กฎสำหรับการคำนวณลอการิทึม การแก้สมการลอการิทึม

คุณสมบัติหลัก.

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y)

บริเวณที่เหมือนกัน

ล็อก6 4 + ล็อก6 9.

ตอนนี้เรามาทำให้งานซับซ้อนขึ้นเล็กน้อย

ตัวอย่างของการแก้ลอการิทึม

จะเกิดอะไรขึ้นถ้าฐานหรืออาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมเป็นกำลัง? จากนั้นสามารถนำเลขชี้กำลังของระดับนี้ออกจากเครื่องหมายลอการิทึมได้ตามกฎต่อไปนี้:

แน่นอนว่า กฎทั้งหมดนี้สมเหตุสมผลหากสังเกต ODZ ของลอการิทึม: a > 0, a ≠ 1, x >

งาน. ค้นหาความหมายของสำนวน:

การเปลี่ยนไปสู่รากฐานใหม่

ให้ลอการิทึม logax ถูกกำหนดไว้ ดังนั้น สำหรับจำนวน c ใดๆ ที่ c > 0 และ c ≠ 1 ความเท่ากันจะเป็นจริง:

งาน. ค้นหาความหมายของสำนวน:

ดูเพิ่มเติมที่:

คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

เลขชี้กำลังคือ 2.718281828…. หากต้องการจำเลขชี้กำลัง คุณสามารถศึกษากฎได้: เลขชี้กำลังเท่ากับ 2.7 และสองเท่าของปีเกิดของ Leo Nikolaevich Tolstoy

คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม

เมื่อรู้กฎนี้ คุณจะรู้ทั้งค่าที่แน่นอนของเลขยกกำลังและวันเดือนปีเกิดของ Leo Tolstoy

ตัวอย่างลอการิทึม

นิพจน์ลอการิทึม

ตัวอย่างที่ 1
ก) x=10ac^2 (a>0,c>0)

เราคำนวณโดยใช้คุณสมบัติ 3.5

4. ที่ไหน .

ตัวอย่างที่ 2. ค้นหา x ถ้า

ตัวอย่างที่ 3 ให้ค่าลอการิทึมได้รับ

คำนวณบันทึก (x) ถ้า

คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม

ลอการิทึมก็เหมือนกับตัวเลขอื่นๆ ที่สามารถบวก ลบ และแปลงได้ในทุกวิถีทาง แต่เนื่องจากลอการิทึมไม่ใช่ตัวเลขธรรมดาเสียทีเดียว จึงมีกฎที่เรียกว่า คุณสมบัติหลัก.

คุณจำเป็นต้องรู้กฎเหล่านี้อย่างแน่นอน - ไม่ใช่ปัญหาลอการิทึมร้ายแรงแม้แต่ข้อเดียวที่ไม่สามารถแก้ไขได้หากไม่มีกฎเหล่านี้ นอกจากนี้ยังมีน้อยมาก - คุณสามารถเรียนรู้ทุกสิ่งได้ภายในวันเดียว มาเริ่มกันเลย

การบวกและการลบลอการิทึม

พิจารณาลอการิทึมสองตัวที่มีฐานเดียวกัน: logax และ logay จากนั้นจึงสามารถบวกและลบได้ และ:

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y)

ดังนั้น ผลรวมของลอการิทึมเท่ากับลอการิทึมของผลิตภัณฑ์ และผลต่างเท่ากับลอการิทึมของผลหาร โปรดทราบ: จุดสำคัญที่นี่ - บริเวณที่เหมือนกัน- หากเหตุผลแตกต่าง กฎเหล่านี้ใช้ไม่ได้!

สูตรเหล่านี้จะช่วยคุณคำนวณนิพจน์ลอการิทึมแม้ว่าจะไม่ได้พิจารณาแต่ละส่วนก็ตาม (ดูบทเรียน "ลอการิทึมคืออะไร") ดูตัวอย่างและดู:

เนื่องจากลอการิทึมมีฐานเท่ากัน เราจึงใช้สูตรผลรวม:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log2 48 − log2 3

ฐานเท่ากัน เราใช้สูตรผลต่าง:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log3 135 − log3 5

ฐานก็เหมือนกัน ดังนั้นเราจึงได้:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3

อย่างที่คุณเห็น นิพจน์ดั้งเดิมประกอบด้วยลอการิทึมที่ "ไม่ดี" ซึ่งไม่ได้คำนวณแยกกัน แต่หลังจากการแปลงจะได้ตัวเลขปกติโดยสมบูรณ์ หลายคนถูกสร้างขึ้นจากข้อเท็จจริงนี้ การทดสอบ- ใช่ สำนวนที่เหมือนการทดสอบมีการนำเสนออย่างจริงจังทุกประการ (บางครั้งแทบไม่มีการเปลี่ยนแปลงใดๆ) ในการสอบ Unified State

แยกเลขชี้กำลังออกจากลอการิทึม

จะเห็นได้ง่ายว่ากฎข้อสุดท้ายเป็นไปตามสองข้อแรก แต่ยังไงก็ดีกว่าที่จะจำไว้ - ในบางกรณีมันจะลดจำนวนการคำนวณลงอย่างมาก

แน่นอนว่า กฎทั้งหมดนี้สมเหตุสมผลหากสังเกต ODZ ของลอการิทึม: a > 0, a ≠ 1, x > 0 และอีกอย่างหนึ่ง: เรียนรู้การใช้สูตรทั้งหมดไม่เพียงแต่จากซ้ายไปขวาเท่านั้น แต่ยังในทางกลับกันอีกด้วย , เช่น. คุณสามารถป้อนตัวเลขก่อนที่ลอการิทึมจะลงชื่อเข้าใช้ลอการิทึมได้ นี่คือสิ่งที่จำเป็นบ่อยที่สุด

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log7 496

กำจัดระดับของการโต้แย้งโดยใช้สูตรแรก:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

งาน. ค้นหาความหมายของสำนวน:

โปรดทราบว่าตัวส่วนประกอบด้วยลอการิทึม ซึ่งฐานและอาร์กิวเมนต์เป็นกำลังที่แน่นอน: 16 = 24; 49 = 72 เรามี:

ฉันคิดว่าตัวอย่างสุดท้ายต้องมีการชี้แจง ลอการิทึมหายไปไหน? จนถึงวินาทีสุดท้ายที่เราทำงานกับตัวส่วนเท่านั้น

สูตรลอการิทึม โซลูชันตัวอย่างลอการิทึม

เรานำเสนอฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมที่อยู่ตรงนั้นในรูปแบบของกำลังและนำเลขชี้กำลังออกมา - เราได้เศษส่วน "สามชั้น"

ทีนี้มาดูเศษส่วนหลักกัน ตัวเศษและตัวส่วนมีจำนวนเท่ากัน: log2 7 เนื่องจาก log2 7 ≠ 0 เราสามารถลดเศษส่วนได้ - 2/4 จะยังคงอยู่ในตัวส่วน ตามกฎของเลขคณิตแล้วทั้งสี่สามารถโอนไปยังตัวเศษซึ่งเป็นสิ่งที่ทำเสร็จแล้ว ผลลัพธ์คือคำตอบ: 2.

การเปลี่ยนไปสู่รากฐานใหม่

เมื่อพูดถึงกฎสำหรับการบวกและการลบลอการิทึม ฉันเน้นย้ำเป็นพิเศษว่ากฎเหล่านี้ใช้ได้เฉพาะกับฐานเดียวกันเท่านั้น จะทำอย่างไรถ้าเหตุผลต่างกัน? จะเกิดอะไรขึ้นถ้าพวกมันไม่ใช่เลขยกกำลังที่เท่ากัน?

สูตรสำหรับการเปลี่ยนไปใช้รากฐานใหม่มาช่วยเหลือ ให้เรากำหนดพวกมันในรูปแบบของทฤษฎีบท:

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าเราตั้งค่า c = x เราจะได้:

จากสูตรที่สองเป็นไปตามว่าสามารถสลับฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมได้ แต่ในกรณีนี้นิพจน์ทั้งหมดจะ "พลิกกลับ" เช่น ลอการิทึมจะปรากฏในตัวส่วน

สูตรเหล่านี้ไม่ค่อยพบในนิพจน์ตัวเลขทั่วไป มีความเป็นไปได้ที่จะประเมินว่าสะดวกเพียงใดเมื่อแก้สมการลอการิทึมและอสมการเท่านั้น

แต่มีปัญหาที่ไม่สามารถแก้ไขได้เลยนอกจากการย้ายฐานรากใหม่ ลองดูสองสามสิ่งเหล่านี้:

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log5 16 log2 25

โปรดทราบว่าอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมทั้งสองมีกำลังที่แน่นอน มาดูตัวบ่งชี้กัน: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; ล็อก2 25 = ล็อก2 52 = 2ล็อก2 5;

ทีนี้ลอง "ย้อนกลับ" ลอการิทึมที่สอง:

เนื่องจากผลคูณไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อจัดเรียงปัจจัยใหม่ เราจึงคูณสี่และสองอย่างใจเย็น จากนั้นจึงจัดการกับลอการิทึม

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log9 100 lg 3

ฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมแรกคือกำลังที่แน่นอน มาเขียนสิ่งนี้และกำจัดตัวบ่งชี้:

ทีนี้ลองกำจัดลอการิทึมทศนิยมโดยการย้ายไปยังฐานใหม่:

เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน

บ่อยครั้งในกระบวนการแก้ปัญหา จำเป็นต้องแสดงตัวเลขเป็นลอการิทึมของฐานที่กำหนด ในกรณีนี้สูตรต่อไปนี้จะช่วยเรา:

ในกรณีแรก ตัวเลข n จะกลายเป็นเลขชี้กำลังในอาร์กิวเมนต์ จำนวน n สามารถเป็นอะไรก็ได้ เพราะมันเป็นเพียงค่าลอการิทึม

สูตรที่สองเป็นคำจำกัดความที่ถอดความจริงๆ นั่นคือสิ่งที่เรียกว่า: .

อันที่จริง จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเลข b ยกกำลังจนเลข b ยกกำลังนี้ให้เลข a? ถูกต้อง: ผลลัพธ์คือเลข a เดียวกัน อ่านย่อหน้านี้อย่างละเอียดอีกครั้ง หลายๆ คนอาจติดอยู่กับเรื่องนี้

เช่นเดียวกับสูตรสำหรับการย้ายไปยังฐานใหม่ บางครั้งเอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐานก็เป็นวิธีแก้ปัญหาเดียวที่เป็นไปได้

งาน. ค้นหาความหมายของสำนวน:

โปรดทราบว่า log25 64 = log5 8 - แค่เอากำลังสองจากฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึม เมื่อคำนึงถึงกฎในการคูณกำลังด้วยฐานเดียวกัน เราได้รับ:

ถ้าใครไม่รู้ นี่คืองานจริงจากการสอบ Unified State :)

หน่วยลอการิทึมและศูนย์ลอการิทึม

โดยสรุป ฉันจะให้สองตัวตนที่แทบจะเรียกได้ว่าเป็นคุณสมบัติไม่ได้ - แต่เป็นผลสืบเนื่องมาจากคำจำกัดความของลอการิทึม สิ่งเหล่านี้มักเกิดปัญหาอยู่เสมอ และน่าประหลาดใจที่ยังสร้างปัญหาให้กับนักเรียน "ขั้นสูง" อีกด้วย

logaa = 1 คือ จำไว้ทุกครั้ง: ลอการิทึมของฐานใดๆ a ของฐานนั้นจะเท่ากับ 1
โลกา 1 = 0 คือ ฐาน a สามารถเป็นอะไรก็ได้ แต่ถ้าอาร์กิวเมนต์มีหนึ่งค่า ลอการิทึมจะเท่ากับศูนย์! เพราะ a0 = 1 เป็นผลโดยตรงจากนิยาม

นั่นคือคุณสมบัติทั้งหมด อย่าลืมฝึกฝนการนำไปปฏิบัติจริง! ดาวน์โหลดเอกสารสรุปตอนต้นบทเรียน พิมพ์ออกมา และแก้ไขปัญหา

ดูเพิ่มเติมที่:

ลอการิทึมของ b ถึงฐาน a แสดงถึงนิพจน์ การคำนวณลอการิทึมหมายถึงการค้นหากำลัง x () ที่ทำให้ได้ความเท่าเทียมกัน

คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม

จำเป็นต้องทราบคุณสมบัติข้างต้นเนื่องจากปัญหาและตัวอย่างเกือบทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับลอการิทึมได้รับการแก้ไขบนพื้นฐานของปัญหาเหล่านี้ คุณสมบัติแปลกใหม่ที่เหลือสามารถได้มาจากการปรุงแต่งทางคณิตศาสตร์ด้วยสูตรเหล่านี้

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

เมื่อคำนวณสูตรสำหรับผลรวมและผลต่างของลอการิทึม (3.4) คุณมักจะพบบ่อยมาก ส่วนที่เหลือค่อนข้างซับซ้อน แต่ในงานจำนวนหนึ่งสิ่งเหล่านี้ขาดไม่ได้ในการลดความซับซ้อนของนิพจน์ที่ซับซ้อนและการคำนวณค่าของพวกเขา

กรณีทั่วไปของลอการิทึม

ลอการิทึมทั่วไปบางตัวเป็นลอการิทึมที่มีฐานเป็นสิบเลขยกกำลังหรือสอง
ลอการิทึมถึงฐานสิบมักเรียกว่าลอการิทึมทศนิยม และเขียนแทนด้วย lg(x)

จากการบันทึกก็ชัดเจนว่าพื้นฐานไม่ได้ถูกเขียนไว้ในการบันทึก ตัวอย่างเช่น

ลอการิทึมธรรมชาติคือลอการิทึมที่มีฐานเป็นเลขชี้กำลัง (แสดงโดย ln(x))

เลขชี้กำลังคือ 2.718281828…. หากต้องการจำเลขชี้กำลัง คุณสามารถศึกษากฎได้: เลขชี้กำลังเท่ากับ 2.7 และสองเท่าของปีเกิดของ Leo Nikolaevich Tolstoy เมื่อรู้กฎนี้ คุณจะรู้ทั้งค่าที่แน่นอนของเลขยกกำลังและวันเดือนปีเกิดของ Leo Tolstoy

และลอการิทึมสำคัญอีกตัวของฐานสองเขียนแทนด้วย

อนุพันธ์ของลอการิทึมของฟังก์ชันเท่ากับค่าหนึ่งหารด้วยตัวแปร

ลอการิทึมอินทิกรัลหรือแอนติเดริเวทีฟถูกกำหนดโดยความสัมพันธ์

เนื้อหาที่ให้มานั้นเพียงพอสำหรับคุณในการแก้ปัญหาหลายประเภทที่เกี่ยวข้องกับลอการิทึมและลอการิทึม เพื่อช่วยให้คุณเข้าใจเนื้อหา ฉันจะยกตัวอย่างทั่วไปบางส่วนจาก หลักสูตรของโรงเรียนและมหาวิทยาลัย

ตัวอย่างลอการิทึม

นิพจน์ลอการิทึม

ตัวอย่างที่ 1
ก) x=10ac^2 (a>0,c>0)

เราคำนวณโดยใช้คุณสมบัติ 3.5

2.
โดยคุณสมบัติของผลต่างของลอการิทึมที่เรามี

3.
เราพบโดยใช้คุณสมบัติ 3.5

4. ที่ไหน .

นิพจน์ที่ดูเหมือนซับซ้อนจะถูกทำให้ง่ายขึ้นโดยใช้กฎหลายข้อ

การค้นหาค่าลอการิทึม

ตัวอย่างที่ 2. ค้นหา x ถ้า

สารละลาย. สำหรับการคำนวณ เราใช้กับคุณสมบัติ 5 และ 13 เทอมสุดท้าย

เราบันทึกไว้และไว้อาลัย

เนื่องจากฐานเท่ากัน เราจึงจัดนิพจน์ให้เท่ากัน

ลอการิทึม ระดับรายการ

ให้ค่าลอการิทึมได้รับ

คำนวณบันทึก (x) ถ้า

วิธีแก้: ลองใช้ลอการิทึมของตัวแปรเพื่อเขียนลอการิทึมผ่านผลรวมของพจน์ของมัน

นี่เป็นเพียงจุดเริ่มต้นของความคุ้นเคยกับลอการิทึมและคุณสมบัติของพวกมัน ฝึกฝนการคำนวณ เสริมสร้างทักษะการปฏิบัติของคุณ - ในไม่ช้าคุณจะต้องมีความรู้ที่ได้รับในการแก้สมการลอการิทึม เมื่อศึกษาวิธีการพื้นฐานในการแก้สมการดังกล่าวแล้วเราจะขยายความรู้ของคุณไปอีกไม่น้อย หัวข้อสำคัญ- อสมการลอการิทึม...

คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม

การบวกและการลบลอการิทึม

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y)

ดังนั้น ผลรวมของลอการิทึมเท่ากับลอการิทึมของผลิตภัณฑ์ และผลต่างเท่ากับลอการิทึมของผลหาร โปรดทราบ: ประเด็นสำคัญที่นี่คือ บริเวณที่เหมือนกัน- หากเหตุผลแตกต่าง กฎเหล่านี้ใช้ไม่ได้!

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log6 4 + log6 9

เนื่องจากลอการิทึมมีฐานเท่ากัน เราจึงใช้สูตรผลรวม:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log2 48 − log2 3

ฐานเท่ากัน เราใช้สูตรผลต่าง:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log3 135 − log3 5

ฐานก็เหมือนกัน ดังนั้นเราจึงได้:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3

อย่างที่คุณเห็น นิพจน์ดั้งเดิมประกอบด้วยลอการิทึมที่ "ไม่ดี" ซึ่งไม่ได้คำนวณแยกกัน แต่หลังจากการแปลงจะได้ตัวเลขปกติโดยสมบูรณ์ การทดสอบจำนวนมากขึ้นอยู่กับข้อเท็จจริงนี้ ใช่ สำนวนที่เหมือนการทดสอบมีการนำเสนออย่างจริงจังทุกประการ (บางครั้งแทบไม่มีการเปลี่ยนแปลงใดๆ) ในการสอบ Unified State

แยกเลขชี้กำลังออกจากลอการิทึม

ตอนนี้เรามาทำให้งานซับซ้อนขึ้นเล็กน้อย จะเกิดอะไรขึ้นถ้าฐานหรืออาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมเป็นกำลัง? จากนั้นสามารถนำเลขชี้กำลังของระดับนี้ออกจากเครื่องหมายลอการิทึมได้ตามกฎต่อไปนี้:

วิธีแก้ลอการิทึม

นี่คือสิ่งที่จำเป็นบ่อยที่สุด

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log7 496

กำจัดระดับของการโต้แย้งโดยใช้สูตรแรก:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

งาน. ค้นหาความหมายของสำนวน:

ฉันคิดว่าตัวอย่างสุดท้ายต้องมีการชี้แจง ลอการิทึมหายไปไหน? จนถึงวินาทีสุดท้ายที่เราทำงานกับตัวส่วนเท่านั้น เรานำเสนอฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมที่อยู่ตรงนั้นในรูปแบบของกำลังและนำเลขชี้กำลังออกมา - เราได้เศษส่วน "สามชั้น"

การเปลี่ยนไปสู่รากฐานใหม่

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าเราตั้งค่า c = x เราจะได้:

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log5 16 log2 25

ทีนี้ลอง "ย้อนกลับ" ลอการิทึมที่สอง:

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log9 100 lg 3

ทีนี้ลองกำจัดลอการิทึมทศนิยมโดยการย้ายไปยังฐานใหม่:

เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน

สูตรที่สองเป็นคำจำกัดความที่ถอดความจริงๆ นั่นคือสิ่งที่เรียกว่า: .

งาน. ค้นหาความหมายของสำนวน:

ถ้าใครไม่รู้ นี่คืองานจริงจากการสอบ Unified State :)

หน่วยลอการิทึมและศูนย์ลอการิทึม

logaa = 1 คือ จำไว้ทุกครั้ง: ลอการิทึมของฐานใดๆ a ของฐานนั้นจะเท่ากับ 1
โลกา 1 = 0 คือ ฐาน a สามารถเป็นอะไรก็ได้ แต่ถ้าอาร์กิวเมนต์มีหนึ่งค่า ลอการิทึมจะเท่ากับศูนย์! เพราะ a0 = 1 เป็นผลโดยตรงจากนิยาม

(จากภาษากรีก γόγος - "คำ", "ความสัมพันธ์" และ ἀριθμός - "ตัวเลข") ขขึ้นอยู่กับ ก(บันทึก α ข) เรียกว่าตัวเลขดังกล่าว ค, และ ข= คนั่นคือ บันทึกบันทึก α ข=คและ ข=กคเทียบเท่ากัน ลอการิทึมสมเหตุสมผลถ้า a > 0, a ≠ 1, b > 0

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ลอการิทึมตัวเลข ขขึ้นอยู่กับ กกำหนดเป็นเลขชี้กำลังซึ่งจะต้องยกจำนวนขึ้น กเพื่อรับหมายเลข ข(ลอการิทึมมีอยู่เฉพาะสำหรับจำนวนบวกเท่านั้น)

จากสูตรนี้ จะได้ว่าการคำนวณ x= log α ขเทียบเท่ากับการแก้สมการ a x =b

ตัวอย่างเช่น:

บันทึก 2 8 = 3 เพราะ 8 = 2 3

ให้เราเน้นว่าการกำหนดลอการิทึมที่ระบุทำให้สามารถระบุได้ทันที ค่าลอการิทึมเมื่อตัวเลขใต้เครื่องหมายลอการิทึมทำหน้าที่เป็นกำลังหนึ่งของฐาน ที่จริงแล้ว การกำหนดลอการิทึมทำให้สามารถพิสูจน์ได้ว่าถ้า ข=คแล้วตามด้วยลอการิทึมของตัวเลข ขขึ้นอยู่กับ กเท่ากับ กับ- เป็นที่ชัดเจนว่าหัวข้อของลอการิทึมมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับหัวข้อ พลังของตัวเลข.

เรียกว่าการคำนวณลอการิทึม ลอการิทึม- ลอการิทึมคือการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ของการหาลอการิทึม เมื่อพิจารณาลอการิทึม ผลคูณของปัจจัยจะถูกแปลงเป็นผลรวมของพจน์

ศักยภาพคือการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ผกผันของลอการิทึม ในระหว่างการเพิ่มศักยภาพ ฐานที่กำหนดจะถูกยกขึ้นตามระดับของการแสดงออกซึ่งจะดำเนินการเพิ่มศักยภาพ ในกรณีนี้ ผลรวมของพจน์จะเปลี่ยนเป็นผลคูณของปัจจัย

บ่อยครั้ง ลอการิทึมจริงใช้กับฐาน 2 (ไบนารี่) เลขออยเลอร์ e mut 2.718 (ลอการิทึมธรรมชาติ) และ 10 (ทศนิยม)

บน ในขั้นตอนนี้ขอแนะนำให้พิจารณา ตัวอย่างลอการิทึมบันทึก 7 2 , ln √ 5, lg0.0001.

และรายการ lg(-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 ไม่สมเหตุสมผลเนื่องจากในช่วงแรกจะมีการวางจำนวนลบไว้ใต้เครื่องหมายลอการิทึมในวินาทีจะมีจำนวนลบ ในฐาน และตัวที่สามจะมีจำนวนลบอยู่ใต้เครื่องหมายลอการิทึมและมีหน่วยอยู่ที่ฐาน

เงื่อนไขในการกำหนดลอการิทึม

ควรพิจารณาแยกเงื่อนไข a > 0, a ≠ 1, b > 0 ภายใต้สิ่งที่เราได้รับ คำจำกัดความของลอการิทึมลองพิจารณาว่าเหตุใดจึงมีการใช้ข้อจำกัดเหล่านี้ ความเท่าเทียมกันของรูปแบบ x = log α จะช่วยเราในเรื่องนี้ ขเรียกว่าเอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน ซึ่งตามมาจากคำจำกัดความของลอการิทึมที่ระบุข้างต้นโดยตรง

เอาล่ะเอาเงื่อนไข ก≠1- เนื่องจากหนึ่งยกกำลังใด ๆ เท่ากับหนึ่ง ดังนั้นความเท่าเทียมกัน x=log α ขจะอยู่ได้ก็ต่อเมื่อเท่านั้น ข=1แต่บันทึก 1 1 จะเป็นจำนวนจริงใดๆ เราดำเนินการเพื่อขจัดความคลุมเครือนี้ ก≠1.

ให้เราพิสูจน์ความจำเป็นของเงื่อนไข ก>0- ที่ ก=0ตามสูตรลอการิทึมจะมีได้ก็ต่อเมื่อ ข=0- และตามนั้น เข้าสู่ระบบ 0 0สามารถเป็นจำนวนจริงใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ได้ เนื่องจากศูนย์ถึงกำลังที่ไม่เป็นศูนย์ใดๆ จะเป็นศูนย์ ความคลุมเครือนี้สามารถกำจัดได้ตามเงื่อนไข ก≠0- และเมื่อไร ก<0 เราจะต้องปฏิเสธการวิเคราะห์ค่าลอการิทึมที่เป็นตรรกยะและอตรรกยะ เนื่องจากระดับที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะและอตรรกยะถูกกำหนดไว้สำหรับฐานที่ไม่เป็นลบเท่านั้น ด้วยเหตุนี้จึงมีการกำหนดเงื่อนไขไว้ ก>0.

และเงื่อนไขสุดท้าย ข>0ตามมาด้วยความไม่เท่าเทียมกัน ก>0เนื่องจาก x=log α ขและค่าของดีกรีที่มีฐานบวก กเป็นบวกเสมอ

คุณสมบัติของลอการิทึม

ลอการิทึมโดดเด่นด้วยความโดดเด่น คุณสมบัติซึ่งนำไปสู่การใช้อย่างแพร่หลายเพื่ออำนวยความสะดวกในการคำนวณที่ต้องใช้ความอุตสาหะอย่างมาก เมื่อย้าย "เข้าสู่โลกแห่งลอการิทึม" การคูณจะเปลี่ยนเป็นการบวกที่ง่ายกว่ามาก การหารจะเปลี่ยนเป็นการลบ และการยกกำลังและการแยกรากจะถูกเปลี่ยนตามลำดับเป็นการคูณและการหารด้วยเลขชี้กำลัง

การกำหนดลอการิทึมและตารางค่า (สำหรับ ฟังก์ชันตรีโกณมิติ) ได้รับการตีพิมพ์ครั้งแรกในปี 1614 โดยนักคณิตศาสตร์ชาวสก็อต จอห์น เนเปียร์ ตารางลอการิทึมที่ขยายและให้รายละเอียดโดยนักวิทยาศาสตร์คนอื่นๆ ถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในการคำนวณทางวิทยาศาสตร์และทางวิศวกรรม และยังคงมีความเกี่ยวข้องจนกระทั่งมีการใช้เครื่องคิดเลขอิเล็กทรอนิกส์และคอมพิวเตอร์

ตอนนี้เราจะมาดูการแปลงนิพจน์ที่มีลอการิทึมด้วย ตำแหน่งทั่วไป- ที่นี่เราจะตรวจสอบไม่เพียงแต่การแปลงนิพจน์โดยใช้คุณสมบัติของลอการิทึมเท่านั้น แต่ยังพิจารณาการแปลงนิพจน์ด้วยลอการิทึมทั่วไปด้วย ซึ่งไม่เพียงแต่ประกอบด้วยลอการิทึมเท่านั้น แต่ยังรวมถึงกำลัง เศษส่วน ราก ฯลฯ ด้วย ตามปกติเราจะจัดเตรียมเนื้อหาทั้งหมดพร้อมตัวอย่างทั่วไปด้วย คำอธิบายโดยละเอียดการตัดสินใจ

การนำทางหน้า

นิพจน์ที่มีลอการิทึมและนิพจน์ลอการิทึม

การทำสิ่งต่างๆ ด้วยเศษส่วน

ในย่อหน้าก่อนหน้านี้ เราได้ตรวจสอบการแปลงพื้นฐานที่ดำเนินการกับเศษส่วนเดี่ยวที่มีลอการิทึม แน่นอนว่าการแปลงเหล่านี้สามารถทำได้โดยใช้เศษส่วนแต่ละตัวที่เป็นส่วนหนึ่งของนิพจน์ที่ซับซ้อนมากขึ้น เช่น การแทนผลรวม ผลต่าง ผลคูณ และผลหารของเศษส่วนที่คล้ายกัน แต่นอกเหนือจากการทำงานกับเศษส่วนแต่ละส่วนแล้ว การแปลงนิพจน์ประเภทนี้มักจะเกี่ยวข้องกับการดำเนินการที่เกี่ยวข้องกับเศษส่วนด้วย ต่อไปเราจะดูกฎที่ใช้ดำเนินการเหล่านี้

ตั้งแต่ชั้นประถมศึกษาปีที่ 5-6 เรารู้กฎที่ต้องปฏิบัติ ในบทความ ลักษณะทั่วไปของการดำเนินการกับเศษส่วนเราได้ขยายกฎเหล่านี้จากเศษส่วนธรรมดาไปเป็นเศษส่วนในรูปแบบ A/B ทั่วไป โดยที่ A และ B เป็นนิพจน์ตัวเลข ตัวอักษร หรือตัวแปร และ B มีค่าไม่เท่ากันกับศูนย์ เห็นได้ชัดว่าเศษส่วนที่มีลอการิทึมเป็นกรณีพิเศษของเศษส่วนทั่วไป และในเรื่องนี้เป็นที่ชัดเจนว่าการดำเนินการกับเศษส่วนที่มีลอการิทึมในสัญกรณ์นั้นดำเนินการตามกฎเดียวกัน กล่าวคือ:

หากต้องการบวกหรือลบเศษส่วนสองตัวที่มีตัวส่วนเท่ากัน คุณต้องบวกหรือลบตัวเศษตามนั้น แต่ปล่อยให้ตัวส่วนเท่าเดิม
การบวกหรือลบเศษส่วนสองตัวด้วย ตัวส่วนที่แตกต่างกันเราต้องนำพวกเขาไปสู่ ตัวส่วนร่วมและดำเนินการตามความเหมาะสมตามกฎข้อที่แล้ว
ในการคูณเศษส่วนทั้งสอง คุณต้องเขียนเศษส่วนที่มีตัวเศษเป็นผลคูณของตัวเศษของเศษส่วนเดิม และตัวส่วนเป็นผลคูณของตัวส่วน
หากต้องการหารเศษส่วนด้วยเศษส่วน คุณต้องทำ เศษส่วนที่หารได้คูณด้วยเศษส่วนผกผันของตัวหาร นั่นคือด้วยเศษส่วนโดยสลับตัวเศษและส่วน

ต่อไปนี้คือตัวอย่างบางส่วนของวิธีดำเนินการกับเศษส่วนที่มีลอการิทึม

ตัวอย่าง.

ดำเนินการกับเศษส่วนที่มีลอการิทึม: a) , b) , วี) , ก) .

สารละลาย.

ก) ตัวส่วนของเศษส่วนที่บวกจะเท่ากันอย่างเห็นได้ชัด ดังนั้น ตามกฎสำหรับการบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน เราจะบวกตัวเศษและปล่อยให้ตัวส่วนเหมือนเดิม: .

b) ตัวส่วนต่างกันตรงนี้ ดังนั้นก่อนอื่นคุณต้องมี แปลงเศษส่วนให้เป็นตัวส่วนเดียวกัน- ในกรณีของเรา ตัวส่วนถูกนำเสนอในรูปแบบของผลคูณแล้ว และเราต้องทำคือนำตัวส่วนของเศษส่วนแรกมาบวกกับตัวประกอบที่หายไปจากตัวส่วนของเศษส่วนที่สอง วิธีนี้ทำให้เราได้ตัวส่วนร่วมของแบบฟอร์ม - ในกรณีนี้ เศษส่วนที่ถูกลบออกจะถูกนำมาเป็นตัวส่วนร่วมโดยใช้ตัวประกอบเพิ่มเติมในรูปของลอการิทึมและนิพจน์ x 2 ·(x+1) ตามลำดับ หลังจากนี้ สิ่งที่เหลืออยู่คือการลบเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากันซึ่งไม่ใช่เรื่องยาก

ดังนั้นวิธีแก้ปัญหาคือ:

c) เป็นที่รู้กันว่าผลลัพธ์ของการคูณเศษส่วนคือเศษส่วน โดยตัวเศษเป็นผลคูณของตัวเศษ และตัวส่วนเป็นผลคูณของตัวส่วน ดังนั้น

เป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าคุณทำได้ ลดเศษส่วนคูณสองและลอการิทึมทศนิยม ด้วยเหตุนี้เราจึงได้ .

d) เราย้ายจากการหารเศษส่วนเป็นการคูณ โดยแทนที่ตัวหารด้วยเศษส่วนผกผัน ดังนั้น

ตัวเศษของเศษส่วนผลลัพธ์สามารถแสดงเป็น ซึ่งตัวประกอบร่วมของตัวเศษและตัวส่วนมองเห็นได้ชัดเจน - ตัวประกอบ x คุณสามารถลดเศษส่วนได้:

คำตอบ:

ก) , ข) , วี) , ก) .

ควรจำไว้ว่าการดำเนินการกับเศษส่วนนั้นคำนึงถึงลำดับการดำเนินการ: ขั้นแรกการคูณและการหารจากนั้นจึงบวกและลบและหากมีวงเล็บการดำเนินการในวงเล็บจะดำเนินการก่อน

ตัวอย่าง.

ทำสิ่งต่างๆ ด้วยเศษส่วน .

สารละลาย.

ขั้นแรก เพิ่มเศษส่วนในวงเล็บ หลังจากนั้นเราจะคูณ:

คำตอบ:

ณ จุดนี้ยังคงพูดออกมาดัง ๆ สามข้อที่ค่อนข้างชัดเจน แต่ในขณะเดียวกันประเด็นสำคัญ:

การแปลงนิพจน์โดยใช้คุณสมบัติของลอการิทึม

บ่อยครั้งที่การแปลงนิพจน์ด้วยลอการิทึมเกี่ยวข้องกับการใช้อัตลักษณ์ที่แสดงคำจำกัดความของลอการิทึมและ

ดังที่คุณทราบ เมื่อคูณนิพจน์ด้วยกำลัง เลขยกกำลังจะรวมกันเสมอ (a b *a c = a b+c) กฎทางคณิตศาสตร์นี้ได้รับมาจากอาร์คิมิดีส และต่อมาในศตวรรษที่ 8 นักคณิตศาสตร์วีราเซนได้สร้างตารางเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม พวกเขาเป็นผู้ทำหน้าที่ในการค้นพบลอการิทึมเพิ่มเติม ตัวอย่างการใช้ฟังก์ชันนี้สามารถพบได้เกือบทุกที่ซึ่งจำเป็นต้องทำให้การคูณที่ยุ่งยากง่ายขึ้นด้วยการบวกแบบง่ายๆ หากคุณใช้เวลา 10 นาทีในการอ่านบทความนี้ เราจะอธิบายว่าลอการิทึมคืออะไรและจะทำงานร่วมกับลอการิทึมได้อย่างไร ในภาษาที่ง่ายและเข้าถึงได้

ความหมายในวิชาคณิตศาสตร์

ลอการิทึมคือนิพจน์ในรูปแบบต่อไปนี้: log a b=c นั่นคือลอการิทึมของจำนวนที่ไม่เป็นลบ (นั่นคือบวกใดๆ) “b” ไปยังฐาน “a” ถือเป็นกำลัง “c ” ซึ่งจำเป็นต้องเพิ่มฐาน “a” เพื่อให้ได้ค่า "b" ในที่สุด ลองวิเคราะห์ลอการิทึมโดยใช้ตัวอย่าง สมมติว่ามีบันทึกนิพจน์ 2 8 จะหาคำตอบได้อย่างไร? ง่ายมาก คุณต้องค้นหาเลขยกกำลังตั้งแต่ 2 ถึงเลขยกกำลังที่ต้องการ คุณจะได้ 8 หลังจากคำนวณในหัวแล้ว เราก็ได้เลข 3! และนั่นก็จริง เพราะ 2 ยกกำลัง 3 ให้คำตอบเป็น 8

ประเภทของลอการิทึม

สำหรับนักเรียนและนักเรียนหลายคนหัวข้อนี้ดูซับซ้อนและเข้าใจยาก แต่จริงๆ แล้วลอการิทึมไม่ได้น่ากลัวนัก สิ่งสำคัญคือการเข้าใจความหมายทั่วไปและจดจำคุณสมบัติและกฎบางอย่าง มีสาม แต่ละสายพันธุ์นิพจน์ลอการิทึม:

ลอการิทึมธรรมชาติ ln a โดยที่ฐานคือเลขออยเลอร์ (e = 2.7)
ทศนิยม a โดยที่ฐานคือ 10
ลอการิทึมของจำนวนใดๆ b ถึงฐาน a>1

แต่ละรายการได้รับการแก้ไขด้วยวิธีมาตรฐาน รวมถึงการลดความซับซ้อน การลดลง และการลดลงตามมาเป็นลอการิทึมเดียวโดยใช้ทฤษฎีบทลอการิทึม เพื่อให้ได้ค่าลอการิทึมที่ถูกต้องคุณควรจำคุณสมบัติของลอการิทึมและลำดับของการกระทำเมื่อทำการแก้ไข

กฎและข้อจำกัดบางประการ

ในทางคณิตศาสตร์ มีกฎ-ข้อจำกัดหลายประการที่ได้รับการยอมรับว่าเป็นสัจพจน์ กล่าวคือ กฎเหล่านั้นไม่อยู่ภายใต้การอภิปรายและเป็นความจริง ตัวอย่างเช่น เป็นไปไม่ได้ที่จะหารตัวเลขด้วยศูนย์ และเป็นไปไม่ได้ที่จะแยกรากคู่ของจำนวนลบด้วย ลอการิทึมยังมีกฎของตัวเอง ซึ่งคุณสามารถเรียนรู้การทำงานได้อย่างง่ายดาย แม้จะมีนิพจน์ลอการิทึมที่ยาวและมีความจุมาก:

ฐาน "a" จะต้องมากกว่าศูนย์เสมอและไม่เท่ากับ 1 มิฉะนั้นนิพจน์จะสูญเสียความหมายเนื่องจาก "1" และ "0" ในระดับใดก็ตามจะเท่ากับค่าของพวกเขาเสมอ
ถ้า a > 0 แล้วก็ b >0 ปรากฎว่า “c” ต้องมากกว่าศูนย์ด้วย

วิธีการแก้ลอการิทึม?

ตัวอย่างเช่น มอบหมายงานให้ค้นหาคำตอบของสมการ 10 x = 100 ซึ่งง่ายมาก คุณต้องเลือกยกกำลังโดยเพิ่มเลขสิบที่เราได้ 100 ซึ่งแน่นอนว่าคือ 10 2 = 100.

ทีนี้ลองแสดงนิพจน์นี้ในรูปแบบลอการิทึม เราได้บันทึก 10 100 = 2 เมื่อแก้ลอการิทึม การกระทำทั้งหมดจะมาบรรจบกันจริงเพื่อค้นหาพลังที่จำเป็นในการเข้าสู่ฐานของลอการิทึมเพื่อให้ได้ตัวเลขที่กำหนด

หากต้องการระบุค่าของระดับที่ไม่รู้จักอย่างแม่นยำ คุณต้องเรียนรู้วิธีทำงานกับตารางองศา ดูเหมือนว่านี้:

อย่างที่คุณเห็น เลขยกกำลังบางตัวสามารถเดาได้โดยสังหรณ์ใจ หากคุณมีความคิดทางเทคนิคและความรู้เกี่ยวกับตารางสูตรคูณ อย่างไรก็ตามสำหรับ ค่าขนาดใหญ่คุณจะต้องมีตารางองศา มันสามารถใช้ได้แม้กับผู้ที่ไม่รู้อะไรเลยเกี่ยวกับความซับซ้อน หัวข้อทางคณิตศาสตร์- คอลัมน์ด้านซ้ายมีตัวเลข (ฐาน a) แถวบนสุดของตัวเลขคือค่ายกกำลัง c ที่ทำให้ตัวเลข a เพิ่มขึ้น ที่ทางแยก เซลล์จะมีค่าตัวเลขที่เป็นคำตอบ (ac =b) ตัวอย่างเช่น สมมติว่าเซลล์แรกสุดที่มีหมายเลข 10 แล้วยกกำลังสอง เราจะได้ค่า 100 ซึ่งระบุไว้ที่จุดตัดของทั้งสองเซลล์ของเรา ทุกอย่างเรียบง่ายจนแม้แต่นักมนุษยนิยมที่แท้จริงที่สุดก็ยังเข้าใจ!

สมการและอสมการ

ปรากฎว่าภายใต้เงื่อนไขบางประการ เลขชี้กำลังคือลอการิทึม ดังนั้น นิพจน์ตัวเลขทางคณิตศาสตร์ใดๆ จึงสามารถเขียนเป็นความเท่าเทียมกันของลอการิทึมได้ ตัวอย่างเช่น 3 4 =81 สามารถเขียนเป็นลอการิทึมฐาน 3 ของ 81 เท่ากับสี่ (บันทึก 3 81 = 4) สำหรับกำลังลบ กฎจะเหมือนกัน: 2 -5 = 1/32 เราเขียนมันเป็นลอการิทึม เราจะได้บันทึก 2 (1/32) = -5 ส่วนที่น่าสนใจที่สุดส่วนหนึ่งของคณิตศาสตร์คือหัวข้อ "ลอการิทึม" เราจะดูตัวอย่างและคำตอบของสมการด้านล่างทันทีหลังจากศึกษาคุณสมบัติของพวกมัน ตอนนี้เรามาดูกันว่าอสมการมีลักษณะอย่างไรและจะแยกแยะพวกมันออกจากสมการได้อย่างไร

ได้รับนิพจน์ต่อไปนี้: log 2 (x-1) > 3 - เป็นอสมการลอการิทึมเนื่องจากค่าที่ไม่รู้จัก "x" อยู่ภายใต้เครื่องหมายลอการิทึม และในนิพจน์จะมีการเปรียบเทียบปริมาณสองปริมาณ: ลอการิทึมของจำนวนที่ต้องการถึงฐานสองมากกว่าจำนวนสาม

ความแตกต่างที่สำคัญที่สุดระหว่างสมการลอการิทึมและอสมการคือสมการที่มีลอการิทึม (ตัวอย่าง - ลอการิทึม 2 x = √9) แสดงถึงค่าตัวเลขเฉพาะหนึ่งค่าขึ้นไปในคำตอบ ในขณะที่เมื่อแก้อสมการจะถูกกำหนดให้เป็นขอบเขต ค่าที่ยอมรับได้และจุดพักของฟังก์ชันนี้ ด้วยเหตุนี้ คำตอบจึงไม่ใช่ชุดตัวเลขธรรมดาๆ ดังเช่นในคำตอบของสมการ แต่เป็นชุดต่อเนื่องหรือชุดตัวเลข

ทฤษฎีบทพื้นฐานเกี่ยวกับลอการิทึม

เมื่อแก้ไขงานดั้งเดิมในการค้นหาค่าลอการิทึมอาจไม่ทราบคุณสมบัติของมัน อย่างไรก็ตาม เมื่อพูดถึงสมการลอการิทึมหรืออสมการ ก่อนอื่น จำเป็นต้องเข้าใจอย่างชัดเจนและนำไปใช้ในทางปฏิบัติเกี่ยวกับคุณสมบัติพื้นฐานทั้งหมดของลอการิทึม เราจะดูตัวอย่างสมการในภายหลัง เรามาดูรายละเอียดคุณสมบัติแต่ละอย่างกันก่อน

ข้อมูลประจำตัวหลักมีลักษณะดังนี้: a logaB =B ใช้เฉพาะเมื่อ a มากกว่า 0 ไม่เท่ากับ 1 และ B มากกว่าศูนย์
ลอการิทึมของผลิตภัณฑ์สามารถแสดงได้ในสูตรต่อไปนี้: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2 ในกรณีนี้ ข้อกำหนดเบื้องต้นคือ: d, s 1 และ s 2 > 0; ก≠1. คุณสามารถพิสูจน์สูตรลอการิทึมนี้พร้อมตัวอย่างและวิธีแก้ได้ ให้บันทึก a s 1 = f 1 และบันทึก a s 2 = f 2 จากนั้น a f1 = s 1, a f2 = s 2 เราจะได้ว่า s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (คุณสมบัติของ องศา ) จากนั้นตามคำจำกัดความ: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2 ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องพิสูจน์
ลอการิทึมของผลหารมีลักษณะดังนี้: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2
ทฤษฎีบทในรูปแบบของสูตรจะอยู่ในรูปแบบต่อไปนี้: log a q b n = n/q log a b

สูตรนี้เรียกว่า “คุณสมบัติของระดับลอการิทึม” มันคล้ายกับคุณสมบัติขององศาปกติ และไม่น่าแปลกใจเลย เพราะคณิตศาสตร์ทั้งหมดมีพื้นฐานมาจากสมมุติฐานตามธรรมชาติ มาดูหลักฐานกัน

ให้บันทึก a b = t จะได้ว่า t =b ถ้าเรายกกำลังทั้งสองส่วน m: a tn = bn ;

แต่เนื่องจาก tn = (a q) nt/q = bn ดังนั้น ให้บันทึก a q bn = (n*t)/t จากนั้นให้บันทึก a q bn = n/q บันทึก a b ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ตัวอย่างปัญหาและความไม่เท่าเทียมกัน

ประเภทปัญหาที่พบบ่อยที่สุดในลอการิทึมคือตัวอย่างของสมการและอสมการ มีอยู่ในหนังสือปัญหาเกือบทุกเล่ม และยังเป็นส่วนบังคับของการสอบคณิตศาสตร์ด้วย เพื่อเข้าศึกษาต่อในมหาวิทยาลัยหรือสอบผ่าน การสอบเข้าในวิชาคณิตศาสตร์คุณจำเป็นต้องรู้วิธีการแก้ปัญหาดังกล่าวอย่างถูกต้อง

น่าเสียดายที่ไม่มีแผนหรือแผนงานเดียวในการแก้ไขและกำหนดค่าลอการิทึมที่ไม่ทราบ แต่กฎบางอย่างสามารถนำไปใช้กับอสมการทางคณิตศาสตร์หรือสมการลอการิทึมแต่ละรายการได้ ก่อนอื่น คุณควรค้นหาว่านิพจน์นั้นสามารถทำให้ง่ายขึ้นหรือนำไปสู่ได้หรือไม่ ลักษณะทั่วไป- คุณสามารถลดความซับซ้อนของนิพจน์ลอการิทึมแบบยาวได้หากคุณใช้คุณสมบัติอย่างถูกต้อง มาทำความรู้จักกับพวกเขาได้อย่างรวดเร็ว

เมื่อแก้สมการลอการิทึม เราต้องพิจารณาว่าเรามีลอการิทึมประเภทใด: นิพจน์ตัวอย่างอาจมีลอการิทึมธรรมชาติหรือทศนิยม

นี่คือตัวอย่าง ln100, ln1026 วิธีแก้ปัญหาขึ้นอยู่กับข้อเท็จจริงที่ว่าพวกเขาจำเป็นต้องกำหนดกำลังที่ฐาน 10 จะเท่ากับ 100 และ 1,026 ตามลำดับ ในการแก้ลอการิทึมธรรมชาติ คุณต้องใช้อัตลักษณ์ลอการิทึมหรือคุณสมบัติของพวกมัน ลองดูตัวอย่างการแก้ปัญหาลอการิทึมประเภทต่างๆ

วิธีใช้สูตรลอการิทึม: พร้อมตัวอย่างและวิธีแก้ไข

ลองมาดูตัวอย่างการใช้ทฤษฎีบทพื้นฐานเกี่ยวกับลอการิทึมกัน

คุณสมบัติของลอการิทึมของผลิตภัณฑ์สามารถใช้ในงานที่จำเป็นต้องขยายได้ คุ้มค่ามากตัวเลข b เป็นปัจจัยที่ง่ายกว่า เช่น log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512 คำตอบคือ 9
log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - อย่างที่คุณเห็น การใช้คุณสมบัติที่สี่ของกำลังลอการิทึม เราจัดการเพื่อแก้นิพจน์ที่ดูเหมือนซับซ้อนและแก้ไขไม่ได้ คุณเพียงแค่ต้องแยกตัวประกอบฐานแล้วนำค่าเลขชี้กำลังออกจากเครื่องหมายของลอการิทึม

งานที่ได้รับมอบหมายจากการสอบ Unified State

ลอการิทึมมักพบใน การสอบเข้าโดยเฉพาะปัญหาลอการิทึมมากมายในการสอบ Unified State (การสอบสถานะสำหรับผู้สำเร็จการศึกษาระดับโรงเรียนทุกคน) โดยทั่วไปแล้ว งานเหล่านี้ไม่เพียงมีอยู่ในส่วน A (ส่วนทดสอบที่ง่ายที่สุดของการสอบ) แต่ยังอยู่ในส่วน C ด้วย (งานที่ซับซ้อนและมีขนาดใหญ่ที่สุด) การสอบต้องใช้ความรู้ที่ถูกต้องและครบถ้วนในหัวข้อ “ลอการิทึมธรรมชาติ”

ตัวอย่างและวิธีแก้ปัญหานำมาจากทางการ ตัวเลือกการสอบ Unified State- เรามาดูกันว่างานดังกล่าวจะแก้ไขอย่างไร

ให้บันทึก 2 (2x-1) = 4 วิธีแก้ไข:
ลองเขียนนิพจน์ใหม่ โดยลดความซับซ้อนของลอการิทึมเล็กๆ น้อยๆ 2 (2x-1) = 2 2 โดยนิยามของลอการิทึม เราจะได้ 2x-1 = 2 4 ดังนั้น 2x = 17; x = 8.5

วิธีที่ดีที่สุดคือลดลอการิทึมทั้งหมดให้เป็นฐานเดียวกันเพื่อไม่ให้โจทย์ยุ่งยากและสับสน
นิพจน์ทั้งหมดภายใต้เครื่องหมายลอการิทึมจะแสดงเป็นค่าบวก ดังนั้น เมื่อเลขชี้กำลังของนิพจน์ที่อยู่ใต้เครื่องหมายลอการิทึมและเมื่อฐานถูกนำออกมาเป็นตัวคูณ นิพจน์ที่เหลืออยู่ภายใต้ลอการิทึมจะต้องเป็นค่าบวก