Տրված են լոգարիթմի հիմնական հատկությունները, լոգարիթմի գրաֆիկը, սահմանման տիրույթը, արժեքների բազմությունը, հիմնական բանաձևերը՝ աճող և նվազող։ Դիտարկվում է լոգարիթմի ածանցյալը գտնելը: Ինչպես նաև ինտեգրալ, հզորության շարքերի ընդլայնում և ներկայացում կոմպլեքս թվերի միջոցով:
Լոգարիթմի սահմանում
Ա հիմքով լոգարիթմ y-ի ֆունկցիան է (x) = log a x, հակադարձ էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի հետ a հիմքով՝ x (y) = a y.
Տասնորդական լոգարիթմթվի հիմքի լոգարիթմն է 10 : log x ≡ log 10 x.
Բնական լոգարիթմ e-ի հիմքի լոգարիթմն է. ln x ≡ log e x.
2,718281828459045...
;
.
Լոգարիթմի գրաֆիկը ստացվում է էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի գրաֆիկից հայելային պատկեր y = x ուղիղ գծի համեմատ: Ձախ կողմում y ֆունկցիայի գրաֆիկներն են (x) = log a xչորս արժեքների համար լոգարիթմի հիմքերը: a = 2
, ա = 8
, ա = 1/2
և a = 1/8
. Գրաֆիկը ցույց է տալիս, որ երբ a > 1
լոգարիթմը միապաղաղ մեծանում է. Քանի որ x-ը մեծանում է, աճը զգալիորեն դանդաղում է: ժամը 0
< a < 1
լոգարիթմը միապաղաղ նվազում է:
Լոգարիթմի հատկությունները
Դոմեն, արժեքների հավաքածու, աճող, նվազում
Լոգարիթմը միապաղաղ ֆունկցիա է, ուստի այն չունի ծայրահեղություններ։ Լոգարիթմի հիմնական հատկությունները ներկայացված են աղյուսակում:
| Դոմեն | 0 < x < + ∞ | 0 < x < + ∞ |
| Արժեքների տիրույթ | - ∞ < y < + ∞ | - ∞ < y < + ∞ |
| Միապաղաղ | միապաղաղ մեծանում է | միապաղաղ նվազում է |
| Զրոներ, y = 0 | x = 1 | x = 1 |
| Ընդհատման կետերը օրդինատների առանցքով, x = 0 | Ոչ | Ոչ |
| + ∞ | - ∞ | |
| - ∞ | + ∞ |
Մասնավոր արժեքներ
10-րդ հիմքի լոգարիթմը կոչվում է տասնորդական լոգարիթմև նշվում է հետևյալ կերպ.
Լոգարիթմից հիմք եկանչեց բնական լոգարիթմ:
Լոգարիթմների հիմնական բանաձևերը
Հակադարձ ֆունկցիայի սահմանումից բխող լոգարիթմի հատկությունները.
Լոգարիթմների հիմնական հատկությունը և դրա հետևանքները
Հիմքի փոխարինման բանաձև
Լոգարիթմլոգարիթմ վերցնելու մաթեմատիկական գործողությունն է։ Լոգարիթմները վերցնելիս գործակիցների արտադրյալները վերածվում են տերմինների գումարների։
Հզորացումլոգարիթմի հակադարձ մաթեմատիկական գործողությունն է։ Հզորացման ընթացքում տվյալ հիմքը բարձրացվում է արտահայտման աստիճանի, որի վրա կատարվում է հզորացում։ Այս դեպքում տերմինների գումարները վերածվում են գործոնների արտադրանքի:
Լոգարիթմների հիմնական բանաձևերի ապացույց
Լոգարիթմների հետ կապված բանաձևերը բխում են էքսպոնենցիալ ֆունկցիաների բանաձևերից և հակադարձ ֆունկցիայի սահմանումից։
Դիտարկենք էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի հատկությունը
.
Հետո
.
Կիրառենք էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի հատկությունը
:
.
Եկեք ապացուցենք բազային փոխարինման բանաձևը.
;
.
Ենթադրելով c = b, մենք ունենք.
Հակադարձ ֆունկցիա
Լոգարիթմի հակառակը a-ի հիմքին է էքսպոնենցիալ ֆունկցիացուցիչով a.
Եթե, ապա
Եթե, ապա
Լոգարիթմի ածանցյալ
x մոդուլի լոգարիթմի ածանցյալ.
.
n-րդ կարգի ածանցյալ.
.
Բանաձևերի ստացում > > >
Լոգարիթմի ածանցյալը գտնելու համար այն պետք է հասցվի հիմքի ե.
;
.
Անբաժանելի
Լոգարիթմի ինտեգրալը հաշվարկվում է մասերով ինտեգրվելով՝ .
Այսպիսով,
Արտահայտություններ՝ օգտագործելով բարդ թվեր
Դիտարկենք կոմպլեքս թվերի ֆունկցիան զ:
.
Արտահայտենք համալիր համարը զմոդուլի միջոցով rև փաստարկ φ
:
.
Այնուհետև, օգտագործելով լոգարիթմի հատկությունները, ունենք.
.
Կամ
Այնուամենայնիվ, փաստարկը φ
եզակիորեն սահմանված չէ: Եթե դնեք
, որտեղ n-ն ամբողջ թիվ է,
ապա դա կլինի նույն թիվը տարբերի համար n.
Հետևաբար, լոգարիթմը, որպես բարդ փոփոխականի ֆունկցիա, միարժեք ֆունկցիա չէ։
Power շարքի ընդլայնում
Երբ ընդլայնումը տեղի է ունենում.
Հղումներ:
Ի.Ն. Բրոնշտեյն, Ք.Ա. Սեմենդյաև, Մաթեմատիկայի ձեռնարկ ինժեներների և քոլեջի ուսանողների համար, «Լան», 2009 թ.
Ինչպես գիտեք, արտահայտությունները հզորություններով բազմապատկելիս դրանց ցուցիչները միշտ գումարվում են (a b *a c = a b+c): Այս մաթեմատիկական օրենքը ստացվել է Արքիմեդի կողմից, իսկ ավելի ուշ՝ 8-րդ դարում, մաթեմատիկոս Վիրասենը ստեղծեց ամբողջ թվերի ցուցիչների աղյուսակը։ Հենց նրանք էլ ծառայեցին լոգարիթմների հետագա հայտնաբերմանը։ Այս ֆունկցիան օգտագործելու օրինակներ կարելի է գտնել գրեթե ամենուր, որտեղ դուք պետք է պարզեցնեք ծանր բազմապատկումը պարզ գումարման միջոցով: Եթե դուք 10 րոպե ծախսեք այս հոդվածը կարդալու համար, մենք ձեզ կբացատրենք, թե ինչ են լոգարիթմները և ինչպես աշխատել դրանց հետ: Պարզ և մատչելի լեզվով։
Սահմանում մաթեմատիկայի մեջ
Լոգարիթմը հետևյալ ձևի արտահայտությունն է՝ log a b=c, այսինքն՝ ցանկացած ոչ բացասական թվի (այսինքն՝ ցանկացած դրական) լոգարիթմը իր «a» հիմքի նկատմամբ համարվում է «c» հզորություն։ », որի վրա պետք է բարձրացնել «a» հիմքը, որպեսզի ի վերջո ստացվի «b» արժեքը: Օրինակներով վերլուծենք լոգարիթմը, ասենք կա արտահայտություն log 2 8. Ինչպե՞ս գտնել պատասխանը: Դա շատ պարզ է, դուք պետք է այնպիսի հզորություն գտնեք, որ 2-ից մինչև պահանջվող հզորությունը ստանաք 8: Ձեր գլխում որոշ հաշվարկներ կատարելուց հետո մենք ստանում ենք 3 թիվը: Եվ դա ճիշտ է, քանի որ 2-ը 3-ի չափով պատասխան է տալիս որպես 8:
Լոգարիթմների տեսակները
Շատ աշակերտների և ուսանողների համար այս թեման բարդ և անհասկանալի է թվում, բայց իրականում լոգարիթմներն այնքան էլ սարսափելի չեն, գլխավորը հասկանալ դրանց ընդհանուր իմաստը և հիշել դրանց հատկությունները և որոշ կանոններ: Կան երեք առանձին տեսակներլոգարիթմական արտահայտություններ.
- Բնական լոգարիթմ ln a, որտեղ հիմքը Էյլերի թիվն է (e = 2.7):
- Տասնորդական a, որտեղ հիմքը 10 է:
- Ցանկացած b թվի լոգարիթմ՝ a>1 հիմքի վրա:
Դրանցից յուրաքանչյուրը լուծվում է ստանդարտ եղանակով, ներառյալ պարզեցումը, կրճատումը և հետագա կրճատումը մեկ լոգարիթմի՝ օգտագործելով լոգարիթմական թեորեմներ: Լոգարիթմների ճիշտ արժեքները ստանալու համար դրանք լուծելիս պետք է հիշել դրանց հատկությունները և գործողությունների հաջորդականությունը:
Կանոններ և որոշ սահմանափակումներ
Մաթեմատիկայի մեջ կան մի քանի կանոն-սահմանափակումներ, որոնք ընդունված են որպես աքսիոմ, այսինքն՝ քննարկման ենթակա չեն և ճշմարտություն են։ Օրինակ, անհնար է թվերը բաժանել զրոյի, ինչպես նաև անհնար է հանել բացասական թվերի զույգ արմատը։ Լոգարիթմներն ունեն նաև իրենց կանոնները, որոնց հետևելով կարող եք հեշտությամբ սովորել աշխատել նույնիսկ երկար և տարողունակ լոգարիթմական արտահայտություններով.
- «a» հիմքը միշտ պետք է լինի զրոյից մեծ և ոչ թե հավասար 1-ի, այլապես արտահայտությունը կկորցնի իր նշանակությունը, քանի որ «1» և «0» ցանկացած աստիճանի միշտ հավասար են իրենց արժեքներին.
- եթե a > 0, ապա a b >0, ստացվում է, որ «c»-ն նույնպես պետք է մեծ լինի զրոյից:
Ինչպե՞ս լուծել լոգարիթմները:
Օրինակ, առաջադրանք է տրված գտնել 10 x = 100 հավասարման պատասխանը: Սա շատ հեշտ է, դուք պետք է ընտրեք հզորություն՝ բարձրացնելով տասը թիվը, որից մենք ստանում ենք 100: Սա, իհարկե, 10 2 = է: 100.
Այժմ եկեք այս արտահայտությունը ներկայացնենք լոգարիթմական տեսքով։ Մենք ստանում ենք log 10 100 = 2: Լոգարիթմները լուծելիս բոլոր գործողությունները գործնականում միանում են՝ գտնելու այն հզորությունը, որին անհրաժեշտ է մուտքագրել լոգարիթմի հիմքը՝ տրված թիվ ստանալու համար:
Անհայտ աստիճանի արժեքը ճշգրիտ որոշելու համար դուք պետք է սովորեք, թե ինչպես աշխատել աստիճանների աղյուսակի հետ: Այն կարծես այսպիսին է.
Ինչպես տեսնում եք, որոշ ցուցիչներ կարելի է ինտուիտիվ կերպով գուշակել, եթե ունեք տեխնիկական միտք և գիտելիքներ բազմապատկման աղյուսակի վերաբերյալ: Այնուամենայնիվ, համար մեծ արժեքներՁեզ անհրաժեշտ կլինի աստիճանների աղյուսակ: Այն կարող է օգտագործվել նույնիսկ նրանց կողմից, ովքեր ընդհանրապես ոչինչ չգիտեն բարդույթների մասին մաթեմատիկական թեմաներ. Ձախ սյունակը պարունակում է թվեր (հիմք ա), թվերի վերին շարքը c հզորության արժեքն է, որին բարձրացվում է a թիվը։ Խաչմերուկում բջիջները պարունակում են թվային արժեքներ, որոնք պատասխան են (a c =b): Վերցնենք, օրինակ, 10 թվով հենց առաջին բջիջը և քառակուսի դարձնենք, ստանում ենք 100 արժեքը, որը նշված է մեր երկու բջիջների հատման կետում։ Ամեն ինչ այնքան պարզ է և հեշտ, որ նույնիսկ ամենաիսկական հումանիստը կհասկանա:
Հավասարումներ և անհավասարություններ
Ստացվում է, որ որոշակի պայմաններում ցուցիչը լոգարիթմն է։ Հետևաբար, ցանկացած մաթեմատիկական թվային արտահայտություն կարող է գրվել որպես լոգարիթմական հավասարություն։ Օրինակ, 3 4 =81 կարելի է գրել որպես 81-ի 3-րդ լոգարիթմ, որը հավասար է չորսին (log 3 81 = 4): Բացասական հզորությունների համար կանոնները նույնն են՝ 2 -5 = 1/32 գրում ենք որպես լոգարիթմ, ստանում ենք log 2 (1/32) = -5։ Մաթեմատիկայի ամենահետաքրքիր բաժիններից մեկը «լոգարիթմների» թեման է։ Հավասարումների օրինակներն ու լուծումները կդիտարկենք ստորև՝ դրանց հատկություններն ուսումնասիրելուց անմիջապես հետո։ Հիմա եկեք տեսնենք, թե ինչ տեսք ունեն անհավասարությունները և ինչպես դրանք տարբերել հավասարումներից:
Տրվում է հետևյալ ձևի արտահայտությունը՝ log 2 (x-1) > 3 - դա է լոգարիթմական անհավասարություն, քանի որ «x» անհայտ արժեքը գտնվում է լոգարիթմի նշանի տակ։ Եվ նաև արտահայտության մեջ համեմատվում են երկու մեծություններ՝ ցանկալի թվի լոգարիթմը երկու հիմքի նկատմամբ մեծ է երեք թվից։
Լոգարիթմական հավասարումների և անհավասարությունների միջև ամենակարևոր տարբերությունն այն է, որ լոգարիթմներով հավասարումները (օրինակ - լոգարիթմ 2 x = √9) պատասխանում ենթադրում են մեկ կամ մի քանի հատուկ թվային արժեքներ, մինչդեռ անհավասարությունները լուծելիս դրանք սահմանվում են որպես տարածաշրջան: ընդունելի արժեքներ, և այս ֆունկցիայի ընդմիջման կետերը: Որպես հետևանք, պատասխանը առանձին թվերի պարզ բազմություն չէ, ինչպես հավասարման պատասխանում, այլ շարունակական շարք կամ թվերի բազմություն:
Հիմնական թեորեմներ լոգարիթմների մասին
Լոգարիթմի արժեքները գտնելու պարզունակ խնդիրները լուծելիս նրա հատկությունները կարող են հայտնի չլինել: Այնուամենայնիվ, երբ խոսքը վերաբերում է լոգարիթմական հավասարումների կամ անհավասարություններին, առաջին հերթին անհրաժեշտ է հստակ հասկանալ և գործնականում կիրառել լոգարիթմների բոլոր հիմնական հատկությունները։ Մենք ավելի ուշ կանդրադառնանք հավասարումների օրինակներին, նախ անդրադառնանք յուրաքանչյուր հատկությանը ավելի մանրամասն.
- Հիմնական ինքնությունն այսպիսի տեսք ունի՝ a logaB =B: Այն կիրառվում է միայն այն դեպքում, երբ a-ն մեծ է 0-ից, հավասար չէ մեկին, իսկ B-ն մեծ է զրոյից:
- Արտադրանքի լոգարիթմը կարող է ներկայացվել հետևյալ բանաձևով. log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2: Այս դեպքում. նախադրյալ d, s 1 և s 2 > 0; a≠1. Այս լոգարիթմական բանաձևի համար կարող եք ապացույցներ տալ՝ օրինակներով և լուծումներով։ Եկեք log a s 1 = f 1 և log a s 2 = f 2, ապա a f1 = s 1, a f2 = s 2: Մենք ստանում ենք, որ s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (հատկություններ. աստիճաններ ), և այնուհետև ըստ սահմանման. log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, ինչը պետք է ապացուցվեր:
- Քվեորդի լոգարիթմն ունի հետևյալ տեսքը՝ log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2:
- Բանաձևի տեսքով թեորեմն ունի հետևյալ ձևը՝ log a q b n = n/q log a b.
Այս բանաձևը կոչվում է «լոգարիթմի աստիճանի հատկություն»: Այն նման է սովորական աստիճանների հատկություններին, և դա զարմանալի չէ, քանի որ բոլոր մաթեմատիկան հիմնված է բնական պոստուլատների վրա։ Եկեք նայենք ապացույցին.
Թող log a b = t, ստացվում է t =b: Եթե երկու մասերն էլ բարձրացնենք մ հզորության՝ a tn = b n ;
բայց քանի որ a tn = (a q) nt/q = b n, հետևաբար log a q b n = (n*t)/t, ապա log a q b n = n/q log a b. Թեորեմն ապացուցված է.
Խնդիրների և անհավասարությունների օրինակներ
Լոգարիթմների վրա խնդիրների ամենատարածված տեսակները հավասարումների և անհավասարությունների օրինակներն են: Դրանք հանդիպում են գրեթե բոլոր պրոբլեմային գրքերում, ինչպես նաև մաթեմատիկայի քննությունների պարտադիր մասն են։ Համալսարան ընդունվելու կամ անցնելու համար ընդունելության քննություններմաթեմատիկայի մեջ դուք պետք է իմանաք, թե ինչպես ճիշտ լուծել նման խնդիրները:
Ցավոք, չկա լոգարիթմի անհայտ արժեքը լուծելու և որոշելու մեկ պլան կամ սխեմա, սակայն որոշակի կանոններ կարող են կիրառվել յուրաքանչյուր մաթեմատիկական անհավասարության կամ լոգարիթմական հավասարման համար։ Նախևառաջ պետք է պարզել, թե արդյոք արտահայտությունը կարող է պարզեցվել կամ հանգեցնել ընդհանուր տեսքը. Դուք կարող եք պարզեցնել երկար լոգարիթմական արտահայտությունները, եթե ճիշտ օգտագործեք դրանց հատկությունները: Եկեք արագ ծանոթանանք նրանց հետ:
Որոշելիս լոգարիթմական հավասարումներ, մենք պետք է որոշենք, թե ինչպիսի լոգարիթմ ունենք. օրինակ արտահայտությունը կարող է պարունակել բնական լոգարիթմ կամ տասնորդական:
Ահա օրինակներ ln100, ln1026: Նրանց լուծումը հանգում է նրան, որ նրանք պետք է որոշեն այն հզորությունը, որով 10-րդ բազան համապատասխանաբար հավասար կլինի 100-ի և 1026-ի: Բնական լոգարիթմները լուծելու համար անհրաժեշտ է կիրառել լոգարիթմական նույնականություններ կամ դրանց հատկությունները: Դիտարկենք տարբեր տեսակի լոգարիթմական խնդիրների լուծման օրինակներ:
Ինչպես օգտագործել լոգարիթմի բանաձևերը. օրինակներով և լուծումներով
Այսպիսով, եկեք նայենք լոգարիթմների վերաբերյալ հիմնական թեորեմների օգտագործման օրինակներին:
- Արտադրանքի լոգարիթմի հատկությունը կարող է օգտագործվել այնպիսի առաջադրանքներում, որտեղ անհրաժեշտ է ընդլայնել մեծ նշանակություն b թվերը ավելի պարզ գործոններով: Օրինակ՝ log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Պատասխանը 9 է։
- log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - ինչպես տեսնում եք, օգտագործելով լոգարիթմի հզորության չորրորդ հատկությունը, մեզ հաջողվեց լուծել բարդ և անլուծելի թվացող արտահայտությունը։ Պարզապես պետք է գործոնավորել հիմքը և այնուհետև լոգարիթմի նշանից հանել ցուցիչի արժեքները:
Առաջադրանքներ միասնական պետական քննությունից
Լոգարիթմները հաճախ հանդիպում են ընդունելության քննություններ, հատկապես շատ լոգարիթմական խնդիրներ Միասնական պետական քննությունում (պետական քննություն դպրոցների բոլոր շրջանավարտների համար): Սովորաբար այս առաջադրանքները առկա են ոչ միայն A մասում (քննության ամենահեշտ թեստային մասը), այլ նաև C մասում (ամենաբարդ և ծավալուն առաջադրանքները): Քննությունը պահանջում է «Բնական լոգարիթմներ» թեմայի ճշգրիտ և կատարյալ իմացություն:
Խնդիրների օրինակներն ու լուծումները վերցված են պաշտոնատար անձանցից Պետական միասնական քննության տարբերակներ. Տեսնենք, թե ինչպես են լուծվում նման խնդիրները։
Տրված է log 2 (2x-1) = 4. Լուծում:
եկեք վերաշարադրենք արտահայտությունը՝ մի փոքր պարզեցնելով այն log 2 (2x-1) = 2 2, լոգարիթմի սահմանմամբ մենք ստանում ենք, որ 2x-1 = 2 4, հետևաբար 2x = 17; x = 8,5:
- Լավագույնն այն է, որ բոլոր լոգարիթմները կրճատվեն նույն հիմքի վրա, որպեսզի լուծումը ծանր ու շփոթեցնող չլինի:
- Լոգարիթմի նշանի տակ գտնվող բոլոր արտահայտությունները նշվում են որպես դրական, հետևաբար, երբ լոգարիթմի նշանի տակ գտնվող արտահայտության ցուցիչը հանվում է որպես բազմապատկիչ, լոգարիթմի տակ մնացած արտահայտությունը պետք է լինի դրական:
Սկսենք նրանից մեկի լոգարիթմի հատկությունները. Դրա ձևակերպումը հետևյալն է. միասնության լոգարիթմը հավասար է զրոյի, այսինքն. գրանցվեք 1=0ցանկացած a>0, a≠1. Ապացույցը դժվար չէ. քանի որ a>0 և a≠1 պայմանները բավարարող ցանկացած a-ի համար a 0 =1, ապա լոգարիթմի սահմանումից անմիջապես բխում է a 1=0 հավասարության լոգը, որը պետք է ապացուցվի:
Բերենք դիտարկվող հատկության կիրառման օրինակներ՝ log 3 1=0, log1=0 և .
Անցնենք հաջորդ գույքին. հիմքին հավասար թվի լոգարիթմ մեկին հավասար , այն է, log a a=1համար a>0, a≠1. Իրոք, քանի որ a 1 =a ցանկացած a-ի համար, ապա ըստ լոգարիթմի սահմանման log a=1:
Լոգարիթմների այս հատկության օգտագործման օրինակներն են log 5 5=1, log 5.6 5.6 և lne=1 հավասարությունները։
Օրինակ՝ log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 և 
.
Երկու դրական թվերի արտադրյալի լոգարիթմ x և y-ը հավասար է այս թվերի լոգարիթմների արտադրյալին. log a (x y)=log a x+log a y, a>0, a≠1. Եկեք ապացուցենք արտադրանքի լոգարիթմի հատկությունը։ Շնորհիվ աստիճանի հատկությունների a log a x+log a y =a log a x ·a log a y, և քանի որ հիմնական լոգարիթմական նույնությամբ log a x =x և a log a y =y, ապա log a x ·a log a y =x·y: Այսպիսով, log a x+log a y =x·y, որից լոգարիթմի սահմանմամբ բխում է ապացուցվող հավասարությունը։
Ներկայացնենք արտադրյալի լոգարիթմի հատկության օգտագործման օրինակներ՝ log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 և. 
.
Արտադրյալի լոգարիթմի հատկությունը կարելի է ընդհանրացնել x 1, x 2, …, x n դրական թվերի վերջավոր թվի n արտադրյալին, ինչպես. log a (x 1 ·x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n . Այս հավասարությունը կարելի է ապացուցել առանց խնդիրների։
Օրինակ՝ արտադրյալի բնական լոգարիթմը կարելի է փոխարինել 4, e և թվերի երեք բնական լոգարիթմների գումարով։
Երկու դրական թվերի քանորդի լոգարիթմ x-ը և y-ը հավասար է այս թվերի լոգարիթմների տարբերությանը: Քաղորդի լոգարիթմի հատկությունը համապատասխանում է ձևի մի բանաձևի, որտեղ a>0, a≠1, x և y որոշ դրական թվեր են: Ապացուցված է այս բանաձևի վավերականությունը, ինչպես նաև արտադրանքի լոգարիթմի բանաձևը՝ քանի որ 
, ապա լոգարիթմի սահմանմամբ։
Ահա լոգարիթմի այս հատկության օգտագործման օրինակ. 
.
Անցնենք Հզորության լոգարիթմի հատկությունը. Աստիճանի լոգարիթմը հավասար է այս աստիճանի հիմքի ցուցիչի և մոդուլի լոգարիթմի արտադրյալին: Եկեք գրենք հզորության լոգարիթմի այս հատկությունը որպես բանաձև. log a b p =p·log a |b|, որտեղ a>0, a≠1, b և p այնպիսի թվեր են, որ b p աստիճանը իմաստ ունի, իսկ b p >0:
Նախ մենք ապացուցում ենք այս հատկությունը դրական բ. Հիմնական լոգարիթմական նույնականությունը թույլ է տալիս b թիվը ներկայացնել որպես log a b , այնուհետև b p =(a log a b) p , և ստացված արտահայտությունը, ուժի հատկության շնորհիվ, հավասար է p·log a b: Այսպիսով, մենք գալիս ենք b p =a p·log a b հավասարությանը, որից, ըստ լոգարիթմի սահմանման, եզրակացնում ենք, որ log a b p =p·log a b.
Մնում է ապացուցել այս հատկությունը բացասական բ. Այստեղ մենք նշում ենք, որ log a b p արտահայտությունը բացասական b-ի համար իմաստ ունի միայն p զույգ ցուցանիշների համար (քանի որ b p աստիճանի արժեքը պետք է մեծ լինի զրոյից, հակառակ դեպքում լոգարիթմը իմաստ չի ունենա), և այս դեպքում b p =|b| էջ Հետո b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b|, որտեղից log a b p =p·log a |b| .
Օրինակ, 
և ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3:
Դա բխում է նախորդ գույքից լոգարիթմի հատկությունը արմատից n-րդ արմատի լոգարիթմը հավասար է 1/n կոտորակի արտադրյալին արմատական արտահայտության լոգարիթմով, այսինքն՝ 
, որտեղ a>0, a≠1, n – բնական թիվ, մեկից մեծ, b>0.
Ապացույցը հիմնված է հավասարության (տես), որը վավեր է ցանկացած դրական b-ի համար, և հզորության լոգարիթմի հատկության վրա. 
.
Ահա այս հատկության օգտագործման օրինակ. 
.
Հիմա ապացուցենք Նոր լոգարիթմային բազա տեղափոխվելու բանաձևբարի 
. Դա անելու համար բավական է ապացուցել հավասարության log c b=log a b·log c a. Հիմնական լոգարիթմական ինքնությունը մեզ թույլ է տալիս b թիվը ներկայացնել որպես log a b, ապա log c b=log c a log a b: Մնում է օգտագործել աստիճանի լոգարիթմի հատկությունը. log c a log a b =log a b log c a. Սա ապացուցում է հավասարության log c b=log a b·log c a, ինչը նշանակում է, որ ապացուցված է նաև լոգարիթմի նոր հիմքին անցնելու բանաձևը։
Եկեք ցույց տանք լոգարիթմների այս հատկության օգտագործման մի քանի օրինակ՝ և 
.
Նոր բազա տեղափոխվելու բանաձևը թույլ է տալիս անցնել «հարմար» հիմք ունեցող լոգարիթմների հետ աշխատելուն: Օրինակ, այն կարող է օգտագործվել բնական կամ տասնորդական լոգարիթմներին անցնելու համար, որպեսզի կարողանաք հաշվարկել լոգարիթմի արժեքը լոգարիթմների աղյուսակից: Նոր լոգարիթմի բազա տեղափոխվելու բանաձևը նաև թույլ է տալիս որոշ դեպքերում գտնել տվյալ լոգարիթմի արժեքը, երբ հայտնի են որոշ լոգարիթմների արժեքները այլ հիմքերի հետ:
Հաճախ օգտագործվում է ձևի c=b նոր լոգարիթմի հիմքի անցնելու բանաձևի հատուկ դեպք 
. Սա ցույց է տալիս, որ log a b և log b a – . Օրինակ, 
.
Բանաձևը նույնպես հաճախ օգտագործվում է 
, որը հարմար է լոգարիթմի արժեքները գտնելու համար։ Մեր խոսքերը հաստատելու համար մենք ցույց կտանք, թե ինչպես կարելի է այն օգտագործել ձևի լոգարիթմի արժեքը հաշվարկելու համար: Մենք ունենք 
. Բանաձևն ապացուցելու համար 
բավական է օգտագործել լոգարիթմի նոր հիմքին անցնելու բանաձևը a. 
.
Մնում է ապացուցել լոգարիթմների համեմատության հատկությունները։
Եկեք ապացուցենք, որ ցանկացած դրական թվերի համար b 1 և b 2, b 1 log a b 2, իսկ a>1-ի համար՝ անհավասարության log a b 1 Ի վերջո, մնում է ապացուցել լոգարիթմների թվարկված հատկություններից վերջինը։ Սահմանափակվենք նրա առաջին մասի ապացույցով, այսինքն՝ կապացուցենք, որ եթե a 1 >1, a 2 >1 և a 1. 1 ճշմարիտ է log a 1 b>log a 2 b . Լոգարիթմների այս հատկության մնացած պնդումներն ապացուցվում են նմանատիպ սկզբունքով։ Եկեք օգտագործենք հակառակ մեթոդը. Ենթադրենք, որ 1 >1, 2 >1 և 1-ի համար 1 ճշմարիտ է log a 1 b≤log a 2 b . Հիմնվելով լոգարիթմների հատկությունների վրա՝ այս անհավասարությունները կարող են վերագրվել որպես 
Եվ 
համապատասխանաբար, և դրանցից հետևում է, որ համապատասխանաբար log b a 1 ≤log b a 2 և log b a 1 ≥log b a 2։ Այնուհետև, ըստ նույն հիմքերով հզորությունների հատկությունների, պետք է պահպանվեն b log b a 1 ≥b log b a 2 և b log b a 1 ≥b log b a 2 հավասարությունները, այսինքն՝ a 1 ≥a 2: Այսպիսով, մենք հակասության եկանք a 1 պայմանի հետ
Մատենագիտություն.
- Կոլմոգորով Ա.Ն., Աբրամով Ա.Մ., Դուդնիցին Յու.Պ. Հանրահաշիվը և վերլուծության սկիզբը. Դասագիրք հանրակրթական հաստատությունների 10-11-րդ դասարանների համար:
- Գուսև Վ.Ա., Մորդկովիչ Ա.Գ. Մաթեմատիկա (ձեռնարկ տեխնիկում ընդունողների համար).
հիմնական հատկությունները.
- լոգաքս + լոգայ = լոգա (x y);
- լոգաքս − լոգայ = լոգա (x: y):
նույնական հիմքեր
Log6 4 + log6 9.
Հիմա մի փոքր բարդացնենք խնդիրը։
Լոգարիթմների լուծման օրինակներ
Իսկ եթե լոգարիթմի հիմքը կամ արգումենտը ուժ է: Այնուհետև այս աստիճանի ցուցիչը կարելի է հանել լոգարիթմի նշանից՝ համաձայն հետևյալ կանոնների.
Իհարկե, այս բոլոր կանոնները իմաստ ունեն, եթե դիտարկվում է լոգարիթմի ODZ՝ a > 0, a ≠ 1, x >
Առաջադրանք. Գտեք արտահայտության իմաստը.
Անցում դեպի նոր հիմք
Թող տրվի լոգարիթմի լոգաքսը: Այնուհետև c ցանկացած թվի համար, որպեսզի c > 0 և c ≠ 1, հավասարությունը ճշմարիտ է.
Առաջադրանք. Գտեք արտահայտության իմաստը.
Տես նաեւ:
Լոգարիթմի հիմնական հատկությունները
1.
2.
3.
4.
5. 
6.
7.
8.
9.
10.
11. 
12.
13.
14. 
15.
Ցուցանիշը 2,718281828 է… Ցուցանիշը հիշելու համար կարող եք ուսումնասիրել կանոնը. ցուցիչը հավասար է 2,7-ի և Լև Նիկոլաևիչ Տոլստոյի ծննդյան տարեթվի երկու անգամ:
Լոգարիթմների հիմնական հատկությունները
Իմանալով այս կանոնը՝ դուք կիմանաք Լև Տոլստոյի և՛ ցուցիչի ճշգրիտ արժեքը, և՛ ծննդյան ամսաթիվը:
Օրինակներ լոգարիթմների համար
Լոգարիթմի արտահայտություններ
Օրինակ 1.
Ա). x=10ac^2 (a>0,c>0):
Օգտագործելով 3.5 հատկությունները, մենք հաշվարկում ենք 
2.
3. 
4. 
Որտեղ 
.
Օրինակ 2. Գտեք x եթե
Օրինակ 3. Թող տրվի լոգարիթմների արժեքը
Հաշվեք log(x), եթե
Լոգարիթմների հիմնական հատկությունները
Լոգարիթմները, ինչպես ցանկացած թիվ, կարելի է ամեն կերպ ավելացնել, հանել և փոխակերպել։ Բայց քանի որ լոգարիթմները սովորական թվեր չեն, այստեղ կան կանոններ, որոնք կոչվում են հիմնական հատկությունները.
Դուք անպայման պետք է իմանաք այս կանոնները՝ առանց դրանց ոչ մի լուրջ լոգարիթմական խնդիր հնարավոր չէ լուծել: Բացի այդ, դրանք շատ քիչ են՝ դուք կարող եք ամեն ինչ սովորել մեկ օրում: Այսպիսով, եկեք սկսենք:
Լոգարիթմների գումարում և հանում
Դիտարկենք նույն հիմքերով երկու լոգարիթմներ՝ լոգաքս և լոգայ: Այնուհետև դրանք կարելի է գումարել և հանել, և.
- լոգաքս + լոգայ = լոգա (x y);
- լոգաքս − լոգայ = լոգա (x: y):
Այսպիսով, լոգարիթմների գումարը հավասար է արտադրյալի լոգարիթմին, իսկ տարբերությունը հավասար է քանորդի լոգարիթմին։ Նշում: առանցքային պահԱյստեղ - նույնական հիմքեր. Եթե պատճառները տարբեր են, ապա այս կանոնները չեն գործում:
Այս բանաձևերը կօգնեն ձեզ հաշվարկել լոգարիթմական արտահայտությունը նույնիսկ այն դեպքում, երբ դրա առանձին մասերը հաշվի չեն առնվում (տե՛ս «Ի՞նչ է լոգարիթմը» դասը): Նայեք օրինակներին և տեսեք.
Քանի որ լոգարիթմներն ունեն նույն հիմքերը, մենք օգտագործում ենք գումարի բանաձևը.
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2:
Առաջադրանք. Գտե՛ք արտահայտության արժեքը՝ log2 48 − log2 3:
Հիմքերը նույնն են, մենք օգտագործում ենք տարբերության բանաձևը.
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4:
Առաջադրանք. Գտե՛ք արտահայտության արժեքը՝ log3 135 − log3 5:
Կրկին հիմքերը նույնն են, ուստի մենք ունենք.
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3։
Ինչպես տեսնում եք, սկզբնական արտահայտությունները կազմված են «վատ» լոգարիթմներից, որոնք առանձին չեն հաշվարկվում։ Բայց փոխակերպումներից հետո լրիվ նորմալ թվեր են ստացվում։ Շատերը կառուցված են այս փաստի վրա թեստային փաստաթղթեր. Այո, թեստի նման արտահայտությունները առաջարկվում են ամենայն լրջությամբ (երբեմն գրեթե առանց փոփոխության) միասնական պետական քննության ժամանակ:
Լոգարիթմից ցուցիչի հանում
Հեշտ է տեսնել, որ վերջին կանոնը հետևում է առաջին երկուսին: Բայց ամեն դեպքում ավելի լավ է հիշել դա, որոշ դեպքերում դա զգալիորեն կնվազեցնի հաշվարկների քանակը:
Իհարկե, այս բոլոր կանոնները իմաստ ունեն, եթե դիտարկվում է լոգարիթմի ODZ՝ a > 0, a ≠ 1, x > 0: Եվ ևս մեկ բան. սովորեք կիրառել բոլոր բանաձևերը ոչ միայն ձախից աջ, այլև հակառակը: , այսինքն. Դուք կարող եք թվերը մուտքագրել նախքան լոգարիթմի նշանը հենց լոգարիթմի մեջ: Սա այն է, ինչ ամենից հաճախ պահանջվում է:
Առաջադրանք. Գտե՛ք արտահայտության արժեքը՝ log7 496:
Եկեք ազատվենք փաստարկի աստիճանից՝ օգտագործելով առաջին բանաձևը.
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12
Առաջադրանք. Գտեք արտահայտության իմաստը.
Նկատի ունեցեք, որ հայտարարը պարունակում է լոգարիթմ, որի հիմքը և արգումենտը ճշգրիտ հզորություններ են՝ 16 = 24; 49 = 72. Մենք ունենք.
Կարծում եմ՝ վերջին օրինակը որոշակի պարզաբանում է պահանջում։ Որտե՞ղ են գնացել լոգարիթմները: Մինչև վերջին պահը մենք աշխատում ենք միայն հայտարարի հետ։
Լոգարիթմի բանաձևեր. Լոգարիթմների լուծումների օրինակներ:
Մենք այնտեղ կանգնած լոգարիթմի հիմքն ու փաստարկը ներկայացրեցինք հզորությունների տեսքով և հանեցինք ցուցիչները՝ ստացանք «եռահարկ» կոտորակ։
Հիմա նայենք հիմնական կոտորակին։ Համարիչը և հայտարարը պարունակում են նույն թիվը՝ log2 7։ Քանի որ log2 7 ≠ 0, մենք կարող ենք կրճատել կոտորակը - 2/4-ը կմնա հայտարարում։ Ըստ թվաբանության կանոնների՝ քառյակը կարող է փոխանցվել համարիչին, ինչն էլ արվեց։ Արդյունքը եղավ պատասխանը՝ 2.
Անցում դեպի նոր հիմք
Խոսելով լոգարիթմների գումարման-հանման կանոնների մասին՝ ես հատուկ ընդգծեցի, որ դրանք աշխատում են միայն նույն հիմքերով։ Իսկ եթե պատճառները տարբեր են: Իսկ եթե դրանք նույն թվի ճշգրիտ ուժեր չեն:
Օգնության են գալիս նոր հիմնադրամին անցնելու բանաձևերը։ Եկեք դրանք ձևակերպենք թեորեմի տեսքով.
Թող տրվի լոգարիթմի լոգաքսը: Այնուհետև c ցանկացած թվի համար, որպեսզի c > 0 և c ≠ 1, հավասարությունը ճշմարիտ է.
Մասնավորապես, եթե սահմանենք c = x, ապա կստանանք.
Երկրորդ բանաձևից հետևում է, որ լոգարիթմի հիմքը և արգումենտը կարող են փոխանակվել, բայց այս դեպքում ամբողջ արտահայտությունը «շրջվել է», այսինքն. լոգարիթմը հայտնվում է հայտարարի մեջ:
Այս բանաձևերը հազվադեպ են հանդիպում սովորական թվային արտահայտություններում: Թե որքանով են դրանք հարմար, հնարավոր է գնահատել միայն լոգարիթմական հավասարումներ և անհավասարումներ լուծելիս։
Սակայն կան խնդիրներ, որոնք բացարձակապես հնարավոր չէ լուծել, բացի նոր հիմնադրամ տեղափոխվելուց։ Եկեք նայենք դրանցից մի քանիսին.
Առաջադրանք. Գտե՛ք արտահայտության արժեքը՝ log5 16 log2 25.
Նկատի ունեցեք, որ երկու լոգարիթմների արգումենտները պարունակում են ճշգրիտ ուժեր: Դուրս բերենք ցուցանիշները՝ log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;
Հիմա եկեք «հակադարձենք» երկրորդ լոգարիթմը.
Քանի որ արտադրյալը չի փոխվում գործոնները վերադասավորելիս, մենք հանգիստ բազմապատկեցինք չորսը և երկուսը, այնուհետև զբաղվեցինք լոգարիթմներով:
Առաջադրանք. Գտե՛ք արտահայտության արժեքը՝ log9 100 lg 3.
Առաջին լոգարիթմի հիմքը և փաստարկը ճշգրիտ հզորություններ են: Եկեք գրենք սա և ազատվենք ցուցանիշներից.
Հիմա եկեք ազատվենք տասնորդական լոգարիթմից՝ անցնելով նոր հիմք.
Հիմնական լոգարիթմական ինքնությունը
Հաճախ լուծման գործընթացում անհրաժեշտ է լինում թիվը ներկայացնել որպես լոգարիթմ տվյալ հիմքում: Այս դեպքում մեզ կօգնեն հետևյալ բանաձևերը.
Առաջին դեպքում n թիվը դառնում է փաստարկի ցուցիչ։ n թիվը կարող է լինել բացարձակապես ամեն ինչ, քանի որ դա ընդամենը լոգարիթմի արժեք է:
Երկրորդ բանաձևը իրականում վերափոխված սահմանում է: Այդպես է կոչվում.
Իրականում, ի՞նչ կլինի, եթե b թիվը բարձրացվի այնքան հզորության, որ այս հզորության b թիվը տա a թիվը: Ճիշտ է, արդյունքը նույն թիվն է a. Կրկին ուշադիր կարդացեք այս պարբերությունը. շատերը խրված են դրա վրա:
Նոր բազա տեղափոխելու բանաձևերի նման, հիմնական լոգարիթմական ինքնությունը երբեմն միակ հնարավոր լուծումն է:
Առաջադրանք. Գտեք արտահայտության իմաստը.
Նկատի ունեցեք, որ log25 64 = log5 8 - պարզապես վերցրել է քառակուսին լոգարիթմի հիմքից և արգումենտից: Հաշվի առնելով նույն հիմքով հզորությունները բազմապատկելու կանոնները՝ ստանում ենք.
