มุมเชิงเส้นไม่ได้ขึ้นอยู่กับ บทเรียน “มุมไดฮีดรัล

หัวข้อบทเรียน: “มุมไดฮีดรัล”

วัตถุประสงค์ของบทเรียน: การแนะนำแนวคิดเรื่องมุมไดฮีดรัลและมุมเชิงเส้น

งาน:

ทางการศึกษา: พิจารณางานเกี่ยวกับการประยุกต์ใช้แนวคิดเหล่านี้พัฒนาทักษะเชิงสร้างสรรค์ในการค้นหามุมระหว่างระนาบ

พัฒนาการ: การพัฒนา ความคิดสร้างสรรค์นักเรียน การพัฒนาตนเองของนักเรียน การพัฒนาคำพูดของนักเรียน

ทางการศึกษา: การหล่อเลี้ยงวัฒนธรรมการทำงานทางจิต วัฒนธรรมการสื่อสาร วัฒนธรรมการไตร่ตรอง

ประเภทบทเรียน: บทเรียนในการเรียนรู้ความรู้ใหม่

วิธีการสอน: อธิบายและอธิบาย

อุปกรณ์: คอมพิวเตอร์, ไวท์บอร์ดแบบโต้ตอบ

วรรณกรรม:

เรขาคณิต. เกรด 10-11: หนังสือเรียน สำหรับเกรด 10-11 การศึกษาทั่วไป สถาบัน: พื้นฐานและโปรไฟล์ ระดับ / [ลิตร S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev ฯลฯ] - ฉบับที่ 18 – อ.: การศึกษา, 2552. – 255 น.

แผนการสอน:

ช่วงเวลาขององค์กร(2 นาที)

การอัพเดตความรู้ (5 นาที)

การเรียนรู้เนื้อหาใหม่ (12 นาที)

การเสริมเนื้อหาที่เรียนรู้ (21 นาที)

การบ้าน(2 นาที)

สรุป (3 นาที)

ความคืบหน้าของบทเรียน:

1. ช่วงเวลาขององค์กร

รวมถึงครูทักทายชั้นเรียน เตรียมห้องสำหรับบทเรียน และตรวจดูผู้ที่ขาดเรียน

2. การอัพเดตความรู้พื้นฐาน

ครู: ในบทเรียนสุดท้ายที่คุณเขียน งานอิสระ- โดยรวมแล้วงานก็เขียนได้ดี ตอนนี้เรามาทำซ้ำกันเล็กน้อย มุมในระนาบเรียกว่าอะไร?

นักเรียน: มุมบนเครื่องบินคือรูปร่างที่เกิดจากรังสีสองเส้นที่เล็ดลอดออกมาจากจุดหนึ่ง

ครู: มุมระหว่างเส้นในอวกาศเรียกว่าอะไร?

นักเรียน: มุมระหว่างเส้นตัดกันสองเส้นในอวกาศคือมุมที่เล็กที่สุดที่เกิดจากรังสีของเส้นเหล่านี้โดยมีจุดยอดอยู่ที่จุดตัดกัน

นักเรียน: มุมระหว่างเส้นที่ตัดกันคือมุมระหว่างเส้นที่ตัดกัน ตามลำดับ ซึ่งขนานกับข้อมูล

ครู: มุมระหว่างเส้นตรงกับระนาบเรียกว่าอะไร?

นักเรียน: มุมระหว่างเส้นตรงกับระนาบเรียกว่ามุมใดๆ ระหว่างเส้นตรงกับเส้นโครงบนระนาบนี้

3.การเรียนรู้เนื้อหาใหม่ๆ

ครู: ใน Stereometry พร้อมกับมุมดังกล่าวจะพิจารณามุมประเภทอื่นด้วย - มุมไดฮีดรัล คุณคงเดาได้แล้วว่าหัวข้อของบทเรียนวันนี้คืออะไร ดังนั้นให้เปิดสมุดบันทึกของคุณ จดวันที่ของวันนี้และหัวข้อของบทเรียน

เขียนบนกระดานและในสมุดบันทึก:

10.12.14.

