비례성은 두 수량 사이의 관계로, 둘 중 하나의 변화가 다른 수량의 변화를 수반합니다.
비례성은 직접적이거나 역적일 수 있습니다. 안에 이번 수업우리는 그들 각각을 살펴볼 것입니다.
수업 내용정비례
자동차가 50km/h의 속도로 움직인다고 가정하자. 우리는 속도가 단위 시간(1시간, 1분, 1초)당 이동한 거리라는 것을 기억합니다. 이 예에서 자동차는 50km/h의 속도로 움직이고 있습니다. 즉, 한 시간 안에 50km의 거리를 주행합니다.
자동차가 1시간 동안 이동한 거리를 그림으로 표현해 보겠습니다.
자동차를 시속 50km의 동일한 속도로 한 시간 더 운전하게 하세요. 그러면 차가 100km를 이동할 것이라는 것이 밝혀졌습니다.
예시에서 볼 수 있듯이 시간이 두 배로 늘어나면 같은 양, 즉 두 배로 이동한 거리가 늘어납니다.
시간, 거리 등의 양을 정비례라고 합니다. 그리고 그러한 양 사이의 관계를 정비례.
직접 비례성은 두 양 중 하나가 증가하면 다른 양도 같은 양만큼 증가하는 두 양 사이의 관계입니다.
그 반대의 경우도 마찬가지입니다. 한 양이 감소하면 특정 숫자횟수만큼 감소하고 다른 쪽도 같은 양만큼 감소합니다.
원래 계획은 2시간 안에 100km를 주행하는 것이었지만, 50km를 주행한 후 운전자가 휴식을 취하기로 했다고 가정해보자. 그런 다음 거리를 절반으로 줄이면 시간도 같은 양만큼 줄어드는 것으로 나타났습니다. 즉, 이동 거리를 줄이면 그만큼 시간도 단축됩니다.
정비례 수량의 흥미로운 특징은 비율이 항상 일정하다는 것입니다. 즉, 직접 비례 수량의 값이 변경되면 해당 비율은 변경되지 않습니다.
고려된 예에서 거리는 처음에 50km이고 시간은 1시간이었습니다. 거리와 시간의 비율은 50이다.
하지만 이동 시간을 2배 늘려 2시간으로 만들었습니다. 그 결과, 이동 거리가 같은 양만큼 증가했습니다. 즉, 100km가 되었습니다. 100km 대 2시간의 비율은 다시 50이라는 숫자입니다
숫자 50이라고 합니다 정비례 계수. 시간당 이동 거리가 얼마나 되는지 표시합니다. 안에 이 경우속도는 시간에 대한 이동 거리의 비율이기 때문에 계수는 이동 속도의 역할을 합니다.
비율은 직접적으로 비례하는 양으로 만들어질 수 있습니다. 예를 들어, 비율은 비율을 구성합니다.
50킬로미터는 1시간이고, 100킬로미터는 2시간입니다.
실시예 2. 구매한 상품의 비용과 수량은 정비례합니다. 과자 1kg의 가격이 30 루블이면 동일한 과자 2kg의 비용은 60 루블, 3kg 90 루블입니다. 구매한 제품의 가격이 상승하면 수량도 같은 금액만큼 증가합니다.
제품의 비용과 수량은 정비례하므로 그 비율은 항상 일정합니다.
30루블과 1킬로그램의 비율이 얼마인지 적어 봅시다
이제 60루블과 2kg의 비율이 무엇인지 적어 보겠습니다. 이 비율은 다시 30과 같습니다.
여기서 정비례 계수는 숫자 30입니다. 이 계수는 과자 1kg당 몇 루블이 있는지 보여줍니다. 안에 이 예에서는가격은 상품 비용과 수량의 비율이기 때문에 계수는 상품 1kg의 가격 역할을합니다.
역비례
고려해 봅시다 다음 예. 두 도시 사이의 거리는 80km이다. 오토바이 운전자는 첫 번째 도시를 떠나 시속 20km의 속도로 4시간 만에 두 번째 도시에 도착했습니다.
오토바이 운전자의 속도가 20km/h라면 이는 매시간 20km의 거리를 이동했다는 의미입니다. 오토바이 운전자가 이동한 거리와 이동 시간을 그림으로 묘사해 보겠습니다.
돌아오는 길에 오토바이 운전자의 속도는 40km/h였으며 같은 여행에서 2시간을 보냈습니다.
속도가 변하면 이동 시간도 같은 양만큼 변한다는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 더욱이, 그것은 바뀌었다 뒷면- 즉, 속도는 증가했지만, 반대로 시간은 감소했습니다.
속도나 시간과 같은 양을 반비례라고 합니다. 그리고 그러한 양 사이의 관계를 역비례.
반비례성은 두 양 중 하나가 증가하면 다른 양이 같은 양만큼 감소하는 두 양 사이의 관계입니다.
그 반대의 경우도 마찬가지입니다. 한 양이 특정 횟수만큼 감소하면 다른 양도 같은 횟수만큼 증가합니다.
예를 들어, 돌아오는 길에 오토바이 운전자의 속도가 10km/h라면 그는 8시간 안에 동일한 80km를 주행할 것입니다.
예시에서 볼 수 있듯이 속도가 감소하면 이동 시간도 같은 양만큼 증가합니다.
반비례 수량의 특징은 그 곱이 항상 일정하다는 것입니다. 즉, 반비례 수량의 값이 변경되면 해당 제품은 변경되지 않습니다.
고려된 예에서 도시 간 거리는 80km였습니다. 오토바이 운전자의 이동 속도와 시간이 변해도 이 거리는 항상 변하지 않았습니다.
오토바이 운전자는 이 거리를 20km/h의 속도로 4시간, 40km/h의 속도로 2시간, 10km/h의 속도로 8시간에 이동할 수 있습니다. 모든 경우에 속도와 시간의 곱은 80km였습니다.
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선형 함수
선형 함수는 공식 y = kx + b로 지정될 수 있는 함수이며,
여기서 x는 독립변수이고, k와 b는 숫자입니다.
일정 선형 함수똑바르다.
숫자 k라고 불린다. 직선의 기울기– 함수 y = kx + b의 그래프.
k > 0이면 축에 대한 직선 y = kx + b의 경사각 엑스매운; 만약 k라면< 0, то этот угол тупой.
두 선형 함수의 그래프인 선의 기울기가 다르면 이 선이 교차합니다. 그리고 각도 계수가 동일하면 선은 평행합니다.
함수 그래프 y=kx +비, 여기서 k ≠ 0은 선 y = kx에 평행한 선입니다.
직접적인 비례.
정비례는 y = kx 공식으로 지정될 수 있는 함수입니다. 여기서 x는 독립변수이고, k는 0이 아닌 숫자입니다. 숫자 k라고 불린다. 정비례 계수.
정비례 그래프는 좌표의 원점을 지나는 직선입니다(그림 참조).
정비례는 선형 함수의 특별한 경우입니다.
기능 속성y=kx:
역비례
역비례는 다음 공식으로 지정될 수 있는 함수라고 합니다.
케이
y = -
엑스
어디 엑스는 독립변수이고, 케이– 0이 아닌 숫자.
반비례 그래프는 다음과 같은 곡선입니다. 과장법(그림 참조).
이 함수의 그래프인 곡선의 경우 축은 엑스그리고 와이점근선으로 행동하십시오. 점근선- 이는 곡선의 점이 무한대로 멀어지면서 접근하는 직선입니다.
케이
기능 속성y = -:
엑스
종속성 유형
배터리 충전을 살펴보겠습니다. 첫 번째 수량으로 충전하는 데 걸리는 시간을 살펴 보겠습니다. 두 번째 값은 충전 후 작동하는 시간입니다. 배터리를 오래 충전할수록 배터리 수명이 길어집니다. 배터리가 완전히 충전될 때까지 이 과정이 계속됩니다.
충전 시간에 따른 배터리 작동 시간의 의존성
참고 1
이 의존성을 직접:
한 값이 증가하면 두 번째 값도 증가합니다. 한 값이 감소하면 두 번째 값도 감소합니다.
또 다른 예를 살펴보겠습니다.
학생이 더 많은 책을 읽을수록 받아쓰기에서 저지르는 실수는 줄어듭니다. 또는 산에서 높이 올라갈수록 대기압은 낮아집니다.