Եթե որևէ մեկը չգիտի, սա իրական առաջադրանք էր միասնական պետական քննությունից :)
Լոգարիթմական միավոր և լոգարիթմական զրո
Եզրափակելով, ես կտամ երկու ինքնություն, որոնք դժվար թե կարելի է անվանել հատկություններ, ավելի շուտ, դրանք լոգարիթմի սահմանման հետևանք են: Նրանք անընդհատ հայտնվում են խնդիրների մեջ և, զարմանալիորեն, խնդիրներ են ստեղծում նույնիսկ «առաջադեմ» ուսանողների համար։
- լոգաա = 1 է: Հիշեք մեկընդմիշտ. լոգարիթմը այդ բազայի ցանկացած a հիմքի վրա հավասար է մեկի:
- լոգա 1 = 0 է: a հիմքը կարող է լինել ցանկացած բան, բայց եթե արգումենտը պարունակում է մեկ, ապա լոգարիթմը հավասար է զրոյի: Քանի որ a0 = 1 սահմանման ուղղակի հետևանքն է:
Ահա բոլոր հատկությունները: Համոզվեք, որ կիրառեք դրանք գործնականում: Ներբեռնեք դասի սկզբում խաբեության թերթիկը, տպեք այն և լուծեք խնդիրները:
Տես նաեւ:
b-ի լոգարիթմը a-ի հիմքում նշանակում է արտահայտությունը. Հաշվարկել լոգարիթմը նշանակում է գտնել x () հզորություն, որի դեպքում հավասարությունը բավարարված է
Լոգարիթմի հիմնական հատկությունները
Անհրաժեշտ է իմանալ վերը նշված հատկությունները, քանի որ լոգարիթմների հետ կապված գրեթե բոլոր խնդիրներն ու օրինակները լուծվում են դրանց հիման վրա։ Մնացած էկզոտիկ հատկությունները կարող են ստացվել այս բանաձևերով մաթեմատիկական մանիպուլյացիաների միջոցով
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
Լոգարիթմների գումարի և տարբերության բանաձևը (3.4) հաշվարկելիս բավականին հաճախ եք հանդիպում։ Մնացածը որոշ չափով բարդ են, բայց մի շարք առաջադրանքներում դրանք անփոխարինելի են բարդ արտահայտությունները պարզեցնելու և դրանց արժեքները հաշվարկելու համար։
Լոգարիթմների ընդհանուր դեպքեր
Ընդհանուր լոգարիթմներից մի քանիսն այն լոգարիթմներն են, որոնց հիմքը նույնիսկ տասը է՝ էքսպոնենցիալ կամ երկու։
Տասը հիմքի լոգարիթմը սովորաբար կոչվում է տասնորդական լոգարիթմ և ուղղակի նշանակվում է lg(x):
Ձայնագրությունից պարզ է դառնում, որ ձայնագրության մեջ հիմքերը գրված չեն։ Օրինակ
Բնական լոգարիթմը լոգարիթմ է, որի հիմքը չափորոշիչ է (նշվում է ln(x)-ով):
Ցուցանիշը 2,718281828 է… Ցուցանիշը հիշելու համար կարելի է ուսումնասիրել կանոնը՝ ցուցանիշը հավասար է 2,7-ի և Լև Նիկոլաևիչ Տոլստոյի ծննդյան տարեթվի երկու անգամ: Իմանալով այս կանոնը՝ դուք կիմանաք Լև Տոլստոյի և՛ ցուցիչի ճշգրիտ արժեքը, և՛ ծննդյան ամսաթիվը:
Եվ մեկ այլ կարևոր լոգարիթմ երկու հիմքի համար նշվում է
Ֆունկցիայի լոգարիթմի ածանցյալը հավասար է մեկին, որը բաժանվում է փոփոխականի վրա
Ինտեգրալ կամ հակաածանցյալ լոգարիթմը որոշվում է հարաբերություններով
Տրված նյութը բավական է, որպեսզի լուծեք լոգարիթմների և լոգարիթմների հետ կապված խնդիրների լայն դաս։ Որպեսզի օգնեմ ձեզ հասկանալ նյութը, ես կտամ միայն մի քանի ընդհանուր օրինակներ դպրոցական ծրագրից և բուհերից:
Օրինակներ լոգարիթմների համար
Լոգարիթմի արտահայտություններ
Օրինակ 1.
Ա). x=10ac^2 (a>0,c>0):
Օգտագործելով 3.5 հատկությունները, մենք հաշվարկում ենք
2.
Լոգարիթմների տարբերության հատկությամբ ունենք
3.
Օգտագործելով հատկությունները 3.5 մենք գտնում ենք
4. Որտեղ .
Բարդ թվացող արտահայտությունը պարզեցված է ձևավորելու համար՝ օգտագործելով մի շարք կանոններ
Լոգարիթմի արժեքների որոնում
Օրինակ 2. Գտեք x եթե
Լուծում. Հաշվարկի համար մենք դիմում ենք վերջին տերմինի 5 և 13 հատկություններին
Մենք դա արձանագրում ենք ու սգում
Քանի որ հիմքերը հավասար են, մենք հավասարեցնում ենք արտահայտությունները
Լոգարիթմներ. Առաջին մակարդակ.
Թող տրվի լոգարիթմների արժեքը
Հաշվեք log(x), եթե
Լուծում. Վերցնենք փոփոխականի լոգարիթմը, որպեսզի գրենք լոգարիթմը նրա անդամների գումարի միջոցով
Սա լոգարիթմների և դրանց հատկությունների հետ մեր ծանոթության միայն սկիզբն է: Կատարեք հաշվարկներ, հարստացրեք ձեր գործնական հմտությունները - շուտով ձեզ անհրաժեշտ կլինի ձեռք բերած գիտելիքները լոգարիթմական հավասարումներ լուծելու համար: Ուսումնասիրելով նման հավասարումների լուծման հիմնական մեթոդները՝ մենք կընդլայնենք ձեր գիտելիքները ևս ոչ պակաս կարևոր թեմա- լոգարիթմական անհավասարություններ...
Լոգարիթմների հիմնական հատկությունները
Լոգարիթմները, ինչպես ցանկացած թիվ, կարելի է ամեն կերպ ավելացնել, հանել և փոխակերպել։ Բայց քանի որ լոգարիթմները սովորական թվեր չեն, այստեղ կան կանոններ, որոնք կոչվում են հիմնական հատկությունները.
Դուք անպայման պետք է իմանաք այս կանոնները՝ առանց դրանց ոչ մի լուրջ լոգարիթմական խնդիր հնարավոր չէ լուծել: Բացի այդ, դրանք շատ քիչ են՝ դուք կարող եք ամեն ինչ սովորել մեկ օրում: Այսպիսով, եկեք սկսենք:
Լոգարիթմների գումարում և հանում
Դիտարկենք նույն հիմքերով երկու լոգարիթմներ՝ լոգաքս և լոգայ: Այնուհետև դրանք կարելի է գումարել և հանել, և.
- լոգաքս + լոգայ = լոգա (x y);
- լոգաքս − լոգայ = լոգա (x: y):
Այսպիսով, լոգարիթմների գումարը հավասար է արտադրյալի լոգարիթմին, իսկ տարբերությունը հավասար է քանորդի լոգարիթմին։ Խնդրում ենք նկատի ունենալ. այստեղ հիմնական կետն է նույնական հիմքեր. Եթե պատճառները տարբեր են, ապա այս կանոնները չեն գործում:
Այս բանաձևերը կօգնեն ձեզ հաշվարկել լոգարիթմական արտահայտությունը նույնիսկ այն դեպքում, երբ դրա առանձին մասերը հաշվի չեն առնվում (տե՛ս «Ի՞նչ է լոգարիթմը» դասը): Նայեք օրինակներին և տեսեք.
Առաջադրանք. Գտե՛ք արտահայտության արժեքը՝ log6 4 + log6 9:
Քանի որ լոգարիթմներն ունեն նույն հիմքերը, մենք օգտագործում ենք գումարի բանաձևը.
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2:
Առաջադրանք. Գտե՛ք արտահայտության արժեքը՝ log2 48 − log2 3:
Հիմքերը նույնն են, մենք օգտագործում ենք տարբերության բանաձևը.
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4:
Առաջադրանք. Գտե՛ք արտահայտության արժեքը՝ log3 135 − log3 5:
Կրկին հիմքերը նույնն են, ուստի մենք ունենք.
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3։
Ինչպես տեսնում եք, սկզբնական արտահայտությունները կազմված են «վատ» լոգարիթմներից, որոնք առանձին չեն հաշվարկվում։ Բայց փոխակերպումներից հետո լրիվ նորմալ թվեր են ստացվում։ Շատ թեստեր հիմնված են այս փաստի վրա: Այո, թեստի նման արտահայտությունները առաջարկվում են ամենայն լրջությամբ (երբեմն գրեթե առանց փոփոխության) միասնական պետական քննության ժամանակ:
Լոգարիթմից ցուցիչի հանում
Հիմա մի փոքր բարդացնենք խնդիրը։ Իսկ եթե լոգարիթմի հիմքը կամ արգումենտը ուժ է: Այնուհետև այս աստիճանի ցուցիչը կարելի է հանել լոգարիթմի նշանից՝ համաձայն հետևյալ կանոնների.
Հեշտ է տեսնել, որ վերջին կանոնը հետևում է առաջին երկուսին: Բայց ամեն դեպքում ավելի լավ է հիշել դա, որոշ դեպքերում դա զգալիորեն կնվազեցնի հաշվարկների քանակը:
Իհարկե, այս բոլոր կանոնները իմաստ ունեն, եթե դիտարկվում է լոգարիթմի ODZ՝ a > 0, a ≠ 1, x > 0: Եվ ևս մեկ բան. սովորեք կիրառել բոլոր բանաձևերը ոչ միայն ձախից աջ, այլև հակառակը: , այսինքն. Դուք կարող եք թվերը մուտքագրել նախքան լոգարիթմի նշանը հենց լոգարիթմի մեջ:
Ինչպես լուծել լոգարիթմները
Սա այն է, ինչ ամենից հաճախ պահանջվում է:
Առաջադրանք. Գտե՛ք արտահայտության արժեքը՝ log7 496:
Եկեք ազատվենք փաստարկի աստիճանից՝ օգտագործելով առաջին բանաձևը.
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12
Առաջադրանք. Գտեք արտահայտության իմաստը.
Նկատի ունեցեք, որ հայտարարը պարունակում է լոգարիթմ, որի հիմքը և արգումենտը ճշգրիտ հզորություններ են՝ 16 = 24; 49 = 72. Մենք ունենք.
Կարծում եմ՝ վերջին օրինակը որոշակի պարզաբանում է պահանջում։ Որտե՞ղ են գնացել լոգարիթմները: Մինչև վերջին պահը մենք աշխատում ենք միայն հայտարարի հետ։ Մենք այնտեղ կանգնած լոգարիթմի հիմքն ու փաստարկը ներկայացրեցինք հզորությունների տեսքով և հանեցինք ցուցիչները՝ ստացանք «եռահարկ» կոտորակ։
Հիմա նայենք հիմնական կոտորակին։ Համարիչը և հայտարարը պարունակում են նույն թիվը՝ log2 7։ Քանի որ log2 7 ≠ 0, մենք կարող ենք կրճատել կոտորակը - 2/4-ը կմնա հայտարարում։ Ըստ թվաբանության կանոնների՝ քառյակը կարող է փոխանցվել համարիչին, ինչն էլ արվեց։ Արդյունքը եղավ պատասխանը՝ 2.
Անցում դեպի նոր հիմք
Խոսելով լոգարիթմների գումարման-հանման կանոնների մասին՝ ես հատուկ ընդգծեցի, որ դրանք աշխատում են միայն նույն հիմքերով։ Իսկ եթե պատճառները տարբեր են: Իսկ եթե դրանք նույն թվի ճշգրիտ ուժեր չեն:
Օգնության են գալիս նոր հիմնադրամին անցնելու բանաձևերը։ Եկեք դրանք ձևակերպենք թեորեմի տեսքով.
Թող տրվի լոգարիթմի լոգաքսը: Այնուհետև c ցանկացած թվի համար, որպեսզի c > 0 և c ≠ 1, հավասարությունը ճշմարիտ է.
Մասնավորապես, եթե սահմանենք c = x, ապա կստանանք.
Երկրորդ բանաձևից հետևում է, որ լոգարիթմի հիմքը և արգումենտը կարող են փոխանակվել, բայց այս դեպքում ամբողջ արտահայտությունը «շրջվել է», այսինքն. լոգարիթմը հայտնվում է հայտարարի մեջ:
Այս բանաձևերը հազվադեպ են հանդիպում սովորական թվային արտահայտություններում: Թե որքանով են դրանք հարմար, հնարավոր է գնահատել միայն լոգարիթմական հավասարումներ և անհավասարումներ լուծելիս։
Սակայն կան խնդիրներ, որոնք բացարձակապես հնարավոր չէ լուծել, բացի նոր հիմնադրամ տեղափոխվելուց։ Եկեք նայենք դրանցից մի քանիսին.
Առաջադրանք. Գտե՛ք արտահայտության արժեքը՝ log5 16 log2 25.
Նկատի ունեցեք, որ երկու լոգարիթմների արգումենտները պարունակում են ճշգրիտ ուժեր: Դուրս բերենք ցուցանիշները՝ log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;
Հիմա եկեք «հակադարձենք» երկրորդ լոգարիթմը.
Քանի որ արտադրյալը չի փոխվում գործոնները վերադասավորելիս, մենք հանգիստ բազմապատկեցինք չորսը և երկուսը, այնուհետև զբաղվեցինք լոգարիթմներով:
Առաջադրանք. Գտե՛ք արտահայտության արժեքը՝ log9 100 lg 3.
Առաջին լոգարիթմի հիմքը և փաստարկը ճշգրիտ հզորություններ են: Եկեք գրենք սա և ազատվենք ցուցանիշներից.
Հիմա եկեք ազատվենք տասնորդական լոգարիթմից՝ անցնելով նոր հիմք.
Հիմնական լոգարիթմական ինքնությունը
Հաճախ լուծման գործընթացում անհրաժեշտ է լինում թիվը ներկայացնել որպես լոգարիթմ տվյալ հիմքում: Այս դեպքում մեզ կօգնեն հետևյալ բանաձևերը.
Առաջին դեպքում n թիվը դառնում է փաստարկի ցուցիչ։ n թիվը կարող է լինել բացարձակապես ամեն ինչ, քանի որ դա ընդամենը լոգարիթմի արժեք է:
Երկրորդ բանաձևը իրականում վերափոխված սահմանում է: Այդպես է կոչվում.
Իրականում, ի՞նչ կլինի, եթե b թիվը բարձրացվի այնքան հզորության, որ այս հզորության b թիվը տա a թիվը: Ճիշտ է, արդյունքը նույն թիվն է a. Կրկին ուշադիր կարդացեք այս պարբերությունը. շատերը խրված են դրա վրա:
Նոր բազա տեղափոխելու բանաձևերի նման, հիմնական լոգարիթմական ինքնությունը երբեմն միակ հնարավոր լուծումն է:
Առաջադրանք. Գտեք արտահայտության իմաստը.
Նկատի ունեցեք, որ log25 64 = log5 8 - պարզապես վերցրել է քառակուսին լոգարիթմի հիմքից և արգումենտից: Հաշվի առնելով նույն հիմքով հզորությունները բազմապատկելու կանոնները՝ ստանում ենք.
Եթե որևէ մեկը չգիտի, սա իրական առաջադրանք էր միասնական պետական քննությունից :)
Լոգարիթմական միավոր և լոգարիթմական զրո
Եզրափակելով, ես կտամ երկու ինքնություն, որոնք դժվար թե կարելի է անվանել հատկություններ, ավելի շուտ, դրանք լոգարիթմի սահմանման հետևանք են: Նրանք անընդհատ հայտնվում են խնդիրների մեջ և, զարմանալիորեն, խնդիրներ են ստեղծում նույնիսկ «առաջադեմ» ուսանողների համար։
- լոգաա = 1 է: Հիշեք մեկընդմիշտ. լոգարիթմը այդ բազայի ցանկացած a հիմքի վրա հավասար է մեկի:
- լոգա 1 = 0 է: a հիմքը կարող է լինել ցանկացած բան, բայց եթե արգումենտը պարունակում է մեկ, ապա լոգարիթմը հավասար է զրոյի: Քանի որ a0 = 1 սահմանման ուղղակի հետևանքն է:
Ահա բոլոր հատկությունները: Համոզվեք, որ կիրառեք դրանք գործնականում: Ներբեռնեք դասի սկզբում խաբեության թերթիկը, տպեք այն և լուծեք խնդիրները:
Հրահանգներ
Գրի՛ր տրված լոգարիթմական արտահայտությունը. Եթե արտահայտությունն օգտագործում է 10-ի լոգարիթմը, ապա դրա նշումը կրճատվում է և ունի հետևյալ տեսքը. lg b-ն տասնորդական լոգարիթմ է։ Եթե լոգարիթմը հիմք ունի e թիվը, ապա գրի՛ր արտահայտությունը՝ ln b – բնական լոգարիթմ: Հասկանալի է, որ ցանկացածի արդյունքը այն հզորությունն է, որով պետք է բարձրացվի բազային թիվը՝ b թիվը ստանալու համար:
Երկու ֆունկցիաների գումարը գտնելիս պարզապես անհրաժեշտ է դրանք մեկ առ մեկ տարբերակել և ավելացնել արդյունքները՝ (u+v)" = u"+v";
Երկու ֆունկցիայի արտադրյալի ածանցյալը գտնելիս անհրաժեշտ է առաջին ֆունկցիայի ածանցյալը բազմապատկել երկրորդով և ավելացնել երկրորդ ֆունկցիայի ածանցյալը՝ բազմապատկված առաջին ֆունկցիայով՝ (u*v)" = u"*v. +v"*u;
Երկու ֆունկցիաների քանորդի ածանցյալը գտնելու համար անհրաժեշտ է շահաբաժնի ածանցյալի արտադրյալից հանել բաժանարարի ածանցյալի արտադրյալը, որը բազմապատկվել է դիվիդենտի ֆունկցիայի վրա և բաժանել. այս ամենը բաժանարար ֆունկցիայի քառակուսիով: (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;
Եթե տրված է բարդ ֆունկցիա, ապա անհրաժեշտ է բազմապատկել ներքին ֆունկցիայի ածանցյալը և արտաքինի ածանցյալը։ Թող y=u(v(x)), ապա y"(x)=y"(u)*v"(x):
Օգտագործելով վերը ստացված արդյունքները, դուք կարող եք տարբերակել գրեթե ցանկացած գործառույթ: Այսպիսով, եկեք դիտենք մի քանի օրինակ.
y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;
y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
Կան նաև խնդիրներ՝ կապված որոշակի կետում ածանցյալի հաշվարկման հետ: Թող տրվի y=e^(x^2+6x+5) ֆունկցիան, պետք է գտնել ֆունկցիայի արժեքը x=1 կետում։
1) Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը՝ y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6):
2) Հաշվիր ֆունկցիայի արժեքը տրված կետում y"(1)=8*e^0=8.
Տեսանյութ թեմայի վերաբերյալ
Իմացեք տարրական ածանցյալների աղյուսակը: Սա զգալիորեն կխնայի ժամանակը:
Աղբյուրներ:
- հաստատունի ածանցյալ
Այսպիսով, ո՞րն է տարբերությունը իռացիոնալ հավասարման և ռացիոնալ հավասարման միջև: Եթե անհայտ փոփոխականը նշանի տակ է քառակուսի արմատ, ապա հավասարումը համարվում է իռացիոնալ։
Հրահանգներ
Նման հավասարումների լուծման հիմնական մեթոդը երկու կողմերի կառուցման մեթոդն է հավասարումներմի քառակուսու մեջ: Այնուամենայնիվ. սա բնական է, առաջին բանը, որ դուք պետք է անեք, ձերբազատվեք նշանից: Այս մեթոդը տեխնիկապես դժվար չէ, բայց երբեմն այն կարող է հանգեցնել անախորժությունների։ Օրինակ, հավասարումը v(2x-5)=v(4x-7): Երկու կողմերը քառակուսի դնելով ստանում եք 2x-5=4x-7: Նման հավասարումը լուծելը դժվար չէ. x=1. Բայց թիվ 1 չի տրվի հավասարումներ. Ինչո՞ւ։ Փոխարինեք մեկը հավասարման մեջ x-ի արժեքի փոխարեն, իսկ աջ և ձախ կողմերում կլինեն անիմաստ արտահայտություններ, այսինքն. Այս արժեքը վավեր չէ քառակուսի արմատի համար: Հետևաբար, 1-ը կողմնակի արմատ է, և, հետևաբար, այս հավասարումը արմատներ չունի:
Այսպիսով, իռացիոնալ հավասարումը լուծվում է դրա երկու կողմերի քառակուսու միջոցով: Եվ լուծելով հավասարումը, անհրաժեշտ է կտրել կողմնակի արմատները: Դա անելու համար գտած արմատները փոխարինեք սկզբնական հավասարման մեջ:
Դիտարկենք ևս մեկը։
2х+vх-3=0
Իհարկե, այս հավասարումը կարելի է լուծել՝ օգտագործելով նույն հավասարումը, ինչ նախորդը։ Տեղափոխել միացությունները հավասարումներ, որոնք քառակուսի արմատ չունեն, in աջ կողմայնուհետև օգտագործեք քառակուսի մեթոդը: լուծել ստացված ռացիոնալ հավասարումը և արմատները. Բայց նաև մեկ այլ, ավելի էլեգանտ: Մուտքագրեք նոր փոփոխական; vх=y. Համապատասխանաբար կստանաք 2y2+y-3=0 ձևի հավասարում։ Այսինքն՝ սովորական քառակուսային հավասարում. Գտեք դրա արմատները; y1=1 և y2=-3/2: Հաջորդը, լուծեք երկուսը հավասարումներ vх=1; vх=-3/2. Երկրորդ հավասարումը չունի արմատներ, մենք գտնում ենք, որ x=1. Մի մոռացեք ստուգել արմատները:
Ինքնությունը լուծելը բավականին պարզ է. Դա անելու համար անհրաժեշտ է իրականացնել նույնական փոխակերպումներ՝ մինչև սահմանված նպատակին հասնելը։ Այսպիսով, պարզ թվաբանական գործողությունների օգնությամբ կլուծվի առաջադրված խնդիրը։
Ձեզ անհրաժեշտ կլինի
- - թուղթ;
- - գրիչ:
Հրահանգներ
Նման փոխակերպումներից ամենապարզը հանրահաշվական կրճատ բազմապատկումներն են (օրինակ՝ գումարի քառակուսին (տարբերություն), քառակուսիների տարբերություն, գումար (տարբերություն), գումարի խորանարդ (տարբերություն))։ Բացի այդ, կան բազմաթիվ եռանկյունաչափական բանաձևեր, որոնք ըստ էության նույն ինքնություններն են։
Իրոք, երկու անդամների գումարի քառակուսին հավասար է առաջինի քառակուսուն գումարած առաջինի երկրորդի արտադրյալի կրկնապատիկը և գումարած երկրորդի քառակուսին, այսինքն (a+b)^2= (a+b): )(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.
Պարզեցրեք երկուսն էլ
Լուծման ընդհանուր սկզբունքներ
Կրկնեք մաթեմատիկական վերլուծության կամ բարձրագույն մաթեմատիկայի դասագրքից, թե ինչ է որոշակի ինտեգրալը: Ինչպես հայտնի է, լուծումը որոշակի ինտեգրալկա ֆունկցիա, որի ածանցյալը տալիս է ինտեգրանդ։ Այս գործառույթըկոչվում է հակաածանցյալ: Այս սկզբունքի հիման վրա կառուցվում են հիմնական ինտեգրալները։Ինտեգրանդի ձևով որոշի՛ր, թե աղյուսակի ինտեգրալներից որն է տեղավորվում այս դեպքում. Միշտ չէ, որ դա հնարավոր է անմիջապես որոշել: Հաճախ աղյուսակային ձևը նկատելի է դառնում միայն մի քանի փոխակերպումից հետո՝ ինտեգրանդը պարզեցնելու համար։
Փոփոխական փոխարինման մեթոդ
Եթե ինտեգրման ֆունկցիան է եռանկյունաչափական ֆունկցիա, որի արգումենտը պարունակում է մի քանի բազմանդամ, ապա փորձեք օգտագործել փոփոխականի փոխարինման մեթոդը։ Դա անելու համար ինտեգրանդի արգումենտում բազմանդամը փոխարինեք ինչ-որ նոր փոփոխականով: Հիմնվելով նոր և հին փոփոխականների փոխհարաբերությունների վրա՝ որոշեք ինտեգրման նոր սահմանները: Տարբերակելով այս արտահայտությունը՝ գտե՛ք նոր դիֆերենցիալը . Այսպիսով, դուք կստանաք նախորդ ինտեգրալի նոր ձև, մոտ կամ նույնիսկ համապատասխան աղյուսակային:Երկրորդ տեսակի ինտեգրալների լուծում
Եթե ինտեգրալը երկրորդ տեսակի ինտեգրալ է՝ ինտեգրանդի վեկտորային ձև, ապա ձեզ հարկավոր է օգտագործել այս ինտեգրալներից սկալյարի անցնելու կանոնները։ Նման կանոններից է Օստրոգրադսկի-Գաուս հարաբերությունը։ Այս օրենքը մեզ թույլ է տալիս որոշակի վեկտորային ֆունկցիայի ռոտորային հոսքից անցնել եռակի ինտեգրալ՝ տվյալ վեկտորային դաշտի դիվերգենցիայի վրա։Ինտեգրման սահմանների փոխարինում
Հակածանցյալը գտնելուց հետո անհրաժեշտ է փոխարինել ինտեգրման սահմանները։ Նախ, վերին սահմանի արժեքը փոխարինեք հակաածանցյալի արտահայտությամբ: Դուք կստանաք որոշակի թիվ: Այնուհետև ստացված թվից հանեք ստորին սահմանից ստացված մեկ այլ թիվ հակաածանցյալի մեջ: Եթե ինտեգրման սահմաններից մեկն անսահմանությունն է, ապա այն հակաածանցյալ ֆունկցիայի մեջ փոխարինելիս պետք է գնալ սահմանին և գտնել այն, ինչին ձգտում է արտահայտությունը։Եթե ինտեգրալը երկչափ կամ եռաչափ է, ապա դուք պետք է երկրաչափորեն ներկայացնեք ինտեգրման սահմանները՝ հասկանալու համար, թե ինչպես գնահատել ինտեգրալը: Իսկապես, ասենք, եռաչափ ինտեգրալի դեպքում, ինտեգրման սահմանները կարող են լինել ամբողջական հարթություններ, որոնք սահմանափակում են ինտեգրվող ծավալը։