วิธีแก้ไขเฉพาะคือวิธีการหาค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่ได้กำหนดไว้ สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่ วิธีสัมประสิทธิ์ที่ไม่แน่นอน

สมการแบบไม่เอกพันธ์ที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่

สามารถแก้ไขได้โดยใช้วิธีสัมประสิทธิ์ที่ไม่ได้กำหนดและวิธีการแปรผันของค่าคงที่ตามอำเภอใจ

วิธีสัมประสิทธิ์ที่ไม่แน่นอน

ฉัน . เพราะ สมการ (11) ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน วิธีแก้ทั่วไปของมันจะประกอบด้วยผลรวมของสมการเนื้อเดียวกันทั่วไปและสมการที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันโดยเฉพาะ เช่น

เราเขียนสมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกัน

สมการคุณลักษณะของมัน

โครงสร้างของระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาขึ้นอยู่กับประเภทของรากของสมการคุณลักษณะ (13)

มี 3 กรณี.

ก) รากทั้งหมดของสมการคุณลักษณะ (13) ต่างกันและเป็นจำนวนจริงเรามาแสดงถึงพวกเขากันเถอะ
- ระบบการแก้ปัญหาขั้นพื้นฐาน:

และวิธีแก้ปัญหาทั่วไปจะมีรูปแบบดังนี้

ข) รากทั้งหมดของสมการลักษณะเฉพาะ (13) นั้นแตกต่างกัน แต่ในนั้นก็มีรากที่ซับซ้อนอนุญาต
- รากที่ซับซ้อนของสมการ (13) แล้ว
- ก็เป็นรากของสมการนี้ด้วย รากเหล่านี้สอดคล้องกับคำตอบบางส่วนที่เป็นอิสระเชิงเส้นสองรายการ:

ถ้า
และ
แล้วโซลูชั่นเฉพาะก็จะมีรูปแบบ

ด้วยการเขียนคำตอบบางส่วนที่เป็นอิสระเชิงเส้นซึ่งสอดคล้องกับคู่คอนจูเกตอื่นๆ ของรากที่ซับซ้อนและรากจริงทั้งหมด และทำการรวมกันเชิงเส้นของคำตอบเหล่านี้ด้วยสัมประสิทธิ์คงที่ตามอำเภอใจ เราจะได้คำตอบทั่วไปของสมการ (12)

วี) ในบรรดารากของสมการคุณลักษณะนั้นมีหลายรายการ- อนุญาต เค 1 จริง ร- หลายราก จากนั้นพวกเขาก็สอดคล้องกับเขา ร

ถ้า
- รากที่ซับซ้อนของสมการ (13) การคูณ รจากนั้นพวกเขาก็สอดคล้องกับ 2 รคำตอบบางส่วนอิสระเชิงเส้นของแบบฟอร์ม:

ด้วยการเขียนคำตอบบางส่วนที่เป็นอิสระเชิงเส้นของประเภทที่ระบุ ซึ่งสอดคล้องกับรากที่เรียบง่ายและหลายรากจริงทั้งหมด ตลอดจนคู่การคอนจูเกตของรากที่เรียบง่ายและหลายรากเชิงซ้อน ทำให้เราได้ระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหา

ครั้งที่สอง . ขึ้นอยู่กับรูปแบบของด้านขวามือของสมการ (11) จะมีการเลือกคำตอบเฉพาะของสมการที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน

อาจมีกรณี.

1).
, ที่ไหน ป(x) – พหุนามจาก xองศา n.

ก) ถ้าเป็นจำนวน 0 ไม่ใช่รากของสมการคุณลักษณะ (13) ดังนั้นจึงสามารถหาคำตอบเฉพาะของสมการเอกพันธ์ (11) ได้ในรูปแบบ
, ที่ไหน ถาม(x) – พหุนามจาก xระดับเดียวกัน n, เช่น ป(x) ในรูปแบบทั่วไป (เช่น มีค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่แน่นอน)

ตัวอย่างเช่น,

ข) ถ้า 0 -root ของสมการคุณลักษณะของการคูณ ร, ที่

2).
.

ก) ถ้าเป็นจำนวน α ไม่ใช่รากของสมการคุณลักษณะ (13) ดังนั้น

3) ที่ไหน
- พหุนามดีกรี ม และ nตามนั้น (พหุนามตัวใดตัวหนึ่งอาจมีค่าเท่ากับศูนย์เหมือนกัน)

ก) ถ้า
ไม่ใช่รากของสมการ (13) ดังนั้น

ที่ไหน
- พหุนามดีกรี
.

ข) ถ้า
เป็นรากของสมการคุณลักษณะของการคูณ ร, ที่

4) ที่ไหน
- ฟังก์ชั่นประเภทที่พิจารณา 1), 2), 3) ถ้า
เป็นโซลูชั่นเฉพาะที่สอดคล้องกับฟังก์ชั่น
, ที่

ปัญหาที่ 12. หาคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์

สารละลาย. นี่คือสมการเชิงอนุพันธ์แบบไม่เอกพันธ์ลำดับที่ 3 ที่ไม่มีฟังก์ชันที่ต้องการ ย- สมการนี้สามารถแก้ได้ด้วยวิธีอื่นอย่างน้อยสองวิธี: วิธีการแปรผันของค่าคงที่ตามใจชอบ และวิธีการของสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอน เพื่อหาคำตอบเฉพาะของสมการเชิงเส้นที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันด้วยค่าสัมประสิทธิ์คงที่

ลองพิจารณาวิธีที่สอง

ให้เราเขียนสมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกัน

สมการคุณลักษณะ
มีราก:
(กรณีเอีย) คำตอบบางส่วนของสมการเอกพันธ์:

โดยทั่วไปแล้วเป็นเนื้อเดียวกัน
.

ตอนนี้ให้พิจารณาทางด้านขวาของสมการดั้งเดิม:
- พหุนามของดีกรีที่สอง (กรณีที่ II1) เราจะเขียนคำตอบเฉพาะของสมการแบบไม่เอกพันธ์ตามรูปแบบของมัน:
.

ปัจจัย x ปรากฏตามข้อเท็จจริงที่ว่า x=0 คือรากของสมการคุณลักษณะ การค้นหา
และแทนที่สิ่งที่เราพบลงในสมการดั้งเดิม เราก็จะได้

เมื่อเปรียบเทียบค่าสัมประสิทธิ์ที่ระดับเดียวกันเราจะได้ระบบ

จากที่ ก=1/3, บี=1, ค=1/2 - เราได้รับค่าเหล่านี้แทนค่าเหล่านี้เป็นรูปแบบทั่วไปของโซลูชันเฉพาะ

เมื่อพิจารณาว่าคำตอบทั่วไปของสมการที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันคือผลรวมของสมการที่เป็นเนื้อเดียวกันทั่วไปและสมการที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันโดยเฉพาะ เราได้

ปัญหาที่ 13. หาคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์

สารละลาย. ให้เราหาคำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกัน สมการคุณลักษณะ
มีราก: (กรณี Ia) นั่นเป็นเหตุผล
.

ขึ้นอยู่กับรูปแบบของทางด้านขวามือ เราจะกำหนดรูปแบบทั่วไปของคำตอบเฉพาะของสมการแบบไม่เอกพันธ์ โดยคำนึงถึงว่า =2 เป็นรากของสมการคุณลักษณะ (กรณีที่ II2b):
.

เมื่อหาอนุพันธ์ของ 3 ครั้งหลังสุดแล้วแทนลงในสมการเดิม เราก็จะพบว่า ก=1, บี=0 - จากนั้นคำตอบเฉพาะของสมการดั้งเดิมจะเป็นฟังก์ชัน
.

ดังนั้นคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์ดั้งเดิม

ปัญหาที่ 14. หาคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์

สารละลาย. ให้เราหาคำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกัน:

สมการคุณลักษณะ
มีรากคู่ เค=2 (ฉัน). นั่นเป็นเหตุผล
.

ขึ้นอยู่กับรูปแบบของด้านขวามือ มันเป็นเรื่องง่ายที่จะกำหนดโดยทั่วไปในรูปแบบวิธีแก้ปัญหาเฉพาะของสมการดั้งเดิม: เพราะ 2-6 ฉันไม่ใช่รากของสมการคุณลักษณะ (II3a) สำหรับฟังก์ชั่นนี้ที่พวกเขากำลังมองหา ย / และ ย // และนำมาแทนลงในสมการที่เราให้ไว้ จึงได้กำหนดไว้ว่า บี=0 และ ก=-1/36 .

แล้ว,
เป็นคำตอบเฉพาะของสมการเอกพันธ์ของเรา และคำตอบที่ต้องการจะมีรูปแบบดังนี้

ปัญหาที่ 15. ค้นหาคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์

สารละลาย. เพราะ รากของสมการคุณลักษณะแล้วจึงเป็นคำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์ เราจะหาคำตอบเฉพาะของสมการอินเอกจีนัสในรูปแบบนี้

ฟังก์ชันจะประกอบขึ้นตามรูปทรงของด้านขวาโดยคำนึงถึงข้อเท็จจริงที่ว่า x=0 คือรากของสมการคุณลักษณะ และ 10 ฉัน- เลขที่.

เมื่อแทนฟังก์ชันนี้ลงในสมการดั้งเดิม เราจะพบว่า

จากนั้นคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์จะเป็นฟังก์ชัน

พื้นฐานของการแก้สมการเชิงอนุพันธ์อันดับสองแบบไม่เอกพันธ์เชิงเส้น (LNDE-2) พร้อมค่าสัมประสิทธิ์คงที่ (PC)

LDDE ลำดับที่ 2 ที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่ $p$ และ $q$ มีรูปแบบ $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$ โดยที่ $f\left(x \right)$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง

สำหรับ LNDU 2 กับพีซี ข้อความสองข้อความต่อไปนี้เป็นจริง

สมมติว่าฟังก์ชันบางฟังก์ชัน $U$ เป็นคำตอบบางส่วนตามอำเภอใจของสมการเชิงอนุพันธ์แบบไม่เป็นเนื้อเดียวกัน ให้เราสมมติด้วยว่าฟังก์ชันบางฟังก์ชัน $Y$ เป็นคำตอบทั่วไป (GS) ของสมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้นที่สอดคล้องกัน (LODE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$ จากนั้น GS ของ LHDE-2 เท่ากับผลรวมของโซลูชันส่วนตัวและโซลูชันทั่วไปที่ระบุ นั่นคือ $y=U+Y$

หากทางด้านขวามือของลำดับที่ 2 LMDE คือผลรวมของฟังก์ชัน นั่นคือ $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x \right)+. ..+f_(r) \left(x\right)$ จากนั้นก่อนอื่นเราจะหา PDs $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r)$ ที่สอดคล้อง ให้กับแต่ละฟังก์ชัน $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$ และหลังจากนั้น เขียน CR LNDU-2 ในรูปแบบ $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $

โซลูชันของ LPDE ลำดับที่ 2 พร้อมพีซี

เห็นได้ชัดว่าประเภทของ PD $U$ หนึ่งของ LNDU-2 ที่กำหนดให้นั้นขึ้นอยู่กับรูปแบบเฉพาะของด้านขวามือ $f\left(x\right)$ กรณีที่ง่ายที่สุดในการค้นหา PD LNDU-2 ได้รับการกำหนดในรูปแบบของกฎสี่ข้อต่อไปนี้

กฎ #1.

ด้านขวาของ LNDU-2 มีรูปแบบ $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$ โดยที่ $P_(n) \left(x\right)=a_(0 ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $ นั่นคือ มันถูกเรียกว่า พหุนามของดีกรี $n$ จากนั้นหา PD $U$ ของมันในรูปแบบ $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $ โดยที่ $Q_(n) \left(x\right)$ เป็นอีกรูปแบบหนึ่ง พหุนามที่มีดีกรีเดียวกันกับ $P_(n) \left(x\right)$ และ $r$ คือจำนวนรากของสมการคุณลักษณะของ LODE-2 ที่สอดคล้องกันซึ่งเท่ากับศูนย์ ค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนาม $Q_(n) \left(x\right)$ พบได้โดยวิธีค่าสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอน (UK)

กฎข้อที่ 2

ด้านขวาของ LNDU-2 มีรูปแบบ $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$ โดยที่ $P_(n) \left( x\right)$ เป็นพหุนามของดีกรี $n$ จากนั้นหา PD $U$ ของมันในรูปแบบ $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $ โดยที่ $Q_(n ) \ left(x\right)$ เป็นพหุนามอีกตัวหนึ่งที่มีดีกรีเดียวกันกับ $P_(n) \left(x\right)$ และ $r$ คือจำนวนรากของสมการคุณลักษณะของ LODE-2 ที่สอดคล้องกัน เท่ากับ $\alpha $ ค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนาม $Q_(n) \left(x\right)$ หาได้จากวิธี NC

กฎข้อที่ 3

ด้านขวาของ LNDU-2 มีรูปแบบ $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x \right) $ โดยที่ $a$, $b$ และ $\beta$ เป็นตัวเลขที่รู้จัก จากนั้นหา PD $U$ ของมันในรูปแบบ $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) \right )\cdot x^(r) $ โดยที่ $A$ และ $B$ เป็นสัมประสิทธิ์ที่ไม่รู้จัก และ $r$ คือจำนวนรากของสมการคุณลักษณะของ LODE-2 ที่สอดคล้องกัน ซึ่งเท่ากับ $i\cdot \เบต้า $ หาค่าสัมประสิทธิ์ $A$ และ $B$ โดยใช้วิธีแบบไม่ทำลาย

กฎข้อที่ 4

ด้านขวาของ LNDU-2 มีรูปแบบ $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$ โดยที่ $P_(n) \left(x\right)$ คือ พหุนามของดีกรี $ n$ และ $P_(m) \left(x\right)$ คือพหุนามของดีกรี $m$ จากนั้นหา PD $U$ ของมันในรูปแบบ $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $ โดยที่ $Q_(s) \left(x\right)$ และ $ R_(s) \left(x\right)$ เป็นพหุนามที่มีดีกรี $s$ ตัวเลข $s$ คือค่าสูงสุดของตัวเลขสองตัว $n$ และ $m$ และ $r$ คือจำนวนราก ของสมการคุณลักษณะของ LODE-2 ที่สอดคล้องกัน ซึ่งเท่ากับ $\alpha +i\cdot \beta $ ค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนาม $Q_(s) \left(x\right)$ และ $R_(s) \left(x\right)$ หาได้จากวิธี NC

วิธี NK ประกอบด้วยการใช้กฎต่อไปนี้ ในการค้นหาค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่รู้จักของพหุนามซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของคำตอบบางส่วนของสมการเชิงอนุพันธ์แบบไม่เป็นเนื้อเดียวกัน LNDU-2 จำเป็นต้องมี:

แทนที่ PD $U$ ซึ่งเขียนในรูปแบบทั่วไปทางด้านซ้ายของ LNDU-2
ทางด้านซ้ายของ LNDU-2 ดำเนินการลดความซับซ้อนและเงื่อนไขกลุ่มด้วยพลังเดียวกัน $x$;
ในเอกลักษณ์ผลลัพธ์ ให้นำค่าสัมประสิทธิ์ของพจน์ที่มีกำลังเท่ากัน $x$ ของด้านซ้ายและด้านขวา
แก้ระบบผลลัพธ์ของสมการเชิงเส้นเพื่อหาค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่รู้จัก

ตัวอย่างที่ 1

ภารกิจ: ค้นหา OR LNDU-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $ ค้นหา PD ด้วย เป็นไปตามเงื่อนไขเริ่มต้น $y=6$ สำหรับ $x=0$ และ $y"=1$ สำหรับ $x=0$

เราเขียน LOD-2 ที่สอดคล้องกัน: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$

สมการคุณลักษณะ: $k^(2) -3\cdot k-18=0$ รากของสมการคุณลักษณะคือ: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$ รากเหล่านี้ถูกต้องและแตกต่าง ดังนั้น OR ของ LODE-2 ที่สอดคล้องกันจึงมีรูปแบบ: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $

ทางด้านขวาของ LNDU-2 มีรูปแบบ $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $ จำเป็นต้องพิจารณาสัมประสิทธิ์ของเลขชี้กำลัง $\alpha =3$ สัมประสิทธิ์นี้ไม่ตรงกับรากใดๆ ของสมการคุณลักษณะ ดังนั้น PD ของ LNDU-2 นี้จึงมีรูปแบบ $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $

เราจะค้นหาค่าสัมประสิทธิ์ $A$, $B$ โดยใช้วิธี NC

เราพบอนุพันธ์อันดับหนึ่งของสาธารณรัฐเช็ก:

$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( อี^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

เราพบอนุพันธ์อันดับสองของสาธารณรัฐเช็ก:

$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

เราแทนที่ฟังก์ชัน $U""$, $U"$ และ $U$ แทน $y""$, $y"$ และ $y$ ลงใน NLDE-2 $y""-3\cdot y" ที่กำหนด -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $ นอกจากนี้ เนื่องจากเลขชี้กำลัง $e^(3\cdot x) $ รวมอยู่ด้วยเป็นตัวประกอบ ในทุกองค์ประกอบ เราก็สามารถละเว้นได้

$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$

เราดำเนินการทางด้านซ้ายของผลลัพธ์ที่เท่าเทียมกัน:

$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$

เราใช้วิธี NDT เราได้รับระบบสมการเชิงเส้นที่ไม่ทราบค่าสองตัว:

$-18\cdot A=36;$

$3\cdot A-18\cdot B=12.$

วิธีแก้ของระบบนี้คือ: $A=-2$, $B=-1$

PD $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ สำหรับปัญหาของเราจะเป็นดังนี้: $U=\left(-2\cdot x-1\right) \cdot อี^(3\cdot x) $

OR $y=Y+U$ สำหรับปัญหาของเรามีลักษณะดังนี้: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ ซ้าย(-2\cdot x-1\right)\cdot e^(3\cdot x) $

เพื่อที่จะค้นหา PD ที่ตรงตามเงื่อนไขเริ่มต้นที่กำหนด เราจะหาอนุพันธ์ $y"$ ของ OP:

$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$

เราแทนที่ $y$ และ $y"$ เงื่อนไขเริ่มต้น $y=6$ สำหรับ $x=0$ และ $y"=1$ สำหรับ $x=0$:

$6=C_(1) +C_(2) -1; -

$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$

เราได้รับระบบสมการ:

$C_(1) +C_(2) =7;$

$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$

มาแก้กันเถอะ เราค้นหา $C_(1) $ โดยใช้สูตรของ Cramer และ $C_(2) $ เราหาได้จากสมการแรก:

$C_(1) =\frac(\left|\begin(array)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(array)\right|)(\left|\ เริ่มต้น(อาร์เรย์)(ซีซี) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \end(อาร์เรย์)\right|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$

ดังนั้น PD ของสมการเชิงอนุพันธ์นี้มีรูปแบบ: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1 \right )\cdot อี^(3\cdot x) $

สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นที่เป็นเนื้อเดียวกันของลำดับที่สองที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่จะมีรูปแบบ

โดยที่ p และ q เป็นจำนวนจริง ลองดูตัวอย่างวิธีการแก้สมการเชิงอนุพันธ์อันดับสองที่เป็นเอกพันธ์ที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่

การแก้สมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้นลำดับที่สองขึ้นอยู่กับรากของสมการคุณลักษณะ สมการลักษณะเฉพาะคือสมการ k²+pk+q=0

1) ถ้ารากของสมการคุณลักษณะเป็นจำนวนจริงต่างกัน:

ดังนั้นคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์อันดับสองเอกพันธ์เชิงเส้นที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่จึงมีรูปแบบ

2) ถ้ารากของสมการคุณลักษณะเป็นจำนวนจริงเท่ากัน

(ตัวอย่างเช่น ด้วยค่าจำแนกเท่ากับศูนย์) ดังนั้นคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์อันดับสองที่เป็นเนื้อเดียวกันคือ

3) ถ้ารากของสมการคุณลักษณะเป็นจำนวนเชิงซ้อน

(ตัวอย่างเช่น ด้วยการแบ่งแยกเท่ากับจำนวนลบ) ดังนั้นคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์อันดับสองที่เป็นเนื้อเดียวกันจะถูกเขียนในรูปแบบ

ตัวอย่างของการแก้สมการเชิงอนุพันธ์อันดับสองเอกพันธ์เชิงเส้นที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่

ค้นหาคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์อันดับสองที่เป็นเนื้อเดียวกัน:

เราสร้างสมการคุณลักษณะ: k²-7k+12=0 การแบ่งแยกของมันคือ D=b²-4ac=1>0 ดังนั้นรากจึงเป็นจำนวนจริงที่แตกต่างกัน

ดังนั้น คำตอบทั่วไปของ DE ลำดับที่ 2 ที่เป็นเนื้อเดียวกันนี้คือ

มาเขียนและแก้สมการคุณลักษณะกัน:

รากมีจริงและแตกต่าง ดังนั้นเราจึงมีคำตอบทั่วไปสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์:

ในกรณีนี้คือสมการคุณลักษณะ

รากนั้นแตกต่างและถูกต้อง ดังนั้น คำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์ของลำดับที่ 2 อยู่ตรงนี้

สมการคุณลักษณะ

เนื่องจากรากเป็นจริงและเท่ากัน สำหรับสมการเชิงอนุพันธ์นี้ เราจึงเขียนคำตอบทั่วไปเป็น

สมการคุณลักษณะอยู่ที่นี่

เนื่องจากตัวจำแนกเป็นจำนวนลบ รากของสมการคุณลักษณะจึงเป็นจำนวนเชิงซ้อน

คำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์อันดับสองเอกพันธ์นี้มีรูปแบบ

สมการคุณลักษณะ

จากตรงนี้ เราจะพบคำตอบทั่วไปของดิฟเฟอเรนเชียลนี้ สมการ:

ตัวอย่างสำหรับการทดสอบตัวเอง

สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับหนึ่ง เป็นสมการของรูปแบบ

,
โดยที่ p และ q เป็นฟังก์ชันของตัวแปร x

สมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้นของลำดับแรก เป็นสมการของรูปแบบ

สมการเชิงอนุพันธ์แบบไม่เอกพันธ์เชิงเส้นของลำดับแรก เป็นสมการของรูปแบบ

ระยะคิว (เอ็กซ์)เรียกว่าส่วนที่ไม่เท่ากันของสมการ

พิจารณาสมการเชิงอนุพันธ์แบบไม่เอกพันธ์เชิงเส้นของลำดับแรก:
(1) .
มีสามวิธีในการแก้สมการนี้:

วิธีอินทิเกรตแฟคเตอร์

การแก้สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นโดยใช้ตัวประกอบการปริพันธ์

ลองพิจารณาวิธีการแก้สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นลำดับที่หนึ่งโดยใช้ ปัจจัยการบูรณาการ.
ลองคูณทั้งสองข้างของสมการเดิมดู (1) โดยการบูรณาการปัจจัย
:
(2)
ต่อไป เราสังเกตว่าอนุพันธ์ของอินทิกรัลเท่ากับอินทิกรัล:

ตามกฎการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน:

ตามกฎการสร้างความแตกต่างของผลิตภัณฑ์:

เข้ามาแทน. (2) :

มาบูรณาการกัน:

คูณด้วย . เราได้รับ:

ผลเฉลยทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นลำดับที่หนึ่ง

ตัวอย่างของการแก้สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นลำดับที่หนึ่ง

แก้สมการ

สารละลาย
ลองหารทั้งสองข้างของสมการดั้งเดิมด้วย x: .
(ฉัน)
;
.
แล้ว

ปัจจัยการบูรณาการ: สามารถละเว้นเครื่องหมายมอดุลัสได้ เนื่องจากตัวประกอบการอินทิเกรตสามารถคูณด้วยค่าคงที่ใดๆ ได้ (รวมถึง).
± 1 ลองหารทั้งสองข้างของสมการดั้งเดิมด้วย x:มาคูณกัน 3 :
.
โดย x
;
.
เราเลือกอนุพันธ์
.
เราบูรณาการโดยใช้ตารางอินทิกรัล: 3 :
.

หารด้วย x

คำตอบ
วรรณกรรมที่ใช้: