காரணியாக்கும் தீவிரவாதிகள். இயற்கணித சமன்பாட்டை எவ்வாறு காரணியாக்குவது

காரணியாக்குவதற்கு, வெளிப்பாடுகளை எளிதாக்குவது அவசியம். இது மேலும் குறைக்கப்படுவதற்கு இது அவசியம். ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் விரிவாக்கம் அதன் பட்டம் இரண்டுக்கும் குறைவாக இல்லாதபோது அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கும். முதல் பட்டம் கொண்ட பல்லுறுப்புக்கோவை நேரியல் எனப்படும்.

Yandex.RTB R-A-339285-1

கட்டுரை சிதைவின் அனைத்து கருத்துகளையும் உள்ளடக்கும், தத்துவார்த்த அடித்தளங்கள்மற்றும் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை காரணியாக்கும் முறைகள்.

கோட்பாடு

தேற்றம் 1

n பட்டம் கொண்ட எந்த பல்லுறுப்புக்கோவை, P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + வடிவத்தைக் கொண்டிருக்கும் போது. . . + a 1 x + a 0, அதிக அளவு a n மற்றும் n நேரியல் காரணிகள் (x - x i), i = 1, 2, ..., n, பின்னர் P n (x) கொண்ட நிலையான காரணி கொண்ட ஒரு பொருளாகக் குறிப்பிடப்படுகின்றன. = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 1) , இங்கு x i, i = 1, 2, …, n ஆகியவை பல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர்களாகும்.

தேற்றம் சிக்கலான வகை x i, i = 1, 2, ..., n மற்றும் சிக்கலான குணகங்கள் a k, k = 0, 1, 2, ..., n ஆகியவற்றின் வேர்களுக்காக வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது. இது எந்த சிதைவின் அடிப்படையும் ஆகும்.

a k, k = 0, 1, 2, ..., n வடிவத்தின் குணகங்கள் உண்மையான எண்களாக இருக்கும்போது, ​​சிக்கலான வேர்கள் இணைந்த ஜோடிகளில் ஏற்படும். எடுத்துக்காட்டாக, x 1 மற்றும் x 2 ஆகிய வேர்கள் P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + வடிவத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவையுடன் தொடர்புடையது. . . + a 1 x + a 0 சிக்கலான இணைப்பாகக் கருதப்படுகிறது, பின்னர் மற்ற வேர்கள் உண்மையானவை, இதில் இருந்து நாம் பல்லுறுப்புக்கோவை P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · வடிவத்தை எடுக்கிறது. . . · (x - x 3) x 2 + p x + q, இங்கு x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2) .

கருத்து

ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர்கள் மீண்டும் மீண்டும் செய்யப்படலாம். இயற்கணிதம் தேற்றத்தின் நிரூபணத்தை கருத்தில் கொள்வோம், இது Bezout இன் தேற்றத்தின் விளைவாகும்.

இயற்கணிதத்தின் அடிப்படை தேற்றம்

தேற்றம் 2

n பட்டம் கொண்ட எந்தப் பல்லுறுப்புக்கோவைக்கும் குறைந்தது ஒரு வேர் இருக்கும்.

பெசவுட்டின் தேற்றம்

P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + வடிவத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவையைப் பிரித்த பிறகு. . . + a 1 x + a 0 on (x - s), பின்னர் நாம் எஞ்சியதைப் பெறுகிறோம், இது s புள்ளியில் உள்ள பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு சமம், பிறகு நாம் பெறுகிறோம்

P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) + P n (s) , இதில் Q n - 1 (x) என்பது n - 1 பட்டம் கொண்ட பல்லுறுப்புக்கோவை ஆகும்.

Bezout இன் தேற்றத்தின் தொடர்ச்சி

P n (x) என்ற பல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர் s ஆகக் கருதப்படும் போது, ​​P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) . தீர்வை விவரிக்கப் பயன்படுத்தும்போது இந்த தொடர்ச்சி போதுமானது.

ஒரு இருபடி முக்கோணத்தை காரணியாக்குதல்

a x 2 + b x + c வடிவத்தின் சதுர முக்கோணத்தை நேரியல் காரணிகளாகக் காரணியாக்கலாம். பிறகு a x 2 + b x + c = a (x - x 1) (x - x 2) , x 1 மற்றும் x 2 ஆகியவை வேர்கள் (சிக்கலான அல்லது உண்மையானது) என்று பெறுகிறோம்.

இதிலிருந்து விரிவாக்கமே தீர்வுக்கு குறைகிறது என்பது தெளிவாகிறது இருபடி சமன்பாடுபின்னர்.

எடுத்துக்காட்டு 1

இருபடி முக்கோணத்தை காரணியாக்கு.

தீர்வு

4 x 2 - 5 x + 1 = 0 சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறிவது அவசியம். இதைச் செய்ய, நீங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி பாகுபாடு காண்பவரின் மதிப்பைக் கண்டறிய வேண்டும், பின்னர் நாம் D = (- 5) 2 - 4 · 4 · 1 = 9 ஐப் பெறுகிறோம். இங்கிருந்து நமக்கு அது இருக்கிறது

x 1 = 5 - 9 2 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 4 = 1

இதிலிருந்து நாம் 4 x 2 - 5 x + 1 = 4 x - 1 4 x - 1 ஐப் பெறுகிறோம்.

சரிபார்ப்பைச் செய்ய, நீங்கள் அடைப்புக்குறிகளைத் திறக்க வேண்டும். பின்னர் படிவத்தின் வெளிப்பாட்டைப் பெறுகிறோம்:

4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 - 5 x + 1

சரிபார்த்த பிறகு, அசல் வெளிப்பாட்டிற்கு வருகிறோம். அதாவது, சிதைவு சரியாக செய்யப்பட்டது என்று நாம் முடிவு செய்யலாம்.

எடுத்துக்காட்டு 2

3 x 2 - 7 x - 11 வடிவத்தின் இருபடி முக்கோணத்தை காரணியாக்கு.

தீர்வு

3 x 2 - 7 x - 11 = 0 வடிவத்தின் இருபடிச் சமன்பாட்டைக் கணக்கிடுவது அவசியம் என்பதைக் காண்கிறோம்.

வேர்களைக் கண்டுபிடிக்க, நீங்கள் பாகுபாட்டின் மதிப்பை தீர்மானிக்க வேண்டும். நமக்கு அது கிடைக்கும்

3 x 2 - 7 x - 11 = 0 D = (- 7) 2 - 4 3 (- 11) = 181 x 1 = 7 + D 2 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 - D 2 3 = 7 - 181 6

இதிலிருந்து நாம் 3 x 2 - 7 x - 11 = 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6 ஐப் பெறுகிறோம்.

எடுத்துக்காட்டு 3

பல்லுறுப்புக்கோவை 2 x 2 + 1 காரணி.

தீர்வு

இப்போது நாம் 2 x 2 + 1 = 0 என்ற இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்த்து அதன் வேர்களைக் கண்டறிய வேண்டும். நமக்கு அது கிடைக்கும்

2 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 2 x 1 = - 1 2 = 1 2 i x 2 = - 1 2 = - 1 2 i

இந்த வேர்கள் சிக்கலான இணைவு என்று அழைக்கப்படுகின்றன, அதாவது விரிவாக்கம் தன்னை 2 x 2 + 1 = 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i என சித்தரிக்கலாம்.

எடுத்துக்காட்டு 4

இருபடி முக்கோணத்தை x 2 + 1 3 x + 1 சிதைக்கவும்.

தீர்வு

முதலில் x 2 + 1 3 x + 1 = 0 வடிவத்தின் இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்த்து அதன் வேர்களைக் கண்டறிய வேண்டும்.

x 2 + 1 3 x + 1 = 0 D = 1 3 2 - 4 1 1 = - 35 9 x 1 = - 1 3 + D 2 1 = - 1 3 + 35 3 i 2 = - 1 + 35 i 6 = - 1 6 + 35 6 i x 2 = - 1 3 - D 2 1 = - 1 3 - 35 3 i 2 = - 1 - 35 i 6 = - 1 6 - 35 6 i

வேர்களைப் பெற்ற பிறகு, நாங்கள் எழுதுகிறோம்

x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 i x - - 1 6 - 35 6 i = = x + 1 6 - 35 6 i x + 1 6 + 35 6 i

கருத்து

பாகுபாடு மதிப்பு எதிர்மறையாக இருந்தால், பல்லுறுப்புக்கோவைகள் இரண்டாம் வரிசை பல்லுறுப்புக்கோவைகளாகவே இருக்கும். இதிலிருந்து நாம் அவற்றை நேரியல் காரணிகளாக விரிவுபடுத்த மாட்டோம்.

இரண்டுக்கும் அதிகமான பட்டத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவையை காரணியாக்குவதற்கான முறைகள்

சிதைக்கும் போது அது கருதப்படுகிறது உலகளாவிய முறை. எல்லா நிகழ்வுகளிலும் பெரும்பாலானவை Bezout இன் தேற்றத்தின் தொடர்ச்சியை அடிப்படையாகக் கொண்டவை. இதைச் செய்ய, நீங்கள் ரூட் x 1 இன் மதிப்பைத் தேர்ந்தெடுத்து, (x - x 1) ஆல் வகுப்பதன் மூலம் பல்லுறுப்புக்கோவையால் 1 ஆல் வகுப்பதன் மூலம் அதன் அளவைக் குறைக்க வேண்டும். இதன் விளைவாக வரும் பல்லுறுப்புக்கோவை ரூட் x 2 ஐக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும், மேலும் முழுமையான விரிவாக்கத்தைப் பெறும் வரை தேடல் செயல்முறை சுழற்சியாக இருக்கும்.

ரூட் கண்டுபிடிக்கப்படவில்லை என்றால், காரணியாக்கத்தின் பிற முறைகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன: குழுவாக்கம், கூடுதல் விதிமுறைகள். இந்த தலைப்புஅதிக சக்திகள் மற்றும் முழு எண் குணகங்களுடன் சமன்பாடுகளின் தீர்வை முன்வைக்கிறது.

பொதுவான காரணியை அடைப்புக்குறியிலிருந்து வெளியே எடுத்தல்

கட்டற்ற சொல் பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமமாக இருக்கும் போது, ​​பல்லுறுப்புக்கோவையின் வடிவம் P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + ஆக மாறும். . . + ஒரு 1 x.

அத்தகைய பல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர் x 1 = 0 க்கு சமமாக இருக்கும் என்பதைக் காணலாம், பின்னர் பல்லுறுப்புக்கோவையை P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + என்ற வெளிப்பாடாகக் குறிப்பிடலாம். . . + a 1 x = = x (a n x n - 1 + a n - 1 x n - 2 + .. + a 1)

இந்த முறை அடைப்புக்குறிக்குள் பொதுவான காரணியை எடுத்துக்கொள்வதாகக் கருதப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டு 5

மூன்றாம் நிலை பல்லுறுப்புக்கோவை 4 x 3 + 8 x 2 - x காரணி.

தீர்வு

x 1 = 0 என்பது கொடுக்கப்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர் என்பதைக் காண்கிறோம், பின்னர் முழு வெளிப்பாட்டின் அடைப்புக்குறியிலிருந்து x ஐ அகற்றலாம். நாங்கள் பெறுகிறோம்:

4 x 3 + 8 x 2 - x = x (4 x 2 + 8 x - 1)

4 x 2 + 8 x - 1 என்ற சதுர முக்கோணத்தின் வேர்களைக் கண்டுபிடிப்பதற்குச் செல்லலாம். பாகுபாடு மற்றும் வேர்களைக் கண்டுபிடிப்போம்:

D = 8 2 - 4 4 (- 1) = 80 x 1 = - 8 + D 2 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - D 2 4 = - 1 - 5 2

பின்னர் அது பின்வருமாறு

4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = = 4 x x - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 x x + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2

தொடங்குவதற்கு, P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + வடிவத்தின் முழு எண் குணகங்களைக் கொண்ட ஒரு சிதைவு முறையைக் கருத்தில் கொள்வோம். . . + a 1 x + a 0, இதில் உயர்ந்த பட்டத்தின் குணகம் 1 ஆகும்.

ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை முழு எண் வேர்களைக் கொண்டிருக்கும்போது, ​​​​அவை இலவசச் சொல்லின் வகுப்பிகளாகக் கருதப்படுகின்றன.

எடுத்துக்காட்டு 6

f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 என்ற வெளிப்பாட்டை சிதைக்கவும்.

தீர்வு

முழுமையான வேர்கள் உள்ளதா என்று பார்ப்போம். எண்ணின் வகுப்பிகளை எழுதுவது அவசியம் - 18. ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18 என்று பெறுகிறோம். இந்த பல்லுறுப்புக்கோவை முழு எண் வேர்களைக் கொண்டுள்ளது. ஹார்னரின் திட்டத்தைப் பயன்படுத்தி நீங்கள் சரிபார்க்கலாம். இது மிகவும் வசதியானது மற்றும் பல்லுறுப்புக்கோவையின் விரிவாக்க குணகங்களை விரைவாகப் பெற உங்களை அனுமதிக்கிறது:

x = 2 மற்றும் x = - 3 ஆகியவை அசல் பல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர்கள், அவை படிவத்தின் விளைபொருளாகக் குறிப்பிடப்படுகின்றன:

f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

x 2 + 2 x + 3 வடிவத்தின் இருபடி முக்கோணத்தின் விரிவாக்கத்திற்கு நாங்கள் செல்கிறோம்.

பாகுபாடு எதிர்மறையாக இருப்பதால், உண்மையான வேர்கள் இல்லை என்று அர்த்தம்.

பதில்: f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

கருத்து

ஹார்னரின் திட்டத்திற்குப் பதிலாக ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர் தேர்வு மற்றும் பல்லுறுப்புக்கோவையின் பிரிவு ஆகியவற்றைப் பயன்படுத்த அனுமதிக்கப்படுகிறது. P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + வடிவத்தின் முழு எண் குணகங்களைக் கொண்ட பல்லுறுப்புக்கோவையின் விரிவாக்கத்தைக் கருத்தில் கொண்டு செல்லலாம். . . + a 1 x + a 0 , இதில் அதிகபட்சம் ஒன்றுக்கு சமம்.

இந்த வழக்கு பகுத்தறிவு பின்னங்களுக்கு ஏற்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டு 7

f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 ஐ காரணியாக்கு.

தீர்வு

y = 2 x என்ற மாறியை மாற்றுவது அவசியம், நீங்கள் உயர் மட்டத்தில் 1 க்கு சமமான குணகங்களைக் கொண்ட பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு செல்ல வேண்டும். வெளிப்பாட்டை 4 ஆல் பெருக்கி தொடங்க வேண்டும். நமக்கு அது கிடைக்கும்

4 f (x) = 2 3 x 3 + 19 2 2 x 2 + 82 2 x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)

g (y) = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 படிவத்தின் விளைவாக வரும் செயல்பாடு முழு எண் வேர்களைக் கொண்டிருக்கும்போது, ​​​​அவற்றின் இருப்பிடம் இலவச காலத்தின் வகுப்பிகளில் இருக்கும். நுழைவு இப்படி இருக்கும்:

±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±10, ±12, ±15, ±20, ±30, ±60

இதன் விளைவாக பூஜ்ஜியத்தைப் பெற, இந்த புள்ளிகளில் g (y) செயல்பாட்டைக் கணக்கிடுவதற்குச் செல்லலாம். நமக்கு அது கிடைக்கும்

g (1) = 1 3 + 19 1 2 + 82 1 + 60 = 162 g (- 1) = (- 1) 3 + 19 (- 1) 2 + 82 (- 1) + 60 = - 4 கிராம் (2 ) = 2 3 + 19 2 2 + 82 2 + 60 = 308 கிராம் (- 2) = (- 2) 3 + 19 (- 2) 2 + 82 (- 2) + 60 = - 36 கிராம் (3) = 3 3 + 19 3 2 + 82 3 + 60 = 504 கிராம் (- 3) = (- 3) 3 + 19 (- 3) 2 + 82 (- 3) + 60 = - 42 கிராம் (4) = 4 3 + 19 · 4 2 + 82 · 4 + 60 = 756 கிராம் (- 4) = (- 4) 3 + 19 · (- 4) 2 + 82 · (- 4) + 60 = - 28 கிராம் (5) = 5 3 + 19 5 2 + 82 5 + 60 = 1070 கிராம் (- 5) = (- 5) 3 + 19 (- 5) 2 + 82 (- 5) + 60

y = - 5 என்பது y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 வடிவத்தின் ஒரு சமன்பாட்டின் வேர் என்பதைக் காண்கிறோம், அதாவது x = y 2 = - 5 2 என்பது அசல் செயல்பாட்டின் வேர்.

எடுத்துக்காட்டு 8

நெடுவரிசை 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 ஐ x + 5 2 ஆல் வகுக்க வேண்டியது அவசியம்.

தீர்வு

அதை எழுதிப் பெறுவோம்:

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)

வகுப்பிகளைச் சரிபார்க்க அதிக நேரம் எடுக்கும், எனவே x 2 + 7 x + 3 வடிவத்தின் இருபடி முக்கோணத்தை காரணியாக்குவது அதிக லாபம் தரும். பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்வதன் மூலம் பாகுபாடு காண்போம்.

x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 - 4 1 3 = 37 x 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

அதைத் தொடர்ந்து வருகிறது

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை காரணியாக்குவதற்கான செயற்கை நுட்பங்கள்

பகுத்தறிவு வேர்கள் அனைத்து பல்லுறுப்புக்கோவைகளிலும் இயல்பாக இல்லை. இதைச் செய்ய, காரணிகளைக் கண்டறிய நீங்கள் சிறப்பு முறைகளைப் பயன்படுத்த வேண்டும். ஆனால் அனைத்து பல்லுறுப்புக்கோவைகளையும் விரிவாக்கவோ அல்லது ஒரு தயாரிப்பாகக் குறிப்பிடவோ முடியாது.

தொகுத்தல் முறை

ஒரு பொதுவான காரணியைக் கண்டறிந்து அடைப்புக்குறிக்குள் வைக்க, பல்லுறுப்புக்கோவையின் விதிமுறைகளை நீங்கள் தொகுக்கக்கூடிய சந்தர்ப்பங்கள் உள்ளன.

எடுத்துக்காட்டு 9

பல்லுறுப்புக்கோவை x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 காரணி.

தீர்வு

குணகங்கள் முழு எண்களாக இருப்பதால், வேர்களும் முழு எண்களாக இருக்கலாம். சரிபார்க்க, இந்த புள்ளிகளில் உள்ள பல்லுறுப்புக்கோவையின் மதிப்பைக் கணக்கிட 1, - 1, 2 மற்றும் - 2 மதிப்புகளை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். நமக்கு அது கிடைக்கும்

1 4 + 4 1 3 - 1 2 - 8 1 - 2 = - 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 (- 1) - 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 2 3 - 2 2 - 8 2 - 2 = 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 (- 2) - 2 = - 6 ≠ 0

வேர்கள் இல்லை என்பதை இது காட்டுகிறது; விரிவாக்கம் மற்றும் தீர்வின் மற்றொரு முறையைப் பயன்படுத்துவது அவசியம்.

குழுவாக இருப்பது அவசியம்:

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8 x) + x 2 - 2 = = x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 = = (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)

அசல் பல்லுறுப்புக்கோவையைத் தொகுத்த பிறகு, நீங்கள் அதை இரண்டு சதுர முக்கோணங்களின் விளைபொருளாகக் குறிப்பிட வேண்டும். இதைச் செய்ய, நாம் காரணியாக்க வேண்டும். நாங்கள் அதைப் பெறுகிறோம்

x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = - 2 ⇒ x 2 - 2 = x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 - 4 1 1 = 12 x 1 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 x 2 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 - 3 x + 2 + 3

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 = = x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3

கருத்து

குழுவாக்கலின் எளிமை, விதிமுறைகளைத் தேர்ந்தெடுப்பது போதுமானது என்று அர்த்தமல்ல. குறிப்பிட்ட தீர்வு முறை எதுவும் இல்லை, எனவே சிறப்பு கோட்பாடுகள் மற்றும் விதிகளைப் பயன்படுத்துவது அவசியம்.

எடுத்துக்காட்டு 10

பல்லுறுப்புக்கோவை x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 காரணி.

தீர்வு

கொடுக்கப்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு முழு எண் வேர்கள் இல்லை. விதிமுறைகள் குழுவாக இருக்க வேண்டும். நமக்கு அது கிடைக்கும்

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) = (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)

காரணிப்படுத்தலுக்குப் பிறகு நாம் அதைப் பெறுகிறோம்

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2 - 5 2

சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரங்கள் மற்றும் நியூட்டனின் பைனோமியலைப் பயன்படுத்தி ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை காரணி

சிதைவின் போது எந்த முறையைப் பயன்படுத்த வேண்டும் என்பதை தோற்றம் எப்போதும் தெளிவுபடுத்துவதில்லை. மாற்றங்கள் செய்யப்பட்ட பிறகு, நீங்கள் பாஸ்கலின் முக்கோணத்தைக் கொண்ட ஒரு கோட்டை உருவாக்கலாம், இல்லையெனில் அவை நியூட்டனின் இருசொல் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

எடுத்துக்காட்டு 11

பல்லுறுப்புக்கோவை x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 காரணி.

தீர்வு

வெளிப்பாட்டை வடிவத்திற்கு மாற்றுவது அவசியம்

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3

அடைப்புக்குறிக்குள் கூட்டுத்தொகையின் குணகங்களின் வரிசை x + 1 4 என்ற வெளிப்பாட்டால் குறிக்கப்படுகிறது.

இதன் பொருள் எங்களிடம் x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 உள்ளது.

சதுரங்களின் வேறுபாட்டைப் பயன்படுத்திய பிறகு, நாம் பெறுகிறோம்

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3

இரண்டாவது அடைப்புக்குறியில் உள்ள வெளிப்பாட்டைக் கவனியுங்கள். அங்கு மாவீரர்கள் இல்லை என்பது தெளிவாகிறது, எனவே சதுரங்கள் சூத்திரத்தின் வேறுபாட்டை மீண்டும் பயன்படுத்த வேண்டும். வடிவத்தின் வெளிப்பாட்டைப் பெறுகிறோம்

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3

எடுத்துக்காட்டு 12

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 ஐ காரணியாக்கு.

தீர்வு

வெளிப்பாட்டை மாற்ற ஆரம்பிக்கலாம். நமக்கு அது கிடைக்கும்

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 2 x 2 + 3 2 2 x + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2

க்யூப்ஸின் வேறுபாட்டின் சுருக்கமான பெருக்கத்திற்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவது அவசியம். நாங்கள் பெறுகிறோம்:

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 - 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3

ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை காரணியாக்கும்போது ஒரு மாறியை மாற்றுவதற்கான ஒரு முறை

ஒரு மாறியை மாற்றும் போது, ​​பட்டம் குறைக்கப்பட்டு, பல்லுறுப்புக்கோவை காரணியாக்கப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டு 13

x 6 + 5 x 3 + 6 வடிவத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவை காரணி.

தீர்வு

நிபந்தனையின் படி, y = x 3 ஐ மாற்றுவது அவசியம் என்பது தெளிவாகிறது. நாங்கள் பெறுகிறோம்:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6

இதன் விளைவாக வரும் இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்கள் y = - 2 மற்றும் y = - 3, பின்னர்

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3

க்யூப்ஸின் கூட்டுத்தொகையின் சுருக்கமான பெருக்கத்திற்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவது அவசியம். படிவத்தின் வெளிப்பாடுகளைப் பெறுகிறோம்:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 - 3 3 x + 9 3

அதாவது, நாங்கள் விரும்பிய சிதைவைப் பெற்றோம்.

மேலே விவாதிக்கப்பட்ட வழக்குகள் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையை வெவ்வேறு வழிகளில் பரிசீலிக்கவும் காரணியாக்கவும் உதவும்.

உரையில் பிழையைக் கண்டால், அதை முன்னிலைப்படுத்தி Ctrl+Enter ஐ அழுத்தவும்

n பட்டத்தின் எந்த இயற்கணித பல்லுறுப்புக்கோவையையும் ஒரு விளைபொருளாகக் குறிப்பிடலாம் n-நேரியல் காரணிகள்வகை மற்றும் ஒரு நிலையான எண், இது பல்லுறுப்புக்கோவையின் குணகங்கள் மிக உயர்ந்த டிகிரி x, அதாவது.

எங்கே - பல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர்கள்.

பல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர் என்பது பல்லுறுப்புக்கோவையை மறையச் செய்யும் எண் (உண்மையான அல்லது சிக்கலானது) ஆகும். ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர்கள் உண்மையான வேர்கள் அல்லது சிக்கலான இணைந்த வேர்களாக இருக்கலாம், பின்னர் பல்லுறுப்புக்கோவை பின்வரும் வடிவத்தில் குறிப்பிடப்படலாம்:

"n" பட்டத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவைகளை முதல் மற்றும் இரண்டாம் டிகிரிகளின் காரணிகளின் பெருக்கத்தில் சிதைப்பதற்கான முறைகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

முறை எண் 1.தீர்மானிக்கப்படாத குணகங்களின் முறை.

அத்தகைய மாற்றப்பட்ட வெளிப்பாட்டின் குணகங்கள் காலவரையற்ற குணகங்களின் முறையால் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன. முறையின் சாராம்சம் என்னவென்றால், கொடுக்கப்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவை சிதைந்த காரணிகளின் வகை முன்கூட்டியே அறியப்படுகிறது. நிச்சயமற்ற குணகங்களின் முறையைப் பயன்படுத்தும் போது, ​​பின்வரும் அறிக்கைகள் உண்மையாக இருக்கும்:

பி.1 இரண்டு பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் குணகங்கள் x இன் ஒரே சக்திகளுக்கு சமமாக இருந்தால் அவை ஒரே மாதிரியாக சமமாக இருக்கும்.

பி.2 மூன்றாம் பட்டத்தின் எந்த பல்லுறுப்புக்கோவையும் நேரியல் மற்றும் இருபடி காரணிகளின் பெருக்கத்தில் சிதைகிறது.

பி.3. எந்த நான்காம் நிலை பல்லுறுப்புக்கோவை இரண்டு இரண்டாம் நிலை பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் உற்பத்தியாக சிதைக்கப்படலாம்.

எடுத்துக்காட்டு 1.1.கன வெளிப்பாட்டைக் காரணியாக்குவது அவசியம்:

பி.1 ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்ட அறிக்கைகளுக்கு இணங்க, கன வெளிப்பாட்டிற்கு ஒரே மாதிரியான சமத்துவம் உள்ளது:

பி.2 வலது பக்கம்வெளிப்பாடுகளை பின்வரும் விதிமுறைகளாகக் குறிப்பிடலாம்:

பி.3. கன வெளிப்பாட்டின் தொடர்புடைய சக்திகளில் குணகங்களின் சமத்துவ நிலையிலிருந்து சமன்பாடுகளின் அமைப்பை உருவாக்குகிறோம்.

சமன்பாடுகளின் இந்த அமைப்பு குணகங்களைத் தேர்ந்தெடுப்பதன் மூலம் தீர்க்கப்படலாம் (இது ஒரு எளிய கல்விச் சிக்கலாக இருந்தால்) அல்லது தீர்வு முறைகளைப் பயன்படுத்தலாம் நேரியல் அல்லாத அமைப்புகள்சமன்பாடுகள். இந்த சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பதன் மூலம், நிச்சயமற்ற குணகங்கள் பின்வருமாறு தீர்மானிக்கப்படுவதைக் காண்கிறோம்:

எனவே, அசல் வெளிப்பாடு பின்வரும் வடிவத்தில் காரணியாக்கப்படுகிறது:

ஒரு சமன்பாட்டின் மூலத்தைக் கண்டறியும் செயல்முறையை தானியக்கமாக்குவதற்கு இந்த முறை பகுப்பாய்வுக் கணக்கீடுகளிலும் கணினி நிரலாக்கத்திலும் பயன்படுத்தப்படலாம்.

முறை எண் 2.வியட்டா சூத்திரங்கள்

வியட்டாவின் சூத்திரங்கள் n பட்டம் மற்றும் அதன் வேர்களின் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் குணகங்களை இணைக்கும் சூத்திரங்கள் ஆகும். இந்த சூத்திரங்கள் பிரெஞ்சு கணிதவியலாளர் ஃபிராங்கோயிஸ் வியட்டாவின் (1540 - 1603) படைப்புகளில் மறைமுகமாக வழங்கப்பட்டன. Vieth நேர்மறையான உண்மையான வேர்களை மட்டுமே கருத்தில் கொண்டதால், இந்த சூத்திரங்களை ஒரு பொதுவான வெளிப்படையான வடிவத்தில் எழுத அவருக்கு வாய்ப்பு இல்லை.

n-உண்மையான வேர்களைக் கொண்ட பட்டம் n இன் எந்த இயற்கணித பல்லுறுப்புக்கோவைக்கும்,

ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர்களை அதன் குணகங்களுடன் இணைக்கும் பின்வரும் உறவுகள் செல்லுபடியாகும்:

வியட்டாவின் சூத்திரங்கள் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர்களைக் கண்டறிவதற்கான சரியான தன்மையை சரிபார்க்கவும், அதே போல் கொடுக்கப்பட்ட வேர்களிலிருந்து ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையை உருவாக்கவும் பயன்படுத்த வசதியாக இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு 2.1.ஒரு கன சமன்பாட்டின் எடுத்துக்காட்டைப் பயன்படுத்தி ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர்கள் அதன் குணகங்களுடன் எவ்வாறு தொடர்புடையவை என்பதைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

வியட்டாவின் சூத்திரங்களின்படி, ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர்களுக்கும் அதன் குணகங்களுக்கும் இடையிலான உறவு பின்வரும் வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது:

n பட்டத்தின் எந்த பல்லுறுப்புக்கோவைக்கும் இதே போன்ற உறவுகளை உருவாக்கலாம்.

முறை எண் 3. பகுத்தறிவு வேர்களைக் கொண்ட இருபடிச் சமன்பாட்டைக் காரணியாக்குதல்

வியட்டாவின் கடைசி சூத்திரத்திலிருந்து, ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர்கள் அதன் கட்டற்ற கால மற்றும் முன்னணி குணகத்தின் வகுத்தல்களாகும். இது சம்பந்தமாக, சிக்கல் அறிக்கையானது முழு எண் குணகங்களுடன் பட்டம் n இன் பல்லுறுப்புக்கோவையைக் குறிப்பிடுகிறது

இந்த பல்லுறுப்புக்கோவை ஒரு பகுத்தறிவு மூலத்தைக் கொண்டுள்ளது (குறைக்க முடியாத பின்னம்), இங்கு p என்பது இலவச காலத்தின் வகுப்பான், மற்றும் q என்பது முன்னணி குணகத்தின் வகுப்பான். இந்த வழக்கில், பட்டம் n இன் பல்லுறுப்புக்கோவை (Bezout இன் தேற்றம்):

ஆரம்ப பல்லுறுப்புக்கோவையின் பட்டத்தை விட 1 குறைவாக இருக்கும் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை, பட்டம் n இருபக்கத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவையைப் பிரிப்பதன் மூலம் தீர்மானிக்கப்படுகிறது, எடுத்துக்காட்டாக ஹார்னரின் திட்டம் அல்லது பெரும்பாலானவற்றைப் பயன்படுத்துதல் ஒரு எளிய வழியில்- "நெடுவரிசை".

எடுத்துக்காட்டு 3.1.பல்லுறுப்புக்கோவையை காரணியாக்குவது அவசியம்

பி.1 உயர்ந்த காலத்தின் குணகம் என்ற உண்மையின் காரணமாக ஒன்றுக்கு சமம், பின்னர் இந்த பல்லுறுப்புக்கோவையின் பகுத்தறிவு வேர்கள் வெளிப்பாட்டின் இலவச காலத்தின் வகுப்பிகள், அதாவது. முழு எண்களாக இருக்கலாம் . வழங்கப்பட்ட எண்கள் ஒவ்வொன்றையும் அசல் வெளிப்பாட்டிற்கு மாற்றியமைத்து, வழங்கப்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவையின் மூலமானது சமமாக இருப்பதைக் காண்கிறோம்.

அசல் பல்லுறுப்புக்கோவையை இருசொல் மூலம் பிரிப்போம்:

ஹார்னரின் திட்டத்தைப் பயன்படுத்துவோம்

அசல் பல்லுறுப்புக்கோவையின் குணகங்கள் மேல் வரியில் அமைக்கப்பட்டுள்ளன, அதே சமயம் மேல் வரியின் முதல் செல் காலியாக இருக்கும்.

இரண்டாவது வரியின் முதல் கலத்தில், கண்டுபிடிக்கப்பட்ட ரூட் எழுதப்பட்டுள்ளது (பரிசீலனையில் உள்ள எடுத்துக்காட்டில், எண் "2" எழுதப்பட்டுள்ளது), மேலும் கலங்களில் பின்வரும் மதிப்புகள் ஒரு குறிப்பிட்ட வழியில் கணக்கிடப்படுகின்றன மற்றும் அவை குணகங்களாகும் பல்லுறுப்புக்கோவையின், பல்லுறுப்புக்கோவையைப் பிரிப்பதன் மூலம் பெறப்படுகிறது. அறியப்படாத குணகங்கள் பின்வருமாறு தீர்மானிக்கப்படுகின்றன:

முதல் வரிசையின் தொடர்புடைய கலத்திலிருந்து மதிப்பு இரண்டாவது வரிசையின் இரண்டாவது கலத்திற்கு மாற்றப்படுகிறது (கருத்தில் உள்ள எடுத்துக்காட்டில், எண் "1" எழுதப்பட்டுள்ளது).

இரண்டாவது வரிசையின் மூன்றாவது கலமானது முதல் கலத்தின் உற்பத்தியின் மதிப்பு மற்றும் இரண்டாவது வரிசையின் இரண்டாவது கலத்தின் மதிப்பு மற்றும் முதல் வரிசையின் மூன்றாவது கலத்தின் மதிப்பைக் கொண்டுள்ளது (எடுத்துக்காட்டில் 2 ∙ 1 -5 = -3 )

இரண்டாவது வரிசையின் நான்காவது கலமானது முதல் கலத்தின் உற்பத்தியின் மதிப்பு மற்றும் இரண்டாவது வரிசையின் மூன்றாவது கலத்தின் மதிப்பு மற்றும் முதல் வரிசையின் நான்காவது கலத்தின் மதிப்பைக் கொண்டுள்ளது (உதாரணமாக 2 ∙ (-3) +7 = 1).

எனவே, அசல் பல்லுறுப்புக்கோவை காரணியாக்கப்படுகிறது:

முறை எண் 4.சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துதல்

சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரங்கள் கணக்கீடுகளை எளிமைப்படுத்தவும், பல்லுறுப்புக்கோவைகளை காரணியாக்கவும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரங்கள் தனிப்பட்ட சிக்கல்களின் தீர்வை எளிதாக்க உங்களை அனுமதிக்கின்றன.

காரணியாக்கப் பயன்படுத்தப்படும் சூத்திரங்கள்

பல்லுறுப்புக்கோவைகளை காரணியாக்குவது ஒரு அடையாள மாற்றமாகும், இதன் விளைவாக ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை பல காரணிகளின் உற்பத்தியாக மாற்றப்படுகிறது - பல்லுறுப்புக்கோவைகள் அல்லது மோனோமியல்கள்.

பல்லுறுப்புக்கோவைகளை காரணியாக்க பல வழிகள் உள்ளன.

முறை 1. பொதுவான காரணியை அடைப்புக்குறியிலிருந்து வெளியே எடுத்தல்.

இந்த மாற்றம் பெருக்கத்தின் பகிர்வு விதியை அடிப்படையாகக் கொண்டது: ac + bc = c(a + b). மாற்றத்தின் சாராம்சம், பரிசீலனையில் உள்ள இரண்டு கூறுகளில் உள்ள பொதுவான காரணியை தனிமைப்படுத்தி, அடைப்புக்குறிக்குள் இருந்து "எடுப்பது" ஆகும்.

28x 3 – 35x 4 என்ற பல்லுறுப்புக்கோவையை காரணியாக்குவோம்.

தீர்வு.

1. 28x3 மற்றும் 35x4 தனிமங்களுக்கான பொதுவான வகுப்பியைக் கண்டறியவும். 28 மற்றும் 35க்கு 7 ஆக இருக்கும்; x 3 மற்றும் x 4 – x 3 க்கு. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், எங்கள் பொதுவான காரணி 7x 3 ஆகும்.

2. ஒவ்வொரு தனிமத்தையும் காரணிகளின் விளைபொருளாகக் குறிப்பிடுகிறோம், அவற்றில் ஒன்று
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x.

3. பொதுவான காரணியை அடைப்புக்குறிக்குள் இருந்து எடுக்கிறோம்
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x = 7x 3 (4 – 5x).

முறை 2. சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துதல். இந்த முறையைப் பயன்படுத்துவதற்கான "திறமை" என்பது வெளிப்பாட்டில் உள்ள சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரங்களில் ஒன்றைக் கவனிப்பதாகும்.

பல்லுறுப்புக்கோவை x 6 – 1ஐ காரணியாக்குவோம்.

தீர்வு.

1. இந்த வெளிப்பாட்டிற்கு நாம் சதுர சூத்திரத்தின் வேறுபாட்டைப் பயன்படுத்தலாம். இதைச் செய்ய, x 6 ஐ (x 3) 2 ஆகவும், 1 ஐ 1 2 ஆகவும் கற்பனை செய்து பாருங்கள், அதாவது. 1. வெளிப்பாடு வடிவம் எடுக்கும்:
(x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1).

2. க்யூப்ஸின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் வேறுபாட்டிற்கான சூத்திரத்தை அதன் விளைவாக வரும் வெளிப்பாட்டிற்குப் பயன்படுத்தலாம்:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).

எனவே,
x 6 – 1 = (x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).

முறை 3. குழுவாக்கம். குழுவாக்கும் முறையானது ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் கூறுகளை ஒருங்கிணைக்கும் விதத்தில், அவற்றில் செயல்பாடுகளைச் செய்வது எளிது (கூட்டல், கழித்தல், பொதுவான காரணியின் கழித்தல்).

x 3 – 3x 2 + 5x – 15 என்ற பல்லுறுப்புக்கோவையை காரணியாக்குவோம்.

தீர்வு.

1. கூறுகளை இந்த வழியில் தொகுக்கலாம்: 1 வது 2 வது, மற்றும் 3 வது 4 வது
(x 3 - 3x 2) + (5x - 15).

2. விளைவாக வெளிப்பாட்டில், நாம் பொதுவான காரணிகளை அடைப்புக்குறிக்குள் இருந்து எடுக்கிறோம்: முதல் வழக்கில் x 2 மற்றும் இரண்டாவது வழக்கில் 5.
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3).

3. பொதுவான காரணியான x – 3ஐ அடைப்புக்குறிக்குள் எடுத்து, பெறுகிறோம்:
x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3)(x 2 + 5).

எனவே,
x 3 – 3x 2 + 5x – 15 = (x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5 (x – 3) = (x – 3) ∙ (x 2 + 5 )

பொருளைப் பாதுகாப்போம்.

பல்லுறுப்புக்கோவை a 2 – 7ab + 12b 2 காரணி.

தீர்வு.

1. 7ab என்ற மோனோமியலை கூட்டுத்தொகை 3ab + 4ab எனக் குறிப்பிடுவோம். வெளிப்பாடு வடிவம் எடுக்கும்:
a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2.

அடைப்புக்குறிகளைத் திறந்து பெறுவோம்:
a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2.

2. பல்லுறுப்புக்கோவையின் கூறுகளை இவ்வாறு தொகுக்கலாம்: 1வது 2வது மற்றும் 3வது 4வது. நாங்கள் பெறுகிறோம்:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2).

3. பொதுவான காரணிகளை அடைப்புக்குறிக்குள் எடுக்கலாம்:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) = a(a – 3b) – 4b(a – 3b).

4. பொதுவான காரணியை (a - 3b) அடைப்புக்குறிக்குள் எடுக்கலாம்:
a(a – 3b) – 4b(a – 3b) = (a – 3 b) ∙ (a – 4b).

எனவே,
a 2 – 7ab + 12b 2 =
= a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2 =
= (a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) =
= a(a – 3b) – 4b(a – 3b) =
= (a – 3 b) ∙ (a – 4b).

இணையதளம், உள்ளடக்கத்தை முழுமையாகவோ அல்லது பகுதியாகவோ நகலெடுக்கும்போது, ​​மூலத்திற்கான இணைப்பு தேவை.

ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை காரணியாக்குதல். பகுதி 1

காரணியாக்கம்சிக்கலான சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்க்க உதவும் ஒரு உலகளாவிய நுட்பமாகும். வலது பக்கத்தில் பூஜ்ஜியம் இருக்கும் சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்க்கும் போது மனதில் வர வேண்டிய முதல் எண்ணம் இடது பக்கத்தை காரணியாக்க முயற்சிப்பதாகும்.

முக்கிய பட்டியலிடுவோம் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை காரணியாக்குவதற்கான வழிகள்:

• பொதுவான காரணியை அடைப்புக்குறிக்குள் வைக்கிறது
• சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துதல்
• ஒரு இருபடி முக்கோணத்தை காரணியாக்குவதற்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துதல்
• குழு முறை
• ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையை இருசொல் மூலம் வகுத்தல்
• நிச்சயமற்ற குணகங்களின் முறை

இந்த கட்டுரையில் முதல் மூன்று முறைகள் பற்றி விரிவாகப் பேசுவோம், மீதமுள்ளவற்றை அடுத்த கட்டுரைகளில் கருத்தில் கொள்வோம்.

1. பொதுவான காரணியை அடைப்புக்குறியிலிருந்து வெளியே எடுத்தல்.

அடைப்புக்குறிக்குள் இருந்து பொதுவான காரணியை எடுக்க, நீங்கள் முதலில் அதைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். பொதுவான பெருக்கி காரணிஅனைத்து குணகங்களின் மிகப்பெரிய பொதுவான வகுப்பிக்கு சமம்.

கடிதத்தின் பகுதிபொதுவான காரணியானது ஒவ்வொரு காலத்திலும் சிறிய அடுக்குடன் சேர்க்கப்பட்டுள்ள வெளிப்பாடுகளின் பெருக்கத்திற்கு சமம்.

பொதுவான பெருக்கியை ஒதுக்குவதற்கான திட்டம் இதுபோல் தெரிகிறது:

கவனம்!
அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள சொற்களின் எண்ணிக்கை அசல் வெளிப்பாட்டில் உள்ள சொற்களின் எண்ணிக்கைக்கு சமம். விதிமுறைகளில் ஒன்று பொதுவான காரணியுடன் ஒத்துப்போனால், அதை பொதுவான காரணியால் வகுக்கும் போது, ​​​​ஒன்று கிடைக்கும்.

உதாரணம் 1.

பல்லுறுப்புக்கோவை காரணி:

பொதுவான காரணியை அடைப்புக்குறிக்குள் இருந்து எடுக்கலாம். இதைச் செய்ய, முதலில் அதைக் கண்டுபிடிப்போம்.

1. பல்லுறுப்புக்கோவையின் அனைத்து குணகங்களின் மிகப் பெரிய பொதுவான வகுப்பியைக் கண்டறியவும், அதாவது. எண்கள் 20, 35 மற்றும் 15. இது 5 க்கு சமம்.

2. மாறி அனைத்து சொற்களிலும் அடங்கியுள்ளது, மேலும் அதன் அடுக்குகளில் சிறியது 2 க்கு சமம். மாறி அனைத்து சொற்களிலும் அடங்கியுள்ளது, மேலும் அதன் அடுக்குகளில் சிறியது 3 ஆகும்.

மாறி இரண்டாவது வார்த்தையில் மட்டுமே உள்ளது, எனவே இது பொதுவான காரணியின் பகுதியாக இல்லை.

எனவே மொத்த காரணி

3. மேலே கொடுக்கப்பட்டுள்ள வரைபடத்தைப் பயன்படுத்தி அடைப்புக்குறிக்குள் இருந்து பெருக்கியை எடுக்கிறோம்:

எடுத்துக்காட்டு 2.சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்:

தீர்வு. சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தை காரணியாக்குவோம். அடைப்புக்குறிக்குள் காரணியை எடுத்துக் கொள்வோம்:

எனவே நாம் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்

ஒவ்வொரு காரணியையும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்வோம்:

நாம் பெறுகிறோம் - முதல் சமன்பாட்டின் வேர்.

வேர்கள்:

பதில்: -1, 2, 4

2. சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி காரணியாக்கம்.

நாம் காரணியாகப் போகும் பல்லுறுப்புக்கோவையில் உள்ள சொற்களின் எண்ணிக்கை மூன்றை விட குறைவாகவோ அல்லது சமமாகவோ இருந்தால், சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்த முயற்சிக்கிறோம்.

1. பல்லுறுப்புக்கோவை என்றால்இரண்டு சொற்களின் வேறுபாடு, பின்னர் நாங்கள் விண்ணப்பிக்க முயற்சிக்கிறோம் சதுர வேறுபாடு சூத்திரம்:

அல்லது க்யூப்ஸ் சூத்திரத்தின் வேறுபாடு:

கடிதங்கள் இதோ எண் அல்லது இயற்கணித வெளிப்பாட்டைக் குறிக்கவும்.

2. ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை என்பது இரண்டு சொற்களின் கூட்டுத்தொகையாக இருந்தால், ஒருவேளை அதைப் பயன்படுத்தி காரணியாக இருக்கலாம் க்யூப்ஸ் சூத்திரங்களின் கூட்டுத்தொகை:

3. ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை மூன்று சொற்களைக் கொண்டிருந்தால், நாங்கள் விண்ணப்பிக்க முயற்சிக்கிறோம் சதுர தொகை சூத்திரம்:

அல்லது வர்க்க வேறுபாடு சூத்திரம்:

அல்லது நாம் காரணியாக்க முயற்சிக்கிறோம் இருபடி முக்கோணத்தை காரணியாக்குவதற்கான சூத்திரம்:

இங்கே மற்றும் இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்கள்

எடுத்துக்காட்டு 3.வெளிப்பாடு காரணி:

தீர்வு. இரண்டு சொற்களின் கூட்டுத்தொகை நமக்கு முன் உள்ளது. க்யூப்ஸ் தொகைக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த முயற்சிப்போம். இதைச் செய்ய, நீங்கள் முதலில் ஒவ்வொரு சொல்லையும் சில வெளிப்பாடுகளின் கனசதுரமாகக் குறிப்பிட வேண்டும், பின்னர் க்யூப்ஸின் கூட்டுத்தொகைக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும்:

எடுத்துக்காட்டு 4.வெளிப்பாடு காரணி:

முடிவு. இங்கே இரண்டு வெளிப்பாடுகளின் சதுரங்களின் வேறுபாடு உள்ளது. முதல் வெளிப்பாடு: , இரண்டாவது வெளிப்பாடு:

சதுரங்களின் வேறுபாட்டிற்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவோம்:

அடைப்புக்குறிகளைத் திறந்து, ஒத்த சொற்களைச் சேர்ப்போம், நாம் பெறுகிறோம்:

அன்று இந்த பாடம்ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை காரணியாக்குவதற்கு முன்னர் ஆய்வு செய்யப்பட்ட அனைத்து முறைகளையும் நினைவுபடுத்துவோம் மற்றும் அவற்றின் பயன்பாட்டின் உதாரணங்களைக் கருத்தில் கொள்வோம், கூடுதலாக, ஒரு புதிய முறையைப் படிப்போம் - ஒரு முழுமையான சதுரத்தை தனிமைப்படுத்தும் முறை மற்றும் பல்வேறு சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதில் அதை எவ்வாறு பயன்படுத்துவது என்பதைக் கற்றுக்கொள்வோம்.

பொருள்:காரணியாக்கும் பல்லுறுப்புக்கோவைகள்

பாடம்:காரணியாக்கும் பல்லுறுப்புக்கோவைகள். முழுமையான சதுரத்தைத் தேர்ந்தெடுக்கும் முறை. முறைகளின் சேர்க்கை

முன்னர் ஆய்வு செய்யப்பட்ட ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை காரணியாக்குவதற்கான அடிப்படை முறைகளை நினைவுபடுத்துவோம்:

ஒரு பொதுவான காரணியை அடைப்புக்குறிக்குள் வைக்கும் முறை, அதாவது, பல்லுறுப்புக்கோவையின் அனைத்து விதிமுறைகளிலும் இருக்கும் ஒரு காரணி. ஒரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்:

ஒரு மோனோமியல் என்பது அதிகாரங்கள் மற்றும் எண்களின் விளைபொருளாகும் என்பதை நினைவில் கொள்க. எங்கள் எடுத்துக்காட்டில், இரண்டு சொற்களும் சில பொதுவான, ஒரே மாதிரியான கூறுகளைக் கொண்டுள்ளன.

எனவே, அடைப்புக்குறிக்குள் இருந்து பொதுவான காரணியை எடுத்துக் கொள்வோம்:

;

ஒரு அடைப்புக்குறி மூலம் வெளியே எடுக்கப்பட்ட காரணியை பெருக்குவதன் மூலம், எடுக்கப்பட்ட காரணியின் சரியான தன்மையை நீங்கள் சரிபார்க்கலாம் என்பதை உங்களுக்கு நினைவூட்டுவோம்.

தொகுத்தல் முறை. ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையில் பொதுவான காரணியைப் பிரித்தெடுப்பது எப்போதும் சாத்தியமில்லை. இந்த வழக்கில், ஒவ்வொரு குழுவிலும் நீங்கள் ஒரு பொதுவான காரணியை எடுத்து அதை உடைக்க முயற்சிக்கும் வகையில் அதன் உறுப்பினர்களை குழுக்களாகப் பிரிக்க வேண்டும், இதனால் குழுக்களில் உள்ள காரணிகளை எடுத்த பிறகு, ஒரு பொதுவான காரணி தோன்றும் முழு வெளிப்பாடு, மற்றும் நீங்கள் சிதைவை தொடரலாம். ஒரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்:

முதல் வார்த்தையை நான்காவது, இரண்டாவது ஐந்தாவது மற்றும் மூன்றாவது ஆறாவதுடன் தொகுக்கலாம்:

குழுக்களில் உள்ள பொதுவான காரணிகளை எடுத்துக் கொள்வோம்:

வெளிப்பாடு இப்போது ஒரு பொதுவான காரணியைக் கொண்டுள்ளது. அதை வெளியே எடுப்போம்:

சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரங்களின் பயன்பாடு. ஒரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்:

;

வெளிப்பாட்டை விரிவாக எழுதுவோம்:

வெளிப்படையாக, வர்க்க வேறுபாட்டிற்கான சூத்திரம் நமக்கு முன் உள்ளது, ஏனெனில் இது இரண்டு வெளிப்பாடுகளின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் அவற்றின் இரட்டை தயாரிப்பு அதிலிருந்து கழிக்கப்படுகிறது. சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவோம்:

இன்று நாம் மற்றொரு முறையைக் கற்றுக்கொள்வோம் - ஒரு முழுமையான சதுரத்தைத் தேர்ந்தெடுக்கும் முறை. இது தொகையின் வர்க்கம் மற்றும் வேறுபாட்டின் வர்க்கத்தின் சூத்திரங்களை அடிப்படையாகக் கொண்டது. அவர்களுக்கு நினைவூட்டுவோம்:

கூட்டுத்தொகையின் வர்க்கத்திற்கான சூத்திரம் (வேறுபாடு);

இந்த சூத்திரங்களின் தனித்தன்மை என்னவென்றால், அவை இரண்டு வெளிப்பாடுகளின் சதுரங்களையும் அவற்றின் இரட்டை தயாரிப்புகளையும் கொண்டிருக்கின்றன. ஒரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்:

வெளிப்பாட்டை எழுதுவோம்:

எனவே, முதல் வெளிப்பாடு , மற்றும் இரண்டாவது .

ஒரு தொகை அல்லது வேறுபாட்டின் வர்க்கத்திற்கு ஒரு சூத்திரத்தை உருவாக்க, இரண்டு மடங்கு வெளிப்பாடுகளின் பெருக்கல் போதுமானதாக இல்லை. அதை கூட்டி கழிக்க வேண்டும்:

கூட்டுத்தொகையின் வர்க்கத்தை முடிப்போம்:

இதன் விளைவாக வெளிப்பாட்டை மாற்றுவோம்:

சதுரங்களின் வேறுபாட்டிற்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவோம், இரண்டு வெளிப்பாடுகளின் சதுரங்களின் வேறுபாடு அவற்றின் வேறுபாட்டின் கூட்டுத்தொகையாகும் என்பதை நினைவில் கொள்க:

எனவே, இந்த முறையானது, முதலில், ஸ்கொயர் செய்யப்பட்ட a மற்றும் b வெளிப்பாடுகளை நீங்கள் அடையாளம் காண வேண்டும், அதாவது, எந்த வெளிப்பாடுகள் சதுரங்கள் என்பதை தீர்மானிக்க வேண்டும். இந்த எடுத்துக்காட்டில். இதற்குப் பிறகு, இரட்டிப்பான தயாரிப்பு இருப்பதை நீங்கள் சரிபார்க்க வேண்டும், அது இல்லை என்றால், அதைச் சேர்த்து, கழிக்கவும், இது எடுத்துக்காட்டின் அர்த்தத்தை மாற்றாது, ஆனால் பல்லுறுப்புக்கோவையின் வர்க்கத்திற்கான சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி காரணியாக்கப்படலாம். முடிந்தால், சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை அல்லது வேறுபாடு மற்றும் வேறுபாடு.

எடுத்துக்காட்டுகளைத் தீர்ப்பதற்குச் செல்லலாம்.

எடுத்துக்காட்டு 1 - காரணியாக்கு:

ஸ்கொயர் செய்யப்பட்ட வெளிப்பாடுகளைக் கண்டுபிடிப்போம்:

அவர்களின் இரட்டை தயாரிப்பு என்னவாக இருக்க வேண்டும் என்பதை எழுதுவோம்:

தயாரிப்பை இரட்டிப்பாகக் கூட்டி கழிப்போம்:

கூட்டுத்தொகையின் வர்க்கத்தை நிறைவு செய்து, ஒத்தவற்றைக் கொடுப்போம்:

சதுரங்களின் வேறுபாட்டைப் பயன்படுத்தி அதை எழுதுவோம்:

எடுத்துக்காட்டு 2 - சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்:

;

சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தில் ஒரு முக்கோணம் உள்ளது. நீங்கள் அதை காரணிகளாகக் கணக்கிட வேண்டும். வர்க்க வேறுபாடு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

எங்களிடம் முதல் வெளிப்பாட்டின் சதுரம் மற்றும் இரட்டை தயாரிப்பு உள்ளது, இரண்டாவது வெளிப்பாட்டின் சதுரம் இல்லை, அதை கூட்டி கழிப்போம்:

ஒரு முழுமையான சதுரத்தை மடித்து இதே போன்ற சொற்களைக் கொடுப்போம்:

சதுர சூத்திரத்தின் வேறுபாட்டைப் பயன்படுத்துவோம்:

எனவே எங்களிடம் சமன்பாடு உள்ளது

குறைந்தபட்சம் ஒரு காரணி பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால் மட்டுமே ஒரு தயாரிப்பு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் என்பதை நாம் அறிவோம். இதன் அடிப்படையில் பின்வரும் சமன்பாடுகளை உருவாக்குவோம்:

முதல் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்போம்:

இரண்டாவது சமன்பாட்டைத் தீர்ப்போம்:

பதில்: அல்லது

;

முந்தைய உதாரணத்தைப் போலவே நாங்கள் தொடர்கிறோம் - வித்தியாசத்தின் சதுரத்தைத் தேர்ந்தெடுக்கவும்.