มุมไดฮีดรัล

ครู : เพื่อแนะนำแนวคิดของมุมไดฮีดรัล ควรจำไว้ว่าเส้นตรงใดๆ ที่ลากในระนาบที่กำหนดจะแบ่งระนาบนี้ออกเป็นสองระนาบครึ่ง(รูปที่ 1 ก)

ครู : ลองจินตนาการว่าเรางอระนาบเป็นเส้นตรงเพื่อให้ระนาบครึ่งสองอันที่มีขอบเขตไม่อยู่ในระนาบเดียวกันอีกต่อไป (รูปที่ 1, b) รูปที่ได้คือมุมไดฮีดรัล มุมไดฮีดรัลคือ รูปที่เกิดจากเส้นตรงและระนาบครึ่งระนาบ 2 อันซึ่งมีขอบเขตร่วมกันซึ่งไม่อยู่ในระนาบเดียวกัน ระนาบครึ่งระนาบที่สร้างมุมไดฮีดรัลเรียกว่าใบหน้า มุมไดฮีดรัลมีสองด้าน จึงเป็นที่มาของชื่อมุมไดฮีดรัล เส้นตรงซึ่งเป็นขอบเขตร่วมของครึ่งระนาบ เรียกว่าขอบของมุมไดฮีดรัล เขียนคำจำกัดความลงในสมุดบันทึกของคุณ

มุมไดฮีดรัลคือรูปร่างที่เกิดจากเส้นตรงและระนาบครึ่งระนาบสองอันที่มีขอบเขตร่วมกันซึ่งไม่อยู่ในระนาบเดียวกัน

ครู : ในชีวิตประจำวันเรามักจะเจอวัตถุที่มีรูปร่างเป็นมุมไดฮีดรัล ยกตัวอย่าง.

นักเรียน : โฟลเดอร์ที่เปิดไว้ครึ่งหนึ่ง

นักเรียน : ผนังห้องอยู่ชิดกับพื้น

นักเรียน : หลังคาหน้าจั่วของอาคาร

ครู : ขวา. และมีตัวอย่างดังกล่าวจำนวนมาก

ครู : ดังที่คุณทราบ มุมบนระนาบมีหน่วยวัดเป็นองศา คุณอาจมีคำถามว่า มุมไดฮีดรัลวัดได้อย่างไร? ทำได้ดังนี้ลองทำเครื่องหมายจุดใดจุดหนึ่งบนขอบของมุมไดฮีดรัลแล้ววาดรังสีตั้งฉากกับขอบจากจุดนี้ในแต่ละหน้า มุมที่เกิดจากรังสีเหล่านี้เรียกว่ามุมเชิงเส้นของมุมไดฮีดรัล วาดภาพลงในสมุดบันทึกของคุณ

เขียนบนกระดานและในสมุดบันทึก

เกี่ยวกับ ∈ เอ เจเอสซี ⊥ ก, วีโอ ⊥ ก, SAบีดี– มุมไดฮีดรัล∠ เอโอบี– มุมเชิงเส้นของมุมไดฮีดรัล

ครู : มุมเชิงเส้นทั้งหมดของมุมไดฮีดรัลมีค่าเท่ากัน วาดรูปแบบนี้อีกสักตัว

ครู : มาพิสูจน์กัน พิจารณามุมเชิงเส้นสองมุม AOB และพีคิวอาร์- รังสีโอเอและคิวพีนอนคว่ำหน้าและตั้งฉากกันโอคิวซึ่งหมายความว่าพวกเขาได้รับการกำกับร่วมกัน ในทำนองเดียวกันรังสี OB และคิวอาร์ร่วมกำกับ วิธี,∠ เอโอบี= ∠ พีคิวอาร์(เช่นมุมที่มีด้านชิดกัน)

ครู : ทีนี้ คำตอบสำหรับคำถามของเราคือวิธีวัดมุมไดฮีดรัลการวัดระดับของมุมไดฮีดรัลคือการวัดระดับของมุมเชิงเส้น วาดภาพมุมไดฮีดรัลแบบเฉียบพลัน ขวา และป้านใหม่จากหนังสือเรียนในหน้า 48

4. การรวมเนื้อหาที่ศึกษา

ครู : วาดภาพสำหรับงาน

№ 1 . ให้ไว้: ∆เอบีซี, AC = BC, AB อยู่ในระนาบα, ซีดี ⊥ แอลฟา, ซี∉ แอลฟา สร้างมุมเชิงเส้นของมุมไดฮีดรัลซีบีดี.

นักเรียน : สารละลาย:ซี.เอ็ม. ⊥ เอบี, ดี.ซี ⊥ เอบี∠ ซีเอ็มดี - ตามหา

№ 2. ให้ไว้: ∆เอบีซี, ∠ ค= 90°, BC อยู่บนเครื่องบินα, JSC⊥ α, ก∈ α.

สร้างมุมเชิงเส้นของมุมไดฮีดรัลเอบีซีโอ.

นักเรียน : สารละลาย:เอบี ⊥ บี.ซี.,เจเอสซี⊥ BC หมายถึงระบบปฏิบัติการ⊥ ดวงอาทิตย์.∠ เอซีโอ - ตามหา

№ 3 - ให้ไว้: ∆เอบีซี, ∠ C = 90°, AB อยู่ในระนาบα, ซีดี⊥ แอลฟา, ซี∉ แอลฟา สร้างมุมไดฮีดรัลเชิงเส้นบสท.

นักเรียน : สารละลาย: ซีเค ⊥ เอบี, ดี.ซี ⊥ เอบี,ดีเค ⊥ เอบี แปลว่า∠ ดีเคซี - ตามหา

№ 4 - ที่ให้ไว้:บสท- จัตุรมุขทำ⊥ เอบีซี. สร้างมุมเชิงเส้นของมุมไดฮีดรัลเอบีซีดี.

นักเรียน : สารละลาย:ดีเอ็ม ⊥ ดวงอาทิตย์,ทำ ⊥ VS แปลว่า โอม⊥ ดวงอาทิตย์;∠ โอเอ็มดี - ตามหา

5. สรุป.

ครู: วันนี้คุณเรียนรู้อะไรใหม่ในชั้นเรียน?

นักเรียน : สิ่งที่เรียกว่ามุมไดฮีดรัล, มุมเชิงเส้น, วัดมุมไดฮีดรัลอย่างไร

ครู : พวกเขาพูดอะไรซ้ำ?

นักเรียน : สิ่งที่เรียกว่ามุมบนเครื่องบิน มุมระหว่างเส้นตรง

6.การบ้าน.

เขียนบนกระดานและในสมุดบันทึกของท่าน: วรรค 22 หมายเลข 167 หมายเลข 170

หากต้องการใช้ตัวอย่างการนำเสนอ ให้สร้างบัญชีสำหรับตัวคุณเอง ( บัญชี) Google และเข้าสู่ระบบ: https://accounts.google.com

คำอธิบายสไลด์:

DIHEDRAL ANGLE ครูคณิตศาสตร์ของสถาบันการศึกษาของรัฐ โรงเรียนมัธยมหมายเลข 10 Eremenko M.A.

วัตถุประสงค์หลักของบทเรียน: แนะนำแนวคิดเรื่องมุมไดฮีดรัลและมุมเชิงเส้น พิจารณางานสำหรับการประยุกต์ใช้แนวคิดเหล่านี้

คำจำกัดความ: มุมไดฮีดรัลคือรูปร่างที่เกิดจากระนาบครึ่งระนาบสองระนาบซึ่งมีเส้นตรงที่มีขอบเขตร่วมกัน

ขนาดของมุมไดฮีดรัลคือขนาดของมุมเชิงเส้น AF ⊥ CD BF ⊥ CD AFB - มุมไดฮีดรัลเชิงเส้น ACD B

ขอให้เราพิสูจน์ว่ามุมเชิงเส้นทั้งหมดของมุมไดฮีดรัลมีค่าเท่ากัน ลองพิจารณามุมเชิงเส้นสองมุม AOB และ A 1 OB 1 รังสี OA และ OA 1 อยู่บนใบหน้าเดียวกันและตั้งฉากกับ OO 1 ดังนั้นจึงมีทิศทางร่วม คาน OB และ OB 1 ก็มีการควบคุมร่วมกันเช่นกัน ดังนั้น ∠ AOB = ∠ A 1 OB 1 (เหมือนมุมที่มีด้านกำกับร่วม)

ตัวอย่างของมุมไดฮีดรัล:

คำจำกัดความ: มุมระหว่างระนาบสองระนาบที่ตัดกันคือมุมที่เล็กที่สุดของมุมไดฮีดรัลที่เกิดจากระนาบเหล่านี้

ภารกิจที่ 1: ในลูกบาศก์ A ... D 1 ค้นหามุมระหว่างระนาบ ABC และ CDD 1 คำตอบ: 90 โอ

ปัญหาที่ 2: ในลูกบาศก์ A ... D 1 ให้หามุมระหว่างระนาบ ABC และ CDA 1 คำตอบ: 45 โอ

ปัญหาที่ 3: ในลูกบาศก์ A ... D 1 ให้หามุมระหว่างระนาบ ABC และ BDD 1 คำตอบ: 90 โอ

ปัญหาที่ 4: ในลูกบาศก์ A ... D 1 หามุมระหว่างระนาบ ACC 1 และ BDD 1 คำตอบ: 90 โอ

ปัญหาที่ 5: ในลูกบาศก์ A ... D 1 ให้หามุมระหว่างระนาบ BC 1 D และ BA 1 D วิธีแก้: ให้ O เป็นจุดกึ่งกลางของ B D A 1 OC 1 – มุมเชิงเส้นของมุมไดฮีดรัล A 1 B D C 1

ปัญหาที่ 6: ในจัตุรมุข DABC ขอบทั้งหมดเท่ากัน จุด M คือจุดกึ่งกลางของขอบ AC พิสูจน์ว่า ∠ DMB คือมุมเชิงเส้นของมุมไดฮีดรัล BACD

วิธีแก้: สามเหลี่ยม ABC และ ADC เป็นรูปสามเหลี่ยมปกติ ดังนั้น BM ⊥ AC และ DM ⊥ AC และด้วยเหตุนี้ ∠ DMB จึงเป็นมุมเชิงเส้นของมุมไดฮีดรัล DACB

ปัญหาที่ 7: จากจุดยอด B ของสามเหลี่ยม ABC ด้าน AC ซึ่งอยู่ในระนาบ α BB 1 ตั้งฉากกับระนาบนี้ ค้นหาระยะทางจากจุด B ถึงเส้นตรง AC และถึงระนาบ α ถ้า AB=2, ∠ВAC=150 0 และมุมไดฮีดรัล ВАСВ 1 เท่ากับ 45 0

วิธีแก้: ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมป้านที่มีมุมป้าน A ดังนั้นฐานของระดับความสูง BC จึงอยู่ที่ส่วนขยายของด้าน AC VC – ระยะห่างจากจุด B ถึง AC BB 1 – ระยะห่างจากจุด B ถึงระนาบ α

2) เนื่องจาก AC ⊥BK ดังนั้น AC⊥KB 1 (ตามทฤษฎีบท การสนทนาของทฤษฎีบทประมาณสามตั้งฉาก) ดังนั้น ∠VKV 1 คือมุมเชิงเส้นของมุมไดฮีดรัล BASV 1 และ ∠VKV 1 =45 0 3) ∆VAK: ∠A=30 0, VK=VA· บาป 30 0, VK =1 ∆ВКВ 1: ВВ 1 =ВК· บาป 45 0 , ВВ 1 =

บทเรียนนี้มีไว้เพื่อ การศึกษาด้วยตนเองหัวข้อ "มุมไดฮีดรัล" ในบทนี้ นักเรียนจะคุ้นเคยกับหนึ่งในรูปทรงเรขาคณิตที่สำคัญที่สุด ซึ่งก็คือมุมไดฮีดรัล นอกจากนี้ในบทเรียนเราจะได้เรียนรู้วิธีกำหนดมุมเชิงเส้นของการพิจารณา รูปทรงเรขาคณิตและมุมไดฮีดรัลที่ฐานของรูปคือเท่าใด

ให้เราทำซ้ำว่ามุมบนเครื่องบินคืออะไรและวัดอย่างไร

ข้าว. 1. เครื่องบิน

ลองพิจารณาระนาบ α (รูปที่ 1) จากจุด เกี่ยวกับรังสีสองดวงเล็ดลอดออกมา - อ.บและ โอเอ.

คำนิยาม- รูปร่างที่เกิดจากรังสีสองเส้นที่เล็ดลอดออกมาจากจุดหนึ่งเรียกว่ามุม

มุมวัดเป็นองศาและเรเดียน

จำไว้ว่าเรเดียนคืออะไร.

ข้าว. 2. เรเดียน

หากเรามีมุมที่ศูนย์กลางซึ่งมีความยาวส่วนโค้งเท่ากับรัศมี มุมที่ศูนย์กลางดังกล่าวจะเรียกว่ามุม 1 เรเดียน , เอโอบี= 1 rad (รูปที่ 2)

ความสัมพันธ์ระหว่างเรเดียนกับองศา

ยินดี.

เราเข้าใจแล้ว ฉันดีใจ - แล้ว,

คำนิยาม. มุมไดฮีดรัลรูปทรงที่เกิดจากเส้นตรงเรียกว่า กและระนาบครึ่งระนาบสองอันที่มีขอบเขตร่วมกัน กไม่ใช่อยู่ในระนาบเดียวกัน

ข้าว. 3. ครึ่งระนาบ

ลองพิจารณาระนาบครึ่งระนาบ α และ β สองอัน (รูปที่ 3) เส้นขอบทั่วไปของพวกเขาคือ ก- รูปนี้เรียกว่ามุมไดฮีดรัล

คำศัพท์เฉพาะทาง

ฮาล์ฟเพลน α และ β เป็นหน้าของมุมไดฮีดรัล

ตรง กคือขอบของมุมไดฮีดรัล

บนขอบทั่วไป กมุมไดฮีดรัล เลือกจุดที่ต้องการ เกี่ยวกับ(รูปที่ 4) ในครึ่งระนาบ α จากจุด เกี่ยวกับคืนค่าตั้งฉาก โอเอเป็นเส้นตรง ก- จากจุดเดียวกัน เกี่ยวกับในระนาบครึ่งหลัง β เราสร้างเส้นตั้งฉาก อ.บไปที่ขอบ ก- ได้มุมแล้ว เอโอบีซึ่งเรียกว่ามุมเชิงเส้นของมุมไดฮีดรัล

ข้าว. 4. การวัดมุมไดฮีดรัล

ขอให้เราพิสูจน์ความเท่าเทียมกันของมุมเชิงเส้นทั้งหมดสำหรับมุมไดฮีดรัลที่กำหนด

ให้เรามีมุมไดฮีดรัล (รูปที่ 5) เรามาเลือกจุดกัน เกี่ยวกับและช่วงเวลา โอ 1บนเส้นตรง ก- มาสร้างมุมเชิงเส้นที่สัมพันธ์กับจุดกัน เกี่ยวกับนั่นคือเราวาดเส้นตั้งฉากสองอัน โอเอและ อ.บในระนาบ α และ β ตามลำดับจนถึงขอบ ก- เราได้มุมแล้ว เอโอบี- มุมเชิงเส้นของมุมไดฮีดรัล

ข้าว. 5. ภาพประกอบหลักฐาน

จากจุด โอ 1ลองวาดตั้งฉากกันสองอัน โอเอ 1และ อ็อบ 1ไปที่ขอบ กในระนาบ α และ β ตามลำดับ และเราได้มุมเชิงเส้นที่สอง ก 1 โอ 1 บี 1.

รังสี โอ 1 เอ 1และ โอเอ coDirectional เนื่องจากพวกมันอยู่ในระนาบครึ่งเดียวกันและขนานกันเหมือนสองตั้งฉากกับเส้นเดียวกัน ก.

ในทำนองเดียวกันรังสี ประมาณ 1 ใน 1และ อ.บกำกับร่วมกันซึ่งหมายความว่า ∠ เอโอบี =∠ ก 1 โอ 1 บี 1เป็นมุมที่มีด้านโคทิศทางซึ่งเป็นสิ่งที่ต้องพิสูจน์

ระนาบของมุมเชิงเส้นตั้งฉากกับขอบของมุมไดฮีดรัล

พิสูจน์: ก ⊥ เอโอบี.

ข้าว. 6. ภาพประกอบหลักฐาน

การพิสูจน์:

โอเอ ⊥ กโดยการก่อสร้าง อ.บ ⊥ กโดยการก่อสร้าง (รูปที่ 6)

เราพบว่าเส้นนั้น กตั้งฉากกับเส้นตรงสองเส้นที่ตัดกัน โอเอและ อ.บออกจากเครื่องบิน เอโอบีซึ่งหมายความว่าตรง กตั้งฉากกับเครื่องบิน โอเอวีซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องได้รับการพิสูจน์

มุมไดฮีดรัลวัดจากมุมเชิงเส้น ซึ่งหมายความว่าเมื่อมีมุมเชิงเส้นหลายองศาเรเดียน จำนวนองศาเรเดียนก็จะอยู่ในมุมไดฮีดรัลเท่ากัน ตามนี้ มุมไดฮีดรัลประเภทต่อไปนี้จึงมีความโดดเด่น

เฉียบพลัน (รูปที่ 6)

มุมไดฮีดรัลจะเป็นมุมแหลม ถ้ามุมเชิงเส้นของมันเป็นแบบเฉียบพลัน เช่น -

แบบตรง (รูปที่ 7)

มุมไดฮีดรัลจะอยู่ในตำแหน่งที่ถูกต้องเมื่อมุมเชิงเส้นตรงเป็น 90° - มุมป้าน (รูปที่ 8)

มุมไดฮีดรัลจะเป็นมุมป้าน เมื่อมุมเชิงเส้นของมันเป็นมุมป้าน เช่น .

ข้าว. 7. มุมขวา

ข้าว. 8. มุมป้าน

ตัวอย่างการสร้างมุมเชิงเส้นในรูปจริง

เอบีซีดี- จัตุรมุข

1. สร้างมุมเชิงเส้นของมุมไดฮีดรัลพร้อมขอบ เอบี.

ข้าว. 9. ภาพประกอบสำหรับปัญหา

การก่อสร้าง:

เรากำลังพูดถึงมุมไดฮีดรัลซึ่งเกิดจากขอบ เอบีและขอบ เอบีดีและ เอบีซี(รูปที่ 9)

มาทำไดเร็กกันเถอะ ดีเอ็นตั้งฉากกับเครื่องบิน เอบีซี, เอ็น- ฐานตั้งฉาก มาวาดรูปเอียงกัน ดีมตั้งฉากกับเส้นตรง เอบี,ม- ฐานเอียง จากทฤษฎีบทสามฉากตั้งฉากเราสรุปได้ว่าการฉายภาพเฉียง นิวเม็กซิโกตั้งฉากกับเส้นด้วย เอบี.

นั่นคือจากจุด มมีการคืนค่าตั้งฉากสองอันกับขอบ เอบีทั้งสองด้าน เอบีดีและ เอบีซี- เราได้มุมเชิงเส้นแล้ว ดีมน.

โปรดทราบว่า เอบีขอบของมุมไดฮีดรัลที่ตั้งฉากกับระนาบของมุมเชิงเส้น กล่าวคือ ระนาบ ดีมน- ปัญหาได้รับการแก้ไขแล้ว

ความคิดเห็น- มุมไดฮีดรัลสามารถแสดงได้ดังนี้: ดีเอบีซี, ที่ไหน

เอบี- ขอบและจุด ดีและ กับนอนอยู่ ใบหน้าที่แตกต่างกันมุม.

2. สร้างมุมเชิงเส้นของมุมไดฮีดรัลพร้อมขอบ เครื่องปรับอากาศ.

ลองวาดเส้นตั้งฉากกัน ดีเอ็นไปที่เครื่องบิน เอบีซีและมีความโน้มเอียง ดีเอ็นตั้งฉากกับเส้นตรง เครื่องปรับอากาศจากทฤษฎีบทของสามตั้งฉากเราพบว่า NN- การฉายภาพเฉียง ดีเอ็นไปที่เครื่องบิน เอบีซี,ตั้งฉากกับเส้นด้วย เครื่องปรับอากาศดีเอ็นเอช- มุมเชิงเส้นของมุมไดฮีดรัลกับขอบ เครื่องปรับอากาศ.

ในจัตุรมุข ดีเอบีซีขอบทั้งหมดเท่ากัน จุด ม- ตรงกลางซี่โครง เครื่องปรับอากาศ- พิสูจน์ว่ามุม ดีเอ็มวี- มุมไดฮีดรัลเชิงเส้น คุณดีกล่าวคือ มุมไดฮีดรัลที่มีขอบ เครื่องปรับอากาศ- ใบหน้าหนึ่งของมันคือ เครื่องปรับอากาศดี, ที่สอง - เส้นผ่าศูนย์กลาง(รูปที่ 10)

ข้าว. 10. ภาพประกอบสำหรับปัญหา

สารละลาย:

สามเหลี่ยม เอดีซี- ด้านเท่ากันหมด ดีเอ็ม- ค่ามัธยฐานและความสูงด้วย วิธี, ดีม ⊥ เครื่องปรับอากาศสามเหลี่ยมเช่นเดียวกัน กในค- ด้านเท่ากันหมด ในม- ค่ามัธยฐานและความสูงด้วย วิธี, วีเอ็ม ⊥ เครื่องปรับอากาศ

ดังนั้นจากจุดนั้น มซี่โครง เครื่องปรับอากาศมุมไดฮีดรัลคืนสภาพตั้งฉากสองอัน ดีเอ็มและ วีเอ็มไปที่ขอบนี้ในหน้าของมุมไดฮีดรัล

ดังนั้น ∠ ดีเอ็มในคือมุมเชิงเส้นของมุมไดฮีดรัล ซึ่งเป็นมุมที่ต้องพิสูจน์

เราได้นิยามมุมไดฮีดรัลแล้ว ซึ่งเป็นมุมเชิงเส้นของมุมไดฮีดรัล

บน บทเรียนถัดไปเราจะดูความตั้งฉากของเส้นตรงและระนาบ จากนั้นเราจะเรียนรู้ว่ามุมไดฮีดรัลอยู่ที่ฐานของตัวเลขอย่างไร

รายการอ้างอิงในหัวข้อ "มุมไดฮีดรัล", "มุมไดฮีดรัลที่ฐานของรูปทรงเรขาคณิต"

1. เรขาคณิต. เกรด 10-11: หนังสือเรียนเพื่อการศึกษาทั่วไป สถาบันการศึกษา/ Sharygin I.F. - M.: Bustard, 1999. - 208 p.: ป่วย
2. เรขาคณิต. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 10: หนังสือเรียนสำหรับสถาบันการศึกษาทั่วไปที่มีการศึกษาคณิตศาสตร์เชิงลึกและเฉพาะทาง /E วี. โปโตสคูเยฟ, แอล. ไอ. ซวาลิช. - ฉบับที่ 6 แบบเหมารวม - อ.: อีแร้ง, 2551. - 233 น.: ป่วย

1. Yaklass.ru ()
2. E-science.ru ()
3. Webmath.exponenta.ru ()
4. Tutoronline.ru ()

การบ้านในหัวข้อ "มุมไดฮีดรัล" กำหนดมุมไดฮีดรัลที่ฐานของรูป

เรขาคณิต. เกรด 10-11: หนังสือเรียนสำหรับนักเรียนของสถาบันการศึกษาทั่วไป (ระดับพื้นฐานและเฉพาะทาง) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov - ฉบับที่ 5 แก้ไขและขยาย - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 หน้า: ป่วย

ภารกิจที่ 2, 3 หน้า 67

มุมไดฮีดรัลเชิงเส้นคืออะไร? จะสร้างมันขึ้นมาได้อย่างไร?

เอบีซีดี- จัตุรมุข สร้างมุมเชิงเส้นของมุมไดฮีดรัลที่มีขอบ:

ก) ในดีข) ดีกับ.

เอบีซีดี.เอ. 1 บี 1 ค 1 ดี 1 - ลูกบาศก์ สร้างมุมเชิงเส้นของมุมไดฮีดรัล เอ 1 เอบีซีมีซี่โครง เอบี- กำหนดหน่วยวัดระดับของมัน

บทที่หนึ่งตรงและเครื่องบิน

V. มุมไดฮีดรัล, มุมขวากับระนาบ,
มุมของสองเส้นตรงที่ตัดกันทางขวา, มุมหลายเหลี่ยม

มุมไดฮีดรัล

38. คำจำกัดความส่วนของเครื่องบินที่วางอยู่บนด้านหนึ่งของเส้นตรงใดๆ ที่อยู่ในระนาบนี้เรียกว่า ครึ่งระนาบ- เรียกว่ารูปที่เกิดจากระนาบครึ่งระนาบสองอัน (P และ Q, รูปที่ 26) ที่เล็ดลอดออกมาจากเส้นตรงเส้นเดียว (AB) มุมไดฮีดรัล- เรียกว่า Direct AB ขอบและระนาบครึ่ง P และ Q - ฝ่ายหรือ ขอบมุมไดฮีดรัล

มุมดังกล่าวมักจะถูกกำหนดด้วยตัวอักษรสองตัวที่วางอยู่ที่ขอบ (มุมไดฮีดรัล AB) แต่ถ้าที่ขอบด้านหนึ่งมีมุมไดฮีดรัลหลายมุม แต่ละมุมจะถูกกำหนดด้วยตัวอักษรสี่ตัว โดยสองตัวตรงกลางอยู่ที่ขอบ และอีกสองมุมด้านนอกอยู่ที่ใบหน้า (เช่น มุมไดฮีดรัล SCDR) (รูปที่. 27)

หากจากจุดใดก็ได้ D ขอบ AB (รูปที่ 28) ถูกวาดในแต่ละหน้าตั้งฉากกับขอบจากนั้นมุม CDE ที่เกิดจากพวกมันจะถูกเรียกว่า มุมเชิงเส้นมุมไดฮีดรัล

ขนาดของมุมเชิงเส้นไม่ได้ขึ้นอยู่กับตำแหน่งของจุดยอดบนขอบ ดังนั้น มุมเชิงเส้น CDE และ C 1 D 1 E 1 จึงเท่ากัน เนื่องจากด้านทั้งสองขนานกันตามลำดับและไปในทิศทางเดียวกัน

ระนาบของมุมเชิงเส้นตั้งฉากกับขอบ เนื่องจากมีเส้นตรงสองเส้นตั้งฉากกับมัน ดังนั้น เพื่อให้ได้มุมเชิงเส้น ก็เพียงพอที่จะตัดหน้าของมุมไดฮีดรัลที่กำหนดด้วยระนาบที่ตั้งฉากกับขอบ แล้วพิจารณามุมผลลัพธ์ในระนาบนี้

39. ความเท่าเทียมกันและความไม่เท่าเทียมกันของมุมไดฮีดรัลมุมไดฮีดรัลสองมุมจะถือว่าเท่ากันหากสามารถนำมารวมกันเมื่อแทรกเข้าไป มิฉะนั้น ไม่ว่ามุมไดฮีดรัลใดก็ตามที่ถือว่าเป็นมุมที่เล็กกว่าก็จะเป็นส่วนหนึ่งของมุมอื่น

เช่นเดียวกับมุมในแผนผังระนาบ มุมไดฮีดรัลก็สามารถเป็นได้ ที่อยู่ติดกันแนวตั้งฯลฯ

หากมุมไดฮีดรัลสองมุมที่อยู่ติดกันเท่ากัน แต่ละมุมจะถูกเรียก มุมไดฮีดรัลด้านขวา.

ทฤษฎีบท 1) มุมไดฮีดรัลที่เท่ากันสอดคล้องกับมุมเชิงเส้นที่เท่ากัน

2) มุมไดฮีดรัลที่ใหญ่กว่าจะสัมพันธ์กับมุมเชิงเส้นที่ใหญ่กว่า

ให้ PABQ และ P 1 A 1 B 1 Q 1 (รูปที่ 29) เป็นมุมไดฮีดรัลสองมุม เราแทรกมุม A 1 B 1 ลงในมุม AB เพื่อให้ขอบ A 1 B 1 ตรงกับขอบ AB และหน้า P 1 กับหน้า P

จากนั้นถ้ามุมไดฮีดรัลเหล่านี้เท่ากัน ใบหน้า Q 1 จะตรงกับหน้า Q; ถ้ามุม A 1 B 1 น้อยกว่ามุม AB ใบหน้า Q 1 จะอยู่ในตำแหน่งใดตำแหน่งหนึ่งภายในมุมไดฮีดรัล เช่น Q 2

เมื่อสังเกตสิ่งนี้แล้ว ลองหาจุด B บนขอบทั่วไปแล้ววาดระนาบ R ผ่านจุดนั้นโดยตั้งฉากกับขอบ จากจุดตัดของระนาบนี้กับใบหน้าของมุมไดฮีดรัล จะได้มุมเชิงเส้น เป็นที่แน่ชัดว่าหากมุมไดฮีดรัลตรงกัน มุมเหล่านั้นจะมี CBD มุมเชิงเส้นเท่ากัน หากมุมไดฮีดรัลไม่ตรงกัน เช่น ใบหน้า Q 1 เข้ารับตำแหน่ง Q 2 ดังนั้นมุมไดฮีดรัลที่ใหญ่กว่าจะมีมุมเชิงเส้นที่ใหญ่กว่า (กล่าวคือ: / ย่านศูนย์กลางธุรกิจ > / ซี 2 ห้องนอน)

40. ทฤษฎีบทสนทนา 1) มุมเชิงเส้นที่เท่ากันสอดคล้องกับมุมไดฮีดรัลที่เท่ากัน

2) มุมเชิงเส้นที่ใหญ่กว่าจะสัมพันธ์กับมุมไดฮีดรัลที่ใหญ่กว่า .

ทฤษฎีบทเหล่านี้สามารถพิสูจน์ได้โดยง่ายด้วยการขัดแย้งกัน

41. ผลที่ตามมา 1) มุมไดฮีดรัลด้านขวาสอดคล้องกับมุมเชิงเส้นตรง และในทางกลับกัน

ให้ (รูปที่ 30) มุมไดฮีดรัลของ PABQ เป็นเส้นตรง ซึ่งหมายความว่ามันเท่ากับมุมที่อยู่ติดกัน QABP 1 แต่ในกรณีนี้ มุมเชิงเส้น CDE และ CDE 1 ก็เท่ากันเช่นกัน และเนื่องจากอยู่ติดกัน แต่ละอันจึงต้องตั้งตรง ในทางกลับกัน ถ้ามุมเชิงเส้นที่อยู่ติดกัน CDE และ CDE 1 เท่ากัน มุมไดฮีดรัลที่อยู่ติดกันก็จะเท่ากัน กล่าวคือ แต่ละมุมจะต้องเป็นเส้นตรง

2) มุมไดฮีดรัลด้านขวาทั้งหมดเท่ากันเพราะมุมเชิงเส้นของมันเท่ากัน .

ในทำนองเดียวกัน มันง่ายที่จะพิสูจน์ว่า:

3) มุมไดฮีดรัลแนวตั้งมีค่าเท่ากัน.

4) ไดฮีดราล มุมที่มีขอบกำกับขนานกันและเหมือนกัน (หรือตรงกันข้าม) ตามลำดับจะเท่ากัน

5) หากเราใช้มุมไดฮีดรัลเป็นหน่วยของมุมไดฮีดรัลซึ่งสอดคล้องกับหน่วยของมุมเชิงเส้น เราก็บอกได้ว่ามุมไดฮีดรัลนั้นวัดโดยมุมเชิงเส้นของมัน