தர்க்கம் மற்றும் ஆதாரம். ஆதாரம்: நேரடி, தலைகீழ், முரண்பாட்டின் மூலம். கணித தூண்டல் முறை. முரண்பாட்டின் மூலம் முறை

கணிதச் சொற்களின் விளக்க அகராதி ஒரு தேற்றத்தின் முரண்பாட்டின் மூலம் ஒரு நிரூபணத்தை வரையறுக்கிறது. "முரண்பாட்டின் மூலம் ஆதாரம் என்பது ஒரு தேற்றத்தை (முன்மொழிவு) நிரூபிக்கும் ஒரு முறையாகும், இது தேற்றத்தை அல்ல, ஆனால் அதற்கு சமமான (சமமான) தேற்றத்தை நிரூபிப்பதில் உள்ளது. நேரடி தேற்றத்தை நிரூபிப்பது கடினமாக இருக்கும் போதெல்லாம் முரண்பாட்டின் மூலம் ஆதாரம் பயன்படுத்தப்படுகிறது, ஆனால் எதிர் தேற்றம் நிரூபிக்க எளிதானது. முரண்பாடான நிரூபணத்தில், தேற்றத்தின் முடிவு அதன் மறுப்பால் மாற்றப்படுகிறது, மேலும் பகுத்தறிவின் மூலம் ஒருவர் நிபந்தனைகளின் மறுப்பை அடைகிறார், அதாவது. ஒரு முரண்பாட்டிற்கு, அதற்கு நேர்மாறாக (கொடுக்கப்பட்டதற்கு நேர்மாறானது; அபத்தத்திற்கு இந்த குறைப்பு தேற்றத்தை நிரூபிக்கிறது."

முரண்பாட்டின் ஆதாரம் பெரும்பாலும் கணிதத்தில் பயன்படுத்தப்படுகிறது. முரண்பாட்டின் மூலம் நிரூபணம் என்பது விலக்கப்பட்ட நடுவின் சட்டத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டது, இதில் இரண்டு அறிக்கைகள் (அறிக்கைகள்) A மற்றும் A (A இன் மறுப்பு), அவற்றில் ஒன்று உண்மை மற்றும் மற்றொன்று தவறானது./கணித விதிமுறைகளின் விளக்க அகராதி: ஆசிரியர்களுக்கான கையேடு/ஓ. வி. மாந்துரோவ் [முதலியன]; திருத்தியது வி. ஏ. டிட்கினா.- எம்.: கல்வி, 1965.- 539 ப.: இல்ல்.-சி.112/.

முரண்பாட்டின் மூலம் நிரூபிக்கும் முறை கணிதத்தில் பயன்படுத்தப்பட்டாலும், அது ஒரு தர்க்க முறை மற்றும் தர்க்கத்திற்கு சொந்தமானது என்று ஒரு கணித முறை அல்ல என்று வெளிப்படையாக அறிவிப்பது சிறப்பாக இருக்காது. முரண்பாடான ஆதாரம் "நேரடியான தேற்றத்தை நிரூபிக்க கடினமாக இருக்கும் போதெல்லாம் பயன்படுத்தப்படுகிறது" என்று கூறுவது ஏற்கத்தக்கதா, உண்மையில் அது எப்போது பயன்படுத்தப்படுகிறது, எப்போது மட்டுமே, மாற்று இல்லை.

தகுதியுடையது சிறப்பு கவனம்மற்றும் ஒருவருக்கொருவர் நேரடி மற்றும் தலைகீழ் கோட்பாடுகளின் உறவின் பண்பு. “கொடுக்கப்பட்ட தேற்றத்திற்கான (அல்லது கொடுக்கப்பட்ட தேற்றத்திற்கு) நேர்மாறான தேற்றம் என்பது ஒரு தேற்றம் ஆகும், இதில் நிபந்தனை முடிவாகும், மற்றும் முடிவு என்பது கொடுக்கப்பட்ட தேற்றத்தின் நிபந்தனையாகும். மாற்று தேற்றத்துடன் தொடர்புடைய இந்த தேற்றம் நேரடி தேற்றம் (அசல்) என்று அழைக்கப்படுகிறது. அதே சமயம், convers theorem to convers theorem கொடுக்கப்பட்ட தேற்றமாக இருக்கும்; எனவே, நேரடி மற்றும் நேர்மாறான தேற்றங்கள் பரஸ்பர தலைகீழ் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. நேரடி (கொடுக்கப்பட்ட) தேற்றம் உண்மையாக இருந்தால், மாற்றுத் தேற்றம் எப்போதும் உண்மையாக இருக்காது. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு நாற்கரமானது ரோம்பஸாக இருந்தால், அதன் மூலைவிட்டங்கள் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தாக இருக்கும் (நேரடி தேற்றம்). ஒரு நாற்கரத்தில் மூலைவிட்டங்கள் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தாக இருந்தால், நாற்கரமானது ஒரு ரோம்பஸ் ஆகும் - இது உண்மையல்ல, அதாவது மாற்று தேற்றம் தவறானது."/கணித விதிமுறைகளின் விளக்க அகராதி: ஆசிரியர்களுக்கான கையேடு/ஓ. வி. மாந்துரோவ் [முதலியன]; திருத்தியது வி. ஏ. டிட்கினா.- எம்.: கல்வி, 1965.- 539 ப.: இல்ல்.-சி.261 /.

இந்த பண்புநேரடி மற்றும் தலைகீழ் தேற்றங்களுக்கிடையேயான உறவு, ஆதாரம் இல்லாமல், நேரடி தேற்றத்தின் நிபந்தனை ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்டது என்ற உண்மையை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளவில்லை, எனவே அதன் சரியான தன்மைக்கு உத்தரவாதம் இல்லை. நேர்மாறான தேற்றத்தின் நிலை, நிரூபிக்கப்பட்ட நேரடித் தேற்றத்தின் முடிவு என்பதால், கொடுக்கப்பட்டுள்ளபடி ஏற்கப்படவில்லை. நேரடி தேற்றத்தின் ஆதாரத்தால் அதன் சரியான தன்மை உறுதிப்படுத்தப்படுகிறது. நேரடி மற்றும் தலைகீழ் தேற்றங்களின் நிலைமைகளில் உள்ள இந்த அத்தியாவசிய தர்க்கரீதியான வேறுபாடு, எந்தக் கோட்பாடுகளை முரண்பாட்டால் தருக்க முறையால் நிரூபிக்க முடியும் மற்றும் நிரூபிக்க முடியாது என்ற கேள்வியில் தீர்க்கமானதாக மாறிவிடும்.

ஒரு நேரடி தேற்றம் மனதில் இருப்பதாக வைத்துக்கொள்வோம், இது வழக்கமான கணித முறையைப் பயன்படுத்தி நிரூபிக்கப்படலாம், ஆனால் கடினமானது. அதை முறைப்படுத்துவோம் பொதுவான பார்வைஇது போன்ற குறுகிய வடிவத்தில்: இருந்து ஏவேண்டும் ஈ . சின்னம் ஏ தேற்றத்தின் கொடுக்கப்பட்ட நிபந்தனையின் பொருளைக் கொண்டுள்ளது, ஆதாரம் இல்லாமல் ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்டது. சின்னம் ஈ நிரூபிக்கப்பட வேண்டிய தேற்றத்தின் முடிவு முக்கியமானது.

நேரடியான தேற்றத்தை முரண்பாட்டின் மூலம் நிரூபிப்போம், தர்க்கரீதியானமுறை. ஒரு தேற்றத்தை நிரூபிக்க தருக்க முறை பயன்படுத்தப்படுகிறது கணிதம் அல்லநிபந்தனை, மற்றும் தர்க்கரீதியானநிபந்தனை. தேற்றத்தின் கணித நிலை இருந்தால் அதைப் பெறலாம் இருந்து ஏவேண்டும் ஈ , சரியான எதிர் நிலையுடன் துணை இருந்து ஏகூடாது ஈ .

