วิดีโอสอน 2: ปริญญาค ตัวบ่งชี้ตามธรรมชาติและคุณสมบัติของมัน
บรรยาย:
องศาที่มีตัวบ่งชี้ตามธรรมชาติ
ภายใต้ ระดับหมายเลขบางอย่าง "เอ"พร้อมตัวบ่งชี้บางอย่าง "เอ็น"เข้าใจผลคูณของจำนวน "เอ"ด้วยตัวของมันเอง "เอ็น"ครั้งหนึ่ง.
เมื่อเราพูดถึงปริญญาที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ มันหมายถึงตัวเลขนั้น "เอ็น"ต้องเป็นจำนวนเต็มและไม่เป็นลบ
ก- ฐานของดีกรีซึ่งแสดงว่าตัวเลขใดควรคูณด้วยตัวมันเอง
n- เลขชี้กำลัง - บอกจำนวนครั้งที่ฐานต้องคูณด้วยตัวมันเอง
ตัวอย่างเช่น:
8 4 = 8 * 8 * 8 * 8 = 4096.
ใน ในกรณีนี้ฐานของดีกรีเข้าใจว่าเป็นตัวเลข “8” เลขชี้กำลังของดีกรีคือตัวเลข “4” และค่าของดีกรีคือตัวเลข “4096”
ข้อผิดพลาดที่ใหญ่ที่สุดและที่พบบ่อยที่สุดเมื่อคำนวณระดับคือการคูณเลขชี้กำลังด้วยฐาน - นี่ไม่ถูกต้อง!
เมื่อไร เรากำลังพูดถึงประมาณระดับที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติ หมายความว่า มีเพียงเลขชี้กำลังเท่านั้น (น)ต้องเป็นจำนวนธรรมชาติ
คุณสามารถใช้ตัวเลขใดๆ บนเส้นจำนวนเป็นฐานได้
ตัวอย่างเช่น,
(-0,1) 3 = (-0,1) * (-0,1) * (-0,1) = (-0,001).
การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่ดำเนินการบนฐานและเลขชี้กำลังเรียกว่าการยกกำลัง
การบวก\การลบเป็นการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ของขั้นที่ 1 การคูณ\การหารคือการกระทำของขั้นที่ 2 การยกกำลังเป็นการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ของขั้นที่ 3 ซึ่งก็คือขั้นที่สูงที่สุดขั้นหนึ่ง
ลำดับชั้นของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์นี้จะกำหนดลำดับในการคำนวณ หากการดำเนินการนี้เกิดขึ้นในงานระหว่างสองงานก่อนหน้านี้ การดำเนินการนั้นจะถูกดำเนินการก่อน
ตัวอย่างเช่น:
15 + 6 *2 2 = 39
ใน ในตัวอย่างนี้คุณต้องยกกำลัง 2 ก่อนนั่นคือ
แล้วคูณผลลัพธ์ด้วย 6 นั่นก็คือ
องศาที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาตินั้นไม่เพียงแต่ใช้สำหรับการคำนวณเฉพาะเท่านั้น แต่ยังเพื่อความสะดวกในการบันทึกอีกด้วย จำนวนมาก- ในกรณีนี้ก็ใช้แนวคิดนี้เช่นกัน "รูปแบบมาตรฐานของตัวเลข"- สัญกรณ์นี้เกี่ยวข้องกับการคูณตัวเลขจำนวนหนึ่งจาก 1 ถึง 9 ด้วยกำลังที่เท่ากับ 10 ด้วยเลขยกกำลังบางตัว
ตัวอย่างเช่นหากต้องการบันทึกรัศมีของโลกในรูปแบบมาตรฐาน ให้ใช้สัญลักษณ์ต่อไปนี้
6400000 ม. = 6.4 * 10 6 ม.
และมวลของโลกเขียนไว้ดังนี้
คุณสมบัติของปริญญา
เพื่อความสะดวกในการแก้ตัวอย่างด้วยองศา คุณจำเป็นต้องทราบคุณสมบัติพื้นฐานของมัน:
1. หากคุณต้องการคูณเลขยกกำลังสองตัวที่มีฐานเดียวกัน ในกรณีนี้ ฐานจะต้องไม่เปลี่ยนแปลงและเพิ่มเลขชี้กำลังลงไป
n * a m = a n+ม
ตัวอย่างเช่น:
5 2 * 5 4 = 5 6 .
2. หากจำเป็นต้องหารสององศาที่มีฐานเท่ากัน ในกรณีนี้ ฐานจะต้องไม่เปลี่ยนแปลงและลบเลขชี้กำลังออก โปรดทราบว่าสำหรับการดำเนินการที่ยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ เลขชี้กำลังของเงินปันผลจะต้องมากกว่าเลขชี้กำลังของตัวหาร มิฉะนั้น ผลหารของการกระทำนี้จะเป็นตัวเลขที่มีเลขชี้กำลังเป็นลบ
n / a m = n-m
ตัวอย่างเช่น,
5 4 * 5 2 = 5 2 .
3. หากจำเป็นต้องยกกำลังหนึ่งไปยังอีกกำลังหนึ่ง จำนวนเดียวกันยังคงเป็นฐานของผลลัพธ์ และเลขยกกำลังจะถูกคูณ
(น) ม. = ก n*m
ตัวอย่างเช่น,
4. หากจำเป็นต้องยกผลคูณของจำนวนใดๆ ขึ้นเป็นยกกำลังที่แน่นอน คุณสามารถใช้กฎการแจกแจงบางประการ ซึ่งเราจะได้ผลคูณของฐานต่างกันให้ยกกำลังเท่ากันได้
(ก * ข) ม. = ม. * ข ม
ตัวอย่างเช่น,
(5 * 8) 2 = 5 2 * 8 2 .
5. คุณสมบัติที่คล้ายกันสามารถใช้เพื่อแบ่งยกกำลัง กล่าวคือ ยกกำลังสองเท่าของสามัญ
(ก / ข) ม. = ก. ม. / ข ม
6. จำนวนใดๆ ที่ถูกยกให้เป็นเลขชี้กำลังเท่ากับ 1 จะเท่ากับจำนวนเดิม
1 = ก
ตัวอย่างเช่น,
7. เมื่อเพิ่มจำนวนใดๆ ให้เป็นกำลังโดยมีเลขชี้กำลังเป็นศูนย์ ผลลัพธ์ของการคำนวณนี้จะเป็นหนึ่งเสมอ
และ 0 = 1
ตัวอย่างเช่น,
| | |
ก่อนหน้านี้เราได้คุยกันไปแล้วว่าพลังของตัวเลขคืออะไร มีคุณสมบัติบางอย่างที่มีประโยชน์ในการแก้ปัญหา: เราจะวิเคราะห์พวกมันและเลขชี้กำลังที่เป็นไปได้ทั้งหมดในบทความนี้ นอกจากนี้เรายังจะแสดงตัวอย่างอย่างชัดเจนว่าสามารถพิสูจน์และนำไปใช้ในทางปฏิบัติได้อย่างไร
ยานเดกซ์ RTB R-A-339285-1
ให้เรานึกถึงแนวคิดที่กำหนดไว้ก่อนหน้านี้เกี่ยวกับระดับที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ: นี่คือผลคูณของตัวประกอบจำนวนที่ n ซึ่งแต่ละตัวจะเท่ากับ a เราจะต้องจำวิธีคูณจำนวนจริงให้ถูกต้องด้วย ทั้งหมดนี้จะช่วยเรากำหนดคุณสมบัติต่อไปนี้สำหรับระดับที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ:
คำจำกัดความ 1
1. คุณสมบัติหลักของดีกรี: a m · a n = a m + n
สามารถสรุปเป็น: a n 1 · a n 2 · … · a n k = a n 1 + n 2 + … + n k
2. คุณสมบัติของผลหารสำหรับองศาที่มีฐานเท่ากัน: a m: a n = a m − n
3. คุณสมบัติระดับผลิตภัณฑ์: (a · b) n = a n · b n
ความเท่าเทียมกันสามารถขยายเป็น: (a 1 · a 2 · … · a k) n = a 1 n · a 2 n · … · a k n
4. คุณสมบัติของผลหารถึงระดับธรรมชาติ: (a: b) n = a n: b n
5. เพิ่มพลังให้กับพลัง: (a m) n = a m n ,
สามารถสรุปเป็น: (((a n 1) n 2) …) n k = a n 1 · n 2 · … · n k
6. เปรียบเทียบระดับกับศูนย์:
- ถ้า a > 0 ดังนั้นสำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ n a n จะมากกว่าศูนย์
- เมื่อเท่ากับ 0 แล้ว n ก็จะเท่ากับศูนย์ด้วย
- ที่< 0 и таком показателе степени, который будет четным числом 2 · m , a 2 · m будет больше нуля;
- ที่< 0 и таком показателе степени, который будет нечетным числом 2 · m − 1 , a 2 · m − 1 будет меньше нуля.
7. ความเท่าเทียมกัน< b n будет справедливо для любого натурального n при условии, что a и b больше нуля и не равны друг другу.
8. อสมการ a m > a n จะเป็นจริง โดยมีเงื่อนไขว่า m และ n เป็นจำนวนธรรมชาติ m มากกว่า n และ a มากกว่าศูนย์และน้อยกว่า 1
เป็นผลให้เรามีความเท่าเทียมกันหลายประการ หากตรงตามเงื่อนไขทั้งหมดที่ระบุไว้ข้างต้น เงื่อนไขเหล่านี้จะเหมือนกัน สำหรับแต่ละความเท่าเทียมกัน เช่น สำหรับคุณสมบัติหลัก คุณสามารถสลับด้านขวาและด้านซ้ายได้: a m · a n = a m + n - เช่นเดียวกับ a m + n = a m · a n ในรูปแบบนี้มักใช้เพื่อทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น
1. เริ่มจากคุณสมบัติพื้นฐานของดีกรีกันก่อน: ความเท่าเทียมกัน a m · a n = a m + n จะเป็นจริงสำหรับ m และ n ธรรมชาติใดๆ และ a จริง จะพิสูจน์ข้อความนี้ได้อย่างไร?
คำจำกัดความพื้นฐานของกำลังที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติจะช่วยให้เราแปลงความเท่าเทียมกันเป็นผลคูณของปัจจัยได้ เราจะได้รับบันทึกดังนี้:
สิ่งนี้สามารถย่อให้สั้นลงได้ 
(จำคุณสมบัติพื้นฐานของการคูณ) เป็นผลให้เราได้พลังของจำนวน a โดยมีเลขชี้กำลังธรรมชาติ m + n ดังนั้น a m + n ซึ่งหมายความว่าคุณสมบัติหลักของระดับนี้ได้รับการพิสูจน์แล้ว
มาจัดเรียงกัน ตัวอย่างที่เป็นรูปธรรม, ยืนยันเรื่องนี้.
ตัวอย่างที่ 1
เรามีสองกำลังที่มีฐาน 2 ตัวบ่งชี้ตามธรรมชาติคือ 2 และ 3 ตามลำดับ เรามีความเท่าเทียมกัน: 2 2 · 2 3 = 2 2 + 3 = 2 5 ลองคำนวณค่าเพื่อตรวจสอบความถูกต้องของความเท่าเทียมกันนี้
ลองทำการคำนวณทางคณิตศาสตร์ที่จำเป็น: 2 2 2 3 = (2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32 และ 2 5 = 2 2 2 2 2 = 32
ผลลัพธ์ที่ได้คือ: 2 2 · 2 3 = 2 5 คุณสมบัติได้รับการพิสูจน์แล้ว
เนื่องจากคุณสมบัติของการคูณ เราจึงสามารถสรุปคุณสมบัติได้โดยการกำหนดให้เป็นกำลังสามหรือมากกว่านั้น โดยที่เลขชี้กำลังเป็นตัวเลขธรรมชาติและฐานเท่ากัน หากเราแทนจำนวนธรรมชาติ n 1, n 2 ฯลฯ ด้วยตัวอักษร k เราจะได้ความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง:
n 1 · n 2 · … · n k = n 1 + n 2 + … + n k
ตัวอย่างที่ 2
2. ต่อไป เราต้องพิสูจน์คุณสมบัติต่อไปนี้ ซึ่งเรียกว่าคุณสมบัติผลหารและมีอยู่ในกำลังที่มีฐานเดียวกัน นี่คือความเท่าเทียมกัน a m: a n = a m − n ซึ่งใช้ได้กับ m และ n ธรรมชาติใดๆ (และ m มากกว่า n)) และ a จริงใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์
ขั้นแรก ให้เราชี้แจงว่าอะไรคือความหมายของเงื่อนไขที่กล่าวถึงในสูตร หากเราหาค่าเท่ากับศูนย์ เราก็จะจบลงด้วยการหารด้วยศูนย์ ซึ่งเราทำไม่ได้ (สุดท้ายแล้ว 0 n = 0) เงื่อนไขที่ว่าตัวเลข m ต้องมากกว่า n เป็นสิ่งที่จำเป็นเพื่อที่เราจะอยู่ภายในขีดจำกัดของเลขชี้กำลังธรรมชาติได้: เมื่อลบ n จาก m เราจะได้ จำนวนธรรมชาติ- หากไม่ตรงตามเงื่อนไข เราจะได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนลบหรือศูนย์ และอีกครั้ง เราจะไปไกลกว่าการศึกษาเรื่ององศาด้วยเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ
ตอนนี้เราสามารถไปยังการพิสูจน์ได้ จากสิ่งที่เราศึกษามาก่อนหน้านี้ ให้เรานึกถึงคุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วนและกำหนดความเท่าเทียมกันได้ดังนี้
a m − n · a n = a (m − n) + n = a m
จากนั้นเราสามารถสรุปได้ว่า a m − n · a n = a m
เรามาจำความเชื่อมโยงระหว่างการหารและการคูณกัน จากนั้น m − n คือผลหารของกำลัง a m และ a n นี่คือการพิสูจน์คุณสมบัติที่สองของปริญญา
ตัวอย่างที่ 3
เพื่อความชัดเจน ลองแทนที่ตัวเลขเฉพาะเป็นเลขชี้กำลัง และแทนฐานของดีกรีเป็น π : π 5: π 2 = π 5 − 3 = π 3
3. ต่อไป เราจะวิเคราะห์คุณสมบัติของกำลังของผลิตภัณฑ์: (a · b) n = a n · bn สำหรับ a และ b จริงใดๆ และ n ธรรมชาติ
ตามคำจำกัดความพื้นฐานของกำลังที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ เราสามารถจัดรูปแบบความเท่าเทียมกันได้ดังนี้
เมื่อนึกถึงคุณสมบัติของการคูณเราเขียนว่า: 
- ซึ่งหมายความว่าเหมือนกับ a n · bn
ตัวอย่างที่ 4
2 3 · - 4 2 5 4 = 2 3 4 · - 4 2 5 4
หากเรามีปัจจัยสามตัวขึ้นไป คุณสมบัตินี้ก็ใช้กับกรณีนี้ด้วย ให้เราแนะนำสัญกรณ์ k สำหรับจำนวนปัจจัยแล้วเขียน:
(ก 1 · ก 2 · … · ก) n = ก 1 n · ก 2 n · … · a k n
ตัวอย่างที่ 5
ด้วยตัวเลขเฉพาะ เราจะได้ความเท่าเทียมกันที่ถูกต้องดังต่อไปนี้: (2 · (- 2 , 3) ·a) 7 = 2 7 · (- 2 , 3) 7 · a
4. หลังจากนี้ เราจะพยายามพิสูจน์คุณสมบัติผลหาร: (a: b) n = a n: bn สำหรับ a และ b จริงใดๆ ถ้า b ไม่เท่ากับ 0 และ n เป็นจำนวนธรรมชาติ
เพื่อพิสูจน์สิ่งนี้ คุณสามารถใช้คุณสมบัติก่อนหน้าของดีกรีได้ ถ้า (a: b) n · b n = ((a: b) b) n = a n และ (a: b) n · b n = a n ก็จะตามมาว่า (a: b) n คือผลหารของการหาร a n โดย บี เอ็น
ตัวอย่างที่ 6
ลองคำนวณตัวอย่าง: 3 1 2: - 0 5 3 = 3 1 2 3: (- 0 , 5) 3
ตัวอย่างที่ 7
มาเริ่มกันด้วยตัวอย่างทันที: (5 2) 3 = 5 2 3 = 5 6
ตอนนี้เรามาสร้างห่วงโซ่แห่งความเท่าเทียมกันที่จะพิสูจน์ให้เราเห็นว่าความเท่าเทียมกันนั้นถูกต้อง: 
หากเรามีองศาในตัวอย่าง คุณสมบัตินี้ก็เป็นจริงสำหรับพวกมันด้วย หากเรามีจำนวนธรรมชาติใดๆ p, q, r, s มันจะเป็นจริง:
a p q y s = a p q y s
ตัวอย่างที่ 8
มาเพิ่มข้อมูลเฉพาะกัน: (((5 , 2) 3) 2) 5 = (5 , 2) 3 + 2 + 5 = (5 , 2) 10
6. คุณสมบัติของกำลังอีกอย่างหนึ่งที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติที่เราต้องพิสูจน์คือคุณสมบัติของการเปรียบเทียบ
ก่อนอื่น เรามาเปรียบเทียบดีกรีกับศูนย์กันก่อน เหตุใด n > 0 โดยที่ a มากกว่า 0
ถ้าเราคูณจำนวนบวกหนึ่งด้วยอีกจำนวนหนึ่ง เราจะได้จำนวนบวกด้วย เมื่อรู้ข้อเท็จจริงนี้แล้ว เราสามารถพูดได้ว่ามันไม่ได้ขึ้นอยู่กับจำนวนปัจจัย - ผลลัพธ์ของการคูณจำนวนบวกจำนวนเท่าใดก็ได้จะเป็นจำนวนบวก ปริญญาคืออะไรถ้าไม่ใช่ผลคูณตัวเลข? จากนั้นสำหรับกำลังใดๆ a n ที่มีฐานบวกและเลขชี้กำลังธรรมชาติ ค่านี้จะเป็นจริง
ตัวอย่างที่ 9
3 5 > 0 , (0 , 00201) 2 > 0 และ 34 9 13 51 > 0
เห็นได้ชัดว่ากำลังที่มีฐานเท่ากับศูนย์ก็คือศูนย์นั่นเอง ไม่ว่าเราจะเพิ่มพลังเป็นศูนย์เท่าใด มันก็จะยังคงเป็นศูนย์
ตัวอย่างที่ 10
0 3 = 0 และ 0 762 = 0
หากฐานของดีกรีเป็นจำนวนลบ การพิสูจน์ก็จะซับซ้อนขึ้นเล็กน้อย เนื่องจากแนวคิดเรื่องเลขชี้กำลังคู่/คี่มีความสำคัญ ก่อนอื่น ให้เราพิจารณากรณีที่เลขชี้กำลังเป็นเลขคู่ และแทนค่านั้น 2 · m โดยที่ m เป็นจำนวนธรรมชาติ
จำวิธีคูณจำนวนลบอย่างถูกต้อง: ผลคูณ a · a เท่ากับผลคูณของโมดูลัส ดังนั้น มันจะเป็นจำนวนบวก แล้ว 
และระดับ a 2 m ก็เป็นค่าบวกเช่นกัน
ตัวอย่างที่ 11
ตัวอย่างเช่น (− 6) 4 > 0, (− 2, 2) 12 > 0 และ - 2 9 6 > 0
จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเลขชี้กำลังที่มีฐานลบเป็นเลขคี่? ลองแสดงว่ามัน 2 · m − 1 .
แล้ว 
ผลคูณทั้งหมด a · a ตามคุณสมบัติของการคูณ เป็นบวก และผลิตภัณฑ์ของมันก็เช่นกัน แต่ถ้าเราคูณมันด้วยเลข a ที่เหลืออยู่ ผลลัพธ์สุดท้ายจะเป็นลบ
จากนั้นเราจะได้: (− 5) 3< 0 , (− 0 , 003) 17 < 0 и - 1 1 102 9 < 0
จะพิสูจน์สิ่งนี้ได้อย่างไร?
หนึ่ง< b n – неравенство, представляющее собой произведение левых и правых частей nверных неравенств a < b . Вспомним основные свойства неравенств справедливо и a n < b n .
ตัวอย่างที่ 12
ตัวอย่างเช่น อสมการต่อไปนี้เป็นจริง: 3 7< (2 , 2) 7 и 3 5 11 124 > (0 , 75) 124
8. เราแค่ต้องพิสูจน์คุณสมบัติสุดท้าย: หากเรามีกำลังสองอันที่มีฐานเท่ากันและเป็นบวก และเลขยกกำลังเป็นตัวเลขธรรมชาติ แล้วอันที่มีเลขชี้กำลังน้อยกว่าจะยิ่งใหญ่กว่า และกำลังสองที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติและมีฐานเท่ากันมากกว่าหนึ่ง โดยที่เลขชี้กำลังมากกว่าจะใหญ่กว่า
ให้เราพิสูจน์ข้อความเหล่านี้
ก่อนอื่นเราต้องแน่ใจว่ามี m< a n при условии, что m больше, чем n , и а больше 0 , но меньше 1 .Теперь сравним с нулем разность a m − a n
ลองนำ n ออกจากวงเล็บ หลังจากนั้นผลต่างของเราจะอยู่ในรูป a n · (a m − n − 1) ผลลัพธ์จะเป็นลบ (เนื่องจากผลลัพธ์ของการคูณจำนวนบวกด้วยจำนวนลบจะเป็นลบ) ตามนั้นครับ เงื่อนไขเริ่มต้น, m − n > 0 ดังนั้น a m − n − 1 จะเป็นลบ และตัวประกอบแรกเป็นบวก เช่นเดียวกับพลังธรรมชาติใดๆ ที่มีฐานบวก
ปรากฎว่า a m − a n< 0 и a m < a n . Свойство доказано.
ยังคงต้องพิสูจน์ส่วนที่สองของข้อความข้างต้น: a m > a เป็นจริงสำหรับ m > n และ a > 1 ให้เราระบุความแตกต่างและใส่ n ออกจากวงเล็บ: (a m − n − 1) ค่ากำลังของ n สำหรับค่าที่มากกว่า 1 จะให้ผลลัพธ์ที่เป็นบวก และผลต่างนั้นจะกลายเป็นบวกเนื่องจากเงื่อนไขเริ่มต้น และสำหรับ a > 1 องศา a m − n จะมากกว่าหนึ่ง ปรากฎว่า a m − a n > 0 และ a m > a n ซึ่งเป็นสิ่งที่เราจำเป็นต้องพิสูจน์
ตัวอย่างที่ 13
ตัวอย่างที่มีตัวเลขเฉพาะ: 3 7 > 3 2
คุณสมบัติพื้นฐานขององศาที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม
สำหรับกำลังที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็มบวก สมบัติจะคล้ายกัน เนื่องจากจำนวนเต็มบวกเป็นตัวเลขธรรมชาติ ซึ่งหมายความว่าความเท่าเทียมกันทั้งหมดที่พิสูจน์ข้างต้นเป็นจริงสำหรับค่าเหล่านี้เช่นกัน นอกจากนี้ยังเหมาะสำหรับกรณีที่เลขชี้กำลังเป็นลบหรือเท่ากับศูนย์ (โดยมีเงื่อนไขว่าฐานของดีกรีนั้นไม่ใช่ศูนย์)
ดังนั้น คุณสมบัติของกำลังจะเหมือนกันสำหรับฐาน a และ b ใดๆ (โดยมีเงื่อนไขว่าตัวเลขเหล่านี้เป็นจำนวนจริงและไม่เท่ากับ 0) และเลขยกกำลังใดๆ m และ n (โดยมีเงื่อนไขว่าเป็นจำนวนเต็ม) ให้เราเขียนสั้น ๆ ในรูปแบบของสูตร:
คำจำกัดความ 2
1. ม · ก n = ก ม + n
2. a m: a n = a m − n
3. (ก · ข) n = n · ข n
4. (ก: ข) n = n: ข n
5. (ม.) n = ม. น
6. อัน< b n и a − n >b − n ขึ้นอยู่กับจำนวนเต็มบวก n, บวก a และ b, a< b
07.00 น< a n , при условии целых m и n , m >n และ 0< a < 1 , при a >1 น. > น .
ถ้าฐานของดีกรีเป็นศูนย์ ค่า a m และ a n จะสมเหตุสมผลเฉพาะในกรณีของ m และ n แบบธรรมชาติและแบบบวกเท่านั้น จากผลที่ได้ เราพบว่าสูตรข้างต้นยังเหมาะสำหรับกรณีที่มีกำลังเป็นศูนย์ หากตรงตามเงื่อนไขอื่นๆ ทั้งหมด
การพิสูจน์คุณสมบัติเหล่านี้ในกรณีนี้นั้นง่ายมาก เราจะต้องจำไว้ว่าระดับที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติและจำนวนเต็มคืออะไร รวมถึงคุณสมบัติของการดำเนินการกับจำนวนจริง
ลองดูที่คุณสมบัติยกกำลังแล้วพิสูจน์ว่ามันเป็นจริงสำหรับจำนวนเต็มบวกและไม่ใช่บวก มาเริ่มด้วยการพิสูจน์ความเท่าเทียมกัน (ap) q = a p · q, (a − p) q = a (− p) · q, (ap) − q = a p · (− q) และ (a − p) − q = ก (- p) · (- q)
เงื่อนไข: p = 0 หรือจำนวนธรรมชาติ ถาม – คล้ายกัน
หากค่าของ p และ q มากกว่า 0 เราจะได้ (ap) q = a p · q เราได้พิสูจน์ความเท่าเทียมกันมาก่อนแล้ว ถ้า p = 0 ดังนั้น:
(a 0) q = 1 q = 1 a 0 q = a 0 = 1
ดังนั้น (a 0) q = a 0 q
สำหรับ q = 0 ทุกอย่างจะเหมือนกันทุกประการ:
(เอพี) 0 = 1 เอพี 0 = ก 0 = 1
ผลลัพธ์: (ap) 0 = a p · 0
หากตัวบ่งชี้ทั้งสองเป็นศูนย์ ดังนั้น (a 0) 0 = 1 0 = 1 และ 0 · 0 = a 0 = 1 ซึ่งหมายถึง (a 0) 0 = a 0 · 0
ให้เราระลึกถึงคุณสมบัติของผลหารในระดับที่พิสูจน์แล้วข้างต้นและเขียน:
1 เอ พี คิว = 1 คิว พี คิว
ถ้า 1 p = 1 1 … 1 = 1 และ a p q = a p q แล้ว 1 q a p q = 1 a p q
เราสามารถแปลงสัญกรณ์นี้ได้โดยอาศัยกฎพื้นฐานของการคูณให้เป็น (- p) · q
นอกจากนี้: a p - q = 1 (ap) q = 1 a p · q = a - (p · q) = a p · (- q)
และ (a - p) - q = 1 a p - q = (ap) q = a p q = a (- p) (- q)
คุณสมบัติที่เหลืออยู่ของระดับสามารถพิสูจน์ได้ในลักษณะเดียวกันโดยการเปลี่ยนความไม่เท่าเทียมกันที่มีอยู่ เราจะไม่พูดถึงรายละเอียดนี้ แต่จะชี้ให้เห็นเฉพาะประเด็นที่ยากเท่านั้น
การพิสูจน์คุณสมบัติสุดท้าย: จำไว้ว่า a − n > b − n เป็นจริงสำหรับค่าจำนวนเต็มลบ n และค่าบวก a และ b ใดๆ โดยมีเงื่อนไขว่า a น้อยกว่า b
จากนั้นความไม่เท่าเทียมกันสามารถเปลี่ยนได้ดังนี้:
1 กn > 1 bn
มาเขียนด้านขวาและด้านซ้ายให้เป็นจุดแตกต่างแล้วทำการแปลงที่จำเป็น:
1 a n - 1 b n = b n - a n a n · b n
โปรดจำไว้ว่าในเงื่อนไข a น้อยกว่า b ดังนั้นตามคำจำกัดความของระดับที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ: - a n< b n , в итоге: b n − a n > 0 .
a n · bn กลายเป็นจำนวนบวกเพราะตัวประกอบของมันเป็นบวก เป็นผลให้เรามีเศษส่วน b n - a n a n · bn ซึ่งท้ายที่สุดก็ให้ผลลัพธ์ที่เป็นบวกเช่นกัน ดังนั้น 1 a n > 1 bn โดยที่ a −n > b −n ซึ่งเป็นสิ่งที่เราจำเป็นต้องพิสูจน์
คุณสมบัติสุดท้ายของกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มได้รับการพิสูจน์แล้วในทำนองเดียวกันกับคุณสมบัติของกำลังที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ
คุณสมบัติพื้นฐานของกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะ
ในบทความก่อนหน้านี้ เราดูว่าระดับที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ (เศษส่วน) คืออะไร คุณสมบัติของพวกมันเหมือนกับขององศาที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม มาเขียนกัน:
คำจำกัดความ 3
1. a m 1 n 1 · a m 2 n 2 = a m 1 n 1 + m 2 n 2 สำหรับ a > 0 และถ้า m 1 n 1 > 0 และ m 2 n 2 > 0 ดังนั้นสำหรับ ≥ 0 (คุณสมบัติของผลิตภัณฑ์ องศาที่มีฐานเดียวกัน)
2. a m 1 n 1: b m 2 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2 ถ้า a > 0 (คุณสมบัติผลหาร)
3. a · b m n = a m n · b m n สำหรับ a > 0 และ b > 0 และถ้า m 1 n 1 > 0 และ m 2 n 2 > 0 แล้วสำหรับ a ≥ 0 และ (หรือ) b ≥ 0 (คุณสมบัติของผลิตภัณฑ์ใน ระดับเศษส่วน)
4. a: b m n = a m n: b m n สำหรับ a > 0 และ b > 0 และถ้า m n > 0 ดังนั้นสำหรับ ≥ 0 และ b > 0 (คุณสมบัติของผลหารต่อกำลังเศษส่วน)
5. a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 · m 2 n 2 สำหรับ a > 0 และถ้า m 1 n 1 > 0 และ m 2 n 2 > 0 ดังนั้นสำหรับ ≥ 0 (คุณสมบัติขององศา เป็นองศา)
6.ก< b p при условии любых положительных a и b , a < b и рациональном p при p >0 ; ถ้าหน้า< 0 - a p >b p (คุณสมบัติของการเปรียบเทียบกำลังกับเลขชี้กำลังตรรกยะเท่ากัน)
7.เอพี< a q при условии рациональных чисел p и q , p >q ที่ 0< a < 1 ; если a >0 – เอพี > เอคิว
เพื่อพิสูจน์ข้อกำหนดเหล่านี้ เราต้องจำไว้ว่าดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วนคืออะไร คุณสมบัติของรากเลขคณิตของดีกรีที่ n คืออะไร และคุณสมบัติของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็มคืออะไร มาดูทรัพย์สินแต่ละอย่างกัน
ตามระดับที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วน เราจะได้:
a m 1 n 1 = a m 1 n 1 และ a m 2 n 2 = a m 2 n 2 ดังนั้น a m 1 n 1 · a m 2 n 2 = a m 1 n 1 · a m 2 n 2
คุณสมบัติของรูตจะช่วยให้เราได้รับความเท่าเทียมกัน:
ม. 1 ม. 2 n 1 n 2 น. ม. 2 ม. 1 n 2 n 1 = ม. 1 n 2 น. ม. 2 n 1 n 1 n 2
จากนี้เราจะได้: a m 1 · n 2 · a m 2 · n 1 n 1 · n 2 = a m 1 · n 2 + m 2 · n 1 n 1 · n 2
มาแปลงกัน:
ม. 1 · n 2 · ม. 2 · n 1 n 1 · n 2 = ม. 1 · n 2 + ม. 2 · n 1 n 1 · n 2
เลขชี้กำลังสามารถเขียนได้เป็น:
ม. 1 n 2 + ม. 2 n 1 n 1 n 2 = ม. 1 n 2 n 1 n 2 + ม. 2 n 1 n 1 n 2 = ม. 1 n 1 + ม. 2 n 2
นี่คือข้อพิสูจน์ คุณสมบัติที่สองได้รับการพิสูจน์ในลักษณะเดียวกันทุกประการ มาเขียนห่วงโซ่แห่งความเท่าเทียมกัน:
a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 2: a m 2 n 1 n 1 n 2 = = a m 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 - ม. 2 n 1 n 1 n 2 = ม. 1 n 2 n 1 n 2 - ม. 2 n 1 n 1 n 2 = ม. 1 n 1 - ม. 2 n 2
ข้อพิสูจน์ความเท่าเทียมกันที่เหลืออยู่:
a · b m n = (a · b) m n = a m · b m n = a m n · b m n = a m n · b m n ; (a: b) m n = (a: b) m n = a m: b m n = = a m n: b m n = a m n: b m n ; ม. 1 n 1 ม. 2 n 2 = ม. 1 n 1 ม. 2 n 2 = ม. 1 n 1 ม. 2 n 2 = = ม. 1 ม. 2 n 1 n 2 = ม. 1 ม. 2 n 1 n 2 = = ก. 1 ม. 2 n 2 n 1 = ม. 1 ม. 2 n 2 n 1 = ม. 1 n 1 ม. 2 n 2
คุณสมบัติถัดไป: ให้เราพิสูจน์ว่าสำหรับค่าใด ๆ ของ a และ b ที่มากกว่า 0 ถ้า a น้อยกว่า b p จะเป็นที่น่าพอใจ< b p , а для p больше 0 - a p >บีพี
ลองแทนจำนวนตรรกยะ p เป็น mn กัน ในกรณีนี้ m เป็นจำนวนเต็ม n เป็นจำนวนธรรมชาติ แล้วเงื่อนไข p< 0 и p >0 จะขยายเป็น m< 0 и m >0 . สำหรับ m > 0 และ a< b имеем (согласно свойству степени с целым положительным показателем), что должно выполняться неравенство a m < b m .
เราใช้คุณสมบัติของรากและผลลัพธ์: a m n< b m n
เมื่อคำนึงถึงค่าบวกของ a และ b เราจะเขียนอสมการใหม่เป็น mn< b m n . Оно эквивалентно a p < b p .
ในทำนองเดียวกันสำหรับม< 0 имеем a a m >b m เราได้ a m n > b m n ซึ่งหมายถึง a m n > b m n และ a p > b p
ยังคงเป็นหน้าที่ของเราที่จะต้องแสดงหลักฐานทรัพย์สินสุดท้าย ขอให้เราพิสูจน์ว่าสำหรับจำนวนตรรกยะ p และ q, p > q ที่ 0< a < 1 a p < a q , а при a >0 จะเป็นจริง a p > a q
จำนวนตรรกยะ p และ q สามารถลดลงได้ ตัวส่วนร่วมและได้เศษส่วน m 1 n และ m 2 n
โดยที่ m 1 และ m 2 เป็นจำนวนเต็ม และ n เป็นจำนวนธรรมชาติ ถ้า p > q ดังนั้น m 1 > m 2 (คำนึงถึงกฎสำหรับการเปรียบเทียบเศษส่วน) จากนั้นเวลา 0< a < 1 будет верно a m 1 < a m 2 , а при a >1 – อสมการ a 1 m > a 2 m
สามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:
ม. 1 น< a m 2 n a m 1 n >ม. 2 น
จากนั้นคุณสามารถทำการเปลี่ยนแปลงและจบลงด้วย:
ม. 1 น< a m 2 n a m 1 n >ม. 2 น
สรุป: สำหรับ p > q และ 0< a < 1 верно a p < a q , а при a >0 – เอพี > เอคิว
คุณสมบัติพื้นฐานของกำลังที่มีเลขชี้กำลังไม่ลงตัว
ในระดับนั้นเราสามารถขยายคุณสมบัติทั้งหมดที่อธิบายไว้ข้างต้นว่าระดับที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะมี สิ่งนี้ตามมาจากคำจำกัดความที่เราให้ไว้ในบทความก่อนหน้านี้ ให้เรากำหนดคุณสมบัติเหล่านี้โดยย่อ (เงื่อนไข: a > 0, b > 0, เลขชี้กำลัง p และ q เป็นจำนวนอตรรกยะ):
คำจำกัดความที่ 4
1. a p · a q = a p + q
2. a p: a q = a p − q
3. (ก · ข) พี = ก พี · ข พี
4. (ก: ข) พี = พี: ข พี
5. (ap) q = a p · q
6.ก< b p верно при любых положительных a и b , если a < b и p – иррациональное число больше 0 ; если p меньше 0 , то a p >บีพี
7.เอพี< a q верно, если p и q – иррациональные числа, p < q , 0 < a < 1 ; если a >0 แล้ว a p > a q
ดังนั้น กำลังทั้งหมดที่เลขชี้กำลัง p และ q เป็นจำนวนจริง โดยที่ a > 0 จะมีคุณสมบัติเหมือนกัน
หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter
แนวคิดเรื่องปริญญาทางคณิตศาสตร์ถูกนำมาใช้ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 ในชั้นเรียนพีชคณิต และต่อมาตลอดหลักสูตรการศึกษาคณิตศาสตร์แนวคิดนี้ถูกนำมาใช้อย่างแข็งขันในรูปแบบต่างๆ องศาเป็นหัวข้อที่ค่อนข้างยากซึ่งต้องจดจำค่าและความสามารถในการนับอย่างถูกต้องและรวดเร็ว เพื่อให้ทำงานกับปริญญาได้เร็วและดีขึ้น นักคณิตศาสตร์จึงได้คุณสมบัติปริญญาขึ้นมา ช่วยลดการคำนวณจำนวนมาก แปลงตัวอย่างใหญ่ ๆ ให้เป็นตัวเลขตัวเดียวได้ในระดับหนึ่ง มีคุณสมบัติไม่มากนัก และทั้งหมดง่ายต่อการจดจำและนำไปใช้ในทางปฏิบัติ ดังนั้นบทความนี้จะกล่าวถึงคุณสมบัติพื้นฐานของปริญญารวมถึงตำแหน่งที่จะนำไปใช้
คุณสมบัติของปริญญา
เราจะดูคุณสมบัติขององศาทั้ง 12 แบบ รวมถึงคุณสมบัติขององศาที่มีฐานเดียวกันด้วย และยกตัวอย่างคุณสมบัติแต่ละอย่าง คุณสมบัติแต่ละอย่างเหล่านี้จะช่วยให้คุณแก้ปัญหาด้วยองศาได้เร็วขึ้น และยังช่วยให้คุณประหยัดจากข้อผิดพลาดในการคำนวณมากมายอีกด้วย
คุณสมบัติที่ 1
หลายๆ คนมักลืมคุณสมบัตินี้และทำผิดพลาด โดยแสดงตัวเลขยกกำลังเป็นศูนย์
ทรัพย์สินที่ 2.
ทรัพย์สินที่ 3.
ต้องจำไว้ว่าคุณสมบัตินี้สามารถใช้ได้เฉพาะเมื่อคูณตัวเลขเท่านั้น แต่จะใช้งานไม่ได้เมื่อทำการรวม! และเราต้องไม่ลืมว่าคุณสมบัตินี้และคุณสมบัติต่อไปนี้ใช้เฉพาะกับกำลังที่มีฐานเดียวกันเท่านั้น
คุณสมบัติที่ 4.
หากตัวเลขในตัวส่วนถูกยกกำลังเป็นลบ จากนั้นเมื่อลบออก ระดับของตัวส่วนจะถูกใส่ในวงเล็บเพื่อเปลี่ยนเครื่องหมายอย่างถูกต้องในการคำนวณเพิ่มเติม
คุณสมบัติใช้งานได้เฉพาะเมื่อหารเท่านั้น ไม่สามารถใช้เมื่อลบ!
ทรัพย์สินที่ 5.
ทรัพย์สินที่ 6.
คุณสมบัตินี้ยังสามารถนำมาใช้กับ ด้านหลัง- หน่วยที่หารด้วยตัวเลขในระดับหนึ่งก็คือตัวเลขนั้นยกกำลังลบ
ทรัพย์สินที่ 7.
คุณสมบัตินี้ไม่สามารถใช้กับผลรวมและส่วนต่างได้! การเพิ่มผลรวมหรือส่วนต่างให้เป็นกำลังใช้สูตรการคูณแบบย่อ แทนที่จะเป็นคุณสมบัติกำลัง
ทรัพย์สินที่ 8.
ทรัพย์สินที่ 9.
คุณสมบัตินี้ใช้ได้กับเศษส่วนยกกำลังใดๆ ที่มีตัวเศษ เท่ากับหนึ่งสูตรจะเหมือนกัน เฉพาะดีกรีของรูตเท่านั้นที่จะเปลี่ยนขึ้นอยู่กับตัวส่วนของดีกรี
คุณสมบัตินี้มักใช้ในทางกลับกัน รากของยกกำลังใดๆ ของตัวเลขสามารถแสดงเป็นจำนวนนี้ยกกำลังหนึ่งหารด้วยยกกำลังของราก คุณสมบัตินี้มีประโยชน์มากในกรณีที่ไม่สามารถแยกรากของตัวเลขได้
ทรัพย์สินที่ 10.
คุณสมบัตินี้ใช้ได้ผลไม่เฉพาะกับ รากที่สองและระดับที่สอง ถ้าระดับของรากและระดับของรากนี้ที่ยกขึ้นตรงกัน คำตอบจะเป็นการแสดงออกถึงรากศัพท์
ทรัพย์สินที่ 11.
คุณต้องสามารถเห็นคุณสมบัตินี้ได้ทันเวลาเมื่อทำการแก้ไขเพื่อช่วยตัวเองจากการคำนวณจำนวนมาก
ทรัพย์สินที่ 12.
แต่ละคุณสมบัติเหล่านี้จะถูกพบมากกว่าหนึ่งครั้งในงาน; รูปแบบบริสุทธิ์และอาจต้องมีการแปลงบางอย่างและการประยุกต์สูตรอื่นๆ ดังนั้นเพื่อ การตัดสินใจที่ถูกต้องการรู้เพียงคุณสมบัติอย่างเดียวนั้นไม่เพียงพอ คุณต้องฝึกฝนและนำความรู้ทางคณิตศาสตร์อื่นๆ มาใช้ด้วย
การประยุกต์ปริญญาและคุณสมบัติ
มีการใช้อย่างแข็งขันในพีชคณิตและเรขาคณิต องศาในวิชาคณิตศาสตร์มีสถานที่สำคัญแยกต่างหาก ด้วยความช่วยเหลือของพวกเขา สมการเอ็กซ์โพเนนเชียลและอสมการได้รับการแก้ไข และสมการและตัวอย่างที่เกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์สาขาอื่นๆ มักจะซับซ้อนด้วยกำลัง อำนาจช่วยหลีกเลี่ยงการคำนวณขนาดใหญ่และยาว อำนาจจะง่ายต่อการย่อและคำนวณ แต่ในการทำงานกับพลังขนาดใหญ่หรือพลังจำนวนมาก คุณจำเป็นต้องรู้ไม่เพียงแต่คุณสมบัติของพลังเท่านั้น แต่ยังต้องทำงานกับฐานอย่างเชี่ยวชาญด้วยเพื่อให้สามารถขยายพวกมันเพื่อทำให้งานของคุณง่ายขึ้น เพื่อความสะดวกคุณควรรู้ความหมายของตัวเลขที่ยกกำลังด้วย วิธีนี้จะช่วยลดเวลาในการแก้ไข และลดความจำเป็นในการคำนวณที่ยืดเยื้อ
แนวคิดเรื่องดีกรีมีบทบาทพิเศษในลอการิทึม เนื่องจากโดยพื้นฐานแล้วลอการิทึมคือกำลังของตัวเลข
สูตรคูณแบบย่อเป็นอีกตัวอย่างหนึ่งของการใช้กำลัง ไม่สามารถใช้คุณสมบัติขององศาได้ แต่จะขยายตามกฎพิเศษ แต่ในแต่ละสูตรของการคูณแบบย่อจะมีองศาคงที่
องศายังถูกนำมาใช้อย่างแข็งขันในวิชาฟิสิกส์และวิทยาการคอมพิวเตอร์ การแปลงเป็นระบบ SI ทั้งหมดเกิดขึ้นโดยใช้กำลัง และในอนาคต เมื่อแก้ไขปัญหา คุณสมบัติของกำลังจะถูกใช้ ในวิทยาการคอมพิวเตอร์ มีการใช้กำลังสองอย่างแข็งขันเพื่อความสะดวกในการนับและทำให้การรับรู้ตัวเลขง่ายขึ้น การคำนวณเพิ่มเติมสำหรับการแปลงหน่วยการวัดหรือการคำนวณปัญหา เช่นเดียวกับในฟิสิกส์ เกิดขึ้นโดยใช้คุณสมบัติขององศา
องศายังมีประโยชน์อย่างมากในดาราศาสตร์ โดยที่คุณไม่ค่อยเห็นการใช้คุณสมบัติขององศา แต่องศานั้นกลับถูกใช้อย่างแข็งขันเพื่อทำให้สัญลักษณ์ของปริมาณและระยะทางต่างๆ สั้นลง
องศาก็ใช้เช่นกัน ชีวิตธรรมดา,เมื่อคำนวณพื้นที่ ปริมาตร ระยะทาง
องศาใช้ในการบันทึกปริมาณมากและน้อยมากในสาขาวิทยาศาสตร์ใดๆ
สมการเลขชี้กำลังและอสมการ
สถานที่พิเศษคุณสมบัติของระดับครอบครองอย่างแม่นยำ สมการเลขชี้กำลังและความไม่เท่าเทียมกัน งานเหล่านี้เป็นเรื่องปกติมาก ทั้งในหลักสูตรของโรงเรียนและในการสอบ ทั้งหมดนี้แก้ไขได้โดยการนำคุณสมบัติของดีกรีไปใช้ สิ่งที่ไม่ทราบนั้นมักจะพบได้ในระดับนั้น ดังนั้นการรู้คุณสมบัติทั้งหมด การแก้สมการหรืออสมการดังกล่าวจึงไม่ใช่เรื่องยาก
หลังจากกำหนดกำลังของตัวเลขแล้ว ก็มีเหตุผลที่จะพูดถึง คุณสมบัติระดับ- ในบทความนี้ เราจะกล่าวถึงคุณสมบัติพื้นฐานของกำลังของตัวเลข พร้อมทั้งกล่าวถึงเลขชี้กำลังที่เป็นไปได้ทั้งหมด ที่นี่เราจะแสดงหลักฐานคุณสมบัติทั้งหมดขององศา และยังแสดงให้เห็นว่าคุณสมบัติเหล่านี้ถูกนำมาใช้อย่างไรในการแก้ตัวอย่าง
การนำทางหน้า
คุณสมบัติขององศาที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ
ตามคำนิยามของกำลังที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ กำลัง a n คือผลคูณของตัวประกอบ n ซึ่งแต่ละตัวจะเท่ากับ a ตามคำจำกัดความนี้และยังใช้ คุณสมบัติของการคูณจำนวนจริงเราสามารถรับและพิสูจน์สิ่งต่อไปนี้ได้ คุณสมบัติของระดับด้วยเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ:
- คุณสมบัติหลักของระดับ a m ·a n =a m+n ลักษณะทั่วไปของมัน
- คุณสมบัติของกำลังหารที่มีฐานเท่ากัน a m:a n =a m−n ;
- คุณสมบัติกำลังของผลิตภัณฑ์ (a·b) n =a n ·b n ส่วนขยาย;
- คุณสมบัติของผลหารในระดับธรรมชาติ (a:b) n =a n:b n ;
- เพิ่มระดับเป็นกำลัง (a m) n =a m·n ลักษณะทั่วไปของมัน (((ไม่มี 1) ไม่มี 2) …) n k =มี 1 ·n 2 ·…·n k;
- การเปรียบเทียบระดับกับศูนย์:
- ถ้า a>0 แล้ว n>0 สำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ n;
- ถ้า a=0 ดังนั้น a n =0;
- ถ้าก<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 ถ้า<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
- ถ้า a และ b เป็นจำนวนบวก และ a
- ถ้า m และ n เป็นจำนวนธรรมชาติเช่น m>n แล้วจะเป็น 0
- ถ้า m และ n เป็นจำนวนธรรมชาติเช่น m>n แล้วจะเป็น 0
ให้เราทราบทันทีว่าความเท่าเทียมกันที่เป็นลายลักษณ์อักษรทั้งหมดนั้น เหมือนกันภายใต้เงื่อนไขที่กำหนด สามารถเปลี่ยนทั้งชิ้นส่วนด้านขวาและด้านซ้ายได้ ตัวอย่างเช่น คุณสมบัติหลักของเศษส่วน a m ·a n =a m+n ด้วย ลดความซับซ้อนของการแสดงออกมักใช้ในรูปแบบ a m+n =a m ·a n
ทีนี้มาดูรายละเอียดแต่ละรายการกัน
เริ่มจากคุณสมบัติของผลคูณของกำลังสองที่มีฐานเดียวกันซึ่งเรียกว่า ทรัพย์สินหลักของการศึกษาระดับปริญญา: สำหรับจำนวนจริง a และจำนวนธรรมชาติใดๆ m และ n ความเท่าเทียมกัน a m ·a n =a m+n เป็นจริง
ให้เราพิสูจน์คุณสมบัติหลักของดีกรี จากคำนิยามของกำลังที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ ผลคูณของกำลังที่มีฐานเดียวกันในรูปแบบ a m ·a n สามารถเขียนเป็นผลคูณได้ เนื่องจากคุณสมบัติของการคูณจึงสามารถเขียนนิพจน์ผลลัพธ์ได้เป็น 
และผลคูณนี้คือกำลังของจำนวน a โดยมีเลขชี้กำลังธรรมชาติ m+n นั่นคือ m+n เป็นการเสร็จสิ้นการพิสูจน์
ให้เรายกตัวอย่างเพื่อยืนยันคุณสมบัติหลักของปริญญา ลองหาองศาที่มีฐาน 2 และกำลังธรรมชาติ 2 และ 3 เท่ากัน โดยใช้คุณสมบัติพื้นฐานขององศา เราสามารถเขียนความเท่าเทียมกันได้ 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 มาตรวจสอบความถูกต้องโดยการคำนวณค่าของนิพจน์ 2 2 · 2 3 และ 2 5 . เรามีการยกกำลัง 2 2 ·2 3 =(2·2)·(2·2·2)=4·8=32และ 2 5 =2·2·2·2·2=32 เนื่องจากได้รับค่าเท่ากัน ความเท่าเทียมกัน 2 2 ·2 3 =2 5 จึงมีความถูกต้อง และยืนยันคุณสมบัติหลักของดีกรี
สมบัติพื้นฐานของดีกรีซึ่งขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของการคูณ สามารถนำมาสรุปเป็นผลคูณของกำลังสามตัวขึ้นไปที่มีฐานและเลขชี้กำลังธรรมชาติเท่ากัน ดังนั้นสำหรับจำนวน k ใดๆ ของจำนวนธรรมชาติ n 1, n 2, …, n k ความเท่าเทียมกันจะเป็นจริง ไม่มี 1 ·ไม่มี 2 ·…·ไม่มี k =ไม่มี 1 +n 2 +…+n k.
ตัวอย่างเช่น, (2,1) 3 ·(2,1) 3 ·(2,1) 4 ·(2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .
เราสามารถไปยังคุณสมบัติต่อไปของกำลังด้วยเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ – คุณสมบัติของกำลังหารที่มีฐานเดียวกัน: สำหรับจำนวนจริงที่ไม่ใช่ศูนย์ใดๆ a และจำนวนธรรมชาติใดๆ m และ n ที่ตรงตามเงื่อนไข m>n ความเท่าเทียมกัน a m:a n =a m−n เป็นจริง
ก่อนที่จะนำเสนอหลักฐานของคุณสมบัตินี้ ให้เราหารือเกี่ยวกับความหมายของเงื่อนไขเพิ่มเติมในสูตร เงื่อนไข a≠0 เป็นสิ่งจำเป็นเพื่อหลีกเลี่ยงการหารด้วยศูนย์ เนื่องจาก 0 n =0 และเมื่อเราคุ้นเคยกับการหาร เราก็ตกลงกันว่าเราไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้ มีการแนะนำเงื่อนไข m>n เพื่อที่เราจะได้ไม่ไปไกลกว่าเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ อันที่จริง สำหรับ m>n เลขชี้กำลัง m−n จะเป็นจำนวนธรรมชาติ ไม่เช่นนั้นมันจะเป็นศูนย์ (ซึ่งเกิดขึ้นสำหรับ m−n ) หรือจำนวนลบ (ซึ่งเกิดขึ้นสำหรับ m การพิสูจน์. คุณสมบัติหลักของเศษส่วนช่วยให้เราเขียนความเท่าเทียมกันได้ a m−n ·a n =a (m−n)+n =a m- จากผลลัพธ์ความเท่าเทียมกัน a m−n ·a n =a m และตามมาว่า m−n คือผลหารของกำลัง a m และ a n สิ่งนี้พิสูจน์คุณสมบัติของกำลังหารที่มีฐานเหมือนกัน ลองยกตัวอย่าง ลองหาสององศาด้วยฐานเดียวกัน π และเลขชี้กำลังธรรมชาติ 5 และ 2 ความเท่าเทียมกัน π 5:π 2 =π 5−3 =π 3 สอดคล้องกับคุณสมบัติของระดับที่พิจารณา ทีนี้ลองมาพิจารณากัน คุณสมบัติพลังงานของผลิตภัณฑ์: กำลังธรรมชาติ n ผลคูณของจำนวนจริงสองตัว a และ b เท่ากับผลคูณของกำลัง a n และ b n นั่นคือ (a·b) n =a n ·b n แท้จริงแล้ว ตามนิยามของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติที่เรามี นี่คือตัวอย่าง: คุณสมบัตินี้ขยายไปถึงพลังของผลิตภัณฑ์ของปัจจัยตั้งแต่สามตัวขึ้นไป นั่นคือคุณสมบัติของระดับธรรมชาติ n ของผลิตภัณฑ์ของปัจจัย k เขียนเป็น (ก 1 ·a 2 ·…·ak) n =a 1 n ·a 2 n ·…·ak n. เพื่อความชัดเจน เราจะแสดงคุณสมบัตินี้พร้อมตัวอย่าง สำหรับผลคูณของตัวประกอบ 3 ตัวยกกำลัง 7 เราได้ ทรัพย์สินดังต่อไปนี้คือ คุณสมบัติของผลหารชนิด: ผลหารของจำนวนจริง a และ b, b≠0 เทียบกับกำลังธรรมชาติ n เท่ากับผลหารของกำลัง a n และ b n นั่นคือ (a:b) n =a n:b n การพิสูจน์สามารถดำเนินการได้โดยใช้คุณสมบัติก่อนหน้า ดังนั้น (ก:ข) n ข n =((a:b) ข) n =a nและจากความเท่าเทียมกัน (a:b) n ·b n =a n ตามมาว่า (a:b) n คือผลหารของ a n หารด้วย b n ลองเขียนคุณสมบัตินี้โดยใช้ตัวเลขเฉพาะเป็นตัวอย่าง: ตอนนี้ขอเสียงมัน คุณสมบัติของการเพิ่มพลังให้เป็นพลัง: สำหรับจำนวนจริง a ใดๆ และจำนวนธรรมชาติใดๆ m และ n กำลังของ m กำลังของ n เท่ากับกำลังของจำนวน a ที่มีเลขชี้กำลัง m·n นั่นคือ (a m) n =a m·n เช่น (5 2) 3 =5 2·3 =5 6 การพิสูจน์คุณสมบัติกำลังต่อระดับคือสายโซ่แห่งความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้: ทรัพย์สินที่พิจารณาสามารถขยายออกไปได้ระดับหนึ่งไปอีกระดับหนึ่ง ฯลฯ ตัวอย่างเช่น สำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ p, q, r และ s ความเท่าเทียมกัน ยังคงต้องอาศัยคุณสมบัติของการเปรียบเทียบองศากับเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ เริ่มต้นด้วยการพิสูจน์คุณสมบัติของการเปรียบเทียบศูนย์และกำลังกับเลขชี้กำลังธรรมชาติ ก่อนอื่น ลองพิสูจน์ว่า a n >0 สำหรับ a>0 ใดๆ ผลคูณของจำนวนบวกสองตัวคือจำนวนบวก ตามนิยามของการคูณได้ดังนี้ ข้อเท็จจริงนี้และคุณสมบัติของการคูณบ่งบอกว่าผลลัพธ์ของการคูณจำนวนบวกใดๆ จะเป็นจำนวนบวกด้วย และกำลังของจำนวน a ที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติ n ตามนิยามแล้ว คือผลคูณของตัวประกอบ n ซึ่งแต่ละตัวจะเท่ากับ a อาร์กิวเมนต์เหล่านี้ทำให้เราบอกได้ว่าสำหรับฐานบวก a ใดๆ ระดับ a n จะเป็นจำนวนบวก เนื่องจากคุณสมบัติที่พิสูจน์แล้ว 3 5 >0, (0.00201) 2 >0 และ เห็นได้ชัดว่าสำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ n ที่มี a=0 ระดับของ n จะเป็นศูนย์ แท้จริงแล้ว 0 n =0·0·…·0=0 ตัวอย่างเช่น 0 3 =0 และ 0 762 =0 มาดูฐานลบของดีกรีกัน เริ่มต้นด้วยกรณีที่เลขยกกำลังเป็นเลขคู่ ลองเขียนเป็น 2·m โดยที่ m เป็นจำนวนธรรมชาติ แล้ว สุดท้าย เมื่อฐาน a เป็นจำนวนลบและเลขชี้กำลังเป็นเลขคี่ 2 m−1 มาดูคุณสมบัติของการเปรียบเทียบกำลังกับเลขชี้กำลังตามธรรมชาติที่เหมือนกัน ซึ่งมีสูตรดังนี้: ของกำลังสองที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติเหมือนกัน n จะน้อยกว่าค่าที่มีฐานน้อยกว่า และค่าที่มากกว่าคือค่าที่มีฐานใหญ่กว่า . มาพิสูจน์กัน ความไม่เท่าเทียมกัน คุณสมบัติของความไม่เท่าเทียมกันอสมการที่พิสูจน์ได้ของรูปแบบ a n ก็เป็นจริงเช่นกัน . ยังคงต้องพิสูจน์คุณสมบัติสุดท้ายของรายการพลังด้วยเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ มากำหนดกัน ของกำลังสองที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติและฐานบวกเหมือนกันน้อยกว่าหนึ่ง โดยที่เลขชี้กำลังน้อยกว่าจะใหญ่กว่า และกำลังสองที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติและมีฐานเท่ากันมากกว่าหนึ่ง โดยที่เลขชี้กำลังมากกว่าจะใหญ่กว่า ให้เราดำเนินการพิสูจน์ทรัพย์สินนี้ต่อไป ให้เราพิสูจน์ว่าสำหรับ m>n และ 0 ยังคงต้องพิสูจน์ส่วนที่สองของทรัพย์สิน ขอให้เราพิสูจน์ว่าสำหรับ m>n และ a>1 a m >a n เป็นจริง ความแตกต่าง a m −a n หลังจากนำ n ออกจากวงเล็บจะมีรูปแบบ a n ·(a m−n −1) ผลคูณนี้เป็นค่าบวก เนื่องจากสำหรับ a>1 องศา a n เป็นจำนวนบวก และผลต่าง m−n −1 เป็นจำนวนบวก เนื่องจาก m−n>0 เนื่องจากสภาวะเริ่มต้น และสำหรับ a>1 องศา m−n มากกว่าหนึ่ง ดังนั้น a m −a n >0 และ a m >a n ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องได้รับการพิสูจน์ คุณสมบัตินี้แสดงด้วยความไม่เท่าเทียมกัน 3 7 >3 2
- ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของการคูณ ผลคูณสุดท้ายสามารถเขียนใหม่ได้เป็น 
ซึ่งเท่ากับ a n · bn
.
.
.
- เพื่อความชัดเจนยิ่งขึ้น นี่คือตัวอย่างที่มีตัวเลขเฉพาะ: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10
.
.
- สำหรับแต่ละผลคูณของรูปแบบ a·a เท่ากับผลคูณของโมดูลัสของตัวเลข a และ a ซึ่งหมายความว่ามันเป็นจำนวนบวก ดังนั้นสินค้าก็จะเป็นบวกเช่นกัน 
และองศา 2·ม. ลองยกตัวอย่าง: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 และ
- ผลคูณทั้งหมด a·a เป็นจำนวนบวก ผลคูณของจำนวนบวกเหล่านี้ก็เป็นค่าบวกเช่นกัน และการคูณด้วยจำนวนลบที่เหลือจะได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนลบ เนื่องจากคุณสมบัตินี้ (−5) 3<0
, (−0,003) 17 <0
и 
.
คุณสมบัติของกำลังที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม
เนื่องจากจำนวนเต็มบวกเป็นจำนวนธรรมชาติ ดังนั้น คุณสมบัติของกำลังที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็มบวกจึงตรงกันทุกประการกับคุณสมบัติของกำลังที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติอยู่ในรายการและพิสูจน์แล้วในย่อหน้าก่อนหน้า
เรากำหนดดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเป็นลบจำนวนเต็ม เช่นเดียวกับดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเป็นศูนย์ ในลักษณะที่คุณสมบัติทั้งหมดขององศาที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติซึ่งแสดงด้วยความเท่ากัน ยังคงใช้ได้ ดังนั้น คุณสมบัติทั้งหมดนี้ใช้ได้กับทั้งเลขชี้กำลังที่เป็นศูนย์และเลขชี้กำลังที่เป็นลบ ในขณะที่ฐานของกำลังนั้นแตกต่างจากศูนย์แน่นอน
ดังนั้น สำหรับจำนวนจริงและจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์ใดๆ a และ b รวมถึงจำนวนเต็มใดๆ m และ n สิ่งต่อไปนี้จะเป็นจริง: คุณสมบัติของกำลังที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม:
- มี ม ·มี n =มี ม+n ;
- a m:a n =a m−n ;
- (ก·ข) n =a n ·b n ;
- (ก:ข) n =ก n:b n ;
- (ม.) n =ม.n ;
- ถ้า n เป็นจำนวนเต็มบวก a และ b เป็นจำนวนบวก และ a ข−n ;
- ถ้า m และ n เป็นจำนวนเต็ม และ m>n แล้วจะเป็น 0
เมื่อ a=0 ยกกำลัง a m และ a n จะสมเหตุสมผลก็ต่อเมื่อทั้ง m และ n เป็นจำนวนเต็มบวก ซึ่งก็คือจำนวนธรรมชาติ ดังนั้น คุณสมบัติที่เพิ่งเขียนลงไปยังใช้ได้กับกรณีที่ a=0 และตัวเลข m และ n เป็นจำนวนเต็มบวก
การพิสูจน์คุณสมบัติแต่ละอย่างไม่ใช่เรื่องยาก ในการทำเช่นนี้ ก็เพียงพอแล้วที่จะใช้คำจำกัดความขององศากับเลขชี้กำลังธรรมชาติและจำนวนเต็ม รวมถึงคุณสมบัติของการดำเนินการด้วยจำนวนจริง ตามตัวอย่าง ขอให้เราพิสูจน์ว่าคุณสมบัติยกกำลังมีทั้งจำนวนเต็มบวกและจำนวนเต็มที่ไม่ใช่บวก ในการทำเช่นนี้ คุณต้องแสดงว่าถ้า p เป็นศูนย์หรือเป็นจำนวนธรรมชาติ และ q เป็นศูนย์หรือเป็นจำนวนธรรมชาติ แล้วความเท่าเทียมกัน (ap) q =a p·q, (a −p) q =a (−p) ·q, (ap ) −q =a p·(−q) และ (a −p) −q =a (−p)·(−q)- มาทำสิ่งนี้กันเถอะ
สำหรับค่าบวกของ p และ q ความเท่าเทียมกัน (ap) q =a p·q ได้รับการพิสูจน์แล้วในย่อหน้าก่อนหน้า ถ้า p=0 เราจะได้ (a 0) q =1 q =1 และ 0·q =a 0 =1 ดังนั้น (a 0) q =a 0·q ในทำนองเดียวกัน ถ้า q=0 แล้ว (ap) 0 =1 และ a p·0 =a 0 =1 ดังนั้น (ap) 0 =a p·0 ถ้าทั้ง p=0 และ q=0 ดังนั้น (a 0) 0 =1 0 =1 และ 0·0 =a 0 =1 ดังนั้น (a 0) 0 =a 0·0
ตอนนี้เราพิสูจน์แล้วว่า (a −p) q =a (−p)·q โดยนิยามยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังจำนวนเต็มลบแล้ว 
- โดยคุณสมบัติของผลหารต่อกำลังที่เรามี 
- ตั้งแต่ 1 p =1·1·…·1=1 และ จากนั้น . ตามนิยามแล้ว นิพจน์สุดท้ายคือกำลังที่อยู่ในรูป a −(p·q) ซึ่งสามารถเขียนได้เป็น (−p)·q เนื่องจากกฎการคูณ
เช่นเดียวกัน 
.
และ 
.
เมื่อใช้หลักการเดียวกัน คุณสามารถพิสูจน์คุณสมบัติอื่นๆ ทั้งหมดของดีกรีด้วยเลขชี้กำลังจำนวนเต็มซึ่งเขียนในรูปของความเท่ากันได้
ในช่วงสุดท้ายของคุณสมบัติที่บันทึกไว้ ควรพิจารณาการพิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกัน a −n >b −n ซึ่งใช้ได้กับจำนวนเต็มลบใดๆ −n และค่าบวก a และ b ใดๆ ที่เป็นไปตามเงื่อนไข a - เนื่องจากตามเงื่อนไข ก 0 . ผลคูณ a n · bn ยังเป็นผลบวกเป็นผลคูณของจำนวนบวก a n และ bn จากนั้นเศษส่วนที่ได้จะเป็นค่าบวกเป็นผลหารของจำนวนบวก b n −a n และ a n ·b n ดังนั้น a −n >b −n จึงเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องพิสูจน์
คุณสมบัติสุดท้ายของกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มได้รับการพิสูจน์ในลักษณะเดียวกับคุณสมบัติของกำลังที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติที่คล้ายคลึงกัน
คุณสมบัติของกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะ
เรากำหนดดีกรีด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วนโดยการขยายคุณสมบัติของดีกรีด้วยเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม กล่าวอีกนัยหนึ่ง กำลังที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วนจะมีคุณสมบัติเหมือนกับกำลังที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม กล่าวคือ:
การพิสูจน์คุณสมบัติขององศาที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วนนั้นขึ้นอยู่กับคำจำกัดความขององศาที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วน และคุณสมบัติขององศาที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม ให้เราแสดงหลักฐาน
โดยนิยามกำลังด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วน และ แล้ว 
- คุณสมบัติของรากเลขคณิตช่วยให้เราสามารถเขียนความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้ นอกจากนี้ เมื่อใช้คุณสมบัติของดีกรีกับเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม เราได้รับ ซึ่งจากคำจำกัดความของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วน เราได้ 
และตัวบ่งชี้ระดับที่ได้รับสามารถแปลงได้ดังนี้: เป็นการเสร็จสิ้นการพิสูจน์
คุณสมบัติที่สองของกำลังที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วนได้รับการพิสูจน์ในลักษณะที่คล้ายกันอย่างยิ่ง: 
ความเท่าเทียมกันที่เหลือได้รับการพิสูจน์โดยใช้หลักการที่คล้ายกัน: 
เรามาพิสูจน์คุณสมบัติต่อไปกันดีกว่า ลองพิสูจน์ว่าสำหรับค่าบวก a และ b, a ใดๆ บีพี ลองเขียนจำนวนตรรกยะ p เป็น m/n โดยที่ m เป็นจำนวนเต็ม และ n เป็นจำนวนธรรมชาติ เงื่อนไขหน้า<0 и p>0 ในกรณีนี้คือเงื่อนไข m<0 и m>0 ตามนั้น สำหรับ m>0 และ a
ในทำนองเดียวกันสำหรับม<0 имеем a m >b m จากที่ไหน นั่นคือ และ a p >b p
ยังคงต้องพิสูจน์คุณสมบัติสุดท้ายที่ระบุไว้ ขอให้เราพิสูจน์ว่าสำหรับจำนวนตรรกยะ p และ q, p>q ที่ 0 
และ 
- และคำจำกัดความของระดับด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะช่วยให้เราสามารถก้าวไปสู่ความไม่เท่าเทียมกันได้และตามลำดับ จากที่นี่เราได้ข้อสรุปสุดท้าย: สำหรับ p>q และ 0
คุณสมบัติของกำลังที่มีเลขชี้กำลังไม่ลงตัว
จากวิธีการกำหนดดีกรีที่มีเลขชี้กำลังแบบไม่ลงตัว เราสามารถสรุปได้ว่าปริญญามีคุณสมบัติทั้งหมดขององศาที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ ดังนั้นสำหรับ a>0, b>0 และจำนวนอตรรกยะใดๆ p และ q สิ่งต่อไปนี้จะเป็นจริง คุณสมบัติของกำลังที่มีเลขชี้กำลังไม่ลงตัว:
- a p ·a q = a p+q ;
- a p:a q = a p−q ;
- (ก·ข) พี =เอ พี ·บี พี ;
- (ก:ข) พี =เอ พี:บี พี ;
- (ap) q = a p·q ;
- สำหรับจำนวนบวกใดๆ a และ b, a 0 ความไม่เท่าเทียมกัน a p บีพี ;
- สำหรับจำนวนอตรรกยะ p และ q, p>q ที่ 0
จากนี้เราสามารถสรุปได้ว่ากำลังที่มีเลขชี้กำลังจริง p และ q สำหรับ a>0 มีคุณสมบัติเหมือนกัน
อ้างอิง.
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburgd S.I. หนังสือเรียนคณิตศาสตร์ ป.5 สถาบันการศึกษา
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. พีชคณิต: หนังสือเรียนสำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 สถาบันการศึกษา
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. พีชคณิต: หนังสือเรียนสำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 สถาบันการศึกษา
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. พีชคณิต: หนังสือเรียนสำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 สถาบันการศึกษา
- โคลโมโกรอฟ เอ.เอ็น., อับรามอฟ เอ.เอ็ม., ดุดนิตซิน ยู.พี. และอื่น ๆ พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: หนังสือเรียนสำหรับเกรด 10 - 11 ของสถาบันการศึกษาทั่วไป
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. คณิตศาสตร์ (คู่มือสำหรับผู้เข้าโรงเรียนเทคนิค)