วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์

การเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์เป็นพื้นฐานของวิธีการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์วิธีหนึ่งที่ใช้กันทั่วไป สามารถใช้ในการพิสูจน์ได้ ส่วนใหญ่สูตรที่มีจำนวนธรรมชาติ n เช่น สูตรหาผลรวมของเทอมแรกของการก้าวหน้า S n = 2 a 1 + n - 1 d 2 · n, สูตรทวินามของนิวตัน a + b n = C n 0 · a n · C n 1 · n - 1 · b + . - - + C n n - 1 · a · bn - 1 + C n n · bn

ในย่อหน้าแรก เราจะวิเคราะห์แนวคิดพื้นฐาน จากนั้นพิจารณาพื้นฐานของวิธีการนั้นเอง แล้วบอกวิธีใช้เพื่อพิสูจน์ความเท่าเทียมกันและความไม่เท่าเทียมกัน

ยานเดกซ์ RTB R-A-339285-1

แนวคิดเรื่องการอุปนัยและการนิรนัย

ก่อนอื่นเรามาดูกันว่าการเหนี่ยวนำและการนิรนัยโดยทั่วไปเป็นอย่างไร

คำจำกัดความ 1

การเหนี่ยวนำคือการเปลี่ยนผ่านจากเรื่องเฉพาะไปสู่เรื่องทั่วไปและ การหักเงินในทางตรงกันข้าม – จากทั่วไปไปสู่เฉพาะเจาะจง

ตัวอย่างเช่น เรามีคำสั่ง: 254 สามารถหารด้วยสองได้ จากนั้นเราสามารถสรุปได้มากมาย ทั้งจริงและเท็จ ตัวอย่างเช่น ข้อความที่ว่าจำนวนเต็มทั้งหมดที่ลงท้ายด้วยตัวเลข 4 สามารถหารด้วย 2 โดยไม่มีเศษนั้นเป็นจริง แต่ข้อความที่ว่าตัวเลขสามหลักใดๆ หารด้วย 2 ลงตัวนั้นเป็นเท็จ

โดยทั่วไปอาจกล่าวได้ว่าด้วยความช่วยเหลือของการใช้เหตุผลแบบอุปนัย ข้อสรุปหลายประการสามารถสรุปได้จากการให้เหตุผลเดียวที่ทราบหรือชัดเจน การเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์ช่วยให้เราสามารถระบุได้ว่าข้อสรุปเหล่านี้ถูกต้องเพียงใด

สมมติว่าเรามีลำดับตัวเลขในรูปแบบ 1 1 2, 1 2 3, 1 3 4, 1 4 5, . - - , 1 n (n + 1) โดยที่ n หมายถึงบางส่วน จำนวนธรรมชาติ- ในกรณีนี้ เมื่อเพิ่มองค์ประกอบแรกของลำดับ เราจะได้ดังต่อไปนี้:

ส 1 = 1 1 2 = 1 2, ส 2 = 1 1 2 + 1 2 3 = 2 3, ส 3 = 1 1 2 + 1 2 3 + 1 3 4 = 3 4, ส 4 = 1 1 · 2 + 1 2 · 3 + 1 3 · 4 + 1 4 · 5 = 4 5 , . - -

เมื่อใช้การเหนี่ยวนำ เราสามารถสรุปได้ว่า S n = n + 1 ในส่วนที่สาม เราจะพิสูจน์สูตรนี้

การเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์มีวิธีการอย่างไร?

วิธีการนี้ใช้หลักการชื่อเดียวกัน เป็นสูตรดังนี้:

คำจำกัดความ 2

ข้อความบางอย่างจะเป็นจริงสำหรับค่าธรรมชาติ n เมื่อ 1) มันจะเป็นจริงสำหรับ n = 1 และ 2) จากข้อเท็จจริงที่ว่านิพจน์นี้ถูกต้องสำหรับค่าธรรมชาติโดยพลการ n = k ตามมาว่ามันจะเป็นจริงสำหรับ n = k + 1 .

การประยุกต์ใช้วิธีการ การเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์ดำเนินการใน 3 ขั้นตอน:

ขั้นแรก เราตรวจสอบความถูกต้องของข้อความต้นฉบับในกรณีที่ค่าธรรมชาติตามอำเภอใจของ n (โดยปกติแล้วการตรวจสอบจะกระทำเพื่อเอกภาพ)
หลังจากนั้นเราจะตรวจสอบความถูกต้องเมื่อ n = k
จากนั้นเราจะพิสูจน์ความถูกต้องของข้อความถ้า n = k + 1

วิธีใช้วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์เพื่อแก้อสมการและสมการ

ลองใช้ตัวอย่างที่เราพูดถึงก่อนหน้านี้

ตัวอย่างที่ 1

พิสูจน์สูตร S n = 1 1 · 2 + 1 2 · 3 + . - - + 1 n (n + 1) = n n + 1 .

สารละลาย

ดังที่เราทราบแล้ว หากต้องการใช้วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ จะต้องดำเนินการสามขั้นตอนตามลำดับ

ขั้นแรก เราตรวจสอบว่าความเท่าเทียมกันนี้จะถูกต้องสำหรับ n หรือไม่ เท่ากับหนึ่ง- เราได้ S 1 = 1 1 · 2 = 1 1 + 1 = 1 2 . ทุกอย่างถูกต้องที่นี่
ต่อไป เราสมมุติว่าสูตร S k = k k + 1 นั้นถูกต้อง
ในขั้นตอนที่สาม เราต้องพิสูจน์ว่า S k + 1 = k + 1 k + 1 + 1 = k + 1 k + 2 ขึ้นอยู่กับความถูกต้องของความเท่าเทียมกันครั้งก่อน

เราสามารถแสดง k + 1 เป็นผลรวมของเทอมแรกของลำดับดั้งเดิมและ k + 1:

S k + 1 = S k + 1 k + 1 (k + 2)

เนื่องจากในการดำเนินการครั้งที่สองเราได้รับว่า S k = k k + 1 เราสามารถเขียนได้ดังต่อไปนี้:

ส k + 1 = ส k + 1 k + 1 (k + 2) .

ตอนนี้เราทำการเปลี่ยนแปลงที่จำเป็น เราจะต้องแปลงเศษส่วนเป็น ตัวส่วนร่วมนำคำที่คล้ายกันมาใช้สูตรคูณแบบย่อและลดสิ่งที่เกิดขึ้น:

S k + 1 = S k + 1 k + 1 (k + 2) = k k + 1 + 1 k + 1 (k + 2) = = k (k + 2) + 1 k + 1 (k + 2) = k 2 + 2 k + 1 k + 1 (k + 2) = (k + 1) 2 k + 1 (k + 2) = k + 1 k + 2

ดังนั้นเราจึงได้พิสูจน์ความเท่าเทียมกันในประเด็นที่สามโดยทำตามวิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ทั้งสามขั้นตอนให้เสร็จสิ้น

คำตอบ:สมมติฐานเกี่ยวกับสูตร S n = n n + 1 นั้นถูกต้อง

ลองใช้ปัญหาที่ซับซ้อนกว่านี้กับฟังก์ชันตรีโกณมิติกัน

ตัวอย่างที่ 2

ให้หลักฐานประจำตัว cos 2 α · cos 4 α · . - - · cos 2 n α = บาป 2 n + 1 α 2 n บาป 2 α

สารละลาย

อย่างที่เราจำได้ ขั้นตอนแรกควรตรวจสอบความถูกต้องของความเท่าเทียมกัน เมื่อ n เท่ากับหนึ่ง หากต้องการทราบ เราต้องจำสูตรตรีโกณมิติพื้นฐาน

cos 2 1 = cos 2 α sin 2 1 + 1 α 2 1 sin 2 α = sin 4 α 2 sin 2 α = 2 sin 2 α cos 2 α 2 sin 2 α = cos 2 α

ดังนั้น สำหรับ n เท่ากับ 1 อัตลักษณ์จะเป็นจริง

ตอนนี้สมมติว่าความถูกต้องของมันยังคงเป็นจริงสำหรับ n = k นั่นคือ มันจะเป็นเรื่องจริงที่ cos 2 α · cos 4 α · - - · cos 2 k α = บาป 2 k + 1 α 2 k บาป 2 α

เราพิสูจน์ความเท่าเทียมกัน cos 2 α · cos 4 α · . - - · cos 2 k + 1 α = sin 2 k + 2 α 2 k + 1 sin 2 α สำหรับกรณีที่ n = k + 1 โดยยึดสมมติฐานก่อนหน้านี้เป็นพื้นฐาน

ตามสูตรตรีโกณมิติจะได้ว่า

บาป 2 k + 1 α cos 2 k + 1 α = = 1 2 (บาป (2 k + 1 α + 2 k + 1 α) + บาป (2 k + 1 α - 2 k + 1 α)) = = 1 2 บาป (2 2 k + 1 α) + บาป 0 = 1 2 บาป 2 k + 2 α

เพราะฉะนั้น,

cos 2 α · cos 4 α · . - - · cos 2 k + 1 α = = cos 2 α · cos 4 α · . - - · cos 2 k α · cos 2 k + 1 α = = sin 2 k + 1 α 2 k sin 2 α · cos 2 k + 1 α = 1 2 · sin 2 k + 1 α 2 k sin 2 α = sin 2 k + 2 α 2 k + 1 บาป 2 α

เราได้ยกตัวอย่างการแก้ปัญหาเพื่อพิสูจน์อสมการโดยใช้วิธีนี้ในบทความเกี่ยวกับวิธีกำลังสองน้อยที่สุด อ่านย่อหน้าที่ได้สูตรในการหาค่าสัมประสิทธิ์การประมาณมา

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

วิธีการพิสูจน์ตามสัจพจน์ 4 ของ Peano ใช้เพื่อพิสูจน์คุณสมบัติทางคณิตศาสตร์และข้อความต่างๆ มากมาย พื้นฐานสำหรับสิ่งนี้คือทฤษฎีบทต่อไปนี้

ทฤษฎีบท- ถ้าจะกล่าวถ้อยคำ เอ(น)ด้วยตัวแปรทางธรรมชาติ nจริงสำหรับ n= 1 และจากข้อเท็จจริงที่ว่ามันเป็นเรื่องจริงสำหรับ n = เคตามมาว่าเป็นจริงสำหรับเลขถัดไป n=k,แล้วคำสั่ง เอ(น) n.

การพิสูจน์- ให้เราแสดงโดย มเซตของจำนวนธรรมชาติเหล่านั้นเท่านั้นที่ใช้คำสั่งนี้ เอ(น)จริง. จากเงื่อนไขของทฤษฎีบทเรามี: 1) 1 ม; 2) เคเอ็มเคม- จากนี้ตามสัจพจน์ที่ 4 เราก็สรุปได้ว่า ม =เอ็น, เช่น. คำแถลง เอ(น)เป็นจริงสำหรับธรรมชาติใดๆ n.

วิธีการพิสูจน์ตามทฤษฎีบทนี้เรียกว่า โดยวิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์และสัจพจน์คือสัจพจน์ของการเหนี่ยวนำ หลักฐานนี้ประกอบด้วยสองส่วน:

1) พิสูจน์ว่าข้อความนั้น เอ(น)จริงสำหรับ n= เอ(1);

2) ถือว่าคำสั่งนั้น เอ(น)จริงสำหรับ n = เคและตามสมมติฐานนี้ ให้พิสูจน์ว่าข้อความดังกล่าว หนึ่ง)จริงสำหรับ n = k + 1 กล่าวคือ ว่าคำกล่าวนั้นเป็นความจริง ก(k) ก(k + 1).

ถ้า เอ( 1) ก(ก) ก(เค + 1) - ข้อความจริงแล้วจึงสรุปว่าข้อความนั้น หนึ่ง)จริงสำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ n.

การพิสูจน์โดยวิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์สามารถเริ่มต้นได้ไม่เพียงแต่ด้วยการยืนยันความจริงของข้อความเท่านั้น n= 1 แต่มาจากจำนวนธรรมชาติใดๆ ด้วย ม- ในกรณีนี้ แถลงการณ์ เอ(น)จะถูกพิสูจน์เป็นจำนวนธรรมชาติทั้งหมด นาโนเมตร.

ปัญหา: ลองพิสูจน์ว่าสำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ จะมีความเท่าเทียมกัน 1 + 3 + 5 … + (2 n- 1) = n.

สารละลาย.ความเท่าเทียมกัน 1 + 3 + 5 … + (2 ไม่มี 1) = nเป็นสูตรที่ใช้หาผลรวมของจำนวนธรรมชาติคี่ลำดับแรกติดต่อกันได้ ตัวอย่างเช่น 1 + 3 + 5 + 7 = 4= 16 (ผลรวมมี 4 เทอม), 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 6= 36 (ผลรวมมี 6 เทอม) หากผลรวมนี้มี 20 เทอมของประเภทที่ระบุก็จะเท่ากับ 20 = 400 เป็นต้น เมื่อพิสูจน์ความจริงของความเท่าเทียมกันนี้แล้ว เราจะสามารถค้นหาผลรวมของเงื่อนไขจำนวนเท่าใดก็ได้ของประเภทที่ระบุโดยใช้สูตร

1) ให้เราตรวจสอบความจริงของความเท่าเทียมกันนี้เพื่อ n= 1. เมื่อไหร่ n= 1 ทางด้านซ้ายของความเสมอภาคประกอบด้วยหนึ่งพจน์เท่ากับ 1 ด้านขวาเท่ากับ 1= 1 เนื่องจาก 1 = 1 ดังนั้นสำหรับ n= 1 ความเท่าเทียมกันนี้เป็นจริง

2) สมมติว่าความเท่าเทียมกันนี้เป็นจริงสำหรับ n = เค, เช่น. นั่นคือ 1 + 3 + 5 + … + (2 เค- 1) = เคจากสมมติฐานนี้ เราจะพิสูจน์ได้ว่าเป็นจริงสำหรับ n = k + 1 กล่าวคือ 1 + 3 + 5 + … + (2 เค- 1) + (2(เค + 1) - 1) = (เค + 1).

ลองดูที่ด้านซ้ายของความเสมอภาคสุดท้าย

โดยสมมุติว่าผลรวมของอันแรก เคเงื่อนไขจะเท่ากับ เคและดังนั้น 1 + 3 + 5 + … + (2 เค- 1) + (2(เค + 1) - 1) = 1 + 3 + 5 + … + (2เค- 1) + (2เค+ 1)=

= เค+(2เค + 1) = เค+ 2เค + 1. การแสดงออก เค+ 2เค + 1 เท่ากับนิพจน์ ( เค + 1).

ดังนั้นความจริงของความเท่าเทียมกันนี้สำหรับ n = k + 1 ได้รับการพิสูจน์แล้ว

ดังนั้นความเท่าเทียมกันนี้จึงเป็นจริงสำหรับ n= 1 และจากความจริงสำหรับ n = เคจะต้องเป็นจริงสำหรับ n = k + 1.

นี่พิสูจน์ว่าความเท่าเทียมกันนี้เป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ

เมื่อใช้วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ คุณสามารถพิสูจน์ความจริงไม่เพียงแต่ความเท่าเทียมกันเท่านั้น แต่ยังรวมถึงความไม่เท่าเทียมกันด้วย

งาน. พิสูจน์ว่าที่ไหน เอ็นเอ็น

สารละลาย.ให้เราตรวจสอบความจริงของความไม่เท่าเทียมกันได้ที่ n= 1. เรามี - อสมการที่แท้จริง

ให้เราถือว่าความไม่เท่าเทียมกันเป็นจริงสำหรับ n = เคเหล่านั้น. - ความไม่เท่าเทียมกันที่แท้จริง ให้เราพิสูจน์ตามสมมติฐานว่ามันเป็นจริงด้วย n = k + 1 กล่าวคือ (*).

ลองแปลงด้านซ้ายของอสมการ (*) โดยคำนึงว่า: .

แต่ ซึ่งหมายความว่า .

ดังนั้นความไม่เท่าเทียมกันนี้จึงเป็นจริงสำหรับ n= 1 และจากข้อเท็จจริงที่ว่าความไม่เท่าเทียมกันนั้นเป็นจริงสำหรับบางคน n= เคเราพบว่ามันก็จริงสำหรับเช่นกัน n= เค + 1.

ดังนั้น เมื่อใช้สัจพจน์ 4 เราจึงพิสูจน์ว่าอสมการนี้เป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ

ข้อความอื่นๆ สามารถพิสูจน์ได้โดยใช้วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์

งาน. พิสูจน์ว่าสำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ ข้อความนั้นเป็นจริง

สารละลาย- เรามาตรวจสอบความจริงของถ้อยแถลงเมื่อ n= 1: -ข้อความจริง

ให้เราถือว่าข้อความนี้เป็นจริงสำหรับ n = เค- ให้เราแสดงโดยใช้สิ่งนี้ความจริงของข้อความเมื่อ n = k + 1: .

มาแปลงนิพจน์กันเถอะ: . มาหาความแตกต่างกัน เคและ เค+สมาชิก 1 คน หากปรากฎว่าผลต่างที่ได้คือผลคูณของ 7 และโดยสมมุติว่าค่า subtrahend หารด้วย 7 ลงตัว แล้วค่า minuend ก็เป็นผลคูณของ 7 เช่นกัน:

ผลคูณของ 7 ดังนั้น และ

ดังนั้น ข้อความนี้จึงเป็นจริงสำหรับ n= 1 และจากความจริงสำหรับ n = เคจะต้องเป็นจริงสำหรับ n = k + 1.

นี่พิสูจน์ว่าข้อความนี้เป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ

งาน. พิสูจน์สิ่งนั้นสำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ nข้อความที่ 2 (7-1)24 เป็นจริง

สารละลาย. 1) มาตรวจสอบความจริงของคำกล่าวเมื่อใด n= 2: - ข้อความจริง

การแนะนำ

ส่วนหลัก

1. การปฐมนิเทศที่สมบูรณ์และไม่สมบูรณ์

2. หลักการอุปนัยทางคณิตศาสตร์

3. วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์

4. การแก้ตัวอย่าง

5. ความเท่าเทียมกัน

6. การหารตัวเลข

7. อสมการ

บทสรุป

รายชื่อวรรณกรรมที่ใช้แล้ว

การแนะนำ

พื้นฐานของการวิจัยทางคณิตศาสตร์คือวิธีการนิรนัยและอุปนัย วิธีการนิรนัยการใช้เหตุผลคือการให้เหตุผลจากเรื่องทั่วไปไปสู่เรื่องเฉพาะเช่น การใช้เหตุผล จุดเริ่มต้นคือผลทั่วไป และจุดสุดท้ายคือผลเฉพาะ การเหนี่ยวนำจะใช้เมื่อย้ายจากผลลัพธ์เฉพาะไปสู่ผลลัพธ์ทั่วไป เช่น เป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามกับวิธีนิรนัย

วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์สามารถเปรียบเทียบได้กับความก้าวหน้า เราเริ่มจากด้านล่างเป็นผล การคิดเชิงตรรกะเรามาถึงจุดสูงสุด มนุษย์มุ่งมั่นเพื่อความก้าวหน้ามาโดยตลอดเพื่อความสามารถในการพัฒนาความคิดของเขาอย่างมีเหตุผล ซึ่งหมายความว่าธรรมชาติกำหนดให้เขาคิดแบบอุปนัย

แม้ว่าขอบเขตของการประยุกต์ใช้วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์จะเติบโตขึ้น หลักสูตรของโรงเรียนเขาได้รับเวลาเพียงเล็กน้อย บอกฉันว่าบทเรียนสองหรือสามบทเรียนนั้นจะเป็นประโยชน์ต่อบุคคลหนึ่ง โดยในระหว่างนั้นเขาจะได้ยินคำศัพท์ทางทฤษฎีห้าคำ แก้ปัญหาเบื้องต้นห้าข้อ และผลที่ตามมาก็คือ จะได้รับ A จากข้อเท็จจริงที่ว่าเขาไม่รู้อะไรเลย

แต่สิ่งสำคัญคือต้องสามารถคิดแบบอุปนัยได้

ส่วนหลัก

ในความหมายดั้งเดิม คำว่า "การชักนำ" ใช้กับการให้เหตุผลซึ่งได้ข้อสรุปทั่วไปจากข้อความเฉพาะจำนวนหนึ่ง วิธีที่ง่ายที่สุดในการให้เหตุผลประเภทนี้คือการอุปนัยที่สมบูรณ์ นี่คือตัวอย่างของการให้เหตุผลดังกล่าว

ปล่อยให้จำเป็นต้องพิสูจน์ว่าจำนวนธรรมชาติทุกจำนวน n ภายใน 4< n < 20 представимо в виде суммы двух หมายเลขเฉพาะ- เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ให้นำตัวเลขดังกล่าวทั้งหมดแล้วเขียนส่วนขยายที่เกี่ยวข้อง:

4=2+2; 6=3+3; 8=5+3; 10=7+3; 12=7+5;

14=7+7; 16=11+5; 18=13+5; 20=13+7.

ความเท่าเทียมกันทั้งเก้านี้แสดงว่าตัวเลขแต่ละตัวที่เราสนใจนั้นแท้จริงแล้วเป็นผลรวมของคำศัพท์ง่ายๆ สองคำ

ดังนั้น การอุปนัยที่สมบูรณ์ประกอบด้วยการพิสูจน์ข้อความทั่วไปแยกกันในแต่ละกรณีที่เป็นไปได้ในจำนวนจำกัด

บางครั้งผลลัพธ์โดยรวมสามารถคาดเดาได้หลังจากพิจารณาไม่ทั้งหมดแต่ก็เพียงพอแล้ว จำนวนมากกรณีพิเศษ (เรียกว่าการปฐมนิเทศที่ไม่สมบูรณ์)

อย่างไรก็ตาม ผลลัพธ์ที่ได้จากการเหนี่ยวนำที่ไม่สมบูรณ์จะยังคงอยู่เพียงสมมติฐานจนกว่าจะได้รับการพิสูจน์โดยใช้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ที่แม่นยำ ซึ่งครอบคลุมกรณีพิเศษทั้งหมด กล่าวอีกนัยหนึ่ง การปฐมนิเทศที่ไม่สมบูรณ์ในวิชาคณิตศาสตร์ไม่ถือเป็นวิธีการพิสูจน์ที่เข้มงวดที่ถูกต้องตามกฎหมาย แต่เป็นวิธีการที่ทรงพลังในการค้นพบความจริงใหม่ๆ

ตัวอย่างเช่น คุณต้องการหาผลรวมของเลขคี่ n ตัวแรกที่อยู่ติดกัน พิจารณากรณีพิเศษ:

1+3+5+7+9=25=5 2

หลังจากพิจารณากรณีพิเศษบางกรณีเหล่านี้แล้ว ข้อสรุปทั่วไปต่อไปนี้แนะนำตัวมันเอง:

1+3+5+…+(2n-1)=n 2

เหล่านั้น. ผลรวมของเลขคี่ n ตัวแรกติดต่อกันคือ n 2

แน่นอนว่า การสังเกตที่ทำขึ้นยังไม่สามารถใช้เป็นข้อพิสูจน์ความถูกต้องของสูตรที่กำหนดได้

การปฐมนิเทศแบบสมบูรณ์มีการใช้งานจำกัดในวิชาคณิตศาสตร์เท่านั้น ข้อความทางคณิตศาสตร์ที่น่าสนใจจำนวนมากครอบคลุมกรณีพิเศษจำนวนอนันต์ แต่เราไม่สามารถทดสอบกรณีเหล่านั้นในจำนวนอนันต์ได้ การเหนี่ยวนำที่ไม่สมบูรณ์มักนำไปสู่ผลลัพธ์ที่ผิดพลาด

ในหลายกรณี หนทางออกจากความยากลำบากเช่นนี้คือการหันไปหา วิธีพิเศษการใช้เหตุผลเรียกว่าวิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ มันเป็นดังนี้

สมมติว่าคุณต้องพิสูจน์ความถูกต้องของข้อความจำนวนหนึ่งสำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ n (เช่น คุณต้องพิสูจน์ว่าผลรวมของจำนวนคี่จำนวน n ตัวแรกเท่ากับ n 2) การตรวจสอบคำสั่งนี้โดยตรงสำหรับแต่ละค่าของ n นั้นเป็นไปไม่ได้ เนื่องจากเซตของจำนวนธรรมชาตินั้นไม่มีที่สิ้นสุด เพื่อพิสูจน์ข้อความนี้ ก่อนอื่นให้ตรวจสอบความถูกต้องของ n=1 จากนั้น พวกเขาพิสูจน์ว่าสำหรับค่าธรรมชาติใดๆ ของ k ความถูกต้องของข้อความที่พิจารณาสำหรับ n=k แสดงถึงความถูกต้องของข้อความนั้นสำหรับ n=k+1

จากนั้นข้อความดังกล่าวจะถือว่าได้รับการพิสูจน์แล้วสำหรับ n ทั้งหมด ที่จริงแล้ว ข้อความนั้นเป็นจริงสำหรับ n=1 แต่จำนวนถัดไปก็เป็นจริงเช่นกัน n=1+1=2 ความถูกต้องของคำสั่งสำหรับ n=2 หมายถึงความถูกต้องของคำสั่งสำหรับ n=2+

1=3. นี่แสดงถึงความถูกต้องของคำสั่งสำหรับ n=4 เป็นต้น เห็นได้ชัดว่าในท้ายที่สุด เราจะไปถึงจำนวนธรรมชาติใดๆ n ซึ่งหมายความว่า ข้อความนั้นเป็นจริงสำหรับ n ใดๆ

เมื่อสรุปสิ่งที่กล่าวมา เราได้กำหนดหลักการทั่วไปดังต่อไปนี้

หลักการอุปนัยทางคณิตศาสตร์

ถ้าข้อเสนอ A( n ) ขึ้นอยู่กับจำนวนธรรมชาติ n จริงสำหรับ n =1 และจากข้อเท็จจริงที่ว่าเป็นจริงสำหรับ n=k (ที่ไหน เค -จำนวนธรรมชาติใดๆ) ตามมาด้วยว่าเป็นจริงสำหรับจำนวนถัดไป n=k+1 แล้วสมมุติว่า A( n ) เป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ n .

ในหลายกรณี อาจจำเป็นต้องพิสูจน์ความถูกต้องของข้อความบางข้อความ ไม่ใช่สำหรับจำนวนธรรมชาติทั้งหมด แต่สำหรับ n>p เท่านั้น โดยที่ p คือจำนวนธรรมชาติคงที่ ในกรณีนี้ หลักการของการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์มีการกำหนดไว้ดังนี้ ถ้าข้อเสนอ A( n ) จริงสำหรับ n=พี และถ้า A( เค ) Þ เอ( เค+1) สำหรับใครก็ตาม เค>พี, แล้วประโยค A( น) จริงสำหรับใครก็ตาม ไม่มี>พี

การพิสูจน์โดยใช้วิธีอุปนัยทางคณิตศาสตร์มีดังต่อไปนี้ ขั้นแรก ข้อความที่จะพิสูจน์จะถูกตรวจสอบสำหรับ n=1 เช่น ความจริงของข้อความ A(1) ได้รับการสถาปนาแล้ว การพิสูจน์ส่วนนี้เรียกว่าพื้นฐานการเหนี่ยวนำ จากนั้นก็มาถึงส่วนของการพิสูจน์ที่เรียกว่าขั้นตอนการเหนี่ยวนำ ในส่วนนี้ จะพิสูจน์ความถูกต้องของข้อความสำหรับ n=k+1 ภายใต้สมมติฐานของความถูกต้องของข้อความสำหรับ n=k (สมมติฐานการเหนี่ยวนำ) กล่าวคือ พิสูจน์ว่า A(k)ÞA(k+1)

ตัวอย่างที่ 1

พิสูจน์ว่า 1+3+5+…+(2n-1)=n 2

วิธีแก้ไข: 1) เรามี n=1=1 2 เพราะฉะนั้น,

ข้อความเป็นจริงสำหรับ n=1 เช่น A(1) เป็นจริง

2) ให้เราพิสูจน์ว่า A(k)ÞA(k+1)

ให้ k เป็นจำนวนธรรมชาติใดๆ และปล่อยให้ประโยคเป็นจริงสำหรับ n=k กล่าวคือ

1+3+5+…+(2k-1)=k 2 .

ให้เราพิสูจน์ว่าข้อความดังกล่าวเป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติถัดไป n=k+1 เช่น อะไร

1+3+5+…+(2k+1)=(k+1) 2 .

ในความเป็นจริง,

1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=k 2 +2k+1=(k+1) 2 .

ดังนั้น A(k)ÞA(k+1) ตามหลักการของการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์ เราสรุปได้ว่าสมมติฐาน A(n) เป็นจริงสำหรับ nÎN ใดๆ

ตัวอย่างที่ 2

พิสูจน์ว่า

1+x+x 2 +x 3 +…+x n =(x n+1 -1)/(x-1) โดยที่ x¹1

วิธีแก้ไข: 1) สำหรับ n=1 เราได้

1+x=(x 2 -1)/(x-1)=(x-1)(x+1)/(x-1)=x+1

ดังนั้นสำหรับ n=1 สูตรจึงถูกต้อง A(1) เป็นจริง

2) ให้ k เป็นจำนวนธรรมชาติใดๆ และปล่อยให้สูตรเป็นจริงสำหรับ n=k นั่นคือ

1+x+x 2 +x 3 +…+x k =(x k+1 -1)/(x-1)

ให้เราพิสูจน์ว่าความเท่าเทียมกันยังคงอยู่

1+x+x 2 +x 3 +…+x k +x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1)

อย่างแท้จริง

1+x+x 2 +x 3 +…+x k +x k+1 =(1+x+x 2 +x 3 +…+x k)+x k+1 =

=(x k+1 -1)/(x-1)+x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1)

ดังนั้น A(k)ÞA(k+1) ตามหลักการของการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์ เราสรุปได้ว่าสูตรเป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ n

ตัวอย่างที่ 3

พิสูจน์ว่าจำนวนเส้นทแยงมุมของ n-gon ที่นูนออกมาเท่ากับ n(n-3)/2

วิธีแก้ไข: 1) สำหรับ n=3 ข้อความเป็นจริง

และ 3 มีความหมาย เพราะในรูปสามเหลี่ยม

 A 3 =3(3-3)/2=0 เส้นทแยงมุม;

A 2 A(3) เป็นจริง

2) ให้เราถือว่าในทุก ๆ

เคกอนนูนมี-

A 1 x A k =k(k-3)/2 เส้นทแยงมุม

และ k ลองพิสูจน์มันในส่วนนูนดูสิ

(k+1)-จำนวนกอน

เส้นทแยงมุม A k+1 =(k+1)(k-2)/2

ให้ A 1 A 2 A 3 …A k A k+1 เป็นนูน (k+1)-gon ลองวาดเส้นทแยงมุม A 1 A k ลงไป ในการคำนวณจำนวนเส้นทแยงมุมทั้งหมดของ (k+1)-gon นี้ คุณต้องนับจำนวนเส้นทแยงมุมใน k-gon A 1 A 2 ...A k เพิ่ม k-2 เข้ากับตัวเลขผลลัพธ์ เช่น จำนวนเส้นทแยงมุมของ (k+1)-gon ที่เล็ดลอดออกมาจากจุดยอด A k+1 และนอกจากนี้ ควรคำนึงถึงเส้นทแยงมุม A 1 A k ด้วย

ดังนั้น,

 k+1 = k +(k-2)+1=k(k-3)/2+k-1=(k+1)(k-2)/2

ดังนั้น A(k)ÞA(k+1) เนื่องจากหลักการของการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์ ข้อความดังกล่าวจึงเป็นจริงสำหรับ n-gon ที่นูนใดๆ

ตัวอย่างที่ 4

พิสูจน์ว่าสำหรับข้อความใดๆ ต่อไปนี้เป็นจริง:

1 2 +2 2 +3 2 +…+n 2 =n(n+1)(2n+1)/6.

วิธีแก้ไข: 1) ให้ n=1 แล้ว

X 1 =1 2 =1(1+1)(2+1)/6=1

ซึ่งหมายความว่าสำหรับ n=1 ข้อความนั้นเป็นจริง

2) สมมุติว่า n=k

X k =k 2 =k(k+1)(2k+1)/6

3) พิจารณาข้อความนี้สำหรับ n=k+1

X k+1 =(k+1)(k+2)(2k+3)/6

X k+1 =1 2 +2 2 +3 2 +…+k 2 +(k+1) 2 =k(k+1)(2k+1)/6+ +(k+1) 2 =(k (k+1)(2k+1)+6(k+1) 2)/6=(k+1)(k(2k+1)+

6(k+1))/6=(k+1)(2k 2 +7k+6)/6=(k+1)(2(k+3/2)(k+

2))/6=(k+1)(k+2)(2k+3)/6

เราได้พิสูจน์แล้วว่าความเท่าเทียมกันเป็นจริงสำหรับ n=k+1 ดังนั้น โดยอาศัยวิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ ข้อความดังกล่าวจึงเป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ n

ตัวอย่างที่ 5

พิสูจน์ว่าสำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ n ความเท่าเทียมกันเป็นจริง:

1 3 +2 3 +3 3 +…+n 3 =n 2 (n+1) 2 /4.

วิธีแก้: 1) ให้ n=1

จากนั้น X 1 =1 3 =1 2 (1+1) 2 /4=1.

เราจะเห็นว่าสำหรับ n=1 ข้อความนั้นเป็นจริง

2) สมมุติว่าความเท่าเทียมกันเป็นจริงสำหรับ n=k

การเหนี่ยวนำเป็นวิธีการเพื่อให้ได้ข้อความทั่วไปจากการสังเกตเฉพาะ ในกรณีที่ข้อความทางคณิตศาสตร์เกี่ยวข้องกับวัตถุจำนวนจำกัด สามารถพิสูจน์ได้โดยการทดสอบแต่ละวัตถุ ตัวอย่างเช่น ข้อความ: “เลขคู่สองหลักทุกตัวคือผลรวมของจำนวนเฉพาะสองตัว” ตามมาจากชุดความเท่าเทียมกันที่ค่อนข้างเป็นไปได้ที่จะสร้าง:

10=5+5 12=5+7 14=7+7 16=5+11 . . . 92=3+89 94=5+89 96=7+89 98=19+79.

วิธีการพิสูจน์ข้อความที่ได้รับการตรวจสอบสำหรับกรณีที่มีจำนวนจำกัดจนหมดความเป็นไปได้ทั้งหมด เรียกว่าการเหนี่ยวนำโดยสมบูรณ์ วิธีการนี้ใช้ค่อนข้างน้อย เนื่องจากตามกฎแล้ว งบทางคณิตศาสตร์ไม่ได้เกี่ยวข้องกับชุดของวัตถุที่ไม่มีที่สิ้นสุด ตัวอย่างเช่น ข้อความเกี่ยวกับตัวเลขสองหลักคู่ที่พิสูจน์ข้างต้นโดยการอุปนัยสมบูรณ์เป็นเพียงกรณีพิเศษของทฤษฎีบท: "จำนวนคู่ใดๆ คือผลรวมของจำนวนเฉพาะสองตัว" ทฤษฎีบทนี้ยังไม่ได้รับการพิสูจน์หรือหักล้าง

การเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์เป็นวิธีการพิสูจน์ข้อความบางอย่างสำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ n ตามหลักการของการอุปนัยทางคณิตศาสตร์: “หากข้อความใดเป็นจริงสำหรับ n=1 และความถูกต้องของข้อความสำหรับ n=k แสดงว่าข้อความดังกล่าวมีความถูกต้องสำหรับ n=k +1 แล้วมันเป็นจริงสำหรับทุกคน n " วิธีการพิสูจน์โดยการอุปนัยทางคณิตศาสตร์มีดังต่อไปนี้

1) ฐานของการเหนี่ยวนำ: พวกเขาพิสูจน์หรือตรวจสอบความถูกต้องของคำสั่งโดยตรงสำหรับ n=1 (บางครั้ง n=0 หรือ n=n 0)

2) ขั้นตอนการปฐมนิเทศ (การเปลี่ยนผ่าน): สมมติความถูกต้องของข้อความสำหรับจำนวนธรรมชาติบางจำนวน n=k และตามสมมติฐานนี้ จะพิสูจน์ความถูกต้องของข้อความสำหรับ n=k+1

ปัญหากับแนวทางแก้ไข

1. พิสูจน์ว่าสำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ n จำนวน 3 2n+1 +2 n+2 หารด้วย 7 ลงตัว

ให้เราแสดงว่า A(n)=3 2n+1 +2 n+2

ฐานการเหนี่ยวนำ ถ้า n=1 แล้ว A(1)=3 3 +2 3 =35 และแน่นอนว่าหารด้วย 7 ลงตัว

สมมติฐานการเหนี่ยวนำ ให้ A(k) หารด้วย 7 ลงตัว

การเปลี่ยนแปลงการเหนี่ยวนำ ขอให้เราพิสูจน์ว่า A(k+1) หารด้วย 7 ลงตัว นั่นคือความถูกต้องของข้อความระบุปัญหาสำหรับ n=k

A(k+1)=3 2(k+1)+1 +2 (k+1)+2 =3 2k+1 ·3 2 +2 k+2 ·2 1 =3 2k+1 ·9+2 เค+2 ·2=

3 2k+1 9+2 k+2 (9–7)=(3 2k+1 +2 k+2) 9–7 2 k+2 =9 A(k)–7 2 k +2

เบอร์สุดท้ายหารด้วย 7 ลงตัวได้ เพราะเป็นผลต่างของจำนวนเต็มสองตัวที่หารด้วย 7 ลงตัว ดังนั้น 3 2n+1 +2 n+2 จึงหารด้วย 7 สำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ n

2. พิสูจน์ว่าสำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ n จำนวน 2 3 n +1 หารด้วย 3 n+1 ลงตัว และหารด้วย 3 n+2 ไม่ลงตัว

ขอแนะนำสัญลักษณ์: a i =2 3 i +1

สำหรับ n=1 เรามี และ 1 =2 3 +1=9 ดังนั้น 1 หารด้วย 3 2 ลงตัวและหารด้วย 3 3 ลงตัวไม่ได้

กำหนดให้ n=k ตัวเลข a k หารด้วย 3 k+1 ลงตัวและหารด้วย 3 k+2 ไม่ลงตัว นั่นคือ a k =2 3 k +1=3 k+1 m โดยที่ m หารด้วย 3 ไม่ลงตัว จากนั้น

และ k+1 =2 3 k+1 +1=(2 3 k) 3 +1=(2 3 k +1)(2 3 k ·2 –2 3 k +1)=3 k+1 ·m· ((2 3 k+1) 2 –3·2 3 k)=3 k+1 ·ม·((3 k+1 ·ม) 2 –3·2 3 k)=

3 k+2 ·ม·(3 2k+1 ·ม 2 –2 3 k)

แน่นอนว่า k+1 หารด้วย 3 k+2 ลงตัวและหารด้วย 3 k+3 ไม่ลงตัว

ดังนั้น ข้อความนี้จึงได้รับการพิสูจน์สำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ n

3. เป็นที่รู้กันว่า x+1/x เป็นจำนวนเต็ม พิสูจน์ว่า xn +1/xn เป็นจำนวนเต็มสำหรับจำนวนเต็ม n ใดๆ

ขอแนะนำสัญลักษณ์: a i =х i +1/х i และสังเกตทันทีว่า a i =а –i ดังนั้นเราจะพูดถึงดัชนีธรรมชาติต่อไป

หมายเหตุ: 1 เป็นจำนวนเต็มตามแบบแผน และ 2 เป็นจำนวนเต็ม เนื่องจาก 2 = (a 1) 2 –2; และ 0 = 2

สมมติว่า k เป็นจำนวนเต็มสำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ ที่ k ไม่เกิน n ดังนั้น 1 ·a n เป็นจำนวนเต็ม แต่ a 1 ·a n =a n+1 +a n–1 และ a n+1 =a 1 ·a n –a n–1 อย่างไรก็ตาม n–1 ตามสมมติฐานการเหนี่ยวนำนั้นเป็นจำนวนเต็ม ซึ่งหมายความว่า n+1 ก็เป็นจำนวนเต็มเช่นกัน ดังนั้น xn +1/xn จึงเป็นจำนวนเต็มของจำนวนเต็ม n ใดๆ ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องพิสูจน์

4. พิสูจน์ว่าจำนวนธรรมชาติใดๆ ที่มากกว่า 1 แล้วอสมการสองเท่าจะเป็นจริง

5. พิสูจน์ว่าสำหรับธรรมชาติ n > 1 และ |x|

(1–x)n +(1+x)n

สำหรับ n=2 อสมการเป็นจริง จริงหรือ,

(1–x) 2 +(1+x) 2 = 2+2 x 2

หากอสมการเป็นจริงสำหรับ n=k แล้วสำหรับ n=k+1 เราก็จะได้

(1–x) k+1 +(1+x) k+1

อสมการได้รับการพิสูจน์แล้วสำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ n > 1

6. บนเครื่องบินมีวงกลม n วง พิสูจน์ว่าสำหรับการจัดเรียงใดๆ ของวงกลมเหล่านี้ แผนที่ที่ประกอบกันสามารถระบายสีสองสีได้อย่างถูกต้อง

ลองใช้วิธีอุปนัยทางคณิตศาสตร์กัน

สำหรับ n=1 ข้อความนี้ชัดเจน

สมมติว่าข้อความนี้เป็นจริงสำหรับแผนที่ใดๆ ที่เกิดจากวงกลม n วง และให้มีวงกลม n+1 วงบนระนาบ การลบวงกลมวงใดวงหนึ่งออก เราจะได้แผนที่ที่สามารถระบายสีสองสีได้อย่างถูกต้อง (ดูภาพแรกด้านล่าง)

ให้เราคืนวงกลมที่ถูกทิ้ง และด้านหนึ่งของวงกลม เช่น ภายใน เปลี่ยนสีของแต่ละพื้นที่ไปในทางตรงกันข้าม (ดูภาพที่สอง) เป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าในกรณีนี้ เราจะได้แผนที่ที่มีสีสองสีอย่างถูกต้อง แต่ตอนนี้สำหรับวงกลม n+1 เท่านั้น ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องพิสูจน์

7. เราจะเรียกรูปหลายเหลี่ยมนูนว่า "สวยงาม" หากตรงตามเงื่อนไขต่อไปนี้:

1) จุดยอดแต่ละจุดมีสีหนึ่งจุด สามสี;

2) จุดยอดสองจุดที่อยู่ติดกันจะถูกทาสีด้วยสีที่ต่างกัน

3) วาดจุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมอย่างน้อยหนึ่งจุดในแต่ละสีทั้งสามสี

พิสูจน์ว่ารูป n-gon ที่สวยงามใดๆ สามารถตัดออกได้โดยการใช้เส้นทแยงมุมที่แยกจากกันให้กลายเป็นรูปสามเหลี่ยมที่ "สวยงาม"

ลองใช้วิธีอุปนัยทางคณิตศาสตร์กัน

ฐานการเหนี่ยวนำ ด้วยค่า n=3 ที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ คำชี้แจงของปัญหาก็ชัดเจน: จุดยอดของสามเหลี่ยม "สวยงาม" จะถูกทาสีด้วยสีที่แตกต่างกันสามสี และไม่จำเป็นต้องตัดใดๆ

สมมติฐานการเหนี่ยวนำ สมมติว่าคำกล่าวของปัญหาเป็นจริงสำหรับงอนที่ "สวยงาม" ใดๆ

ขั้นตอนการเหนี่ยวนำ ขอให้เราพิจารณา "สวยงาม" (n+1)-gon ตามอำเภอใจ แล้วพิสูจน์โดยใช้สมมติฐานการเหนี่ยวนำว่าสามารถตัดเส้นทแยงมุมบางรูปให้กลายเป็นสามเหลี่ยม "สวย" ได้ ให้เราแสดงด้วย A 1, A 2, A 3, ... A n, A n+1 จุดยอดต่อเนื่องของ (n+1)-gon หากมีจุดยอดเพียงจุดเดียวของ (n+1)-gon ที่ถูกระบายสีด้วยสีใดๆ จากทั้งสามสี จากนั้นโดยการเชื่อมต่อจุดยอดนี้กับเส้นทแยงมุมกับจุดยอดทั้งหมดที่ไม่ได้อยู่ติดกัน เราจะได้พาร์ติชันที่จำเป็นของ (n+1 )-ไปเป็นรูปสามเหลี่ยมที่ "สวยงาม"

ถ้าจุดยอดอย่างน้อยสองจุดของ (n+1)-gon ถูกใส่สีในแต่ละสีทั้งสามสี เราจะแสดงสีของจุดยอด A 1 ด้วยหมายเลข 1 และสีของจุดยอด A 2 ด้วยหมายเลข 2 ให้ k เป็นจำนวนที่น้อยที่สุดโดยให้จุดยอด A k เป็นสีที่สาม ชัดเจนว่า k > 2 เราจะตัดสามเหลี่ยม A k–2 A k–1 A k ออกจาก (n+1)-gon โดยมีเส้นทแยงมุม A k–2 A k ตามการเลือกหมายเลข k จุดยอดทั้งหมดของสามเหลี่ยมนี้จะถูกทาสีด้วยสีที่แตกต่างกันสามสี นั่นคือสามเหลี่ยมนี้ "สวยงาม" นูน n-gon A 1 A 2 ... A k–2 A k A k+1 ... A n+1 ซึ่งยังคงอยู่ จะ "สวยงาม" เช่นกันโดยอาศัยสมมติฐานอุปนัยซึ่งหมายถึง มันแบ่งออกเป็นสามเหลี่ยม “สวยงาม” ซึ่งจำเป็นต้องได้รับการพิสูจน์

8. พิสูจน์ว่าในรูป n-gon ที่นูนออกมานั้น เป็นไปไม่ได้ที่จะเลือกเส้นทแยงมุมมากกว่า n เส้น เพื่อให้เส้นทแยงมุมสองเส้นมีจุดร่วมกัน

เรามาทำการพิสูจน์โดยใช้วิธีอุปนัยทางคณิตศาสตร์กันดีกว่า

ขอให้เราพิสูจน์ข้อความทั่วไปกว่านี้: ในรูป n-gon ที่นูนออกมานั้น เป็นไปไม่ได้ที่จะเลือกมากกว่า n ด้านและเส้นทแยงมุม เพื่อให้สองด้านใดด้านหนึ่งมีจุดร่วมกัน สำหรับ n = 3 ข้อความนี้ชัดเจน ให้เราสมมติว่าข้อความนี้เป็นจริงสำหรับ n-gon ใดๆ ก็ตาม และเมื่อใช้สิ่งนี้ เราจะพิสูจน์ความถูกต้องของมันสำหรับ n-gon ใดๆ ก็ตาม (n+1)-gon

สมมติว่าข้อความนี้ไม่เป็นความจริงสำหรับ (n+1)-gon หากมีด้านหรือเส้นทแยงมุมที่เลือกไว้ไม่เกินสองด้านจากแต่ละจุดยอดของ (n+1)-gon แสดงว่าผลรวมทั้งหมดจะเลือกได้ไม่เกิน n+1 ด้าน ดังนั้น จากจุดยอด A บางจุด จะมีด้านหรือเส้นทแยงมุมที่เลือกไว้อย่างน้อยสามด้าน AB, AC, AD ให้ AC อยู่ระหว่าง AB และ AD เนื่องจากด้านหรือเส้นทแยงมุมใดๆ ที่โผล่ออกมาจากจุด C และด้านอื่นๆ ที่ไม่ใช่ CA ไม่สามารถตัดกัน AB และ AD ได้พร้อมๆ กัน จึงมีเพียง CA ในแนวทแยงที่เลือกไว้เพียงอันเดียวเท่านั้นที่โผล่ออกมาจากจุด C

เมื่อทิ้งจุด C ร่วมกับ CA ในแนวทแยง เราจะได้ n-gon แบบนูน โดยเลือกด้านและเส้นทแยงมุมมากกว่า n ด้าน โดยสองจุดใดจุดหนึ่งมีจุดร่วม ดังนั้นเราจึงขัดแย้งกับสมมติฐานที่ว่าข้อความดังกล่าวเป็นจริงสำหรับ n-gon ที่นูนตามอำเภอใจ

ดังนั้น สำหรับ (n+1)-gon ข้อความนั้นจะเป็นจริง ตามหลักการของการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์ ข้อความจะเป็นจริงสำหรับ n-gon ที่นูนใดๆ

9. มีเส้นตรง n เส้นในระนาบ ไม่มีสองเส้นขนานกัน และไม่มีเส้นสามเส้นผ่านจุดเดียวกัน เส้นเหล่านี้แบ่งระนาบออกเป็นกี่ส่วน?

เมื่อใช้ภาพวาดเบื้องต้น คุณสามารถตรวจสอบได้อย่างง่ายดายว่าเส้นตรงหนึ่งเส้นแบ่งระนาบออกเป็น 2 ส่วน เส้นตรงสองเส้นแบ่งออกเป็น 4 ส่วน เส้นตรงสามเส้นแบ่งออกเป็น 7 ส่วน และเส้นตรงสี่เส้นแบ่งออกเป็น 11 ส่วน

ให้เราแสดงด้วย N(n) จำนวนส่วนที่เส้นตรง n เส้นแบ่งระนาบ สังเกตได้เลยว่า

ยังไม่มีข้อความ(2)=ไม่มี(1)+2=2+2,

ยังไม่มีข้อความ(3)=ไม่มี(2)+3=2+2+3,

ยังไม่มีข้อความ(4)=ไม่มี(3)+4=2+2+3+4.

มันเป็นเรื่องธรรมดาที่จะสรุปอย่างนั้น

ยังไม่มีข้อความ(n)=ยังไม่มีข้อความ(n–1)+n=2+2+3+4+5+…+n,

หรือที่ง่ายต่อการสร้าง โดยใช้สูตรสำหรับผลรวมของเทอม n แรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ยังไม่มีข้อความ(n)=1+n(n+1)/2

ให้เราพิสูจน์ความถูกต้องของสูตรนี้โดยใช้วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์

สำหรับ n=1 สูตรได้รับการตรวจสอบแล้ว

หลังจากตั้งสมมติฐานการเหนี่ยวนำแล้ว เราจะพิจารณาเส้น k+1 ที่ตรงตามเงื่อนไขของปัญหา ขอให้เราเลือกเส้นตรง k เส้นจากพวกมันในลักษณะใดก็ได้ ตามสมมติฐานการเหนี่ยวนำ พวกเขาจะแบ่งระนาบออกเป็น 1+ k(k+1)/2 ส่วน เส้นตรงที่เหลือ (k+1) จะถูกหารด้วยเส้นตรง k ที่เลือกออกเป็นส่วน k+1 และจะผ่านไปตามส่วนที่ (k+1) ที่ได้แบ่งระนาบไว้แล้ว และแต่ละเส้น ของส่วนเหล่านี้จะแบ่งออกเป็น 2 ส่วน คือ k+1 อีกส่วนจะถูกเพิ่มเข้าไป ดังนั้น,

N(k+1)=N(k)+k+1=1+ k(k+1)/2+k+1=1+(k+1)(k+2)/2,

Q.E.D.

10. ในนิพจน์ x 1: x 2: ... : xn วงเล็บจะถูกวางไว้เพื่อระบุลำดับของการกระทำและผลลัพธ์จะถูกเขียนเป็นเศษส่วน:

(ในกรณีนี้ตัวอักษรแต่ละตัว x 1, x 2, ..., xn อยู่ในตัวเศษของเศษส่วนหรือในตัวส่วน) วิธีนี้สามารถหานิพจน์ที่แตกต่างกันได้ทั้งหมดกี่แบบโดยใส่วงเล็บทั้งหมด?

ประการแรกชัดเจนว่าในเศษส่วนผลลัพธ์ x 1 จะอยู่ในตัวเศษ เห็นได้ชัดว่า x 2 จะอยู่ในตัวส่วนไม่ว่าจะใส่วงเล็บไว้อย่างไร (เครื่องหมายการหารหน้า x 2 หมายถึง x 2 เองหรือบางนิพจน์ที่มี x 2 ในตัวเศษ)

สันนิษฐานได้ว่าตัวอักษรอื่น ๆ ทั้งหมด x 3, x 4, ..., xn สามารถอยู่ในตัวเศษหรือตัวส่วนในลักษณะใดก็ได้โดยพลการ ตามมาว่าโดยรวมแล้วคุณจะได้เศษส่วน 2 n–2 ตัว: ตัวอักษร n–2 ตัวแต่ละตัว x 3, x 4, ..., x n สามารถปรากฏได้อย่างอิสระจากตัวอื่นในตัวเศษหรือตัวส่วน

ให้เราพิสูจน์ข้อความนี้โดยการอุปนัย

ด้วย n=3 คุณจะได้ 2 เศษส่วน:

ข้อความดังกล่าวจึงเป็นความจริง

สมมุติว่ามันเป็นจริงสำหรับ n=k และพิสูจน์มันด้วย n=k+1

ให้นิพจน์ x 1:x 2: ... :x k หลังจากวางวงเล็บบางตำแหน่งแล้วเขียนในรูปของเศษส่วนจำนวนหนึ่ง Q หากในนิพจน์นี้แทน x k เราแทน x k:x k+1 แล้ว x k จะเป็น ในตำแหน่งเดียวกับที่เป็นเศษส่วน Q และ x k+1 จะไม่อยู่ในตำแหน่งที่ x k เคยเป็น (ถ้า x k อยู่ในตัวส่วน ดังนั้น x k+1 ก็จะอยู่ในตัวเศษและในทางกลับกัน)

ตอนนี้เราจะพิสูจน์ว่าเราบวก x k+1 เข้ากับตำแหน่งเดียวกับที่ x k ตั้งอยู่ได้ ในเศษส่วน Q หลังจากวางวงเล็บแล้ว จะต้องมีนิพจน์อยู่ในรูปแบบ q:x k โดยที่ q คือตัวอักษร x k–1 หรือนิพจน์บางส่วนในวงเล็บ การแทนที่ q:x k ด้วยนิพจน์ (q:x k):x k+1 =q:(x k ·x k+1) เราจะได้เศษส่วนเดียวกันอย่างเห็นได้ชัด โดยที่แทนที่จะเป็น x k จะมี x k ·x k+1

ดังนั้น จำนวนเศษส่วนที่เป็นไปได้ทั้งหมดในกรณี n=k+1 มากกว่าในกรณี n=k 2 เท่า และเท่ากับ 2 k–2 ·2=2 (k+1)–2 ดังนั้นคำกล่าวนี้จึงได้รับการพิสูจน์แล้ว

คำตอบ: เศษส่วน 2n–2

ปัญหาที่ไม่มีวิธีแก้ไข

1. พิสูจน์ว่าสำหรับ n ตามธรรมชาติใดๆ:

ก) ตัวเลข 5 n –3 n +2n หารด้วย 4 ลงตัว

b) ตัวเลข n 3 +11n หารด้วย 6 ลงตัว;

c) ตัวเลข 7 n +3n–1 หารด้วย 9 ลงตัว;

d) ตัวเลข 6 2n +19 n –2 n+1 หารด้วย 17 ลงตัว

e) ตัวเลข 7 n+1 +8 2n–1 หารด้วย 19 ลงตัว

e) ตัวเลข 2 2n–1 –9n 2 +21n–14 หารด้วย 27 ลงตัว

2. พิสูจน์ว่า (n+1)·(n+2)· …·(n+n) = 2 n ·1·3·5·…·(2n–1)

3. พิสูจน์อสมการ |sin nx| n|บาป x| สำหรับ n ตามธรรมชาติใดๆ

4. ค้นหาจำนวนธรรมชาติ a, b, c ที่หารด้วย 10 ไม่ลงตัว และสำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ ก็ตาม ตัวเลข a n + bn และ c n จะมีเลขสองหลักสุดท้ายเหมือนกัน

5. พิสูจน์ว่าถ้า n จุดไม่อยู่บนเส้นเดียวกัน ดังนั้นในบรรดาเส้นที่เชื่อมต่อกันก็จะมีจุดที่แตกต่างกันอย่างน้อย n จุด

วิธีการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์

คำว่าอุปนัยในภาษารัสเซียหมายถึงคำแนะนำและการสรุปตามการสังเกตการทดลองเช่น เรียกว่าอุปนัย ได้มาจากการอนุมานจากเรื่องเฉพาะถึงเรื่องทั่วไป

เช่น ทุกวันเราสังเกตว่าดวงอาทิตย์ขึ้นทางทิศตะวันออก ดังนั้นท่านจึงแน่ใจได้ว่าพรุ่งนี้จะปรากฏทางทิศตะวันออกไม่ใช่ทางทิศตะวันตก เราสรุปข้อสรุปนี้โดยไม่ต้องอาศัยสมมติฐานใด ๆ เกี่ยวกับสาเหตุของการเคลื่อนที่ของดวงอาทิตย์ข้ามท้องฟ้า (ยิ่งกว่านั้นการเคลื่อนไหวนี้เองก็ปรากฏชัดเจนเนื่องจากมันเคลื่อนที่จริง ๆ โลก- แต่ข้อสรุปเชิงอุปนัยนี้อธิบายข้อสังเกตที่เราจะทำในวันพรุ่งนี้ได้อย่างถูกต้อง

บทบาทของข้อสรุปเชิงอุปนัยในวิทยาศาสตร์เชิงทดลองนั้นยิ่งใหญ่มาก พวกเขาให้บทบัญญัติเหล่านั้นซึ่งจากนั้นจึงทำการสรุปเพิ่มเติมผ่านการหักล้าง และถึงแม้ว่า กลศาสตร์เชิงทฤษฎีมีพื้นฐานอยู่บนกฎการเคลื่อนที่สามข้อของนิวตัน กฎเหล่านี้เองเป็นผลมาจากการคิดอย่างลึกซึ้งผ่านข้อมูลการทดลอง โดยเฉพาะกฎการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ของเคปเลอร์ ซึ่งเขาได้มาจากการประมวลผลการสังเกตการณ์หลายปีของนักดาราศาสตร์ชาวเดนมาร์ก ไทโค บราเฮ การสังเกตและการปฐมนิเทศจะเป็นประโยชน์ในอนาคตในการชี้แจงสมมติฐานที่เกิดขึ้น หลังจากการทดลองของมิเชลสันในการวัดความเร็วแสงในตัวกลางที่กำลังเคลื่อนที่ จำเป็นต้องชี้แจงกฎของฟิสิกส์และสร้างทฤษฎีสัมพัทธภาพขึ้นมา

ในทางคณิตศาสตร์ บทบาทของการอุปนัยส่วนใหญ่เป็นไปตามสัจพจน์ที่เลือก หลังจากการฝึกฝนมายาวนานแสดงให้เห็นว่าเส้นทางตรงมักจะสั้นกว่าทางโค้งหรือทางหักเสมอ เป็นเรื่องปกติที่จะกำหนดสัจพจน์: สำหรับจุด A, B และ C สามจุดใดๆ ก็ตาม ความไม่เท่าเทียมกัน

แนวคิดเรื่องต่อไปนี้ซึ่งเป็นพื้นฐานของเลขคณิตก็ปรากฏจากการสังเกตการก่อตัวของทหาร เรือ และชุดคำสั่งอื่น ๆ

อย่างไรก็ตาม เราไม่ควรคิดว่าสิ่งนี้ทำให้บทบาทของการปฐมนิเทศในวิชาคณิตศาสตร์หมดลง แน่นอนว่า เราไม่ควรทดสอบทฤษฎีบทที่อนุมานเชิงตรรกะจากสัจพจน์: หากไม่มีข้อผิดพลาดเชิงตรรกะเกิดขึ้นในระหว่างการหามา ทฤษฎีบทเหล่านั้นก็จะเป็นจริงตราบเท่าที่สัจพจน์ที่เรายอมรับนั้นเป็นความจริง แต่ข้อความจำนวนมากสามารถอนุมานได้จากระบบสัจพจน์นี้ และการเลือกข้อความเหล่านั้นที่ต้องได้รับการพิสูจน์ก็ได้รับการเสนอแนะอีกครั้งโดยการอุปนัย สิ่งนี้ทำให้คุณสามารถแยกทฤษฎีบทที่เป็นประโยชน์ออกจากทฤษฎีที่ไม่มีประโยชน์ ระบุว่าทฤษฎีบทใดที่อาจกลายเป็นจริง และยังช่วยกำหนดเส้นทางของการพิสูจน์อีกด้วย

สาระสำคัญของวิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์

ในหลายสาขาของเลขคณิต พีชคณิต เรขาคณิต และการวิเคราะห์ จำเป็นต้องพิสูจน์ความจริงของประโยค A(n) โดยขึ้นอยู่กับตัวแปรตามธรรมชาติ การพิสูจน์ความจริงของข้อเสนอ A(n) สำหรับค่าทั้งหมดของตัวแปรมักจะทำได้โดยวิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ซึ่งมีพื้นฐานอยู่บนหลักการต่อไปนี้

ข้อเสนอที่ A(n) ถือเป็นจริงสำหรับค่าธรรมชาติทั้งหมดของตัวแปรหากตรงตามเงื่อนไขสองข้อต่อไปนี้:

ข้อเสนอ A(n) เป็นจริงสำหรับ n=1

จากการสันนิษฐานว่า A(n) เป็นจริงสำหรับ n=k (โดยที่ k คือจำนวนธรรมชาติใดๆ) จะตามมาว่าเป็นจริงสำหรับค่าถัดไป n=k+1

หลักการนี้เรียกว่าหลักการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ โดยปกติจะถูกเลือกให้เป็นหนึ่งในสัจพจน์ที่กำหนดชุดตัวเลขตามธรรมชาติ และดังนั้นจึงยอมรับโดยไม่ต้องพิสูจน์

วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์หมายถึงวิธีการพิสูจน์ดังต่อไปนี้ หากคุณต้องการพิสูจน์ความจริงของประโยค A(n) สำหรับ n ตามธรรมชาติทั้งหมด ประการแรก คุณควรตรวจสอบความจริงของประโยค A(1) และประการที่สอง สมมติว่าความจริงของประโยค A(k) พยายามพิสูจน์ว่าข้อความ A(k +1) เป็นจริง หากสามารถพิสูจน์ได้ และการพิสูจน์ยังคงใช้ได้สำหรับค่าธรรมชาติแต่ละค่าของ k ดังนั้น ตามหลักการของการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์ ข้อเสนอ A(n) จะได้รับการยอมรับว่าเป็นจริงสำหรับค่าทั้งหมดของ n

วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ใช้กันอย่างแพร่หลายในการพิสูจน์ทฤษฎีบท อัตลักษณ์ อสมการ การแก้ปัญหาการหารลงตัว การแก้ปัญหาเรขาคณิต และปัญหาอื่นๆ อีกมากมาย

วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ในการแก้ปัญหาเรื่อง

การแบ่งแยก

โดยใช้วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ คุณสามารถพิสูจน์ข้อความต่างๆ เกี่ยวกับการหารจำนวนธรรมชาติลงตัวได้

ข้อความต่อไปนี้สามารถพิสูจน์ได้ค่อนข้างง่าย ให้เราแสดงให้เห็นว่าได้มาอย่างไรโดยใช้วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์

ตัวอย่างที่ 1- ถ้า n เป็นจำนวนธรรมชาติ แล้วจำนวนนั้นจะเป็นเลขคู่

เมื่อ n=1 คำสั่งของเราเป็นจริง: - เลขคู่ สมมุติว่าเป็นเลขคู่ เนื่องจาก 2k เป็นเลขคู่ ดังนั้น สม่ำเสมอ. ดังนั้น ความเท่าเทียมกันได้รับการพิสูจน์แล้วสำหรับ n=1 ความเท่าเทียมกันจึงอนุมานได้จากความเท่าเทียมกัน ซึ่งหมายความว่ามีค่าเท่ากันกับค่าธรรมชาติทั้งหมดของ n

ตัวอย่างที่ 2พิสูจน์ความจริงของประโยค

A(n)=(ตัวเลข 5 เป็นผลคูณของ 19), n คือจำนวนธรรมชาติ

สารละลาย.

คำสั่ง A(1)=(ตัวเลขที่หารด้วย 19 ลงตัว) เป็นจริง

สมมติว่าสำหรับค่าบางค่า n=k

A(k)=(จำนวนที่หารด้วย 19 ลงตัว) เป็นจริง แล้วตั้งแต่

แน่นอนว่า A(k+1) ก็เป็นจริงเช่นกัน อันที่จริงเทอมแรกหารด้วย 19 ลงตัวเนื่องจากข้อสันนิษฐานว่า A(k) เป็นจริง เทอมที่สองยังหารด้วย 19 ลงตัวได้เนื่องจากมีตัวประกอบเป็น 19 เงื่อนไขทั้งสองของหลักการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์เป็นไปตามเงื่อนไข ดังนั้น ข้อเสนอ A(n) จึงเป็นจริงสำหรับค่าทั้งหมดของ n

การประยุกต์ใช้วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์กับ

ซีรีย์สรุป

ตัวอย่างที่ 1สูตรพิสูจน์

, n เป็นจำนวนธรรมชาติ

สารละลาย.

เมื่อ n=1 ความเสมอภาคทั้งสองด้านจะกลับกลายเป็นหนึ่ง ดังนั้น เงื่อนไขแรกของหลักการอุปนัยทางคณิตศาสตร์จึงเป็นที่พอใจ

สมมติว่าสูตรถูกต้องสำหรับ n=k กล่าวคือ

ลองบวกทั้งสองข้างของความเสมอภาคนี้แล้วแปลงทางด้านขวา. แล้วเราก็ได้

ดังนั้น จากข้อเท็จจริงที่ว่าสูตรเป็นจริงสำหรับ n=k จึงเป็นไปตามที่สูตรเป็นจริงสำหรับ n=k+1 ด้วย ข้อความนี้เป็นจริงสำหรับค่าธรรมชาติใดๆ ของ k ดังนั้นเงื่อนไขที่สองของหลักการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ก็เป็นไปตามเงื่อนไขเช่นกัน สูตรได้รับการพิสูจน์แล้ว

ตัวอย่างที่ 2พิสูจน์ว่าผลรวมของจำนวน n แรกของอนุกรมธรรมชาติเท่ากับ

สารละลาย.

ให้เราแสดงจำนวนเงินที่ต้องการเช่น .

เมื่อ n=1 สมมติฐานจะเป็นจริง

อนุญาต - มาแสดงกันเถอะ .

ในความเป็นจริง,

ปัญหาได้รับการแก้ไขแล้ว

ตัวอย่างที่ 3พิสูจน์ว่าผลรวมของกำลังสองของจำนวน n จำนวนแรกของอนุกรมธรรมชาติเท่ากับ .

สารละลาย.

อนุญาต .

สมมุติว่า - แล้ว

และสุดท้าย

ตัวอย่างที่ 4พิสูจน์ว่า.

สารละลาย.

ถ้าอย่างนั้น

ตัวอย่างที่ 5พิสูจน์ว่า

สารละลาย.

เมื่อ n=1 สมมติฐานจะเป็นจริงอย่างเห็นได้ชัด

อนุญาต .

มาพิสูจน์กันว่า.

จริงหรือ,

ตัวอย่างการประยุกต์ใช้วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์กับ

การพิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกัน

ตัวอย่างที่ 1พิสูจน์ว่าสำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ n>1

สารละลาย.

ให้เราแสดงด้านซ้ายของอสมการโดย

ดังนั้น สำหรับ n=2 อสมการจึงถูกต้อง

ให้เคบ้าง ให้เราพิสูจน์ว่าแล้ว และ . เรามี , .

เปรียบเทียบ และ เรามี , เช่น. .

สำหรับจำนวนเต็มบวก k ใดๆ ทางขวามือของค่าเท่ากันสุดท้ายจะเป็นค่าบวก นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไม แต่นั่นก็หมายถึงเช่นกัน

ตัวอย่างที่ 2ค้นหาข้อผิดพลาดในการให้เหตุผล

คำแถลง. สำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ n อสมการจะเป็นจริง

การพิสูจน์.

. (1)

ให้เราพิสูจน์ว่าอสมการก็ใช้ได้สำหรับ n=k+1 เช่นกัน เช่น

อันที่จริง ไม่น้อยกว่า 2 สำหรับ k ตามธรรมชาติใดๆ ลองบวกทางด้านซ้ายของอสมการ (1) และทางขวา 2 เราจะได้อสมการที่ยุติธรรม หรือ - คำกล่าวนี้ได้รับการพิสูจน์แล้ว

ตัวอย่างที่ 3พิสูจน์ว่า โดยที่ >-1, , n คือจำนวนธรรมชาติที่มากกว่า 1

สารละลาย.

สำหรับ n=2 อสมการจะเป็นจริง เนื่องจาก

ปล่อยให้อสมการเป็นจริงสำหรับ n=k โดยที่ k คือจำนวนธรรมชาติ นั่นคือ

. (1)

ให้เราแสดงให้เห็นว่าอสมการก็ใช้ได้กับ n=k+1 เช่นกัน เช่น

. (2)

โดยแท้จริงแล้วตามเงื่อนไข ดังนั้นอสมการจึงเป็นจริง

, (3)

ได้มาจากอสมการ (1) โดยคูณแต่ละส่วนด้วย ให้เราเขียนอสมการ (3) ใหม่ดังนี้: เมื่อละทิ้งพจน์ที่เป็นบวกทางด้านขวาของอสมการสุดท้าย เราจะได้ความไม่เท่าเทียมกันที่ยุติธรรม (2)

ตัวอย่างที่ 4พิสูจน์ว่า

(1)

โดยที่ , , n เป็นจำนวนธรรมชาติที่มากกว่า 1

สารละลาย.

สำหรับ n=2 อสมการ (1) จะอยู่ในรูปแบบ

. (2)

เนื่องจาก แล้วอสมการจึงเป็นจริง

. (3)

เมื่อบวกเข้ากับแต่ละส่วนของความไม่เท่าเทียมกัน (3) เราจะได้ความไม่เท่าเทียมกัน (2)

นี่พิสูจน์ว่าสำหรับ n=2 อสมการ (1) เป็นจริง

ให้อสมการ (1) เป็นจริงสำหรับ n=k โดยที่ k คือจำนวนธรรมชาติ นั่นคือ

. (4)

ให้เราพิสูจน์ว่าอสมการ (1) จะต้องเป็นจริงสำหรับ n=k+1 ด้วย นั่นคือ

(5)

ลองคูณอสมการทั้งสองข้าง (4) ด้วย a+b เนื่องจากตามเงื่อนไข เราได้รับความไม่เท่าเทียมกันอย่างยุติธรรมดังต่อไปนี้:

. (6)

เพื่อพิสูจน์ความถูกต้องของความไม่เท่าเทียมกัน (5) ก็เพียงพอแล้วที่จะแสดงให้เห็น

, (7)

หรือสิ่งที่เหมือนกัน

. (8)

อสมการ (8) เทียบเท่ากับอสมการ

. (9)

ถ้า , แล้ว และทางด้านซ้ายของอสมการ (9) เราได้ผลลัพธ์ของจำนวนบวกสองตัว ถ้า , แล้ว และทางด้านซ้ายของอสมการ (9) เราได้ผลคูณของจำนวนลบสองตัว ในทั้งสองกรณี อสมการ (9) เป็นจริง

สิ่งนี้พิสูจน์ว่าความถูกต้องของความไม่เท่าเทียมกัน (1) สำหรับ n=k แสดงถึงความถูกต้องของความไม่เท่าเทียมกันสำหรับ n=k+1

วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ประยุกต์กับวิธีอื่น

งาน

การประยุกต์ใช้วิธีการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์ในเรขาคณิตที่เป็นธรรมชาติที่สุด ซึ่งใกล้เคียงกับการใช้วิธีนี้ในทฤษฎีจำนวนและพีชคณิต คือการประยุกต์ใช้ในการแก้ปัญหาการคำนวณทางเรขาคณิต ลองดูตัวอย่างบางส่วน

ตัวอย่างที่ 1คำนวณด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสปกติที่จารึกไว้ในวงกลมรัศมี R

สารละลาย.

เมื่อ n=2 ถูก 2 n - สี่เหลี่ยมจัตุรัสก็คือสี่เหลี่ยมจัตุรัส ด้านข้างของเขา ต่อไปตามสูตรทวีคูณ

เราพบว่าด้านของรูปแปดเหลี่ยมปกติ ด้านของรูปหกเหลี่ยมปกติ ด้านของสามเหลี่ยมสามสิบสองปกติ - เราจึงสรุปได้ว่าด้านที่ถูกจารึกไว้ถูกต้องคือ 2 n - ยกกำลังสองเพื่อความเท่าเทียมกัน

. (1)

สมมติว่าด้านของรูปสามเหลี่ยมปกติเขียนด้วยสูตร (1) ในกรณีนี้ตามสูตรการทวีคูณ

โดยเหตุใดสูตร (1) จึงใช้ได้กับ n ทั้งหมด

ตัวอย่างที่ 2n-gon (ไม่จำเป็นต้องนูน) สามารถแบ่งสามเหลี่ยมออกเป็นสามเหลี่ยมได้กี่รูป?

สารละลาย.

สำหรับรูปสามเหลี่ยม ตัวเลขนี้จะเท่ากับ 1 (ไม่สามารถวาดเส้นทแยงมุมเดียวเป็นรูปสามเหลี่ยมได้) สำหรับรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ตัวเลขนี้คือสองอย่างเห็นได้ชัด

สมมติว่าเรารู้อยู่แล้วว่า k-gon ทุกตัว โดยที่ k 1 ก 2 ...น เป็นรูปสามเหลี่ยม

หนึ่ง

เอ 1 เอ 2

ให้ A 1 A k เป็นหนึ่งในเส้นทแยงมุมของพาร์ติชันนี้ มันแบ่ง n-gon A 1 A 2 ...A n ออกเป็น k-gon A 1 A 2 ...A k และ (n-k+2)-gon A 1 A k A k+1 .. .หนึ่ง . ตามสมมติฐาน จำนวนสามเหลี่ยมทั้งหมดในพาร์ติชันจะเท่ากับ

(k-2)+[(n-k+2)-2]=n-2;

ดังนั้น ข้อความของเราจึงได้รับการพิสูจน์แล้วสำหรับ n ทั้งหมด

ตัวอย่างที่ 3ระบุกฎสำหรับการคำนวณจำนวน P(n) ของวิธีที่ n-gon ที่นูนออกมาสามารถแบ่งออกเป็นรูปสามเหลี่ยมได้โดยใช้เส้นทแยงมุมที่แยกจากกัน

สารละลาย.

สำหรับรูปสามเหลี่ยม จำนวนนี้จะเท่ากับ 1 อย่างเห็นได้ชัด: P(3)=1

สมมติว่าเราได้กำหนดจำนวน P(k) สำหรับ k ทั้งหมดแล้ว 1 ก 2 ...น - เมื่อใดก็ตามที่มันถูกแบ่งออกเป็นสามเหลี่ยม ให้ด้าน A 1 เอ 2 จะเป็นด้านหนึ่งของสามเหลี่ยมฉากกั้น โดยจุดยอดที่สามของสามเหลี่ยมนี้สามารถตรงกับจุด A แต่ละจุดได้ 3, ก 4, …, น - จำนวนวิธีในการแบ่ง n-gon โดยที่จุดยอดนี้เกิดขึ้นพร้อมกับจุด A 3 เท่ากับจำนวนวิธีในการหาร (n-1)-gon A เป็นรูปสามเหลี่ยม 1 ก 3 ก 4 …ก , เช่น. เท่ากับ P(n-1) จำนวนวิธีการแบ่งพาร์ติชันที่จุดยอดนี้เกิดขึ้นพร้อมกับ A 4 เท่ากับจำนวนวิธีในการแบ่ง (n-2)-gon A 1 ก 4 ก 5 …ก , เช่น. เท่ากับ P(n-2)=P(n-2)P(3); จำนวนวิธีการแบ่งพาร์ติชั่นที่ตรงกับ A 5 มีค่าเท่ากับ P(n-3)P(4) เนื่องจากแต่ละพาร์ติชันของ (n-3)-gon A 1 ก 5 ...น สามารถนำมารวมกับแต่ละพาร์ติชั่นของรูปสี่เหลี่ยม A ได้ 2 ก 3 ก 4 ก 5 ฯลฯ ดังนั้นเราจึงมาถึงความสัมพันธ์ดังต่อไปนี้:

Р(n)=P(n-1)+P(n-2)P(3)+P(n-3)P(4)+…+P(3)P(n-2)+P(n -1)

เมื่อใช้สูตรนี้เราได้รับอย่างต่อเนื่อง:

ป(4)=ป(3)+พี(3)=2,

ป(5)=ป(4)+พี(3)ป(3)+พี(4)+5,

ป(6)=ป(5)+พี(4)ป(3)+พี(3)ป(4)+พี(5)=14

ฯลฯ

คุณยังสามารถแก้ปัญหาเกี่ยวกับกราฟโดยใช้วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ได้

ให้มีโครงข่ายเส้นบนเครื่องบินที่เชื่อมบางจุดและไม่มีจุดอื่น เราจะเรียกเครือข่ายของเส้นดังกล่าวว่าแผนที่ โดยกำหนดให้จุดเป็นจุดยอด ส่วนของเส้นโค้งระหว่างจุดยอดสองจุดที่อยู่ติดกัน - ขอบเขตของแผนที่ ส่วนของเครื่องบินที่แบ่งตามเส้นขอบ - ประเทศของแผนที่

ให้แผนที่บางส่วนบนเครื่องบิน เราจะบอกว่ามีการลงสีอย่างถูกต้องหากแต่ละประเทศของตนทาสีด้วยสีใดสีหนึ่ง และสองประเทศใดๆ ที่มีเส้นขอบร่วมกันจะถูกทาสีด้วยสีที่ต่างกัน

ตัวอย่างที่ 4มีวงกลม n วงกลมบนเครื่องบิน พิสูจน์ว่าสำหรับการจัดเรียงใดๆ ของวงกลมเหล่านี้ แผนที่ที่ประกอบกันสามารถระบายสีสองสีได้อย่างถูกต้อง

สารละลาย.

สำหรับ n=1 ข้อความของเราชัดเจน

สมมติว่าข้อความของเราเป็นจริงสำหรับแผนที่ใดๆ ที่เกิดจากวงกลม n วง และให้มีวงกลม n+1 วงบนระนาบ การลบวงกลมวงใดวงหนึ่งออก เราจะได้แผนที่ที่สามารถระบายสีสองสีได้อย่างถูกต้อง เช่น ขาวดำ