이면각을 측정하는 방법. 평면에 수직인 이면각. 이면체 각도. 선형 2면체 각도. 2면각은 두 개의 각도로 이루어진 도형입니다.

수업 내용:

면적 측정에서 주요 개체는 선, 세그먼트, 광선 및 점입니다. 한 지점에서 나오는 광선은 기하학적 모양 중 하나인 각도를 형성합니다.

우리는 선형 각도가 각도와 라디안으로 측정된다는 것을 알고 있습니다.

입체 측정에서는 평면이 개체에 추가됩니다. 기하학에서 동일한 평면에 속하지 않는 공통 경계 a를 갖는 직선 a와 두 개의 반면으로 구성된 도형을 2면각이라고 합니다. 반평면은 2면각의 면입니다. 직선 a는 2면각의 모서리입니다.

선형 각도와 마찬가지로 2면체 각도도 명명되고, 측정되고, 구성될 수 있습니다. 이것이 이번 강의에서 우리가 알아내야 할 것입니다.

정사면체 ABCD 모델에서 2면체 각도를 찾아봅시다.

모서리 AB가 있는 2면각을 CABD라고 하며, 여기서 점 C와 D는 다음에 속합니다. 다른 얼굴각도와 모서리 AB는 중간에 호출됩니다.

우리 주변에는 2면체 형태의 요소를 가진 물체가 많이 있습니다.

많은 도시에는 화해를 위한 특별한 벤치가 공원에 설치되어 있습니다. 벤치는 중앙을 향해 수렴하는 두 개의 경사면 형태로 만들어졌습니다.

집을 지을 때 소위 박공 지붕이 자주 사용됩니다. 이 집의 지붕은 90도 각도의 2면체 형태로 만들어졌습니다.

2면각도 각도 또는 라디안으로 측정되지만 측정 방법은 다음과 같습니다.

집의 지붕이 서까래 위에 놓여 있다는 점이 흥미롭습니다. 그리고 서까래 외장은 주어진 각도에서 두 개의 지붕 경사를 형성합니다.

이미지를 도면으로 옮겨보겠습니다. 그림에서 2면체 각도를 찾기 위해 점 B가 모서리에 표시됩니다. 이 점에서 두 개의 광선 BA와 BC가 각도의 모서리에 수직으로 그려집니다. 이들 광선에 의해 형성된 각도 ABC를 선형 2면각이라고 합니다.

2면각의 각도 측정은 선형 각도의 각도 측정과 같습니다.

각도 AOB를 측정해 봅시다.

주어진 2면각의 각도 측정은 60도입니다.

2면체 각도에 대해 무한한 수의 선형 각도를 그릴 수 있습니다. 이 각도가 모두 동일하다는 것을 아는 것이 중요합니다.

두 개의 선형 각도 AOB와 A1O1B1을 고려해 봅시다. 광선 OA와 O1A1은 같은 면에 있고 직선 OO1에 수직이므로 방향이 동일합니다. 빔 OB와 O1B1도 공동 연출됩니다. 따라서 각도 AOB는 방향이 같은 측면을 갖는 각도로서 각도 A1O1B1과 같습니다.

따라서 2면각은 선형 각도를 특징으로 하며 선형 각도는 예각, 둔각 및 직각입니다. 2면체 각도 모델을 고려해 봅시다.

둔각은 선형 각도가 90도에서 180도 사이인 경우입니다.

선형 각도가 90도인 경우 직각입니다.

선형 각도가 0도에서 90도 사이인 경우 예각입니다.

선형 각도의 중요한 속성 중 하나를 증명해 보겠습니다.

선형 각도의 평면은 2면각의 가장자리에 수직입니다.

각도 AOB를 주어진 2면각의 선형 각도로 설정합니다. 구조적으로 광선 AO와 OB는 직선 a에 수직입니다.

평면 AOB는 정리에 따라 두 개의 교차 선 AO와 OB를 통과합니다. 평면은 두 개의 교차 선을 통과하고 단 하나만 통과합니다.

선 a는 이 평면에 있는 두 개의 교차 선에 수직입니다. 즉, 선과 평면의 수직성을 기준으로 직선 a는 평면 AOB에 수직입니다.

문제를 해결하려면 주어진 2면각의 선형 각도를 구성할 수 있는 것이 중요합니다. 사면체 ABCD에 대해 모서리 AB를 갖는 2면체 각도의 선형 각도를 구성합니다.

우리는 먼저 모서리 AB, 한 면 ABD, 두 번째 면 ABC에 의해 형성되는 2면각에 대해 이야기하고 있습니다.

이를 구축하는 한 가지 방법이 있습니다.

점 D에서 평면 ABC까지 수직선을 그려보겠습니다. 점 M을 수직선의 밑면으로 표시합니다. 사면체에서 수직선의 밑면은 사면체 밑면에 있는 내접원의 중심과 일치한다는 것을 기억하십시오.

모서리 AB에 수직인 점 D에서 경사선을 그리고 점 N을 경사선의 밑변으로 표시합니다.

삼각형 DMN에서 세그먼트 NM은 경사 DN을 투영한 것입니다. 비행기 ABC. 세 수직의 정리에 따르면 모서리 AB는 투영 NM에 수직입니다.

이는 각도 DNM의 측면이 모서리 AB에 수직이라는 것을 의미하며, 이는 구성된 각도 DNM이 원하는 선형 각도임을 의미합니다.

2면각 계산 문제를 해결하는 예를 고려해 보겠습니다.

이등변삼각형 ABC와 정삼각형 ADB는 같은 평면에 있지 않습니다. 세그먼트 CD는 평면 ADB에 수직입니다. AC=CB=2 cm, AB= 4 cm일 때 2면각 DABC를 구합니다.

DABC의 이면각은 선형 각도와 같습니다. 이 각도를 만들어 보겠습니다.

삼각형 ACB가 이등변이므로 모서리 AB에 수직인 경사 CM을 그리면 점 M은 모서리 AB의 중앙과 일치합니다.

직선 CD는 평면 ADB에 수직입니다. 이는 이 평면에 있는 직선 DM에 수직임을 의미합니다. 그리고 세그먼트 MD는 경사진 CM을 평면 ADV에 투영한 것입니다.

직선 AB는 구조적으로 경사 CM에 수직입니다. 이는 세 수직의 정리에 따라 투영 MD에 수직임을 의미합니다.

따라서 두 개의 수직선 CM과 DM이 모서리 AB에 대해 발견됩니다. 이는 2면각 DABC의 선형 각도 CMD를 형성한다는 것을 의미합니다. 그리고 우리가 해야 할 일은 직각 삼각형 CDM에서 그것을 찾는 것뿐입니다.

따라서 세그먼트 SM은 이등변삼각형 ACB의 중앙값과 고도이며, 피타고라스 정리에 따르면 다리 SM은 4cm와 같습니다.

피타고라스 정리에 따르면 직각 삼각형 DMB에서 다리 DM은 3의 2근과 같습니다.

직각 삼각형 각도의 코사인은 빗변 CM에 대한 인접한 다리 MD의 비율과 같으며 3 곱하기 2의 3근과 같습니다. 이는 각도 CMD가 30도임을 의미합니다.

2면각의 개념

2면각의 개념을 소개하기 위해 먼저 입체 측정의 공리 중 하나를 떠올려 보겠습니다.

모든 평면은 이 평면에 있는 $a$ 선의 두 개의 반 평면으로 나눌 수 있습니다. 이 경우 동일한 반평면에 있는 점은 직선 $a$의 한쪽에 있고, 서로 다른 반평면에 있는 점은 직선 $a$의 반대쪽에 있습니다(그림 1).

그림 1.

2면체 각도를 구성하는 원리는 이 공리를 기반으로 합니다.

정의 1

피규어라고 하는데 2면각, 동일한 평면에 속하지 않는 선과 이 선의 두 개의 반평면으로 구성된 경우.

이 경우, 2면각의 반평면을 다음과 같이 부릅니다. 가장자리, 반평면을 분리하는 직선은 다음과 같습니다. 2면체 가장자리(그림 1).

그림 2. 이면각

2면각의 각도 측정

정의 2

가장자리에서 임의의 점 $A$를 선택해 보겠습니다. 서로 다른 반면에 놓여 있고 모서리에 수직이며 점 $A$에서 교차하는 두 직선 사이의 각도를 호출합니다. 선형 2면각(그림 3).

그림 3.

분명히, 모든 2면체 각도에는 무한한 수의 선형 각도가 있습니다.

정리 1

하나의 2면각의 모든 선형 각도는 서로 같습니다.

증거.

두 개의 선형 각도 $AOB$ 및 $A_1(OB)_1$를 고려해 보겠습니다(그림 4).

그림 4.

$OA$ 및 $(OA)_1$ 광선은 동일한 반평면 $\alpha $에 있고 동일한 직선에 수직이므로 방향이 동일합니다. $OB$와 $(OB)_1$ 광선은 동일한 반면 $\beta $에 있고 동일한 직선에 수직이므로 방향이 동일합니다. 따라서

\[\각 AOB=\각 A_1(OB)_1\]

선형 각도 선택의 임의성으로 인해. 하나의 2면각의 모든 선형 각도는 서로 같습니다.

정리가 입증되었습니다.

정의 3

2면각의 각도 측정값은 2면각의 선형 각도에 대한 각도 측정값입니다.

샘플 문제

실시예 1

우리에게 두 개를 주지 말자 수직면$\alpha $ 및 $\beta $는 직선 $m$을 따라 교차합니다. 점 $A$는 평면 $\beta$에 속합니다. $AB$는 선 $m$에 수직입니다. $AC$는 평면 $\alpha $에 수직입니다(점 $C$는 $\alpha $에 속함). 각도 $ABC$가 2면각의 선형 각도임을 증명하세요.

증거.

문제의 조건에 따라 그림을 그려보자(Fig. 5).

그림 5.

이를 증명하기 위해 다음 정리를 떠올려 보세요.

정리 2:경사진 바닥을 통과하는 직선은 바닥에 수직이고 투영에 수직입니다.

$AC$는 $\alpha $ 평면에 수직이므로 점 $C$는 점 $A$를 $\alpha $ 평면에 투영한 것입니다. 따라서 $BC$는 경사 $AB$의 투영입니다. 정리 2에 따르면 $BC$는 2면각의 가장자리에 수직입니다.

그러면 각도 $ABC$는 선형 2면각을 정의하기 위한 모든 요구 사항을 충족합니다.

실시예 2

2면각은 $30^\circ$입니다. 한 면에는 다른 면으로부터 $4$cm 떨어진 곳에 $A$ 점이 있습니다. $A$ 점에서 2면체 각도의 가장자리까지의 거리를 구합니다.

해결책.

그림 5를 살펴보겠습니다.

조건에 따라 $AC=4\cm$이 됩니다.

2면체 각도의 각도 측정을 정의하면 각도 $ABC$가 $30^\circ$와 같다는 것을 알 수 있습니다.

삼각형 $ABC$는 직각삼각형. 예각의 사인 정의에 따라

\[\frac(AC)(AB)=sin(30)^0\] \[\frac(5)(AB)=\frac(1)(2)\] \

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슬라이드 캡션:

DIHEDRAL ANGLE 수학 교사 GOU 중등 학교 No. 10 Eremenko M.A.

수업의 주요 목표: 2면체 각도와 선형 각도의 개념을 소개합니다. 이러한 개념을 적용하기 위한 과제를 고려합니다.

정의: 2면체 각도는 공통 경계선을 갖는 두 개의 반면으로 구성된 도형입니다.

2면각의 크기는 선형 각도의 크기입니다. AF ⊥ CD BF ⊥ CD AFB - 선형 2면각 ACD B

2면각의 모든 선형 각도가 서로 동일하다는 것을 증명해 보겠습니다. 두 개의 선형 각도 AOB와 A 1 OB 1을 고려해 보겠습니다. 광선 OA와 OA 1은 같은 면에 있고 OO 1에 수직이므로 방향이 동일합니다. 빔 OB와 OB 1도 공동 감독됩니다. 따라서 ∠ AOB = ∠ A 1 OB 1 (같은 방향의 변이 있는 각도와 같습니다).

2면각의 예:

정의: 교차하는 두 평면 사이의 각도는 이들 평면에 의해 형성된 2면체 각도 중 가장 작습니다.

작업 1: 큐브 A ... D 1에서 평면 ABC와 CDD 1 사이의 각도를 찾으세요. 답: 90시.

문제 2: 큐브 A ... D 1에서 평면 ABC와 CDA 1 사이의 각도를 구하세요. 답: 45o.

문제 3: 큐브 A ... D 1에서 평면 ABC와 BDD 1 사이의 각도를 구하세요. 답: 90시.

문제 4: 입방체 A ... D 1에서 ACC 1 평면과 BDD 1 평면 사이의 각도를 구하세요. 답: 90시.

문제 5: 입방체 A ... D 1에서 평면 BC 1 D와 BA 1 D 사이의 각도를 구하세요. 해결책: O를 B D의 중간점으로 둡니다. A 1 OC 1 – 2면각 A 1 B D C 1의 선형 각도입니다.

문제 6: 사면체 DABC에서 모든 모서리는 동일하며 점 M은 모서리 AC의 중간입니다. ∠ DMB는 이면각 BACD 의 선형 각도임을 증명하십시오.

풀이: 삼각형 ABC와 ADC는 규칙적이므로 BM ⊥ AC 및 DM ⊥ AC이므로 ∠ DMB는 2면각 DACB의 선형 각도입니다.

문제 7: 변 AC가 평면 α에 있는 삼각형 ABC의 꼭지점 B에서 이 평면에 수직인 BB 1이 그려집니다. AB=2, ∠ВАС=150 0이고 이면각 ВАСВ 1이 45 0인 경우 점 B에서 직선 AC와 평면 α까지의 거리를 구합니다.

풀이: ABC는 둔각 A를 갖는 둔각 삼각형이므로 고도 BC의 밑변은 변 AC의 연장선에 있습니다. VC – 지점 B에서 AC까지의 거리. BB 1 – 지점 B에서 평면 α까지의 거리

2) AC ⊥BK이므로 AC⊥KB 1(정리적으로, 역정리약 3개의 수직선). 따라서 ∠VKV 1 은 이면각 BASV 1 과 ∠VKV 1 =45 0 의 선형 각도입니다. 3) ΔVAK: ∠A=30 0, VK=VA·sin 30 0, VK =1. ΔВКВ 1: ВВ 1 =ВК· sin 45 0 , ВВ 1 =

수업 주제: "이면체 각도."

수업 목표: 2면각의 개념과 선형각의 도입.

작업:

교육적: 이러한 개념을 적용하는 작업을 고려하고 평면 사이의 각도를 찾는 건설적인 기술을 개발합니다.

발달: 개발 창의적 사고학생, 학생의 개인적인 자기 계발, 학생의 언어 발달;

교육적: 정신적 작업 문화, 의사소통 문화, 성찰 문화를 육성합니다.

수업 유형: 새로운 지식을 배우는 수업

교육 방법: 설명적이고 예시적인

장비: 컴퓨터, 대화형 화이트보드.

문학:

기하학. 10-11학년: 교과서. 10~11학년용. 일반 교육 기관: 기본 및 프로필. 레벨 / [L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev 등] - 18th ed. – M .: 교육, 2009. – 255p.

수업 계획:

조직적인 순간(2분)

지식 업데이트(5분)

새로운 자료 학습(12분)

학습된 자료 강화(21분)

숙제(2분)

요약(3분)

수업 진행:

1. 조직적인 순간.

교사가 반에 인사하고, 수업을 위한 공간을 준비하고, 결석자를 확인하는 과정이 포함됩니다.

2. 기본 지식을 업데이트합니다.

선생님: 지난번 강의에서 당신이 쓴 독립적인 작업. 일반적으로 작품은 잘 작성되었습니다. 이제 조금 반복해 보겠습니다. 평면의 각도를 무엇이라고 하나요?

학생: 평면의 각도는 한 점에서 나오는 두 개의 광선으로 구성된 도형입니다.

선생님: 공간에서 선 사이의 각도를 무엇이라고 합니까?

학생: 공간에서 교차하는 두 선 사이의 각도는 교차점의 정점과 이 선의 광선이 이루는 각도 중 가장 작은 각도입니다.

학생: 교차선 사이의 각도는 각각 데이터에 평행한 교차선 사이의 각도입니다.

선생님: 직선과 평면이 이루는 각도를 뭐라고 부르나요?

학생: 직선과 평면이 이루는 각도직선과 이 평면에 대한 투영 사이의 각도를 호출합니다.

3. 새로운 자료를 연구합니다.

선생님: 입체 측정에서는 이러한 각도와 함께 다른 유형의 각도, 즉 2면체 각도가 고려됩니다. 오늘 수업의 주제가 무엇인지 이미 짐작 하셨을 것입니다. 그러니 공책을 열고 오늘 날짜와 수업 주제를 적어보세요.

칠판과 공책에 다음과 같이 적습니다.

10.12.14.

이면체 각도.

선생님 : 2면각의 개념을 소개하기 위해, 주어진 평면에 그려진 직선은 이 평면을 두 개의 반평면으로 나눈다는 점을 기억해야 합니다.(그림 1, a)

선생님 : 경계가 있는 두 개의 반평면이 더 이상 같은 평면에 놓이지 않도록 직선을 따라 평면을 구부렸다고 가정해 보겠습니다(그림 1, b). 결과 그림은 2면체 각도입니다. 2면각은 직선과 동일한 평면에 속하지 않는 공통 경계를 갖는 두 개의 반면으로 구성된 도형입니다. 2면체 각도를 형성하는 반평면을 면이라고 합니다. 2면각은 두 개의 변을 가지므로 2면각이라는 이름이 붙습니다. 반면의 공통 경계인 직선을 2면각의 가장자리라고 합니다. 노트에 정의를 적어보세요.

2면각은 직선과 동일한 평면에 속하지 않는 공통 경계를 갖는 두 개의 반면으로 구성된 도형입니다.

선생님 : 일상생활에서 우리는 2면체 형태의 물체를 자주 접하게 됩니다. 예를 들어보세요.

학생 : 반만 열린 폴더입니다.

학생 : 방의 벽은 바닥과 함께 있습니다.

학생 : 건물의 박공지붕.

선생님 : 오른쪽. 그리고 그러한 예가 엄청나게 많습니다.

선생님 : 아시다시피 평면의 각도는 각도로 측정됩니다. 아마도 질문이 있을 것입니다. 2면체 각도는 어떻게 측정됩니까? 이는 다음과 같이 수행됩니다.2면각의 가장자리에 어떤 점을 표시하고 각 면의 이 점에서 가장자리에 수직인 광선을 그려 보겠습니다. 이러한 광선에 의해 형성된 각도를 2면각의 선형 각도라고 합니다. 노트에 그림을 그려보세요.

칠판과 공책에 글을 쓰세요.

에 대한 ∈ 에이, JSC ⊥ 에, 보 ⊥ 에이, SABD– 2면체 각도,∠ AOB– 이면각의 선형 각도.