सरल एवं दशमलव भिन्नों की तुलना। पाठ "दशमलव की तुलना करना"

इस लेख में हम इस विषय पर गौर करेंगे " दशमलव की तुलना करना" पहले चर्चा करते हैं सामान्य सिद्धांतदशमलव भिन्नों की तुलना. इसके बाद हम यह पता लगाएंगे कि कौन सी दशमलव भिन्न बराबर हैं और कौन सी असमान हैं। आगे, हम यह निर्धारित करना सीखेंगे कि कौन सी दशमलव भिन्न बड़ी है और कौन सी कम है। ऐसा करने के लिए, हम परिमित, अनंत आवधिक और अनंत गैर-आवधिक भिन्नों की तुलना करने के नियमों का अध्ययन करेंगे। हम संपूर्ण सिद्धांत उदाहरणों के साथ प्रदान करेंगे विस्तृत समाधान. निष्कर्ष में, आइए हम प्राकृतिक संख्याओं, साधारण भिन्नों आदि के साथ दशमलव भिन्नों की तुलना पर ध्यान दें मिश्रित संख्याएँ.

आइए तुरंत कहें कि यहां हम केवल सकारात्मक दशमलव अंशों की तुलना करने के बारे में बात करेंगे (सकारात्मक और नकारात्मक संख्याएं देखें)। शेष मामलों पर तर्कसंगत संख्याओं की तुलना और लेखों में चर्चा की गई है वास्तविक संख्याओं की तुलना.

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दशमलव भिन्नों की तुलना करने का सामान्य सिद्धांत

तुलना के इस सिद्धांत के आधार पर, दशमलव अंशों की तुलना करने के नियम बनाए गए हैं जो तुलना किए गए दशमलव अंशों को परिवर्तित किए बिना करना संभव बनाते हैं सामान्य भिन्न. हम निम्नलिखित पैराग्राफों में इन नियमों, साथ ही उनके अनुप्रयोग के उदाहरणों पर चर्चा करेंगे।

प्राकृतिक संख्याओं, साधारण भिन्नों और मिश्रित संख्याओं के साथ परिमित दशमलव अंशों या अनंत आवधिक दशमलव अंशों की तुलना करने के लिए एक समान सिद्धांत का उपयोग किया जाता है: तुलना की गई संख्याओं को उनके संबंधित साधारण अंशों से बदल दिया जाता है, जिसके बाद सामान्य अंशों की तुलना की जाती है।

के बारे में अनंत गैर-आवधिक दशमलवों की तुलना, तो यह आम तौर पर परिमित दशमलव अंशों की तुलना करने के लिए नीचे आता है। ऐसा करने के लिए, तुलना किए गए अनंत गैर-आवधिक दशमलव अंशों के संकेतों की संख्या पर विचार करें जो आपको तुलना का परिणाम प्राप्त करने की अनुमति देता है।

समान और असमान दशमलव

सबसे पहले हम परिचय कराते हैं समान और असमान दशमलव भिन्नों की परिभाषा.

परिभाषा।

दो अंतिम दशमलव भिन्न कहलाते हैं बराबर, यदि उनकी संगत साधारण भिन्नें बराबर हों, अन्यथा ये दशमलव भिन्न कहलाती हैं असमान.

इस परिभाषा के आधार पर, निम्नलिखित कथन को उचित ठहराना आसान है: यदि आप किसी दिए गए दशमलव अंश के अंत में कई अंक 0 जोड़ते हैं या हटाते हैं, तो आपको इसके बराबर एक दशमलव अंश मिलेगा। उदाहरण के लिए, 0.3=0.30=0.300=…, और 140.000=140.00=140.0=140।

दरअसल, दाहिनी ओर दशमलव अंश के अंत में शून्य जोड़ने या हटाने का मतलब संबंधित साधारण अंश के अंश और हर को 10 से गुणा या विभाजित करना है। और हम भिन्न के मूल गुण को जानते हैं, जो बताता है कि भिन्न के अंश और हर को समान प्राकृतिक संख्या से गुणा या विभाजित करने पर मूल भिन्न के बराबर भिन्न प्राप्त होता है। इससे सिद्ध होता है कि दशमलव के भिन्नात्मक भाग में दाहिनी ओर शून्य जोड़ने या हटाने पर मूल भिन्न के बराबर अंश प्राप्त होता है।

उदाहरण के लिए, दशमलव भिन्न 0.5 सामान्य भिन्न 5/10 से मेल खाता है, दाईं ओर शून्य जोड़ने के बाद, दशमलव भिन्न 0.50 मेल खाता है, जो सामान्य भिन्न 50/100 से मेल खाता है, और। इस प्रकार, 0.5=0.50. इसके विपरीत, यदि दशमलव भिन्न 0.50 में हम दाहिनी ओर से 0 हटा दें, तो हमें भिन्न 0.5 मिलता है, इसलिए साधारण भिन्न 50/100 से हम भिन्न 5/10 पर आते हैं, लेकिन . इसलिए, 0.50=0.5.

चलिए आगे बढ़ते हैं समान और असमान अनंत आवधिक दशमलव अंशों का निर्धारण.

परिभाषा।

दो अनंत आवर्त भिन्न बराबर, यदि संगत साधारण भिन्न बराबर हों; यदि उनके संगत साधारण भिन्न समान नहीं हैं, तो तुलना की गई आवर्त भिन्न भी समान हैं सम नही.

से यह परिभाषातीन निष्कर्ष अनुसरण करते हैं:

यदि आवर्त दशमलव भिन्नों के अंकन पूर्णतः मेल खाते हों, तो ऐसे अनंत आवर्त दशमलव भिन्न बराबर होते हैं। उदाहरण के लिए, आवर्त दशमलव 0.34(2987) और 0.34(2987) बराबर हैं।
यदि तुलना किए गए दशमलव आवधिक अंशों की अवधि एक ही स्थिति से शुरू होती है, तो पहले अंश की अवधि 0 है, दूसरे की अवधि 9 है, और अवधि 0 से पहले वाले अंक का मान अंक के मान से एक अधिक है पूर्ववर्ती आवर्त 9, तो ऐसी अनंत आवर्त दशमलव भिन्नें बराबर होती हैं। उदाहरण के लिए, आवर्त भिन्न 8,3(0) और 8,2(9) बराबर हैं, और भिन्न 141,(0) और 140,(9) भी बराबर हैं।
अन्य कोई भी दो आवर्त भिन्न समान नहीं हैं। यहां असमान अनंत आवधिक दशमलव अंशों के उदाहरण दिए गए हैं: 9,0(4) और 7,(21), 0,(12) और 0,(121), 10,(0) और 9,8(9)।

इससे निपटना बाकी है समान और असमान अनंत गैर-आवधिक दशमलव अंश. जैसा कि ज्ञात है, ऐसे दशमलव अंशों को साधारण अंशों में परिवर्तित नहीं किया जा सकता है (ऐसे दशमलव अंश अपरिमेय संख्याओं का प्रतिनिधित्व करते हैं), इसलिए अनंत गैर-आवधिक दशमलव अंशों की तुलना को साधारण अंशों की तुलना में कम नहीं किया जा सकता है।

परिभाषा।

दो अनंत गैर-आवधिक दशमलव बराबर, यदि उनके रिकॉर्ड पूरी तरह से मेल खाते हैं।

लेकिन एक चेतावनी है: अंतहीन गैर-आवधिक दशमलव अंशों के "समाप्त" रिकॉर्ड को देखना असंभव है, इसलिए, उनके रिकॉर्ड के पूर्ण संयोग के बारे में सुनिश्चित होना असंभव है। यह कैसे हो सकता है?

अनंत गैर-आवधिक दशमलव अंशों की तुलना करते समय, तुलना किए जा रहे अंशों के संकेतों की केवल एक सीमित संख्या पर विचार किया जाता है, जो किसी को आवश्यक निष्कर्ष निकालने की अनुमति देता है। इस प्रकार, अनंत गैर-आवधिक दशमलव अंशों की तुलना परिमित दशमलव अंशों की तुलना में कम हो जाती है।

इस दृष्टिकोण के साथ, हम केवल संबंधित अंक तक अनंत गैर-आवधिक दशमलव अंशों की समानता के बारे में बात कर सकते हैं। चलिए उदाहरण देते हैं. अनंत गैर-आवधिक दशमलव 5.45839... और 5.45839... निकटतम सौ हज़ारवें के बराबर हैं, क्योंकि परिमित दशमलव 5.45839 और 5.45839 बराबर हैं; गैर-आवधिक दशमलव भिन्न 19.54... और 19.54810375... निकटतम सौवें के बराबर हैं, क्योंकि वे भिन्न 19.54 और 19.54 के बराबर हैं।

इस दृष्टिकोण के साथ, अनंत गैर-आवधिक दशमलव अंशों की असमानता काफी निश्चित रूप से स्थापित होती है। उदाहरण के लिए, अनंत गैर-आवधिक दशमलव 5.6789... और 5.67732... समान नहीं हैं, क्योंकि उनके अंकन में अंतर स्पष्ट हैं (परिमित दशमलव 5.6789 और 5.6773 समान नहीं हैं)। अनंत दशमलव 6.49354... और 7.53789... भी समान नहीं हैं।

दशमलव भिन्नों की तुलना के नियम, उदाहरण, समाधान

इस तथ्य को स्थापित करने के बाद कि दो दशमलव भिन्न असमान हैं, आपको अक्सर यह पता लगाने की आवश्यकता होती है कि इनमें से कौन सा भिन्न बड़ा है और कौन सा दूसरे से छोटा है। अब हम दशमलव भिन्नों की तुलना करने के नियमों पर गौर करेंगे, जिससे हमें पूछे गए प्रश्न का उत्तर मिल सकेगा।

कई मामलों में, तुलना किए जा रहे दशमलव अंशों के पूरे भागों की तुलना करना पर्याप्त है। निम्नलिखित सत्य है दशमलवों की तुलना करने का नियम: वह दशमलव भिन्न जितनी बड़ी होती है जिसका पूरा भाग बड़ा होता है, और वह दशमलव भिन्न उतना ही छोटा होता है जिसका पूरा भाग छोटा होता है।

यह नियम परिमित और अनंत दोनों दशमलव भिन्नों पर लागू होता है। आइए उदाहरणों के समाधान देखें।

उदाहरण।

दशमलव 9.43 और 7.983023 की तुलना करें...

समाधान।

जाहिर है, ये दशमलव बराबर नहीं हैं। परिमित दशमलव भिन्न 9.43 का पूर्णांक भाग 9 के बराबर है, और अनंत गैर-आवधिक भिन्न 7.983023... का पूर्णांक भाग 7 के बराबर है। चूँकि 9>7 (प्राकृतिक संख्याओं की तुलना देखें), तो 9.43>7.983023।

उत्तर:

9,43>7,983023 .

उदाहरण।

कौन सा दशमलव भिन्न 49.43(14) और 1045.45029... छोटा है?

समाधान।

आवर्त भिन्न 49.43(14) का पूर्णांक भाग अनंत गैर-आवधिक दशमलव भिन्न 1045.45029 के पूर्णांक भाग से कम है..., इसलिए, 49.43(14)<1 045,45029… .

उत्तर:

49,43(14) .

यदि तुलना की जा रही दशमलव भिन्नों के पूरे भाग बराबर हैं, तो यह पता लगाने के लिए कि उनमें से कौन सा बड़ा है और कौन सा कम है, आपको भिन्नात्मक भागों की तुलना करनी होगी। दशमलव भिन्नों के भिन्नात्मक भागों की तुलना थोड़ा-थोड़ा करके की जाती है- दसवीं की श्रेणी से निचली श्रेणी तक।

सबसे पहले, आइए दो दशमलव भिन्नों की तुलना करने का एक उदाहरण देखें।

उदाहरण।

अंतिम दशमलव 0.87 और 0.8521 की तुलना करें।

समाधान।

इन दशमलव भिन्नों के पूर्णांक भाग बराबर (0=0) हैं, इसलिए हम भिन्नात्मक भागों की तुलना करने के लिए आगे बढ़ते हैं। दसवें स्थान का मान बराबर (8=8) है, और भिन्न के सौवें स्थान का मान भिन्न के सौवें स्थान के मान 0.8521 (7>5) से 0.87 अधिक है। इसलिए, 0.87>0.8521।

उत्तर:

0,87>0,8521 .

कभी-कभी, दशमलव स्थानों की विभिन्न संख्याओं के साथ पिछले दशमलव अंशों की तुलना करने के लिए, कम दशमलव स्थानों वाले अंशों को दाईं ओर कई शून्य के साथ जोड़ा जाना चाहिए। अंतिम दशमलव भिन्नों की तुलना शुरू करने से पहले उनमें से किसी एक के दाईं ओर एक निश्चित संख्या में शून्य जोड़कर दशमलव स्थानों की संख्या को बराबर करना काफी सुविधाजनक है।

उदाहरण।

अंतिम दशमलव 18.00405 और 18.0040532 की तुलना करें।

समाधान।

जाहिर है, ये भिन्न असमान हैं, क्योंकि उनके अंकन अलग-अलग हैं, लेकिन साथ ही उनके पूर्णांक भाग समान हैं (18 = 18)।

इन भिन्नों के भिन्नात्मक भागों की बिटवाइज़ तुलना से पहले, हम दशमलव स्थानों की संख्या को बराबर करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम भिन्न 18.00405 के अंत में दो अंक 0 जोड़ते हैं, और हमें एक समान मान प्राप्त होता है दशमलव 18,0040500 .

मान दशमलव स्थानोंभिन्न 18.0040500 और 18.0040532 सौ हजारवें तक बराबर हैं, और भिन्न 18.0040500 के दस लाखवें स्थान का मान भिन्न के संगत स्थान 18.0040532 के मान से कम है (0<3 ), поэтому, 18,0040500<18,0040532 , следовательно, 18,00405<18,0040532 .

उत्तर:

18,00405<18,0040532 .

किसी परिमित दशमलव अंश की तुलना किसी अनंत दशमलव अंश से करते समय, परिमित अंश को 0 की अवधि के साथ एक समान अनंत आवधिक अंश से बदल दिया जाता है, जिसके बाद अंकों द्वारा तुलना की जाती है।

उदाहरण।

परिमित दशमलव 5.27 की तुलना अनंत गैर-आवधिक दशमलव 5.270013... से करें।

समाधान।

इन दशमलव भिन्नों के पूर्ण भाग बराबर होते हैं। इन अंशों के दसवें और सौवें अंक के मान बराबर हैं, और आगे की तुलना करने के लिए, हम परिमित दशमलव अंश को फॉर्म 5.270000 के 0 की अवधि के साथ एक समान अनंत आवधिक अंश के साथ प्रतिस्थापित करते हैं।... पाँचवें दशमलव स्थान तक, दशमलव स्थानों का मान 5.270000... और 5.270013... बराबर हैं, और पाँचवें दशमलव स्थान पर हमारे पास 0 है<1 . Таким образом, 5,270000…<5,270013… , откуда следует, что 5,27<5,270013… .

उत्तर:

5,27<5,270013… .

अनंत दशमलव भिन्नों की तुलना स्थानवार भी की जाती है, और जैसे ही कुछ अंकों के मान भिन्न हो जाते हैं, समाप्त हो जाता है।

उदाहरण।

अनंत दशमलव 6.23(18) और 6.25181815 की तुलना करें...

समाधान।

इन भिन्नों के पूर्ण भाग बराबर होते हैं और दशमांश स्थान का मान भी बराबर होता है। और एक आवर्त भिन्न 6.23(18) के सौवें अंक का मान एक अनंत गैर-आवधिक दशमलव भिन्न 6.25181815 के सौवें अंक से कम है..., इसलिए, 6.23(18)<6,25181815… .

उत्तर:

6,23(18)<6,25181815… .

उदाहरण।

अनंत आवर्त दशमलव 3,(73) और 3,(737) में से कौन सा बड़ा है?

समाधान।

स्पष्ट है कि 3,(73)=3.73737373... और 3,(737)=3.737737737... । चौथे दशमलव स्थान पर बिटवाइज़ तुलना समाप्त होती है, क्योंकि वहां हमारे पास 3 है<7 . Таким образом, 3,73737373…<3,737737737… , то есть, десятичная дробь 3,(737) больше, чем дробь 3,(73) .

उत्तर:

3,(737) .

दशमलव की तुलना प्राकृतिक संख्याओं, भिन्नों और मिश्रित संख्याओं से करें।

किसी दशमलव भिन्न की किसी प्राकृतिक संख्या से तुलना करने का परिणाम किसी दिए गए भिन्न के पूर्णांक भाग की किसी दी गई प्राकृत संख्या से तुलना करके प्राप्त किया जा सकता है। इस मामले में, 0 या 9 की अवधि वाले आवधिक अंशों को पहले उनके बराबर परिमित दशमलव अंशों से प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए।

निम्नलिखित सत्य है दशमलव भिन्नों और प्राकृत संख्याओं की तुलना करने का नियम: यदि दशमलव भिन्न का पूर्ण भाग किसी दी गई प्राकृतिक संख्या से कम है, तो संपूर्ण भिन्न इस प्राकृतिक संख्या से कम है; यदि भिन्न का पूर्णांक भाग किसी दी गई प्राकृतिक संख्या से बड़ा या उसके बराबर है, तो भिन्न दी गई प्राकृतिक संख्या से अधिक है।

आइए इस तुलना नियम के अनुप्रयोग के उदाहरण देखें।

उदाहरण।

प्राकृत संख्या 7 की तुलना दशमलव भिन्न 8.8329 से करें...

समाधान।

चूँकि दी गई प्राकृतिक संख्या किसी दिए गए दशमलव अंश के पूर्णांक भाग से कम है, तो यह संख्या दिए गए दशमलव अंश से कम है।

उत्तर:

7<8,8329… .

उदाहरण।

प्राकृत संख्या 7 और दशमलव भिन्न 7.1 की तुलना करें।

भिन्न एक पूर्ण के एक या अधिक बराबर भाग होते हैं। एक भिन्न को दो का प्रयोग करके लिखा जाता है प्राकृतिक संख्या, जिन्हें एक रेखा द्वारा अलग किया जाता है। उदाहरण के लिए, 1/2, 14/4, ¾, 5/9, आदि।

रेखा के ऊपर लिखी संख्या भिन्न का अंश कहलाती है और रेखा के नीचे लिखी संख्या भिन्न का हर कहलाती है।

भिन्नात्मक संख्याओं के लिए जिनका हर 10, 100, 1000, आदि है। हम बिना हर के संख्या लिखने पर सहमत हुए। ऐसा करने के लिए सबसे पहले संख्या का पूर्णांक भाग लिखें, अल्पविराम लगाएं और इस संख्या का भिन्नात्मक भाग लिखें, अर्थात भिन्नात्मक भाग का अंश लिखें।

उदाहरण के लिए, 6 * (7 /10) के स्थान पर वे 6.7 लिखते हैं।

इस अंकन को आमतौर पर दशमलव भिन्न कहा जाता है।

दो दशमलव की तुलना कैसे करें

आइए जानें कि दो दशमलव भिन्नों की तुलना कैसे करें। ऐसा करने के लिए, आइए पहले एक सहायक तथ्य को सत्यापित करें।

उदाहरण के लिए, एक निश्चित खंड की लंबाई 7 सेंटीमीटर या 70 मिमी है। साथ ही 7 सेमी = 7/10 डीएम या दशमलव अंकन में 0.7 डीएम।

दूसरी ओर, 1 मिमी = 1/100 डीएम, फिर 70 मिमी = 70/100 डीएम या दशमलव अंकन में 0.70 डीएम।

इस प्रकार, हमें 0.7 = 0.70 प्राप्त होता है।

इससे हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि यदि हम दशमलव भिन्न के अंत में शून्य जोड़ते या हटाते हैं, तो हमें दिए गए भिन्न के बराबर भिन्न प्राप्त होता है। दूसरे शब्दों में, भिन्न का मान नहीं बदलेगा।

समान हर वाले भिन्न

मान लीजिए कि हमें दो दशमलव भिन्नों 4.345 और 4.36 की तुलना करने की आवश्यकता है।

सबसे पहले आपको दाईं ओर शून्य जोड़कर या हटाकर दशमलव स्थानों की संख्या को बराबर करना होगा। परिणाम 4.345 और 4.360 होंगे।

अब आपको उन्हें अनुचित भिन्न के रूप में लिखना होगा:

4,345 = 4345 / 1000 ;
4,360 = 4360 / 1000 .

परिणामी भिन्नों के हर समान होते हैं। भिन्नों की तुलना करने के नियम के अनुसार, हम जानते हैं कि इस मामले में बड़े अंश वाला भिन्न बड़ा होता है। इसका मतलब यह है कि अंश 4.36, अंश 4.345 से बड़ा है।

इस प्रकार, दो दशमलव भिन्नों की तुलना करने के लिए, आपको पहले दाईं ओर उनमें से एक में शून्य जोड़कर उनमें दशमलव स्थानों की संख्या को बराबर करना होगा, और फिर, अल्पविराम को हटाकर, परिणामी प्राकृतिक संख्याओं की तुलना करनी होगी।

दशमलव भिन्नों को संख्या रेखा पर बिंदुओं के रूप में दर्शाया जा सकता है। और इसलिए, कभी-कभी ऐसे मामले में जब एक संख्या दूसरे से बड़ी होती है, तो वे कहते हैं कि यह संख्या दूसरे के दाईं ओर स्थित है, या यदि यह कम है, तो बाईं ओर स्थित है।

यदि दो दशमलव भिन्न बराबर हैं, तो उन्हें संख्या रेखा पर एक ही बिंदु द्वारा दर्शाया जाता है।

पाठ का उद्देश्य:

दशमलव भिन्नों की तुलना करने के लिए एक नियम प्राप्त करने और इसे लागू करने की क्षमता के लिए परिस्थितियाँ बनाएँ;
सामान्य भिन्नों को दशमलव के रूप में लिखना, दशमलव को पूर्णांकित करना दोहराएँ;
तार्किक सोच, सामान्यीकरण करने की क्षमता, अनुसंधान कौशल, भाषण विकसित करना।

पाठ प्रगति

दोस्तों, आइए याद करें कि पिछले पाठों में हमने आपके साथ क्या किया था?

उत्तर:दशमलव भिन्नों का अध्ययन किया, साधारण भिन्नों को दशमलव के रूप में लिखा और इसके विपरीत, पूर्णांकित दशमलव लिखा।

आज आप क्या करना पसंद करेंगे?

(छात्र उत्तर देते हैं।)

लेकिन आपको कुछ ही मिनटों में पता चल जाएगा कि हम कक्षा में क्या करेंगे। अपनी नोटबुक खोलें और तारीख लिखें। एक छात्र बोर्ड के पास जाएगा और बोर्ड के पीछे से काम करेगा। मैं आपको ऐसे कार्य पेश करूंगा जिन्हें आप मौखिक रूप से पूरा करेंगे। अपने उत्तरों को अपनी नोटबुक में अर्धविराम से अलग की गई एक पंक्ति में लिखें। ब्लैकबोर्ड पर एक छात्र एक कॉलम में लिखता है।

मैं बोर्ड पर पहले से लिखे गए कार्यों को पढ़ता हूं:

की जाँच करें। अन्य उत्तर किसके पास हैं? नियम याद रखें.

प्राप्त हुआ: 1,075; 2,175; 3,275; 4,375; 5,475; 6,575; 7,675.

एक पैटर्न स्थापित करें और परिणामी श्रृंखला को अन्य 2 संख्याओं के लिए जारी रखें। की जाँच करें।

प्रतिलेख लें और प्रत्येक संख्या के नीचे (बोर्ड पर उत्तर देने वाला व्यक्ति संख्या के आगे एक अक्षर डालता है) संबंधित अक्षर डालें। शब्द पढ़ें.

स्पष्टीकरण:

तो, हम कक्षा में क्या करेंगे?

उत्तर:तुलना।

तुलना! ठीक है, उदाहरण के लिए, अब मैं अपने हाथों, 2 पाठ्यपुस्तकों, 3 रूलरों की तुलना करना शुरू करूँगा। आप क्या तुलना करना चाहते हैं?

उत्तर:दशमलव अंश.

हम पाठ का कौन सा विषय लिखेंगे?

मैं पाठ का विषय बोर्ड पर लिखता हूं, और छात्र इसे अपनी नोटबुक में लिखते हैं: "दशमलव की तुलना करना।"

व्यायाम:संख्याओं की तुलना करें (बोर्ड पर लिखी हुई)

18.625 और 5.784		15,200 और 15,200
3.0251 और 21.02		7.65 और 7.8
23.0521 और 0.0521		0.089 और 0.0081

सबसे पहले हम बायां भाग खोलते हैं। पूरे हिस्से अलग-अलग हैं. हम विभिन्न पूर्णांक भागों के साथ दशमलव भिन्नों की तुलना करने के बारे में निष्कर्ष निकालते हैं। दाहिना भाग खोलें. पूर्ण भाग समान संख्याएँ हैं। तुलना कैसे करें?

प्रस्ताव:दशमलव को भिन्न के रूप में लिखें और तुलना करें।

साधारण भिन्नों की तुलना लिखिए। यदि आप प्रत्येक दशमलव अंश को एक सामान्य भिन्न में परिवर्तित करते हैं और 2 भिन्नों की तुलना करते हैं, तो इसमें बहुत समय लगेगा। शायद हम एक तुलना नियम बना सकते हैं? (छात्र सुझाव देते हैं।) मैंने दशमलव भिन्नों की तुलना करने का नियम लिखा, जो लेखक सुझाता है। आइए तुलना करें.

कागज के एक टुकड़े पर 2 नियम छपे हुए हैं:

यदि दशमलव भिन्नों के पूर्ण भाग भिन्न हों तो बड़े पूर्ण भाग वाली भिन्न बड़ी होती है।
यदि दशमलव भिन्नों के पूरे भाग समान हों, तो वह भिन्न बड़ी होती है जिसका बेमेल दशमलव स्थानों में से पहला स्थान बड़ा होता है।

आपने और मैंने एक खोज की है. और यह खोज दशमलव भिन्नों की तुलना करने का नियम है। यह पाठ्यपुस्तक के लेखक द्वारा प्रस्तावित नियम से मेल खाता है।

मैंने देखा कि नियम कहते हैं कि दोनों भिन्नों में से कौन सा बड़ा है। क्या आप मुझे बता सकते हैं कि दोनों दशमलव भिन्नों में से कौन सा छोटा है?

पृष्ठ 172 पर नोटबुक क्रमांक 785(1,2) में पूर्ण करें। कार्य बोर्ड पर लिखा हुआ है। छात्र टिप्पणी करते हैं और शिक्षक संकेत करते हैं।

व्यायाम:तुलना करना

3.4208 और 3.4028

तो आज हमने क्या करना सीखा? आइए स्वयं जांचें। कार्बन पेपर के साथ कागज के टुकड़ों पर काम करें।

विद्यार्थी दशमलव भिन्नों की तुलना >, का उपयोग करके करते हैं<, =. Когда ученики выполнят задание, то листок сверху оставляют себе, а листок снизу сдают учителю.

स्वतंत्र कार्य.

(चेक करें - उत्तर बोर्ड के पीछे।)

तुलना करना

148.05 और 14.805

6.44806 और 6.44863

35.601 और 35.6010

इसे करने वाला पहला व्यक्ति कार्य प्राप्त करता है (बोर्ड के पीछे से प्रदर्शन करता है) संख्या 786(1, 2):

पैटर्न ढूंढें और क्रम में अगला नंबर लिखें। किस क्रम में संख्याएँ आरोही क्रम में व्यवस्थित हैं और किस क्रम में अवरोही क्रम में हैं?

उत्तर:

0.1; 0.02; 0.003; 0.0004; 0.00005; (0.000006) - घट रहा है
0.1 ; 0.11; 0.111; 0.1111; 0.111111; (0.111111)-बढ़ती है।

अंतिम छात्र द्वारा कार्य प्रस्तुत करने के बाद उसकी जाँच करें।

छात्र अपने उत्तरों की तुलना करें।

जिन लोगों ने सब कुछ सही ढंग से किया, वे खुद को "5" अंक देंगे, जिन्होंने 1-2 गलतियाँ कीं - "4", 3 गलतियाँ - "3"। पता लगाएँ कि किन तुलनाओं में त्रुटियाँ किस नियम पर की गईं।

अपना होमवर्क लिखें: संख्या 813, संख्या 814 (खंड 4, पृष्ठ 171)। टिप्पणी। यदि आपके पास समय हो तो क्रमांक 786(1,3), क्रमांक 793(ए) पूरा करें।

पाठ सारांश.

आप लोगों ने कक्षा में क्या करना सीखा?
आपको यह पसंद आया या नहीं?
कठिनाइयाँ क्या थीं?

शीट लें और सामग्री को आत्मसात करने की आपकी डिग्री दर्शाते हुए उन्हें भरें:

पूरी तरह निपुण, मैं प्रदर्शन कर सकता हूँ;
मैंने इसमें पूरी तरह से महारत हासिल कर ली है, लेकिन इसका उपयोग करना मुश्किल लगता है;
आंशिक रूप से महारत हासिल;
सीखा नहीं.

सबक के लिए धन्यवाद.

खंड AB 6 सेमी, यानी 60 मिमी के बराबर है। चूँकि 1 सेमी = डीएम, तो 6 सेमी = डीएम। इसका मतलब है एबी 0.6 डीएम है। चूँकि 1 मिमी = डीएम, तो 60 मिमी = डीएम। इसका मतलब है AB = 0.60 dm.
इस प्रकार, एबी = 0.6 डीएम = 0.60 डीएम। इसका मतलब यह है कि दशमलव भिन्न 0.6 और 0.60 एक ही खंड की लंबाई को डेसीमीटर में व्यक्त करते हैं। ये भिन्न एक दूसरे के बराबर हैं: 0.6 = 0.60.

यदि आप दशमलव अंश के अंत में शून्य जोड़ते हैं या शून्य हटा देते हैं, तो आपको मिलता है अंश, इसके बराबर।
उदाहरण के लिए,

0,87 = 0,870 = 0,8700; 141 = 141,0 = 141,00 = 141,000;
26,000 = 26,00 = 26,0 = 26; 60,00 = 60,0 = 60;
0,900 = 0,90 = 0,9.

आइए दो दशमलव भिन्नों 5.345 और 5.36 की तुलना करें। आइए संख्या 5.36 के दाईं ओर एक शून्य जोड़कर दशमलव स्थानों की संख्या को बराबर करें। हमें भिन्न 5.345 और 5.360 मिलते हैं।

आइए इन्हें अनुचित भिन्नों के रूप में लिखें:

इन भिन्नों के हर समान होते हैं। इसका मतलब यह है कि जिसका अंश बड़ा है वह बड़ा है।
5345 से< 5360, то जिसका मतलब है 5.345< 5,360, то есть 5,345 < 5,36.
दो दशमलव भिन्नों की तुलना करने के लिए, आपको पहले दाईं ओर उनमें से एक में शून्य जोड़कर दशमलव स्थानों की संख्या को बराबर करना होगा, और फिर, अल्पविराम को हटाकर, परिणामी की तुलना करनी होगी प्राकृतिक संख्या.

दशमलव भिन्नों को साधारण भिन्नों की तरह ही समन्वय किरण पर दर्शाया जा सकता है।
उदाहरण के लिए, एक निर्देशांक किरण पर दशमलव भिन्न 0.4 को निरूपित करने के लिए, हम पहले इसे एक साधारण भिन्न के रूप में प्रस्तुत करते हैं: 0.4 = फिर हम किरण की शुरुआत से एक इकाई खंड के चार दसवें हिस्से को अलग रखते हैं। हमें बिंदु A(0,4) प्राप्त होता है (चित्र 141)।

समान दशमलव अंशों को निर्देशांक किरण पर एक ही बिंदु द्वारा दर्शाया जाता है।

उदाहरण के लिए, भिन्न 0.6 और 0.60 को एक बिंदु बी द्वारा दर्शाया गया है (चित्र 141 देखें)।

छोटा दशमलव अंश पर स्थित है समन्वय किरणबड़े वाले के बायीं ओर, और बड़े वाले से छोटे के दायीं ओर।

उदाहरण के लिए, 0.4< 0,6 < 0,8, поэтому точка A(0,4) лежит левее точки B(0,6), а точка С(0,8) лежит правее точки B(0,6) (см. рис. 141).

यदि अंत में शून्य जोड़ दिया जाए तो क्या दशमलव बदल जाएगा?
A6 शून्य?
एक तुलना नियम बनाएं दशमलवअंश.

1172. दशमलव भिन्न लिखिए:

ए) चार दशमलव स्थानों के साथ, 0.87 के बराबर;
बी) पांच दशमलव स्थानों के साथ, 0.541 के बराबर;
ग) कब्जे के बाद तीन अंकों के साथ, 35 के बराबर;
d) दो दशमलव स्थानों के साथ, 8.40000 के बराबर।

1173. दाईं ओर शून्य जोड़कर, दशमलव भिन्नों में दशमलव स्थानों की संख्या को बराबर करें: 1.8; 13.54 और 0.789.

1174. छोटी भिन्नें लिखें: 2.5000; 3.02000; 20,010.

85.09 और 67.99; 55.7 और 55.7000; 0.5 और 0.724; 0.908 और 0.918; 7.6431 और 7.6429; 0.0025 और 0.00247.

1176. संख्याओं को आरोही क्रम में व्यवस्थित करें:

3,456; 3,465; 8,149; 8,079; 0,453.

0,0082; 0,037; 0,0044; 0,08; 0,0091

अवरोही क्रम में व्यवस्थित करें.

ए) 1.41< х < 4,75; г) 2,99 < х < 3;
बी) 0.1< х < 0,2; д) 7 < х < 7,01;
ग) 2.7< х < 2,8; е) 0,12 < х < 0,13.

1184. मानों की तुलना करें:

ए) 98.52 मीटर और 65.39 मीटर; ई) 0.605 टन और 691.3 किग्रा;
बी) 149.63 किग्रा और 150.08 किग्रा; च) 4.572 किमी और 4671.3 मीटर;
ग) 3.55°C और 3.61°C; छ) 3.835 हेक्टेयर और 383.7 ए;
घ) 6.781 घंटे और 6.718 घंटे; ज) 7.521 लीटर और 7538 सेमी3।

क्या 3.5 किग्रा और 8.12 मीटर की तुलना करना संभव है? ऐसी मात्राओं के कुछ उदाहरण दीजिए जिनकी तुलना नहीं की जा सकती।

1185. मौखिक रूप से गणना करें:

1186. गणनाओं की शृंखला पुनर्स्थापित करें

1187. क्या यह कहना संभव है कि दशमलव भिन्न में दशमलव बिंदु के बाद कितने अंक होते हैं यदि उसका नाम इस शब्द के साथ समाप्त होता है:

ए) सौवां हिस्सा; बी) दस हजारवां हिस्सा; ग) दसवां हिस्सा; घ) दस लाखवां हिस्सा?

पाठ सामग्री पाठ नोट्सफ़्रेम पाठ प्रस्तुति त्वरण विधियों इंटरैक्टिव तकनीकों का समर्थन करना अभ्यास कार्य और अभ्यास स्व-परीक्षण कार्यशालाएँ, प्रशिक्षण, मामले, प्रश्न, होमवर्क चर्चा प्रश्न, छात्रों से अलंकारिक प्रश्न रेखांकन ऑडियो, वीडियो क्लिप और मल्टीमीडियातस्वीरें, तस्वीरें, ग्राफिक्स, टेबल, रेखाचित्र, हास्य, उपाख्यान, चुटकुले, कॉमिक्स, दृष्टान्त, कहावतें, वर्ग पहेली, उद्धरण ऐड-ऑन एब्सट्रैक्टजिज्ञासु क्रिब्स पाठ्यपुस्तकों के लिए आलेख ट्रिक्स, अन्य शब्दों का बुनियादी और अतिरिक्त शब्दकोश पाठ्यपुस्तकों और पाठों में सुधार करनापाठ्यपुस्तक में त्रुटियों को सुधारनापाठ्यपुस्तक में एक अंश को अद्यतन करना, पाठ में नवाचार के तत्व, पुराने ज्ञान को नए से बदलना केवल शिक्षकों के लिए उत्तम पाठवर्ष के लिए कैलेंडर योजना; पद्धतिगत चर्चा कार्यक्रम; एकीकृत पाठ

नए ज्ञान में महारत हासिल करने और उसे समेकित करने का एक पाठ

विषय : दशमलव की तुलना

दमबेवा वेलेंटीना मतवेवना

गणित शिक्षक

MAOU "माध्यमिक विद्यालय नंबर 25" उलान-उडे

विषय।दशमलव की तुलना करना.

उपदेशात्मक लक्ष्य:विद्यार्थियों को दो दशमलवों की तुलना करना सिखाएं। छात्रों को तुलना के नियम से परिचित कराएं। बड़ी (छोटी) भिन्नों को खोजने की क्षमता विकसित करें।

शैक्षणिक उद्देश्य.उदाहरणों को हल करने की प्रक्रिया में छात्रों की रचनात्मक गतिविधि का विकास करना। विभिन्न प्रकार के कार्यों का चयन करके गणित में रुचि पैदा करें। बुद्धिमत्ता, सरलता विकसित करें और लचीली सोच विकसित करें। छात्रों में अपने काम के परिणामों के बारे में आत्म-आलोचना करने की क्षमता विकसित करना जारी रखें।

पाठ उपकरण.हैंडआउट सामग्री. सिग्नल कार्ड, टास्क कार्ड, कार्बन पेपर।

विजुअल एड्स।टेबल-कार्य, पोस्टर-नियम।

पाठ का प्रकार.नए ज्ञान को आत्मसात करना। नये ज्ञान का समेकन.

शिक्षण योजना

संगठनात्मक क्षण. 1 मिनट.

होमवर्क की जाँच करना. 3 मिनट.

दोहराव. 8 मि.

किसी नये विषय की व्याख्या. 18-20 मिनट.

समेकन। 25-27 मि.

कार्य का सारांश. 3 मिनट.

गृहकार्य। 1 मिनट.

श्रुतलेख व्यक्त करें. 10-13 मि

पाठ प्रगति.

1. संगठनात्मक क्षण.

2. होमवर्क जाँचना. नोटबुक्स का संग्रह.

3. पुनरावृत्ति(मौखिक रूप से)।

ए) साधारण भिन्नों की तुलना करें (सिग्नल कार्ड के साथ काम करें)।

4/5 और 3/5; 4/4 और 13/40; 1 और 3/2; 4/2 और 12/20; 3 5/6 और 5 5/6;

ख) 4 इकाइयाँ, 2 इकाइयाँ किस श्रेणी में हैं...?

57532, 4081

ग) प्राकृतिक संख्याओं की तुलना करें

99 और 1111; 5 4 4 और 5 3 4, 556 और 55 9 ; 4 366 और 7 366;

समान अंकों वाली संख्याओं की तुलना कैसे करें?

(समान अंकों वाली संख्याओं की तुलना सबसे महत्वपूर्ण अंक से शुरू करके बिटवाइज़ की जाती है। पोस्टर नियम)।

कोई कल्पना कर सकता है कि एक ही नाम के अंक "प्रतिस्पर्धा" करते हैं जिनका अंक पद बड़ा है: एक के साथ इकाई, दस के साथ दहाई, आदि।

4. किसी नये विषय की व्याख्या.

ए)कौन सा चिन्ह (>,< или =) следует заменить вопросительный знак между десятичными дробями на рисунке.

पोस्टर कार्य

3425, 672678 ? 3425, 672478

14, 24000 ? 14, 24

इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए आपको दशमलव की तुलना करना सीखना होगा।

12, 3 < 15,3

72.1 > 68.4 क्यों?

दो दशमलव भिन्नों में से, जिसका पूर्ण भाग बड़ा होता है, वह बड़ा होता है।

13,5 > 13,4

0, 327 > 0,321

क्यों?

यदि तुलना की जा रही भिन्नों के संपूर्ण भाग एक-दूसरे के बराबर हैं, तो उनके भिन्नात्मक भाग की तुलना अंकों द्वारा की जाती है।

3. 0,800 ? 0,8

1,32 ? 1,3

लेकिन अगर ये संख्याएं अलग-अलग हों तो क्या होगा? यदि आप दशमलव भिन्न के दाईं ओर एक या अधिक शून्य जोड़ते हैं, तो भिन्न का मान नहीं बदलेगा।

इसके विपरीत, यदि दशमलव अंश शून्य पर समाप्त होता है, तो इन शून्यों को हटाया जा सकता है, अंश का मान नहीं बदलेगा।

आइए तीन दशमलव भिन्नों को देखें:

1,25 1,250 1,2500

वे एक दूसरे से किस प्रकार भिन्न हैं?

रिकॉर्ड के अंत में केवल शून्य की संख्या।

वे किन संख्याओं का प्रतिनिधित्व करते हैं?

इसका पता लगाने के लिए, आपको प्रत्येक भिन्न के अंकीय पदों का योग लिखना होगा।

1,25 = 1+ 2/10 + 5/100

1,250 = 1+ 2/10 + 5/100 1 25/100 = 1,25

1,2500 = 1+ 2/10 + 5/100

सभी समानताओं में दाहिनी ओर समान योग लिखा होता है। इसका मतलब यह है कि सभी तीन भिन्न एक ही संख्या का प्रतिनिधित्व करते हैं। अन्यथा, ये तीन भिन्न बराबर हैं: 1.25 = 1.250 = 1.2500।

दशमलव भिन्नों को साधारण भिन्नों की तरह ही समन्वय किरण पर दर्शाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक निर्देशांक किरण पर दशमलव अंश 0.5 को चित्रित करना। सबसे पहले, आइए इसे एक साधारण भिन्न के रूप में प्रस्तुत करें: 0.5 = 5/10। तो आइए हम किरण की शुरुआत से एक इकाई खंड का पांच दसवां हिस्सा अलग रखें। हमें बिंदु A(0.5) मिलता है

समान दशमलव अंशों को निर्देशांक किरण पर एक ही बिंदु द्वारा दर्शाया जाता है।

छोटा दशमलव अंश बड़े अंश के बाईं ओर समन्वय किरण पर स्थित होता है, और बड़ा अंश छोटे अंश के दाईं ओर स्थित होता है।

ख) पाठ्यपुस्तक के साथ, नियम के साथ काम करें।

अब उस प्रश्न का उत्तर देने का प्रयास करें जो स्पष्टीकरण की शुरुआत में उठाया गया था: कौन सा चिह्न (>,< или =) следует заменить вопросительный знак.

5. समेकन.

№1

तुलना करना: सिग्नल कार्ड के साथ कार्य करना

85.09 और 67.99

55.7 और 55.700

0.0025 और 0.00247

98.52 मीटर और 65.39 मीटर

149.63 किग्रा और 150.08 किग्रा

3.55 0 C और 3.61 0 C

6.784 घंटे और 6.718 घंटे

№ 2

दशमलव लिखें

a) चार दशमलव स्थानों के साथ, 0.87 के बराबर

बी) पांच दशमलव स्थानों के साथ, 0.541 के बराबर

ग) तीन दशमलव स्थानों के साथ, 35 के बराबर

d) दो दशमलव स्थानों के साथ, 8.40000 के बराबर

2 छात्र अलग-अलग बोर्ड पर काम करते हैं

№ 3

स्मेकाल्किन ने संख्याओं की तुलना करने के कार्य को पूरा करने के लिए तैयारी की और संख्याओं के कई जोड़े को एक नोटबुक में कॉपी किया, जिसके बीच आपको एक चिन्ह लगाना होगा > या<. Вдруг он нечаянно уронил тетрадь на мокрый пол. Записи размазались, и некоторые цифры стало невозможно разобрать. Вот что получилось:

ए) 4.3** और 4.7**

बी) **, 412 और *, 9*

ग) 0.742 और 0.741*

घ)*, *** और **,**

ई) 95.0** और *4.*3*

स्मेकाल्किन को यह पसंद आया कि वह धुंधले अंकों के साथ कार्य पूरा करने में सक्षम थे। आख़िरकार, एक कार्य के बदले हमें पहेलियाँ मिलीं। उन्होंने खुद घिसे-पिटे अंकों के साथ पहेलियां बनाने का फैसला किया और उन्हें आपको पेश किया। निम्नलिखित प्रविष्टियों में, कुछ संख्याएँ धुंधली हैं। आपको अनुमान लगाना होगा कि ये कौन सी संख्याएँ हैं।

ए) 2.*1 और 2.02

बी) 6.431 और 6.4*8

ग) 1.34 और 1.3*

घ) 4.*1 और 4.41

घ) 4.5*8 और 4.593

ई) 5.657* और 5.68

कार्य पोस्टर और व्यक्तिगत कार्डों पर है।

लगाए गए प्रत्येक चिन्ह की जाँच करना और उसका औचित्य सिद्ध करना।

№ 4

मैं पुष्टि करता हूं:

a) 3.7, 3.278 से कम है

आख़िरकार, पहली संख्या में दूसरी की तुलना में कम अंक हैं।

बी) 25.63 2.563 के बराबर है

आख़िरकार, उनके पास एक ही क्रम में समान संख्याएँ हैं।

मेरा कथन सुधारो

"प्रतिउदाहरण" (मौखिक)

№ 5

संख्याओं के बीच कौन सी प्राकृतिक संख्याएँ हैं? (लेखन में)।

ए) 3, 7 और 6.6

बी) 18.2 और 19.8

ग) 43 और 45.42

घ) 15 और 18

6. पाठ सारांश.

विभिन्न पूर्णांकों वाले दो दशमलव भिन्नों की तुलना कैसे करें?

समान पूर्णांकों वाली दो दशमलव भिन्नों की तुलना कैसे करें?

आप दो दशमलव अंकों की तुलना समान दशमलव स्थानों से कैसे करते हैं?

7. गृहकार्य.

8. श्रुतलेख व्यक्त करें।

संख्याओं को छोटा लिखें

0,90 1,40

10,72000 61,610000

भिन्नों की तुलना करें

0.3 और 0.31 0.4 और 0.43

0.46 और 0.5 0.38 और 0.4

55.7 और 55.700 88.4 और 88.400

क्रम से व्यवस्थित करें

आरोही अवरोही

3,456; 3465; 8,149; 8,079; 0,453

संख्याओं के बीच कौन सी प्राकृतिक संख्याएँ हैं?

7.5 और 9.1 3.25 और 5.5

84 और 85.001 0.3 और 4

असमानता को सत्य बनाने के लिए संख्याएँ दर्ज करें:

15,*2 > 15,62 4,60 < 4,*3

6,99 6,8

बोर्ड से एक्सप्रेस श्रुतलेख की जाँच करना

अतिरिक्त कार्य.

1. अपने पड़ोसी को 3 उदाहरण लिखें और जांचें!

साहित्य:

स्ट्रैटिलाटोव पी.वी. "गणित शिक्षक की कार्य प्रणाली पर" मॉस्को "ज्ञानोदय" 1984

काबालेव्स्की यू.डी. "गणित सीखने की प्रक्रिया में छात्रों का स्वतंत्र कार्य" 1988

बुलानोवा एल.एम., डुडनित्सिन यू.पी. "गणित में परीक्षण कार्य",

मॉस्को "समर्पण" 1992

वी.जी. कोवलेंको "गणित के पाठों में उपदेशात्मक खेल" मॉस्को "ज्ञानोदय" 1990

मिनेवा एस.एस. "गणित में पाठों और पाठ्येतर गतिविधियों में गणना" मॉस्को "ज्ञानोदय" 1983