Մեզ համար կարևոր է ձեր գաղտնիության պահպանումը: Այդ իսկ պատճառով մենք մշակել ենք Գաղտնիության քաղաքականություն, որը նկարագրում է, թե ինչպես ենք մենք օգտագործում և պահպանում ձեր տվյալները: Խնդրում ենք վերանայել մեր գաղտնիության գործելակերպը և եթե հարցեր ունեք, տեղեկացրեք մեզ:
Անձնական տեղեկատվության հավաքագրում և օգտագործում
Անձնական տեղեկատվությունը վերաբերում է այն տվյալներին, որոնք կարող են օգտագործվել կոնկրետ անձի նույնականացման կամ կապ հաստատելու համար:
Ձեզանից կարող է պահանջվել տրամադրել ձեր անձնական տվյալները ցանկացած ժամանակ, երբ դուք կապվեք մեզ հետ:
Ստորև բերված են անձնական տեղեկատվության տեսակների մի քանի օրինակներ, որոնք մենք կարող ենք հավաքել և ինչպես կարող ենք օգտագործել այդպիսի տեղեկատվությունը:
Ինչ անձնական տվյալներ ենք մենք հավաքում.
- Երբ դուք հարցում եք ներկայացնում կայքում, մենք կարող ենք հավաքել տարբեր տեղեկություններ, ներառյալ ձեր անունը, հեռախոսահամարը, հասցեն Էլև այլն:
Ինչպես ենք մենք օգտագործում ձեր անձնական տվյալները.
- Հավաքված մեր կողմից անձնական տվյալներթույլ է տալիս մեզ կապվել ձեզ հետ և տեղեկացնել ձեզ եզակի առաջարկների, առաջխաղացումների և այլ իրադարձությունների և առաջիկա իրադարձությունների մասին:
- Ժամանակ առ ժամանակ մենք կարող ենք օգտագործել ձեր անձնական տվյալները կարևոր ծանուցումներ և հաղորդակցություններ ուղարկելու համար:
- Մենք կարող ենք նաև օգտագործել անձնական տվյալները ներքին նպատակների համար, ինչպիսիք են աուդիտի, տվյալների վերլուծության և տարբեր հետազոտությունների անցկացումը՝ մեր կողմից տրամադրվող ծառայությունները բարելավելու և ձեզ մեր ծառայությունների վերաբերյալ առաջարկություններ տրամադրելու համար:
- Եթե դուք մասնակցում եք մրցանակների խաղարկության, մրցույթի կամ նմանատիպ ակցիայի, մենք կարող ենք օգտագործել ձեր տրամադրած տեղեկատվությունը նման ծրագրերը կառավարելու համար:
Տեղեկատվության բացահայտում երրորդ անձանց
Մենք ձեզանից ստացված տեղեկատվությունը երրորդ կողմերին չենք բացահայտում:
Բացառություններ.
- Անհրաժեշտության դեպքում՝ օրենքին, դատական ընթացակարգին, դատական վարույթին համապատասխան և/կամ հիմնված հանրային խնդրանքների կամ խնդրանքների վրա պետական մարմիններՌուսաստանի Դաշնության տարածքում - բացահայտեք ձեր անձնական տվյալները: Մենք կարող ենք նաև բացահայտել ձեր մասին տեղեկությունները, եթե մենք որոշենք, որ նման բացահայտումն անհրաժեշտ է կամ տեղին է անվտանգության, օրենքի կիրառման կամ հանրային նշանակության այլ նպատակների համար:
- Վերակազմակերպման, միաձուլման կամ վաճառքի դեպքում մենք կարող ենք փոխանցել մեր հավաքած անձնական տվյալները համապատասխան իրավահաջորդ երրորդ կողմին:
Անձնական տեղեկատվության պաշտպանություն
Մենք նախազգուշական միջոցներ ենք ձեռնարկում, ներառյալ վարչական, տեխնիկական և ֆիզիկական, պաշտպանելու ձեր անձնական տվյալները կորստից, գողությունից և չարաշահումից, ինչպես նաև չարտոնված մուտքից, բացահայտումից, փոփոխությունից և ոչնչացումից:
Հարգելով ձեր գաղտնիությունը ընկերության մակարդակով
Ապահովելու համար, որ ձեր անձնական տվյալները անվտանգ են, մենք գաղտնիության և անվտանգության չափանիշները հաղորդում ենք մեր աշխատակիցներին և խստորեն կիրառում ենք գաղտնիության պրակտիկան:
Եռանկյունաչափական հավասարումներ- թեման ամենապարզը չէ։ Նրանք չափազանց բազմազան են։) Օրինակ՝ սրանք.
մեղք 2 x + cos3x = ctg5x
sin (5x+π /4) = մահճակալ (2x-π /3)
sinx + cos2x + tg3x = ctg4x
և այլն...
Բայց այս (և բոլոր մյուս) եռանկյունաչափական հրեշներն ունեն երկու ընդհանուր և պարտադիր հատկանիշ։ Նախ, չես հավատա, հավասարումների մեջ կան եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ։) Երկրորդ՝ x-ով բոլոր արտահայտությունները գտնված են։ այս նույն գործառույթների շրջանակներում:Եվ միայն այնտեղ! Եթե X-ը ինչ-որ տեղ հայտնվի դրսում,Օրինակ, sin2x + 3x = 3,սա արդեն հավասարություն կլինի խառը տեսակ. Նման հավասարումները պահանջում են անհատական մոտեցում: Մենք դրանք այստեղ չենք դիտարկելու։
Այս դասին էլ չար հավասարումներ չենք լուծի։) Այստեղ կզբաղվենք ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումները.Ինչո՞ւ։ Այո, քանի որ լուծումը ցանկացածեռանկյունաչափական հավասարումները բաղկացած են երկու փուլից. Առաջին փուլում մի շարք փոխակերպումների միջոցով չար հավասարումը վերածվում է պարզի: Երկրորդի վրա այս ամենապարզ հավասարումը լուծված է։ Ուրիշ ճանապարհ չկա:
Այսպիսով, եթե դուք խնդիրներ ունեք երկրորդ փուլում, ապա առաջին փուլն այնքան էլ իմաստ չունի:)
Ինչպիսի՞ն են տարրական եռանկյունաչափական հավասարումները:
sinx = ա
cosx = ա
tgx = ա
ctgx = ա
Այստեղ Ա նշանակում է ցանկացած թիվ: Ցանկացած.
Ի դեպ, ֆունկցիայի ներսում կարող է լինել ոչ թե մաքուր X, այլ ինչ-որ արտահայտություն, ինչպիսին է.
cos(3x+π /3) = 1/2
և այլն: Սա բարդացնում է կյանքը, բայց չի ազդում եռանկյունաչափական հավասարման լուծման մեթոդի վրա:
Ինչպե՞ս լուծել եռանկյունաչափական հավասարումները:
Եռանկյունաչափական հավասարումները կարելի է լուծել երկու եղանակով. Առաջին ճանապարհը՝ օգտագործելով տրամաբանությունը և եռանկյունաչափական շրջանը: Այս ճանապարհին մենք կանդրադառնանք այստեղ: Երկրորդ ճանապարհը՝ հիշողության և բանաձևերի օգտագործումը, կքննարկվի հաջորդ դասին:
Առաջին ճանապարհը պարզ է, հուսալի և դժվար է մոռանալ:) Այն լավ է եռանկյունաչափական հավասարումներ, անհավասարություններ և բոլոր տեսակի բարդ ոչ ստանդարտ օրինակներ լուծելու համար: Տրամաբանությունը հիշողությունից ուժեղ է:)
Եռանկյունաչափական շրջանագծի միջոցով հավասարումների լուծում.
Մենք ներառում ենք տարրական տրամաբանություն և եռանկյունաչափական շրջանակն օգտագործելու ունակություն: Չգիտե՞ս ինչպես։ Այնուամենայնիվ... Եռանկյունաչափության մեջ կդժվարանաք...) Բայց դա նշանակություն չունի։ Նայեք դասերին «Եռանկյունաչափական շրջան...... Ի՞նչ է դա»: և «Անկյունների չափումը եռանկյունաչափական շրջանագծի վրա»։ Այնտեղ ամեն ինչ պարզ է. Ի տարբերություն դասագրքերի...)
Օ, գիտե՞ք! Եվ նույնիսկ յուրացրել եք «Գործնական աշխատանք եռանկյունաչափական շրջանով». Շնորհավորում եմ։ Այս թեման ձեզ մոտ և հասկանալի կլինի։) Հատկապես հաճելին այն է, որ եռանկյունաչափական շրջանին չի հետաքրքրում, թե ինչ հավասարում եք լուծում։ Սինուս, կոսինուս, տանգենս, կոտանգենս - նրա մոտ ամեն ինչ նույնն է: Կա լուծման միայն մեկ սկզբունք.
Այսպիսով, մենք վերցնում ենք ցանկացած տարրական եռանկյունաչափական հավասարում: Գոնե սա.
cosx = 0,5
Մենք պետք է գտնենք X. Խոսելով մարդկային լեզվով, դուք պետք է գտե՛ք անկյունը (x), որի կոսինուսը 0,5 է։
Ինչպե՞ս էինք նախկինում օգտագործում շրջանակը: Մենք դրա վրա անկյուն գծեցինք։ աստիճաններով կամ ռադիաններով: Եվ անմիջապես տեսավ այս անկյան եռանկյունաչափական ֆունկցիաները: Հիմա անենք հակառակը։ Շրջանակի վրա գծենք կոսինուս, որը հավասար է 0,5-ի և անմիջապես կտեսնենք անկյուն. Մնում է գրել պատասխանը։) Այո, այո։
Գծի՛ր շրջան և նշի՛ր կոսինուսը, որը հավասար է 0,5-ի: Կոսինուսի առանցքի վրա, իհարկե։ Սրա նման:
Այժմ գծենք այն անկյունը, որը մեզ տալիս է այս կոսինուսը: Մկնիկը դրեք նկարի վրա (կամ հպեք ձեր պլանշետի նկարին) և դուք կտեսնեքհենց այս անկյունը X.
Ո՞ր անկյան կոսինուսն է 0,5:
x = π /3
cos 60°= cos( π /3) = 0,5
Ոմանք թերահավատորեն կծիծաղեն, այո... Ինչպես, արժե՞ արդյոք շրջան կազմել, երբ արդեն ամեն ինչ պարզ է... Կարելի է, իհարկե, քրքջալ...) Բայց փաստն այն է, որ սա սխալ պատասխան է։ Ավելի ճիշտ՝ անբավարար։ Շրջանակի գիտակները հասկանում են, որ այստեղ կան մի ամբողջ փունջ այլ անկյուններ, որոնք նույնպես տալիս են 0,5 կոսինուս:
Եթե դուք շրջեք շարժվող կողմը OA ամբողջական շրջադարձ, A կետը կվերադառնա իր սկզբնական դիրքին։ Նույն կոսինուսով, որը հավասար է 0,5-ի: Նրանք. անկյունը կփոխվի 360°-ով կամ 2π ռադիաններով, և կոսինուս - ոչ: 60° + 360° = 420° նոր անկյունը նույնպես կլինի մեր հավասարման լուծումը, քանի որ.
Անսահման թվով այդպիսի ամբողջական պտույտներ կարելի է անել... Եվ այս բոլոր նոր անկյունները կլինեն մեր եռանկյունաչափական հավասարման լուծումներ։ Եվ դրանք բոլորը պետք է ինչ-որ կերպ ի պատասխան գրվեն: Բոլորը.Հակառակ դեպքում որոշումը չի հաշվում, այո...)
Մաթեմատիկան կարող է դա անել պարզ և նրբագեղ: Գրեք մեկ կարճ պատասխանով անսահման հավաքածուորոշումները։ Ահա թե ինչ տեսք ունի մեր հավասարման համար.
x = π /3 + 2π n, n ∈ Z
Ես կվերծանեմ այն: Դեռ գրիր իմաստալիցԴա ավելի հաճելի է, քան հիմարաբար ինչ-որ առեղծվածային տառեր նկարելը, այնպես չէ՞:)
π /3 -Սա նույն անկյունն է, ինչ մենք տեսավշրջանի վրա և որոշվածըստ կոսինուսի աղյուսակի.
2պ մեկ ամբողջական հեղափոխություն է ռադիաններով:
n - սա ամբողջականների թիվն է, այսինքն. ամբողջռ/րոպ Հասկանալի է, որ n կարող է հավասար լինել 0, ±1, ±2, ±3.... և այլն։ Ինչպես նշված է կարճ մուտքում.
n ∈ Զ
n պատկանում է ( ∈ ) ամբողջ թվերի բազմություն ( Զ ) Ի դեպ, նամակի փոխարեն n տառերը կարող են լավ օգտագործվել k, m, t և այլն:
Այս նշումը նշանակում է, որ դուք կարող եք վերցնել ցանկացած ամբողջ թիվ n . Առնվազն -3, առնվազն 0, առնվազն +55: Ամենը, ինչ կցանկանաք։ Եթե այս թիվը փոխարինեք պատասխանի մեջ, ապա կստանաք կոնկրետ անկյուն, որը հաստատ կլինի մեր կոշտ հավասարման լուծումը։)
Կամ, այլ կերպ ասած, x = π /3 անսահման բազմության միակ արմատն է։ Մնացած բոլոր արմատները ստանալու համար բավական է π /3-ին ավելացնել ցանկացած թվով լրիվ պտույտներ ( n ) ռադիաններով։ Նրանք. 2πn ռադիան.
Բոլորը. Ոչ Ես միտումնավոր երկարացնում եմ հաճույքը։ Ավելի լավ հիշելու համար:) Մենք ստացանք մեր հավասարման պատասխանների միայն մի մասը: Լուծման այս առաջին մասը կգրեմ այսպես.
x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z
x 1 - ոչ միայն մեկ արմատ, այլ արմատների մի ամբողջ շարք՝ գրված կարճ ձևով։
Բայց կան նաև անկյուններ, որոնք տալիս են նաև 0,5 կոսինուս:
Վերադառնանք մեր նկարին, որտեղից գրել ենք պատասխանը։ Ահա նա.
Մկնիկը դրեք պատկերի վրա և մենք տեսնում ենքմեկ այլ անկյուն, որը տալիս է նաև կոսինուս 0,5։Ի՞նչ եք կարծում, ինչի՞ն է այն հավասար։ Եռանկյունները նույնն են... Այո՛։ Այն հավասար է անկյունին X , միայն հետաձգվել է բացասական ուղղությամբ։ Սա անկյունն է -X. Բայց մենք արդեն հաշվարկել ենք x-ը։ π /3 կամ 60°. Հետևաբար, մենք կարող ենք ապահով գրել.
x 2 = - π /3
Դե, իհարկե, մենք ավելացնում ենք բոլոր անկյունները, որոնք ստացվում են ամբողջական պտույտների միջոցով.
x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z
Հիմա այսքանն է։) Եռանկյունաչափական շրջանագծի վրա մենք տեսավ(ով իհարկե հասկանում է)) Բոլորըանկյուններ, որոնք տալիս են 0,5 կոսինուս: Եվ մենք գրեցինք այս անկյունները կարճ մաթեմատիկական ձևով: Պատասխանը հանգեցրեց երկու անսահման շարք արմատների.
x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z
Սա ճիշտ պատասխանն է։
Հույս, եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման ընդհանուր սկզբունքշրջանակի օգտագործումը պարզ է: Տրված հավասարումից շրջանագծի վրա նշում ենք կոսինուսը (սինուս, տանգենս, կոտանգենս), գծում ենք դրան համապատասխանող անկյունները և գրում պատասխանը։Իհարկե, մենք պետք է հասկանանք, թե ինչ անկյուններում ենք տեսավշրջանագծի վրա։ Երբեմն դա այնքան էլ ակնհայտ չէ: Դե ես ասացի, որ այստեղ տրամաբանություն է պահանջվում։)
Օրինակ, եկեք նայենք մեկ այլ եռանկյունաչափական հավասարման.
Խնդրում եմ հաշվի առնել, որ 0,5 թիվը միակ հնարավոր թիվը չէ հավասարումների մեջ:) Ինձ համար ուղղակի ավելի հարմար է գրել այն, քան արմատներն ու կոտորակները:
Մենք աշխատում ենք ընդհանուր սկզբունքով. Մենք շրջանագիծ ենք նկարում, նշում ենք (իհարկե սինուսի առանցքի վրա) 0,5: Այս սինուսին համապատասխանող բոլոր անկյունները գծում ենք միանգամից։ Մենք ստանում ենք այս նկարը.
Եկեք նախ զբաղվենք անկյունով X առաջին եռամսյակում։ Մենք հիշում ենք սինուսների աղյուսակը և որոշում այս անկյան արժեքը: Պարզ հարց է.
x = π /6
Մենք հիշում ենք ամբողջական շրջադարձերի մասին և հանգիստ խղճով գրում պատասխանների առաջին շարքը.
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
Գործի կեսն արված է։ Բայց հիմա մենք պետք է որոշենք երկրորդ անկյուն...Դա ավելի բարդ է, քան կոսինուսներ օգտագործելը, այո... Բայց տրամաբանությունը մեզ կփրկի: Ինչպես որոշել երկրորդ անկյունը x-ի միջոցով Այո Հեշտ! Նկարում պատկերված եռանկյունները նույնն են, իսկ կարմիր անկյունը X հավասար անկյան X . Միայն այն հաշվվում է π անկյան տակ բացասական ուղղությամբ։ Ահա թե ինչու է այն կարմիր։) Իսկ պատասխանի համար մեզ անհրաժեշտ է անկյուն՝ ճիշտ չափված, դրական կիսաառանցքից OX, այսինքն. 0 աստիճանի անկյան տակ:
Մենք կուրսորը սավառնում ենք գծագրի վրա և տեսնում ամեն ինչ: Առաջին անկյունը հանեցի, որպեսզի նկարը չբարդացնեմ։ Մեզ հետաքրքրող անկյունը (կանաչով գծված) հավասար կլինի.
π - x
X մենք սա գիտենք π /6 . Այսպիսով, երկրորդ անկյունը կլինի.
π - π /6 = 5π /6
Կրկին հիշում ենք ամբողջական հեղափոխություններ ավելացնելու մասին և գրում ենք պատասխանների երկրորդ շարքը.
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
Այսքանը: Ամբողջական պատասխանը բաղկացած է արմատների երկու շարքից.
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
Տանգենս և կոտանգենս հավասարումները կարելի է հեշտությամբ լուծել՝ օգտագործելով եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման նույն ընդհանուր սկզբունքը: Եթե, իհարկե, գիտեք, թե ինչպես նկարել շոշափողն ու կոտանգենսը եռանկյունաչափական շրջանագծի վրա:
Վերոնշյալ օրինակներում ես օգտագործել եմ սինուսի և կոսինուսի աղյուսակի արժեքը՝ 0,5: Նրանք. այն իմաստներից մեկը, որը սովորողը գիտի պետք է.Հիմա եկեք ընդլայնենք մեր հնարավորությունները մինչև մնացած բոլոր արժեքները:Որոշիր, ուրեմն որոշիր։)
Այսպիսով, ենթադրենք, որ մենք պետք է լուծենք այս եռանկյունաչափական հավասարումը.
Նման կոսինուսի արժեքը համառոտ աղյուսակներՈչ Մենք սառնասրտորեն անտեսում ենք այս սարսափելի փաստը։ Շրջանակ գծի՛ր, կոսինուսի առանցքի վրա նշի՛ր 2/3-ը և գծի՛ր համապատասխան անկյունները։ Մենք ստանում ենք այս նկարը.
Եկեք նախ նայենք առաջին եռամսյակի անկյունին: Եթե միայն իմանայինք, թե ինչին է հավասար x-ը, անմիջապես կգրեինք պատասխանը։ Չգիտենք... Անհաջողությո՞ւն։ Հանգիստ. Մաթեմատիկան դժվարության մեջ չի թողնում սեփական ժողովրդին։ Այս դեպքի համար նա հորինեց աղեղային կոսինուսներ: Չգիտեմ? Իզուր։ Պարզեք, դա շատ ավելի հեշտ է, քան կարծում եք: «Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների» մասին ոչ մի խրթին ուղղագրություն չկա այս հղումով... Այս թեմայում սա ավելորդ է։
Եթե դուք տեղյակ եք, պարզապես ասեք ինքներդ ձեզ. «X-ը անկյուն է, որի կոսինուսը հավասար է 2/3-ի»: Եվ անմիջապես, զուտ աղեղային կոսինուսի սահմանմամբ, կարող ենք գրել.
Մենք հիշում ենք լրացուցիչ հեղափոխությունների մասին և հանգիստ գրում մեր եռանկյունաչափական հավասարման արմատների առաջին շարքը.
x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z
Երկրորդ անկյան համար նախատեսված արմատների երկրորդ շարքը գրեթե ինքնաբերաբար գրվում է: Ամեն ինչ նույնն է, միայն X (arccos 2/3) կլինի մինուսով.
x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z
Եվ վերջ։ Սա ճիշտ պատասխանն է։ Նույնիսկ ավելի հեշտ է, քան սեղանի արժեքները: Ոչինչ հիշելու կարիք չկա։) Ի դեպ, ամենաուշադիրները կնկատեն, որ այս նկարում լուծումը պատկերված է աղեղային կոսինուսի միջով։ ըստ էության, ոչնչով չի տարբերվում cosx = 0.5 հավասարման նկարից:
Ճիշտ! Ընդհանուր սկզբունքԱհա թե ինչու է դա սովորական! Ես միտումնավոր նկարեցի երկու գրեթե նույնական նկար: Շրջանակը մեզ ցույց է տալիս անկյունը X իր կոսինուսով։ Դա աղյուսակային կոսինուս է, թե ոչ, բոլորին անհայտ է։ Ինչպիսի՞ անկյուն է սա, π /3, կամ ինչ աղեղային կոսինուս, դա մեր որոշելիքն է:
Նույն երգը սինուսով. Օրինակ:
Կրկին շրջանագիծ գծեք, նշեք 1/3-ի հավասար սինուսը, գծեք անկյունները։ Ահա այսպիսի պատկեր ենք ստանում.
Եվ կրկին պատկերը գրեթե նույնն է, ինչ հավասարման դեպքում sinx = 0,5:Առաջին քառորդում կրկին սկսում ենք անկյունայինից։ Ինչի՞ է հավասար X-ը, եթե նրա սինուսը 1/3 է: Ոչ մի խնդիր!
Այժմ արմատների առաջին փաթեթը պատրաստ է.
x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z
Անդրադառնանք երկրորդ անկյունին: 0,5 աղյուսակի արժեք ունեցող օրինակում այն հավասար էր.
π - x
Այստեղ նույնպես ճիշտ նույնը կլինի։ Միայն x-ն է տարբեր, arcsin 1/3: Եւ ինչ!? Դուք կարող եք ապահով կերպով գրել արմատների երկրորդ փաթեթը.
x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z
Սա լիովին ճիշտ պատասխան է։ Չնայած դա այնքան էլ ծանոթ չի թվում: Բայց պարզ է, հուսով եմ:)
Այսպես են լուծվում եռանկյունաչափական հավասարումները շրջանագծի միջոցով։ Այս ճանապարհը պարզ է և հասկանալի։ Նա է, ով խնայում է եռանկյունաչափական հավասարումների մեջ՝ տրված միջակայքում արմատների ընտրությամբ, եռանկյունաչափական անհավասարություններում. դրանք հիմնականում լուծվում են գրեթե միշտ շրջանագծի մեջ։ Մի խոսքով, ցանկացած առաջադրանքում, որոնք մի փոքր ավելի բարդ են, քան ստանդարտները:
Կիրառե՞նք գիտելիքները գործնականում։)
Լուծել եռանկյունաչափական հավասարումներ.
Նախ, ավելի պարզ, անմիջապես այս դասից:
Հիմա ավելի բարդ է:
Հուշում. այստեղ դուք պետք է մտածեք շրջանակի մասին: Անձամբ:)
Իսկ հիմա դրանք արտաքուստ պարզ են... Դրանք կոչվում են նաև հատուկ դեպքեր։
sinx = 0
sinx = 1
cosx = 0
cosx = -1
Հուշում․ այստեղ դուք պետք է շրջանագծով պարզեք, թե որտեղ կա պատասխանների երկու շարք և որտեղ՝ մեկը... Եվ ինչպես գրել մեկ պատասխանի երկու շարքի փոխարեն։ Այո, այնպես, որ անսահման թվից ոչ մի արմատ չկորչի:)
Դե, շատ պարզ):
sinx = 0,3
cosx = π
tgx = 1,2
ctgx = 3,7
Հուշում. այստեղ դուք պետք է իմանաք, թե ինչ են արկսինը և արկկոսինը: Ի՞նչ է արկտանգենսը, արկոտանգենսը: Առավելագույնը պարզ սահմանումներ. Բայց ձեզ հարկավոր չէ հիշել աղյուսակի որևէ արժեք:)
Պատասխանները, իհարկե, խառնաշփոթ են).
x 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0.3 + 2
Ամեն ինչ չի ստացվում? Պատահում է. Կրկին կարդացեք դասը: Միայն մտածված(կա այդպիսին հնացած բառ...) Եվ հետևեք հղումներին: Հիմնական հղումները շրջանակի մասին են։ Առանց դրա, եռանկյունաչափությունը նման է ճանապարհն անցնելու աչքերը կապած: Երբեմն դա աշխատում է:)
Եթե Ձեզ դուր է գալիս այս կայքը...
Ի դեպ, ես ձեզ համար ևս մի քանի հետաքրքիր կայք ունեմ։)
Դուք կարող եք զբաղվել օրինակներ լուծելով և պարզել ձեր մակարդակը: Փորձարկում ակնթարթային ստուգմամբ: Սովորենք՝ հետաքրքրությամբ։)
Կարող եք ծանոթանալ ֆունկցիաներին և ածանցյալներին։
Սինուս (sin x) և կոսինուս (cos x) եռանկյունաչափական ֆունկցիաների վերաբերյալ տեղեկանք: Երկրաչափական սահմանում, հատկություններ, գրաֆիկներ, բանաձևեր: Սինուսների և կոսինուսների աղյուսակ, ածանցյալներ, ինտեգրալներ, շարքերի ընդլայնումներ, սեկանտ, կոսեկանտ: Արտահայտություններ բարդ փոփոխականների միջոցով: Կապը հիպերբոլիկ ֆունկցիաների հետ:
Սինուսի և կոսինուսի երկրաչափական սահմանումը
|ԲԴ|- մի կետում կենտրոն ունեցող շրջանագծի աղեղի երկարությունը Ա.
α
- ռադիաններով արտահայտված անկյուն:
Սահմանում
Սինուս (sin α)եռանկյունաչափական ֆունկցիա է, որը կախված է հիպոթենուսի և ոտքի α անկյունից ուղղանկյուն եռանկյուն, հավասար է հակառակ կողմի երկարության |մ.թ.ա.| հիպոթենուսի երկարությանը |AC|.
Կոսինուս (cos α)եռանկյունաչափական ֆունկցիա է՝ կախված ուղղանկյուն եռանկյան հիպոթենուսի և ոտքի α անկյունից, հավասար է հարակից ոտքի երկարության |AB| հիպոթենուսի երկարությանը |AC|.
Ընդունված նշումներ
;
;
.
;
;
.
Սինուսի ֆունկցիայի գրաֆիկ, y = sin x
Կոսինուսի ֆունկցիայի գրաֆիկ, y = cos x
Սինուսի և կոսինուսի հատկությունները
Պարբերականություն
Գործառույթներ y = մեղք xև y = cos xպարբերական՝ ժամանակաշրջանով 2պ.
Պարիտետ
Սինուսի ֆունկցիան կենտ է: Կոսինուսի ֆունկցիան հավասար է:
Սահմանման և արժեքների տիրույթ, ծայրահեղություն, աճ, նվազում
Սինուսի և կոսինուսի ֆունկցիաները շարունակական են իրենց սահմանման տիրույթում, այսինքն՝ բոլոր x-ի համար (տե՛ս շարունակականության ապացույցը)։ Նրանց հիմնական հատկությունները ներկայացված են աղյուսակում (n - ամբողջ թիվ):
| y = մեղք x | y = cos x | |
| Շրջանակ և շարունակականություն | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
| Արժեքների տիրույթ | -1 ≤ y ≤ 1 | -1 ≤ y ≤ 1 |
| Աճող | ||
| Նվազող | ||
| Մաքսիմա, y = 1 | ||
| Նվազագույնը, y = - 1 | ||
| Զրոներ, y = 0 | ||
| Ընդհատման կետերը օրդինատների առանցքով, x = 0 | y = 0 | y = 1 |
Հիմնական բանաձևեր
Սինուսի և կոսինուսի քառակուսիների գումարը
Գումարից և տարբերությունից սինուսի և կոսինուսի բանաձևեր
;
;
Սինուսների և կոսինուսների արտադրյալի բանաձևեր
Գումարի և տարբերության բանաձևեր
Սինուսի արտահայտում կոսինուսի միջոցով
;
;
;
.
Կոսինուսի արտահայտում սինուսի միջոցով
;
;
;
.
Արտահայտում շոշափողի միջոցով
; .
Երբ, մենք ունենք.
;
.
ժամը՝
;
.
Սինուսների և կոսինուսների, տանգենսների և կոտանգենսների աղյուսակ
Այս աղյուսակը ցույց է տալիս սինուսների և կոսինուսների արժեքները փաստարկի որոշակի արժեքների համար: 
Արտահայտություններ բարդ փոփոխականների միջոցով
;
Էյլերի բանաձեւը
{ -∞ < x < +∞ }
Սեկանտ, կոսեկանտ
Հակադարձ գործառույթներ
Հակադարձ գործառույթներդեպի սինուս և կոսինուս, համապատասխանաբար, արկսին և արկկոսին են:
Arcsine, arcsin
Arccosine, arccos
Հղումներ:
Ի.Ն. Բրոնշտեյն, Ք.Ա. Սեմենդյաև, Մաթեմատիկայի ձեռնարկ ինժեներների և քոլեջի ուսանողների համար, «Լան», 2009 թ.
Ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումները լուծվում են, որպես կանոն, բանաձևերի միջոցով։ Հիշեցնեմ, որ ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումներն են.
sinx = ա
cosx = ա
tgx = ա
ctgx = ա
x-ը գտնվելիք անկյունն է,
a-ն ցանկացած թիվ է:
Եվ ահա այն բանաձևերը, որոնցով կարող եք անմիջապես գրել այս ամենապարզ հավասարումների լուծումները։
Սինուսի համար.
Կոսինուսի համար.
x = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z
Շոշափողի համար.
x = արկտան a + π n, n ∈ Z
Կոտանգենտի համար.
x = arcctg a + π n, n ∈ Z
Իրականում սա այն է, ինչ կա տեսական մասպարզ եռանկյունաչափական հավասարումների լուծում. Ավելին, ամեն ինչ!) Ընդհանրապես ոչինչ: Այնուամենայնիվ, այս թեմայի վերաբերյալ սխալների թիվը պարզապես դուրս է գծապատկերներից: Հատկապես եթե օրինակը մի փոքր շեղվում է կաղապարից։ Ինչո՞ւ։
Այո, քանի որ շատ մարդիկ գրում են այս տառերը, ընդհանրապես չհասկանալով դրանց իմաստը։Նա զգուշությամբ է գրում, որ մի բան չպատահի...) Սա պետք է կարգավորել: Եռանկյունաչափությունը մարդկանց համար, թե՞ մարդիկ եռանկյունաչափության համար, ի վերջո:)
Եկեք պարզենք:
Մեկ անկյունը հավասար կլինի arccos a, երկրորդը: -arccos a.
Եվ դա միշտ կստացվի այսպես.Ցանկացածի համար Ա.
Եթե չեք հավատում ինձ, մկնիկը դրեք նկարի վրա կամ հպեք ձեր պլանշետի նկարին։ Ես փոխեցի համարը։ Ա ինչ-որ բացասական բանի: Ինչևէ, ստացանք մեկ անկյուն arccos a, երկրորդը: -arccos a.
Հետևաբար, պատասխանը միշտ կարելի է գրել որպես արմատների երկու շարք.
x 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z
x 2 = - arccos a + 2π n, n ∈ Z
Համատեղենք այս երկու շարքերը մեկի մեջ.
x= ± arccos a + 2π n, n ∈ Z
Եվ այսքանը: Մենք ստացել ենք ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումը կոսինուսով լուծելու ընդհանուր բանաձև։
Եթե հասկանում եք, որ սա ինչ-որ գերգիտական իմաստություն չէ, այլ ընդամենը երկու շարքի պատասխանների կրճատված տարբերակը,Դուք նաև կկարողանաք կատարել «C» առաջադրանքները: Անհավասարություններով, տրված միջակայքից արմատներ ընտրելով... Այնտեղ գումարած/մինուս պատասխանը չի աշխատում։ Բայց եթե պատասխանին գործնականորեն վերաբերվեք և այն բաժանեք երկու առանձին պատասխանների, ամեն ինչ կլուծվի։) Իրականում, դրա համար էլ մենք ուսումնասիրում ենք այն։ Ինչ, ինչպես և որտեղ:
Ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարման մեջ
sinx = ա
ստանում ենք նաև երկու շարք արմատներ. Միշտ. Եվ այս երկու սերիաները նույնպես կարելի է ձայնագրել մեկ տողով. Միայն այս տողը կլինի ավելի բարդ.
x = (-1) n arcsin a + π n, n ∈ Z
Բայց էությունը մնում է նույնը. Մաթեմատիկոսները պարզապես նախագծեցին մի բանաձև՝ արմատների շարքերի երկու գրառումների փոխարեն մեկական գրառում կատարելու համար: Այսքանը:
Եկեք ստուգենք մաթեմատիկոսներին. Ու երբեք չես իմանա...)
Նախորդ դասում մանրամասն քննարկվեց սինուսով եռանկյունաչափական հավասարման լուծումը (առանց որևէ բանաձևի).
Պատասխանը հանգեցրեց երկու շարք արմատների.
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
Եթե նույն հավասարումը լուծենք բանաձևով, ապա կստանանք պատասխանը.
x = (-1) n arcsin 0,5 + π n, n ∈ Z
Իրականում սա անավարտ պատասխան է։) Ուսանողը պետք է դա իմանա arcsin 0.5 = π /6.Ամբողջական պատասխանը կլինի.
x = (-1) n π /6+ π n, n ∈ Z
Այստեղ առաջանում է հետաքրքրություն Հարցրեք. Պատասխանել միջոցով x 1; x 2 (սա ճիշտ պատասխանն է) և միայնակության միջոցով X (և սա ճիշտ պատասխանն է) - նույնն են, թե ոչ: Մենք հիմա կիմանանք:)
Պատասխանում փոխարինում ենք x 1 արժեքներ n =0; 1; 2; և այլն, հաշվում ենք, ստանում ենք մի շարք արմատներ.
x 1 = π/6; 13π/6; 25π/6 եւ այլն։
Նույն փոխարինմամբ՝ ի պատասխան x 2 , ստանում ենք.
x 2 = 5π/6; 17π/6; 29π/6 եւ այլն։
Հիմա եկեք փոխարինենք արժեքները n (0; 1; 2; 3; 4...) սինգլի ընդհանուր բանաձևի մեջ X . Այսինքն՝ մինուս մեկը բարձրացնում ենք զրոյական հզորության, հետո՝ առաջին, երկրորդ և այլն։ Դե, իհարկե, մենք 0-ը փոխարինում ենք երկրորդ տերմինով. 1; 2 3; 4 և այլն: Եվ մենք հաշվում ենք: Մենք ստանում ենք շարքը.
x = π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 եւ այլն։
Դա այն ամենն է, ինչ դուք կարող եք տեսնել:) Ընդհանուր բանաձևը տալիս է մեզ ճիշտ նույն արդյունքներըինչպես և երկու պատասխաններն առանձին-առանձին: Պարզապես ամեն ինչ միանգամից, կարգով: Մաթեմատիկոսները չխաբվեցին։)
Կարելի է ստուգել նաև շոշափող և կոտանգենսով եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման բանաձևերը։ Բայց մենք չենք անի:) Նրանք արդեն պարզ են:
Ես գրել եմ այս ամբողջ փոխարինումը և ստուգումը հատուկ: Այստեղ կարևոր է հասկանալ մի բան պարզ բանկան տարրական եռանկյունաչափական հավասարումներ լուծելու բանաձևեր, ընդամենը պատասխանների կարճ ամփոփում:Այս հակիրճության համար մենք պետք է ավելացրինք գումարած/մինուս կոսինուսի լուծույթի մեջ և (-1) n-ը սինուսի լուծույթում:
Այս ներդիրները ոչ մի կերպ չեն խանգարում առաջադրանքներին, որտեղ պարզապես անհրաժեշտ է գրել տարրական հավասարման պատասխանը: Բայց եթե ձեզ անհրաժեշտ է լուծել անհավասարությունը, կամ դուք պետք է ինչ-որ բան անեք պատասխանի հետ՝ ընտրեք արմատներ ընդմիջումով, ստուգեք ODZ-ի առկայությունը և այլն, ապա այս ներդիրները կարող են հեշտությամբ անհանգստացնել մարդուն:
Այսպիսով, ինչ պետք է անեմ: Այո, կա՛մ պատասխանը գրի՛ր երկու շարքով, կա՛մ լուծի՛ր հավասարումը/անհավասարությունը՝ օգտագործելով եռանկյունաչափական շրջանագիծը: Հետո այս ներդիրները անհետանում են, և կյանքը դառնում է ավելի հեշտ:)
Մենք կարող ենք ամփոփել.
Ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումները լուծելու համար կան պատասխանների պատրաստի բանաձևեր։ Չորս կտոր. Նրանք հարմար են հավասարման լուծումն ակնթարթորեն գրելու համար: Օրինակ, դուք պետք է լուծեք հավասարումները.
sinx = 0.3
Հեշտությամբ: x = (-1) n arcsin 0,3 + π n, n ∈ Z
cosx = 0.2
Ոչ մի խնդիր: x = ± arccos 0.2 + 2π n, n ∈ Z
tgx = 1.2
Հեշտությամբ: x = արկտան 1,2 + π n, n ∈ Z
ctgx = 3.7
Մնացել է մեկը. x= arcctg3,7 + π n, n ∈ Z
cos x = 1.8
Եթե դուք, փայլելով գիտելիքով, անմիջապես գրեք պատասխանը.
x= ± arccos 1.8 + 2π n, n ∈ Z
ուրեմն դու արդեն փայլում ես, սա... այն... ջրափոսից։) Ճիշտ պատասխան. լուծումներ չկան. Չե՞ք հասկանում, թե ինչու: Կարդացեք, թե ինչ է աղեղային կոսինուսը: Բացի այդ, եթե սկզբնական հավասարման աջ կողմում կան սինուսի, կոսինուսի, շոշափողի, կոտանգենսի աղյուսակային արժեքներ, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 եւ այլն։ - պատասխանը կամարների միջով անավարտ կլինի: Կամարները պետք է վերածվեն ռադիանի:
Իսկ եթե հանդիպեք անհավասարության, հավանեք
ապա պատասխանն է.
x πn, n ∈ Z
հազվագյուտ անհեթեթություն կա, այո...) Այստեղ պետք է լուծել՝ օգտագործելով եռանկյունաչափական շրջանը: Ինչ ենք անելու համապատասխան թեմայում։
Նրանց համար, ովքեր հերոսաբար կարդում են այս տողերը: Ես պարզապես չեմ կարող չգնահատել ձեր տիտանական ջանքերը: Բոնուս ձեզ համար:)
Բոնուս:
Տագնապալի մարտական իրավիճակում բանաձևեր գրելիս նույնիսկ փորձառու խելագարները հաճախ շփոթվում են, թե որտեղ πn, Եւ որտեղ 2π n. Ահա ձեզ համար պարզ հնարք. Մեջ բոլորինբանաձևերի արժեքը πn. Բացառությամբ աղեղային կոսինուսով միակ բանաձևի. Այն կանգնած է այնտեղ 2πn. Երկուպեն. Հիմնաբառ - երկու.Այս նույն բանաձեւում կան երկուսկզբում ստորագրեք. Գումարած և մինուս. Այստեղ, եւ այնտեղ - երկու.
Այսպիսով, եթե դուք գրել եք երկուստորագրեք աղեղի կոսինուսից առաջ, ավելի հեշտ է հիշել, թե ինչ կլինի վերջում երկուպեն. Եվ դա տեղի է ունենում նաև հակառակը: Մարդը բաց կթողնի նշանը ± , հասնում է մինչեւ վերջ, ճիշտ է գրում երկուՊիեն, և նա ուշքի կգա: Առջևում ինչ-որ բան կա երկունշան! Մարդը կվերադառնա սկզբին և կուղղի սխալը։ Սրա նման։)
Եթե Ձեզ դուր է գալիս այս կայքը...
Ի դեպ, ես ձեզ համար ևս մի քանի հետաքրքիր կայք ունեմ։)
Դուք կարող եք զբաղվել օրինակներ լուծելով և պարզել ձեր մակարդակը: Փորձարկում ակնթարթային ստուգմամբ: Սովորենք՝ հետաքրքրությամբ։)
Կարող եք ծանոթանալ ֆունկցիաներին և ածանցյալներին։
Մեզ համար կարևոր է ձեր գաղտնիության պահպանումը: Այդ իսկ պատճառով մենք մշակել ենք Գաղտնիության քաղաքականություն, որը նկարագրում է, թե ինչպես ենք մենք օգտագործում և պահպանում ձեր տվյալները: Խնդրում ենք վերանայել մեր գաղտնիության գործելակերպը և եթե հարցեր ունեք, տեղեկացրեք մեզ:
Անձնական տեղեկատվության հավաքագրում և օգտագործում
Անձնական տեղեկատվությունը վերաբերում է այն տվյալներին, որոնք կարող են օգտագործվել կոնկրետ անձի նույնականացման կամ կապ հաստատելու համար:
Ձեզանից կարող է պահանջվել տրամադրել ձեր անձնական տվյալները ցանկացած ժամանակ, երբ դուք կապվեք մեզ հետ:
Ստորև բերված են անձնական տեղեկատվության տեսակների մի քանի օրինակներ, որոնք մենք կարող ենք հավաքել և ինչպես կարող ենք օգտագործել այդպիսի տեղեկատվությունը:
Ինչ անձնական տվյալներ ենք մենք հավաքում.
- Երբ դուք դիմում եք ներկայացնում կայքում, մենք կարող ենք հավաքել տարբեր տեղեկություններ, ներառյալ ձեր անունը, հեռախոսահամարը, էլ.փոստի հասցեն և այլն:
Ինչպես ենք մենք օգտագործում ձեր անձնական տվյալները.
- Մեր հավաքած անձնական տեղեկությունները մեզ թույլ են տալիս կապ հաստատել ձեզ հետ եզակի առաջարկների, առաջխաղացումների և այլ իրադարձությունների և գալիք իրադարձությունների հետ:
- Ժամանակ առ ժամանակ մենք կարող ենք օգտագործել ձեր անձնական տվյալները կարևոր ծանուցումներ և հաղորդակցություններ ուղարկելու համար:
- Մենք կարող ենք նաև օգտագործել անձնական տվյալները ներքին նպատակների համար, ինչպիսիք են աուդիտի, տվյալների վերլուծության և տարբեր հետազոտությունների անցկացումը՝ մեր կողմից տրամադրվող ծառայությունները բարելավելու և ձեզ մեր ծառայությունների վերաբերյալ առաջարկություններ տրամադրելու համար:
- Եթե դուք մասնակցում եք մրցանակների խաղարկության, մրցույթի կամ նմանատիպ ակցիայի, մենք կարող ենք օգտագործել ձեր տրամադրած տեղեկատվությունը նման ծրագրերը կառավարելու համար:
Տեղեկատվության բացահայտում երրորդ անձանց
Մենք ձեզանից ստացված տեղեկատվությունը երրորդ կողմերին չենք բացահայտում:
Բացառություններ.
- Անհրաժեշտության դեպքում՝ օրենքին համապատասխան, դատական կարգով, դատական գործընթացներում և/կամ Ռուսաստանի Դաշնության տարածքում պետական մարմինների հրապարակային խնդրանքների կամ խնդրանքների հիման վրա՝ բացահայտել ձեր անձնական տվյալները: Մենք կարող ենք նաև բացահայտել ձեր մասին տեղեկությունները, եթե մենք որոշենք, որ նման բացահայտումն անհրաժեշտ է կամ տեղին է անվտանգության, օրենքի կիրառման կամ հանրային նշանակության այլ նպատակների համար:
- Վերակազմակերպման, միաձուլման կամ վաճառքի դեպքում մենք կարող ենք փոխանցել մեր հավաքած անձնական տվյալները համապատասխան իրավահաջորդ երրորդ կողմին:
Անձնական տեղեկատվության պաշտպանություն
Մենք նախազգուշական միջոցներ ենք ձեռնարկում, ներառյալ վարչական, տեխնիկական և ֆիզիկական, պաշտպանելու ձեր անձնական տվյալները կորստից, գողությունից և չարաշահումից, ինչպես նաև չարտոնված մուտքից, բացահայտումից, փոփոխությունից և ոչնչացումից:
Հարգելով ձեր գաղտնիությունը ընկերության մակարդակով
Ապահովելու համար, որ ձեր անձնական տվյալները անվտանգ են, մենք գաղտնիության և անվտանգության չափանիշները հաղորդում ենք մեր աշխատակիցներին և խստորեն կիրառում ենք գաղտնիության պրակտիկան: