கணித தூண்டல் முறை. தூண்டுதலின் எடுத்துக்காட்டுகள். கணித தூண்டல் முறை: தீர்வுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்

இந்த பத்தியில் விவாதிக்கப்படும் ஆதார முறை இயற்கை தொடரின் கோட்பாடுகளில் ஒன்றை அடிப்படையாகக் கொண்டது.

தூண்டலின் கோட்பாடு. ஒரு மாறியைப் பொறுத்து ஒரு வாக்கியம் கொடுக்கப்படட்டும் ப,அதற்கு பதிலாக நீங்கள் எந்த இயற்கை எண்களையும் மாற்றலாம். அதைக் குறிப்போம் A(p).சலுகையும் விடுங்கள் ஏஎண் 1 க்கும் உண்மையிலிருந்தும் உண்மை ஏஎண்ணுக்கு உண்மை செய்ய, அது பின்வருமாறு ஏஎண்ணுக்கு உண்மை k+ 1. பின்னர் வழங்கவும் ஏஅனைத்து இயற்கை மதிப்புகளுக்கும் உண்மை ப.

கோட்பாட்டின் குறியீட்டு குறியீடு:

இங்கே உச்சம்-இயற்கை எண்களின் தொகுப்பின் மீது மாறிகள். தூண்டலின் கோட்பாட்டிலிருந்து பின்வரும் அனுமான விதியைப் பெறுகிறோம்:

எனவே, வாக்கியத்தின் உண்மையை நிரூபிப்பதற்காக ஏ,நீங்கள் முதலில் இரண்டு அறிக்கைகளை நிரூபிக்க முடியும்: அறிக்கையின் உண்மை A( 1), அத்துடன் ஒரு விளைவு ஏ(கே) => A(k+ 1).

மேற்கூறியவற்றைக் கருத்தில் கொண்டு, சாரத்தை விவரிப்போம் முறை

கணித தூண்டல்.

முன்மொழிவு என்பதை நிரூபிக்க வேண்டியது அவசியம் A(n)அனைத்து இயற்கைகளுக்கும் உண்மை ப.ஆதாரம் இரண்டு நிலைகளாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளது.

1 வது நிலை. தூண்டல் அடிப்படை.மதிப்பாக எடுத்துக் கொள்கிறோம் nஎண் 1 மற்றும் அதை சரிபார்க்கவும் A( 1) ஒரு உண்மையான அறிக்கை உள்ளது.
2 வது நிலை. தூண்டல் மாற்றம்.எந்தவொரு இயற்கை எண்ணுக்கும் நாங்கள் அதை நிரூபிக்கிறோம் செய்யஉட்குறிப்பு உண்மை: என்றால் ஏ(கே), அது A(k+ 1).

தூண்டல் மாற்றம் வார்த்தைகளுடன் தொடங்குகிறது: "தன்னிச்சையான இயற்கை எண்ணை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள் செய்ய,அத்தகைய A(k)",அல்லது “அதற்கு விடுங்கள் இயற்கை எண் செய்யசரி ஏ(கே)”"விடுங்கள்" என்ற வார்த்தைக்கு பதிலாக அவர்கள் அடிக்கடி "அது என்று வைத்துக்கொள்வோம்..." என்று கூறுகிறார்கள்.

இந்த வார்த்தைகளுக்குப் பிறகு கடிதம் செய்யஉறவு வைத்திருக்கும் ஒரு குறிப்பிட்ட நிலையான பொருளைக் குறிக்கிறது A(k)அடுத்து ஏ(கே)நாம் விளைவுகளை வரைகிறோம், அதாவது வாக்கியங்களின் சங்கிலியை உருவாக்குகிறோம் ஏ(கே) 9 ஆர், பை, ..., P„ = A(k+ 1), ஒவ்வொரு வாக்கியமும் ஆர்,உண்மையான கூற்று அல்லது முந்தைய வாக்கியங்களின் விளைவு. கடைசி சலுகை ஆர்"பொருந்த வேண்டும் A(k+ 1) இதிலிருந்து நாம் முடிவு செய்கிறோம்: இருந்து ஏ(கே)வேண்டும் A(k+).

தூண்டல் மாற்றத்தைச் செய்வதை இரண்டு செயல்களாகப் பிரிக்கலாம்:

1) தூண்டல் அனுமானம். இங்கே நாம் என்று கருதுகிறோம் ஏ செய்யமாறி n
2) அனுமானத்தின் அடிப்படையில், நாங்கள் அதை நிரூபிக்கிறோம் ஏஎண்ணுக்கு உண்மையா?+1.

எடுத்துக்காட்டு 5.5.1.எண் என்பதை நிரூபிப்போம் ப+பஅனைத்து இயற்கை எண்களுக்கும் சமமானது ப.

இங்கே A(n) = "ப 2 + ப- இரட்டை எண்." என்பதை நிரூபிக்க வேண்டியது அவசியம் A -ஒரே மாதிரியான உண்மை கணிப்பு. கணிதத் தூண்டல் முறையைப் பயன்படுத்துவோம்.

தூண்டல் அடிப்படை. l=1ஐ எடுத்துக்கொள்வோம். அதை வெளிப்பாடாக மாற்றுவோம் n+//, நாங்கள் பெறுகிறோம் n 2 +n= I 2 + 1 = 2 என்பது ஒரு இரட்டை எண், அதாவது /1(1) ஒரு உண்மையான கூற்று.

உருவாக்குவோம் தூண்டல் கருதுகோள் A(k)= "எண் k 2 +k -கூட." நீங்கள் இதைச் சொல்லலாம்: “தன்னிச்சையான இயற்கை எண்ணை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள் செய்யஅத்தகைய k 2 +kஇரட்டை எண் உள்ளது."

அறிக்கையை இங்கிருந்து பெறுவோம் A(kA-)= "எண் (k+ 1) 2 +(?+1) - கூட.”

செயல்பாடுகளின் பண்புகளின் அடிப்படையில் மாற்றங்களைச் செய்வோம்:

விளைந்த கூட்டுத்தொகையின் முதல் சொல் அனுமானத்தின் மூலம் சமமானது, இரண்டாவது வரையறையின்படி சமமானது (படிவம் 2 ஐக் கொண்டிருப்பதால் இது சமமானது. ப).இதன் பொருள் கூட்டு எண். சலுகை A(k+ 1) நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

கணித தூண்டல் முறையைப் பயன்படுத்தி, நாங்கள் முடிவு செய்கிறோம்: முன்மொழிவு A(n)அனைத்து இயற்கைகளுக்கும் உண்மை ப.

நிச்சயமாக, ஒவ்வொரு முறையும் பதவியை உள்ளிட வேண்டிய அவசியமில்லை A(p).இருப்பினும், தூண்டல் கருதுகோளை உருவாக்க இன்னும் பரிந்துரைக்கப்படுகிறது மற்றும் அதிலிருந்து ஒரு தனி வரியில் கழிக்கப்பட வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டு 5.5.1 இன் அறிக்கையை கணித தூண்டல் முறையைப் பயன்படுத்தாமல் நிரூபிக்க முடியும் என்பதை நினைவில் கொள்க. இதைச் செய்ய, இரண்டு நிகழ்வுகளைக் கருத்தில் கொள்வது போதுமானது: எப்போது nகூட மற்றும் எப்போது nஒற்றைப்படை.

கணித தூண்டல் முறையைப் பயன்படுத்தி பல வகுத்தல் சிக்கல்கள் தீர்க்கப்படுகின்றன. இன்னும் சிக்கலான உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்.

எடுத்துக்காட்டு 5.5.2.எண் 15 2i_| என்பதை நிரூபிப்போம் அனைத்து இயற்கைக்கும் +1 என்பது 8 ஆல் வகுபடும் ப.

பச்சா தூண்டல்./1=1ஐ எடுத்துக்கொள்வோம். எங்களிடம் உள்ளது: எண் 15 2|_| +1 = 15+1 = 16 எண் 8 ஆல் வகுக்கப்படும்.

என்று சிலருக்கு

இயற்கை எண் செய்யஎண் 15 2 * ’+1 8 ஆல் வகுபடும்.

நிரூபிப்போம்எண் என்ன ஏ= 15 2(VN +1 பிரிகிறது 8.

எண்ணை மாற்றுவோம் A:

அனுமானத்தின்படி, எண் 15 2A1 +1 8 ஆல் வகுபடும், அதாவது முழு முதல் காலமும் 8 ஆல் வகுபடும். இரண்டாவது சொல் 224 = 8-28 8 ஆல் வகுபடும். இதனால், எண் ஏ 8 இன் பெருக்கல்களாக இருக்கும் இரண்டு எண்களின் வேறுபாடு எப்படி 8 ஆல் வகுக்கப்படுகிறது. தூண்டல் மாற்றம் நியாயமானது.

கணித தூண்டல் முறையின் அடிப்படையில், அனைத்து இயற்கைக்கும் என்று முடிவு செய்கிறோம் nஎண் 15 2 "-1 -*-1 என்பது 8 ஆல் வகுபடும்.

தீர்க்கப்பட்ட சிக்கலைப் பற்றி சில கருத்துக்களைக் கூறுவோம்.

நிரூபிக்கப்பட்ட அறிக்கையை சற்று வித்தியாசமாக உருவாக்கலாம்: "எண் 15"+1 என்பது எந்த ஒற்றைப்படை இயற்கையான / மற்றும் 8 ஆல் வகுபடும்.

இரண்டாவதாக, நிரூபிக்கப்பட்ட பொது அறிக்கையிலிருந்து ஒருவர் ஒரு குறிப்பிட்ட முடிவை எடுக்கலாம், அதற்கான ஆதாரம் ஒரு தனி சிக்கலாக கொடுக்கப்படலாம்: எண் 15 2015 +1 என்பது 8 ஆல் வகுபடும். எனவே, சில சமயங்களில் சிலவற்றைக் குறிப்பதன் மூலம் சிக்கலைப் பொதுமைப்படுத்துவது பயனுள்ளதாக இருக்கும். குறிப்பிட்ட பொருள்கடிதம், பின்னர் கணித தூண்டல் முறையைப் பயன்படுத்தவும்.

மிகவும் பொதுவான புரிதல்"தூண்டல்" என்ற வார்த்தையின் அர்த்தம், குறிப்பிட்ட எடுத்துக்காட்டுகளின் அடிப்படையில் பொதுவான முடிவுகள் எடுக்கப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, 2+4=6, 2+8=10, 4+6=10, 8+12=20, 16+22=38 என்ற இரட்டை எண்களின் கூட்டுத்தொகைகளின் சில எடுத்துக்காட்டுகளைக் கருத்தில் கொண்டு, ஏதேனும் இரண்டின் கூட்டுத்தொகை என்று முடிவு செய்கிறோம். இரட்டை எண்கள் இரட்டை எண்.

பொதுவாக, இத்தகைய தூண்டல் தவறான முடிவுகளுக்கு வழிவகுக்கும். அத்தகைய தவறான காரணத்திற்கு ஒரு உதாரணம் தருவோம்.

எடுத்துக்காட்டு 5.5.3. எண்ணைக் கவனியுங்கள் ஏஇயற்கைக்கு = /g+i+41/?.

மதிப்புகளைக் கண்டுபிடிப்போம் ஏசில மதிப்புகளுக்கு ப.

விடுங்கள் n=ஐ. பிறகு a = 43 என்பது பகா எண்.

விடு /7=2. பிறகு ஏ= 4+2+41 = 47 - முதன்மை.

l=3 என்று விடுங்கள். பிறகு ஏ= 9+3+41 = 53 - முதன்மை.

விடு /7=4. பிறகு ஏ= 16+4+41 = 61 - முதன்மை.

மதிப்புகளாக எடுத்துக் கொள்ளுங்கள் n 5, 6, 7 போன்ற நான்கிற்குப் பின் வரும் எண்கள் மற்றும் எண்ணை உறுதி செய்து கொள்ளவும் ஏஎளிமையாக இருக்கும்.

நாங்கள் முடிக்கிறோம்: “எல்லா இயற்கைக்கும் /? எண் ஏஎளிமையாக இருக்கும்."

இதன் விளைவாக ஒரு தவறான அறிக்கை. ஒரு எதிர் உதாரணம் தருவோம்: /7=41. இதை உறுதிப்படுத்திக் கொள்ளுங்கள் nஎண் ஏகலவையாக இருக்கும்.

"கணித தூண்டல்" என்ற வார்த்தைக்கு குறுகிய அர்த்தம் உள்ளது, ஏனெனில் இந்த முறையின் பயன்பாடு எப்போதும் சரியான முடிவைப் பெற அனுமதிக்கிறது.

எடுத்துக்காட்டு 5.5.4. தூண்டல் பகுத்தறிவின் அடிப்படையில், எண்கணித முன்னேற்றத்தின் பொதுவான காலத்திற்கான சூத்திரத்தைப் பெறுகிறோம். ஒரு எண்கணிதத் தொழில் என்பது ஒரு எண் வரிசை என்பதை நினைவு கூர்வோம், அதன் ஒவ்வொரு உறுப்பினரும் முந்தைய எண்ணிலிருந்து வேறுபடுகிறது, இது முன்னேற்ற வேறுபாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு எண்கணிதத் தொழிலைத் தனித்துவமாகக் குறிப்பிட, அதன் முதல் உறுப்பினரைக் குறிப்பிட வேண்டும் ஏமற்றும் வேறுபாடு ஈ.

எனவே, வரையறையின்படி ஒரு n+ = a n + d,மணிக்கு n> 1.

ஒரு பள்ளி கணித பாடத்தில், ஒரு விதியாக, எண்கணிதத் தொழிலின் பொதுவான காலத்திற்கான சூத்திரம் குறிப்பிட்ட எடுத்துக்காட்டுகளின் அடிப்படையில், அதாவது தூண்டல் மூலம் நிறுவப்பட்டது.

என்றால் /7=1, பிறகு உடன் 7| = நான்|, அது நான்| = tf|+df(l -1).

/7=2 எனில், நான் 2 = a+d,அதாவது ஏ= நான்|+*/(2-1).

/7=3 எனில், i 3 = i 2 + = (a+d)+d = a+2d,அதாவது, I 3 = I|+(3-1).

/7=4 எனில், i 4 = i 3 +*/ = ( a+2d)+d= R1+3, முதலியன

கொடுக்கப்பட்ட குறிப்பிட்ட எடுத்துக்காட்டுகள் ஒரு கருதுகோளை முன்வைக்க அனுமதிக்கின்றன: பொதுவான சொல்லின் சூத்திரம் வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது ஏ" = a+(n-)dஅனைவருக்கும் /7>1.

இந்த சூத்திரத்தை கணித தூண்டல் மூலம் நிரூபிப்போம்.

தூண்டல் அடிப்படைமுந்தைய விவாதங்களில் சரிபார்க்கப்பட்டது.

விடுங்கள் செய்ய -நான்* - a+(k-)d (தூண்டல் அனுமானம்).

நிரூபிப்போம், என்று நான்*+! = a+((k+)-)d,அதாவது, நான்*+1 = ஒரு x +kd.

வரையறையின்படி I*+1 = ab+d. ஒரு செய்ய= நான் | +(கே-1 )d, பொருள் ac+= i i +(A:-1)^/+c/ = i | +(A-1+1 )d= நான் +kd, இது நிரூபிக்கப்பட வேண்டியது (தூண்டல் மாற்றத்தை நியாயப்படுத்த).

இப்போது சூத்திரம் i„ = a+(n-)dஎந்த இயற்கை எண்ணுக்கும் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது /;.

சில வரிசைகள் i ь i 2, i,„... (இல்லை

அவசியமாக ஒரு எண்கணிதம் அல்லது வடிவியல் முன்னேற்றம்). முதலில் சுருக்கமாகச் சொல்ல வேண்டிய இடத்தில் அடிக்கடி சிக்கல்கள் எழுகின்றன nஇந்த வரிசையின் விதிமுறைகள், அதாவது, I|+I 2 +...+I மற்றும் வரிசையின் விதிமுறைகளைக் கணக்கிடாமல் இந்தத் தொகையின் மதிப்புகளைக் கண்டறிய உங்களை அனுமதிக்கும் சூத்திரத்தைக் குறிப்பிடவும்.

எடுத்துக்காட்டு 5.5.5. முதல் தொகை என்பதை நிரூபிப்போம் nஇயற்கை எண்கள் சமம்

/?(/7 + 1)

1+2+...+/7 மூலம் கூட்டுத்தொகையைக் குறிப்போம் எஸ் என்.மதிப்புகளைக் கண்டுபிடிப்போம் எஸ் என்சிலருக்கு /7.

குறிப்பு: தொகை S 4 ஐக் கண்டுபிடிக்க, 5 4 = 5 3 +4 என்பதால், நீங்கள் முன்பு கணக்கிடப்பட்ட மதிப்பு 5 3 ஐப் பயன்படுத்தலாம்.

ப(ப +1)

நாம் கருதப்பட்ட மதிப்புகளை மாற்றினால் /? கால --- பின்னர்

நாம் முறையே 1, 3, 6, 10 ஆகிய அதே தொகைகளைப் பெறுகிறோம். இந்த அவதானிப்புகள்

. _ p(p + 1)

சூத்திரம் என்று பரிந்துரைக்கின்றன எஸ்„=--- எப்போது பயன்படுத்தலாம்

ஏதேனும் //. இந்த கருதுகோளை கணித தூண்டல் முறையைப் பயன்படுத்தி நிரூபிப்போம்.

தூண்டல் அடிப்படைசரிபார்க்கப்பட்டது. செய்வோம் தூண்டல் மாற்றம்.

யூகிக்கிறேன்சில இயற்கை எண்ணுக்கு சூத்திரம் உண்மை

, k(k + 1)

k, பின்னர் பிணையம் என்பது முதல் தொகையின் கூட்டுத்தொகையாகும் செய்யஇயற்கை எண்கள் ----க்கு சமம்.

நிரூபிப்போம்முதல் (?+1) இயல் எண்களின் கூட்டுத்தொகை சமம்

(* + !)(* + 2)

வெளிப்படுத்தலாமா?*+1 மூலம் எஸ் கே .இதைச் செய்ய, S*+i என்ற தொகையில் நாம் முதலில் குழுவாக்குவோம் செய்யவிதிமுறைகள் மற்றும் கடைசி வார்த்தையை தனித்தனியாக எழுதவும்:

தூண்டல் கருதுகோள் மூலம் எஸ் கே =எனவே கண்டுபிடிக்க

ஏற்கனவே கணக்கிடப்பட்டதற்கு முதல் (?+1) இயல் எண்களின் கூட்டுத்தொகை போதுமானது

. „ k(k + 1) _ .. ..

முதல் தொகை செய்ய---க்கு சமமான எண்கள், ஒரு சொல்லைச் சேர்க்கவும் (k+1).

தூண்டல் மாற்றம் நியாயமானது. இவ்வாறு, ஆரம்பத்தில் முன்வைக்கப்பட்ட கருதுகோள் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

பார்முலா ஆதாரம் கொடுத்துள்ளோம் எஸ் என் = n^n+ முறை

கணித தூண்டல். நிச்சயமாக, வேறு சான்றுகள் உள்ளன. உதாரணமாக, நீங்கள் தொகையை எழுதலாம் எஸ்,விதிமுறைகளின் ஏறுவரிசையில், பின்னர் விதிமுறைகளின் இறங்கு வரிசையில்:

ஒரு நெடுவரிசையில் உள்ள சொற்களின் கூட்டுத்தொகை நிலையானது (ஒரு தொகையில், ஒவ்வொரு அடுத்த காலமும் 1 ஆல் குறைகிறது, மற்றொன்றில் 1 அதிகரிக்கிறது) மற்றும் (/r + 1) சமமாக இருக்கும். எனவே, விளைந்த தொகைகளைச் சேர்த்தால், எங்களிடம் இருக்கும் n(u+1) க்கு சமமான விதிமுறைகள். எனவே தொகை இரட்டிப்பாகும் எஸ்"சமமாக n(n+ 1).

நிரூபிக்கப்பட்ட சூத்திரத்தை முதல் தொகைக்கான சூத்திரத்தின் சிறப்பு வழக்காகப் பெறலாம் nஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகள்.

கணிதத் தூண்டல் முறைக்கு வருவோம். கணித தூண்டல் முறையின் முதல் நிலை (தூண்டலின் அடிப்படை) எப்போதும் அவசியம் என்பதை நினைவில் கொள்க. இந்த படிநிலையை தவறவிடுவது தவறான முடிவுக்கு வழிவகுக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு 5.5.6. வாக்கியத்தை "நிரூபிப்போம்": "எண் 7"+1 என்பது எந்த இயல் எண்ணுக்கும் 3 ஆல் வகுபடும் i."

"சில இயற்கை மதிப்பு என்று வைத்துக்கொள்வோம் செய்யஎண் 7*+1 என்பது 3 ஆல் வகுபடும். 7 x +1 என்ற எண் 3 ஆல் வகுபடும் என்பதை நிரூபிப்போம். மாற்றங்களைச் செய்யவும்:

எண் 6 என்பது வெளிப்படையாக 3 ஆல் வகுபடும். எண் 1 முதல் + வரைதூண்டல் கருதுகோள் மூலம் 3 ஆல் வகுபடும், அதாவது எண் 7-(7* + 1) 3 ஆல் வகுபடும். எனவே, 3 ஆல் வகுபடும் எண்களின் வேறுபாடும் 3 ஆல் வகுபடும்.

முன்மொழிவு நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது."

தூண்டல் பாய்ச்சல் சரியாக நிகழ்த்தப்பட்டாலும், அசல் முன்மொழிவின் ஆதாரம் தவறானது. உண்மையில், எப்போது n=எங்களிடம் எண் 8 உள்ளது n=2 -எண் 50, ..., இந்த எண்கள் எதுவும் 3 ஆல் வகுபடாது.

ஒரு தூண்டல் மாற்றத்தைச் செய்யும்போது ஒரு இயற்கை எண்ணின் குறியீடைப் பற்றி ஒரு முக்கியமான குறிப்பை உருவாக்குவோம். ஒரு முன்மொழிவை உருவாக்கும் போது A(n)கடிதம் nநாம் ஒரு மாறியைக் குறிப்பிட்டோம், அதற்குப் பதிலாக எந்த இயற்கை எண்களையும் மாற்றலாம். தூண்டல் கருதுகோளை உருவாக்கும் போது, மாறியின் மதிப்பை எழுத்தின் மூலம் குறிப்போம் செய்ய.இருப்பினும், பெரும்பாலும் ஒரு புதிய கடிதத்திற்கு பதிலாக செய்யஅதே எழுத்தை மாறியாகப் பயன்படுத்தவும். தூண்டல் மாற்றத்தை மேற்கொள்ளும் போது இது எந்த வகையிலும் பகுத்தறிவின் கட்டமைப்பை பாதிக்காது.

கணித தூண்டல் முறையைப் பயன்படுத்தி தீர்க்கக்கூடிய சிக்கல்களின் இன்னும் சில எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்ப்போம்.

எடுத்துக்காட்டு 5.5.7. தொகையின் மதிப்பைக் கண்டுபிடிப்போம்

பணியில் மாறி nதோன்றவில்லை. இருப்பினும், விதிமுறைகளின் வரிசையைக் கவனியுங்கள்:

குறிப்போம் S, = a+a 2 +...+a„.நாம் கண்டுபிடிப்போம் எஸ்"சிலருக்கு ப.என்றால் /1= 1, பிறகு S, =а, =-.

என்றால் n= 2. பின்னர் எஸ், = ஏ, + ஏ? = - + - = - = -.

என்றால் /?=3, பின்னர் S-, = a,+a 7+ i, = - + - + - = - + - = - = -.

3 1 - 3 2 6 12 3 12 12 4

மதிப்புகளை நீங்களே கணக்கிடலாம் எஸ்"மணிக்கு /7 = 4; 5. எழுகிறது

இயற்கை அனுமானம்: எஸ் என்= -- எந்த இயற்கைக்கும் /7. நிரூபிப்போம்

இதுவே கணிதத் தூண்டல் முறை.

தூண்டல் அடிப்படைமேலே சரிபார்க்கப்பட்டது.

செய்வோம் தூண்டல் சந்திப்பு, தன்னிச்சையாக எடுக்கப்பட்டதைக் குறிக்கிறது

மாறி மதிப்பு nஅதே கடிதத்துடன், அதாவது சமத்துவத்தில் இருந்து நிரூபிப்போம்

0 /7 _ /7 +1

எஸ் என்=-சமத்துவம் பின்வருமாறு எஸ், =-.

/7+1 /7 + 2

யூகிக்கிறேன்சமத்துவம் உண்மை என்று எஸ்= - பி -.

அதை சுருக்கமாகச் சொல்லலாம் S„+முதலில் nவிதிமுறைகள்:

தூண்டல் கருதுகோளைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், நாம் பெறுகிறோம்:

பின்னத்தை (/7+1) ஆல் குறைத்தால், எங்களிடம் சமத்துவம் உள்ளது எஸ் n +1 -, எல்

தூண்டல் மாற்றம் நியாயமானது.

முதலின் கூட்டுத்தொகை என்பதை இது நிரூபிக்கிறது nவிதிமுறைகள்

1 1 1 /7 ^
- +-+...+- சமம் -. இப்போது அசல் நிலைக்கு வருவோம்
1-2 2-3 /?(// +1) /7 + 1

பணி. அதைத் தீர்க்க, மதிப்பாக எடுத்துக் கொண்டால் போதும் nஎண் 99.

பிறகு -!- + -!- + -!- + ...+ --- என்பது 0.99 என்ற எண்ணுக்குச் சமமாக இருக்கும்.

1-2 2-3 3-4 99100

இந்த தொகையை வேறு வழியில் கணக்கிட முயற்சிக்கவும்.

எடுத்துக்காட்டு 5.5.8. எந்த வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான வேறுபட்ட சார்புகளின் கூட்டுத்தொகையின் வழித்தோன்றல் இந்த சார்புகளின் வழித்தோன்றல்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம் என்பதை நிரூபிப்போம்.

மாறி விடுங்கள் /? இந்த செயல்பாடுகளின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கிறது. ஒரே ஒரு செயல்பாடு மட்டுமே கொடுக்கப்பட்டால், தொகை துல்லியமாக இந்தச் சார்பு என்று புரிந்து கொள்ளப்படும். எனவே, /7=1 எனில், அந்த அறிக்கை வெளிப்படையாக உண்மை: /" = /".

யூகிக்கிறேன்அறிக்கை ஒரு தொகுப்பிற்கு உண்மை என்று nசெயல்பாடுகள் (இங்கு மீண்டும் கடிதத்திற்கு பதிலாக செய்யகடிதம் எடுக்கப்பட்டது ப),அதாவது தொகையின் வழித்தோன்றல் nசெயல்பாடுகள் டெரிவேடிவ்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்.

நிரூபிப்போம்சார்புகளின் கூட்டுத்தொகையின் (i+1) வழித்தோன்றல், வழித்தோன்றல்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம். அடங்கிய ஒரு தன்னிச்சையான தொகுப்பை எடுத்துக் கொள்வோம் n+வேறுபட்ட செயல்பாடு: /1,/2, . இந்த செயல்பாடுகளின் கூட்டுத்தொகையை கற்பனை செய்வோம்

வடிவத்தில் g+f„+ 1, எங்கே g=f +/g + ... +/ t -தொகை nசெயல்பாடுகள். தூண்டல் கருதுகோள் மூலம், செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் gவழித்தோன்றல்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்: g" = அடி +அடி + ... +அடி.எனவே, பின்வரும் சமத்துவச் சங்கிலி உள்ளது:

தூண்டல் மாற்றம் முடிந்தது.

எனவே, எந்தவொரு வரையறுக்கப்பட்ட செயல்பாடுகளுக்கும் அசல் முன்மொழிவு நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

சில சந்தர்ப்பங்களில் ஒரு வாக்கியத்தின் உண்மையை நிரூபிக்க வேண்டியது அவசியம் A(n)அனைத்து இயற்கையான சுயங்களுக்கும், சில மதிப்பிலிருந்து தொடங்கி உடன்.அத்தகைய சந்தர்ப்பங்களில் கணித தூண்டல் மூலம் ஆதாரம் பின்வரும் திட்டத்தின் படி மேற்கொள்ளப்படுகிறது.

தூண்டல் அடிப்படை.நாங்கள் முன்மொழிவை நிரூபிக்கிறோம் ஏமதிப்புக்கு உண்மை ப,சமமான உடன்.

தூண்டல் மாற்றம். 1) முன்மொழிவு என்று நாங்கள் கருதுகிறோம் ஏசில மதிப்புகளுக்கு உண்மை செய்யமாறி /?, இது பெரியது அல்லது சமமானது உடன்.

2) முன்மொழிவை நாங்கள் நிரூபிக்கிறோம் ஏக்கு சமம்

கடிதத்திற்கு பதிலாக என்பதை மீண்டும் கவனியுங்கள் செய்யமாறி பதவி பெரும்பாலும் விடப்படுகிறது ப.இந்த வழக்கில், தூண்டல் மாற்றம் வார்த்தைகளுடன் தொடங்குகிறது: "சில மதிப்பு என்று வைத்துக்கொள்வோம் p>sசரி A(p).அப்படியானால் அது உண்மை என்பதை நிரூபிப்போம் A(n+ 1)".

எடுத்துக்காட்டு 5.5.9. இயற்கையானது என்பதை நிரூபிப்போம் n> 5 சமத்துவமின்மை 2” > மற்றும் 2 உண்மை.

தூண்டல் அடிப்படை.விடுங்கள் n= 5. பிறகு 2 5 =32, 5 2 =25. சமத்துவமின்மை 32>25 உண்மை.

தூண்டல் மாற்றம். யூகிக்கிறேன்சமத்துவமின்மை 2 உள்ளது பி > ப 2சில இயற்கை எண்ணுக்கு n> 5. நிரூபிப்போம், இது 2" +| > (n+1) 2 .

டிகிரி 2” +| பண்புகளின்படி = 2-2". 2">I 2 (இண்டக்டிவ் அனுமானத்தின் மூலம்), பின்னர் 2-2">2I 2 (I).

2 என்பதை நிரூபிப்போம் n 2(i+1) 2 ஐ விட பெரியது. அது முடியும் வெவ்வேறு வழிகளில். இருபடி சமத்துவமின்மையைத் தீர்த்தால் போதும் 2x 2 >(x+) 2உண்மையான எண்களின் தொகுப்பில் மற்றும் 5 ஐ விட அதிகமான அல்லது அதற்கு சமமான அனைத்து இயற்கை எண்களும் அதன் தீர்வுகள் என்று பார்க்கவும்.

நாங்கள் பின்வருமாறு தொடருவோம். எண்கள் 2 இன் வேறுபாட்டைக் கண்டுபிடிப்போம் n 2மற்றும் (i+1) 2:

இருந்து > 5, பின்னர் i+1 > 6, அதாவது (i+1) 2 > 36. எனவே, வேறுபாடு 0 ஐ விட அதிகம். எனவே, 2i 2 > (i+1) 2 (2).

(I) மற்றும் (2) இலிருந்து ஏற்றத்தாழ்வுகளின் பண்புகளின்படி, இது 2*2" > (i+1) 2 ஐப் பின்பற்றுகிறது, இது தூண்டல் மாற்றத்தை நியாயப்படுத்த நிரூபிக்கப்பட வேண்டும்.

கணித தூண்டல் முறையின் அடிப்படையில், சமத்துவமின்மை என்று முடிவு செய்கிறோம் 2" > எந்த இயல் எண்களுக்கும் i 2 சரியானது i.

கணிதத் தூண்டல் முறையின் மற்றொரு வடிவத்தைக் கருத்தில் கொள்வோம். வேறுபாடு தூண்டல் மாற்றத்தில் உள்ளது. அதை செயல்படுத்த, நீங்கள் இரண்டு படிகளை முடிக்க வேண்டும்:

1) முன்மொழிவு என்று வைத்துக்கொள்வோம் A(n)ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணை விட குறைவான மாறியின் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் உண்மை ப;
2) முன்வைக்கப்பட்ட அனுமானத்திலிருந்து, அந்த முன்மொழிவைக் கழிக்கவும் A(n)எண்களுக்கும் உண்மை ஆர்.

எனவே, தூண்டல் மாற்றத்திற்கு இணைச் சான்று தேவை: [(Ui?) A(p)] => A(p).தொடர்ச்சியை இவ்வாறு மீண்டும் எழுதலாம் என்பதை நினைவில் கொள்ளவும்: [(Up^p) A(p)] => A(p+ 1).

ஒரு கருத்தை நிரூபிக்கும் போது கணித தூண்டல் முறையின் அசல் உருவாக்கத்தில் A(p)நாங்கள் "முந்தைய" வாக்கியத்தை மட்டுமே நம்பியிருந்தோம் A(p- 1) இங்கே கொடுக்கப்பட்ட முறையின் உருவாக்கம் நம்மைப் பெற அனுமதிக்கிறது A(p),அனைத்து முன்மொழிவுகளையும் கருத்தில் கொண்டு A(p),நான் எங்கே குறைவாக இருக்கிறேன் ஆர், உண்மை.

எடுத்துக்காட்டு 5.5.10. தேற்றத்தை நிரூபிப்போம்: “தொகை உள் மூலைகள்எந்த ஐ-கோனும் 180°(i-2)க்கு சமம்."

ஒரு குவிந்த பலகோணத்திற்கு, தேற்றத்தை ஒரு உச்சியிலிருந்து வரையப்பட்ட மூலைவிட்டங்களால் முக்கோணங்களாகப் பிரித்தால், தேற்றத்தை நிரூபிப்பது எளிது. இருப்பினும், குவிவு அல்லாத பலகோணத்திற்கு அத்தகைய செயல்முறை சாத்தியமில்லை.

கணிதத் தூண்டலைப் பயன்படுத்தி தன்னிச்சையான பலகோணத்திற்கான தேற்றத்தை நிரூபிப்போம். பின்வரும் அறிக்கை அறியப்படுகிறது என்று வைத்துக்கொள்வோம், கண்டிப்பாகச் சொன்னால், அதற்கு ஒரு தனி ஆதாரம் தேவைப்படுகிறது: "எந்தவொரு //-gon இல் அதன் உள் பகுதியில் முழுவதுமாக ஒரு மூலைவிட்டம் உள்ளது."

மாறிக்கு பதிலாக // 3 ஐ விட அதிகமாகவோ அல்லது சமமாகவோ இருக்கும் எந்த இயற்கை எண்களையும் நீங்கள் மாற்றலாம். n=bஒரு முக்கோணத்தில் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 180° ஆக இருப்பதால் தேற்றம் உண்மை.

சில /7-gon ஐ எடுத்துக்கொள்வோம் (p> 4) மற்றும் எந்த //-gon இன் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை, // p, 180° (//-2) க்கு சமம் என்று வைத்துக்கொள்வோம். //-கோனின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 180° (//-2) க்கு சமம் என்பதை நிரூபிப்போம்.

அதன் உள்ளே கிடக்கும் //-கோனின் மூலைவிட்டத்தை வரைவோம். இது //-கோனை இரண்டு பலகோணங்களாகப் பிரிக்கும். அவர்களில் ஒருவர் இருக்கட்டும் செய்யபக்கங்கள், மற்றவை - 2 வரைபக்கங்களிலும் பிறகு k+k 2 -2 = p,இதன் விளைவாக வரும் பலகோணங்கள் ஒரு பொதுவான பக்கமாக வரையப்பட்ட மூலைவிட்டத்தைக் கொண்டிருப்பதால், இது அசல் //-gon இன் பக்கமாக இல்லை.

இரண்டு எண்கள் செய்யமற்றும் 2 வரைகுறைவாக //. இதன் விளைவாக வரும் பலகோணங்களுக்கு தூண்டல் அனுமானத்தைப் பயன்படுத்துவோம்: A]-gon இன் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 180°-(?i-2), மற்றும் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை? 2 -gon என்பது 180°-க்கு சமம் (Ar 2 -2). பின்னர் //-gon இன் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை இந்த எண்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாக இருக்கும்:

180°*(Ar|-2)-n 180°(Ar2-2) = 180 o (Ar,-bAr 2 -2-2) = 180°-(//-2).

தூண்டல் மாற்றம் நியாயமானது. கணித தூண்டல் முறையின் அடிப்படையில், தேற்றம் எந்த //-gon (//>3) க்கும் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

வேலையின் உரை படங்கள் மற்றும் சூத்திரங்கள் இல்லாமல் வெளியிடப்படுகிறது.
முழு பதிப்புவேலை "பணி கோப்புகள்" தாவலில் PDF வடிவத்தில் கிடைக்கும்

அறிமுகம்

இந்த தலைப்பு பொருத்தமானது, ஏனென்றால் ஒவ்வொரு நாளும் மக்கள் வெவ்வேறு தீர்வு முறைகளைப் பயன்படுத்தும் பல்வேறு சிக்கல்களைத் தீர்க்கிறார்கள், ஆனால் கணிதத் தூண்டல் முறை இல்லாமல் ஒருவர் செய்ய முடியாத பணிகள் உள்ளன, மேலும் இதுபோன்ற சந்தர்ப்பங்களில் இந்த பகுதியில் அறிவு மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும்.

நான் தேர்ந்தெடுத்தேன் இந்த தலைப்புஆராய்ச்சிக்காக, ஏனெனில் பள்ளி பாடத்திட்டம்கணிதத் தூண்டல் முறைக்கு சிறிது நேரம் ஒதுக்கப்பட்டுள்ளது, மாணவர் மேலோட்டமான தகவல்களைக் கற்றுக்கொள்கிறார், இது இந்த முறையைப் பற்றிய பொதுவான யோசனையை மட்டுமே பெற உதவும், ஆனால் இந்த கோட்பாட்டை ஆழமாகப் படிக்க, சுய வளர்ச்சி தேவைப்படும். இந்த தலைப்பைப் பற்றி மேலும் அறிந்து கொள்வது மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும், ஏனெனில் இது ஒரு நபரின் எல்லைகளை விரிவுபடுத்துகிறது மற்றும் சிக்கலான சிக்கல்களைத் தீர்க்க உதவுகிறது.

வேலையின் நோக்கம்:

கணித தூண்டல் முறையைப் பற்றி அறிந்து கொள்ளுங்கள், இந்த தலைப்பில் அறிவை முறைப்படுத்தவும் மற்றும் கணித சிக்கல்களைத் தீர்க்கும் மற்றும் தேற்றங்களை நிரூபிக்கும் போது அதைப் பயன்படுத்தவும், நியாயப்படுத்தவும் தெளிவாகவும் காட்டவும். நடைமுறை முக்கியத்துவம்சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கு தேவையான காரணியாக கணித தூண்டல் முறை.

வேலை நோக்கங்கள்:

இலக்கியத்தை பகுப்பாய்வு செய்து, இந்த தலைப்பில் அறிவை சுருக்கவும்.

கணித தூண்டல் முறையின் கொள்கையைப் புரிந்து கொள்ளுங்கள்.

சிக்கலைத் தீர்க்க கணித தூண்டல் முறையின் பயன்பாட்டை ஆராயுங்கள்.

செய்யப்பட்ட வேலையைப் பற்றிய முடிவுகளை மற்றும் முடிவுகளை உருவாக்கவும்.

ஆய்வின் முக்கிய பகுதி

வரலாறு:

வரை மட்டுமே 19 ஆம் நூற்றாண்டின் இறுதியில்நூற்றாண்டில், தர்க்கரீதியான கடுமைக்கான தேவைகளின் ஒரு தரநிலை உருவாகியுள்ளது, இது இன்றுவரை ஆதிக்கம் செலுத்துகிறது நடைமுறை வேலைதனிப்பட்ட கணிதக் கோட்பாடுகளின் வளர்ச்சியில் கணிதவியலாளர்கள்.

தூண்டல் என்பது ஒரு அறிவாற்றல் செயல்முறையாகும், இதன் மூலம் அவற்றைப் பொதுமைப்படுத்தும் ஒரு அறிக்கை தற்போதுள்ள உண்மைகளின் ஒப்பீட்டிலிருந்து பெறப்படுகிறது.

கணிதத்தில், தூண்டலின் பங்கு பெரும்பாலும் அது தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட அச்சுக்கு அடியில் உள்ளது. வளைந்த அல்லது உடைந்த பாதையை விட நேரான பாதை எப்போதும் குறுகியதாக இருக்கும் என்பதை நீண்ட கால பயிற்சி காட்டிய பிறகு, ஒரு கோட்பாட்டை உருவாக்குவது இயற்கையானது: ஏ, பி மற்றும் சி ஆகிய மூன்று புள்ளிகளுக்கும் சமத்துவமின்மை உள்ளது.

கணிதத் தூண்டல் முறையின் விழிப்புணர்வு ஒரு தனி முக்கியமான முறையாக பிளேஸ் பாஸ்கல் மற்றும் கெர்சோனைட்ஸ் வரை செல்கிறது, இருப்பினும் தனிப்பட்ட பயன்பாடு வழக்குகள் ப்ரோக்லஸ் மற்றும் யூக்லிடில் பண்டைய காலங்களில் காணப்படுகின்றன. இந்த முறையின் நவீன பெயர் 1838 இல் டி மோர்கனால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது.

கணிதத் தூண்டலின் முறையை முன்னேற்றத்துடன் ஒப்பிடலாம்: இதன் விளைவாக, குறைந்த அளவிலிருந்து தொடங்குகிறோம் தருக்க சிந்தனைநாம் மிக உயர்ந்த நிலைக்கு வருகிறோம். மனிதன் எப்பொழுதும் முன்னேற்றத்திற்காக பாடுபடுகிறான், அவனுடைய எண்ணங்களை தர்க்கரீதியாக வளர்க்கும் திறனுக்காக, அதாவது இயற்கையே அவனைத் தூண்டுதலாகச் சிந்திக்க விதித்தது.

தூண்டல் மற்றும் கழித்தல்

குறிப்பிட்ட மற்றும் பொதுவான அறிக்கைகள் இரண்டும் இருப்பதாக அறியப்படுகிறது, மேலும் இந்த இரண்டு சொற்களும் ஒன்றிலிருந்து மற்றொன்றுக்கு மாறுவதை அடிப்படையாகக் கொண்டவை.

கழித்தல் (லத்தீன் துப்பறிதல் - கழித்தல்) - அறிவாற்றல் செயல்பாட்டில் ஒரு மாற்றம் பொதுஅறிவு தனிப்பட்டமற்றும் ஒற்றை. துப்பறிவில், பொது அறிவு பகுத்தறிவின் தொடக்க புள்ளியாக செயல்படுகிறது, மேலும் இந்த பொது அறிவு "ஆயத்தமாக" இருக்கும் என்று கருதப்படுகிறது. கழிப்பின் தனித்தன்மை என்னவென்றால், அதன் வளாகத்தின் உண்மை முடிவின் உண்மைக்கு உத்தரவாதம் அளிக்கிறது. எனவே, கழித்தல் மகத்தான வற்புறுத்தும் சக்தியைக் கொண்டுள்ளது மற்றும் கணிதத்தில் கோட்பாடுகளை நிரூபிக்க மட்டுமல்லாமல், நம்பகமான அறிவு தேவைப்படும் இடங்களிலும் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

தூண்டல் (லத்தீன் இண்டக்சியோ - வழிகாட்டுதலில் இருந்து) என்பது அறிவாற்றல் செயல்பாட்டில் ஒரு மாற்றம் ஆகும். தனிப்பட்டஅறிவு பொதுவேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், இது அவதானிப்புகள் மற்றும் சோதனைகளின் முடிவுகளை பொதுமைப்படுத்துவதோடு தொடர்புடைய ஆராய்ச்சி மற்றும் அறிவாற்றல் முறையாகும், இது தூண்டுதலின் ஒரு அம்சமாகும், அதாவது. ஆரம்ப வளாகம் உண்மையாக இருந்தால், தூண்டலின் முடிவு ஒருவேளை உண்மையாக இருக்கலாம் மற்றும் இறுதி முடிவில் அது உண்மையாகவோ அல்லது பொய்யாகவோ மாறிவிடும்.

முழுமையான மற்றும் முழுமையற்ற தூண்டல்

தூண்டல் அனுமானம் என்பது சுருக்க சிந்தனையின் ஒரு வடிவமாகும், இதில் சிந்தனையானது குறைந்த அளவிலான பொதுத்தன்மையின் அறிவிலிருந்து அதிக அளவிலான பொதுத்தன்மையின் அறிவுக்கு உருவாகிறது, மேலும் வளாகத்திலிருந்து எழும் முடிவு முக்கியமாக இயற்கையில் நிகழ்தகவு ஆகும்.

ஆராய்ச்சியின் போது, தூண்டல் இரண்டு வகைகளாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளது என்பதை நான் கண்டுபிடித்தேன்: முழுமையான மற்றும் முழுமையற்றது.

முழுமையான தூண்டல் என்பது இந்த வகுப்பின் அனைத்து பொருள்களின் ஆய்வின் அடிப்படையில் ஒரு வகை பொருள்களைப் பற்றிய பொதுவான முடிவு எடுக்கப்படும் ஒரு அனுமானமாகும்.

எடுத்துக்காட்டாக, 6≤ n≤ 18 வரம்புகளுக்குள் உள்ள ஒவ்வொரு இரட்டை இயல் எண் n இரண்டின் கூட்டுத்தொகையாகக் குறிப்பிடப்படுவதை நிறுவுவது அவசியமாக இருக்கட்டும். முதன்மை எண்கள். இதைச் செய்ய, அத்தகைய எண்கள் அனைத்தையும் எடுத்து அதனுடன் தொடர்புடைய விரிவாக்கங்களை எழுதுங்கள்:

6=3+3; 8=5+3; 10=7+3; 12=7+5;14=7+7; 16=11+5; 18=13+5;

இந்த சமத்துவங்கள் நாம் ஆர்வமுள்ள ஒவ்வொரு எண்களும் உண்மையில் இரண்டு எளிய சொற்களின் கூட்டுத்தொகையாக குறிப்பிடப்படுகின்றன என்பதைக் காட்டுகின்றன.

கருத்தில் கொள்வோம் அடுத்த உதாரணம்: வரிசை yn= n 2 +n+17; முதல் நான்கு சொற்களை எழுதுவோம்: y 1 =19; y 2 =23; y 3 =29; y 4 =37; முழு வரிசையும் பகா எண்களைக் கொண்டுள்ளது என்று நாம் கருதலாம். ஆனால் இது அப்படியல்ல, y 16 = 16 2 +16+17=16(16+1)+17=17*17ஐ எடுத்துக்கொள்வோம். இது ஒரு கூட்டு எண், அதாவது நமது அனுமானம் தவறானது, இதனால், முழுமையற்ற தூண்டல் முற்றிலும் நம்பகமான முடிவுகளுக்கு வழிவகுக்காது, ஆனால் ஒரு கருதுகோளை உருவாக்க அனுமதிக்கிறது, இதற்கு கணித ஆதாரம் அல்லது மறுப்பு தேவைப்படுகிறது.

கணித தூண்டல் முறை

முழுமையான தூண்டல் கணிதத்தில் வரையறுக்கப்பட்ட பயன்பாடுகளை மட்டுமே கொண்டுள்ளது. பல சுவாரஸ்யமான கணித அறிக்கைகள் எண்ணற்ற சிறப்பு நிகழ்வுகளை உள்ளடக்கியது, மேலும் இந்த எல்லா சூழ்நிலைகளையும் எங்களால் சோதிக்க முடியவில்லை, ஆனால் எண்ணற்ற வழக்குகளை நாம் எவ்வாறு சோதிக்க முடியும்? இந்த முறை பி. பாஸ்கல் மற்றும் ஜே. பெர்னோலி ஆகியோரால் முன்மொழியப்பட்டது, இது கணித தூண்டலின் ஒரு முறையாகும், இது அடிப்படையாகக் கொண்டது கணித தூண்டலின் கொள்கை.

ஒரு வாக்கியம் A(n), n என்ற இயல் எண்ணைப் பொறுத்து, n=1 க்கு உண்மையாக இருந்தால், அது n=k (k என்பது ஏதேனும் இயற்கை எண்) க்கு உண்மையாக இருந்தால், அதுவும் உண்மையாக இருக்கும். அடுத்த எண் n=k +1, பிறகு அனுமானம் A(n) எந்த இயல் எண்ணுக்கும் சரி.

பல சந்தர்ப்பங்களில், ஒரு குறிப்பிட்ட அறிக்கையின் செல்லுபடியை அனைத்து இயற்கை எண்களுக்கும் அல்ல, ஆனால் n>pக்கு மட்டுமே நிரூபிக்க வேண்டியிருக்கலாம், இங்கு p என்பது நிலையான இயற்கை எண்ணாகும். இந்த வழக்கில், கணித தூண்டலின் கொள்கை பின்வருமாறு வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது:

முன்மொழிவு A(n) n=p க்கு உண்மையாக இருந்தால் மற்றும் A(k)  எந்த k>pக்கும் A(k+1), பிறகு A(n) என்பது எந்த n>pக்கும் சரி.

அல்காரிதம் (இது நான்கு நிலைகளைக் கொண்டுள்ளது):

1.அடிப்படை(நிரூபிக்கப்பட்ட அறிக்கை சில எளிய சிறப்பு நிகழ்வுகளுக்கு உண்மை என்பதை நாங்கள் காட்டுகிறோம் ( n = 1));

2. அனுமானம்(இந்த அறிக்கை முதலில் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது என்று கருதுகிறோம் செய்ய வழக்குகள்); 3 .படி(இந்த அனுமானத்தின் கீழ் வழக்குக்கான அறிக்கையை நாங்கள் நிரூபிக்கிறோம் n = செய்ய + 1); 4. வெளியீடு (அட்அறிக்கை எல்லா நிகழ்வுகளுக்கும், அதாவது அனைவருக்கும் உண்மை ப) .

கணித தூண்டல் முறை அனைத்து சிக்கல்களையும் தீர்க்க முடியாது என்பதை நினைவில் கொள்க, ஆனால் ஒரு குறிப்பிட்ட மாறி மூலம் அளவுருக்கள் மட்டுமே சிக்கல்கள். இந்த மாறி தூண்டல் மாறி என்று அழைக்கப்படுகிறது.

கணித தூண்டல் முறையின் பயன்பாடு

இந்த முழு கோட்பாட்டையும் நடைமுறையில் பயன்படுத்துவோம் மற்றும் இந்த முறை என்ன சிக்கல்களில் பயன்படுத்தப்படுகிறது என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம்.

ஏற்றத்தாழ்வுகளை நிரூபிப்பதில் சிக்கல்கள்.

எடுத்துக்காட்டு 1.பெர்னோலியின் சமத்துவமின்மையை நிரூபிக்கவும்(1+x)n≥1+n x, x>-1, n € N.

1) n=1க்கு சமத்துவமின்மை உண்மை, 1+x≥1+x என்பதால்

2) சமத்துவமின்மை சில n=k க்கு உண்மை என்று வைத்துக்கொள்வோம், அதாவது.

(1+x) k ≥1+k x.

சமத்துவமின்மையின் இரு பக்கங்களையும் நேர்மறை எண்ணான 1+x ஆல் பெருக்கினால், நமக்குக் கிடைக்கும்

(1+x) k+1 ≥(1+kx)(1+ x) =1+(k+1) x + kx 2

kx 2 ≥0 என்பதை கணக்கில் எடுத்துக் கொண்டால், சமத்துவமின்மையை அடைகிறோம்

(1+x) k+1 ≥1+(k+1) x.

எனவே, பெர்னோலியின் சமத்துவமின்மை n=k க்கு உண்மை என்ற அனுமானத்தில் இருந்து, அது n=k+1 க்கு உண்மையாக இருக்கும். கணிதத் தூண்டல் முறையின் அடிப்படையில், பெர்னோலியின் சமத்துவமின்மை எந்த n € Nக்கும் செல்லுபடியாகும் என்று வாதிடலாம்.

எடுத்துக்காட்டு 2.எந்த இயற்கை எண்ணுக்கும் n>1, .

கணிதத் தூண்டல் முறையைப் பயன்படுத்தி அதை நிரூபிப்போம்.

சமத்துவமின்மையின் இடது பக்கத்தைக் குறிப்போம்.

1), எனவே, n=2க்கு ஏற்றத்தாழ்வு செல்லுபடியாகும்.

2) சிலருக்கு கே. பின்னர் அதை நிரூபிப்போம். எங்களிடம் உள்ளது, .

ஒப்பிடுதல் மற்றும், எங்களிடம் உள்ளது, அதாவது. .

எந்த நேர்மறை முழு எண் k க்கும், கடைசி சமத்துவத்தின் வலது புறம் நேர்மறையாக இருக்கும். அதனால் தான். ஆனால் இதன் பொருள் மற்றும் n=k+1 க்கான சமத்துவமின்மையின் செல்லுபடியை நாங்கள் நிரூபித்துள்ளோம், எனவே, கணிதத் தூண்டல் முறையின் மூலம், சமத்துவமின்மை எந்த இயற்கை எண்ணுக்கும் செல்லுபடியாகும்.

அடையாளங்களை நிரூபிப்பதில் சிக்கல்கள்.

எடுத்துக்காட்டு 1.எந்தவொரு இயற்கை எண்ணுக்கும் பின்வரும் சமத்துவம் உள்ளது என்பதை நிரூபிக்கவும்:

1 3 +2 3 +3 3 +…+n 3 =n 2 (n+1) 2/4.

n=1 ஆகவும், பின்னர் X 1 =1 3 =1 2 (1+1) 2 /4=1 ஆகவும்.

n=1க்கான கூற்று உண்மையாக இருப்பதைக் காண்கிறோம்.

2) n=kX k =k 2 (k+1) 2/4 க்கு சமத்துவம் உண்மை என்று வைத்துக்கொள்வோம்.

3) n=k+1, அதாவது X k+1 =(k+1) 2 (k+2) 2/4 க்கான இந்த அறிக்கையின் உண்மையை நிரூபிப்போம். X k+1 =1 3 +2 3 +…+k 3 +(k+1) 3 =k 2 (k+1) 2 /4+(k+1) 3 =(k 2 (k+1) 2 +4(k+1) 3)/4=(k+1) 2 (k 2 +4k+4)/4=(k+1) 2 (k+2) 2/4.

மேற்கூறிய சான்றுகளிலிருந்து n=k+1 க்கு இந்த அறிக்கை உண்மை என்பது தெளிவாகிறது, எனவே, எந்த இயல் எண்ணான nக்கும் சமத்துவம் உண்மையாக இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு 2.எந்த இயற்கைக்கும் சமத்துவம் உண்மை என்பதை நிரூபிக்கவும்

1) இந்த அடையாளம் n = 1 க்கு உண்மையா என்பதைச் சரிபார்ப்போம். - சரி.

2) n = k க்கு அடையாளம் உண்மையாக இருக்கட்டும், அதாவது.

3) இந்த அடையாளம் n = k + 1 க்கும் உண்மை என்பதை நிரூபிப்போம், அதாவது;

ஏனெனில் சமத்துவம் n=k மற்றும் n=k+1 க்கு உண்மையாக இருந்தால், அது எந்த இயல் எண்ணான n க்கும் உண்மையாக இருக்கும்.

கூட்டுச் சிக்கல்கள்.

எடுத்துக்காட்டு 1. 1+3+5+…+(2n-1)=n 2 என்பதை நிரூபிக்கவும்.

தீர்வு: 1) எங்களிடம் n=1=1 2 உள்ளது. எனவே, அறிக்கை n=1 க்கு உண்மையாக இருக்கும், அதாவது. A(1) உண்மை.

2) A(k) A(k+1) என்பதை நிரூபிப்போம்.

k என்பது ஏதேனும் இயற்கை எண்ணாக இருக்கட்டும் மற்றும் n=k, அதாவது 1+3+5+…+(2k-1)=k 2 க்கு அறிக்கை உண்மையாக இருக்கட்டும்.

அடுத்த இயல் எண்ணான n=k+1க்கும் இந்த அறிக்கை உண்மை என்பதை நிரூபிப்போம், அதாவது. என்ன

1+3+5+…+(2k+1)=(k+1) 2 .

உண்மையில், 1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=k 2 +2k+1=(k+1) 2 .

எனவே, A(k) A(k+1). கணிதத் தூண்டல் கொள்கையின் அடிப்படையில், எந்த n Nக்கும் அனுமானம் A(n) உண்மை என்று முடிவு செய்கிறோம்.

எடுத்துக்காட்டு 2.சூத்திரத்தை நிரூபிக்கவும், n என்பது இயற்கை எண்.

தீர்வு: n=1, சமத்துவத்தின் இரு பக்கங்களும் ஒன்றுக்கு மாறும்போது, கணிதத் தூண்டல் கொள்கையின் முதல் நிபந்தனை திருப்தி அடையும்.

n=k, அதாவது சூத்திரம் சரியானது என்று வைத்துக் கொள்வோம். .

இந்த சமத்துவத்தை இருபுறமும் சேர்த்து மாற்றுவோம் வலது பக்கம். பிறகு நமக்கு கிடைக்கும்

எனவே, சூத்திரம் n=k க்கு உண்மையாக இருப்பதால், அது n=k+1 க்கும் உண்மையாக இருப்பதைப் பின்தொடர்கிறது, பின்னர் இந்த அறிக்கை எந்த இயற்கை எண்ணான n க்கும் உண்மையாக இருக்கும்.

பிரித்தல் சிக்கல்கள்.

எடுத்துக்காட்டு 1.(11 n+2 +12 2n+1) மீதம் இல்லாமல் 133 ஆல் வகுபடும் என்பதை நிரூபிக்கவும்.

தீர்வு: 1) n=1 என்று, பிறகு

11 3 +12 3 =(11+12)(11 2 -132+12 2)=23×133.

(23×133) என்பது மீதி இல்லாமல் 133 ஆல் வகுபடும், அதாவது n=1 க்கு அறிக்கை உண்மை;

2) (11 k+2 +12 2k+1) மீதம் இல்லாமல் 133 ஆல் வகுபடும் என்று வைத்துக்கொள்வோம்.

3) இந்த விஷயத்தில் அதை நிரூபிப்போம்

(11 k+3 +12 2k+3) மீதம் இல்லாமல் 133 ஆல் வகுபடும். உண்மையில், 11 k+3 +12 2l+3 =11×11 k+2 +

12 2 ×12 2k+1 =11× 11 k+2 +(11+133)× 12 2k+1 =11(11 k+2 +12 2k+1)+133× 12 2k+1 .

இதன் விளைவாக வரும் தொகையானது மீதியின்றி 133 ஆல் வகுக்கப்படுகிறது, ஏனெனில் அதன் முதல் காலமானது அனுமானத்தின் மூலம் மீதியின்றி 133 ஆல் வகுபடும், மேலும் இரண்டாவது காரணிகளில் 133 ஆகும்.

எனவே, A(k)→ A(k+1), பின்னர் கணிதத் தூண்டல் முறையின் அடிப்படையில், எந்த இயற்கை n க்கும் இந்த அறிக்கை உண்மையாக இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு 2.தன்னிச்சையான இயற்கை எண்ணான nக்கான 3 3n-1 +2 4n-3 11 ஆல் வகுபடும் என்பதை நிரூபிக்கவும்.

தீர்வு: 1) n=1 ஆகவும், பின்னர் X 1 =3 3-1 +2 4-3 =3 2 +2 1 =11 மீதம் இல்லாமல் 11 ஆல் வகுபடும். இதன் பொருள் n=1க்கான கூற்று உண்மை.

2) n=k க்கு என்று வைத்துக்கொள்வோம்

X k =3 3k-1 +2 4k-3 என்பது மீதி இல்லாமல் 11 ஆல் வகுபடும்.

3) n=k+1 க்கு அறிக்கை உண்மை என்பதை நிரூபிப்போம்.

X k+1 =3 3(k+1)-1 +2 4(k+1)-3 =3 3k+2 +2 4k+1 =3 3 *3 3k-1 +2 4 *2 4k-3 =

27 3 3k-1 +16* 2 4k-3 =(16+11)* 3 3k-1 +16* 2 4k-3 =16* 3 3k-1 +

11* 3 3k-1 +16* 2 4k-3 =16(3 3k-1 +2 4k-3)+11* 3 3k-1 .

முதல் சொல் மீதம் இல்லாமல் 11 ஆல் வகுபடும், ஏனெனில் 3 3k-1 +2 4k-3 என்பது அனுமானத்தின் மூலம் 11 ஆல் வகுபடும், இரண்டாவது 11 ஆல் வகுபடும், ஏனெனில் அதன் காரணிகளில் ஒன்று எண் 11 ஆகும். இதன் பொருள் தொகை எந்த இயல் எண் n க்கும் மீதம் இல்லாமல் 11 ஆல் வகுபடும்.

இருந்து பணிகள் உண்மையான வாழ்க்கை.

எடுத்துக்காட்டு 1.எந்தவொரு குவிந்த பலகோணத்தின் உட்புறக் கோணங்களின் Sn கூட்டுத்தொகை சமம் என்பதை நிரூபிக்கவும் ( n- 2) π, எங்கே n- இந்த பலகோணத்தின் பக்கங்களின் எண்ணிக்கை: Sn = ( n- 2)π (1).

இந்த கூற்று அனைத்து இயற்கைக்கும் அர்த்தமல்ல n, ஆனால் அதற்கு மட்டும் n > 3, ஒரு முக்கோணத்தில் குறைந்தபட்ச கோணங்களின் எண்ணிக்கை 3 ஆக இருப்பதால்.

1) எப்போது n= 3 எங்கள் அறிக்கை வடிவம் எடுக்கிறது: S 3 = π. ஆனால் எந்த முக்கோணத்தின் உள் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை உண்மையில் π ஆகும். எனவே, எப்போது n= 3 சூத்திரம் (1) சரியானது.

2) இந்த சூத்திரம் nக்கு உண்மையாக இருக்கட்டும் =k, அது எஸ் கே = (கே- 2) π, எங்கே கே > 3. இந்த வழக்கில் சூத்திரம் உள்ளது என்பதை நிரூபிப்போம்: எஸ் k+ 1 = (கே- 1) π.

A 1 A 2 ... A கே ஏ k+ 1-தன்னிச்சையான குவிந்த ( கே+ 1) -gon (படம் 338).

இணைக்கும் புள்ளிகள் A 1 மற்றும் A கே , நாம் குவிவு பெறுகிறோம் கே-gon A 1 A 2 ... A கே - 1 ஏ கே . வெளிப்படையாக, கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை ( கே+ 1) -gon A 1 A 2 ... A கே ஏ k+ 1 என்பது கோணங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம் கே-gon A 1 A 2 ... A கே ஒரு முக்கோணத்தின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை A 1 A கே ஏ k+ 1. ஆனால் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை கே-gon A 1 A 2 ... A கே அனுமானத்தின் மூலம் ( கே- 2)π, மற்றும் A 1 A முக்கோணத்தின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை கே ஏ k+ 1 என்பது πக்கு சமம். அதனால் தான்

எஸ் k+ 1 = எஸ் கே + π = ( கே- 2)π + π = ( கே- 1) π.

எனவே, கணிதத் தூண்டல் கொள்கையின் இரண்டு நிபந்தனைகளும் திருப்திகரமாக உள்ளன, எனவே சூத்திரம் (1) எந்தவொரு இயற்கைக்கும் பொருந்தும் n > 3.

எடுத்துக்காட்டு 2.ஒரு படிக்கட்டு உள்ளது, அதன் அனைத்து படிகளும் ஒரே மாதிரியானவை. எண்ணிக்கையின்படி எந்தப் படியிலும் "ஏறும்" திறனுக்கு உத்தரவாதம் அளிக்கும் குறைந்தபட்ச நிலைகளின் எண்ணிக்கையைக் குறிப்பிடுவது அவசியம்.

ஒரு நிபந்தனை இருக்க வேண்டும் என்பதை அனைவரும் ஒப்புக்கொள்கிறார்கள். நாம் முதல் படியில் ஏற வேண்டும். அடுத்து, அவர்கள் 1 வது படியில் இருந்து இரண்டாவது படிக்கு ஏற வேண்டும். பின்னர் இரண்டாவது - மூன்றாவது, முதலியன. n வது படிக்கு. நிச்சயமாக, மொத்தத்தில், "n" அறிக்கைகள் நாம் n வது படிக்கு செல்ல முடியும் என்று உத்தரவாதம் அளிக்கின்றன.

இப்போது 2, 3,..., n நிலையைப் பார்த்து அவற்றை ஒன்றோடொன்று ஒப்பிட்டுப் பார்ப்போம். அவை அனைத்தும் ஒரே அமைப்பைக் கொண்டிருப்பதைக் காண்பது எளிது: நாம் k படியை அடைந்துவிட்டால், (k+1) படி வரை ஏறலாம். எனவே, "n" ஐப் பொறுத்து அறிக்கைகளின் செல்லுபடியாக்கத்திற்கு பின்வரும் கோட்பாடு இயற்கையாகிறது: n என்பது ஒரு இயற்கை எண்ணாக இருக்கும் வாக்கியம் A(n), n=1 மற்றும் அது n=k க்கு இருந்தால் (k என்பது எந்த இயற்கை எண்ணாகவும் இருந்தால்), அது n=k+1 ஐப் பிடித்துள்ளது, பிறகு அனுமானம் A(n) எந்த இயற்கை எண்ணையும் கொண்டுள்ளது.

விண்ணப்பம்

பல்கலைக்கழகங்களில் நுழையும் போது கணித தூண்டல் முறையைப் பயன்படுத்துவதில் சிக்கல்கள்.

உயர்கல்வியில் சேரும்போது கவனிக்கவும் கல்வி நிறுவனங்கள்இந்த முறையால் தீர்க்கக்கூடிய சிக்கல்களும் உள்ளன. குறிப்பிட்ட உதாரணங்களைப் பயன்படுத்தி அவற்றைப் பார்ப்போம்.

எடுத்துக்காட்டு 1.இயற்கையானது என்பதை நிரூபிக்கவும் nசமத்துவம் உண்மை

1) எப்போது n=1நாம் சரியான சமத்துவத்தைப் பெறுகிறோம் பாவம்.

2) n= எப்போது என்று தூண்டல் அனுமானத்தை உருவாக்கியது கேசமத்துவம் உண்மை, n க்கான சமத்துவத்தின் இடது பக்கத்தில் உள்ள தொகையைக் கருதுங்கள் =k+1;

3) குறைப்பு சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி, வெளிப்பாட்டை மாற்றுகிறோம்:

பின்னர், கணிதத் தூண்டல் முறையின் மூலம், எந்த இயற்கை எண்ணான n க்கும் சமத்துவம் உண்மையாக இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு 2.எந்தவொரு இயற்கை எண்ணுக்கும் n 4n +15n-1 என்ற வெளிப்பாட்டின் மதிப்பு 9 இன் பெருக்கல் என்பதை நிரூபிக்கவும்.

1) n=1: 2 2 +15-1=18 உடன் - 9 இன் பெருக்கல் (18:9=2 முதல்)

2) சமத்துவம் நிலைக்கட்டும் n=k: 4 k +15k-1 பெருக்கல் 9.

3) அடுத்த எண்ணுக்கு சமத்துவம் உள்ளது என்பதை நிரூபிப்போம் n=k+1

4 k+1 +15(k+1)-1=4 k+1 +15k+15-1=4.4 k +60k-4-45k+18=4(4 k +15k-1)-9(5k- 2)

4(4 k +15k-1) - 9 இன் பெருக்கல்;

9(5k-2) - 9 இன் பெருக்கல்;

இதன் விளைவாக, முழு வெளிப்பாடு 4(4 k +15k-1)-9(5k-2) என்பது 9 இன் பெருக்கல் ஆகும், இது நிரூபிக்கப்பட வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டு 3.எந்த இயற்கை எண்ணுக்கும் அதை நிரூபிக்கவும் nநிபந்தனை பூர்த்தி செய்யப்படுகிறது: 1∙2∙3+2∙3∙4+…+ p(p+1)(p+2)=.

1) இந்த சூத்திரம் எப்போது சரியானது என்பதை சரிபார்ப்போம் n=1:இடது பக்கம் = 1∙2∙3=6.

வலது பக்கம் = . 6 = 6; உண்மை எப்போது n=1.

2) இந்த சூத்திரம் nக்கு சரியானது என்று வைத்துக்கொள்வோம் =k:

1∙2∙3+2∙3∙4+…+k(k+1)(k+2)=.எஸ் கே =.

3) இந்த சூத்திரம் nக்கு உண்மை என்பதை நிரூபிப்போம் =k+1:

1∙2∙3+2∙3∙4+…+(k+1)(k+2)(k+3)=.

எஸ் k+1 =.

ஆதாரம்:

எனவே, இந்த நிபந்தனை இரண்டு நிகழ்வுகளில் உண்மை மற்றும் n க்கு உண்மை என்று நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது =k+1,எனவே எந்த இயற்கை எண்ணுக்கும் இது உண்மை ப.

முடிவுரை

சுருக்கமாக, ஆராய்ச்சியின் செயல்பாட்டில், தூண்டல் என்றால் என்ன, முழுமையான அல்லது முழுமையடையாத, கணித தூண்டல் கொள்கையின் அடிப்படையில் கணித தூண்டல் முறையைப் பற்றி அறிந்தேன், மேலும் இந்த முறையைப் பயன்படுத்தி பல சிக்கல்களைக் கருத்தில் கொண்டேன்.

நானும் நிறைய கற்றுக்கொண்டேன் புதிய தகவல், பள்ளி பாடத்திட்டத்தில் சேர்க்கப்பட்டுள்ளதை விட வித்தியாசமானது, கணிதத் தூண்டல் முறையைப் படிக்கும் போது, நான் பல்வேறு இலக்கியங்கள், இணைய வளங்களைப் பயன்படுத்தினேன், மேலும் ஒரு ஆசிரியருடன் கலந்தாலோசித்தேன்.

முடிவு: கணிதத் தூண்டலில் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட மற்றும் முறைப்படுத்தப்பட்ட அறிவைக் கொண்டிருப்பதால், உண்மையில் இந்த தலைப்பில் அறிவின் அவசியத்தை நான் உறுதியாக நம்பினேன். நேர்மறை தரம்கணிதத் தூண்டலின் முறையானது சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதில் அதன் பரந்த பயன்பாடாகும்: இயற்கணிதம், வடிவியல் மற்றும் உண்மையான கணிதத் துறையில். இந்த அறிவு ஒரு அறிவியலாக கணிதத்தில் ஆர்வத்தை அதிகரிக்கிறது.

எனது பணியின் போது நான் பெற்ற திறன்கள் எதிர்காலத்தில் எனக்கு உதவும் என்று நான் நம்புகிறேன்.

குறிப்புகள்

சோமின்ஸ்கி ஐ.எஸ். கணித தூண்டல் முறை. கணிதம் பற்றிய பிரபலமான விரிவுரைகள், வெளியீடு 3-எம்.: அறிவியல், 1974.

எல். ஐ. கோலோவினா, ஐ.எம். யாக்லோம். வடிவவியலில் தூண்டல். - Fizmatgiz, 1961. - T. 21. - 100 p. - (கணிதம் பற்றிய பிரபலமான விரிவுரைகள்).

டோரோஃபீவ் ஜி.வி., பொட்டாபோவ் எம்.கே., ரோசோவ் என்.கே. பல்கலைக்கழகங்களில் நுழைபவர்களுக்கான கணிதம் பற்றிய கையேடு (தொடக்கக் கணிதத்தின் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட கேள்விகள்) - 5வது பதிப்பு, திருத்தப்பட்டது, 1976 - 638 pp.

ஏ. ஷென். கணித தூண்டல். - MCNMO, 2004. - 36 பக்.

எம்.எல். கலிட்ஸ்கி, ஏ.எம். கோல்ட்மேன், எல்.ஐ. இயற்கணிதத்தில் உள்ள சிக்கல்களின் தொகுப்பு ஆழம் கொண்டது கணிதம் படிப்பது 7வது பதிப்பு.- எம்.: ப்ரோஸ்வேஷ்செனி, 2001.-271 பக்.

Ma-ka-ry-chev Yu.N., Min-dyuk N.G அல்-கெப்-ரி 9 ஆம் வகுப்பின் பள்ளி பாடப்புத்தகத்திற்கான கூடுதல் அத்தியாயங்கள். - எம்.: Pro-sve-shche-nie, 2002.

விக்கிபீடியா ஒரு கட்டற்ற கலைக்களஞ்சியம்.

இதைச் செய்ய, முதலில் அறிக்கை எண் 1 இன் உண்மையைச் சரிபார்க்கவும் - தூண்டல் அடிப்படை, பின்னர் எண் கொண்ட அறிக்கை உண்மை என்றால் அது நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது n, பின்னர் எண்ணுடன் பின்வரும் கூற்றும் உண்மை n + 1 - தூண்டல் படி, அல்லது தூண்டல் மாற்றம்.

தூண்டல் மூலம் ஆதாரம் என்று அழைக்கப்படும் வடிவத்தில் தெளிவாக வழங்கப்படலாம் டோமினோ கொள்கை. ஒவ்வொரு டோமினோ ஓடுகளும், விழும்போது, அதைத் தொடர்ந்து வரும் டோமினோ கல்லைத் தலைகீழாக மாற்றும் வகையில், எத்தனையோ டோமினோ டைல்களை வரிசையாக வைக்கலாம் (இது தூண்டல் மாற்றம்). பிறகு, முதல் எலும்பை (இது தூண்டலின் அடிப்படை) தள்ளினால், வரிசையில் உள்ள அனைத்து எலும்புகளும் விழும்.

ஆதாரம் இந்த முறை தர்க்கரீதியான அடிப்படை என்று அழைக்கப்படும் தூண்டலின் கோட்பாடு, இயற்கை எண்களை வரையறுக்கும் பீனோவின் கோட்பாடுகளில் ஐந்தாவது. தூண்டல் முறையின் சரியான தன்மை, இயற்கை எண்களின் எந்த துணைக்குழுவிலும் குறைந்தபட்ச உறுப்பு உள்ளது என்பதற்குச் சமம்.

ஒரு மாறுபாடும் உள்ளது, இது முழுமையான கணித தூண்டலின் கொள்கை என்று அழைக்கப்படுகிறது. அதன் கண்டிப்பான உருவாக்கம் இங்கே:

முழுமையான கணிதத் தூண்டலின் கொள்கையும் பீனோவின் கோட்பாடுகளில் உள்ள தூண்டல் கோட்பாட்டிற்குச் சமமானதாகும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்

பணி.அதை நிரூபிக்க, இயற்கை எதுவாக இருந்தாலும் nமற்றும் உண்மையான கே≠ 1, சமத்துவம் உள்ளது

ஆதாரம்.தூண்டல் ஆன் n.

அடிப்படை, n = 1:

மாற்றம்: என்று வைத்துக்கொள்வோம்

கே.இ.டி.

கருத்து:அறிக்கையின் சரியான தன்மை பி nஇந்த ஆதாரத்தில் - சமத்துவத்தின் செல்லுபடியாகும்

மேலும் பார்க்கவும்

மாறுபாடுகள் மற்றும் பொதுமைப்படுத்தல்கள்

இலக்கியம்

என் யா விலென்கின்தூண்டல். சேர்க்கைகள். ஆசிரியர்களுக்கான கையேடு. எம்., கல்வி, 1976.-48 பக்.
எல். ஐ. கோலோவினா, ஐ.எம். யாக்லோம்வடிவவியலில் தூண்டல், "கணிதத்தில் பிரபலமான விரிவுரைகள்", வெளியீடு 21, Fizmatgiz 1961.-100 பக்.
ஆர். கூரண்ட், ஜி. ராபின்ஸ்"கணிதம் என்றால் என்ன?" அத்தியாயம் I, § 2.
I. S. சோமின்ஸ்கிகணித தூண்டல் முறை. "கணிதம் பற்றிய பிரபலமான விரிவுரைகள்", வெளியீடு 3, பப்ளிஷிங் ஹவுஸ் "நௌகா" 1965.-58 பக்.

விக்கிமீடியா அறக்கட்டளை.

2010.

மற்ற அகராதிகளில் "கணித தூண்டல் முறை" என்ன என்பதைப் பார்க்கவும்:

கணிதத்தில் கணித தூண்டல் நிரூபிக்கும் முறைகளில் ஒன்றாகும். அனைத்து இயற்கை எண்களுக்கும் ஒரு குறிப்பிட்ட அறிக்கையின் உண்மையை நிரூபிக்கப் பயன்படுகிறது. இதைச் செய்ய, எண் 1 உடன் அறிக்கையின் உண்மை முதலில் தூண்டலின் அடிப்படையில் சரிபார்க்கப்படுகிறது, பின்னர்... ... விக்கிபீடியா ஒரு கோட்பாட்டை உருவாக்குவதற்கான ஒரு முறை, அதன் சில விதிகளின் அடிப்படையில் - கோட்பாடுகள் அல்லது போஸ்டுலேட்டுகள் - இதிலிருந்து கோட்பாட்டின் மற்ற அனைத்து விதிகளும் (தேற்றங்கள்) பகுத்தறிவால் கழிக்கப்படுகின்றன, அவை ஆதாரங்கள் m i என அழைக்கப்படுகின்றன. கிரிமியாவின் விதிகள் ... ...

தத்துவ கலைக்களஞ்சியம்

தூண்டல் (lat. inductio guidance) என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட சூழ்நிலையிலிருந்து பொதுவான நிலைக்கு மாறுவதை அடிப்படையாகக் கொண்ட தருக்க அனுமானத்தின் செயல்முறையாகும். தூண்டல் அனுமானம் குறிப்பிட்ட வளாகத்தை தர்க்க விதிகள் மூலம் அல்ல, மாறாக சில ... ... விக்கிபீடியாவின் முடிவுடன் இணைக்கிறது.மரபணு முறை - ஆய்வின் கீழ் உள்ள பொருளின் உள்ளடக்கம் மற்றும் சாரத்தை வரையறுப்பதற்கான ஒரு வழி, மாநாடு, இலட்சியமயமாக்கல் அல்லது தர்க்கரீதியான முடிவின் மூலம் அல்ல, ஆனால் அதன் தோற்றத்தைப் படிப்பதன் மூலம் (அதன் தோற்றத்திற்கு வழிவகுத்த காரணங்களின் ஆய்வின் அடிப்படையில், உருவாக்கத்தின் வழிமுறை). பரந்த......

அறிவியல் தத்துவம்: அடிப்படை விதிமுறைகளின் சொற்களஞ்சியம் கட்டுமான முறை, இதில் சில ஆரம்ப விதிகள் (தீர்ப்புகள்) அடிப்படையிலான கோட்பாடு (ஆக்சியம் பார்க்கவும்), அல்லது போஸ்டுலேட்டுகள், இந்த அறிவியலின் மற்ற அனைத்து அறிக்கைகளும் (தேற்றங்கள் (தேற்றத்தைப் பார்க்கவும்)) கழிக்கப்பட வேண்டும்... ... கிரேட் சோவியத் என்சைக்ளோபீடியா

அச்சு முறை- ஆக்ஸியோமேடிக் முறை (கிரேக்க ஆக்சியோமாவிலிருந்து) ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்ட நிலை - ஒரு அறிவியல் கோட்பாட்டை உருவாக்கும் ஒரு முறை, இதில் அவற்றிலிருந்து முன்னர் பெறப்பட்ட கோட்பாடுகள், போஸ்டுலேட்டுகள் மற்றும் அறிக்கைகள் மட்டுமே ஆதாரங்களில் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. முதன்முறையாக தெளிவாகக் காட்டப்பட்டது....... அறிவியலின் கலைக்களஞ்சியம் மற்றும் அறிவியலின் தத்துவம்

சீரற்ற பிழைகளைக் கொண்ட அளவீட்டு முடிவுகளிலிருந்து அறியப்படாத அளவுகளை மதிப்பிடுவதற்கான கோட்பாடு பிழை முறைகளில் ஒன்று. N.K.M. கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் மற்ற (எளிமையான) செயல்பாடுகளால் தோராயமாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. கணித கலைக்களஞ்சியம்

கணித தூண்டல் என்பது கணித ஆதாரத்தின் முறைகளில் ஒன்றாகும், இது அனைத்து இயற்கை எண்களுக்கும் ஒரு குறிப்பிட்ட அறிக்கையின் உண்மையை நிரூபிக்கப் பயன்படுகிறது. இதைச் செய்ய, முதலில் சரிபார்க்கவும் ... விக்கிபீடியா

இந்த வார்த்தைக்கு வேறு அர்த்தங்கள் உள்ளன, தூண்டல் பார்க்கவும். தூண்டல் (lat. inductio guidance) என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட சூழ்நிலையிலிருந்து பொதுவான நிலைக்கு மாறுவதன் அடிப்படையில் தருக்க அனுமானத்தின் செயல்முறையாகும். தூண்டல் அனுமானம் குறிப்பிட்ட வளாகத்தை இணைக்கிறது... ... விக்கிபீடியா

தூண்டல் என்பது குறிப்பிட்ட அவதானிப்புகளிலிருந்து பொதுவான அறிக்கையைப் பெறுவதற்கான ஒரு முறையாகும். ஒரு கணித அறிக்கையானது வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான பொருட்களைப் பற்றியதாக இருந்தால், ஒவ்வொரு பொருளுக்கும் சோதனை செய்வதன் மூலம் அதை நிரூபிக்க முடியும். எடுத்துக்காட்டாக, "ஒவ்வொரு இரண்டு இலக்க இரட்டை எண்ணும் இரண்டு பிரதான எண்களின் கூட்டுத்தொகையாகும்" என்ற அறிக்கையானது, நிறுவுவதற்கு மிகவும் சாத்தியமான சமத்துவங்களின் தொடரிலிருந்து பின்வருமாறு:

10=5+5 12=5+7 14=7+7 16=5+11 . . . 92=3+89 94=5+89 96=7+89 98=19+79.

அனைத்து சாத்தியக்கூறுகளையும் தீர்ந்துவிடும் ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையிலான வழக்குகளுக்கு அறிக்கை சரிபார்க்கப்படும் ஒரு ஆதார முறையானது முழுமையான தூண்டல் எனப்படும். இந்த முறை ஒப்பீட்டளவில் அரிதாகவே பயன்படுத்தப்படுகிறது, ஏனெனில் கணித அறிக்கைகள், ஒரு விதியாக, வரையறுக்கப்பட்டவை அல்ல, ஆனால் எல்லையற்ற பொருள்களின் தொகுப்பு. எடுத்துக்காட்டாக, முழுமையான தூண்டல் மூலம் மேலே நிரூபிக்கப்பட்ட இரண்டு-இலக்க எண்களைப் பற்றிய அறிக்கையானது தேற்றத்தின் ஒரு சிறப்பு நிகழ்வு மட்டுமே: "எந்த இரட்டை எண்களும் இரண்டு பகா எண்களின் கூட்டுத்தொகையாகும்." இந்த தேற்றம் இன்னும் நிரூபிக்கப்படவில்லை அல்லது நிராகரிக்கப்படவில்லை.

கணிதத் தூண்டல் என்பது கணிதத் தூண்டல் கொள்கையின் அடிப்படையில் எந்த ஒரு இயற்கை எண்ணுக்கும் ஒரு குறிப்பிட்ட அறிக்கையை நிரூபிக்கும் ஒரு முறையாகும்: “ஒரு கூற்று n=1 க்கு உண்மையாக இருந்தால் மற்றும் n=k க்கான அதன் செல்லுபடியாகும் n=k க்கு இந்த அறிக்கையின் செல்லுபடியாகும். +1, பின்னர் இது அனைத்து n "க்கும் பொருந்தும் கணித தூண்டல் மூலம் நிரூபிக்கும் முறை பின்வருமாறு:

1) தூண்டலின் அடிப்படை: அவை n=1 (சில நேரங்களில் n=0 அல்லது n=n 0) க்கான அறிக்கையின் செல்லுபடியை நிரூபிக்கின்றன அல்லது நேரடியாகச் சரிபார்க்கின்றன;

2) தூண்டல் படி (மாற்றம்): அவை சில இயற்கை எண்ணான n=k க்கான கூற்றின் செல்லுபடியை அனுமானிக்கின்றன, மேலும் இந்த அனுமானத்தின் அடிப்படையில், n=k+1 க்கான அறிக்கையின் செல்லுபடியை நிரூபிக்கின்றன.

தீர்வுகளில் சிக்கல்கள்

1. எந்த இயற்கை எண்ணான nக்கும், 3 2n+1 +2 n+2 என்ற எண் 7 ஆல் வகுபடும் என்பதை நிரூபிக்கவும்.

A(n)=3 2n+1 +2 n+2 ஐக் குறிப்போம்.

தூண்டல் அடிப்படை. n=1 எனில், A(1)=3 3 +2 3 =35 மற்றும், வெளிப்படையாக, 7 ஆல் வகுபடும்.

தூண்டல் அனுமானம். A(k) 7 ஆல் வகுபடட்டும்.

தூண்டல் மாற்றம். A(k+1) ஆனது 7 ஆல் வகுபடும் என்பதை நிரூபிப்போம், அதாவது n=k க்கான சிக்கலின் அறிக்கையின் செல்லுபடியாகும்.

A(k+1)=3 2(k+1)+1 +2 (k+1)+2 =3 2k+1 ·3 2 +2 k+2 ·2 1 =3 2k+1 ·9+2 k+2 ·2=

3 2k+1 9+2 k+2 (9–7)=(3 2k+1 +2 k+2) 9–7 2 k+2 =9 A(k)–7 2 k +2.

கடைசி எண் 7 ஆல் வகுபடும், ஏனெனில் இது 7 ஆல் வகுபடும் இரண்டு முழு எண்களின் வித்தியாசம். எனவே, 3 2n+1 +2 n+2 என்பது எந்த இயல் எண் nக்கும் 7 ஆல் வகுபடும்.

2. எந்த இயற்கை எண்ணான nக்கும், 2 3 n +1 என்ற எண் 3 n+1 ஆல் வகுபடும் மற்றும் 3 n+2 ஆல் வகுபடாது என்பதை நிரூபிக்கவும்.

குறியீட்டை அறிமுகப்படுத்துவோம்: a i =2 3 i +1.

n=1க்கு எங்களிடம் உள்ளது மற்றும் 1 =2 3 +1=9. எனவே, a 1 என்பது 3 2 ஆல் வகுபடும் மற்றும் 3 3 ஆல் வகுபடாது.

n=k க்கு ஒரு k என்பது 3 k+1 ஆல் வகுபடும் மற்றும் 3 k+2 ஆல் வகுபடாது, அதாவது a k =2 3 k +1=3 k+1 m, m என்பது 3 ஆல் வகுபடாது. பிறகு

மற்றும் k+1 =2 3 k+1 +1=(2 3 k) 3 +1=(2 3 k +1)(2 3 k ·2 –2 3 k +1)=3 k+1 ·m· ((2 3 k +1) 2 –3·2 3 k)=3 k+1 ·m·((3 k+1 ·m) 2 –3·2 3 k)=

3 k+2 ·m·(3 2k+1 ·m 2 –2 3 k).

வெளிப்படையாக, ஒரு k+1 என்பது 3 k+2 ஆல் வகுபடும் மற்றும் 3 k+3 ஆல் வகுபடாது.

எனவே, அறிக்கை எந்த இயற்கை எண் n க்கும் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

3. x+1/x என்பது முழு எண் என்பது தெரியும். x n +1/x n எந்த முழு எண் n க்கும் ஒரு முழு எண் என்பதை நிரூபிக்கவும்.

குறியீட்டை அறிமுகப்படுத்துவோம்: a i =х i +1/х i மற்றும் a i =а -i என்பதை உடனடியாக கவனிக்கவும், எனவே இயற்கை குறியீடுகளைப் பற்றி தொடர்ந்து பேசுவோம்.

குறிப்பு: a 1 என்பது மரபுப்படி ஒரு முழு எண்; மற்றும் 2 என்பது ஒரு முழு எண், ஏனெனில் a 2 = (a 1) 2 –2; மற்றும் 0 =2.

k என்பது n ஐ விட அதிகமாக இல்லாத எந்த இயல் எண்ணுக்கும் ஒரு முழு எண் என்று வைத்துக் கொள்வோம். பின்னர் ஒரு 1 ·a n ஒரு முழு எண், ஆனால் a 1 ·a n =a n+1 +a n–1 மற்றும் a n+1 =a 1 ·a n –a n–1 . இருப்பினும், தூண்டல் கருதுகோளின் படி n–1 ஒரு முழு எண். அதாவது n+1 என்பதும் முழு எண். எனவே, x n +1/x n என்பது எந்த முழு எண் n க்கும் ஒரு முழு எண், இது நிரூபிக்கப்பட வேண்டும்.

4. 1 ஐ விட அதிகமான இயற்கை எண்ணான n க்கு இரட்டை சமத்துவமின்மை உண்மை என்பதை நிரூபிக்கவும்

5. இயற்கையான n > 1 மற்றும் |x|க்கு என்பதை நிரூபிக்கவும்

(1–x)n +(1+x)n

n=2க்கு ஏற்றத்தாழ்வு உண்மை. உண்மையில்,

(1–x) 2 +(1+x) 2 = 2+2 x 2

சமத்துவமின்மை n=k க்கு உண்மையாக இருந்தால், n=k+1 க்கு நம்மிடம் உள்ளது

(1–x) k+1 +(1+x) k+1

எந்த இயல் எண் n > 1க்கும் சமத்துவமின்மை நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

6. ஒரு விமானத்தில் n வட்டங்கள் உள்ளன. இந்த வட்டங்களின் எந்தவொரு ஏற்பாட்டிற்கும், அவை உருவாக்கும் வரைபடத்தை இரண்டு வண்ணங்களுடன் சரியாக வண்ணமயமாக்க முடியும் என்பதை நிரூபிக்கவும்.

கணிதத் தூண்டல் முறையைப் பயன்படுத்துவோம்.

n=1 க்கு அறிக்கை தெளிவாக உள்ளது.

n வட்டங்களால் உருவாக்கப்பட்ட எந்த வரைபடத்திற்கும் அறிக்கை உண்மை என்று வைத்துக்கொள்வோம், மேலும் விமானத்தில் n+1 வட்டங்கள் இருக்கட்டும். இந்த வட்டங்களில் ஒன்றை அகற்றுவதன் மூலம், ஒரு வரைபடத்தைப் பெறுகிறோம், அதன் அனுமானத்தின் காரணமாக, இரண்டு வண்ணங்களுடன் சரியாக வண்ணம் தீட்டலாம் (கீழே உள்ள முதல் படத்தைப் பார்க்கவும்).

பின்னர் கைவிடப்பட்ட வட்டத்தை மீட்டெடுப்போம், அதன் ஒரு பக்கத்தில், எடுத்துக்காட்டாக உள்ளே, ஒவ்வொரு பகுதியின் நிறத்தையும் எதிர்மாறாக மாற்றுவோம் (இரண்டாவது படத்தைப் பார்க்கவும்). இந்த விஷயத்தில் நாம் இரண்டு வண்ணங்கள் கொண்ட வரைபடத்தை சரியாகப் பெறுவோம், ஆனால் இப்போது n+1 வட்டங்களுக்கு, இது நிரூபிக்கப்பட வேண்டும்.

7. பின்வரும் நிபந்தனைகள் பூர்த்தி செய்யப்பட்டால் குவிந்த பலகோணத்தை "அழகானது" என்று அழைப்போம்:

1) அதன் செங்குத்துகள் ஒவ்வொன்றும் ஒரு வண்ணத்தில் உள்ளன மூன்று நிறங்கள்;

2) ஏதேனும் இரண்டு அருகிலுள்ள செங்குத்துகள் வெவ்வேறு வண்ணங்களில் வரையப்பட்டுள்ளன;

3) மூன்று வண்ணங்களில் ஒவ்வொன்றிலும் பலகோணத்தின் குறைந்தபட்சம் ஒரு முனை வரையப்பட்டுள்ளது.

எந்த அழகான n-gon ஐயும் "அழகான" முக்கோணங்களாக பிரிக்கப்பட்ட மூலைவிட்டங்களால் வெட்ட முடியும் என்பதை நிரூபிக்கவும்.

கணிதத் தூண்டல் முறையைப் பயன்படுத்துவோம்.

தூண்டல் அடிப்படை. சாத்தியமான சிறிய n=3 உடன், சிக்கலின் அறிக்கை வெளிப்படையானது: "அழகான" முக்கோணத்தின் செங்குத்துகள் மூன்று வெவ்வேறு வண்ணங்களில் வரையப்பட்டுள்ளன மற்றும் வெட்டுக்கள் தேவையில்லை.

தூண்டல் அனுமானம். எந்தவொரு "அழகான" n-gon க்கும் பிரச்சனையின் அறிக்கை உண்மை என்று வைத்துக்கொள்வோம்.

தூண்டல் படி. ஒரு தன்னிச்சையான "அழகான" (n+1)-gon ஐக் கருத்தில் கொள்வோம் மற்றும் தூண்டல் கருதுகோளைப் பயன்படுத்தி, அதை சில மூலைவிட்டங்களால் "அழகான" முக்கோணங்களாக வெட்ட முடியும் என்பதை நிரூபிப்போம். A 1, A 2, A 3, ... A n, A n+1 ஆல் (n+1)-gon இன் தொடர்ச்சியான செங்குத்துகளைக் குறிப்போம். ஒரு (n+1)-gon இன் ஒரே ஒரு உச்சி மட்டும் மூன்று வண்ணங்களில் ஏதேனும் நிறத்தில் இருந்தால், இந்த உச்சியை மூலைவிட்டங்களுடன் அதனுடன் இல்லாத அனைத்து செங்குத்துகளிலும் இணைப்பதன் மூலம் (n+1) தேவையான பகிர்வைப் பெறுகிறோம். ) - "அழகான" முக்கோணங்களில் செல்லவும்.

மூன்று நிறங்களில் ஒவ்வொன்றிலும் (n+1)-gon இன் குறைந்தபட்சம் இரண்டு செங்குத்துகள் இருந்தால், நாம் உச்சி A 1 இன் நிறத்தை எண் 1 ஆல் குறிக்கிறோம், மேலும் A 2 இன் நிறத்தை எண் 2 ஆல் குறிக்கிறோம். k என்பது மிகச்சிறிய எண்ணாக இருக்கட்டும், அதாவது உச்சி A k மூன்றாவது நிறத்தில் இருக்கும். k > 2 என்பது தெளிவாகிறது. A k–2 A k–1 A k முக்கோணத்தை (n+1)-gon உடன் மூலைவிட்டமான A k–2 A k இலிருந்து துண்டிப்போம். கே எண்ணின் தேர்வுக்கு இணங்க, இந்த முக்கோணத்தின் அனைத்து செங்குத்துகளும் மூன்று வெவ்வேறு வண்ணங்களில் வரையப்பட்டுள்ளன, அதாவது இந்த முக்கோணம் "அழகானது". குவிந்த n-gon A 1 A 2 ... A k–2 A k A k+1 ... A n+1 , எஞ்சியிருக்கும், தூண்டல் அனுமானத்தின் காரணமாக, "அழகாக" இருக்கும், அதாவது இது "அழகான" முக்கோணங்களாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளது, இது நிரூபிக்கப்பட வேண்டும்.

8. ஒரு குவிவு n-gon இல் n மூலைவிட்டங்களை விட அதிகமாக தேர்வு செய்ய இயலாது என்பதை நிரூபிக்கவும், அதனால் அவற்றில் ஏதேனும் ஒரு பொதுவான புள்ளி இருக்கும்.

கணிதத் தூண்டல் முறையைப் பயன்படுத்தி ஆதாரத்தை மேற்கொள்வோம்.

ஒரு பொதுவான கூற்றை நிரூபிப்போம்: ஒரு குவிந்த n-gon இல் n பக்கங்கள் மற்றும் மூலைவிட்டங்களை விட அதிகமாக தேர்வு செய்ய இயலாது, அதனால் அவற்றில் ஏதேனும் ஒரு பொதுவான புள்ளி இருக்கும். n = 3 க்கு அறிக்கை தெளிவாக உள்ளது. இந்த அறிக்கை ஒரு தன்னிச்சையான n-gon க்கு உண்மை என்று வைத்துக்கொள்வோம், இதைப் பயன்படுத்தி, ஒரு தன்னிச்சையான (n+1)-gon க்கு அதன் செல்லுபடியை நிரூபிப்போம்.

இந்த அறிக்கை (n+1)-gon க்கு உண்மையல்ல என்று வைத்துக்கொள்வோம். ஒரு (n+1)-gon-ன் ஒவ்வொரு உச்சியிலிருந்தும் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட இரண்டு பக்கங்கள் அல்லது மூலைவிட்டங்கள் வெளிவரவில்லை என்றால், அவற்றில் n+1க்கு மேல் மொத்தமாகத் தேர்ந்தெடுக்கப்படவில்லை. எனவே, சில உச்சியில் இருந்து குறைந்தபட்சம் மூன்று தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட பக்கங்கள் அல்லது மூலைவிட்டங்கள் AB, AC, AD. AB மற்றும் AD க்கு இடையில் AC இருக்கட்டும். புள்ளி C மற்றும் CA தவிர வேறு எந்த பக்கமும் அல்லது மூலைவிட்டமும் AB மற்றும் AD ஐ ஒரே நேரத்தில் வெட்ட முடியாது என்பதால், C புள்ளியிலிருந்து ஒரு தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட மூலைவிட்ட CA மட்டுமே வெளிப்படுகிறது.

மூலைவிட்ட CA உடன் புள்ளி C ஐ நிராகரித்தால், நாம் ஒரு குவிந்த n-gon ஐப் பெறுகிறோம், அதில் n பக்கங்களும் மூலைவிட்டங்களும் தேர்ந்தெடுக்கப்படுகின்றன, அவற்றில் ஏதேனும் ஒரு பொதுவான புள்ளி உள்ளது. எனவே, ஒரு தன்னிச்சையான குவிந்த n-gon க்கு அறிக்கை உண்மையாக இருக்கும் என்ற அனுமானத்துடன் நாம் ஒரு முரண்பாட்டிற்கு வருகிறோம்.

எனவே, ஒரு (n+1)-gon க்கு அறிக்கை உண்மை. கணித தூண்டல் கொள்கையின்படி, எந்த குவிவு n-gon க்கும் அறிக்கை உண்மையாக இருக்கும்.

9. ஒரு விமானத்தில் n நேர்கோடுகள் உள்ளன, அவற்றில் இரண்டு இணையாக இல்லை மற்றும் மூன்று ஒரே புள்ளியில் கடக்கவில்லை. இந்தக் கோடுகள் விமானத்தை எத்தனை பகுதிகளாகப் பிரிக்கின்றன?

அடிப்படை வரைபடங்களைப் பயன்படுத்தி, ஒரு நேர் கோடு விமானத்தை 2 பகுதிகளாகவும், இரண்டு நேர் கோடுகளை 4 பகுதிகளாகவும், மூன்று நேர் கோடுகளை 7 பகுதிகளாகவும், நான்கு நேர் கோடுகளை 11 பகுதிகளாகவும் பிரிக்கிறது என்பதை நீங்கள் எளிதாக சரிபார்க்கலாம்.

n நேர்கோடுகள் விமானத்தை பிரிக்கும் பகுதிகளின் எண்ணிக்கையை N(n) ஆல் குறிப்போம். என்பதைக் கவனிக்கலாம்

N(2)=N(1)+2=2+2,

N(3)=N(2)+3=2+2+3,

N(4)=N(3)+4=2+2+3+4.

என்று எண்ணுவது இயல்பு

N(n)=N(n–1)+n=2+2+3+4+5+…+n,

அல்லது, ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தின் முதல் n சொற்களின் கூட்டுத்தொகைக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, நிறுவ எளிதானது,

N(n)=1+n(n+1)/2.

கணித தூண்டல் முறையைப் பயன்படுத்தி இந்த சூத்திரத்தின் செல்லுபடியை நிரூபிப்போம்.

n=1க்கான சூத்திரம் ஏற்கனவே சரிபார்க்கப்பட்டது.

தூண்டல் அனுமானத்தை உருவாக்கி, சிக்கலின் நிலைமைகளை பூர்த்தி செய்யும் k+1 வரிகளை நாங்கள் கருதுகிறோம். அவற்றிலிருந்து k நேர்கோடுகளை தன்னிச்சையான முறையில் தேர்ந்தெடுப்போம். தூண்டல் கருதுகோள் மூலம், அவை விமானத்தை 1+ k(k+1)/2 பகுதிகளாகப் பிரிக்கும். மீதமுள்ள (k+1) வது நேர்கோடு தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட k நேர்கோடுகளால் k+1 பகுதிகளாக பிரிக்கப்படும், எனவே, விமானம் ஏற்கனவே பிரிக்கப்பட்டுள்ள (k+1)வது பகுதி மற்றும் ஒவ்வொன்றும் கடந்து செல்லும். இந்த பகுதிகள் 2 பகுதிகளாக பிரிக்கப்படும், அதாவது மற்றொரு k+1 பகுதி சேர்க்கப்படும். எனவே,

N(k+1)=N(k)+k+1=1+ k(k+1)/2+k+1=1+(k+1)(k+2)/2,

கே.இ.டி.

10. x 1: x 2: ... : x n என்ற வெளிப்பாட்டில், செயல்களின் வரிசையைக் குறிக்க அடைப்புக்குறிகள் வைக்கப்பட்டு, முடிவு ஒரு பின்னமாக எழுதப்படுகிறது:

(இந்த வழக்கில், x 1, x 2, ..., x n ஆகிய எழுத்துக்கள் ஒவ்வொன்றும் பின்னத்தின் எண் அல்லது வகுப்பில் இருக்கும்). அடைப்புக்குறிகளை வைப்பதற்கான சாத்தியமான அனைத்து வழிகளிலும் இந்த வழியில் எத்தனை வெவ்வேறு வெளிப்பாடுகளைப் பெற முடியும்?

முதலாவதாக, இதன் விளைவாக வரும் பின்னத்தில் x 1 எண் எண்ணில் இருக்கும் என்பது தெளிவாகிறது. அடைப்புக்குறிகள் எப்படி வைக்கப்பட்டாலும் x 2 வகுப்பில் இருக்கும் என்பது கிட்டத்தட்ட வெளிப்படையானது (x 2 க்கு முன்னால் உள்ள பிரிவு அடையாளம் x 2 ஐக் குறிக்கிறது அல்லது எண்களில் x 2 ஐக் கொண்ட சில வெளிப்பாடுகளைக் குறிக்கிறது).

மற்ற எல்லா எழுத்துக்களும் x 3, x 4, ..., x n ஆகியவை முற்றிலும் தன்னிச்சையான முறையில் எண் அல்லது வகுப்பில் அமைந்திருக்கலாம் என்று கருதலாம். மொத்தத்தில் நீங்கள் 2 n–2 பின்னங்களைப் பெறலாம்: n–2 எழுத்துக்கள் ஒவ்வொன்றும் x 3, x 4, ..., x n ஆகியவை எண் அல்லது வகுப்பில் உள்ள மற்றவற்றிலிருந்து சுயாதீனமாகத் தோன்றலாம்.

இந்த அறிக்கையை தூண்டல் மூலம் நிரூபிப்போம்.

n=3 உடன் நீங்கள் 2 பின்னங்களைப் பெறலாம்:

எனவே அறிக்கை உண்மை.

இது n=k க்கு உண்மை என்று வைத்து n=k+1 க்கு நிரூபிப்போம்.

x 1:x 2: ... :x k என்ற சொற்றொடரை அடைப்புக்குறிக்குள் குறிப்பிட்ட பின்னம் Q வடிவில் எழுதலாம். இந்த வெளிப்பாட்டில் x k க்கு பதிலாக x k:x k+1 ஐ மாற்றினால், x k ஆக இருக்கும் பின்னம் Q இல் இருந்த அதே இடத்தில், மற்றும் x k இருந்த இடத்தில் x k+1 இருக்காது (x k என்பது வகுப்பில் இருந்தால், x k+1 என்பது எண் மற்றும் நேர்மாறாகவும் இருக்கும்).

x k அமைந்துள்ள அதே இடத்தில் x k+1 ஐ சேர்க்கலாம் என்பதை இப்போது நிரூபிப்போம். Q என்ற பின்னத்தில், அடைப்புக்குறிகளை வைத்த பிறகு, q:x k வடிவத்தின் வெளிப்பாடு அவசியமாக இருக்கும், இங்கு q என்பது x k–1 என்ற எழுத்து அல்லது அடைப்புக்குறிக்குள் இருக்கும். q:x k க்கு பதிலாக (q:x k):x k+1 =q:(x k ·x k+1), நாம் வெளிப்படையாக அதே பின்னம் Q ஐப் பெறுகிறோம், x k க்கு பதிலாக x k ·x k+1 உள்ளது.

எனவே, n=k+1 வழக்கில் சாத்தியமான அனைத்து பின்னங்களின் எண்ணிக்கையும் n=k வழக்கை விட 2 மடங்கு அதிகமாகும் மற்றும் 2 k–2 ·2=2 (k+1)–2 க்கு சமம். இவ்வாறு அந்த அறிக்கை நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

பதில்: 2 n–2 பின்னங்கள்.

தீர்வு இல்லாத பிரச்சனைகள்

1. எந்த இயற்கையான nக்கும் நிரூபிக்கவும்:

a) எண் 5 n –3 n +2n 4 ஆல் வகுபடும்;

b) எண் n 3 +11n 6 ஆல் வகுபடும்;

c) எண் 7 n +3n–1 என்பது 9 ஆல் வகுபடும்;

ஈ) எண் 6 2n +19 n –2 n+1 என்பது 17 ஆல் வகுபடும்;

இ) எண் 7 n+1 +8 2n–1 என்பது 19 ஆல் வகுபடும்;

இ) எண் 2 2n–1 –9n 2 +21n–14 என்பது 27 ஆல் வகுபடும்.

2. (n+1)·(n+2)· …·(n+n) = 2 n ·1·3·5·…·(2n–1) என்பதை நிரூபிக்கவும்.

3. சமத்துவமின்மையை நிரூபிக்கவும் |sin nx| ந|பாவம் x| எந்த இயற்கை n.

4. 10 ஆல் வகுபடாத இயற்கை எண்கள் a, b, c மற்றும் எந்த இயற்கை n எண்களுக்கும் a n + b n மற்றும் c n ஆகியவை ஒரே கடைசி இரண்டு இலக்கங்களைக் கொண்டிருக்கும்.

5. n புள்ளிகள் ஒரே வரியில் இல்லை எனில், அவற்றை இணைக்கும் கோடுகளில் குறைந்தது n வெவ்வேறு கோடுகள் உள்ளன என்பதை நிரூபிக்கவும்.

பல சந்தர்ப்பங்களில், ஒரு குறிப்பிட்ட அறிக்கையின் செல்லுபடியை அனைத்து இயற்கை எண்களுக்கும் அல்ல, ஆனால் n>pக்கு மட்டுமே நிரூபிக்க வேண்டியிருக்கலாம், இங்கு p என்பது நிலையான இயற்கை எண்ணாகும். இந்த வழக்கில், கணித தூண்டல் கொள்கை பின்வருமாறு வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது.

முன்மொழிவு A(n) n=p க்கும், A(k) ≈ A(k+1) என்றால் எந்த k>p க்கும் சரி என்றால், A(n) எந்த n>pக்கும் உண்மையாக இருக்கும்.

கணித தூண்டல் முறையைப் பயன்படுத்தி ஆதாரம் பின்வருமாறு மேற்கொள்ளப்படுகிறது. முதலில், நிரூபிக்கப்பட வேண்டிய அறிக்கை n=1 க்கு சரிபார்க்கப்பட்டது, அதாவது. அறிக்கை A(1) இன் உண்மை நிறுவப்பட்டது. ஆதாரத்தின் இந்த பகுதி தூண்டல் அடிப்படை என்று அழைக்கப்படுகிறது. பின்னர் ஆதாரத்தின் பகுதி தூண்டல் படி என்று வருகிறது. இந்தப் பகுதியில், n=k (இண்டக்ஷன் அனுமானம்) க்கான அறிக்கையின் செல்லுபடியாகும் அனுமானத்தின் கீழ் n=k+1 க்கான அறிக்கையின் செல்லுபடியை அவர்கள் நிரூபிக்கிறார்கள், அதாவது. A(k) 1 A(k+1) என்பதை நிரூபிக்கவும்

1+3+5+…+(2n-1)=n 2 என்பதை நிரூபிக்கவும்.

1) எங்களிடம் n=1=1 2 உள்ளது. எனவே, அறிக்கை n=1 க்கு உண்மையாக இருக்கும், அதாவது. A(1) உண்மை
2) A(k) ≥ A(k+1) என்பதை நிரூபிப்போம்

k என்பது எந்த இயல் எண்ணாகவும் இருக்கட்டும் மற்றும் அந்த அறிக்கை n=k க்கு உண்மையாக இருக்கட்டும், அதாவது.

1+3+5+…+(2k-1)=k 2

1+3+5+…+(2k+1)=(k+1) 2 உண்மையில்,
1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=k 2 +2k+1=(k+1) 2

எனவே, A(k) 1 A(k+1). கணிதத் தூண்டல் கொள்கையின் அடிப்படையில், எந்த n O Nக்கும் A(n) அனுமானம் உண்மை என்று முடிவு செய்கிறோம்.

என்பதை நிரூபியுங்கள்

1+x+x 2 +x 3 +…+x n =(x n+1 -1)/(x-1), இங்கு x எண். 1

1) n=1க்கு நாம் பெறுகிறோம்
1+x=(x 2 -1)/(x-1)=(x-1)(x+1)/(x-1)=x+1

எனவே, n=1க்கான சூத்திரம் சரியானது; A(1) உண்மை

2) k என்பது இயற்கை எண்ணாக இருக்கட்டும் மற்றும் n=k க்கு சூத்திரம் உண்மையாக இருக்கட்டும்,
1+x+x 2 +x 3 +…+x k =(x k+1 -1)/(x-1)

அப்போதுதான் சமத்துவம் என்பதை நிரூபிப்போம்

1+x+x 2 +x 3 +…+x k +x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1) உண்மையில்
1+x+x 2 +x 3 +…+x k +x k+1 =(1+x+x 2 +x 3 +…+x k)+x k+1 =

=(x k+1 -1)/(x-1)+x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1)

எனவே, A(k) 1 A(k+1). கணிதத் தூண்டல் கொள்கையின் அடிப்படையில், எந்த இயற்கை எண்ணுக்கும் n சூத்திரம் உண்மை என்று முடிவு செய்கிறோம்.

குவிந்த n-gon இன் மூலைவிட்டங்களின் எண்ணிக்கை n(n-3)/2 என்பதை நிரூபிக்கவும்

தீர்வு: 1) n=3 க்கு கூற்று உண்மை, ஏனெனில் முக்கோணத்தில்

A 3 =3(3-3)/2=0 மூலைவிட்டங்கள்; A 2 A(3) உண்மை

2) ஒவ்வொரு குவிவு k-gon லும் A 1 x A k =k(k-3)/2 மூலைவிட்டங்கள் உள்ளன என்று வைத்துக்கொள்வோம். A k ஒரு குவிந்த A k+1 (k+1)-gon இல் மூலைவிட்டங்களின் எண்ணிக்கை A k+1 =(k+1)(k-2)/2 என்பதை நிரூபிப்போம்.

A 1 A 2 A 3 …A k A k+1 ஒரு குவிந்த (k+1)-gon ஆக இருக்கட்டும். அதில் ஒரு மூலைவிட்ட A 1 A k ஐ வரைவோம். இந்த (k+1)-gonன் மூலைவிட்டங்களின் மொத்த எண்ணிக்கையைக் கணக்கிட, k-gon A 1 A 2 ...A k இல் உள்ள மூலைவிட்டங்களின் எண்ணிக்கையை நீங்கள் எண்ண வேண்டும், இதன் விளைவாக வரும் எண்ணுடன் k-2 ஐச் சேர்க்கவும், அதாவது. A k+1 உச்சியில் இருந்து வெளிப்படும் (k+1)-gon இன் மூலைவிட்டங்களின் எண்ணிக்கை, மேலும், மூலைவிட்டமான A 1 A k கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளப்பட வேண்டும்.

இவ்வாறு,

G k+1 =G k +(k-2)+1=k(k-3)/2+k-1=(k+1)(k-2)/2

எனவே, A(k) 1 A(k+1). கணித தூண்டல் கொள்கையின் காரணமாக, எந்த குவிவு n-gon க்கும் அறிக்கை உண்மையாக இருக்கும்.

எந்த ஒரு n பின்வரும் கூற்று உண்மை என்பதை நிரூபிக்கவும்:

1 2 +2 2 +3 2 +…+n 2 =n(n+1)(2n+1)/6

தீர்வு: 1) n=1, பிறகு

X 1 =1 2 =1(1+1)(2+1)/6=1

2) n=k என்று வைத்துக் கொள்வோம்

X k =k 2 =k(k+1)(2k+1)/6

3) n=k+1 க்கான இந்த அறிக்கையைக் கவனியுங்கள்

X k+1 =(k+1)(k+2)(2k+3)/6

X k+1 =1 2 +2 2 +3 2 +…+k 2 +(k+1) 2 =k(k+1)(2k+1)/6+ +(k+1) 2

=(k(k+1)(2k+1)+6(k+1) 2)/6=(k+1)(k(2k+1)+

6(k+1))/6=(k+1)(2k 2 +7k+6)/6=(k+1)(2(k+3/2)(k+

2))/6=(k+1)(k+2)(2k+3)/6

n=k+1 க்கு சமத்துவம் உண்மை என்று நிரூபித்துள்ளோம், எனவே, கணிதத் தூண்டல் முறையின் மூலம், எந்த இயல் எண் nக்கும் இந்தக் கூற்று உண்மையாக இருக்கும்.

எந்தவொரு இயற்கை எண்ணுக்கும் பின்வரும் சமத்துவம் உள்ளது என்பதை நிரூபிக்கவும்:

1 3 +2 3 +3 3 +…+n 3 =n 2 (n+1) 2/4

தீர்வு: 1) n=1 ஆகவும்

பின்னர் X 1 =1 3 =1 2 (1+1) 2 /4=1. n=1க்கான கூற்று உண்மையாக இருப்பதைக் காண்கிறோம்.

2) சமத்துவம் n=k க்கு உண்மை என்று வைத்துக்கொள்வோம்

X k =k 2 (k+1) 2/4

3) n=k+1 க்கான இந்த அறிக்கையின் உண்மையை நிரூபிப்போம், அதாவது.

X k+1 =(k+1) 2 (k+2) 2/4. X k+1 =1 3 +2 3 +…+k 3 +(k+1) 3 =k 2 (k+1) 2 /4+(k+1) 3 =(k 2 (k++1) 2 +4(k+1) 3)/4=(k+1) 2 (k 2 +4k+4)/4=(k+1) 2 (k+2) 2/4

மேற்கூறிய சான்றுகளில் இருந்து n=k+1 க்கு அறிக்கை உண்மை என்பது தெளிவாகிறது, எனவே, எந்த இயற்கை எண்ணுக்கும் சமத்துவம் உண்மை

என்பதை நிரூபியுங்கள்

((2 3 +1)/(2 3 -1)) ґ ((3 3 +1)/(3 3 -1)) ґ ... ґ ((n 3 +1)/(n 3 -1) )= 3n(n+1)/2(n 2 +n+1), இங்கு n>2

தீர்வு: 1) n=2 க்கு அடையாளம் இப்படி இருக்கும்:

(2 3 +1)/(2 3 -1)=(3 ґ 2 ґ 3)/2(2 2 +2+1), i.e. அது உண்மை
2) n=k க்கு வெளிப்பாடு உண்மை என்று வைத்துக் கொள்வோம்
(2 3 +1)/(2 3 -1) ґ … ґ (k 3 +1)/(k 3 -1)=3k(k+1)/2(k 2 +k+1)
3) n=k+1க்கான வெளிப்பாட்டின் செல்லுபடியை நிரூபிப்போம்
(((2 3 +1)/(2 3 -1)) ґ … ґ ((k 3 +1)/(k 3 -1))) ґ (((k+1) 3 +

1)/((k+1) 3 -1))=(3k(k+1)/2(k 2 +k+1)) ґ ((k+2)((k+

1) 2 -(k+1)+1)/k((k+1) 2 +(k+1)+1))=3(k+1)(k+2)/2 ґ

ґ ((k+1) 2 +(k+1)+1)

n=k+1 க்கு சமத்துவம் உண்மை என்று நிரூபித்துள்ளோம், எனவே, கணித தூண்டல் முறையின் மூலம், எந்த n>2 க்கும் இந்த அறிக்கை உண்மையாக இருக்கும்.

என்பதை நிரூபியுங்கள்

1 3 -2 3 +3 3 -4 3 +…+(2n-1) 3 -(2n) 3 =-n 2 (4n+3) எந்த இயற்கை எண்ணுக்கும் n

தீர்வு: 1) n=1, பிறகு

1 3 -2 3 =-1 3 (4+3); -7=-7
2) n=k என்று வைத்துக்கொள்வோம்
1 3 -2 3 +3 3 -4 3 +…+(2k-1) 3 -(2k) 3 =-k 2 (4k+3)
3) n=k+1 க்கான இந்த அறிக்கையின் உண்மையை நிரூபிப்போம்
(1 3 -2 3 +…+(2k-1) 3 -(2k) 3)+(2k+1) 3 -(2k+2) 3 =-k 2 (4k+3)+

+(2k+1) 3 -(2k+2) 3 =-(k+1) 3 (4(k+1)+3)

n=k+1 க்கான சமத்துவத்தின் செல்லுபடியாகும் தன்மையும் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது, எனவே எந்த இயல் எண்ணான nக்கும் இந்த அறிக்கை உண்மையாக இருக்கும்.

அடையாளம் சரியானது என்பதை நிரூபிக்கவும்

(1 2 /1 ґ 3)+(2 2 /3 ґ 5)+…+(n 2 /(2n-1) ґ (2n+1))=n(n+1)/2(2n+1) எந்த இயற்கை n

1) n=1க்கு அடையாளம் உண்மை 1 2/1 ґ 3=1(1+1)/2(2+1)
2) n=k க்கு என்று வைத்துக்கொள்வோம்
(1 2 /1 ґ 3)+…+(k 2 /(2k-1) ґ (2k+1))=k(k+1)/2(2k+1)
3) n=k+1 க்கு அடையாளம் உண்மை என்பதை நிரூபிப்போம்
(1 2 /1 ґ 3)+…+(k 2 /(2k-1)(2k+1))+(k+1) 2 /(2k+1)(2k+3)=(k(k+ 1) )/2(2k+1))+((k+1) 2 /(2k+1)(2k+3))=((k+1)/(2k+1)) ґ ((k/2 ) +((k+1)/(2k+3)))=(k+1)(k+2) ґ (2k+1)/2(2k+1)(2k+3)=(k+1 ) (k+2)/2(2(k+1)+1)

மேற்கூறிய சான்றிலிருந்து, எந்த இயல் எண்ணான nக்கும் அந்த அறிக்கை உண்மை என்பது தெளிவாகிறது.

(11 n+2 +12 2n+1) மீதம் இல்லாமல் 133 ஆல் வகுபடும் என்பதை நிரூபிக்கவும்

தீர்வு: 1) n=1, பிறகு

11 3 +12 3 =(11+12)(11 2 -132+12 2)=23 ґ 133

ஆனால் (23 ґ 133) என்பது மீதம் இல்லாமல் 133 ஆல் வகுபடும், அதாவது n=1 க்கு அந்த அறிக்கை உண்மை; A(1) உண்மை.

2) (11 k+2 +12 2k+1) மீதம் இல்லாமல் 133 ஆல் வகுபடும் என்று வைத்துக்கொள்வோம்.
3) இந்த வழக்கில் (11 k+3 +12 2k+3) மீதி இல்லாமல் 133 ஆல் வகுபடும் என்பதை நிரூபிப்போம். உண்மையில்
11 k+3 +12 2l+3 =11 ґ 11 k+2 +12 2 ґ 12 2k+1 =11 ґ 11 k+2 +

+(11+133) ґ 12 2k+1 =11(11 k+2 +12 2k+1)+133 ґ 12 2k+1

இதன் விளைவாக வரும் தொகையானது மீதியின்றி 133 ஆல் வகுக்கப்படுகிறது, ஏனெனில் அதன் முதல் சொல் 133 ஆல் வகுக்கப்படுவதால், அனுமானத்தின் மூலம் மீதியின்றி 133 ஆகும், மேலும் இரண்டாவது காரணிகளில் 133 ஆகும். எனவே, A(k) 1 A(k+1). கணித தூண்டல் முறையின் மூலம், அறிக்கை நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது

எந்த n 7 n -1 க்கும் மீதி இல்லாமல் 6 ஆல் வகுபடும் என்பதை நிரூபிக்கவும்

1) n=1 ஆகவும், பின்னர் X 1 =7 1 -1=6 மீதம் இல்லாமல் 6 ஆல் வகுக்கப்படும். இதன் பொருள் n=1 ஆக இருக்கும் போது அந்த அறிக்கை உண்மையாக இருக்கும்
2) n=k 7 k -1 ஐ மீதம் இல்லாமல் 6 ஆல் வகுத்தால் என்று வைத்துக்கொள்வோம்
3) n=k+1 க்கு அறிக்கை உண்மை என்பதை நிரூபிப்போம்

X k+1 =7 k+1 -1=7 ґ 7 k -7+6=7(7 k -1)+6

முதல் சொல் 6 ஆல் வகுபடும், ஏனெனில் 7 k -1 என்பது அனுமானத்தால் 6 ஆல் வகுபடும், மற்றும் இரண்டாவது சொல் 6 ஆகும். இதன் பொருள் 7 n -1 என்பது எந்த இயற்கை n க்கும் 6 இன் பெருக்கல் ஆகும். கணித தூண்டல் முறையின் மூலம், அறிக்கை நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

தன்னிச்சையான இயற்கை எண்ணான nக்கான 3 3n-1 +2 4n-3 11 ஆல் வகுபடும் என்பதை நிரூபிக்கவும்.

1) n=1 என்று, பிறகு

X 1 =3 3-1 +2 4-3 =3 2 +2 1 =11 மீதம் இல்லாமல் 11 ஆல் வகுக்கப்படுகிறது.

இதன் பொருள் n=1க்கான கூற்று உண்மை

2) n=k X k =3 3k-1 +2 4k-3 மீதம் இல்லாமல் 11 ஆல் வகுக்கப்படும் என்று வைத்துக்கொள்வோம்.
3) n=k+1 க்கு அறிக்கை உண்மை என்பதை நிரூபிப்போம்

X k+1 =3 3(k+1)-1 +2 4(k+1)-3 =3 3k+2 +2 4k+1 =3 3 ґ 3 3k-1 +2 4 ґ 2 4k-3 =

27 ґ 3 3k-1 +16 ґ 2 4k-3 =(16+11) ґ 3 3k-1 +16 ґ 2 4k-3 =16 ґ 3 3k-1 +

11 ґ 3 3k-1 +16 ґ 2 4k-3 =16(3 3k-1 +2 4k-3)+11 ґ 3 3k-1

தன்னிச்சையான இயற்கை எண்ணான nக்கான 11 2n -1 மீதம் இல்லாமல் 6 ஆல் வகுபடும் என்பதை நிரூபிக்கவும்

1) n=1 என்று வைத்துக்கொள்வோம், பிறகு 11 2 -1=120 மீதம் இல்லாமல் 6 ஆல் வகுபடும். இதன் பொருள் n=1க்கான கூற்று உண்மை
2) n=k 1 2k -1 மீதம் இல்லாமல் 6 ஆல் வகுக்கப்படும் என்று வைத்துக்கொள்வோம்.
11 2(k+1) -1=121 ґ 11 2k -1=120 ґ 11 2k +(11 2k -1)

இரண்டு சொற்களும் மீதி இல்லாமல் 6 ஆல் வகுபடும்: முதலாவது 6, 120 இன் பெருக்கத்தைக் கொண்டுள்ளது, மேலும் இரண்டாவது அனுமானத்தின் மூலம் மீதி இல்லாமல் 6 ஆல் வகுபடும். இதன் பொருள் தொகை மீதம் இல்லாமல் 6 ஆல் வகுபடும். கணித தூண்டல் முறையின் மூலம், அறிக்கை நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

தன்னிச்சையான இயற்கை எண்ணான nக்கான 3 3n+3 -26n-27 மீதம் இல்லாமல் 26 2 (676) ஆல் வகுபடும் என்பதை நிரூபிக்கவும்

3 3n+3 -1 மீதம் இல்லாமல் 26 ஆல் வகுபடும் என்பதை முதலில் நிரூபிப்போம்

1. எப்போது n=0
3 3 -1=26 26 ஆல் வகுக்கப்படுகிறது
2. n=k என்று வைத்துக்கொள்வோம்
3 3k+3 -1 என்பது 26 ஆல் வகுபடும்
3. n=k+1 க்கு அறிக்கை உண்மை என்பதை நிரூபிப்போம்
3 3k+6 -1=27 ґ 3 3k+3 -1=26 ґ 3 3l+3 +(3 3k+3 -1) -26 ஆல் வகுக்கப்பட்டது

இப்போது சிக்கல் அறிக்கையில் வடிவமைக்கப்பட்ட அறிக்கையை நிரூபிப்போம்

1) வெளிப்படையாக, n=1 க்கு அறிக்கை உண்மை
3 3+3 -26-27=676
2) n=k க்கு 3 3k+3 -26k-27 என்ற வெளிப்பாடு மீதம் இல்லாமல் 26 2 ஆல் வகுக்கப்படுகிறது என்று வைத்துக்கொள்வோம்.
3) n=k+1 க்கு அறிக்கை உண்மை என்பதை நிரூபிப்போம்
3 3k+6 -26(k+1)-27=26(3 3k+3 -1)+(3 3k+3 -26k-27)

இரண்டு சொற்களும் 26 2 ஆல் வகுபடும்; முதலாவது 26 2 ஆல் வகுபடும், ஏனெனில் அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள வெளிப்பாடு 26 ஆல் வகுபடும் என்பதை நிரூபித்துள்ளோம், மேலும் இரண்டாவது தூண்டல் கருதுகோளால் வகுபடும். கணித தூண்டல் முறையின் மூலம், அறிக்கை நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது

n>2 மற்றும் x>0 எனில் சமத்துவமின்மை (1+x) n >1+n ґx உண்மை என்பதை நிரூபிக்கவும்

1) n=2 க்கு ஏற்றத்தாழ்வு செல்லுபடியாகும்
(1+x) 2 =1+2x+x 2 >1+2x

எனவே A(2) உண்மை

2) A(k) ≈ A(k+1), k> என்றால் 2. A(k) உண்மை என்று வைத்துக்கொள்வோம், அதாவது சமத்துவமின்மை
(1+x) k >1+k ґ x. (3)

A(k+1) என்பதும் உண்மை என்பதை நிரூபிப்போம், அதாவது சமத்துவமின்மை

(1+x) k+1 >1+(k+1) ґ x

உண்மையில், சமத்துவமின்மையின் இரு பக்கங்களையும் (3) நேர்மறை எண்ணான 1+x ஆல் பெருக்கினால், நாம் பெறுகிறோம்

(1+x) k+1 >(1+k ґ x)(1+x)

கடைசி சமத்துவமின்மையின் வலது பக்கத்தைக் கவனியுங்கள்; எங்களிடம் உள்ளது

(1+k ґ x)(1+x)=1+(k+1) ґ x+k ґ x 2 >1+(k+1) ґ x

இதன் விளைவாக, (1+x) k+1 >1+(k+1) ґ x

எனவே, A(k) 1 A(k+1). கணிதத் தூண்டல் கொள்கையின் அடிப்படையில், பெர்னோலியின் சமத்துவமின்மை எந்த n> 2 க்கும் செல்லுபடியாகும் என்று வாதிடலாம்.

சமத்துவமின்மை (1+a+a 2) m > 1+m ґ a+(m(m+1)/2) ґ a 2 for a> 0 உண்மை என்பதை நிரூபிக்கவும்

தீர்வு: 1) எப்போது m=1

(1+a+a 2) 1 > 1+a+(2/2) ґ a 2 இரு பக்கங்களும் சமம்
2) m=k க்கு என்று வைத்துக்கொள்வோம்
(1+a+a 2) k >1+k ґ a+(k(k+1)/2) ґ a 2
3) m=k+1க்கு ஏற்றத்தாழ்வு உண்மை என்பதை நிரூபிப்போம்
(1+a+a 2) k+1 =(1+a+a 2)(1+a+a 2) k >(1+a+a 2)(1+k ґ a+

+(k(k+1)/2) ґ a 2)=1+(k+1) ґ a+((k(k+1)/2)+k+1) ґ a 2 +

+((k(k+1)/2)+k) ґ a 3 +(k(k+1)/2) ґ a 4 > 1+(k+1) ґ a+

+((k+1)(k+2)/2) ґ a 2

சமத்துவமின்மை m=k+1 க்கு உண்மை என்று நிரூபித்துள்ளோம், எனவே, கணிதத் தூண்டல் முறையின் மூலம், சமத்துவமின்மை எந்த இயற்கை எண்ணுக்கும் செல்லுபடியாகும்.

n>6க்கு சமத்துவமின்மை 3 n >n ґ 2 n+1 உண்மை என்பதை நிரூபிக்கவும்

சமத்துவமின்மையை (3/2) n >2n வடிவத்தில் மீண்டும் எழுதுவோம்

1. n=7க்கு 3 7/2 7 =2187/128>14=2 ґ 7 சமத்துவமின்மை உண்மை
2. n=k (3/2) k >2k என்று வைத்துக்கொள்வோம்
3) n=k+1க்கான சமத்துவமின்மையை நிரூபிப்போம்
3 k+1 /2 k+1 =(3 k /2 k) ґ (3/2)>2k ґ (3/2)=3k>2(k+1)

k>7 முதல், கடைசி சமத்துவமின்மை தெளிவாக உள்ளது.

கணிதத் தூண்டல் முறையின் மூலம், சமத்துவமின்மை எந்த இயற்கை எண்ணுக்கும் செல்லுபடியாகும் n

n>2க்கு ஏற்றத்தாழ்வு உண்மை என்பதை நிரூபிக்கவும்

1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/n 2)<1,7-(1/n)

1) n=3க்கு ஏற்றத்தாழ்வு உண்மை
1+(1/2 2)+(1/3 2)=245/180
2. n=k என்று வைத்துக்கொள்வோம்
1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/k 2)=1.7-(1/k)
3) n=k+1க்கான சமத்துவமின்மையின் செல்லுபடியை நிரூபிப்போம்
(1+(1/2 2)+…+(1/k 2))+(1/(k+1) 2)

1.7-(1/k)+(1/(k+1) 2) என்பதை நிரூபிப்போம்<1,7-(1/k+1) Ы

S (1/(k+1) 2)+(1/k+1)<1/k Ы (k+2)/(k+1) 2 <1/k Ы

ы k(k+2)<(k+1) 2 Ы k 2 +2k

பிந்தையது வெளிப்படையானது, எனவே

1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/(k+1) 2)<1,7-(1/k+1)

கணித தூண்டல் முறையின் மூலம், சமத்துவமின்மை நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.