หลักการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ การแก้ตัวอย่าง ตัวอย่าง - การปฐมนิเทศทางคณิตศาสตร์

วิธีการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์

คำว่าอุปนัยในภาษารัสเซียหมายถึงคำแนะนำและการสรุปตามการสังเกตการทดลองเช่น เรียกว่าอุปนัย ได้จากการอนุมานจากเรื่องเฉพาะถึงเรื่องทั่วไป

เช่น ทุกวันเราสังเกตว่าดวงอาทิตย์ขึ้นทางทิศตะวันออก ดังนั้นท่านจึงมั่นใจได้ว่าพรุ่งนี้จะปรากฏทางทิศตะวันออกไม่ใช่ทางทิศตะวันตก เราสรุปข้อสรุปนี้โดยไม่ต้องอาศัยสมมติฐานใด ๆ เกี่ยวกับสาเหตุของการเคลื่อนที่ของดวงอาทิตย์ข้ามท้องฟ้า (ยิ่งกว่านั้นการเคลื่อนไหวนี้เองก็ปรากฏชัดเจนเนื่องจากมันเคลื่อนที่จริง ๆ โลก- แต่ข้อสรุปเชิงอุปนัยนี้อธิบายข้อสังเกตที่เราจะทำในวันพรุ่งนี้ได้อย่างถูกต้อง

บทบาทของข้อสรุปเชิงอุปนัยในวิทยาศาสตร์เชิงทดลองนั้นยิ่งใหญ่มาก พวกเขาให้บทบัญญัติเหล่านั้นซึ่งจากนั้นจึงทำการสรุปเพิ่มเติมผ่านการหักล้าง และถึงแม้ว่า กลศาสตร์เชิงทฤษฎีมีพื้นฐานอยู่บนกฎการเคลื่อนที่สามข้อของนิวตัน กฎเหล่านี้เองเป็นผลมาจากการคิดอย่างลึกซึ้งผ่านข้อมูลการทดลอง โดยเฉพาะกฎการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ของเคปเลอร์ ซึ่งเขาได้มาจากการประมวลผลการสังเกตการณ์หลายปีของนักดาราศาสตร์ชาวเดนมาร์ก ไทโค บราเฮ การสังเกตและการปฐมนิเทศจะเป็นประโยชน์ในอนาคตในการชี้แจงสมมติฐานที่เกิดขึ้น หลังจากการทดลองของมิเชลสันในการวัดความเร็วแสงในตัวกลางที่กำลังเคลื่อนที่ จำเป็นต้องชี้แจงกฎของฟิสิกส์และสร้างทฤษฎีสัมพัทธภาพขึ้นมา

ในทางคณิตศาสตร์ บทบาทของการอุปนัยส่วนใหญ่เป็นไปตามสัจพจน์ที่เลือก หลังจากการฝึกฝนมายาวนานแสดงให้เห็นว่าเส้นทางตรงมักจะสั้นกว่าทางโค้งหรือทางหักเสมอ เป็นเรื่องปกติที่จะกำหนดสัจพจน์: สำหรับจุด A, B และ C สามจุดใดๆ ก็ตาม ความไม่เท่าเทียมกัน

แนวคิดเรื่องต่อไปนี้ซึ่งเป็นพื้นฐานของเลขคณิตก็ปรากฏจากการสังเกตการก่อตัวของทหาร เรือ และชุดคำสั่งอื่น ๆ

อย่างไรก็ตาม เราไม่ควรคิดว่าสิ่งนี้ทำให้บทบาทของการปฐมนิเทศในวิชาคณิตศาสตร์หมดลง แน่นอนว่า เราไม่ควรทดสอบทฤษฎีบทที่อนุมานเชิงตรรกะจากสัจพจน์: หากไม่มีข้อผิดพลาดเชิงตรรกะเกิดขึ้นในระหว่างการหามา ทฤษฎีบทเหล่านั้นก็จะเป็นจริงตราบเท่าที่สัจพจน์ที่เรายอมรับนั้นเป็นความจริง แต่ข้อความจำนวนมากสามารถอนุมานได้จากระบบสัจพจน์นี้ และการเลือกข้อความเหล่านั้นที่ต้องได้รับการพิสูจน์ก็ได้รับการเสนอแนะอีกครั้งโดยการอุปนัย สิ่งนี้ทำให้คุณสามารถแยกทฤษฎีบทที่เป็นประโยชน์ออกจากทฤษฎีที่ไม่มีประโยชน์ ระบุว่าทฤษฎีบทใดที่อาจกลายเป็นจริง และยังช่วยกำหนดเส้นทางของการพิสูจน์อีกด้วย

สาระสำคัญของวิธีการ การเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์

ในหลายสาขาของเลขคณิต พีชคณิต เรขาคณิต และการวิเคราะห์ จำเป็นต้องพิสูจน์ความจริงของประโยค A(n) โดยขึ้นอยู่กับตัวแปรตามธรรมชาติ การพิสูจน์ความจริงของข้อเสนอ A(n) สำหรับค่าทั้งหมดของตัวแปรมักจะทำได้โดยวิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ซึ่งมีพื้นฐานอยู่บนหลักการต่อไปนี้

ข้อเสนอที่ A(n) ถือเป็นจริงสำหรับค่าธรรมชาติทั้งหมดของตัวแปรหากตรงตามเงื่อนไขสองข้อต่อไปนี้:

ข้อเสนอ A(n) เป็นจริงสำหรับ n=1

จากการสันนิษฐานว่า A(n) เป็นจริงสำหรับ n=k (โดยที่ k คือจำนวนธรรมชาติใดๆ) จะตามมาว่าเป็นจริงสำหรับค่าถัดไป n=k+1

หลักการนี้เรียกว่าหลักการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ โดยปกติจะถูกเลือกให้เป็นหนึ่งในสัจพจน์ที่กำหนดชุดตัวเลขตามธรรมชาติ และดังนั้นจึงยอมรับโดยไม่ต้องพิสูจน์

วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์หมายถึงวิธีการพิสูจน์ดังต่อไปนี้ หากคุณต้องการพิสูจน์ความจริงของประโยค A(n) สำหรับ n ตามธรรมชาติทั้งหมด ประการแรก คุณควรตรวจสอบความจริงของประโยค A(1) และประการที่สอง สมมติว่าความจริงของประโยค A(k) พยายามพิสูจน์ว่าข้อความ A(k +1) เป็นจริง หากสามารถพิสูจน์ได้ และการพิสูจน์ยังคงใช้ได้สำหรับค่าธรรมชาติแต่ละค่าของ k ดังนั้น ตามหลักการของการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์ ข้อเสนอ A(n) จะได้รับการยอมรับว่าเป็นจริงสำหรับค่าทั้งหมดของ n

วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ใช้กันอย่างแพร่หลายในการพิสูจน์ทฤษฎีบท อัตลักษณ์ อสมการ การแก้ปัญหาการหารลงตัว การแก้ปัญหาเรขาคณิต และปัญหาอื่นๆ อีกมากมาย

วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ในการแก้ปัญหาเรื่อง

การแบ่งแยก

โดยใช้วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ คุณสามารถพิสูจน์ข้อความต่างๆ เกี่ยวกับการหารจำนวนธรรมชาติลงตัวได้

ข้อความต่อไปนี้สามารถพิสูจน์ได้ค่อนข้างง่าย ให้เราแสดงให้เห็นว่าได้มาอย่างไรโดยใช้วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์

ตัวอย่างที่ 1- ถ้า n เป็นจำนวนธรรมชาติ แล้วจำนวนนั้นจะเป็นเลขคู่

เมื่อ n=1 คำสั่งของเราเป็นจริง: - เลขคู่ สมมติว่ามันเป็นเลขคู่ เนื่องจาก 2k เป็นเลขคู่ ดังนั้น สม่ำเสมอ. ดังนั้น ความเท่าเทียมกันได้รับการพิสูจน์แล้วสำหรับ n=1 ความเท่าเทียมกันจึงอนุมานได้จากความเท่าเทียมกัน ซึ่งหมายความว่ามีค่าเท่ากันกับค่าธรรมชาติทั้งหมดของ n

ตัวอย่างที่ 2พิสูจน์ความจริงของประโยค

A(n)=(ตัวเลข 5 เป็นผลคูณของ 19), n คือจำนวนธรรมชาติ

สารละลาย.

คำสั่ง A(1)=(ตัวเลขที่หารด้วย 19 ลงตัว) เป็นจริง

สมมติว่าสำหรับค่าบางค่า n=k

A(k)=(จำนวนที่หารด้วย 19 ลงตัว) เป็นจริง แล้วตั้งแต่

แน่นอนว่า A(k+1) ก็เป็นจริงเช่นกัน อันที่จริงเทอมแรกหารด้วย 19 ลงตัวเนื่องจากข้อสันนิษฐานว่า A(k) เป็นจริง เทอมที่สองยังหารด้วย 19 ลงตัวได้เนื่องจากมีตัวประกอบเป็น 19 เงื่อนไขทั้งสองของหลักการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์เป็นไปตามเงื่อนไข ดังนั้น ข้อเสนอ A(n) จึงเป็นจริงสำหรับค่าทั้งหมดของ n

การประยุกต์ใช้วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์กับ

ซีรีย์สรุป

ตัวอย่างที่ 1สูตรพิสูจน์

, n เป็นจำนวนธรรมชาติ

สารละลาย.

เมื่อ n=1 ความเสมอภาคทั้งสองด้านจะกลับกลายเป็นหนึ่ง ดังนั้น เงื่อนไขแรกของหลักการอุปนัยทางคณิตศาสตร์จึงเป็นที่พอใจ

สมมติว่าสูตรถูกต้องสำหรับ n=k กล่าวคือ

.

ลองบวกทั้งสองด้านของความเท่าเทียมกันนี้แล้วแปลงรูปกัน ด้านขวา- แล้วเราก็ได้

ดังนั้น จากข้อเท็จจริงที่ว่าสูตรเป็นจริงสำหรับ n=k จึงเป็นไปตามที่สูตรเป็นจริงสำหรับ n=k+1 ด้วย ข้อความนี้เป็นจริงสำหรับค่าธรรมชาติใดๆ ของ k ดังนั้นเงื่อนไขที่สองของหลักการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ก็เป็นไปตามเงื่อนไขเช่นกัน สูตรได้รับการพิสูจน์แล้ว

ตัวอย่างที่ 2พิสูจน์ว่าผลรวมของจำนวน n แรกของอนุกรมธรรมชาติเท่ากับ

สารละลาย.

ให้เราแสดงจำนวนเงินที่ต้องการเช่น .

เมื่อ n=1 สมมติฐานจะเป็นจริง

อนุญาต - มาแสดงกันเถอะ .

ในความเป็นจริง,

ปัญหาได้รับการแก้ไขแล้ว

ตัวอย่างที่ 3พิสูจน์ว่าผลรวมของกำลังสองของจำนวน n จำนวนแรกของอนุกรมธรรมชาติเท่ากับ .

สารละลาย.

อนุญาต .

.

สมมุติว่า - แล้ว

และสุดท้าย

ตัวอย่างที่ 4พิสูจน์ว่า.

สารละลาย.

ถ้าอย่างนั้น

ตัวอย่างที่ 5พิสูจน์ว่า

สารละลาย.

เมื่อ n=1 สมมติฐานจะเป็นจริงอย่างเห็นได้ชัด

อนุญาต .

มาพิสูจน์กันว่า.

จริงหรือ,

ตัวอย่างการประยุกต์ใช้วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์กับ

การพิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกัน

ตัวอย่างที่ 1พิสูจน์ว่าสำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ n>1

.

สารละลาย.

ให้เราแสดงด้านซ้ายของอสมการโดย

ดังนั้น สำหรับ n=2 อสมการจึงถูกต้อง

ให้เคบ้าง ให้เราพิสูจน์ว่าแล้ว และ . เรามี , .

เปรียบเทียบ และ เรามี , เช่น. .

สำหรับจำนวนเต็มบวก k ใดๆ ทางขวามือของค่าเท่ากันสุดท้ายจะเป็นค่าบวก นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไม แต่นั่นก็หมายถึงเช่นกัน

ตัวอย่างที่ 2ค้นหาข้อผิดพลาดในการให้เหตุผล

คำแถลง. สำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ n อสมการจะเป็นจริง

การพิสูจน์.

. (1)

ให้เราพิสูจน์ว่าอสมการก็ใช้ได้สำหรับ n=k+1 เช่นกัน เช่น

.

อันที่จริง ไม่น้อยกว่า 2 สำหรับ k ตามธรรมชาติใดๆ ลองบวกทางด้านซ้ายของอสมการ (1) และทางขวา 2 เราจะได้อสมการที่ยุติธรรม หรือ - คำกล่าวนี้ได้รับการพิสูจน์แล้ว

ตัวอย่างที่ 3พิสูจน์ว่า โดยที่ >-1, , n คือจำนวนธรรมชาติที่มากกว่า 1

สารละลาย.

สำหรับ n=2 อสมการจะเป็นจริง เนื่องจาก

ปล่อยให้อสมการเป็นจริงสำหรับ n=k โดยที่ k คือจำนวนธรรมชาติ นั่นคือ

. (1)

ให้เราแสดงให้เห็นว่าอสมการก็ใช้ได้กับ n=k+1 เช่นกัน เช่น

. (2)

โดยแท้จริงแล้วตามเงื่อนไข ดังนั้นอสมการจึงเป็นจริง

, (3)

ได้มาจากอสมการ (1) โดยคูณแต่ละส่วนด้วย ให้เราเขียนอสมการ (3) ใหม่ดังนี้: เมื่อละทิ้งพจน์ที่เป็นบวกทางด้านขวาของอสมการสุดท้าย เราจะได้ความไม่เท่าเทียมกันที่ยุติธรรม (2)

ตัวอย่างที่ 4พิสูจน์ว่า

(1)

โดยที่ , , n เป็นจำนวนธรรมชาติที่มากกว่า 1

สารละลาย.

สำหรับ n=2 อสมการ (1) จะอยู่ในรูปแบบ

. (2)

เนื่องจาก แล้วอสมการจึงเป็นจริง

. (3)

เมื่อบวกเข้ากับแต่ละส่วนของความไม่เท่าเทียมกัน (3) เราจะได้ความไม่เท่าเทียมกัน (2)

นี่พิสูจน์ว่าสำหรับ n=2 อสมการ (1) เป็นจริง

ให้อสมการ (1) เป็นจริงสำหรับ n=k โดยที่ k คือจำนวนธรรมชาติ นั่นคือ

. (4)

ให้เราพิสูจน์ว่าอสมการ (1) จะต้องเป็นจริงสำหรับ n=k+1 ด้วย นั่นคือ

(5)

ลองคูณอสมการทั้งสองข้าง (4) ด้วย a+b เนื่องจากตามเงื่อนไข เราได้รับความไม่เท่าเทียมกันอย่างยุติธรรมดังต่อไปนี้:

. (6)

เพื่อพิสูจน์ความถูกต้องของความไม่เท่าเทียมกัน (5) ก็เพียงพอแล้วที่จะแสดงให้เห็น

, (7)

หรือสิ่งที่เหมือนกัน

. (8)

อสมการ (8) เทียบเท่ากับอสมการ

. (9)

ถ้า , แล้ว และทางด้านซ้ายของอสมการ (9) เราได้ผลคูณของจำนวนบวกสองตัว ถ้า , แล้ว และทางด้านซ้ายของอสมการ (9) เราได้ผลคูณของจำนวนลบสองตัว ในทั้งสองกรณี อสมการ (9) เป็นจริง

สิ่งนี้พิสูจน์ว่าความถูกต้องของความไม่เท่าเทียมกัน (1) สำหรับ n=k แสดงถึงความถูกต้องของความไม่เท่าเทียมกันสำหรับ n=k+1

วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ประยุกต์กับผู้อื่น

งาน

การประยุกต์ใช้วิธีการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์ในเรขาคณิตที่เป็นธรรมชาติที่สุด ซึ่งใกล้เคียงกับการใช้วิธีนี้ในทฤษฎีจำนวนและพีชคณิต คือการประยุกต์ใช้ในการแก้ปัญหาการคำนวณทางเรขาคณิต ลองดูตัวอย่างบางส่วน

ตัวอย่างที่ 1คำนวณด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสปกติที่จารึกไว้ในวงกลมรัศมี R

สารละลาย.

เมื่อ n=2 ถูก 2 n - สี่เหลี่ยมจัตุรัสก็คือสี่เหลี่ยมจัตุรัส ด้านข้างของเขา ต่อไปตามสูตรทวีคูณ

เราพบว่าด้านของรูปแปดเหลี่ยมปกติ ด้านของรูปหกเหลี่ยมปกติ ด้านของสามเหลี่ยมสามสิบสองปกติ - เราจึงสรุปได้ว่าด้านที่ถูกจารึกไว้ถูกต้องคือ 2 n - ยกกำลังสองเพื่อความเท่าเทียมกัน

. (1)

สมมติว่าด้านของรูปสามเหลี่ยมปกติเขียนด้วยสูตร (1) ในกรณีนี้ตามสูตรการทวีคูณ

,

โดยเหตุใดสูตร (1) จึงใช้ได้กับ n ทั้งหมด

ตัวอย่างที่ 2n-gon (ไม่จำเป็นต้องนูน) สามารถแบ่งสามเหลี่ยมออกเป็นสามเหลี่ยมได้กี่รูป?

สารละลาย.

สำหรับรูปสามเหลี่ยม ตัวเลขนี้จะเท่ากับ 1 (ไม่สามารถวาดเส้นทแยงมุมเดียวเป็นรูปสามเหลี่ยมได้) สำหรับรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ตัวเลขนี้คือสองอย่างเห็นได้ชัด

สมมติว่าเรารู้แล้วว่าทุก ๆ k-gon โดยที่ k 1 ก 2 ...น เป็นรูปสามเหลี่ยม

หนึ่ง

ก 1 ก 2

ให้ A 1 A k เป็นหนึ่งในเส้นทแยงมุมของพาร์ติชันนี้ มันแบ่ง n-gon A 1 A 2 ...A n ออกเป็น k-gon A 1 A 2 ...A k และ (n-k+2)-gon A 1 A k A k+1 .. .หนึ่ง . ตามสมมติฐาน จำนวนสามเหลี่ยมทั้งหมดในพาร์ติชันจะเท่ากับ

(k-2)+[(n-k+2)-2]=n-2;

ดังนั้น ข้อความของเราจึงได้รับการพิสูจน์แล้วสำหรับ n ทั้งหมด

ตัวอย่างที่ 3ระบุกฎสำหรับการคำนวณจำนวน P(n) ของวิธีที่ n-gon ที่นูนออกมาสามารถแบ่งออกเป็นสามเหลี่ยมได้ด้วยเส้นทแยงมุมที่ไม่ต่อกัน

สารละลาย.

สำหรับรูปสามเหลี่ยม จำนวนนี้จะเท่ากับ 1 อย่างเห็นได้ชัด: P(3)=1

สมมติว่าเราได้กำหนดจำนวน P(k) สำหรับ k ทั้งหมดแล้ว 1 ก 2 ...น - เมื่อใดก็ตามที่มันถูกแบ่งออกเป็นสามเหลี่ยม ให้ด้าน A 1 เอ 2 จะเป็นด้านหนึ่งของสามเหลี่ยมฉากกั้น โดยจุดยอดที่สามของสามเหลี่ยมนี้สามารถตรงกับจุด A แต่ละจุดได้ 3, ก 4, …, น - จำนวนวิธีในการแบ่ง n-gon โดยที่จุดยอดนี้เกิดขึ้นพร้อมกับจุด A 3 เท่ากับจำนวนวิธีในการหาร (n-1)-gon A เป็นรูปสามเหลี่ยม 1 ก 3 ก 4 …ก , เช่น. เท่ากับ P(n-1) จำนวนวิธีการแบ่งพาร์ติชันที่จุดยอดนี้เกิดขึ้นพร้อมกับ A 4 เท่ากับจำนวนวิธีในการแบ่ง (n-2)-gon A 1 ก 4 ก 5 …ก , เช่น. เท่ากับ P(n-2)=P(n-2)P(3); จำนวนวิธีการแบ่งพาร์ติชั่นที่ตรงกับ A 5 มีค่าเท่ากับ P(n-3)P(4) เนื่องจากแต่ละพาร์ติชันของ (n-3)-gon A 1 ก 5 ...น สามารถนำมารวมกับแต่ละพาร์ติชั่นของรูปสี่เหลี่ยม A ได้ 2 ก 3 ก 4 ก 5 ฯลฯ ดังนั้นเราจึงมาถึงความสัมพันธ์ดังต่อไปนี้:

Р(n)=P(n-1)+P(n-2)P(3)+P(n-3)P(4)+…+P(3)P(n-2)+P(n -1)

เมื่อใช้สูตรนี้เราได้รับอย่างต่อเนื่อง:

ป(4)=ป(3)+พี(3)=2,

ป(5)=ป(4)+พี(3)ป(3)+พี(4)+5,

ป(6)=ป(5)+พี(4)ป(3)+พี(3)ป(4)+พี(5)=14

ฯลฯ

คุณยังสามารถแก้ปัญหาเกี่ยวกับกราฟโดยใช้วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ได้

ให้มีโครงข่ายเส้นบนเครื่องบินที่เชื่อมบางจุดและไม่มีจุดอื่น เราจะเรียกเครือข่ายของเส้นดังกล่าวว่าแผนที่ โดยกำหนดให้จุดเป็นจุดยอด ส่วนของเส้นโค้งระหว่างจุดยอดสองจุดที่อยู่ติดกัน - ขอบเขตของแผนที่ ส่วนของเครื่องบินที่แบ่งตามเส้นขอบ - ประเทศของแผนที่

ให้แผนที่บางส่วนบนเครื่องบิน เราจะบอกว่ามีการลงสีอย่างถูกต้องหากแต่ละประเทศของตนทาสีด้วยสีใดสีหนึ่ง และสองประเทศใดๆ ที่มีเส้นขอบร่วมกันจะถูกทาสีด้วยสีที่ต่างกัน

ตัวอย่างที่ 4มีวงกลม n วงบนเครื่องบิน พิสูจน์ว่าสำหรับการจัดเรียงใดๆ ของวงกลมเหล่านี้ แผนที่ที่ประกอบกันสามารถระบายสีสองสีได้อย่างถูกต้อง

สารละลาย.

สำหรับ n=1 ข้อความของเราชัดเจน

สมมติว่าข้อความของเราเป็นจริงสำหรับแผนที่ใดๆ ที่เกิดจากวงกลม n วง และให้มีวงกลม n+1 วงบนระนาบ การลบวงกลมวงใดวงหนึ่งออก เราจะได้แผนที่ที่สามารถระบายสีสองสีได้อย่างถูกต้อง เช่น ขาวดำ

หากข้อเสนอ A(n) ขึ้นอยู่กับ จำนวนธรรมชาติ n เป็นจริงสำหรับ n=1 และจากข้อเท็จจริงที่ว่ามันเป็นจริงสำหรับ n=k (โดยที่ k คือจำนวนธรรมชาติใดๆ) จึงตามมาว่าเป็นจริงสำหรับจำนวนถัดไป n=k+1 จากนั้นจึงสมมุติว่า A(n) เป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ n

ในหลายกรณี อาจจำเป็นต้องพิสูจน์ความถูกต้องของข้อความบางข้อความ ไม่ใช่สำหรับจำนวนธรรมชาติทั้งหมด แต่สำหรับ n>p เท่านั้น โดยที่ p คือจำนวนธรรมชาติคงที่ ในกรณีนี้ หลักการของการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์มีการกำหนดไว้ดังนี้

ถ้าข้อเสนอ A(n) เป็นจริงสำหรับ n=p และถ้า A(k) anta A(k+1) สำหรับ k>p ใดๆ แล้วข้อเสนอ A(n) จะเป็นจริงสำหรับ n>p ใดๆ

การพิสูจน์โดยใช้วิธีอุปนัยทางคณิตศาสตร์มีดังต่อไปนี้ ขั้นแรก ข้อความที่จะพิสูจน์จะถูกตรวจสอบสำหรับ n=1 เช่น ความจริงของข้อความ A(1) ได้รับการสถาปนาแล้ว การพิสูจน์ส่วนนี้เรียกว่าพื้นฐานการเหนี่ยวนำ จากนั้นก็มาถึงส่วนของการพิสูจน์ที่เรียกว่าขั้นตอนการเหนี่ยวนำ ในส่วนนี้ จะพิสูจน์ความถูกต้องของข้อความสำหรับ n=k+1 ภายใต้สมมติฐานของความถูกต้องของข้อความสำหรับ n=k (สมมติฐานการเหนี่ยวนำ) กล่าวคือ พิสูจน์ว่า A(k) 1 A(k+1)

พิสูจน์ว่า 1+3+5+…+(2n-1)=n 2

• 1) เรามี n=1=1 2 . ดังนั้น ข้อความเป็นจริงสำหรับ n=1 กล่าวคือ ก(1) จริง
• 2) ให้เราพิสูจน์ว่า A(k) ≥ A(k+1)

ให้ k เป็นจำนวนธรรมชาติใดๆ และปล่อยให้ประโยคเป็นจริงสำหรับ n=k กล่าวคือ

1+3+5+…+(2k-1)=k 2

ให้เราพิสูจน์ว่าข้อความดังกล่าวเป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติถัดไป n=k+1 เช่น อะไร

• 1+3+5+…+(2k+1)=(k+1) 2 แน่นอน
• 1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=k 2 +2k+1=(k+1) 2

ดังนั้น A(k) 1 A(k+1) ตามหลักการของการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์ เราสรุปได้ว่าสมมติฐาน A(n) เป็นจริงสำหรับ n O N ใดๆ

พิสูจน์ว่า

1+x+x 2 +x 3 +…+x n =(x n+1 -1)/(x-1) โดยที่ x หมายเลข 1

• 1) สำหรับ n=1 เราได้
• 1+x=(x 2 -1)/(x-1)=(x-1)(x+1)/(x-1)=x+1

ดังนั้นสำหรับ n=1 สูตรจึงถูกต้อง ก(1) จริง

• 2) ให้ k เป็นจำนวนธรรมชาติใดๆ และปล่อยให้สูตรเป็นจริงสำหรับ n=k
• 1+x+x 2 +x 3 +…+x k =(x k+1 -1)/(x-1)

ให้เราพิสูจน์ว่าความเท่าเทียมกันยังคงอยู่

• 1+x+x 2 +x 3 +…+x k +x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1) แน่นอน
• 1+x+x 2 +x 3 +…+x k +x k+1 =(1+x+x 2 +x 3 +…+x k)+x k+1 =

=(x k+1 -1)/(x-1)+x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1)

ดังนั้น A(k) 1 A(k+1) ตามหลักการของการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์ เราสรุปได้ว่าสูตรเป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ n

พิสูจน์ว่าจำนวนเส้นทแยงมุมของ n-gon ที่นูนออกมาคือ n(n-3)/2

วิธีแก้ไข: 1) สำหรับ n=3 ข้อความนั้นเป็นจริง เพราะในรูปสามเหลี่ยม

A 3 =3(3-3)/2=0 เส้นทแยงมุม; A 2 A(3) จริง

2) สมมุติว่าใน k-gon ที่นูนใดๆ จะมี A 1 x A k =k(k-3)/2 เส้นทแยงมุม A k ขอให้เราพิสูจน์ว่าเมื่อ A k+1 (k+1)-gon นูนออกมา จะได้จำนวนเส้นทแยงมุม A k+1 =(k+1)(k-2)/2

ให้ A 1 A 2 A 3 …A k A k+1 เป็นนูน (k+1)-gon ลองวาดเส้นทแยงมุม A 1 A k ลงไป ในการคำนวณจำนวนเส้นทแยงมุมทั้งหมดของ (k+1)-gon นี้ คุณต้องนับจำนวนเส้นทแยงมุมใน k-gon A 1 A 2 ...A k เพิ่ม k-2 เข้ากับตัวเลขผลลัพธ์ เช่น จำนวนเส้นทแยงมุมของ (k+1)-gon ที่เล็ดลอดออกมาจากจุดยอด A k+1 และนอกจากนี้ ควรคำนึงถึงเส้นทแยงมุม A 1 A k ด้วย

ดังนั้น,

G k+1 =G k +(k-2)+1=k(k-3)/2+k-1=(k+1)(k-2)/2

ดังนั้น A(k) 1 A(k+1) เนื่องจากหลักการของการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์ ข้อความดังกล่าวจึงเป็นจริงสำหรับ n-gon ที่นูนใดๆ

พิสูจน์ว่าสำหรับข้อความใดๆ ต่อไปนี้เป็นจริง:

1 2 +2 2 +3 2 +…+n 2 =n(n+1)(2n+1)/6

วิธีแก้ไข: 1) ให้ n=1 แล้ว

X 1 =1 2 =1(1+1)(2+1)/6=1

2) สมมุติว่า n=k

X k =k 2 =k(k+1)(2k+1)/6

3) พิจารณาข้อความนี้สำหรับ n=k+1

X k+1 =(k+1)(k+2)(2k+3)/6

X k+1 =1 2 +2 2 +3 2 +…+k 2 +(k+1) 2 =k(k+1)(2k+1)/6+ +(k+1) 2

=(k(k+1)(2k+1)+6(k+1) 2)/6=(k+1)(k(2k+1)+

6(k+1))/6=(k+1)(2k 2 +7k+6)/6=(k+1)(2(k+3/2)(k+

2))/6=(k+1)(k+2)(2k+3)/6

เราได้พิสูจน์แล้วว่าความเท่าเทียมกันเป็นจริงสำหรับ n=k+1 ดังนั้น โดยอาศัยวิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ ข้อความดังกล่าวจึงเป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ n

พิสูจน์ว่าสำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ ที่มีความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้:

1 3 +2 3 +3 3 +…+n 3 =n 2 (n+1) 2 /4

วิธีแก้: 1) ให้ n=1

จากนั้น X 1 =1 3 =1 2 (1+1) 2 /4=1. เราจะเห็นว่าสำหรับ n=1 ข้อความนั้นเป็นจริง

2) สมมุติว่าความเท่าเทียมกันเป็นจริงสำหรับ n=k

X k =k 2 (k+1) 2 /4

3) ให้เราพิสูจน์ความจริงของข้อความนี้สำหรับ n=k+1 เช่น

X k+1 =(k+1) 2 (k+2) 2 /4. X k+1 =1 3 +2 3 +…+k 3 +(k+1) 3 =k 2 (k+1) 2 /4+(k+1) 3 =(k 2 (k++1) 2 +4(k+1) 3)/4=(k+1) 2 (k 2 +4k+4)/4=(k+1) 2 (k+2) 2 /4

จากข้อพิสูจน์ข้างต้น เห็นได้ชัดว่าประโยคเป็นจริงสำหรับ n=k+1 ดังนั้น ความเท่าเทียมกันจึงเป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ n

พิสูจน์ว่า

((2 3 +1)/(2 3 -1)) ґ ((3 3 +1)/(3 3 -1)) ґ ... ґ ((n 3 +1)/(n 3 -1) )= 3n(n+1)/2(n 2 +n+1) โดยที่ n>2

วิธีแก้ไข: 1) สำหรับ n=2 ข้อมูลประจำตัวจะมีลักษณะดังนี้:

• (2 3 +1)/(2 3 -1)=(3 ґ 2 ґ 3)/2(2 2 +2+1) เช่น มันเป็นเรื่องจริง
• 2) สมมติว่านิพจน์เป็นจริงสำหรับ n=k
• (2 3 +1)/(2 3 -1) ґ … ґ (k 3 +1)/(k 3 -1)=3k(k+1)/2(k 2 +k+1)
• 3) ให้เราพิสูจน์ความถูกต้องของนิพจน์สำหรับ n=k+1
• (((2 3 +1)/(2 3 -1)) ґ … ґ ((k 3 +1)/(k 3 -1))) ґ (((k+1) 3 +

1)/((k+1) 3 -1))=(3k(k+1)/2(k 2 +k+1)) ґ ((k+2)((k+

1) 2 -(k+1)+1)/k((k+1) 2 +(k+1)+1))=3(k+1)(k+2)/2 ґ

ґ ((k+1) 2 +(k+1)+1)

เราได้พิสูจน์แล้วว่าความเท่าเทียมกันเป็นจริงสำหรับ n=k+1 ดังนั้น โดยอาศัยวิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ ข้อความดังกล่าวจึงเป็นจริงสำหรับ n>2 ใดๆ

พิสูจน์ว่า

1 3 -2 3 +3 3 -4 3 +…+(2n-1) 3 -(2n) 3 =-n 2 (4n+3) สำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ n

วิธีแก้ไข: 1) ให้ n=1 แล้ว

• 1 3 -2 3 =-1 3 (4+3); -7=-7
• 2) สมมุติว่า n=k แล้ว
• 1 3 -2 3 +3 3 -4 3 +…+(2k-1) 3 -(2k) 3 =-k 2 (4k+3)
• 3) ขอให้เราพิสูจน์ความจริงของข้อความนี้สำหรับ n=k+1
• (1 3 -2 3 +…+(2k-1) 3 -(2k) 3)+(2k+1) 3 -(2k+2) 3 =-k 2 (4k+3)+

+(2k+1) 3 -(2k+2) 3 =-(k+1) 3 (4(k+1)+3)

ความถูกต้องของความเท่าเทียมกันสำหรับ n=k+1 ได้รับการพิสูจน์แล้ว ดังนั้น ข้อความดังกล่าวจึงเป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ n

พิสูจน์ตัวตนให้ถูกต้อง

(1 2 /1 ґ 3)+(2 2 /3 ґ 5)+…+(n 2 /(2n-1) ґ (2n+1))=n(n+1)/2(2n+1) สำหรับ n ตามธรรมชาติใดๆ

• 1) สำหรับ n=1 ตัวตนเป็นจริง 1 2 /1 ґ 3=1(1+1)/2(2+1)
• 2) สมมุติว่าสำหรับ n=k
• (1 2 /1 ґ 3)+…+(k 2 /(2k-1) ґ (2k+1))=k(k+1)/2(2k+1)
• 3) ให้เราพิสูจน์ว่าข้อมูลประจำตัวเป็นจริงสำหรับ n=k+1
• (1 2 /1 ґ 3)+…+(k 2 /(2k-1)(2k+1))+(k+1) 2 /(2k+1)(2k+3)=(k(k+ 1 )/2(2k+1))+((k+1) 2 /(2k+1)(2k+3))=((k+1)/(2k+1)) ґ ((k/2 ) +((k+1)/(2k+3)))=(k+1)(k+2) ґ (2k+1)/2(2k+1)(2k+3)=(k+1 ) (k+2)/2(2(k+1)+1)

จากข้อพิสูจน์ข้างต้น เห็นได้ชัดว่าข้อความดังกล่าวเป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ n

พิสูจน์ว่า (11 n+2 +12 2n+1) หารด้วย 133 ลงตัวโดยไม่มีเศษ

วิธีแก้ไข: 1) ให้ n=1 แล้ว

11 3 +12 3 =(11+12)(11 2 -132+12 2)=23 ґ 133

แต่ (23 ґ 133) หารด้วย 133 ลงตัวโดยไม่มีเศษ ซึ่งหมายความว่าสำหรับ n=1 ข้อความนั้นเป็นจริง A(1) เป็นจริง

• 2) สมมุติว่า (11 k+2 +12 2k+1) หารด้วย 133 ลงตัวโดยไม่มีเศษ
• 3) ให้เราพิสูจน์ว่าในกรณีนี้ (11 k+3 +12 2k+3) หารด้วย 133 ลงตัวโดยไม่มีเศษ อย่างแท้จริง
• 11 k+3 +12 2l+3 =11 ґ 11 k+2 +12 2 ґ 12 2k+1 =11 ґ 11 k+2 +

+(11+133) ґ 12 2k+1 =11(11 k+2 +12 2k+1)+133 ґ 12 2k+1

ผลรวมที่ได้จะถูกหารด้วย 133 โดยไม่มีเศษ เนื่องจากเทอมแรกหารด้วย 133 ลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือตามสมมติฐาน และในตัวประกอบตัวที่สองคือ 133 ดังนั้น A(k) 1 A(k+1) โดยอาศัยวิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ ข้อความดังกล่าวจึงได้รับการพิสูจน์แล้ว

พิสูจน์ว่าสำหรับ n 7 n -1 ใดๆ หารด้วย 6 ลงตัวโดยไม่มีเศษ

• 1) ให้ n=1 แล้ว X 1 =7 1 -1=6 หารด้วย 6 โดยไม่มีเศษ ซึ่งหมายความว่าสำหรับ n=1 ข้อความนั้นเป็นจริง
• 2) สมมุติว่าเมื่อ n=k 7 k -1 หารด้วย 6 โดยไม่มีเศษ
• 3) ให้เราพิสูจน์ว่าข้อความดังกล่าวเป็นจริงสำหรับ n=k+1

X k+1 =7 k+1 -1=7 ґ 7 k -7+6=7(7 k -1)+6

เทอมแรกหารด้วย 6 ลงตัว เนื่องจาก 7 k -1 หารด้วย 6 ลงตัว และเทอมที่สองคือ 6 ซึ่งหมายความว่า 7 n -1 เป็นผลคูณของ 6 สำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ n โดยอาศัยวิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ ข้อความดังกล่าวจึงได้รับการพิสูจน์แล้ว

พิสูจน์ว่า 3 3n-1 +2 4n-3 สำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ n หารด้วย 11 ลงตัว

1) ให้ n=1 แล้ว

X 1 =3 3-1 +2 4-3 =3 2 +2 1 =11 หารด้วย 11 โดยไม่มีเศษ.

ซึ่งหมายความว่าสำหรับ n=1 ข้อความนั้นเป็นจริง

• 2) สมมุติว่าเมื่อ n=k X k =3 3k-1 +2 4k-3 หารด้วย 11 โดยไม่มีเศษ
• 3) ให้เราพิสูจน์ว่าข้อความดังกล่าวเป็นจริงสำหรับ n=k+1

X k+1 =3 3(k+1)-1 +2 4(k+1)-3 =3 3k+2 +2 4k+1 =3 3 ґ 3 3k-1 +2 4 ґ 2 4k-3 =

27 ґ 3 3k-1 +16 ґ 2 4k-3 =(16+11) ґ 3 3k-1 +16 ґ 2 4k-3 =16 ґ 3 3k-1 +

11 ґ 3 3k-1 +16 ґ 2 4k-3 =16(3 3k-1 +2 4k-3)+11 ґ 3 3k-1

เทอมแรกหารด้วย 11 ลงตัวโดยไม่มีเศษ เนื่องจาก 3 3k-1 +2 4k-3 หารด้วย 11 ลงตัว ส่วนเทอมที่สองหารด้วย 11 ลงตัว เพราะตัวประกอบตัวหนึ่งคือเลข 11 ซึ่งหมายความว่าผลรวม หารด้วย 11 ลงตัวโดยไม่มีเศษของจำนวนธรรมชาติใดๆ n โดยอาศัยวิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ ข้อความดังกล่าวจึงได้รับการพิสูจน์แล้ว

พิสูจน์ว่า 11 2n -1 สำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ n หารด้วย 6 ลงตัวโดยไม่มีเศษ

• 1) ให้ n=1 แล้ว 11 2 -1=120 หารด้วย 6 ลงตัวโดยไม่มีเศษ ซึ่งหมายความว่าสำหรับ n=1 ข้อความนั้นเป็นจริง
• 2) สมมุติว่าเมื่อ n=k 1 2k -1 หารด้วย 6 โดยไม่มีเศษ
• 11 2(k+1) -1=121 ґ 11 2k -1=120 ґ 11 2k +(11 2k -1)

ทั้งสองพจน์หารด้วย 6 ลงตัวโดยไม่มีเศษ โดยเทอมแรกมีผลคูณของ 6, 120 และเทอมที่สองหารด้วย 6 ลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือตามสมมติฐาน ซึ่งหมายความว่าผลรวมหารด้วย 6 ลงตัวโดยไม่มีเศษ โดยอาศัยวิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ ข้อความดังกล่าวจึงได้รับการพิสูจน์แล้ว

พิสูจน์ว่า 3 3n+3 -26n-27 สำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ n หารด้วย 26 2 (676) ลงตัวโดยไม่มีเศษ

ก่อนอื่นให้เราพิสูจน์ว่า 3 3n+3 -1 หารด้วย 26 ลงตัวโดยไม่มีเศษ

• 1. เมื่อ n=0
• 3 3 -1=26 หารด้วย 26
• 2. สมมุติว่าสำหรับ n=k
• 3 3k+3 -1 หารด้วย 26 ลงตัว
• 3. ให้เราพิสูจน์ว่าข้อความดังกล่าวเป็นจริงสำหรับ n=k+1
• 3 3k+6 -1=27 ґ 3 3k+3 -1=26 ґ 3 3л+3 +(3 3k+3 -1) -หารด้วย 26

ทีนี้ลองพิสูจน์ข้อความที่สร้างขึ้นในข้อความปัญหา

• 1) แน่นอน สำหรับ n=1 ข้อความนั้นเป็นจริง
• 3 3+3 -26-27=676
• 2) สมมุติว่าสำหรับ n=k นิพจน์ 3 3k+3 -26k-27 หารด้วย 26 2 โดยไม่มีเศษ
• 3) ให้เราพิสูจน์ว่าข้อความดังกล่าวเป็นจริงสำหรับ n=k+1
• 3 3k+6 -26(k+1)-27=26(3 3k+3 -1)+(3 3k+3 -26k-27)

ทั้งสองพจน์หารด้วย 26 2 ลงตัว; อันแรกหารด้วย 26 2 ลงตัว เพราะเราได้พิสูจน์แล้วว่านิพจน์ในวงเล็บหารด้วย 26 ลงตัว และอันที่สองหารด้วยสมมติฐานการเหนี่ยวนำลงตัว โดยอาศัยวิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ ข้อความดังกล่าวจึงได้รับการพิสูจน์แล้ว

พิสูจน์ว่าถ้า n>2 และ x>0 แล้วอสมการ (1+x) n >1+n ґ x เป็นจริง

• 1) สำหรับ n=2 ความไม่เท่าเทียมกันนั้นถูกต้อง เนื่องจาก
• (1+x) 2 =1+2x+x 2 >1+2x

ดังนั้น A(2) เป็นจริง

• 2) ขอให้เราพิสูจน์ว่า A(k) หยาบคาย A(k+1) ถ้า k> 2. สมมติว่า A(k) เป็นจริง นั่นคือ อสมการ
• (1+x) k >1+k ґ x (3)

ขอให้เราพิสูจน์ว่า A(k+1) ก็เป็นจริงเช่นกัน นั่นคืออสมการ

(1+x) k+1 >1+(k+1) ґ x

ที่จริงแล้ว เราได้คูณอสมการทั้งสองข้าง (3) ด้วยจำนวนบวก 1+x

(1+x) k+1 >(1+k ґ x)(1+x)

พิจารณาทางด้านขวาของอสมการสุดท้าย เรามี

(1+k ґ x)(1+x)=1+(k+1) ґ x+k ґ x 2 >1+(k+1) ґ x

ผลลัพธ์ที่ได้คือ (1+x) k+1 >1+(k+1) ґ x

ดังนั้น A(k) 1 A(k+1) ตามหลักการของการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์ อาจโต้แย้งได้ว่าความไม่เท่าเทียมกันของเบอร์นูลลีใช้ได้กับ n> 2 ใดๆ

พิสูจน์ว่าอสมการ (1+a+a 2) m > 1+m ґ a+(m(m+1)/2) ґ a 2 สำหรับ a> 0 เป็นจริง

วิธีแก้ไข: 1) เมื่อ m=1

• (1+a+a 2) 1 > 1+a+(2/2) ґ a 2 ทั้งสองข้างเท่ากัน
• 2) สมมุติว่าสำหรับ m=k
• (1+a+a 2) k >1+k ґ a+(k(k+1)/2) ґ a 2
• 3) ให้เราพิสูจน์ว่าสำหรับ m=k+1 อสมการเป็นจริง
• (1+a+a 2) k+1 =(1+a+a 2)(1+a+a 2) k >(1+a+a 2)(1+k ґ a+

+(k(k+1)/2) ґ a 2)=1+(k+1) ґ a+((k(k+1)/2)+k+1) ґ a 2 +

+((k(k+1)/2)+k) ґ a 3 +(k(k+1)/2) ґ a 4 > 1+(k+1) ґ a+

+((k+1)(k+2)/2) ґ ก 2

เราได้พิสูจน์ว่าอสมการเป็นจริงสำหรับ m=k+1 ดังนั้น โดยอาศัยวิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ อสมการนี้ใช้ได้สำหรับ m ธรรมชาติใดๆ

พิสูจน์ว่าสำหรับ n>6 อสมการ 3 n >n ґ 2 n+1 เป็นจริง

ให้เราเขียนอสมการใหม่ในรูปแบบ (3/2) n >2n

• 1. สำหรับ n=7 เรามี 3 7 /2 7 =2187/128>14=2 ґ 7 อสมการเป็นจริง
• 2. สมมุติว่าสำหรับ n=k (3/2) k >2k
• 3) ให้เราพิสูจน์อสมการของ n=k+1
• 3 k+1 /2 k+1 =(3 k /2 k) ґ (3/2)>2k ґ (3/2)=3k>2(k+1)

เนื่องจาก k>7 อสมการสุดท้ายจึงชัดเจน

โดยอาศัยวิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ อสมการจะใช้ได้สำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ n

พิสูจน์ว่าสำหรับ n>2 อสมการเป็นจริง

1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/n 2)<1,7-(1/n)

• 1) สำหรับ n=3 อสมการเป็นจริง
• 1+(1/2 2)+(1/3 2)=245/180
• 2. สมมุติว่าสำหรับ n=k
• 1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/k 2)=1.7-(1/k)
• 3) ให้เราพิสูจน์ความถูกต้องของอสมการสำหรับ n=k+1
• (1+(1/2 2)+…+(1/k 2))+(1/(k+1) 2)

ลองพิสูจน์ว่า 1.7-(1/k)+(1/(k+1) 2)<1,7-(1/k+1) Ы

เอส (1/(k+1) 2)+(1/k+1)<1/k Ы (k+2)/(k+1) 2 <1/k Ы

ы เค(k+2)<(k+1) 2 Ы k 2 +2k

อย่างหลังก็ชัดเจนดังนั้น

1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/(k+1) 2)<1,7-(1/k+1)

โดยอาศัยวิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ ความไม่เท่าเทียมกันจึงได้รับการพิสูจน์แล้ว

การแนะนำ

ส่วนหลัก

1. การปฐมนิเทศที่สมบูรณ์และไม่สมบูรณ์

2. หลักการอุปนัยทางคณิตศาสตร์

3. วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์

4. การแก้ตัวอย่าง

5. ความเท่าเทียมกัน

6. การหารตัวเลข

7. อสมการ

บทสรุป

รายชื่อวรรณกรรมที่ใช้แล้ว

การแนะนำ

พื้นฐานของการวิจัยทางคณิตศาสตร์คือวิธีการนิรนัยและอุปนัย วิธีการให้เหตุผลแบบนิรนัยคือการให้เหตุผลจากเรื่องทั่วไปไปสู่เรื่องเฉพาะเช่น การใช้เหตุผล จุดเริ่มต้นคือผลทั่วไป และจุดสุดท้ายคือผลเฉพาะ การเหนี่ยวนำจะใช้เมื่อย้ายจากผลลัพธ์เฉพาะไปสู่ผลลัพธ์ทั่วไป เช่น เป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามกับวิธีนิรนัย

วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์สามารถเปรียบเทียบได้กับความก้าวหน้า เราเริ่มต้นจากจุดต่ำสุด และจากการคิดเชิงตรรกะ เราก็มาถึงจุดสูงสุด มนุษย์มุ่งมั่นเพื่อความก้าวหน้ามาโดยตลอดเพื่อความสามารถในการพัฒนาความคิดของเขาอย่างมีเหตุผล ซึ่งหมายความว่าธรรมชาติกำหนดให้เขาคิดแบบอุปนัย

แม้ว่าขอบเขตของการประยุกต์ใช้วิธีการปฐมนิเทศทางคณิตศาสตร์จะเติบโตขึ้น แต่ก็มีเวลาเพียงเล็กน้อยในหลักสูตรของโรงเรียน บอกฉันว่าบทเรียนสองหรือสามบทเรียนนั้นจะเป็นประโยชน์ต่อบุคคลหนึ่ง โดยในระหว่างนั้นเขาจะได้ยินคำศัพท์ทางทฤษฎีห้าคำ แก้ปัญหาเบื้องต้นห้าข้อ และผลที่ตามมาก็คือ จะได้รับ A จากข้อเท็จจริงที่ว่าเขาไม่รู้อะไรเลย

แต่สิ่งสำคัญคือต้องสามารถคิดแบบอุปนัยได้

ส่วนหลัก

ในความหมายดั้งเดิม คำว่า "การชักนำ" ใช้กับการให้เหตุผลซึ่งได้ข้อสรุปทั่วไปจากข้อความเฉพาะจำนวนหนึ่ง วิธีที่ง่ายที่สุดในการให้เหตุผลประเภทนี้คือการอุปนัยที่สมบูรณ์ นี่คือตัวอย่างของการให้เหตุผลดังกล่าว

ปล่อยให้จำเป็นต้องพิสูจน์ว่าจำนวนธรรมชาติทุกจำนวน n ภายใน 4< n < 20 представимо в виде суммы двух простых чисел. Для этого возьмём все такие числа и выпишем соответствующие разложения:

4=2+2; 6=3+3; 8=5+3; 10=7+3; 12=7+5;

14=7+7; 16=11+5; 18=13+5; 20=13+7.

ความเท่าเทียมกันทั้งเก้านี้แสดงว่าตัวเลขแต่ละตัวที่เราสนใจนั้นแท้จริงแล้วเป็นผลรวมของคำศัพท์ง่ายๆ สองคำ

ดังนั้น การอุปนัยที่สมบูรณ์ประกอบด้วยการพิสูจน์ข้อความทั่วไปแยกกันในแต่ละกรณีที่เป็นไปได้ในจำนวนจำกัด

บางครั้งผลลัพธ์ทั่วไปสามารถทำนายได้หลังจากพิจารณาไม่ใช่ทั้งหมด แต่มีกรณีเฉพาะจำนวนมากเพียงพอ (ที่เรียกว่าการอุปนัยที่ไม่สมบูรณ์)

อย่างไรก็ตาม ผลลัพธ์ที่ได้จากการเหนี่ยวนำที่ไม่สมบูรณ์จะยังคงอยู่เพียงสมมติฐานจนกว่าจะได้รับการพิสูจน์โดยใช้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ที่แม่นยำ ซึ่งครอบคลุมกรณีพิเศษทั้งหมด กล่าวอีกนัยหนึ่ง การปฐมนิเทศที่ไม่สมบูรณ์ในวิชาคณิตศาสตร์ไม่ถือเป็นวิธีการพิสูจน์ที่เข้มงวดที่ถูกต้องตามกฎหมาย แต่เป็นวิธีการที่ทรงพลังในการค้นพบความจริงใหม่ๆ

ตัวอย่างเช่น คุณต้องการหาผลรวมของเลขคี่ n ตัวแรกที่อยู่ติดกัน พิจารณากรณีพิเศษ:

1+3+5+7+9=25=5 2

หลังจากพิจารณากรณีพิเศษบางกรณีเหล่านี้แล้ว ข้อสรุปทั่วไปต่อไปนี้แนะนำตัวมันเอง:

1+3+5+…+(2n-1)=n 2

เหล่านั้น. ผลรวมของเลขคี่ n ตัวแรกติดต่อกันคือ n 2

แน่นอนว่า การสังเกตที่ทำขึ้นยังไม่สามารถใช้เป็นข้อพิสูจน์ความถูกต้องของสูตรที่กำหนดได้

การปฐมนิเทศแบบสมบูรณ์มีการใช้งานจำกัดในวิชาคณิตศาสตร์เท่านั้น ข้อความทางคณิตศาสตร์ที่น่าสนใจจำนวนมากครอบคลุมกรณีพิเศษจำนวนอนันต์ แต่เราไม่สามารถทดสอบกรณีเหล่านั้นในจำนวนอนันต์ได้ การเหนี่ยวนำที่ไม่สมบูรณ์มักนำไปสู่ผลลัพธ์ที่ผิดพลาด

ในหลายกรณี วิธีออกจากความยากลำบากประเภทนี้คือหันไปใช้วิธีการให้เหตุผลแบบพิเศษ เรียกว่าวิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ มันเป็นดังนี้

สมมติว่าคุณต้องพิสูจน์ความถูกต้องของข้อความจำนวนหนึ่งสำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ n (เช่น คุณต้องพิสูจน์ว่าผลรวมของจำนวนคี่จำนวน n ตัวแรกเท่ากับ n 2) การตรวจสอบคำสั่งนี้โดยตรงสำหรับแต่ละค่าของ n นั้นเป็นไปไม่ได้ เนื่องจากเซตของจำนวนธรรมชาตินั้นไม่มีที่สิ้นสุด เพื่อพิสูจน์ข้อความนี้ ก่อนอื่นให้ตรวจสอบความถูกต้องของ n=1 จากนั้น พวกเขาพิสูจน์ว่าสำหรับค่าธรรมชาติใดๆ ของ k ความถูกต้องของข้อความที่พิจารณาสำหรับ n=k แสดงถึงความถูกต้องของข้อความนั้นสำหรับ n=k+1

จากนั้นข้อความดังกล่าวจะถือว่าได้รับการพิสูจน์แล้วสำหรับ n ทั้งหมด ที่จริงแล้ว ข้อความนั้นเป็นจริงสำหรับ n=1 แต่จำนวนถัดไปก็เป็นจริงเช่นกัน n=1+1=2 ความถูกต้องของคำสั่งสำหรับ n=2 หมายถึงความถูกต้องของคำสั่งสำหรับ n=2+

1=3. นี่แสดงถึงความถูกต้องของคำสั่งสำหรับ n=4 เป็นต้น เห็นได้ชัดว่าในท้ายที่สุด เราจะไปถึงจำนวนธรรมชาติใดๆ n ซึ่งหมายความว่า ข้อความนั้นเป็นจริงสำหรับ n ใดๆ

เมื่อสรุปสิ่งที่กล่าวมา เราได้กำหนดหลักการทั่วไปดังต่อไปนี้

หลักการอุปนัยทางคณิตศาสตร์

ถ้าข้อเสนอ A( n ) ขึ้นอยู่กับจำนวนธรรมชาติ n จริงสำหรับ n =1 และจากข้อเท็จจริงที่ว่าเป็นจริงสำหรับ n=k (ที่ไหน เค -จำนวนธรรมชาติใดๆ) ตามมาด้วยว่าเป็นจริงสำหรับจำนวนถัดไป n=k+1 แล้วสมมุติว่า A( n ) เป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ n .

ในหลายกรณี อาจจำเป็นต้องพิสูจน์ความถูกต้องของข้อความบางข้อความ ไม่ใช่สำหรับจำนวนธรรมชาติทั้งหมด แต่สำหรับ n>p เท่านั้น โดยที่ p คือจำนวนธรรมชาติคงที่ ในกรณีนี้ หลักการของการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์มีการกำหนดไว้ดังนี้ ถ้าข้อเสนอ A( n ) จริงสำหรับ น=พี และถ้า A( เค ) Þ เอ( เค+1) สำหรับใครก็ตาม เค>พี, แล้วประโยค A( น) จริงสำหรับใครก็ตาม ไม่มี>พี

การพิสูจน์โดยใช้วิธีอุปนัยทางคณิตศาสตร์มีดังต่อไปนี้ ขั้นแรก ข้อความที่จะพิสูจน์จะถูกตรวจสอบสำหรับ n=1 เช่น ความจริงของข้อความ A(1) ได้รับการสถาปนาแล้ว การพิสูจน์ส่วนนี้เรียกว่าพื้นฐานการเหนี่ยวนำ จากนั้นก็มาถึงส่วนของการพิสูจน์ที่เรียกว่าขั้นตอนการเหนี่ยวนำ ในส่วนนี้ จะพิสูจน์ความถูกต้องของข้อความสำหรับ n=k+1 ภายใต้สมมติฐานของความถูกต้องของข้อความสำหรับ n=k (สมมติฐานการเหนี่ยวนำ) กล่าวคือ พิสูจน์ว่า A(k)ÞA(k+1)

ตัวอย่างที่ 1

พิสูจน์ว่า 1+3+5+…+(2n-1)=n 2

วิธีแก้ไข: 1) เรามี n=1=1 2 เพราะฉะนั้น,

ข้อความเป็นจริงสำหรับ n=1 เช่น A(1) เป็นจริง

2) ให้เราพิสูจน์ว่า A(k)ÞA(k+1)

ให้ k เป็นจำนวนธรรมชาติใดๆ และปล่อยให้ประโยคเป็นจริงสำหรับ n=k กล่าวคือ

1+3+5+…+(2k-1)=k 2 .

ให้เราพิสูจน์ว่าข้อความดังกล่าวเป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติถัดไป n=k+1 เช่น อะไร

1+3+5+…+(2k+1)=(k+1) 2 .

ในความเป็นจริง,

1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=k 2 +2k+1=(k+1) 2 .

ดังนั้น A(k)ÞA(k+1) ตามหลักการของการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์ เราสรุปได้ว่าสมมติฐาน A(n) เป็นจริงสำหรับ nÎN ใดๆ

ตัวอย่างที่ 2

พิสูจน์ว่า

1+x+x 2 +x 3 +…+x n =(x n+1 -1)/(x-1) โดยที่ x¹1

วิธีแก้ไข: 1) สำหรับ n=1 เราได้

1+x=(x 2 -1)/(x-1)=(x-1)(x+1)/(x-1)=x+1

ดังนั้นสำหรับ n=1 สูตรจึงถูกต้อง A(1) เป็นจริง

2) ให้ k เป็นจำนวนธรรมชาติใดๆ และปล่อยให้สูตรเป็นจริงสำหรับ n=k นั่นคือ

1+x+x 2 +x 3 +…+x k =(x k+1 -1)/(x-1)

ให้เราพิสูจน์ว่าความเท่าเทียมกันยังคงอยู่

1+x+x 2 +x 3 +…+x k +x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1)

อย่างแท้จริง

1+x+x 2 +x 3 +…+x k +x k+1 =(1+x+x 2 +x 3 +…+x k)+x k+1 =

=(x k+1 -1)/(x-1)+x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1)

ดังนั้น A(k)ÞA(k+1) ตามหลักการของการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์ เราสรุปได้ว่าสูตรเป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ n

ตัวอย่างที่ 3

พิสูจน์ว่าจำนวนเส้นทแยงมุมของ n-gon ที่นูนออกมาเท่ากับ n(n-3)/2

วิธีแก้ไข: 1) สำหรับ n=3 ข้อความเป็นจริง

และ 3 มีความหมาย เพราะในรูปสามเหลี่ยม

 A 3 =3(3-3)/2=0 เส้นทแยงมุม;

A 2 A(3) เป็นจริง

2) ให้เราถือว่าในทุก ๆ

เคกอนนูนมี-

A 1 x A k =k(k-3)/2 เส้นทแยงมุม

และ k ลองพิสูจน์มันในส่วนนูนดูสิ

(k+1)-จำนวนกอน

เส้นทแยงมุม A k+1 =(k+1)(k-2)/2

ให้ A 1 A 2 A 3 …A k A k+1 เป็นนูน (k+1)-gon ลองวาดเส้นทแยงมุม A 1 A k ลงไป ในการคำนวณจำนวนเส้นทแยงมุมทั้งหมดของ (k+1)-gon นี้ คุณต้องนับจำนวนเส้นทแยงมุมใน k-gon A 1 A 2 ...A k เพิ่ม k-2 เข้ากับตัวเลขผลลัพธ์ เช่น จำนวนเส้นทแยงมุมของ (k+1)-gon ที่เล็ดลอดออกมาจากจุดยอด A k+1 และนอกจากนี้ ควรคำนึงถึงเส้นทแยงมุม A 1 A k ด้วย

ดังนั้น,

 k+1 = k +(k-2)+1=k(k-3)/2+k-1=(k+1)(k-2)/2

ดังนั้น A(k)ÞA(k+1) เนื่องจากหลักการของการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์ ข้อความดังกล่าวจึงเป็นจริงสำหรับ n-gon ที่นูนใดๆ

ตัวอย่างที่ 4

พิสูจน์ว่าสำหรับข้อความใดๆ ต่อไปนี้เป็นจริง:

1 2 +2 2 +3 2 +…+n 2 =n(n+1)(2n+1)/6.

วิธีแก้ไข: 1) ให้ n=1 แล้ว

X 1 =1 2 =1(1+1)(2+1)/6=1

ซึ่งหมายความว่าสำหรับ n=1 ข้อความนั้นเป็นจริง

2) สมมุติว่า n=k

X k =k 2 =k(k+1)(2k+1)/6

3) พิจารณาข้อความนี้สำหรับ n=k+1

X k+1 =(k+1)(k+2)(2k+3)/6

X k+1 =1 2 +2 2 +3 2 +…+k 2 +(k+1) 2 =k(k+1)(2k+1)/6+ +(k+1) 2 =(k (k+1)(2k+1)+6(k+1) 2)/6=(k+1)(k(2k+1)+

6(k+1))/6=(k+1)(2k 2 +7k+6)/6=(k+1)(2(k+3/2)(k+

2))/6=(k+1)(k+2)(2k+3)/6

เราได้พิสูจน์แล้วว่าความเท่าเทียมกันเป็นจริงสำหรับ n=k+1 ดังนั้น โดยอาศัยวิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ ข้อความดังกล่าวจึงเป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ n

ตัวอย่างที่ 5

พิสูจน์ว่าสำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ n ความเท่าเทียมกันเป็นจริง:

1 3 +2 3 +3 3 +…+n 3 =n 2 (n+1) 2 /4.

วิธีแก้: 1) ให้ n=1

จากนั้น X 1 =1 3 =1 2 (1+1) 2 /4=1.

เราจะเห็นว่าสำหรับ n=1 ข้อความนั้นเป็นจริง

2) สมมุติว่าความเท่าเทียมกันเป็นจริงสำหรับ n=k

วิธีการพิสูจน์ตามสัจพจน์ 4 ของ Peano ใช้เพื่อพิสูจน์คุณสมบัติทางคณิตศาสตร์และข้อความต่างๆ มากมาย พื้นฐานสำหรับสิ่งนี้คือทฤษฎีบทต่อไปนี้

ทฤษฎีบท- ถ้าจะกล่าวถ้อยคำ เอ(น)ด้วยตัวแปรทางธรรมชาติ nจริงสำหรับ n= 1 และจากข้อเท็จจริงที่ว่ามันเป็นเรื่องจริงสำหรับ n = เคตามมาว่าเป็นจริงสำหรับเลขถัดไป n=k,แล้วคำสั่ง เอ(น) n.

การพิสูจน์- ให้เราแสดงโดย มเซตของจำนวนธรรมชาติเหล่านั้นเท่านั้นที่ใช้คำสั่งนี้ เอ(น)จริง. จากเงื่อนไขของทฤษฎีบทเรามี: 1) 1 ม; 2) เคเอ็มเคม- จากนี้ตามสัจพจน์ที่ 4 เราก็สรุปได้ว่า ม =เอ็น, เช่น. คำแถลง เอ(น)เป็นจริงสำหรับธรรมชาติใดๆ n.

วิธีการพิสูจน์ตามทฤษฎีบทนี้เรียกว่า โดยวิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์และสัจพจน์คือสัจพจน์ของการเหนี่ยวนำ หลักฐานนี้ประกอบด้วยสองส่วน:

1) พิสูจน์ว่าข้อความนั้น เอ(น)จริงสำหรับ n= เอ(1);

2) ถือว่าคำสั่งนั้น เอ(น)จริงสำหรับ n = เคและตามสมมติฐานนี้ ให้พิสูจน์ว่าข้อความดังกล่าว หนึ่ง)จริงสำหรับ n = k + 1 กล่าวคือ ว่าคำกล่าวนั้นเป็นความจริง ก(k) ก(k + 1).

ถ้า เอ( 1) ก(ก) ก(เค + 1) - ข้อความจริงแล้วจึงสรุปว่าข้อความนั้น หนึ่ง)จริงสำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ n.

การพิสูจน์โดยวิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์สามารถเริ่มต้นได้ไม่เพียงแต่ด้วยการยืนยันความจริงของข้อความเท่านั้น n= 1 แต่มาจากจำนวนธรรมชาติใดๆ ด้วย ม- ในกรณีนี้ แถลงการณ์ เอ(น)จะถูกพิสูจน์เป็นจำนวนธรรมชาติทั้งหมด นาโนเมตร.

ปัญหา: ลองพิสูจน์ว่าสำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ จะมีความเท่าเทียมกัน 1 + 3 + 5 … + (2 n- 1) = n.

โซลูชั่นความเท่าเทียมกัน 1 + 3 + 5 … + (2 ไม่มี 1) = nเป็นสูตรที่ใช้หาผลรวมของจำนวนธรรมชาติคี่ลำดับแรกติดต่อกันได้ ตัวอย่างเช่น 1 + 3 + 5 + 7 = 4= 16 (ผลรวมมี 4 เทอม), 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 6= 36 (ผลรวมมี 6 เทอม) หากผลรวมนี้มี 20 เทอมของประเภทที่ระบุก็จะเท่ากับ 20 = 400 เป็นต้น เมื่อพิสูจน์ความจริงของความเท่าเทียมกันนี้แล้ว เราจะสามารถค้นหาผลรวมของเงื่อนไขจำนวนเท่าใดก็ได้ของประเภทที่ระบุโดยใช้สูตร

1) ให้เราตรวจสอบความจริงของความเท่าเทียมกันนี้เพื่อ n= 1. เมื่อไหร่ n= 1 ทางด้านซ้ายของความเท่าเทียมกันประกอบด้วยหนึ่งพจน์เท่ากับ 1 ทางด้านขวาเท่ากับ 1= 1 เนื่องจาก 1 = 1 ดังนั้นสำหรับ n= 1 ความเท่าเทียมกันนี้เป็นจริง

2) สมมติว่าความเท่าเทียมกันนี้เป็นจริงสำหรับ n = เค, เช่น. นั่นคือ 1 + 3 + 5 + … + (2 เค- 1) = เคจากสมมติฐานนี้ เราจะพิสูจน์ได้ว่าเป็นจริงสำหรับ n = k + 1 กล่าวคือ 1 + 3 + 5 + … + (2 เค- 1) + (2(เค + 1) - 1) = (เค + 1).

ลองดูที่ด้านซ้ายของความเสมอภาคสุดท้าย

โดยสมมุติว่าผลรวมของอันแรก เคเงื่อนไขจะเท่ากับ เคและดังนั้น 1 + 3 + 5 + … + (2 เค- 1) + (2(เค + 1) - 1) = 1 + 3 + 5 + … + (2เค- 1) + (2เค+ 1)=

= เค+(2เค + 1) = เค+ 2เค + 1. การแสดงออก เค+ 2เค + 1 เท่ากับนิพจน์ ( เค + 1).

ดังนั้นความจริงของความเท่าเทียมกันนี้สำหรับ n = k + 1 ได้รับการพิสูจน์แล้ว

ดังนั้นความเท่าเทียมกันนี้จึงเป็นจริงสำหรับ n= 1 และจากความจริงสำหรับ n = เคจะต้องเป็นจริงสำหรับ n = k + 1.

นี่พิสูจน์ว่าความเท่าเทียมกันนี้เป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ

เมื่อใช้วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ คุณสามารถพิสูจน์ความจริงไม่เพียงแต่ความเท่าเทียมกันเท่านั้น แต่ยังรวมถึงความไม่เท่าเทียมกันด้วย

งาน. พิสูจน์ว่าที่ไหน เอ็นเอ็น

สารละลาย.ให้เราตรวจสอบความจริงของความไม่เท่าเทียมกันได้ที่ n= 1. เรามี - อสมการที่แท้จริง

ให้เราถือว่าความไม่เท่าเทียมกันเป็นจริงสำหรับ n = เคเหล่านั้น. - ความไม่เท่าเทียมกันที่แท้จริง ให้เราพิสูจน์ตามสมมติฐานว่ามันเป็นจริงด้วย n = k + 1 กล่าวคือ (*).

ลองแปลงด้านซ้ายของอสมการ (*) โดยคำนึงว่า: .

แต่ ซึ่งหมายความว่า .

ดังนั้นความไม่เท่าเทียมกันนี้จึงเป็นจริงสำหรับ n= 1 และจากข้อเท็จจริงที่ว่าความไม่เท่าเทียมกันนั้นเป็นจริงสำหรับบางคน n= เคเราพบว่ามันก็จริงสำหรับเช่นกัน n= เค + 1.

ดังนั้น เมื่อใช้สัจพจน์ 4 เราจึงพิสูจน์ว่าอสมการนี้เป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ

ข้อความอื่นๆ สามารถพิสูจน์ได้โดยใช้วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์

งาน. พิสูจน์ว่าสำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ ข้อความนั้นเป็นจริง

สารละลาย- เรามาตรวจสอบความจริงของถ้อยแถลงเมื่อ n= 1: -ข้อความจริง

ให้เราถือว่าข้อความนี้เป็นจริงสำหรับ n = เค- ให้เราแสดงโดยใช้สิ่งนี้ความจริงของข้อความเมื่อ n = k + 1: .

มาแปลงนิพจน์กันเถอะ: . มาหาความแตกต่างกัน เคและ เค+สมาชิก 1 คน หากปรากฎว่าผลต่างที่ได้คือผลคูณของ 7 และโดยสมมุติว่าค่า subtrahend หารด้วย 7 ลงตัว แล้วค่า minuend ก็เป็นผลคูณของ 7 เช่นกัน:

ผลคูณของ 7 ดังนั้น และ

ดังนั้น ข้อความนี้จึงเป็นจริงสำหรับ n= 1 และจากความจริงสำหรับ n = เคจะต้องเป็นจริงสำหรับ n = k + 1.

นี่พิสูจน์ว่าข้อความนี้เป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ

งาน. พิสูจน์สิ่งนั้นสำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ nข้อความที่ 2 (7-1)24 เป็นจริง

สารละลาย. 1) มาตรวจสอบความจริงของคำกล่าวเมื่อใด n= 2: - ข้อความจริง

การเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์เป็นพื้นฐานของวิธีการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์วิธีหนึ่งที่ใช้กันทั่วไป ด้วยความช่วยเหลือนี้ คุณสามารถพิสูจน์สูตรส่วนใหญ่ด้วยจำนวนธรรมชาติ n ได้ เช่น สูตรสำหรับค้นหาผลรวมของเทอมแรกของความก้าวหน้า S n = 2 a 1 + n - 1 d 2 · n ซึ่งเป็นสูตรทวินามของนิวตัน a + b n = C n 0 · a n · C n 1 · a n - 1 · b + - - + C n n - 1 · a · bn - 1 + C n n · bn

ในย่อหน้าแรก เราจะวิเคราะห์แนวคิดพื้นฐาน จากนั้นพิจารณาพื้นฐานของวิธีการนั้นเอง แล้วบอกวิธีใช้เพื่อพิสูจน์ความเท่าเทียมกันและความไม่เท่าเทียมกัน

ยานเดกซ์ RTB R-A-339285-1

แนวคิดเรื่องการอุปนัยและการนิรนัย

ก่อนอื่นเรามาดูกันว่าการเหนี่ยวนำและการนิรนัยโดยทั่วไปเป็นอย่างไร

คำจำกัดความ 1

การเหนี่ยวนำคือการเปลี่ยนผ่านจากเรื่องเฉพาะไปสู่เรื่องทั่วไปและ การหักเงินในทางตรงกันข้าม – จากทั่วไปไปสู่เฉพาะเจาะจง

ตัวอย่างเช่น เรามีคำสั่ง: 254 สามารถหารด้วยสองได้ จากนั้นเราสามารถสรุปได้มากมาย ทั้งจริงและเท็จ ตัวอย่างเช่น ข้อความที่ว่าจำนวนเต็มทั้งหมดที่ลงท้ายด้วยตัวเลข 4 สามารถหารด้วย 2 โดยไม่มีเศษนั้นเป็นจริง แต่ข้อความที่ว่าตัวเลขสามหลักใดๆ หารด้วย 2 ลงตัวนั้นเป็นเท็จ

โดยทั่วไปอาจกล่าวได้ว่าด้วยความช่วยเหลือของการใช้เหตุผลแบบอุปนัย ข้อสรุปหลายประการสามารถสรุปได้จากการให้เหตุผลเดียวที่ทราบหรือชัดเจน การเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์ช่วยให้เราสามารถระบุได้ว่าข้อสรุปเหล่านี้ถูกต้องเพียงใด

สมมติว่าเรามีลำดับตัวเลขในรูปแบบ 1 1 2, 1 2 3, 1 3 4, 1 4 5, . - - , 1 n (n + 1) โดยที่ n หมายถึงจำนวนธรรมชาติบางจำนวน ในกรณีนี้ เมื่อเพิ่มองค์ประกอบแรกของลำดับ เราจะได้ดังต่อไปนี้:

ส 1 = 1 1 2 = 1 2, ส 2 = 1 1 2 + 1 2 3 = 2 3, ส 3 = 1 1 2 + 1 2 3 + 1 3 4 = 3 4, ส 4 = 1 1 · 2 + 1 2 · 3 + 1 3 · 4 + 1 4 · 5 = 4 5 , . - -

เมื่อใช้การเหนี่ยวนำ เราสามารถสรุปได้ว่า S n = n + 1 ในส่วนที่สาม เราจะพิสูจน์สูตรนี้

การเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์มีวิธีการอย่างไร?

วิธีการนี้ใช้หลักการชื่อเดียวกัน เป็นสูตรดังนี้:

คำจำกัดความ 2

ข้อความบางอย่างจะเป็นจริงสำหรับค่าธรรมชาติ n เมื่อ 1) มันจะเป็นจริงสำหรับ n = 1 และ 2) จากข้อเท็จจริงที่ว่านิพจน์นี้ถูกต้องสำหรับค่าธรรมชาติโดยพลการ n = k ตามมาว่ามันจะเป็นจริงสำหรับ n = k + 1 .

การประยุกต์ใช้วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์นั้นดำเนินการใน 3 ขั้นตอน:

1. ขั้นแรก เราตรวจสอบความถูกต้องของข้อความต้นฉบับในกรณีที่ค่าธรรมชาติตามอำเภอใจของ n (โดยปกติแล้วการตรวจสอบจะกระทำเพื่อเอกภาพ)
2. หลังจากนั้นเราจะตรวจสอบความถูกต้องเมื่อ n = k
3. จากนั้นเราจะพิสูจน์ความถูกต้องของข้อความถ้า n = k + 1

วิธีใช้วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์เพื่อแก้อสมการและสมการ

ลองใช้ตัวอย่างที่เราพูดถึงก่อนหน้านี้

ตัวอย่างที่ 1

พิสูจน์สูตร S n = 1 1 · 2 + 1 2 · 3 + . - - + 1 n (n + 1) = n n + 1 .

สารละลาย

ดังที่เราทราบแล้ว หากต้องการใช้วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ จะต้องดำเนินการสามขั้นตอนตามลำดับ

1. ขั้นแรก เราตรวจสอบว่าความเท่าเทียมกันนี้ใช้ได้กับ n เท่ากับ 1 หรือไม่ เราได้ S 1 = 1 1 · 2 = 1 1 + 1 = 1 2 . ทุกอย่างถูกต้องที่นี่
2. ต่อไป เราสมมุติว่าสูตร S k = k k + 1 นั้นถูกต้อง
3. ในขั้นตอนที่สาม เราต้องพิสูจน์ว่า S k + 1 = k + 1 k + 1 + 1 = k + 1 k + 2 ขึ้นอยู่กับความถูกต้องของความเท่าเทียมกันครั้งก่อน

เราสามารถแสดง k + 1 เป็นผลรวมของเทอมแรกของลำดับดั้งเดิมและ k + 1:

S k + 1 = S k + 1 k + 1 (k + 2)

เนื่องจากในการดำเนินการครั้งที่สองเราได้รับว่า S k = k k + 1 เราสามารถเขียนได้ดังต่อไปนี้:

ส k + 1 = ส k + 1 k + 1 (k + 2) .

ตอนนี้เราทำการเปลี่ยนแปลงที่จำเป็น เราจะต้องลดเศษส่วนให้เป็นตัวส่วนร่วม ลดพจน์ที่คล้ายกัน ใช้สูตรคูณแบบย่อ และลดสิ่งที่เราได้รับ:

S k + 1 = S k + 1 k + 1 (k + 2) = k k + 1 + 1 k + 1 (k + 2) = = k (k + 2) + 1 k + 1 (k + 2) = k 2 + 2 k + 1 k + 1 (k + 2) = (k + 1) 2 k + 1 (k + 2) = k + 1 k + 2

ดังนั้นเราจึงได้พิสูจน์ความเท่าเทียมกันในประเด็นที่สามโดยทำตามวิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ทั้งสามขั้นตอนให้เสร็จสิ้น

คำตอบ:สมมติฐานเกี่ยวกับสูตร S n = n n + 1 นั้นถูกต้อง

ลองใช้ปัญหาที่ซับซ้อนกว่านี้กับฟังก์ชันตรีโกณมิติกัน

ตัวอย่างที่ 2

ให้หลักฐานประจำตัว cos 2 α · cos 4 α · . - - · cos 2 n α = บาป 2 n + 1 α 2 n บาป 2 α

สารละลาย

อย่างที่เราจำได้ ขั้นตอนแรกควรตรวจสอบความถูกต้องของความเท่าเทียมกัน เมื่อ n เท่ากับหนึ่ง หากต้องการทราบ เราต้องจำสูตรตรีโกณมิติพื้นฐาน

cos 2 1 = cos 2 α sin 2 1 + 1 α 2 1 sin 2 α = sin 4 α 2 sin 2 α = 2 sin 2 α cos 2 α 2 sin 2 α = cos 2 α

ดังนั้น สำหรับ n เท่ากับ 1 อัตลักษณ์จะเป็นจริง

ตอนนี้สมมติว่าความถูกต้องของมันยังคงเป็นจริงสำหรับ n = k นั่นคือ มันจะเป็นเรื่องจริงที่ cos 2 α · cos 4 α · - - · cos 2 k α = บาป 2 k + 1 α 2 k บาป 2 α

เราพิสูจน์ความเท่าเทียมกัน cos 2 α · cos 4 α · . - - · cos 2 k + 1 α = sin 2 k + 2 α 2 k + 1 sin 2 α สำหรับกรณีที่ n = k + 1 โดยยึดสมมติฐานก่อนหน้านี้เป็นพื้นฐาน

ตามสูตรตรีโกณมิติจะได้ว่า

บาป 2 k + 1 α cos 2 k + 1 α = = 1 2 (บาป (2 k + 1 α + 2 k + 1 α) + บาป (2 k + 1 α - 2 k + 1 α)) = = 1 2 บาป (2 2 k + 1 α) + บาป 0 = 1 2 บาป 2 k + 2 α

เพราะฉะนั้น,

cos 2 α · cos 4 α · . - - · cos 2 k + 1 α = = cos 2 α · cos 4 α · . - - · cos 2 k α · cos 2 k + 1 α = = sin 2 k + 1 α 2 k sin 2 α · cos 2 k + 1 α = 1 2 · sin 2 k + 1 α 2 k sin 2 α = sin 2 k + 2 α 2 k + 1 บาป 2 α

เราได้ยกตัวอย่างการแก้ปัญหาเพื่อพิสูจน์อสมการโดยใช้วิธีนี้ในบทความเกี่ยวกับวิธีกำลังสองน้อยที่สุด อ่านย่อหน้าที่ได้สูตรในการหาค่าสัมประสิทธิ์การประมาณมา

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter