ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வு தீர்மானிக்கப்படாத குணகங்களின் முறையாகும். நிலையான குணகங்களுடன் நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாடுகள். நிச்சயமற்ற குணக முறை

நிலையான குணகங்களுடன் ஒத்திசைவற்ற சமன்பாடு

தீர்மானிக்கப்படாத குணகங்களின் முறை மற்றும் தன்னிச்சையான மாறிலிகளின் மாறுபாட்டின் முறையைப் பயன்படுத்தி தீர்க்க முடியும்.

நிச்சயமற்ற குணக முறை

ஐ . ஏனெனில் சமன்பாடு (11) ஒத்திசைவற்றது, அதன் பொதுவான தீர்வு பொதுவான ஒரே மாதிரியான மற்றும் குறிப்பிட்ட ஒத்திசைவற்ற சமன்பாடுகளின் கூட்டுத்தொகையைக் கொண்டிருக்கும், அதாவது.

தொடர்புடைய ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டை நாங்கள் உருவாக்குகிறோம்

அதன் சிறப்பியல்பு சமன்பாடு

தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பின் கட்டமைப்பு பண்புச் சமன்பாட்டின் வேர்களின் வகையைப் பொறுத்தது (13).

3 வழக்குகள் உள்ளன.

A). சிறப்பியல்பு சமன்பாட்டின் அனைத்து வேர்களும் (13) வேறுபட்டவை மற்றும் உண்மையானவை.அவற்றைக் குறிப்போம்
. தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பு:

மற்றும் பொதுவான தீர்வு வடிவம் உள்ளது:

b). சிறப்பியல்பு சமன்பாட்டின் அனைத்து வேர்களும் (13) வேறுபட்டவை, ஆனால் அவற்றில் சிக்கலானவை உள்ளன.விடுங்கள்
- சமன்பாட்டின் சிக்கலான வேர் (13). பிறகு
- என்பது இந்த சமன்பாட்டின் மூலமும் கூட. இந்த வேர்கள் இரண்டு நேரியல் சார்பற்ற பகுதி தீர்வுகளுக்கு ஒத்திருக்கும்:

என்றால்
மற்றும்
பின்னர் குறிப்பிட்ட தீர்வுகள் வடிவம் கொண்டிருக்கும்

சிக்கலான வேர்கள் மற்றும் அனைத்து உண்மையான வேர்களின் மற்ற இணை ஜோடிகளுடன் தொடர்புடைய நேரியல் சார்பற்ற பகுதி தீர்வுகளை எழுதுவதன் மூலம் மற்றும் தன்னிச்சையான நிலையான குணகங்களுடன் இந்த தீர்வுகளின் நேரியல் கலவையை உருவாக்குவதன் மூலம், சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வைப் பெறுகிறோம் (12).

V). சிறப்பியல்பு சமன்பாட்டின் வேர்களில் பல மடங்குகள் உள்ளன. விடுங்கள் கே 1 உண்மையான ஆர்- பல வேர்கள். பின்னர் அவர்கள் அவரை தொடர்பு கொள்கிறார்கள் ஆர்

என்றால்
- சமன்பாட்டின் சிக்கலான வேர்கள் (13) பெருக்கல் ஆர், பின்னர் அவை ஒத்திருக்கும் 2 ஆர்படிவத்தின் நேரியல் சார்பற்ற பகுதி தீர்வுகள்:

அனைத்து எளிய மற்றும் பல உண்மையான வேர்கள், அதே போல் எளிய மற்றும் பல சிக்கலான வேர்கள் இணைந்த ஜோடிகளுடன் தொடர்புடைய, சுட்டிக்காட்டப்பட்ட வகையின் நேரியல் சார்பற்ற பகுதி தீர்வுகளை எழுதுவதன் மூலம், தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பைப் பெறுகிறோம்.

II . சமன்பாட்டின் வலது பக்க வடிவத்தின் அடிப்படையில் (11), ஒத்திசைவற்ற சமன்பாட்டிற்கு ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வு தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டது.

வழக்குகள் இருக்கலாம்.

1).
, எங்கே பி(x) – இருந்து பல்லுறுப்புக்கோவை xபட்டங்கள் n.

