ในบทความนี้คุณจะได้เรียนรู้วิธีค้นหาพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้นโดยใช้การคำนวณอินทิกรัล ครั้งแรกที่เราพบการกำหนดของปัญหาดังกล่าวในโรงเรียนมัธยมศึกษาตอนปลาย เมื่อเราเพิ่งเสร็จสิ้นการศึกษาอินทิกรัลจำกัดเขต และถึงเวลาที่จะเริ่มการตีความทางเรขาคณิตของความรู้ที่ได้รับในทางปฏิบัติ

ดังนั้นสิ่งที่จำเป็นในการแก้ปัญหาการค้นหาพื้นที่ของรูปโดยใช้อินทิกรัล:

• ความสามารถในการเขียนแบบที่มีความสามารถ
• ความสามารถในการแก้อินทิกรัลจำกัดจำนวนโดยใช้สูตรนิวตัน-ไลบ์นิซที่รู้จักกันดี
• ความสามารถในการ "เห็น" ตัวเลือกโซลูชันที่ให้ผลกำไรมากขึ้น - เช่น เข้าใจว่าการดำเนินการบูรณาการในกรณีใดกรณีหนึ่งจะสะดวกกว่าอย่างไร ตามแนวแกน x (OX) หรือแกน y (OY)?
• แล้วเราจะอยู่ที่ไหนถ้าไม่มีการคำนวณที่ถูกต้อง?) ซึ่งรวมถึงการทำความเข้าใจวิธีแก้อินทิกรัลประเภทอื่นและการคำนวณตัวเลขที่ถูกต้อง

อัลกอริทึมในการแก้ปัญหาการคำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น:

1. เรากำลังสร้างภาพวาด ขอแนะนำให้ทำเช่นนี้บนกระดาษตาหมากรุกในขนาดใหญ่ เราเซ็นชื่อของฟังก์ชันนี้ด้วยดินสอเหนือแต่ละกราฟ การลงนามกราฟจะทำเพื่อความสะดวกในการคำนวณเพิ่มเติมเท่านั้น เมื่อได้รับกราฟของตัวเลขที่ต้องการแล้ว ในกรณีส่วนใหญ่จะชัดเจนทันทีว่าจะใช้ขีดจำกัดการรวมแบบใด ดังนั้นเราจึงแก้ปัญหาแบบกราฟิก อย่างไรก็ตาม มันเกิดขึ้นที่ค่าของขีดจำกัดนั้นเป็นเศษส่วนหรือไม่มีเหตุผล ดังนั้นคุณสามารถคำนวณเพิ่มเติมได้ โดยไปที่ขั้นตอนที่สอง

2. หากไม่ได้ระบุขีดจำกัดของการอินทิเกรตไว้อย่างชัดเจน เราจะหาจุดตัดกันของกราฟด้วยกันและดูว่าเรา โซลูชันกราฟิกด้วยการวิเคราะห์

3. ถัดไปคุณต้องวิเคราะห์ภาพวาด มีวิธีการต่างๆ ในการค้นหาพื้นที่ของรูป ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับวิธีการจัดเรียงกราฟฟังก์ชัน ลองพิจารณาดู ตัวอย่างที่แตกต่างกันในการหาพื้นที่ของรูปโดยใช้อินทิกรัล

3.1. ปัญหาคลาสสิกและเรียบง่ายที่สุดคือเมื่อคุณต้องการหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง สี่เหลี่ยมคางหมูโค้งคืออะไร? นี่คือรูปทรงแบนที่ถูกจำกัดด้วยแกน x (ย = 0), ตรง x = ก, x = ขและเส้นโค้งใดๆ ที่ต่อเนื่องกันในช่วงเวลาจาก กถึง ข- นอกจากนี้ ตัวเลขนี้ไม่เป็นลบและไม่ต่ำกว่าแกน x ในกรณีนี้พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งเป็นตัวเลขเท่ากับอินทิกรัลที่แน่นอนซึ่งคำนวณโดยใช้สูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซ:

ตัวอย่างที่ 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

รูปนี้ล้อมรอบด้วยเส้นอะไร? เรามีพาราโบลา y = x2 – 3x + 3ซึ่งอยู่เหนือแกน โอ้ไม่เป็นลบเพราะว่า ทุกจุดของพาราโบลานี้มี ค่าบวก- ต่อไปให้เส้นตรง x = 1และ x = 3ซึ่งวิ่งขนานกับแกน ออปแอมป์คือเส้นเขตแดนของรูปด้านซ้ายและขวา ดี ย = 0นอกจากนี้ยังเป็นแกน x ซึ่งจำกัดตัวเลขจากด้านล่าง รูปที่ได้จะถูกแรเงา ดังที่เห็นได้จากรูปทางด้านซ้าย ใน ในกรณีนี้คุณสามารถเริ่มแก้ไขปัญหาได้ทันที ตรงหน้าเราเป็นตัวอย่างง่ายๆ ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง ซึ่งเราจะแก้โดยใช้สูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซ

3.2. ในย่อหน้าที่ 3.1 ก่อนหน้า เราได้ตรวจสอบกรณีที่สี่เหลี่ยมคางหมูโค้งอยู่เหนือแกน x ทีนี้ ให้พิจารณากรณีที่เงื่อนไขของปัญหาเหมือนกัน ยกเว้นว่าฟังก์ชันอยู่ใต้แกน x เครื่องหมายลบจะถูกเพิ่มเข้าไปในสูตรมาตรฐานของนิวตัน-ไลบ์นิซ เราจะพิจารณาวิธีแก้ปัญหาดังกล่าวด้านล่าง

ตัวอย่างที่ 2 - คำนวณพื้นที่ของภาพที่ล้อมรอบด้วยเส้น y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

ใน ในตัวอย่างนี้เรามีพาราโบลา y = x2 + 6x + 2ซึ่งมีต้นกำเนิดมาจากแกน โอ้, ตรง x = -4, x = -1, y = 0- ที่นี่ ย = 0จำกัดตัวเลขที่ต้องการจากด้านบน โดยตรง x = -4และ x = -1สิ่งเหล่านี้คือขอบเขตที่จะคำนวณอินทิกรัลจำกัดเขต หลักการแก้ปัญหาการหาพื้นที่ของรูปเกือบจะเกิดขึ้นพร้อมกับตัวอย่างที่ 1 ข้อแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือฟังก์ชันที่ให้มานั้นไม่เป็นค่าบวกและยังต่อเนื่องในช่วงเวลานั้นด้วย [-4; -1] - คุณหมายถึงอะไรที่ไม่เป็นบวก? ดังที่เห็นได้จากรูป ตัวเลขที่อยู่ในค่า x ที่ให้มานั้นมีพิกัด "ลบ" โดยเฉพาะ ซึ่งเป็นสิ่งที่เราจำเป็นต้องเห็นและจดจำเมื่อแก้ไขปัญหา เราค้นหาพื้นที่ของรูปโดยใช้สูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซโดยมีเครื่องหมายลบอยู่ที่จุดเริ่มต้นเท่านั้น

บทความยังไม่เสร็จสมบูรณ์

ปัญหาที่ 1(เกี่ยวกับการคำนวณพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง)

ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียน xOy จะได้รูป (ดูรูป) ที่ล้อมรอบด้วยแกน x เส้นตรง x = a, x = b (รูปสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง จำเป็นต้องคำนวณพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง
สารละลาย.เรขาคณิตให้สูตรในการคำนวณพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมและบางส่วนของวงกลม (เซกเตอร์, เซกเมนต์) เมื่อใช้การพิจารณาทางเรขาคณิต เราสามารถหาค่าโดยประมาณของพื้นที่ที่ต้องการได้เท่านั้น โดยให้เหตุผลดังนี้

มาแบ่งส่วนกัน [a; b] (ฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง) บน n ส่วนที่เท่ากัน- พาร์ติชันนี้ดำเนินการโดยใช้คะแนน x 1, x 2, ... x k, ... x n-1 ให้เราวาดเส้นตรงผ่านจุดเหล่านี้ขนานกับแกน y จากนั้น สี่เหลี่ยมคางหมูส่วนโค้งที่กำหนดจะถูกแบ่งออกเป็น n ส่วน ออกเป็นคอลัมน์แคบๆ n คอลัมน์ พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูทั้งหมดเท่ากับผลรวมของพื้นที่ของคอลัมน์

ให้เราพิจารณาคอลัมน์ที่ k แยกกันนั่นคือ สี่เหลี่ยมคางหมูโค้งซึ่งมีฐานเป็นส่วน ลองแทนที่ด้วยสี่เหลี่ยมที่มีฐานและความสูงเท่ากัน f(x k) (ดูรูป) พื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าเท่ากับ \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \) โดยที่ \(\Delta x_k \) คือความยาวของส่วน; เป็นเรื่องปกติที่จะต้องพิจารณาผลลัพธ์ที่ได้ว่าเป็นค่าโดยประมาณของพื้นที่ของคอลัมน์ k

หากเราทำแบบเดียวกันกับคอลัมน์อื่นๆ ทั้งหมด เราจะได้ผลลัพธ์ดังนี้ พื้นที่ S ของสี่เหลี่ยมคางหมูส่วนโค้งที่กำหนดนั้นมีค่าประมาณเท่ากับพื้นที่ S n ของรูปขั้นบันไดที่ประกอบด้วยสี่เหลี่ยม n รูป (ดูรูป):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
ในที่นี้ เพื่อความสม่ำเสมอของสัญกรณ์ เราถือว่า a = x 0, b = xn; \(\Delta x_0 \) - ความยาวของส่วน \(\Delta x_1 \) - ความยาวของส่วน ฯลฯ ในกรณีนี้ ตามที่เราตกลงกันข้างต้น \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)

ดังนั้น \(S \ประมาณ S_n \) และความเท่าเทียมกันโดยประมาณนี้มีความแม่นยำมากกว่า ยิ่ง n ยิ่งมาก
ตามคำจำกัดความเชื่อกันว่าพื้นที่ที่ต้องการของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งเท่ากับขีด จำกัด ของลำดับ (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

ปัญหาที่ 2(เกี่ยวกับการย้ายจุด)
จุดวัสดุเคลื่อนที่เป็นเส้นตรง การขึ้นอยู่กับความเร็วตรงเวลาแสดงโดยสูตร v = v(t) ค้นหาการเคลื่อนที่ของจุดในช่วงเวลาหนึ่ง [a; ข]
สารละลาย.หากการเคลื่อนไหวสม่ำเสมอ ปัญหาก็จะได้รับการแก้ไขอย่างง่ายดาย: s = vt เช่น s = โวลต์(บี-เอ) สำหรับการเคลื่อนไหวที่ไม่สม่ำเสมอ คุณต้องใช้แนวคิดเดียวกันกับที่ใช้แก้ไขปัญหาเดิม
1) แบ่งช่วงเวลา [a; b] ออกเป็น n ส่วนเท่าๆ กัน
2) พิจารณาช่วงระยะเวลาหนึ่งและสมมุติว่าในช่วงเวลานี้ความเร็วคงที่เท่ากับเวลา t k ดังนั้นเราจึงถือว่า v = v(t k)
3) ลองหาค่าโดยประมาณของการเคลื่อนที่ของจุดในช่วงเวลาหนึ่ง เราจะเขียนค่าโดยประมาณนี้เป็น sk
\(s_k = v(t_k) \เดลต้า t_k \)
4) ค้นหาค่าประมาณของการกระจัด:
\(s \ประมาณ S_n \) โดยที่
\(S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) การกระจัดที่ต้องการเท่ากับขีดจำกัดของลำดับ (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

มาสรุปกัน การแก้ปัญหาต่าง ๆ ลดลงเหลือแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เดียวกัน ปัญหามากมายจากสาขาวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีต่างๆ นำไปสู่รูปแบบเดียวกันในกระบวนการแก้ไข ซึ่งหมายความว่าจะต้องศึกษาแบบจำลองทางคณิตศาสตร์นี้เป็นพิเศษ

แนวคิดของอินทิกรัลจำกัดเขต

ขอให้เราให้คำอธิบายทางคณิตศาสตร์ของแบบจำลองที่สร้างขึ้นในสามปัญหาที่พิจารณาสำหรับฟังก์ชัน y = f(x) ต่อเนื่อง (แต่ไม่จำเป็นต้องไม่เป็นลบ ดังที่สมมติไว้ในปัญหาที่พิจารณา) ในช่วงเวลา [a; ข]:
1) แยกส่วน [a; b] ออกเป็น n ส่วนเท่าๆ กัน;
2) สร้างผลรวม $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) คำนวณ $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$

ในระหว่างการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าขีดจำกัดนี้มีอยู่ในกรณีของฟังก์ชันต่อเนื่อง (หรือต่อเนื่องเป็นชิ้น) พวกเขาเรียกเขาว่า อินทิกรัลหนึ่งของฟังก์ชัน y = f(x) ส่วน [a; ข]และแสดงไว้ดังนี้:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
ตัวเลข a และ b เรียกว่าขีดจำกัดของการอินทิเกรต (ล่างและบน ตามลำดับ)

กลับไปที่งานที่กล่าวถึงข้างต้น คำจำกัดความของพื้นที่ที่กำหนดในปัญหาที่ 1 สามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:
\(S = \int\ขีดจำกัด_a^b f(x) dx \)
โดยที่ S คือพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งแสดงในรูปด้านบน นี่คือ ความหมายทางเรขาคณิตของอินทิกรัลจำกัดจำนวน

นิยามของการกระจัด s ของจุดที่เคลื่อนที่เป็นเส้นตรงด้วยความเร็ว v = v(t) ตลอดระยะเวลาตั้งแต่ t = a ถึง t = b ตามที่ให้ไว้ในปัญหาที่ 2 สามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้

สูตรนิวตัน-ไลบ์นิซ

ก่อนอื่น มาตอบคำถามกันก่อนว่า อะไรคือความสัมพันธ์ระหว่างอินทิกรัลจำกัดจำนวนกับแอนติเดริเวทีฟ?

คำตอบสามารถพบได้ในปัญหาที่ 2 ในด้านหนึ่ง การกระจัด s ของจุดที่เคลื่อนที่เป็นเส้นตรงด้วยความเร็ว v = v(t) ตลอดระยะเวลาตั้งแต่ t = a ถึง t = b คำนวณโดย สูตร
\(S = \int\ขีดจำกัด_a^b v(t) dt \)

ในทางกลับกัน พิกัดของจุดที่เคลื่อนที่เป็นแอนติเดริเวทีฟของความเร็ว ลองแสดงว่ามันเป็น s(t); ซึ่งหมายความว่าการกระจัด s แสดงได้ด้วยสูตร s = s(b) - s(a) เป็นผลให้เราได้รับ:
\(S = \int\ขีดจำกัด_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
โดยที่ s(t) คือแอนติเดริเวทีฟของ v(t)

ทฤษฎีบทต่อไปนี้ได้รับการพิสูจน์แล้วในหลักสูตรการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์
ทฤษฎีบท. ถ้าฟังก์ชัน y = f(x) ต่อเนื่องกันในช่วง [a; b] ดังนั้นสูตรจึงใช้ได้
\(S = \int\ขีดจำกัด_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
โดยที่ F(x) คือแอนติเดริเวทีฟของ f(x)

โดยปกติแล้วสูตรที่กำหนดจะเรียกว่า สูตรนิวตัน-ไลบ์นิซเพื่อเป็นเกียรติแก่นักฟิสิกส์ชาวอังกฤษ Isaac Newton (1643-1727) และ นักปรัชญาชาวเยอรมัน Gottfried Leibniz (1646-1716) ซึ่งรับมันอย่างเป็นอิสระจากกันและแทบจะพร้อมกัน

ในทางปฏิบัติ แทนที่จะเขียนว่า F(b) - F(a) จะใช้สัญลักษณ์ \(\left. F(x)\right|_a^b \) (บางครั้งเรียกว่า การทดแทนสองครั้ง) และเขียนสูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซใหม่ในรูปแบบนี้:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \left. F(x)\right|_a^b \)

เมื่อคำนวณอินทิกรัลจำกัดเขต ให้หาแอนติเดริเวทีฟก่อน แล้วจึงทำการแทนสองครั้ง

จากสูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซ เราจะได้คุณสมบัติของอินทิกรัลจำกัดเขตสองรายการ

คุณสมบัติ 1.อินทิกรัลของผลรวมของฟังก์ชันเท่ากับผลรวมของอินทิกรัล:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)

คุณสมบัติ 2.ตัวประกอบคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายอินทิกรัลได้:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)

การคำนวณพื้นที่ของรูปทรงเครื่องบินโดยใช้อินทิกรัลจำกัดเขต

เมื่อใช้อินทิกรัล คุณสามารถคำนวณพื้นที่ไม่เพียงแต่ของสี่เหลี่ยมคางหมูส่วนโค้งเท่านั้น แต่ยังรวมถึงรูปทรงแบนๆ อีกด้วย ประเภทที่ซับซ้อนดังตัวอย่างที่แสดงในภาพ รูป P ถูกจำกัดด้วยเส้นตรง x = a, x = b และกราฟของฟังก์ชันต่อเนื่อง y = f(x), y = g(x) และบนเซกเมนต์ [a; b] ความไม่เท่าเทียมกัน \(g(x) \leq f(x) \) ถืออยู่ ในการคำนวณพื้นที่ S ของรูปดังกล่าว เราจะดำเนินการดังนี้:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

ดังนั้น พื้นที่ S ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้นตรง x = a, x = b และกราฟของฟังก์ชัน y = f(x), y = g(x) ต่อเนื่องกันบนเซ็กเมนต์ และเช่นนั้นสำหรับ x ใดๆ จากเซ็กเมนต์ [เป็น; b] ความไม่เท่าเทียมกัน \(g(x) \leq f(x) \) เป็นที่พอใจ คำนวณโดยสูตร
\(S = \int\ขีดจำกัด_a^b (f(x)-g(x))dx \)

ตารางอินทิกรัลไม่ จำกัด (แอนติเดริเวทีฟ) ของฟังก์ชันบางฟังก์ชัน

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +ค \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(อาร์คซิน) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) x +C $$

ที่จริงแล้ว เพื่อที่จะหาพื้นที่ของรูป คุณไม่จำเป็นต้องมีความรู้เรื่องอินทิกรัลไม่แน่นอนและอินทิกรัลจำกัดมากนัก งาน “คำนวณพื้นที่โดยใช้อินทิกรัลจำกัด” มักจะเกี่ยวข้องกับการสร้างภาพวาดเสมอและอีกมากมาย ปัญหาเฉพาะที่จะเป็นความรู้และทักษะในการวาดภาพของคุณ ในเรื่องนี้ การรีเฟรชหน่วยความจำกราฟหลักจะเป็นประโยชน์ ฟังก์ชั่นเบื้องต้นและอย่างน้อยก็สามารถสร้างเส้นตรงและไฮเปอร์โบลาได้

สี่เหลี่ยมคางหมูโค้งคือรูปทรงแบนที่ล้อมรอบด้วยแกน เส้นตรง และกราฟของฟังก์ชันที่ต่อเนื่องกันบนส่วนที่ไม่เปลี่ยนเครื่องหมายในช่วงเวลานี้ ให้รูปนี้ตั้งอยู่ ไม่ต่ำกว่าแกน x:

แล้ว พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งเป็นตัวเลขเท่ากับอินทิกรัลที่แน่นอน- อินทิกรัลจำกัดจำนวนใดๆ (ที่มีอยู่) มีความหมายทางเรขาคณิตที่ดีมาก

จากมุมมองของเรขาคณิต อินทิกรัลจำกัดเขตคือ AREA.

นั่นคืออินทิกรัลจำนวนหนึ่ง (ถ้ามี) สอดคล้องกับพื้นที่ของรูปใดรูปหนึ่งทางเรขาคณิต ตัวอย่างเช่น พิจารณาอินทิกรัลจำกัดเขต อินทิกรัลกำหนดเส้นโค้งบนระนาบที่อยู่เหนือแกน (ผู้ที่ต้องการวาดภาพได้) และอินทิกรัลที่แน่นอนนั้นเป็นตัวเลข เท่ากับพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่สอดคล้องกัน

ตัวอย่างที่ 1

นี่คือคำสั่งมอบหมายงานทั่วไป ครั้งแรกและ ช่วงเวลาที่สำคัญที่สุดโซลูชั่น - การวาดภาพ- นอกจากนี้จะต้องสร้างแบบเขียนแบบด้วย ขวา.

เมื่อสร้างภาพวาดฉันขอแนะนำลำดับต่อไปนี้: ตอนแรกจะดีกว่าถ้าสร้างเส้นตรงทั้งหมด (ถ้ามี) และเท่านั้น แล้ว- พาราโบลา ไฮเปอร์โบลา กราฟของฟังก์ชันอื่นๆ การสร้างกราฟของฟังก์ชันจะทำกำไรได้มากกว่า จุดต่อจุด

ในปัญหานี้ วิธีแก้ไขอาจมีลักษณะเช่นนี้
มาวาดรูปกัน (โปรดทราบว่าสมการกำหนดแกน):

กราฟของฟังก์ชันจะอยู่ในส่วนนี้ เหนือแกนนั่นเป็นเหตุผล:

คำตอบ:

หลังจากงานเสร็จสิ้น จะเป็นประโยชน์เสมอที่จะดูภาพวาดและพิจารณาว่าคำตอบนั้นเป็นเรื่องจริงหรือไม่ ในกรณีนี้ "ด้วยตา" เรานับจำนวนเซลล์ในภาพวาด - จะมีประมาณ 9 ดูเหมือนว่าจะเป็นจริง เป็นที่ชัดเจนอย่างยิ่งว่าหากเราได้รับคำตอบคือ: 20 หน่วยตารางเห็นได้ชัดว่ามีข้อผิดพลาดเกิดขึ้นที่ไหนสักแห่ง - 20 เซลล์ไม่พอดีกับตัวเลขที่เป็นปัญหาอย่างชัดเจนอย่างน้อยที่สุดหนึ่งโหล หากคำตอบเป็นลบ แสดงว่างานนั้นได้รับการแก้ไขอย่างไม่ถูกต้องเช่นกัน

ตัวอย่างที่ 3

คำนวณพื้นที่ของภาพที่ล้อมรอบด้วยเส้นและพิกัดแกน

สารละลาย: มาวาดรูปกันเถอะ:

หากมีรูปสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งอยู่ ใต้เพลา(หรืออย่างน้อย ไม่สูงกว่าแกนที่กำหนด) จากนั้นสามารถหาพื้นที่ได้โดยใช้สูตร:

ในกรณีนี้:

ความสนใจ! ไม่ควรสับสนงานทั้งสองประเภท:

1) หากคุณถูกขอให้แก้แค่อินทิกรัลจำกัดจำนวนโดยไม่มีความหมายทางเรขาคณิต ค่านั้นอาจเป็นค่าลบ

2) หากคุณถูกขอให้ค้นหาพื้นที่ของรูปโดยใช้อินทิกรัลจำกัดเขต พื้นที่นั้นจะเป็นบวกเสมอ! นั่นคือสาเหตุที่เครื่องหมายลบปรากฏในสูตรที่เพิ่งกล่าวถึง

ในทางปฏิบัติ ตัวเลขส่วนใหญ่มักจะอยู่ในระนาบครึ่งบนและล่าง ดังนั้น จากปัญหาที่ง่ายที่สุดของโรงเรียน เราจึงไปยังตัวอย่างที่มีความหมายมากขึ้น

ตัวอย่างที่ 4

หาพื้นที่ของรูปเครื่องบินที่ล้อมรอบด้วยเส้น , .

สารละลาย: ก่อนอื่นคุณต้องวาดรูปให้เสร็จก่อน โดยทั่วไปแล้ว เมื่อสร้างภาพวาดในปัญหาพื้นที่ เราจะสนใจจุดตัดกันของเส้นมากที่สุด ลองหาจุดตัดของพาราโบลากับเส้นตรงกัน ซึ่งสามารถทำได้สองวิธี วิธีแรกคือการวิเคราะห์ เราแก้สมการ:

ซึ่งหมายความว่าขีดจำกัดล่างของการรวมคือ ขีดจำกัดบนของการรวมคือ

หากเป็นไปได้ จะเป็นการดีกว่าที่จะไม่ใช้วิธีนี้.

การสร้างบรรทัดทีละจุดจะทำกำไรได้มากกว่าและรวดเร็วกว่ามาก และขีดจำกัดของการรวมระบบก็ชัดเจน "ด้วยตัวเอง" อย่างไรก็ตาม บางครั้งยังต้องใช้วิธีการวิเคราะห์ในการค้นหาขีดจำกัด ตัวอย่างเช่น กราฟมีขนาดใหญ่เพียงพอ หรือโครงสร้างโดยละเอียดไม่ได้เปิดเผยขีดจำกัดของการอินทิเกรต (อาจเป็นแบบเศษส่วนหรือไม่มีเหตุผล) และเราจะพิจารณาตัวอย่างดังกล่าวด้วย

กลับมาที่งานของเราดีกว่า การสร้างเส้นตรงก่อนแล้วจึงสร้างพาราโบลาจะมีเหตุผลมากกว่า มาวาดรูปกันเถอะ:

และตอนนี้สูตรการทำงาน: หากมีฟังก์ชันต่อเนื่องในส่วนนั้น มากกว่าหรือเท่ากับฟังก์ชันต่อเนื่องบางอย่าง จากนั้นพื้นที่ของรูป ถูกจำกัดด้วยตารางเวลาฟังก์ชั่นที่กำหนดและเส้นตรง , , สามารถพบได้โดยใช้สูตร:

ที่นี่คุณไม่จำเป็นต้องคิดว่ารูปนั้นอยู่ที่ตำแหน่งใดอีกต่อไป - เหนือแกนหรือใต้แกน และพูดคร่าวๆ แล้ว มันสำคัญว่ากราฟไหนสูงกว่า(สัมพันธ์กับกราฟอื่น) และอันไหนอยู่ด้านล่าง.

ในตัวอย่างที่กำลังพิจารณา เห็นได้ชัดว่าพาราโบลาอยู่เหนือเส้นตรงบนส่วน ดังนั้น จึงจำเป็นต้องลบออกจาก

โซลูชันที่สมบูรณ์อาจมีลักษณะดังนี้:

รูปที่ต้องการถูกจำกัดด้วยพาราโบลาด้านบนและเส้นตรงด้านล่าง
ในส่วนของตามสูตรที่เกี่ยวข้อง:

คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 4

คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น , , , .

สารละลาย: ก่อนอื่น มาวาดรูปกันก่อน:

รูปที่เราต้องค้นหาพื้นที่จะเป็นสีน้ำเงิน(ดูสภาพให้ดี - ของมีจำนวนจำกัดแค่ไหน!) แต่ในทางปฏิบัติเนื่องจากการไม่ตั้งใจมักมี "ความผิดพลาด" เกิดขึ้นโดยคุณต้องค้นหาพื้นที่ของร่างที่แรเงาเป็นสีเขียว!

ตัวอย่างนี้ยังมีประโยชน์ในการคำนวณพื้นที่ของรูปโดยใช้อินทิกรัลจำกัดจำนวนสองตัว

จริงหรือ:

1) บนส่วนที่อยู่เหนือแกนจะมีกราฟเป็นเส้นตรง

2) บนส่วนที่อยู่เหนือแกนจะมีกราฟของไฮเปอร์โบลา

เห็นได้ชัดว่าสามารถ (และควร) เพิ่มพื้นที่ได้ ดังนั้น:

ภารกิจที่ 3 วาดภาพและคำนวณพื้นที่ของภาพที่ล้อมรอบด้วยเส้น

การประยุกต์อินทิกรัลในการแก้ปัญหาที่ประยุกต์

การคำนวณพื้นที่

อินทิกรัลจำกัดขอบเขตของฟังก์ชันต่อเนื่องที่ไม่เป็นลบ f(x) มีค่าเท่ากับตัวเลขพื้นที่ของเส้นโค้งสี่เหลี่ยมคางหมูที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้ง y = f(x), แกน O x และเส้นตรง x = a และ x = b ตามนี้สูตรพื้นที่เขียนดังนี้:

มาดูตัวอย่างการคำนวณพื้นที่ของรูปเครื่องบินกัน

ภารกิจที่ 1 คำนวณพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยเส้น y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2

สารละลาย.เรามาสร้างตัวเลขที่เราจะต้องคำนวณพื้นที่กัน

y = x 2 + 1 คือพาราโบลาที่มีกิ่งก้านชี้ขึ้น และพาราโบลาเลื่อนขึ้นหนึ่งหน่วยสัมพันธ์กับแกน O y (รูปที่ 1)

รูปที่ 1. กราฟของฟังก์ชัน y = x 2 + 1

ภารกิจที่ 2 คำนวณพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยเส้น y = x 2 – 1, y = 0 ในช่วงตั้งแต่ 0 ถึง 1

สารละลาย.กราฟของฟังก์ชันนี้คือพาราโบลาของกิ่งก้านที่ชี้ขึ้น และพาราโบลาจะเลื่อนสัมพันธ์กับแกน O y ลงด้านล่างหนึ่งหน่วย (รูปที่ 2)

รูปที่ 2 กราฟของฟังก์ชัน y = x 2 – 1

ภารกิจที่ 3 วาดภาพและคำนวณพื้นที่ของภาพที่ล้อมรอบด้วยเส้น

y = 8 + 2x – x 2 และ y = 2x – 4

สารละลาย.เส้นแรกจากสองเส้นนี้คือพาราโบลาที่มีกิ่งก้านชี้ลง เนื่องจากสัมประสิทธิ์ x 2 เป็นลบ และเส้นที่สองเป็นเส้นตรงที่ตัดแกนพิกัดทั้งสองแกน

ในการสร้างพาราโบลา เราจะหาพิกัดของจุดยอดของมัน: y’=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – หักมุมของจุดยอด; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 คือจุดยอดของมัน N(1;9) คือจุดยอดของมัน

ตอนนี้ เรามาค้นหาจุดตัดของพาราโบลาและเส้นตรงโดยการแก้ระบบสมการ:

การทำให้ด้านขวาของสมการเท่ากันซึ่งด้านซ้ายจะเท่ากัน

เราได้ 8 + 2x – x 2 = 2x – 4 หรือ x 2 – 12 = 0 ดังนั้น .

ดังนั้น จุดเหล่านี้คือจุดตัดกันของพาราโบลาและเส้นตรง (รูปที่ 1)

รูปที่ 3 กราฟของฟังก์ชัน y = 8 + 2x – x 2 และ y = 2x – 4

ลองสร้างเส้นตรง y = 2x – 4 โดยมันจะผ่านจุด (0;-4), (2;0) บนแกนพิกัด

ในการสร้างพาราโบลา คุณสามารถใช้จุดตัดกับแกน 0x ได้ ซึ่งก็คือรากของสมการ 8 + 2x – x 2 = 0 หรือ x 2 – 2x – 8 = 0 การใช้ทฤษฎีบทของ Vieta เป็นเรื่องง่าย เพื่อหาราก: x 1 = 2, x 2 = 4

รูปที่ 3 แสดงรูป (ส่วนพาราโบลา M 1 N M 2) ที่ล้อมรอบด้วยเส้นเหล่านี้

ส่วนที่สองของปัญหาคือการหาพื้นที่ของรูปนี้ พื้นที่ของมันสามารถพบได้โดยใช้อินทิกรัลจำกัดเขตตามสูตร .

จากเงื่อนไขนี้ เราได้รับอินทิกรัล:

2 การคำนวณปริมาตรของตัวการหมุน

ปริมาตรของวัตถุที่ได้จากการหมุนเส้นโค้ง y = f(x) รอบแกน O x คำนวณโดยสูตร:

เมื่อหมุนรอบแกน O y สูตรจะมีลักษณะดังนี้:

ภารกิจที่ 4 หาปริมาตรของร่างกายที่ได้จากการหมุนของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่ล้อมรอบด้วยเส้นตรง x = 0 x = 3 และเส้นโค้ง y = รอบแกน O x

สารละลาย.มาวาดภาพกันเถอะ (รูปที่ 4)

รูปที่ 4 กราฟของฟังก์ชัน y =

ปริมาณที่ต้องการคือ

ภารกิจที่ 5 คำนวณปริมาตรของร่างกายที่ได้จากการหมุนของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้ง y = x 2 และเส้นตรง y = 0 และ y = 4 รอบแกน O y

สารละลาย.เรามี:

ทบทวนคำถาม

เราเริ่มพิจารณากระบวนการคำนวณเอง อินทิกรัลสองเท่าและทำความคุ้นเคยกับความหมายทางเรขาคณิตของมัน

อินทิกรัลคู่เป็นตัวเลขเท่ากับพื้นที่ของรูประนาบ (ขอบเขตของปริพันธ์) นี้ รูปแบบที่ง่ายที่สุดอินทิกรัลสองเท่า เมื่อฟังก์ชันของตัวแปรสองตัวมีค่าเท่ากับหนึ่ง:

ก่อนอื่นให้เราพิจารณาปัญหาใน มุมมองทั่วไป- ตอนนี้คุณจะประหลาดใจมากที่ทุกอย่างเรียบง่ายจริงๆ! ลองคำนวณพื้นที่ของรูปทรงแบนที่ล้อมรอบด้วยเส้น เพื่อความชัดเจน เราถือว่าในส่วนนั้น พื้นที่ของรูปนี้เท่ากับตัวเลข:

ลองพรรณนาพื้นที่ในรูปวาด:

เรามาเลือกวิธีแรกในการสำรวจพื้นที่:

ดังนั้น:

และเทคนิคทางเทคนิคที่สำคัญทันที: อินทิกรัลแบบวนซ้ำสามารถคำนวณแยกกันได้- ขั้นแรกอินทิกรัลด้านใน จากนั้นอินทิกรัลภายนอก วิธีการนี้ฉันขอแนะนำอย่างยิ่งให้กับผู้เริ่มต้นในเรื่องนี้

1) มาคำนวณอินทิกรัลภายในแล้วทำการอินทิเกรตกับตัวแปร "y":

อินทิกรัลไม่ จำกัดนี่เป็นวิธีที่ง่ายที่สุด จากนั้นจึงใช้สูตรนิวตัน-ไลบ์นิซแบบซ้ำๆ โดยมีข้อแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือ ขีดจำกัดของการรวมไม่ใช่ตัวเลข แต่เป็นฟังก์ชัน- ขั้นแรก เราแทนที่ขีดจำกัดบนลงใน “y” (ฟังก์ชันต้านอนุพันธ์) จากนั้นแทนที่ขีดจำกัดล่าง

2) ผลลัพธ์ที่ได้รับในย่อหน้าแรกจะต้องถูกแทนที่ด้วยอินทิกรัลภายนอก:

การแสดงโซลูชันทั้งหมดที่มีขนาดกะทัดรัดมากขึ้นมีลักษณะดังนี้:

สูตรผลลัพธ์ที่ได้ - นี่เป็นสูตรการทำงานในการคำนวณพื้นที่ของรูปทรงแบนโดยใช้ "สามัญ" อินทิกรัลที่แน่นอน- ดูบทเรียน การคำนวณพื้นที่โดยใช้อินทิกรัลจำกัดเขตเธออยู่ที่นั่นทุกย่างก้าว!

นั่นคือ ปัญหาการคำนวณพื้นที่โดยใช้อินทิกรัลสองเท่า ไม่แตกต่างกันมากนักจากปัญหาการหาพื้นที่โดยใช้อินทิกรัลจำกัดเขต!อันที่จริงมันก็เป็นสิ่งเดียวกัน!

ดังนั้นจึงไม่ควรเกิดปัญหาใด ๆ เกิดขึ้น! ฉันจะไม่ดูตัวอย่างมากนักเนื่องจากในความเป็นจริงคุณต้องเผชิญกับงานนี้ซ้ำแล้วซ้ำเล่า

ตัวอย่างที่ 9

สารละลาย:ลองพรรณนาพื้นที่ในรูปวาด:

ให้เราเลือกลำดับการเคลื่อนที่ของพื้นที่ดังต่อไปนี้:

ฉันจะไม่ขอกล่าวถึงวิธีสำรวจพื้นที่นี้อีกต่อไป เนื่องจากมีคำอธิบายโดยละเอียดอยู่ในย่อหน้าแรก

ดังนั้น:

ดังที่ฉันได้กล่าวไปแล้ว เป็นการดีกว่าสำหรับผู้เริ่มต้นในการคำนวณอินทิกรัลแบบวนซ้ำแยกกัน และฉันจะยึดวิธีเดิม:

1) ขั้นแรก โดยใช้สูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซ เราจัดการกับอินทิกรัลภายใน:

2) ผลลัพธ์ที่ได้รับในขั้นตอนแรกจะถูกแทนที่เป็นอินทิกรัลภายนอก:

จุดที่ 2 คือการหาพื้นที่ของรูประนาบโดยใช้อินทิกรัลจำกัดเขต

คำตอบ:

นี่เป็นงานที่โง่และไร้เดียงสา

ตัวอย่างที่น่าสนใจสำหรับโซลูชันอิสระ:

ตัวอย่างที่ 10

ใช้อินทิกรัลคู่คำนวณพื้นที่ของรูประนาบที่ล้อมรอบด้วยเส้น , ,

ตัวอย่างโดยประมาณการสรุปวิธีแก้ปัญหาเมื่อสิ้นสุดบทเรียน

ในตัวอย่างที่ 9-10 จะมีประโยชน์มากกว่ามากหากใช้วิธีการแรกในการสำรวจพื้นที่ อย่างไรก็ตาม ผู้อ่านที่อยากรู้อยากเห็นสามารถเปลี่ยนลำดับการสำรวจและคำนวณพื้นที่โดยใช้วิธีที่สองได้ หากคุณไม่ทำผิดพลาด คุณจะได้รับค่าพื้นที่เท่ากันโดยธรรมชาติ

แต่ในบางกรณี วิธีที่สองในการสำรวจพื้นที่นั้นมีประสิทธิภาพมากกว่า และเมื่อจบหลักสูตรของเด็กเนิร์ดแล้ว เรามาดูตัวอย่างเพิ่มเติมในหัวข้อนี้กัน:

ตัวอย่างที่ 11

ใช้อินทิกรัลคู่คำนวณพื้นที่ของรูประนาบที่ล้อมรอบด้วยเส้น

สารละลาย:เรากำลังรอคอยพาราโบลาสองอันที่มีมุมแหลมอยู่ข้างๆ ไม่จำเป็นต้องยิ้ม สิ่งที่คล้ายกันมักเกิดขึ้นบ่อยครั้งในปริพันธ์หลายรายการ

วิธีที่ง่ายที่สุดในการวาดภาพคืออะไร?

ลองจินตนาการถึงพาราโบลาที่อยู่ในรูปของฟังก์ชัน 2 ฟังก์ชัน:
– สาขาบนและ – สาขาล่าง

ในทำนองเดียวกัน ลองจินตนาการถึงพาราโบลาที่อยู่ในรูปบนและล่าง สาขา

ต่อไปคือการวางแผนกฎกราฟแบบ point-wise ส่งผลให้เกิดตัวเลขที่แปลกประหลาด:

เราคำนวณพื้นที่ของรูปโดยใช้อินทิกรัลสองเท่าตามสูตร:

จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเราเลือกวิธีแรกในการสำรวจพื้นที่? ประการแรก พื้นที่นี้จะต้องแบ่งออกเป็นสองส่วน และประการที่สอง เราจะสังเกตเห็นภาพที่น่าเศร้านี้: - แน่นอนว่าอินทิกรัลไม่ได้อยู่ในระดับที่ซับซ้อนมากนัก แต่... มีคำพูดทางคณิตศาสตร์เก่าๆ ที่ว่า ผู้ที่อยู่ใกล้รากเหง้าของตัวเองไม่จำเป็นต้องมีการทดสอบ

ดังนั้น จากความเข้าใจผิดที่ให้ไว้ในเงื่อนไข เราจึงแสดงฟังก์ชันผกผันได้:

ฟังก์ชันผกผันในตัวอย่างนี้ มีข้อได้เปรียบตรงที่สามารถระบุพาราโบลาทั้งหมดได้ในคราวเดียวโดยไม่มีใบ ลูกโอ๊ก กิ่งก้าน และรากใดๆ

ตามวิธีที่ 2 การเคลื่อนที่ผ่านพื้นที่จะเป็นดังนี้

ดังนั้น:

อย่างที่พวกเขาพูดรู้สึกถึงความแตกต่าง

1) เราจัดการกับอินทิกรัลภายใน:

เราแทนที่ผลลัพธ์เป็นอินทิกรัลภายนอก:

การบูรณาการเหนือตัวแปร “y” ไม่ควรทำให้เกิดความสับสน หากมีตัวอักษร “zy” การบูรณาการเข้ากับตัวแปรดังกล่าวจะดีมาก แม้ว่าผู้ที่อ่านบทเรียนย่อหน้าที่สอง วิธีการคำนวณปริมาตรของตัววัตถุที่หมุนเขาไม่ประสบกับความอึดอัดใจแม้แต่น้อยกับการบูรณาการตามวิธี "Y" อีกต่อไป

ให้ความสนใจกับขั้นตอนแรกด้วย: อินทิแกรนด์เป็นเลขคู่ และช่วงของอินทิเกรตมีความสมมาตรประมาณศูนย์ ดังนั้นส่วนสามารถลดลงครึ่งหนึ่งและผลลัพธ์สามารถเพิ่มเป็นสองเท่าได้ เทคนิคนี้มีความคิดเห็นโดยละเอียดในบทเรียน วิธีการที่มีประสิทธิภาพการคำนวณอินทิกรัลจำกัดจำนวน.

สิ่งที่ต้องเพิ่ม... ทั้งหมด!

คำตอบ:

หากต้องการทดสอบเทคนิคการรวมระบบ คุณสามารถลองคำนวณได้ - คำตอบควรจะเหมือนกันทุกประการ

ตัวอย่างที่ 12

ใช้อินทิกรัลคู่เพื่อคำนวณพื้นที่ของรูประนาบที่ล้อมรอบด้วยเส้น

นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง เป็นที่น่าสนใจที่จะทราบว่าหากคุณพยายามใช้วิธีแรกในการสำรวจพื้นที่ ตัวเลขจะไม่ต้องแบ่งออกเป็นสองอีกต่อไป แต่แบ่งออกเป็นสามส่วน! และด้วยเหตุนี้ เราได้อินทิกรัลซ้ำสามคู่ สิ่งนี้ก็เกิดขึ้นเช่นกัน

คลาสมาสเตอร์สิ้นสุดลงแล้ว และถึงเวลาที่จะก้าวไปสู่ระดับมาสเตอร์คลาส - วิธีการคำนวณอินทิกรัลสองเท่า? ตัวอย่างการแก้ปัญหา- ฉันจะพยายามไม่คลั่งไคล้ในบทความที่สอง =)

ฉันขอให้คุณประสบความสำเร็จ!

แนวทางแก้ไขและคำตอบ:

ตัวอย่างที่ 2:สารละลาย: ลองพรรณนาถึงพื้นที่ บนภาพวาด:

ให้เราเลือกลำดับการเคลื่อนที่ของพื้นที่ดังต่อไปนี้:

ดังนั้น:
มาดูฟังก์ชันผกผันกันดีกว่า:


ดังนั้น:
คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 4:สารละลาย: มาดูฟังก์ชั่นโดยตรงกันดีกว่า:


มาวาดรูปกันเถอะ:

มาเปลี่ยนลำดับการเคลื่อนที่ในพื้นที่กัน:

คำตอบ: