गुणनखंड बनाने के लिए भावों को सरल बनाना आवश्यक है। ये इसलिए जरूरी है ताकि इसे और कम किया जा सके. एक बहुपद का विस्तार तब समझ में आता है जब उसकी डिग्री दो से कम न हो। प्रथम घात वाले बहुपद को रैखिक कहा जाता है।
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लेख में अपघटन की सभी अवधारणाओं को शामिल किया जाएगा, सैद्धांतिक संस्थापनाऔर बहुपद का गुणनखंडन करने की विधियाँ।
लिखित
प्रमेय 1जब घात n वाला कोई बहुपद, जिसका रूप P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + हो। . . + a 1 x + a 0, उच्चतम डिग्री a n और n रैखिक कारकों (x - x i), i = 1, 2, ..., n, फिर P n (x) के साथ एक स्थिर कारक वाले उत्पाद के रूप में दर्शाया जाता है। = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 1) , जहां x i, i = 1, 2, …, n बहुपद के मूल हैं।
प्रमेय जटिल प्रकार x i, i = 1, 2, …, n की जड़ों के लिए और जटिल गुणांक ak, k = 0, 1, 2, …, n के लिए अभिप्रेत है। यह किसी भी अपघटन का आधार है।
जब ak, k = 0, 1, 2, …, n के रूप के गुणांक वास्तविक संख्याएँ हों, तो सम्मिश्र मूल संयुग्मी युग्मों में घटित होंगे। उदाहरण के लिए, मूल x 1 और x 2, P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + रूप के बहुपद से संबंधित हैं। . . + a 1 x + a 0 को सम्मिश्र संयुग्म माना जाता है, तो अन्य मूल वास्तविक होते हैं, जिससे हम पाते हैं कि बहुपद P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · का रूप लेता है। . . · (x - x 3) x 2 + p x + q, जहाँ x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2) .
टिप्पणी
एक बहुपद के मूलों को दोहराया जा सकता है। आइए बीजगणित प्रमेय के प्रमाण पर विचार करें, जो बेज़ौट के प्रमेय का परिणाम है।
बीजगणित का मौलिक प्रमेय
प्रमेय 2घात n वाले किसी भी बहुपद में कम से कम एक मूल होता है।
बेज़ाउट का प्रमेय
P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + रूप के बहुपद को विभाजित करने के बाद। . . + a 1 x + a 0 पर (x - s), तो हमें शेषफल मिलता है, जो बिंदु s पर बहुपद के बराबर है, फिर हमें मिलता है
पी एन एक्स = ए एन एक्स एन + ए एन - 1 एक्स एन - 1 +। . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) + P n (s), जहां Q n - 1 (x) घात n - 1 वाला एक बहुपद है।
बेज़ाउट के प्रमेय का परिणाम
जब बहुपद P n (x) का मूल s माना जाता है, तो P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 +। . . + ए 1 एक्स + ए 0 = (एक्स - एस) · क्यू एन - 1 (एक्स)। जब समाधान का वर्णन करने के लिए इसका उपयोग किया जाता है तो यह परिणाम पर्याप्त होता है।
एक द्विघात त्रिपद का गुणनखंडन
a x 2 + b x + c के रूप के एक वर्ग त्रिपद को रैखिक गुणनखंडों में विभाजित किया जा सकता है। तब हम पाते हैं कि a x 2 + b x + c = a (x - x 1) (x - x 2) , जहां x 1 और x 2 मूल (जटिल या वास्तविक) हैं।
इससे स्पष्ट है कि विस्तार ही समाधान तक सिमट जाता है द्विघात समीकरणबाद में।
उदाहरण 1
द्विघात त्रिपद का गुणनखंड करें.
समाधान
समीकरण 4 x 2 - 5 x + 1 = 0 के मूल ज्ञात करना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, आपको सूत्र का उपयोग करके विवेचक का मान ज्ञात करना होगा, फिर हमें D = (- 5) 2 - 4 · 4 · 1 = 9 मिलता है। यहां से हमारे पास वह है
x 1 = 5 - 9 2 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 4 = 1
इससे हमें पता चलता है कि 4 x 2 - 5 x + 1 = 4 x - 1 4 x - 1.
जाँच करने के लिए, आपको कोष्ठक खोलने होंगे। तब हमें फॉर्म की अभिव्यक्ति मिलती है:
4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 - 5 x + 1
जाँच करने के बाद, हम मूल अभिव्यक्ति पर पहुँचते हैं। अर्थात्, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि अपघटन सही ढंग से किया गया था।
उदाहरण 2
3 x 2 - 7 x - 11 के रूप के द्विघात त्रिपद का गुणनखंड करें।
समाधान
हमने पाया कि 3 x 2 - 7 x - 11 = 0 के रूप में परिणामी द्विघात समीकरण की गणना करना आवश्यक है।
जड़ों को खोजने के लिए, आपको विवेचक का मान निर्धारित करना होगा। हमें वह मिल गया
3 x 2 - 7 x - 11 = 0 डी = (- 7) 2 - 4 3 (- 11) = 181 x 1 = 7 + डी 2 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 - डी 2 3 = 7 - 181 6
इससे हमें पता चलता है कि 3 x 2 - 7 x - 11 = 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6.
उदाहरण 3
बहुपद 2 x 2 + 1 का गुणनखंड करें।
समाधान
अब हमें द्विघात समीकरण 2 x 2 + 1 = 0 को हल करना होगा और उसके मूल ज्ञात करने होंगे। हमें वह मिल गया
2 एक्स 2 + 1 = 0 एक्स 2 = - 1 2 एक्स 1 = - 1 2 = 1 2 आई एक्स 2 = - 1 2 = - 1 2 आई
इन जड़ों को जटिल संयुग्म कहा जाता है, जिसका अर्थ है कि विस्तार को स्वयं 2 x 2 + 1 = 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i के रूप में दर्शाया जा सकता है।
उदाहरण 4
द्विघात त्रिपद x 2 + 1 3 x + 1 को विघटित करें।
समाधान
सबसे पहले आपको x 2 + 1 3 x + 1 = 0 के रूप का एक द्विघात समीकरण हल करना होगा और उसके मूल ज्ञात करने होंगे।
एक्स 2 + 1 3 एक्स + 1 = 0 डी = 1 3 2 - 4 1 1 = - 35 9 एक्स 1 = - 1 3 + डी 2 1 = - 1 3 + 35 3 आई 2 = - 1 + 35 आई 6 = - 1 6 + 35 6 आई एक्स 2 = - 1 3 - डी 2 1 = - 1 3 - 35 3 आई 2 = - 1 - 35 आई 6 = - 1 6 - 35 6 आई
जड़ें प्राप्त करने के बाद, हम लिखते हैं
x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 i x - - 1 6 - 35 6 i = = x + 1 6 - 35 6 i x + 1 6 + 35 6 i
टिप्पणी
यदि विभेदक मान ऋणात्मक है, तो बहुपद दूसरे क्रम के बहुपद बने रहेंगे। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि हम उन्हें रैखिक कारकों में विस्तारित नहीं करेंगे।
दो से अधिक घात वाले बहुपद का गुणनखंडन करने की विधियाँ
विघटित होने पर यह मान लिया जाता है सार्वभौमिक विधि. अधिकांश मामले बेज़ौट के प्रमेय के परिणाम पर आधारित हैं। ऐसा करने के लिए, आपको मूल x 1 के मान का चयन करना होगा और एक बहुपद द्वारा 1 से विभाजित करके (x - x 1) से विभाजित करके इसकी डिग्री को कम करना होगा। परिणामी बहुपद को मूल x 2 खोजने की आवश्यकता है, और खोज प्रक्रिया तब तक चक्रीय है जब तक हम पूर्ण विस्तार प्राप्त नहीं कर लेते।
यदि मूल नहीं मिलता है, तो गुणनखंडन की अन्य विधियों का उपयोग किया जाता है: समूहीकरण, अतिरिक्त पद। इस विषयउच्च घातों और पूर्णांक गुणांकों वाले समीकरणों का समाधान प्रस्तुत करता है।
सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालना
उस स्थिति पर विचार करें जब मुक्त पद शून्य के बराबर हो, तो बहुपद का रूप P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + हो जाता है। . . + ए 1 एक्स .
यह देखा जा सकता है कि ऐसे बहुपद का मूल x 1 = 0 के बराबर होगा, तो बहुपद को अभिव्यक्ति P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + के रूप में दर्शाया जा सकता है। . . + ए 1 एक्स = = एक्स (ए एन एक्स एन - 1 + ए एन - 1 एक्स एन - 2 +... + ए 1)
इस विधि को सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालने वाला माना जाता है।
उदाहरण 5
तीसरी डिग्री बहुपद 4 x 3 + 8 x 2 - x का गुणनखंड करें।
समाधान
हम देखते हैं कि x 1 = 0 दिए गए बहुपद का मूल है, तो हम संपूर्ण व्यंजक के कोष्ठक से x हटा सकते हैं। हम पाते हैं:
4 x 3 + 8 x 2 - x = x (4 x 2 + 8 x - 1)
आइए वर्ग त्रिपद 4 x 2 + 8 x - 1 के मूल ज्ञात करने के लिए आगे बढ़ें। आइए विभेदक और मूल खोजें:
डी = 8 2 - 4 4 (- 1) = 80 x 1 = - 8 + डी 2 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - डी 2 4 = - 1 - 5 2
फिर यह उसी का अनुसरण करता है
4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = = 4 x x - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 x x + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2
आरंभ करने के लिए, आइए एक अपघटन विधि पर विचार करें जिसमें P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + के पूर्णांक गुणांक शामिल हैं। . . + ए 1 एक्स + ए 0, जहां उच्चतम डिग्री का गुणांक 1 है।
जब किसी बहुपद में पूर्णांक मूल होते हैं, तो उन्हें मुक्त पद का विभाजक माना जाता है।
उदाहरण 6
अभिव्यक्ति f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 का विस्तार करें।
समाधान
आइए विचार करें कि क्या पूरी जड़ें हैं। संख्या - 18 के विभाजक लिखना आवश्यक है। हमें वह ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18 मिलता है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि इस बहुपद के मूल पूर्णांक हैं। आप हॉर्नर योजना का उपयोग करके जांच कर सकते हैं। यह बहुत सुविधाजनक है और आपको बहुपद के विस्तार गुणांक को तुरंत प्राप्त करने की अनुमति देता है:
इसका तात्पर्य यह है कि x = 2 और x = - 3 मूल बहुपद के मूल हैं, जिन्हें इस रूप के उत्पाद के रूप में दर्शाया जा सकता है:
एफ (एक्स) = एक्स 4 + 3 एक्स 3 - एक्स 2 - 9 एक्स - 18 = (एक्स - 2) (एक्स 3 + 5 एक्स 2 + 9 एक्स + 9) = = (एक्स - 2) (एक्स + 3) (एक्स 2 + 2 एक्स + 3)
हम x 2 + 2 x + 3 के रूप के एक द्विघात त्रिपद के विस्तार के लिए आगे बढ़ते हैं।
चूँकि विवेचक नकारात्मक है, इसका मतलब है कि कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं।
उत्तर:एफ (एक्स) = एक्स 4 + 3 एक्स 3 - एक्स 2 - 9 एक्स - 18 = (एक्स - 2) (एक्स + 3) (एक्स 2 + 2 एक्स + 3)
टिप्पणी
इसे हॉर्नर की योजना के बजाय एक बहुपद द्वारा मूल चयन और विभाजन का उपयोग करने की अनुमति है। आइए P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + रूप के पूर्णांक गुणांक वाले बहुपद के विस्तार पर विचार करें। . . + ए 1 एक्स + ए 0, जिसका उच्चतम एक के बराबर है।
यह मामला परिमेय भिन्नों के लिए होता है।
उदाहरण 7
f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 का गुणनखंड करें।
समाधान
चर y = 2 x को प्रतिस्थापित करना आवश्यक है, आपको उच्चतम डिग्री पर 1 के बराबर गुणांक वाले बहुपद पर आगे बढ़ना चाहिए। आपको व्यंजक को 4 से गुणा करके प्रारंभ करना होगा। हमें वह मिल गया
4 f (x) = 2 3 x 3 + 19 2 2 x 2 + 82 2 x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)
जब फॉर्म g (y) = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 के परिणामी फ़ंक्शन में पूर्णांक जड़ें होती हैं, तो उनका स्थान मुक्त पद के विभाजकों के बीच होता है। प्रविष्टि इस प्रकार दिखेगी:
±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±10, ±12, ±15, ±20, ±30, ±60
आइए परिणाम के रूप में शून्य प्राप्त करने के लिए इन बिंदुओं पर फ़ंक्शन g (y) की गणना करने के लिए आगे बढ़ें। हमें वह मिल गया
जी (1) = 1 3 + 19 1 2 + 82 1 + 60 = 162 ग्राम (- 1) = (- 1) 3 + 19 (- 1) 2 + 82 (- 1) + 60 = - 4 ग्राम (2) ) = 2 3 + 19 2 2 + 82 2 + 60 = 308 ग्राम (- 2) = (- 2) 3 + 19 (- 2) 2 + 82 (- 2) + 60 = - 36 ग्राम (3) = 3 3 + 19 3 2 + 82 3 + 60 = 504 ग्राम (- 3) = (- 3) 3 + 19 (- 3) 2 + 82 (- 3) + 60 = - 42 ग्राम (4) = 4 3 + 19 · 4 2 + 82 · 4 + 60 = 756 ग्राम (- 4) = (- 4) 3 + 19 · (- 4) 2 + 82 · (- 4) + 60 = - 28 ग्राम (5) = 5 3 + 19 5 2 + 82 5 + 60 = 1070 ग्राम (- 5) = (- 5) 3 + 19 (- 5) 2 + 82 (- 5) + 60
हम पाते हैं कि y = - 5, y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 के रूप के समीकरण का मूल है, जिसका अर्थ है कि x = y 2 = - 5 2 मूल फलन का मूल है।
उदाहरण 8
एक कॉलम 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 को x + 5 2 से विभाजित करना आवश्यक है।
समाधान
आइए इसे लिखें और प्राप्त करें:
2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)
भाजक की जाँच करने में बहुत समय लगेगा, इसलिए x 2 + 7 x + 3 के रूप में परिणामी द्विघात त्रिपद को गुणनखंडित करना अधिक लाभदायक है। शून्य के बराबर करके हम विभेदक ज्ञात करते हैं।
x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 - 4 1 3 = 37 x 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 - 37 2 एक्स + 7 2 + 37 2
यह उसी का अनुसरण करता है
2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2
बहुपद का गुणनखंड करने की कृत्रिम तकनीकें
सभी बहुपदों में तर्कसंगत जड़ें अंतर्निहित नहीं होती हैं। ऐसा करने के लिए, आपको कारकों को खोजने के लिए विशेष तरीकों का उपयोग करने की आवश्यकता है। लेकिन सभी बहुपदों को एक उत्पाद के रूप में विस्तारित या प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है।
समूहीकरण विधि
ऐसे मामले होते हैं जब आप एक सामान्य गुणनखंड खोजने के लिए बहुपद के पदों को समूहित कर सकते हैं और उसे कोष्ठक से बाहर रख सकते हैं।
उदाहरण 9
बहुपद x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 का गुणनखंड करें।
समाधान
क्योंकि गुणांक पूर्णांक हैं, तो मूल संभवतः पूर्णांक भी हो सकते हैं। जाँच करने के लिए, इन बिंदुओं पर बहुपद के मान की गणना करने के लिए मान 1, - 1, 2 और - 2 लें। हमें वह मिल गया
1 4 + 4 1 3 - 1 2 - 8 1 - 2 = - 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 (- 1) - 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 2 3 - 2 2 - 8 2 - 2 = 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 (- 2) - 2 = - 6 ≠ 0
इससे पता चलता है कि जड़ें नहीं हैं; विस्तार और समाधान की दूसरी विधि का उपयोग करना आवश्यक है।
समूह बनाना आवश्यक है:
x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8 एक्स) + एक्स 2 - 2 = = एक्स 2 (एक्स 2 - 2) + 4 एक्स (एक्स 2 - 2) + एक्स 2 - 2 = = (एक्स 2 - 2) (एक्स 2 + 4 एक्स + 1)
मूल बहुपद को समूहीकृत करने के बाद, आपको इसे दो वर्ग त्रिपदों के गुणनफल के रूप में प्रस्तुत करना होगा। ऐसा करने के लिए, हमें गुणनखंड बनाना होगा। हमें वह मिल गया
x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = - 2 ⇒ x 2 - 2 = x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 - 4 1 1 = 12 एक्स 1 = - 4 - डी 2 1 = - 2 - 3 एक्स 2 = - 4 - डी 2 1 = - 2 - 3 ⇒ एक्स 2 + 4 एक्स + 1 = एक्स + 2 - 3 एक्स + 2 + 3
x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 = = x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3
टिप्पणी
समूहीकरण की सरलता का मतलब यह नहीं है कि शब्दों को चुनना काफी आसान है। कोई विशिष्ट समाधान विधि नहीं है, इसलिए विशेष प्रमेयों और नियमों का उपयोग करना आवश्यक है।
उदाहरण 10
बहुपद x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 का गुणनखंड करें।
समाधान
दिए गए बहुपद का कोई पूर्णांक मूल नहीं है। शर्तों को समूहीकृत किया जाना चाहिए. हमें वह मिल गया
x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 एक्स - 2) - (एक्स 2 + 2 एक्स - 2) = (एक्स 2 + एक्स - 1) (एक्स 2 + 2 एक्स - 2)
गुणनखंडन के बाद हमें वह प्राप्त होता है
x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2 - 5 2
एक बहुपद का गुणनखंड करने के लिए संक्षिप्त गुणन सूत्रों और न्यूटन के द्विपद का उपयोग करना
उपस्थिति अक्सर यह स्पष्ट नहीं करती है कि अपघटन के दौरान किस विधि का उपयोग किया जाना चाहिए। परिवर्तन किए जाने के बाद, आप पास्कल के त्रिभुज से युक्त एक रेखा बना सकते हैं, अन्यथा उन्हें न्यूटन का द्विपद कहा जाता है।
उदाहरण 11
बहुपद x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 का गुणनखंड करें।
समाधान
अभिव्यक्ति को रूप में परिवर्तित करना आवश्यक है
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3
कोष्ठकों में योग के गुणांकों का क्रम अभिव्यक्ति x + 1 4 द्वारा दर्शाया गया है।
इसका मतलब है कि हमारे पास x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 है।
वर्गों का अंतर लगाने पर हमें प्राप्त होता है
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 एक्स + 1 2 + 3
दूसरे कोष्ठक में मौजूद अभिव्यक्ति पर विचार करें। यह स्पष्ट है कि वहां कोई शूरवीर नहीं हैं, इसलिए हमें वर्गों के अंतर के सूत्र को फिर से लागू करना चाहिए। हमें स्वरूप की अभिव्यक्ति प्राप्त होती है
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3
उदाहरण 12
x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 का गुणनखंड करें।
समाधान
आइए अभिव्यक्ति को बदलना शुरू करें। हमें वह मिल गया
x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 2 x 2 + 3 2 2 x + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2
घनों के अंतर के संक्षिप्त गुणन के लिए सूत्र लागू करना आवश्यक है। हम पाते हैं:
x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 - 2 3 एक्स 2 + एक्स 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3
बहुपद का गुणनखंड करते समय एक चर को प्रतिस्थापित करने की एक विधि
किसी चर को प्रतिस्थापित करते समय, डिग्री कम हो जाती है और बहुपद का गुणनखंड हो जाता है।
उदाहरण 13
x 6 + 5 x 3 + 6 के रूप के बहुपद का गुणनखंड करें।
समाधान
शर्त के अनुसार यह स्पष्ट है कि प्रतिस्थापन y = x 3 करना आवश्यक है। हम पाते हैं:
एक्स 6 + 5 एक्स 3 + 6 = वाई = एक्स 3 = वाई 2 + 5 वाई + 6
परिणामी द्विघात समीकरण की जड़ें y = - 2 और y = - 3 हैं
एक्स 6 + 5 एक्स 3 + 6 = वाई = एक्स 3 = वाई 2 + 5 वाई + 6 = = वाई + 2 वाई + 3 = एक्स 3 + 2 एक्स 3 + 3
घनों के योग के संक्षिप्त गुणन के लिए सूत्र लागू करना आवश्यक है। हमें इस प्रकार के भाव मिलते हैं:
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 एक्स + 3 3 एक्स 2 - 3 3 एक्स + 9 3
अर्थात्, हमें वांछित अपघटन प्राप्त हुआ।
ऊपर चर्चा किए गए मामले एक बहुपद पर विभिन्न तरीकों से विचार करने और उसका गुणनखंड करने में मदद करेंगे।
यदि आपको पाठ में कोई त्रुटि दिखाई देती है, तो कृपया उसे हाइलाइट करें और Ctrl+Enter दबाएँ
घात n वाले किसी भी बीजगणितीय बहुपद को गुणनफल के रूप में दर्शाया जा सकता है एन-रैखिक कारकप्रकार और एक स्थिर संख्या, जो उच्चतम डिग्री x पर बहुपद का गुणांक है, अर्थात।
कहाँ 
- बहुपद की जड़ें हैं.
बहुपद का मूल वह संख्या (वास्तविक या सम्मिश्र) है जो बहुपद को लुप्त कर देती है। एक बहुपद की जड़ें या तो वास्तविक जड़ें या जटिल संयुग्मी जड़ें हो सकती हैं, फिर बहुपद को निम्नलिखित रूप में दर्शाया जा सकता है:
आइए घात "n" के बहुपदों को पहली और दूसरी घात के गुणनखंडों के गुणनफल में विघटित करने की विधियों पर विचार करें।
विधि संख्या 1.अनिर्धारित गुणांकों की विधि.
ऐसे रूपांतरित व्यंजक के गुणांक अनिश्चित गुणांक की विधि द्वारा निर्धारित किए जाते हैं। विधि का सार यह है कि किसी दिए गए बहुपद को जिस प्रकार के कारकों में विघटित किया जाता है वह पहले से ज्ञात होता है। अनिश्चित गुणांकों की विधि का उपयोग करते समय, निम्नलिखित कथन सत्य हैं:
पृ.1. दो बहुपद समान रूप से समान होते हैं यदि उनके गुणांक x की समान घातों के लिए समान हों।
पी.2. तीसरी डिग्री का कोई भी बहुपद रैखिक और द्विघात कारकों के उत्पाद में विघटित हो जाता है।
पृ.3. किसी भी चौथे-डिग्री बहुपद को दो दूसरे-डिग्री बहुपदों के उत्पाद में विघटित किया जा सकता है।
उदाहरण 1.1.घन अभिव्यक्ति को गुणनखंडित करना आवश्यक है:
पृ.1. स्वीकृत कथनों के अनुसार, घन अभिव्यक्ति के लिए समान समानता है:
पी.2. दाहिनी ओरभावों को निम्नलिखित शब्दों के रूप में दर्शाया जा सकता है:
पृ.3. हम घन अभिव्यक्ति की संगत शक्तियों पर गुणांकों की समानता की स्थिति से समीकरणों की एक प्रणाली बनाते हैं।
समीकरणों की इस प्रणाली को गुणांकों का चयन करके हल किया जा सकता है (यदि यह एक साधारण शैक्षणिक समस्या है) या समाधान विधियों का उपयोग किया जा सकता है अरेखीय प्रणालियाँसमीकरण. समीकरणों की इस प्रणाली को हल करने पर, हम पाते हैं कि अनिश्चित गुणांक निम्नानुसार निर्धारित किए जाते हैं:
इस प्रकार, मूल अभिव्यक्ति को निम्नलिखित रूप में गुणनखंडित किया गया है:
किसी समीकरण का मूल खोजने की प्रक्रिया को स्वचालित करने के लिए इस पद्धति का उपयोग विश्लेषणात्मक गणना और कंप्यूटर प्रोग्रामिंग दोनों में किया जा सकता है।
विधि संख्या 2.वियतनाम सूत्र
विएटा के सूत्र घात n के बीजगणितीय समीकरणों के गुणांकों और उसके मूलों को जोड़ने वाले सूत्र हैं। ये सूत्र फ्रांसीसी गणितज्ञ फ्रेंकोइस विएटा (1540 - 1603) के कार्यों में स्पष्ट रूप से प्रस्तुत किए गए थे। इस तथ्य के कारण कि विएथ ने केवल सकारात्मक वास्तविक जड़ों पर विचार किया, इसलिए उन्हें इन सूत्रों को सामान्य स्पष्ट रूप में लिखने का अवसर नहीं मिला।
घात n वाले किसी भी बीजगणितीय बहुपद के लिए जिसके मूल n-वास्तविक हैं,
निम्नलिखित संबंध मान्य हैं जो एक बहुपद की जड़ों को उसके गुणांकों से जोड़ते हैं:
किसी बहुपद के मूल ज्ञात करने की शुद्धता की जाँच करने के साथ-साथ दिए गए मूलों से बहुपद की रचना करने के लिए विएटा के सूत्रों का उपयोग करना सुविधाजनक है।
उदाहरण 2.1.आइए घन समीकरण के उदाहरण का उपयोग करके विचार करें कि एक बहुपद की जड़ें उसके गुणांकों से कैसे संबंधित हैं
विएटा के सूत्रों के अनुसार, एक बहुपद की जड़ों और उसके गुणांकों के बीच संबंध का निम्नलिखित रूप होता है:
घात n वाले किसी भी बहुपद के लिए समान संबंध बनाए जा सकते हैं।
विधि संख्या 3. परिमेय मूलों के साथ एक द्विघात समीकरण का गुणनखंडन करना
विएटा के अंतिम सूत्र से यह निष्कर्ष निकलता है कि एक बहुपद की जड़ें उसके मुक्त पद और अग्रणी गुणांक के विभाजक हैं। इस संबंध में, यदि समस्या कथन पूर्णांक गुणांकों के साथ घात n का बहुपद निर्दिष्ट करता है
तो इस बहुपद का एक परिमेय मूल (अघुलनशील अंश) होता है, जहाँ p मुक्त पद का भाजक है, और q अग्रणी गुणांक का भाजक है। इस मामले में, घात n के एक बहुपद को (बेज़ाउट प्रमेय) के रूप में दर्शाया जा सकता है:
एक बहुपद जिसकी घात प्रारंभिक बहुपद की घात से 1 कम है, घात n द्विपद वाले बहुपद को विभाजित करके निर्धारित किया जाता है, उदाहरण के लिए हॉर्नर योजना या अधिकांश का उपयोग करना सरल तरीके से- "स्तंभ"।
उदाहरण 3.1.बहुपद का गुणनखंड करना आवश्यक है
पृ.1. इस तथ्य के कारण कि उच्चतम पद का गुणांक एक के बराबर, तो इस बहुपद की तर्कसंगत जड़ें अभिव्यक्ति के मुक्त पद के विभाजक हैं, अर्थात। पूर्णांक हो सकते हैं 
. हम प्रस्तुत संख्याओं में से प्रत्येक को मूल अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करते हैं और पाते हैं कि प्रस्तुत बहुपद का मूल बराबर है।
आइए मूल बहुपद को द्विपद से विभाजित करें:
आइए हॉर्नर की योजना का उपयोग करें
मूल बहुपद के गुणांक शीर्ष रेखा में सेट होते हैं, जबकि शीर्ष रेखा का पहला कक्ष खाली रहता है।
दूसरी पंक्ति के पहले सेल में, पाया गया रूट लिखा गया है (विचाराधीन उदाहरण में, संख्या "2" लिखा गया है), और कोशिकाओं में निम्नलिखित मानों की गणना एक निश्चित तरीके से की जाती है और वे गुणांक हैं बहुपद का, जो बहुपद को द्विपद से विभाजित करने पर प्राप्त होता है। अज्ञात गुणांक निम्नानुसार निर्धारित किए जाते हैं:
पहली पंक्ति के संबंधित सेल से मान दूसरी पंक्ति के दूसरे सेल में स्थानांतरित किया जाता है (विचाराधीन उदाहरण में, संख्या "1" लिखी गई है)।
दूसरी पंक्ति के तीसरे सेल में पहले सेल के उत्पाद का मूल्य और दूसरी पंक्ति के दूसरे सेल का मूल्य और पहली पंक्ति के तीसरे सेल का मूल्य शामिल है (विचाराधीन उदाहरण में 2 ∙1 -5 = -3 ).
दूसरी पंक्ति के चौथे सेल में पहले सेल के उत्पाद का मूल्य और दूसरी पंक्ति के तीसरे सेल का मूल्य और पहली पंक्ति के चौथे सेल का मूल्य शामिल है (उदाहरण में विचाराधीन 2 ∙ (-3) +7 = 1).
इस प्रकार, मूल बहुपद का गुणनखंडन किया जाता है:
विधि संख्या 4.संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग करना
संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग गणनाओं को सरल बनाने के लिए किया जाता है, साथ ही बहुपदों का गुणनखंडन भी किया जाता है। संक्षिप्त गुणन सूत्र आपको व्यक्तिगत समस्याओं के समाधान को सरल बनाने की अनुमति देते हैं।
गुणनखंडन के लिए प्रयुक्त सूत्र
बहुपदों का गुणनखंडन एक पहचान परिवर्तन है, जिसके परिणामस्वरूप एक बहुपद कई कारकों के उत्पाद में बदल जाता है - बहुपद या एकपदी।
बहुपदों का गुणनखंड करने के कई तरीके हैं।
विधि 1. सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालना।
यह परिवर्तन गुणन के वितरण नियम पर आधारित है: ac + bc = c(a + b)। परिवर्तन का सार विचाराधीन दो घटकों में सामान्य कारक को अलग करना और इसे कोष्ठक से बाहर निकालना है।
आइए हम बहुपद 28x 3 - 35x 4 का गुणनखंड करें।
समाधान।
1. तत्वों 28x3 और 35x4 के लिए एक सामान्य भाजक खोजें। 28 और 35 के लिए यह 7 होगा; x 3 और x 4 - x 3 के लिए। दूसरे शब्दों में, हमारा सामान्य गुणनखंड 7x 3 है।
2. हम प्रत्येक तत्व को कारकों के उत्पाद के रूप में दर्शाते हैं, जिनमें से एक
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x.
3. हम सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालते हैं
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x = 7x 3 (4 – 5x).
विधि 2. संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग करना। इस पद्धति का उपयोग करने की "महारत" अभिव्यक्ति में संक्षिप्त गुणन सूत्रों में से एक पर ध्यान देना है।
आइए हम बहुपद x 6 - 1 का गुणनखंड करें।
समाधान।
1. हम इस अभिव्यक्ति में वर्गों के अंतर के सूत्र को लागू कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, x 6 को (x 3) 2 के रूप में और 1 को 1 2 के रूप में कल्पना करें, अर्थात। 1. अभिव्यक्ति का रूप इस प्रकार होगा:
(x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1).
2. हम परिणामी अभिव्यक्ति में घनों के योग और अंतर के लिए सूत्र लागू कर सकते हैं:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).
इसलिए,
x 6 – 1 = (x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).
विधि 3. समूहीकरण। समूहीकरण विधि में एक बहुपद के घटकों को इस तरह से संयोजित करना शामिल है कि उन पर संचालन करना आसान हो (एक सामान्य कारक का जोड़, घटाव, घटाव)।
आइए बहुपद x 3 – 3x 2 + 5x – 15 का गुणनखंड करें।
समाधान।
1. आइए घटकों को इस प्रकार समूहित करें: पहला दूसरे के साथ, और तीसरा चौथे के साथ
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15).
2. परिणामी अभिव्यक्ति में, हम सामान्य गुणनखंडों को कोष्ठक से बाहर निकालते हैं: पहले मामले में x 2 और दूसरे में 5।
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3).
3. हम सामान्य गुणनखंड x - 3 को कोष्ठक से निकालते हैं और प्राप्त करते हैं:
x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3)(x 2 + 5).
इसलिए,
x 3 – 3x 2 + 5x – 15 = (x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3) ∙ (x 2 + 5 ).
आइए सामग्री को सुरक्षित करें।
बहुपद a 2 - 7ab + 12b 2 का गुणनखंड करें।
समाधान।
1. आइए हम एकपदी 7ab को योग 3ab + 4ab के रूप में निरूपित करें। अभिव्यक्ति का रूप इस प्रकार होगा:
ए 2 - (3एबी + 4एबी) + 12बी 2। 
आइए कोष्ठक खोलें और प्राप्त करें:
ए 2 - 3एबी - 4एबी + 12बी 2.
2. आइए बहुपद के घटकों को इस प्रकार समूहित करें: पहला, दूसरे के साथ और तीसरा, चौथे के साथ। हम पाते हैं:
(ए 2 - 3एबी) - (4एबी - 12बी 2)।
3. आइए सामान्य कारकों को कोष्ठक से बाहर निकालें:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) = a(a – 3b) – 4b(a – 3b).
4. आइए सामान्य गुणनखंड (ए - 3बी) को कोष्ठक से बाहर निकालें:
a(a – 3b) – 4b(a – 3b) = (a – 3 b) ∙ (a – 4b).
इसलिए,
ए 2 - 7एबी + 12बी 2 =
= ए 2 - (3एबी + 4एबी) + 12बी 2 =
= a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2 =
= (ए 2 - 3एबी) - (4एबी - 12बी 2) =
= ए(ए - 3बी) - 4बी(ए - 3बी) =
= (ए - 3 बी) ∙ (ए - 4 बी)।
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एक बहुपद का गुणनखंडन. भाग ---- पहला
गुणनएक सार्वभौमिक तकनीक है जो जटिल समीकरणों और असमानताओं को हल करने में मदद करती है। ऐसे समीकरणों और असमानताओं को हल करते समय पहला विचार जो मन में आना चाहिए, जिसमें दाईं ओर शून्य है, बाईं ओर का गुणनखंड करने का प्रयास करना है।
आइए मुख्य सूचीबद्ध करें बहुपद का गुणनखंड करने के तरीके:
- सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर रखना
- संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग करना
- द्विघात त्रिपद का गुणनखंडन करने के लिए सूत्र का उपयोग करना
- समूहीकरण विधि
- एक बहुपद को एक द्विपद से विभाजित करना
- अनिश्चित गुणांक की विधि
इस लेख में हम पहले तीन तरीकों पर विस्तार से ध्यान देंगे, और बाकी पर हम बाद के लेखों में विचार करेंगे।
1. सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालना।
सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालने के लिए, आपको पहले उसे खोजना होगा। सामान्य गुणक कारकसभी गुणांकों के सबसे बड़े सामान्य भाजक के बराबर।
पत्र भागसामान्य गुणनखंड सबसे छोटे घातांक वाले प्रत्येक पद में शामिल भावों के गुणनफल के बराबर होता है।
सामान्य गुणक जोड़ने की योजना इस प्रकार है:
ध्यान!
कोष्ठक में शब्दों की संख्या मूल अभिव्यक्ति में शब्दों की संख्या के बराबर है। यदि कोई एक पद उभयनिष्ठ गुणनखंड से मेल खाता है, तो उसे उभयनिष्ठ गुणनखंड से विभाजित करने पर हमें एक प्राप्त होता है।
उदाहरण 1.
बहुपद का गुणनखंड करें:
आइए सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालें। ऐसा करने के लिए, हम पहले इसे ढूंढेंगे।
1. बहुपद के सभी गुणांकों का सबसे बड़ा सामान्य भाजक ज्ञात कीजिए, अर्थात। संख्या 20, 35 और 15. यह 5 के बराबर है।
2. हम स्थापित करते हैं कि चर सभी पदों में समाहित है, और इसका सबसे छोटा घातांक 2 के बराबर है। चर सभी पदों में समाहित है, और इसका सबसे छोटा घातांक 3 है।
चर केवल दूसरे पद में समाहित है, इसलिए यह सामान्य कारक का हिस्सा नहीं है।
तो कुल कारक है
3. हम ऊपर दिए गए चित्र का उपयोग करके गुणक को कोष्ठक से बाहर निकालते हैं:
उदाहरण 2.प्रश्न हल करें:
समाधान। आइए समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें। आइए कारक को कोष्ठक से बाहर निकालें:
तो हमें समीकरण मिलता है 
आइए प्रत्येक कारक को शून्य के बराबर करें:
हमें मिलता है - पहले समीकरण का मूल।
जड़ें:
उत्तर:-1, 2, 4
2. संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग करके गुणनखंडन।
यदि हम जिस बहुपद का गुणनखंड करने जा रहे हैं उसमें पदों की संख्या तीन से कम या उसके बराबर है, तो हम संक्षिप्त गुणन सूत्रों को लागू करने का प्रयास करते हैं।
1. यदि बहुपद हैदो पदों का अंतर, फिर हम आवेदन करने का प्रयास करते हैं वर्ग अंतर सूत्र:
या घन सूत्र का अंतर:
यहाँ पत्र हैं और किसी संख्या या बीजगणितीय अभिव्यक्ति को निरूपित करें।
2. यदि एक बहुपद दो पदों का योग है, तो संभवतः इसका उपयोग करके गुणनखंड किया जा सकता है घन सूत्रों का योग:
3. यदि एक बहुपद में तीन पद होते हैं, तो हम लागू करने का प्रयास करते हैं वर्ग योग सूत्र:
या वर्ग अंतर सूत्र:
या हम इसके द्वारा गुणनखंड करने का प्रयास करते हैं द्विघात त्रिपद का गुणनखंडन करने का सूत्र:
यहाँ और द्विघात समीकरण की जड़ें हैं 
उदाहरण 3.अभिव्यक्ति का कारक:
समाधान। हमारे सामने दो पदों का योग है। आइए घनों के योग के लिए सूत्र लागू करने का प्रयास करें। ऐसा करने के लिए, आपको पहले प्रत्येक पद को किसी अभिव्यक्ति के घन के रूप में प्रस्तुत करना होगा, और फिर घनों के योग के लिए सूत्र लागू करना होगा:
उदाहरण 4.अभिव्यक्ति का कारक: 
फ़ैसला। यहां हमारे पास दो भावों के वर्गों का अंतर है। पहली अभिव्यक्ति: , दूसरी अभिव्यक्ति:
आइए वर्गों के अंतर के लिए सूत्र लागू करें:
आइए कोष्ठक खोलें और समान शब्द जोड़ें, हमें मिलता है:
पर यह सबकहम बहुपद के गुणनखंडन की पहले से अध्ययन की गई सभी विधियों को याद करेंगे और उनके अनुप्रयोग के उदाहरणों पर विचार करेंगे, इसके अलावा, हम एक नई विधि का अध्ययन करेंगे - एक पूर्ण वर्ग को अलग करने की विधि और सीखेंगे कि विभिन्न समस्याओं को हल करने में इसका उपयोग कैसे किया जाए।
विषय:गुणनखंडन बहुपद
पाठ:गुणनखंडन बहुपद. पूर्ण वर्ग चुनने की विधि. विधियों का संयोजन
आइए बहुपद के गुणनखंडन की उन बुनियादी विधियों को याद करें जिनका पहले अध्ययन किया गया था:
किसी उभयनिष्ठ गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर रखने की विधि, अर्थात वह गुणनखंड जो बहुपद के सभी पदों में मौजूद हो। आइए एक उदाहरण देखें:
याद रखें कि एकपदी घातों और संख्याओं का गुणनफल है। हमारे उदाहरण में, दोनों शब्दों में कुछ सामान्य, समान तत्व हैं।
तो, आइए सामान्य कारक को कोष्ठक से बाहर निकालें:
;
हम आपको याद दिला दें कि निकाले गए गुणनखंड को कोष्ठक से गुणा करके, आप निकाले गए गुणनखंड की शुद्धता की जांच कर सकते हैं।
समूहीकरण विधि. बहुपद में एक उभयनिष्ठ गुणनखंड निकालना हमेशा संभव नहीं होता है। इस मामले में, आपको इसके सदस्यों को समूहों में इस तरह से विभाजित करने की आवश्यकता है कि प्रत्येक समूह में आप एक सामान्य कारक निकाल सकें और उसे तोड़ने का प्रयास कर सकें ताकि समूहों में से कारकों को निकालने के बाद, एक सामान्य कारक दिखाई दे। संपूर्ण अभिव्यक्ति, और आप अपघटन जारी रख सकते हैं। आइए एक उदाहरण देखें:
आइए पहले पद को चौथे के साथ, दूसरे को पांचवें के साथ और तीसरे को छठे के साथ समूहित करें:
आइए समूहों में सामान्य कारकों को निकालें:
अभिव्यक्ति में अब एक सामान्य कारक है। आइए इसे बाहर निकालें:
संक्षिप्त गुणन सूत्रों का अनुप्रयोग. आइए एक उदाहरण देखें:
;
आइए अभिव्यक्ति को विस्तार से लिखें:
जाहिर है, हमारे सामने वर्ग अंतर का सूत्र है, क्योंकि यह दो भावों के वर्गों का योग है और इसमें से उनका दोहरा गुणनफल घटाया जाता है। आइए सूत्र का उपयोग करें:
आज हम एक और विधि सीखेंगे - एक पूर्ण वर्ग चुनने की विधि। यह योग के वर्ग और अंतर के वर्ग के सूत्र पर आधारित है। आइए उन्हें याद दिलाएं:
योग (अंतर) के वर्ग का सूत्र;
इन सूत्रों की विशेषता यह है कि इनमें दो भावों के वर्ग और उनका दोहरा गुणनफल होता है। आइए एक उदाहरण देखें:
आइए अभिव्यक्ति लिखें:
तो, पहली अभिव्यक्ति है, और दूसरी है।
किसी योग या अंतर के वर्ग का सूत्र बनाने के लिए, व्यंजकों के गुणनफल का दोगुना पर्याप्त नहीं है। इसे जोड़ने और घटाने की आवश्यकता है:
आइए योग का वर्ग पूरा करें:
आइए परिणामी अभिव्यक्ति को रूपांतरित करें:
आइए वर्गों के अंतर के लिए सूत्र लागू करें, याद रखें कि दो अभिव्यक्तियों के वर्गों का अंतर उनके अंतर का गुणनफल और योग है:
तो, इस विधि में, सबसे पहले, यह तथ्य शामिल है कि आपको अभिव्यक्ति ए और बी की पहचान करने की आवश्यकता है जो वर्ग हैं, यानी, यह निर्धारित करें कि कौन से अभिव्यक्ति वर्ग वर्ग हैं इस उदाहरण में. इसके बाद, आपको दोगुने उत्पाद की उपस्थिति की जांच करनी होगी और यदि यह नहीं है, तो इसे जोड़ें और घटाएं, इससे उदाहरण का अर्थ नहीं बदलेगा, लेकिन बहुपद को वर्ग के सूत्रों का उपयोग करके गुणनखंडित किया जा सकता है। यदि संभव हो तो वर्गों का योग या अंतर और अंतर।
आइए उदाहरणों को हल करने की ओर आगे बढ़ें।
उदाहरण 1 - गुणनखंडन:
आइए ऐसे व्यंजक खोजें जो वर्गांकित हों:
आइए लिखें कि उनका दोहरा उत्पाद क्या होना चाहिए:
आइए उत्पाद को दोगुना जोड़ें और घटाएं:
आइए योग का वर्ग पूरा करें और समान योग दें:
आइए इसे वर्गों के अंतर सूत्र का उपयोग करके लिखें:
उदाहरण 2 - समीकरण हल करें:
;
समीकरण के बायीं ओर एक त्रिपद है। आपको इसे कारकों में शामिल करने की आवश्यकता है। हम वर्ग अंतर सूत्र का उपयोग करते हैं:
हमारे पास पहली अभिव्यक्ति का वर्ग और दोहरा उत्पाद है, दूसरी अभिव्यक्ति का वर्ग गायब है, आइए इसे जोड़ें और घटाएं:
आइए एक पूर्ण वर्ग को मोड़ें और समान पद दें:
आइए वर्गों के अंतर का सूत्र लागू करें:
तो हमारे पास समीकरण है 
हम जानते हैं कि कोई उत्पाद शून्य के बराबर तभी होता है जब कम से कम एक कारक शून्य के बराबर हो। आइए इसके आधार पर निम्नलिखित समीकरण बनाएं:
आइए पहला समीकरण हल करें:
आइए दूसरा समीकरण हल करें:
उत्तर: या
;
हम पिछले उदाहरण की तरह ही आगे बढ़ते हैं - अंतर का वर्ग चुनें।