निश्चित और अनिश्चित अभिन्नों की तालिका। मूल सूत्र और एकीकरण के तरीके

एकीकरण के मूल सूत्र और तरीके। किसी राशि या अंतर को एकीकृत करने का नियम. स्थिरांक को पूर्णांक चिन्ह से बाहर ले जाना। परिवर्तनीय प्रतिस्थापन विधि. भागों द्वारा एकीकरण का सूत्र. किसी समस्या को हल करने का एक उदाहरण.

एकीकरण की चार मुख्य विधियाँ नीचे सूचीबद्ध हैं।

1) किसी राशि या अंतर को एकीकृत करने का नियम.
.
यहां और नीचे u, v, w एकीकरण चर x के कार्य हैं।

2) स्थिरांक को पूर्णांक चिन्ह से बाहर ले जाना।
मान लीजिए c, x से एक अचर स्वतंत्र है।

3) तब इसे अभिन्न चिह्न से बाहर निकाला जा सकता है।
परिवर्तनीय प्रतिस्थापन विधि.
आइए अनिश्चितकालीन अभिन्न पर विचार करें। यदि हम ऐसा कोई फ़ंक्शन φ पा सकते हैं(एक्स)
,
एक्स से, तो
.

4) फिर, चर t = φ(x) को प्रतिस्थापित करके, हमारे पास है
,
भागों द्वारा एकीकरण का सूत्र.

जहां u और v एकीकरण चर के कार्य हैं।
अनिश्चितकालीन अभिन्नों की गणना करने का अंतिम लक्ष्य, परिवर्तनों के माध्यम से, किसी दिए गए अभिन्न को सरलतम अभिन्नों में कम करना है, जिन्हें सारणीबद्ध अभिन्न कहा जाता है। तालिका इंटीग्रल्स को ज्ञात सूत्रों का उपयोग करके प्राथमिक कार्यों के माध्यम से व्यक्त किया जाता है।

इंटीग्रल की तालिका >>> देखें

उदाहरण

अनिश्चितकालीन अभिन्न की गणना करें

समाधान
हम ध्यान दें कि समाकलन तीन पदों का योग और अंतर है:
, और । 1 .

विधि को लागू करना 5, 4, इसके बाद, हम ध्यान दें कि नए अभिन्नों के समाकलन को स्थिरांक से गुणा किया जाता है 2 और 2 .

, क्रमश। विधि को लागू करना
.
अभिन्नों की तालिका में हमें सूत्र मिलता है 2 यह मानते हुए कि n =

, हम पहला अभिन्न पाते हैं।
.
आइए हम दूसरे अभिन्न को फॉर्म में फिर से लिखें

हम उस पर ध्यान देते हैं। तब.
.
आइए तीसरी विधि का उपयोग करें। हम वेरिएबल t = φ बदलते हैं

(एक्स) = एलएन एक्स

अभिन्नों की तालिका में हमें सूत्र मिलता है
.
चूँकि एकीकरण के चर को किसी भी अक्षर से दर्शाया जा सकता है
आइए हम तीसरे अभिन्न अंग को फिर से इस रूप में लिखें
हम भागों द्वारा एकीकरण सूत्र लागू करते हैं।
;
;

;
;
.

चलिए डालते हैं. तब.

स्कूल में, बहुत से लोग इंटीग्रल को हल करने में असफल हो जाते हैं या उनमें कोई कठिनाई होती है। यह लेख आपको इसका पता लगाने में मदद करेगा, क्योंकि आपको इसमें सब कुछ मिलेगा।अभिन्न तालिकाएँ
अभिन्नगणितीय विश्लेषण में मुख्य गणनाओं और अवधारणाओं में से एक है। इसका स्वरूप दो उद्देश्यों से उत्पन्न हुआ:
पहला गोल- सीधी रेखा पर ग्राफ़ से फ़ंक्शन f(x) की दूरी पर स्थित क्षेत्र की गणना, जहां a, b और x-अक्ष से बड़ा या x के बराबर है।

ये लक्ष्य हमें निश्चित और अनिश्चित अभिन्नता की ओर ले जाते हैं। इन अभिन्नों के बीच संबंध गुणों की खोज और गणना में निहित है। लेकिन सब कुछ प्रवाहित होता है और समय के साथ सब कुछ बदल जाता है, नए समाधान खोजे गए, परिवर्धन की पहचान की गई, जिससे एकीकरण के अन्य रूपों में निश्चित और अनिश्चित अभिन्नताएं पैदा हुईं।

क्या हुआ? अनिश्चितकालीन अभिन्न आप पूछना। यह b से अधिक x से अधिक अंतराल में एक चर x का एक प्रतिअवकलन फलन F(x) है। किसी फ़ंक्शन F(x) को कहा जाता है, किसी भी पदनाम x के लिए दिए गए अंतराल में, व्युत्पन्न F(x) के बराबर होता है। यह स्पष्ट है कि F(x) अंतराल में f(x) के लिए प्रतिअवकलन है, a, x से अधिक है, b से अधिक है। इसका मतलब है F1(x) = F(x) + C. C - किसी दिए गए अंतराल में f(x) के लिए कोई स्थिरांक और प्रतिअवकलन है। यह कथन उलटा है; फ़ंक्शन f(x) - 2 के लिए प्रतिअवकलज केवल स्थिरांक में भिन्न होते हैं। अभिन्न कलन के प्रमेय के आधार पर, यह पता चलता है कि अंतराल में प्रत्येक निरंतर

निश्चित अभिन्न अभिन्न योगों में एक सीमा के रूप में समझा जाता है, या किसी पंक्ति (ए, बी) पर परिभाषित किसी दिए गए फ़ंक्शन एफ (एक्स) की स्थिति में उस पर एक एंटीडेरिवेटिव एफ होता है, जिसका अर्थ है किसी दी गई पंक्ति के अंत में इसकी अभिव्यक्तियों का अंतर एफ(बी) - एफ(ए)।

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आइए हम इसके अभिन्नों को सूचीबद्ध करें प्राथमिक कार्य, जिन्हें कभी-कभी सारणीबद्ध कहा जाता है:

उपरोक्त किसी भी सूत्र को दाहिनी ओर का व्युत्पन्न लेकर सिद्ध किया जा सकता है (परिणाम इंटीग्रैंड होगा)।

एकीकरण के तरीके

आइए कुछ बुनियादी एकीकरण विधियों पर नजर डालें। इसमे शामिल है:

1. अपघटन विधि(प्रत्यक्ष एकीकरण).

यह विधि सारणीबद्ध इंटीग्रल्स के प्रत्यक्ष उपयोग के साथ-साथ अनिश्चित इंटीग्रल के गुण 4 और 5 के उपयोग पर आधारित है (यानी, स्थिर कारक को कोष्ठक से बाहर निकालना और/या इंटीग्रैंड को कार्यों के योग के रूप में प्रस्तुत करना - अपघटन) इंटीग्रैंड के शब्दों में)।

उदाहरण 1.उदाहरण के लिए, (dx/x 4) को खोजने के लिए आप सीधे x n dx के लिए तालिका इंटीग्रल का उपयोग कर सकते हैं। वास्तव में,(dx/x 4) =x -4 dx=x -3 /(-3) +C= -1/3x 3 +C.

आइए कुछ और उदाहरण देखें.

उदाहरण 2.इसे खोजने के लिए, हम उसी अभिन्न अंग का उपयोग करते हैं:

उदाहरण 3.इसे खोजने के लिए आपको लेने की जरूरत है

उदाहरण 4.खोजने के लिए, हम फॉर्म में इंटीग्रैंड फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करते हैं और घातीय फ़ंक्शन के लिए तालिका अभिन्न का उपयोग करें:

आइए एक स्थिर कारक कोष्ठक के उपयोग पर विचार करें।

उदाहरण 5.उदाहरण के लिए, आइए खोजें . उस पर विचार करने पर हमें प्राप्त होता है

उदाहरण 6.हम इसे ढूंढ लेंगे. तब से आइए तालिका अभिन्न का उपयोग करें हम पाते हैं

निम्नलिखित दो उदाहरणों में, आप ब्रैकेटिंग और टेबल इंटीग्रल्स का भी उपयोग कर सकते हैं:

उदाहरण 7.

(हम और का उपयोग करते हैं );

उदाहरण 8.

(हम उपयोग करते हैं और ).

आइए अधिक जटिल उदाहरण देखें जो योग अभिन्न का उपयोग करते हैं।

उदाहरण 9.उदाहरण के लिए, आइए खोजें
. अंश में विस्तार विधि लागू करने के लिए, हम योग घन सूत्र  का उपयोग करते हैं, और फिर परिणामी बहुपद को हर से, पद दर पद विभाजित करते हैं।

=((8x 3/2 + 12x+ 6x 1/2 + 1)/(x 3/2))dx=(8 + 12x -1/2 + 6/x+x -3/2)dx= 8 dx+ 12x -1/2 dx+ + 6dx/x+x -3/2 dx=

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि समाधान के अंत में एक सामान्य स्थिरांक C लिखा जाता है (और प्रत्येक पद को एकीकृत करते समय अलग-अलग नहीं)। भविष्य में, समाधान प्रक्रिया में व्यक्तिगत शब्दों के एकीकरण से स्थिरांक को हटाने का भी प्रस्ताव है जब तक कि अभिव्यक्ति में कम से कम एक अनिश्चित अभिन्न अंग शामिल हो (हम समाधान के अंत में एक स्थिरांक लिखेंगे)।

उदाहरण 10.हम ढूंढ लेंगे . इस समस्या को हल करने के लिए, आइए अंश का गुणनखंड करें (इसके बाद हम हर को कम कर सकते हैं)।

उदाहरण 11.हम इसे ढूंढ लेंगे. त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग यहां किया जा सकता है।

कभी-कभी, किसी अभिव्यक्ति को शब्दों में विघटित करने के लिए, आपको अधिक जटिल तकनीकों का उपयोग करना पड़ता है।

उदाहरण 12.हम ढूंढ लेंगे . इंटीग्रैंड में हम भिन्न के पूरे भाग का चयन करते हैं . तब

उदाहरण 13.हम ढूंढ लेंगे

2. परिवर्तनीय प्रतिस्थापन विधि (प्रतिस्थापन विधि)

विधि निम्नलिखित सूत्र पर आधारित है: f(x)dx=f((t))`(t)dt, जहां x =(t) विचाराधीन अंतराल पर अवकलनीय एक फ़ंक्शन है।

सबूत। आइए बाईं ओर से चर t के संबंध में व्युत्पन्न खोजें सही भागसूत्र.

ध्यान दें कि बाईं ओर एक जटिल फ़ंक्शन है जिसका मध्यवर्ती तर्क x = (t) है। इसलिए, इसे t के संबंध में अलग करने के लिए, हम पहले x के संबंध में अभिन्न को अलग करते हैं, और फिर t के संबंध में मध्यवर्ती तर्क का व्युत्पन्न लेते हैं।

( f(x)dx)` t = ( f(x)dx)` x *x` t = f(x) `(t)

दाईं ओर से व्युत्पन्न:

(f((t))`(t)dt)` t =f((t))`(t) =f(x)`(t)

चूँकि ये व्युत्पन्न समान हैं, लैग्रेंज के प्रमेय के परिणाम से, सिद्ध किए जा रहे सूत्र के बाएँ और दाएँ पक्ष एक निश्चित स्थिरांक से भिन्न होते हैं। चूंकि अनिश्चितकालीन अभिन्न अंग स्वयं एक अनिश्चित स्थिर पद तक परिभाषित होते हैं, इसलिए इस स्थिरांक को अंतिम संकेतन से छोड़ा जा सकता है। सिद्ध किया हुआ।

चर का एक सफल परिवर्तन आपको मूल अभिन्न अंग को सरल बनाने की अनुमति देता है, और सबसे सरल मामलों में, इसे एक सारणीबद्ध रूप में कम कर देता है। इस पद्धति के अनुप्रयोग में, रैखिक और अरेखीय प्रतिस्थापन विधियों के बीच अंतर किया जाता है।

ए) रैखिक प्रतिस्थापन विधिआइए एक उदाहरण देखें.

उदाहरण 1.
. मान लीजिए t= 1 – 2x, तो

dx=d(½ - ½t) = - ½dt

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि नए वेरिएबल को स्पष्ट रूप से लिखने की आवश्यकता नहीं है। ऐसे मामलों में, वे किसी फ़ंक्शन को अंतर चिह्न के तहत बदलने या अंतर चिह्न के तहत स्थिरांक और चर पेश करने के बारे में बात करते हैं, यानी। हे अंतर्निहित परिवर्तनीय प्रतिस्थापन.

उदाहरण 2.उदाहरण के लिए, आइए cos(3x + 2)dx खोजें। अंतर के गुणों द्वारा dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2), फिरcos(3x + 2)dx =(1/3)cos(3x + 2)d (3x + + 2) = (1/3)cos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) +C.

विचार किए गए दोनों उदाहरणों में, अभिन्नों को खोजने के लिए रैखिक प्रतिस्थापन t=kx+b(k0) का उपयोग किया गया था।

सामान्य स्थिति में, निम्नलिखित प्रमेय मान्य है।

रैखिक प्रतिस्थापन प्रमेय. मान लीजिए F(x) फलन f(x) का कुछ प्रतिअवकलन है। फिरf(kx+b)dx= (1/k)F(kx+b) +C, जहां k और b कुछ स्थिरांक हैं,k0.

सबूत।

अभिन्न अंग की परिभाषा के अनुसार f(kx+b)d(kx+b) =F(kx+b) +C. Hod(kx+b)= (kx+b)`dx=kdx. आइए अभिन्न चिह्न से स्थिर कारक k निकालें: kf(kx+b)dx=F(kx+b) +C. अब हम समानता के बाएँ और दाएँ पक्षों को दो भागों में विभाजित कर सकते हैं और स्थिर पद के पदनाम तक सिद्ध होने वाला कथन प्राप्त कर सकते हैं।

यह प्रमेय बताता है कि यदि अभिन्न f(x)dx= F(x) + C की परिभाषा में तर्क x के बजाय हम अभिव्यक्ति (kx+b) को प्रतिस्थापित करते हैं, तो इससे एक अतिरिक्त की उपस्थिति होगी प्रतिअवकलन के सामने कारक 1/k.

सिद्ध प्रमेय का उपयोग करके, हम निम्नलिखित उदाहरणों को हल करते हैं।

उदाहरण 3.

हम ढूंढ लेंगे . यहाँ kx+b= 3 –x, यानी k= -1,b= 3. फिर

उदाहरण 4.

हम इसे ढूंढ लेंगे. यहाँkx+b= 4x+ 3, यानी k= 4,b= 3. फिर

उदाहरण 5.

हम ढूंढ लेंगे . यहाँ kx+b= -2x+ 7, यानी k= -2,b= 7. फिर

.

उदाहरण 6.हम ढूंढ लेंगे
. यहां kx+b= 2x+ 0, यानी k= 2,b= 0.

.

आइए प्राप्त परिणाम की तुलना उदाहरण 8 से करें, जिसे अपघटन विधि द्वारा हल किया गया था। एक ही समस्या को भिन्न विधि से हल करने पर हमें उत्तर मिल गया
. आइए परिणामों की तुलना करें: इस प्रकार, ये अभिव्यक्तियाँ एक दूसरे से एक स्थिर पद से भिन्न होती हैं , यानी प्राप्त उत्तर एक-दूसरे का खंडन नहीं करते।

उदाहरण 7.हम ढूंढ लेंगे
. आइए हर में एक पूर्ण वर्ग चुनें।

कुछ मामलों में, एक वेरिएबल को बदलने से इंटीग्रल को सीधे सारणीबद्ध रूप में कम नहीं किया जा सकता है, बल्कि समाधान को सरल बनाया जा सकता है, जिससे अगले चरण में विस्तार विधि का उपयोग करना संभव हो जाता है।

उदाहरण 8.उदाहरण के लिए, आइए खोजें . t=x+ 2 को प्रतिस्थापित करें, फिर dt=d(x+ 2) =dx। तब

,

जहाँ C = C 1 – 6 (पहले दो पदों के स्थान पर व्यंजक (x+ 2) को प्रतिस्थापित करने पर हमें ½x 2 -2x– 6 प्राप्त होता है)।

उदाहरण 9.हम ढूंढ लेंगे
. माना t= 2x+ 1, फिर dt= 2dx;dx= ½dt;x= (t– 1)/2.

आइए अभिव्यक्ति (2x+ 1) को t के स्थान पर रखें, कोष्ठक खोलें और समान कोष्ठक दें।

ध्यान दें कि परिवर्तनों की प्रक्रिया में हम एक और स्थिर पद पर चले गए, क्योंकि परिवर्तन प्रक्रिया के दौरान स्थिर पदों के समूह को छोड़ा जा सकता है।

बी) अरेखीय प्रतिस्थापन विधिआइए एक उदाहरण देखें.

उदाहरण 1.
. लेट = -x 2. इसके बाद, कोई x को t के संदर्भ में व्यक्त कर सकता है, फिर dx के लिए एक अभिव्यक्ति ढूंढ सकता है और वांछित अभिन्न अंग में चर के परिवर्तन को लागू कर सकता है। लेकिन में इस मामले मेंइसे अलग तरीके से करना आसान है. आइए खोजेंdt=d(-x 2) = -2xdx. ध्यान दें कि अभिव्यक्ति xdx वांछित अभिन्न के समाकलन का एक कारक है। आइए हम इसे परिणामी समानताxdx= - ½dt से व्यक्त करें। तब

प्रतिअवकलन फलन और अनिश्चित समाकलन

तथ्य 1. एकीकरण विभेदीकरण की विपरीत क्रिया है, अर्थात्, इस फ़ंक्शन के ज्ञात व्युत्पन्न से एक फ़ंक्शन को पुनर्स्थापित करना। इस प्रकार कार्य बहाल हो गया एफ(एक्स) कहा जाता है antiderivativeसमारोह के लिए एफ(एक्स).

परिभाषा 1. कार्य एफ(एक्स एफ(एक्स) कुछ अंतराल पर एक्स, यदि सभी मानों के लिए एक्सइस अंतराल से समानता कायम रहती है एफ "(एक्स)=एफ(एक्स), वह है यह फ़ंक्शन एफ(एक्स) प्रतिअवकलन फलन का व्युत्पन्न है एफ(एक्स). .

उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन एफ(एक्स) = पाप एक्स फ़ंक्शन का प्रतिव्युत्पन्न है एफ(एक्स) = क्योंकि एक्स संपूर्ण संख्या रेखा पर, चूँकि x के किसी भी मान के लिए (पाप एक्स)" = (क्योंकि एक्स) .

परिभाषा 2. किसी फ़ंक्शन का अनिश्चितकालीन अभिन्न अंग एफ(एक्स) इसके सभी प्रतिअवकलजों का समुच्चय है. इस मामले में, संकेतन का उपयोग किया जाता है

∫

एफ(एक्स)डीएक्स

,

संकेत कहाँ है ∫ अभिन्न चिन्ह, फलन कहा जाता है एफ(एक्स) - इंटीग्रैंड फ़ंक्शन, और एफ(एक्स)डीएक्स -एकात्म अभिव्यक्ति.

इस प्रकार, यदि एफ(एक्स) - के लिए कुछ प्रतिव्युत्पन्न एफ(एक्स) , वह

∫

एफ(एक्स)डीएक्स = एफ(एक्स) +सी

कहाँ सी - मनमाना स्थिरांक (स्थिर)।

किसी फलन के प्रतिअवकलजों के समुच्चय को अनिश्चित समाकलन के रूप में समझने के लिए निम्नलिखित सादृश्य उपयुक्त है। चलो वहाँ एक दरवाजा हो (पारंपरिक लकड़ी का दरवाजा). इसका कार्य "दरवाजा बनना" है। दरवाजा किससे बना है? लकड़ी से बना हुआ. इसका मतलब यह है कि फ़ंक्शन "टू बी ए डोर" के इंटीग्रैंड के एंटीडेरिवेटिव्स का सेट, यानी, इसका अनिश्चित अभिन्न अंग, फ़ंक्शन "टू बी ए ट्री + सी" है, जहां सी एक स्थिरांक है, जो इस संदर्भ में हो सकता है उदाहरण के लिए, पेड़ के प्रकार को निरूपित करें। जिस प्रकार एक दरवाजा कुछ उपकरणों का उपयोग करके लकड़ी से बनाया जाता है, उसी प्रकार एक फ़ंक्शन का व्युत्पन्न एक एंटीडेरिवेटिव फ़ंक्शन का उपयोग करके "बनाया" जाता है व्युत्पन्न का अध्ययन करते समय हमने जो सूत्र सीखे .

फिर सामान्य वस्तुओं और उनके संगत प्रतिअवकलजों के कार्यों की तालिका ("एक दरवाजा होना" - "एक पेड़ होना", "एक चम्मच होना" - "धातु होना", आदि) मूल की तालिका के समान है अनिश्चितकालीन समाकलन, जो नीचे दिया जाएगा। अनिश्चितकालीन अभिन्नों की तालिका सामान्य कार्यों को सूचीबद्ध करती है, जो उन प्रतिअवकलजों को दर्शाती है जिनसे ये कार्य "बने" होते हैं। अनिश्चितकालीन अभिन्न को खोजने की समस्याओं के एक भाग में, ऐसे समाकलन दिए गए हैं जिन्हें बिना अधिक प्रयास के सीधे एकीकृत किया जा सकता है, अर्थात, अनिश्चितकालीन समाकलन की तालिका का उपयोग करके। अधिक जटिल समस्याओं में, इंटीग्रैंड को पहले रूपांतरित किया जाना चाहिए ताकि टेबल इंटीग्रल्स का उपयोग किया जा सके।

तथ्य 2. किसी फ़ंक्शन को एंटीडेरिवेटिव के रूप में पुनर्स्थापित करते समय, हमें एक मनमाना स्थिरांक (स्थिर) को ध्यान में रखना चाहिए सी, और 1 से अनंत तक विभिन्न स्थिरांकों के साथ प्रतिअवकलजों की सूची न लिखने के लिए, आपको एक मनमाना स्थिरांक के साथ प्रतिअवकलजों का एक सेट लिखना होगा सी, उदाहरण के लिए, इस तरह: 5 एक्स³+सी. अतः, प्रतिअवकलन की अभिव्यक्ति में एक मनमाना स्थिरांक (स्थिर) शामिल है, क्योंकि प्रतिअवकलन एक फलन हो सकता है, उदाहरण के लिए, 5 एक्स³+4 या 5 एक्स³+3 और जब विभेदित किया जाता है, 4 या 3, या कोई अन्य स्थिरांक शून्य हो जाता है।

आइए एकीकरण समस्या प्रस्तुत करें: इस फ़ंक्शन के लिए एफ(एक्स) ऐसा फ़ंक्शन ढूंढें एफ(एक्स), जिसका व्युत्पन्नके बराबर एफ(एक्स).

उदाहरण 1.किसी फ़ंक्शन के प्रतिअवकलन का समुच्चय ज्ञात कीजिए

समाधान। इस फ़ंक्शन के लिए, प्रतिअवकलन फ़ंक्शन है

समारोह एफ(एक्स) को फ़ंक्शन के लिए प्रतिअवकलन कहा जाता है एफ(एक्स), यदि व्युत्पन्न एफ(एक्स) के बराबर है एफ(एक्स), या, जो एक ही चीज़ है, अंतर एफ(एक्स) बराबर है एफ(एक्स) डीएक्स, यानी

(2)

इसलिए, फलन, फलन का प्रतिअवकलन है। हालाँकि, यह इसका एकमात्र प्रतिव्युत्पन्न नहीं है। वे कार्य भी करते हैं

कहाँ साथ- मनमाना स्थिरांक. इसे विभेदन द्वारा सत्यापित किया जा सकता है।

इस प्रकार, यदि किसी फलन के लिए एक प्रतिअवकलन है, तो उसके लिए अनंत संख्या में प्रतिअवकलन होते हैं जो एक स्थिर पद से भिन्न होते हैं। किसी फ़ंक्शन के लिए सभी एंटीडेरिवेटिव उपरोक्त फॉर्म में लिखे गए हैं। यह निम्नलिखित प्रमेय से अनुसरण करता है।

प्रमेय (तथ्य 2 का औपचारिक विवरण)।अगर एफ(एक्स) - फ़ंक्शन के लिए प्रतिअवकलन एफ(एक्स) कुछ अंतराल पर एक्स, फिर इसके लिए कोई अन्य प्रतिअवकलन एफ(एक्स) उसी अंतराल पर फॉर्म में दर्शाया जा सकता है एफ(एक्स) + सी, कहाँ साथ- मनमाना स्थिरांक.

में निम्नलिखित उदाहरणहम पहले से ही अभिन्नों की तालिका की ओर रुख करते हैं, जो अनिश्चितकालीन अभिन्न के गुणों के बाद पैराग्राफ 3 में दी जाएगी। ऐसा हम पूरी तालिका को पढ़ने से पहले करते हैं ताकि उपरोक्त का सार स्पष्ट हो जाए। और तालिका और गुणों के बाद, हम एकीकरण के दौरान उनका संपूर्ण उपयोग करेंगे।

उदाहरण 2.प्रतिअवकलन फलनों के समुच्चय खोजें:

समाधान। हम प्रतिअवकलन फलनों के समुच्चय पाते हैं जिनसे ये फलन "बनते" हैं। अभिन्नों की तालिका से सूत्रों का उल्लेख करते समय, अभी के लिए बस यह स्वीकार करें कि वहाँ ऐसे सूत्र हैं, और हम अनिश्चित अभिन्नों की तालिका का थोड़ा और आगे अध्ययन करेंगे।

1) इंटीग्रल की तालिका से सूत्र (7) को लागू करना एन= 3, हमें प्राप्त होता है

2) इंटीग्रल की तालिका से सूत्र (10) का उपयोग करना एन= 1/3, हमारे पास है

3) चूंकि

फिर सूत्र (7) के अनुसार एन= -1/4 हम पाते हैं

यह फ़ंक्शन स्वयं नहीं है जो अभिन्न चिह्न के नीचे लिखा गया है। एफ, और अंतर द्वारा इसका उत्पाद डीएक्स. यह मुख्य रूप से यह इंगित करने के लिए किया जाता है कि किस चर द्वारा प्रतिअवकलन की मांग की जाती है। उदाहरण के लिए,

, ;

यहां दोनों मामलों में इंटीग्रैंड बराबर है, लेकिन विचार किए गए मामलों में इसके अनिश्चित इंटीग्रल अलग-अलग हो जाते हैं। पहले मामले में, इस फ़ंक्शन को वेरिएबल का एक फ़ंक्शन माना जाता है एक्स, और दूसरे में - के एक कार्य के रूप में जेड .

किसी फ़ंक्शन के अनिश्चितकालीन अभिन्न को खोजने की प्रक्रिया को उस फ़ंक्शन को एकीकृत करना कहा जाता है।

अनिश्चितकालीन अभिन्न का ज्यामितीय अर्थ

मान लीजिए हमें एक वक्र ढूंढ़ना है y=F(x)और हम पहले से ही जानते हैं कि इसके प्रत्येक बिंदु पर स्पर्शरेखा कोण की स्पर्शरेखा एक दिया हुआ फलन है एफ(एक्स)इस बिंदु का भुज.

व्युत्पन्न के ज्यामितीय अर्थ के अनुसार, वक्र के किसी दिए गए बिंदु पर स्पर्शरेखा के झुकाव के कोण की स्पर्शरेखा y=F(x) मूल्य के बराबरयौगिक एफ"(एक्स). इसलिए हमें ऐसा कोई फ़ंक्शन ढूंढने की आवश्यकता है एफ(एक्स), जिसके लिए एफ"(एक्स)=एफ(एक्स). कार्य में आवश्यक फ़ंक्शन एफ(एक्स)का प्रतिव्युत्पन्न है एफ(एक्स). समस्या की स्थितियाँ एक वक्र से नहीं, बल्कि वक्रों के एक परिवार से संतुष्ट होती हैं। y=F(x)- ऐसे वक्रों में से एक, और इससे कोई अन्य वक्र अक्ष के अनुदिश समानांतर अनुवाद द्वारा प्राप्त किया जा सकता है ओए.

आइए के प्रतिअवकलन फलन के ग्राफ़ को कॉल करें एफ(एक्स)अभिन्न वक्र. अगर एफ"(एक्स)=एफ(एक्स), फिर फ़ंक्शन का ग्राफ़ y=F(x)एक अभिन्न वक्र है.

तथ्य 3. अनिश्चितकालीन अभिन्न को ज्यामितीय रूप से सभी अभिन्न वक्रों के परिवार द्वारा दर्शाया जाता है , जैसा कि नीचे चित्र में है। निर्देशांक की उत्पत्ति से प्रत्येक वक्र की दूरी एक मनमाना एकीकरण स्थिरांक द्वारा निर्धारित की जाती है सी.

अनिश्चितकालीन अभिन्न के गुण

तथ्य 4. प्रमेय 1. अनिश्चित अभिन्न का व्युत्पन्न समाकलन के बराबर है, और इसका अंतर समाकलन के बराबर है।

तथ्य 5. प्रमेय 2. किसी फ़ंक्शन के अंतर का अनिश्चित अभिन्न अंग एफ(एक्स) फ़ंक्शन के बराबर है एफ(एक्स) एक स्थिर अवधि तक , यानी

(3)

प्रमेय 1 और 2 दर्शाते हैं कि विभेदीकरण और एकीकरण परस्पर विपरीत संक्रियाएँ हैं।

तथ्य 6. प्रमेय 3. समाकलन में स्थिर कारक को अनिश्चितकालीन समाकलन के चिन्ह से निकाला जा सकता है , यानी

एकीकरण सीखना कठिन नहीं है. ऐसा करने के लिए, आपको बस नियमों का एक निश्चित, काफी छोटा सेट सीखने और एक प्रकार की वृत्ति विकसित करने की आवश्यकता है। बेशक, नियमों और सूत्रों को सीखना आसान है, लेकिन यह समझना काफी मुश्किल है कि एकीकरण या भेदभाव के इस या उस नियम को कहां और कब लागू किया जाए। वास्तव में, यह एकीकृत करने की क्षमता है।

1. प्रतिअवकलन। अनिश्चितकालीन अभिन्न.

यह माना जाता है कि इस लेख को पढ़ने के समय तक पाठक के पास पहले से ही कुछ विभेदीकरण कौशल (यानी, व्युत्पन्न ढूंढना) है।

परिभाषा 1.1:किसी फ़ंक्शन को किसी फ़ंक्शन का प्रतिअवकलन कहा जाता है यदि समानता हो:

टिप्पणियाँ:> "आदिम" शब्द में जोर दो तरह से दिया जा सकता है: पहला हेआलंकारिक या प्रोटोटाइप एजानना.

संपत्ति 1:यदि कोई फ़ंक्शन किसी फ़ंक्शन का प्रतिअवकलन है, तो फ़ंक्शन भी किसी फ़ंक्शन का प्रतिअवकलन है।

सबूत:आइये इसे प्रतिअवकलन की परिभाषा से सिद्ध करें। आइए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:

में पहला कार्यकाल परिभाषा 1.1के बराबर है, और दूसरा पद अचर का व्युत्पन्न है, जो 0 के बराबर है।

.

आइए संक्षेप करें. आइए समानताओं की श्रृंखला की शुरुआत और अंत लिखें:

इस प्रकार, किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न बराबर है, और इसलिए, परिभाषा के अनुसार, इसका प्रतिअवकलन है। संपत्ति सिद्ध हो चुकी है.

परिभाषा 1.2:किसी फ़ंक्शन का अनिश्चितकालीन अभिन्न अंग इस फ़ंक्शन के एंटीडेरिवेटिव का संपूर्ण सेट है। इसे इस प्रकार दर्शाया गया है:

.

आइए रिकॉर्ड के प्रत्येक भाग के नाम को विस्तार से देखें:

- अभिन्न का सामान्य पदनाम,

— इंटीग्रैंड (एकीकृत) अभिव्यक्ति, इंटीग्रेबल फ़ंक्शन।

एक अंतर है, और अक्षर के बाद की अभिव्यक्ति, इस मामले में यह है, को एकीकरण का चर कहा जाएगा।

टिप्पणियाँ: कीवर्डइस परिभाषा में - "संपूर्ण भीड़"। वे। यदि भविष्य में उत्तर में यही "प्लस सी" नहीं लिखा है, तो निरीक्षक के पास है हर अधिकारइस असाइनमेंट को न गिनें, क्योंकि एंटीडेरिवेटिव्स के पूरे सेट को ढूंढना आवश्यक है, और यदि सी गायब है, तो केवल एक ही पाया जाता है।

निष्कर्ष:यह जांचने के लिए कि क्या अभिन्न की गणना सही ढंग से की गई है, परिणाम का व्युत्पन्न खोजना आवश्यक है। इसे इंटीग्रैंड के साथ मेल खाना चाहिए।
उदाहरण:
व्यायाम:अनिश्चितकालीन अभिन्न की गणना करें और जांचें।

समाधान:

जिस तरह से इस अभिन्न की गणना की जाती है वह इस मामले में मायने नहीं रखता है। चलिए मान लेते हैं कि यह ऊपर से आया रहस्योद्घाटन है। हमारा काम यह दिखाना है कि रहस्योद्घाटन ने हमें धोखा नहीं दिया, और यह सत्यापन के माध्यम से किया जा सकता है।

परीक्षा:

परिणाम को विभेदित करते समय, हमें एक इंटीग्रैंड प्राप्त हुआ, जिसका अर्थ है कि इंटीग्रल की गणना सही ढंग से की गई थी।

2. शुरुआत. अभिन्नों की तालिका.

एकीकृत करने के लिए, आपको हर बार उस फ़ंक्शन को याद रखने की ज़रूरत नहीं है जिसका व्युत्पन्न दिए गए इंटीग्रैंड के बराबर है (यानी, सीधे इंटीग्रल की परिभाषा का उपयोग करें)। समस्याओं के प्रत्येक संग्रह या गणितीय विश्लेषण पर पाठ्यपुस्तक में अभिन्नों के गुणों की एक सूची और सबसे सरल अभिन्नों की एक तालिका होती है।

आइए संपत्तियों की सूची बनाएं।

गुण:
1.
अंतर का अभिन्न अंग एकीकरण के चर के बराबर है।
2. , एक स्थिरांक कहां है.
अचर गुणक को पूर्णांक चिन्ह से निकाला जा सकता है।

3.
किसी योग का समाकलन समाकलन के योग के बराबर होता है (यदि पदों की संख्या सीमित है)।
अभिन्नों की तालिका:

1.	10.
2.	11.
3.	12.
4.	13.
5.	14.
6.	15.
7.	16.
8.	17.
9.	18.

अक्सर, कार्य गुणों और सूत्रों का उपयोग करके अध्ययन के तहत अभिन्न को एक सारणीबद्ध रूप में कम करना होता है।

उदाहरण:

[आइए अभिन्नों के तीसरे गुण का उपयोग करें और इसे तीन अभिन्नों के योग के रूप में लिखें।]

[आइए दूसरी संपत्ति का उपयोग करें और स्थिरांक को एकीकरण चिह्न से आगे ले जाएं।]

[पहले इंटीग्रल में हम टेबल इंटीग्रल नंबर 1 (n=2) का उपयोग करेंगे, दूसरे में हम उसी सूत्र का उपयोग करेंगे, लेकिन n=1, और तीसरे इंटीग्रल के लिए हम या तो उसी टेबल इंटीग्रल का उपयोग कर सकते हैं, लेकिन साथ में n=0, या पहली संपत्ति ]
.
आइए विभेदन द्वारा जाँच करें:

मूल इंटीग्रैंड प्राप्त किया गया था, इसलिए, एकीकरण त्रुटियों के बिना किया गया था (और एक मनमाना स्थिरांक सी को जोड़ना भी भुलाया नहीं गया था)।

टेबल इंटीग्रल्स को एक साधारण कारण से याद किया जाना चाहिए - यह जानने के लिए कि किसके लिए प्रयास करना है, यानी। किसी दिए गए अभिव्यक्ति को बदलने का उद्देश्य जानें।

यहां कुछ और उदाहरण दिए गए हैं:
1)
2)
3)

स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य:

कार्य 1.अनिश्चितकालीन अभिन्न की गणना करें:

+ संकेत #1 दिखाएँ/छिपाएँ।

1) तीसरे गुण का उपयोग करें और इस अभिन्न को तीन अभिन्नों के योग के रूप में निरूपित करें।

+ संकेत #2 दिखाएँ/छिपाएँ।

+ संकेत #3 दिखाएँ/छिपाएँ।

3) पहले दो पदों के लिए, पहले सारणीबद्ध समाकलन का उपयोग करें, और तीसरे के लिए, दूसरे सारणीबद्ध समाकलन का उपयोग करें।

+ समाधान दिखाएँ/छिपाएँ और उत्तर दें।

4) समाधान:

उत्तर: