สมการกำลังสอง- เลือกปฏิบัติ วิธีแก้ปัญหาตัวอย่าง

ความสนใจ!
มีเพิ่มเติม
วัสดุมาตราพิเศษ 555
สำหรับผู้ที่ "ไม่ค่อย..." มากนัก
และสำหรับผู้ที่ “มากๆ…”)

ประเภทของสมการกำลังสอง

สมการกำลังสองคืออะไร? มันมีลักษณะอย่างไร? ในระยะ สมการกำลังสองคำหลักคือ "สี่เหลี่ยม".ซึ่งหมายความว่าในสมการ จำเป็นจะต้องมี x กำลังสอง นอกจากนี้ สมการอาจมี (หรืออาจจะไม่!) มีเพียง X (ยกกำลังแรก) และเพียงตัวเลขเท่านั้น (สมาชิกฟรี).และไม่ควรมี X ยกกำลังมากกว่า 2

ในแง่คณิตศาสตร์ สมการกำลังสองคือสมการที่มีรูปแบบดังนี้

ที่นี่ ก ข และค- ตัวเลขบางตัว ข และ ค- อะไรก็ได้ แต่. ก– สิ่งอื่นใดที่ไม่ใช่ศูนย์ ตัวอย่างเช่น:

ที่นี่ ก =1; ข = 3; ค = -4

ที่นี่ ก =2; ข = -0,5; ค = 2,2

ที่นี่ ก =-3; ข = 6; ค = -18

คุณก็เข้าใจ...

ในสมการกำลังสองทางด้านซ้ายนี้จะมี ชุดสมบูรณ์สมาชิก X กำลังสองด้วยสัมประสิทธิ์ เอ, x ยกกำลังแรกด้วยสัมประสิทธิ์ ขและ สมาชิกฟรี

สมการกำลังสองดังกล่าวเรียกว่า เต็ม.

เกิดอะไรขึ้นถ้า ข= 0 เราได้อะไร? เรามี X จะหายไปยกกำลังแรกสิ่งนี้เกิดขึ้นเมื่อคูณด้วยศูนย์) ปรากฎว่า:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

ฯลฯ และถ้าทั้งสองค่าสัมประสิทธิ์ ขและ คเท่ากับศูนย์ แล้วยังง่ายกว่า:

2x 2 = 0,

-0.3x 2 =0

สมการดังกล่าวที่มีบางสิ่งหายไปเรียกว่า สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ซึ่งค่อนข้างสมเหตุสมผล) โปรดทราบว่า x กำลังสองมีอยู่ในสมการทั้งหมด

โดยวิธีการทำไม กไม่สามารถเท่ากับศูนย์ได้ใช่ไหม? และคุณทดแทนแทน กศูนย์) X กำลังสองของเราจะหายไป! สมการจะกลายเป็นเส้นตรง และวิธีแก้ปัญหาก็แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง...

นั่นคือสมการกำลังสองประเภทหลักทั้งหมด สมบูรณ์และไม่สมบูรณ์

การแก้สมการกำลังสอง

การแก้สมการกำลังสองที่สมบูรณ์

สมการกำลังสองแก้ได้ง่าย ตามสูตรและกติกาง่ายๆชัดเจน ในระยะแรกจำเป็นต้องนำสมการที่กำหนดมาเป็นรูปแบบมาตรฐานเช่น ไปที่แบบฟอร์ม:

หากคุณให้สมการในรูปแบบนี้แล้ว คุณไม่จำเป็นต้องทำขั้นตอนแรก) สิ่งสำคัญคือต้องกำหนดค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดให้ถูกต้อง ก, ขและ ค.

สูตรการหารากของสมการกำลังสองมีลักษณะดังนี้:

เรียกว่านิพจน์ภายใต้เครื่องหมายรูท เลือกปฏิบัติ- แต่เพิ่มเติมเกี่ยวกับเขาด้านล่าง อย่างที่คุณเห็นในการค้นหา X เราใช้ เฉพาะ a, b และ c. เหล่านั้น. สัมประสิทธิ์จากสมการกำลังสอง เพียงทดแทนค่าต่างๆ อย่างระมัดระวัง ก ข และคเราคำนวณเป็นสูตรนี้ มาทดแทนกัน ด้วยสัญญาณของคุณเอง! ตัวอย่างเช่น ในสมการ:

ก =1; ข = 3; ค= -4. ที่นี่เราเขียนมันลงไป:

ตัวอย่างนี้เกือบจะได้รับการแก้ไขแล้ว:

นี่คือคำตอบ

มันง่ายมาก แล้วคุณคิดว่ามันเป็นไปไม่ได้ที่จะทำผิดพลาดเหรอ? ใช่แล้วยังไง...

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุดคือความสับสนกับค่าสัญญาณ ก ข และค- หรือไม่ใช่ด้วยสัญญาณของพวกเขา (จะสับสนได้ที่ไหน) แต่ด้วยการแทนที่ค่าลบเป็นสูตรในการคำนวณราก สิ่งที่ช่วยได้คือการบันทึกสูตรโดยละเอียดพร้อมตัวเลขเฉพาะ หากมีปัญหาในการคำนวณ ทำอย่างนั้น!

สมมติว่าเราจำเป็นต้องแก้ตัวอย่างต่อไปนี้:

ที่นี่ ก = -6; ข = -5; ค = -1

สมมติว่าคุณรู้ว่าคุณไม่ค่อยได้รับคำตอบในครั้งแรก

เอาล่ะ อย่าขี้เกียจนะ จะใช้เวลาประมาณ 30 วินาทีในการเขียนบรรทัดเพิ่มเติมและจำนวนข้อผิดพลาด จะลดลงอย่างรวดเร็ว- ดังนั้นเราจึงเขียนโดยละเอียดพร้อมวงเล็บและเครื่องหมายทั้งหมด:

ดูเหมือนเป็นเรื่องยากมากที่จะเขียนออกมาอย่างระมัดระวัง แต่ดูเหมือนเป็นเช่นนั้นเท่านั้น ลองดูสิ ดีหรือเลือก อะไรจะดีไปกว่า รวดเร็ว หรือถูกต้อง? นอกจากนี้ฉันจะทำให้คุณมีความสุข หลังจากนั้นไม่นาน ก็ไม่จำเป็นต้องเขียนทุกอย่างลงอย่างระมัดระวัง มันจะได้ผลด้วยตัวมันเอง โดยเฉพาะถ้าคุณใช้เทคนิคการปฏิบัติ

ซึ่งอธิบายไว้ด้านล่างนี้ ตัวอย่างที่ชั่วร้ายที่มีข้อเสียมากมายนี้สามารถแก้ไขได้อย่างง่ายดายและไม่มีข้อผิดพลาด!

แต่บ่อยครั้งที่สมการกำลังสองดูแตกต่างออกไปเล็กน้อย ตัวอย่างเช่นเช่นนี้: คุณจำได้ไหม?) ใช่! นี้.

สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์

การแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ ก ข และค.

สามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรทั่วไป คุณแค่ต้องเข้าใจให้ถูกต้องว่ามันเท่ากับอะไรตรงนี้ คุณคิดออกแล้วหรือยัง? ในตัวอย่างแรกก = 1; ข = -4; คก - มันไม่มีอยู่เลย! ใช่แล้ว ถูกต้องแล้ว ในทางคณิตศาสตร์ก็หมายความว่าอย่างนั้น ค = 0 - แค่นั้นแหละ. แทนศูนย์ลงในสูตรแทนค, และเราจะประสบความสำเร็จ เช่นเดียวกับตัวอย่างที่สอง มีเพียงเราเท่านั้นที่ไม่มีศูนย์ที่นี่กับ ข !

, ก แต่สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์สามารถแก้ไขได้ง่ายกว่ามาก โดยไม่มีสูตรใดๆ ลองพิจารณาสิ่งแรกสมการที่ไม่สมบูรณ์

- ด้านซ้ายทำอะไรได้บ้าง? คุณสามารถเอา X ออกจากวงเล็บได้! เอามันออกไปเถอะ
แล้วนี่ล่ะ? และความจริงที่ว่าผลคูณเท่ากับศูนย์ก็ต่อเมื่อปัจจัยใดๆ เท่ากับศูนย์เท่านั้น! ไม่เชื่อฉันเหรอ? เอาล่ะ คิดเลขที่ไม่ใช่ศูนย์สองตัวที่เมื่อคูณแล้วจะได้ศูนย์!
ไม่ทำงานเหรอ? แค่นั้นแหละ... ดังนั้นเราจึงเขียนได้อย่างมั่นใจ:, x 1 = 0.

ทั้งหมด. พวกนี้จะเป็นรากของสมการของเรา ทั้งสองมีความเหมาะสม เมื่อแทนค่าใดค่าหนึ่งลงในสมการดั้งเดิม เราจะได้ข้อมูลประจำตัวที่ถูกต้อง 0 = 0 อย่างที่คุณเห็น วิธีแก้ปัญหานั้นง่ายกว่าการใช้สูตรทั่วไปมาก โปรดทราบว่า X ตัวไหนจะเป็นตัวแรกและตัวไหนจะเป็นตัวที่สอง - ไม่แยแสเลย สะดวกที่จะเขียนตามลำดับ x1- อะไรที่เล็กกว่าและ x2- สิ่งที่ยิ่งใหญ่กว่า

สมการที่สองสามารถแก้ได้ง่ายๆ เช่นกัน ย้าย 9 ไปที่ ด้านขวา- เราได้รับ:

สิ่งที่เหลืออยู่คือการแยกรูตออกจาก 9 เท่านี้ก็เรียบร้อย มันจะเปิดออก:

สองรากเช่นกัน . x 1 = -3, x 2 = 3.

นี่คือวิธีการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ทั้งหมด โดยการวาง X ออกจากวงเล็บ หรือเพียงเลื่อนตัวเลขไปทางขวาแล้วแยกรากออก
เป็นเรื่องยากมากที่จะสร้างความสับสนให้กับเทคนิคเหล่านี้ เพียงเพราะในกรณีแรก คุณจะต้องแยกรากของ X ซึ่งไม่สามารถเข้าใจได้ และในกรณีที่สอง ไม่มีอะไรจะออกจากวงเล็บ...

เลือกปฏิบัติ สูตรจำแนก

คำวิเศษ เลือกปฏิบัติ - นักเรียนมัธยมปลายไม่เคยได้ยินคำนี้มาก่อน! วลีที่ว่า “เราแก้ปัญหาด้วยการเลือกปฏิบัติ” สร้างแรงบันดาลใจให้เกิดความมั่นใจและความมั่นใจ เพราะไม่จำเป็นต้องคาดหวังกลอุบายจากผู้เลือกปฏิบัติ! มันใช้งานง่ายและไร้ปัญหา) ฉันเตือนคุณถึงสูตรการแก้ปัญหาทั่วไปที่สุด ใดๆสมการกำลังสอง:

การแสดงออกภายใต้เครื่องหมายรากเรียกว่าการเลือกปฏิบัติ โดยทั่วไปแล้วการเลือกปฏิบัติจะแสดงด้วยตัวอักษร ดี- สูตรจำแนก:

ง = ข 2 - 4เอซี

และอะไรที่น่าทึ่งเกี่ยวกับสำนวนนี้? เหตุใดจึงสมควรได้รับชื่อพิเศษ? อะไร ความหมายของการเลือกปฏิบัติ?หลังจากทั้งหมด -ข,หรือ 2กในสูตรนี้พวกเขาไม่ได้เรียกมันว่าอะไรโดยเฉพาะ... ตัวอักษรและตัวอักษร

นี่คือสิ่งที่ เมื่อแก้สมการกำลังสองโดยใช้สูตรนี้ก็เป็นไปได้ เพียงสามกรณีเท่านั้น

1. การเลือกปฏิบัติเป็นบวกซึ่งหมายความว่าสามารถแยกรากออกมาได้ ไม่ว่ารากจะถูกสกัดออกมาได้ดีหรือไม่ดีนั้นเป็นคำถามที่แตกต่างกัน สิ่งสำคัญคือสิ่งที่สกัดออกมาในหลักการ แล้วสมการกำลังสองของคุณมีสองราก สองโซลูชั่นที่แตกต่างกัน

2. การเลือกปฏิบัติเป็นศูนย์แล้วคุณจะมีทางออกหนึ่ง เนื่องจากการบวกหรือลบศูนย์ในตัวเศษจึงไม่เปลี่ยนแปลงอะไรเลย พูดอย่างเคร่งครัดนี่ไม่ใช่รากเดียว แต่ สองอันเหมือนกัน- แต่ในเวอร์ชันที่เรียบง่ายเป็นเรื่องปกติที่จะพูดถึง ทางออกหนึ่ง

3. การเลือกปฏิบัติเป็นลบไม่สามารถหารากที่สองของจำนวนลบได้ โอ้ดี. ซึ่งหมายความว่าไม่มีวิธีแก้ไข

พูดตรงๆ เมื่อไหร่. วิธีแก้ปัญหาง่ายๆสมการกำลังสอง แนวคิดเรื่องการแบ่งแยกไม่จำเป็นเป็นพิเศษ เราแทนค่าสัมประสิทธิ์ลงในสูตรแล้วนับ ทุกสิ่งทุกอย่างเกิดขึ้นที่นั่นด้วยตัวของมันเอง มี 2 ราก 1 และไม่มีเลย แต่เมื่อแก้ไขเพิ่มเติม งานที่ยากลำบากโดยไม่มีความรู้ ความหมายและสูตรของการเลือกปฏิบัติไม่สามารถผ่านไปได้ โดยเฉพาะในสมการที่มีพารามิเตอร์ สมการดังกล่าวเป็นการแสดงผาดโผนสำหรับการสอบของรัฐและการสอบ Unified State!)

ดังนั้น, วิธีแก้สมการกำลังสองผ่านการเลือกปฏิบัติที่คุณจำได้ หรือคุณได้เรียนรู้ซึ่งก็ไม่เลวเช่นกัน) คุณรู้วิธีกำหนดอย่างถูกต้อง ก ข และค- คุณรู้วิธีการ? อย่างตั้งใจแทนที่พวกมันลงในสูตรรูทและ อย่างตั้งใจนับผลลัพธ์ คุณเข้าใจไหมว่า คำหลักที่นี่ - อย่างตั้งใจ?

ตอนนี้ให้สังเกตเทคนิคเชิงปฏิบัติที่ช่วยลดจำนวนข้อผิดพลาดได้อย่างมาก อันเกิดจากการไม่ตั้งใจ...ซึ่งต่อมากลับกลายเป็นความเจ็บปวดและขุ่นเคือง...

นัดแรก - อย่าเกียจคร้านก่อนที่จะแก้สมการกำลังสองและทำให้มันอยู่ในรูปแบบมาตรฐาน สิ่งนี้หมายความว่าอย่างไร?
สมมติว่าหลังจากการแปลงทั้งหมดคุณจะได้สมการต่อไปนี้:

อย่าเพิ่งรีบเขียนสูตรรูท! คุณเกือบจะได้รับโอกาสปะปนกันอย่างแน่นอน ก ข และคสร้างตัวอย่างอย่างถูกต้อง อย่างแรก X กำลังสอง จากนั้นไม่มีกำลังสอง ตามด้วยพจน์อิสระ แบบนี้:

และอีกครั้งอย่ารีบเร่ง! ลบหน้า X กำลังสองอาจทำให้คุณเสียใจได้ ลืมง่าย...กำจัดลบทิ้งไป ยังไง? ใช่แล้ว ตามที่สอนในหัวข้อที่แล้ว! เราจำเป็นต้องคูณสมการทั้งหมดด้วย -1 เราได้รับ:

แต่ตอนนี้คุณสามารถเขียนสูตรสำหรับรากได้อย่างปลอดภัย คำนวณการแบ่งแยก และแก้ไขตัวอย่างให้เสร็จสิ้น ตัดสินใจด้วยตัวเอง

ตอนนี้คุณควรมีรูต 2 และ -1 แผนกต้อนรับที่สอง เช็คต้นตอ! ตามทฤษฎีบทของเวียตตา ไม่ต้องกลัว ฉันจะอธิบายทุกอย่าง! กำลังตรวจสอบล่าสุด สมการ เหล่านั้น. อันที่เราใช้เขียนสูตรรูตลงไป ถ้า (ดังตัวอย่างนี้) ค่าสัมประสิทธิ์ก = 1 การตรวจสอบรากเป็นเรื่องง่าย มันก็เพียงพอแล้วที่จะคูณพวกมัน ผลลัพธ์ควรเป็นสมาชิกฟรีเช่น ในกรณีของเรา -2 โปรดทราบว่าไม่ใช่ 2 แต่เป็น -2! สมาชิกฟรี ด้วยสัญญาณของคุณ

- หากไม่ได้ผลก็หมายความว่าพวกเขาทำผิดพลาดอยู่ที่ไหนสักแห่งแล้ว มองหาข้อผิดพลาด ขหากได้ผลคุณจะต้องเพิ่มราก การตรวจสอบครั้งสุดท้ายและครั้งสุดท้าย ค่าสัมประสิทธิ์ควรจะเป็น กับ ตรงข้าม ขคุ้นเคย. ในกรณีของเรา -1+2 = +1 ค่าสัมประสิทธิ์
ซึ่งอยู่ก่อน X เท่ากับ -1 ดังนั้นทุกอย่างถูกต้อง! น่าเสียดายที่นี่เป็นเพียงตัวอย่างที่ x กำลังสองมีค่าบริสุทธิ์และมีค่าสัมประสิทธิ์เท่านั้นก = 1

แต่อย่างน้อยก็ตรวจสอบสมการดังกล่าว! ข้อผิดพลาดก็จะน้อยลงเรื่อยๆ แผนกต้อนรับที่สาม - หากสมการของคุณมีค่าสัมประสิทธิ์เศษส่วน ให้กำจัดเศษส่วนออก! คูณสมการด้วยตัวส่วนร่วม

ตามที่อธิบายไว้ในบทเรียน "จะแก้สมการได้อย่างไร การแปลงที่เหมือนกัน" เมื่อทำงานกับเศษส่วน ข้อผิดพลาดก็คืบคลานเข้ามาด้วยเหตุผลบางประการ...

เพื่อไม่ให้สับสนกับเครื่องหมายลบ เราจะคูณสมการด้วย -1 เราได้รับ:

แค่นั้นแหละ! การแก้ปัญหาคือความสุข!

เรามาสรุปหัวข้อกัน

คำแนะนำการปฏิบัติ:

1. ก่อนที่จะแก้โจทย์ เรานำสมการกำลังสองมาอยู่ในรูปแบบมาตรฐานและสร้างมันขึ้นมา ขวา.

2. หากมีสัมประสิทธิ์ลบอยู่หน้า X กำลังสอง เราจะกำจัดมันโดยการคูณสมการทั้งหมดด้วย -1

3. ถ้าสัมประสิทธิ์เป็นเศษส่วน เราจะกำจัดเศษส่วนโดยการคูณสมการทั้งหมดด้วยตัวประกอบที่เกี่ยวข้อง

4. ถ้า x กำลังสองบริสุทธิ์ แสดงว่าสัมประสิทธิ์ของมัน เท่ากับหนึ่งสามารถตรวจสอบคำตอบได้อย่างง่ายดายโดยใช้ทฤษฎีบทของ Vieta ทำมัน!

ตอนนี้เราตัดสินใจได้แล้ว)

แก้สมการ:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

คำตอบ (อยู่ในความระส่ำระสาย):

ดังนั้นเราจึงเขียนได้อย่างมั่นใจ:
x 2 = 5

x 1.2 =2

x 1 = 2
x 2 = -0.5

x - ตัวเลขใด ๆ

x 1 = -3
x 2 = 3

ไม่มีวิธีแก้ปัญหา

x 1 = 0.25
x 2 = 0.5

ทุกอย่างพอดีหรือเปล่า? ยอดเยี่ยม! สมการกำลังสองไม่ใช่เรื่องน่าปวดหัวของคุณ สามตัวแรกได้ผล แต่ที่เหลือไม่ได้ผลเหรอ? ปัญหาไม่ได้อยู่ที่สมการกำลังสอง ปัญหาอยู่ที่การแปลงสมการที่เหมือนกัน ลองดูตามลิงค์ครับ เป็นประโยชน์ครับ

ไม่ค่อยได้ผลใช่ไหม? หรือมันไม่ได้ผลเลย? แล้วมาตรา 555 จะช่วยคุณได้ แสดงแล้ว หลักข้อผิดพลาดในการแก้ปัญหา แน่นอนว่าเรายังพูดถึงการใช้การแปลงที่เหมือนกันในการแก้สมการต่างๆ ช่วยได้มาก!

หากคุณชอบเว็บไซต์นี้...

ฉันมีเว็บไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามแห่งสำหรับคุณ)

คุณสามารถฝึกแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการยืนยันทันที มาเรียนรู้กันเถอะ - ด้วยความสนใจ!)

คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์ได้

"นั่นคือสมการของดีกรีที่หนึ่ง ในบทเรียนนี้เราจะดู สิ่งที่เรียกว่าสมการกำลังสองและวิธีแก้ปัญหา

สมการกำลังสองคืออะไร?

สำคัญ!

ระดับของสมการถูกกำหนดโดยระดับสูงสุดที่ไม่ทราบค่า

หากค่ากำลังสูงสุดที่ไม่ทราบค่าคือ “2” แสดงว่าคุณมีสมการกำลังสอง

ตัวอย่างสมการกำลังสอง

• 5x 2 − 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x 2 + 0.25x = 0
• x 2 - 8 = 0

สำคัญ! รูปแบบทั่วไปของสมการกำลังสองมีลักษณะดังนี้:

ก x 2 + ข x + ค = 0

“a”, “b” และ “c” เป็นตัวเลขที่กำหนด

• “a” คือค่าสัมประสิทธิ์แรกหรือค่าสูงสุด
• “b” คือสัมประสิทธิ์ที่สอง
• “c” เป็นคำเสรี

หากต้องการค้นหา "a", "b" และ "c" คุณต้องเปรียบเทียบสมการของคุณกับรูปแบบทั่วไปของสมการกำลังสอง "ax 2 + bx + c = 0"

มาฝึกกำหนดค่าสัมประสิทธิ์ "a", "b" และ "c" ในสมการกำลังสองกันดีกว่า

5x 2 − 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

สมการ	ราคาต่อรอง
ก = 5 ข = −14 ค = 17
ก = −7 ข = −13 ค = 8

1

3

= 0

• ก = −1
• ข = 1
• ค =

  1

  3

x 2 + 0.25x = 0

• ก = 1
• ข = 0.25
• ค = 0

x 2 - 8 = 0

• ก = 1
• ข = 0
• ค = −8

วิธีแก้สมการกำลังสอง

ไม่เหมือน สมการเชิงเส้นการแก้สมการกำลังสองโดยเฉพาะ สูตรการหาราก.

จดจำ!

ในการแก้สมการกำลังสองคุณต้องมี:

• นำสมการกำลังสองมาอยู่ในรูปแบบทั่วไป “ax 2 + bx + c = 0”
• นั่นคือควรเหลือเพียง "0" ทางด้านขวา

ใช้สูตรสำหรับราก:

มาดูตัวอย่างวิธีใช้สูตรเพื่อหารากของสมการกำลังสองกัน มาแก้สมการกำลังสองกัน

X 2 - 3x - 4 = 0 สมการ “x 2 − 3x − 4 = 0” ได้ลดลงเป็นรูปแบบทั่วไป “ax 2 + bx + c = 0” แล้ว และไม่ต้องการการทำให้เข้าใจง่ายเพิ่มเติม เพื่อแก้ปัญหาเราเพียงแค่ต้องสมัคร.

สูตรการหารากของสมการกำลังสอง

ให้เรากำหนดค่าสัมประสิทธิ์ "a", "b" และ "c" สำหรับสมการนี้
ให้เรากำหนดค่าสัมประสิทธิ์ "a", "b" และ "c" สำหรับสมการนี้
ให้เรากำหนดค่าสัมประสิทธิ์ "a", "b" และ "c" สำหรับสมการนี้
ให้เรากำหนดค่าสัมประสิทธิ์ "a", "b" และ "c" สำหรับสมการนี้

x 1;2 =

สามารถใช้แก้สมการกำลังสองใดก็ได้
ในสูตร "x 1;2 = " มักจะแทนที่นิพจน์ที่รุนแรง

“b 2 − 4ac” สำหรับตัวอักษร “D” และเรียกว่า discriminant แนวคิดของการเลือกปฏิบัติจะกล่าวถึงโดยละเอียดในบทเรียน "อะไรคือการเลือกปฏิบัติ"

ลองดูอีกตัวอย่างหนึ่งของสมการกำลังสอง

x 2 + 9 + x = 7x

ในรูปแบบนี้ การกำหนดค่าสัมประสิทธิ์ "a", "b" และ "c" ค่อนข้างยาก ขั้นแรกให้ลดสมการให้อยู่ในรูปแบบทั่วไป “ax 2 + bx + c = 0”
X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0

x 2 - 6x + 9 = 0

ตอนนี้คุณสามารถใช้สูตรสำหรับรากได้
เอ็กซ์ 1;2 =
เอ็กซ์ 1;2 =
เอ็กซ์ 1;2 =
x 1;2 =

6

2

x=
x = 3

คำตอบ: x = 3

มีบางครั้งที่สมการกำลังสองไม่มีราก สถานการณ์นี้เกิดขึ้นเมื่อสูตรมีจำนวนลบอยู่ใต้ราก

มีการศึกษาสมการกำลังสองในชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 ดังนั้นจึงไม่มีอะไรซับซ้อนที่นี่ ความสามารถในการแก้ไขมีความจำเป็นอย่างยิ่ง

คือสมการที่อยู่ในรูปแบบ ax 2 + bx + c = 0 โดยที่สัมประสิทธิ์ a, b และ c เป็นตัวเลขใดๆ และ a ≠ 0 ก่อนเรียนวิธีการเฉพาะ

1. คำตอบ โปรดทราบว่าสมการกำลังสองทั้งหมดสามารถแบ่งออกเป็นสามประเภท:
2. ไม่มีราก
3. มีรากเพียงอันเดียว

พวกเขามีสองรากที่แตกต่างกัน เลือกปฏิบัติ.

นี่เป็นข้อแตกต่างที่สำคัญระหว่างสมการกำลังสองกับสมการเชิงเส้น โดยที่รากนั้นมีอยู่เสมอและไม่ซ้ำกัน จะทราบได้อย่างไรว่าสมการหนึ่งมีกี่ราก? มีสิ่งที่ยอดเยี่ยมสำหรับสิ่งนี้ -

เลือกปฏิบัติ

คุณต้องรู้สูตรนี้ด้วยใจ มาจากไหนไม่สำคัญตอนนี้ อีกสิ่งหนึ่งที่สำคัญ: ด้วยเครื่องหมายของการแบ่งแยก คุณสามารถระบุได้ว่าสมการกำลังสองมีรากกี่ราก กล่าวคือ:

1. ถ้า D< 0, корней нет;
2. ถ้า D = 0 แสดงว่ามีรากเดียวเท่านั้น
3. ถ้า D > 0 จะมีราก 2 อัน

โปรดทราบ: ผู้จำแนกระบุจำนวนรากและไม่ใช่สัญญาณเลยเนื่องจากหลายคนเชื่อด้วยเหตุผลบางประการ ดูตัวอย่างแล้วคุณจะเข้าใจทุกอย่างด้วยตัวเอง:

งาน. สมการกำลังสองมีกี่ราก:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0

ลองเขียนสัมประสิทธิ์สำหรับสมการแรกแล้วหาค่าจำแนก:
a = 1, b = −8, c = 12;
ง = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

การแบ่งแยกเป็นบวก สมการจึงมีรากที่ต่างกัน 2 ราก เราวิเคราะห์สมการที่สองในลักษณะเดียวกัน:
ก = 5; ข = 3; ค = 7;
ง = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131

การเลือกปฏิบัติเป็นลบไม่มีราก สมการสุดท้ายที่เหลืออยู่คือ:
ก = 1; ข = −6; ค = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0

การแบ่งแยกเป็นศูนย์ - รูทจะเป็นหนึ่ง

โปรดทราบว่าค่าสัมประสิทธิ์ได้ถูกเขียนไว้สำหรับแต่ละสมการแล้ว ใช่ มันยาว ใช่ มันน่าเบื่อ แต่คุณจะไม่ปะปนโอกาสและทำผิดพลาดโง่ๆ เลือกด้วยตัวคุณเอง: ความเร็วหรือคุณภาพ

อย่างไรก็ตาม หากคุณเข้าใจแล้ว คุณไม่จำเป็นต้องจดค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดหลังจากผ่านไประยะหนึ่ง คุณจะดำเนินการดังกล่าวในหัวของคุณ คนส่วนใหญ่เริ่มทำสิ่งนี้หลังจากแก้สมการไปแล้ว 50-70 ข้อ โดยทั่วไปแล้วไม่มากขนาดนั้น

รากของสมการกำลังสอง

ตอนนี้เรามาดูวิธีแก้ปัญหากันดีกว่า หากจำแนก D > 0 คุณสามารถค้นหารากได้โดยใช้สูตร:

เมื่อ D = 0 คุณสามารถใช้สูตรใดก็ได้เหล่านี้ - คุณจะได้ตัวเลขเดียวกันซึ่งจะเป็นคำตอบ สุดท้ายนี้ถ้า D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

แก้สมการกำลังสอง:

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 − 2x - x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0

สมการแรก:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; ข = −2; ค = −3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16

D > 0 ⇒ สมการมีสองราก มาหาพวกเขากันเถอะ:

สมการที่สอง:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; ข = −2; ค = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64

D > 0 ⇒ สมการอีกครั้งมีสองราก มาหาพวกเขากันเถอะ

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3 \\ \end(จัดแนว)\]

ในที่สุดสมการที่สาม:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; ข = 12; ค = 36;
ง = 12 2 − 4 1 36 = 0

D = 0 ⇒ สมการมีหนึ่งรูท สามารถใช้สูตรใดก็ได้ ตัวอย่างเช่นอันแรก:

อย่างที่คุณเห็นจากตัวอย่างทุกอย่างนั้นง่ายมาก ถ้ารู้สูตรและนับได้ก็ไม่มีปัญหา บ่อยครั้งที่ข้อผิดพลาดเกิดขึ้นเมื่อแทนที่ค่าสัมประสิทธิ์ลบลงในสูตร อีกครั้งเทคนิคที่อธิบายไว้ข้างต้นจะช่วยได้: ดูสูตรตามตัวอักษรจดบันทึกแต่ละขั้นตอน - และในไม่ช้าคุณก็จะกำจัดข้อผิดพลาด

สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์

มันเกิดขึ้นที่สมการกำลังสองแตกต่างจากที่ให้ไว้ในคำจำกัดความเล็กน้อย ตัวอย่างเช่น:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0

สังเกตได้ง่ายว่าสมการเหล่านี้ขาดคำศัพท์ข้อใดข้อหนึ่งไป สมการกำลังสองดังกล่าวแก้ได้ง่ายกว่าสมการมาตรฐาน โดยไม่จำเป็นต้องคำนวณการแบ่งแยกด้วยซ้ำ ขอแนะนำแนวคิดใหม่:

สมการ ax 2 + bx + c = 0 เรียกว่าถ้า b = 0 หรือ c = 0 เช่น ค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปร x หรือองค์ประกอบอิสระเท่ากับศูนย์

แน่นอนว่าเป็นกรณีที่ยากมากเมื่อสัมประสิทธิ์ทั้งสองมีค่าเท่ากับศูนย์: b = c = 0 ในกรณีนี้ สมการจะอยู่ในรูปแบบ ax 2 = 0 เห็นได้ชัดว่าสมการดังกล่าวมีรากเดียว: x = 0.

ลองพิจารณากรณีที่เหลือ ให้ b = 0 จากนั้นเราจะได้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของรูปแบบ ax 2 + c = 0 มาแปลงกันหน่อย:

ตั้งแต่เลขคณิต รากที่สองมีอยู่จากจำนวนที่ไม่เป็นลบเท่านั้น ความเสมอภาคสุดท้ายสมเหตุสมผลสำหรับ (−c/a) ≥ 0 เท่านั้น สรุป:

1. หากในสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ในรูปแบบ ax 2 + c = 0 เป็นไปตามสมการ (−c/a) ≥ 0 ก็จะได้รากสองตัว สูตรที่ให้ไว้ข้างต้น
2. ถ้า (−c/a)< 0, корней нет.

อย่างที่คุณเห็น ไม่จำเป็นต้องแยกแยะ เนื่องจากไม่มีการคำนวณที่ซับซ้อนเลยในสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ ในความเป็นจริง ไม่จำเป็นต้องจำความไม่เท่าเทียมกัน (−c/a) ≥ 0 ด้วยซ้ำ

การแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์

ก็เพียงพอแล้วที่จะแสดงค่า x 2 และดูว่ามีอะไรอยู่อีกด้านหนึ่งของเครื่องหมายเท่ากับ ถ้ามีจำนวนบวกก็จะมีรากสองตัว หากเป็นลบก็จะไม่มีรากเลย

ตอนนี้เรามาดูสมการของรูปแบบ ax 2 + bx = 0 ซึ่งองค์ประกอบอิสระมีค่าเท่ากับศูนย์ ทุกอย่างเรียบง่ายที่นี่: จะมีสองรากเสมอ ก็เพียงพอแล้วที่จะแยกตัวประกอบพหุนาม:

ผลคูณจะเป็นศูนย์เมื่อมีปัจจัยอย่างน้อยหนึ่งตัวเป็นศูนย์ นี่คือที่มาของราก โดยสรุป ลองดูที่สมการเหล่านี้บางส่วน:

งาน. แก้สมการกำลังสอง:

1. x 2 - 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 - 9 = 0

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6 ไม่มีรากเพราะว่า สี่เหลี่ยมจัตุรัสไม่สามารถเท่ากับจำนวนลบได้

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; x 2 = −1.5

ดูเพิ่มเติมที่:

สมการกำลังสองคือ ax 2 + bx + c = 0

สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์เป็นสมการสามประเภท:

• ax 2 + bx = 0 เมื่อสัมประสิทธิ์ c = 0
• ax 2 + c = 0 เมื่อสัมประสิทธิ์ b = 0
• ax 2 = 0 เมื่อทั้ง b และ c เป็น 0

ค่าสัมประสิทธิ์ a ตามนิยามของสมการกำลังสองไม่สามารถเท่ากับศูนย์ได้

สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์แก้ได้ง่ายกว่าสมการกำลังสองที่สมบูรณ์ วิธีการแก้จะแตกต่างกันไปขึ้นอยู่กับประเภทของสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์

วิธีแก้สมการที่ง่ายที่สุดคือ ax 2 = 0 ถ้า a ตามนิยามของสมการกำลังสองไม่สามารถเท่ากับศูนย์ได้ ก็เห็นได้ชัดว่ามีเพียง x 2 และด้วยตัว x เองเท่านั้นที่สามารถเท่ากับศูนย์ได้ สมการประเภทนี้จะมีรากเดียวเสมอ ซึ่งเท่ากับ 0

สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ การแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์

ตัวอย่างเช่น:

–3x 2 = 0
x 2 = 0/–3
x 2 = 0
x = √0
x = 0

สมการของแบบฟอร์ม ax 2 + c = 0 จะถูกแปลงเป็นรูปแบบ ax 2 = –c และแก้ไขในทำนองเดียวกันกับสมการก่อนหน้า อย่างไรก็ตาม มีสองรากหรือมากกว่าหนึ่ง

ขวาน 2 + c = 0
ขวาน 2 = –ค
x 2 = –c/a
x = √(–c/a)

ตรงนี้ หากนิพจน์รากเป็นลบ สมการก็ไม่มีราก หากเป็นบวก จะมีรากสองอัน: √(–c/a) และ –√(–c/a) ตัวอย่างของการแก้สมการดังกล่าว:

4x 2 – 16 = 0
4x2 = 16
x 2 = 16/4
x 2 = 4
x = √4
x 1 = 2; x 2 = –2

สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ในรูปแบบ ax 2 + bx = 0 แก้ได้โดยการนำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ ใน ในกรณีนี้มันคือ x ผลลัพธ์ของสมการคือ x(ax + b) = 0 สมการนี้มีสองราก: x = 0 หรือ ax + b = 0 เมื่อแก้สมการที่สอง เราจะได้ x = –b/a ดังนั้น สมการในรูปแบบ ax 2 + bx = 0 มีสองราก: x 1 = 0, x 2 = –b/a ตัวอย่างของการแก้สมการดังกล่าว:

3x 2 – 10x = 0
x(3x – 10) = 0
x 1 = 0; x 2 = 10/3 = 3,(33)

การหารากของสมการกำลังสองชั้นประถมศึกษาปีที่ 8

สูตร
รากของสมการกำลังสอง ax 2 + bx + c = 0 สามารถหาได้โดย
สูตร: , ที่ไหน — เลือกปฏิบัติ

สมการกำลังสอง

มีกฎที่เป็นไปได้สามข้อ:

กฎข้อที่ 1
1. ง > 0

8.2.1. การแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์

จากนั้นสมการจะมีรากที่แตกต่างกัน 2 ราก:

ตัวอย่าง
2x 2 + 7x – 4 = 0;

ก = 2, ข = 7, ค = -4

ง = 7 2 - 4 2 (- 4) = 81 > 0,

x 1 = -7 — ? 81 2 2 = — 4;

x 2 = -7 + ? 81 2 2 = 1 2 .

กฎข้อที่ 2
2. D = 0 จากนั้นสมการจะมี คนเดียวเท่านั้นราก.

ตัวอย่าง
x 2 – 4x + 4 = 0

ง = (-4) 2 — 4 1 4 = 0, x = — -4 2 1 = 2.

โปรดทราบว่า x 2 – 4x + 4 = 0 x = 2

กฎข้อที่ 3
3. ดี

ตัวอย่าง
3x 2 - x + 7 = 0

ง = (-1) 2 - 4 3 7 = -83

ด้วยสัมประสิทธิ์ที่สองคู่

กฎ, สูตร
ถ้า b = 2k ดังนั้นสูตรจะพบรากของสมการ ax + 2kx + c = 0:

ตัวอย่างที่ 1
1. x + 18x + 32 = 0

ก = 1; ข = 18 => k = ข2 = 9; ค = 32.

ง 1 = ดี4 = (18 2 ) 2 - 1 32 = 49 > 0 ซึ่งหมายความว่าสมการนี้มี 2 ราก:

x 1 = -9 -? 49 1 = -16, x 2 = -9 + 7 = -2

ตัวอย่างที่ 2
2. 3x 2 + 2x + 1 = 0

ก = 3; ข2 = 1; ค = 1.

ง 1 = ดี4 = 1 2 — 1 3 = -2

ตัวอย่างที่ 3
3. 196x 2 + 28x + 1 = 0

ก = 196; ข2 = -14; ค = 1.

ง 1 = ดี4 = (- 14) 2 - 196 = 0 ซึ่งหมายความว่าสมการมีรากเดียว

x= 14 196 = 1 14 .

สูตรคูณแบบย่อ

สูตรคูณแบบย่อ

— ศึกษาสูตรคูณแบบย่อ: กำลังสองของผลรวมและกำลังสองของผลต่างของสองนิพจน์ ผลต่างของกำลังสองของสองนิพจน์ ลูกบาศก์ของผลรวมและลูกบาศก์ของผลต่างของสองนิพจน์ ผลรวมและผลต่างของลูกบาศก์ของสองนิพจน์

— การใช้สูตรคูณแบบย่อเมื่อแก้ตัวอย่าง

เพื่อลดความซับซ้อนของนิพจน์ แยกตัวประกอบพหุนาม และลดพหุนามให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จึงมีการใช้สูตรการคูณแบบย่อ

การแก้สมการกำลังสอง

ต้องรู้สูตรคูณแบบย่อด้วยใจจริง.

ให้ a, b R จากนั้น:

1. กำลังสองของผลรวมของสองนิพจน์มีค่าเท่ากับกำลังสองของนิพจน์แรกบวกสองเท่าของผลคูณของนิพจน์แรกและตัวที่สองบวกกำลังสองของนิพจน์ที่สอง

(ก + ข) 2 = ก 2 + 2ab + ข 2

2. กำลังสองของผลต่างของสองนิพจน์มีค่าเท่ากับกำลังสองของนิพจน์แรกลบสองเท่าด้วยผลคูณของนิพจน์แรกและตัวที่สองบวกกำลังสองของนิพจน์ที่สอง

(ก - ข) 2 = ก 2 - 2ab + ข 2

3. ความแตกต่างของกำลังสองสองนิพจน์จะเท่ากับผลคูณของผลต่างของนิพจน์เหล่านี้และผลรวมของนิพจน์เหล่านี้

ก 2 - ข 2 = (ก -ข) (ก+ข)

4. ลูกบาศก์ของผลรวมสองนิพจน์จะเท่ากับกำลังสามของนิพจน์แรกบวกสามเท่าของผลคูณของกำลังสองของนิพจน์แรก และนิพจน์ที่สองบวกสามเท่าของผลคูณของนิพจน์แรก และกำลังสองของนิพจน์ที่สองบวกลูกบาศก์ของนิพจน์ที่สอง

(ก + ข) 3 = ก 3 + 3a 2 ข + 3ab 2 + ข 3

5. ลูกบาศก์ความแตกต่างสองนิพจน์จะเท่ากับกำลังสามของนิพจน์แรก ลบด้วยผลคูณของกำลังสองของนิพจน์แรก และนิพจน์ที่สองบวกสามเท่าของผลคูณของนิพจน์แรก และกำลังสองของนิพจน์ที่สองลบด้วยลูกบาศก์ของนิพจน์ที่สอง

(ก - ข) 3 = ก 3 - 3a 2 ข + 3ab 2 - ข 3

6. ผลรวมของลูกบาศก์สองนิพจน์จะเท่ากับผลคูณของผลรวมของนิพจน์ที่หนึ่งและที่สองกับกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของผลต่างของนิพจน์เหล่านี้

ก 3 + ข 3 = (ก + ข) (ก 2 - ab + ข 2)

7. ความแตกต่างของลูกบาศก์สองนิพจน์จะเท่ากับผลคูณของผลต่างของนิพจน์ที่หนึ่งและที่สองด้วยกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของผลรวมของนิพจน์เหล่านี้

การใช้สูตรคูณแบบย่อเมื่อแก้ตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 1

คำนวณ

ก) เรามีสูตรกำลังสองของผลรวมของสองนิพจน์

(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681

b) เราได้รับการใช้สูตรสำหรับกำลังสองของผลต่างของสองนิพจน์

98 2 = (100 – 2) 2 = 100 2 – 2 100 2 + 2 2 = 10,000 – 400 + 4 = 9604

ตัวอย่างที่ 2

คำนวณ

เราได้โดยใช้สูตรสำหรับผลต่างของกำลังสองของสองนิพจน์

ตัวอย่างที่ 3

ลดความซับซ้อนของนิพจน์

(x - y) 2 + (x + y) 2

ลองใช้สูตรสำหรับกำลังสองของผลรวมและกำลังสองของผลต่างของสองนิพจน์

(x - y) 2 + (x + y) 2 = x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 = 2x 2 + 2y 2

สูตรคูณแบบย่อในตารางเดียว:

(ก + ข) 2 = ก 2 + 2ab + ข 2
(ก - ข) 2 = ก 2 - 2ab + ข 2
ก 2 - ข 2 = (ก - ข) (ก+ข)
(ก + ข) 3 = ก 3 + 3a 2 ข + 3ab 2 + ข 3
(ก - ข) 3 = ก 3 - 3a 2 ข + 3ab 2 - ข 3
ก 3 + ข 3 = (ก + ข) (ก 2 - ab + ข 2)
ก 3 - ข 3 = (ก - ข) (ก 2 + ab + ข 2)

1. การเลือกช่องสี่เหลี่ยมที่สมบูรณ์ สูตรหารากของสมการกำลังสอง
2. ตัวอย่างการแก้สมการกำลังสอง
3. การแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์
4. แยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสอง

ระดับรายการ

สมการกำลังสอง คู่มือฉบับสมบูรณ์ (2019)

ในคำว่า "สมการกำลังสอง" คำสำคัญคือ "กำลังสอง" ซึ่งหมายความว่าสมการจะต้องมีตัวแปร (x เดียวกันนั้น) กำลังสอง และไม่ควรมี xes กำลังสาม (หรือมากกว่า)

การแก้สมการหลายสมการขึ้นอยู่กับการแก้สมการกำลังสอง

มาเรียนรู้กันว่านี่คือสมการกำลังสองไม่ใช่สมการอื่น

ตัวอย่างที่ 1

ลองกำจัดตัวส่วนแล้วคูณแต่ละเทอมของสมการด้วย

ลองย้ายทุกอย่างไปทางซ้ายแล้วจัดเรียงเงื่อนไขตามลำดับเลขยกกำลังของ X จากมากไปหาน้อย

ตอนนี้เราสามารถพูดได้อย่างมั่นใจว่าสมการนี้เป็นกำลังสอง!

ตัวอย่างที่ 2

คูณด้านซ้ายและขวาด้วย:

สมการนี้ แม้จะเดิมอยู่ในสมการนี้ แต่ก็ไม่ใช่สมการกำลังสอง!

ตัวอย่างที่ 3

ลองคูณทุกอย่างด้วย:

น่ากลัว? องศาที่สี่และสอง... อย่างไรก็ตาม ถ้าเราทำการแทนที่ เราจะเห็นว่าเรามีสมการกำลังสองง่ายๆ:

ตัวอย่างที่ 4

ดูเหมือนว่าจะอยู่ที่นั่น แต่ลองมาดูให้ละเอียดยิ่งขึ้น ย้ายทุกอย่างไปทางซ้าย:

ดูสิ มันลดลง - และตอนนี้มันเป็นสมการเชิงเส้นธรรมดา!

ทีนี้ลองพิจารณาด้วยตัวคุณเองว่าสมการใดต่อไปนี้เป็นสมการกำลังสองและสมการใดที่ไม่ใช่:

ตัวอย่าง:

คำตอบ:

1. สี่เหลี่ยม;
2. สี่เหลี่ยม;
3. ไม่เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส
4. ไม่เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส
5. ไม่เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส
6. สี่เหลี่ยม;
7. ไม่เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส
8. สี่เหลี่ยม.

นักคณิตศาสตร์แบ่งสมการกำลังสองทั้งหมดตามอัตภาพออกเป็นประเภทต่างๆ ดังต่อไปนี้:

• สมการกำลังสองที่สมบูรณ์- สมการที่ค่าสัมประสิทธิ์และเทอมอิสระ c ไม่เท่ากับศูนย์ (ดังตัวอย่าง) นอกจากนี้ ยังมีสมการกำลังสองที่สมบูรณ์อีกด้วย ที่ให้ไว้- นี่คือสมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์ (สมการจากตัวอย่างที่หนึ่งไม่เพียงสมบูรณ์ แต่ยังลดลงด้วย!)

• สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์- สมการที่สัมประสิทธิ์และหรือพจน์อิสระ c เท่ากับศูนย์:

  ไม่สมบูรณ์เนื่องจากขาดองค์ประกอบบางอย่าง แต่สมการจะต้องมี x กำลังสองเสมอ!!! มิฉะนั้น มันจะไม่ใช่สมการกำลังสองอีกต่อไป แต่เป็นสมการอื่น

ทำไมพวกเขาถึงเกิดการแบ่งแยกเช่นนี้? ดูเหมือนว่ามี X กำลังสอง โอเค การแบ่งส่วนนี้ถูกกำหนดโดยวิธีการแก้ปัญหา มาดูรายละเอียดเพิ่มเติมกัน

การแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์

ก่อนอื่น เรามาเน้นที่การแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ - มันง่ายกว่ามาก!

สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์มีหลายประเภท:

1. ในสมการนี้สัมประสิทธิ์จะเท่ากัน
2. ในสมการนี้ เทอมอิสระจะเท่ากับ
3. ในสมการนี้สัมประสิทธิ์และเทอมอิสระจะเท่ากัน

1. ฉัน. เนื่องจากเรารู้วิธีหาสแควร์รูทแล้ว ลองเขียนสมการนี้ดู

นิพจน์อาจเป็นค่าลบหรือค่าบวกก็ได้ จำนวนยกกำลังสองไม่สามารถเป็นลบได้ เพราะเมื่อคูณจำนวนลบสองตัวหรือจำนวนบวกสองตัว ผลลัพธ์จะเป็นจำนวนบวกเสมอ ดังนั้น ถ้าสมการไม่มีคำตอบ

และถ้า, เราได้สองราก. ไม่จำเป็นต้องจำสูตรเหล่านี้ สิ่งสำคัญคือคุณต้องรู้และจำไว้เสมอว่าต้องไม่น้อยไปกว่านี้

เรามาลองแก้ตัวอย่างกัน

ตัวอย่างที่ 5:

แก้สมการ

ตอนนี้สิ่งที่เหลืออยู่คือการแยกรากออกจากด้านซ้ายและด้านขวา ท้ายที่สุดคุณจำวิธีแยกรากออกได้ไหม?

คำตอบ:

อย่าลืมรากที่มีเครื่องหมายลบ!!!

ตัวอย่างที่ 6:

แก้สมการ

คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 7:

แก้สมการ

โอ้! กำลังสองของตัวเลขไม่สามารถเป็นลบได้ ซึ่งหมายความว่าสมการ

ไม่มีราก!

สำหรับสมการที่ไม่มีราก นักคณิตศาสตร์จะมีไอคอนพิเศษขึ้นมา - (เซตว่าง) และคำตอบสามารถเขียนได้ดังนี้:

คำตอบ:

ดังนั้นสมการกำลังสองนี้จึงมีรากสองอัน ไม่มีข้อจำกัดที่นี่ เนื่องจากเราไม่ได้แยกราก
ตัวอย่างที่ 8:

แก้สมการ

นำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ:

ดังนั้น,

สมการนี้มีสองราก

คำตอบ:

สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ชนิดที่ง่ายที่สุด (ถึงแม้จะง่ายทั้งหมดเลยใช่ไหม?) แน่นอนว่าสมการนี้มีรากเดียวเสมอ:

เราจะทำโดยไม่มีตัวอย่างที่นี่

การแก้สมการกำลังสองที่สมบูรณ์

เราเตือนคุณว่าสมการกำลังสองที่สมบูรณ์คือสมการของสมการรูปแบบโดยที่

การแก้สมการกำลังสองที่สมบูรณ์นั้นยากกว่าเล็กน้อย (เพียงเล็กน้อย)

จดจำ สมการกำลังสองใดๆ ก็สามารถแก้ได้โดยใช้การแบ่งแยก! แม้จะไม่สมบูรณ์ก็ตาม

วิธีอื่นๆ จะช่วยให้คุณทำได้เร็วขึ้น แต่หากคุณมีปัญหากับสมการกำลังสอง ให้เชี่ยวชาญวิธีแก้ปัญหาโดยใช้ตัวแบ่งแยกก่อน

1. การแก้สมการกำลังสองโดยใช้เครื่องจำแนก

การแก้สมการกำลังสองโดยใช้วิธีนี้นั้นง่ายมาก สิ่งสำคัญคือการจำลำดับของการกระทำและสูตรสองสามสูตร

ถ้าสมการนั้นมีราก ความสนใจเป็นพิเศษก้าวไป Discriminant () บอกเราถึงจำนวนรากของสมการ

• หากแล้วสูตรในขั้นตอนจะลดลงเหลือ ดังนั้นสมการจะมีเพียงรากเท่านั้น
• หากแล้วเราจะไม่สามารถแยกรากของการแบ่งแยกในขั้นตอนนั้นได้ นี่แสดงว่าสมการไม่มีราก

กลับไปที่สมการของเราแล้วดูตัวอย่างบางส่วน

ตัวอย่างที่ 9:

แก้สมการ

ขั้นตอนที่ 1เราข้ามไป

ขั้นตอนที่ 2

เราพบการเลือกปฏิบัติ:

ซึ่งหมายความว่าสมการมีสองราก

ขั้นตอนที่ 3

คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 10:

แก้สมการ

สมการนี้แสดงอยู่ในรูปแบบมาตรฐาน ดังนั้น ขั้นตอนที่ 1เราข้ามไป

ขั้นตอนที่ 2

เราพบการเลือกปฏิบัติ:

ซึ่งหมายความว่าสมการนั้นมีรากเดียว

คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 11:

แก้สมการ

สมการนี้แสดงอยู่ในรูปแบบมาตรฐาน ดังนั้น ขั้นตอนที่ 1เราข้ามไป

ขั้นตอนที่ 2

เราพบการเลือกปฏิบัติ:

ซึ่งหมายความว่าเราจะไม่สามารถแยกรากของการแบ่งแยกได้ ไม่มีรากของสมการ

ตอนนี้เรารู้วิธีเขียนคำตอบดังกล่าวอย่างถูกต้องแล้ว

คำตอบ:ไม่มีราก

2. การแก้สมการกำลังสองโดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตนาม

หากคุณจำได้ว่ามีสมการประเภทหนึ่งที่เรียกว่าการลดลง (เมื่อค่าสัมประสิทธิ์ a เท่ากับ):

สมการดังกล่าวแก้ได้ง่ายมากโดยใช้ทฤษฎีบทของ Vieta:

ผลรวมของราก ที่ให้ไว้สมการกำลังสองเท่ากัน และผลิตภัณฑ์ของรากเท่ากัน

ตัวอย่างที่ 12:

แก้สมการ

สมการนี้สามารถแก้ได้โดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตนาม เพราะว่า -

ผลรวมของรากของสมการเท่ากันนั่นคือ เราได้สมการแรก:

และผลิตภัณฑ์มีค่าเท่ากับ:

มาเขียนและแก้ไขระบบกัน:

• และ. จำนวนเงินเท่ากับ;
• และ. จำนวนเงินเท่ากับ;
• และ. จำนวนเงินเท่ากัน

และเป็นแนวทางแก้ไขของระบบ:

คำตอบ: ; .

ตัวอย่างที่ 13:

แก้สมการ

คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 14:

แก้สมการ

ให้สมการซึ่งหมายความว่า:

คำตอบ:

สมการกำลังสอง ระดับกลาง

สมการกำลังสองคืออะไร?

กล่าวอีกนัยหนึ่ง สมการกำลังสองคือสมการของรูปแบบ โดยที่ - ไม่ทราบ - ตัวเลขบางตัว และ

ตัวเลขนี้เรียกว่าสูงสุดหรือ ค่าสัมประสิทธิ์แรกสมการกำลังสอง - สัมประสิทธิ์ที่สอง, เอ - สมาชิกฟรี.

ทำไม เพราะถ้าสมการกลายเป็นเส้นตรงทันที เพราะ จะหายไป

ในกรณีนี้และสามารถเท่ากับศูนย์ได้ ในสมการเก้าอี้นี้เรียกว่าไม่สมบูรณ์ หากเงื่อนไขทั้งหมดเข้าที่ นั่นคือ สมการเสร็จสมบูรณ์

คำตอบของสมการกำลังสองประเภทต่างๆ

วิธีการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์:

ขั้นแรก เรามาดูวิธีการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ซึ่งง่ายกว่า

เราสามารถแยกแยะประเภทของสมการได้ดังต่อไปนี้:

I. ในสมการนี้สัมประสิทธิ์และเทอมอิสระเท่ากัน

ครั้งที่สอง ในสมการนี้สัมประสิทธิ์จะเท่ากัน

III. ในสมการนี้ เทอมอิสระจะเท่ากับ

ตอนนี้เรามาดูวิธีแก้ปัญหาของแต่ละประเภทย่อยกัน

แน่นอนว่าสมการนี้มีรากเดียวเสมอ:

จำนวนยกกำลังสองไม่สามารถเป็นค่าลบได้ เพราะเมื่อคุณคูณจำนวนลบสองตัวหรือจำนวนบวกสองตัว ผลลัพธ์จะเป็นจำนวนบวกเสมอ นั่นเป็นเหตุผล:

ถ้าสมการนั้นไม่มีคำตอบ

ถ้าเรามีสองราก

ไม่จำเป็นต้องจำสูตรเหล่านี้ สิ่งสำคัญที่ต้องจำคือต้องไม่น้อยไปกว่านี้

ตัวอย่าง:

โซลูชั่น:

คำตอบ:

อย่าลืมรากที่มีเครื่องหมายลบ!

กำลังสองของตัวเลขไม่สามารถเป็นลบได้ ซึ่งหมายความว่าสมการ

ไม่มีราก

หากต้องการเขียนสั้นๆ ว่าปัญหาไม่มีทางแก้ไข เราใช้ไอคอนชุดว่างเปล่า

คำตอบ:

ดังนั้น สมการนี้จึงมีราก 2 อัน คือ และ

คำตอบ:

นำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ:

ผลคูณจะเท่ากับศูนย์ถ้ามีตัวประกอบอย่างน้อยหนึ่งตัวเท่ากับศูนย์ ซึ่งหมายความว่าสมการจะมีคำตอบเมื่อ:

ดังนั้น สมการกำลังสองนี้มีสองราก: และ

ตัวอย่าง:

แก้สมการ

สารละลาย:

ลองแยกตัวประกอบทางด้านซ้ายของสมการแล้วหาราก:

คำตอบ:

วิธีการแก้สมการกำลังสองสมบูรณ์:

1. การเลือกปฏิบัติ

การแก้สมการกำลังสองด้วยวิธีนี้เป็นเรื่องง่าย สิ่งสำคัญคือการจำลำดับของการกระทำและสูตรสองสามสูตร โปรดจำไว้ว่าสมการกำลังสองใดๆ สามารถแก้ไขได้โดยใช้การแบ่งแยก! แม้จะไม่สมบูรณ์ก็ตาม

คุณสังเกตเห็นรากจากการแยกแยะในสูตรหารากหรือไม่? แต่การเลือกปฏิบัติอาจเป็นผลลบได้ จะทำอย่างไร? เราต้องให้ความสนใจเป็นพิเศษกับขั้นตอนที่ 2 ผู้แยกแยะบอกเราถึงจำนวนรากของสมการ

• ถ้าสมการนั้นมีราก:
• ถ้าสมการนั้นมีรากที่เหมือนกัน แต่จริงๆ แล้วมีรากเดียว:

  รากดังกล่าวเรียกว่ารากคู่

• ถ้าเช่นนั้นรากของการแบ่งแยกจะไม่ถูกแยกออก นี่แสดงว่าสมการไม่มีราก

เหตุใดจึงมีจำนวนรากต่างกันได้ ให้เรามาดูความหมายทางเรขาคณิตของสมการกำลังสองกัน กราฟของฟังก์ชันเป็นรูปพาราโบลา:

ในกรณีพิเศษ ซึ่งเป็นสมการกำลังสอง ซึ่งหมายความว่ารากของสมการกำลังสองคือจุดตัดกับแกนแอบซิสซา (แกน) พาราโบลาไม่สามารถตัดแกนได้เลย หรืออาจตัดกันที่จุดเดียว (เมื่อจุดยอดของพาราโบลาอยู่บนแกน) หรือสองจุด

นอกจากนี้ ค่าสัมประสิทธิ์ยังรับผิดชอบต่อทิศทางของกิ่งก้านของพาราโบลาอีกด้วย ถ้า แล้วกิ่งก้านของพาราโบลาก็ชี้ขึ้น และถ้า ชี้ลง

ตัวอย่าง:

โซลูชั่น:

คำตอบ:

คำตอบ: .

คำตอบ:

ซึ่งหมายความว่าไม่มีวิธีแก้ไข

คำตอบ: .

2. ทฤษฎีบทของเวียตตา

การใช้ทฤษฎีบทของ Vieta นั้นง่ายมาก คุณเพียงแค่ต้องเลือกตัวเลขคู่หนึ่งซึ่งมีผลคูณเท่ากับเทอมอิสระของสมการ และผลรวมเท่ากับค่าสัมประสิทธิ์ที่สองที่มาจากเครื่องหมายตรงข้าม

สิ่งสำคัญคือต้องจำไว้ว่าทฤษฎีบทของเวียตต้าสามารถใช้ได้เฉพาะในนั้นเท่านั้น สมการกำลังสองลดลง ()

ลองดูตัวอย่างบางส่วน:

ตัวอย่าง #1:

แก้สมการ

สารละลาย:

สมการนี้สามารถแก้ได้โดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตนาม เพราะว่า - ค่าสัมประสิทธิ์อื่นๆ: ; -

ผลรวมของรากของสมการคือ:

และผลิตภัณฑ์มีค่าเท่ากับ:

เรามาเลือกคู่ของตัวเลขที่มีผลคูณเท่ากันและตรวจสอบว่าผลรวมเท่ากันหรือไม่:

• และ. จำนวนเงินเท่ากับ;
• และ. จำนวนเงินเท่ากับ;
• และ. จำนวนเงินเท่ากัน

และเป็นแนวทางแก้ไขของระบบ:

ดังนั้น และ คือรากของสมการของเรา

คำตอบ: ; -

ตัวอย่าง #2:

สารละลาย:

เรามาเลือกคู่ของตัวเลขที่ให้ไว้ในผลคูณ แล้วตรวจสอบว่าผลรวมเท่ากันหรือไม่:

และ: พวกเขาให้ทั้งหมด

และ: พวกเขาให้ทั้งหมด เพื่อให้ได้มาก็เพียงพอแล้วที่จะเปลี่ยนสัญญาณของรากที่ควรจะเป็น: และท้ายที่สุดก็คือผลิตภัณฑ์

คำตอบ:

ตัวอย่าง #3:

สารละลาย:

เทอมอิสระของสมการเป็นลบ ดังนั้นผลคูณของรากจึงเป็นจำนวนลบ สิ่งนี้จะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อรากอันใดอันหนึ่งเป็นลบและอีกอันเป็นค่าบวก ดังนั้นผลรวมของรากจึงเท่ากับ ความแตกต่างของโมดูล.

ให้เราเลือกคู่ของตัวเลขที่ให้ไว้ในผลคูณและผลต่างจะเท่ากับ:

และ: ความแตกต่างเท่ากัน - ไม่พอดี

และ: - ไม่เหมาะสม;

และ: - ไม่เหมาะสม;

และ: - เหมาะสม สิ่งที่เหลืออยู่ก็คือจำไว้ว่าหนึ่งในรากนั้นเป็นลบ เนื่องจากผลรวมต้องเท่ากัน รากที่มีโมดูลัสน้อยกว่าจึงต้องเป็นลบ: เราตรวจสอบ:

คำตอบ:

ตัวอย่าง #4:

แก้สมการ

สารละลาย:

ให้สมการซึ่งหมายความว่า:

พจน์อิสระเป็นลบ ดังนั้นผลคูณของรากจึงเป็นลบ และนี่จะเป็นไปได้ก็ต่อเมื่อรากหนึ่งของสมการเป็นลบ และอีกรากหนึ่งเป็นค่าบวก

เรามาเลือกคู่ของตัวเลขที่มีผลคูณเท่ากัน แล้วพิจารณาว่ารากใดควรมีเครื่องหมายลบ:

เห็นได้ชัดว่ามีเพียงรากเท่านั้นและเหมาะสำหรับเงื่อนไขแรก:

คำตอบ:

ตัวอย่าง #5:

แก้สมการ

สารละลาย:

ให้สมการซึ่งหมายความว่า:

ผลรวมของรากเป็นลบ ซึ่งหมายความว่าอย่างน้อยมีรากหนึ่งอันเป็นลบ แต่เนื่องจากผลคูณของมันเป็นบวก มันหมายความว่ารากทั้งสองมีเครื่องหมายลบ

ให้เราเลือกคู่ของตัวเลขที่มีผลคูณเท่ากับ:

แน่นอนว่ารากคือตัวเลขและ

คำตอบ:

เห็นด้วย มันสะดวกมากที่จะหารากด้วยวาจา แทนที่จะนับการเลือกปฏิบัติที่น่ารังเกียจนี้ พยายามใช้ทฤษฎีบทของเวียตต้าให้บ่อยที่สุด

แต่ทฤษฎีบทของ Vieta นั้นมีความจำเป็นเพื่ออำนวยความสะดวกและเร่งการค้นหารากเหง้า เพื่อให้คุณได้รับประโยชน์จากการใช้งาน คุณจะต้องดำเนินการต่างๆ ให้เป็นไปโดยอัตโนมัติ และสำหรับสิ่งนี้ ให้แก้ตัวอย่างอีกห้าตัวอย่าง แต่อย่าโกง: คุณไม่สามารถใช้การเลือกปฏิบัติได้! เฉพาะทฤษฎีบทของ Vieta เท่านั้น:

โซลูชั่นสำหรับงานสำหรับงานอิสระ:

ภารกิจที่ 1. ((x)^(2))-8x+12=0

ตามทฤษฎีบทของ Vieta:

ตามปกติเราจะเริ่มการเลือกด้วยชิ้นส่วน:

ไม่เหมาะสมเพราะปริมาณ;

: จำนวนเป็นเพียงสิ่งที่คุณต้องการ

คำตอบ: ; -

ภารกิจที่ 2

และทฤษฎีบทเวียต้าที่เราชื่นชอบอีกครั้ง ผลรวมต้องเท่ากัน และผลิตภัณฑ์ต้องเท่ากัน

แต่เนื่องจากมันจะต้องไม่ใช่ แต่เราเปลี่ยนสัญญาณของราก: และ (ทั้งหมด)

คำตอบ: ; -

ภารกิจที่ 3

อืม... ที่ไหนล่ะ?

คุณต้องย้ายข้อกำหนดทั้งหมดไปเป็นส่วนเดียว:

ผลรวมของรากเท่ากับผลคูณ

โอเค หยุด! ไม่ได้ให้สมการ แต่ทฤษฎีบทของเวียตต้าใช้ได้เฉพาะในสมการที่กำหนดเท่านั้น ก่อนอื่นคุณต้องให้สมการก่อน หากคุณไม่สามารถเป็นผู้นำได้ ให้ละทิ้งแนวคิดนี้และแก้ไขด้วยวิธีอื่น (เช่น ผ่านการเลือกปฏิบัติ) ฉันขอเตือนคุณว่าการให้สมการกำลังสองหมายถึงการทำให้สัมประสิทธิ์นำหน้าเท่ากัน:

ยอดเยี่ยม. แล้วผลรวมของรากเท่ากับ และผลคูณ.

ที่นี่มันง่ายพอๆ กับการเลือกปลอกลูกแพร์ เพราะมันเป็นจำนวนเฉพาะ (ขออภัยที่ซ้ำซาก)

คำตอบ: ; -

ภารกิจที่ 4

สมาชิกแบบฟรีเป็นค่าลบ มีอะไรพิเศษเกี่ยวกับเรื่องนี้? และความจริงก็คือรากจะมีอาการต่างกัน และตอนนี้ในระหว่างการเลือก เราไม่ได้ตรวจสอบผลรวมของราก แต่ตรวจสอบความแตกต่างในโมดูล: ความแตกต่างนี้เท่ากัน แต่เป็นผลิตภัณฑ์

ดังนั้นรากจึงเท่ากับและ แต่หนึ่งในนั้นคือลบ ทฤษฎีบทของเวียตาบอกเราว่าผลรวมของรากเท่ากับสัมประสิทธิ์ที่สองที่มีเครื่องหมายตรงกันข้าม นั่นคือ ซึ่งหมายความว่ารากที่เล็กกว่าจะมีเครื่องหมายลบ: และเนื่องจาก

คำตอบ: ; -

ภารกิจที่ 5

คุณควรทำอะไรก่อน? ถูกต้อง ให้สมการ:

อีกครั้ง: เราเลือกปัจจัยของตัวเลขและผลต่างควรเท่ากับ:

รากเท่ากับและ แต่อันหนึ่งคือลบ ที่? ผลรวมควรเท่ากัน ซึ่งหมายความว่าลบจะมีรากที่ใหญ่กว่า

คำตอบ: ; -

ให้ฉันสรุป:

1. ทฤษฎีบทของเวียตาใช้ในสมการกำลังสองที่กำหนดเท่านั้น
2. เมื่อใช้ทฤษฎีบทของเวียตา คุณสามารถค้นหารากได้โดยการเลือกด้วยปากเปล่า
3. หากไม่ได้ให้สมการหรือไม่พบคู่ปัจจัยที่เหมาะสมของคำอิสระ แสดงว่าไม่มีรากทั้งหมด และคุณต้องแก้มันด้วยวิธีอื่น (เช่น ผ่านการเลือกปฏิบัติ)

3. วิธีการเลือกกำลังสองที่สมบูรณ์

หากคำศัพท์ทั้งหมดที่มีสิ่งที่ไม่ทราบถูกแสดงในรูปแบบของคำศัพท์จากสูตรการคูณแบบย่อ - กำลังสองของผลรวมหรือผลต่าง - จากนั้นหลังจากแทนที่ตัวแปรแล้ว สมการสามารถนำเสนอในรูปแบบของสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของประเภทนั้น

ตัวอย่างเช่น:

ตัวอย่างที่ 1:

แก้สมการ: .

สารละลาย:

คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 2:

แก้สมการ: .

สารละลาย:

คำตอบ:

ใน มุมมองทั่วไปการเปลี่ยนแปลงจะมีลักษณะดังนี้:

ดังนี้.

ไม่เตือนคุณถึงอะไรเลยเหรอ? นี่คือสิ่งที่เลือกปฏิบัติ! นั่นคือวิธีที่เราได้สูตรจำแนกมา

สมการกำลังสอง สั้น ๆ เกี่ยวกับสิ่งสำคัญ

สมการกำลังสอง- นี่คือสมการของรูปแบบ โดยที่ - ไม่ทราบ - ค่าสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสอง - เทอมอิสระ

สมการกำลังสองที่สมบูรณ์- สมการที่สัมประสิทธิ์ไม่เท่ากับศูนย์

สมการกำลังสองลดลง- สมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์นั่นคือ: .

สมการกำลังสองไม่สมบูรณ์- สมการที่สัมประสิทธิ์และหรือพจน์อิสระ c เท่ากับศูนย์:

• หากเป็นสัมประสิทธิ์สมการจะมีลักษณะดังนี้: ,
• ถ้ามีพจน์อิสระ สมการจะมีรูปแบบ: ,
• ถ้า และ สมการจะมีลักษณะดังนี้:

1. อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์

1.1. สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของรูปแบบ โดยที่ :

1) มาแสดงสิ่งที่ไม่รู้จักกันเถอะ: ,

2) ตรวจสอบเครื่องหมายของนิพจน์:

• ถ้าสมการไม่มีคำตอบ
• ถ้าสมการนั้นมีสองราก

1.2. สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของรูปแบบ โดยที่ :

1) นำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ: ,

2) ผลคูณจะเท่ากับศูนย์หากมีปัจจัยอย่างน้อยหนึ่งตัวเท่ากับศูนย์ ดังนั้นสมการจึงมีรากสองอัน:

1.3. สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของรูปแบบ โดยที่:

สมการนี้มีรากเดียวเสมอ:

2. อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการกำลังสองที่สมบูรณ์ของรูปแบบโดยที่

2.1. วิธีแก้ปัญหาโดยใช้การแบ่งแยก

1) นำสมการมาสู่รูปแบบมาตรฐาน: ,

2) มาคำนวณการแบ่งแยกโดยใช้สูตร: ซึ่งระบุจำนวนรากของสมการ:

3) ค้นหารากของสมการ:

• ถ้าสมการนั้นมีรากซึ่งพบได้จากสูตร:
• ถ้าสมการนั้นมีรากซึ่งพบได้จากสูตร:
• ถ้าสมการนั้นไม่มีราก

2.2. คำตอบโดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตตา

ผลรวมของรากของสมการกำลังสองลดลง (สมการของรูปแบบ โดยที่) เท่ากัน และผลิตภัณฑ์ของรากเท่ากัน นั่นคือ , ก.

2.3. วิธีแก้โดยวิธีเลือกกำลังสองสมบูรณ์

ด้วยโปรแกรมคณิตศาสตร์นี้คุณสามารถทำได้ แก้สมการกำลังสอง.

โปรแกรมไม่เพียงแต่ให้คำตอบสำหรับปัญหาเท่านั้น แต่ยังแสดงกระบวนการแก้ไขปัญหาด้วยสองวิธี:
- การใช้วิจารณญาณ
- ใช้ทฤษฎีบทของ Vieta (ถ้าเป็นไปได้)

นอกจากนี้คำตอบจะแสดงเป็นค่าที่แน่นอน ไม่ใช่การประมาณ
ตัวอย่างเช่น สำหรับสมการ \(81x^2-16x-1=0\) คำตอบจะแสดงในรูปแบบต่อไปนี้:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ และไม่ใช่เช่นนี้: \(x_1 = 0.247; \ควอด x_2 = -0.05\)

โปรแกรมนี้อาจเป็นประโยชน์สำหรับนักเรียนระดับมัธยมศึกษาตอนปลายในการเตรียมความพร้อม การทดสอบและการสอบเมื่อทดสอบความรู้ก่อนการสอบ Unified State เพื่อให้ผู้ปกครองได้ควบคุมการแก้ปัญหาต่างๆในวิชาคณิตศาสตร์และพีชคณิต หรืออาจจะแพงเกินไปสำหรับคุณที่จะจ้างครูสอนพิเศษหรือซื้อตำราเรียนใหม่ หรือคุณเพียงต้องการที่จะทำให้มันเสร็จโดยเร็วที่สุด?การบ้าน

ในวิชาคณิตศาสตร์หรือพีชคณิต? ในกรณีนี้ คุณสามารถใช้โปรแกรมของเราพร้อมวิธีแก้ปัญหาโดยละเอียดได้ ด้วยวิธีนี้คุณสามารถดำเนินการของคุณได้การฝึกอบรมของตัวเอง

และ/หรือฝึกอบรมน้องชายในขณะที่ระดับการศึกษาในด้านปัญหาที่กำลังแก้ไขก็เพิ่มขึ้น

หากคุณไม่คุ้นเคยกับกฎสำหรับการป้อนพหุนามกำลังสอง เราขอแนะนำให้คุณทำความคุ้นเคยกับกฎเหล่านั้น

กฎสำหรับการป้อนพหุนามกำลังสอง
ตัวอย่างเช่น: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) เป็นต้น

สามารถป้อนตัวเลขเป็นจำนวนเต็มหรือเศษส่วนได้
ยิ่งไปกว่านั้น ตัวเลขเศษส่วนสามารถป้อนได้ไม่เพียงแต่ในรูปของทศนิยมเท่านั้น แต่ยังอยู่ในรูปแบบของเศษส่วนธรรมดาด้วย

กฎสำหรับการป้อนเศษส่วนทศนิยม
ในเศษส่วนทศนิยม ส่วนที่เป็นเศษส่วนสามารถแยกออกจากส่วนทั้งหมดด้วยจุดหรือลูกน้ำก็ได้
เช่น คุณสามารถเข้าได้ ทศนิยมเช่นนี้: 2.5x - 3.5x^2

กฎการป้อนเศษส่วนสามัญ
มีเพียงจำนวนเต็มเท่านั้นที่สามารถทำหน้าที่เป็นทั้งเศษ ตัวส่วน และจำนวนเต็มของเศษส่วนได้

ตัวส่วนไม่สามารถเป็นลบได้

เมื่อเข้ามา เศษส่วนที่เป็นตัวเลขตัวเศษจะแยกออกจากตัวส่วนด้วยเครื่องหมายหาร: /
ทั้งส่วนแยกออกจากเศษส่วนด้วยเครื่องหมายแอมเพอร์แซนด์: &
อินพุต: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
ผลลัพธ์: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\)

เมื่อป้อนนิพจน์ คุณสามารถใช้วงเล็บได้- ในกรณีนี้ เมื่อแก้สมการกำลังสอง นิพจน์ที่แนะนำจะถูกทำให้ง่ายขึ้นก่อน
ตัวอย่างเช่น: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

ตัดสินใจ

พบว่าไม่ได้โหลดสคริปต์บางตัวที่จำเป็นในการแก้ปัญหานี้ และโปรแกรมอาจไม่ทำงาน
คุณอาจเปิดใช้งาน AdBlock ไว้
ในกรณีนี้ ให้ปิดการใช้งานและรีเฟรชเพจ

JavaScript ถูกปิดใช้งานในเบราว์เซอร์ของคุณ
เพื่อให้วิธีแก้ปัญหาปรากฏขึ้น คุณต้องเปิดใช้งาน JavaScript
ต่อไปนี้เป็นคำแนะนำเกี่ยวกับวิธีเปิดใช้งาน JavaScript ในเบราว์เซอร์ของคุณ

เพราะ มีคนจำนวนมากยินดีแก้ไขปัญหา คำขอของคุณอยู่ในคิวแล้ว
ภายในไม่กี่วินาทีวิธีแก้ปัญหาจะปรากฏขึ้นด้านล่าง
โปรดรอ วินาที...

ถ้าคุณ สังเกตเห็นข้อผิดพลาดในการแก้ปัญหาจากนั้นคุณสามารถเขียนเกี่ยวกับเรื่องนี้ในแบบฟอร์มคำติชม
อย่าลืม ระบุว่างานใดคุณตัดสินใจว่าอะไร เข้าไปในทุ่งนา.

เกม ปริศนา อีมูเลเตอร์ของเรา:

ทฤษฎีเล็กน้อย

สมการกำลังสองและรากของมัน สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์

แต่ละสมการ
\(-x^2+6x+1.4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
ดูเหมือนว่า
\(ขวาน^2+bx+c=0, \)
โดยที่ x เป็นตัวแปร a, b และ c เป็นตัวเลข
ในสมการแรก a = -1, b = 6 และ c = 1.4 ในสมการที่สอง a = 8, b = -7 และ c = 0 ในสมการที่สาม a = 1, b = 0 และ c = 4/9 สมการดังกล่าวเรียกว่า สมการกำลังสอง.

คำนิยาม.
สมการกำลังสองเรียกว่าสมการที่อยู่ในรูปแบบ ax 2 +bx+c=0 โดยที่ x เป็นตัวแปร a, b และ c เป็นตัวเลขจำนวนหนึ่ง และ \(a \neq 0 \)

ตัวเลข a, b และ c คือสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสอง ตัวเลข a เรียกว่าสัมประสิทธิ์ตัวแรก ตัวเลข b คือสัมประสิทธิ์ตัวที่สอง และตัวเลข c คือพจน์อิสระ

ในแต่ละสมการที่อยู่ในรูปแบบ ax 2 +bx+c=0 โดยที่ \(a\neq 0\) กำลังที่ใหญ่ที่สุดของตัวแปร x คือสี่เหลี่ยมจัตุรัส จึงเป็นที่มาของชื่อ: สมการกำลังสอง

โปรดทราบว่าสมการกำลังสองเรียกอีกอย่างว่าสมการระดับ 2 เนื่องจากด้านซ้ายเป็นพหุนามของระดับ 2

สมการกำลังสองซึ่งสัมประสิทธิ์ของ x 2 เท่ากับ 1 เรียกว่า ให้สมการกำลังสอง- ตัวอย่างเช่น สมการกำลังสองที่ให้มาคือสมการ
\(x^2-11x+30=0, \ควอด x^2-6x=0, \ควอด x^2-8=0 \)

หากในสมการกำลังสอง ax 2 +bx+c=0 สัมประสิทธิ์ b หรือ c อย่างน้อยหนึ่งค่าเท่ากับศูนย์ สมการดังกล่าวจะเรียกว่า สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์- ดังนั้น สมการ -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 จึงเป็นสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ ในตอนแรก b=0 ในส่วนที่สอง c=0 ในส่วนที่สาม b=0 และ c=0

สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์มีสามประเภท:
1) ขวาน 2 +c=0 โดยที่ \(c \neq 0 \);
2) ขวาน 2 +bx=0 โดยที่ \(b \neq 0 \);
3) ขวาน 2 =0

ลองพิจารณาแก้สมการของแต่ละประเภทเหล่านี้กัน

ในการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ในรูปแบบ ax 2 +c=0 สำหรับ \(c \neq 0 \) ให้เลื่อนเทอมอิสระไปทางด้านขวาแล้วหารทั้งสองข้างของสมการด้วย a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \ลูกศรขวา x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

เนื่องจาก \(c \neq 0 \) ดังนั้น \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

ถ้า \(-\frac(c)(a)>0\) สมการจะมีรากที่สอง

ถ้า \(-\frac(c)(a) ในการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของรูปแบบ ax 2 +bx=0 โดยที่ \(b \neq 0 \) แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายแล้วได้สมการ
\(x(ax+b)=0 \ลูกศรขวา \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \ลูกศรขวา \left\( \begin (อาร์เรย์)(ล.) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(อาร์เรย์) \right

ซึ่งหมายความว่าสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ในรูปแบบ ax 2 +bx=0 สำหรับ \(b \neq 0 \) มีสองรากเสมอ

สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ในรูปแบบ ax 2 =0 เทียบเท่ากับสมการ x 2 =0 ดังนั้นจึงมีรากเดียวคือ 0

สูตรหารากของสมการกำลังสอง

ตอนนี้เรามาดูวิธีแก้สมการกำลังสองซึ่งทั้งสัมประสิทธิ์ของสิ่งที่ไม่ทราบและเทอมอิสระไม่เป็นศูนย์

ให้เราแก้สมการกำลังสองในรูปแบบทั่วไป และผลที่ได้คือสูตรสำหรับราก สูตรนี้สามารถใช้เพื่อแก้สมการกำลังสองใดๆ ได้

แก้สมการกำลังสอง ax 2 +bx+c=0

เมื่อหารทั้งสองข้างด้วย a เราจะได้สมการกำลังสองรีดิวซ์ที่เท่ากัน
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

ลองแปลงสมการนี้โดยเลือกกำลังสองของทวินาม:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \ลูกศรขวา \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 - \frac(c)(a) \ลูกศรขวา \) \(\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \ลูกศรขวา \left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \ลูกศรขวา \) \(x+\frac(b )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \ลูกศรขวา x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2 -4ac) )(2a) \ลูกศรขวา \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

การแสดงออกที่รุนแรงเรียกว่า จำแนกสมการกำลังสอง ax 2 +bx+c=0 (“discriminant” ในภาษาละติน - discriminator) มันถูกกำหนดด้วยตัวอักษร D เช่น
\(D = ข^2-4ac\)

ตอนนี้ เมื่อใช้สัญลักษณ์แบ่งแยก เราจะเขียนสูตรสำหรับรากของสมการกำลังสองใหม่:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \) โดยที่ \(D= b^2-4ac \)

เห็นได้ชัดว่า:
1) ถ้า D>0 แสดงว่าสมการกำลังสองมีสองราก
2) ถ้า D=0 แล้วสมการกำลังสองจะมีหนึ่งราก \(x=-\frac(b)(2a)\)
3) ถ้า D ดังนั้น ขึ้นอยู่กับค่าของการแบ่งแยก สมการกำลังสองสามารถมีรากสองอัน (สำหรับ D > 0) หนึ่งราก (สำหรับ D = 0) หรือไม่มีราก (สำหรับ D เมื่อแก้สมการกำลังสองโดยใช้สิ่งนี้ ตามสูตรแนะนำให้ทำดังนี้
1) คำนวณจำแนกและเปรียบเทียบกับศูนย์
2) ถ้าค่าจำแนกเป็นค่าบวกหรือเท่ากับศูนย์ ให้ใช้สูตรราก ถ้าค่าจำแนกเป็นค่าลบ ให้เขียนว่าไม่มีค่าราก

ทฤษฎีบทของเวียตตา

สมการกำลังสองที่กำหนด ax 2 -7x+10=0 มีราก 2 และ 5 ผลรวมของรากคือ 7 และผลคูณคือ 10 เราจะเห็นว่าผลรวมของรากเท่ากับสัมประสิทธิ์ที่สองที่นำมากับค่าตรงข้าม เครื่องหมาย และผลคูณของรากเท่ากับเทอมอิสระ สมการกำลังสองลดรูปใดๆ ที่มีรากจะมีคุณสมบัตินี้

ผลรวมของรากของสมการกำลังสองที่ลดลงเท่ากับสัมประสิทธิ์ที่สองที่มีเครื่องหมายตรงข้าม และผลคูณของรากเท่ากับเทอมอิสระ

เหล่านั้น. ทฤษฎีบทของเวียตาระบุว่าราก x 1 และ x 2 ของสมการกำลังสองลดลง x 2 +px+q=0 มีคุณสมบัติ:
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)