Dviejų lygčių sistema su trimis nežinomųjų pavyzdžiais. Matematikos lygčių su trimis nežinomaisiais sprendimas

Mes sudarome pagrindinį sistemos veiksnį

ir apskaičiuokite.

Tada sudarome papildomus determinantus

ir juos apskaičiuoti.

Pagal Cramerio taisyklę sistemos sprendimas randamas naudojant formules

;
;
,Jei

Paskaičiuokime:

Naudodami Cramerio formules randame:

Atsakymas: (1; 2; 3)

Paskaičiuokime:

Kadangi pagrindinis determinantas
, ir bent vienas papildomas nėra lygus nuliui (mūsų atveju
), tada sistema neturi sprendimo.

Paskaičiuokime:

Kadangi visi determinantai yra lygūs nuliui, sistema turi begalinį sprendinių skaičių, kuriuos galima rasti taip:

Išspręskite sistemas patys:

A)
b)

Atsakymas: a) (1; 2; 5) b) ;;

Praktinė pamoka Nr.3 tema:

Dviejų vektorių taškinė sandauga ir jo taikymas

1. Jei duota
Ir
, Tai taškinis produktas randame pagal formulę:

∙

2.Jei, tada šių dviejų vektorių skaliarinė sandauga randama pagal formulę

1. Duoti du vektoriai
Ir

Jų skaliarinį produktą randame taip:

2. Duoti du vektoriai:

={2;3;–4}
={1; –5; 6}

Skaliarinis produktas randamas taip:

3.
,

3.1 Pastovios jėgos darbo tiesioje kelio atkarpoje nustatymas

1) Veikiamas 15 N jėgos, kūnas tiesia linija pajudėjo 2 metrus. Kampas tarp jėgos ir judėjimo krypties =60 0. Apskaičiuokite darbą, kurį atlieka jėga judant kūnui.

Duota:

Sprendimas:

2) Atsižvelgiant į:

Sprendimas:

3) Kūnas pajudėjo iš taško M(1; 2; 3) į tašką N(5; 4; 6), veikiamas 60 N jėgos. Kampas tarp jėgos krypties ir poslinkio vektoriaus =45 0. Apskaičiuokite šios jėgos atliktą darbą.

Sprendimas: suraskite poslinkio vektorių

Raskite poslinkio vektoriaus modulį:

Pagal formulę
susirasti darbą:

3.2 Dviejų vektorių ortogonalumo nustatymas

Du vektoriai yra stačiakampiai, jei
, tai yra

nes

– ne stačiakampis

– stačiakampis

3) Nustatykite, ties kokiu  vektoriai
Ir
viena kitai stačiakampė.

Nes
, Tai
, Reiškia

Spręskite patys:

. Raskite jų skaliarinį sandaugą.

b) Apskaičiuokite, kiek jėgos sukuria darbo
, jei jo taikymo taškas, judantis tiesia linija, pasislinko iš taško M (5; -6; 1) į tašką N (1; -2; 3)

c) Nustatykite, ar vektoriai yra stačiakampiai
Ir

Atsakymai: a) 1 b) 16 c) taip

3.3 Kampo tarp vektorių radimas

. Rasti .

Mes randame

pakeisti į formulę:

1). Duotos trikampio A(3; 2; –3), B(5; 1; –1), C(1; –2; 1) viršūnės. Raskite kampą viršūnėje A.

Įdėkime į formulę:

Spręskite patys:

Duotos trikampio A(3; 5; -2), B(5; 7; -1), C(4; 3; 0) viršūnės. Apibrėžkite vidinis kampas A viršuje.

Atsakymas: 90 o

Praktinė pamoka Nr.4 tema:

VEKTORINIS Dviejų vektorių gaminys IR JO TAIKYMAS.

Dviejų vektorių kryžminės sandaugos radimo formulė:

atrodo kaip

1) Raskite vektorinės sandaugos modulį:

Sudarykime determinantą ir jį apskaičiuokime (naudodami Sarruso taisyklę arba teoremą apie determinanto išplėtimą į pirmosios eilutės elementus).

1 metodas: pagal Sarrus taisyklę

2 būdas: išplėskite determinantą į pirmosios eilutės elementus.

2) Raskite vektorinės sandaugos modulį:

4.1. LYGIALEGRAMOS PLOTOS APSKAIČIAVIMAS ANT DU VEKTORIAUS.

1) Apskaičiuokite lygiagretainio, pastatyto ant vektorių, plotą

2). Raskite vektorinę sandaugą ir jos modulį

4.2. TRIKAMPIO PLOTO SKAIČIAVIMAS

Pavyzdys: pateiktos trikampio A(1; 0; -1), B(1; 2; 0), C(3; -1; 1) viršūnės. Apskaičiuokite trikampio plotą.

Pirmiausia suraskime dviejų vektorių, kylančių iš tos pačios viršūnės, koordinates.

Raskime jų vektorinį sandaugą

4.3. DVIEJŲ VEKTORIAUS KOLINEARUMO NUSTATYMAS

Jei vektorius
Ir
tada yra kolineariniai

, ty vektorių koordinatės turi būti proporcingos.

a) Duoti vektoriai::
,
.

Jie yra kolineariniai, nes
Ir

sumažinę kiekvieną trupmeną gauname santykį

b) Duoti vektoriai:

.

Jie nėra kolineariški, nes
arba

Spręskite patys:

a) Kokiomis vektoriaus reikšmėmis m ir n
kolinearinis?

Atsakymas:
;

b) Raskite vektorinę sandaugą ir jos modulį
,
.

Atsakymas:
,
.

Praktinė pamoka Nr.5 tema:

TIESIAUSI LINIJA LĖKTUVE

1 uždavinys. Raskite tiesės, einančios per tašką A(-2; 3), lygiagrečią tiesei lygtį

1. Raskite linijos nuolydį
.

yra tiesės lygtis su kampiniu koeficientu ir pradine ordinate (
). Štai kodėl
.

2. Kadangi tiesės MN ir AC yra lygiagrečios, jų kampiniai koeficientai yra lygūs, t.y.
.

3. Norėdami rasti tiesės AC lygtį, naudojame tiesės, einančios per tašką su nurodytu kampiniu koeficientu, lygtį:

. Vietoj to, šioje formulėje Ir vietoj to pakeiskite taško A koordinates (-2; 3). Pakeiskime – 3. Dėl keitimo gauname:

Atsakymas:

2 užduotis. Raskite tiesės, einančios per tašką K(1; –2), lygiagrečią tiesei lygtį.

1. Raskime linijos nuolydį.

Tai yra bendroji linijos lygtis, kuri į bendras vaizdas pateikiama pagal formulę. Palyginus lygtis, gauname, kad A = 2, B = –3. Lygties nurodytos tiesės nuolydis randamas pagal formulę
. Į šią formulę pakeitę A = 2 ir B = –3, gauname tiesės MN nuolydį. Taigi,
.

2. Kadangi tiesės MN ir KS lygiagrečios, jų kampiniai koeficientai lygūs:
.

3. Norėdami rasti tiesės KS lygtį, naudojame formulę tiesės, einančios per tašką su duotu kampo koeficientu, lygties formulę.
. Vietoj to, šioje formulėje Ir Vietoj taško K(–2; 3) koordinates pakeiskime

Uždavinys Nr. 3. Raskite tiesės, einančios per tašką K(–1; –3), statmeną tiesei, lygtį.

1. yra bendroji tiesės lygtis, kurią bendrąja forma suteikia formulė.

ir mes nustatome, kad A = 3, B = 4.

Lygties nurodytos tiesės nuolydis randamas pagal formulę:
. Į šią formulę pakeitę A = 3 ir B = 4, gauname tiesės MN nuolydį:
.

2. Kadangi tiesės MN ir KD yra statmenos, jų kampiniai koeficientai yra atvirkščiai proporcingi ir priešingo ženklo:

3. Norėdami rasti tiesės KD lygtį, naudojame tiesės, einančios per tašką su duotu kampo koeficientu, lygties formulę

. Vietoj to, šioje formulėje Ir vietoj to pakeiskite taško K(–1;–3) koordinates pakeiskime Dėl pakeitimo gauname:

Spręskite patys:

1. Raskite tiesės, einančios per tašką K(–4; 1), lygiagrečią tiesei lygtį.
.

Atsakymas:
.

2. Raskite tiesės, einančios per tašką K(5; –2), lygiagrečią tiesei lygtį.
.

3. Raskite tiesės, einančios per tašką K(–2, –6), statmeną tiesei lygtį.
.

4. Raskite tiesės, einančios per tašką K(7; –2), statmeną tiesei lygtį.
.

Atsakymas:
.

5. Raskite statmens, nuleisto nuo taško K(–6; 7) į tiesę, lygtį
.

Lygčių naudojimas yra plačiai paplitęs mūsų gyvenime. Jie naudojami atliekant daugybę skaičiavimų, statant konstrukcijas ir net sportuojant. Žmogus senovėje naudojo lygtis, o nuo to laiko jų vartojimas tik išaugo. Trijų lygčių su trimis nežinomaisiais sistema visais atvejais neturi sprendimo, nepaisant to didelis skaičius lygtys. Paprastai tokio tipo sistemos išsprendžiamos naudojant pakeitimo metodą arba naudojant Cramer metodą. Antrasis metodas leidžia pirmuosiuose etapuose nustatyti, ar sistema turi sprendimą.

Tarkime, kad mums duota ši trijų lygčių sistema su trimis nežinomaisiais:

\[\left\(\begin(matrica) x_1+x_2+2x_3=6\\ 2x_1+3x_2+7x_3=16\\ 5x_1+2x_2+x_3=16& \end(matrica)\right.\]

Galima išspręsti šią nehomogeninę linijinę sistemą algebrines lygtis Ax = B, naudojant Cramerio metodą:

\[\Delta _A\begin(vmatrix) 1 & 1 & -2\\ 2 & 3 & -7\\ 5 & 2 & 1 \end(vmatrix)=2\]

Sistemos \ determinantas nėra lygus nuliui. Raskime pagalbinius determinantus \ jei jie nelygi nuliui tada sprendiniu nera, jei lygu tai yra begalinis sprendiniu skaicius

\[\Delta _1\begin(vmatrix) 6 & 1 & -2\\ 16 & 3 & -7\\ 16 & 2 & 1 \end(vmatrix)=6\]

\[\Delta _2\begin(vmatrix) 1 & 6 & -2\\ 2 & 16 & -7\\ 5 & 16 & 1 \end(vmatrix)=2\]

\[\Delta _3\begin(vmatrix) 1 & 1 & 6\\ 2 & 3 & 16\\ 5 & 2 & 16 \end(vmatrix)=-2\]

3 sistema tiesines lygtis su 3 nežinomaisiais, kurių determinantas yra ne nulis, visada yra nuoseklus ir turi unikalų sprendimą, apskaičiuojamą pagal formules:

Atsakymas: turiu sprendimą

\[\left\(\begin(matrica) X_1=3\\ X_2=1\\ X_3=-1\\ \end(matrica)\right.\]

Kur galiu internete išspręsti lygčių sistemą su trimis nežinomaisiais?

Galite išspręsti lygtį mūsų svetainėje https://site. Nemokamas internetinis sprendimas leis jums per kelias sekundes išspręsti bet kokio sudėtingumo internetines lygtis. Viskas, ką jums reikia padaryti, tai tiesiog įvesti savo duomenis į sprendiklį. Taip pat galite peržiūrėti vaizdo įrašo instrukcijas ir sužinoti, kaip išspręsti lygtį mūsų svetainėje. Ir jei vis dar turite klausimų, galite juos užduoti mūsų VKontakte grupėje http://vk.com/pocketteacher. Prisijunkite prie mūsų grupės, mes visada džiaugiamės galėdami jums padėti.

Po to, kai svetainės autorius sugebėjo išmokyti savo robotą išspręsti tiesinę Diofanto lygtį su dviem kintamaisiais, kilo noras išmokyti robotą išspręsti panašias lygtis, bet su trimis nežinomaisiais. Teko pasinerti į knygas.

Po dviejų mėnesių iš ten išlindęs autorius suprato nieko nesuprantantis. Itin protingi matematikai taip įmantriai surašė formulių išvedimo algoritmą, kad man buvo gėda kaip mirtingajam. Nuliūdau, bet knygų platybėse vis tiek radau naudingą mintį, ir iš šios minties kilo supratimas, kaip išspręsti Diofanto lygtis su trimis nežinomaisiais.

Taigi visiems, kurie nėra matematikai, bet nori jais būti :)

Diofanto lygtis su trimis nežinomaisiais atrodo taip

kur yra sveikieji skaičiai

Jei pagalvotume, kokį bendrą sprendimą nežinomieji gali turėti, tai banaliausias atrodo taip

Pakeiskime savo bendrąjį sprendimą į lygtį

Kokia iš to nauda, paklaus nekantrus skaitytojas? Bet ką, sugrupuokime viską pagal nežinomus dalykus, gauname

Žiūrėkite, dešinėje pusėje yra kažkoks pastovus skaičius, žymimas raide d

Tai reiškia, kad jis nepriklauso nuo t (tai taip pat yra kintamasis, niekada nežinai, kokia reikšme jis nori tapti), o tai reiškia

Logiška manyti, kad tai nepriklauso ir nuo z, o tai reiškia

bet tai tiesiogiai priklauso nuo A 3 ir B 3 pastovių verčių, tai yra

Kuo mes baigėsi? Ir gavome tris tipinės klasikinės Diofanto lygtys su dviem nežinomaisiais, kurią galime lengvai ir natūraliai išspręsti.

Pabandykime nuspręsti?

Pirmose paieškos sistemų eilutėse radome šią lygtį:

Pirmoji lygtis bus tokia

jo šaknys

Atsikratykime nulių, paimdami, pavyzdžiui, k=-1. (Jei norite, galite paimti 2 arba 100 arba -3) Tai neturės įtakos galutiniam sprendimui.

Antrosios lygties sprendimas

ir jo šaknys

čia tegul k=0 (nes X ir Y nesutampa net esant nulinėms reikšmėms)

Ir paskutinė trečioji lygtis

Šaknys čia tokios

Dabar pakeiskime visas rastas reikšmes į bendrą formą

tai viskas!

Atkreipkite dėmesį, kad viskas išspręsta labai lengvai ir skaidriai! Be abejo, mokytojai ir gabūs mokiniai pritaikys šią techniką, nes roboto autorius ją rado knygose.

Kitas pavyzdys, jau išspręstas naudojant robotą.

Papildymas: Kai sprendžiate panašias lygtis naudodami robotą, galite susidurti su tuo, kad robotas parodys klaidą, prašydamas pakeisti kintamuosius kitu bandymu išspręsti lygtį. Taip yra dėl to, kad atliekant tarpinius skaičiavimus gaunama neišsprendžiama lygtis

Kaip pavyzdį

Kai bandoma išspręsti lygtį

mūsų atveju

gausime klaidą, nes bet kokiai reikšmei kairėje pusėje visada (!!) bus lyginis skaičius, o dešinėje, kaip matome, nelyginis.

Tačiau tai nereiškia, kad pradinė lygtis yra neišsprendžiama. Pakanka pakeisti terminus kita tvarka, pavyzdžiui, taip

ir mes gauname atsakymą

Lygčių naudojimas yra plačiai paplitęs mūsų gyvenime. Jie naudojami atliekant daugybę skaičiavimų, statant konstrukcijas ir net sportuojant. Žmogus senovėje naudojo lygtis, o nuo to laiko jų vartojimas tik išaugo. Lygtys su trimis nežinomaisiais yra dažnas reiškinys matematikoje. Šio tipo lygtims išspręsti yra nemažai būdų, ir daugeliu atvejų liūto dalis jų yra papildyta dar 2 lygtimis/sąlygomis.

Sprendimo metodo pasirinkimas tiesiogiai priklauso nuo konkrečios lygties.

Jei jūsų sistemoje yra tik 2 nežinomieji iš 3, greičiausiai patogus šios sistemos sprendimas bus išreikšti vienus kintamuosius kitais ir pakeisti juos į lygtį su 3 nežinomaisiais. Visa tai daroma siekiant paversti ją įprastąja lygtimi, turinčia tik 1 nežinomąjį, kurios sprendimas duos skaičių, kurį galima pakeisti nežinomuoju ir gauti galutinį rezultatą visiems kitiems nežinomiesiems. Yra lygčių sistemų, kurias galima išspręsti iš vienos lygties atimant kitą. Tai įmanoma tokiu atveju

Kur internete išspręsti lygtį su 3 nežinomaisiais?

Galite išspręsti lygtį su trimis nežinomais internetiniais sprendėjais mūsų svetainėje https://site. Nemokamas internetinis sprendimas leis jums per kelias sekundes išspręsti bet kokio sudėtingumo internetines lygtis. Viskas, ką jums reikia padaryti, tai tiesiog įvesti savo duomenis į sprendiklį.

Taip pat galite peržiūrėti vaizdo įrašo instrukcijas ir sužinoti, kaip išspręsti lygtį mūsų svetainėje. Ir jei vis dar turite klausimų, galite juos užduoti mūsų VKontakte grupėje http://vk.com/pocketteacher. Prisijunkite prie mūsų grupės, mes visada džiaugiamės galėdami jums padėti.

Tiesinių lygčių sistema yra kelių tiesinių lygčių, nagrinėjamų kartu, rinkinys.

Sistema gali turėti bet kokį skaičių lygčių su bet kokiu nežinomųjų skaičiumi.

Lygčių sistemos sprendimas yra nežinomųjų reikšmių rinkinys, kuris tenkina visas sistemos lygtis, tai yra, paverčia jas tapatybėmis.

Sistema, kuri turi sprendimą, vadinama nuoseklia, kitaip ji vadinama nenuoseklia.

Sistemai išspręsti naudojami įvairūs metodai.
Leiskite

(lygčių skaičius lygus nežinomųjų skaičiui).

Cramerio metodas

(7)

Apsvarstykime, kaip išspręsti trijų tiesinių lygčių su trimis nežinomaisiais sistemą:
Norėdami rasti nežinomųjų

(8)

Taikykime Cramerio formulę: Kur

- sistemos determinantas, kurio elementai yra nežinomųjų koeficientai: gautas pakeitus pirmą determinanto stulpelį

laisvų narių skiltis:

;
.

Taip pat: 1 pavyzdys.

Išspręskite sistemą naudodami Cramerio formulę:

;

Atsakymas:
.

Sprendimas: Naudokime formules (8): Bet kuriai sistemai tiesines lygtis su

Nežinomus galima teigti:

Matricos sprendimas

Panagrinėkime trijų tiesinių lygčių su trimis nežinomaisiais sistemos (7) sprendimą matriciniu metodu.
Naudojant matricos daugybos taisykles, šią lygčių sistemą galima parašyti taip:

, Kur Tegul matrica
neišsigimęs, t.y.
. Abi kairėje esančios matricos lygties puses padauginus iš matricos , atvirkštinė matrica
.

, gauname:
Atsižvelgiant į tai

(9)

, turime 2 pavyzdys.

Išspręskite sistemą matricos metodu:

Sprendimas: pristatykime matricas:

- iš nežinomųjų koeficientų;

- laisvųjų narių kolona.
.

Tada sistemą galima parašyti kaip matricinę lygtį:
Naudokime formulę (9). Raskime atvirkštinę matricą

;

pagal (6) formulę:

Vadinasi,

Atsakymas:
.

Gauta:

Nuosekliojo nežinomųjų pašalinimo metodas (Gausso metodas)

Pagrindinė naudojamo metodo idėja yra nuosekliai pašalinti nežinomus dalykus. Paaiškinkime šio metodo prasmę naudodami trijų lygčių sistemą su trimis nežinomaisiais:
Tarkime, kad
, tada keičiame lygčių tvarką, pirmąją lygtį pasirinkdami tą, kurioje koeficientas nelygus nuliui).

Pirmas žingsnis: a) padalinkite lygtį
įjungta
; b) gautą lygtį padauginkite iš
ir atimti iš
; c) tada rezultatą padauginkite iš
ir atimti iš
. Po pirmojo žingsnio turėsime sistemą:

Antras žingsnis: sprendžiame lygtį
Ir
lygiai taip pat kaip ir su lygtimis
.

Dėl to pradinė sistema transformuojama į vadinamąją pakopinę formą:

Iš transformuotos sistemos visi nežinomieji be vargo nustatomi paeiliui.

komentuoti. Praktikoje patogiau į laipsnišką formą redukuoti ne pačią lygčių sistemą, o koeficientų, nežinomųjų ir laisvųjų dėmenų matricą.

3 pavyzdys. Išspręskite sistemą Gauso metodu:

Perėjimą iš vienos matricos į kitą rašysime naudodami ekvivalentiškumo ženklą ~.

~
~
~
~

~
.

Naudodami gautą matricą išrašome transformuotą sistemą:

Atsakymas:
.

Pastaba: Jei sistema turi unikalų sprendimą, tada žingsninė sistema sumažinama iki trikampės, ty iki tokios, kurios paskutinėje lygtyje bus vienas nežinomasis. Neaiškios sistemos atveju, ty tokios, kurioje nežinomųjų skaičius daugiau numerio tiesiškai nepriklausomas lygtis, trikampės sistemos nebus, nes paskutinėje lygtyje bus daugiau nei vienas nežinomasis (sistema turi begalinį sprendinių skaičių). Kai sistema yra nenuosekli, sumažinus ją į laipsnišką formą, joje bus bent vienas formos vertė
, tai yra lygtis, kurioje visi nežinomieji turi nulinius koeficientus ir dešinėje pusėje skiriasi nuo nulio (sistema neturi sprendimų). Gauso metodas taikomas savavališkai tiesinių lygčių sistemai (bet kuriai
Ir ).

Egzistencijos teorema tiesinių lygčių sistemos sprendimui

Sprendžiant tiesinių lygčių sistemą Gauso metodu, atsakymas į klausimą, ar ši sistema suderinama, ar nenuosekli, gali būti pateiktas tik skaičiavimų pabaigoje. Tačiau dažnai svarbu išspręsti lygčių sistemos suderinamumo ar nesuderinamumo klausimą nerandant pačių sprendimų. Atsakymą į šį klausimą duoda tokia Kronecker-Capelli teorema.

Tegul sistema duota
Bet kuriai sistemai nežinomas:

(10)

Kad sistema (10) būtų nuosekli, būtina ir pakanka, kad sistemos matricos rangas

buvo lygus jos išplėstinės matricos rangui

Be to, jei
, tada sistema (10) turi unikalų sprendimą; jeigu
, tada sistema turi begalinį sprendinių skaičių.

Apsvarstykite vienalytę tiesinių lygčių sistemą (visi laisvieji nariai lygūs nuliui):

Ši sistema visada yra nuosekli, nes ji turi nulinį sprendimą.

Toliau pateiktoje teoremoje pateikiamos sąlygos, kurioms esant sistema turi ir kitokių nei nulis sprendinių.

Terema. Tam, kad vienalytė tiesių lygčių sistema turėtų nulinį sprendimą, būtina ir pakanka, kad jos determinantas buvo lygus nuliui:

Taigi, jei
, tada sprendimas yra vienintelis. Jeigu
, tada yra begalė kitų nulinių sprendimų. Nurodykime vieną iš būdų rasti sprendinius vienalytei trijų tiesinių lygčių su trimis nežinomaisiais sistemai tuo atveju
.

Galima įrodyti, kad jei
, o pirmoji ir antroji lygtys yra neproporcingos (tiesiškai nepriklausomos), tada trečioji lygtis yra pirmųjų dviejų pasekmė. Trijų lygčių su trimis nežinomaisiais vienalytės sistemos sprendimas redukuojamas į dviejų lygčių su trimis nežinomaisiais sprendinį. Atsiranda vadinamasis laisvas nežinomasis, kuriam galima priskirti savavališkas reikšmes.

4 pavyzdys. Raskite visus sistemos sprendimus:

Sprendimas. Šios sistemos determinantas

Todėl sistema neturi nulinių sprendimų. Galite pastebėti, kad, pavyzdžiui, pirmosios dvi lygtys nėra proporcingos, todėl yra tiesiškai nepriklausomos. Trečiasis yra pirmųjų dviejų pasekmė (pasirodo, jei prie pirmosios lygties pridėsite du kartus antrą). Ją atmetę, gauname dviejų lygčių su trimis nežinomaisiais sistemą:

Darant prielaidą, kad pvz.
, gauname

Išspręsdami dviejų tiesinių lygčių sistemą, išreiškiame Ir per :
. Todėl sistemos sprendimas gali būti parašytas taip:
Naudojant matricos daugybos taisykles, šią lygčių sistemą galima parašyti taip: - savavališkas skaičius.

5 pavyzdys. Raskite visus sistemos sprendimus:

Sprendimas. Nesunku pastebėti, kad šioje sistemoje yra tik viena nepriklausoma lygtis (kitos dvi yra jai proporcingos). Trijų lygčių su trimis nežinomaisiais sistema buvo sumažinta iki vienos lygties su trimis nežinomaisiais. Pasirodo du laisvi nežinomieji. Rasti, pavyzdžiui, iš pirmosios lygties
už savavališką Ir , gauname šios sistemos sprendimus. Bendrąją sprendinio formą galima parašyti kur Ir - savavališki skaičiai.