참고 2
이 의존성을 뒤집다:
한 값이 증가하면 두 번째 값은 감소합니다. 한 값이 감소하면 두 번째 값이 증가합니다.
따라서 만일의 경우 직접적인 의존두 수량 모두 동일하게 변경됩니다(둘 다 증가 또는 감소). 역관계– 반대(하나는 증가하고 다른 하나는 감소하거나 그 반대).
수량 간의 종속성 결정
실시예 1
친구를 방문하는 데 걸리는 시간은 $20$분입니다. 속도(첫 번째 값)가 $2$배 증가하면 친구를 찾아가는 데 소요되는 시간(두 번째 값)이 어떻게 변하는지 알아봅니다.
분명히 시간은 $2$배만큼 줄어들 것입니다.
참고 3
이 의존성을 비례항:
한 수량이 변경되는 횟수, 두 번째 수량이 변경되는 횟수입니다.
실시예 2
상점에서 2달러짜리 빵 한 덩어리를 사려면 80루블을 지불해야 합니다. $4$의 빵을 사야 한다면(빵의 양이 $2$배 증가), 몇 배나 더 지불해야 합니까?
당연히 비용도 $2$배 증가합니다. 우리는 예를 가지고 있습니다 비례 의존.
두 예 모두 비례 종속성을 고려했습니다. 그러나 빵 덩어리의 예에서는 양이 한 방향으로 변하므로 종속성은 다음과 같습니다. 직접. 그리고 친구 집에 가는 예에서는 속도와 시간의 관계가 뒤집다. 따라서 정비례 관계그리고 반비례 관계.
정비례
$2$를 고려해 보세요. 비례 수량: 빵 덩어리의 수와 그 가격. $2$ 빵 한 덩어리의 가격이 $80$ 루블이라고 가정합니다. 빵 수가 $4$ 배($8$ 빵) 증가하면 총 비용은 $320$ 루블이 됩니다.
빵 개수의 비율: $\frac(8)(2)=4$.
빵 비용 비율: $\frac(320)(80)=$4.
보시다시피, 이러한 관계는 서로 동일합니다.
$\frac(8)(2)=\frac(320)(80)$.
정의 1
두 비율의 동일성을 호출합니다. 비율.
직접 비례 의존성을 사용하면 첫 번째 수량과 두 번째 수량의 변화가 일치할 때 관계가 얻어집니다.
$\frac(A_2)(A_1)=\frac(B_2)(B_1)$.
정의 2
두 수량을 호출합니다. 정비례, 둘 중 하나가 변경(증가 또는 감소)되면 다른 값도 같은 양만큼 변경(각각 증가 또는 감소)됩니다.
실시예 3
자동차는 $2$ 시간 동안 $180$km를 주행했습니다. 같은 속도로 거리의 $2$배를 이동하는 시간을 구하십시오.
해결책.
시간은 거리에 정비례합니다.
$t=\frac(S)(v)$.
일정한 속도로 거리가 몇 배 증가하면 시간도 같은 양만큼 증가합니까?
$\frac(2S)(v)=2t$;
$\frac(3S)(v)=3t$.
자동차는 $2$ 시간 동안 $180$km를 주행했습니다.
자동차는 $180 \cdot 2=360$ km – $x$ 시간 안에 주행할 것입니다.
자동차가 더 멀리 이동할수록 시간이 더 오래 걸립니다. 결과적으로 수량 간의 관계는 정비례합니다.
비율을 만들어 봅시다 :
$\frac(180)(360)=\frac(2)(x)$;
$x=\frac(360 \cdot 2)(180)$;
답변: 자동차는 $4$ 시간이 필요합니다.
역비례
정의 3
해결책.
시간은 속도에 반비례합니다.
$t=\frac(S)(v)$.
동일한 경로에서 속도는 몇 배 증가하고 시간은 같은 양만큼 감소합니까?
$\frac(S)(2v)=\frac(t)(2)$;
$\frac(S)(3v)=\frac(t)(3)$.
문제 상황을 표 형식으로 작성해 보겠습니다.
자동차는 $6$ 시간 동안 $60$km를 주행했습니다.
자동차는 $x$ 시간 안에 $120$km를 주행합니다.
자동차 속도가 빠를수록 소요 시간은 줄어듭니다. 결과적으로 수량 간의 관계는 반비례합니다.
비율을 만들어 봅시다.
왜냐하면 비례성은 반대이고, 비율의 두 번째 관계는 반대입니다.
$\frac(60)(120)=\frac(x)(6)$;
$x=\frac(60 \cdot 6)(120)$;
답변: 자동차는 $3$ 시간이 필요합니다.
정비례의 개념
당신이 가장 좋아하는 사탕(또는 당신이 정말 좋아하는 것)을 구입할 계획이라고 상상해 보십시오. 상점의 과자에는 자체 가격이 있습니다. 킬로그램 당 300 루블을 가정 해 봅시다. 사탕을 많이 구매할수록 더 많은 돈지불하다. 즉, 2kg을 원하면 600루블을 지불하고, 3kg을 원하면 900루블을 지불합니다. 이것은 모두 분명한 것 같습니다. 그렇죠?
그렇다면 이제 정비례가 무엇인지 분명해졌습니다. 이것은 서로 의존하는 두 수량의 관계를 설명하는 개념입니다. 그리고 이러한 양의 비율은 변하지 않고 일정하게 유지됩니다. 그 중 하나가 몇 부분만큼 증가하거나 감소하는지, 동일한 부분 수만큼 두 번째 부분이 비례적으로 증가하거나 감소합니다.
정비례는 다음 공식으로 설명할 수 있습니다: f(x) = a*x, 이 공식에서 a는 상수 값(a = const)입니다. 사탕에 대한 예에서 가격은 상수 값, 즉 상수입니다. 구매하기로 결정한 사탕 수에 관계없이 증가하거나 감소하지 않습니다. 독립 변수(인수) x는 몇 킬로그램의 사탕을 구입할 것인지입니다. 그리고 종속 변수 f(x)(함수)는 구매에 대해 지불하게 되는 금액입니다. 따라서 숫자를 공식으로 대체하여 600 루블을 얻을 수 있습니다. = 300 문지름. * 2kg.
중간 결론은 다음과 같습니다. 인수가 증가하면 함수도 증가하고, 인수가 감소하면 함수도 감소합니다.
기능과 그 속성
직접 비례 함수선형 함수의 특별한 경우입니다. 선형 함수가 y = k*x + b인 경우 정비례의 경우 y = k*x와 같습니다. 여기서 k는 비례 계수라고 하며 항상 0이 아닌 숫자입니다. k를 계산하는 것은 쉽습니다. k = y/x와 같이 함수와 인수의 몫으로 찾을 수 있습니다.
더 명확하게 하기 위해 또 다른 예를 들어보겠습니다. 자동차가 A 지점에서 B 지점으로 이동한다고 상상해 보세요. 속도는 60km/h이다. 이동 속도가 일정하다고 가정하면 이를 상수로 간주할 수 있습니다. 그런 다음 S = 60*t 형식으로 조건을 작성하며 이 공식은 정비례 함수 y = k *x와 유사합니다. 평행선을 더 그려보겠습니다. k = y/x이면 A와 B 사이의 거리와 도로에서 소요된 시간을 알면 자동차의 속도를 계산할 수 있습니다. V = S /t.
이제 정비례에 대한 지식을 적용한 후 다시 그 기능으로 돌아가 보겠습니다. 그 속성은 다음과 같습니다:
정의 영역은 모든 실수(및 그 하위 집합)의 집합입니다.
기능이 이상해요;
변수의 변화는 수직선의 전체 길이에 정비례합니다.
정비례 및 그래프
직접 비례 함수의 그래프는 원점과 교차하는 직선입니다. 그것을 구축하려면 한 점만 더 표시하면 충분합니다. 그리고 그것과 좌표의 원점을 직선으로 연결한다.
그래프의 경우 k는 기울기이다. 경사면 0보다 작음(케이< 0), то угол между графиком функции прямой пропорциональности и осью абсцисс тупой, а функция убывающая. Если угловой коэффициент больше нуля (k >0) 그래프와 x축이 예각을 이루며 함수가 증가하고 있다.
그리고 직접 비례 함수 그래프의 또 다른 속성은 기울기 k와 직접적으로 관련됩니다. 두 개의 동일하지 않은 함수와 그에 따른 두 개의 그래프가 있다고 가정합니다. 따라서 이러한 함수의 계수 k가 동일하면 해당 그래프는 좌표축에 평행하게 위치합니다. 그리고 계수 k가 서로 같지 않으면 그래프가 교차합니다.
샘플 문제
이제 몇 가지 문제를 해결해 보겠습니다. 직접 비례 문제
간단한 것부터 시작해 보겠습니다.
문제 1: 암탉 5마리가 5일 동안 5개의 알을 낳았다고 상상해 보세요. 암탉이 20마리 있다면 20일 동안 몇 개의 알을 낳을까요?
해결 방법: 미지수를 kx로 표시해 보겠습니다. 그리고 우리는 다음과 같이 추론할 것입니다: 닭이 몇 배나 더 많아졌습니까? 20을 5로 나누면 4배임을 알 수 있습니다. 20마리의 암탉이 5일 동안 몇 배나 더 많은 알을 낳을까요? 또한 4배 더 많습니다. 따라서 우리는 다음과 같이 알 수 있습니다. 20일 동안 20마리의 암탉이 5*4*4 = 80개의 알을 낳습니다.
이제 예제는 좀 더 복잡합니다. 뉴턴의 "일반 산술"의 문제를 바꿔서 표현해 보겠습니다. 문제 2: 작가는 8일 만에 14페이지 분량의 새 책을 작성할 수 있습니다. 만약 조수가 있었다면 12일 안에 420페이지를 쓰려면 몇 명이 필요할까요?
해결책: 동일한 시간에 작업을 수행해야 한다면 작업량에 따라 사람(작가 + 조수)의 수가 증가한다고 추론합니다. 그런데 몇 번이나? 420을 14로 나누면 30배 증가한다는 것을 알 수 있습니다. 그러나 작업 조건에 따라 작업에 더 많은 시간이 주어지기 때문에 보조자 수는 30 배가 아니라 다음과 같이 증가합니다. x = 1 (작가) * 30 (회) : 12/8 ( 날). 변환하여 x = 20명의 사람이 12일 동안 420페이지를 작성한다는 것을 알아봅시다.
예제의 문제와 유사한 또 다른 문제를 해결해 보겠습니다.
문제 3: 두 대의 자동차가 같은 여행을 떠났습니다. 한 대는 시속 70km의 속도로 이동하고 있었고 다른 한 대는 7시간이 걸렸고 같은 거리를 2시간 만에 주파했습니다. 두 번째 자동차의 속도를 구하세요.
해결책: 기억하는 것처럼 경로는 속도와 시간에 따라 결정됩니다(S = V *t). 두 자동차가 같은 거리를 이동했기 때문에 두 표현을 70*2 = V*7로 동일시할 수 있습니다. 두 번째 자동차의 속도가 V = 70*2/7 = 20km/h임을 어떻게 알 수 있습니까?
그리고 정비례 기능을 사용하는 작업의 몇 가지 예가 더 있습니다. 때때로 문제에 계수 k를 찾아야 하는 경우가 있습니다.
작업 4: 함수 y = - x/16 및 y = 5x/2가 주어지면 비례 계수를 결정합니다.
해결 방법: 기억하시겠지만, k = y/x입니다. 이는 첫 번째 함수의 경우 계수가 -1/16이고 두 번째 함수의 경우 k = 5/2임을 의미합니다.
작업 5: 수식을 사용하여 정비례 작성과 같은 작업이 발생할 수도 있습니다. 해당 그래프와 함수 y = -5x + 3의 그래프가 평행하게 위치합니다.
해결책: 조건에서 우리에게 주어진 함수는 선형입니다. 우리는 정비례가 선형 함수의 특별한 경우라는 것을 알고 있습니다. 그리고 k 함수의 계수가 동일하면 그래프가 평행하다는 것도 알고 있습니다. 즉, 필요한 것은 계수를 계산하는 것뿐입니다. 알려진 기능그리고 우리에게 친숙한 공식인 y = k *x를 사용하여 정비례를 설정합니다. 계수 k = -5, 정비례: y = -5*x.
결론
이제 당신은 무엇이라고 불리는지 배웠습니다. 정비례, 그리고 그걸 보니 예. 또한 정비례 함수와 그 그래프에 대해 이야기하고 몇 가지 예제 문제를 해결했습니다.
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