วิธีหาพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูที่เท่ากัน พื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู: สูตรและวิธีการคำนวณ

สี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วคืออะไร? นี้ รูปทรงเรขาคณิตซึ่งมีด้านตรงข้ามที่ไม่ขนานกันเท่ากัน มีหลายสูตรในการค้นหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูที่มีเงื่อนไขต่าง ๆ ที่ให้ไว้ในปัญหา นั่นคือ พื้นที่สามารถพบได้หากให้ความสูง ด้าน มุม เส้นทแยงมุม ฯลฯ ไว้ เป็นไปไม่ได้ที่จะไม่พูดถึงว่าสำหรับสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วนั้นมี "ข้อยกเว้น" อยู่บ้างซึ่งทำให้การค้นหาพื้นที่และสูตรนั้นง่ายขึ้นอย่างมาก ด้านล่างนี้จะอธิบายไว้ โซลูชั่นโดยละเอียดแต่ละกรณีพร้อมตัวอย่าง

คุณสมบัติที่จำเป็นสำหรับการหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว

เราได้พบแล้วว่ารูปทรงเรขาคณิตที่มีด้านตรงข้ามไม่ขนานกัน แต่มีด้านเท่ากันคือสี่เหลี่ยมคางหมูและมีหน้าจั่ว มีกรณีพิเศษเมื่อพิจารณารูปสี่เหลี่ยมคางหมูเป็นหน้าจั่ว

• นี่คือเงื่อนไขของความเท่ากันของมุม ดังนั้นจุดบังคับ: มุมที่ฐาน (ถ่ายรูปด้านล่าง) จะต้องเท่ากัน ในกรณีของเรา มุม BAD = มุม CDA และมุม ABC = มุม BCD
• ที่สอง กฎที่สำคัญ– ในสี่เหลี่ยมคางหมูเช่นนี้ เส้นทแยงมุมจะต้องเท่ากัน ดังนั้น AC = BD
• ด้านที่สาม: มุมตรงข้ามของสี่เหลี่ยมคางหมูต้องรวมกันได้ 180 องศา ซึ่งหมายความว่ามุม ABC + มุม CDA = 180 องศา เช่นเดียวกับมุม BCD และ BAD
• ประการที่สี่ ถ้ารูปสี่เหลี่ยมคางหมูยอมให้วงกลมล้อมรอบวงกลมได้ ก็แสดงว่ามันเป็นหน้าจั่ว

วิธีค้นหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว - สูตรและคำอธิบาย

• S = (a+b)h/2 เป็นสูตรที่ใช้กันทั่วไปในการค้นหาพื้นที่ โดยที่ ก – ฐานล่าง ข คือฐานบน และ h คือความสูง

• หากไม่ทราบความสูง คุณสามารถค้นหาโดยใช้สูตรที่คล้ายกัน: h = c*sin(x) โดยที่ c คือ AB หรือ CD sin(x) คือไซน์ของมุมที่ฐานใดๆ ซึ่งก็คือมุม DAB = มุม CDA = x ในที่สุด สูตรจะอยู่ในรูปแบบต่อไปนี้: S = (a+b)*c*บาป(x)/2
• ความสูงสามารถพบได้โดยใช้สูตรนี้:

• สูตรสุดท้ายมีลักษณะดังนี้:

• พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วสามารถพบได้ผ่านเส้นกึ่งกลางและความสูง สูตรคือ: ส = มฮ.

ให้เราพิจารณาเงื่อนไขเมื่อวงกลมถูกจารึกไว้ในสี่เหลี่ยมคางหมู

ในกรณีที่แสดงในภาพ

QN = D = H – เส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมและในเวลาเดียวกันความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมู

LO, ON, OQ = R – รัศมีของวงกลม

DC = a – ฐานบน;

AB = b – ฐานล่าง;

DAB, ABC, BCD, CDA – อัลฟา, เบตา – มุมของฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู

กรณีที่คล้ายกันทำให้สามารถหาพื้นที่ได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้:

• ทีนี้ลองหาพื้นที่ผ่านเส้นทแยงมุมและมุมระหว่างพวกมันกัน

ในรูปเราแสดงว่า AC, DB – เส้นทแยงมุม – d มุมซัง, DOB – อัลฟา; DOC, AOB – เบต้า สูตรพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วโดยใช้เส้นทแยงมุมและมุมระหว่างพวกมัน ( ส ) เป็น:

และ . ตอนนี้เราสามารถเริ่มพิจารณาคำถามว่าจะหาพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูได้อย่างไร งานนี้เกิดขึ้นน้อยมากในชีวิตประจำวัน แต่บางครั้งก็มีความจำเป็นเช่นการค้นหาพื้นที่ของห้องในรูปสี่เหลี่ยมคางหมูซึ่งใช้มากขึ้นในการก่อสร้างอพาร์ทเมนต์ที่ทันสมัยหรือใน โครงการปรับปรุงการออกแบบ

สี่เหลี่ยมคางหมูคือรูปทรงเรขาคณิตที่เกิดจากส่วนที่ตัดกันสี่ส่วน โดยสองส่วนที่ขนานกันและเรียกว่าฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู อีกสองส่วนเรียกว่าด้านข้างของสี่เหลี่ยมคางหมู นอกจากนี้เราจะต้องมีคำจำกัดความอื่นในภายหลัง นี่คือเส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมูซึ่งเป็นส่วนที่เชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของด้านข้างกับความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูซึ่งเท่ากับระยะห่างระหว่างฐาน
เช่นเดียวกับรูปสามเหลี่ยม สี่เหลี่ยมคางหมูมีประเภทพิเศษในรูปแบบของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว (ด้านเท่ากันหมด) ซึ่งความยาวของด้านข้างเท่ากัน และสี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยม ซึ่งด้านใดด้านหนึ่งสร้างมุมฉากกับฐาน

ราวสำหรับออกกำลังกายมีคุณสมบัติที่น่าสนใจบางประการ:

1. เส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมูเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลรวมของฐานและขนานกับพวกมัน
   
2. สี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วมีด้านเท่ากันและมีมุมประกอบกับฐาน
   
3. จุดกึ่งกลางของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูและจุดตัดของเส้นทแยงมุมนั้นอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน
   
4. หากผลรวมของด้านของสี่เหลี่ยมคางหมูเท่ากับผลรวมของฐาน ก็จะสามารถเขียนวงกลมลงไปได้
   
5. หากผลรวมของมุมที่เกิดจากด้านข้างของสี่เหลี่ยมคางหมูที่ฐานใดๆ เท่ากับ 90 ความยาวของส่วนที่เชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของฐานจะเท่ากับผลต่างครึ่งหนึ่ง
   
6. สี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วสามารถอธิบายได้ด้วยวงกลม และในทางกลับกัน หากสี่เหลี่ยมคางหมูพอดีกับวงกลม แสดงว่าเป็นหน้าจั่ว
   
7. ส่วนที่ผ่านจุดกึ่งกลางของฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วจะตั้งฉากกับฐานและแสดงถึงแกนสมมาตร
   

วิธีหาพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู.

พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูจะเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลรวมของฐานคูณด้วยความสูง ในรูปแบบสูตร เขียนเป็นนิพจน์:

โดยที่ S คือพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู, a, b คือความยาวของฐานแต่ละฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู, h คือความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมู

คุณสามารถเข้าใจและจำสูตรนี้ได้ดังนี้ จากรูปด้านล่าง เมื่อใช้เส้นกึ่งกลาง สี่เหลี่ยมคางหมูสามารถแปลงเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าได้ ความยาวจะเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลรวมของฐาน

คุณยังสามารถขยายสี่เหลี่ยมคางหมูออกไปได้อีก ตัวเลขง่ายๆ: สี่เหลี่ยมผืนผ้าและสามเหลี่ยมหนึ่งหรือสองรูป และถ้ามันง่ายกว่าสำหรับคุณ ให้หาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูเป็นผลรวมของพื้นที่ของร่างที่เป็นส่วนประกอบ

มีอีกอันหนึ่ง สูตรง่ายๆเพื่อคำนวณพื้นที่ของมัน ตามที่กล่าวไว้ พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูเท่ากับผลคูณของเส้นกึ่งกลางของมันด้วยความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูและเขียนในรูปแบบ: S = m*h โดยที่ S คือพื้นที่, m คือความยาวของ เส้นกึ่งกลาง h คือความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมู สูตรนี้เหมาะกับโจทย์คณิตศาสตร์มากกว่าโจทย์ในชีวิตประจำวัน เนื่องจากในสภาวะจริง คุณจะไม่ทราบความยาวของเส้นกึ่งกลางหากไม่มีการคำนวณเบื้องต้น และคุณจะรู้แค่ความยาวของฐานและด้านข้างเท่านั้น

ในกรณีนี้สามารถหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูได้โดยใช้สูตร:

S = ((a+b)/2)*√c 2 -((b-a) 2 +c 2 -d 2 /2(b-a)) 2

โดยที่ S คือพื้นที่, a, b คือฐาน, c, d คือด้านข้างของสี่เหลี่ยมคางหมู

มีหลายวิธีในการค้นหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู แต่มันไม่สะดวกพอๆ กับสูตรสุดท้าย ซึ่งหมายความว่าไม่มีประโยชน์ที่จะอยู่กับมัน ดังนั้นเราขอแนะนำให้คุณใช้สูตรแรกจากบทความและหวังว่าคุณจะได้รับผลลัพธ์ที่แม่นยำเสมอ

แนวปฏิบัติของการสอบ Unified State และ State Examination เมื่อปีที่แล้วแสดงให้เห็นว่าปัญหาทางเรขาคณิตทำให้เกิดความยุ่งยากสำหรับเด็กนักเรียนจำนวนมาก คุณสามารถรับมือกับมันได้อย่างง่ายดายหากคุณจำสูตรที่จำเป็นทั้งหมดและฝึกฝนการแก้ปัญหา

ในบทความนี้คุณจะเห็นสูตรในการหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูรวมถึงตัวอย่างปัญหาพร้อมวิธีแก้ไข คุณอาจเจอสิ่งเดียวกันใน KIM ระหว่างการสอบเพื่อรับใบรับรองหรือที่ Olympiads ดังนั้นควรปฏิบัติต่อพวกเขาอย่างระมัดระวัง

สิ่งที่คุณต้องรู้เกี่ยวกับสี่เหลี่ยมคางหมู?

เริ่มต้นด้วยให้เราจำไว้ว่า สี่เหลี่ยมคางหมูเรียกว่ารูปสี่เหลี่ยมซึ่งมีด้านตรงข้ามสองด้านหรือที่เรียกว่าฐานขนานกัน และอีกสองด้านขนานกัน

ในรูปทรงสี่เหลี่ยมคางหมู ความสูง (ตั้งฉากกับฐาน) ก็สามารถลดลงได้เช่นกัน ลากเส้นกลาง - นี่คือเส้นตรงที่ขนานกับฐานและเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลรวม เช่นเดียวกับเส้นทแยงมุมที่สามารถตัดกันทำให้เกิดมุมแหลมและมุมป้านได้ หรือในบางกรณีเป็นมุมฉาก นอกจากนี้ หากสี่เหลี่ยมคางหมูเป็นหน้าจั่ว ก็สามารถเขียนวงกลมลงไปได้ และอธิบายวงกลมรอบๆ

สูตรพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู

ก่อนอื่น เรามาดูสูตรมาตรฐานในการหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูกันก่อน เราจะพิจารณาวิธีคำนวณพื้นที่หน้าจั่วและสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งด้านล่าง

ลองจินตนาการว่าคุณมีสี่เหลี่ยมคางหมูที่มีฐาน a และ b โดยที่ความสูง h ลดลงเหลือฐานที่ใหญ่กว่า การคำนวณพื้นที่ของตัวเลขในกรณีนี้ทำได้ง่ายเหมือนกับการปอกเปลือกลูกแพร์ คุณเพียงแค่ต้องหารผลรวมของความยาวของฐานด้วยสองแล้วคูณผลลัพธ์ด้วยความสูง: S = 1/2(ก + ข)*ชม.

พิจารณาอีกกรณีหนึ่ง: สมมติว่าในรูปสี่เหลี่ยมคางหมู นอกจากความสูงแล้ว ยังมีเส้นกลาง m อีกด้วย เรารู้สูตรการหาความยาวของเส้นกึ่งกลาง: m = 1/2(a + b) ดังนั้นเราจึงสามารถลดความซับซ้อนของสูตรสำหรับพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูให้อยู่ในรูปแบบต่อไปนี้ได้อย่างถูกต้อง: ส = ม* ชม- กล่าวอีกนัยหนึ่งในการหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู คุณต้องคูณเส้นกึ่งกลางด้วยความสูง

ลองพิจารณาอีกทางเลือกหนึ่ง: สี่เหลี่ยมคางหมูมีเส้นทแยงมุม d 1 และ d 2 ซึ่งไม่ตัดกันที่มุมขวา α ในการคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูคุณต้องหารผลคูณของเส้นทแยงมุมด้วยสองและคูณผลลัพธ์ด้วยบาปของมุมระหว่างพวกมัน: S= 1/2d 1 d 2 *ซินα.

ตอนนี้ให้พิจารณาสูตรในการหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูหากไม่มีสิ่งใดรู้เกี่ยวกับมันยกเว้นความยาวของด้านทั้งหมด: a, b, c และ d นี่เป็นสูตรที่ยุ่งยากและซับซ้อน แต่จะมีประโยชน์สำหรับคุณในการจำไว้ในกรณี: S = 1/2(ก + ข) * √ค 2 – ((1/2(b – ก)) * ((ข – ก) 2 + ค 2 – ง 2)) 2.

อย่างไรก็ตาม ตัวอย่างข้างต้นก็เป็นจริงในกรณีที่คุณต้องการสูตรสำหรับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยม นี่คือสี่เหลี่ยมคางหมูซึ่งด้านติดกับฐานเป็นมุมฉาก

สี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว

สี่เหลี่ยมคางหมูที่มีด้านเท่ากันเรียกว่าหน้าจั่ว เราจะพิจารณาหลายตัวเลือกสำหรับสูตรสำหรับพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว

ตัวเลือกแรก: สำหรับกรณีที่วงกลมที่มีรัศมี r ถูกจารึกไว้ภายในสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว และด้านข้างและฐานที่ใหญ่กว่าทำให้เกิดมุมแหลม α วงกลมสามารถเขียนเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูได้ โดยมีเงื่อนไขว่าผลรวมของความยาวของฐานเท่ากับผลรวมของความยาวของด้าน

พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วคำนวณดังนี้: คูณกำลังสองของรัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ด้วยสี่แล้วหารทั้งหมดด้วยsinα: S = 4r 2 /ซินα- สูตรพื้นที่อื่นเป็นกรณีพิเศษสำหรับตัวเลือกเมื่อมุมระหว่างฐานใหญ่และด้านข้างเป็น 30 0: ส = 8r2.

ตัวเลือกที่สอง: คราวนี้เราจะทำ สี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วซึ่งนอกจากจะวาดเส้นทแยงมุม d 1 และ d 2 แล้ว เช่นเดียวกับความสูง h หากเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูตั้งฉากกัน ความสูงจะเป็นครึ่งหนึ่งของผลรวมของฐาน: h = 1/2(a + b) เมื่อรู้อย่างนี้แล้ว การแปลงสูตรพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูที่คุณคุ้นเคยอยู่แล้วให้เป็นรูปแบบนี้จึงเป็นเรื่องง่าย: ส = ชั่วโมง 2.

สูตรพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง

มาเริ่มด้วยการหาว่าสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งคืออะไร ลองนึกภาพแกนพิกัดและกราฟของฟังก์ชันต่อเนื่องและไม่เป็นลบ f ที่ไม่เปลี่ยนเครื่องหมายภายในส่วนที่กำหนดให้บนแกน x สี่เหลี่ยมคางหมูส่วนโค้งเกิดจากกราฟของฟังก์ชัน y = f(x) - ที่ด้านบน แกน x อยู่ที่ด้านล่าง (ส่วน) และที่ด้านข้าง - เส้นตรงที่ลากระหว่างจุด a และ b และกราฟของ ฟังก์ชั่น

เป็นไปไม่ได้ที่จะคำนวณพื้นที่ของตัวเลขที่ไม่ได้มาตรฐานโดยใช้วิธีการข้างต้น ที่นี่คุณจะต้องใช้การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์และใช้อินทิกรัล กล่าวคือ: สูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซ - S = ∫ ข ก ฉ(x) dx = F(x)│ ข ก = F(b) – F(ก)- ในสูตรนี้ F คือแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันของเราในส่วนที่เลือก และพื้นที่นั้น สี่เหลี่ยมคางหมูโค้งสอดคล้องกับการเพิ่มขึ้นของแอนติเดริเวทีฟในส่วนที่กำหนด

ปัญหาตัวอย่าง

เพื่อให้เข้าใจสูตรเหล่านี้ในหัวของคุณได้ง่ายขึ้น ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างปัญหาในการหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู จะเป็นการดีที่สุดถ้าคุณพยายามแก้ไขปัญหาด้วยตัวเองก่อนแล้วจึงเปรียบเทียบคำตอบที่คุณได้รับกับวิธีแก้ปัญหาสำเร็จรูป

งาน #1:ให้เป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู ฐานใหญ่กว่าคือ 11 ซม. ฐานเล็กคือ 4 ซม. สี่เหลี่ยมคางหมูมีเส้นทแยงมุม อันหนึ่งยาว 12 ซม. อันที่สองยาว 9 ซม.

วิธีแก้ไข: สร้าง AMRS สี่เหลี่ยมคางหมู ลากเส้นตรง Рх ผ่านจุดยอด P เพื่อให้ขนานกับเส้นทแยงมุม MC และตัดกับเส้นตรง AC ที่จุด X คุณจะได้สามเหลี่ยม APMX

เราจะพิจารณาตัวเลขสองตัวที่ได้รับอันเป็นผลมาจากการปรับเปลี่ยนเหล่านี้: สามเหลี่ยม APX และสี่เหลี่ยมด้านขนาน CMRX

ต้องขอบคุณรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน เราจึงเรียนรู้ว่า PX = MC = 12 ซม. และ CX = MR = 4 ซม. จากจุดที่เราสามารถคำนวณด้าน AX ของสามเหลี่ยม ARX ได้: AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 ซม.

นอกจากนี้เรายังสามารถพิสูจน์ได้ว่าสามเหลี่ยม APX เป็นมุมฉาก (ในการดำเนินการนี้ ให้ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส - AX 2 = AP 2 + PX 2) และคำนวณพื้นที่: S APX = 1/2(AP * PX) = 1/2(9 * 12) = 54 ซม. 2

ถัดไป คุณจะต้องพิสูจน์ว่าสามเหลี่ยม AMP และ PCX มีขนาดเท่ากัน พื้นฐานจะเป็นความเท่าเทียมกันของฝ่าย MR และ CX (พิสูจน์แล้วข้างต้น) และความสูงที่คุณลดลงในด้านเหล่านี้ด้วย - พวกมันเท่ากับความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมู AMRS

ทั้งหมดนี้จะทำให้คุณบอกได้ว่า S AMPC = S APX = 54 ซม. 2

งาน #2:ให้ KRMS สี่เหลี่ยมคางหมู ที่ด้านข้างมีจุด O และ E ในขณะที่ OE และ KS ขนานกัน เป็นที่ทราบกันว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู ORME และ OKSE อยู่ในอัตราส่วน 1:5 RM = a และ KS = b คุณต้องค้นหา OE

วิธีแก้ไข: ลากเส้นขนานกับ RK ถึงจุด M และกำหนดจุดตัดกับ OE เป็น T โดย A คือจุดตัดของเส้นที่ลากผ่านจุด E ขนานกับ RK โดยมีฐาน KS

ขอแนะนำสัญลักษณ์อีกอย่างหนึ่ง - OE = x และความสูง h 1 สำหรับสามเหลี่ยม TME และความสูง h 2 สำหรับสามเหลี่ยม AEC (คุณสามารถพิสูจน์ความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยมเหล่านี้ได้อย่างอิสระ)

เราจะถือว่า b > a พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู ORME และ OKSE อยู่ในอัตราส่วน 1:5 ซึ่งทำให้เรามีสิทธิ์สร้างสมการต่อไปนี้: (x + a) * h 1 = 1/5(b + x) * h 2 ลองแปลงร่างแล้วได้: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + x)/(x + a))

เนื่องจากสามเหลี่ยม TME และ AEC มีความคล้ายคลึงกัน เราจึงมี h 1 / h 2 = (x – a)/(b – x) ลองรวมทั้งสองค่าเข้าด้วยกันแล้วได้: (x – a)/(b – x) = 1/5 * ((b + x)/(x + a)) ↔ 5(x – a)(x + a) = ( b + x)(b – x) ↔ 5(x 2 – a 2) = (b 2 – x 2) ↔ 6x 2 = b 2 + 5a 2 ↔ x = √(5a 2 + b 2)/6

ดังนั้น OE = x = √(5a 2 + b 2)/6

บทสรุป

เรขาคณิตไม่ใช่วิทยาศาสตร์ที่ง่ายที่สุด แต่คุณสามารถรับมือกับคำถามในข้อสอบได้อย่างแน่นอน แสดงความเพียรพยายามเล็กน้อยในการเตรียมตัวก็เพียงพอแล้ว และแน่นอนว่าต้องจำสูตรที่จำเป็นทั้งหมดด้วย

เราพยายามรวบรวมสูตรคำนวณพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูทั้งหมดไว้ในที่เดียวเพื่อให้คุณนำไปใช้ในการเตรียมสอบและแก้ไขเนื้อหาได้

อย่าลืมบอกเพื่อนร่วมชั้นและเพื่อนของคุณเกี่ยวกับบทความนี้ เครือข่ายทางสังคม- ขอให้มีเกรดดีๆ มากกว่านี้สำหรับการสอบ Unified State และ State Examination!

เว็บไซต์ เมื่อคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา

พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู สวัสดี! ในเอกสารฉบับนี้เราจะดูสูตรนี้ ทำไมเธอถึงเป็นแบบนี้และจะเข้าใจเธอได้อย่างไร ถ้ามีความเข้าใจก็ไม่ต้องสอน หากเพียงต้องการดูสูตรนี้และเร่งด่วนก็สามารถเลื่อนหน้าลงมาได้เลย))

ตอนนี้มีรายละเอียดและตามลำดับ

สี่เหลี่ยมคางหมูเป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน สองด้านของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนนี้ขนานกัน ส่วนอีกสองด้านไม่ขนานกัน ส่วนที่ไม่ขนานกันคือฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู อีกสองคนเรียกว่าด้านข้าง

หากด้านเท่ากัน สี่เหลี่ยมคางหมูจะเรียกว่าหน้าจั่ว หากด้านใดด้านหนึ่งตั้งฉากกับฐาน สี่เหลี่ยมคางหมูดังกล่าวจะเรียกว่าสี่เหลี่ยม

ในรูปแบบคลาสสิกรูปสี่เหลี่ยมคางหมูจะแสดงดังนี้ - ฐานที่ใหญ่กว่าอยู่ที่ด้านล่างตามลำดับส่วนอันที่เล็กกว่าจะอยู่ด้านบน แต่ไม่มีใครห้ามวาดภาพเธอและในทางกลับกัน นี่คือภาพร่าง:

แนวคิดที่สำคัญต่อไป

เส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมูเป็นส่วนที่เชื่อมจุดกึ่งกลางของด้านข้าง เส้นกลางขนานกับฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูและเท่ากับผลรวมครึ่งหนึ่ง

ตอนนี้เรามาเจาะลึกกัน ทำไมจึงเป็นเช่นนี้?

พิจารณารูปสี่เหลี่ยมคางหมูที่มีฐาน ก และ ขและด้วยสายกลาง ลและมาทำการก่อสร้างเพิ่มเติมกัน: ลากเส้นตรงผ่านฐาน และตั้งฉากผ่านปลายของเส้นกึ่งกลางจนกระทั่งมันตัดกับฐาน:

*การกำหนดตัวอักษรสำหรับจุดยอดและจุดอื่นๆ ไม่ได้รวมไว้โดยเจตนาเพื่อหลีกเลี่ยงการกำหนดที่ไม่จำเป็น

ดูสิ สามเหลี่ยม 1 และ 2 เท่ากันตามเครื่องหมายที่สองของความเท่าเทียมกัน สามเหลี่ยม 3 และ 4 เท่ากัน จากความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมจะเป็นไปตามความเท่าเทียมกันขององค์ประกอบ ได้แก่ ขา (ระบุด้วยสีน้ำเงินและสีแดงตามลำดับ)

ตอนนี้ให้ความสนใจ! หากเรา "ตัด" ส่วนสีน้ำเงินและสีแดงออกจากฐานด้านล่างโดยจิตใจ เราก็จะเหลือส่วน (นี่คือด้านข้างของสี่เหลี่ยม) เท่ากับเส้นกลาง ต่อไป ถ้าเรา "ติด" ส่วนสีน้ำเงินและสีแดงที่ตัดแล้วเข้ากับฐานด้านบนของสี่เหลี่ยมคางหมู เราก็จะได้ส่วนนั้นด้วย (นี่คือด้านข้างของสี่เหลี่ยมด้วย) เท่ากับเส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมู

เข้าใจแล้ว? ปรากฎว่าผลรวมของฐานจะเท่ากับเส้นกลางสองเส้นของสี่เหลี่ยมคางหมู:

ดูคำอธิบายอื่น

ลองทำสิ่งต่อไปนี้ - สร้างเส้นตรงที่ผ่านฐานล่างของสี่เหลี่ยมคางหมูและเป็นเส้นตรงที่จะผ่านจุด A และ B:

เราได้สามเหลี่ยม 1 และ 2 ซึ่งเท่ากันทั้งด้านข้างและมุมที่อยู่ติดกัน (เครื่องหมายที่สองของความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม) ซึ่งหมายความว่าส่วนที่เป็นผล (ในภาพร่างจะแสดงด้วยสีน้ำเงิน) เท่ากับฐานด้านบนของสี่เหลี่ยมคางหมู

ตอนนี้พิจารณารูปสามเหลี่ยม:

*เส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมูนี้และเส้นกึ่งกลางของสามเหลี่ยมตรงกัน

เป็นที่ทราบกันดีว่ารูปสามเหลี่ยมมีค่าเท่ากับครึ่งหนึ่งของฐานที่ขนานไปกับมัน นั่นคือ:

โอเค เราคิดออกแล้ว ตอนนี้เกี่ยวกับพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู

สูตรพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู:

พวกเขาพูดว่า: พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูเท่ากับผลคูณของผลรวมของฐานและความสูงครึ่งหนึ่ง

นั่นคือปรากฎว่ามันเท่ากับผลคูณของเส้นกึ่งกลางและความสูง:

คุณคงสังเกตเห็นแล้วว่าสิ่งนี้ชัดเจน ในเชิงเรขาคณิต สิ่งนี้สามารถแสดงได้ดังนี้: ถ้าเราตัดสามเหลี่ยม 2 และ 4 ออกจากสี่เหลี่ยมคางหมูในใจแล้ววางไว้บนสามเหลี่ยม 1 และ 3 ตามลำดับ:

จากนั้นเราจะได้สี่เหลี่ยมในพื้นที่ เท่ากับพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูของเรา พื้นที่ของสี่เหลี่ยมนี้จะเท่ากับผลคูณของเส้นกึ่งกลางและความสูงนั่นคือเราสามารถเขียนได้:

แต่ประเด็นนี้ไม่ใช่การเขียนแน่นอน แต่เป็นความเข้าใจ

ดาวน์โหลด (ดู) เนื้อหาบทความในรูปแบบ *pdf

นั่นคือทั้งหมดที่ ขอให้โชคดี!

ขอแสดงความนับถืออเล็กซานเดอร์

ก่อนที่จะหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูคุณต้องพิจารณาก่อน องค์ประกอบที่รู้จักสี่เหลี่ยมคางหมู สี่เหลี่ยมคางหมูเป็นวัตถุทางเรขาคณิต กล่าวคือรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่มีด้านขนานกันสองด้าน (สองฐาน) อีกสองด้านเป็นด้านข้าง หากด้านทั้งสองของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนขนานกัน มันจะไม่เป็นสี่เหลี่ยมคางหมูอีกต่อไป แต่เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน ถ้าอย่างน้อยหนึ่งมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูเป็น 90 องศา สี่เหลี่ยมคางหมูนั้นเรียกว่าสี่เหลี่ยม เราจะมาดูวิธีการหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยมในภายหลัง นอกจากนี้ยังมีสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วซึ่งมีชื่อพูดเพื่อตัวเอง: ด้านข้างของสี่เหลี่ยมคางหมูนั้นเท่ากัน ระยะห่างระหว่างฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูเรียกว่าความสูง และความสูงมักใช้ในการค้นหาพื้นที่ เส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมูเป็นส่วนที่เชื่อมจุดกึ่งกลางของด้านข้าง

สูตรพื้นฐานในการหาพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู

• ส= ชั่วโมง*(ก+ข)/2
  โดยที่ h คือความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมู, a, b คือฐาน สูตรที่ใช้กันมากที่สุดในการค้นหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูคือครึ่งหนึ่งของผลรวมของฐานคูณด้วยความสูง
• ส = ม*ชม
  โดยที่ m คือเส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมู h คือความสูง พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูก็เท่ากับผลคูณของเส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมูและความสูงของมัน
• S=1/2*d1*d2*บาป(d1^d2)
  โดยที่ d1, d2 คือเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมู sin(d1^d2) คือไซน์ของมุมระหว่างเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมู

นอกจากนี้ยังมีสูตรต่างๆ ที่ได้มาจากสูตรพื้นฐาน เช่นเดียวกับสูตรคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูเมื่อทราบทุกด้าน อย่างไรก็ตาม สูตรนี้ค่อนข้างยุ่งยากและไม่ค่อยได้ใช้ เพราะเมื่อทราบทุกด้านของสี่เหลี่ยมคางหมู คุณก็สามารถกำหนดความสูงหรือเส้นกึ่งกลางของมันได้ คุณยังสามารถเขียนวงกลมไว้ในสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วได้ ในกรณีนี้ พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูจะคำนวณโดยใช้สูตร: 8*รัศมีของวงกลมยกกำลังสอง

วิธีหาพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยม

ตามที่กล่าวไว้ข้างต้น สี่เหลี่ยมคางหมูจะเรียกว่าสี่เหลี่ยมถ้ามีมุมฉากอย่างน้อยหนึ่งมุม การหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูดังกล่าวนั้นง่ายมาก โดยพื้นฐานแล้ว ในการหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยมนั้น จะใช้สูตรเดียวกันกับสี่เหลี่ยมคางหมูปกติ อย่างไรก็ตามควรจำไว้ว่าด้านใดด้านหนึ่งของสี่เหลี่ยมคางหมูนั้นจะมีความสูง นอกจากนี้การแก้ปัญหาการหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูมักจะลงมาเพื่อหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมและสามเหลี่ยมที่เกิดจากความสูงที่ละไว้ งานดังกล่าวค่อนข้างง่าย