Առանձնահատուկ լուծում է չորոշված գործակիցների մեթոդը: Գծային դիֆերենցիալ հավասարումներ հաստատուն գործակիցներով: Անորոշ գործակցի մեթոդ

Անհամասեռ հավասարում հաստատուն գործակիցներով

կարելի է լուծել՝ օգտագործելով չորոշված գործակիցների մեթոդը և կամայական հաստատունների փոփոխության մեթոդը։

Անորոշ գործակցի մեթոդ

Ի . Որովհետև հավասարումը (11) անհամասեռ է, դրա ընդհանուր լուծումը բաղկացած կլինի ընդհանուր միատարր և առանձին անհամասեռ հավասարումների գումարից, այսինքն.

Կազմում ենք համապատասխան միատարր հավասարումը

Նրա բնորոշ հավասարումը

Լուծումների հիմնարար համակարգի կառուցվածքը կախված է բնորոշ (13) հավասարման արմատների տեսակից։

3 դեպք կա.

Ա). Բնութագրական հավասարման բոլոր արմատները (13) տարբեր են և իրական:Նշենք դրանք
. Լուծումների հիմնարար համակարգ.

իսկ ընդհանուր լուծումն ունի ձև.

բ). Բնութագրական հավասարման բոլոր արմատները (13) տարբեր են, բայց դրանց թվում կան բարդ:Թող
- (13) հավասարման բարդ արմատը. Հետո
- նույնպես այս հավասարման արմատն է: Այս արմատները համապատասխանում են երկու գծային անկախ մասնակի լուծումների.

Եթե
Եվ
ապա կոնկրետ լուծումները կունենան ձև

Գրելով գծային անկախ մասնակի լուծումներ, որոնք համապատասխանում են բարդ արմատների այլ խոնարհված զույգերին և բոլոր իրական արմատներին և կատարելով այդ լուծումների գծային համակցությունը կամայական հաստատուն գործակիցներով, մենք ստանում ենք (12) հավասարման ընդհանուր լուծումը:

V). Բնութագրական հավասարման արմատների մեջ կան բազմապատիկներ. Թող կ 1 իրական r- բազմակի արմատ: Հետո նրանք համապատասխանում են նրան r

Եթե
- (13) հավասարման բազմապատկության բարդ արմատները r, ապա դրանք համապատասխանում են 2 rՁևի գծային անկախ մասնակի լուծումներ.

Նշված տիպի գծային անկախ մասնակի լուծումներ գրելով, որոնք համապատասխանում են բոլոր պարզ և բազմակի իրական արմատներին, ինչպես նաև պարզ և բազմակի բարդ արմատների խոնարհված զույգերին, մենք ստանում ենք լուծումների հիմնարար համակարգ:

II . Ելնելով (11) հավասարման աջ կողմի ձևից, ընտրվում է անհամասեռ հավասարման որոշակի լուծում:

Կարող են լինել դեպքեր.

1).
, Որտեղ Պ(x) – բազմանդամ ից xաստիճաններ n.

Ա). Եթե համարը 0 չէ (13) բնորոշ հավասարման արմատը, ապա անհամասեռ (11) հավասարման որոշակի լուծում կարելի է գտնել ձևով.
, Որտեղ Ք(x) – բազմանդամ ից xնույն աստիճանը n, ինչպես Պ(x) ընդհանուր ձևով (այսինքն՝ չորոշված գործակիցներով):

Օրինակ՝

բ). Եթե 0 - բազմակիության բնորոշ հավասարման արմատը r, Դա

2).
.

Ա). Եթե համարը α (13) բնորոշ հավասարման արմատ չէ, ուրեմն

3) որտեղ
- աստիճանի բազմանդամներ մ Եվ nհամապատասխանաբար (բազմանդամներից մեկը կարող է նույնականորեն հավասար լինել զրոյի);

ա) եթե
(13) հավասարման արմատ չէ, ուրեմն

Որտեղ
- աստիճանի բազմանդամներ
.

բ) եթե
բազմակիության բնորոշ հավասարման արմատն է r, Դա

4) որտեղ
- 1), 2), 3 համարվող տիպի գործառույթներ։ Եթե
հատուկ լուծումներ են, որոնք համապատասխանում են գործառույթներին
, Դա

Խնդիր 12. Գտե՛ք դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումը:

Լուծում. Սա 3-րդ կարգի անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարում է, որը չի պարունակում ցանկալի ֆունկցիա y. Այս հավասարումը կարող է լուծվել առնվազն ևս երկու եղանակով՝ կամայական հաստատունների փոփոխման մեթոդ և անորոշ գործակիցների մեթոդ՝ հաստատուն գործակիցներով անհամասեռ գծային հավասարման որոշակի լուծում որոշելու համար:

Դիտարկենք երկրորդ մեթոդը.

Կազմենք համապատասխան միատարր հավասարումը

Բնութագրական հավասարում
ունի արմատներ.
(Ia դեպք): Միատարր հավասարման մասնակի լուծումներ.

Համապատասխանաբար, ընդհանուր առմամբ միատարր
.

Այժմ դիտարկենք սկզբնական հավասարման աջ կողմը.
- երկրորդ աստիճանի բազմանդամ (II1 դեպք): Ելնելով դրա ձևից՝ մենք կկազմենք անհամասեռ հավասարման որոշակի լուծում.
.

Գործոն x հայտնվում է այն փաստի հիման վրա, որ x=0 բնորոշ հավասարման արմատն է։ Գտնելով
և մեր գտածը փոխարինելով սկզբնական հավասարման մեջ՝ ստանում ենք

Համեմատելով գործակիցները նույն աստիճաններով՝ ստանում ենք համակարգը

որից Ա=1/3, Բ=1, Գ=1/2 . Այս արժեքները փոխարինելով կոնկրետ լուծման ընդհանուր ձևով, մենք ստանում ենք

Հաշվի առնելով, որ անհամասեռ հավասարման ընդհանուր լուծումը ընդհանուր միատարր և առանձին անհամասեռի գումարն է, մենք ունենք.

Խնդիր 13. Գտե՛ք դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումը:

Լուծում. Գտնենք համապատասխան միատարր հավասարման ընդհանուր լուծումը. Բնութագրական հավասարում
արմատներ ունի՝ (Ia դեպք): Ահա թե ինչու
.

Ելնելով աջ կողմի ձևից՝ մենք կձևակերպենք անհամասեռ հավասարման որոշակի լուծման ընդհանուր ձև՝ հաշվի առնելով, որ =2 բնութագրիչ հավասարման արմատն է (II2b դեպք).
.

Տարբերելով վերջին 3 անգամները և փոխարինելով սկզբնական հավասարման մեջ՝ մենք գտնում ենք, որ Ա=1, Բ=0 . Այնուհետև սկզբնական հավասարման որոշակի լուծում կլինի ֆունկցիան
.

Հետևաբար, սկզբնական դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումը

Խնդիր 14. Գտե՛ք դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումը:

Լուծում. Գտնենք համապատասխան միատարր հավասարման ընդհանուր լուծումը.

Բնութագրական հավասարում
կրկնակի արմատ ունի կ=2 (Iв). Ահա թե ինչու
.

Ելնելով աջ կողմի ձևից՝ հեշտ է ընդհանուր ձևով ձևակերպել սկզբնական հավասարման որոշակի լուծում. 2-6 եսբնորոշ հավասարման (II3a) արմատ չէ։ Այս ֆունկցիայի համար նրանք փնտրում են y / Եվ y // և այն փոխարինել մեզ տրված հավասարման մեջ: Այսպիսով, որոշվում է, որ Բ=0 Եվ Ա=-1/36 .

Հետո,
մեր անհամասեռ հավասարման որոշակի լուծում է, և ցանկալի լուծումն ունի ձևը.

Խնդիր 15. Գտե՛ք դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումը:

Լուծում. Որովհետև բնորոշ հավասարման արմատները, ապա միատարր հավասարման ընդհանուր լուծումն է: Մենք ձևով կփնտրենք անհամասեռ հավասարման որոշակի լուծում

Ֆունկցիան կազմվում է ըստ աջ կողմի ձևի՝ հաշվի առնելով այն հանգամանքը, որ x=0 բնորոշ հավասարման արմատն է, և 10 ես- Ոչ:

Այս ֆունկցիան փոխարինելով սկզբնական հավասարման մեջ՝ մենք գտնում ենք, որ

Այնուհետև դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումը կլինի ֆունկցիա:

Գծային անհամասեռ երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարումների (LNDE-2) լուծման հիմունքները հաստատուն գործակիցներով (PC)

$p$ և $q$ հաստատուն գործակիցներով 2-րդ կարգի LDDE-ն ունի $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\աջ)$ ձևը, որտեղ $f\left(x): \right)$-ը շարունակական ֆունկցիա է:

Ինչ վերաբերում է LNDU 2-ին PC-ով, ապա հետևյալ երկու պնդումները ճիշտ են:

Ենթադրենք, որ որոշ $U$ ֆունկցիա անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարման կամայական մասնակի լուծում է: Ենթադրենք նաև, որ $Y$ որոշ ֆունկցիաներ համապատասխան գծային միատարր դիֆերենցիալ հավասարման (LODE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$-ի ընդհանուր լուծումն է (GS): LHDE-2-ը հավասար է նշված մասնավոր և ընդհանուր լուծումների գումարին, այսինքն՝ $y=U+Y$։

Եթե 2-րդ կարգի LMDE-ի աջ կողմը ֆունկցիաների գումար է, այսինքն՝ $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x): \right)+ ..+f_(r) \left(x\right)$, ապա նախ կարող ենք գտնել PD-ները $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r)$, որոնք համապատասխանում են: $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$ ֆունկցիաներից յուրաքանչյուրին և դրանից հետո գրեք CR LNDU-2-ը $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $ ձևով:

2-րդ կարգի LPDE-ի լուծում ԱՀ-ով

Ակնհայտ է, որ տվյալ LNDU-2-ի այս կամ այն PD $U$ տեսակը կախված է նրա $f\left(x\right)$ աջ կողմի հատուկ ձևից։ PD LNDU-2-ի որոնման ամենապարզ դեպքերը ձևակերպված են հետևյալ չորս կանոնների տեսքով.

Կանոն թիվ 1.

LNDU-2-ի աջ կողմն ունի $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$, որտեղ $P_(n) \left(x\right)=a_(0) ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, այսինքն կոչվում է a. $n$ աստիճանի բազմանդամ: Այնուհետև նրա PD $U$-ը փնտրվում է $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $, որտեղ $Q_(n) \left(x\right)$-ն այլ կերպ է: $P_(n) \left(x\right)$-ի նույն աստիճանի բազմանդամը, իսկ $r$-ը համապատասխան LODE-2-ի բնորոշ հավասարման արմատների թիվն է, որոնք հավասար են զրոյի: $Q_(n) \left(x\right)$ բազմանդամի գործակիցները գտնում ենք անորոշ գործակիցների մեթոդով (ՄԹ):

Կանոն թիվ 2.

LNDU-2-ի աջ կողմն ունի $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$ ձևը, որտեղ $P_(n) \left( x\right)$-ը $n$ աստիճանի բազմանդամ է: Այնուհետև նրա PD $U$-ը փնտրվում է $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $ ձևով, որտեղ $Q_(n): ) \ left(x\right)$-ը $P_(n) \left(x\right)$-ի նույն աստիճանի մեկ այլ բազմանդամ է, իսկ $r$-ը համապատասխան LODE-2-ի բնորոշ հավասարման արմատների թիվն է։ , հավասար է $\alpha $-ի: $Q_(n) \left(x\right)$ բազմանդամի գործակիցները գտնում ենք NC մեթոդով։

Կանոն թիվ 3.

LNDU-2-ի աջ կողմն ունի $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x) ձևը \right) $, որտեղ $a$, $b$ և $\beta$ հայտնի թվեր են: Այնուհետև նրա PD $U$-ը փնտրվում է $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) ձևով: \right )\cdot x^(r) $, որտեղ $A$ և $B$ անհայտ գործակիցներ են, իսկ $r$-ը համապատասխան LODE-2-ի բնորոշ հավասարման արմատների թիվն է, որը հավասար է $i\cdot-ի: \բետա $. $A$ և $B$ գործակիցները հայտնաբերվում են ոչ կործանարար մեթոդով:

Կանոն թիվ 4.

LNDU-2-ի աջ կողմն ունի $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$, որտեղ $P_(n) \left(x\right)$ է: $ n$ աստիճանի բազմանդամ, իսկ $P_(m) \left(x\right)$-ը $m$ աստիճանի բազմանդամ է: Այնուհետև նրա PD $U$-ը փնտրում է $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $, որտեղ $Q_(s) \left(x\աջ)$: իսկ $ R_(s) \left(x\right)$-ը $s$ աստիճանի բազմանդամներ են, $s$ թիվը $n$ և $m$ երկու թվերի առավելագույնն է, իսկ $r$-ը արմատների թիվն է։ համապատասխան LODE-2-ի բնորոշ հավասարման՝ հավասար $\alpha +i\cdot \beta $-ի։ $Q_(s) \left(x\right)$ և $R_(s) \left(x\right)$ բազմանդամների գործակիցները գտնվում են NC մեթոդով։

ԼՂ մեթոդը բաղկացած է հետևյալ կանոնի կիրառումից. LNDU-2 անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարման մասնակի լուծման մաս կազմող բազմանդամի անհայտ գործակիցները գտնելու համար անհրաժեշտ է.

փոխարինեք PD $U$-ը, որը գրված է ընդհանուր ձևով, LNDU-2-ի ձախ կողմում;
LNDU-2-ի ձախ կողմում կատարեք պարզեցումներ և խմբավորեք նույն հզորություններով $x$;
Ստացված նույնականության մեջ հավասարեցրեք տերմինների գործակիցները ձախ և աջ կողմերի $x$ նույն հզորություններին.
լուծել ստացված գծային հավասարումների համակարգը անհայտ գործակիցների համար.

Օրինակ 1

Առաջադրանք՝ գտնել ԿԱՄ LNDU-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $: Գտեք նաև PD , բավարարելով նախնական պայմանները $y=6$ $x=0$-ի համար և $y"=1$ $x=0$-ի համար։

Գրում ենք համապատասխան LOD-2-ը՝ $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$։

Բնութագրական հավասարումը՝ $k^(2) -3\cdot k-18=0$։ Բնութագրական հավասարման արմատներն են՝ $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$։ Այս արմատները վավերական են և հստակ: Այսպիսով, համապատասխան LODE-2-ի OR-ն ունի $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $:

Այս LNDU-2-ի աջ կողմն ունի $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $ ձևը: Անհրաժեշտ է դիտարկել $\alpha =3$ ցուցանիշի գործակիցը։ Այս գործակիցը չի համընկնում բնորոշ հավասարման որևէ արմատի հետ։ Հետևաբար, այս LNDU-2-ի PD-ն ունի $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ ձևը:

Մենք կփնտրենք $A$, $B$ գործակիցները՝ օգտագործելով NC մեթոդը։

Մենք գտնում ենք Չեխիայի առաջին ածանցյալը.

$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \աջ)^((") ) =$

$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

Մենք գտնում ենք Չեխիայի երկրորդ ածանցյալը.

$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

Մենք փոխարինում ենք $U""$, $U"$ և $U$ ֆունկցիաները՝ $y""$, $y"$ և $y$-ի փոխարեն տրված NLDE-2 $y""-3\cdot y"-ի մեջ: -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x $ Ավելին, քանի որ $e^(3\cdot x) $ ցուցիչը ներառված է որպես գործոն բոլոր բաղադրիչներում, ապա այն կարող է բաց թողնել, մենք ստանում ենք.

$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \ձախ (A\) cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$

Ստացված հավասարության ձախ կողմում կատարում ենք գործողությունները.

$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$

Մենք օգտագործում ենք NDT մեթոդը: Մենք ստանում ենք գծային հավասարումների համակարգ երկու անհայտներով.

$-18\cdot A=36;$

$3\cdot A-18\cdot B=12.$

Այս համակարգի լուծումն է՝ $A=-2$, $B=-1$։

PD $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ մեր խնդրի համար այսպիսի տեսք ունի՝ $U=\left(-2\cdot x-1\right) \cdot e^(3\cdot x) $.

Մեր խնդրի OR $y=Y+U$-ն ունի հետևյալ տեսքը՝ $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ ձախ(-2\cdot x-1\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

Տրված սկզբնական պայմաններին բավարարող PD գտնելու համար մենք գտնում ենք OP-ի $y"$ ածանցյալը.

$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$

Մենք փոխարինում ենք $y$ և $y"$ նախնական պայմանները $y=6$ $x=0$-ի համար և $y"=1$ $x=0$-ի համար:

$6=C_(1) +C_(2) -1; $

$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$

Մենք ստացել ենք հավասարումների համակարգ.

$C_(1) +C_(2) =7;$

$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$

Եկեք լուծենք այն: Մենք գտնում ենք $C_(1) $՝ օգտագործելով Cramer-ի բանաձևը, իսկ $C_(2) $ մենք որոշում ենք առաջին հավասարումից.

$C_(1) =\frac(\ձախ|\սկիզբ(զանգված)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(զանգված)\աջ|)(\ձախ|\ սկիզբ(զանգված)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \վերջ(զանգված)\աջ|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\աջ)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$

Այսպիսով, այս դիֆերենցիալ հավասարման PD-ն ունի ձև՝ $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1 \աջ )\cdot e^(3\cdot x) $.

Երկրորդ կարգի միատարր գծային դիֆերենցիալ հավասարումները հաստատուն գործակիցներով ունեն ձև

որտեղ p և q իրական թվեր են: Դիտարկենք օրինակներ, թե ինչպես են լուծվում միատարր երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարումները հաստատուն գործակիցներով:

Երկրորդ կարգի գծային միատարր դիֆերենցիալ հավասարման լուծումը կախված է բնորոշ հավասարման արմատներից: Բնութագրական հավասարումը k²+pk+q=0 հավասարումն է։

1) Եթե բնորոշ հավասարման արմատները տարբեր իրական թվեր են.

ապա հաստատուն գործակիցներով գծային միատարր երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումն ունի ձև.

2) Եթե բնորոշ հավասարման արմատները հավասար իրական թվեր են

(օրինակ՝ զրոյի հավասար դիսկրիմինանտով), ապա միատարր երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումը հետևյալն է.

3) Եթե բնորոշ հավասարման արմատները բարդ թվեր են

(օրինակ՝ բացասական թվին հավասար դիսկրիմինանտով), ապա միատարր երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումը գրվում է ձևով.

Մշտական գործակիցներով գծային միատարր երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարումների լուծման օրինակներ

Գտե՛ք երկրորդ կարգի միատարր դիֆերենցիալ հավասարումների ընդհանուր լուծումները.

Կազմում ենք բնորոշ հավասարումը` k²-7k+12=0: Դրա դիսկրիմինանտը D=b²-4ac=1>0 է, ուստի արմատները տարբեր իրական թվեր են:

Այսպիսով, այս միատարր 2-րդ կարգի DE-ի ընդհանուր լուծումն է

Կազմենք և լուծենք բնորոշ հավասարումը.

Արմատները իրական են և հստակ: Այսպիսով, մենք ունենք այս միատարր դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծում.

Այս դեպքում բնորոշ հավասարումը

Արմատները տարբեր են և վավերական։ Հետևաբար, 2-րդ կարգի միատարր դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումն այստեղ է

Բնութագրական հավասարում

Քանի որ արմատները իրական են և հավասար, այս դիֆերենցիալ հավասարման համար ընդհանուր լուծումը գրում ենք որպես

Բնութագրական հավասարումը այստեղ է

Քանի որ դիսկրիմինանտը բացասական թիվ է, բնութագրիչ հավասարման արմատները բարդ թվեր են:

Այս միատարր երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումն ունի ձև

Բնութագրական հավասարում

Այստեղից մենք գտնում ենք այս դիֆերենցիալի ընդհանուր լուծումը: հավասարումներ:

Ինքնաթեստավորման օրինակներ.

Առաջին կարգի գծային դիֆերենցիալ հավասարում ձևի հավասարումն է

,
որտեղ p և q-ն x փոփոխականի ֆունկցիաներն են:

Առաջին կարգի գծային միատարր դիֆերենցիալ հավասարում ձևի հավասարումն է

Առաջին կարգի գծային անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարում ձևի հավասարումն է

q տերմին (x)կոչվում է հավասարման անհամասեռ մասը։

Դիտարկենք առաջին կարգի գծային անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարումը.
(1) .
Այս հավասարումը լուծելու երեք եղանակ կա.

ինտեգրող գործոնի մեթոդ;

Գծային դիֆերենցիալ հավասարման լուծում՝ օգտագործելով ինտեգրող գործակից

Դիտարկենք առաջին կարգի գծային դիֆերենցիալ հավասարման լուծման մեթոդ՝ օգտագործելով ինտեգրող գործոն.
Եկեք բազմապատկենք սկզբնական հավասարման երկու կողմերը (1) ինտեգրող գործոնով
:
(2)
Հաջորդը, մենք նշում ենք, որ ինտեգրալի ածանցյալը հավասար է ինտեգրանդին.

Համաձայն բարդ ֆունկցիայի տարբերակման կանոնի.

Ըստ արտադրանքի տարբերակման կանոնի.

Փոխարինել ներս (2) :

Եկեք ինտեգրենք.

Բազմապատկել . Մենք ստանում ենք:

առաջին կարգի գծային դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծում

Առաջին կարգի գծային դիֆերենցիալ հավասարման լուծման օրինակ

Լուծե՛ք հավասարումը

Լուծում
Բաժանենք սկզբնական հավասարման երկու կողմերը x-ով. .
(i)
;
.
Հետո

Ինտեգրման գործոն. Մոդուլի նշանը կարող է բաց թողնել, քանի որ ինտեգրման գործակիցը կարող է բազմապատկվել ցանկացած հաստատունով (ներառյալ).
± 1 Բաժանենք սկզբնական հավասարման երկու կողմերը x-ով.Եկեք բազմապատկենք 3 :
.
x-ի կողմից
;
.
Մենք ընտրում ենք ածանցյալը:
.
Մենք ինտեգրվում ենք ինտեգրալների աղյուսակի միջոցով. 3 :
.

Բաժանել x-ի

Պատասխանել
Օգտագործված գրականություն.