Il dizionario esplicativo dei termini matematici definisce una dimostrazione per contraddizione di un teorema, l'opposto di un teorema inverso. “La prova per assurdo è un metodo per dimostrare un teorema (proposizione), che consiste nel dimostrare non il teorema stesso, ma il suo teorema equivalente (equivalente). La dimostrazione per assurdo si usa ogni volta che il teorema diretto è difficile da dimostrare, ma il teorema opposto è più facile da dimostrare. Nella dimostrazione per assurdo la conclusione del teorema viene sostituita dalla sua negazione, e attraverso il ragionamento si arriva alla negazione delle condizioni, cioè alla contraddizione, al contrario (il contrario di ciò che è dato; questa riduzione all'assurdo dimostra il teorema).
La dimostrazione per assurdo è molto usata in matematica. La prova per assurdo si basa sulla legge del terzo escluso, che consiste nel fatto che di due enunciati (enunciati) A e A (negazione di A), uno di essi è vero e l’altro è falso./Dizionario esplicativo dei termini matematici: un manuale per gli insegnanti/O. V. Manturov [ecc.]; modificato da V. A. Ditkina.- M.: Education, 1965.- 539 p.: ill.-C.112/.
Non sarebbe meglio dichiarare apertamente che il metodo della dimostrazione per assurdo non è un metodo matematico, sebbene sia usato in matematica, che è un metodo logico e appartiene alla logica. È accettabile dire che la prova per contraddizione viene “utilizzata ogni volta che un teorema diretto è difficile da dimostrare”, quando in realtà viene utilizzata quando, e solo quando, non esiste alcun sostituto.
Merita particolare attenzione e una caratteristica della relazione tra i teoremi diretto e inverso. “Il teorema inverso per un dato teorema (o per un dato teorema) è un teorema in cui la condizione è la conclusione, e la conclusione è la condizione del teorema dato. Questo teorema in relazione al teorema contrario è chiamato teorema diretto (originale). Allo stesso tempo, il teorema inverso al teorema inverso sarà il teorema dato; pertanto, i teoremi diretto e inverso sono detti reciprocamente inversi. Se il teorema diretto (dato) è vero, allora il teorema contrario non è sempre vero. Ad esempio, se un quadrilatero è un rombo, allora le sue diagonali sono mutuamente perpendicolari (teorema diretto). Se in un quadrilatero le diagonali sono tra loro perpendicolari, allora il quadrilatero è un rombo: questo non è vero, cioè il teorema contrario è falso./Dizionario esplicativo dei termini matematici: un manuale per gli insegnanti/O. V. Manturov [ecc.]; modificato da V. A. Ditkina.- M.: Educazione, 1965.- 539 p.: ill.-C.261 /.
Questa caratteristica La relazione tra teorema diretto e teorema inverso non tiene conto del fatto che la condizione del teorema diretto è accettata come data, senza dimostrazione, quindi la sua correttezza non è garantita. La condizione del teorema inverso non è accettata come data, poiché è la conclusione del teorema diretto dimostrato. La sua correttezza è confermata dalla dimostrazione del teorema diretto. Questa differenza logica essenziale nelle condizioni dei teoremi diretti e inversi risulta essere decisiva nella questione di quali teoremi possano e non possano essere dimostrati con il metodo logico per contraddizione.
Supponiamo che si abbia in mente un teorema diretto, che può essere dimostrato utilizzando il consueto metodo matematico, ma è difficile. Formuliamolo in visione generale in forma breve come questa: da UN Dovrebbe E . Simbolo UN ha il significato della condizione data del teorema, accettata senza dimostrazione. Simbolo E ciò che conta è la conclusione del teorema che deve essere dimostrata.
Dimostreremo il teorema diretto per assurdo, logico metodo. Il metodo logico viene utilizzato per dimostrare un teorema che ha non matematico condizione e logico condizione. Può essere ottenuto se la condizione matematica del teorema da UN Dovrebbe E , integrare con la condizione esattamente opposta da UN non dovrebbe E .
Il risultato fu una condizione logica contraddittoria del nuovo teorema, contenente due parti: da UN Dovrebbe E E da UN non dovrebbe E . La condizione risultante del nuovo teorema corrisponde alla legge logica del terzo escluso e corrisponde alla dimostrazione del teorema per contraddizione.
Secondo la legge, una parte della condizione contraddittoria è falsa, un'altra parte è vera e la terza è esclusa. La dimostrazione per assurdo ha il compito e lo scopo di stabilire esattamente quale delle due parti della condizione del teorema è falsa. Una volta determinata la parte falsa della condizione, si determina che l'altra parte è la parte vera e la terza viene esclusa.
Secondo dizionario esplicativo termini matematici, “la prova è un ragionamento durante il quale si stabilisce la verità o la falsità di qualsiasi affermazione (giudizio, affermazione, teorema)”. Prova per contraddizione c'è un ragionamento durante il quale viene stabilito falsità(assurdità) della conclusione derivante da falso condizioni del teorema da dimostrare.
Dato: da UN Dovrebbe E e da UN non dovrebbe E .
Dimostrare: da UN Dovrebbe E .
Prova: La condizione logica del teorema contiene una contraddizione che richiede la sua risoluzione. La contraddizione della condizione deve trovare la sua soluzione nella dimostrazione e nel suo risultato. Il risultato risulta essere falso con un ragionamento impeccabile e privo di errori. La ragione di una falsa conclusione in un ragionamento logicamente corretto può essere solo una condizione contraddittoria: da UN Dovrebbe E E da UN non dovrebbe E .
Non c'è ombra di dubbio che una parte della condizione sia falsa e l'altra in questo caso sia vera. Entrambe le parti della condizione hanno la stessa origine, sono accettate come dati, assunte, ugualmente possibili, ugualmente ammissibili, ecc. Nel corso del ragionamento logico non è stata scoperta una singola caratteristica logica che distinguerebbe una parte della condizione dall'altra . Pertanto, nella stessa misura potrebbe esserlo da UN Dovrebbe E e forse da UN non dovrebbe E . Dichiarazione da UN Dovrebbe E Forse falso, poi la dichiarazione da UN non dovrebbe E sarà vero. Dichiarazione da UN non dovrebbe E potrebbe essere falso, quindi l'affermazione da UN Dovrebbe E sarà vero.
Di conseguenza, è impossibile dimostrare un teorema diretto per contraddizione.
Ora dimostreremo questo stesso teorema diretto usando il consueto metodo matematico.
Dato: UN .
Dimostrare: da UN Dovrebbe E .
Prova.
1. Da UN Dovrebbe B
2. Da B Dovrebbe IN (secondo il teorema precedentemente dimostrato)).
3. Da IN Dovrebbe G (secondo il teorema precedentemente dimostrato).
4. Da G Dovrebbe D (secondo il teorema precedentemente dimostrato).
5. Da D Dovrebbe E (secondo il teorema precedentemente dimostrato).
In base alla legge di transitività, da UN Dovrebbe E . Il teorema diretto si dimostra col metodo usuale.
Sia il teorema diretto dimostrato ad avere un teorema inverso corretto: da E Dovrebbe UN .
Dimostriamolo con il solito matematico metodo. La dimostrazione del teorema inverso può essere espressa in forma simbolica come un algoritmo di operazioni matematiche.
Dato: E
Dimostrare: da E Dovrebbe UN .
Prova.
!. Da E Dovrebbe D
1. Da D Dovrebbe G (secondo il teorema inverso precedentemente dimostrato).
2. Da G Dovrebbe IN (secondo il teorema inverso precedentemente dimostrato).
3. Da IN non dovrebbe B (il teorema contrario non è vero). Perciò da B non dovrebbe UN .
In questa situazione non ha senso continuare la dimostrazione matematica del teorema inverso. La ragione della situazione è logica. Un teorema inverso errato non può essere sostituito da nulla. Pertanto, è impossibile dimostrare questo teorema inverso utilizzando il consueto metodo matematico. Tutta la speranza è dimostrare questo teorema inverso per contraddizione.
Per dimostrarlo per contraddizione, è necessario sostituire la sua condizione matematica con una condizione logica contraddittoria, che nel suo significato contiene due parti: falsa e vera.
Teorema inverso afferma: da E non dovrebbe UN . La sua condizione E , da cui segue la conclusione UN , è il risultato della dimostrazione del teorema diretto utilizzando il consueto metodo matematico. Tale condizione deve essere preservata e integrata con la dichiarazione da E Dovrebbe UN . Come risultato dell'addizione, otteniamo la condizione contraddittoria del nuovo teorema inverso: da E Dovrebbe UN E da E non dovrebbe UN . Sulla base di questo logicamente condizione contraddittoria, il teorema inverso può essere dimostrato mediante la condizione corretta logico solo ragionamento, e soltanto, logico metodo per contraddizione. In una dimostrazione per assurdo, eventuali azioni e operazioni matematiche sono subordinate a quelle logiche e quindi non contano.
Nella prima parte della dichiarazione contraddittoria da E Dovrebbe UN condizione E è stato dimostrato dalla dimostrazione del teorema diretto. Nella seconda parte da E non dovrebbe UN condizione E fu assunto e accettato senza prove. Uno di questi è falso e l'altro è vero. Devi dimostrare quale è falso.
Lo dimostriamo in modo corretto logico ragionamento e scoprire che il suo risultato è una conclusione falsa e assurda. La ragione di una falsa conclusione logica è la condizione logica contraddittoria del teorema, che contiene due parti: falsa e vera. La parte falsa può essere solo un'affermazione da E non dovrebbe UN , in cui E è stato accettato senza prove. Questo è ciò che lo rende diverso da E dichiarazioni da E Dovrebbe UN , il che è dimostrato dalla dimostrazione del teorema diretto.
Pertanto l’affermazione è vera: da E Dovrebbe UN , che era ciò che doveva essere dimostrato.
Conclusione: con il metodo logico si dimostra per contraddizione solo il teorema inverso, che ha un teorema diretto dimostrato con il metodo matematico e che non può essere dimostrato con il metodo matematico.
La conclusione ottenuta acquista eccezionale importanza in relazione al metodo di dimostrazione per contraddizione del grande teorema di Fermat. La stragrande maggioranza dei tentativi di dimostrarlo non si basa sul consueto metodo matematico, ma sul metodo logico della prova per contraddizione. La dimostrazione di Wiles dell'Ultimo Teorema di Fermat non fa eccezione.
In altre parole, Gerhard Frey suggerì che l'equazione dell'Ultimo Teorema di Fermat x n + y n = z n
, Dove n > 2
, ha soluzioni in numeri interi positivi. Queste stesse soluzioni sono, secondo l’ipotesi di Frey, soluzioni alla sua equazione
y 2 + x (x - a n) (y + b n) = 0
, che è data dalla sua curva ellittica.
Andrew Wiles accettò questa straordinaria scoperta di Frey e, con il suo aiuto, matematico metodo ha dimostrato che questo ritrovamento, cioè la curva ellittica di Frey, non esiste. Pertanto, non esiste un'equazione e le sue soluzioni date da una curva ellittica inesistente. Pertanto, Wiles avrebbe dovuto accettare la conclusione che non esiste alcuna equazione dell'ultimo teorema di Fermat e del teorema di Fermat stesso. Tuttavia, accetta una conclusione più modesta secondo cui l'equazione dell'ultimo teorema di Fermat non ha soluzioni in numeri interi positivi.
Un fatto inconfutabile potrebbe essere che Wiles adottò un presupposto che è esattamente l’opposto nel significato di quanto affermato dal grande teorema di Fermat. Obbliga Wiles a dimostrare l'ultimo teorema di Fermat per contraddizione. Seguiamo il suo esempio e vediamo cosa ne viene fuori.
L'Ultimo Teorema di Fermat afferma che l'equazione x n + y n = z n , Dove n > 2
Secondo il metodo logico della dimostrazione per assurdo, questa affermazione viene mantenuta, accettata come data senza dimostrazione e quindi integrata con un'affermazione opposta: equazione x n + y n = z n , Dove n > 2 , ha soluzioni in numeri interi positivi.
Anche la dichiarazione presuntiva viene accettata come data, senza prova. Entrambe le affermazioni, considerate dal punto di vista delle leggi fondamentali della logica, sono ugualmente valide, ugualmente valide e ugualmente possibili. Attraverso un ragionamento corretto è necessario determinare quale delle due affermazioni è falsa per poter poi stabilire che l'altra affermazione è vera.
Il ragionamento corretto termina con una conclusione falsa e assurda, la cui ragione logica può essere solo la condizione contraddittoria del teorema da dimostrare, che contiene due parti di significato direttamente opposto. Erano la ragione logica della conclusione assurda, il risultato della prova per contraddizione.
Tuttavia, nel corso di un ragionamento logicamente corretto, non è stato scoperto un solo segno con cui si possa stabilire quale particolare affermazione sia falsa. Potrebbe essere un'affermazione: equazione x n + y n = z n , Dove n > 2 , ha soluzioni in numeri interi positivi. Sulla stessa base potrebbe essere la seguente affermazione: equazione x n + y n = z n , Dove n > 2 , non ha soluzioni in numeri interi positivi.
Come risultato del ragionamento, la conclusione può essere una sola: L'Ultimo Teorema di Fermat non può essere dimostrato per contraddizione.
Sarebbe una questione completamente diversa se l'ultimo teorema di Fermat fosse un teorema inverso, che ha un teorema diretto dimostrato con il consueto metodo matematico. In questo caso, ciò potrebbe essere dimostrato per contraddizione. E poiché si tratta di un teorema diretto, la sua dimostrazione dovrebbe basarsi non sul metodo logico della dimostrazione per contraddizione, ma sul metodo matematico ordinario.
Secondo D. Abrarov, il più famoso dei matematici russi moderni, l’accademico V. I. Arnold, reagì “attivamente con scetticismo” alla dimostrazione di Wiles. L’accademico ha affermato: “questa non è vera matematica – la vera matematica è geometrica e ha forti legami con la fisica”. (Citazione da: Abrarov D. “Il teorema di Fermat: il fenomeno delle dimostrazioni di Wiles”). L'affermazione dell'accademico esprime l'essenza stessa della dimostrazione non matematica dell'Ultimo Teorema di Fermat fornita da Wiles.
Per assurdo è impossibile dimostrare né che l'equazione dell'Ultimo Teorema di Fermat non abbia soluzioni né che abbia soluzioni. L'errore di Wiles non è matematico, ma logico: l'uso della dimostrazione per assurdo laddove il suo utilizzo non ha senso e il grande teorema di Fermat non lo dimostra.
L'Ultimo Teorema di Fermat non può essere dimostrato usando i soliti metodi metodo matematico, se in esso dato: equazione x n + y n = z n , Dove n > 2 , non ha soluzioni in numeri interi positivi e se in esso deve essere dimostrato: equazione x n + y n = z n , Dove n > 2 , non ha soluzioni in numeri interi positivi. In questa forma non c'è un teorema, ma una tautologia priva di significato.
Il metodo opposto
Apagogia- una tecnica logica che dimostra l'incoerenza di un'opinione in modo tale che o in essa stessa, o nelle conseguenze che necessariamente ne derivano, scopriamo una contraddizione.
La prova apogogica è quindi una prova indiretta: qui il dimostratore prima si rivolge alla posizione opposta per mostrarne l'inconsistenza, e poi, secondo la legge di esclusione del terzo, trae una conclusione sulla validità di ciò che doveva essere dimostrato. Questo tipo di prova è anche chiamata riduzione all’assurdo. Il suo elemento essenziale è l'argomentazione secondo cui il terzo non esiste, vale a dire che oltre all'opinione, la cui validità deve essere dimostrata, e al secondo, opposto ad essa, che serve come punto di partenza della prova, non esiste un terzo fatto. è consentito. Pertanto, la prova indiretta deriva da un fatto che smentisce la posizione, la cui fondatezza deve essere dimostrata.
Esempi
Vedi anche
Fondazione Wikimedia.
2010.
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- (dal latino assurdo, assurdo, stupido) assurdità, contraddizione. Nella logica, A. è solitamente intesa come un'espressione contraddittoria. In tale espressione qualcosa viene affermato e negato allo stesso tempo, come, ad esempio, nell'affermazione “Esiste la vanità e la vanità... ...
L'essenza del metodo di prova per contraddizione consiste di due fasi. Il primo è dimostrare l'ESISTENZA delle prove stesse e il secondo è dimostrare l'UNICITÀ delle prove. L'ho descritto goffamente, ma volevo dire quanto segue. Quando si dimostrano teoremi utilizzando questo metodo, è necessario dimostrare che esiste una soluzione per un determinato problema o teorema, quindi dimostrare che questa soluzione sarà unica. Questo non è l'unico metodo utilizzato per dimostrare i teoremi, ma come strumento matematico e logico non è privo di interesse.
Il metodo di dimostrazione per contraddizione è utilizzato non solo in matematica, sebbene lì abbia ricevuto parecchio esteso come strumento per dimostrare singoli problemi e teoremi.
In realtà, questo è un metodo logico per dimostrare qualsiasi affermazione che può essere applicata in qualsiasi campo della conoscenza. Anche nelle discipline umanistiche e scienze sociali. È solo che nelle scienze tecniche ci occupiamo di numeri e molte persone sono convinte dalla presenza di queste icone, ma nel mondo della logica operiamo con conclusioni che non possono mai essere considerate la verità assoluta.
Abbiamo studiato questo metodo di prova a scuola nelle classi medie, quando prendono come base un'affermazione che non può essere dimostrata in alcun modo, invece prendono l'affermazione esattamente opposta e dimostrano che è falsa, quindi ciò che non possiamo dimostrare è vero, e questa è l'unica soluzione corretta a questo problema.
Nella vita parliamo di qualcosa, non possiamo dimostrarlo, ma diamo l'esempio opposto e dimostriamo che non è corretto: i soldi sono stati rubati da un nascondiglio, Vasya e Petya lo sapevano, ma Petya ha un alibi - è andato alla dacia per l'intera settimana, il che significa che Vasya ha rubato i soldi.
Il metodo della prova per contraddizione è un metodo in cui una verità indimostrabile diventa verità solo perché qualcos'altro è sempre sbagliato - e questo è proprio ciò che è dimostrabile. Di conseguenza, come risultato di questo metodo, anche se indirettamente, abbiamo dimostrato una verità non dimostrabile
Questa legge si basa sulla legge della doppia negazione: se A non è vero, allora A è vero.
Ad esempio, cosa ne pensi, hai un'ulcera? Il tuo medico, per confutare questo giudizio, ti dimostra confutando quello di cui sei sicuro, cioè la tua affermazione, e dice che non hai un'ulcera, poiché la gastroscopia ha dimostrato che non c'è nessun danno nella cavità dello stomaco, non perdi peso e puoi mangiare tutto quello che vuoi.
Una tecnica standard, ad esempio, in matematica. È necessario dimostrare l'affermazione A. E questo è difficile. Poi prendono l’affermazione esattamente opposta B e dimostrano che è falsa. Ne consegue che A è vera. È lo stesso nella vita. Un semplice esempio: qualcuno dice: il signor X è un ladro. Il suo avversario: Ma come dimostrarlo? Primo: supponiamo che sia una persona onesta. Secondo: sì, questa è una presa in giro delle galline! Primo: quindi abbiamo dimostrato che X è un ladro :)))
lat. reductio ad assurdo) è un tipo di prova in cui la validità di un certo giudizio (tesi della prova) si realizza attraverso la confutazione di un giudizio che lo contraddice - l'antitesi. La confutazione dell'antitesi si ottiene stabilendo la sua incompatibilità con una proposizione vera conosciuta. Spesso la prova per contraddizione si basa sul principio del doppio valore.
Ottima definizione
Definizione incompleta ↓
PROVA DEL CONTRARIO
fondatezza di un giudizio confutando, con il metodo della “riduzione all'assurdo” (reductio adassurdum), qualche altro giudizio, cioè quello che è negazione di quello giustificato (D. dall'articolo 1 del tipo) o quello che è la negazione di giustificato (D. dalla voce 2 della tipologia); La “riduzione all'assurdo” consiste nel dedurre una s.-l. da una proposizione confutata. una conclusione ovviamente falsa (ad esempio, una contraddizione logica formale), che indica la falsità di questo giudizio. La necessità di distinguere due tipi di proposizione D. da proposizione deriva dal fatto che in una di esse (cioè nella proposizione D. da proposizione del 1° tipo) avviene il passaggio logico dalla doppia negazione di un giudizio all'affermazione di questo giudizio (cioè la cosiddetta regola per rimuovere le doppie negazioni, consentendo il passaggio da A ad A, vedi Leggi della doppia negazione), mentre nell'altro tale passaggio non esiste. Il corso del ragionamento in D. dal punto 1 del tipo: è necessario dimostrare la proposizione A; ai fini della prova, assumiamo che il giudizio A sia falso, cioè che la sua negazione è vera: ? (non-A), e, in base a questo presupposto, deduciamo logicamente k.-l. giudizio falso, ad es. contraddizione, – effettuiamo la “riduzione all'assurdo” del giudizio A; questo indica la falsità della nostra ipotesi, cioè dimostra la verità della doppia negazione: A; l’applicazione della regola per rimuovere la doppia negazione ad A completa la dimostrazione della proposizione di A. Il ragionamento in D. dal punto 2 del 2° tipo: è necessario dimostrare la proposizione?; ai fini della prova, assumiamo che il giudizio A sia vero e riduciamo questa ipotesi all'assurdità; su questa base concludiamo che A è falso, cioè cosa è vero?. Distinguere tra due tipi di logica da p. è importante perché nella cosiddetta logica intuizionistica (costruttiva) non avviene la legge di rimozione della doppia negazione, per cui il ragionamento di p., essenzialmente legato all'applicazione di questa legge logica. , non è consentito. Vedi anche Prove circostanziali. Lett.: Tarski?., Introduzione alla logica e alla metodologia delle scienze deduttive, trad. dall'inglese, M., 1948; Asmus V.F., La dottrina della logica su prova e confutazione, [M.], 1954; Kleene S.K., Introduzione alla metamatematica, trad. dall'inglese, M., 1957; Chiesa?., Introduzione alla matematica. logica, trad. dall'inglese, [vol.] 1, M., 1960.
La dimostrazione per assurdo è un metodo potente e frequentemente utilizzato in matematica. Avendo presupposto che qualche fatto (oggetto) sia vero (esiste) e arrivando a una contraddizione, concludiamo che il fatto è falso (l'oggetto non esiste). Diamo un'occhiata ad alcuni esempi.
Il teorema di Euclide sull'infinito numeri primiè il classico e più semplice argomento per assurdo:
Non esiste un numero primo più grande.
: Se non fosse così, esisterebbe il numero primo più grande. Costruiamo un numero. Non è divisibile per nessuno o più di. Siamo arrivati ad una contraddizione; quindi, il numero primo più grande (come oggetto!) non esiste ed esistono infiniti numeri primi.
Si noti che non è necessariamente primo, poiché il suo fattore primo può essere compreso tra e , ma sarà comunque grande.
Teorema dell'irrazionalitàNon ci sono naturali e cose del genere
.
: Non sia così. Riduciamo i fattori comuni di , , e eleviamo al quadrato il tutto: . Ne consegue che è un numero pari, quindi è anche pari e rappresentabile con l'aiuto di qualche numero naturale, come . Sostituendo nella relazione originaria, otteniamo , e, quindi, pari. Ma ciò contraddice il fatto che abbiamo ridotto tutti i fattori comuni, il che significa che tali fattori non esistono.
La persuasività psicologica di entrambe le prove è fuori dubbio. Tuttavia, va ricordato che avendo ricevuto una contraddizione, non sempre lo dimostriamo vogliamo dimostrare. Una contraddizione non indica necessariamente che la premessa originale sia errata. Può essere data da una qualsiasi delle affermazioni usate nella dimostrazione. Ce ne sono soprattutto molti nel teorema dell'irrazionalità. Tuttavia, sono così “ovvi” che riteniamo errata la premessa iniziale.
Si può vedere che lo schema di dimostrazione per i teoremi precedenti è lo stesso. Mostriamo che un oggetto non esiste se l'assunzione della sua esistenza porta a una contraddizione.
Il problema del barbiere. In un certo villaggio tutti gli uomini si radono da soli o si fanno barbiere. Un barbiere (maschio) rade solo chi non si rade da solo. Formuliamo il teorema:
Il barbiere si rade da solo.
Lascia che non sia così, e il barbiere non si raderà da solo. Quindi deve essere rasato da un barbiere. Quindi il barbiere si rade da solo.
Dopo aver negato il teorema e ricevuto una contraddizione, dobbiamo giungere alla conclusione che il teorema è vero. Ma è assolutamente chiaro che non è così, e possiamo costruire non solo la prova opposta, ma anche diretta: “se un barbiere si rade da solo, allora non può radersi dal barbiere...”. In questo caso si verifica nuovamente una contraddizione.
La descrizione di cui sopra di un villaggio con regole rigide è dovuta a Bertrand Russell, come formulazione popolare dei problemi che sorgono nel tentativo di definire"l'insieme di tutti quegli insiemi che non contengono se stessi come loro elemento." Abbiamo deliberatamente presentato un ovvio paradosso sotto forma di teorema per dimostrare un semplice fatto:
Ottenere una contraddizione in una dimostrazione per assurdo può indicare non la verità del teorema, ma l'incoerenza degli oggetti che partecipano alla sua formulazione.In altre parole, non si può dire: “prendiamo l’insieme di tutti gli insiemi…” e dimostrare “il teorema che…”. Innanzitutto bisogna accertarsi che l’oggetto di cui si parlerà nel teorema esista. In particolare, il villaggio descritto da Russell non può esistere. Naturalmente, sorge la domanda: "cosa significa esistere o non esistere, e dove non esistere?" C'è un oggetto definito sopra e possiamo usarlo quando costruiamo nuovi oggetti e teoremi su di essi...
Il punto è che il ragionamento matematico procede esplicitamente o implicitamente da determinati assiomi. Sono gli assiomi che definiscono le proprietà di un oggetto. Se modifichi almeno un assioma in un sistema fisso di assiomi, potresti ritrovarti con un oggetto con proprietà completamente diverse. È chiaro che è impossibile fissare assiomi arbitrariamente. Non dovrebbero esserlo contraddittorio, altrimenti nessun oggetto verrà definito. O, in altre parole, non esiste un oggetto definito da assiomi contraddittori.
Discuteremo più in dettaglio gli elementi dei sistemi assiomatici formali nella sezione successiva, dove analizzeremo nuovamente il problema del barbiere. Ora diamo un'occhiata a un'altra versione dello stesso paradosso.
Il problema del bibliotecario. C'è una biblioteca con libri. Qualsiasi libro all'interno del suo testo può menzionare se stesso (ad esempio, fornire il titolo nell'elenco dei riferimenti). Di conseguenza, tutti i libri possono essere divisi in due gruppi. La prima comprende i libri che non si riferiscono a se stessi, la seconda i libri che si riferiscono a se stessi. Inoltre, ci sono due libri che sono cataloghi di tutti i libri della Biblioteca. Il primo catalogo elenca tutti quei libri che non si riferiscono a se stessi, e il secondo, al contrario, elenca tutti i libri che si riferiscono a se stessi:
Formuliamo ora il teorema:
La prima directory contienenell'elenco dei libri stesso.
Lascia che non sia così. Quindi la prima directory è contenuta nella seconda (tutti i libri sono elencati in entrambe le directory e la directory è un libro). Ma la seconda directory elenca solo libri autoreferenziali e la prima directory non può essere presente. Siamo arrivati ad una contraddizione, quindi il teorema è vero.
Se ci fermiamo a questo punto, otterremo una conclusione deliberatamente errata. È chiaro che la prima directory non può riferirsi a se stessa (è una directory di libri non autoreferenziali). Come nel caso del barbiere, possiamo condurre sia una dimostrazione inversa (per assurdo) che diretta. Ed entrambe le volte ottieni una contraddizione.
Cosa dice? È chiaro che non si tratta della verità o della falsità del teorema. Ritenendo che due dimostrazioni diverse debbano portare sempre alla stessa cosa, siamo costretti a concludere: Oggetto della libreria, con proprietà specificate, non può esistere.
Qualsiasi riferimento alla “naturalezza” o all’“apparente non contraddizione” delle definizioni originali non è degno di un matematico, poiché queste sono già emozioni. L’unico modo è cercare di spostarsi dalle formulazioni e prove psicologiche a quelle formali.
Il paradosso del bugiardo. Tutta la matematica consiste di affermazioni logiche. Inoltre, la logica della matematica è binaria. L'affermazione "" è vera o falsa. Non esiste una terza opzione. È questa binarietà che dà alla prova matematica quella meravigliosa persuasività per la quale tutto è stato avviato. Introduciamo la designazione che una certa affermazione logica è vera:
.In effetti, la designazione non è necessaria, poiché scrivendo qualche affermazione come assioma o premessa, ne assumiamo la verità. Questa notazione sarà comunque utile per quanto segue. Definiamo detto:
dove "" è un segno di negazione logica, seguito dai due punti definizione approvazioni È una variante del paradosso del bugiardo: "-vero se non vero". Formuliamo il seguente teorema:L'affermazione L è vera: L=I.sia L=L => Vero(L)=L => L=Vero(L)=I.
(D'ora in avanti “” significa conclusione logica; “I” è vero, “L” è falso). Dimostrando per assurdo siamo arrivati ad una contraddizione. Pertanto la premessa iniziale non è vera e quindi il teorema è vero. Tuttavia è chiaro che non è così. Possiamo effettuare la dimostrazione in avanti.