एक नियमित हेक्सागोनल पिरामिड जो सामने से प्रक्षेपित होने वाले विमान a' द्वारा प्रतिच्छेदित होता है, चित्र 189 में दिखाया गया है। पिछले उदाहरणों की तरह, अनुभाग का ललाट प्रक्षेपण विमान के ललाट निशान के साथ मेल खाता है। अनुभाग आकृति के क्षैतिज और प्रोफ़ाइल प्रक्षेपण का उपयोग करके निर्माण किया जाता है वे बिंदु जो पिरामिड के किनारों के साथ समतल a" के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं। हम प्रक्षेपण तलों को बदलकर इस उदाहरण में अनुभाग आकृति का वास्तविक स्वरूप पाएंगे। चित्र 189 एक अनुभागीय आकृति और एक आधार आकृति के साथ एक काटे गए पिरामिड की पार्श्व सतह का विकास चित्र 190 में दिखाया गया है। सबसे पहले, एक गैर-काटे गए पिरामिड का निर्माण किया गया है, जिसके सभी त्रिकोण-आकार के चेहरे समान हैं। बिंदु S0 (पिरामिड का शीर्ष) को समतल पर अंकित किया गया है और उसमें से, एक पेंगरा की तरह, पिरामिड के पार्श्व किनारे की वास्तविक लंबाई के बराबर त्रिज्या R के साथ एक वृत्त का चाप खींचा गया है। किनारे की वास्तविक लंबाई पिरामिड के प्रोफ़ाइल प्रक्षेपण से निर्धारित की जा सकती है, उदाहरण के लिए, खंड 6 एल या एसबी, क्योंकि ये किनारे प्रोफ़ाइल विमान के समानांतर हैं और उनकी वास्तविक लंबाई के साथ उस पर दर्शाए गए हैं। इसके बाद, किसी भी बिंदु से एक गोलाकार चाप के साथ, उदाहरण के लिए एएफआर, छह समान खंड बिछाए जाते हैं, जो षट्भुज के किनारे की वास्तविक लंबाई के बराबर होते हैं - पिरामिड का आधार। पिरामिड के आधार की भुजा की वास्तविक लंबाई किसके द्वारा प्राप्त की जाती है? क्षैतिज प्रक्षेपण(सेगमेंट ए "बी"). बिंदु A^-E0 सीधी रेखाओं द्वारा शीर्ष SQ से जुड़े हुए हैं। फिर, इन सीधी रेखाओं पर शीर्ष S0 से, किनारे के खंडों की वास्तविक लंबाई को काटने वाले विमान तक प्लॉट किया जाता है। एक काटे गए पिरामिड के प्रोफ़ाइल प्रक्षेपण पर केवल दो खंडों की वास्तविक लंबाई होती है - S""5"" और S"2"। शेष खंडों की वास्तविक लंबाई उन्हें क्षैतिज तल के लंबवत अक्ष के चारों ओर घुमाकर निर्धारित की जाती है। शीर्ष एस से गुजरते हुए परिणामी बिंदु /0, 30, आदि सीधी रेखाओं से जुड़े होते हैं और आधार और खंड के आंकड़े त्रिकोणीय विधि का उपयोग करके जुड़े होते हैं, विकास पर मोड़ रेखाएं खींची जाती हैं। डैश-बिंदीदार रेखादो बिंदुओं के साथ. काटे गए पिरामिड के एक आइसोमेट्रिक प्रक्षेपण का निर्माण जटिल ड्राइंग के क्षैतिज प्रक्षेपण से लिए गए आयामों के अनुसार पिरामिड के आधार के एक आइसोमेट्रिक प्रक्षेपण के निर्माण से शुरू होता है। फिर, आधार के तल पर, लेकिन बिंदु 1-6" के निर्देशांक पर, खंड का एक क्षैतिज प्रक्षेपण बनाया जाता है (पिरामिड के आधार पर पतली रेखाएं, चित्र 191)। परिणामी षट्भुज के शीर्ष से, ऊर्ध्वाधर सीधी रेखाएँ खींची जाती हैं, जिन पर प्रिज्म के ललाट या प्रोफ़ाइल प्रक्षेपण से लिए गए निर्देशांक अंकित होते हैं, उदाहरण के लिए, खंड ए", के2, कू, आदि। हम परिणामी बिंदुओं को 1-6 से जोड़ते हैं, हमें एक खंड आकृति मिलती है . बिंदु 1-6 को पिरामिड के आधार, षट्भुज के शीर्षों से जोड़ने पर, हमें प्राप्त होता है सममितीय प्रक्षेपणछोटा पिरामिड. अदृश्य किनारों को धराशायी रेखाओं के साथ दिखाया गया है।

नियमित षट्कोणीय पिरामिड सामने से प्रक्षेपित तल द्वारा प्रतिच्छेदित है आर,चित्र में दिखाया गया है 180.

पिछले उदाहरणों की तरह, अनुभाग का ललाट प्रक्षेपण ललाट ट्रैकिंग के साथ मेल खाता है

घर पीवीविमान। एक खंड आकृति के क्षैतिज और प्रोफ़ाइल प्रक्षेपण उन बिंदुओं का उपयोग करके बनाए जाते हैं जो विमान के प्रतिच्छेदन बिंदु होते हैं आरपिरामिड किनारों के साथ.

इस उदाहरण में अनुभाग आकृति का वास्तविक स्वरूप पंजीकरण विधि द्वारा निर्धारित किया जाता है।

एक अनुभागीय आकृति और एक आधार आकृति के साथ एक काटे गए पिरामिड की पार्श्व सतह का विकास चित्र में दिखाया गया है। 180, बी।

सबसे पहले, एक गैर-काटे गए पिरामिड का स्कैन बनाया गया है, जिसके सभी त्रिकोण आकार के चेहरे समान हैं। समतल पर एक बिंदु अंकित करें एस एल(पिरामिड का शीर्ष) और उसमें से, केंद्र की तरह, एक त्रिज्या वाले वृत्त का एक चाप खींचें आर,पिरामिड के पार्श्व किनारे की वास्तविक लंबाई के बराबर। किनारे की वास्तविक लंबाई पिरामिड के प्रोफ़ाइल प्रक्षेपण से निर्धारित की जा सकती है, उदाहरण के लिए, खंड एस"ई"या एस"बी",चूँकि ये किनारे समतल के समानांतर हैं डब्ल्यूऔर उस पर वास्तविक लंबाई के साथ दर्शाया गया है। इसके बाद, किसी भी बिंदु से एक वृत्त के चाप के साथ, उदाहरण के लिए 1, छह समान खंड बिछाए जाते हैं, जो षट्भुज के किनारे की वास्तविक लंबाई के बराबर होते हैं - पिरामिड का आधार। पिरामिड के आधार के किनारे की वास्तविक लंबाई क्षैतिज प्रक्षेपण (खंड) पर प्राप्त की जाती है एबी).अंक ए 1 ...च 1शीर्ष s 1 से सीधी रेखाओं द्वारा जुड़ा हुआ। फिर ऊपर से एक 1इन सीधी रेखाओं पर किनारे के खंडों से लेकर काटने वाले तल तक की वास्तविक लंबाई अंकित की जाती है।

एक काटे गए पिरामिड के प्रोफ़ाइल प्रक्षेपण पर केवल दो की वास्तविक लंबाई होती है

तीखा - स"5और स"2.शेष खंडों की वास्तविक लंबाई उन्हें समतल के लंबवत अक्ष के चारों ओर घुमाने की विधि द्वारा निर्धारित की जाती है एनऔर शीर्ष एस से गुजर रहा है। उदाहरण के लिए, खंड को घुमाकर एस"6"समतल के समानांतर स्थिति में अक्ष के बारे में डब्ल्यू,हमें इस तल पर इसकी वास्तविक लंबाई प्राप्त होती है। ऐसा करने के लिए, यह बिंदु के माध्यम से पर्याप्त है 6" एक क्षैतिज रेखा खींचें जब तक कि वह किनारे की वास्तविक लंबाई के साथ प्रतिच्छेद न हो जाए एस.ई.या एसबी.रेखा खंड एस"6 0″(चित्र 180 देखें)।

अंक प्राप्त हुए 1 1 2 1 , 3 1 , वगैरह। सीधी रेखाओं से जुड़ें और त्रिकोणासन विधि का उपयोग करके आधार और अनुभाग आकृतियाँ जोड़ें। विकास पर तह रेखाएँ दो बिंदुओं वाली डैश-डॉट रेखा के रूप में खींची जाती हैं।

काटे गए पिरामिड के एक आइसोमेट्रिक प्रक्षेपण का निर्माण जटिल ड्राइंग के क्षैतिज प्रक्षेपण से लिए गए आयामों के अनुसार पिरामिड के आधार के एक आइसोमेट्रिक प्रक्षेपण के निर्माण से शुरू होता है। फिर बिंदुओं के निर्देशांक के अनुसार आधार तल पर 1...6 अनुभाग का एक क्षैतिज प्रक्षेपण बनाएं (चित्र 180 में पतली नीली रेखाएं देखें, एसी)।परिणामी षट्भुज के शीर्षों से, ऊर्ध्वाधर सीधी रेखाएँ खींची जाती हैं, जिन पर प्रिज्म के ललाट या प्रोफ़ाइल अनुमानों से लिए गए निर्देशांक अंकित किए जाते हैं, उदाहरण के लिए, खंड के ( , के 2 , के 3वगैरह। अंक प्राप्त हुए 1...6 हम जुड़ते हैं, हमें एक अनुभाग आकृति मिलती है। बिंदुओं को कनेक्ट करना 1...6 पिरामिड के आधार, षट्भुज के शीर्षों के साथ, हम काटे गए पिरामिड का एक सममितीय प्रक्षेपण प्राप्त करते हैं। अदृश्य किनारों को धराशायी रेखाओं के साथ दिखाया गया है।

त्रिकोणीय खंड का एक उदाहरण नियमित पिरामिडललाट प्रक्षेपण विमान चित्र में दिखाया गया है। 181.

तीन प्रक्षेपण विमानों पर सभी किनारों को विरूपण के साथ दर्शाया गया है। क्षैतिज प्रक्षेपण

आधार इसके वास्तविक स्वरूप को दर्शाता है, क्योंकि पिरामिड का आधार एक समतल पर स्थित है एन.

मान्य दृश्य 1 0 , 2 0 , 3 अनुभाग आकृति का 0 प्रक्षेपण तलों को बदलकर प्राप्त किया जाता है। में इस उदाहरण मेंक्षैतिज प्रक्षेपण विमान एनएक नए विमान से प्रतिस्थापित किया गया जो विमान के समानांतर है आर;नई धुरी एक्स 1ट्रेस के साथ संयुक्त पी वी(चित्र 181, ए)।

पिरामिड की सतह का विकास इस प्रकार किया गया है। घूर्णन विधि का उपयोग करके, पिरामिड के किनारों और आधार से काटने वाले तल तक उनके खंडों की वास्तविक लंबाई पाई जाती है आर।

उदाहरण के लिए, वास्तविक किनारे की लंबाई अनुसूचित जाति।और उसका खंड एनडब्ल्यूललाट प्रक्षेपण की लंबाई के बराबर, क्रमशः अनुसूचित जाति"किनारे और खंड c 1' 3 1 बारी के बाद.

फिर वे एक त्रिकोणीय अनियमित पिरामिड का विकास करते हैं (चित्र 181, सी)। ऐसा करने के लिए, एक मनमाने बिंदु से एसबिल्ली के लिए एक सीधी रेखा खींचें, पसली की वास्तविक लंबाई चिह्नित करें एस.ए.बिंदु से एसत्रिज्या के साथ एक पायदान बनाओ आर1,किनारे की वास्तविक लंबाई के बराबर एसबी,और बिंदु से त्रिज्या के साथ एक पायदान आर2,पिरामिड के आधार की भुजा के बराबर एबी,जिसके परिणामस्वरूप एक बिंदु प्राप्त हुआ बी 1और किनारा एस 1 बी 1 ए 1 .फिर बिंदुओं से एसऔर बी 1केंद्रों से, किनारे की वास्तविक लंबाई के बराबर त्रिज्या के साथ सेरिफ़ बनाएं अनुसूचित जाति।और ओर सूरजकिनारा पाओ एस 1 बी 1 एस 1पिरामिड. किनारा भी बना हुआ है एस 1 एस 1 ए 1.

बिंदुओं से ए 1 बी 1और 1 सेपसलियों के खंडों की वास्तविक लंबाई निर्धारित करें, जिन्हें ललाट प्रक्षेपण (खंडों) पर लिया जाता है ए 1 ′1 1 ′, बी 1 ′2 1 ′, सी 1 ′3 1 ′). त्रिकोणासन विधि का उपयोग करके आधार और अनुभाग आकृति को जोड़ा जाता है।

एक काटे गए पिरामिड (चित्र 181, बी) का एक सममितीय प्रक्षेपण बनाने के लिए, एक सममितीय अक्ष बनाएं एक्स।निर्देशांक द्वारा टीऔर पीपिरामिड का आधार बनाना एबीसी.आधार पक्ष एसीअक्ष के समानांतर एक्सया अक्ष के साथ मेल खाता है एक्स।पिछले उदाहरण की तरह, अनुभाग आकृति के क्षैतिज प्रक्षेपण का एक आइसोमेट्रिक प्रक्षेपण बनाया गया है 1 2 2 2 3 2 (बिंदु I, III और IV का उपयोग करके)। इन बिंदुओं से ऊर्ध्वाधर सीधी रेखाएँ खींची जाती हैं, जिन पर प्रिज्म के ललाट या प्रोफ़ाइल प्रक्षेपण से लिए गए खंड रखे जाते हैं क 1, क 2और क 3.अंक प्राप्त हुए 1 , 2, 3 एक दूसरे से और आधार के शीर्षों से सीधी रेखाओं द्वारा जुड़े हुए हैं।

पिरामिड. कटा हुआ पिरामिड

पिरामिडएक बहुफलक है, जिसका एक फलक बहुभुज है ( आधार ), और अन्य सभी फलक एक उभयनिष्ठ शीर्ष वाले त्रिभुज हैं ( पार्श्व चेहरे ) (चित्र 15)। पिरामिड कहा जाता है सही , यदि इसका आधार एक नियमित बहुभुज है और पिरामिड का शीर्ष आधार के केंद्र में प्रक्षेपित है (चित्र 16)। वह त्रिभुजाकार पिरामिड कहलाता है जिसके सभी किनारे बराबर हों चतुर्पाश्वीय .

पार्श्व पसलीपिरामिड के पार्श्व फलक का वह भाग होता है जो आधार से संबंधित नहीं होता है ऊंचाई पिरामिड इसके शीर्ष से आधार के तल तक की दूरी है। एक नियमित पिरामिड के सभी पार्श्व किनारे एक दूसरे के बराबर होते हैं, सभी पार्श्व फलक समान समद्विबाहु त्रिभुज होते हैं। शीर्ष से खींचे गए नियमित पिरामिड के पार्श्व फलक की ऊँचाई कहलाती है एपोटेम . विकर्ण खंड पिरामिड का एक खंड दो पार्श्व किनारों से गुजरने वाले एक विमान द्वारा कहा जाता है जो एक ही चेहरे से संबंधित नहीं होते हैं।

पार्श्व सतह क्षेत्रपिरामिड सभी पार्श्व फलकों के क्षेत्रफलों का योग है। क्षेत्र पूर्ण सतह इसे सभी पार्श्व फलकों और आधार के क्षेत्रफलों का योग कहा जाता है।

प्रमेयों

1. यदि किसी पिरामिड में सभी पार्श्व किनारे आधार के तल पर समान रूप से झुके हुए हैं, तो पिरामिड का शीर्ष आधार के निकट परिचालित वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित होता है।

2. यदि किसी पिरामिड के सभी पार्श्व किनारों की लंबाई समान है, तो पिरामिड का शीर्ष आधार के निकट घिरे एक वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित होता है।

3. यदि पिरामिड के सभी फलक आधार के तल पर समान रूप से झुके हुए हैं, तो पिरामिड का शीर्ष आधार में अंकित वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित होता है।

एक मनमाने पिरामिड के आयतन की गणना करने के लिए, सही सूत्र है:

कहाँ वी- आयतन;

एस आधार- आधार क्षेत्र;

एच-पिरामिड की ऊंचाई.

एक नियमित पिरामिड के लिए, निम्नलिखित सूत्र सही हैं:

कहाँ पी- आधार परिधि;

हा ए– एपोटेम;

एच- ऊंचाई;

एस भरा हुआ

एस ओर

एस आधार- आधार क्षेत्र;

वी– एक नियमित पिरामिड का आयतन.

कटा हुआ पिरामिडपिरामिड के आधार और आधार के समानांतर काटने वाले तल के बीच घिरे पिरामिड के भाग को कहा जाता है (चित्र 17)। नियमित रूप से काटे गए पिरामिड इसे नियमित पिरामिड का वह हिस्सा कहा जाता है जो आधार और पिरामिड के आधार के समानांतर काटने वाले तल के बीच घिरा होता है।

मैदानकाटे गए पिरामिड - समान बहुभुज। पार्श्व चेहरे - ट्रेपेज़ोइड्स। ऊंचाई एक काटे गए पिरामिड की दूरी उसके आधारों के बीच की दूरी है। विकर्ण एक कटा हुआ पिरामिड अपने शीर्षों को जोड़ने वाला एक खंड है जो एक ही सतह पर नहीं होते हैं। विकर्ण खंड एक विमान द्वारा काटे गए पिरामिड का एक खंड दो पार्श्व किनारों से होकर गुजरता है जो एक ही सतह से संबंधित नहीं हैं।

काटे गए पिरामिड के लिए निम्नलिखित सूत्र मान्य हैं:

(4)

कहाँ एस 1 , एस 2 - ऊपरी और निचले आधारों के क्षेत्र;

एस भरा हुआ- कुल सतह क्षेत्रफल;

एस ओर- पार्श्व सतह क्षेत्र;

एच- ऊंचाई;

वी- एक काटे गए पिरामिड का आयतन।

नियमित रूप से काटे गए पिरामिड के लिए सूत्र सही है:

कहाँ पी 1 , पी 2 - आधारों की परिधि;

हा ए- एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड का एपोटेम।

उदाहरण 1।एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड में, आधार पर डायहेड्रल कोण 60º होता है। आधार के तल पर पार्श्व किनारे के झुकाव के कोण की स्पर्श रेखा ज्ञात कीजिए।

समाधान।आइए एक चित्र बनाएं (चित्र 18)।

पिरामिड नियमित है, जिसका अर्थ है कि आधार पर एक समबाहु त्रिभुज है और सभी पार्श्व फलक समान समद्विबाहु त्रिभुज हैं। आधार पर डायहेड्रल कोण पिरामिड के पार्श्व पृष्ठ और आधार के तल के झुकाव का कोण है। रैखिक कोणएक कोण होगा एदो लंबों के बीच: आदि। पिरामिड का शीर्ष त्रिभुज के केंद्र (त्रिभुज के परिवृत्त और अंकित वृत्त का केंद्र) पर प्रक्षेपित है एबीसी). पार्श्व किनारे के झुकाव का कोण (उदाहरण के लिए)। एस.बी.) किनारे और आधार के तल पर उसके प्रक्षेपण के बीच का कोण है। पसली के लिए एस.बी.यह कोण कोण होगा एसबीडी. स्पर्शरेखा ज्ञात करने के लिए आपको पाद जानने की आवश्यकता है इसलिएऔर ओ.बी.. चलो खंड की लंबाई बी.डी 3 के बराबर है ए. डॉट के बारे मेंरेखा खंड बी.डीभागों में विभाजित है: तथा से हम पाते हैं इसलिए: से हम पाते हैं:

उत्तर:

उदाहरण 2.एक नियमित रूप से काटे गए चतुर्भुज पिरामिड का आयतन ज्ञात करें यदि इसके आधारों के विकर्ण सेमी और सेमी के बराबर हैं, और इसकी ऊंचाई 4 सेमी है।

समाधान।काटे गए पिरामिड का आयतन ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र (4) का उपयोग करते हैं। आधारों का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको उनके विकर्णों को जानते हुए, आधार वर्गों की भुजाएँ ज्ञात करनी होंगी। आधारों की भुजाएँ क्रमशः 2 सेमी और 8 सेमी के बराबर हैं। इसका अर्थ है आधारों का क्षेत्रफल और सभी डेटा को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हुए, हम काटे गए पिरामिड के आयतन की गणना करते हैं:

उत्तर: 112 सेमी 3.

उदाहरण 3.एक नियमित त्रिभुजाकार काटे गए पिरामिड के पार्श्व फलक का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसके आधारों की भुजाएँ 10 सेमी और 4 सेमी हैं, और पिरामिड की ऊँचाई 2 सेमी है।

समाधान।आइए एक चित्र बनाएं (चित्र 19)।

इस पिरामिड का पार्श्व मुख है समद्विबाहु समलम्बाकार. समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, आपको आधार और ऊँचाई जानने की आवश्यकता है। आधार शर्त के अनुसार दिये गये हैं, केवल ऊँचाई अज्ञात रहती है। हम उसे कहां से ढूंढेंगे ए 1 इएक बिंदु से लंबवत ए 1 निचले आधार के तल पर, ए 1 डी– से लंबवत ए 1 प्रति एसी. ए 1 इ= 2 सेमी, चूँकि यह पिरामिड की ऊँचाई है। ढूँढ़ने के लिए डेआइए शीर्ष दृश्य दिखाते हुए एक अतिरिक्त चित्र बनाएं (चित्र 20)। डॉट के बारे में- ऊपरी और निचले आधारों के केंद्रों का प्रक्षेपण। चूंकि (चित्र 20 देखें) और दूसरी ओर ठीक है– वृत्त में अंकित त्रिज्या तथा ओम– एक वृत्त में अंकित त्रिज्या:

एमके = डीई.

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार

पार्श्व चेहरा क्षेत्र:

उत्तर:

उदाहरण 4.पिरामिड के आधार पर एक समद्विबाहु समलंब है, जिसके आधार हैं एऔर बी (ए> बी). प्रत्येक पार्श्व फलक पिरामिड के आधार के तल के बराबर एक कोण बनाता है जे. पिरामिड का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये।

समाधान।आइए एक चित्र बनाएं (चित्र 21)। पिरामिड का कुल सतह क्षेत्रफल एसएबीसीडीक्षेत्रफलों और समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल के योग के बराबर ए बी सी डी.

आइए इस कथन का उपयोग करें कि यदि पिरामिड के सभी चेहरे आधार के तल पर समान रूप से झुके हुए हैं, तो शीर्ष को आधार में अंकित वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाता है। डॉट के बारे में– शीर्ष प्रक्षेपण एसपिरामिड के आधार पर. त्रिकोण एसओडीत्रिभुज का ओर्थोगोनल प्रक्षेपण है क्रिस्टोफ़र स्ट्रीट डेआधार के तल तक. ओर्थोगोनल प्रक्षेपण के क्षेत्र पर प्रमेय द्वारा सपाट आकृतिहम पाते हैं:

वैसे ही इसका मतलब है इस प्रकार, समस्या समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने तक सीमित रह गई ए बी सी डी. आइए एक समलम्ब चतुर्भुज बनाएं ए बी सी डीअलग से (चित्र 22)। डॉट के बारे में- एक समलम्ब चतुर्भुज में अंकित वृत्त का केंद्र।

चूँकि एक वृत्त को एक समलम्ब चतुर्भुज में अंकित किया जा सकता है, तो या पाइथागोरस प्रमेय से हमारे पास है

परिभाषा। पार्श्व किनारा- यह एक त्रिभुज है जिसमें एक कोण पिरामिड के शीर्ष पर स्थित है, और विपरीत पक्ष आधार (बहुभुज) के पक्ष से मेल खाता है।

परिभाषा। पार्श्व पसलियाँ- ये पार्श्व फलकों की सामान्य भुजाएँ हैं। एक पिरामिड में उतने ही किनारे होते हैं जितने एक बहुभुज के कोण होते हैं।

परिभाषा। पिरामिड की ऊंचाई- यह पिरामिड के ऊपर से आधार तक डाला गया एक लंब है।

परिभाषा। एपोथेम- यह पिरामिड के पार्श्व मुख का लंबवत है, जो पिरामिड के शीर्ष से आधार के किनारे तक उतारा गया है।

परिभाषा। विकर्ण खंड- यह पिरामिड के शीर्ष और आधार के विकर्ण से गुजरने वाले विमान द्वारा पिरामिड का एक खंड है।

परिभाषा। सही पिरामिडएक पिरामिड है जिसमें आधार एक नियमित बहुभुज है, और ऊंचाई आधार के केंद्र तक उतरती है।

पिरामिड का आयतन और सतह क्षेत्र

सूत्र. पिरामिड का आयतनआधार क्षेत्र और ऊंचाई के माध्यम से:

पिरामिड के गुण

यदि सभी पार्श्व किनारे समान हैं, तो पिरामिड के आधार के चारों ओर एक वृत्त खींचा जा सकता है, और आधार का केंद्र वृत्त के केंद्र के साथ मेल खाता है। साथ ही, ऊपर से गिराया गया एक लंब आधार (वृत्त) के केंद्र से होकर गुजरता है।

यदि सभी पार्श्व किनारे समान हैं, तो वे आधार के तल पर समान कोण पर झुके हुए हैं।

पार्श्व किनारे तब बराबर होते हैं जब वे आधार के तल के साथ समान कोण बनाते हैं या यदि पिरामिड के आधार के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है।

यदि पार्श्व फलक एक ही कोण पर आधार के तल पर झुके हुए हैं, तो पिरामिड के आधार में एक वृत्त अंकित किया जा सकता है, और पिरामिड के शीर्ष को उसके केंद्र पर प्रक्षेपित किया जा सकता है।

यदि पार्श्व फलक आधार के तल पर एक ही कोण पर झुके हों, तो पार्श्व फलक के एपोथेम बराबर होते हैं।

एक नियमित पिरामिड के गुण

1. पिरामिड का शीर्ष आधार के सभी कोनों से समान दूरी पर है।

2. सभी पार्श्व किनारे बराबर हैं।

3. सभी पार्श्व पसलियाँ आधार से समान कोण पर झुकी हुई हैं।

4. सभी पार्श्व फलकों के अक्षर समान होते हैं।

5. सभी पार्श्व फलकों का क्षेत्रफल बराबर है।

6. सभी फलकों का डायहेड्रल (सपाट) कोण समान होता है।

7. पिरामिड के चारों ओर एक गोले का वर्णन किया जा सकता है। परिबद्ध गोले का केंद्र किनारों के मध्य से गुजरने वाले लंबों का प्रतिच्छेदन बिंदु होगा।

8. आप एक गोले को पिरामिड में फिट कर सकते हैं। अंकित गोले का केंद्र किनारे और आधार के बीच के कोण से निकलने वाले द्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु होगा।

9. यदि उत्कीर्ण गोले का केंद्र परिचालित गोले के केंद्र के साथ मेल खाता है, तो शीर्ष पर समतल कोणों का योग π के बराबर है या इसके विपरीत, एक कोण π/n के बराबर है, जहां n संख्या है पिरामिड के आधार पर कोणों की संख्या.

पिरामिड और गोले के बीच संबंध

पिरामिड के चारों ओर एक गोले का वर्णन तब किया जा सकता है जब पिरामिड के आधार पर एक बहुफलक हो जिसके चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सके (एक आवश्यक और पर्याप्त स्थिति)। गोले का केंद्र पिरामिड के पार्श्व किनारों के मध्य बिंदुओं से लंबवत गुजरने वाले विमानों का प्रतिच्छेदन बिंदु होगा।

किसी भी त्रिकोणीय या नियमित पिरामिड के चारों ओर एक गोले का वर्णन करना हमेशा संभव होता है।

यदि पिरामिड के आंतरिक डायहेड्रल कोणों के द्विभाजक विमान एक बिंदु (एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त) पर प्रतिच्छेद करते हैं तो एक गोले को पिरामिड में अंकित किया जा सकता है। यह बिंदु गोले का केंद्र होगा.

एक शंकु के साथ पिरामिड का कनेक्शन

एक शंकु को पिरामिड में अंकित कहा जाता है यदि उनके शीर्ष संपाती हों और शंकु का आधार पिरामिड के आधार में अंकित हो।

एक शंकु को पिरामिड में अंकित किया जा सकता है यदि पिरामिड के एपोथेम एक दूसरे के बराबर हों।

एक शंकु को पिरामिड के चारों ओर परिचालित कहा जाता है यदि उनके शीर्ष संपाती हों और शंकु का आधार पिरामिड के आधार के चारों ओर परिचालित हो।

एक शंकु को पिरामिड के चारों ओर वर्णित किया जा सकता है यदि पिरामिड के सभी पार्श्व किनारे एक दूसरे के बराबर हों।

पिरामिड और सिलेंडर के बीच संबंध

एक पिरामिड को सिलेंडर में अंकित कहा जाता है यदि पिरामिड का शीर्ष सिलेंडर के एक आधार पर स्थित है, और पिरामिड का आधार सिलेंडर के दूसरे आधार पर अंकित है।

यदि पिरामिड के आधार के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है, तो पिरामिड के चारों ओर एक सिलेंडर का वर्णन किया जा सकता है।

परिभाषा। काटे गए पिरामिड (पिरामिड प्रिज्म)एक बहुफलक है जो पिरामिड के आधार और आधार के समानांतर अनुभाग तल के बीच स्थित होता है। इस प्रकार पिरामिड का एक बड़ा आधार और एक छोटा आधार होता है जो बड़े पिरामिड के समान होता है। पार्श्व फलक समलम्बाकार हैं।

परिभाषा। त्रिकोणीय पिरामिड (चतुष्फलक)एक पिरामिड है जिसमें तीन फलक और आधार मनमाना त्रिभुज हैं।

एक चतुष्फलक के चार फलक और चार शीर्ष और छह किनारे होते हैं, जहां किन्हीं दो किनारों में उभयनिष्ठ शीर्ष नहीं होते हैं लेकिन वे स्पर्श नहीं करते हैं।

प्रत्येक शीर्ष पर तीन फलक और किनारे बने होते हैं त्रिकोणीय कोण.

चतुष्फलक के शीर्ष को विपरीत फलक के केंद्र से जोड़ने वाले खंड को कहा जाता है चतुष्फलक का माध्यिका(जीएम).

बिमेडियनविपरीत किनारों के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाला एक खंड कहा जाता है जो स्पर्श नहीं करते (केएल)।

चतुष्फलक की सभी द्विमध्यरेखाएँ और मध्यिकाएँ एक बिंदु (S) पर प्रतिच्छेद करती हैं। इस मामले में, द्विमध्यरेखाओं को आधे में विभाजित किया जाता है, और शीर्ष से शुरू करके मध्यिकाओं को 3:1 के अनुपात में विभाजित किया जाता है।

परिभाषा। तिरछा पिरामिड एक पिरामिड है जिसका एक किनारा आधार के साथ एक अधिक कोण (β) बनाता है।

परिभाषा। आयताकार पिरामिड एक पिरामिड है जिसका एक पार्श्व फलक आधार से लंबवत है।

परिभाषा। न्यूनकोण पिरामिड- एक पिरामिड जिसमें एपोथेम आधार के किनारे की लंबाई के आधे से अधिक है।

परिभाषा। कुंठित पिरामिड- एक पिरामिड जिसमें एपोथेम आधार के किनारे की लंबाई के आधे से भी कम है।

परिभाषा। नियमित चतुष्फलक- एक चतुष्फलक जिसके चारों फलक समबाहु त्रिभुज हों। यह पाँच नियमित बहुभुजों में से एक है। सब कुछ एक नियमित चतुष्फलक में डायहेड्रल कोण(फलकों के बीच) और त्रिफलकीय कोण (शीर्ष पर) बराबर हैं।

परिभाषा। आयताकार चतुष्फलकचतुष्फलक कहलाता है जिसके शीर्ष पर तीन किनारों के बीच एक समकोण होता है (किनारे लंबवत होते हैं)। तीन चेहरे बनते हैं आयताकार त्रिकोणीय कोणऔर किनारे हैं समकोण त्रिभुज, और आधार एक मनमाना त्रिभुज है। किसी भी फलक का एपोटेम आधार के आधे हिस्से के बराबर होता है जिस पर एपोथेम गिरता है।

परिभाषा। समफलकीय चतुष्फलकचतुष्फलक कहलाता है जिसके पार्श्व फलक एक दूसरे के बराबर होते हैं और आधार एक नियमित त्रिभुज होता है। ऐसे चतुष्फलक के फलक समद्विबाहु त्रिभुज होते हैं।

परिभाषा। ऑर्थोसेंट्रिक टेट्राहेड्रोनचतुष्फलक कहलाता है जिसमें ऊपर से विपरीत फलक तक नीचे की ओर जाने वाली सभी ऊँचाइयाँ (लंब) एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।

परिभाषा। तारा पिरामिडएक बहुफलक कहलाता है जिसका आधार एक तारा है।

परिभाषा। bipyramid- एक बहुफलक जिसमें दो अलग-अलग पिरामिड होते हैं (पिरामिड को काटा भी जा सकता है)। सार्वजनिक भूक्षेत्र, और शीर्ष आधार तल के विपरीत दिशा में स्थित हैं।

आइए देखें कि पिरामिड का एक खंड कैसे बनाया जाए विशिष्ट उदाहरण. चूंकि पिरामिड में कोई समानांतर विमान नहीं हैं, चेहरे के तल के साथ काटने वाले विमान के चौराहे की रेखा (ट्रेस) का निर्माण करने में अक्सर इस चेहरे के विमान में स्थित दो बिंदुओं के माध्यम से एक सीधी रेखा खींचना शामिल होता है।

सबसे सरल समस्याओं में, आपको एक पिरामिड के एक खंड का निर्माण करना होगा जिसमें एक विमान दिए गए बिंदुओं से होकर गुजरेगा जो पहले से ही एक ही चेहरे पर स्थित हैं।

उदाहरण।

समतल अनुभाग का निर्माण (एमएनपी)

त्रिभुज एमएनपी - पिरामिड खंड

बिंदु M और N एक ही ABS तल में स्थित हैं, इसलिए, हम उनके माध्यम से एक सीधी रेखा खींच सकते हैं। इस रेखा का निशान खंड एमएन है। यह दृश्यमान है, जिसका अर्थ है कि हम M और N को एक ठोस रेखा से जोड़ते हैं।

बिंदु एम और पी एक ही एसीएस तल में स्थित हैं, इसलिए हम उनके माध्यम से एक सीधी रेखा खींचते हैं। ट्रेस एक खंड सांसद है. हम इसे नहीं देखते हैं, इसलिए हम एक स्ट्रोक के साथ खंड एमपी बनाते हैं। हम उसी तरह ट्रेस पीएन का निर्माण करते हैं।

त्रिभुज एमएनपी आवश्यक अनुभाग है।

यदि वह बिंदु जिसके माध्यम से आप एक अनुभाग बनाना चाहते हैं, किनारे पर नहीं, बल्कि चेहरे पर है, तो यह ट्रेस-सेगमेंट का अंत नहीं होगा।

उदाहरण। बिंदु बी, एम और एन से गुजरने वाले विमान के साथ पिरामिड के एक खंड का निर्माण करें, जहां बिंदु एम और एन क्रमशः एबीएस और बीसीएस चेहरे से संबंधित हैं।

यहां बिंदु B और M, ABS के एक ही फलक पर स्थित हैं, इसलिए हम उनके माध्यम से एक सीधी रेखा खींच सकते हैं।

इसी प्रकार, हम बिंदु B और P से होकर एक सीधी रेखा खींचते हैं। हमें क्रमशः BK और BL निशान प्राप्त हुए हैं।

बिंदु K और L ACS के एक ही फलक पर स्थित हैं, इसलिए हम उनके माध्यम से एक सीधी रेखा खींच सकते हैं। इसका निशान खंड केएल है।

त्रिभुज BKL आवश्यक अनुभाग है.

हालाँकि, बिंदु स्थिति में डेटा के माध्यम से एक सीधी रेखा खींचना हमेशा संभव नहीं होता है। इस मामले में, आपको चेहरों वाले विमानों की प्रतिच्छेदन रेखा पर स्थित एक बिंदु ढूंढना होगा।

उदाहरण। बिंदु एम, एन, पी से गुजरने वाले विमान के साथ पिरामिड के एक खंड का निर्माण करें।

बिंदु M और N एक ही ABS तल में स्थित हैं, इसलिए उनके माध्यम से एक सीधी रेखा खींची जा सकती है। हमें ट्रेस एमएन मिलता है। इसी प्रकार - एन.पी. दोनों निशान दिखाई दे रहे हैं, इसलिए हम उन्हें एक ठोस रेखा से जोड़ते हैं।

बिंदु M और P स्थित हैं विभिन्न विमान. अतः हम इन्हें एक सीधी रेखा से नहीं जोड़ सकते।

आइए सीधी रेखा एनपी को जारी रखें।

यह BCS फलक के तल में स्थित है। एनपी केवल एक ही तल में पड़ी रेखाओं से प्रतिच्छेद करता है। हमारे पास ऐसी तीन सीधी रेखाएँ हैं: बीएस, सीएस और बीसी। रेखाओं बीएस और सीएस में पहले से ही प्रतिच्छेदन बिंदु हैं - ये सिर्फ एन और पी हैं। इसका मतलब है कि हम रेखा बीसी के साथ एनपी के प्रतिच्छेदन की तलाश कर रहे हैं।

प्रतिच्छेदन बिंदु (चलिए इसे एच कहते हैं) प्रतिच्छेदन तक लाइनों एनपी और बीसी को जारी रखकर प्राप्त किया जाता है।

यह बिंदु H समतल (BCS) दोनों से संबंधित है, क्योंकि यह रेखा NP पर स्थित है, और समतल (ABC) दोनों से संबंधित है, क्योंकि यह रेखा BC पर स्थित है।

इस प्रकार, हमें समतल (एबीसी) में पड़े काटने वाले तल का एक और बिंदु प्राप्त हुआ।

हम H और एक ही तल में स्थित बिंदु M से होकर एक सीधी रेखा खींच सकते हैं।

हमें एमटी ट्रेस मिलता है।

T, MH और AC रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु है।

चूँकि T रेखा AC से संबंधित है, हम इसके और बिंदु P से होकर एक रेखा खींच सकते हैं, क्योंकि वे दोनों एक ही तल (ACS) में स्थित हैं।

4-गॉन एमएनपीटी दिए गए बिंदुओं एम,एन,पी से गुजरने वाले विमान द्वारा पिरामिड का वांछित खंड है।

हमने लाइन एनपी के साथ काम किया, इसे समतल (एबीसी) के साथ काटने वाले विमान के चौराहे के बिंदु को खोजने के लिए विस्तारित किया। यदि हम प्रत्यक्ष एमएन के साथ काम करते हैं, तो हम उसी परिणाम पर पहुंचते हैं।

हम इस प्रकार तर्क करते हैं: रेखा MN समतल (ABS) में स्थित है, इसलिए यह केवल उसी तल में पड़ी रेखाओं से प्रतिच्छेद कर सकती है। हमारे पास ऐसी तीन लाइनें हैं: एबी, बीएस और एएस। लेकिन सीधी रेखाओं एबी और बीएस के साथ पहले से ही प्रतिच्छेदन बिंदु हैं: एम और एन।

इसका मतलब यह है कि, एमएन का विस्तार करते हुए, हम सीधी रेखा एएस के साथ इसके प्रतिच्छेदन बिंदु की तलाश करते हैं। आइए इस बिंदु को R कहते हैं।

बिंदु R, रेखा AS पर स्थित है, जिसका अर्थ है कि यह उस समतल (ACS) में भी स्थित है जिससे रेखा AS संबंधित है।

चूँकि बिंदु P समतल (ACS) में स्थित है, हम R और P से होकर एक सीधी रेखा खींच सकते हैं। हमें पीटी का एक निशान मिलता है।

बिंदु T समतल (ABC) में स्थित है, इसलिए हम इससे होकर बिंदु M तक एक सीधी रेखा खींच सकते हैं।

इस प्रकार, हमें समान एमएनपीटी क्रॉस सेक्शन प्राप्त हुआ।

आइए इस तरह का एक और उदाहरण देखें।

बिंदु एम, एन, पी से गुजरने वाले विमान के साथ पिरामिड के एक खंड का निर्माण करें।

एक ही तल (बीसीएस) में स्थित बिंदुओं एम और एन से होकर एक सीधी रेखा खींचें। हमें ट्रेस एमएन (दृश्यमान) मिलता है।

एक ही तल (ACS) में स्थित बिंदु N और P से होकर एक सीधी रेखा खींचें। हमें एक पीएन (अदृश्य) ट्रेस मिलता है।

हम बिंदु M और P से होकर एक सीधी रेखा नहीं खींच सकते।

1) रेखा एमएन समतल (बीसीएस) में स्थित है, जहां तीन और रेखाएं हैं: बीसी, एससी और एसबी। रेखाओं एसबी और एससी में पहले से ही प्रतिच्छेदन बिंदु हैं: एम और एन। इसलिए, हम बीसी के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु एमएन की तलाश कर रहे हैं। इन पंक्तियों को जारी रखते हुए, हमें बिंदु L प्राप्त होता है।

बिंदु L रेखा BC से संबंधित है, जिसका अर्थ है कि यह समतल (ABC) में स्थित है। इसलिए, हम L और P से होकर एक सीधी रेखा खींच सकते हैं, जो समतल (ABC) में भी स्थित है। उसका निशान पीएफ है.

F रेखा AB पर स्थित है, और इसलिए समतल (ABS) में है। इसलिए, F और बिंदु M से होकर, जो समतल (ABS) में भी स्थित है, हम एक सीधी रेखा खींचते हैं। उसका मार्ग एफएम है। चतुर्भुज एमएनपीएफ आवश्यक अनुभाग है।

2) दूसरा तरीका सीधे पीएन जारी रखना है। यह समतल (ACS) में स्थित है और इस समतल में स्थित रेखाओं AC और CS को बिंदु P और N पर प्रतिच्छेद करता है।

इसका मतलब यह है कि हम इस विमान की तीसरी सीधी रेखा - एएस के साथ पीएन के प्रतिच्छेदन बिंदु की तलाश कर रहे हैं। हम एएस और पीएन जारी रखते हैं, चौराहे पर हमें बिंदु ई मिलता है। चूंकि बिंदु ई विमान (एबीएस) से संबंधित रेखा एएस पर स्थित है, हम ई और बिंदु एम के माध्यम से एक सीधी रेखा खींच सकते हैं, जो (एबीएस) में भी स्थित है। . उसका मार्ग एफएम है। बिंदु P और F जल तल (ABC) पर स्थित हैं, उनके माध्यम से एक सीधी रेखा खींचें और एक ट्रेस PF (अदृश्य) प्राप्त करें।