இதன் விளைவாக புதிய தேற்றத்தின் தர்க்கரீதியான முரண்பாடான நிலை, இரண்டு பகுதிகளைக் கொண்டது: இருந்து ஏவேண்டும் ஈ மற்றும் இருந்து ஏகூடாது ஈ . புதிய தேற்றத்தின் விளைவான நிலை, விலக்கப்பட்ட நடுவின் தருக்க விதிக்கு ஒத்திருக்கிறது மற்றும் முரண்பாட்டின் மூலம் தேற்றத்தின் நிரூபணத்திற்கு ஒத்திருக்கிறது.

சட்டத்தின் படி, ஒரு முரண்பாடான நிபந்தனையின் ஒரு பகுதி தவறானது, மற்றொரு பகுதி உண்மை, மூன்றாவது விலக்கப்பட்டுள்ளது. முரண்பாடான நிரூபணம், தேற்றத்தின் நிபந்தனையின் இரண்டு பகுதிகளின் எந்தப் பகுதி தவறானது என்பதைத் துல்லியமாக நிறுவும் பணியையும் நோக்கத்தையும் கொண்டுள்ளது. நிபந்தனையின் தவறான பகுதி தீர்மானிக்கப்பட்டவுடன், மற்ற பகுதி உண்மையான பகுதியாக தீர்மானிக்கப்படுகிறது, மேலும் மூன்றாவது விலக்கப்படுகிறது.

படி விளக்க அகராதிகணித விதிமுறைகள், "ஆதாரம் என்பது எந்த அறிக்கையின் உண்மை அல்லது பொய்மை (தீர்ப்பு, அறிக்கை, தேற்றம்) நிறுவப்படும் போது பகுத்தறிவு ஆகும்". ஆதாரம் முரண்பாட்டால்அது நிறுவப்பட்ட போது ஒரு காரணம் உள்ளது பொய்மை(அபத்தம்) இருந்து எழும் முடிவின் பொய்நிரூபிக்கப்பட வேண்டிய தேற்றத்தின் நிபந்தனைகள்.

கொடுக்கப்பட்டது: இருந்து ஏவேண்டும் ஈமற்றும் இருந்து ஏகூடாது ஈ .

நிரூபிக்க: இருந்து ஏவேண்டும் ஈ .

ஆதாரம்: தேற்றத்தின் தருக்க நிலையில் அதன் தீர்மானம் தேவைப்படும் முரண்பாடு உள்ளது. நிபந்தனையின் முரண்பாடு அதன் தீர்மானத்தை ஆதாரத்திலும் அதன் முடிவுகளிலும் காண வேண்டும். பிழையற்ற மற்றும் பிழையற்ற பகுத்தறிவுடன் முடிவு தவறானதாக மாறிவிடும். தர்க்கரீதியாக சரியான பகுத்தறிவில் தவறான முடிவுக்கான காரணம் ஒரு முரண்பாடான நிபந்தனையாக மட்டுமே இருக்க முடியும்: இருந்து ஏவேண்டும் ஈ மற்றும் இருந்து ஏகூடாது ஈ .

நிபந்தனையின் ஒரு பகுதி தவறானது, மற்றொன்று இந்த விஷயத்தில் உண்மை என்பதில் சந்தேகம் இல்லை. நிபந்தனையின் இரு பகுதிகளும் ஒரே தோற்றம் கொண்டவை, தரவுகளாக ஏற்றுக்கொள்ளப்படுகின்றன, சமமாக சாத்தியம், சமமாக ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடியவை, முதலியன . எனவே, அதே அளவிற்கு இருக்கலாம் இருந்து ஏவேண்டும் ஈ மற்றும் ஒருவேளை இருந்து ஏகூடாது ஈ . அறிக்கை இருந்து ஏவேண்டும் ஈ இருக்கலாம் பொய், பின்னர் அறிக்கை இருந்து ஏகூடாது ஈ உண்மையாக இருக்கும். அறிக்கை இருந்து ஏகூடாது ஈ பொய்யாக இருக்கலாம், பின்னர் அறிக்கை இருந்து ஏவேண்டும் ஈ உண்மையாக இருக்கும்.

இதன் விளைவாக, ஒரு நேரடி தேற்றத்தை முரண்பாட்டின் மூலம் நிரூபிக்க இயலாது.

இப்போது இதே நேரடி தேற்றத்தை வழக்கமான கணித முறையைப் பயன்படுத்தி நிரூபிப்போம்.

கொடுக்கப்பட்டது: ஏ .

நிரூபிக்க: இருந்து ஏவேண்டும் ஈ .

ஆதாரம்.

1. இருந்து ஏவேண்டும் பி

2. இருந்து பிவேண்டும் IN (முன்னர் நிரூபிக்கப்பட்ட தேற்றத்தின்படி)).

3. இருந்து INவேண்டும் ஜி (முன்பு நிரூபிக்கப்பட்ட தேற்றத்தின்படி).

4. இருந்து ஜிவேண்டும் டி (முன்பு நிரூபிக்கப்பட்ட தேற்றத்தின்படி).

5. இருந்து டிவேண்டும் ஈ (முன்பு நிரூபிக்கப்பட்ட தேற்றத்தின்படி).

டிரான்சிட்டிவிட்டி விதியின் அடிப்படையில், இருந்து ஏவேண்டும் ஈ . நேரடி தேற்றம் வழக்கமான முறையால் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

நிரூபிக்கப்பட்ட நேரடி தேற்றம் சரியான தலைகீழ் தேற்றத்தைக் கொண்டிருக்கட்டும்: இருந்து ஈவேண்டும் ஏ .

வழக்கத்தை வைத்து நிரூபிப்போம் கணிதவியல்முறை. உரையாடல் தேற்றத்தின் ஆதாரத்தை குறியீட்டு வடிவத்தில் கணித செயல்பாடுகளின் வழிமுறையாக வெளிப்படுத்தலாம்.

கொடுக்கப்பட்டது: ஈ

நிரூபிக்க: இருந்து ஈவேண்டும் ஏ .

ஆதாரம்.

!. இருந்து ஈவேண்டும் டி

1. இருந்து டிவேண்டும் ஜி (முன்னர் நிரூபிக்கப்பட்ட உரையாடல் தேற்றத்தின்படி).

2. இருந்து ஜிவேண்டும் IN (முன்னர் நிரூபிக்கப்பட்ட உரையாடல் தேற்றத்தின்படி).

3. இருந்து INகூடாது பி (மாற்ற தேற்றம் உண்மையல்ல). எனவே இருந்து பிகூடாது ஏ .

இந்த சூழ்நிலையில், மாற்று தேற்றத்தின் கணித ஆதாரத்தை தொடர்வதில் அர்த்தமில்லை. நிலைமைக்கான காரணம் தர்க்கரீதியானது. தவறான நேர்மாறான தேற்றத்தை எதனாலும் மாற்ற முடியாது. எனவே, வழக்கமான கணித முறையைப் பயன்படுத்தி இந்த உரையாடல் தேற்றத்தை நிரூபிக்க இயலாது. எல்லா நம்பிக்கையும் இந்த தலைகீழ் தேற்றத்தை முரண்பாடாக நிரூபிக்க வேண்டும்.

முரண்பாட்டின் மூலம் அதை நிரூபிக்க, அதன் கணித நிலையை ஒரு தர்க்கரீதியான முரண்பாடான நிபந்தனையுடன் மாற்றுவது அவசியம், அதன் அர்த்தத்தில் இரண்டு பகுதிகள் உள்ளன - தவறான மற்றும் உண்மை.

உரையாடல் தேற்றம்கூறுகிறது: இருந்து ஈகூடாது ஏ . அவள் நிலை ஈ , இதிலிருந்து முடிவு பின்வருமாறு ஏ , வழக்கமான கணித முறையைப் பயன்படுத்தி நேரடி தேற்றத்தை நிரூபித்ததன் விளைவாகும். இந்த நிபந்தனை பாதுகாக்கப்பட வேண்டும் மற்றும் அறிக்கையுடன் கூடுதலாக சேர்க்கப்பட வேண்டும் இருந்து ஈவேண்டும் ஏ . சேர்த்தலின் விளைவாக, புதிய தலைகீழ் தேற்றத்தின் முரண்பாடான நிலையைப் பெறுகிறோம்: இருந்து ஈவேண்டும் ஏ மற்றும் இருந்து ஈகூடாது ஏ . இதன் அடிப்படையில் தர்க்கரீதியாகமுரண்பாடான நிலையில், நேர்மாறான தேற்றத்தை சரியான முறையில் நிரூபிக்க முடியும் தர்க்கரீதியானபகுத்தறிவு மட்டுமே, மற்றும் மட்டும், தர்க்கரீதியானமுரண்பாட்டின் மூலம் முறை. முரண்பாட்டின் நிரூபணத்தில், எந்தவொரு கணிதச் செயல்களும் செயல்பாடுகளும் தர்க்கரீதியான செயல்களுக்குக் கீழ்ப்படுத்தப்படுகின்றன, எனவே அவை கணக்கிடப்படாது.

முரணான அறிக்கையின் முதல் பகுதியில் இருந்து ஈவேண்டும் ஏ நிபந்தனை ஈ நேரடி தேற்றத்தின் ஆதாரம் மூலம் நிரூபிக்கப்பட்டது. இரண்டாம் பாகத்தில் இருந்து ஈகூடாது ஏ நிபந்தனை ஈ ஆதாரம் இல்லாமல் கருதப்பட்டு ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்டது. அவற்றில் ஒன்று பொய், மற்றொன்று உண்மை. எது பொய் என்பதை நிரூபிக்க வேண்டும்.

நாங்கள் அதை சரியாக நிரூபிக்கிறோம் தர்க்கரீதியானபகுத்தறிந்து அதன் முடிவு தவறான, அபத்தமான முடிவு என்று கண்டறியவும். தவறான தர்க்கரீதியான முடிவுக்கான காரணம் தேற்றத்தின் முரண்பாடான தர்க்க நிலை ஆகும், இதில் இரண்டு பகுதிகள் உள்ளன - தவறான மற்றும் உண்மை. தவறான பகுதி ஒரு அறிக்கையாக மட்டுமே இருக்க முடியும் இருந்து ஈகூடாது ஏ , இதில் ஈ ஆதாரம் இல்லாமல் ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்டது. இதுவே இதை வேறுபடுத்துகிறது ஈ அறிக்கைகள் இருந்து ஈவேண்டும் ஏ , இது நேரடி தேற்றத்தின் ஆதாரத்தால் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

எனவே, கூற்று உண்மைதான்: இருந்து ஈவேண்டும் ஏ , இது நிரூபிக்கப்பட வேண்டியதாக இருந்தது.

முடிவுரை: தருக்க முறை மூலம், நேர்மாறான தேற்றம் மட்டுமே முரண்பாட்டால் நிரூபிக்கப்படுகிறது, இது கணித முறையால் நிரூபிக்கப்பட்ட நேரடி தேற்றத்தைக் கொண்டுள்ளது மற்றும் கணித முறையால் நிரூபிக்க முடியாது.

பெறப்பட்ட முடிவு ஃபெர்மட்டின் பெரிய தேற்றத்தின் முரண்பாட்டின் மூலம் நிரூபிக்கும் முறை தொடர்பாக விதிவிலக்கான முக்கியத்துவத்தைப் பெறுகிறது. அதை நிரூபிக்கும் முயற்சிகளில் பெரும்பாலானவை வழக்கமான கணித முறையின் அடிப்படையில் அல்ல, மாறாக முரண்பாட்டின் மூலம் நிரூபிக்கும் தருக்க முறையின் அடிப்படையிலானவை. ஃபெர்மட்டின் கடைசி தேற்றத்திற்கு வைல்ஸின் ஆதாரம் விதிவிலக்கல்ல.

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், ஃபெர்மாட்டின் கடைசி தேற்றத்தின் சமன்பாடு என்று ஹெகார்ட் ஃப்ரே பரிந்துரைத்தார். x n + y n = z n , எங்கே n > 2 நேர்மறை முழு எண்களில் தீர்வுகள் உள்ளன. இதே தீர்வுகள் ஃப்ரேயின் அனுமானத்தின் படி, அவரது சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகள் ஆகும்
y 2 + x (x - a n) (y + b n) = 0 , இது அதன் நீள்வட்ட வளைவால் வழங்கப்படுகிறது.

ஃப்ரேயின் இந்த குறிப்பிடத்தக்க கண்டுபிடிப்பை ஆண்ட்ரூ வைல்ஸ் ஏற்றுக்கொண்டார், அதன் உதவியுடன், கணிதவியல்இந்த கண்டுபிடிப்பு, அதாவது ஃப்ரே நீள்வட்ட வளைவு இல்லை என்பதை இந்த முறை நிரூபித்தது. எனவே, இல்லாத நீள்வட்ட வளைவால் கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு மற்றும் அதன் தீர்வுகள் இல்லை, எனவே, ஃபெர்மட்டின் கடைசி தேற்றம் மற்றும் ஃபெர்மட்டின் தேற்றம் ஆகியவற்றுக்கு சமன்பாடு இல்லை என்ற முடிவை வைல்ஸ் ஏற்றுக்கொண்டிருக்க வேண்டும். இருப்பினும், ஃபெர்மட்டின் கடைசி தேற்றத்தின் சமன்பாடு நேர்மறை முழு எண்களில் எந்த தீர்வும் இல்லை என்ற மிகவும் எளிமையான முடிவை அவர் ஏற்றுக்கொள்கிறார்.

ஒரு மறுக்க முடியாத உண்மை என்னவென்றால், ஃபெர்மட்டின் பெரிய தேற்றம் கூறியதற்கு முற்றிலும் நேர்மாறான ஒரு அனுமானத்தை வைல்ஸ் ஏற்றுக்கொண்டார். இது ஃபெர்மட்டின் கடைசி தேற்றத்தை முரண்பாட்டின் மூலம் நிரூபிக்க வைல்ஸை கட்டாயப்படுத்துகிறது. அவருடைய உதாரணத்தைப் பின்பற்றி, இந்த உதாரணத்தில் என்ன இருக்கிறது என்பதைப் பார்ப்போம்.

ஃபெர்மட்டின் கடைசி தேற்றம் சமன்பாடு என்று கூறுகிறது x n + y n = z n , எங்கே n > 2

முரண்பாட்டின் மூலம் நிரூபிக்கும் தருக்க முறையின்படி, இந்த அறிக்கை தக்கவைக்கப்படுகிறது, ஆதாரம் இல்லாமல் கொடுக்கப்பட்டதாக ஏற்றுக்கொள்ளப்படுகிறது, பின்னர் எதிர் அறிக்கையுடன் கூடுதலாக வழங்கப்படுகிறது: சமன்பாடு x n + y n = z n , எங்கே n > 2 , நேர்மறை முழு எண்களில் தீர்வுகள் உள்ளன.

அனுமான அறிக்கையும் ஆதாரம் இல்லாமல் கொடுக்கப்பட்டதாக ஏற்றுக்கொள்ளப்படுகிறது. தர்க்கத்தின் அடிப்படை விதிகளின் பார்வையில் இருந்து கருதப்படும் இரண்டு அறிக்கைகளும் சமமாக செல்லுபடியாகும், சமமாக செல்லுபடியாகும் மற்றும் சமமாக சாத்தியமாகும். சரியான பகுத்தறிவின் மூலம், மற்ற அறிக்கை உண்மை என்பதைத் தீர்மானிக்க, எது தவறானது என்பதைத் தீர்மானிக்க வேண்டியது அவசியம்.

சரியான பகுத்தறிவு ஒரு தவறான, அபத்தமான முடிவில் முடிவடைகிறது, இதற்கு தர்க்கரீதியான காரணம் நிரூபிக்கப்பட்ட தேற்றத்தின் முரண்பாடான நிலையில் மட்டுமே இருக்க முடியும், இதில் நேரடியாக எதிர் அர்த்தத்தின் இரண்டு பகுதிகள் உள்ளன. அவர்கள் அபத்தமான முடிவுக்கான தர்க்கரீதியான காரணம், முரண்பாட்டின் மூலம் நிரூபிப்பதன் விளைவாகும்.

எவ்வாறாயினும், தர்க்கரீதியாக சரியான பகுத்தறிவின் போக்கில், எந்த ஒரு குறிப்பிட்ட அறிக்கை தவறானது என்பதை நிறுவக்கூடிய ஒரு அறிகுறி கூட கண்டுபிடிக்கப்படவில்லை. இது ஒரு அறிக்கையாக இருக்கலாம்: சமன்பாடு x n + y n = z n , எங்கே n > 2 , நேர்மறை முழு எண்களில் தீர்வுகள் உள்ளன. அதே அடிப்படையில், இது பின்வரும் அறிக்கையாக இருக்கலாம்: சமன்பாடு x n + y n = z n , எங்கே n > 2 , நேர்மறை முழு எண்களில் தீர்வுகள் இல்லை.

பகுத்தறிவின் விளைவாக, ஒரே ஒரு முடிவு மட்டுமே இருக்க முடியும்: ஃபெர்மட்டின் கடைசி தேற்றத்தை முரண்பாட்டின் மூலம் நிரூபிக்க இயலாது.

ஃபெர்மட்டின் கடைசி தேற்றம் ஒரு தலைகீழ் தேற்றமாக இருந்தால் அது முற்றிலும் வேறுபட்ட விஷயமாக இருக்கும், இது வழக்கமான கணித முறையால் நிரூபிக்கப்பட்ட நேரடி தேற்றம் ஆகும். இந்த வழக்கில், அது முரண்பாட்டால் நிரூபிக்கப்படலாம். மேலும் இது ஒரு நேரடி தேற்றம் என்பதால், அதன் ஆதாரம் முரண்பாட்டின் மூலம் நிரூபிக்கும் தருக்க முறையின் அடிப்படையில் அல்ல, ஆனால் சாதாரண கணித முறையின் அடிப்படையில் இருக்க வேண்டும்.

டி. அப்ரரோவின் கூற்றுப்படி, நவீன ரஷ்ய கணிதவியலாளர்களில் மிகவும் பிரபலமானவர், கல்வியாளர் V. I. அர்னால்ட், வைல்ஸின் ஆதாரத்திற்கு "தீவிரமாக சந்தேகத்துடன்" பதிலளித்தார். கல்வியாளர் கூறினார்: "இது உண்மையான கணிதம் அல்ல - உண்மையான கணிதம் வடிவியல் மற்றும் இயற்பியலுடன் வலுவான தொடர்புகளைக் கொண்டுள்ளது." ஃபெர்மட்டின் கடைசி தேற்றத்தின் வைல்ஸின் கணிதம் அல்லாத ஆதாரத்தின் சாரத்தை கல்வியாளரின் அறிக்கை வெளிப்படுத்துகிறது.

முரண்பாட்டின் மூலம், ஃபெர்மாட்டின் கடைசி தேற்றத்தின் சமன்பாட்டில் தீர்வுகள் இல்லை அல்லது அதற்கு தீர்வுகள் உள்ளன என்பதை நிரூபிக்க முடியாது. வைல்ஸின் தவறு கணிதம் அல்ல, ஆனால் தர்க்கரீதியானது - முரண்பாட்டின் மூலம் ஆதாரத்தைப் பயன்படுத்துவது அர்த்தமற்றது மற்றும் ஃபெர்மாட்டின் சிறந்த தேற்றம் நிரூபிக்கப்படவில்லை.

ஃபெர்மட்டின் கடைசி தேற்றத்தை வழக்கத்தைப் பயன்படுத்தி நிரூபிக்க முடியாது கணித முறை, அதில் இருந்தால் கொடுக்கப்பட்டது: சமன்பாடு x n + y n = z n , எங்கே n > 2 , நேர்மறை முழு எண்களில் தீர்வுகள் இல்லை, மேலும் அதில் இருந்தால் நிரூபிக்கப்பட வேண்டும்: சமன்பாடு x n + y n = z n , எங்கே n > 2 , நேர்மறை முழு எண்களில் தீர்வுகள் இல்லை. இந்த வடிவத்தில் ஒரு தேற்றம் இல்லை, ஆனால் அர்த்தம் இல்லாத ஒரு tautology.

எதிர் முறை

அபாகோஜி- ஒரு கருத்தின் முரண்பாட்டை நிரூபிக்கும் ஒரு தர்க்கரீதியான நுட்பம், அதிலேயே அல்லது அதிலிருந்து அவசியமாகப் பின்பற்றப்படும் விளைவுகளில், நாம் ஒரு முரண்பாட்டைக் கண்டுபிடிப்போம்.

எனவே, மன்னிப்பு ஆதாரம் மறைமுக ஆதாரம்: இங்கே நிரூபிப்பவர் முதலில் அதன் முரண்பாட்டைக் காட்ட எதிர் நிலைக்குத் திரும்புகிறார், பின்னர், மூன்றாவது விலக்கு சட்டத்தின்படி, நிரூபிக்கப்பட வேண்டியவற்றின் செல்லுபடியாகும் தன்மையைப் பற்றி ஒரு முடிவை எடுக்கிறார். இந்த வகையான ஆதாரம் அபத்தத்திற்கு குறைப்பு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. அதன் இன்றியமையாத கூறு என்னவென்றால், மூன்றாவது இல்லை என்ற வாதம், அதாவது, கருத்தைத் தவிர, அதன் செல்லுபடியாகும் தன்மை நிரூபிக்கப்பட வேண்டும், இரண்டாவது, அதற்கு நேர்மாறானது, இது ஆதாரத்தின் தொடக்க புள்ளியாக செயல்படுகிறது, மூன்றாவது உண்மை இல்லை. அனுமதிக்கப்படுகிறது. எனவே, மறைமுக சான்றுகள் நிலைப்பாட்டை மறுக்கும் ஒரு உண்மையிலிருந்து வருகிறது, அதன் செல்லுபடியாகும் தன்மை நிரூபிக்கப்பட வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்

மேலும் பார்க்கவும்

விக்கிமீடியா அறக்கட்டளை.

2010.

பிற அகராதிகளில் "முரண்பாட்டின் முறை" என்ன என்பதைப் பார்க்கவும்: கணிதத்தில், எல்லையற்ற வம்சாவளியின் முறை என்பது, அந்தத் தொகுப்பின் அடிப்படையில் முரண்பாட்டின் மூலம் நிரூபிக்கும் முறையாகும்.இயற்கை எண்கள்

மிகவும் ஒழுங்கான. பெரும்பாலும் எல்லையற்ற வம்சாவளி முறை சில... ... விக்கிப்பீடியா என்பதை நிரூபிக்க பயன்படுத்தப்படுகிறது பகுதிகள் மற்றும் தொகுதிகளைக் கண்டறிய பண்டைய கணிதவியலாளர்களால் பயன்படுத்தப்பட்ட ஒரு சான்று முறை. "சோர்வு முறை" என்ற பெயர் 17 ஆம் நூற்றாண்டில் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது. I.m ஐப் பயன்படுத்தி ஒரு பொதுவான சான்று திட்டம் நவீனத்தில் வழங்கப்படலாம்.

கிரேட் சோவியத் என்சைக்ளோபீடியா பகுதிகள் மற்றும் தொகுதிகளைக் கண்டறிய பண்டைய கணிதவியலாளர்களால் பயன்படுத்தப்பட்ட ஒரு சான்று முறை. பெயர் சோர்வு முறை 17 ஆம் நூற்றாண்டில் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது. I.m ஐப் பயன்படுத்தி ஒரு பொதுவான ஆதாரத் திட்டம் பின்வருமாறு நவீன குறியீட்டில் கூறப்படலாம்: ... ...

கணித கலைக்களஞ்சியம்

இந்தக் கட்டுரையில் தகவல் ஆதாரங்களுக்கான இணைப்புகள் இல்லை. தகவல் சரிபார்க்கப்பட வேண்டும், இல்லையெனில் அது கேள்விக்குட்படுத்தப்பட்டு நீக்கப்படலாம். உங்களால் முடியும்... விக்கிபீடியா - 'BEING AND TIME' ('Sein und Zeit', 1927) என்பது ஹைடெக்கரின் முக்கிய படைப்பு. B.i.V. இன் உருவாக்கம் இரண்டு புத்தகங்களால் தாக்கம் செலுத்தியதாக நம்பப்படுகிறது: அரிஸ்டாட்டில் மற்றும் ஹஸ்ஸர்லின் தர்க்கரீதியான விசாரணைகளின்படி பிரென்டானோவின் அர்த்தம். அவற்றில் முதலாவது.......

தத்துவத்தின் வரலாறு: கலைக்களஞ்சியம் - (Late Lat. intuitio இலிருந்து, Lat. intueor இலிருந்து நான் நெருக்கமாகப் பார்க்கிறேன்) கணிதம் மற்றும் தர்க்கத்தை உறுதிப்படுத்துவதில் ஒரு திசை, இதன்படி இந்த அறிவியலின் முறைகள் மற்றும் முடிவுகளை ஏற்றுக்கொள்ளும் இறுதி அளவுகோல் தெளிவாக அர்த்தமுள்ள உள்ளுணர்வு ஆகும். அனைத்து கணிதமும்...

தத்துவ கலைக்களஞ்சியம் கணிதம் பொதுவாக அதன் பாரம்பரிய கிளைகளில் சிலவற்றின் பெயர்களை பட்டியலிடுவதன் மூலம் வரையறுக்கப்படுகிறது. முதலாவதாக, இது எண்கணிதம், இது எண்களின் ஆய்வு, அவற்றுக்கிடையேயான உறவுகள் மற்றும் இயக்க எண்களுக்கான விதிகள் ஆகியவற்றைக் கையாள்கிறது. எண்கணிதத்தின் உண்மைகள் பலவற்றை அனுமதிக்கின்றன......

கோலியர் என்சைக்ளோபீடியா முன்னர் கணிதத்தின் பல்வேறு கிளைகளை ஒன்றிணைத்த ஒரு சொல். ஒரு எண்ணற்ற செயல்பாட்டின் கருத்துடன் தொடர்புடைய பகுப்பாய்வு. எல்லையற்ற முறை (ஒரு வடிவத்தில் அல்லது மற்றொரு வடிவத்தில்) விஞ்ஞானிகளால் வெற்றிகரமாக பயன்படுத்தப்பட்டாலும்மற்றும் பண்டைய கிரீஸ்இடைக்கால ஐரோப்பா பகுதிகள் மற்றும் தொகுதிகளைக் கண்டறிய பண்டைய கணிதவியலாளர்களால் பயன்படுத்தப்பட்ட ஒரு சான்று முறை. பெயர் சோர்வு முறை 17 ஆம் நூற்றாண்டில் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது. I.m ஐப் பயன்படுத்தி ஒரு பொதுவான ஆதாரத் திட்டம் பின்வருமாறு நவீன குறியீட்டில் கூறப்படலாம்: ... ...

தீர்க்க...... - (Late Lat. intuitio இலிருந்து, Lat. intueor இலிருந்து நான் நெருக்கமாகப் பார்க்கிறேன்) கணிதம் மற்றும் தர்க்கத்தை உறுதிப்படுத்துவதில் ஒரு திசை, இதன்படி இந்த அறிவியலின் முறைகள் மற்றும் முடிவுகளை ஏற்றுக்கொள்ளும் இறுதி அளவுகோல் தெளிவாக அர்த்தமுள்ள உள்ளுணர்வு ஆகும். அனைத்து கணிதமும்...

- (லத்தீன் அபத்தத்திலிருந்து, அபத்தம், முட்டாள்) அபத்தம், முரண்பாடு. தர்க்கத்தில், A. பொதுவாக ஒரு முரண்பாடான வெளிப்பாடாக புரிந்து கொள்ளப்படுகிறது. அத்தகைய வெளிப்பாட்டில், ஏதோ ஒன்று ஒரே நேரத்தில் உறுதிப்படுத்தப்பட்டு மறுக்கப்படுகிறது, உதாரணமாக, "வேனிட்டி உள்ளது மற்றும் மாயை... ...

முரண்பாட்டின் மூலம் நிரூபிக்கும் முறையின் சாராம்சம் இரண்டு நிலைகளைக் கொண்டுள்ளது. முதலாவது ஆதாரத்தின் இருப்பை நிரூபிப்பது மற்றும் இரண்டாவது ஆதாரத்தின் தனித்துவத்தை நிரூபிப்பது. நான் அதை விகாரமாக விவரித்தேன், ஆனால் பின்வருவனவற்றைச் சொல்ல விரும்பினேன். இந்த முறையைப் பயன்படுத்தி கோட்பாடுகளை நிரூபிக்கும் போது, ​​கொடுக்கப்பட்ட பிரச்சனை அல்லது தேற்றத்திற்கு ஒரு தீர்வு இருப்பதை நீங்கள் காட்ட வேண்டும், பின்னர் இந்த தீர்வு தனித்துவமானதாக இருக்கும் என்பதை நிரூபிக்க வேண்டும். இது தேற்றங்களை நிரூபிப்பதில் பயன்படுத்தப்படும் ஒரே முறை அல்ல, ஆனால் ஒரு கணித மற்றும் தர்க்கரீதியான கருவியாக இது ஆர்வம் இல்லாமல் இல்லை.

முரண்பாட்டின் மூலம் நிரூபிக்கும் முறை கணிதத்தில் மட்டும் பயன்படுத்தப்படுகிறது, இருப்பினும் அது நிறையப் பெற்றுள்ளது. பரவலானதனிப்பட்ட சிக்கல்கள் மற்றும் கோட்பாடுகளை நிரூபிக்கும் கருவியாக.

உண்மையில், இது எந்தவொரு அறிவுத் துறையிலும் பயன்படுத்தக்கூடிய எந்தவொரு அறிக்கையையும் நிரூபிக்கும் ஒரு தர்க்கரீதியான முறையாகும். மனிதநேயத்திலும் கூட சமூக அறிவியல். தொழில்நுட்ப அறிவியலில் நாம் எண்களைக் கையாளுகிறோம், இந்த சின்னங்கள் இருப்பதை பலர் நம்புகிறார்கள், ஆனால் தர்க்க உலகில் நாம் ஒருபோதும் முழுமையான உண்மை என்று கருத முடியாத முடிவுகளுடன் செயல்படுகிறோம்.

எந்த வகையிலும் நிரூபிக்க முடியாத சில அறிக்கைகளை அவர்கள் அடிப்படையாக எடுத்துக் கொண்டால், அதற்கு நேர் எதிரான அறிக்கையை எடுத்து, அது தவறானது என்று நிரூபிக்கும் போது, ​​நடுத்தர வகுப்புகளில் இந்தச் சான்று முறையைப் பள்ளியில் படித்தோம். உண்மை, இந்த பிரச்சினைக்கு இதுவே சரியான தீர்வு.

வாழ்க்கையில் நாம் எதையாவது பேசுகிறோம், அதை நிரூபிக்க முடியாது, ஆனால் அதற்கு நேர்மாறான உதாரணத்தைக் கொடுத்து, அது தவறானது என்பதை நிரூபிக்கிறோம்: ஒரு மறைவிடத்திலிருந்து பணம் திருடப்பட்டது, வாஸ்யா மற்றும் பெட்டியாவுக்கு அதைப் பற்றி தெரியும், ஆனால் பெட்டியாவுக்கு ஒரு அலிபி இருந்தது - அவர் சென்றார் வாரம் முழுவதும் டச்சாவிற்கு, அதாவது வாஸ்யா பணத்தை திருடினார்.

முரண்பாட்டின் மூலம் நிரூபிக்கும் முறை என்பது, நிரூபிக்க முடியாத உண்மை உண்மையாக மாறும், ஏனெனில் வேறு ஏதாவது எப்போதும் தவறாக இருக்கும் - இது துல்லியமாக நிரூபிக்கக்கூடியது. அதன்படி, இந்த முறையின் விளைவாக, மறைமுகமாக இருந்தாலும், நிரூபிக்க முடியாத உண்மையை நாங்கள் நிரூபித்தோம்

இந்தச் சட்டம் இரட்டை மறுப்புச் சட்டத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டது: A உண்மை இல்லை என்றால், A உண்மை.

உதாரணமாக, நீங்கள் என்ன நினைக்கிறீர்கள், உங்களுக்கு அல்சர் இருக்கிறதா? உங்கள் மருத்துவர், இந்தத் தீர்ப்பை மறுப்பதற்காக, நீங்கள் உறுதியாக நம்புவதை, அதாவது உங்கள் கூற்றை மறுப்பதன் மூலம் உங்களுக்கு நிரூபித்து, வயிற்றுக் குழியில் எந்தப் பாதிப்பும் இல்லை என்று காஸ்ட்ரோஸ்கோபி காட்டியதால், உங்களுக்கு அல்சர் இல்லை என்று கூறுகிறார். உடல் எடையை குறைக்க வேண்டாம், நீங்கள் விரும்பும் அனைத்தையும் சாப்பிடலாம்.

ஒரு நிலையான நுட்பம், எடுத்துக்காட்டாக, கணிதத்தில். அறிக்கை A ஐ நிரூபிக்க வேண்டியது அவசியம். மேலும் இது கடினமானது. பின்னர் அவர்கள் சரியான எதிர் அறிக்கையை எடுத்து, அது தவறானது என்று நிரூபிக்கிறார்கள். A என்பது உண்மை என்பதைத் தொடர்ந்து வருகிறது. வாழ்க்கையிலும் அப்படித்தான். ஒரு எளிய உதாரணம்: ஒருவர் கூறுகிறார்: மிஸ்டர் எக்ஸ் ஒரு திருடன். அவரது எதிர்ப்பாளர்: ஆனால் அதை எப்படி நிரூபிப்பது? முதலாவது: அவர் நேர்மையானவர் என்று வைத்துக் கொள்வோம். இரண்டாவது: ஆம், இது கோழிகளைக் கேலி செய்வது! முதல்: எனவே எக்ஸ் ஒரு திருடன் என்பதை நாங்கள் நிரூபித்துள்ளோம் :)))

lat. reductio ad absurdum) என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்ப்பின் செல்லுபடியாகும் (ஆதாரத்தின் ஆய்வறிக்கை) அதற்கு முரணான ஒரு தீர்ப்பை மறுப்பதன் மூலம் மேற்கொள்ளப்படுகிறது - எதிர்ச்சொல். அறியப்பட்ட உண்மையான முன்மொழிவுடன் அதன் பொருந்தாத தன்மையை நிறுவுவதன் மூலம் எதிர்ப்பின் மறுப்பு அடையப்படுகிறது. பெரும்பாலும் முரண்பாட்டின் ஆதாரம் இரட்டை மதிப்பு கொள்கையை அடிப்படையாகக் கொண்டது.

அருமையான வரையறை

முழுமையற்ற வரையறை ↓

இதற்கு நேர்மாறான சான்றுகள்

"அபத்தத்தைக் குறைத்தல்" (reductio ad absurdum), வேறு சில தீர்ப்பு, அதாவது நியாயப்படுத்தப்படுபவரின் மறுப்பு (டி நியாயப்படுத்தப்பட்ட மறுப்பு (D. வகையின் உருப்படி 2 இலிருந்து); "குறைப்பு அபத்தம்" என்பது ஒரு மறுக்கப்பட்ட முன்மொழிவிலிருந்து ஒரு s.-l ஐக் கழிப்பதில் உள்ளது. ஒரு வெளிப்படையான தவறான முடிவு (உதாரணமாக, ஒரு முறையான தர்க்கரீதியான முரண்பாடு), இது இந்த தீர்ப்பின் தவறான தன்மையைக் குறிக்கிறது. இரண்டு வகையான D. பிரிவிலிருந்து வேறுபடுத்த வேண்டிய அவசியம், அவற்றில் ஒன்றில் (அதாவது, 1 வது வகையின் உட்பிரிவிலிருந்து D. இல்) ஒரு தீர்ப்பின் இரட்டை மறுப்பிலிருந்து இதை உறுதிப்படுத்துவதற்கான தர்க்கரீதியான மாற்றம் உள்ளது. தீர்ப்பு (அதாவது இரட்டை மறுப்புகளை அகற்றுவதற்கான விதி என்று அழைக்கப்படுகிறது, A இலிருந்து A க்கு மாறுவதை அனுமதிக்கிறது, இரட்டை மறுப்பு சட்டங்களைப் பார்க்கவும்), மற்றொன்றில் அத்தகைய மாற்றம் இல்லை. D ஆதாரத்தின் நோக்கத்திற்காக, தீர்ப்பு A தவறானது என்று கருதுகிறோம், அதாவது. அவரது மறுப்பு உண்மை என்று: ? (not-A), மற்றும், இந்த அனுமானத்தின் அடிப்படையில், நாம் தர்க்கரீதியாக k.-l ஐக் கழிக்கிறோம். தவறான தீர்ப்பு, எ.கா. முரண்பாடு, - நாங்கள் தீர்ப்பின் "அபத்தத்திற்கு குறைப்பு" A; இது நமது அனுமானத்தின் பொய்மையைக் குறிக்கிறது, அதாவது. இரட்டை எதிர்மறையின் உண்மையை நிரூபிக்கிறது: ஏ; A க்கு இரட்டை மறுப்பை அகற்றுவதற்கான விதியின் பயன்பாடு, 2 வது வகையின் உருப்படி 2 இலிருந்து A இன் முன்மொழிவின் ஆதாரத்தை நிறைவு செய்கிறது: இது முன்மொழிவை நிரூபிக்க வேண்டுமா? ஆதாரத்தின் நோக்கத்திற்காக, தீர்ப்பு A உண்மை என்று கருதி, இந்த அனுமானத்தை அபத்தமாக குறைக்கிறோம்; இந்த அடிப்படையில் A தவறானது என்று முடிவு செய்கிறோம், அதாவது. என்ன உண்மை?. p. இலிருந்து இரண்டு வகையான தர்க்கங்களை வேறுபடுத்துவது முக்கியமானது, ஏனெனில் உள்ளுணர்வு (ஆக்கபூர்வமான) தர்க்கம் என்று அழைக்கப்படுவதில் இரட்டை மறுப்பை அகற்றுவதற்கான சட்டம் நடைபெறாது, இதன் காரணமாக p. இலிருந்து நியாயப்படுத்துதல், அடிப்படையில் இந்த தர்க்கச் சட்டத்தின் பயன்பாடு தொடர்பானது. , அனுமதிக்கப்படவில்லை. சூழ்நிலைச் சான்றுகளையும் பார்க்கவும். எழுத்.:டார்ஸ்கி?., தர்க்கம் மற்றும் துப்பறியும் அறிவியலின் வழிமுறை அறிமுகம், டிரான்ஸ். ஆங்கிலத்திலிருந்து, எம்., 1948; அஸ்மஸ் வி.எஃப்., ஆதாரம் மற்றும் மறுப்பு பற்றிய தர்க்கத்தின் கோட்பாடு, [எம்.], 1954; க்ளீன் எஸ்.கே., மெட்டாமேட்டிக்ஸ் அறிமுகம், டிரான்ஸ். ஆங்கிலத்திலிருந்து, எம்., 1957; சர்ச்?., கணிதம் அறிமுகம். தர்க்கம், டிரான்ஸ். ஆங்கிலத்திலிருந்து, [தொகுதி] 1, எம்., 1960.

முரண்பாட்டின் மூலம் ஆதாரம் என்பது கணிதத்தில் ஒரு சக்திவாய்ந்த மற்றும் அடிக்கடி பயன்படுத்தப்படும் முறையாகும். சில உண்மை (பொருள்) உண்மை (இருக்கிறது) என்று கருதி, ஒரு முரண்பாட்டிற்கு வந்த பிறகு, உண்மை பொய் (பொருள் இல்லை) என்று முடிவு செய்கிறோம். ஒரு சில உதாரணங்களைப் பார்ப்போம்.

யூக்ளிட் தேற்றம்முடிவிலி பற்றி முதன்மை எண்கள்முரண்பாட்டின் மூலம் உன்னதமான மற்றும் எளிமையான வாதம்:

மிகப்பெரிய பகா எண் எதுவும் இல்லை.

: இது அவ்வாறு இருக்கக்கூடாது, மேலும் மிகப்பெரிய பகா எண் உள்ளது. ஒரு எண்ணை உருவாக்குவோம். இது எதனாலும் அல்லது அதற்கு மேல் வகுபடாது. நாம் ஒரு முரண்பாட்டிற்கு வந்துள்ளோம், எனவே, மிகப்பெரிய பகா எண் (ஒரு பொருளாக!) இல்லை மற்றும் எண்ணற்ற பகா எண்கள் உள்ளன.

அதன் பிரதான காரணி மற்றும் இடையே இருக்கலாம், ஆனால் இன்னும் பெரியதாக இருக்கும் என்பதால், அது முதன்மையானது அவசியமில்லை என்பதை நினைவில் கொள்க.

பகுத்தறிவின்மை தேற்றம்

இயற்கை மற்றும் அது போன்ற எதுவும் இல்லை .

: அப்படி இருக்க வேண்டாம். , , மற்றும் ஸ்கொயர் அனைத்தின் பொதுவான காரணிகளைக் குறைப்போம்: . இதிலிருந்து இது ஒரு இரட்டை எண் ஆகும், எனவே இது சில இயற்கை எண்ணைப் பயன்படுத்தி சமமாகவும் பிரதிநிதித்துவப்படுத்தப்படுகிறது. அசல் உறவிற்கு மாற்றாக, நாம் பெறுகிறோம், எனவே, கூட. ஆனால் அனைத்து பொதுவான காரணிகளையும் நாம் குறைத்துள்ளோம் என்பதற்கு இது முரண்படுகிறது, அதாவது அத்தகைய காரணிகள் இல்லை.

இரண்டு சான்றுகளின் உளவியல் தூண்டுதல் சந்தேகத்திற்கு அப்பாற்பட்டது. எவ்வாறாயினும், ஒரு முரண்பாட்டைப் பெற்றுள்ளதால், நாம் எப்போதும் அதை நிரூபிப்பதில்லை என்பதை நினைவில் கொள்ள வேண்டும் நாங்கள் விரும்புகிறோம்நிரூபிக்க. ஒரு முரண்பாடு அசல் முன்மாதிரி தவறானது என்பதைக் குறிக்க வேண்டிய அவசியமில்லை. ஆதாரத்தில் பயன்படுத்தப்படும் எந்த அறிக்கையின் மூலமும் அதை வழங்க முடியும். பகுத்தறிவற்ற தேற்றத்தில் குறிப்பாக அவற்றில் பல உள்ளன. இருப்பினும், அவை மிகவும் "வெளிப்படையாக" உள்ளன, ஆரம்ப முன்மாதிரியை நாங்கள் தவறாகக் கருதுகிறோம்.

மேற்கூறிய தேற்றங்களுக்கான ஆதாரத் திட்டமும் ஒன்றுதான் என்பதைக் காணலாம். சில பொருள்கள் இருப்பதற்கான அனுமானம் முரண்பாட்டிற்கு வழிவகுத்தால் அது இல்லை என்பதைக் காட்டுகிறோம்.

முடிதிருத்தும் பிரச்சனை. ஒரு குறிப்பிட்ட கிராமத்தில், எல்லா ஆண்களும் தங்களைத் தாங்களே மொட்டையடித்துக்கொள்கிறார்கள் அல்லது முடிதிருத்தும் ஒருவரை வைத்துக்கொள்கிறார்கள். ஒரு முடிதிருத்தும் (ஆண்) தன்னை மொட்டையடிக்காதவர்களை மட்டுமே ஷேவ் செய்கிறார். தேற்றத்தை உருவாக்குவோம்:

முடிதிருத்துபவன் தன்னை மொட்டையடித்துக் கொள்கிறான்.

இது அப்படியல்ல, முடிதிருத்துபவனும் மொட்டையடித்துக் கொள்வதில்லை. பிறகு முடிதிருத்தும் ஒருவரால் மொட்டையடிக்க வேண்டும். அதனால் முடிதிருத்துபவனும் மொட்டையடித்துக் கொள்கிறான்.

தேற்றத்தை நிராகரித்து, முரண்பாட்டைப் பெற்ற பிறகு, தேற்றம் உண்மை என்ற முடிவுக்கு வர வேண்டும். ஆனால் இது அவ்வாறு இல்லை என்பது முற்றிலும் தெளிவாக உள்ளது, மேலும் நாம் எதிர் ஆதாரத்தை மட்டுமல்ல, நேரடியான ஒன்றையும் உருவாக்க முடியும்: "முடிதிருத்துபவன் தன்னை மொட்டையடித்துக் கொண்டால், அவன் முடிதிருத்தும் நபரிடம் ஷேவ் செய்ய முடியாது ...". இந்நிலையில் மீண்டும் ஒரு முரண்பாடு நிகழ்கிறது.

கடுமையான விதிகளைக் கொண்ட ஒரு கிராமத்தின் மேற்கூறிய விளக்கம் பெர்ட்ரான்ட் ரஸ்ஸல் என்பவரால் உருவாக்கப்பட்டதாகும். வரையறுக்க"தங்கள் உறுப்புகளாக தங்களைக் கொண்டிருக்காத அனைத்து தொகுப்புகளின் தொகுப்பு." ஒரு எளிய உண்மையை நிரூபிக்க ஒரு தெளிவான முரண்பாட்டை ஒரு தேற்றத்தின் வடிவத்தில் நாங்கள் வேண்டுமென்றே முன்வைத்தோம்:

முரண்பாட்டின் மூலம் ஒரு நிரூபணத்தில் ஒரு முரண்பாட்டைப் பெறுவது தேற்றத்தின் உண்மையைக் குறிக்கலாம், ஆனால் அதன் உருவாக்கத்தில் பங்கேற்கும் பொருள்களின் முரண்பாடு.

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், நீங்கள் கூற முடியாது: "அனைத்து தொகுப்புகளின் தொகுப்பையும் எடுத்துக்கொள்வோம் ..." மற்றும் "தேற்றத்தை நிரூபிக்கவும் ..." முதலில், தேற்றத்தில் விவாதிக்கப்படும் பொருள் இருப்பதை உறுதி செய்ய வேண்டும். குறிப்பாக, ரசல் விவரித்த கிராமம் இருக்க முடியாது. நிச்சயமாக, கேள்வி எழுகிறது - "இருப்பது அல்லது இல்லாதது என்றால் என்ன, எங்கு இருக்கக்கூடாது?" மேலே வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு பொருள் உள்ளது, மேலும் அவற்றைப் பற்றிய புதிய பொருள்கள் மற்றும் கோட்பாடுகளை உருவாக்கும்போது அதைப் பயன்படுத்தலாம்.

புள்ளி என்னவென்றால், கணித பகுத்தறிவு வெளிப்படையாக அல்லது மறைமுகமாக சில கோட்பாடுகளிலிருந்து தொடர்கிறது. இது ஒரு பொருளின் பண்புகளை வரையறுக்கும் கோட்பாடுகள் ஆகும். நீங்கள் ஒரு நிலையான கோட்பாட்டில் குறைந்தபட்சம் ஒரு கோட்பாட்டை மாற்றினால், நீங்கள் முற்றிலும் வேறுபட்ட பண்புகளைக் கொண்ட ஒரு பொருளைக் கொண்டு வரலாம். தன்னிச்சையாக கோட்பாடுகளை அமைக்க இயலாது என்பது தெளிவாகிறது. அவர்கள் இருக்கக்கூடாது முரண்பாடான, இல்லையெனில் எந்த பொருளும் வரையறுக்கப்படாது. அல்லது, வேறுவிதமாகக் கூறினால், முரண்பாடான கோட்பாடுகளால் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு பொருள் இல்லை.

முறையான அச்சு அமைப்புகளின் கூறுகளை அடுத்த பகுதியில் இன்னும் விரிவாக விவாதிப்போம், அங்கு முடிதிருத்தும் பிரச்சனையை மீண்டும் பகுப்பாய்வு செய்வோம். இப்போது அதே முரண்பாட்டின் மற்றொரு பதிப்பைப் பார்ப்போம்.

நூலகர் பிரச்சனை. புத்தகங்களுடன் ஒரு நூலகம் உள்ளது. எந்தவொரு புத்தகமும் அதன் உரையில் தன்னைக் குறிப்பிடலாம் (எடுத்துக்காட்டாக, குறிப்புகளின் பட்டியலில் அதன் தலைப்பைக் கொடுங்கள்). அதன்படி, அனைத்து புத்தகங்களையும் இரண்டு குழுக்களாக பிரிக்கலாம். முதலில் தங்களைக் குறிப்பிடாத புத்தகங்களும், இரண்டாவது தங்களைக் குறிப்பிடும் புத்தகங்களும் அடங்கும். கூடுதலாக, நூலகத்தில் உள்ள அனைத்து புத்தகங்களின் பட்டியல்களாக இரண்டு புத்தகங்கள் உள்ளன. முதல் பட்டியல் தங்களைக் குறிப்பிடாத அனைத்து புத்தகங்களையும் பட்டியலிடுகிறது, இரண்டாவது, மாறாக, தங்களைக் குறிப்பிடும் அனைத்து புத்தகங்களையும் பட்டியலிடுகிறது:

இப்போது தேற்றத்தை உருவாக்குவோம்:

முதல் அடைவில் உள்ளது

புத்தக பட்டியலிலேயே.

அப்படி ஆகாமல் இருக்கட்டும். பின்னர் முதல் கோப்பகம் இரண்டாவதாக உள்ளது (அனைத்து புத்தகங்களும் இரண்டு கோப்பகங்களிலும் பட்டியலிடப்பட்டுள்ளன மற்றும் அடைவு ஒரு புத்தகம்). ஆனால் இரண்டாவது அடைவு சுய-குறிப்பு புத்தகங்களை மட்டுமே பட்டியலிடுகிறது, மேலும் முதல் அடைவு இருக்க முடியாது. நாங்கள் ஒரு முரண்பாட்டை அடைந்துள்ளோம், எனவே தேற்றம் உண்மை.

இந்த கட்டத்தில் நிறுத்தினால், வேண்டுமென்றே தவறான முடிவைப் பெறுவோம். முதல் அடைவு தன்னைக் குறிப்பிட முடியாது என்பது தெளிவாகிறது (இது சுய-குறிப்பு இல்லாத புத்தகங்களின் அடைவு). முடிதிருத்துபவரைப் போலவே, நாம் ஒரு தலைகீழ் ஆதாரம் (முரண்பாட்டின் மூலம்) மற்றும் நேரடியான ஒன்றை நடத்தலாம். இரண்டு முறையும் நீங்கள் ஒரு முரண்பாட்டைப் பெறுவீர்கள்.

அது என்ன சொல்கிறது? இது தேற்றத்தின் உண்மை அல்லது பொய்யைப் பற்றியது அல்ல என்பது தெளிவாகிறது. இரண்டு வெவ்வேறு சான்றுகள் எப்போதும் ஒரே விஷயத்திற்கு வழிவகுக்கும் என்று நம்பி, நாம் முடிவுக்கு வர வேண்டிய கட்டாயத்தில் இருக்கிறோம்: நூலகப் பொருள், குறிப்பிட்ட பண்புகளுடன், இருக்க முடியாது.

அசல் வரையறைகளின் "இயற்கை" அல்லது "வெளிப்படையாக முரண்படாதது" பற்றிய எந்தவொரு குறிப்பும் ஒரு கணிதவியலாளருக்கு தகுதியற்றது, ஏனெனில் இவை ஏற்கனவே உணர்ச்சிகள். ஒரே வழி உளவியல் சூத்திரங்கள் மற்றும் சான்றுகளிலிருந்து முறையானவற்றுக்கு மாற முயற்சிப்பதாகும்.

பொய்யர் முரண்பாடு. அனைத்து கணிதமும் தருக்க அறிக்கைகளைக் கொண்டுள்ளது. மேலும், கணிதத்தின் தர்க்கம் பைனரி. "" என்ற கூற்று உண்மை அல்லது தவறானது. மூன்றாவது விருப்பம் இல்லை. இந்த பைனாரிட்டி தான் எல்லாவற்றையும் தொடங்கப்பட்ட அற்புதமான தூண்டுதலுக்கான கணித ஆதாரத்தை அளிக்கிறது. ஒரு குறிப்பிட்ட தர்க்கரீதியான கூற்று உண்மை என்ற பதவியை அறிமுகப்படுத்துவோம்:

.

உண்மையில், பதவி தேவையற்றது, ஏனெனில் சில அறிக்கைகளை ஒரு கோட்பாடு அல்லது முன்மாதிரியாக எழுதுவதன் மூலம், அதன் உண்மையை நாங்கள் கருதுகிறோம். இருப்பினும், பின்வருவனவற்றிற்கு இந்த குறிப்பு வசதியாக இருக்கும். வரையறுப்போம்சொல்வது:

"" என்பது தர்க்கரீதியான மறுப்பு அடையாளம், மற்றும் பெருங்குடல் வந்த பிறகு வரையறைஒப்புதல்கள் இது பொய்யர் முரண்பாட்டின் மாறுபாடு: "-உண்மை என்றால் உண்மை." பின்வரும் தேற்றத்தை உருவாக்குவோம்:

எல் அறிக்கை உண்மை: எல்=ஐ.

L=L => True(L)=L => L=True(L)=I.

(இனி "" என்பது தர்க்கரீதியான முடிவு என்று பொருள்; "நான்" உண்மை, "எல்" என்பது தவறானது). முரண்பாட்டின் மூலம் நிரூபணமாக, நாம் ஒரு முரண்பாட்டிற்கு வந்துள்ளோம். எனவே, ஆரம்ப முன்மாதிரி உண்மை இல்லை, எனவே, தேற்றம் உண்மை. இருப்பினும், இது அவ்வாறு இல்லை என்பது தெளிவாகிறது. நாம் முன்னோக்கி திசையில் ஆதாரத்தை செயல்படுத்த முடியும்.