ในบทนี้ เราจะนึกถึงคุณสมบัติพื้นฐานของการดำเนินการกับตัวเลข เราจะไม่เพียงแต่ตรวจสอบคุณสมบัติพื้นฐานเท่านั้น แต่ยังเรียนรู้วิธีนำไปใช้กับจำนวนตรรกยะด้วย เราจะรวบรวมความรู้ทั้งหมดที่ได้รับจากการแก้ตัวอย่าง
คุณสมบัติพื้นฐานของการดำเนินการด้วยตัวเลข:
คุณสมบัติสองประการแรกเป็นคุณสมบัติของการบวก สองคุณสมบัติถัดไปเป็นคุณสมบัติของการคูณ คุณสมบัติที่ห้าใช้กับการดำเนินงานทั้งสอง
ไม่มีอะไรใหม่ในคุณสมบัติเหล่านี้ ใช้ได้กับทั้งจำนวนธรรมชาติและจำนวนเต็ม นอกจากนี้ยังเป็นจริงสำหรับจำนวนตรรกยะด้วย และจะเป็นจริงสำหรับตัวเลขที่เราจะศึกษาต่อไป (เช่น จำนวนอตรรกยะ)
คุณสมบัติการเรียงสับเปลี่ยน:
การจัดเรียงข้อกำหนดหรือปัจจัยใหม่จะไม่ทำให้ผลลัพธ์เปลี่ยนแปลง
คุณสมบัติรวมกัน:, .
การบวกหรือคูณตัวเลขหลายตัวสามารถทำได้ในลำดับใดก็ได้
คุณสมบัติการกระจาย:.
คุณสมบัติเชื่อมโยงทั้งการดำเนินการ - การบวกและการคูณ นอกจากนี้หากอ่านจากซ้ายไปขวาจะเรียกว่ากฎการเปิดวงเล็บและถ้าเข้า ด้านหลัง- กฎของการเอาตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ
คุณสมบัติสองประการต่อไปนี้อธิบาย องค์ประกอบที่เป็นกลางสำหรับการบวกและการคูณ: การบวกศูนย์และการคูณด้วยหนึ่งจะไม่ทำให้ตัวเลขเดิมเปลี่ยนไป
คุณสมบัติอีกสองประการที่อธิบาย องค์ประกอบสมมาตรสำหรับการบวกและการคูณผลรวม ตัวเลขตรงข้ามเท่ากับศูนย์ ผลคูณของจำนวนกลับมีค่าเท่ากับหนึ่ง
คุณสมบัติถัดไป: . หากตัวเลขคูณด้วยศูนย์ ผลลัพธ์จะเป็นศูนย์เสมอ
คุณสมบัติสุดท้ายที่เราจะดูคือ: .
คูณตัวเลขด้วย เราจะได้จำนวนตรงกันข้าม ที่พักแห่งนี้มีคุณสมบัติพิเศษ คุณสมบัติอื่นๆ ทั้งหมดที่ถือว่าไม่สามารถพิสูจน์ได้โดยใช้คุณสมบัติอื่นๆ คุณสมบัติเดียวกันสามารถพิสูจน์ได้โดยใช้คุณสมบัติก่อนหน้า
คูณด้วย
ลองพิสูจน์ว่าถ้าเราคูณตัวเลขด้วย เราจะได้จำนวนตรงกันข้าม สำหรับสิ่งนี้ เราใช้คุณสมบัติการกระจาย: .
สิ่งนี้เป็นจริงสำหรับตัวเลขใดๆ เรามาแทนที่และแทนตัวเลข:
ด้านซ้ายในวงเล็บคือผลรวมของจำนวนที่อยู่ตรงข้ามกัน ผลรวมของพวกเขาคือศูนย์ (เรามีทรัพย์สินดังกล่าว) ด้านซ้ายตอนนี้. ทางด้านขวาเราจะได้: 
.
ตอนนี้เรามีศูนย์ทางด้านซ้าย และผลรวมของตัวเลขสองตัวทางด้านขวา แต่ถ้าผลรวมของตัวเลขสองตัวเป็นศูนย์ แสดงว่าตัวเลขเหล่านี้อยู่ตรงข้ามกัน แต่จำนวนนั้นจะมีจำนวนตรงข้ามเพียงตัวเดียวเท่านั้น: . ดังนั้นนี่คือสิ่งที่: .
คุณสมบัติได้รับการพิสูจน์แล้ว
คุณสมบัติดังกล่าวซึ่งสามารถพิสูจน์ได้โดยใช้คุณสมบัติก่อนหน้านี้เรียกว่า ทฤษฎีบท
เหตุใดจึงไม่มีคุณสมบัติการลบและการหารตรงนี้ ตัวอย่างเช่น เราสามารถเขียนคุณสมบัติการแจกแจงสำหรับการลบ:
แต่เนื่องจาก:
- การลบจำนวนใดๆ ก็สามารถเขียนเป็นการบวกได้เทียบเท่ากัน โดยแทนที่ตัวเลขด้วยตัวตรงข้าม:
- การหารสามารถเขียนเป็นการคูณด้วยส่วนกลับของมัน:
ซึ่งหมายความว่าสามารถใช้คุณสมบัติของการบวกและการคูณกับการลบและการหารได้ ส่งผลให้รายการคุณสมบัติที่ต้องจดจำสั้นลง
คุณสมบัติทั้งหมดที่เราพิจารณาไม่ใช่คุณสมบัติของจำนวนตรรกยะเท่านั้น ตัวอย่างเช่น ตัวเลขที่ไม่ลงตัว ก็ปฏิบัติตามกฎเหล่านี้ทั้งหมดเช่นกัน ตัวอย่างเช่น ผลรวมของจำนวนตรงข้ามเป็นศูนย์:
ตอนนี้เราจะไปยังส่วนที่ใช้งานได้จริงโดยแก้ไขตัวอย่างต่างๆ
จำนวนตรรกยะในชีวิต
คุณสมบัติของวัตถุที่เราอธิบายได้ในเชิงปริมาณและกำหนดด้วยตัวเลขจำนวนหนึ่งเรียกว่า ค่านิยม: ความยาว น้ำหนัก อุณหภูมิ ปริมาณ
ปริมาณเดียวกันสามารถแสดงด้วยทั้งจำนวนเต็มและจำนวนเศษส่วน บวกหรือลบ
