วันที่: ________________

หัวเรื่อง: พีชคณิต

หัวข้อ: “วิธีกราฟิกสำหรับการแก้ระบบสมการ”

เป้าหมาย:ใช้กราฟเพื่อแก้ระบบสมการ

งาน:

ทางการศึกษา: สอนการแก้ระบบสมการเชิงเส้นด้วยตัวแปรสองตัวแบบกราฟิก

พัฒนาการ: การพัฒนาความสามารถในการวิจัยของนักเรียน การควบคุมตนเอง การพูด

การให้ความรู้: ส่งเสริมวัฒนธรรมการสื่อสารและความถูกต้อง

ประเภทบทเรียน:รวมกัน

รูปร่าง:สำรวจหน้าผาก ทำงานเป็นคู่

ความคืบหน้าของบทเรียน:

เวทีองค์กร การรายงานหัวข้อบทเรียน การกำหนดเป้าหมายบทเรียน(จดวันที่และหัวข้อลงในสมุดบันทึกของคุณ)

การทำซ้ำและการรวมวัสดุที่ครอบคลุม:

1. ตรวจการบ้าน (วิเคราะห์ปัญหาที่ยังไม่แก้ไข);

   การควบคุมการดูดซึมวัสดุ:

ตัวเลือก #1	ตัวเลือกหมายเลข 2
สร้างกราฟฟังก์ชัน: (xy-1)(x+1)=0 (x-2) 2 + (y+1) 2 =4	สร้างกราฟฟังก์ชัน: (xy+1)(y-1)=0 (x-1) 2 + (y+2) 2 =4

อัพเดตความรู้พื้นฐาน:

นิยามของสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรสองตัว

ข้อใดคือคำตอบของสมการเชิงเส้นในตัวแปรสองตัว

กราฟของสมการเชิงเส้นของตัวแปรสองตัวเรียกว่าอะไร?

กราฟของสมการเชิงเส้นในตัวแปรสองตัวคืออะไร?

เส้นหนึ่งกำหนดได้กี่จุด?

การแก้ระบบสมการหมายความว่าอย่างไร?

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นในตัวแปรสองตัวเรียกว่าอะไร?

เส้นตรงสองเส้นในเครื่องบินตัดกันเมื่อใด

เมื่อใดเส้นตรงสองเส้นในระนาบขนานกัน?

เส้นตรงสองเส้นในระนาบตรงกันเมื่อใด

การเรียนรู้เนื้อหาใหม่:

ลองพิจารณาดู ระบบสมการสองสมการที่มีไม่ทราบค่าสองตัว. โดยการตัดสินใจระบบสมการเรียกว่า ค่าสองสามค่าตัวแปร ใครเป็นคนจ่าย แต่ละสมการของระบบให้มีความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง. การแก้ระบบสมการหมายถึงการค้นหาคำตอบทั้งหมดหรือการพิสูจน์ว่าไม่มีคำตอบ

หนึ่งในวิธีที่มีประสิทธิภาพและเป็นภาพในการแก้และศึกษาสมการและระบบสมการ วิธีกราฟิก

อัลกอริทึมสำหรับพล็อตสมการที่มีตัวแปรสองตัว

แสดงตัวแปร y ในรูปของ x

“รับ” จุดที่กำหนดกราฟ

วาดกราฟสมการ

อัลกอริทึมสำหรับการแก้ระบบสมการที่มีตัวแปรสองตัวแบบกราฟิก

สร้างกราฟของแต่ละสมการของระบบ

ค้นหาพิกัดของจุดตัด

เขียนคำตอบ.

ตัวอย่าง 1

มาแก้ระบบสมการกัน:

ให้เราสร้างกราฟของระบบพิกัดแรกในระบบพิกัดเดียว เอ็กซ์ 2 + ปี 2 = 25
(วงกลม) และวินาที เอ็กซ์ซี= 12 (ไฮเปอร์โบลา) สมการ เป็นที่ชัดเจนว่า
กราฟสมการตัดกันที่จุดสี่จุด ก(3; 4), ใน(4; 3)
ค(-3;-4) และ ง(-4; 3) ซึ่งมีพิกัดเป็นคำตอบ
ระบบเดียว

ต
เนื่องจากสามารถหาวิธีแก้ปัญหาได้อย่างแม่นยำโดยใช้วิธีการแบบกราฟิก จึงต้องตรวจสอบด้วยวิธีทดแทน

การตรวจสอบแสดงให้เห็นว่าระบบมีวิธีแก้ปัญหาสี่วิธี: (3;4),(4;3),(-3;-4),(-4;-3)

การมอบหมายบทเรียน:ลำดับที่ 415 (ข); ลำดับที่ 416; ลำดับที่ 419 (ข); หมายเลข 420 (ข); หมายเลข 421 (ก, ข); ลำดับที่ 422(ก); ลำดับที่ 424(ข); ลำดับที่ 426 หน้า 115-117.

สรุป (การประเมิน)

การสะท้อนกลับ

ให้เราทำซ้ำอัลกอริทึมสำหรับการแก้ระบบสมการแบบกราฟิก

ระบบสมการสามารถมีคำตอบได้กี่คำตอบ?

ใครบ้างที่เรียนการแก้ระบบสมการแบบกราฟิก?

ใครไม่ได้เรียนบ้าง?

มีใครสงสัยอีกบ้าง?

ยกมือขึ้น ใครชอบบทเรียนบ้าง? ใครไม่? ใครไม่แยแส?

การบ้าน:§18 หน้า 114-115 เรียนรู้กฎเกณฑ์

§17 หน้า 108-110 ทำซ้ำกฎเกณฑ์

บทเรียนวิดีโอ "วิธีกราฟิกสำหรับการแก้ระบบสมการ" นำเสนอสื่อการเรียนรู้สำหรับการเรียนรู้หัวข้อนี้ เนื้อหาประกอบด้วยแนวคิดทั่วไปของการแก้ระบบสมการ ตลอดจนคำอธิบายโดยละเอียดโดยใช้ตัวอย่างวิธีการแก้ระบบสมการแบบกราฟิก

อุปกรณ์ช่วยด้วยภาพใช้แอนิเมชั่นเพื่อทำให้การก่อสร้างสะดวกและเข้าใจได้มากขึ้น รวมถึงวิธีต่างๆ ในการเน้นแนวคิดและรายละเอียดที่สำคัญเพื่อความเข้าใจในเชิงลึกของวัสดุและการจดจำที่ดีขึ้น

บทเรียนวิดีโอเริ่มต้นด้วยการแนะนำหัวข้อ นักเรียนจะได้รับการเตือนว่าระบบสมการคืออะไร และระบบสมการใดที่พวกเขาคุ้นเคยอยู่แล้วในชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 ก่อนหน้านี้ นักเรียนจะต้องแก้ระบบสมการในรูป ax+by=c เพิ่มแนวคิดของการแก้ระบบสมการให้ลึกซึ้งยิ่งขึ้นและเพื่อพัฒนาความสามารถในการแก้สมการ บทเรียนวิดีโอนี้จะตรวจสอบการแก้ของระบบที่ประกอบด้วยสมการสองสมการในระดับที่สอง รวมถึงสมการหนึ่งระดับที่สองและสมการที่สอง ระดับแรก เรานึกถึงสิ่งที่การแก้ระบบสมการคืออะไร คำจำกัดความของการแก้ปัญหาของระบบเป็นคู่ของค่าของตัวแปรที่กลับสมการของมันเมื่อแทนที่เป็นความเท่าเทียมกันที่ถูกต้องจะแสดงบนหน้าจอ ตามคำจำกัดความของโซลูชันระบบ มีการระบุงาน จะแสดงบนหน้าจอเพื่อจำไว้ว่าการแก้ปัญหาระบบหมายถึงการค้นหาวิธีแก้ปัญหาที่เหมาะสมหรือการพิสูจน์ว่าไม่มีวิธีแก้ปัญหานั้น

มีการเสนอให้เชี่ยวชาญวิธีกราฟิกสำหรับการแก้ระบบสมการบางอย่าง การประยุกต์ใช้วิธีนี้ถือเป็นการใช้ตัวอย่างการแก้ระบบที่ประกอบด้วยสมการ x 2 +y 2 =16 และ y=-x 2 +2x+4 คำตอบแบบกราฟิกของระบบเริ่มต้นด้วยการวางแผนแต่ละสมการเหล่านี้ แน่นอนว่ากราฟของสมการ x 2 + y 2 = 16 จะเป็นวงกลม จุดที่อยู่ในวงกลมที่กำหนดคือคำตอบของสมการ ถัดจากสมการ วงกลมรัศมี 4 ที่มีศูนย์กลาง O ที่จุดกำเนิดจะถูกสร้างขึ้นบนระนาบพิกัด กราฟของสมการที่สองคือพาราโบลา ซึ่งมีกิ่งก้านลดลง พาราโบลาที่สอดคล้องกับกราฟของสมการนี้สร้างขึ้นบนระนาบพิกัด จุดใดๆ ที่เป็นของพาราโบลาแทนคำตอบของสมการ y = -x 2 + 2x + 4 อธิบายว่าคำตอบของระบบสมการคือจุดบนกราฟที่อยู่ในกราฟของสมการทั้งสองพร้อมกัน ซึ่งหมายความว่าจุดตัดของกราฟที่สร้างขึ้นจะเป็นคำตอบของระบบสมการ

สังเกตว่าวิธีการแบบกราฟิกประกอบด้วยการค้นหาค่าโดยประมาณของพิกัดของจุดที่อยู่ที่จุดตัดของกราฟสองกราฟ ซึ่งสะท้อนถึงชุดคำตอบของสมการแต่ละสมการของระบบ รูปนี้แสดงพิกัดของจุดตัดที่พบของกราฟทั้งสอง: A, B, C, D[-2;-3.5] จุดเหล่านี้เป็นคำตอบของระบบสมการที่พบเป็นภาพกราฟิก คุณสามารถตรวจสอบความถูกต้องได้โดยการแทนที่พวกมันลงในสมการและรับความเท่าเทียมกันที่ยุติธรรม หลังจากแทนจุดต่างๆ ลงในสมการแล้ว ก็ชัดเจนว่าบางจุดให้ค่าที่แน่นอนของการแก้ปัญหา และบางจุดแทนค่าโดยประมาณของคำตอบในสมการ: x 1 = 0, y 1 = 4; x 2 =2, และ 2 µ3.5; x 3 µ3.5, y 3 = -2; x 4 = -2, y 4 µ-3.5

วิดีโอสอนจะอธิบายรายละเอียดสาระสำคัญและการประยุกต์วิธีการแก้ระบบสมการแบบกราฟิก ทำให้สามารถใช้เป็นวิดีโอสอนในบทเรียนพีชคณิตที่โรงเรียนเมื่อศึกษาหัวข้อนี้ เนื้อหานี้จะเป็นประโยชน์สำหรับนักเรียนในการศึกษาอย่างอิสระและสามารถช่วยอธิบายหัวข้อระหว่างการเรียนทางไกล

พีชคณิต ชั้นประถมศึกษาปีที่ 9

วิธีกราฟิก

การแก้ระบบสมการ

1. ค้นหาจากกราฟ:

ก) ค่าศูนย์ของฟังก์ชัน

b) ช่วงของค่าของฟังก์ชัน

c) ช่วงเวลาของการเพิ่มและลดฟังก์ชัน

c) ช่วงเวลาที่ y ≤0, y≥0

ง ) ค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชัน

1.จากสูตรที่เสนอให้เลือกสูตรที่

ซึ่งกำหนดฟังก์ชันที่แสดงบนกราฟ

ก ) y = - 3x+1; ข) y = 2x+1;

ค) y =3x+1 .

จากสูตรที่กำหนดให้เลือกสูตรที่

ระบุฟังก์ชันที่แสดงบนกราฟ

ข) y = - 2x 2 - ค) y = x 2 +1.

ก) y = x 2 ;

จากสูตรที่เสนอ ให้เลือกสูตรที่กำหนดฟังก์ชันที่แสดงบนกราฟ

ข) y = 2 x 3; ค) y = x 3

ก) y = 0.5x 3;

จากสูตรที่เสนอ ให้เลือกสูตรที่กำหนดฟังก์ชันที่แสดงบนกราฟ

ก) y = 4/x; ข) y= - 4/x;

สมการเชิงเส้นด้วย

ตัวแปรหนึ่ง

ขวาน=ข

• สมการเชิงเส้นด้วย

สองตัวแปร

สมการที่มีสองตัวแปร

กราฟของสมการที่มีตัวแปรสองตัวคือเซตของจุดบนระนาบพิกัดซึ่งพิกัดจะเปลี่ยนสมการให้มีความเท่าเทียมกันอย่างแท้จริง

สมการ

แสดง y ถึง x

3x+2y=6

2u-x 2 =0

สูตรนี้มอบให้โดย…..

ทำหน้าที่เป็นตารางเวลา

2x+y=0

ไฮเปอร์โบลา

กำลังสอง

การทำงาน

y= -1.5x+3

เชิงเส้น

การทำงาน

ตรง

y=0.5 x 2

ย้อนกลับ

สัดส่วน

y= -2x

พาราโบลา

ตรงเลย

ผ่านจุดเริ่มต้น ประสานงาน

ตรง

สัดส่วน

วงรี

เอ็กซ์ 2 y= 4 (2-y)

y=8/(x 2 +4)

ระบบสมการและการแก้โจทย์ของมัน

คำจำกัดความ

• ระบบสมการคือสมการจำนวนหนึ่งที่เชื่อมกันด้วยเครื่องหมายปีกกา วงเล็บปีกกาหมายความว่าสมการทั้งหมดจะต้องดำเนินการพร้อมกัน
• การแก้ระบบสมการที่มีตัวแปรสองตัวคือคู่ของค่าของตัวแปรที่เปลี่ยนแต่ละสมการของระบบให้มีความเท่าเทียมกันอย่างแท้จริง
• การแก้ระบบสมการหมายถึงการค้นหาคำตอบทั้งหมดหรือพิสูจน์ว่าไม่มีเลย

ทาง

การทดแทน

ทาง

ส่วนที่เพิ่มเข้าไป

วิธีการแก้ระบบสมการ

ทาง

การทดแทน

ทาง

ส่วนที่เพิ่มเข้าไป

วิธีกราฟิก

การแก้ระบบสมการ

1. จงเขียน y ในรูปของ x ในแต่ละสมการ

2. สร้างกราฟในระบบพิกัดเดียว

แต่ละสมการ

3. จงเขียน y ในรูปของ x ในแต่ละสมการ

4. สร้างกราฟในระบบพิกัดเดียว

แต่ละสมการ

5. กำหนดพิกัดของจุดตัด

กราฟ

6.เขียนคำตอบ: x=...; y=..., หรือ (x; y)

โซลูชั่นระบบ แบบกราฟิก

ให้เราแสดง y

มาสร้างกราฟกันดีกว่า

สมการแรก

มาพล็อตเรื่องที่สองกัน

สมการ - วงกลมด้วย

ศูนย์กลางที่จุด O(0;0) และ

รัศมี 2

โซลูชั่นระบบ แบบกราฟิก

ให้เราแสดง y

มาสร้างกราฟกันดีกว่า

สมการแรก

มาพล็อตเรื่องที่สองกัน

สมการ - วงกลมด้วย

ศูนย์กลางที่จุด O(0;0) และ

รัศมี 2

เอ็กซ์ 2 +ย 2 =4*

ระบบมี 2 อัน โซลูชั่น:

คำตอบ: (0;2), (-2;0)

1.เริ่มการชาร์จไฟ,

เรายืดมือของเรา

เราเหยียดหลัง ไหล่

เพื่อให้เรานั่งได้ง่ายขึ้น

2. เราบิดตัวและหันศีรษะ

มายืดคอหยุด!

หนึ่ง สอง สาม - เอียงไปทางขวา

หนึ่ง สอง สาม - ตอนนี้เลี้ยวซ้าย

3. หยุดเดี๋ยวนี้!

ยกมือของเราให้สูงขึ้น

หายใจเข้าและหายใจออก มาหายใจลึกๆ กันดีกว่า

ตอนนี้เรามานั่งที่โต๊ะของเรากันดีกว่า

ระดับรายการ

การแก้สมการ อสมการ ระบบโดยใช้กราฟฟังก์ชัน คู่มือภาพ (2019)

งานหลายอย่างที่เราใช้ในการคำนวณเชิงพีชคณิตเพียงอย่างเดียวสามารถแก้ไขได้ง่ายกว่าและเร็วกว่ามาก การใช้กราฟฟังก์ชันจะช่วยเราในเรื่องนี้ คุณพูดว่า “เป็นยังไงบ้าง” วาดอะไรบางอย่างและจะวาดอะไร? เชื่อฉันเถอะว่าบางครั้งมันก็สะดวกและง่ายกว่า เรามาเริ่มต้นกันดีไหม? เริ่มจากสมการกันก่อน!

การแก้สมการเชิงกราฟิก

ผลเฉลยกราฟิกของสมการเชิงเส้น

ดังที่คุณทราบแล้วว่ากราฟของสมการเชิงเส้นเป็นเส้นตรง จึงเป็นที่มาของชื่อประเภทนี้ สมการเชิงเส้นค่อนข้างง่ายในการแก้พีชคณิต - เราถ่ายโอนสิ่งที่ไม่ทราบทั้งหมดไปยังด้านหนึ่งของสมการ ทุกสิ่งที่เรารู้ไปยังอีกด้านหนึ่ง และ voila! เราพบต้นตอแล้ว ตอนนี้ฉันจะแสดงวิธีการทำ แบบกราฟิก

ดังนั้นคุณจะได้สมการ:

วิธีแก้ปัญหา?
ตัวเลือกที่ 1และสิ่งที่พบบ่อยที่สุดคือการย้ายสิ่งที่ไม่รู้ไปด้านหนึ่งและสิ่งที่รู้ไปอีกด้านหนึ่ง เราจะได้:

ตอนนี้เรามาสร้างกัน คุณได้อะไร?

คุณคิดว่าอะไรคือรากของสมการของเรา? ถูกต้องแล้ว พิกัดของจุดตัดของกราฟคือ:

คำตอบของเราคือ

นั่นคือภูมิปัญญาทั้งหมดของโซลูชันกราฟิก ดังที่คุณสามารถตรวจสอบได้ง่ายๆ รากของสมการของเราคือตัวเลข!

อย่างที่ผมบอกไปข้างต้น นี่เป็นตัวเลือกที่พบบ่อยที่สุด ใกล้เคียงกับคำตอบพีชคณิต แต่คุณสามารถแก้มันด้วยวิธีอื่นได้ หากต้องการพิจารณาวิธีแก้อื่น ให้กลับไปที่สมการของเรา:

ครั้งนี้เราจะไม่ย้ายอะไรจากด้านหนึ่งไปอีกด้าน แต่จะสร้างกราฟโดยตรงดังที่เป็นอยู่ตอนนี้:

สร้าง? มาดูกัน!

แนวทางแก้ไขในครั้งนี้คืออะไร? ถูกต้องแล้ว สิ่งเดียวกัน - พิกัดของจุดตัดของกราฟ:

และอีกครั้งคำตอบของเราคือ

อย่างที่คุณเห็น ด้วยสมการเชิงเส้น ทุกอย่างง่ายมาก ถึงเวลาดูสิ่งที่ซับซ้อนกว่านี้แล้ว... ตัวอย่างเช่น คำตอบกราฟิกของสมการกำลังสอง

คำตอบกราฟิกของสมการกำลังสอง

ทีนี้มาเริ่มแก้สมการกำลังสองกันดีกว่า สมมติว่าคุณต้องค้นหารากของสมการนี้:

แน่นอน ตอนนี้คุณสามารถเริ่มนับแบบแบ่งแยกหรือตามทฤษฎีบทของ Vieta ได้แล้ว แต่หลายๆ คนกลับรู้สึกวิตกกังวลเมื่อคูณหรือยกกำลังสอง โดยเฉพาะอย่างยิ่งหากตัวอย่างมีจำนวนจำนวนมาก และอย่างที่คุณทราบ คุณจะชนะ ไม่มีเครื่องคิดเลขในการสอบ... งั้นเราลองผ่อนคลายสักหน่อยแล้ววาดรูปไปพร้อมกับแก้สมการนี้ดู

คำตอบของสมการนี้สามารถพบได้ในรูปแบบกราฟิกในรูปแบบต่างๆ ลองดูตัวเลือกต่าง ๆ แล้วคุณสามารถเลือกอันที่คุณชอบที่สุดได้

วิธีที่ 1. โดยตรง

เราเพียงแค่สร้างพาราโบลาโดยใช้สมการนี้:

เพื่อให้ดำเนินการได้รวดเร็ว ฉันจะให้คำแนะนำเล็กๆ น้อยๆ แก่คุณ: สะดวกในการเริ่มก่อสร้างโดยกำหนดจุดยอดของพาราโบลาสูตรต่อไปนี้จะช่วยกำหนดพิกัดของจุดยอดของพาราโบลา:

คุณจะพูดว่า “หยุด! สูตรสำหรับนั้นคล้ายกันมากกับสูตรในการค้นหาตัวแบ่งแยก" ใช่แล้ว และนี่คือข้อเสียอย่างมากของการสร้างพาราโบลา "โดยตรง" เพื่อค้นหารากของมัน อย่างไรก็ตาม มานับจนจบกันดีกว่า แล้วฉันจะแสดงให้คุณเห็นว่าต้องทำอย่างไรให้ง่ายขึ้นมาก (มาก!)!

คุณนับไหม? คุณได้พิกัดอะไรสำหรับจุดยอดของพาราโบลา? ลองคิดดูด้วยกัน:

คำตอบเดียวกันเป๊ะเลยเหรอ? ทำได้ดี! และตอนนี้เรารู้พิกัดของจุดยอดแล้ว แต่เพื่อสร้างพาราโบลา เราจำเป็นต้องมี... จุดมากกว่านี้ คุณคิดว่าเราต้องการคะแนนขั้นต่ำกี่คะแนน? ขวา, .

คุณรู้ไหมว่าพาราโบลามีความสมมาตรเกี่ยวกับจุดยอดของมัน ตัวอย่างเช่น

ดังนั้นเราจึงต้องการอีกสองจุดบนกิ่งซ้ายหรือขวาของพาราโบลา และในอนาคต เราจะสะท้อนจุดเหล่านี้ทางฝั่งตรงข้ามอย่างสมมาตร:

ลองกลับไปที่พาราโบลาของเราอีกครั้ง สำหรับกรณีของเราช่วงเวลา เราต้องการอีกสองแต้ม เพื่อเราจะได้แต้มบวก หรือแต้มลบ? จุดไหนสะดวกสำหรับคุณมากกว่ากัน? มันสะดวกกว่าสำหรับฉันที่จะทำงานกับสิ่งที่เป็นบวก ดังนั้นฉันจะคำนวณที่ และ

ตอนนี้เรามีจุดสามจุดแล้ว เราสามารถสร้างพาราโบลาได้อย่างง่ายดายโดยสะท้อนจุดสองจุดสุดท้ายที่สัมพันธ์กับจุดยอดของมัน:

คุณคิดว่าอะไรคือคำตอบของสมการ? ถูกต้องจุดที่นั่นคือและ เพราะ.

และถ้าเราพูดอย่างนั้นก็หมายความว่ามันจะต้องเท่ากันด้วยหรือ.

แค่? เราแก้สมการกับคุณในรูปแบบกราฟิกที่ซับซ้อนเสร็จแล้วหรือจะมีมากกว่านี้!

แน่นอน คุณสามารถตรวจสอบคำตอบของเราในเชิงพีชคณิตได้ โดยคุณสามารถคำนวณรากโดยใช้ทฤษฎีบทของ Vieta หรือ Discriminant คุณได้อะไร? เหมือนกันเหรอ? คุณเห็นไหม! ทีนี้มาดูวิธีแก้ปัญหากราฟิกง่ายๆ กัน ฉันแน่ใจว่าคุณจะต้องชอบมันมาก!

วิธีที่ 2. แบ่งออกเป็นหลายฟังก์ชั่น

ลองใช้สมการเดียวกัน: แต่เราจะเขียนให้แตกต่างออกไปเล็กน้อย กล่าวคือ:

เราเขียนแบบนี้ได้ไหม? เราทำได้ เนื่องจากการแปลงเทียบเท่ากัน มาดูกันต่อ

มาสร้างสองฟังก์ชันแยกกัน:

1. - กราฟเป็นพาราโบลาธรรมดา ซึ่งคุณสามารถสร้างได้อย่างง่ายดายโดยไม่ต้องกำหนดจุดยอดโดยใช้สูตรและวาดตารางเพื่อกำหนดจุดอื่นๆ
2. - กราฟเป็นเส้นตรงซึ่งคุณสามารถสร้างได้อย่างง่ายดายโดยการประมาณค่าในหัวของคุณโดยไม่ต้องใช้เครื่องคิดเลข

สร้าง? มาเปรียบเทียบกับสิ่งที่ฉันได้รับ:

คุณคิดว่ารากของสมการในกรณีนี้คืออะไร? ขวา! พิกัดที่ได้รับจากจุดตัดของกราฟทั้งสองและนั่นคือ:

ดังนั้นคำตอบของสมการนี้คือ:

คุณพูดอะไร? เห็นด้วยวิธีการแก้ปัญหานี้ง่ายกว่าวิธีก่อนหน้ามากและง่ายกว่าการค้นหารากผ่านการแยกแยะ! หากเป็นเช่นนั้น ให้ลองแก้สมการต่อไปนี้โดยใช้วิธีนี้:

คุณได้อะไร? ลองเปรียบเทียบกราฟของเรา:

กราฟแสดงว่าคำตอบคือ:

คุณจัดการหรือไม่? ทำได้ดี! ทีนี้มาดูสมการที่ซับซ้อนกว่านี้อีกหน่อยนั่นคือการแก้สมการผสมนั่นคือสมการที่มีฟังก์ชันประเภทต่างๆ

ผลเฉลยกราฟิกของสมการผสม

ตอนนี้เรามาลองแก้ปัญหาต่อไปนี้:

แน่นอน คุณสามารถนำทุกอย่างมาเป็นตัวส่วนร่วม ค้นหารากของสมการผลลัพธ์ได้ โดยไม่ลืมคำนึงถึง ODZ แต่อีกครั้ง เราจะพยายามแก้มันแบบกราฟิกเหมือนที่เราทำในกรณีก่อนหน้านี้ทั้งหมด

คราวนี้เรามาสร้างกราฟ 2 อันต่อไปนี้:

1. - กราฟเป็นไฮเปอร์โบลา
2. - กราฟเป็นเส้นตรงซึ่งคุณสามารถสร้างได้อย่างง่ายดายโดยการประมาณค่าในหัวของคุณโดยไม่ต้องใช้เครื่องคิดเลข

เข้าใจไหม? ตอนนี้เริ่มสร้าง

นี่คือสิ่งที่ฉันได้รับ:

มองภาพนี้ บอกฉันหน่อยว่ารากของสมการของเราคืออะไร?

ถูกต้องและ. นี่คือการยืนยัน:

ลองแทนรากของเราเข้ากับสมการ มันได้ผลเหรอ?

ถูกต้อง! เห็นด้วยการแก้สมการดังกล่าวแบบกราฟิกเป็นเรื่องที่น่ายินดี!

ลองแก้สมการแบบกราฟิกด้วยตัวเอง:

ฉันจะให้คำแนะนำแก่คุณ: ย้ายส่วนหนึ่งของสมการไปทางด้านขวาเพื่อให้ฟังก์ชันที่ง่ายที่สุดในการสร้างอยู่ทั้งสองด้าน คุณได้รับคำใบ้หรือไม่? ดำเนินการ!

มาดูกันว่าคุณได้อะไรบ้าง:

ตามลำดับ:

1. - ลูกบาศก์พาราโบลา
2. - เส้นตรงธรรมดา

มาสร้างกันดีกว่า:

ดังที่คุณเขียนไว้นานแล้ว รากของสมการนี้คือ -

หลังจากอ่านตัวอย่างมามากมาย ฉันแน่ใจว่าคุณคงตระหนักได้ว่าการแก้สมการแบบกราฟิกนั้นง่ายและรวดเร็วเพียงใด ถึงเวลาหาวิธีแก้ปัญหาระบบด้วยวิธีนี้

โซลูชั่นกราฟิกของระบบ

ระบบการแก้แบบกราฟิกโดยพื้นฐานแล้วไม่แตกต่างจากการแก้สมการแบบกราฟิก เราจะสร้างกราฟขึ้นมาสองกราฟด้วย และจุดตัดกันของพวกมันจะเป็นรากของระบบนี้ กราฟหนึ่งคือสมการหนึ่ง กราฟที่สองคืออีกสมการหนึ่ง ทุกอย่างง่ายมาก!

เริ่มจากสิ่งที่ง่ายที่สุด - การแก้ระบบสมการเชิงเส้น

การแก้ระบบสมการเชิงเส้น

สมมติว่าเรามีระบบดังต่อไปนี้:

ก่อนอื่นเรามาแปลงมันเพื่อให้ทุกสิ่งที่เชื่อมโยงอยู่ทางด้านซ้ายและทางขวา - ทุกสิ่งที่เชื่อมต่อด้วย กล่าวอีกนัยหนึ่ง ลองเขียนสมการเหล่านี้เป็นฟังก์ชันในรูปแบบปกติของเรา:

ตอนนี้เราแค่สร้างเส้นตรงสองเส้น วิธีแก้ปัญหาในกรณีของเราคืออะไร? ขวา! จุดตัดของพวกเขา! และที่นี่คุณต้องระวังให้มาก! ลองคิดดูว่าทำไม? ผมขอบอกใบ้หน่อยนะครับ เรากำลังจัดการกับระบบ ในระบบก็มีทั้งสองอย่าง และ... รู้คำใบ้ไหม?

ถูกต้อง! เมื่อแก้ระบบ เราต้องดูทั้งสองพิกัด ไม่ใช่แค่แก้สมการเท่านั้น! สิ่งสำคัญอีกประการหนึ่งคือต้องจดให้ถูกต้องและไม่สับสนว่าความหมายของเราอยู่ที่ไหนและความหมายอยู่ที่ไหน! คุณเขียนมันลงไปหรือเปล่า? ทีนี้ลองเปรียบเทียบทุกอย่างตามลำดับ:

และคำตอบ: และ. ทำการตรวจสอบ - แทนที่รูทที่พบลงในระบบและตรวจสอบให้แน่ใจว่าเราแก้ไขมันถูกต้องแบบกราฟิกหรือไม่?

การแก้ระบบสมการไม่เชิงเส้น

จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเรามีสมการกำลังสองแทนที่จะเป็นเส้นตรงเส้นเดียวล่ะ? ใช้ได้! คุณแค่สร้างพาราโบลาแทนที่จะเป็นเส้นตรง! ไม่เชื่อฉันเหรอ? ลองแก้ไขระบบต่อไปนี้:

ขั้นตอนต่อไปของเราคืออะไร? ถูกต้อง จดบันทึกไว้เพื่อให้เราสร้างกราฟได้สะดวก:

และตอนนี้มันเป็นเรื่องเล็กๆ น้อยๆ - สร้างมันขึ้นมาอย่างรวดเร็วและนี่คือวิธีแก้ปัญหาของคุณ! เรากำลังสร้าง:

กราฟออกมาเหมือนเดิมหรือเปล่า? ตอนนี้ทำเครื่องหมายวิธีแก้ปัญหาของระบบในรูปและจดคำตอบที่ระบุให้ถูกต้อง!

คุณทำทุกอย่างแล้วหรือยัง? เปรียบเทียบกับบันทึกย่อของฉัน:

ทุกอย่างถูกต้องหรือไม่? ทำได้ดี! คุณกำลังแคร็กงานประเภทนี้เหมือนถั่วอยู่แล้ว! ถ้าเป็นเช่นนั้น เราจะให้ระบบที่ซับซ้อนกว่านี้แก่คุณ:

เรากำลังทำอะไรอยู่? ขวา! เราเขียนระบบเพื่อให้สะดวกในการสร้าง:

ฉันจะให้คำแนะนำเล็กน้อย เนื่องจากระบบดูซับซ้อนมาก! เมื่อสร้างกราฟ ให้สร้างกราฟให้ “มากขึ้น” และที่สำคัญที่สุด อย่าแปลกใจกับจำนวนจุดตัดกัน

ไปกันเลย! หายใจออกเหรอ? ตอนนี้เริ่มสร้าง!

แล้วยังไงล่ะ? สวย? คุณได้จุดตัดกี่จุด? ฉันมีสาม! ลองเปรียบเทียบกราฟของเรา:

อีกด้วย? ตอนนี้เขียนโซลูชันทั้งหมดของระบบของเราอย่างระมัดระวัง:

ตอนนี้ดูที่ระบบอีกครั้ง:

คุณนึกภาพออกไหมว่าคุณแก้ไขปัญหานี้ได้ภายในเวลาเพียง 15 นาที? เห็นด้วย คณิตศาสตร์ยังคงง่าย โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อดูสำนวน คุณไม่กลัวที่จะทำผิด แต่เพียงแค่รับมันและแก้ไขมัน! คุณเก่งมาก!

คำตอบแบบกราฟิกของอสมการ

คำตอบเชิงกราฟิกของอสมการเชิงเส้น

หลังจากตัวอย่างที่แล้วจะทำอะไรก็ได้! ตอนนี้หายใจออก - เมื่อเทียบกับส่วนก่อน ๆ ส่วนนี้จะง่ายมาก!

เราจะเริ่มตามปกติด้วยวิธีแก้ปัญหาแบบกราฟิกของอสมการเชิงเส้น ตัวอย่างเช่นอันนี้:

ขั้นแรก เรามาดำเนินการแปลงที่ง่ายที่สุด - เปิดวงเล็บของกำลังสองสมบูรณ์แล้วนำเสนอคำที่คล้ายกัน:

อสมการไม่ได้เข้มงวด ดังนั้นจึงไม่รวมไว้ในช่วงเวลา และคำตอบจะเป็นจุดทั้งหมดที่อยู่ทางขวา เนื่องจากมากขึ้น มากขึ้น และอื่นๆ:

คำตอบ:

แค่นั้นแหละ! อย่างง่ายดาย? มาแก้อสมการง่ายๆ ด้วยตัวแปรสองตัวกัน:

ลองวาดฟังก์ชันในระบบพิกัดกัน

คุณได้รับกำหนดการเช่นนี้หรือไม่? ทีนี้เรามาดูอย่างละเอียดกันดีกว่าว่าเรามีความไม่เท่าเทียมกันอะไรบ้าง? น้อย? ซึ่งหมายความว่าเราทาสีทับทุกสิ่งที่อยู่ทางด้านซ้ายของเส้นตรง ถ้ามีมากกว่านี้ล่ะ? ถูกต้อง จากนั้นเราจะทาสีทับทุกสิ่งที่อยู่ทางด้านขวาของเส้นตรง มันง่ายมาก

คำตอบทั้งหมดของอสมการนี้จะแรเงาด้วยสีส้ม เพียงเท่านี้ความไม่เท่าเทียมกันของตัวแปรสองตัวก็ได้รับการแก้ไขแล้ว ซึ่งหมายความว่าพิกัดของจุดใดๆ จากพื้นที่แรเงาคือคำตอบ

คำตอบแบบกราฟิกของอสมการกำลังสอง

ตอนนี้เราจะเข้าใจวิธีการแก้อสมการกำลังสองแบบกราฟิก

แต่ก่อนที่เราจะพูดถึงเรื่องนั้น เรามาทบทวนเนื้อหาเกี่ยวกับฟังก์ชันกำลังสองกันก่อน

ผู้เลือกปฏิบัติต้องรับผิดชอบอะไร? ถูกต้องแล้ว สำหรับตำแหน่งของกราฟที่สัมพันธ์กับแกน (หากคุณจำสิ่งนี้ไม่ได้ ให้อ่านทฤษฎีเกี่ยวกับฟังก์ชันกำลังสองอย่างแน่นอน)

ไม่ว่าในกรณีใด ต่อไปนี้เป็นคำเตือนเล็กๆ น้อยๆ สำหรับคุณ:

ตอนนี้เราได้รีเฟรชเนื้อหาทั้งหมดในหน่วยความจำของเราแล้ว มาเริ่มธุรกิจกันดีกว่า - แก้ไขความไม่เท่าเทียมกันแบบกราฟิก

ฉันจะบอกคุณทันทีว่ามีสองทางเลือกในการแก้ปัญหา

ตัวเลือกที่ 1

เราเขียนพาราโบลาของเราเป็นฟังก์ชัน:

เมื่อใช้สูตรเราจะกำหนดพิกัดของจุดยอดของพาราโบลา (เหมือนกับเมื่อแก้สมการกำลังสอง):

คุณนับไหม? คุณได้อะไร?

ทีนี้ลองหาจุดที่แตกต่างกันอีกสองจุดแล้วคำนวณหามัน:

มาเริ่มสร้างพาราโบลาสาขาหนึ่งกันดีกว่า:

เราสะท้อนจุดของเราอย่างสมมาตรไปยังกิ่งอื่นของพาราโบลา:

ทีนี้ กลับมาที่อสมการของเรากัน.

เราต้องการให้มีค่าน้อยกว่าศูนย์ ตามลำดับ:

เนื่องจากในความไม่เท่าเทียมกันของเราเครื่องหมายจึงน้อยกว่าอย่างเคร่งครัดเราจึงแยกจุดสิ้นสุดออก - "เจาะออก"

คำตอบ:

ทางยาวใช่ไหม? ตอนนี้ ฉันจะแสดงเวอร์ชันที่เรียบง่ายของโซลูชันกราฟิกให้คุณดูโดยใช้ตัวอย่างความไม่เท่าเทียมกันแบบเดียวกัน:

ตัวเลือกที่ 2

เรากลับไปสู่ความไม่เท่าเทียมกันและทำเครื่องหมายช่วงเวลาที่เราต้องการ:

เห็นด้วยมันเร็วกว่ามาก

ให้เราเขียนคำตอบตอนนี้:

ลองพิจารณาวิธีแก้ปัญหาอื่นที่ทำให้ส่วนพีชคณิตง่ายขึ้น แต่สิ่งสำคัญคืออย่าสับสน

คูณด้านซ้ายและขวาด้วย:

พยายามแก้อสมการกำลังสองต่อไปนี้ด้วยตัวเองด้วยวิธีใดก็ได้:

คุณจัดการหรือไม่?

ดูว่ากราฟของฉันเป็นอย่างไร:

คำตอบ: .

คำตอบแบบกราฟิกของอสมการแบบผสม

ทีนี้เรามาดูอสมการที่ซับซ้อนกว่านี้กันดีกว่า!

คุณชอบสิ่งนี้อย่างไร:

มันน่าขนลุกใช่มั้ย? จริงๆ แล้ว ฉันไม่รู้ว่าจะแก้พีชคณิตนี้อย่างไร... แต่ก็ไม่จำเป็น กราฟิกไม่มีอะไรซับซ้อนเกี่ยวกับเรื่องนี้! ตากลัวแต่มือทำ!

สิ่งแรกที่เราจะเริ่มต้นด้วยการสร้างกราฟสองอัน:

ฉันจะไม่เขียนตารางสำหรับแต่ละคน - ฉันแน่ใจว่าคุณสามารถทำได้อย่างสมบูรณ์แบบด้วยตัวเอง (ว้าว มีตัวอย่างมากมายให้แก้!)

คุณทาสีมันเหรอ? ตอนนี้สร้างกราฟสองอัน

มาเปรียบเทียบภาพวาดของเรากัน?

มันเหมือนกันกับคุณหรือเปล่า? ยอดเยี่ยม! ตอนนี้เรามาจัดเรียงจุดตัดกันและใช้สีเพื่อกำหนดว่ากราฟใดที่เราควรมีให้ใหญ่กว่าในทางทฤษฎี นั่นก็คือ ดูสิ่งที่เกิดขึ้นในท้ายที่สุด:

ทีนี้มาดูกันว่ากราฟที่เราเลือกอยู่ตรงไหนสูงกว่ากราฟกัน? อย่าลังเลที่จะใช้ดินสอและทาสีบริเวณนี้! เธอจะเป็นทางออกของความไม่เท่าเทียมกันที่ซับซ้อนของเรา!

เราอยู่สูงกว่าช่วงใดของแกน? ขวา, . นี่คือคำตอบ!

ตอนนี้คุณสามารถจัดการกับสมการ ระบบใดก็ได้ และยิ่งกว่านั้น อสมการใดๆ ก็ตาม!

สั้น ๆ เกี่ยวกับสิ่งสำคัญ

อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการโดยใช้กราฟฟังก์ชัน:

1. มาแสดงออกผ่าน
2. มากำหนดประเภทของฟังก์ชันกันดีกว่า
3. มาสร้างกราฟของฟังก์ชันผลลัพธ์กัน
4. ลองหาจุดตัดกันของกราฟกัน
5. มาเขียนคำตอบให้ถูกต้อง (โดยคำนึงถึง ODZ และสัญญาณอสมการ)
6. ลองตรวจสอบคำตอบกัน (แทนรากลงในสมการหรือระบบ)

สำหรับข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับการสร้างกราฟฟังก์ชัน โปรดดูหัวข้อ “”

, การแข่งขัน "การนำเสนอบทเรียน"

การนำเสนอสำหรับบทเรียน

กลับไปข้างหน้า

ความสนใจ! การแสดงตัวอย่างสไลด์มีวัตถุประสงค์เพื่อให้ข้อมูลเท่านั้น และอาจไม่ได้แสดงถึงคุณลักษณะทั้งหมดของงานนำเสนอ หากสนใจงานนี้กรุณาดาวน์โหลดฉบับเต็ม

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

• สรุปวิธีการแก้ระบบสมการเชิงกราฟิก
• พัฒนาความสามารถในการแก้ระบบสมการระดับสองแบบกราฟิกโดยใช้กราฟที่นักเรียนรู้จัก
• แสดงภาพว่าระบบสมการสองตัวที่มีตัวแปรสองตัวในระดับที่สองสามารถมีคำตอบได้ตั้งแต่หนึ่งถึงสี่คำตอบ หรือไม่มีคำตอบเลย

โครงสร้างบทเรียน:

1. องค์กร ช่วงเวลา
2. การอัพเดตความรู้ของนักเรียน
3. คำอธิบายของวัสดุใหม่
4. การรวมเนื้อหาที่ศึกษา ทำงานในสเปรดชีต Excel ตามด้วยการตรวจสอบ...
5. การบ้าน.

ความคืบหน้าของบทเรียน

1. ช่วงเวลาขององค์กร

มีการประกาศหัวข้อ วัตถุประสงค์ และหลักสูตรของบทเรียน

2. การอัพเดตความรู้

1) ทบทวนฟังก์ชันเบื้องต้นและกราฟ

ครูคณิตศาสตร์ถามคำถามเกี่ยวกับฟังก์ชันเบื้องต้นที่เรียนไปแล้วและกราฟ และสรุปคำตอบของนักเรียนผ่านเครื่องฉาย

2) งานช่องปาก

ครูดำเนินการงานปากเปล่าโดยใช้โปรเจ็กเตอร์เพื่อเตรียมนักเรียนให้พร้อมรับรู้หัวข้อใหม่

3. คำอธิบายเนื้อหาใหม่

1) คำอธิบายวัสดุใหม่ผ่านโปรเจ็กเตอร์และการวิเคราะห์วิธีแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์มาตรฐาน

2) ครูวิทยาการคอมพิวเตอร์และ ICT เตือนนักเรียนเกี่ยวกับอัลกอริทึมสำหรับการแก้ระบบสมการแบบกราฟิกในสเปรดชีต Excel ผ่านโปรเจคเตอร์

4. การรวมเนื้อหาที่ศึกษา ทำงานในโปรเซสเซอร์สเปรดชีตExcel พร้อมการตรวจสอบภายหลัง

1) ครูเชิญนักเรียนให้นั่งหน้าคอมพิวเตอร์และทำงานบ้านใน Excel ให้เสร็จ

2) ตรวจสอบคำตอบของแต่ละระบบสมการผ่านโปรเจ็กเตอร์

5. การบ้าน.

รายชื่อวรรณกรรมที่ใช้:

1. หนังสือเรียนสำหรับสถาบันการศึกษาทั่วไปชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 “พีชคณิต” ผู้เขียน Yu.N. มาคารีเชฟ เอ็น.จี. มินดุ๊ก, K.I. เนชคอฟ, เอส.บี. Suvorova, “การตรัสรู้”, OJSC “หนังสือเรียนมอสโก”, มอสโก, 2551
2. การวางแผนบทเรียนในพีชคณิตสำหรับตำราเรียนโดย Yu.N. Makarychev และคนอื่นๆ “พีชคณิต ชั้นประถมศึกษาปีที่ 9”, “สอบ”, มอสโก, 2551
3. พีชคณิต. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 แผนการสอนสำหรับหนังสือเรียนโดย Yu.N. Makarychev และคนอื่น ๆ ผู้แต่ง - คอมไพเลอร์ S.P. Kovaleva, Volgograd, 2007
4. สมุดบันทึกพีชคณิต, ผู้แต่ง Ershova A.P., Goloborodko V.V., Krizhanovsky A.F., ILEKSA, มอสโก, 2549
5. หนังสือเรียนวิทยาการคอมพิวเตอร์. หลักสูตรพื้นฐาน ชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 ผู้แต่ง Ugrinovich N.D., BINOM ห้องปฏิบัติการความรู้, 2553
6. บทเรียนวิทยาการคอมพิวเตอร์แบบเปิดสมัยใหม่สำหรับเกรด 8-11 โดยผู้เขียน V.A. โมลอดต์ซอฟ, N.B. Ryzhikova, ฟีนิกซ์, 2549