A). எண் என்றால் 0 பண்புச் சமன்பாட்டின் (13) ஒரு வேர் அல்ல, பின்னர் ஒத்திசைவற்ற சமன்பாட்டிற்கான (11) ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வை வடிவத்தில் காணலாம்
, எங்கே கே(x) – இருந்து பல்லுறுப்புக்கோவை xஅதே பட்டம் n, என பி(x) பொது வடிவத்தில் (அதாவது தீர்மானிக்கப்படாத குணகங்களுடன்).

உதாரணமாக,

b). என்றால் 0 -பெருக்கத்தின் சிறப்பியல்பு சமன்பாட்டின் வேர் ஆர், அது

2).
.

A). எண் என்றால் α பண்புச் சமன்பாட்டின் (13) வேர் அல்ல

3) எங்கே
- பட்டம் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் மீ மற்றும் nஅதன்படி (பல்லிக்கோவைகளில் ஒன்று பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கலாம்);

a) என்றால்
சமன்பாட்டின் வேர் (13) அல்ல

எங்கே
- பட்டம் பல்லுறுப்புக்கோவைகள்
.

b) என்றால்
பன்முகத்தன்மையின் சிறப்பியல்பு சமன்பாட்டின் வேர் ஆகும் ஆர், அது

4) எங்கே
- கருதப்படும் வகையின் செயல்பாடுகள் 1), 2), 3). என்றால்
செயல்பாடுகளுடன் தொடர்புடைய குறிப்பிட்ட தீர்வுகள்
, அது

சிக்கல் 12. வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கு பொதுவான தீர்வைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு. இது 3 வது வரிசை சீரற்ற வேறுபாடு சமன்பாடு ஆகும், இது விரும்பிய செயல்பாட்டைக் கொண்டிருக்கவில்லை ஒய். இந்த சமன்பாட்டை குறைந்தது இரண்டு வழிகளில் தீர்க்க முடியும்: தன்னிச்சையான மாறிலிகளின் மாறுபாட்டின் முறை மற்றும் நிலையான குணகங்களுடன் ஒரு ஒத்திசைவற்ற நேரியல் சமன்பாட்டிற்கு ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வை தீர்மானிக்க காலவரையற்ற குணகங்களின் முறை.

இரண்டாவது முறையைப் பார்ப்போம்.

தொடர்புடைய ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டை உருவாக்குவோம்

சிறப்பியல்பு சமன்பாடு
வேர்கள் உள்ளன:
(வழக்கு Ia). ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டின் பகுதி தீர்வுகள்:

அதன்படி, பொதுவாக ஒரே மாதிரியானது
.

இப்போது அசல் சமன்பாட்டின் வலது பக்கத்தைக் கவனியுங்கள்:
- இரண்டாம் பட்டத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவை (வழக்கு II1). அதன் வடிவத்தின் அடிப்படையில், ஒத்திசைவற்ற சமன்பாட்டிற்கு ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வை உருவாக்குவோம்:
.

காரணி x என்ற உண்மையின் அடிப்படையில் தோன்றுகிறது x=0 பண்புச் சமன்பாட்டின் வேர் ஆகும். கண்டறிதல்
மற்றும் அசல் சமன்பாட்டில் நாம் கண்டறிந்ததை மாற்றினால், நாம் பெறுகிறோம்

அதே டிகிரிகளில் குணகங்களை ஒப்பிட்டு, கணினியைப் பெறுகிறோம்

அதில் இருந்து ஏ=1/3, பி=1, சி=1/2 . இந்த மதிப்புகளை குறிப்பிட்ட தீர்வின் பொதுவான வடிவத்தில் மாற்றுவதன் மூலம், நாங்கள் பெறுகிறோம்

ஒரு ஒத்திசைவற்ற சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு என்பது ஒரு பொதுவான ஒரேவிதமான மற்றும் ஒரு குறிப்பிட்ட ஒத்திசைவற்ற ஒன்றின் கூட்டுத்தொகையாக இருப்பதைக் கருத்தில் கொண்டு, நம்மிடம் உள்ளது

சிக்கல் 13. வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கு பொதுவான தீர்வைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு. தொடர்புடைய ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வைக் கண்டுபிடிப்போம். சிறப்பியல்பு சமன்பாடு
வேர்களைக் கொண்டுள்ளது: (வழக்கு Ia). அதனால் தான்
.

வலது பக்க வடிவத்தின் அடிப்படையில், =2 என்பது சிறப்பியல்பு சமன்பாட்டின் வேர் (வழக்கு II2b):
.

கடைசி 3 முறைகளை வேறுபடுத்தி, அசல் சமன்பாட்டிற்குப் பதிலாக, நாம் அதைக் காண்கிறோம். ஏ=1, பி=0 . அசல் சமன்பாட்டிற்கு ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வு செயல்பாடாக இருக்கும்
.

எனவே, அசல் வேறுபாடு சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வு

சிக்கல் 14. வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கு பொதுவான தீர்வைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு. தொடர்புடைய ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வைக் கண்டுபிடிப்போம்:

சிறப்பியல்பு சமன்பாடு
இரட்டை வேர் உள்ளது கே=2 (Iв). அதனால் தான்
.

வலது பக்க வடிவத்தின் அடிப்படையில், அசல் சமன்பாட்டிற்கு ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வை பொது வடிவத்தில் உருவாக்குவது எளிது: , ஏனெனில் 2-6 iபண்புச் சமன்பாட்டின் (II3a) வேர் அல்ல. இந்த செயல்பாட்டிற்காக அவர்கள் தேடுகிறார்கள் ஒய் / மற்றும் ஒய் // மற்றும் எங்களுக்கு கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டில் அதை மாற்றவும். இவ்வாறு, தீர்மானிக்கப்பட்டுள்ளது பி=0 மற்றும் ஏ=-1/36 .

பிறகு,
நமது ஒத்திசைவற்ற சமன்பாட்டிற்கு ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வு, மற்றும் விரும்பிய தீர்வு வடிவம் கொண்டது:

சிக்கல் 15. வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு. ஏனெனில் சிறப்பியல்பு சமன்பாட்டின் வேர்கள், பின்னர் ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு. வடிவத்தில் உள்ள ஒத்திசைவற்ற சமன்பாட்டிற்கு ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வைத் தேடுவோம்

வலது பக்கத்தின் வடிவத்தின் படி இந்த செயல்பாடு உருவாக்கப்படுகிறது, இது கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளப்படுகிறது x=0 பண்புச் சமன்பாட்டின் வேர், மற்றும் 10 i- இல்லை.

இந்தச் செயல்பாட்டை அசல் சமன்பாட்டில் மாற்றியமைத்தால், அதைக் காண்கிறோம்

பின்னர், வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு ஒரு செயல்பாடாக இருக்கும்.

நிலையான குணகங்களுடன் (பிசி) நேரியல் ஒத்திசைவற்ற இரண்டாவது வரிசை வேறுபட்ட சமன்பாடுகளை (LNDE-2) தீர்க்கும் அடிப்படைகள்

நிலையான குணகங்கள் $p$ மற்றும் $q$ கொண்ட 2வது வரிசை LDDE ஆனது $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$ வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது, இங்கு $f\left(x \right)$ என்பது ஒரு தொடர்ச்சியான செயல்பாடு.

PC உடன் LNDU 2 ஐப் பொறுத்தவரை, பின்வரும் இரண்டு அறிக்கைகள் உண்மை.

சில செயல்பாடு $U$ என்பது ஒரு சீரற்ற வேறுபாடு சமன்பாட்டின் தன்னிச்சையான பகுதி தீர்வு என்று வைத்துக் கொள்வோம். சில செயல்பாடு $Y$ என்பது தொடர்புடைய நேரியல் ஒரேவிதமான வேறுபாடு சமன்பாட்டின் (LODE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$ பொது தீர்வு (GS) என்றும் வைத்துக் கொள்வோம். பின்னர் GS இன் LHDE-2 என்பது சுட்டிக்காட்டப்பட்ட தனிப்பட்ட மற்றும் பொதுவான தீர்வுகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம், அதாவது $y=U+Y$.

2வது வரிசை LMDEயின் வலது புறம் செயல்பாடுகளின் கூட்டுத்தொகையாக இருந்தால், $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x \right)+. ஒவ்வொரு செயல்பாடுகளுக்கும் $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$, மற்றும் அதன் பிறகு CR LNDU-2 ஐ $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $ வடிவத்தில் எழுதவும்.

PC உடன் 2வது வரிசை LPDE இன் தீர்வு

கொடுக்கப்பட்ட LNDU-2 இன் ஒன்று அல்லது மற்றொரு PD $U$ வகையானது அதன் வலது பக்க $f\left(x\right)$ இன் குறிப்பிட்ட வடிவத்தைச் சார்ந்துள்ளது என்பது வெளிப்படையானது. PD LNDU-2 ஐத் தேடுவதற்கான எளிய வழக்குகள் பின்வரும் நான்கு விதிகளின் வடிவத்தில் வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளன.

விதி எண் 1.

LNDU-2 இன் வலது பக்கம் $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$ வடிவம் உள்ளது, இங்கு $P_(n) \left(x\right)=a_(0 ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, அதாவது இது ஒரு என அழைக்கப்படுகிறது. பட்டத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவை $n$. அதன் பிடி $U$ $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $ வடிவத்தில் தேடப்படுகிறது, இங்கு $Q_(n) \left(x\right)$ என்பது மற்றொன்று. $P_(n) \left(x\right)$ போன்ற அதே அளவு பல்லுறுப்புக்கோவை, மற்றும் $r$ என்பது பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமான தொடர்புடைய LODE-2 இன் சிறப்பியல்பு சமன்பாட்டின் வேர்களின் எண்ணிக்கையாகும். பல்லுறுப்புக்கோவை $Q_(n) \left(x\right)$ இன் குணகங்கள் காலவரையற்ற குணகங்களின் (UK) முறையால் கண்டறியப்படுகின்றன.

விதி எண் 2.

LNDU-2 இன் வலது பக்கத்தில் $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$, $P_(n) \left( x\right)$ என்பது $n$ பட்டத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவை ஆகும். பின்னர் அதன் PD $U$ $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $ வடிவத்தில் தேடப்படுகிறது, இங்கு $Q_(n ) \ left(x\right)$ என்பது $P_(n) \left(x\right)$ இன் அதே பட்டத்தின் மற்றொரு பல்லுறுப்புக்கோவை ஆகும், மேலும் $r$ என்பது தொடர்புடைய LODE-2 இன் பண்புச் சமன்பாட்டின் வேர்களின் எண்ணிக்கையாகும். , $\alpha $ க்கு சமம். பல்லுறுப்புக்கோவை $Q_(n) \left(x\right)$ இன் குணகங்கள் NC முறையால் கண்டறியப்படுகின்றன.

விதி எண் 3.

LNDU-2 இன் வலது பக்கத்தில் $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x) வடிவம் உள்ளது. \right) $, இங்கு $a$, $b$ மற்றும் $\beta$ ஆகியவை அறியப்பட்ட எண்கள். பின்னர் அதன் PD $U$ $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) வடிவத்தில் தேடப்படுகிறது. \right )\cdot x^(r) $, இங்கு $A$ மற்றும் $B$ ஆகியவை அறியப்படாத குணகங்களாகும், மேலும் $r$ என்பது தொடர்புடைய LODE-2 இன் பண்புச் சமன்பாட்டின் வேர்களின் எண்ணிக்கை, $i\cdotக்கு சமம் \beta $. குணகங்கள் $A$ மற்றும் $B$ ஆகியவை அழிவில்லாத முறையைப் பயன்படுத்தி கண்டறியப்படுகின்றன.

விதி எண் 4.

LNDU-2 இன் வலது பக்கத்தில் $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$, இங்கு $P_(n) \left(x\right)$ உள்ளது $ n$ பட்டத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவை, மற்றும் $P_(m) \left(x\right)$ என்பது $m$ பட்டத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவை ஆகும். அதன் PD $U$ ஆனது $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $ வடிவத்தில் தேடப்படுகிறது, இங்கு $Q_(s) \left(x\right)$ மற்றும் $ R_(s) \left(x\right)$ என்பது $s$ பட்டத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவைகள், $s$ என்பது $n$ மற்றும் $m$ என்ற இரண்டு எண்களின் அதிகபட்சம் மற்றும் $r$ என்பது வேர்களின் எண்ணிக்கை. தொடர்புடைய LODE-2 இன் சிறப்பியல்பு சமன்பாடு, $\alpha +i\cdot \beta $க்கு சமம். பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் குணகங்கள் $Q_(s) \left(x\right)$ மற்றும் $R_(s) \left(x\right)$ NC முறையால் கண்டறியப்படுகின்றன.

NK முறையானது பின்வரும் விதியைப் பயன்படுத்துவதைக் கொண்டுள்ளது. LNDU-2 இன் ஒத்திசைவற்ற வேறுபாடு சமன்பாட்டின் பகுதியளவு தீர்வின் ஒரு பகுதியாக இருக்கும் பல்லுறுப்புக்கோவையின் அறியப்படாத குணகங்களைக் கண்டறிய, இது அவசியம்:

LNDU-2 இன் இடது பக்கத்தில் பொது வடிவத்தில் எழுதப்பட்ட PD $U$ ஐ மாற்றவும்;
LNDU-2 இன் இடது பக்கத்தில், அதே அதிகாரங்களுடன் $x$ எளிமைப்படுத்தல் மற்றும் குழு விதிமுறைகளைச் செய்யவும்;
இதன் விளைவாக வரும் அடையாளத்தில், இடது மற்றும் வலது பக்கங்களின் $x$ அதே சக்திகளுடன் சொற்களின் குணகங்களைச் சமன் செய்யவும்;
அறியப்படாத குணகங்களுக்கான நேரியல் சமன்பாடுகளின் விளைவான அமைப்பைத் தீர்க்கவும்.

எடுத்துக்காட்டு 1

பணி: கண்டுபிடி அல்லது LNDU-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. PDஐயும் கண்டுபிடி , $x=0$க்கு $y=6$ மற்றும் $x=0$க்கு $y"=1$ ஆகிய ஆரம்ப நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்தல்.

தொடர்புடைய LOD-2 ஐ எழுதுகிறோம்: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.

சிறப்பியல்பு சமன்பாடு: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. சிறப்பியல்பு சமன்பாட்டின் வேர்கள்: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$. இந்த வேர்கள் செல்லுபடியாகும் மற்றும் வேறுபட்டவை. எனவே, தொடர்புடைய LODE-2 இன் OR வடிவம் உள்ளது: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.

இந்த LNDU-2 இன் வலது பக்கத்தில் $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $ வடிவம் உள்ளது. $\alpha =3$ என்ற அதிவேகத்தின் குணகத்தைக் கருத்தில் கொள்வது அவசியம். இந்த குணகம் சிறப்பியல்பு சமன்பாட்டின் எந்த வேர்களுடனும் ஒத்துப்போவதில்லை. எனவே, இந்த LNDU-2 இன் PD ஆனது $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது.

NC முறையைப் பயன்படுத்தி $A$, $B$ குணகங்களைத் தேடுவோம்.

செக் குடியரசின் முதல் வழித்தோன்றலைக் காண்கிறோம்:

$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^(") ) =$

$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

செக் குடியரசின் இரண்டாவது வழித்தோன்றலைக் காண்கிறோம்:

$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^(") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\இடது(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

கொடுக்கப்பட்ட NLDE-2 $y""-3\cdot y" இல் $y""$, $y"$ மற்றும் $y$ க்கு பதிலாக $U""$, $U"$ மற்றும் $U$ செயல்பாடுகளை மாற்றுகிறோம் -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $ மேலும், $e^(3\cdot x) $ ஒரு காரணியாக சேர்க்கப்பட்டுள்ளது அனைத்து கூறுகளிலும், அதை நாம் தவிர்க்கலாம்:

$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$

இதன் விளைவாக சமத்துவத்தின் இடது பக்கத்தில் செயல்களைச் செய்கிறோம்:

$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$

நாங்கள் NDT முறையைப் பயன்படுத்துகிறோம். இரண்டு அறியப்படாதவற்றுடன் நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைப் பெறுகிறோம்:

$-18\cdot A=36;$

$3\cdot A-18\cdot B=12.$

இந்த அமைப்பிற்கான தீர்வு: $A=-2$, $B=-1$.

எங்கள் பிரச்சனைக்கு PD $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ இது போல் தெரிகிறது: $U=\left(-2\cdot x-1\right) \cdot e^(3\cdot x) $.

எங்கள் சிக்கலுக்கான OR $y=Y+U$ இப்படித் தெரிகிறது: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ இடது (-2\cdot x-1\வலது)\cdot e^(3\cdot x) $.

கொடுக்கப்பட்ட ஆரம்ப நிபந்தனைகளைப் பூர்த்தி செய்யும் PDஐக் கண்டறிய, OP இன் வழித்தோன்றல் $y"$ ஐக் காண்கிறோம்:

$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$

$x=0$க்கு $y=6$ மற்றும் $x=0$க்கு $y=1$ என $y$ மற்றும் $y"$ என மாற்றுகிறோம்:

$6=C_(1) +C_(2) -1; $

$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$

சமன்பாடுகளின் அமைப்பைப் பெற்றோம்:

$C_(1) +C_(2) =7;$

$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$

அதை தீர்க்கலாம். Cramer இன் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி $C_(1) $ஐயும், $C_(2) $ஐயும் முதல் சமன்பாட்டிலிருந்து தீர்மானிக்கிறோம்:

$C_(1) =\frac(\left|\begin(array)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(array)\right|)(\left|\ ஆரம்பம்(வரிசை)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \ end(array)\right|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$

எனவே, இந்த வேறுபாடு சமன்பாட்டின் PD வடிவம் உள்ளது: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1 \right )\cdot e^(3\cdot x) $.

நிலையான குணகங்களுடன் இரண்டாவது வரிசையின் ஒரே மாதிரியான நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாடுகள் வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளன

p மற்றும் q ஆகியவை உண்மையான எண்கள். நிலையான குணகங்களுடன் ஒரே மாதிரியான இரண்டாம்-வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடுகள் எவ்வாறு தீர்க்கப்படுகின்றன என்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்ப்போம்.

இரண்டாவது வரிசை நேரியல் ஒரேவிதமான வேறுபாடு சமன்பாட்டின் தீர்வு பண்புச் சமன்பாட்டின் வேர்களைப் பொறுத்தது. சிறப்பியல்பு சமன்பாடு k²+pk+q=0 சமன்பாடு ஆகும்.

1) சிறப்பியல்பு சமன்பாட்டின் வேர்கள் வெவ்வேறு உண்மையான எண்களாக இருந்தால்:

பின்னர் நிலையான குணகங்களுடன் ஒரு நேரியல் ஒரே மாதிரியான இரண்டாம்-வரிசை வேறுபாடு சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு வடிவம் கொண்டது

2) சிறப்பியல்பு சமன்பாட்டின் வேர்கள் சமமான உண்மையான எண்களாக இருந்தால்

(உதாரணமாக, பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமான பாகுபாடுடன்), பின்னர் ஒரே மாதிரியான இரண்டாம்-வரிசை வேறுபாடு சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு

3) சிறப்பியல்பு சமன்பாட்டின் வேர்கள் சிக்கலான எண்களாக இருந்தால்

(உதாரணமாக, எதிர்மறை எண்ணுக்கு சமமான பாகுபாடுடன்), பின்னர் ஒரே மாதிரியான இரண்டாம்-வரிசை வேறுபாடு சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு வடிவத்தில் எழுதப்படுகிறது

நிலையான குணகங்களுடன் நேரியல் ஒரே மாதிரியான இரண்டாவது வரிசை வேறுபட்ட சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்

ஒரே மாதிரியான இரண்டாம் வரிசை வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் பொதுவான தீர்வுகளைக் கண்டறியவும்:

நாம் சிறப்பியல்பு சமன்பாட்டை உருவாக்குகிறோம்: k²-7k+12=0. அதன் பாகுபாடு D=b²-4ac=1>0, எனவே வேர்கள் வெவ்வேறு உண்மையான எண்கள்.

எனவே, இந்த ஒரே மாதிரியான 2வது வரிசை DE இன் பொதுவான தீர்வு

சிறப்பியல்பு சமன்பாட்டை உருவாக்கி தீர்ப்போம்:

வேர்கள் உண்மையானவை மற்றும் வேறுபட்டவை. எனவே இந்த ஒரே மாதிரியான வேறுபாடு சமன்பாட்டிற்கு எங்களிடம் பொதுவான தீர்வு உள்ளது:

இந்த வழக்கில், சிறப்பியல்பு சமன்பாடு

வேர்கள் வேறுபட்டவை மற்றும் செல்லுபடியாகும். எனவே, 2 வது வரிசையின் ஒரே மாதிரியான வேறுபாடு சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வு இங்கே உள்ளது

சிறப்பியல்பு சமன்பாடு

வேர்கள் உண்மையானவை மற்றும் சமமானவை என்பதால், இந்த வேறுபாடு சமன்பாட்டிற்கு நாம் பொதுவான தீர்வை எழுதுகிறோம்

சிறப்பியல்பு சமன்பாடு இங்கே உள்ளது

பாகுபாடு ஒரு எதிர்மறை எண்ணாக இருப்பதால், பண்புச் சமன்பாட்டின் வேர்கள் சிக்கலான எண்களாகும்.

இந்த ஒரே மாதிரியான இரண்டாம்-வரிசை வேறுபாடு சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு வடிவம் கொண்டது

சிறப்பியல்பு சமன்பாடு

இங்கிருந்து இந்த வேறுபாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வைக் காணலாம். சமன்பாடுகள்:

சுய பரிசோதனைக்கான எடுத்துக்காட்டுகள்.

முதல் வரிசை நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாடு வடிவத்தின் சமன்பாடு ஆகும்

,
இதில் p மற்றும் q ஆகியவை x மாறியின் செயல்பாடுகளாகும்.

முதல் வரிசையின் நேரியல் ஒரே மாதிரியான வேறுபாடு சமன்பாடு வடிவத்தின் சமன்பாடு ஆகும்

முதல் வரிசையின் நேரியல் சீரற்ற வேறுபாடு சமன்பாடு வடிவத்தின் சமன்பாடு ஆகும்

q கால (x)சமன்பாட்டின் ஒத்திசைவற்ற பகுதி என்று அழைக்கப்படுகிறது.

முதல் வரிசையின் நேரியல் சீரற்ற வேறுபாடு சமன்பாட்டைக் கவனியுங்கள்:
(1) .
இந்த சமன்பாட்டை தீர்க்க மூன்று வழிகள் உள்ளன:

ஒருங்கிணைத்தல் காரணி முறை;

ஒருங்கிணைக்கும் காரணியைப் பயன்படுத்தி நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது

முதல்-வரிசை நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்தி தீர்க்கும் முறையைப் பார்ப்போம் ஒருங்கிணைக்கும் காரணி.
அசல் சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவோம் (1) ஒருங்கிணைக்கும் காரணி மூலம்
:
(2)
அடுத்து, ஒருங்கிணைப்பின் வழித்தோன்றல் ஒருங்கிணைப்புக்கு சமம் என்பதை நாங்கள் கவனிக்கிறோம்:

ஒரு சிக்கலான செயல்பாட்டின் வேறுபாட்டின் விதியின் படி:

தயாரிப்பு வேறுபாடு விதியின் படி:

மாற்று (2) :

ஒருங்கிணைப்போம்:

ஆல் பெருக்கவும். நாம் பெறுகிறோம்:

முதல் வரிசை நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வு

முதல் வரிசை நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டு

சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்

தீர்வு
அசல் சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் x ஆல் வகுப்போம்: .
(i)
;
.
பிறகு

ஒருங்கிணைக்கும் காரணி: மாடுலஸ் குறி தவிர்க்கப்படலாம், ஏனெனில் ஒருங்கிணைக்கும் காரணி எந்த மாறிலியால் (உட்பட) பெருக்கப்படலாம்).
± 1 அசல் சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் x ஆல் வகுப்போம்:பெருக்குவோம் 3 :
.
x மூலம்
;
.
நாங்கள் வழித்தோன்றலைத் தேர்ந்தெடுக்கிறோம்.
.
ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணையைப் பயன்படுத்தி நாங்கள் ஒருங்கிணைக்கிறோம்: 3 :
.

x ஆல் வகுக்கவும்

பதில்
பயன்படுத்திய இலக்கியம்: