างแบบร่าง.

มาวาดรูปกันเถอะ:

สมการ ย=0 ตั้งค่าแกน "x";

- x=-2 และ x=1 - ตรงขนานกับแกน โอ้;

- y=x 2 +2 - พาราโบลา ซึ่งมีกิ่งก้านชี้ขึ้น โดยมีจุดยอดอยู่ที่จุด (0;2)

ความคิดเห็นในการสร้างพาราโบลา ก็เพียงพอที่จะหาจุดตัดของมันด้วย แกนประสานงาน, เช่น. วาง x=0 หาจุดตัดกับแกน โอ้ และตัดสินใจตามนั้น สมการกำลังสองให้หาจุดตัดกับแกน โอ้ .

จุดยอดของพาราโบลาหาได้จากสูตร:

คุณสามารถสร้างเส้นทีละจุดได้

ในช่วงเวลา [-2;1] กราฟของฟังก์ชัน y=x 2 +2 ตั้งอยู่ เหนือแกน วัว นั่นเป็นเหตุผล:

คำตอบ: ส =9 ตร.หน่วย

หลังจากงานเสร็จสิ้น จะเป็นประโยชน์เสมอที่จะดูภาพวาดและพิจารณาว่าคำตอบนั้นเป็นเรื่องจริงหรือไม่ ใน ในกรณีนี้“ ด้วยตา” เรานับจำนวนเซลล์ในภาพวาด - จะมีประมาณ 9 ดูเหมือนว่าจะเป็นจริง เป็นที่ชัดเจนอย่างยิ่งว่าหากเราได้รับคำตอบคือ: 20 หน่วยตารางเห็นได้ชัดว่ามีข้อผิดพลาดเกิดขึ้นที่ไหนสักแห่ง - 20 เซลล์ไม่พอดีกับตัวเลขที่เป็นปัญหาอย่างชัดเจนอย่างน้อยที่สุดหนึ่งโหล หากคำตอบเป็นลบ แสดงว่างานนั้นได้รับการแก้ไขอย่างไม่ถูกต้องเช่นกัน

จะทำอย่างไรถ้ามีรูปสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งอยู่ ใต้เพลา โอ้?

ข)คำนวณพื้นที่ของภาพที่ล้อมรอบด้วยเส้น y=-อี x , x=1 และประสานแกน

สารละลาย.

มาวาดรูปกันเถอะ

ถ้าเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง ตั้งอยู่ใต้แกนโดยสมบูรณ์ โอ้ , จากนั้นหาพื้นที่ได้โดยใช้สูตร:

คำตอบ: ส=(อี-1) ตร.ว." 1.72 ตร.ว

ความสนใจ! ไม่ควรสับสนงานทั้งสองประเภท:

1) หากคุณถูกขอให้แก้แค่อินทิกรัลจำกัดจำนวนโดยไม่มีความหมายทางเรขาคณิต ค่านั้นอาจเป็นค่าลบ

2) หากคุณถูกขอให้ค้นหาพื้นที่ของรูปโดยใช้อินทิกรัลจำกัดเขต พื้นที่นั้นจะเป็นบวกเสมอ! นั่นคือสาเหตุที่เครื่องหมายลบปรากฏในสูตรที่เพิ่งกล่าวถึง

ในทางปฏิบัติ ตัวเลขส่วนใหญ่มักจะอยู่ในระนาบครึ่งบนและล่าง

กับ)ค้นหาพื้นที่ รูปแบน, ล้อมรอบด้วยเส้น y=2x-x 2, y=-x

สารละลาย.

ก่อนอื่นคุณต้องวาดรูปให้เสร็จ โดยทั่วไปแล้ว เมื่อสร้างภาพวาดในปัญหาพื้นที่ เราจะสนใจจุดตัดกันของเส้นมากที่สุด ลองหาจุดตัดของพาราโบลากัน และตรง ซึ่งสามารถทำได้สองวิธี วิธีแรกคือการวิเคราะห์

เราแก้สมการ:

ซึ่งหมายความว่าขีดจำกัดล่างของการบูรณาการ ก=0 , ขีดจำกัดบนของการบูรณาการ ข=3 .

เราสร้างเส้นที่กำหนด: 1. พาราโบลา - จุดยอดที่จุด (1;1); จุดตัดแกน โอ้ -คะแนน (0;0) และ (0;2) 2. เส้นตรง - เส้นแบ่งครึ่งของมุมพิกัดที่ 2 และ 4 และตอนนี้ โปรดทราบ! หากอยู่ในส่วน [ ก;ข] ฟังก์ชันต่อเนื่องบางอย่าง ฉ(x)มากกว่าหรือเท่ากับฟังก์ชันต่อเนื่องบางฟังก์ชัน ก.(เอ็กซ์)จากนั้นสามารถหาพื้นที่ของรูปที่เกี่ยวข้องได้โดยใช้สูตร: .

และไม่สำคัญว่ารูปนั้นจะอยู่ที่ตำแหน่งใด - เหนือแกนหรือใต้แกน แต่สิ่งสำคัญคือกราฟใดสูงกว่า (สัมพันธ์กับกราฟอื่น) และกราฟใดอยู่ด้านล่าง ในตัวอย่างที่กำลังพิจารณา เห็นได้ชัดว่าพาราโบลาอยู่เหนือเส้นตรงบนส่วน ดังนั้น จึงจำเป็นต้องลบออกจาก

คุณสามารถสร้างเส้นทีละจุด และขีดจำกัดของการผสานรวมจะชัดเจน "ด้วยตัวเอง" อย่างไรก็ตาม บางครั้งยังต้องใช้วิธีการวิเคราะห์ในการค้นหาขีดจำกัด ตัวอย่างเช่น กราฟมีขนาดใหญ่เพียงพอ หรือโครงสร้างโดยละเอียดไม่ได้เปิดเผยขีดจำกัดของการอินทิเกรต (อาจเป็นแบบเศษส่วนหรือไม่มีเหตุผล)

รูปที่ต้องการถูกจำกัดด้วยพาราโบลาด้านบนและเส้นตรงด้านล่าง

บนส่วน ตามสูตรที่สอดคล้องกัน:

คำตอบ: ส =4.5 ตร.หน่วย

อินทิกรัลที่แน่นอน วิธีการคำนวณพื้นที่ของรูป

มาดูการประยุกต์ใช้แคลคูลัสอินทิกรัลกันต่อ ในบทนี้ เราจะวิเคราะห์งานทั่วไปและงานทั่วไปที่สุด – วิธีใช้อินทิกรัลจำกัดเขตในการคำนวณพื้นที่ของรูประนาบ- ในที่สุด ค้นหาความหมายในคณิตศาสตร์ชั้นสูง - ขอให้พวกเขาพบเขา คุณไม่มีทางรู้ ในชีวิตจริง คุณจะต้องประมาณพล็อตเดชาโดยใช้ฟังก์ชันพื้นฐาน และค้นหาพื้นที่โดยใช้อินทิกรัลจำกัดจำนวน

หากต้องการเชี่ยวชาญเนื้อหาให้สำเร็จ คุณต้อง:

1) เข้าใจ อินทิกรัลไม่ จำกัดอย่างน้อยก็ในระดับปานกลาง ดังนั้นหุ่นควรอ่านบทเรียนก่อน ไม่.

ที่จริงแล้ว เพื่อที่จะหาพื้นที่ของรูป คุณไม่จำเป็นต้องมีความรู้เรื่องอินทิกรัลไม่แน่นอนและอินทิกรัลจำกัดมากนัก งาน “คำนวณพื้นที่โดยใช้อินทิกรัลจำกัด” มักจะเกี่ยวข้องกับการสร้างภาพวาดเสมอและอีกมากมาย ปัญหาเฉพาะที่จะเป็นความรู้และทักษะในการวาดภาพของคุณ ในเรื่องนี้ จะมีประโยชน์ในการรีเฟรชหน่วยความจำกราฟของฟังก์ชันพื้นฐานพื้นฐาน และอย่างน้อยที่สุดก็สามารถสร้างเส้นตรง พาราโบลา และไฮเปอร์โบลาได้ ซึ่งสามารถทำได้ (สำหรับหลายๆ คนก็จำเป็น) โดยใช้ วัสดุวิธีการและบทความเกี่ยวกับการแปลงเรขาคณิตของกราฟ

จริงๆ แล้ว ทุกคนคงคุ้นเคยกับภารกิจในการหาพื้นที่โดยใช้อินทิกรัลจำกัดจำนวนตั้งแต่สมัยเรียน และเราจะไม่ไปไกลกว่านั้นมากนัก หลักสูตรของโรงเรียน- บทความนี้อาจไม่มีอยู่เลย แต่ความจริงก็คือปัญหาเกิดขึ้นใน 99 กรณีจาก 100 กรณี เมื่อนักเรียนคนหนึ่งต้องทนทุกข์ทรมานจากโรงเรียนที่เกลียดชังและเชี่ยวชาญหลักสูตรคณิตศาสตร์ระดับสูงอย่างกระตือรือร้น

เนื้อหาในการประชุมเชิงปฏิบัติการนี้นำเสนออย่างเรียบง่าย มีรายละเอียด และมีทฤษฎีขั้นต่ำ

เริ่มจากสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งกันก่อน

สี่เหลี่ยมคางหมูโค้งเป็นรูปแบนที่ล้อมรอบด้วยแกน เส้นตรง และกราฟของฟังก์ชันที่ต่อเนื่องกันในช่วงเวลาหนึ่งซึ่งไม่มีการเปลี่ยนเครื่องหมายในช่วงเวลานี้ ให้รูปนี้ตั้งอยู่ ไม่ต่ำกว่าแกน x:

แล้ว พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งเป็นตัวเลขเท่ากับอินทิกรัลที่แน่นอน- อินทิกรัลจำกัดจำนวนใดๆ (ที่มีอยู่) มีความหมายทางเรขาคณิตที่ดีมาก ในชั้นเรียน อินทิกรัลที่แน่นอน ตัวอย่างการแก้ปัญหาผมบอกว่าอินทิกรัลจำกัดจำนวนคือตัวเลข และตอนนี้ก็ถึงเวลาที่จะกล่าวถึงข้อเท็จจริงที่เป็นประโยชน์อีกประการหนึ่ง จากมุมมองของเรขาคณิต อินทิกรัลจำกัดเขตคือ AREA.

นั่นคือ อินทิกรัลที่แน่นอน (ถ้ามี) จะสอดคล้องกับพื้นที่ของรูปใดรูปหนึ่งทางเรขาคณิต- ตัวอย่างเช่น พิจารณาอินทิกรัลจำกัดเขต อินทิกรัลกำหนดเส้นโค้งบนระนาบที่อยู่เหนือแกน (ผู้ที่ต้องการวาดภาพได้) และอินทิกรัลที่แน่นอนนั้นเป็นตัวเลข เท่ากับพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่สอดคล้องกัน

ตัวอย่างที่ 1

นี่คือคำสั่งมอบหมายงานทั่วไป จุดแรกและสำคัญที่สุดในการตัดสินใจคือการสร้างภาพวาด- นอกจากนี้จะต้องสร้างแบบเขียนแบบด้วย ขวา.

เมื่อสร้างภาพวาดฉันขอแนะนำลำดับต่อไปนี้: ตอนแรกจะดีกว่าถ้าสร้างเส้นตรงทั้งหมด (ถ้ามี) และเท่านั้น แล้ว– พาราโบลา ไฮเปอร์โบลา กราฟของฟังก์ชันอื่นๆ การสร้างกราฟของฟังก์ชันจะทำกำไรได้มากกว่า จุดต่อจุดสามารถดูเทคนิคการก่อสร้างแบบจุดต่อจุดได้ในเอกสารอ้างอิง กราฟและคุณสมบัติของฟังก์ชันเบื้องต้น- ที่นั่นคุณยังสามารถค้นหาสื่อที่มีประโยชน์มากสำหรับบทเรียนของเรา - วิธีสร้างพาราโบลาอย่างรวดเร็ว

ในปัญหานี้ วิธีแก้ไขอาจมีลักษณะเช่นนี้
มาวาดรูปกัน (โปรดทราบว่าสมการกำหนดแกน):

ฉันจะไม่ฟักไข่เป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง แต่จะเห็นได้ชัดว่าพื้นที่นี้คืออะไร เรากำลังพูดถึง- การแก้ปัญหายังคงดำเนินต่อไปเช่นนี้:

กราฟของฟังก์ชันจะอยู่ในส่วนนี้ เหนือแกนนั่นเป็นเหตุผล:

คำตอบ:

ใครมีปัญหาในการคำนวณอินทิกรัลจำกัดเขตและประยุกต์สูตรนิวตัน-ไลบ์นิซ อ้างถึงการบรรยาย อินทิกรัลที่แน่นอน ตัวอย่างการแก้ปัญหา.

หลังจากงานเสร็จสิ้น จะเป็นประโยชน์เสมอที่จะดูภาพวาดและพิจารณาว่าคำตอบนั้นเป็นเรื่องจริงหรือไม่ ในกรณีนี้เรานับจำนวนเซลล์ในภาพวาด "ด้วยตา" - จะมีประมาณ 9 ซึ่งดูเหมือนว่าจะเป็นจริง ชัดเจนอย่างยิ่งว่าหากเราได้รับคำตอบ: 20 ตารางหน่วยก็เห็นได้ชัดว่ามีข้อผิดพลาดเกิดขึ้นที่ไหนสักแห่ง - เห็นได้ชัดว่า 20 เซลล์ไม่พอดีกับตัวเลขที่เป็นปัญหา อย่างน้อยที่สุดก็หนึ่งโหล หากคำตอบเป็นลบ แสดงว่างานนั้นได้รับการแก้ไขอย่างไม่ถูกต้องเช่นกัน

ตัวอย่างที่ 2

คำนวณพื้นที่ของภาพที่ล้อมรอบด้วยเส้น , และแกน

นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง เฉลยเต็มและเฉลยท้ายบทเรียน

จะทำอย่างไรถ้ามีรูปสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งอยู่ ใต้เพลาเหรอ?

ตัวอย่างที่ 3

คำนวณพื้นที่ของภาพที่ล้อมรอบด้วยเส้นและพิกัดแกน

สารละลาย: มาวาดรูปกันเถอะ:

หากมีรูปสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งอยู่ ใต้เพลา(หรืออย่างน้อย ไม่สูงกว่าแกนที่กำหนด) จากนั้นสามารถหาพื้นที่ได้โดยใช้สูตร:
ในกรณีนี้:

ความสนใจ! ไม่ควรสับสนงานทั้งสองประเภท:

ในทางปฏิบัติ ตัวเลขส่วนใหญ่มักจะอยู่ในระนาบครึ่งบนและล่าง ดังนั้น จากปัญหาที่ง่ายที่สุดของโรงเรียน เราจึงไปยังตัวอย่างที่มีความหมายมากขึ้น

ตัวอย่างที่ 4

หาพื้นที่ของรูปเครื่องบินที่ล้อมรอบด้วยเส้น , .

สารละลาย: ก่อนอื่นคุณต้องวาดรูปให้เสร็จก่อน โดยทั่วไปแล้ว เมื่อสร้างภาพวาดในปัญหาพื้นที่ เราจะสนใจจุดตัดกันของเส้นมากที่สุด ลองหาจุดตัดของพาราโบลากับเส้นตรงกัน ซึ่งสามารถทำได้สองวิธี วิธีแรกคือการวิเคราะห์ เราแก้สมการ:

ซึ่งหมายความว่าขีดจำกัดล่างของการรวมคือ ขีดจำกัดบนของการรวมคือ
หากเป็นไปได้ จะเป็นการดีกว่าที่จะไม่ใช้วิธีนี้.

การสร้างบรรทัดทีละจุดจะทำกำไรได้มากกว่าและรวดเร็วกว่ามาก และขีดจำกัดของการรวมระบบก็ชัดเจน "ด้วยตัวเอง" เทคนิคการสร้างกราฟแบบจุดต่อจุดจะมีการกล่าวถึงโดยละเอียดในความช่วยเหลือ กราฟและคุณสมบัติของฟังก์ชันเบื้องต้น- อย่างไรก็ตาม บางครั้งยังต้องใช้วิธีการวิเคราะห์ในการค้นหาขีดจำกัด ตัวอย่างเช่น กราฟมีขนาดใหญ่เพียงพอ หรือโครงสร้างโดยละเอียดไม่ได้เปิดเผยขีดจำกัดของการอินทิเกรต (อาจเป็นแบบเศษส่วนหรือไม่มีเหตุผล) และเราจะพิจารณาตัวอย่างดังกล่าวด้วย

กลับมาที่งานของเราดีกว่า การสร้างเส้นตรงก่อนแล้วจึงสร้างพาราโบลาจะมีเหตุผลมากกว่า มาวาดรูปกันเถอะ:

ฉันขอย้ำอีกครั้งว่าเมื่อสร้างตามจุด ขีดจำกัดของการบูรณาการมักจะถูกค้นพบ "โดยอัตโนมัติ"

และตอนนี้สูตรการทำงาน: หากมีฟังก์ชันต่อเนื่องในส่วนนั้น มากกว่าหรือเท่ากับฟังก์ชันต่อเนื่องบางอย่าง จากนั้นพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยกราฟของฟังก์ชันเหล่านี้และเส้น , , สามารถพบได้โดยใช้สูตร:

ที่นี่คุณไม่จำเป็นต้องคิดว่ารูปนั้นอยู่ที่ตำแหน่งใดอีกต่อไป - เหนือแกนหรือใต้แกน และพูดคร่าวๆ แล้ว มันสำคัญว่ากราฟไหนสูงกว่า(สัมพันธ์กับกราฟอื่น) และอันไหนอยู่ด้านล่าง.

ในตัวอย่างที่กำลังพิจารณา เห็นได้ชัดว่าพาราโบลาอยู่เหนือเส้นตรงบนส่วน ดังนั้น จึงจำเป็นต้องลบออกจาก

โซลูชันที่สมบูรณ์อาจมีลักษณะดังนี้:

รูปที่ต้องการถูกจำกัดด้วยพาราโบลาด้านบนและเส้นตรงด้านล่าง
ในส่วนของตามสูตรที่เกี่ยวข้อง:

คำตอบ:

ที่จริงแล้ว สูตรโรงเรียนสำหรับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งในระนาบครึ่งล่าง (ดูตัวอย่างง่ายๆ หมายเลข 3) เป็นกรณีพิเศษของสูตร - เนื่องจากสมการระบุแกนและกราฟของฟังก์ชันจึงอยู่ ไม่สูงกว่าขวานแล้ว

และตอนนี้มีตัวอย่างบางส่วนสำหรับโซลูชันของคุณเอง

ตัวอย่างที่ 5

ตัวอย่างที่ 6

หาพื้นที่ของภาพที่ล้อมรอบด้วยเส้น , .

เมื่อแก้ไขปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการคำนวณพื้นที่โดยใช้อินทิกรัลจำกัดเขต บางครั้งเหตุการณ์ตลกๆ ก็เกิดขึ้น วาดถูก คำนวณถูก แต่เนื่องจากความประมาท... พบบริเวณที่ผิดรูปนี่เป็นวิธีที่คนรับใช้ผู้ต่ำต้อยของคุณทำผิดพลาดหลายครั้ง นี่คือกรณีชีวิตจริง:

ตัวอย่างที่ 7

คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น , , , .

สารละลาย: ก่อนอื่นมาวาดรูปกันก่อน:

...เอ๊ะ ภาพวาดออกมาห่วย แต่ทุกอย่างดูเหมือนจะอ่านออก

รูปที่เราต้องค้นหาพื้นที่จะเป็นสีน้ำเงิน(ดูสภาพให้ดี - ของมีจำนวนจำกัดแค่ไหน!) แต่ในทางปฏิบัติเนื่องจากการไม่ตั้งใจมักมี "ข้อผิดพลาด" เกิดขึ้นโดยคุณต้องค้นหาพื้นที่ของร่างที่เป็นสีเทา สีเขียว!

ตัวอย่างนี้ยังมีประโยชน์ในการคำนวณพื้นที่ของรูปโดยใช้อินทิกรัลจำกัดจำนวนสองตัว จริงหรือ:

1) บนส่วนที่อยู่เหนือแกนจะมีกราฟเป็นเส้นตรง

2) บนส่วนที่อยู่เหนือแกนจะมีกราฟของไฮเปอร์โบลา

เห็นได้ชัดว่าสามารถ (และควร) เพิ่มพื้นที่ได้ ดังนั้น:

คำตอบ:

เรามาดูงานที่มีความหมายอื่นกันดีกว่า

ตัวอย่างที่ 8

คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น
นำเสนอสมการในรูปแบบ "โรงเรียน" และวาดภาพแบบจุดต่อจุด:

จากรูปวาดชัดเจนว่าขีดจำกัดบนของเรานั้น “ดี”: .
แต่ขีดจำกัดล่างคืออะไรล่ะ! เห็นได้ชัดว่านี่ไม่ใช่จำนวนเต็ม แต่คืออะไร? อาจจะ ? แต่ที่รับประกันว่าการวาดแบบจะแม่นยำสมบูรณ์แบบกลับกลายเป็นว่า... หรือราก. จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเราสร้างกราฟไม่ถูกต้อง?

ในกรณีเช่นนี้ คุณต้องใช้เวลาเพิ่มเติมและชี้แจงขีดจำกัดของการผสานรวมเชิงวิเคราะห์

ลองหาจุดตัดของเส้นตรงและพาราโบลากัน
เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราจะแก้สมการ:

,

จริงหรือ, .

วิธีแก้ปัญหาเพิ่มเติมนั้นไม่สำคัญ สิ่งสำคัญคืออย่าสับสนในการทดแทนและเครื่องหมาย การคำนวณที่นี่ไม่ใช่วิธีที่ง่ายที่สุด

บนส่วน ตามสูตรที่สอดคล้องกัน:

คำตอบ:

เพื่อสรุปบทเรียน เรามาดูงานที่ยากอีกสองงานกัน

ตัวอย่างที่ 9

คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น , ,

สารละลาย: ลองพรรณนารูปนี้ในภาพวาด

ให้ตายเถอะ ฉันลืมเซ็นกำหนดการ และขอโทษด้วย ฉันไม่ต้องการทำภาพซ้ำ ไม่ใช่วันจับฉลาก สรุปคือ วันนี้คือวัน =)

สำหรับการก่อสร้างแบบจุดต่อจุดคุณจำเป็นต้องรู้ รูปร่างไซนัสอยด์ (และโดยทั่วไปมีประโยชน์ที่จะรู้) กราฟของฟังก์ชันพื้นฐานทั้งหมด) เช่นเดียวกับค่าไซน์บางค่า สามารถพบได้ใน ตารางตรีโกณมิติ- ในบางกรณี (เช่นในกรณีนี้) เป็นไปได้ที่จะสร้างแผนผังซึ่งควรแสดงกราฟและขีดจำกัดของการรวมอย่างถูกต้องโดยพื้นฐาน

ไม่มีปัญหากับข้อจำกัดของการรวมที่นี่ ซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไขโดยตรง: "x" เปลี่ยนจากศูนย์เป็น "pi" มาตัดสินใจเพิ่มเติมกัน:

ในส่วนนั้น กราฟของฟังก์ชันจะอยู่เหนือแกน ดังนั้น:

มาดูการประยุกต์ใช้แคลคูลัสอินทิกรัลกันต่อ ในบทนี้ เราจะวิเคราะห์งานทั่วไปและงานทั่วไปที่สุด การคำนวณพื้นที่ของรูปเครื่องบินโดยใช้อินทิกรัลจำกัดเขต- สุดท้ายนี้ ให้ทุกคนที่แสวงหาความหมายในคณิตศาสตร์ชั้นสูงค้นพบมัน คุณไม่มีทางรู้ ในชีวิตจริง คุณจะต้องประมาณพล็อตเดชาโดยใช้ฟังก์ชันพื้นฐาน และค้นหาพื้นที่โดยใช้อินทิกรัลจำกัดจำนวน

หากต้องการเชี่ยวชาญเนื้อหาให้สำเร็จ คุณต้อง:

1) ทำความเข้าใจอินทิกรัลไม่ จำกัด อย่างน้อยในระดับกลาง ดังนั้นหุ่นควรอ่านบทเรียนก่อน ไม่.

2) สามารถใช้สูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซและคำนวณอินทิกรัลจำกัดเขตได้ คุณสามารถสร้างความสัมพันธ์ฉันมิตรอันอบอุ่นกับอินทิกรัลบางอย่างบนเพจได้ อินทิกรัลที่แน่นอน ตัวอย่างการแก้ปัญหา. งาน “คำนวณพื้นที่โดยใช้อินทิกรัลจำกัด” มักจะเกี่ยวข้องกับการสร้างภาพวาดเสมอดังนั้นความรู้และทักษะการวาดภาพของคุณจะเป็นประเด็นที่เกี่ยวข้องเช่นกัน อย่างน้อยที่สุด คุณจะต้องสามารถสร้างเส้นตรง พาราโบลา และไฮเปอร์โบลาได้

เริ่มจากสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งกันก่อน สี่เหลี่ยมคางหมูโค้งเป็นรูปแบน จำกัดด้วยกำหนดการฟังก์ชั่นบางอย่าง ย = ฉ(x) แกน วัวและเส้น x = ก; x = ข.

พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งเป็นตัวเลขเท่ากับอินทิกรัลที่แน่นอน

อินทิกรัลจำกัดจำนวนใดๆ (ที่มีอยู่) มีความหมายทางเรขาคณิตที่ดีมาก ในชั้นเรียน อินทิกรัลที่แน่นอน ตัวอย่างการแก้ปัญหาเราบอกว่าอินทิกรัลจำกัดจำนวนคือตัวเลข และตอนนี้ก็ถึงเวลาที่จะกล่าวถึงข้อเท็จจริงที่เป็นประโยชน์อีกประการหนึ่ง จากมุมมองของเรขาคณิต อินทิกรัลจำกัดเขตคือ AREA- นั่นคือ อินทิกรัลที่แน่นอน (ถ้ามี) จะสอดคล้องกับพื้นที่ของรูปใดรูปหนึ่งทางเรขาคณิต- พิจารณาอินทิกรัลจำกัดเขต

ปริพันธ์

กำหนดเส้นโค้งบนระนาบ (สามารถวาดได้หากต้องการ) และอินทิกรัลที่แน่นอนนั้นมีค่าเท่ากับตัวเลขกับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่สอดคล้องกัน

ตัวอย่างที่ 1

, , , .

นี่คือคำสั่งมอบหมายงานทั่วไป จุดที่สำคัญที่สุดโซลูชั่น - การวาดภาพ- นอกจากนี้จะต้องสร้างแบบเขียนแบบด้วย ขวา.

เมื่อสร้างภาพวาดฉันขอแนะนำลำดับต่อไปนี้: ตอนแรกจะดีกว่าถ้าสร้างเส้นตรงทั้งหมด (ถ้ามี) และเท่านั้น แล้ว– พาราโบลา ไฮเปอร์โบลา กราฟของฟังก์ชันอื่นๆ เทคนิคการก่อสร้างแบบจุดต่อจุดสามารถพบได้ในเอกสารอ้างอิง กราฟและคุณสมบัติของฟังก์ชันเบื้องต้น- ที่นั่นคุณยังสามารถค้นหาสื่อที่มีประโยชน์มากสำหรับบทเรียนของเรา - วิธีสร้างพาราโบลาอย่างรวดเร็ว

ในปัญหานี้ วิธีแก้ไขอาจมีลักษณะเช่นนี้

มาวาดรูปกันดีกว่า (โปรดสังเกตว่าสมการ ย= 0 ระบุแกน วัว):

เราจะไม่แรเงาสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง ตรงนี้ชัดเจนว่าเรากำลังพูดถึงบริเวณใด การแก้ปัญหายังคงดำเนินต่อไปเช่นนี้:

ในส่วน [-2; 1] กราฟฟังก์ชัน ย = x 2 + 2 ตั้งอยู่ เหนือแกนวัวนั่นเป็นเหตุผล:

คำตอบ: .

ใครมีปัญหาในการคำนวณอินทิกรัลจำกัดเขตและประยุกต์สูตรนิวตัน-ไลบ์นิซ

อ้างถึงการบรรยาย อินทิกรัลที่แน่นอน ตัวอย่างการแก้ปัญหา- หลังจากงานเสร็จสิ้น จะเป็นประโยชน์เสมอที่จะดูภาพวาดและพิจารณาว่าคำตอบนั้นเป็นเรื่องจริงหรือไม่ ในกรณีนี้เรานับจำนวนเซลล์ในภาพวาด "ด้วยตา" - จะมีประมาณ 9 ซึ่งดูเหมือนว่าจะเป็นจริง ชัดเจนอย่างยิ่งว่าหากเราได้รับคำตอบ: 20 ตารางหน่วยก็เห็นได้ชัดว่ามีข้อผิดพลาดเกิดขึ้นที่ไหนสักแห่ง - เห็นได้ชัดว่า 20 เซลล์ไม่พอดีกับตัวเลขที่เป็นปัญหา อย่างน้อยที่สุดก็หนึ่งโหล หากคำตอบเป็นลบ แสดงว่างานนั้นได้รับการแก้ไขอย่างไม่ถูกต้องเช่นกัน

ตัวอย่างที่ 2

คำนวณพื้นที่ของภาพที่ล้อมรอบด้วยเส้น เอ็กซ์ซี = 4, x = 2, x= 4 และแกน วัว.

นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง เฉลยเต็มและเฉลยท้ายบทเรียน

จะทำอย่างไรถ้ามีรูปสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งอยู่ ใต้เพลาวัว?

ตัวอย่างที่ 3

คำนวณพื้นที่ของภาพที่ล้อมรอบด้วยเส้น ย = อดีต, x= 1 และแกนพิกัด

วิธีแก้ปัญหา: มาวาดรูปกันเถอะ:

ถ้าเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง ตั้งอยู่ใต้แกนโดยสมบูรณ์ วัว จากนั้นสามารถหาพื้นที่ได้โดยใช้สูตร:

ในกรณีนี้:

ความสนใจ! ไม่ควรสับสนงานทั้งสองประเภท:

ตัวอย่างที่ 4

หาพื้นที่ของรูปเครื่องบินที่ล้อมรอบด้วยเส้น ย = 2x – x 2 , ย = -x.

วิธีแก้ปัญหา: ก่อนอื่นคุณต้องวาดรูป เมื่อสร้างภาพวาดในปัญหาพื้นที่ เราสนใจจุดตัดกันของเส้นมากที่สุด ลองหาจุดตัดของพาราโบลากัน ย = 2x – x 2 และตรง ย = -x- ซึ่งสามารถทำได้สองวิธี วิธีแรกคือการวิเคราะห์ เราแก้สมการ:

ซึ่งหมายความว่าขีดจำกัดล่างของการบูรณาการ ก= 0 ขีดจำกัดบนของการรวม ข= 3. มักจะสร้างผลกำไรได้มากกว่าและเร็วกว่าในการสร้างบรรทัดทีละจุด และขีดจำกัดของการบูรณาการจะชัดเจน "ด้วยตัวเอง" อย่างไรก็ตาม บางครั้งยังต้องใช้วิธีการวิเคราะห์ในการค้นหาขีดจำกัด ตัวอย่างเช่น กราฟมีขนาดใหญ่เพียงพอ หรือโครงสร้างโดยละเอียดไม่ได้เปิดเผยขีดจำกัดของการอินทิเกรต (อาจเป็นแบบเศษส่วนหรือไม่มีเหตุผล) กลับมาที่งานของเราดีกว่า การสร้างเส้นตรงก่อนแล้วจึงสร้างพาราโบลาจะมีเหตุผลมากกว่า มาวาดรูปกันเถอะ:

ขอย้ำอีกครั้งว่าเมื่อสร้างตามจุด ขีดจำกัดของการบูรณาการมักถูกกำหนด "โดยอัตโนมัติ"

และตอนนี้สูตรการทำงาน:

หากอยู่ในส่วน [ ก; ข] ฟังก์ชันต่อเนื่องบางอย่าง ฉ(x) มากกว่าหรือเท่ากับฟังก์ชั่นต่อเนื่องบางอย่าง ก(x) จากนั้นสามารถหาพื้นที่ของรูปที่เกี่ยวข้องได้โดยใช้สูตร:

ที่นี่คุณไม่จำเป็นต้องคิดถึงตำแหน่งของรูปอีกต่อไป - เหนือแกนหรือใต้แกนอีกต่อไป มันสำคัญว่ากราฟไหนสูงกว่า(สัมพันธ์กับกราฟอื่น) และอันไหนอยู่ด้านล่าง.

ในตัวอย่างที่กำลังพิจารณา เห็นได้ชัดว่าบนส่วนพาราโบลาอยู่เหนือเส้นตรง ดังนั้นจาก 2 x – x 2 ต้องถูกลบ – x.

โซลูชันที่สมบูรณ์อาจมีลักษณะดังนี้:

รูปที่ต้องการถูกจำกัดด้วยพาราโบลา ย = 2x – x 2 ด้านบนและตรง ย = -xด้านล่าง.

บนส่วนที่ 2 x – x 2 ≥ -x- ตามสูตรที่เกี่ยวข้อง:

คำตอบ: .

ที่จริงแล้วสูตรของโรงเรียนสำหรับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งในระนาบครึ่งล่าง (ดูตัวอย่างที่ 3) เป็นกรณีพิเศษของสูตร

เพราะว่าแกน วัวกำหนดโดยสมการ ย= 0 และกราฟของฟังก์ชัน ก(x) ซึ่งอยู่ใต้แกน วัว, ที่

และตอนนี้มีตัวอย่างบางส่วนสำหรับโซลูชันของคุณเอง

ตัวอย่างที่ 5

ตัวอย่างที่ 6

หาพื้นที่ของภาพที่ล้อมรอบด้วยเส้น

เมื่อแก้ไขปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการคำนวณพื้นที่โดยใช้อินทิกรัลจำกัดเขต บางครั้งเหตุการณ์ตลกๆ ก็เกิดขึ้น วาดถูก คำนวณถูก แต่เนื่องจากความประมาท... พบพื้นที่ผิดรูป

ตัวอย่างที่ 7

ก่อนอื่นมาวาดรูปกันก่อน:

รูปที่เราต้องค้นหาพื้นที่จะเป็นสีน้ำเงิน(ดูสภาพให้ดี - ของมีจำนวนจำกัดแค่ไหน!) แต่ในทางปฏิบัติเนื่องจากการไม่ตั้งใจผู้คนจึงมักตัดสินใจว่าจำเป็นต้องหาพื้นที่ของร่างที่แรเงาเป็นสีเขียว!

1) ในส่วน [-1; 1] เหนือแกน วัวกราฟจะอยู่ตรง ย = x+1;

2) บนส่วนที่อยู่เหนือแกน วัวกราฟของไฮเปอร์โบลาตั้งอยู่ ย = (2/x).

เห็นได้ชัดว่าสามารถ (และควร) เพิ่มพื้นที่ได้ ดังนั้น:

คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 8

คำนวณพื้นที่ของภาพที่ล้อมรอบด้วยเส้น

นำเสนอสมการในรูปแบบ "โรงเรียน"

และทำการวาดภาพแบบจุดต่อจุด:

จากรูปวาด เห็นได้ชัดว่าขีดจำกัดบนของเราคือ “ดี”: ข = 1.

แต่ขีดจำกัดล่างคืออะไรล่ะ! เห็นได้ชัดว่านี่ไม่ใช่จำนวนเต็ม แต่คืออะไร?

อาจจะ, ก=(-1/3)? แต่การรับประกันว่าการวาดภาพนั้นทำขึ้นด้วยความแม่นยำสมบูรณ์แบบอยู่ที่ไหนก็อาจกลายเป็นอย่างนั้นได้ ก=(-1/4) =(-1/4) จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเราสร้างกราฟไม่ถูกต้อง?

ลองหาจุดตัดกันของกราฟกัน

เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราจะแก้สมการ:

เพราะฉะนั้น, ก=(-1/3).

วิธีแก้ปัญหาเพิ่มเติมนั้นไม่สำคัญ สิ่งสำคัญคืออย่าสับสนในการทดแทนและสัญญาณ การคำนวณที่นี่ไม่ใช่วิธีที่ง่ายที่สุด บนส่วน

, ,

ตามสูตรที่เกี่ยวข้อง:

คำตอบ:

เพื่อสรุปบทเรียน มาดูงานที่ยากอีกสองงานกัน

ตัวอย่างที่ 9

คำนวณพื้นที่ของภาพที่ล้อมรอบด้วยเส้น

วิธีแก้ไข: ลองพรรณนารูปนี้ในภาพวาด

ในการสร้างภาพวาดแบบจุดต่อจุด คุณจำเป็นต้องทราบลักษณะของไซนัสอยด์ โดยทั่วไป การรู้กราฟของฟังก์ชันพื้นฐานทั้งหมด รวมถึงค่าไซน์บางค่าจะเป็นประโยชน์ สามารถพบได้ในตารางค่า ฟังก์ชันตรีโกณมิติ - ในบางกรณี (เช่น ในกรณีนี้) สามารถสร้างแผนผังได้ ซึ่งกราฟและขีดจำกัดของการรวมควรแสดงอย่างถูกต้องโดยพื้นฐาน

ไม่มีปัญหากับข้อจำกัดของการบูรณาการที่นี่ ซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไขโดยตรง:

– “x” เปลี่ยนจากศูนย์เป็น “pi” มาตัดสินใจเพิ่มเติมกัน:

ในส่วนของกราฟของฟังก์ชัน ย= บาป 3 xซึ่งอยู่เหนือแกน วัวนั่นเป็นเหตุผล:

(1) คุณจะเห็นว่าไซน์และโคไซน์รวมเข้ากับเลขยกกำลังคี่ได้อย่างไรในบทเรียน ปริพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ- เราบีบไซนัสหนึ่งอัน

(2) เราใช้เอกลักษณ์ตรีโกณมิติหลักในรูปแบบ

(3) มาเปลี่ยนตัวแปรกันเถอะ ที=คอส xดังนั้น: อยู่เหนือแกน ดังนั้น:

บันทึก:สังเกตว่าอินทิกรัลของแทนเจนต์กำลังสามถูกนำมาใช้อย่างไร ข้อพิสูจน์ของเอกลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐานถูกนำมาใช้ที่นี่

ในส่วนก่อนหน้านี้ ที่เกี่ยวข้องกับการวิเคราะห์ความหมายทางเรขาคณิตของอินทิกรัลจำกัด เราได้รับสูตรจำนวนหนึ่งสำหรับการคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง:

ยานเดกซ์RTB R-A-339285-1

S (G) = ∫ a b f (x) d x สำหรับฟังก์ชันต่อเนื่องและไม่เป็นลบ y = f (x) ในช่วงเวลา [ a ; ข ] ,

S (G) = - ∫ a b f (x) d x สำหรับฟังก์ชันต่อเนื่องและไม่เป็นบวก y = f (x) ในช่วงเวลา [ a ; ข ] .

สูตรเหล่านี้ใช้ได้กับการแก้ปัญหาที่ค่อนข้างง่าย ในความเป็นจริง เรามักจะต้องทำงานกับตัวเลขที่ซับซ้อนมากขึ้น ในเรื่องนี้เราจะอุทิศส่วนนี้เพื่อวิเคราะห์อัลกอริธึมสำหรับการคำนวณพื้นที่ของตัวเลขที่ถูกจำกัดโดยฟังก์ชันในรูปแบบที่ชัดเจน เช่น เช่น y = f(x) หรือ x = g(y)

ทฤษฎีบท

ปล่อยให้ฟังก์ชัน y = f 1 (x) และ y = f 2 (x) ถูกกำหนดและต่อเนื่องกันในช่วงเวลา [ a ; b ] และ f 1 (x) ≤ f 2 (x) สำหรับค่าใดๆ ก็ตาม x จาก [ a ; ข ] . จากนั้นสูตรคำนวณพื้นที่ของรูป G ที่ล้อมรอบด้วยเส้น x = a, x = b, y = f 1 (x) และ y = f 2 (x) จะมีลักษณะดังนี้ S (G) = ∫ ข ฉ 2 (x) - ฉ 1 (x) ง x .

สูตรที่คล้ายกันจะใช้ได้กับพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น y = c, y = d, x = g 1 (y) และ x = g 2 (y): S (G) = ∫ c d ( ก 2 (y) - ก 1 (y) ได .

การพิสูจน์

ลองดูสามกรณีที่สูตรจะใช้ได้

ในกรณีแรก เมื่อคำนึงถึงคุณสมบัติของการเพิ่มพื้นที่ ผลรวมของพื้นที่ของรูป G ดั้งเดิมและรูปสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง G 1 เท่ากับพื้นที่ของรูป G 2 นี่หมายความว่า

ดังนั้น S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) ดีเอ็กซ์

เราสามารถดำเนินการเปลี่ยนผ่านครั้งล่าสุดได้โดยใช้คุณสมบัติที่สามของอินทิกรัลจำกัดเขต

ในกรณีที่สอง ความเท่าเทียมกันเป็นจริง: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - ฉ 1 (x)) ง x

ภาพประกอบกราฟิกจะมีลักษณะดังนี้:

หากฟังก์ชันทั้งสองไม่เป็นค่าบวก เราจะได้: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - ฉ 1 (x)) ง x . ภาพประกอบกราฟิกจะมีลักษณะดังนี้:

มาดูกรณีทั่วไปกันต่อเมื่อ y = f 1 (x) และ y = f 2 (x) ตัดกับแกน O x

เราแสดงจุดตัดกันเป็น x i, i = 1, 2, . - - , n - 1 . จุดเหล่านี้แบ่งส่วน [a; b ] เป็น n ส่วน x i - 1 ; x ผม, ผม = 1, 2, . - - , n โดยที่ α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

เพราะฉะนั้น,

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ ข ฉ 2 (x) - ฉ 1 (x) d x

เราสามารถทำการเปลี่ยนแปลงครั้งล่าสุดได้โดยใช้คุณสมบัติที่ห้าของอินทิกรัลจำกัดเขต

ให้เราอธิบายกรณีทั่วไปบนกราฟ

สูตร S (G) = ∫ ab f 2 (x) - f 1 (x) d x ถือได้ว่าพิสูจน์แล้ว

ตอนนี้เรามาดูการวิเคราะห์ตัวอย่างการคำนวณพื้นที่ของตัวเลขที่ถูกจำกัดด้วยเส้น y = f (x) และ x = g (y)

เราจะเริ่มพิจารณาตัวอย่างใดๆ ด้วยการสร้างกราฟ รูปภาพจะทำให้เราสามารถเป็นตัวแทนได้ ตัวเลขที่ซับซ้อนวิธีรวมเพิ่มเติม ตัวเลขง่ายๆ- หากการสร้างกราฟและตัวเลขบนกราฟเหล่านี้ทำให้คุณลำบาก คุณสามารถศึกษาหัวข้อนี้ในระดับพื้นฐานได้ ฟังก์ชั่นเบื้องต้นการแปลงทางเรขาคณิตของกราฟฟังก์ชัน ตลอดจนการสร้างกราฟระหว่างการศึกษาฟังก์ชัน

ตัวอย่างที่ 1

มีความจำเป็นต้องกำหนดพื้นที่ของรูปซึ่งถูกจำกัดด้วยพาราโบลา y = - x 2 + 6 x - 5 และเส้นตรง y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4

สารละลาย

ลองวาดเส้นบนกราฟในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนกัน

ในส่วน [ 1 ; 4 ] กราฟของพาราโบลา y = - x 2 + 6 x - 5 อยู่เหนือเส้นตรง y = - 1 3 x - 1 2 ในเรื่องนี้เพื่อให้ได้คำตอบเราใช้สูตรที่ได้รับมาก่อนหน้านี้ตลอดจนวิธีคำนวณอินทิกรัลจำกัดเขตโดยใช้สูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซ:

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

คำตอบ: S(G) = 13

ลองดูตัวอย่างที่ซับซ้อนกว่านี้

ตัวอย่างที่ 2

จำเป็นต้องคำนวณพื้นที่ของรูปซึ่งถูกจำกัดด้วยเส้น y = x + 2, y = x, x = 7

สารละลาย

ในกรณีนี้ เรามีเส้นตรงเพียงเส้นเดียวที่ขนานกับแกน x นี่คือ x = 7 สิ่งนี้ทำให้เราต้องค้นหาขีดจำกัดที่สองของการบูรณาการด้วยตัวเราเอง

มาสร้างกราฟและพลอตเส้นที่กำหนดในคำสั่งปัญหากันดีกว่า

การมีกราฟอยู่ตรงหน้าเราจึงระบุได้อย่างง่ายดายว่าขีดจำกัดล่างของการอินทิเกรตจะเป็นจุดตัดของกราฟของเส้นตรง y = x และกึ่งพาราโบลา y = x + 2 ในการค้นหา abscissa เราใช้ความเท่าเทียมกัน:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ

ปรากฎว่า abscissa ของจุดตัดคือ x = 2

เราดึงความสนใจของคุณไปที่ความจริงที่ว่าในตัวอย่างทั่วไปในภาพวาด เส้น y = x + 2, y = x ตัดกันที่จุด (2; 2) ดังนั้นการคำนวณโดยละเอียดดังกล่าวอาจดูเหมือนไม่จำเป็น เรานำสิ่งนี้มาที่นี่ วิธีแก้ปัญหาโดยละเอียดเพียงเพราะว่าในกรณีที่ซับซ้อนมากขึ้น วิธีแก้ไขอาจไม่ชัดเจนนัก ซึ่งหมายความว่าจะเป็นการดีกว่าที่จะคำนวณพิกัดของจุดตัดของเส้นในเชิงวิเคราะห์เสมอ

ในช่วงเวลา [ 2 ; 7] กราฟของฟังก์ชัน y = x อยู่เหนือกราฟของฟังก์ชัน y = x + 2 ลองใช้สูตรคำนวณพื้นที่:

ส (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

ตอบ ส(ก) = 59 6

ตัวอย่างที่ 3

จำเป็นต้องคำนวณพื้นที่ของรูปซึ่งถูกจำกัดด้วยกราฟของฟังก์ชัน y = 1 x และ y = - x 2 + 4 x - 2

สารละลาย

เรามาพลอตเส้นบนกราฟกัน

เรามากำหนดขอบเขตของการบูรณาการกันดีกว่า ในการทำเช่นนี้เรากำหนดพิกัดของจุดตัดของเส้นโดยจัดให้นิพจน์ 1 x และ - x 2 + 4 x - 2 เท่ากัน โดยมีเงื่อนไขว่า x ไม่เป็นศูนย์ ความเท่าเทียมกัน 1 x = - x 2 + 4 x - 2 จะเทียบเท่ากับสมการระดับที่สาม - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 พร้อมสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม หากต้องการรีเฟรชหน่วยความจำเกี่ยวกับอัลกอริทึมในการแก้สมการดังกล่าว โปรดดูหัวข้อ "การแก้สมการกำลังสาม"

รากของสมการนี้คือ x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0

เมื่อหารนิพจน์ - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ด้วยทวินาม x - 1 เราจะได้: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

เราสามารถหารากที่เหลือได้จากสมการ x 2 - 3 x - 1 = 0:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 หยาบคาย 3 . 3; x 2 = 3 - 13 2 µ - 0 . 3

เราพบช่วงเวลา x ∈ 1; 3 + 13 2 โดยรูป G อยู่เหนือเส้นสีน้ำเงินและใต้เส้นสีแดง สิ่งนี้ช่วยให้เรากำหนดพื้นที่ของรูปได้:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - อิน 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - อิน 1 = 7 + 13 3 - อิน 3 + 13 2

คำตอบ: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

ตัวอย่างที่ 4

จำเป็นต้องคำนวณพื้นที่ของรูปซึ่งถูกจำกัดด้วยเส้นโค้ง y = x 3, y = - log 2 x + 1 และแกน abscissa

สารละลาย

ลองพลอตเส้นทั้งหมดบนกราฟกัน เราจะได้กราฟของฟังก์ชัน y = - log 2 x + 1 จากกราฟ y = log 2 x ถ้าเราวางตำแหน่งมันไว้รอบแกน x แบบสมมาตรแล้วเลื่อนขึ้นไปหนึ่งหน่วย สมการของแกน x คือ y = 0

ให้เราทำเครื่องหมายจุดตัดของเส้น

ดังที่เห็นได้จากรูป กราฟของฟังก์ชัน y = x 3 และ y = 0 ตัดกันที่จุด (0; 0) สิ่งนี้เกิดขึ้นเพราะ x = 0 เป็นรากที่แท้จริงเพียงรากเดียวของสมการ x 3 = 0

x = 2 เป็นรากเดียวของสมการ - log 2 x + 1 = 0 ดังนั้นกราฟของฟังก์ชัน y = - log 2 x + 1 และ y = 0 ตัดกันที่จุด (2; 0)

x = 1 เป็นรากเดียวของสมการ x 3 = - log 2 x + 1 ในเรื่องนี้กราฟของฟังก์ชัน y = x 3 และ y = - log 2 x + 1 ตัดกันที่จุด (1; 1) ข้อความสุดท้ายอาจไม่ชัดเจน แต่สมการ x 3 = - log 2 x + 1 ไม่สามารถมีมากกว่าหนึ่งรูทได้เนื่องจากฟังก์ชัน y = x 3 เพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัดและฟังก์ชัน y = - log 2 x + 1 คือ ลดลงอย่างเคร่งครัด

แนวทางแก้ไขเพิ่มเติมเกี่ยวข้องกับหลายตัวเลือก

ตัวเลือก #1

เราสามารถจินตนาการได้ว่ารูป G เป็นผลรวมของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งสองอันที่อยู่เหนือแกน x โดยอันแรกอยู่ใต้เส้นกึ่งกลางของส่วน x ∈ 0; 1 และอันที่สองอยู่ใต้เส้นสีแดงบนส่วน x ∈ 1; 2. ซึ่งหมายความว่าพื้นที่จะเท่ากับ S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x

ตัวเลือกหมายเลข 2

รูปที่ G สามารถแสดงเป็นผลต่างของตัวเลขสองตัว โดยตัวแรกจะอยู่เหนือแกน x และต่ำกว่าเส้นสีน้ำเงินบนส่วน x ∈ 0; 2 และเส้นที่สองระหว่างเส้นสีแดงและสีน้ำเงินบนส่วน x ∈ 1; 2. ทำให้เราสามารถหาพื้นที่ได้ดังนี้

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- บันทึก 2 x + 1) d x

ในกรณีนี้หากต้องการค้นหาพื้นที่คุณจะต้องใช้สูตรในรูปแบบ S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y ในความเป็นจริง เส้นที่ผูกรูปสามารถแสดงเป็นฟังก์ชันของอาร์กิวเมนต์ y ได้

มาแก้สมการ y = x 3 และ - log 2 x + 1 เทียบกับ x:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - บันทึก 2 x + 1 ⇒ บันทึก 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

เราได้รับพื้นที่ที่ต้องการ:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 อิน 2 - 0 4 4 = - 1 อิน 2 - 1 4 + 2 อิน 2 = 1 อิน 2 - 1 4

คำตอบ: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

ตัวอย่างที่ 5

จำเป็นต้องคำนวณพื้นที่ของรูปซึ่งถูกจำกัดด้วยเส้น y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4

สารละลาย

ด้วยเส้นสีแดง เราพล็อตเส้นที่กำหนดโดยฟังก์ชัน y = x เราวาดเส้น y = - 1 2 x + 4 เป็นสีน้ำเงิน และเส้น y = 2 3 x - 3 เป็นสีดำ

ลองทำเครื่องหมายจุดตัดกัน

มาหาจุดตัดของกราฟของฟังก์ชัน y = x และ y = - 1 2 x + 4:

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16 ; x 2 = 20 - 144 2 = 4 ตรวจสอบ: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 ไม่ใช่ คือคำตอบของสมการ x 2 = 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 คือคำตอบของสมการ ⇒ (4; 2) จุดตัดกัน i y = x และ y = - 1 2 x + 4

มาหาจุดตัดของกราฟของฟังก์ชัน y = x และ y = 2 3 x - 3:

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 ตรวจสอบ: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 คือคำตอบของสมการ ⇒ (9 ; 3) ชี้ a s y = x และ y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 ไม่มีคำตอบของสมการ

มาหาจุดตัดของเส้นตรง y = - 1 2 x + 4 และ y = 2 3 x - 3:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1 ) จุดตัดกัน y = - 1 2 x + 4 และ y = 2 3 x - 3

วิธีที่ 1

ลองจินตนาการถึงพื้นที่ของรูปที่ต้องการเป็นผลรวมของพื้นที่ของรูปแต่ละรูป

จากนั้นพื้นที่ของรูปคือ:

เอส (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

วิธีที่ 2

พื้นที่ของรูปเดิมสามารถแสดงเป็นผลรวมของรูปอีกสองรูปได้

จากนั้นเราจะแก้สมการของเส้นตรงที่สัมพันธ์กับ x และหลังจากนั้นเราก็ใช้สูตรในการคำนวณพื้นที่ของรูป

y = x ⇒ x = y 2 เส้นสีแดง y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 เส้นสีดำ y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e

ดังนั้นพื้นที่คือ:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 ปี + 9 2 - - 2 ปี + 8 วัน + ∫ 2 3 3 2 ปี + 9 2 - ปี 2 วัน y = = ∫ 1 2 7 2 ปี - 7 2 วัน + ∫ 2 3 3 2 ปี + 9 2 - ปี 2 วัน = = 7 4 ปี 2 - 7 4 ปี 1 2 + - ปี 3 3 + 3 ปี 2 4 + 9 2 ปี 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

อย่างที่คุณเห็นค่าจะเท่ากัน

คำตอบ: S (G) = 11 3

ผลลัพธ์

เพื่อหาพื้นที่ของรูปที่มีจำกัด เส้นที่กำหนดเราจำเป็นต้องสร้างเส้นตรงบนเครื่องบิน หาจุดตัด และใช้สูตรเพื่อหาพื้นที่ ในส่วนนี้ เราได้ตรวจสอบงานรูปแบบต่างๆ ที่พบบ่อยที่สุด

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter