ปิรามิดหกเหลี่ยมปกติตัดกันด้วยระนาบที่ยื่นออกไปด้านหน้า อาร์แสดงในรูปที่. 180.

เช่นเดียวกับในตัวอย่างก่อนหน้านี้ การฉายภาพด้านหน้าของส่วนนี้เกิดขึ้นพร้อมกับการติดตามด้านหน้า

บ้าน พีวีเครื่องบิน. การฉายภาพแนวนอนและโปรไฟล์ของส่วนต่างๆ สร้างขึ้นโดยใช้จุดที่เป็นจุดตัดกันของระนาบ รมีขอบปิรามิด

ลักษณะที่ปรากฏจริงของรูปส่วนในตัวอย่างนี้ถูกกำหนดโดยวิธีการลงทะเบียน

การพัฒนาพื้นผิวด้านข้างของปิรามิดที่ถูกตัดทอนด้วยรูปทรงหน้าตัดและรูปทรงฐานจะแสดงในรูปที่ 1 180, ข.

ขั้นแรก มีการสร้างการสแกนปิรามิดที่ไม่ถูกตัดทอน ซึ่งใบหน้าทั้งหมดมีรูปทรงสามเหลี่ยมเหมือนกัน ทำเครื่องหมายจุดบนเครื่องบิน สล(ด้านบนของปิรามิด) จากนั้นให้วาดรูปส่วนโค้งของวงกลมที่มีรัศมีจากศูนย์กลาง อาร์เท่ากับความยาวจริงของขอบด้านข้างของพีระมิด ความยาวที่แท้จริงของขอบสามารถกำหนดได้จากการฉายโปรไฟล์ของปิรามิด เช่น ส่วนต่างๆ ส"อี"หรือ ส"ข",เนื่องจากขอบเหล่านี้ขนานกับระนาบ วและแสดงภาพตามความยาวจริง ถัดไปตามส่วนโค้งของวงกลมจากจุดใดก็ได้เช่น 1, หกส่วนที่เหมือนกันจะถูกปลดออก, เท่ากับความยาวจริงของด้านข้างของรูปหกเหลี่ยม - ฐานของปิรามิด ความยาวที่แท้จริงของด้านข้างของฐานของปิรามิดนั้นได้จากการฉายภาพแนวนอน (ส่วน เอบี)คะแนน ก 1 ...ฉ 1เชื่อมต่อกันด้วยเส้นตรงถึงจุดยอด s 1 จากนั้นจากด้านบน 1บนเส้นตรงเหล่านี้ ความยาวจริงของส่วนของขอบจนถึงระนาบการตัดจะถูกพล็อต

ในการฉายภาพโปรไฟล์ของปิรามิดที่ถูกตัดทอนจะมีความยาวจริงเพียงสองเท่านั้น

คม - ส"5และ ส"2.ความยาวจริงของส่วนที่เหลือถูกกำหนดโดยวิธีการหมุนรอบแกนที่ตั้งฉากกับระนาบ เอ็นและผ่านจุดยอด s เช่น โดยการหมุนส่วน ส"6"เกี่ยวกับแกนให้อยู่ในตำแหน่งที่ขนานกับระนาบ ว,เราได้ความยาวจริงของมันบนระนาบนี้ การทำเช่นนี้ก็เพียงพอแล้วผ่านประเด็น 6" ลากเส้นแนวนอนจนกระทั่งตัดกับความยาวจริงของขอบ เอส.อี.หรือ เอสบี.เซ็กเมนต์ ส"6 0″(ดูรูปที่ 180)

คะแนนที่ได้รับ 1 1 2 1 , 3 1 ฯลฯ เชื่อมต่อกับเส้นตรงและแนบรูปฐานและส่วนโดยใช้วิธีสามเหลี่ยม เส้นพับในการพัฒนาจะถูกวาดเป็นเส้นประที่มีจุดสองจุด

การสร้างภาพสามมิติของปิรามิดที่ถูกตัดทอนเริ่มต้นด้วยการสร้างภาพสามมิติของฐานของปิรามิดตามขนาดที่นำมาจากการฉายภาพแนวนอนของภาพวาดที่ซับซ้อน จากนั้นบนระนาบฐานตามพิกัดของจุดต่างๆ 1...6 กำลังก่อสร้าง การฉายภาพแนวนอนส่วนต่างๆ (ดูเส้นสีน้ำเงินบางๆ ในรูปที่ 180 ก, ค)เส้นตรงแนวตั้งจะถูกวาดจากจุดยอดของรูปหกเหลี่ยมที่เกิดขึ้นซึ่งมีการวางแผนพิกัดที่นำมาจากการฉายภาพด้านหน้าหรือโปรไฟล์ของปริซึมเช่นเซ็กเมนต์ เค ( , เค 2 , เค 3ฯลฯ คะแนนที่ได้รับ 1...6 เราเชื่อมต่อ เราได้รูปส่วน การเชื่อมต่อจุดต่างๆ 1...6 ด้วยจุดยอดของรูปหกเหลี่ยมซึ่งเป็นฐานของปิรามิด เราจะได้ภาพสามมิติของปิรามิดที่ถูกตัดทอน ขอบที่มองไม่เห็นจะแสดงด้วยเส้นประ

ตัวอย่างของส่วนของปิรามิดรูปทรงสามเหลี่ยมที่ไม่ปกติซึ่งมีระนาบยื่นด้านหน้าแสดงในรูปที่ 1 181.

ขอบทั้งหมดบนระนาบการฉายภาพทั้งสามลำถูกถ่ายทอดออกมาด้วยความบิดเบี้ยว การฉายภาพแนวนอน

ฐานแสดงถึงรูปลักษณ์ที่แท้จริง เนื่องจากฐานของปิรามิดตั้งอยู่บนเครื่องบิน เอ็น.

มุมมองที่ถูกต้อง 1 0 , 2 0 , 3 0 ของตัวเลขส่วนได้มาจากการเปลี่ยนระนาบการฉายภาพ ใน ในตัวอย่างนี้เครื่องบินฉายแนวนอน เอ็นแทนที่ด้วยระนาบใหม่ที่ขนานกับระนาบ ร;เพลาใหม่ x1รวมกับการติดตาม พี วี(รูปที่ 181, ก)

การพัฒนาพื้นผิวของปิรามิดมีโครงสร้างดังนี้ เมื่อใช้วิธีการหมุนจะพบความยาวจริงของขอบของปิรามิดและส่วนของมันจากฐานถึงระนาบการตัด ร.

เช่น ความยาวขอบตามจริง เอส.ซี.และส่วนของมัน นวเท่ากับความยาวของส่วนยื่นด้านหน้าตามลำดับ ส"ค"ขอบและส่วน c 1 ′ 3 1 หลังจากเลี้ยว

จากนั้นพวกเขาก็สร้างการพัฒนาของปิรามิดสามเหลี่ยมที่ผิดปกติ (รูปที่ 181, c) เมื่อต้องการทำเช่นนี้จากจุดใดก็ได้ สลากเส้นตรงไปที่แมว ทำเครื่องหมายความยาวจริงของซี่โครง เอส.เอ.จากจุด สสร้างรอยบากด้วยรัศมี R1,เท่ากับความยาวจริงของขอบ เอสบี,และจากจุดนั้นจะมีรอยบากที่มีรัศมี R2,เท่ากับด้านฐานของปิรามิด เอบี,ส่งผลให้เกิดจุด ข 1และขอบ ส 1 ข 1 1 .จากนั้นจากจุด สและ ข 1จากจุดกึ่งกลาง ให้สร้างเซอริฟที่มีรัศมีเท่ากับความยาวจริงของขอบ เอส.ซี.และด้านข้าง ดวงอาทิตย์ได้เปรียบ ส 1 ข 1 วิ 1ปิรามิด ขอบก็ถูกสร้างขึ้นเช่นกัน ส 1 วินาที 1 ถึง 1.

จากจุดต่างๆ ก 1 ข 1และ จาก 1วางความยาวที่แท้จริงของส่วนของกระดูกซี่โครงซึ่งใช้ในการฉายภาพด้านหน้า (ส่วนต่างๆ ก 1 ′1 1 ′, ข 1 ′2 1 ′, с 1 ′3 1 ′- โดยใช้วิธีการสามเหลี่ยม จะมีการแนบรูปฐานและส่วนต่างๆ เข้าด้วยกัน

หากต้องการสร้างการฉายภาพสามมิติของปิรามิดที่ถูกตัดทอน (รูปที่ 181, b) ให้วาดแกนมีมิติเท่ากัน เอ็กซ์ตามพิกัด ตและ nการสร้างฐานปิรามิด เอบีซีด้านฐาน เครื่องปรับอากาศขนานกับแกน เอ็กซ์หรือตรงกับแกน เอ็กซ์เช่นเดียวกับในตัวอย่างก่อนหน้านี้ ให้สร้าง การฉายภาพสามมิติการฉายภาพแนวนอนของภาพส่วน 1 2 2 2 3 2 (ใช้จุด I, III และ IV) จากจุดเหล่านี้เส้นตรงแนวตั้งจะถูกวาดโดยวางส่วนที่นำมาจากการฉายภาพด้านหน้าหรือโปรไฟล์ของปริซึม เค 1, เค 2และ เค 3.คะแนนที่ได้รับ 1 , 2, 3 เชื่อมต่อกันด้วยเส้นตรงถึงกันและถึงจุดยอดของฐาน

ปิระมิดคือรูปทรงหลายเหลี่ยมที่ประกอบด้วยรูปหลายเหลี่ยมแบน - ฐานของปิรามิด, จุดที่ไม่อยู่ในระนาบของฐาน - ด้านบนของปิรามิดและทุกส่วนที่เชื่อมต่อด้านบนของปิรามิดกับจุดของฐาน (รูปที่ 18)

ส่วนที่เชื่อมต่อด้านบนของปิรามิดกับจุดยอดของฐานเรียกว่าขอบด้านข้าง

พื้นผิวของปิรามิดประกอบด้วยฐานและด้านข้าง ใบหน้าแต่ละข้างเป็นรูปสามเหลี่ยม จุดยอดด้านหนึ่งคือยอดปิรามิด และด้านตรงข้ามคือด้านฐานของปิรามิด

ความสูงของปิรามิดนั้นตั้งฉากจากด้านบนของปิรามิดถึงระนาบของฐาน

พีระมิดจะเรียกว่า n-gonal ถ้าฐานของมันคือ n-gon ปิรามิดรูปสามเหลี่ยมเรียกอีกอย่างว่าจัตุรมุข

พีระมิดที่แสดงในรูปที่ 18 มีฐานของรูปหลายเหลี่ยม A1A2...ปลายของพีระมิด - S ขอบด้านข้าง - SA1, S A2, ..., S An, ใบหน้าด้านข้าง - SA1A2, SA2A3, ....

ต่อไปนี้ เราจะพิจารณาเฉพาะปิรามิดที่มีรูปหลายเหลี่ยมนูนที่ฐานเท่านั้น ปิรามิดดังกล่าวเป็นรูปหลายเหลี่ยมนูน

การก่อสร้างปิรามิดและส่วนเรียบของมัน

ตามกฎของการออกแบบแบบขนานจะมีการสร้างรูปปิรามิดดังนี้ ขั้นแรกให้สร้างรากฐาน นี่จะเป็นรูปหลายเหลี่ยมแบนๆ จากนั้นทำเครื่องหมายด้านบนของปิรามิดซึ่งเชื่อมต่อกันด้วยซี่โครงด้านข้างกับยอดฐาน รูปที่ 18 แสดงภาพปิรามิดห้าเหลี่ยม

ส่วนของปิรามิดโดยเครื่องบินที่บินผ่านยอดเป็นรูปสามเหลี่ยม (รูปที่ 19) โดยเฉพาะรูปสามเหลี่ยมเป็นส่วนที่เป็นเส้นทแยงมุม สิ่งเหล่านี้คือส่วนต่างๆ ของระนาบที่ผ่านขอบด้านข้างสองอันที่ไม่อยู่ติดกันของปิรามิด (รูปที่ 20)

ส่วนของปิรามิดข้างระนาบที่มีรอย g กำหนดไว้บนระนาบของฐานจะถูกสร้างขึ้นในลักษณะเดียวกับส่วนของปริซึม

ในการสร้างส่วนของปิรามิดด้วยระนาบ ก็เพียงพอที่จะสร้างจุดตัดของใบหน้าด้านข้างด้วยระนาบการตัด

หากบนใบหน้าไม่ขนานกับร่องรอย g จะทราบจุด A ของส่วนนั้นก่อนอื่นให้สร้างจุดตัดของร่องรอย g ของระนาบการตัดกับระนาบของใบหน้านี้ - จุด D ในรูปที่ 21 จุด D เชื่อมต่อกับจุด A ด้วยเส้นตรง จากนั้นส่วนของเส้นนี้ที่เป็นของใบหน้าคือจุดตัดของใบหน้านี้กับระนาบการตัด หากจุด A อยู่บนใบหน้าขนานกับเส้น g ระนาบการตัดจะตัดกันใบหน้านี้ตามส่วนที่ขนานกับเส้น g เมื่อย้ายไปที่ใบหน้าด้านข้างที่อยู่ติดกันพวกเขาสร้างจุดตัดกับระนาบการตัด ฯลฯ เป็นผลให้ได้ส่วนที่ต้องการของปิรามิด

ดังที่คุณทราบ ข้อสอบคณิตศาสตร์ใดๆ ก็ตามมีการแก้ปัญหาเป็นส่วนหลัก ความสามารถในการแก้ปัญหาเป็นตัวบ่งชี้หลักของระดับการพัฒนาทางคณิตศาสตร์

บ่อยครั้งในการสอบของโรงเรียนตลอดจนการสอบที่จัดขึ้นที่มหาวิทยาลัยและโรงเรียนเทคนิคมีหลายกรณีที่นักเรียนแสดง ผลลัพธ์ที่ดีในสาขาทฤษฎีผู้ที่รู้คำจำกัดความและทฤษฎีบทที่จำเป็นทั้งหมดจะสับสนเมื่อแก้ไขปัญหาง่ายๆ

ในช่วงปีการศึกษา นักเรียนแต่ละคนจะเป็นผู้ตัดสินใจ จำนวนมากงาน แต่งานเดียวกันนั้นมอบให้กับนักเรียนทุกคน และหากนักเรียนบางคนได้เรียนรู้ กฎทั่วไปและวิธีการแก้ปัญหา บ้างก็เจอปัญหาแบบที่ไม่คุ้นเคยก็ไม่รู้ด้วยซ้ำว่าจะแก้ไขอย่างไร

เหตุผลประการหนึ่งของสถานการณ์นี้คือในขณะที่นักเรียนบางคนเจาะลึกกระบวนการแก้ปัญหาและพยายามตระหนักและเข้าใจเทคนิคทั่วไปและวิธีการแก้ปัญหาเหล่านั้น แต่คนอื่นๆ กลับไม่ได้คิดถึงมันและพยายามแก้ไขปัญหาที่นำเสนออย่างรวดเร็ว เท่าที่จะทำได้

นักเรียนจำนวนมากไม่ได้วิเคราะห์ปัญหาที่กำลังแก้ไข และไม่ได้ระบุเทคนิคทั่วไปและวิธีการแก้ไข ในกรณีเช่นนี้ ปัญหาจะได้รับการแก้ไขเพื่อให้ได้คำตอบที่ต้องการเท่านั้น

ตัวอย่างเช่น นักเรียนหลายคนไม่รู้ด้วยซ้ำว่าสาระสำคัญของการแก้ปัญหาการก่อสร้างคืออะไร แต่ งานก่อสร้างเป็นงานบังคับในหลักสูตร Stereometry ปัญหาเหล่านี้ไม่เพียงแต่สวยงามและเป็นต้นฉบับในวิธีการแก้ปัญหาเท่านั้น แต่ยังมีคุณค่าในทางปฏิบัติอีกด้วย

ต้องขอบคุณงานก่อสร้างที่ทำให้ความสามารถในการจินตนาการทางจิตใจพัฒนาขึ้น รูปทรงเรขาคณิต, การคิดเชิงพื้นที่พัฒนาขึ้น การคิดเชิงตรรกะเช่นเดียวกับสัญชาตญาณทางเรขาคณิต ปัญหาการก่อสร้างจะพัฒนาทักษะการแก้ปัญหาเชิงปฏิบัติ

ปัญหาการก่อสร้างไม่ใช่เรื่องง่าย เนื่องจากไม่มีกฎหรืออัลกอริธึมเดียวในการแก้ปัญหา แต่ละ งานใหม่มีเอกลักษณ์เฉพาะตัวและต้องใช้แนวทางการแก้ปัญหาเฉพาะบุคคล

กระบวนการแก้ไขปัญหาการก่อสร้างเป็นลำดับของการก่อสร้างระดับกลางบางส่วนที่นำไปสู่เป้าหมาย

การก่อสร้างส่วนต่าง ๆ ของรูปทรงหลายเหลี่ยมขึ้นอยู่กับสัจพจน์ต่อไปนี้:

1) หากจุดสองจุดของเส้นตรงอยู่ในระนาบใดระนาบหนึ่ง เส้นทั้งหมดก็จะอยู่ในระนาบนี้

2) หากระนาบสองลำมีจุดร่วมกัน ระนาบทั้งสองจะตัดกันเป็นเส้นตรงที่ผ่านจุดนี้

ทฤษฎีบท:หากระนาบขนานสองระนาบตัดกันด้วยระนาบที่สาม เส้นตรงของจุดตัดจะขนานกัน

สร้างส่วนของรูปทรงหลายเหลี่ยมโดยมีระนาบที่ผ่านจุด A, B และ C ลองพิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้

วิธีการติดตาม

ฉัน.สร้าง ส่วนตัดขวางของปริซึมระนาบที่ผ่านเส้นตรงที่กำหนด g (ร่องรอย) บนระนาบของฐานหนึ่งของปริซึมและจุด A

กรณีที่ 1

จุด A เป็นของฐานอีกฐานหนึ่งของปริซึม (หรือหน้าขนานกับเส้น g) - ระนาบตัดตัดฐาน (หน้า) นี้ไปตามส่วน BC ขนานกับเส้น g .

กรณีที่ 2

จุด A อยู่ที่ด้านข้างของปริซึม:

ส่วน BC ของ AD เส้นตรงคือจุดตัดของด้านนี้กับระนาบการตัด

กรณีที่ 3

การสร้างส่วนของปริซึมสี่เหลี่ยมโดยมีระนาบผ่านเส้นตรง g ในระนาบฐานล่างของปริซึมและจุด A บนขอบด้านข้างด้านใดด้านหนึ่ง

ครั้งที่สองสร้าง ภาพตัดขวางของปิรามิดระนาบที่วิ่งผ่านเส้นตรงที่กำหนด g (ร่องรอย) บนระนาบฐานของปิรามิดและจุด A

ในการสร้างส่วนของปิรามิดด้วยระนาบ ก็เพียงพอที่จะสร้างจุดตัดของใบหน้าด้านข้างด้วยระนาบการตัด

กรณีที่ 1

หากจุด A เป็นของหน้าขนานกับเส้นตรง g ระนาบการตัดจะตัดใบหน้านี้ไปตามส่วน BC ขนานกับรอยของ g

กรณีที่ 2

หากจุด A ที่เป็นของส่วนนั้นตั้งอยู่บนใบหน้าที่ไม่ขนานกับใบหน้าของร่องรอย g ดังนั้น:

1) จุด D ถูกสร้างขึ้นโดยที่ระนาบของใบหน้าตัดกับร่องรอยที่กำหนด g

2) ลากเส้นตรงผ่านจุด A และ D

ส่วน BC ของ AD เส้นตรงคือจุดตัดของด้านนี้กับระนาบการตัด

ส่วนปลายของส่วน BC ก็เป็นของใบหน้าข้างเคียงด้วย ดังนั้น เมื่อใช้วิธีการที่อธิบายไว้ จึงสามารถสร้างจุดตัดของพื้นผิวเหล่านี้ด้วยระนาบการตัดได้ ฯลฯ

กรณีที่ 3

การสร้างส่วนของปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมโดยมีระนาบผ่านด้านข้างของฐานและจุด A ที่ขอบด้านข้างด้านใดด้านหนึ่ง

ปัญหาเกี่ยวกับการสร้างส่วนต่างๆ ผ่านจุดบนใบหน้า

1. สร้างส่วนของจัตุรมุข ABCD โดยระนาบที่ผ่านจุดยอด C และจุด M และ N บนใบหน้า ACD และ ABC ตามลำดับ

จุด C และ M อยู่บนใบหน้า ACD ซึ่งหมายความว่าเส้นตรง CM อยู่ในระนาบของใบหน้านี้ (รูปที่ 1)

ให้ P เป็นจุดตัดของเส้นตรง CM และ AD ในทำนองเดียวกัน จุด C และ N อยู่ที่หน้า ACB ซึ่งหมายความว่าเส้นตรง CN อยู่ในระนาบของใบหน้านี้ ให้ Q เป็นจุดตัดของเส้น CN และ AB จุด P และ Q เป็นของทั้งระนาบหน้าตัดและหน้า ABD ดังนั้น PQ ของส่วนคือด้านข้างของส่วน ดังนั้น CPQ ของสามเหลี่ยมจึงเป็นส่วนที่จำเป็น

2. สร้างส่วนของจัตุรมุข ABCD โดยระนาบ MPN โดยที่จุด M, N, P อยู่ตามลำดับบนขอบ AD ในหน้า BCD และในหน้า ABC และ MN ไม่ขนานกับระนาบของหน้า ABC (รูปที่ 2).

ยังมีคำถามอยู่ใช่ไหม? ไม่ทราบวิธีสร้างภาพตัดขวางของรูปทรงหลายเหลี่ยมใช่หรือไม่
เพื่อขอความช่วยเหลือจากครูสอนพิเศษ -.
บทเรียนแรกฟรี!

blog.site เมื่อคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มาดั้งเดิม

ในการสร้างขนาดตามธรรมชาติของภาพหน้าตัด (รูปที่ 4) จะใช้วิธีการเปลี่ยนระนาบการฉายภาพ ระนาบ H1 ซึ่งขนานกับระนาบ P และตั้งฉากกับระนาบ V ถูกนำมาใช้เป็นระนาบเพิ่มเติม ผลลัพธ์ที่ได้ของเส้นโครงรูปสามเหลี่ยม1 1 2 1 3 1 คือขนาดธรรมชาติของรูปหน้าตัด

ปิรามิดพร้อมคัตเอาท์

เป็นตัวอย่างในการสร้างส่วนต่างๆ ของรูปทรงหลายเหลี่ยมโดยใช้ระนาบหลายระนาบ ให้พิจารณาการสร้างปิรามิดที่มีช่องเจาะซึ่งประกอบขึ้นจากระนาบสามระนาบ ได้แก่ P, R และ T (รูปที่ 5)

ระนาบ P ขนานกับระนาบการฉายภาพแนวนอน ตัดกับพื้นผิวของปิรามิดตามรูปห้าเหลี่ยม 1-2-3-K-6

บนระนาบการฉายภาพแนวนอน ด้านข้างของรูปห้าเหลี่ยมขนานกับเส้นโครงด้านข้างของฐานปิรามิด เมื่อสร้างเส้นโครงแนวนอนของรูปห้าเหลี่ยมแล้ว ให้ทำเครื่องหมายจุดที่ 4 และ 5

ระนาบฉายภาพด้านหน้า R ตัดกับปิรามิดตามรูปห้าเหลี่ยม 1-2-7-8-9 ในการค้นหาเส้นโครงแนวนอนของจุดที่ 8 และ 9 เราจะวาดเครื่องกำเนิด SM และ SN เพิ่มเติมผ่านจุดเหล่านั้น ขั้นแรกในการฉายภาพด้านหน้า - s ′ m ′ และ s ′ n ′ จากนั้นในการฉายภาพแนวนอน - sm และ sn

ระนาบฉายภาพด้านหน้า Τ ตัดกับปิรามิดในห้าส่วน

สี่เหลี่ยม 5-4-8-9-10

เมื่อสร้างการฉายภาพแนวนอนของคัตเอาท์แล้ว เราจะสร้างการฉายภาพโปรไฟล์

การสร้างเส้นโครงของเส้นตัดของทรงกระบอกกับระนาบ

เมื่อกระบอกหมุนถูกตัดกันโดยระนาบขนานกับแกนหมุน จะได้เส้นตรงคู่หนึ่ง (เครื่องกำเนิดไฟฟ้า รูปที่ 6) ในหน้าตัด หากระนาบการตัดตั้งฉากกับแกนการหมุน ผลลัพธ์ของส่วนจะเป็นวงกลม (รูปที่ 7) ในกรณีทั่วไป เมื่อระนาบการตัดเอียงไปที่แกนการหมุนของกระบอกสูบ จะได้วงรีในส่วน (รูปที่ 8)	ลองดูตัวอย่าง			การสร้างเส้นโครงเส้นหน้าตัด
		กระบอก
		หน้าผาก-
		กำลังฉาย
		มีวงรี (รูปที่ 9)
		หน้าผาก
		ของเส้นแบ่งในส่วนนี้
		กรณีเกิดขึ้นพร้อมกับด้านหน้า-
		ร่องรอยของเครื่องบิน
		Qv และแนวนอน − с
		การฉายภาพแนวนอน
		พื้นผิว	การสร้างเส้นโครงเส้นหน้าตัด
		วงกลม.	ประวัติโดยย่อ
		การฉายเส้น		อยู่ระหว่างการก่อสร้าง
		ตามสองโปรที่มีอยู่

ส่วน - แนวนอนและหน้าผาก

ในกรณีทั่วไป การสร้างเส้นตัดกันของพื้นผิวด้วยระนาบลงมาเพื่อค้นหาจุดร่วมที่อยู่พร้อมกันของระนาบการตัดและพื้นผิว

หากต้องการค้นหาจุดเหล่านี้ ให้ใช้วิธีการตัดระนาบเพิ่มเติม:

1. มีการวาดระนาบเพิ่มเติม

2. เส้นตัดกันของระนาบเพิ่มเติมกับพื้นผิวและระนาบเพิ่มเติมกับระนาบที่กำหนดถูกสร้างขึ้น

3. จุดตัดของเส้นผลลัพธ์จะถูกกำหนด

มีการวาดระนาบเพิ่มเติมในลักษณะที่ตัดกันพื้นผิวตามเส้นที่ง่ายที่สุด

การค้นหาจุดของเส้นตัดกันเริ่มต้นด้วยการระบุจุดลักษณะ (อ้างอิง) ซึ่งรวมถึง:

1. จุดบนและจุดล่าง;

2. จุดซ้ายและขวา

3. จุดขอบเขตการมองเห็น

4. จุดที่แสดงลักษณะของเส้นตัดกันนี้ (สำหรับวงรี− จุดของแกนหลักและแกนรอง)

เพื่อให้สร้างเส้นตัดได้แม่นยำยิ่งขึ้น จำเป็นต้องสร้างจุดเพิ่มเติม (ตรงกลาง) ด้วย

ในตัวอย่างที่กำลังพิจารณา จุดที่ 1 และ 8 คือจุดล่างและจุดบน สำหรับการฉายภาพแนวนอนและด้านหน้า จุดที่ 1 จะเป็นจุดซ้าย จุดที่ 8 จะอยู่ทางขวา สำหรับการฉายภาพโปรไฟล์ จุดที่ 4 และ 5 คือจุดขอบเขตการมองเห็น: จุดที่ต่ำกว่าจุดที่ 4 และ 5 บนการฉายภาพโปรไฟล์จะมองเห็นได้ ส่วนจุดอื่นๆ ทั้งหมดจะไม่เห็น

คะแนนเพิ่มเติม 2, 3 และ 6, 7 ซึ่งกำหนดไว้เพื่อความแม่นยำในการก่อสร้างที่มากขึ้น การฉายโปรไฟล์ของรูปหน้าตัดเป็นรูปวงรี แกนรองคือส่วนที่ 1-8 แกนหลักคือ 4-5

การสร้างเส้นโครงของเส้นตัดของกรวยกับระนาบ

ขึ้นอยู่กับทิศทางของระนาบการตัดในส่วนของกรวยการปฏิวัติ สามารถรับเส้นต่างๆ ที่เรียกว่าเส้นของส่วนทรงกรวย

หากระนาบการตัดผ่านจุดยอดของกรวย จะได้เส้นตรงคู่หนึ่งในส่วนนั้น - ก่อตัวเป็นรูปสามเหลี่ยม (รูปที่ 10, a) จากการที่จุดตัดของกรวยกับระนาบที่ตั้งฉากกับแกนของกรวยจะได้วงกลม (รูปที่ 10, b) หากระนาบการตัดเอียงกับแกนการหมุนของกรวยและไม่ผ่านจุดยอดของมัน ส่วนตัดขวางของกรวยอาจส่งผลให้เกิดวงรี พาราโบลา หรือไฮเปอร์โบลา (รูปที่ 10, c, d, e) ขึ้นอยู่กับ มุมเอียงของระนาบการตัด

จะได้วงรีเมื่อมุม β ของความเอียงของระนาบการตัดน้อยกว่ามุมเอียง α ของยีนของกรวยถึงฐาน (β< α) , то есть когда плоскость пересекает все образующие данного конуса (рис. 10, в).

หากมุม α และ β เท่ากัน นั่นคือระนาบการตัดขนานกับหนึ่งในยีนของกรวย จะได้พาราโบลาในส่วน (รูปที่ 10, d)

หากระนาบการตัดหันไปในมุมที่แตกต่างกันภายใน 90° β>α จะได้ไฮเปอร์โบลาในส่วนนั้น ในกรณีนี้ประการที่สอง

ระนาบปัจจุบันขนานกับยีนทั้งสองของกรวย ไฮเปอร์โบลามีสองกิ่ง เนื่องจากพื้นผิวทรงกรวยมีสองชั้น (รูปที่ 10, e)

		เป็นที่รู้กันว่าจุดนั้นเป็นของพื้นผิว
		sti หากเป็นของบรรทัดใด ๆ
		พื้นผิว สำหรับกรวยที่มีกราฟิกมากที่สุด
		เส้นธรรมดาก็คือเส้นตรง (ขึ้นรูป
		schies) และแวดวง ดังนั้นถ้าตามแบบแผน
		ปัญหาต้องค้นหาแนวโปร-
		เส้นโครงของจุด A และ B ที่เป็นของพื้นผิว
		กรวย จากนั้นคุณจะต้องวาดจุดใดจุดหนึ่งผ่านจุดนั้น
		เส้นเหล่านี้
		ลองหาเส้นโครงแนวนอนของจุด A กัน
		การใช้เครื่องกำเนิดไฟฟ้า เมื่อต้องการทำเช่นนี้ผ่านจุด A
		และจุดยอดของกรวย S เราวาดจุดเสริม
		ระนาบที่ฉายด้านหน้า P(Pv) เราจะพบ B นี้โดยสร้างวงกลมที่มันอยู่ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้วาดระนาบแนวนอน T(Tv) ผ่านจุดนั้น ระนาบตัดกรวยตามวงกลมรัศมี r เราสร้างเส้นโครงแนวนอนของวงกลมนี้ ผ่านจุด b ′ เราวาดเส้นเชื่อมต่อจนกระทั่งมันตัดกับวงกลม ปัญหายังมีสองคำตอบ - แน่นอน คิ บี 1 และ บี 2 ลองพิจารณาตัวอย่างการสร้างเส้นโครงของเส้นตัดของกรวยด้วยระนาบที่ฉายด้านหน้า P(Pv) เมื่อได้วงรีในส่วน (รูปที่ 12) เส้นโครงส่วนหน้าของเส้นส่วนเกิดขึ้นพร้อมกับเส้นโครงด้านหน้าของระนาบ Pv เพื่อความสะดวกในการแก้ปัญหา ให้เรากำหนดตัวกำเนิดสุดขั้วของกรวยและกำหนดจุดคุณลักษณะ (อ้างอิง) จุดล่าง 1 อยู่บนเครื่องกำเนิด AS จุดบน 2 บนเครื่องกำเนิด B S จุดเหล่านี้จะกำหนดตำแหน่งของแกนหลักของวงรี แกนรองของวงรีตั้งฉากกับแกนเอก หากต้องการค้นหาแกนรอง ให้แบ่งส่วนที่ 1-2 ออกเป็นสองส่วน จุดที่ 3 และ 4 กำหนดแกนรองของวงรี จุดที่ 5 และ 6 ที่อยู่บนเครื่องกำเนิดไฟฟ้า CS และ DS คือจุดขอบเขตการมองเห็นสำหรับระนาบการฉายภาพโปรไฟล์ เส้นโครงของจุดที่ 1, 2, 5 และ 6 อยู่บนเส้นโครงที่สอดคล้องกันของเครื่องกำเนิดไฟฟ้า ในการค้นหาเส้นโครงของจุดที่ 3 และ 4 เราจะวาดระนาบการตัดเพิ่มเติม T(Tv) ซึ่งจะตัดกรวยไปตามวงกลมรัศมี r บนวงกลมนี้มีเส้นโครงของจุดเหล่านี้ บนระนาบแนวนอนของการฉายภาพ วงกลมที่ฉาย

พีระมิด ปิรามิดที่ถูกตัดทอน

พีระมิดเป็นรูปหลายเหลี่ยมซึ่งมีใบหน้าหนึ่งเป็นรูปหลายเหลี่ยม ( ฐาน ) และใบหน้าอื่นๆ ทั้งหมดเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดร่วม ( ใบหน้าด้านข้าง ) (รูปที่ 15) ปิรามิดมีชื่อว่า ถูกต้อง หากฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติและด้านบนของปิรามิดถูกฉายเข้าตรงกลางฐาน (รูปที่ 16) เรียกว่าปิรามิดสามเหลี่ยมซึ่งมีขอบทุกด้านเท่ากัน จัตุรมุข .

ซี่โครงด้านข้างของปิระมิดคือด้านของหน้าด้านข้างที่ไม่เป็นฐาน ความสูง พีระมิดคือระยะห่างจากยอดถึงระนาบฐาน ขอบด้านข้างของปิรามิดปกติเท่ากันทุกด้าน ใบหน้าด้านข้างทั้งหมดมีรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วเท่ากัน เรียกว่าความสูงของใบหน้าด้านข้างของปิรามิดปกติที่ดึงมาจากจุดยอด ระยะกึ่งกลางของตำแหน่ง . ส่วนแนวทแยง เรียกว่าส่วนของปิรามิดโดยเครื่องบินที่วิ่งผ่านขอบด้านข้างทั้งสองซึ่งไม่อยู่ในหน้าเดียวกัน

พื้นที่ผิวด้านข้างพีระมิดคือผลรวมของพื้นที่ของใบหน้าด้านข้างทั้งหมด พื้นที่ เต็มพื้นผิว เรียกว่าผลรวมของพื้นที่หน้าด้านและฐานทั้งหมด

ทฤษฎีบท

1. ถ้าในปิรามิด ขอบด้านข้างทั้งหมดเอียงกับระนาบของฐานเท่ากัน ดังนั้น ยอดของปิรามิดจะถูกฉายไปที่กึ่งกลางของวงกลมที่ล้อมรอบใกล้กับฐาน

2. ถ้าขอบด้านข้างทั้งหมดของปิรามิดมีความยาวเท่ากัน ยอดของปิรามิดจะยื่นออกมาที่กึ่งกลางของวงกลมที่ล้อมรอบฐานไว้

3. หากใบหน้าทั้งหมดในปิรามิดเอียงไปในระนาบของฐานเท่าๆ กัน ยอดของปิรามิดจะถูกฉายไปที่ศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้ในฐาน

ในการคำนวณปริมาตรของปิรามิดตามอำเภอใจ สูตรที่ถูกต้องคือ:

ที่ไหน วี- ปริมาณ;

ฐานเอส– พื้นที่ฐาน

ชม– ความสูงของปิรามิด

สำหรับปิรามิดปกติ สูตรต่อไปนี้ถูกต้อง:

ที่ไหน พี– เส้นรอบฐานฐาน

ฮา– ระยะกึ่งกลาง;

ชม- ความสูง;

สเต็มเลย

ด้านเอส

ฐานเอส– พื้นที่ฐาน

วี– ปริมาตรของปิระมิดปกติ

ปิรามิดที่ถูกตัดทอนเรียกว่าส่วนของปิรามิดที่อยู่ระหว่างฐานกับระนาบตัดขนานกับฐานของปิรามิด (รูปที่ 17) ปิรามิดที่ถูกตัดทอนปกติ เป็นส่วนหนึ่งของปิรามิดปกติที่อยู่ระหว่างฐานกับระนาบตัดขนานกับฐานของปิระมิด

บริเวณปิรามิดที่ถูกตัดทอน - รูปหลายเหลี่ยมที่คล้ายกัน หน้าด้านข้าง – สี่เหลี่ยมคางหมู ความสูง ของปิรามิดที่ถูกตัดทอนคือระยะห่างระหว่างฐานของมัน เส้นทแยงมุม ปิรามิดที่ถูกตัดทอนเป็นส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดซึ่งไม่ได้อยู่บนใบหน้าเดียวกัน ส่วนแนวทแยง คือส่วนของปิรามิดที่ถูกตัดทอนโดยระนาบที่ผ่านขอบด้านข้างทั้งสองซึ่งไม่ได้อยู่ในหน้าเดียวกัน

สำหรับปิรามิดที่ถูกตัดทอน สูตรต่อไปนี้ใช้ได้:

(4)

ที่ไหน ส 1 , ส 2 – พื้นที่ฐานบนและล่าง

สเต็มเลย– พื้นที่ผิวทั้งหมด

ด้านเอส– พื้นที่ผิวด้านข้าง

ชม- ความสูง;

วี– ปริมาตรของปิรามิดที่ถูกตัดทอน

สำหรับปิรามิดที่ถูกตัดทอนปกติ สูตรถูกต้อง:

ที่ไหน พี 1 , พี 2 – เส้นรอบวงของฐาน;

ฮา– ระยะกึ่งกลางของปิรามิดที่ถูกตัดทอนปกติ

ตัวอย่างที่ 1ในปิรามิดสามเหลี่ยมปกติ มุมไดฮีดรัลที่ฐานคือ 60° ค้นหาแทนเจนต์ของมุมเอียงของขอบด้านข้างกับระนาบของฐาน

สารละลาย.มาวาดรูปกันเถอะ (รูปที่ 18)

ปิระมิดเป็นแบบปกติ ซึ่งหมายความว่าที่ฐานจะมีสามเหลี่ยมด้านเท่าและใบหน้าด้านข้างทั้งหมดมีสามเหลี่ยมหน้าจั่วเท่ากัน มุมไดฮีดรัลที่ฐาน - นี่คือมุมเอียงของด้านข้างของปิรามิดกับระนาบของฐาน มุมเชิงเส้นก็จะมีมุมหนึ่ง กระหว่างสองตั้งฉาก: ฯลฯ ด้านบนของปิรามิดถูกฉายไว้ที่ศูนย์กลางของรูปสามเหลี่ยม (ศูนย์กลางของเส้นรอบวงวงกลมและวงกลมที่จารึกไว้ของรูปสามเหลี่ยม เอบีซี- มุมเอียงของขอบด้านข้าง (เช่น เอส.บี.) คือมุมระหว่างขอบกับส่วนที่ยื่นออกมาบนระนาบของฐาน สำหรับซี่โครงนั้น เอส.บี.มุมนี้จะเป็นมุม ส.บ- หากต้องการหาแทนเจนต์คุณต้องรู้ขา ดังนั้นและ โอ.บี.- ให้ความยาวของส่วน บีดีเท่ากับ 3 ก- จุด เกี่ยวกับส่วน บีดีแบ่งออกเป็นส่วนๆ และจากที่เราพบ ดังนั้น: จากที่เราพบ:

คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 2ค้นหาปริมาตรของปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ถูกตัดทอนปกติ หากเส้นทแยงมุมของฐานเท่ากับ ซม. และ ซม. และมีความสูง 4 ซม.

สารละลาย.ในการหาปริมาตรของปิรามิดที่ถูกตัดทอน เราใช้สูตร (4) ในการหาพื้นที่ของฐาน คุณต้องค้นหาด้านข้างของฐานสี่เหลี่ยมโดยรู้เส้นทแยงมุม ด้านข้างของฐานเท่ากับ 2 ซม. และ 8 ซม. ตามลำดับ ซึ่งหมายถึงพื้นที่ของฐานและการแทนที่ข้อมูลทั้งหมดลงในสูตร เราจะคำนวณปริมาตรของปิรามิดที่ถูกตัดทอน:

คำตอบ: 112 ซม.3.

ตัวอย่างที่ 3ค้นหาพื้นที่ของใบหน้าด้านข้างของปิรามิดที่ถูกตัดทอนเป็นรูปสามเหลี่ยมปกติ ด้านข้างของฐานคือ 10 ซม. และ 4 ซม. และความสูงของปิรามิดคือ 2 ซม.

สารละลาย.มาวาดรูปกันเถอะ (รูปที่ 19)

ใบหน้าด้านข้างของปิระมิดนี้คือ สี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว- ในการคำนวณพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู คุณจำเป็นต้องรู้ฐานและความสูง ฐานจะให้ตามเงื่อนไข ไม่ทราบส่วนสูงเท่านั้น เราจะพบเธอจากที่ไหน ก 1 อีตั้งฉากจากจุดหนึ่ง ก 1 บนระนาบฐานล่าง ก 1 ดี– ตั้งฉากจาก ก 1 ต่อ เครื่องปรับอากาศ. ก 1 อี= 2 ซม. เนื่องจากนี่คือความสูงของปิรามิด เพื่อค้นหา เดมาสร้างภาพวาดเพิ่มเติมเพื่อแสดงมุมมองด้านบน (รูปที่ 20) จุด เกี่ยวกับ– การฉายภาพกึ่งกลางฐานบนและล่าง เนื่องจาก (ดูรูปที่ 20) และในทางกลับกัน ตกลง– รัศมีที่จารึกไว้ในวงกลมและ โอม– รัศมีที่เขียนไว้ในวงกลม:

เอ็มเค = DE.

ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัสจาก

บริเวณใบหน้าด้านข้าง:

คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 4ที่ฐานของปิรามิดมีสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วซึ่งมีฐานอยู่ กและ ข (ก> ข- ใบหน้าแต่ละด้านมีมุมเท่ากับระนาบฐานของปิรามิด เจ- หาพื้นที่ผิวทั้งหมดของปิรามิด

สารละลาย.มาวาดรูปกันเถอะ (รูปที่ 21) พื้นที่ผิวทั้งหมดของปิรามิด SABCDเท่ากับผลรวมของพื้นที่และพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู เอบีซีดี.

ให้เราใช้ข้อความที่ว่าถ้าทุกด้านของปิรามิดเอียงไปทางระนาบของฐานเท่ากัน จุดยอดจะถูกฉายไปที่ศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้ในฐาน จุด เกี่ยวกับ– การฉายภาพจุดยอด สที่ฐานของปิรามิด สามเหลี่ยม เอสโอดีคือเส้นโครงตั้งฉากของรูปสามเหลี่ยม ซีเอสดีไปจนถึงระนาบของฐาน โดยทฤษฎีบทเรื่องพื้นที่ฉายภาพมุมฉาก รูปร่างแบนเราได้รับ:

หมายความเช่นเดียวกัน ปัญหาจึงลดลงเหลือเพียงการหาพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู เอบีซีดี- มาวาดรูปสี่เหลี่ยมคางหมูกัน เอบีซีดีแยกกัน (รูปที่ 22) จุด เกี่ยวกับ– จุดศูนย์กลางของวงกลมถูกจารึกไว้ในสี่เหลี่ยมคางหมู

เนื่องจากวงกลมสามารถเขียนเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูได้ ดังนั้น หรือ จากทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่เรามี