เช่น ส่วนสูง m เป็นเลขเศษส่วน แต่เราสามารถพูดได้ว่ามันเท่ากับ cm - นี่เป็นจำนวนเต็มอยู่แล้ว (รูปที่ 1)
ข้าว. 1. ตัวอย่างภาพประกอบ
อีกตัวอย่างหนึ่ง อุณหภูมิติดลบในระดับเซลเซียสจะเป็นบวกในระดับเคลวิน (รูปที่ 2)
ข้าว. 2. ตัวอย่างภาพประกอบ
เมื่อสร้างกำแพงบ้านคนหนึ่งสามารถวัดความกว้างและความสูงเป็นเมตรได้ เขาสร้างปริมาณที่เป็นเศษส่วน เขาจะดำเนินการคำนวณเพิ่มเติมทั้งหมดด้วยตัวเลขเศษส่วน (ตรรกยะ) อีกคนสามารถวัดทุกอย่างเป็นจำนวนอิฐที่มีความกว้างและสูงได้ เมื่อได้รับเฉพาะค่าจำนวนเต็มแล้ว เขาจะดำเนินการคำนวณด้วยจำนวนเต็ม
ปริมาณนั้นไม่ใช่จำนวนเต็มหรือเศษส่วน ไม่เป็นลบหรือบวก แต่ตัวเลขที่เราอธิบายมูลค่าของปริมาณนั้นค่อนข้างเฉพาะเจาะจงอยู่แล้ว (เช่น ค่าลบและเศษส่วน) ขึ้นอยู่กับสเกลการวัด และเมื่อเราย้ายจากปริมาณจริงไปสู่แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ เราจะทำงานกับตัวเลขประเภทใดประเภทหนึ่งโดยเฉพาะ
เริ่มต้นด้วยการเพิ่ม สามารถจัดเรียงข้อกำหนดใหม่ในลักษณะใดก็ได้ที่สะดวกสำหรับเรา และสามารถดำเนินการในลำดับใดก็ได้ หากเงื่อนไขของเครื่องหมายต่างกันลงท้ายด้วยตัวเลขเดียวกัน จะสะดวกในการดำเนินการกับเครื่องหมายเหล่านั้นก่อน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เรามาสลับเงื่อนไขกัน ตัวอย่างเช่น:
เศษส่วนร่วมที่มีตัวส่วนเท่ากันนั้นง่ายต่อการบวก
จำนวนตรงข้ามรวมกันได้ศูนย์ ตัวเลขที่มีทศนิยมเท่ากันนั้นลบได้ง่าย การใช้คุณสมบัติเหล่านี้ เช่นเดียวกับกฎการสับเปลี่ยนของการบวก จะทำให้การคำนวณค่าของนิพจน์ต่อไปนี้ง่ายขึ้น เช่น
ตัวเลขที่มีทศนิยมทศนิยมเสริมนั้นง่ายต่อการบวก สะดวกในการทำงานกับจำนวนเต็มและเศษส่วนของตัวเลขคละแยกกัน เราใช้คุณสมบัติเหล่านี้เมื่อคำนวณค่าของนิพจน์ต่อไปนี้:
มาดูการคูณกันดีกว่า. มีคู่ตัวเลขที่คูณง่าย เมื่อใช้สมบัติการสับเปลี่ยน คุณสามารถจัดเรียงตัวประกอบใหม่ให้อยู่ติดกันได้ สามารถนับจำนวน minuses ในผลิตภัณฑ์ได้ทันทีและสามารถสรุปผลเกี่ยวกับสัญญาณของผลลัพธ์ได้
ลองพิจารณาตัวอย่างนี้:
ถ้าปัจจัยตัวใดตัวหนึ่งมีค่าเท่ากับศูนย์ ผลคูณก็จะเท่ากับศูนย์ เช่น:
ผลคูณของจำนวนกลับมีค่าเท่ากับ 1 และการคูณด้วย 1 จะไม่เปลี่ยนมูลค่าของผลคูณ ลองพิจารณาตัวอย่างนี้:
ลองดูตัวอย่างโดยใช้คุณสมบัติการแจกแจง หากคุณเปิดวงเล็บ การคูณแต่ละครั้งจะเป็นเรื่องง่าย
การดำเนินการกับเศษส่วนทศนิยม
การบวกและการลบทศนิยม
1. ปรับจำนวนหลักหลังจุดทศนิยมให้เท่ากัน
2. บวกหรือลบเศษส่วนทศนิยมด้วยตำแหน่งทศนิยม
การคูณทศนิยม
1. คูณโดยไม่ต้องสนใจเครื่องหมายจุลภาค
2. ในผลคูณของลูกน้ำ ให้แยกหลักทางขวาให้มากที่สุดเท่าที่มีในทุกตัวประกอบ
รวมกันหลังจุดทศนิยม
การหารทศนิยม
1. ในเงินปันผลและตัวหารให้เลื่อนลูกน้ำไปทางขวาตามหลักจำนวนเท่าที่มีหลังจุดทศนิยม
ในตัวแบ่ง
2. แบ่งส่วนทั้งหมดแล้วใส่ลูกน้ำในส่วนผลหาร (ถ้า ทั้งส่วนก็น้อยกว่าตัวหารแล้ว
ผลหารเริ่มต้นจากจำนวนเต็มศูนย์)
3. แบ่งต่อไป.
การกระทำที่มีจำนวนบวกและลบ
การบวกและการลบจำนวนบวกและลบ
ก – (– ค) = ก + ค
กรณีอื่นๆ ทั้งหมดถือเป็นการบวกเลข
การบวกจำนวนลบสองตัว:
1. เขียนผลลัพธ์ด้วยเครื่องหมาย “–”
2. เราเพิ่มโมดูล
การบวกตัวเลขที่มีเครื่องหมายต่างกัน:
1. ใส่เครื่องหมายของโมดูลที่ใหญ่กว่า
2. ลบอันที่เล็กกว่าออกจากโมดูลที่ใหญ่กว่า
การคูณและหารจำนวนบวกและลบ
1. เมื่อทำการคูณและหารตัวเลขด้วยเครื่องหมายต่างกัน ผลลัพธ์จะเขียนด้วยเครื่องหมาย
ลบ.
2. เมื่อคูณและหารตัวเลขที่มีเครื่องหมายเดียวกัน ผลลัพธ์จะเขียนด้วยเครื่องหมาย
บวก
การดำเนินการกับเศษส่วนสามัญ
การบวกและการลบ
1. แปลงเศษส่วนเป็น ตัวส่วนร่วม.
2. เพิ่มหรือลบตัวเศษ แต่ปล่อยให้ตัวส่วนไม่เปลี่ยนแปลง
คูณตัวเศษด้วยตัวเศษ และตัวส่วนคูณด้วยตัวส่วน (ลดถ้าเป็นไปได้)
“พลิก” ตัวหาร (เศษส่วนที่สอง) แล้วทำการคูณ
แผนก.
การคูณ
แยกส่วนทั้งหมดออกจากเศษส่วนเกิน
38
5 = 38: 5 = 7 (เหลือ 3) = 7
3
5
การแปลงจำนวนคละเป็น เศษส่วนเกิน.
2
7 + =
4
4·7+2
7
30
7
=
1
.
+
การลดเศษส่วน
ลดเศษส่วน - หารทั้งเศษและส่วนด้วยจำนวนเดียวกัน
6
7
6
7. ในระยะสั้น:
30:5
35:5 =
30
35 =
ตัวอย่างเช่น:
30
35 =
.
1.
แบ่งตัวส่วนของเศษส่วนให้เป็นจำนวนเฉพาะ
ตัวคูณ
การลดเศษส่วนให้เป็นตัวส่วนร่วม
5 4
7
16 +
36
80 =
71
80
2. ขีดฆ่าตัวประกอบที่เหมือนกันออก
3. ตัวประกอบที่เหลือจากตัวส่วนของตัวแรก
คูณเศษส่วนแล้วเขียนเป็น
ตัวประกอบเพิ่มเติมสำหรับเศษส่วนที่สอง และ
จากเศษส่วนที่สองถึงเศษส่วนแรก
2∙2∙2∙2 2∙2∙5
4. คูณทั้งเศษและส่วนของแต่ละเศษส่วน
ด้วยตัวคูณเพิ่มเติม
9
20 =
35
80 +
การบวกและการลบเลขคละ
บวกหรือลบเศษส่วนทั้งส่วนและเศษส่วนแยกกัน
กรณี "พิเศษ":
"แปลง" 1 เป็นเศษส่วนที่มีตัวเศษและ
2
2
5
6
3
5 =
3
5 = 2
1
1
เอา 1 แล้ว “เปลี่ยน” มันเป็นเศษส่วนที่มีตัวเศษและ
ตัวส่วนจะเท่ากับตัวส่วนของเศษส่วนที่กำหนด
เอา 1 บวกตัวส่วนเข้ากับตัวเศษ.
3
5 =
3
5 = 2
5
5 ‒
5
5 ‒
‒
1
‒
3
2
5
1 ‒
3
3
5 = 2
5
5 1 ‒
3
5 = 1
2
5
1
5
1 ‒
3
5 = 2
6
5 1‒
3
3
5 = 1
3
5
แปลงตัวเลขคละให้เป็นเศษส่วนเกินและทำการคูณหรือหาร
การคูณและการหารจำนวนคละ
2
7 + ∙ 2
4
4
5 + =
30
7 ∙
14
5 =
30·14
7·5
6·2
1 1 =
12
1 = 12
=
∙ ∙
6
7
ใน บทเรียนนี้พิจารณาการบวกและการลบจำนวนตรรกยะ หัวข้อนี้จัดว่าซับซ้อน ที่นี่จำเป็นต้องใช้คลังแสงทั้งหมดของความรู้ที่ได้รับมาก่อนหน้านี้
กฎสำหรับการบวกและการลบจำนวนเต็มยังใช้กับจำนวนตรรกยะด้วย จำไว้ว่าจำนวนตรรกยะคือตัวเลขที่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ โดยที่ ก –นี่คือตัวเศษของเศษส่วน ขเป็นตัวส่วนของเศษส่วน ในเวลาเดียวกัน ขไม่ควรจะเป็นศูนย์
ในบทนี้ เราจะเรียกเศษส่วนและจำนวนคละมากขึ้นด้วยวลีทั่วไปเพียงวลีเดียว - จำนวนตรรกยะ.
การนำทางบทเรียน:ตัวอย่างที่ 1ค้นหาความหมายของสำนวน:
ลองใส่จำนวนตรรกยะแต่ละตัวไว้ในวงเล็บพร้อมกับเครื่องหมายของมัน เราคำนึงว่าเครื่องหมายบวกที่ให้ไว้ในนิพจน์นั้นเป็นเครื่องหมายการดำเนินการและไม่ได้ใช้กับเศษส่วน เศษส่วนนี้มีเครื่องหมายบวกของตัวเองซึ่งมองไม่เห็นเนื่องจากไม่ได้เขียนไว้ แต่เราจะเขียนไว้เพื่อความชัดเจน:
นี่คือการบวกจำนวนตรรกยะที่มีเครื่องหมายต่างกัน ในการเพิ่มจำนวนตรรกยะที่มีเครื่องหมายต่างกัน คุณจะต้องลบโมดูลที่เล็กกว่าออกจากโมดูลที่ใหญ่กว่า และก่อนที่คำตอบที่ได้จะต้องใส่เครื่องหมายของจำนวนตรรกยะที่มีโมดูลที่ใหญ่กว่า
และเพื่อที่จะเข้าใจว่าโมดูลัสใดมากกว่าและโมดูลใดเล็กกว่า คุณต้องสามารถเปรียบเทียบโมดูลัสของเศษส่วนเหล่านี้ได้ก่อนที่จะคำนวณ:
โมดูลัสของจำนวนตรรกยะมีค่ามากกว่าโมดูลัสของจำนวนตรรกยะ ดังนั้นเราจึงลบออกจาก เราได้รับคำตอบ จากนั้นเมื่อลดเศษส่วนนี้ลง 2 เราก็ได้คำตอบสุดท้าย
การดำเนินการพื้นฐานบางอย่าง เช่น การใส่ตัวเลขในวงเล็บและการเพิ่มโมดูล สามารถข้ามได้ ตัวอย่างนี้สามารถเขียนโดยย่อ:ค้นหาความหมายของสำนวน:
ตัวอย่างที่ 2 ลองใส่จำนวนตรรกยะแต่ละตัวไว้ในวงเล็บพร้อมกับเครื่องหมายของมัน เราคำนึงว่าเครื่องหมายลบอยู่ระหว่างจำนวนตรรกยะ
และเป็นเครื่องหมายปฏิบัติการและไม่ได้หมายถึงเศษส่วน เศษส่วนนี้มีเครื่องหมายบวกของตัวเองซึ่งมองไม่เห็นเนื่องจากไม่ได้เขียนไว้ แต่เราจะเขียนไว้เพื่อความชัดเจน:
ลองแทนที่การลบด้วยการบวก. เราขอเตือนคุณว่าในการทำเช่นนี้คุณต้องเพิ่มจำนวนที่อยู่ตรงข้ามกับเครื่องหมายย่อยลงในเครื่องหมายลบ:
เราได้การบวกจำนวนตรรกยะลบ หากต้องการบวกจำนวนตรรกยะลบ คุณต้องเพิ่มโมดูลและใส่เครื่องหมายลบไว้หน้าคำตอบที่ได้:บันทึก.
ไม่จำเป็นต้องใส่จำนวนตรรกยะทุกตัวไว้ในวงเล็บ ทำเพื่อความสะดวกเพื่อให้เห็นได้ชัดเจนว่าจำนวนตรรกยะมีสัญญาณใดบ้างค้นหาความหมายของสำนวน:
ตัวอย่างที่ 3 ในนิพจน์นี้เศษส่วนตัวส่วนที่แตกต่างกัน
- เพื่อให้งานของเราง่ายขึ้น ลองลดเศษส่วนเหล่านี้ให้เป็นตัวส่วนร่วมกัน เราจะไม่กล่าวถึงรายละเอียดเกี่ยวกับวิธีการทำเช่นนี้ หากคุณประสบปัญหา อย่าลืมทำซ้ำบทเรียน
หลังจากลดเศษส่วนให้เป็นตัวส่วนร่วมแล้ว นิพจน์จะอยู่ในรูปแบบต่อไปนี้:
นี่คือการบวกจำนวนตรรกยะที่มีเครื่องหมายต่างกัน เราลบโมดูลที่เล็กกว่าออกจากโมดูลที่ใหญ่กว่า และก่อนคำตอบที่ได้เราจะใส่เครื่องหมายของจำนวนตรรกยะซึ่งมีโมดูลมากกว่า:
ลองเขียนวิธีแก้ปัญหาให้กับตัวอย่างนี้โดยย่อ:ตัวอย่างที่ 4
ค้นหาค่าของนิพจน์ 
ลองคำนวณนิพจน์นี้ดังนี้: เพิ่มจำนวนตรรกยะแล้วลบจำนวนตรรกยะออกจากผลลัพธ์ที่ได้
การกระทำครั้งแรก:
การกระทำที่สอง:ตัวอย่างที่ 5
- ค้นหาความหมายของสำนวน:
ลองแทนจำนวนเต็ม −1 เป็นเศษส่วน และแปลงจำนวนคละให้เป็นเศษส่วนเกิน:
เราได้การบวกจำนวนตรรกยะที่มีเครื่องหมายต่างกัน เราลบโมดูลที่เล็กกว่าออกจากโมดูลที่ใหญ่กว่า และก่อนคำตอบที่ได้เราจะใส่เครื่องหมายของจำนวนตรรกยะซึ่งมีโมดูลมากกว่า:
เราได้รับคำตอบ
มีวิธีแก้ไขที่สอง ประกอบด้วยการนำชิ้นส่วนทั้งหมดมารวมกันแยกจากกัน
ลองกลับไปสู่การแสดงออกดั้งเดิม:
ลองใส่แต่ละตัวเลขไว้ในวงเล็บ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ จำนวนคละจะเป็นจำนวนชั่วคราว:
ลองคำนวณส่วนจำนวนเต็ม:
(−1) + (+2) = 1
ในนิพจน์หลัก แทนที่จะเขียน (−1) + (+2) เราเขียนหน่วยผลลัพธ์:
ผลลัพธ์ที่ได้คือ . เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้เขียนหน่วยและเศษส่วนเข้าด้วยกัน:
ลองเขียนวิธีแก้ปัญหาด้วยวิธีนี้ให้สั้นลง:
ตัวอย่างที่ 6ตัวอย่างที่ 4
ลองแปลงจำนวนคละให้เป็นเศษส่วนเกินกัน. มาเขียนส่วนที่เหลือใหม่โดยไม่เปลี่ยน:
ลองแทนจำนวนเต็ม −1 เป็นเศษส่วน และแปลงจำนวนคละให้เป็นเศษส่วนเกิน:
ลองแทนที่การลบด้วยการบวก:
นี่คือการบวกจำนวนตรรกยะที่มีเครื่องหมายต่างกัน เราลบโมดูลที่เล็กกว่าออกจากโมดูลที่ใหญ่กว่า และก่อนคำตอบที่ได้เราจะใส่เครื่องหมายของจำนวนตรรกยะซึ่งมีโมดูลมากกว่า:
ตัวอย่างที่ 7ค้นหาค่าของนิพจน์
ลองแทนจำนวนเต็ม −5 เป็นเศษส่วน และแปลงจำนวนคละให้เป็นเศษส่วนเกิน:
ลองนำเศษส่วนเหล่านี้เป็นตัวส่วนร่วมกัน. หลังจากลดให้เป็นตัวส่วนร่วมแล้ว จะอยู่ในรูปแบบต่อไปนี้:
ลองแทนจำนวนเต็ม −1 เป็นเศษส่วน และแปลงจำนวนคละให้เป็นเศษส่วนเกิน:
ลองแทนที่การลบด้วยการบวก:
เราได้การบวกจำนวนตรรกยะลบ มาเพิ่มโมดูลของตัวเลขเหล่านี้และใส่เครื่องหมายลบไว้หน้าคำตอบที่ได้:
ดังนั้น ค่าของนิพจน์คือ
มาตัดสินใจกัน ตัวอย่างนี้วิธีที่สอง กลับไปที่การแสดงออกดั้งเดิม:
ลองเขียนจำนวนคละในรูปแบบขยาย. มาเขียนส่วนที่เหลือใหม่โดยไม่มีการเปลี่ยนแปลง:
เราใส่จำนวนตรรกยะแต่ละตัวไว้ในวงเล็บพร้อมกับเครื่องหมาย:
ลองคำนวณส่วนจำนวนเต็ม:
ในนิพจน์หลัก แทนที่จะเขียนผลลัพธ์เป็นตัวเลข −7
นิพจน์เป็นรูปแบบขยายของการเขียนจำนวนคละ เราเขียนตัวเลข −7 และเศษส่วนเข้าด้วยกันเพื่อให้ได้คำตอบสุดท้าย:
มาเขียนวิธีแก้ปัญหานี้โดยย่อ:
ตัวอย่างที่ 8ตัวอย่างที่ 4
เราใส่จำนวนตรรกยะแต่ละตัวไว้ในวงเล็บพร้อมกับเครื่องหมาย:
ลองแทนที่การลบด้วยการบวก:
เราได้การบวกจำนวนตรรกยะลบ มาเพิ่มโมดูลของตัวเลขเหล่านี้และใส่เครื่องหมายลบไว้หน้าคำตอบที่ได้:
ดังนั้นค่าของพจน์คือ
ตัวอย่างนี้สามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีที่สอง ประกอบด้วยการเพิ่มส่วนทั้งหมดและเศษส่วนแยกจากกัน กลับไปที่การแสดงออกดั้งเดิม:
ลองแทนจำนวนเต็ม −1 เป็นเศษส่วน และแปลงจำนวนคละให้เป็นเศษส่วนเกิน:
ลองแทนที่การลบด้วยการบวก:
เราได้การบวกจำนวนตรรกยะลบ มาเพิ่มโมดูลของตัวเลขเหล่านี้แล้วใส่เครื่องหมายลบไว้หน้าคำตอบที่ได้ แต่คราวนี้เราจะบวกส่วนทั้งหมด (−1 และ −2) ทั้งที่เป็นเศษส่วนและ
มาเขียนวิธีแก้ปัญหานี้โดยย่อ:
ตัวอย่างที่ 9ค้นหานิพจน์นิพจน์ 
มาแปลงตัวเลขคละให้เป็นเศษส่วนเกินกัน:
ลองใส่จำนวนตรรกยะในวงเล็บพร้อมกับเครื่องหมายของมัน ไม่จำเป็นต้องใส่จำนวนตรรกยะในวงเล็บ เนื่องจากมีอยู่แล้วในวงเล็บ:
เราได้การบวกจำนวนตรรกยะลบ มาเพิ่มโมดูลของตัวเลขเหล่านี้และใส่เครื่องหมายลบไว้หน้าคำตอบที่ได้:
ดังนั้นค่าของพจน์คือ
ทีนี้ลองแก้ตัวอย่างเดียวกันด้วยวิธีที่สอง กล่าวคือ การเพิ่มจำนวนเต็มและเศษส่วนแยกจากกัน
คราวนี้ เพื่อที่จะได้คำตอบสั้นๆ ให้เราลองข้ามขั้นตอนบางอย่างไป เช่น การเขียนจำนวนคละในรูปแบบขยายและการแทนที่การลบด้วยการบวก:
โปรดทราบว่าเศษส่วนได้ถูกลดให้เป็นตัวส่วนร่วมแล้ว
ตัวอย่างที่ 10ตัวอย่างที่ 4 
ลองแทนที่การลบด้วยการบวก:
นิพจน์ผลลัพธ์ไม่มีตัวเลขติดลบซึ่งเป็นสาเหตุหลักของข้อผิดพลาด และเนื่องจากไม่มีจำนวนลบ เราจึงสามารถลบเครื่องหมายบวกที่อยู่หน้าเครื่องหมายลบและลบวงเล็บออกด้วย:
ผลลัพธ์ที่ได้คือนิพจน์ง่ายๆ ที่คำนวณได้ง่าย ลองคำนวณด้วยวิธีที่สะดวกสำหรับเรา:
ตัวอย่างที่ 11ตัวอย่างที่ 4
นี่คือการบวกจำนวนตรรกยะที่มีเครื่องหมายต่างกัน ให้เราลบโมดูลที่เล็กกว่าออกจากโมดูลที่ใหญ่กว่า และก่อนคำตอบที่ได้เราจะใส่เครื่องหมายของจำนวนตรรกยะที่มีโมดูลมากกว่า:
ตัวอย่างที่ 12ตัวอย่างที่ 4 
นิพจน์ประกอบด้วยจำนวนตรรกยะหลายจำนวน ก่อนอื่นคุณต้องทำตามขั้นตอนในวงเล็บ
ขั้นแรก เราคำนวณนิพจน์ จากนั้นจึงบวกผลลัพธ์ที่ได้รับ
ลองคำนวณนิพจน์นี้ดังนี้: เพิ่มจำนวนตรรกยะแล้วลบจำนวนตรรกยะออกจากผลลัพธ์ที่ได้
การกระทำครั้งแรก:
การกระทำที่สาม:
คำตอบ:ค่านิพจน์ เท่ากับ
ตัวอย่างที่ 13ตัวอย่างที่ 4 
มาแปลงตัวเลขคละให้เป็นเศษส่วนเกินกัน:
ลองใส่จำนวนตรรกยะในวงเล็บพร้อมกับเครื่องหมายของมัน. ไม่จำเป็นต้องใส่จำนวนตรรกยะในวงเล็บ เนื่องจากมีอยู่แล้วในวงเล็บ:
ลองนำเศษส่วนเหล่านี้เป็นตัวส่วนร่วมกัน. หลังจากลดให้เป็นตัวส่วนร่วมแล้ว จะอยู่ในรูปแบบต่อไปนี้:
ลองแทนที่การลบด้วยการบวก:
เราได้การบวกจำนวนตรรกยะที่มีเครื่องหมายต่างกัน ให้เราลบโมดูลที่เล็กกว่าออกจากโมดูลที่ใหญ่กว่า และก่อนคำตอบที่ได้เราจะใส่เครื่องหมายของจำนวนตรรกยะที่มีโมดูลมากกว่า:
ดังนั้นความหมายของสำนวนนี้ เท่ากับ
มาดูการบวกและการลบทศนิยม ซึ่งเป็นจำนวนตรรกยะด้วย และอาจเป็นได้ทั้งบวกหรือลบ
ตัวอย่างที่ 14ค้นหาค่าของนิพจน์ −3.2 + 4.3
ลองใส่จำนวนตรรกยะแต่ละตัวไว้ในวงเล็บพร้อมกับเครื่องหมายของมัน เราคำนึงว่าเครื่องหมายบวกที่ระบุในนิพจน์เป็นเครื่องหมายการดำเนินการและไม่ได้ใช้กับเศษส่วนทศนิยม 4.3 เศษส่วนทศนิยมนี้มีเครื่องหมายบวกของตัวเอง ซึ่งมองไม่เห็นเนื่องจากไม่ได้เขียนลงไป แต่เราจะเขียนไว้เพื่อความชัดเจน:
(−3,2) + (+4,3)
นี่คือการบวกจำนวนตรรกยะที่มีเครื่องหมายต่างกัน ในการเพิ่มจำนวนตรรกยะที่มีเครื่องหมายต่างกัน คุณจะต้องลบโมดูลที่เล็กกว่าออกจากโมดูลที่ใหญ่กว่า และก่อนที่คำตอบที่ได้จะต้องใส่จำนวนตรรกยะที่มีโมดูลที่ใหญ่กว่า
(−3,2) + (+4,3) = |+4,3| − |−3,2| = 1,1
และเพื่อที่จะเข้าใจว่าโมดูลใดใหญ่กว่าและโมดูลใดเล็กกว่า คุณต้องสามารถเปรียบเทียบโมดูลของเศษส่วนทศนิยมเหล่านี้ก่อนคำนวณ:
ดังนั้น ค่าของนิพจน์ −3.2 + (+4.3) คือ 1.1
−3,2 + (+4,3) = 1,1
ตัวอย่างที่ 15ค้นหาค่าของนิพจน์ 3.5 + (−8.3)
นี่คือการบวกจำนวนตรรกยะที่มีเครื่องหมายต่างกัน ดังเช่นในตัวอย่างก่อนหน้านี้ เราลบอันที่เล็กกว่าออกจากโมดูลที่ใหญ่กว่า และก่อนคำตอบ เราจะใส่เครื่องหมายของจำนวนตรรกยะที่มีโมดูลมากกว่า:
3,5 + (−8,3) = −(|−8,3| − |3,5|) = −(8,3 − 3,5) = −(4,8) = −4,8
ดังนั้น ค่าของนิพจน์ 3.5 + (−8.3) คือ −4.8
ตัวอย่างนี้สามารถเขียนโดยย่อ:
3,5 + (−8,3) = −4,8
ตัวอย่างที่ 16ค้นหาค่าของนิพจน์ −7.2 + (−3.11)
นี่คือการบวกจำนวนตรรกยะลบ หากต้องการบวกจำนวนตรรกยะลบ คุณต้องเพิ่มโมดูลและใส่เครื่องหมายลบไว้หน้าคำตอบที่ได้
คุณสามารถข้ามรายการด้วยโมดูลต่างๆ เพื่อไม่ให้นิพจน์เกะกะ:
−7,2 + (−3,11) = −7,20 + (−3,11) = −(7,20 + 3,11) = −(10,31) = −10,31
ดังนั้น ค่าของนิพจน์ −7.2 + (−3.11) คือ −10.31
ตัวอย่างนี้สามารถเขียนโดยย่อ:
−7,2 + (−3,11) = −10,31
ตัวอย่างที่ 17ค้นหาค่าของนิพจน์ −0.48 + (−2.7)
นี่คือการบวกจำนวนตรรกยะลบ มาเพิ่มโมดูลของพวกเขาและใส่เครื่องหมายลบไว้หน้าคำตอบที่ได้ คุณสามารถข้ามรายการด้วยโมดูลต่างๆ เพื่อไม่ให้นิพจน์เกะกะ:
−0,48 + (−2,7) = (−0,48) + (−2,70) = −(0,48 + 2,70) = −(3,18) = −3,18
ตัวอย่างที่ 18ค้นหาค่าของนิพจน์ −4.9 − 5.9
ลองใส่จำนวนตรรกยะแต่ละตัวไว้ในวงเล็บพร้อมกับเครื่องหมายของมัน เราคำนึงว่าเครื่องหมายลบซึ่งอยู่ระหว่างเลขตรรกยะ −4.9 และ 5.9 เป็นเครื่องหมายการดำเนินการและไม่ได้เป็นของเลข 5.9 จำนวนตรรกยะนี้มีเครื่องหมายบวกของตัวเอง ซึ่งมองไม่เห็นเนื่องจากไม่ได้เขียนไว้ แต่เราจะเขียนไว้เพื่อความชัดเจน:
(−4,9) − (+5,9)
ลองแทนที่การลบด้วยการบวก:
(−4,9) + (−5,9)
เราได้การบวกจำนวนตรรกยะลบ มาเพิ่มโมดูลของพวกเขาและใส่เครื่องหมายลบไว้หน้าคำตอบที่ได้:
(−4,9) + (−5,9) = −(4,9 + 5,9) = −(10,8) = −10,8
ดังนั้น ค่าของนิพจน์ −4.9 − 5.9 คือ −10.8
−4,9 − 5,9 = −10,8
ตัวอย่างที่ 19ค้นหาค่าของนิพจน์ 7 − 9.3
ลองใส่ตัวเลขแต่ละตัวในวงเล็บพร้อมกับเครื่องหมายของมัน
(+7) − (+9,3)
แทนที่การลบด้วยการบวก
(+7) + (−9,3)
(+7) + (−9,3) = −(9,3 − 7) = −(2,3) = −2,3
ดังนั้น ค่าของนิพจน์ 7 − 9.3 คือ −2.3
ลองเขียนวิธีแก้ปัญหาให้กับตัวอย่างนี้โดยย่อ:
7 − 9,3 = −2,3
ตัวอย่างที่ 20ค้นหาค่าของนิพจน์ −0.25 − (−1.2)
ลองแทนที่การลบด้วยการบวก:
−0,25 + (+1,2)
เราได้การบวกจำนวนตรรกยะที่มีเครื่องหมายต่างกัน ให้เราลบโมดูลที่เล็กกว่าออกจากโมดูลที่ใหญ่กว่า และก่อนที่คำตอบเราจะใส่เครื่องหมายของจำนวนที่มีโมดูลมากกว่า:
−0,25 + (+1,2) = 1,2 − 0,25 = 0,95
ลองเขียนวิธีแก้ปัญหาให้กับตัวอย่างนี้โดยย่อ:
−0,25 − (−1,2) = 0,95
ตัวอย่างที่ 21ค้นหาค่าของนิพจน์ −3.5 + (4.1 − 7.1)
ลองทำการกระทำในวงเล็บแล้วบวกคำตอบที่ได้ด้วยตัวเลข −3.5
ลองคำนวณนิพจน์นี้ดังนี้: เพิ่มจำนวนตรรกยะแล้วลบจำนวนตรรกยะออกจากผลลัพธ์ที่ได้
4,1 − 7,1 = (+4,1) − (+7,1) = (+4,1) + (−7,1) = −(7,1 − 4,1) = −(3,0) = −3,0
การกระทำครั้งแรก:
−3,5 + (−3,0) = −(3,5 + 3,0) = −(6,5) = −6,5
คำตอบ:ค่าของนิพจน์ −3.5 + (4.1 − 7.1) คือ −6.5
ตัวอย่างที่ 22ค้นหาค่าของนิพจน์ (3.5 − 2.9) − (3.7 − 9.1)
มาทำตามขั้นตอนในวงเล็บกัน จากนั้นจากจำนวนที่ได้รับอันเป็นผลมาจากการดำเนินการในวงเล็บแรกให้ลบตัวเลขที่ได้รับอันเป็นผลมาจากการดำเนินการในวงเล็บปีกกาที่สอง:
ลองคำนวณนิพจน์นี้ดังนี้: เพิ่มจำนวนตรรกยะแล้วลบจำนวนตรรกยะออกจากผลลัพธ์ที่ได้
3,5 − 2,9 = (+3,5) − (+2,9) = (+3,5) + (−2,9) = 3,5 − 2,9 = 0,6
การกระทำครั้งแรก:
3,7 − 9,1 = (+3,7) − (+9,1) = (+3,7) + (−9,1) = −(9,1 − 3,7) = −(5,4) = −5,4
องก์ที่สาม
0,6 − (−5,4) = (+0,6) + (+5,4) = 0,6 + 5,4 = 6,0 = 6
คำตอบ:ค่าของนิพจน์ (3.5 − 2.9) − (3.7 − 9.1) คือ 6
ตัวอย่างที่ 23ตัวอย่างที่ 4 −3,8 + 17,15 − 6,2 − 6,15
ให้เราใส่จำนวนตรรกยะแต่ละตัวไว้ในวงเล็บพร้อมกับเครื่องหมายของมัน
(−3,8) + (+17,15) − (+6,2) − (+6,15)
ลองแทนที่การลบด้วยการบวกหากเป็นไปได้:
(−3,8) + (+17,15) + (−6,2) + (−6,15)
นิพจน์ประกอบด้วยคำศัพท์หลายคำ ตามกฎการบวกของการบวกรวมกัน หากนิพจน์ประกอบด้วยพจน์หลายพจน์ ผลรวมจะไม่ขึ้นอยู่กับลำดับการกระทำ ซึ่งหมายความว่าคุณสามารถเพิ่มข้อกำหนดในลำดับใดก็ได้
อย่าสร้างวงล้อขึ้นมาใหม่ แต่เพิ่มคำศัพท์ทั้งหมดจากซ้ายไปขวาตามลำดับที่ปรากฏ:
ลองคำนวณนิพจน์นี้ดังนี้: เพิ่มจำนวนตรรกยะแล้วลบจำนวนตรรกยะออกจากผลลัพธ์ที่ได้
(−3,8) + (+17,15) = 17,15 − 3,80 = 13,35
การกระทำครั้งแรก:
13,35 + (−6,2) = 13,35 − −6,20 = 7,15
การกระทำที่สาม:
7,15 + (−6,15) = 7,15 − 6,15 = 1,00 = 1
คำตอบ:ค่าของนิพจน์ −3.8 + 17.15 − 6.2 − 6.15 คือ 1
ตัวอย่างที่ 24ตัวอย่างที่ 4
ลองแปลงเศษส่วนทศนิยม −1.8 ให้เป็นจำนวนคละกัน มาเขียนส่วนที่เหลือใหม่โดยไม่เปลี่ยน:
บทเรียน 4
องศาที่มีตัวบ่งชี้ตามธรรมชาติ
เป้าหมาย: ส่งเสริมการพัฒนาทักษะและความรู้ด้านคอมพิวเตอร์ การสะสมความรู้เกี่ยวกับปริญญาตามประสบการณ์ด้านคอมพิวเตอร์ แนะนำการเขียนจำนวนมากและน้อยโดยใช้เลขยกกำลัง 10
ความคืบหน้าของบทเรียน
I. การอัพเดตความรู้พื้นฐาน
ครูวิเคราะห์ผลลัพธ์ ทดสอบงานนักเรียนแต่ละคนจะได้รับคำแนะนำในการพัฒนาแผนรายบุคคลเพื่อแก้ไขทักษะการใช้คอมพิวเตอร์
จากนั้นนักเรียนจะถูกขอให้คำนวณและอ่านชื่อของนักคณิตศาสตร์ชื่อดังที่มีส่วนในการสร้างทฤษฎีพลัง:
0,3 2 ; 5 3 ; (– 12) 2 ; ; ; –7 3 ; (–0,2) 3 ; –13 2 ; 1,7 2 ; ; 1,1 2 ; 1 3 .
สำคัญ:
ใช้คอมพิวเตอร์หรือเครื่องฉายภาพเพื่อฉายภาพบุคคลของนักวิทยาศาสตร์ Diophantus, Rene Descartes, Simon Stevin บนหน้าจอ นักศึกษาจะได้รับเชิญให้เตรียมข้อมูลทางประวัติศาสตร์เกี่ยวกับชีวิตและผลงานของนักคณิตศาสตร์เหล่านี้ หากต้องการ
ครั้งที่สอง การก่อตัวของแนวคิดและวิธีการดำเนินการใหม่
นักเรียนเขียนสำนวนต่อไปนี้ลงในสมุดบันทึก:
1. 2 + 2 + 2 + 2 + 2;
2. 2 + 2 + 2 + … + 2;
กเงื่อนไข
3. 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5;
4. 5 ∙ 5 … ∙ 5;
nตัวคูณ
5. ก∙ ก∙ … ∙ ก;
nตัวคูณ
ขอให้นักเรียนตอบคำถาม: “บันทึกเหล่านี้จะถูกนำเสนอให้กระชับมากขึ้นจน “สังเกตได้” ได้อย่างไร
จากนั้นครูก็ดำเนินบทสนทนาต่อไป หัวข้อใหม่แนะนำให้นักเรียนรู้จักแนวคิดเรื่องกำลังแรกของจำนวน นักเรียนสามารถเตรียมการแสดงละครในตำนานอินเดียโบราณเกี่ยวกับผู้ประดิษฐ์หมากรุก เซธ และกษัตริย์เชราม จำเป็นต้องจบการสนทนาด้วยเรื่องราวเกี่ยวกับการใช้กำลัง 10 ในการเขียนปริมาณมากหรือน้อย และให้นักเรียนมีหนังสืออ้างอิงด้านฟิสิกส์ เทคโนโลยี และดาราศาสตร์หลายเล่มประกอบการพิจารณา ทำให้นักเรียนมีโอกาสหาตัวอย่างปริมาณดังกล่าว ในหนังสือ
ที่สาม การก่อตัวของทักษะและความสามารถ
1. คำตอบของแบบฝึกหัดหมายเลข 40 d), e), f); 51.
ในระหว่างการเฉลย นักเรียนสรุปว่าการจำไว้ว่า: กำลังที่มีฐานเป็นลบจะเป็นค่าบวกหากเลขชี้กำลังเป็นเลขคู่ และเป็นค่าลบหากเลขชี้กำลังเป็นเลขคี่
2. คำตอบของแบบฝึกหัดที่ 41, 47
IV. สรุป..
ครูแสดงความคิดเห็นและประเมินผลงานของนักเรียนในชั้นเรียน
การบ้าน: ย่อหน้า 1.3 หมายเลข 42, 43, 52; ทางเลือก: เตรียมรายงานเกี่ยวกับ Diophantus, Descartes, Stevin
ไดโอแฟนทัส- นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณจากอเล็กซานเดรีย (ศตวรรษที่ 3) ส่วนหนึ่งของบทความทางคณิตศาสตร์ของเขา "เลขคณิต" (หนังสือ 6 เล่มจาก 13 เล่ม) ได้รับการเก็บรักษาไว้โดยให้วิธีแก้ปัญหาซึ่งส่วนใหญ่นำไปสู่สิ่งที่เรียกว่า "สมการไดโอแฟนไทน์" ซึ่งเป็นวิธีแก้ปัญหาที่แสวงหาในเชิงบวกอย่างมีเหตุผล ตัวเลข (ไดโอแฟนทัสไม่มีจำนวนลบ)
เพื่อแสดงถึงสิ่งที่ไม่รู้จักและระดับของมัน (จนถึงอันดับที่หก) เครื่องหมายเท่ากับ ไดโอแฟนทัสใช้สัญลักษณ์ย่อของคำที่เกี่ยวข้อง นักวิทยาศาสตร์ยังได้ค้นพบข้อความภาษาอาหรับของหนังสือเลขคณิตของไดโอแฟนตัสอีก 4 เล่ม ผลงานของ Diophantus เป็นจุดเริ่มต้นสำหรับการวิจัยของ P. Fermat, L. Euler, K. Gauss และคนอื่นๆ
เดการ์ตส์ เรเน่ (31.03.159 6 –11. 02. 1650) - นักปรัชญาและนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสมีมาตั้งแต่สมัยโบราณ ครอบครัวอันสูงส่ง- เขาได้รับการศึกษาที่โรงเรียนนิกายเยซูอิต La Flèche ในเมืองอองชู ในตอนต้นของสงครามสามสิบปีเขารับราชการในกองทัพซึ่งเขาจากไปในปี 1621; หลังจากเดินทางหลายปี เขาก็ย้ายไปเนเธอร์แลนด์ (ค.ศ. 1629) ซึ่งเขาใช้เวลายี่สิบปีในการศึกษาทางวิทยาศาสตร์อย่างโดดเดี่ยว ในปี 1649 ตามคำเชิญของราชินีสวีเดน เขาย้ายไปสตอกโฮล์ม แต่ไม่นานก็สิ้นพระชนม์
เดส์การตส์วางรากฐานของเรขาคณิตวิเคราะห์และแนะนำสัญลักษณ์พีชคณิตสมัยใหม่มากมาย เดส์การตส์ปรับปรุงระบบสัญกรณ์อย่างมีนัยสำคัญโดยการแนะนำสัญลักษณ์ที่เป็นที่ยอมรับโดยทั่วไปสำหรับตัวแปร
(เอ็กซ์, ที่,z...) และค่าสัมประสิทธิ์ ( ก, ข, กับ...) เช่นเดียวกับการกำหนดระดับ ( เอ็กซ์ 4 , ก 5...) การเขียนสูตรของเดส์การตส์แทบไม่ต่างจากสูตรสมัยใหม่
ในเรขาคณิตวิเคราะห์ ความสำเร็จหลักของเดส์การตส์คือวิธีพิกัดที่เขาสร้างขึ้น
สตีวิน ไซมอน (1548–1620) - นักวิทยาศาสตร์และวิศวกรชาวดัตช์ ตั้งแต่ปี 1583 เขาได้สอนที่มหาวิทยาลัยไลเดน และในปี 1600 เขาได้จัดตั้งโรงเรียนวิศวกรรมศาสตร์ที่มหาวิทยาลัยไลเดน ซึ่งเขาบรรยายวิชาคณิตศาสตร์ งานของ Stevin "Tithe" (1585) อุทิศให้กับ ระบบทศนิยมมาตรการและ ทศนิยมซึ่งไซมอน สตีวินได้นำมาใช้ในยุโรป